la transformation de fourier complexe et l’equation de convolution
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Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, ZUrich
325
Chin-Cheng Chou Centre Universitaire de Perpignan, Perpignan/France
La Transformation de Fourier Complexe et L'Equation de Convolution
Springer-Verlag Berlin. Heidelberg. New York 1973
A M S Subjec t Classif icat ions (1970) : 4 2 A 9 6 , 46F 15, 32A25 , 35R 15
I S B N 3-540-06301-3 Spr inger -Ver lag Ber l in • H e i d e l b e r g . N e w Y o r k I S B N 0-387-06301-3 Spr inger- Ver lag N e w Y o r k • H e i d e l b e r g . Ber l in
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© by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg 1973. Library of Congress Catalog Card Number 73-79975. Printed in Germany.
Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
TABLE DES ~ATIERES
Cha~itre i~
Les espaces des M(p)-ultradistributions . . . . . . . . . . . .
§ I. Les espaces~(N(p),~), ~(N(p),~) et ~o(N(p),~) et ieurs
duaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....
1. D@finitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Les espaces des ultradistributions . . . . . . . . . . .
§ 2. Quelques propri@t@s alg@briques et topologiques ......
I. Relation'entre les espaces ~o(Q(p)) et ~(R(p)) .....
2. Sur l'intersection des espaces~(M(p)) .........
3. La structure topologique des~(MCp),~). ........
4. Les th@or@mes de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . .
5. La formule de Leibniz-H~rmander g@n@ralis@e ......
11
11
20
26
37
42
Chapitre II.
Sur le module minimal des fonctions analytiques complexes .
I. Le th@or@me de division de HOrmander . . . . . . . . . .
2. Th@or@me du module minimum de type de Cartan-
Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Module minimum des fonctions enti@res d'ordre presque
inf@rieur ~ un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
46
48
53
Chapitre III.
L~inversibilit@ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ I. Op@rateur de convolutions~'(M(p))-inversible .......
I. La convolution et les suites M(p)-adapt@es .......
2. Caract@risation des op&rateurs~'(M(p)) inversible
(conditions suffisantes) . . . . . . . . . . . . . . . .
6O
60
60
66
IV
§ 2.
§ 3.
§ 4.
3. Caract@risation des op@rateurs~'(M(p)) inversibles
(suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4. Conditions n@cessaires . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exemples d'op@rateursJJ'(M(p))-inversibles ....... 79
I. Les op@rateurs diff@rentiels d'ordre infini ..... 79
2. Inversibilit@ des op@rateurs hypoelliptiques ..... 82
3. Construction d'une fonction~6~ inversible dans
~'(M(p)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4. Construction d'une distribution non inversible .... 88
La convolution et le support singulier . . . . . . . . . 90
I. La convolution et le support singulier ........ 90
2. Ph@nom@ne de la propagation de la r@gularit@ . . . . 95
Existence des solutions d'une @quation de convolution
darts une classe de fonctions quasi-analytiques ..... 98
Chapitre IV.
La . . . . . . regularite znterzeure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§ I. Position du probl@me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§ 2.
§ 3.
Les M(p) hypoellipticit@ . . . . . . . . . . . . . . . . 101
I. Caract@risation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2. Le support M(p)-Singulier de la solution @l@mentaire
d'un op@rateur faiblement M(p)-hypoelliptique .... 111
0p&rateur elliptique analytique et la r@gularit@ uni-
verselle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
I. 0p@rateur elliptique-analytique . . . . . . . . . . . 112
2. La r@gularit@ universelle . . . . . . . . . . . . . 114
3. Une caract@risation des fonctions analytiques r@elles 116
Chapitre V.
0p@rateur hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§ I. Les op@rateurs hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 120
§ 2.
V
I. D&finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2. " Caracterlsatlon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Probl@me de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
I. Probl@me d'existence . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2. Probl@me d'unicit@ . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
INTRODUCTION
Le pr@sent travail s'inspire des travaux de ~. Eh~enpreis et H5rmauder
sur les @quations de convolution (cfo [10], [11], [17]). Nous allons 4tendre
leurs r4sultats au cas des ultradistributions oonstruites sur une classe des
fonctions ind4finiment diff4rentiables non quasi-analytiques (of. [32], [33]) •
D'une mani~re pr@cise, nous @tudions le probl&me d'existence e% la r~gula,-
tit@ d'une solution d'une gquation de convolution dgfinie par une ultra-
distribution ~ support compact S ~ soit l'4quation
S*U=T
c~h U est l'inconnue ~ prendre dans un certain espace fonctionnel e% o~ T
est une donn@e, poss4dant parfois certaines r4gularit@s.
Nous commengons , dans le chapitre I , & rappeler la d@finition et les
propri@t@s dont nous avons besoin dans la suite~ des espaces fonctionnels
~(M(p)) et leurs duaux topologiques ~'(M(p)) quton appelle espaces
d'ultradistributions (cf° [31], [32] et [33]), nous remarquons ([31]), en
particulier, que ~(M(p)) est du type Dual de Fr4chet-Schwartz et que
~'(M(p)) est du type de Fr@chet-Schwartz. On dispose alors d'une th4orie
achev@e de la dualit@ (cfo [15]). On en dgduit ainsi que pour que l'appli-
cation T~----> S * T de ~'(M(p), ~I) dans ~'(M(p), 02) sol% surjeotive
il faut et il suffit que le couple d'ouverts (~ ~ ~2) soit S-convexe (et
non pas S-fortemen% convexe [17] comme darts le cas des distributions) et que
la transformation de Fourier de S v@rifie cer%aines conditions de lenteur
dans sa d@croissanoe & l'infini. Nous montrerons encore que ~'(M(p), ~n)
est tm espaoe anaiy~iquement uniforme [12], oe qui permet de r@soudre de
nouveau l'@quation de convolution avecla proogdure directe [~0].
VIII
Au chapitre II , nous avons regroup~ quelques r~sultats sur le module minimum
des fonctlons holomorphes que n~cessitent nos ~tudes.
C'est ~ partir du chapitre III que nous abordons le probl~me proprement dit :
l'inversibilit~ et la r~gularit~ des solutions d'une ~quation de convolution. Nous
caract~risons les ultradistributions S ~ support compact qui sont ~'(M(p))-in-
versibles, i.e S* (~'(MI ~P) ~)) =~'(M(p)) . Nous retrouvons, en particulier, un
r~sultat de M. Schapira [31] , r~sultat ~galement prouv~ par M. BjSrck [2] ,
lorsque S est un opgrateur diff~rentiel. Nous construisons en particulier une
fonction S 6~ (~n) , qui est inversible ~ notre sens et utilisant les op~rateurs
diffgrentiels d'ordre infini, nous avons pu g~ngraliser le r~sultat ~ * g = &
d~ ~ M. Ehrenpreis [12] , au cas o~ & est l'espace des fonctions d~finies sur A n
ind~finiment diff~rentiables ~ valeur dans un Frechet.
A l'aide d'un th~or~me de type Paley-Wiener sur les fonctionnelles d6finies sur une
classe de fonctions quasi-analytique de M.Neymark [30] , notre m~thode permet de
retrouver un th~or~me de M. Martineau [27] , i.e. l'application T ~ > S m T
ao(p!~) I > I sur~ectivement applique l'espace des fonctions enti~res d'ordre I-
sur lui-m~me pour tout S e |ao(pZ)~'
Nous montrons ~galement que le ph~nom~ne de propagation de la r~gularit~ d'une
solution d'une ~quation diff~rentielle mls en ~vidence par F.John et B.Malgrange [23]
existe aussi pour des op~rateurs ~ '(M(p))-inversibles.
Dans le chapitre IV , nous ~tudions le probl~me de r~gularit~ et nous caract~-
risons !es op~rateurs poss~dant l'une des propri~t~s suivantes :
Toute T e~'(M(p)) telle que S • T e(~ (resp. a(M(p)) et & , fonctions ind~-
flniment diff~rentiables sans condition de croissances) est dans ~(resp. &(M(p))
eta ) nous disons qu'il est alors elliptique analytique (resp. M(p)-hypoelliptlque
et faib!ement M(p)-hypoelliptique). Nous montrons que, pour qu'un op~rateur de
convolution soit faiblement M(p)-hypoelliptique pour routes ies classes M(p) , il
faut et il sufflt qu'il soit el!iptique analytique. Dans le cas o~ S est un opg-
rateur diff~rentiel aux d~riv~es partielles, des r~sultats similaires sont ~galement
IX
donn~s par M. BjSrck (cf.[2]). Notons qu'il existe des op@rateurs de convolution
elliptique analytique (~ notre sens) qui ne sont pas des translat@s des op@rateurs
diff@rentiels aux d@riv@es partielles. (cf. La remarque qui suit le n ° 2 du
chapitre IV. § 3).
Enfin, dans le chapitre V, nous caract@risons des op@rateurs hyperboliques,
i.e. des op~rateurs poss~dant une solution @l@mentaire dont le support est contenu
dans un cSne convexe ne contenant aucune droite. Et nous posons un "probl~me de
Cauchy" pour ~u tel op@rateur.
Un certain hombre de nos r@sultats, ont @t@ annonc@s darts des notes aux Comptes
Rendus de l'Acad~mie des Sciences [7] , [8] , [9].
Nous avons trSs douloureusement ressenti la disparition brutale de
Monsieur Andr@ MARTINEAU, de qui nous avons tant appris, aussi bien en math~matiques
que dans la vie pratique.
Nous remercions MM. Malliavin, Houzel, Boutet de Monvel de vouloir s'int~resser ~ notre travail.
CHAP iTR~ ~ I
LES ESPACES DE M(p)-ULTRADISTR~BUTIONS
§ 1 - Les es~aoes ~ ( ~ ( p ) , O) , g (N(p ) , ~) e_~t go(M(p) , O) et l eu rs duatux.
1o D@finitions et notations
Les @l@ments de ~n seront notgs par x, y, ~ ou ~ , les @l@ments de
@n par z, ~ . Le symbole (p) d@signe un @l@ment de ~n • Pour z, C et
(p) donn@s, nous 6crirons
< z . C > = z I~I + ' ' ° + = ~ c ~
I1 ,II = l<=.z>l 1/2
Pl Pn z (p) = z 1 .o. z n
Re z = (partie rgelle z I ,o.o~ pattie r@elle Zn)
Im z = (partie imaginaire z1,... 9 pattie imaginaire Zn)
Soit (p). > M(p) une fonotion d@finie sur ~n & valeurs strietement
positives, finie ou non, que nous appelons une suite ~(p) _ , soit H tun
nombre striciement positif et soit U tun ouvert de ~n ~ suivant M. Roumieu
[32], [33], nous d@signerons par g(N(p)~ U, H) l'espace vectoriel des
fonctions ~ d@finies sur U & valeurs complexes ind@finiment diff@ren-
tiables dams U et v@rifiant
(z.1-1)
o~ Pl Pn
~x I o . o ~ x n
1.2
La t o p o l o g i e d e g(M(p) , U 9 H) es% d@f in ie par l a norme II IIU, H qui en
f a i r u n B a n a c h o Dans r o u t e l a s u i t e , n o u s r 6 s e r v o n s l a l e t t r e U p o u r
d@signer un ouvert born@ de A n o Etant dorm6 un ouvert ~ de ~n , nous
d6signons par g(M(p), ~) l'espace vectoriel des fonctions ~ d6finies
sur O & valeurs oomplexes telles que pour tout U avec ~ c O , il existe
un H > 0 tel que la restriction de ~ & U appartient & g(M(p), U, H) .
On d@signe par go(M(p), Q) l'espaee vectoriel des fonctions 9 telles
que pour tout U avec ~ c Q , la restriction do ~ & U appartient
n ~(~(p), U, H) o On a doric H > 0
u s(M(p), u, H)) ~(M(p), O) : n ( H> o U~ ~ c ~
6o(M(p), ~) = n ( ~ > o ~(~(P) U, ~c-O
On muni% 8o(M(p), Q) de la topologie limite projective des espaees
6(M(p), U, H) e% pour g(}~(p), Q) , on prend la limite inductive suivant
des 8(M(p), ~., H) , puis la limite projective suivant U des
u ~(M(p), ~, ~) . ~>0
Par ~(M(p), U, H) , on dgsigne le sous-espace des fonctions de
g(M(p), E n, H) ayaut un support compact contenu darts ~ , muni de la
topologie d@finie par la norme (Ioi-I) ~ qui en fair un Banach.
Par ~(M(p), Q) , on d@signe le sous-espaoe des fonctions g support
c o m p a c t de g ( } ~ ( p ) , Q) . On a d o n c
, u ~(M(p), u, ~)) 2~(~(p) ~) : _u ( ~ > o U, U c Q
1.3
On muni% ~ ( M ( p ) , G) de l a t o p o l o g i e l i m i t e i n d u c t i v e des ~7~(M(p)~ U, t{) .
Nous 6orirons ~(M(p)) , g(M(p)) et go(N(p)) pour ~(M(p), ~n) ,
g (M(p ) , ~n) e t go(M(p) , ~n) respec t i vemento
Notons qu 'on peu% d @ f i n i r ces espaoes t opo log iques en se servant~ d 'une
p a r t , d 'une s u i t e d ' o u v e r t s U c U 1 c . . . c U~ c o.o formant un reoouvrement o
de Q et v4rifiant ~ c 0 et~ d'autre part~ d'une suite de nombres H~ > 0
%endant vers z@ro ou l'infini selon qu'on veut obtenir go(M(p)~ Q) ou
g(M(p)~ ~) o On v@rifie~ par ailleurs~ que ces espaoes ainsi d4finis ne
d@penden% pas du choix particulier des suites U~ et H~ .
Pour que oes espaoes soient stables par multiplioation~ par d@rivation
e% qu'ils contiennen% des fonetions de support arbitrairement petit~ nous
supposons~ dans la suite de oet artiole~ saul mention expresse du oontraire~
que la suite M(p) ~ (p) 6 ~n , poss&de les propri4%@s suivantes
(a) La suite M(p) est Iogarithmiquement oonvexe, c'est ~ dire
pour Gout (p) et Gout (q) de ~n avec qj ~ pj , j = I~ 2 o.. n , on a
2 M(p) ~ M(p + q) . M(p - q) .
(b) Soit : inf e t s o i t ,laplus andemino- l p l =
(sa r~g~laris4e logarithmique selon range logarithmiquement convexe de M~
Mandelbrojt [243)o ~Tous su.pposons que
7: ~ + 1
C'est une condition n4cessaire et suffisante de non quasi-analyticit@
(Cfo [32 ] Th4or~me 1. pc t55)o On prouve ( [ 24 ] pc 109) que o e t t e c o n d i t i o n
entralne que
1.4
(z.1-3) Ii~
1
lpl M(p) = + co
et on peut oalculer la rggularis4e
On pose
( I o l - 4 ) M(z) = Log Sup
(p)
• Z de la fagon suivante :
I~II pl ... I~n Ipn
M(p)
qui est bien dgfinie grace & (I.I-3) e% on a
r > 0
Tandis que la condition (I.I-2) est encore ~quivalente &
1 + t 2 0
La fonotion z, > M(z) d~finie sur C n par la formule (1.1-4) sera
appelge fonction associ@e h la suite M(p) .
Si ~ = (?Z)~ 6 ~ est une suite de hombres strictement positifs, nous
noterons par ~(z) la fonction assooi4e & la suite (V Ipl M(p~ (p) 6 ~@n
(c) Nous supposons enfin qu'il existe des oonstantes positives A et H
telles que
(i) Pour tout (p) de ~n et (ej)= (6~,°.o, 8~)
3 J
A ~(P) ~(p) ~(p + ej)
Condition qui assure que la d~riv6e d'une fonotion de classe M(p) reste
dans la mGme classeo Condition n~cessaire aussi si M(p) v~rifie (a) •
(it) Pour tOUt (r) et (q) de ~n on a
1.5
Condition qui assure que le produit des fonctions de classe M(p) reste
darts la m@me classe.
Notons que de (it) r@sulte que la constante H est plus grande que un.
Nous d@signerons par J~ l'ensemble des suites poss@dant les propri@i@s
(a ) , (b) et (c) .
Soit une suite ~(p) @
~(p) :
satisfaisant & (Io I-3) , oonsidgrons alors la suite
~ (~+)n
qui est manifestement Iogarithmiquement oonvexe 9 on montre qu~on a
* (~) : ~(~) et en pos~nt
= Sup N(p) I q l ~ n + l
On salt (of. [32] p. 158 Th6or~me 3) que
De sorte quesi @
M(p) et M(p)
MCp + q)
~(p), ~) = ~(M(p), ~) ~ ~N(p), ~) .
M(p) v6rifie la condition (c)(i) , alors, les suites
dgfinissent le m@me espace fonctionnel. Nous %erminons ce
paragraphe en rappelan% [I] que la condition (a) @
4quivalente & l'4galit4 M(p) = M(p) pour tout w
M(p) ~ M(p) ~ oa~ ~'apr~s (1.I-3) et (Z.I-4) , pour
Pl Pn en notant x (p) = x I ... x n
lim Ix (p) Exp(- M(x)) I = 0
de convexit4 es% encore
(p) E ~n . On a, en effe%,
(p) 6 N n fix4, on a,
Ii existe donc x E R n tel que o +
G < (q)
o
~(p)
1.6
L'@galit@, pour Gout (p) , ne peut avoir lieu que si M(p) est loga-
riGhmiquemen% convexe. Montrons cette n@cessit6 par l'absurde. Supposons
que M(p) ne soit pas logarithmiquement convexe, il existe alors un
couple (p) , (q) d'61@ments de ~n Gel que (q) { (p) et que
M(~) > M(q + ~)
M(p _ q) M(p)
~io~pourGou~ ~=(~I,o..~x) C<, o~, ~oit
M soit X (q) < ' " (p) .Dans le premier oas 9 on a
M(p _ q)
M(p)
+ M(p + q) ) < x(p + q) ~(P) ~(P q) < ~(q) M(p M(p +
M(p) M(p + q) ) q)
et dans le dernier cas~ on a
~(q) ~(p - q) ~(P) _ ~(P-q) ( ~(~'q)) <
M(p) M(p _ ~) M(p) M(p _ q) ~ M(x) .
D'o9 en particulier (p)
o
M(p) < mp M(~ o)
soit * (p)
M(p) = ~o E~ (- M(~o)) < ~o (p) M o
= M(p)
Pour la suffisance 9 nous allons montrer que si M(p)
convexe, alors pour chaque (p) 6 ~n , il existe x o
( Io l -5 ) ~, = Sup ~- - M(p) (q) M(q)
es% logarithmiquemenl
C ~n 9 tel que +
1o7
il s'ensuit que . ~(p) ~ (p)
o M(p) : Sup ~ c a n Sxp M(~) s ~ ( ~ ( ~ o ) ) M(p)
+
Pour avoir (1.1-5) nous allons consid6ror darts ~n × R , plong6 dans ~n+1
(p) ' > Log M(p) . L 'hypoth~se de ta oonvexi%@
(p) ~ il existe un hyperplan d'appui passant par
o Soit
le graphe de la fonction
implique que pour chaque
le point <(p), Log M(p))
%+1 = Lo~ ~(p ) + a l ( x 1 - P l ) + " " + % ( & - Pn )
i'@quation d'un tel hyperplan° On a alors pour tout (q) 6 ~n
Lo~ M(p) +
soit en posant
il vient
d'o~
j=1
aj(pj + qj - pj) g Log M(p + q)
x ° = (exp a 1 ,@.. , exp an)
x o(p +q) ~ ~(# + q)
o o
M(p + q) M(p)
@
oe qui prouve que M(p) = M(p)
logarithmiquement oonvexe°
Notons enfin que si M(p)
si et seulement si la suite M(p)
est telle que la fonotion M(z) de
s o i t d@f in ie , a l o r s M(p) v 6 r i f i e l a c o n d i t i o n (b) ( r esp . ( c ) ( i ) )
* [~(p) seulement s i sa s u i t e r6gu!aris6e M(p) = Sup Exp ( - M ( x ) ) ]
x e ~ v@rifieo
es t
(1.I-4)
si et
].a
1.8
2. Toujours selon Ms Roumieu, nous appelons ultradistributions de la
olasse M(p) d @ f i n i e s s u r l'ouvert ~ ~ leg ~16ments du dual de ~%(M(p)~ ~)o
Soi$ ~'(M(p)~ ~) l'ensemble de ces ultradistributionso On munit
~'(M(p)~ ~) de la topologie forte du dual. Nous appelons o24rateur diff,@-
rentiel d'ordre infini (de la classe M(p)) touts somme >,] a(p) D (p) 8
de dgrivges de la mesure de Dira% convergeant dans ~'(M(p)) • P~ppelons
qu'il est montr@ par M. Roumieu [33] qu'il exists des ultradistributions de
support l'ori~ine qui ne sent pas des o~6rateurs d iff6rentiels d'ordreinfini
notre sens. (Le support d'une ultradistribution 6tan% d6fini comme pour une
distribution, vu l'existence des partitions de l'unit6, cf. [32])
Soi~n~ ~(p)~ ~(p) ~t Q(p) trois ~uit~ appartsnant ~ /~ ~ Soient
M(x) ~ N(x) et Q(x) leurs fonctions associ6es. Supposons que
Q(x) ~ M(~) + N(~) o ~ppelo~ q~'on d~finit ([32], [33]) la sonvolution de
T 6 ~'(M(p)) et S 6 ~'(N(p)) , dent l'une est & support compaot~ comae
une ultradistribution de la classe Q(p) par la formule
Notons par g'(N(p)) l'espace veotoriel des ultradistributions de elasse
N(p) ~ support compact~ qui est encore le dual de g(N(p))~ On munit
g'(N(p)) de la %opologie forte du dual de g(N(p)) o Alors l'applioation
bilin6aire (T, S) ~ ......... > T * S de ~'(M(p)) X g'(N(p)) dans ~'(q(p))
est hypocon%inue par rapport aux ensembles born6s.
Pour route S E 8'(N(p)) ~ on d@finit la transformation de Fourier de S
not6e ~ , qui est par dgfinition~ la fonetion z ~:=> Sx(X~-~ex p i < z,x >)
d6finie sur C n . C'est une fonction enti&re sur C n o Si S e% T sent
deuxultradistributions ~ support compact~ on
A A A (T * S) (z ) = T(z) . S(z)
I.?
Rappelons enoore qu'on ala
PROPOSITION I.I-Io- Soient M(p) e~ N(p)
I I
!pl
appartenant & J~, telles que
alors lee injections canoniques suivantes
sont continues et d'images denseso L L ,, , ,
(Voir [32] pour une d4monstrationo)
PROPOSITION 1.1-2.- L'espace vectoriel engendr4 par lee fgq£tions
(x~ > Exp < ZoX >) est dense dane 6(~(p)~ Q) .
D@monstration ~ Soit T E M(p)~ ~ , }[ontrons que T = 0 si A T(z) = 0 , V z . C'es% bien eonnu (cf. [34])~ si T est une distribution de
Schwartz. Si T { g'(O) on vala r4gularisero En effet, sol% 9 6~(M(p),S)
tells que ~ 9 = I o Posons ~c(x) _ I ~ n ~ ~ alors ~6 tend vers 6
la mesure de Dirac 6 dane ~' quand e tend vers z@roo Done si T % 0 9
il existe e > 0 ~ tel que #6 * T % 0 mais ~6 * T 6 ~ (puisque la suite A A A
pour tout z E C n o Donc~ contradiction° C°QoF°Do
Comme eons@quence~ on voit que la transformation de Fourier @tablit tun
isomorphisme entre l'espace £'(M(p),_ ~) e$ son image dane l'espace des
fonctions en%i~res sum C n.
Le th@or~me suivant est encore d4montr4 par M. Roumieu [32]
I.I0
T~O~m IoI-3.- Soit (~(P))(p) c ~ ~ ~e suite de me~=t{,, ' ~fi~ies
s,ur 0 , telle que pour tout 7 > 0 et %out compact Kc 0 , on air
(I. I-6) £
(p) c
alors !a formule
(I.I-7) ~ ....... >
qui aun sens pour route
la olasse M(p) .
R6ciproquemen.%~ route
aveo une suite b(p)
I ~ ( p ) l < + '~ ~lpl M(p) J : ,
> , ~ (- 1) }pi (SP) ~) d ~(p) (p)
6 ~(M(p), ~) , d6finit tune ultradistribu%ion de
T 6 ~'(M(p)~ Q) ~,eut se mettre sons l aformo(I.1-7 )
de mestures satisf~isant & (1.1-6) .
On a alors la
PROPOSITION 1oi-4.- Po~ que la sommo ~ ..... ~(p) D(P) 6
(p)
op6rateur diffgren%iel d'ordre infini de la olasse
suffit que I
lim (N(p) [a(p)l) Ipl
Ip! - +
d4finisse tun
N(p) ~ il faut et il
= 0 °
D6monstration ~ D'apr~s le th6or&me prgc6dent, la condition os% 6vi-
demmen% suffisante oar elle implique (Io I-6) . Pour voir que la condition
est ngcessaire 9 on raisonne par l'absurde.
Supposons dono ~ Ii existe tun ¢ > 0 et une suite de multi-indices
> tels
~(p(k)) l~(p(k)) t ~ ~ !p(k)l
10
1.11
Considgrons la fonction ~ dgfinie par la formule (i.2-2) qui suit
(fonction oonstruite au sours de la d4monstration de la proposition I°2-I)
qui appartient & g(N(p)) e t v@rifie
pour ume infinit@ des entiers k .
Dons pour la fonction
Par suite~ la s4rie
~(p(k))
~(x) =m <.2_._! =~ , ona
la(p(k)) ~(P(k))(o)l -> I
~ " (P) , a(p) 6 ne converge pas dans ~'(N(p))
CoQoF.Do
§ 2 - Quelques propri4t@s al~4briques e tt.9~,91ogiques.
I. Relat%on entre les estates go(Q(p)) e~ g(R(p)) o
PROPOSITION 1.2-I.- Pour route suite M(p) E ~9 il existe N(p) e~%
L(p) appartenant & A , N(p) ~ M(p) ~ L(p) ~ te l les ,que l 'on a i r
g(N(p)9 Q) c go(},~(p), Q) c g(M(p)~ ~) C 8o(L(p)~ -Q)
Les injections canoniques son% ,9ontinues et d'images d enseso
Nous avons besoin 9 dans notre d4monstration~ du lemme 1.2-2 et de la
proposition 1.2-3 qui suiven%
L~ Io2-2o- So~t ~(p) ~e ~ite v~rifi~nt la e on~Ltio ~ (~) de
non q~asi--analytioit@~ il existe une suite N(p) C /[ avec N(p) { M(p)
D@monstration - Seit M~ la suite r@gularis@e de inf ~i(p) qui
Ipl =
v@rifie dons ~'~ M~ < + ~ . Posons / ~ M~ + I
ii
1o12
' M$_I
et N% = k I o.~ k~ , No = I
on voit que
(i~ ~o ~ " ~o ~T ° .o. ~ L ~ ~'~(p)
/N£+ I ~N~ ~ qui implique que la suite M ° N~
vgrifie les conditions (a) et (o) impos@es aux @igments de j~ o
N~ _< ~ - I ~ < +
Le lemme s u i t , en prenant N(p) : M ° % p o ~ to~t Ip! : ~ •
C.Q.F.D.
PROPOSITION Io2-3.- Soient N(p) e~t M(p) appartenant & J~. Pour ~ue I
Ipl
g(N(p), ~) C go(M(p), D) , i l faut et ilsuffit que lim ~(D)~ +
Ators l ' i n j e c t i o n car~onique est continue et d'ima~e dense.
Remarque ~ Ceci entra!ne que les fonctions exponentielles son% totales
darts go(M(p), ~) .
D6monstration ~ La condition est st~ffisanteo
I
IpJ
N(p)
Soient H et h deux nombres positifs. On a, pour tout (p) 6 ~
Ipi tpl
~(p) : x x M(p) - ( p )
12
1.13
la borne sup@rieure 4tent at%einte~ puisque~ selon notre hypoth~se~ h(p)
tend vers l'infini avec IPl •
Soi t A h eer ie borne sup6r ieure . Dgsignons par B(N(p) , H) la boule unit@
dans g(N(p), U, H) o Alors, quel qua soit h > 0 , on a
(I.2-I)
Donc~ pour tout
Par suite
H>O,
B(N(p) , H) c n g(M(p) , u, h) h > O
H>O h>0
Ce qui entraSne que g(N(p) , O) c go(M(p), O) • De (1.2-1 7 , on v o i t que
!'injection es% oontinueo Montrons que llimage est dense.
Nous utilisons pour eela~ la formule de Taylor et la condition de d4riva-
bilit6 de la suite M(p) qui nous permet de faire une r4gularisation.
Soit f 6 go(M(p), Q) . Pour %ou% couple (U~ UI) d'ouverts relativement
compacts tels que ~c U I c ~I c Q ~ soit y 6 ~n tel que - y + U c U I .
On a 9 d'apr&s la formule de Taylor
1 (P + ~lpl ( f (~ - y) - f (~ ) ) ~ ~ 11~1 sup Sup I~ ej ) f (~ ) l
Sup Pl Pn x 6 U I j x 6 U 8x I .. 3x n
oh e_3 = (6J I*°°°~ 6j n) et 6jk 4rant le symbole de Kronecker ~ doric
(p) [~ ~ ~lhlplM(p) a~ '~' (p) [~ ~ u I
Mais de la d6rivabilit6 de la suite M(p) r4sulte qu'il existe des constantes
A et H %elles que o o ~(p + %) ~ A ° H Ipl
o M(p)
13
!o14
Donc II ~ > (~(~ - ~) - ~(~))IIu,~
Pour tout ¢ > 0 ~ consid6rons alors
~ ~ = I , telle que le support de
<I, / U~, ~-
O
v6rifie - y + Uc U I
n II~I . (A o Ilfll ~ ) U I , ~-
O
E ~(N(p)~ R n) positive telle Rue
soit inclus dans la boule
et tells que tout point y du support de
. Soit, enfin, ~ E ~(N(p), R n) identique & un
sur U I . On a alors ~ * ~ f 6 g(N(p), O) e%
D (P) II~*~f-fIIu,h ~s~p Sup l~(y) ~ ....... (~(~= y)-~(~))dyl ~
h(P) (p) ~ ~ u M(p)
~(~(p), n) d~ ~o(M(p), ~) . Ce qui prouve la densi%@ de
La condition est ngcessaire0
Supposons donc
~ ~(~(p), ~)
Puisque
Nous allons la prouver par l'absurde. I
Ipl
' ~(p)
I
~(p)
(i) IP(k)i : IP(W)I (mod. 4) po~= (k, k') C ~ × ~ o
(ii) Ip(k)1 < IP(k + I)I
(iii) M(p(k)) ~ ~o Tp(k)I ~(p(~)) oh d ° est une constants positive°
Ecrivons (p(k)) = (P1(k),..o, Pn(k)) o Nous supposons que pour tout
j = I,..°~ n fix6 9 Is nombre pj(k) tend vers l'infini avec k ° C'ost
14
1.15
possible. Autrement, on va pouvoir extraire de la suite (p(k)) tune sous
suite telle que les hombres pj(k) ne d~pendent pas de k (pour ce j
particulier)o Alors, remplagant lss suites M(p) et N(p) par
M ' ( q l , ' " , %-1 ) = M(qt , " ' , qj-1, Pj, q j + l ' " " %-1 ) et
N ' ( q l ' " " %- t ) = ~(qt ' ' ' ° , q j - l ' Pj' qj+l ' ° ° ' ' %-1 )
on sera amen6 ~ faire la construction da~s ~n-1 • Soit ~ oette fonction
de (n - I) variables° Alors la fonction
Pj (~I, ., Xn), > xj ~(x1'''" xj-1' j+1 "' Xn)
de n variables r6pondra & la question. Et la condition (ii) entraSne que
Ip(k)l tend vers l'infini ayes k
Nous admettons pour l'instant le
LEM~IE 1.2-4.- Soi t N(x) 18 fono t i on associ~e & la s u i t e N(p) d ~ °
Alors il existe une oonstante ~ > I telle que
EX~ ~ N ( P l ' ' ° " Pn ) - N ( Y P l , . . o , ' P n ) ) = A o < + = (p) ~ ~n
+
o~ N d@signe l'ensemble des entiers striotement positifso - - + , ,,,, . . . . . .
Ceci ~tant, consid@rons la fonction
( I . 2 - 2 ) ~ ( x l , o . , X n ) = cos(plx I +.°+ PnXn) + sin(PlX I +°°+ PnXn )
(p) E ~n +
Exp N(?p1~..o , Ypn)
On a 9 pour tout (q) E ~n et pour tout x E ~n
15
1.16
2
ql % ~1 %
(~) s Sn (p) S ~ + +
2 Sup
xS~ n +
g, x(q) h
(p) c ~+
puisque ~(q)
Montrons que
v u ( i i ) e t
d ' e n t i e r e k
est une suite logarithmiquement oonvexe. Dono ~ E g(N(p)~ G).
~ go(N(p)~ Q) pourvu que 0 E Q o ii suffit pour oela
(iii) de voir qu'il existe une constante H et tune infinit@
tels que
t D (p ( k ) ) ~(O)! ~ H ! p ( k ) l N ( p ( k ) )
Or ~tp(k)t
~ Sup (z .2-3) ID( ; (k) ) ~(o)i : > , ~ ~(~;) ~+ (;) ~ .n (~) e
+
~!p(k)l
Nous allons oomparer cette derni~re quan%it@ avec
Soi% Xo(k ) = ( X l ( k ) , . . o , Xn(k ) ) E ~n le p o i n t o& es t at%ein%e oet%e
borne sup@rieureo Nous 6crirons x ° au lieu de Xo(J) ~ si auoune confusion
n'es% possible. Soi% [Xo] = ([Xl]~OOO ~ [Xn] ) o~ [xj] es% la pattie enti6re
de xj(k)~ j = I~ooo~ n o Comme les pj(k) %endent vers l'infini aveo k
les [xj(k)] le fon% aussi. En prenant une sous-suite de (p(k)) , noue
pouvone suppo~e~ que [xj(k)] % 0 . On obtient alo~
16
1.17
Sup ~(~(k)) ~o (p(k))
E R n E X ~ N ( ~ ) E~N(7~ o)
x (~(~)) O
[~o](~(k))
[Xo](P(k))
o
N(~[Xo])
21P(k)l Sup
(~) E ~F ~ +
~tP(k)l
eerie derni~re in4galit4, jointe &
ID (p(k)) ~(0)1 ( ~ ) lp(k)t
D@monstra ti°n d~ lemme 1,2-4 ~ Soit
(1.2-3) montre que
~o = (~1 ' ' ° ' ' & ) ~ ~ o~ soit
, ~ E S
r = Sup r.. Consid4rons la suite simple j :~(p)
De la condition de d4rivabilit4 sur
on d@duit, en notant par
la d@finition de N~
~(p) . i .e
N(p + e j ) g A H Ipl N(p)
(p(~)) le (p) E ~n qui r@alise le minimum, dans
Don c
• (p(~)) r o
~(~(z) + e~) r (P(~)) 0
N~ + 1 A ~ ( I . 2 - 4 )
N~ r
Soit~ enfin 9 t %
n(t) = Lo~ Sup --
% N Z
t £
t 6 ~ +
on voi% qu'on a encore
NZ + 1 A I ~ .g
N% r
r N$+ 1
9 la suite r6gularis6e de N~
17
1.18
D'ofl, en notant par m(t) le nombro des rapports . qui sont
N£ +I inf@rieurs & t > 0 , on a, tenant compte du fair que . est
N~ croissante en ~ °
m(t~ > (~og ~) / ~o~
~,,N.
~j_~ et N*(t) = Sup Log -~ = ,
N~ j = I
soit
~ t t *
0 u doric
~t ~(~) ~ - Log ~*_-o u
0
N o
et en int@grant de I ~ ? avec ? > I , on obtient
N*(7) - N*(1) ~ I Log I =
2 Log H 2 Log H
puisque H > I . ~L~is N*(?) = N(?ro) = Log Sup (P)
tenant compte que r = Sup rj , on a
~(ro ) _~(~ro) ~ _ 5o8~ ~oe °'~- n Log H
donc, en prenant Y > H n , on voit que
A 2 Log H
Pl
°.. ~--~)
(Z) E ~n +
C.QoFoDo
18
i.19
Dgmonstratioq de la proposition 1.2~I ~ D'apr&s la proposition 1.2-3 ,
2 A4 posons L(p) = M(p) qui appartient @videmment & ~/ ~ on a alors
g(M(p), ~) c go(L(p), O) avec l'injection canonique continue et d'image
dense. D'autre part, llapplication do go(M(p), O) dans g(M(p)~ O) est
manifestement continue, la densit@ d'image par cette application rgsulte du
fair que les fonctions exponentielles sont totales dans g(M(p), .q) et
clans go(M(p), O) • Pour la premi6re inclusion, il suffit que l'on cons~ruise
I
Ipl une suite N(p) < M(p) tells que lim = + =
t p l - ' + <= " " ( P ) " 1
I I f " " k i P l
Posons m£ : inf ~N(p)~ , ~ E ~ . La suite m£ vgrifie
( c f . [ 2 4 ] p . 1 0 1 ) ,~ . 1__ < + =
,6
On peut trouver alors une suite
m~
Soit N~ la suite r@gularis@e de
a~ec IM : ~ , posons PlP) :~ analytique satisfaisant &
lim
IPI-* + ~
tendant vers l'infini avec
~ et pour tout (p) E ~n
. La suite Nip ~. . est non quasi-
I
telle que
Par le lemme (1.2-2) , il existe une suite N(p) ~ v~ avee
I I
done lim ~ lim IP) = + ~
C.Q.F.D.
19
1.20
DEFINITION 1.2-I.- Nous notons N< M ou M> N
I
l i m = + ~
(p)
, s~i
2. Su~ l'i~tersection d~s e~pao~s ~(M(p~)
Notons par ~[ (D) 9 l'espaee des fonctions analytiques da~s D , on
salt par le thgor~me de B&ng-~[andelbroj% (of° [I] et [24]) que c'es% l'in-
%ersection de routes les classes de fonctions non quasi-analytiques. Donc~
de ia proposition Io2-I et du lemme Io2-2 ~ on volt que
s(M(p),n) = n So(M(p ),n) . ME.~
de la topologie limite projective de ces espaces.
e . ( n ) = n
On peut donc munir ~(0)
Avec cette topologie ~(O) est alors un espace de Schwartz complet~ comme
limite projective d'espaces de Schwartz complets. Notons par ~q(D) ce%
espace topologiqueo D'autre part, si N es% tun ouvert de ~n ~ l~espace
~(W) des fonctions holomorphes dans W admet une topologie d'espace de
Fr4chet nucl4aire~ & savoir la %opologie de la convergence uniforme sur tous
les compacts de W . On a donc une autre topologie sur ~X(O) & savoir
W parcourant un sysi~me fonda-
Notons par CII(Q ) cet esp~ce G
~I(G) dans (~.q(~) est continue.
celle de la limite inductive des ~(W) ,
mental de voisinages (complexe !) de
topologique. Nous avons la
PROPOSITION 1.2-5.- L'injection de
Les deux espaces ont mSmes parties born6es et m@mes suites convergenteso
(Comme nous ne faisons aucun usage de ce r6sultat dans la suite de oet
article, nous ne montrons pas cette proposition° Toutefois~ sa d6monstration
ressemble & celle de la proposition suivanteo)
20
1.21
De m@me 9 nous avons la
PROPOSITION 1.2-6.- Soi___~% M(p) 6 J~ . On a alg4briquement
~(M(p), o) : n ~) : n ~o(N(p), ~) N ~2, ~(N(p)' ~ ~
M<~ M < N
projective des g(N(p)S ~) avec M~N . L'injeetion naturelle de
~" Q) cst continue Les dcux cspaces on% nSmcs
pg~rties b orn@es et m~mes suites convergen%eso
D@monstration : Pour la premiere pattie 9 il suffit @videmment de montrer
que N~n N g(N(p), ~) c g(M p , ( ~ Q) . Soit f tune fonction ind4finimen%
diffgrentiable, nous allons montrer que si f ~ g(M(p)~ n) , il existe alors
une suite N(p) E ~ , N> M telle que f % g(N(p), ~) o Ce qui prouvera
l'inclusion oherchge. L'hypoth~se entralne~ en effet~ qu'il existe tun ouvert
U relativement compact dans ~ tel que
I
lira ( Sup D(P)f(~)hlPl (p) ~ u H(p) /
= + ~
On trouve alors une sous-suite (p(k))
!p(~)1 < Ip(k + I)! et tene q~e
des (p) 6 S n telle que
I
D(P(k)) f(x)l!P(k)!
S~p "M(p(k)) I x6U
k 2
k!q! ~i Ip(k - I)I < lq! ~ Ip(k)1 • On a don°
I
lim = 0
21
1o22
et comme M(q) E ~ , d'apr~s la condition (c) i et (c) ii 9 on sait
qu?il exists des constantes A et H telles que
(c i) M(p+q) ~ A HIPlM(p) pour tout (p) E ~n et tout (q) E ~, lq~ = I o
(cii) M(~)~(~.)~AE Irl + isl~(r+~) pou~to~s (r), (~) C ~n °
D'o~ d'apr&s (c i) ~ si k est l'entier tel que
IP(k - I)I < IPl + I ~ IP(k) l
' IM(p)klP IPI(_ k h, lpl ' N(p+~)=M(p k Ip + q~AH Ip +ql ~AH ~<--Z'~-I/ kN(p) + cl)
, I
Soit N(p + q) ~ A(4 H) Ipl N(p) si lql = I
D'apr&s (c it) , on a, tenant compte de IP(k) l < iP(k + I)I o
' ' Elri + Isl ' ~(r) ~(s) ~ A ~(r + s) "
Posant
et
I~(P)I N(x) = Log Sup ,
(P) ~(~)
+
on volt qne N(p) E J~. D'apr~s les r@sultats du nOl du paragraphs I , on salt
que les suites N(p) et N(p) d@finissent le m~me espace fonctionnelo En
consequence, on a aussi N > I~i . D'o~ lo r@sultato La topologie de gp(M(p),O)
@taut "une limits projective, la continuit@ de 1,'injection- c~nonique de
g(~(p), ~) sur gp(M(p), ~) r~sulte de la continuit@ de l'injection cano-
nique de g(M(p), ~) dans g(N(p), ~) qui r@sulte de la proposition Io~-I o
ll s'ensuit que si B est une pattie born@e darts g(M(p), O) ,elle l'est
dans ~(M(p), O) ° Pour voir que les deux espaces out rogues parties born@es~
22
1.23
montrons que si B n'est pas bornge dams g(M(p), ~) , elle ne le sera pas
darts 8p(M(p), ~) . Vu la structure topologique de g(M(p), n) , il existe
donc tun ouvert U relativement compact darts O tel que B n'est pas
born@e dans g(M(p), U) . Supposons que B est born@e dans l'espace de
Bauach c(q)(u) des fonctions (q)-fois diff@rentiables sur U (pour tout
(q) 6 N n) autrement le r@sultat est trivial. Comme pour tout H > 0 , on a
S~p ll~lM(p), u, H ~ f E B
+
%> u I 1 :~ c u I~tpl '~(p)l
on peut extraire tune suite
un ( p ( k ) ) 6 6l n
et tels que
fk 6 B telle que pour tout k 6 ~ , il existe
et un x(k) 6 ~ , tels que IP(J)I < IP(J + I)I
gp(k)),, fk(~(k)) 1 , ,
~(p(k)) klP(l{)l k
A l'aide de la suite (p(k)) , on d4finit comme pr6c4demment une suite Nip )
puis la suite N(p), r4gularis4e de Nip ) . On volt que B n'es% pas
born@e dans g(N(p), U) • Pour les suites convergentes, cela r@sulte du
flit que les parties bornges sent pr4compaotes dans ohacun de ees espaces.
CoQ°FoDo Par contraste avec la proposition pr4c@dente, 4nongons
P~PosIwIo~ z°2-7.- c c
u ~) f ~(~) et u ~) t ~) ~]1. ~(~(p)' - - N ~ e ( ~ ( p ) , e(M(p),
D4monstration ~ La premiere pattie r@sulte du fair que toute suite
M(p) v4rifiant la condition (c) satisfait ~ une majoration du type
23
1.24
(z .2 -5) M(p) ~ K ~ A lpl 2 .
route s4rie formelle ~, a(p) x (p) Or, pour
le %h4or&me de Borel~ tune fonction
D(P) ~(0) = a(p)
p1! ... pn !
, on sait qu'il existe~ par
ind4finiment diffgrentiable telle que
et par le lemme de Dubois-Raymond, il existe une suite
fair ~ aucune des majorations du type (I.2-5) •
La deuxi~me pattie r4sulte directement de la proposition (I.2-5) . D'une
faQon pr4cise, pour route f 6 go(M(p), ~) , on peut construire une suite
N(p) , N<M , vgrifiant les conditions (a), (b) et (c)(i) %elle que
f 6 g(N(p), ~) . (Note : on salt [32] quesi ~[(p) est dgfinie par une
a(p) qui ne saris-
x(p) = .~ , ~i Ipl = ~ 6 ~ alors la condition (c)(ii)
(a) . On volt donc~ en particulier, que l'on a
8(N(p), n) darts l e cas d'une seule variable.)
suite simple~ i.e.
est cons4quence de
~o(~p~,~ J ~) = U ~EJI
Montrons oe fait•
tout compact K C Q
telle que~ quel que soit (p) 6 ~n
f appartenant & 8o(M(p), O) , on sait donc ~e,
e% tout h > 0 , il correspond une constante AK~ h
I IM
Consid4rons alors une suite croissante K~ de compacts contenus dans
%elle que~ tout compact K c O est contenu dans l'un des K~ .
Posons ~ = A I , on peu% supposer que la s~te ~ ...... > ~ est 5, Z
croissante. Pour chaque ~ 9 il existe alors (p£) tel que
24
1.25
I
-~i Ipt ~ Ip~l , on ~ IA~I Ipt
On s'~rrange pour que I~ suite p~
et suffis~mment rapidement pour que
soit strictement croissante avec
P£+1
2, = 1 k = p~ Mk + 1
w
oh ~ d@note toujours la suite r@gularis@e de
On voit alors qu'en posant
~k = i~f M(p)
IPl = k
NIp) = - M(p) pour Ip~l ~ Ipl < Ip~ ÷ II
et pour tout £ donngs posant
Ipl ~ Pl
on a, pour tout (p) I
Ip~M Ipl 31PI(~ ~) ~ AlPl '
Ce q~i p~ouve que f ~ ~(NIp), ~) . Enfin, 13 oon~itio~ (1.2-6) mozt~e
que ia suite Nip ) est non quasi-analytique et, d'apr&s sa construction~
qu'elle v~rifie ~ussi
A(2 ~)Ipl ~ A ~Ipl ~Ip + ~j) Nip ) si ~(p) + (ej) ~(p)
Donc la suite . ~(p)
~(p) = Sup ~dP) E~(-~'(~))~ ~eo N'(~) = Lo~ Sup C ~ " (p) N(p)
+
v@rifie les oonditions (a), (b) et (c)(i) dono aussi (c)(ii) dans le
oasoh ~(p) =M(q) si Ip! = lql •
25
1.26
PROPOSITION !.2-8o- So it U c U I et seit H < H I
est m@me nucl6aire, of. [35]~ voir aussi [31].)
. Alors l'injection
est compacte. (Elle
D~mgnstration : La boule unit4 de ~(M(p), U~ H) est 6quicontinuc.
En effet, cos fonctions sent uniform4ment born3~s. II en est de m~me de
chaque d~riv6eo Donc si ~n est une suite d'gl4ments de cette boule~ on
peut en extraire, par proc~d4 diagonal, par exemple, une sous-suite ~n(j)
qui converge~ ainsi que les suites d4riv~es~ uniform~men% sup U 9 vers ~o "
Done ~o es% ind4finimen% diff~rentiable. D'autre part, pour tout ¢ > 0
il existe (pc) E N n tel que quel que soit
H Ipl Ipl~ Ip~l ~ o~ ~ <
d'o~, pour tout n(j) , on a
Sup ( Sup < C
Mats ~n(j) convergeant vers ~o uniform@ment darts U , ainsi que ses
tel que, pour tout In(j)1 > ~ , on ~it d@riv4es, il existe un n o o
( ) ...... < ¢
oe q~ prou~o que %(j) oon~e~ge ~ors ~o d~s D(M(p), u I, H I) .
CoQ.F°Do
IIen r4sulte que ~(M(p)~ U) = U ~(M(p), U, H) est uu espaeo H>O
26
1o27
du type dual de Fr4ohet-Sohwartz oomplet, done ~(M(p), ~) @rant limite
inductive stricte d'une suite de duals de Fr@ohet-Schwartz complets est donc
encore un espaoe du mGme type.
De son c~@, ~o(~1(p), U) -- Cl H>O
Schwartz~ donc aussi e-o(M(p), f~)
g(M(p), U, H) est un espace de Fr@chet-
De m@me~ ~(M(p), ~) est tun Schwartz
completo Notons qu'on peut v6rifier que ces espaces sont m@me nucl@aireso
Nous utilisons la propri@t@ suivante de ces types d'espaces pour l'@tude
de l'inversibilit@ d'une ~quation de convolution°
PROPOSITION 1.2-~.- Les estates E e t F @tant du type ~-S o_~u ~ S
u ~e a~lication lin@aire continue de E dan s F o Pour ~ue la transpos@e
d_~e u s oit s ur~eotive, il faut He t il su/'fit que u soit in~eotive et ~ue
u(E) s£it ferm@e ~our des suites~
(Volt Grothendieok [15] pour une d@monstrationo)
Nous allons montrer maintenant que pour tout ouvert oonvexe ~ ~ l'espaoe
~'(M(p), ~) et l'espaoe go(~(p)~ ~) sont des espaces analytiquement
uniformes au sens de Mo Ehrenpreis [12] o Nous rappelons d'abord ce que n~is
entendons par espaoe analytiquement uniformeo
Soit W un sous-espace vectoriel de l'espaee des hyperfonctions d@finies
sur ~n o Suivant Ehrenpreis (qui ne consid~re que le cas des distributions)
nous disons que W est un espace analytiquement uniforme s'il satisfait aux
conditions suivantes
Io L'espace W est muni d'une topologie d'espaoe vectoriel topologique
localement convexeo
2o L'espace W contient toutes les fonctions exponentielles [ioeo pour
tout z E C n les fonctions (x, > Exp < ZoX >) E W ] et ces fonc-
tions y forment tun syst~me total~
27
i.28
L'axiome 2 a la cons@quence qu'on peut dgfinir la transformge de Fourier
d'un @l@ment de W' . Soit f E W' nous d@signons par f la font%ion sur
C n d4finie par z. > f(x, .... > exp i < z, x >) • On a alors l'axiome suivant
3. L'espace W est r@flexif et une topologie sur W' , dual de W
compatible avecla dualit@ (W, W') peut @tre d@crite par la donn@e
d'une famille ~ de fonctions continues de la mani&re suivante
Pour route h E ~, on lui associe l'ensemble W h o~ par d@finition
^
zE C n
Alors les W h forment un syst~me fondamental de voisinages de zgro
darts W' . On impose de plus que
~hE~ , V fEW' , lim = 0
Lea espaces ~'(M(p), O) et go(M(p), ~) @taut des Schwartz complets
sont donc r@flexifso Des propositions (I~I-2) et (Io2-I) , on sai$ que les
fonctions exponentielles sont totales dana go(M(p), O) ,donc aussi dans
23,(M(p), . a oir le sultat, oonst ire la ?@ & l'aide de la cor~vexit6 de ~ .
Nous commengons par construire une famille auxiliaire E . Consid@rona un
recouvTement de 0 par une suite de compacts convexes K~ telle que O
K~ O K~_ I , K ° = ~0] ° (On peut supposer que 0 E O en faisant~ au besoin,
une translation.) . Soit H~ la fonction d'appui du compact K~ ~ i.eo
V z E C n , H~(z) = Sup (-< x, Im z >) ot H (z) = 0 O
xEK£
Notons que la fonction H£ est ~ valeur positive puisque 0 E K% o A tout couple ~ = [~} , V = IVy} de suites de hombres sup@rieurs ~
tendant vers l'infini~ on associe une fonction k de la famille E eomme suit
28
!°29
Soit F~ = { z 6 C n III Im zll = n + ~ Log ~(llRe zll + J) } et 1" = ~n 8£ o
o~ 5~ = d(l<~ , [K~+j ) > 0 . Nous supposons que les compacts K~ sent
choisis de telle mani&re que les 6£ ~ n + I . Pour chaque
off, rappelons le, 9~(z) = Log Sup I z(P)I (~) lpl
~Ip! M(p)
z 6 FZ ~ on pose
P o u r e h a q u e z E C n
on dgsigne par L(z) l'ensemble des entiers Z tels que z 6 F~ .
k(z) = inf (kz(z)) ~ ~(z)
On pose
pour tout z 6 U F Z •
Soit~ r6capituiant~ g chaque couple
D(~) = O F~ sur lequel est d6finie la fonction
varier {~ ~} ~ l'ensemble de cos fonctions k
Nous montrerons que los ensembles convexes
[~ 7] ~ on a associ6 un ensemble
z~ .... > k(z) . En faisant
constituent la famillo E
z ~ D(~) 'k(z)'
d@finissent une topologie sur
~(N(p), O) et D'(~(p), a) .
Pour d@finir la famille ~ , nous allons prolonger les fonctions
la mani&re suivante°
n + I Soit H~ = H~(~) = [ z 6 C n, i!Im zll ~ T Log ~Z(IIRe zll + I) }
Pour chaque z = ~n
Consid@rons la fonction
~(N(p), O) compatible avecla dualit@ entre
k de
29
!.30
dgfinie sur ~(~) = U ~ o On volt, grace au th@or&me de Phragmen-LindelSf
~ue si ~ ~ ~(p), Q) feb conditions Sup |~, zJ/| '~I ~ I et
Sup I ~ 1 % I sont @quivalentes. Dono les ensembles convexes z E n(:~)
V'(~, ~ ) = [ ~ E ~(M(p), Q ) I Sup t k , ~ l < 1 } E ~(~)
sont 4quilibr4s et absorbent les parties born@es de :~(~(p), Q) . Nous
4crirons k'~,7(z) pour k'(z) pour explioiter la d@pendance de k I par
rapport au couple (~, ~) . Consid@rons le couple 8 = {~o' 2 ~1 ,o . , 2 ~ n , . . }
e t 7 o On a a lo r s n~(8) D n~(~) e% k ' 8 , y ( z ) ~ k ' 7(z ) pour tou t
z E ~(~) . Soit enfin ~z,y une fonotion d@finie sur C n continue et positive
telle que
~,,~(~)
k's,y(~) si z E n(e) - n(~)
> - ~ : ~ l ~ l 2 si = , ~ n ( 8 )
L'ensemble de telles fonctions h oonstitue la famille ~ o On voit~ pour
tune telle h ~ que l'ensemble convexe 4quilibr4
absorbe les parties born~es de ~(M(p), ~) . Comme ~(M(p), ~) a u/qe
topologie bornologique 9 l'ensemble W h d4fini% donc tun voisinage de z4ro.
Comme W h c V k , la topologie d@finie sur ~(N(p), Q) par la
famille ~ est plus fine que cells d@finie par la famille K ~ done
compatible avee la dualit6 9 pourvu que la topologie d6finie par la famille K
le soit.
30
i .31
Pour voir que
fonctions k~(z)
go(M(p), ~) es% analytiquement uniforme, on remplaee les
p ~ ~ ( z ) : % o~ (R~(~) + ~ ( ~ ) )
D@monstration :
d'~bord (1.2-7) .
contenu darts un
A
I~ (p) ~(z)l
si
Donc, il existe tune constante
PRO£OSITION 1.2-I0.-Pour tout ouvert convexe Q . Les espaces
~'(M(p), O) et go(M(p), Q) sent an. alytiquement unifo.r.mes.
Nous ~iso~s I~ pr~u~ pour 2)'(M(p), Q) • Monitors
Soit ~ 6 ~(M(p), Q) o Le support de ~ est donc
K~ , d'o~
~) A hlpl _- l~(D(P)~(~))~-p(i < ' . ~ ) , ~ 1 ~ (F~ ~e(~))(J'K e M(p)
ID(P) ,~(x)l ~ A hlpl M(p) o
C > 0 telle que
(7.2-8)
Ce qui prouve que si
lim Ikj~l = 0 limi%e uniforme en
limite est encore nulle pour
pattie enti&re de
j m ~ ~ on a, lorsque z E F. 3
soit pour z 6 F. J
; < % .Soit ao su~ "4t xeK~
(n + 1)a + I • Comme pour j < % et
6. J
, Izl~+ = ,
j , j ~ # . Montrons enfin que cette
e% soit a la J
z6 gu , ona
0 g H~(z) - Hj(z) g a IIIm zll
~(n + I) 6. J o ~ ~ ( ~ ( ~ ) - Hj(~)) ~ [~,j(~ + lIR~ll)]
a.
31
1.32
P o u r z E F. et j < Z , on a encore 3
0
avec
Xj - ~o z E F . ' 3
c sup I1=II ~ . (~ + IlR~ =11) .m~ (=) - M " o z E F . 3
J
aerie derni~re quantit~ est born@e. En effet~ la suite M(p) 4rant d4rivable 9
les hombres ~. e% a. @tant donngs~ il existe tme constante 5 belle que 3 J
~" Z < V z E C n , [ IzI l (~j(1 + l lzfl)) 3 E x p ( - M ( ~ ) - 6 E x p ( - M ( ~ ) )
done
0 < k. ~ C66 Sup 3 o Cn
zE
-
Cette borne sup@rioure est atteinte puisque Y = (FZ)Z E ~ est une suite ^
I1~1t tena vers l ' i n f i n ± a v e c z E r . , m6mo s i j < Z . D'oa (I.2-7) . 3
¢e qui prouve aussi, vules born~s ae ~(N(p), O) , que los ensembles
V k absorbent routes los parties born4es de ~(M(p)~ Q) . La %opologie
agfinie par 1~s v k est moils fine q~e l~ topoZo~io i~iti~le de ~(X(p), O)
oar cette derni~re est bornologiqueo
Afin de mon%rer qu'elle est compatible aveola dualit4~ il nous res%e
voir qu'elle es% plus fine que la topologie faible° Pour cela~ soit
T E ~'(Mt ~ Q) ~ montrons qu'il existe un V k tel que ~ E V k entra~ne ~P)
IT(~)I ~ I . D'apr~s le th4or~me (1.1-3) ~ on salt qu'il existe une suite
~(p) de mesures tellGs que
32
1.33
(x.2-~) v ~ ~ ~(~(p) , c) ,
et que
(I.2-10)
Poso~s
V v > 0 et V ~ 6 ~ , on a
Pour ~ donn@~ chacune des s4ries
(p)
cenvergente ~ donc I' entier
tel que pour ~ = I, 2, o..,
r D(P) T(~o)
(:o)
K~
B(p) (~) N Ipt es% absoltunent
N ~tant donn4~ on peut trouver tun entier PN
N ~ on ai%
B(p)
I p l
Posons alors ~f;j : N pour PN -< j < PN+S . La suite J-(~/~)J E ~ tend
vers + ~ avec j . On pose pour chaque Z
% = zX~"B(P)(~)(~'Ipl)Ipl -~-p ...... ~ Z p -- ) . " + +
(p) j > ;~
1 , , < + ~
2J+ 1
aono, si ,p ~ ~(~(p), o) es~ ~ene que pour to~¢ ~ ~t ~o~
(~, )IP! ( t . 2 -~ ) ~ ~ K~+IS~P _ ~ l ~ (p) ~(~)1 ~ ~+11 ~ lpl ~(P)
(p)
On a~ d'apr~s (1.2-9)
1 ~-~+ ) , ~ > ( ~ i P i ) ! P t ,1 ~I r
soit IT (~)1 ~ i .
33
1.34
Ii reste A voir que la condition
du type suivant
(1.2-12) ¥ £ ~ V z 6 F~
(1.2-11 7 est consgquence des conditions
o~ k~ est associ@ aux suites ~ = (~Z)Z ~ ~ et 7 = (7~)Z 6 ~ •
= i, i e- < o~ ~(~) ~(~) (~)n d~
On effectue tun changement de contour d'int6gration ~ on int6grera sur la
vari@%@ ~ ~ > ~ + i [~ Log ~ ( 1 + II~II)] ~o ' { E ~n} aveo ~o E ~n
d4pendant de x mais non de ~ ' hell o i et o~ Vest une consta~lte
r@e l l e . Ce changement de con tou r d ' i n t @ g r a t i o n es t a d ~ s s i b l % en c f f e t ~ en
effectuant tun changement de coordonn4es orthogonales dans ~n y~---> ~ qui
famine (0,..., I) ~ ~o on a
Posons j(t) = j~(t) = v Log ~(I + [yl 2 + °.. + Yn_12 + %2] I/2 ) et
Lo~ % ( 1 + tMt ) A~ = Sup . Soi t ~(R) l ' i m ~ e d ~ s C~ de [ - R , + R]
par l'application t ..... ~ % + i j(t) parcourue dans le sens des t croissants
et L+(R) l'image dans C de [0~ j(R)] par l'application t, " > + R + i%
parcour~e toujours dans le sens des t croissants. Considgrons enfin la
fonction d'une variable Yn .... > f(yn) = (~(y))(P)[Exp(-i<~(y)oX>)] ~(~(y))
qui se prolonge en tune fonction enti~re on k C C . On a
+
34
1.35
Et pour
o n
k ~ L+(R) ~ compte tenu de l'inggalit@
l~(z)l g A Exp ~ Him zll - N~)
+ 1)1~1(t1~1 + 1)1~1(I1"~ ~tt + ~ ) ~ + 111~1.]
Yn =R
done les deux derni&res int@grales de (1.2-12) sent major@es par
C(,~ + ~)1~1(11-~1 + ~)1~1C,~(1 + IINI)~ x + 11141 . . . . . . . . . . . . . . ~ ~o~ (~(~ + i1~i)))
qui tend vers zgro quand R tend vers l~infini. Co qui justifie le changement
de contour d'int4gration. Notons que ce changemen% de contour est lggitime d&s
que %o est ind6finimen% diff@rentiable.
S o i t x E ~n • S i x ~ K~+ 1 , l es K Z @tent convexes d 'apr&s H~h_u-Banach,
on l u i assoc ie u~ vec%eum u n i t a i r e ~o = ~o ( x ) ~ ~n t e l que
( z , 2 - ~ ) ~z ( i ~o ) + < ~ '~o > : - ~ <- - ~
Soit V !a vari4t4
done V c F~ ° On a
~ ~ " ' > z (~) : ~ + i L 6~ ~
(~)~ ~n ~(~(~)) ~(~)
par changemen¢ de contour d'int4gration. Vu la fo]:me de la fonotion k~
tenant compte de (1.2-13) ~ on a
<_ O
b s ( n + ~)
(~,)~
e±
b~(n + 1)
+ I1~11 )) 6~ 1 ( -
35
I .36
Comme
1 ~(~11(~ + tlztt) n+~ 1~(~)1(~ + 1~1 +. .+ t~nl) ~+~ = W C (q ) l~ (p + O I
on obtient
1D(P)~(x)I
1~ + ql h (n + 1) n+l ~.~x (M(p + q) ",t
I ql ~ n + t 1:o+,~I t
~. t @ )n+l ~" IP+4-, [ 2 ~ (~)n ~'7"/ (n + ~)n+~ M~: k~(p+q)Vl~,+ U
tql ~ n+l . ~n (I + tI~tl) n+~
Puisque ~ a 1 et puisque l a suite M(p) est d@rivable, il existe une
oonstante Co d@pendant seulement de la suite M(p) telle que
( I q l ~ + 1 (2 )n !n 2 d--'--~-~ C 0 (1 + II~ll) n+l M(p)
dons la suite V~ @rant major@o croissan~e~ on a
ID (p) ~o(x)l < k~-~') IPl + n+1 C o M(p)
I pl + n+1
sette quan~it~ se~a ~ajo~e pa~ 2 ,e+~ B e Ipl M(p)
et 7 deux suites tendant vers l'infini telles que
I
, si on prend pour
V~+n g V~+n+1 g (V~ + n $-]-
C.Q.F.D.
36
1.37
4o Les %h4or~mes de Paiey - Wiener
Pour tout compact K de ~n , on d4fini%~ rappelons-le~ sa fonc%ion
d'appui HK(Z ) = Max (- < Im Z o X >) .
x6K
Cette fonction es% positivement homog&ne et ne d4pend que de l'enveloppe
oonvexe I~(K) de K .
THIDP~ 1.2-11.- Pour qu'une fonction enti&re f soit la transform@e de
Fourier d'une fonction ~ £ ~(M(p)) (res~o d'une ultradistribution
~ ~(M(p)) , ~esp. ~ ~ ~'(M(p)) ) de support oonte~u d~s F(K) , i~ f~ut
et il suffit qu'il existe dez constantes A e_~% h striotement positives
telles que
ot dans le cas g'(M(p)) ~ il faut et il suffi% qu'il existe A e% unc
suite (?p)p 6 ~ tendant vers l'infini telles que
La premiere et l a troisi~me pattie se %rouven% dans Roumieu [32] sous
ulqe forme l@g~rement diff@renteo Nous n'insistons pas° Donnons la preunre
pour que f soit la transform4e de Fourier d'~ne T E g'o (M(p)) o C'est
ngcessaire oar T 4~ant continue sum go(M(p]).. , il existe une semi-norme
II llK,h sur ~o(M(p)) tone que
Consid4rons la famille des fonctions
X " > ~(:) : E~p (- HK(: ) - ~:~ + i < ~.:>)
37
I. 38
On a pour tout z 6 ~ ,
l~i~](P) <
(p) : ~ ~ ' ~ ( p ) o~>)13 -< 1
et ~(~) = [~m[-~(z) - ~(~)]}~(z)
d'oG
Pour la suffisanoe,consid@rons une suite N(p)E/~
On sait [32] alors,que f es% la transformation de Fourier d'tLn
don% le support est oontenu dans F(K)oI1 nous reste dons ~ nous
que T se prolonge par eontinuit@ & go(M(p)) . Mais pour tout
telle que N ~ M .
T~'(N(p))
assurer
de forme exponentielle i.e. ¢(~) : ~(~) = Ex~ ( i<~.~> ) s~tisfai~a~t
On a T(~z) = f(z) . Done de notre l'h3~oth&se sur f , on a
II~zI!K, h ~ I implique !T(~z) ! ~ A
Les fonotions exponentielles 4tan% totales dans 6o(M(p)) yon voit que T se
prolonge bien & go(M(p)) .
Nous allons ggn@raliser ce r4sult~ au cas de support singulier (compar~r
aveo le th4or~me 1.8o16 de MoBjSrk [2]). Soit S E~'(M(p), Q) nous d4-
finissons le support M(p)-singulier de S comme 6rant le plus petit ferm@ en
dehors duque! S est ind4finiment diffgrantiable de la classe 8(M(p)) •
~I(p ) -singulier
j > O~il existe
Y(J):(~(J)]
II vient le
THEO~ 1.2-12t- Pouzg que SEZ'(M(p)) a_~t son support
dans un oompaot oonvex~e K ~ il suffit que pour tout entier
des cons tantes positives A. h. et une suite de nombres .~os.i%ifs 3 , 3
tendant vers l'infini avec m , telles que
3S
1.39
(I.2-14) V z=~+i~E C n satisfaisant ~ II~!I ~ J N( hj {) ,on a
La condition es% aussi n4cessaire si $a suite M(p) est tells ~ue
( 1.2-15 ) Pour tout ~ >O?il exists dj > 0 tel que j M(x) g M(djx) d&s
D@monstration ~ Nous allons montrer que l'hypoth~se entrains que~pour
tout ouvert U oonvexe relativement compact tel que d(K~U) > O,la restriction
de S & U d@finit tune forms lingaire sur D (~(p), U) continue pour la
%opologie induite par celle de 6'(M(p)~ U). La rgunion de %els U oons$ituant
le compi@mentaire de K ~ S a donc K pOILT support ~(p)-Singulier.
L~ouvert U @%ant donn~, il exists un entier j tel que
2
i i l e x i s t s don.c I]o E R n, ] l~ol l= 1 t e l que
2
Soit
2
Pour o a l c u l e r S(<n) , (~ ~ ~ ( M i P ) ' U) , on va se s e r v i r de l a f o r m u l e
de Parseval et on d6forme la vari6t4 d'int6gration. Consid4ronsgen effet,la
vari4t@ V dams ~n l'image de ~n par application ~ ---> ~+i(j2j(~))i]o
oh o~pose J(~) =~'~( ~ ) o om a
Ce changemen% de vari@t4 d'int@gration se jus%ifie ~oar z --- S(z)~(-z)
est tme fonction entier satisfaisan$ aux estimations qui suivent ~ la fon-
%ion ~9 @rant dams ~ (M(p)~ U) ~ i l exists des oonstantes A o e t B o t e l l e s
que
39
1.40
• enan% oomp%e de (Io2-14) e% (1o2-16) ~nous avons ~ pour %ou% z = ~+i~
aveo I] = ¢~I]o et 0 < c! ~ j2 j~) , l'estimation
o
- - - . , %)- M( }o ) ] ~ Ao A.2 ErP [ 0
1~ ~ ~(~)I s~ 1~ ~(~)$(-~)! ~ Ao A~iJ ~(~)!~[~)-M(~ i~o~) ]--~o
oe qui justifie le changement ~e varigt6 d'in$4gration grace au %h6or&me
de Cauchy o
D6sig~lons par W(Ao) l'ensemble des ~ 6 ~ (~[(p), U) %elles ~o
on voi% alors que,pour route ~ E W(Ao) et tout z C V
Mais lim [M(X)//~ ~,~, ,] =
I1 existe donc une constante C o %elle que
~6W(Ao) , !S(~)! =__L_ vS (
3
dz i <: Co
oe qui prouve que S se prolonge par continuit4
la restriction de S £ U est un 614ment de
( Rappelons que ces espaces sont r4flexifs. )
s( M(p),u ) .
40
I. 41
Mon%rons la n@cessit4. Soit j tu~ entier donn4~ consid4rons un
ouvert U. contenan% K~ tel que la distance de K & U. soit infgrieure 3 J
I ( p ) '
eompl@mentaire de U. °
Posons S I = u_ 3 S et S 2 = S - u. S ~ oe dernier est une fonotion
de~(M(p), Uj) . I1 existe don°, d'~pr~s le th4or~me (I°2-11) , ~e
suite ~ = (~m(J))m6~ tendant vers l'infini aveo m et des constantes
positives h1~ h 2 et h telles que pour tout z 6 cn , on air
A
mais de (1.2-15) , i! existe un d. > 0 , tel que 0
h 2 j ~I(djx) g ~(hx) d~s e ue llxll est assez grand.
A ~ono, S2(~) ~e~te bo~e ~ [~ ~ C ~ I ll~ll ~ J ~(~j~)}° 0~ peut
alors %rouver une constante 8j > 0 telle que
¥ = ~ + i ~ ~ c ~ , ll~ll ~ J ~(~j~) , o~ ~it
A A I l~(z)l ~ Is1(Ol + Is2(z)I ~ ~j ~ [~(z) + 7 tl'nit + N(g)]
o.q.f.d.
Notons que les suites N(p) = [(p)!]~ , ~ > I , d'une classe de Gev~ey
v@rifient la condition (io2-15) o
41
1.42
5- La formule de Leibnitz - HSrmander g@n4r~lisge
Nous allons g4n4raliser la formule de Leibnitz-HSrmander au cas des ultra-
distributions. Soi% S une ultradistribution ~ support compact, d@finissons
S (q) (o~ (q) 6 ~n) par la formule
(~)n ~I "'" ~
En d~ign~t p~ (3 ~)(P) i~ fo~otion x, > (i ~1 )pl o.. (i ~)Pn on
S (q) : (i x) (q) o S • II vient
PROPOSITION 1.2-13.- Pour route prolongeable entuue fonction ,enti&re
~ c n )) et V~ ~,(~(p)) , on a alors V S 6 g'(M(p --
(I°2-19) S * ~ T = ~-~ ~ (D (q) ~)(S (q) * T) @
(q)~g~
D~monstration Comme ~ est enti&re~ on a
et (1.2-19) en rgsul%e.
PROPOSITION 1.2-14.- So if S = P(D) tun op@rateur diff@rentiel d'gr.dme
infini de la cl~sse M(p) alorsl'@g~lit6 (Io2-19) est valable pour
D~monstration : Pour (q) 6 N n et k E ~ notons par ~n(q~ k) le sous-
ensemble des (p) = (pl,.O., Pn ) £ ~n %els que PJ + "'" + Pn m k e% que
Pl ~ ql ~'''~ Pn ~ qn '
Soit P(D) = Z a(p) D (p> P(D) Z ~ (P-Pk)+Pk nous 4orirons = + • =
Ipl~k Ipl~k
42
I .43
Alors ~Ve C
(p - q)1 (p) ~ .n(q,k)
Comme P - Pk = Z a(p) D (p) est un op@rateur diff@rentiel~ la
Ipl ~ k
formule (I.2-19) est v@rifi@e pour cet op@ratouro Pour avoir la proposition
il suffit done de montrer que pour route T E ~'(M(p)~ ~) et route
(i) ~ (i)lql (D(q) ~)(P~q)(D)T) converge vers Jk dans ~ ' ( M ( p ) , ~ ) (q)~
(q)
(ii) La suite des ul%radis%ributions Jk converge vers z4ro
(dans ~ ' ( M ( p ) , O)) quand k tend vers l ' i n f i n i .
C'est & dire que pour route ~ E ~ ( M ( p ) , ~) , on a
(1.2-20) Jk(~) = ~'~ (i)lql (P~q)(D)(D(q) ~o~))(0) • (q)1
et que cette expression tend vers zgro qu~nd k tend vers l'infinio On a
c! h) , ID(P-h) ~I I÷~I
(p-q) ~ (h)
(q) p11 ... pn I o~ C(p) =
ql I " ' " % ' (Pl - % ) : " ' " (Pn - % ) t
~i~ ~ ~ ~(Mrp~), ~ et ~ ~ 2D(M(p), n) . n e~iste don° ~e const~te H O
43
1.44
%elle que
(h) Ipl+ 1 Z C H (p_q) o
(h) ( ~ (h) ~ (p-q)
M(p-h)M(h) VxEO 9
D'autre part~
Enfin de
M(p) 6 ~, il existe done une constante
~(p-h)~ %lpl +I M(p)
(h) 21pl ~oit ~ fo~io~i c (q) ~-~ C ~ / • (p) (p) (h)
(h) ~ (p)
~o > 0
21pl
telle que
, on tire
_~ H IpI*I M(p)
C (p)
o~ H I ~ 4 ~o Ho . Done
( I .2-21) ~ l~ (p)HIIPI÷I M(p)l
(p)
On @cri~ Jk sous la formc
(I.2-22) Jk(~) = Z
(q)
L~ seconde somme no comporte au plus que
lq1~k lql<k k
I- n ...... multi-indices (q) I -n
on a d'apr6s (1.2-21)
(~.2-23) I Z <P~q) <~'tq) ~'D(q)c~))(O)l
l~1<k
1_n k
(p) (p)~(q),k
Ipt÷1 ~(p)1
44
1.45
Dams le %erme Z de (I.2-22) , le coefficient a(p) n'apparai±
I~I ~
qu' au plus 1 -n
Z'e~ression ~(~) ~ue s~ (~) ~ (p) .
1 - ~1~1+~ f o i s~ puisque ce c o e f f i c i e n t n~ in te rv i en~ darts
Done .~
Z C - ~ I p I + ~ lp l+ l 1 - n ) l a ( p ) ~ l I~(p}l (P}
(;)~(q),z
Les estimations (I.2-23) et (I.2-24) jointes au fair que P(D) est de
la classe M(p) montrent que la sgrie d4finissant Jk(~) est absolument
convergente et que Jk(~) tend vers z~ro quand k tend vers i'infini.
Contre-exemple : L'exemple suivant montre que In prapesition 1.2-14 ne
se g4n@ralise pas au cas o~
Soit s = 8(x- a)
Notant par < , >
nous avons alors
V ~ 6
S n'a pas pour support l'origine.
la mesure de Dirac placge au point x = a et pour n = I .
l'acooup!ement dans la dualit4 ~M(p)) , et - - ~ I ~ ' ( M t P ~ ) '
Si on veut que la formule de Leibnitz-H~rmander se g@n~ralise 9 on dolt avoir
~(x) ~(x} = ( { a~q c,(q}(x + a)) ~(x} q! q=O
C'est & dire que la fonction ~ doit ~tre prolongeable en une fonction
45
CHAPITRE II
Sur le module minimum des fonctions analytiques complexes
I. En rue de leur application & l'4tude du probl&me de l'inversibilit4
d'une 4quation de convolution~ nous groupons ici quelques th6or~mes sur le
module minimum des fonctions analytiqucs de plusieurs variables complexes.
Le %h4or&me II.I.1 est d~montr6 sous une forme un peu plus faible par
HSrmander (cf. Lcmme 3.2 p. 154 [17]) et pour le c~s des polynSmes par
Malgrange (Chapitre I. Lemme I. p. 286 [22] ).
THEOREME II.I.1. - Soient f
f/g soit en$i&re. On a alors
(II.I.1) V z E C n ,
If(z)/g(z)l ~ sup If(z + c)I sup Ilcll ~ p Ilcll ~ p
Prenant ~ = 3r , ii vient
e_~% g deux fpnctions enti~res telles que
p > r > - O
2 , r , ~ + r
l ~ ( z + c)t ~ - ~ 1~(~. /11 c:llSUp~ + C )I p -~
COROLLAIRE II.I.2. - S ous les m6mes ~,ypoth~ses, on a ;
V z ~ et V r > o
D~monstration. Soit Co E C n , IlCoil = 1 t e l aue
On consid&re la fonction d'une variable complexe
X , > ~(~ + X Co) / g(z + X Co )
46
Ii.2
C'est une fonction enti&re en
F(k) = f(z + k ~o ) et
!a fonotion k ' > Log 1F(X)/G(X)I
<- sup e6~
I • Posons
G(x) = ~(~. + x ~o )
est alors sousharmonique. On a donc
Log IF(0 eiellae Loe IG(P !a 0 0
Log iF(p. ei~)l _ ~I ~2~ Log !G(P e i8)Id8
O
Pour majorer l'int4grale, nous allons consid4ror la fonction sousharmonique
X , > Log IQ-qi!l! , ~ A T I V E p o u r !Xt g P o~ G = Max IG (p eie)j O o 86~ o
2 2 Compte tenu de P ..-.I g p - r = N(roiV peie)
p + r Jpe i8 - reiVj 2
On a
G(re i~ i ~7 n ( p i8,
G G o 0 o
p +r 2n O Go
Soit
2 . 0
, p + r L o ~ T G ( = ~ i ~ ) l + ( t P ~ r ) L o n g L o g I G ( p e i S ) J d e ~ P _ r ' • - p - r o
L'in~galit4 ~tant v~rifi~e pour tout V E ~ • Donc le terme Log IG(reiV)!
peut gtre remplac~ par Sup Log !G(rei~)l : Log !g(z + r ~o)I et pot%grit ~6R
ceoi dans (II.I02)~ on obtient
~og If(~)l~(z)1 ~ s~p Lo~ If(~ + ~ ~o)I + p2~ sup Lo~ 1~(z + ~ ~o)! I~I ~ P - = !~I ~ p
P+ = Log I~(~ + = ~o)Y p -r
47
II.3
soit, afortiori 2r
I f (Z ) /g (~ . ) I ~ Sup ! f ( z + ~) l Sup Ig (z + ~) l p - ~ P' '+ ~ • lcl ~ p Ict < p ' / ! ~ ( z + r~o) l ~ - ~
C .Q.F.D.
Une variante du th6or~me II.I.1. : Soit r = . (r1,o.o , rn]. 6 En o +
Pour tout z 6 C n , nous @crirons (z) ~ r ° , si on a zjl ~ rj , j = 1,..n
I1 vient le
TKEOREME II.I.3o - Soient f e__~t g deux fonctions enti~res sur C n ,
%elles que f / g soit en t i ~ re , alors V %6 < e_.~% V z E ~n , o.n..a
I f ( ~ ) / ~ ( ~ ) t < Sup l f ( ~ + ~)1 Sup t~ (z + ~)1/ : (~) ~ } r (~) % 3r ' Sup tg (z + ~)I 2
o o (~) ~r o
D6monstration. Soit, en effet, ~o avec (~o) % ro tel que
Sup (C) ~ r
o
I ( ~ ( ~ + c ) ! = l ~ ( z + % ) I
Appliquons le th4or~me pr6c6dent & la fonction d'une variable
, > f ( ~ + ~ Co ) /~ ( z + ~ ~o ) avec r = I et p = 3 .
CoQ.F.D.
2. Partons du th@or&me de Cartan-Caratheodory tel qu'i! est 4nonc6 dans
Levin (cf. [_20] p. 21) qui dit qu'une fonction de la variable complexe
holomorphe dans tun voisinage de !~1% 2 e R telle que f(O) = I satisfait &
~o~ If(~)I ~ - (2 + Lo~) ~o~ sup If(~)I
pour tout I~l ~ R ~ sauf sur la r@union d'une famille de disques done la
48
I1.4
somme des rayons est inf@rieure & 4 ~ R et ceci pour tout ~ v@rifiant
30 apr~s Levin, H H(~) 2 + Log~ Nous evens le 0 < ~ ~ ~- . Notons, = = .
THEORE~IE II.2.1. - 8oit g une fono t~on de ' la yariable qpmplexe ~ ,
holomorphe dens un vqisinege de Ikl ~ 3 e R et ~e s'ennulan¢ pas da~s le
d~s~ue I l l < ~ r t ~ u e I~ I = ~ , o ~ ..... - ~- ~ a lors pour t,out X ° o --
( z i . 2 . 1 ) Ido) l >- Id~,o)l 3(~+ ~)/ s,~p I~(x)l 3~{ IXI g3Re
Sup
2
tg(x) l 2
g uels que soient R , r e_~t ~ ayec 16 ~ R < r e..~ H = H(~) > 0 .
D6monstration. Supposons que g(Xo) % 0 , sinon le %h@or~me est trivi&l.
Consid4rons la fonction
x , ~> f ( x ) ° ~(Xo - x~/g(Xo)
r ~ 3e I o ) Si r < 2 R ~ on e alors ~ ~ T~< ~ ~- . Le rdsultat de Certan-
r = avec 0 ~ t ~ ~ tel que Caratheodo~y montre qu'il existe k I t k °
( I i o 2 . 2 ) Log l f ( X ° - X1) 1 ~ - H(~)
mais par le module meximum~
(II.2.3) I~I ~ 2 R s
D'autre p&r%~ g 6tent non nulle pour
~o~ sup lf(~,) l
1 sup 3 t~(~)! t~(Xo)t I~1 ~ ~
3r il s'ensuit que la
fonction I , > h(k) g(l + kl)/ = Sup !~(~ + ~i)I no s'~nnule
I~1 ~ 2 I~,1!
pSs dens I~1 ~ 2 I X t l ~ l a f o n o l i o n Log !h i y es% donc harmonique o t
NEGATIVE, d'o£~, en posant p = 2 IXll
49
I1-5
~o~ l ~ ( - x ~ ) l 1 ~ ie) 0
et en tenant compte de
+ Ix~l 0 ~ N ( - X 1 , p o ie)- 3
- I X l l on obtient
- > T.o< lh(p eie)l de : 3 ~.o~ I~(o)1 0
qui~ joints ~ (Iio2.2) et ~ (II.2o3) donncnt l'in4g~lit4 cherch4eo
2 c) Si r ~ 2 R , on a un r~sultat meilleur on consid~rsnt la fonction
harmonique NEGATIVE au voisinage du disque I~,1 ~ 2 I~,ol
b+? I e% l'in~galit6 (II.2~4) s'6crit pour la fonction h I
:o~ I~1(-~'o)1 ~ 3 .~oo-Ihl(o)i
Ig(o)t ~ / sup t~(~)12
I~,1 ~ 3_~ 2
C.Q.F.D.
soi%
Notre th4or6me conduit & une d4monstra%ion simple du r4sultat suivant
d~ & M. Ehrenpreis [11 ] o
T H E 0 ~ D ' E H R E N P R E I S o - Soit
%ello qu'il existe des oonsta~tes
S une fonction enti&re sur C n , n ~ 2
a , b e% C sa%isfaisant
1o) V ~ e ~n , tt~'llSU~ ~ =o~(t + II~lt) Is(~ + ~')1 ~ (1 + 11~11)- ~
50
II.6
po,ur tout
2o) v c ~ n , I S ( ~ ) I - < C ( ~ + I I c l t ) ° ~ c t l z m c l l
3 ° ) P o s ~ C = ( z , ~ r ) , z d ~ - ~ , ~ ~ ~ ~ on
A,l,o,r,s, pour ,t,o,,~¢ ~ > 4 t , il existe une cons%ante A te,lSe que,
(~ IIzll II~II) -A ~ (-,II~m ~II) l s (~ , ~)1 >- 7 + +
(z, I") 6 ~n satisfaisant &
o~ Im C = (Im ~I~... , Im Cn )
D4monstrationo Nous supposons
g@n4ralit4.
9 Im = pattie imaginaire.
a ~ I , ce qui ne diminue pas la
De I °) , on salt qu'g (z, T) 6 C n , correspond (x, %) 6 ~n-1 × ~I
(n.2.5) ,~z-41 +I~-~I ~aLo~(1+ll~zll +IR, I) oa
(n.2.6) Is(=, t)l ~ (I + fIR41 + IR TI) -~
Consid@rons alors la fonction enti~re d'une variable
X , ..... > g(X) = S(z + k(x - z) , T + X(t - ~))
I qui~ nous l'adme%tons provisoirement, ne s'annule pas pour Ikl ~ ~ •
Nous allons lui appliquer l'in~galit4 dc notre thgor&me avec k = I o
I I
II(I - x)(z,,) + x(=,~)ll ~ (I + Ixl)llcll + Ixl(iicll + ~ ~o~(I + Ii~41 + IR~I)
[~ + I x l ( 2 + ~)] IIcll
IlIm [ (1 - X ) ( z , , ) + x (= , t ) ] l t < (1 + Ixl)l lzm ell + Ix21 ~ ~,o~(1 + II~dl + I~ " I )
tel que
R = partie r@elle
51
II.7
Tenant oompte de 2 ° ) , on a , pour t o u t IX l ~ 3 e
t g ( x ) l ~ C(~ + [ ; e ( 2 + ~) + ~] i ic l l ) c ( ~ C(~ + 3 e ) i l I m ~11)(1 + I lc l l ) 3e~
Donc~ il existe bien une constante A , ne d~pendant que de a et C e%
non de k ni de ~ , telle que
Sup l g ( k ) l ~ (~ ) + 2 ~ A1(1 + I lCfl) A1 ~ A 1 ltZm eli tX l ~ 3e
P~r suite~ l'in~galit8 (11.2.1) donne
t s ( ~ , ~)1 -- I ~ ( o ) t ..... I d l ) t 3(~(~) + ~)
I~,I ~ 3e t~,1 < 4-;
- A 1
> 1-- (~ + ilcll) (~ + ilR=il + IR , t ) - a ~ ( - ,~l lz~ ell) - A1
1 p o u r t o u t ( z , ~ ) t e l que t& f o n c t i o n g ( ~ ) ne s'annu!e p~s darts lXl <-~-~ .
Montrons que c'est le c&s si (z, 7) v6rifie
I T ~ ' I = ~ ( 1 + I I T ~ 4 1 + ~ o ~ ( 1 + 1 1 4 1 + ! 7 t ) ) , o~ ~ > 4 b .
Soient k = X I + i 12 ~ k I et
T = T + k(t - T) ° Ii vient,
X 2 E ~ et Z : z + k(x - z) ,
I I
(11.2.7)
(11.2.8)
dono s i
on d~dui±
I lz= ~1 -< (1 - x 1) ttt~ 4 + Ix21 1~ - ~zl
Im, T = (1 - k l ) Im T + k 2 ( t - R ~')
z= • = - B(1 + I l I= 41 + ~o~(1 + I1-11 + I1~11))
z~ T ~ - ~ ( 1 - x l ) ( 1 + IIz~ 4l + So~(1 + ]ldl + 11~11) + I x 2 1 . 1 t - ~ ~1.
52
II.8
Remarquons que
on a
( I I . 2 . 9 )
Ma is
d'oG
1 - k 1 > 0 e t t e n a n t compte de ( I I . 2 . 5 ) e t de ( I i o 2 . 7 )
~o~(1 + I1~1 + I ~ ! ) ~ ~og(~ + 2 I x l ) ( ~ + I c l ) ~ 2 Ix l + ~o~(~ + I1~11 + I~1)
e% (II.2.9) devient alors
Im T ~ - B ( t l im ~t + (1 - k l - 21~t) + (1 - x t - a1~21)~o~(1 + l z l + t ~ t ) )
1 1 ~og(1 + I lal + I~1 )
B (1 + 111m al + ~ e d 1 + II ~1 + I ~1 ) )
Au cas o~ Im T = B(1 + }l ira zll + Log(1 + Itzll + 1T I )
on fair les mSmes calculs et on obtient
done si
~(x) % o
B I~ ~(1+ili~l +Log(1+11~! +I~I))
B > 4 b , de la condition 3 ° ) , on voit que S(Z, T) % 0 , done
I
C.Q.FoD.
~9dule minimum des fonctions enti~res d'ordre oresque inf@rieur & un
Soit f une fonction enti&re sur C n . On pose
~f(~) = sup Log If(z)l
Dans ce qui suit, on va consid6rer des fonotions d'ordre I de type z6ro,
telles qu'il existe une fonction croissante M1(r ) ~ ~f(r) et une fonction
Q(r) d@finie pour r m 0 , continue, croissante et diff@rentiable v4rifiant
53
II.9
(i)
(ii)
(iii)
Q(r) ~ r & p a r t i r d'un certain ret Q(O) > 0 .
r Q'(r) = 0(Q(r))
~ 1 ( 2 r ) La fonction r ..... > ~
M l ( 2 r )
t
est d6croissante et telle que
_ - o
(iv) QtMQI~ Exp MI~ > 1
Une telle fonction f est appel4e d'ordre presque inf@rieur & un.
~em]31e I.- Toute fonction f d'ordre p < I est d'ordre presque
inf4rieur & un, & notre sens. On pourra prendro~ en effet,
Mf(t) = M f ( l ) + ( Sup tp ' ' ~ ¢ ~ ~ r p+¢ M l ( r )
- t > 1
et Q ( r ) = r °+2¢
a v e c 0 < 2 ¢ < 1 - p
~emple 2"- Consid@rons la fonotion d'une variable
n ~ 2 n LoJn
qui n'est pas d'ordre inf4rieur & un strictement mais presque inf@rieur
un avec M1(r ) = Mr(1) + ( Sup t> I % Log4r
e% Q(r) = {
r 2 .... pour r ~ e Log2r
e 2/4 pour r < e 2
54
II.10
Remarquons que la condition (iii) entraZne que
quand t tend vers l'infini. I1 vient le
tend vers z4ro
THEOREME II.3.1.- Soit f une f gnction ?nti~re d'ordrg pres%ue iDf@rieur
~, il existe alors une oonstante K > O ~ telle que
z E C n Sup Log I f (z + ~)1 ~ - ~ Q(211~II) ' Icl ~ ~ Q(211dl)
o~ Q est la fonction intervenant dans la d6finition plus haute~ et off le
Sup peut 6tre pris dans ~n si z 6 ~n .
D6monstration. Par une translation, on peut supposer que f(0) ~ 0 .
z, > f(z)/f(o ) , o~peut supposerque f(O) = I . Consid6rant la fonction
On d6finit alors la fonction d'une variable complexe t ~ > fz(t) = f(tz) .
On note par (tj(z))j 6 N les z6ros de cette fonction rang4s par ordre
des modules croissants et par n(r, z) le nombre des t. qui v6rifie 3
LEMME II.3.2.- I1 existe une constante A > 0 telle que
(n .3 .1 ) n(=, ~) -< A M~(2 ll~ll)
~our tout r > 0 et tout z 6 C n .
D4monstration. La fonction r ~ > n(r, z) est positive e% croissante
pour r > 0 par l'in6galit4 de la moyenne~ on a donc
2r 2r
r r
L'6galit6 de Jensen donne
~ n(t,t ~) dt = ~1 ~ ~o~ Ifz(~ e ~e)l de ~ M1(~J~ll) 0 0
Log 2 C.Q.F.D.
55
II.11
Pour route fonction Q vdrifiant les conditions (i), (ii) et (iii)
posons p(%) Lo~ Q(lt l ) = ~ on a le
Log I~1
LE~ 11.3.3.- II existe une constante
I r I p(tj)
It j l > r
C > 0 telle que
D6monstration. En effot
ltjl > r
p(tj) r )p ( t )
r
a n(t , z)
lira rP(t) n(t , ~ - R-* + ~ r r
~(~, ~) d { # ( t \ ~l J
Comme p(t) g I , la condition (iii) et l'in@galit6 (Iio3.1) donnent
~p(~) % = R 1 lira [(Q-Cc{Tn(t, z)) = -n ( , , ~) ~ 0 R-* + ~ % r
e% l'int6grale peu% s'dcrire
r
Rappelons que Q'(t) ~ 0 . Done I - Log t ) est posi%if et
major6 par B/r o~ B = sup ~ qui existe d'apr~s (ii) o r
56
11.12
Tenant compte de
~ R B+ I r A M ( 2 t ) ~ d t
r
qui~ joint & (iii)~ donne l'in6g~lit@ cherch6e.
Prenant r = I , le lemme 2 , donne la
PROPOSITION II.5.4.-Pour route font%ion
Lo~ Q(I tl ) ( i ) , ( i i ) ~ ( i i i ) ~ ~(~) = ~og l t l
1 p ( t j )
J
(II.3.1) , cette derni~re int~grale est major@e par
Q pqs,s@,dant les,,,,propri~t6s
, o ~ F
Revenons & la d@monslration du th@or~me 3 . Nos hypoth&ses font que
la fonotion t~ > fz(t~., se met sous la forme
t % ( t ) = n (1 - ~ . ) j J
d'un produit canonique. On va minorer chaque terme du facteur.
Sup~o~o=s 114 = I et l t l ~ t . O ~ p ~ t i ~ l e ~ t o 3
~e~ o~ , l t j l ~ ~ ~p~iq~e I~ -Lt t . ~ ~ ~'o~ O
t % ( t ) l ~ n 1~ - L t t . I t j l ~ 1-~1
2~meo~s~ I t j l > 2 1 t l , o n
d'oG du lemme 2
I t j l > 21tl
p ( t j ) Log I1 - t l ~ - 2 I~1 ~ - 2 I ~ I
t . . .
3 3 J r 6 s u l t e p ( t j )
7 1 lj I~j l > 21tl
en trois groupes.
- 2 c Q (2t) .
57
11.13
3&me oas : Soit
inf@rieure & un . Si
tout j , on a
t .... > A(t) une fonction d4croissante positive et
~ It~l ~ ~ l t l ~veo l t~ - ~1 ~ I t~l ~ ( t j ) pour
t l ~ Z Logl l - t j - ~ 7 . Log A ( t j ) ~ (Log A(2 t ) )n (21 t l , z )
~ono, ~i I t l ~ t o est te l que I t - t j l ~ I t j l A ( t j )
~ t i s f ~ i s ~ n t ~ J~2 ~ I t j l ~ 2 t t l , on
~o~ I ~ z ( t ) l ~ (~o~ * ( 2 t ~ n (~ t t l , z)
pour tousles t.
R&ppolons que
(n.3.3)
Prenons
est n6gative. De l'inggalit4 (II.3oI)~ on obtient So~ A(2t )
~og I f z ( t ) l ~ <~o~ , ( 2 t } , 1 ( 4 1 t t )
, ( t ) : ~ (- a ( I t l ) ) , q~i eat major@ par M1(2t i t )
t o K
llhypoth6se9 donc inf@rieur & un & partir d'un certain
tr~tion s'ach~vo en montrant qu'il existe une oonstante
tout Itl ~ t o , il existe t' avec
selon
• Notre d4mons-
¢clle que pour
Io) l t ' l = I t l et 1~' - t l ~ ~ Q ( 2 t t l )
2° ) I t ' - t j l ~ I t j l A ( t j ) pour t o u t t . s ~ t i s e ~ i s , . ~ t ~ J
car de ( I I . 3 . 3 ) , en p r e n = t K1 = K + I%I/Q(0 ) , on t i r e
t , S~p Lo~lf ( t + u)l ~ S O d f z ( ~ ' ) i !=1 ~ KQ(21t l )
- Q( I t l - 2cQ(21t i ) ~ - (2c + ~ )Q(2 t t l )
Pour voir l'existence de t' , il suffit de remarquer que la somme des rayons
58
II.14
• ~vec ~ t . < 2 Itl des cercles centrgs en % 3 est
7 , It~l ,(t~) ~,~[~ ~t~< 21tl
,: 4Q(21tl) ~ ( 4 I t l ) = 4 ~(~ I t l ) ~I(4] tl)
done, en pren&nt K > 4 , on volt que parmi lest' v 4 r i f i ~ q t l t ' l : I t l
et I t ' - t I ~ K Q (2 l t l ) , i l on existe un qui es t hers des disqucs en
question. CoQ.F.D.
Daus le cas oG~ &u lieu de (iv) , on a la condition plus forte
(v) ~1(r) Log r : O(Q(r))
(Les fonctions d'ordre infSrieur hun poss~dent cette propri4tg.) jointe
M l ( 2 r ) ~ux faits~ d'une p~rt~ que ~ d6cro~t et tend vers z6ro et 9 d'autre
par%~ que Q(r) % r d~s que r est assez grand. On
V ~>o , ~1(:) Lo~MI(~:) :o(~(~))
d'o~ M1(r ) Log(r M1(a r)) = O(Q(r)) •
II vient alors le
T H'EORE~E IIo~.- Sot% f uric fonctiqn, enti&re d'ordre ~resque inf4,r~eur
gun , %elle que !es fonctions M I e_~t Q satisf~ssent g (v) • Aiors pour
route oonstante
telles que
Dgmonstration.
on trouve ~lors
d'oG le r6sultat.
a > 0 ~ il existe des const~utes K I > 0 e_~% K 2 > 0
z E C n Sup
On prend pour
j, ~jl~ 21tl
a
21tlA (~12)M1(41tl) ~ ~/~
C.Q.F.D.
59
DEUXIE~E PARTIE ~ L'EQUATION DE CONVOLUTION
CHAPITRE III. L'INVERSIBILITE
§ I.-- O p ~ r a t o u r de c o n v o l u t i o n ~'(~(p))-inversib!e
I. L% convolution e t , l es , , suites M(p)-adapt@%s
Dgfinition III.1-1. Une suite k = (k£)£~ de n~mbres positifs tendan± vers
l'infini est dire M(p)-adaptge, s~. pour tout a 6 ~, tou} H > 0, il existe
un nombre H' > 0 et un., compact K c~ n tels qu'on air,
P~ppelons qu'on a pos~ ¢, : L I-
Pl Pnl et ix I o.. Xn ,
(P) ~I:I M(p)
Proposition III.1-1 ~ Soi% S 6 g'(M(p)), retie, qu'il exis%e une suite
= M ~-ada2t@e et une oonsta~.te C >0 tel!es qu'on air
A (III.1-2) V z E ~n , IS(z)l g C Exp (Mk(Z) + C llim zll )
(resp. S * ~ E go(M(p)) ) e t l'applica.tion ~ S * ~ est continue,
(Notons que dans le cas de go(M(p)), il suffit que la suite k soi%
go(M(p))-~daptge, of. dgfinition III.1-3~ en has)
60
111.2
D@monstration ~ Sol% 9 E~(M(p)) o D'apr&s le %h6or&me 1.2-11, de Paley-
Wiener, il existe des cons%antes positives A e% B telles que o o
l~(z)l { A ° Exp (BJllm zll- N(BoZ))
donc A A
o + C)lllm ~It+ ~%(~) - M(~o~))
Ii existe alors une cons%ante H et un compact K m Rn~ %els que si z E C n
~v~c ( 1 z l t , . . . , t ~ 1 ) ~ , o ~
Exp ((Bo+ C)llIm zll- M(Hz)). /k
Soit
I(S"~* ~)(Z)~ g A I Exp (B1111m zll- M(BIz)) , V z E cn
avec
B I = Max (Bo+C,H) et
= s~p ~[ (~o+C) t tZm zt l+&(z) - M(BoZ)] ~
Ce qui prouve, d'apr&s le thgor&me de Paley-Wiener que S * ~ E~(M(p))
La continmit@ de l'application ~ ~ > S * ~ r6sulte du th@or&me du graphe
fermg. (Dgmonstra%ion analogue pour go(~(p)))
D6finition II.I-2. Notes disons que S E g'(N(p))
sur ~'(~(p)), s$ l'h~o%h~se d 9 la proposition
8oient N(p) e% M(p) deux suites do M avec
selon la d@fini%ion 1.2-I~ telles que I
o~ s~ ~)(M(p)) o~
III.1-1 est rem~!i.e.
N(p) ~ •(p) c'est-&-dire
6t
III.3
Alors route ultradistribution S op6ran% sur~(M(p)) op&re sur~(N(p)).
En effet si une suite k = (kz)%6 ~ est M(p)-adapt4e, on v4rifie que la
suite
est N(p)-adapt@e.
Th4or~me III.1-2. Pour route suite M(p) E% doz4n~p, il existe une suite
N(p) g M(p) telle que %oute S 6 g'(M(p)) o2&re su/ ~(N(p)).
Nous posons la
D4fini.tion III.1-3. Une suite N(p) 6/~es% dire "tr~s r4~uli~re", si route
suite tendant vers l.'infini e s% N(p)-~.
Le %h4or~me Iii. I-2 r@sulte de la
Prpposition 111.1-3 : Pour route suite M(p) 6%, il existe une suite tr&s
D4monstration : Nous allons construire une suite N(p) 6/~telle que
(i) N(p) o ~(q) si Ip1: lql- Nous ~o~i~ons ~ pour ~(p), IM=
(ii) N(p) 4 M(p) N£
(iii) Posan% n% = ~-I n£ I
alors n2 ~ ~ ~ pour tout ~ E
Construction de la suite (Nz)~ . Bolt ~ la suit~
% M~ = inf et soit m - on
I < +~ m~
"~!aris4e de
puisque la suite M(p) est non-quasi-analytique. Ii existe donc une suite
croissante d'entiers d Z > 0 tendant vers l'infini~ %elle que
62
III.4
.g = 1
~-1 £ oso.s n'.-, o Oooio tr ne
o~ [~] d~signe la pattie enti~re de ~-- 2 "
On a alors
~(~-~ 3 J
Ce qui montre que la suite N~= nl...n 2 , qui v6rifie visiblement (i) (it)
et (iii), est non quasi-analytique. De l'in4galit4 m~ g m£+ I qui r6sulte
de la convexit4 de la suite ~, on volt que nl es% croissante on ~, donc
n~ est aussi croissante on £, ce qui prouve que N(p) est logaritkmiquemen%
convexe. Enfin M(p) 6rant dgrivable, il exists une oonstante H ~ I telle
que pour tout £, m£ ~ ~ • IIen r4sulte dons nj • n¶3 = m~(j) ~ ~ g H j
puisque j ~ ~. Ce qui prouve que N(p) est multipliable e% d4rivable, donc
N(p) E ~ . D~s lors, la proposition r4sulte du
Le~e III.1-4. Soit (N~)~6 ~ une suite simple a~artenant & /~ %elle clue n£ N~
lim n% > O, oG on a pos4 nz= ~ alors la suite N(p) d6finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N~_ 1 '
par N(p) = N~p 1 e,,s,t, tr~s r 4~ l , i& , re .
D~monstralion : Sot% ~ > 0
de la croissance de la suite
k 2 2/<
... 4
I nz tel que -- <-- n~
n£ ~ l'in@gali%@
(~x) 2k
2 2 2 n2n 4 ... nRk
pour %ou% £. On a alors,
(~x) ~k
nln 2 ... n2k
63
III.5
Passan% & la borne sup6rieure en
2 ~(~) ~ ~(~)
Et en it4rant, il vient
(nL~-3) ~3 N(x)
Soit alors k = -~-(k~]~
k et prenan% 10 logarithme~ on obtient
g N(~Jx)
une suite tendan% vers l'infini et soien% a
et H deux nombres posi%ifs donn6s. !l s'~gi% de trouver H' > 0 en sorte
qu'on air l'inggalit@ (III.1-1)° Consid4rsns, pour cela, un entier j assez
grand pour que a + I g 2 j . De l'inggalit4 (III.1-3), on tire
~(~) ~ N(~J~) - ~ N(~)
~--x) Or, puisque k~ tend vsrs l'infini avec Z, Mk(X ) g N ( ~j
II~l est asssz grand, d'o~
~c
d&s que
~(H,~) ~ ~(m) - ~ ~k(~)
H H w = mr. ~ ce qui ach~ve la d6mons%ration du lemme et de la proposi%ion.
~J
c.q.f.d.
Posons Lq(~) = ~ I si ~< Jo
Il l-I-[ (log j)(1og2j) ... (10gqj)~]
Jo
o~ Jo es% tun entier fix@~ ohsisi de sorte que
si ~ h Jo
Log q Jo : Log ~(Lo~ (.°.(Log Jo)) > o
En corollaire du lemme (III.I-4), on a
P~op0sition nI.1-~ : Los suites M(p) : (Ipl,) ~ st ~(p) : IP1'
~ou r ~ > I sont tr~s rgguli&res.
L~ (IPI)
64
III.6
Done, route ultradis%ribution de Gevrey de type ~ > I S E g'[(pl) ~]
0% & support compact, op~re sur tout espace ~'[(Ipl!) p] des ultrs~listributions
de Gevrey de type 8 > I , pourvu que 8 < ~ •
Dgfinition III.l-3. Une suite h = (h£)~61~ est dire ~'(M(p))-~da~%ge
(resp go(M(p))-ada~tge) si zqur tout A > 0 et to ute suite 8 = (BZ)~
tenda~q% vers l'infini (reso. tout A > 0 et tout H > 0) !l exis%e une
suite y = (?~)Z~ tendant vers l'infini (resp. une co nstante H' > O)
telle que
Remarquons qu'une suite ~'(~(p))-~dapt6e tend vers l'infini, tandis
qu'une suite go(M(p))-adapt@e peut Gtre born6e. De faton pr@cise, on
Proposition III o !-6 :
(i) Pour q'une suite h = (h~)£~l~ soit M(p)-adapt~e, il faut .et il suffit
qu'ell% so it 6o(M(p))-adapt4e et que la oqnstamte H'(H,a) puisse
@tre ohqisie de maul&re qu'elle tendevers z@ro avec H .
(ii) Sous oes conditions hest alors ~'(N(p))-adapt6e.
Dgmonstration : Pattie (i) : La condition est n@oessaire. La condition
(IIi.1-1) s'6ori% { H I > 0 , ~ H~ > 0 telle que
~(~I~) - ~ ~(x) ~ ~(~)
I~ fonotion x P--> ~1(x) 6%a~qt croissante sur ohaque demi-droite issue de
l'origine~ si H K H~ e% H I = H' effectuant le ohangement de notation,
on a V H I > 0 , ~ H~ > 0 telle que H < }I~ entratne
65
I I I . 7
C ' e s t - h - d i r e ~ s i L = i n f K, les K t e l s que M(Kx) ~ M(Hx) + a P~(x)~
L tend vers z4ro~ lorsque H tend vers z4ro.
Pour la suffisance~ on ehoisit H. et Ht deux suites positives tendant
vers z4ro~ telles que~ pour tout j~ on at%
Dono~ si H > 0 est donn6~ il existe une constante Ht g H. On volt alors~ O
posa/at H' = Hj 9 que la suite h est M(p)-adapt~e.
Pattie (it) : Soit 8 = (~Z)Z6~ une suite tendan% vers l'infini ~ il
s'agit de construire ~ = (~Z)~6 ~ . Pour oela~ posons H = I • La sblit e J sj
H. tend vers z4ro lorsque j tend vers l'infini. Soit H' la suite tendant
I vers z4ro~ associ4e & H.~ . La suite Vj = ~. r4pondra alors ~ notre question
3 c.q.f.d.
Nous supposons dans oe n o que la suite M(p)
aux conditions suivantes de "sph4rici%6"
(S 1 )
2. C a r a o t 4 r i s a t i o n des o p 4 r a t e u r s ~ ' ( M ( p ) ) - i n v e r s i b l e s ( c o n d i t i o n s s ,u f f i san tes )
de /~ satisfait en ou%re
II existe des constantes C I et C 2 positives telles que
x £ ~ n , Sup . , Ex~ M(x+z ) ~ C 1 ~ ~(C2x ) o
(S2) Pour route suite de hombres positifs tendant vers l'infini,
= (%~)~61~ ' il existe des oonsta/utes C~ et C~ relies que
v x ~ ~n sup ~ ~(x+z) ~ C~ ~ ~(C~x)
Notons que oes conditions sont ~quivalentes aux conditions
(S~) I1 existe des constantes A I et A 2 telles que
v ~ ~ ~n inf z~ M(x+z) ~ A I ~p M(~)
66
III.8
Pour route suite de nombres positifs tendant vers l'infini
~= (~ )£6~ , i l existe des constantes A~ et A~ te l les que
Notons encore que si
M(p) = ~(q) si lpl = Iqt , o~ ~ a l o r s
~ , ( ~ ) = ~o~
M(p) est d6finie & partir d'une suite simple i.e.
Pl I~ ... ~ l ( ~ I~J I)Ipl Sup = Log Sup ....
(p) ~)p) (p) Jpl IPt M(p) "lpl ~(P)
~'oG Cn ' " " ), VII{t,...,II I)
Soi%
Conkme
(~. lim ~[ = O, la suite M(p) poss~de done
II~P+o .afortiori le~propri~t4$
Soit s ~ ~,(M(p)), op6r~nt s~ ~'(~(p)) et soie~t 01 et ~2 ~eu~
ouverts de ~n tels que
02 + support de S g 01
Nous disons, selon HSrmander (qui a introduit cette d6finition dans Iccas
des distributions)9 que le couple (O1, 02) est S-ccnvexe, si pour tout
ouvert U I relativement compact dans O19 il existe un ouvert U 2 relative-
ment compact dans O 2 tel que route ~ 6~(M(p), 02) sa%isfaisant &
s. ~ ~ ~,(~(p), u1) est ~n fair ~. ~l~me~t ~e ~(~(p), u 2 ) . n viont ,
67
III.~
Th~or~me II%.Ir 7. S~osons qu'il existe une suite h = (h£)~6 ~ , ~'(M(p))
adapt@e (rest. go(M(p))-~da~t6e) et une eonstante C > 0 telle qne
( I I I . i -4 ) A v x ~ , Sup ls(~+~)l ~ c E~ (-~h(~))
ilzll, M~(x)
alorsp%ur tout couo le d'ouverts (~I' ~2 ) S-eonvexe, on a
v~
s (S,(M(p), ~1)) :~,(M(p), %) (~esp. ~*(%(M(p), ~1)) = %(M(p), %))
Dgmonstration ~ Nous faisons seulemen~ la preuve pour ~ '(M(p)). Pour le cas
de go(M(p)) , dams une situation g@n@rale, voir le th@or&me III.4-1. On
pent aussi traiter ce cas d. fagon analogue au cas de ~ ' (M(p) ) .
Les espaces M(p)9 ~) @rant des Frechet-Schwartz 9 il nous suffit dons
de montrer que l'application £0 [ > S * ~ est injectlve eta une image
ferm@e pour les suites. L'injectivit@ sc volt par la transformation de Fourier
A A En effet, S * ~ = 0 @quivaut & ~. ~ = 0 . Mais les fonctions S et
sent enti&res. Done, ~ @rant diff@rent de z@ro ~ = 0 d'ofl ~ = 0 .
Montrons que l'im~ge est ferm@e pour les suites. Consid@rons une suite
~ ~ ( M ( p ) , 02) telle que S * ~Z converge dans~)(M(p), Ol) . Erie converge
doric darts tin ~(M(p), UI, H) of~ U I est relativement compact dans Oi °
Donc~ pour tout ¢ > 0 r il existe un entier ~o ~ tel que si s > ~o et
~>~ o ~ on
Sup ( Sup XE R n (p)
~(P)[(s * %)(~) - (s * ~0~)(~)3[ lp, . M(p)
Par transformation de ~ourier et en posant fs~Z = - ~ A = dx
U I
68
111.10
St d = l~X llXt]~, il vient x E U 1
A IS(z) fs,~(z)l ~ ¢ A Erg(-Z (~) + ~ ttIm zll)
dono, pour tout x E ~R n,
A Sup Su~ Is(~+~)es,~(~+~)l ~ ~ A ~(~ ~(~))'llzlI~ 3~(~)
(~ (_~,~ c ~ , ~ )))
Soit, en tenant compte de la ~ondition de sph4ricit@ •
A X (m.,-5) sup Is(~÷~)fs (~+~)I ~ ~ A c I ~(3d ~(~) - M (-~-2-2-2-2-2-2-2-2W2E)) .
l~(z)l ~ E I ~ (~(z) + ~o 11~ zll)
d'o~, pour tout x E ~n
A Sup Is(x+z)t ~ ~I ~(3ko~%(~) , sup (~ ~(~+z))
Soit~ tensmt compte de la condition ($)
A
Tout ceci joint ~ l'hypoth&se (III.I-4)
~ ~ ~ s ~ I~(~+~)I ~ c s ~ (-~(~))
ippliquons le th@or~me (II.I-2) de division aveo r(x) : ~(x), on ~ :
A
69
111.11
Les detux premiers t~rmes son¢ es%im4s par : (III.I-5) e¢ (III.I-6)
e¢ le dernier terme est minor4e par (III.1-4), ce qui donne
( z n . 1 - 7 ) I%,~(~)1 ~ ~ A~ E ~ [~2 ~%(x) + Mk(C 2'' x) - M (---~C2 H )]
A HIC~C I oG A S _ C2 e% A 2 = 2+3ko+3d .
~s s~te~ h o (h)~ et k : (k~)~E = ~o~t ~)'(M(p))~d~ptde~. ~nc
si (~)~6~ est une suite tendant vers l'infini, il existe une suite
(~)~6~ tendant vers llinfini telle que
A2~(~) + .~(C"2 ~) + ~(x) ~ ~(~)
D'o~, de (111.1-7)
t%,~(~)l ~, B I E~ (-~(~))
ave c
B 1 = A 1 s~p ,~ (z~ (M(~) - ~ (---~ x ~ c2H ))) <+~
oar ~(x) -M (-~H) tend verb zdro qu~nd ll~I tend vers l'infini. Ceoi
montre que i suite ~% forme une suite de Cauchy dans~(~IPlM pl (p) ' U2)"
La suite ~ oonverge dono vers un %0 6D <'IP!f~IPl M(p) , U2) , ceci, pour
toute ~ tendant vers l'infini. Done £0 6~ (M(p), U2) d'apr~s la
proposition (1.2-6)
c.q°f.d.
D4finition III,I-4 : Une u~tradistribution ~ suD9ort compact S 6 8'(M(p))
est dire ~'(M(p)) inversible si S op&re s~r~'(M(p)) et s~isfait
& l'estimation (III.1-4).
70
III.12
Corollai.re III.1-8 : S~ S £ £'(M(p)) v4rifie (III.1-4), alors ~.qur. %cute
6~(M(p)), l'ultradistribution S + ~ ap~.liQue surjeotivemen.t (Dam convo-
~tion)~'(~(~), ~) s~ ~'(~(p), n~) , ~o~ ~ue (~, ~) so~t
S-oonvexe. IIen est de m@me pour ~S si @ cst identique ~ un sur le
support M(p)-Sin~alier ,de S
D@monstration : En effet ~ 6~(M(p)) implique qu'il existe des constantes
A et B telles que o o
~ ~W' I~(~)l ~ A o ~'p ( - M ( ~ j ) )
d'o~, tenant compte de I~ condition (S)
Bx Sup I~<x÷~)l ~ AoC I ~ (-~(-"~-2))
11~1"5~(=)
IIen r@sulte, tenant compte de III.1-4.
A Sup I(% + $)(~+y)l ~ sup Is(~+y)l- S~p l$(~+y)l
B x o
[~(-~(~1] [c - A ° c~ ~(~(~) - ~( -~2 )1]
mais la suite h~ est Mt ~-adapt4e~ en partioulier~ elle tend vers Itinfini, B x ~P)
done Exp(~(x) - M(-~2) ) tend vors z4ro quand II~I tend vers l'infini.
On a alors pour %ou% X hors d'un compact
C Sup l(s ÷ ~)^(x+y)1 ~ W ~ (-~(~))
Modifiant la constante C, on volt que (S + %0) A v~rifie uno in~galit4
de type (III.1-4) pour tout x 6 ~n • Pour la seeendo pattie, on 4orit
r4sult~t suit de la premiere pattie. c.q.f.d.
71
III.13
Cor ollaire III.1-~ : Soit S 6 g'
S*(~)'(M(p), Gt) ) =~'(M(p), 02) .
D6monstration : On sai%~ en effet
oonst~ntes A 1 et A 2 telles que
A
On a done, afortiori (III.1-4)
tellc quc S*(~') =o~' • Alors
(of. [Io] et [17]) q~'±l existe ~es
~ (1 + ll~ll) -A2
(ce corollaire est @galement prouv6 par M. Schapira [31])
3. Caract@risation C es o.~4.ratQ~s~'(M(p))-inversibles (suite)
Nous revenons au cas g@ngral. Nous n'imposons plus la condition de "sph@ricit4
~)" & la suite M(p)9 mais seulement N(p) E #~.
Lemme III.1-10. Soit N(p) 6~o Alors pour tout a > 0 , il existe un nombre
( Izz . l -8) b Srp(N(b~l,. . . , b~l)) ~ ~ (~ (o ,x2 , . . . , ~ ) )
D4monstration :Comme M(p) E ~ , i l ex i s t c ( cond i t i on (C) i du chap i t re
I § 1. nO1) des oonst&utes A et H p o s i t i v e s t e l l e s que
v (p) (Pl,'"Pn) e ~ , IN(p) = M(pl,o,...,o) ~(o,~2,...,p~ ) ~ A HiP
D~o~
Vx¢~ n Pl Pn
~1 "''Xn
Hl pl M(p) ~ A
M(pl ,o, . . . ,o) N(o,p2,. . . ,~ n)
En prenant la borne sup4rieure (par rapport ~ (p)), il vient
N(~) ~ ~. ~ ~ ( ( o , ~ 2 , . . . , ~ ) ) . ~ N((~l,o , . ..~0))
72
III. 14
d'o~ le lemme avec
b = inf I I
(f m~ M(~,o,...,o) , ~ ) c.q.f.d.
Soit M(p) ~ et soit h = (h$)~l~ • Pour ~ou$ z = (zs,...zn) ~ gn
posons Pj
(ps...pn) ~(p~,. . . ,p~)
et Mh, j(z) = Log Sup
(P) ~ )
On a 6videmment Mj(z) ~ M(z) et ~,j(z) ~ Nh(z ). Posons enoore
Nous @orivons
~(~) =(~h,~(z),..., M~,~(~)) ~m~
(~) ~ =(~) pour Izjl ~ M~,j(~) , j = I,...,~ . zi ~ent
Th@or~me III.I-11 ~ SoSt S uno ultradistribution ~ support compact oD@rant
(rest. go(M(p))~ et une oonstante C > 0 teiles ~ue~ ~our tout
x ~m n
(III.I-9) sup l~(~+z)l ~ c E~ ( -~ (~ ) ) (z) ~ ~(~)
=~T)'(N(p), 02) (resp. S*(go(M(p), 01) ) = go(M(p),n2)).
l~monstration ~ Pour simplifier l'@criture, nous faisons la preuve pour
n = 2 et nous adaptons les m~mes notations quo le n ° pr@c@dent. II agit
dSobtenir les estimations (III.1-5) et (III°1-6) qui permettent d'aboutir
73
111.~5
t " i (~ ) t - o t o = ~ o aux r@sultats ohcrch6s en faisant le m@mo calculo De x.
Ixjl ~ + = , on d4duit qu'il existe des constantes positives a e% c telle
,j(x) I Iet telle que, que, pour j = 1,2 , I x j l ~ a ontr~Ine 3N h % ~ l x j
pour j = 1,2 et pour tou t x E ~ 2 3Nh, j ( x ) ~ C l x j l . Done de
i~ =~s~te ~uo, po~ tout ~ ~ ~ , I ~ l ~ ~, I ~1 ~
( 1n .1 -1o ) sup I~(x+~) ~s,~(x+z)i ~ ~ A ~ ( 3 d ~ ( ~ ) - ~ i ( ~ )) (~) ~ 3~(~)
etpo~to~t ~ 2 , Ix11~, I~2! ~ ~
x 2 A (~+~)! ~ c A ~-~(3d ~ ( ~ ) - M(o, ~ )) Sup IS(x+Z)fs, ~
Compte tenu du lemme 111.1-9, oette derni&re in4galit4 donne
A s~p I s ( ~ + ~ ) f g ( ~ + z ) I ~ ~ A b ~ ( 3 d ~%(~) - M (----~ ~ ))
(z)~3r(x)
q~ joint ~ (II!.I-I0), montre qu'il existe des oonstantes
telles que
A c% H o o
o
De m6me, de (III.I-2)
on obtient, pour tout
( 1 I I . 1 - 6 ) '
x E ~ 2
sup I~(~+~)1 ~ ~1 s ~ (3~o~%(~) + ~ ( o ~)) (~),:3=(x)
74
III.16
Les estimations ( I I I . 1 - 5 ) ' et ( I I I .1-6) '
( I I I . 1 -5 ) et ( I I i o l - 6 ) .
sent bien du mSme type quc
Coq.f.d.
4. Conditions n@cessaires ~ On ale th@or&me suivant qui g@n@ralise
l~ partie "e implique a" du thTor~me 2.2 de Ehrenpreis ([10] po532)
Th4or6me I I I .1 -12 : S.oi% S 6 g'(M(p)) o [email protected], sur ~ (M(p)). Su~pQsons
q u,~l o~iste ~e ul~r~-~ istr~t±on E ~ '(~(~)) , o~r~nt s ~ ~ (~(~))
ioe E * ~ ~ g(~(p)) pour tOUt ~ 6~(M(p)) %elle que
S'E=8
o'est-&-dire une solution @l@mentaire de S. Alors
I ° ) !i existe une constente B > O~ telle aue
A 1 (III.I-11) ~ x E~ n ~ Sup IS(x+y)i ~
y~n Exp (-~{(~))
v. v. 2°) s (~, (M(p) , nl) ) =~, (M(p) ,~2) o~ s (~o(M(p), nl) ) = %(M(p)m2))
~pur tout couple d'ouverts (Ql~ G2) S-eonvoxe.
DSmonstration ~'Consid@rons l'applioation injoctive T~ S * T de g'(M(p))
dans lui-m~mc. L'hypoth~se montre qu'un ensemble image est born@ si e%
seulement si~ il est image d'un born@. Nous montrons le thgor~me par l'absur-
de° Rappelons qu'un ensemble B ~g'(M(p)) est born@ si et seulemen% si
I o) II existe une @omst~ute k > 0 telle que pour route T E B. il existe A
~e sonstant~ ~(T) aveo IT(~.)l ~ A(T) E~ kllzll.
2 o) Pour tout H> 0 , il existe une constante A H> 0 telle que pour route
T 6 B et route x 6 ~n
75
111.17
Donc si S
x(j) = (x~(j),...,~n(j)) ~m n tone ~o
et telle que
A I (III.I-12) Sup IS(x(J) + Y) I K
ne v@rifie pas (III.I-11)~ on pout %~o1~v~r une suite
j~+=
~x~(-~(~(~)) )
Sol% alors (M.Ehrenpreis ([10] p.533) consid&re des fonctions am~logues pour
l'4tude de l'inversibilit4 dans ~'(Rn). )
E(j) n
(nI.I-13) Fj(z) : j (~p M(~(j)) I-I< E(.i) z i
• i:I ~i-h (j) ~ E(J~ ~
o~ E(j) d~si~ne 13 p~rt±e entitle d~ Lo~(j ex~ M(~(j))). Le~ fenctions
z* ~ Fj(z) sont donc routes enti%res do type oxponentiel un. Comme~ pour
tout j E IN
Fj(x(j)) = j E~p(M(x(j)))
A A L'ensemble B = [FI, F2,..o ] c ~' West p~s bor~ d~s ~'(M(p)), °~r
la condition 2 ° n'est pas v6rifi~e. Nous allons p~llver que S*(B) est~
par contre, born6 dans 8'(J(p)), ce qui fournir~ une contradiction. II
suffit, pour cela, de voir qu'il existe un emtior positif Jo tel quo
pour tout j et pour tout x EG{ n, on air
J
(1ii.1-14) I% Fj(~)I ~ ett(~)l + ~ I% Fk(~)l ÷
En ~ff~t, ~oit x ~ ~ ~ti~i~t ~ II~ - ~(J)ll ~ J ~{(~(J)). O~ ~, ~on
(111.1-I~) et (~II.1-~3)
76
111.18
si II= - ~(J)ll > J ~ ( x ( j ) ) , on a, d '~pr~ ( 1 1 1 . ~ - ~ )
n SC~) I E(j)
d'o~, si j est assez grand, tenant oompte de
n ~(~ ~(~(x(~) ÷ lo~ ~) I j ~(x(j)) ~ j ~(x(j)) ~ -e
On obtient
IFj(~)l ~ j [a~ (M(j))] [~(-E(j))] ~
Par suite (III.I-14). D'o~ la premiere pattie.
Pour la deuxi~me pomtie, on so sert de la solution 614mentai~e E et do
la S-convexit4 du couple (O1, 02). On montre qu'alors ~ ~ S * ~ est
mne application injective d'image ferm4o.
Notons que 9 d'apr&s la proposition (III.1-3), on voit qu'une ultradistribution
S satisfaisant ~ l'estimation (III.I-11) v~rifie (IIIoI-4) pour uric
autre suite N(p) 6 /~. Nous disons qu'~lors S est ~-inversiblc.
Le th4or~me suivant gSn~ralise la pattie" (a) implique (c) "du th4or~me
3.10 do ~5rmander ([17] pc 156) (volt aussi BjSrk [2] § 3.3).
.~..~or~me ~11.1-1~ , Su~oson~ ~ e S * ( ~ ' ( ~ ( p ) , 01)) = ~ ' ( ~ ( p ) , 02) , ~ l ~ s
le qpuple (O1~ ~2) es% S-convexe,
D~monstra%ion : L'hypoth&se entrafne que l'mpplication c?~ S * fi0 d4finit
isomo~hisme topologique de~(M(p), n2) sur S*~)b~(p), 02)). Soit
donn~ tm ouver$ U I rclativement compact d~ns O I . Soit ~I l'ensemble
U I + [IlxIl~¢] o£~ ¢ > o est ohoisi assez petit pour que ~I c ~I " La boule
77
II!.19
p rtio complete <o ojB n %) ] ) l 'ost
aussi. Cette par@ie est alors l'im~ge l;ar S d'une partie compacte de
~(N(p), 02). C'est-&-dirc qu'il existe un curer% U 2 relativement compact
d~ns 0 2 ~% uric oonst~te positive H tcls que
(S*) - I (D n S*~(M(p), % ) ] = ~ ) (M(p ) , U2' H)
Montrons que l'ouvem% retativemen¢ compact U 2 r6pond & 1,% question de ta
d@finition de S-convexit6. Soi± donc ~ E~(}~(D), f~2) telle que lo
support do S * ~ soit inclus dans UI, il s'agi% de voir que le support
de ~ est dams U 2. En effet si S * ~ ~ D ~ c'est le cas ~ et si S * ~ ~ D
nous ailons la r@gularisero Considgrons pour cela N(p) ~tr~s ~@gtuli&mc
¢clle que N < M et soi t XZ 6~(N(p) . - [ ! l~ l<~] , 1) , une suite fondant vers
I~ masu~e de Rirmo ~ . Alors , ~u le ohoix dc N(p), on a S * (~ * %Z ) 6 D
done le support de ~ * X~ est dams U 2 et ceci pour tout Z • Comme XZ
tend vers 6 , on d6duit que le support de ~ est aussi dans U 2
(L'existence de la suite N(p) est ~ssurge par la proposition III.J-3).
c.q.f.d.
En r@unissan% les th6or&mes et propositions (iIIol-3), (III°1-7), (III.I-12)
e% (IIIo1-1]), et en notan% p~r ~ (0) I~ r6union des espaces~'(M(p), ~)
pour tout M(p) E~; on a
Th@or~me III.1-J4 ~.Soit S une ultrad.istribution & support compact sur
~n alors les trois conditions s uiv~n~es sent 6£uivalentes.
(i) I1 existe t1~e ultradistribution E C~R n) telle que S * E = 8
(ii) I1 existe une suite N(p) Ej~ tell e ~ue
V x E R n , Sup l~(x+y)l ~ Exp (-~(x))
(iii) S*(~" (~I)) = J (~2) ~o..ur ,tout oouTple ,d'ouverts ({~i,f]2) S-convexe
78
III.~
§ ~ -memples ~'op~r~e=s 2f'(~(p))-inversib~es
Nous savons que route distribution h support compact inversible dans
~, est ~'(~(p))-i~versi~leo ~ous vo~on~ ~on~er ~oi des olasse~ ~'op~-
r~teurs ~ '(M(p))-inversible ~utres que ceu.x qui sont ~'-inversibleso
I. Les op~rateurs d iff@rentiels d'ordr 9 Infini ~ Rappelons qu'on a d4fini
les op4rateurs diff4rentiels d'ordre infini comme une somme convergente darts
un~'(M(p)) de d@riv4es de la mesure de Dirao. (of. Chapitre I § 1.1)
Proposition III.2-1 ~ Soit P(D) = ~ a(p)D(P)6 un opgrateur d'ordr e
infini de la classe (IPl!) ~ , ~ > ~ . Alors sa transformation.de Fourier
est une fonotion enti~re d'ordre ( g -- .
D4monstration
(nl.2-1) lim Ipl ~ + °
L'ordre ~ de la fonotion
fo~m~e (°f.[20] , [29])
D'apr&s la proposition (I°I-4), on a I
<IPl :~ a(p)~ ~[-=0
(s) : ~ ~(p)(iz) (p) se caloulant par la
qui, joint & (111.2-I) montre que ~ ~ ~ . Le th4or&me (11o3-5) montre alors
Th4or~me IIio2-2 :Tgut op@rateur diff@ren$iel d'ordreinfini d'une olasse
de Gevrey est inversible dans une classe de.Ge-r2eyo
Ce th4or&me n'est pas explicite. ~ utilisan% ~ nouveau nos r4sultats
sur le module minim~m~ montrons qu'il est possible d'exprimer une solution
41@mentaire par la transformation de Fourier ~omplexe en choisissant un
escalier d'int@gration du type de HSrn~%nder°
79
Iii.21
Nous supposons que le nombre n des variables est impair° Ce qui ne diminue
pas la g4n4r~li%@~ oar si n es% pair, la consid4ration de l'op4rateur
P(D) ~ 8(Xn+1) ram&ne le probl&me au cas d'un nombre impair de vat&able. En ef z
f o r s i E(X, Xn+ l ) es% une s o l u t i o n @16mentaire de P(D) ~ 6 (Xn+ l ) ~ l o r s
~ +~ -~(z't) ~(t)dt sera tune solution 614mentaire de P(D), pourvu que
~2i (~! ~) et ~(o) =
Reprenons le raisonnement du th4or~me (II.3-5) avec ses notations~ Si
une fonction f, enti&re es% d'ordre p ~ ~ < I , alors, pour tout ¢ > 0
il existe des constantes K I et K 2 tels que
_A
I e) ~ z E C n et r > 0 ~ ~ Itj(z)1-9"~ ~ K1(r ~IzllP+e+ I)
Itjl>~
2 e) Pour t o u t Ilzll= 1 , e t t E @ , I t ! ~ 2 t e l que ~ j I t - % j l 2 1 t j l -p -~
(~ono A ( t j ) - - I t j l - ( ~ + ~ + 1 ) ) , o~ a
Lo~ l f (t~)l ~ -~2 ltlP+'
Dono, s i z 6 ~n, I lzl l= 1 , d'apr~s 10), i l e x i s t e ~ ( z ) ETR t e l que
l~(z)l ~ 2 K I et tel que tout % 6 ~ v4rifiant Im t = ~ v@rifie les
c o n d i t i o n s de 2 ° ) ~ s o i t a l o r s ~ = {x E R n t lx t l : 1} et pour t o u t x 6 80 ,
notons D(x)~ la droite u + i ~(x), u E £q orient4e par u croissante.
0naalo~s ~ et ~teD(~),Loglf(tx)l~-~21tl p+~
I Soit f(z) = ~(-z)~ qui est d'ordre p =- o Consid@rons un 6 > 0
I suffisamment petit tel qu'il existe ~ > I avec p + 6 < ~ < I . D@finissons
une forme lin@aire sur ( IPl ! 8) par la formule
~ . . . . > 1
® teD(x)
80
III.22
qui est bien d4finie, oar ~ ~(Ipl! 8) implique qu'il existe tune oons%ante
A> 0 telle que, pour tout x 6 ~ et t E D(x)
P
On voit de m~me que Itapplication ainsi d4finie transforme ensembles born6s
en ensembles born4so Elle d4finit donc un ~14ment de ~'(Ipl~8), soit E °
Montrons qu'on a
P*E = 26
I c'est-~-dire ~ E est tune solution 416mentaire de
A P . Soit alors
(2~) n
(2n)n ! E ~" tn-1 t~
mais (n-l) 4rant pair, en effectuant le ohangement de variable % ~ - t
darts la derni&re intggrale~ il vient
o.q.fod.
D'une faQon g@n@rals, il r@sulte du th4or~me (Iio3-I), (III.I-14) et de la
proposition (IIIol-3) le %h4or&me suivant
T h@pr~me III.2-3 : Soit M(p) 6j~ tell% %u'il existe une suite Q(p)E~telle
que les fonc tions M(x) et Q(x) satisfassent aux conditions (i), (ii),
(iii) et (iv) du th4or&me (II.3-I). A10rs tout op4rateur diff4rentiel d'ordre
fini ou infini de la classe M(p) est inversible (pr4ois4ment inversible
8i
I I I . 2 3
I
t~1-'+= ~(p)
sph@rique~ tr&s r@guli~re et satisfaisan% g
Ainsi par exemple, les op6rateurs diffgren%iels de la olasse
j=2
j=2 savons pas si le r@sultat subsiste si I < ~ < 2 . Nous ignorons aussi si
tout op4rateur diffgrentiel d'ordre infini est inversible.
2.1pzersibilit~ des opera%ours ~vpoellip%iques ~ Soit M(x) la fonction
associge & une suite M(p) 6~° On a la proposition suivante g4n4ralisant
un %h4or~me de HBrmander (cf.tho3.4 po153 de [17]) .
Proposition I.II.2-4 ~Soit S 6 g'(N(p)). Suoposons que route fonot%pn continue
telle Que S * ~ 6 6o(M(p)) soit confinement dgrivable. Alors, il existe
des cpnstautes #qsit~ves
compact ? on a
(Pa r suite
A ot H telies %ue pour tout x 6~ n hors d'un
A ~ (-~(~)) S est inversible dans ~.i,e S@(~ =~)
Dgmonstration s Par le th@or&me du graphe ferm4, on sait qu'& %ou% ouvert
relativement compact U ° , il correspond un ouver% relativement compact U
et des cons~antes positives B et H tels que pour route fonction ~ con%inO-
ment dgrivable, on a
xEU o - 3 xEU x 6 U (p)@N n ~IPIM(p) ;]
82
111.24
Prenons ~(x) = Exp (-i<y,~>), y ~ IR n fix@, il vient
llyll
Dana pour tout
n
r ' v ly j l ~ B (1 + t'~(y)l ~-~ ~I(zH)
y ~ rR n , iiyit ~ B + ~ , o~
I
c.q.f.d.
Comme corollaire~ nous avons
Th4or~me III.2,5 ~ Soit S une ultradiRtr~bution ~ support qpmp%pt~ supposons
que S v4rifie l'u~ue quelconque des conditions suivantes.
2. Touts T 69 ' %yea S * T 6 g est dans 6
3. Tg,~t~ T ~, ~wo s * ~ ~ ~(~(p) ) ~st d~s ~(M(p))
4. Touts ~ , ~ c s * T ~ ( ~ ( p ) ) ~std~ns @
D4manstration sEn effet, il suffit de remarquer que chacune des quatre
conditions entraine la oondition de la proposition (III°2-4)
coq.f.d.
3. Constrnotion d'une fonation ~ 6~ inversible dans ~'(M(p))
Nous allons faire aerie oonstruotion darts le oas d'une variable° A partir
de !g, si $ est une solution~ en n variable, la fonction
e(~:) = ,i,(%) ° . . ~ ( ~ )
sera une fonotion dans~ st ~'(M(p))-inversi]ole . (Nous nous inspirons
d'une oonstruction faite par M° Roumieu [33], dams un autre but)"
Salt
j=1 O
$3
III~25
1 qui est une fonction enti&re d'ordre
de Fourier d'un op4rateur diff@rentiel
de Gevrey° Comme
. Elle est donc la transform@e
P(D) d'ordre infini d'une classe
il vient
I f (~ ) t~ s~p( Ix lJ
t4), ( iT ) 2
dono~ la fonction
1 r += -ixu e
~(=) :~ J_~ ~-'-T['JT " ~
qui est la solution 414mentaire de P, appartient &
4valuant l'int~grale, on volt que
~J ,,,. ~(x) = f o si x< o dx J
-i i ........ A z
,~=1 ( -%)~01' '1 ( 1 - ~ ) z,/=
~((p,)2), st, o~
si x> 0
Or ~2
lim sin n x 2 I r-z ~x(1 -~)
I
2
Dono~ pour %ou%
ob%ient
x~ a _£ 2 x
> 0 ~ en majorant e par (~2a)j+2 9 on
Dono ~ est ana!ytique hors de l'origine .
84
III.26
Soit alors X E~(P~) a, I < ~ < 2 , identique & un sur un voisinage
de z4ro. Nous voulons montrer que X~, not4epar 4, poss~de la propri4t4 3
du th4or~me IIio2-5 . La fonction # est donc~-inversible. En effet, on a
6 = P * ~ = P * ~ + P *(I -X)w
aveo f = P * (I-x)~ E~(P,) ~, car P op&re sur~ (p,~). Done si T 6 ~ '
vgrifiant $ * T E 8(pi~), on a alors, si 8 6~(p! ~) , identique & un sur
[-~,R], ~> 0 ,
~=~ ~* (p *¢ +f) = (S ~*~)*p + (~ ~)*f
off 8 T * f E ~(pl ~) puisque f E~(pI~), tandis que !a restriction de
8 T * ~ & [-(R-r), R-r] coincide avecla restriction de T * ~ , si
[-r,r] contient le support de $ .Donc, de $ * T E 8(p!~), on dgduit,
compte tenu du fair que P op~re sur ~(p~) , que la restriction de
B T & [-R+r, R-r] ~ qui coincide avec la restriction de T, est de la
classe (p!)~ o D'c~ le r4sultat en faisaut tendre R vers l'infini. c.q.f.d.
Par ce principe, nous allons montrer le th4or&me suivant essentiellement
prouv4 par M.Ehrenpreis en utilisant la %h4or~e des espaces aualytiquement
uniformes. (cfo [12]) o
Th4or~me 111.2-6 ~ Soit F un Frechet. Soit 6(~ ~ F)
ind4finiment d@rivables d4finies sur R n & valeur daus
De fagon plus pr4cise~ nous prouvons que pour toute pattie born4e ~ de
6 ( ~ ; F) , i l e x i s t e tme f o n c t i o n ~ E ~ ( ~ n ~ C) e± tnqe p a r t i e boz~q@e B
de 8(m n ~ F) telles que
l'eszace des fonctions
F, alors
85
ZZZ.27
Nous allons prouver le rgsu/tat paritel suivan%
Lemme : Si ~ est une pattie born6s de 6(ill ~ ~), il exists ulqe fonction
~0 6 ~(~:¢)et ,un,e ,p%rtie B born4e darts 6(m ; C) tel , le que,, %9 * B = ~ .
E% le r~sultat annonc4 s'en suit. En sffe%~ on salt, selon Grothendieck
(of.J15 A]) que 6(R,F) = g(~,C) ~ F et que tout 41~ment ~ dtune
partie bernie ~ de g(FR ~ F) se met sous la forms ~(x) = ~. k jfj(x)ej 0
oh ~hjl ~ i , les fj fo~ant =e partie bo=4e de e(m ~ ~) 0% les -4
e. une pattie bernie de F. 3
Don% il exists une fonetion ~0 E~ (e ~ ~)~ une strife gj bernie dans
que %0 * ~ = ~ et les ~ ferment une pattie born4e de g(~, F).
Ceei s'applique, en partioulier~ de fagon r4ourrente g 6(~ n ~ F) oar
8(~ n ~ F) = 8(~ ~ 8 (~n- l~ F))o
Preuve du lemme : So i t ~ une p a t t i e born6s de 8(~ ~ ~) . Nous a l l o n s c o n s t r u i -
re ~m o p 4 r a t e u r d i f f 4 r e n t i e l d ' o r d r e i n f i n i P d ' u n e c ! a s s e de Gevrey~
soit (p!)6 tel qufune solution 416mentaire E E ~0R ~ ~) soit analytique
en dehers d'un compact K . D'autre part, on exigera • (III.2-2) ~ f E ~,
P f E 8(gl ~ ~) et l'ensemble P * (~) rests born~ dans 8(~ ~ ~) •
Alors soit ~ ~ (p!V) , ~ < 6 e% de support contenu dans [-r,r] identique
un sur K o Posant q = ~ E. On voit que : touts T 6 ~' tells que
• T E ~e(p! 8) est un 414ment de 6(~ ~ C). Car~ eonsid~rant ~ (p!6-e)
6 - I > ¢ > 0 , idsntique & un sur I-R, + R], de l'idcntit~
(III.2-3) 8 T : B T * (P * E) : (8 T * %o) * P + 8 T *((I-@)E * P)
0~/ P * (1-~) E E ~(p!6-~) ptlisque P 6 8'(p! 6) done op~re sur~(p! 6-~) ,
on d~duit que la restriction de T & ]-R+r~ R-r[ ~ qui coincide avec la
restriction de 8 T es% dans ~, pourv~ que la restriction de ~ T *
86
111.28
]-R+r, R-r[ soit dans g(p!8) .Donc T ~ g en f~isant tendre R vers
l'infini. Ce qui montrer~, d'apr~s les propositions III°2-4 ~ III.1-5 et
le ~h@or~me III°1-7 d'inversibilit@, que l~ fonction ~ est ~,(p~8-~)_ in-
versible. Done f ~@tant donn@e, il existe T ~'(pl6-~) telle que
~*T=f
Utilisant de nouveau (111.2-3), tenant compte aerie lois de (IIio2-2), on
volt que T E g • Enfin, les espaces~'(pl 6-¢) @tan~ des Preohet-Sohwartz
de la surjectivit@ de l'homomorphisme T ~ * T ~ on d@duit qu'il existe
une partie B bo=~e dans ~'(p:6~), pr@-ima~e de ~. L'iden~it~ (111.2-S)
montre, en fait~ que B est born@ darts g .
Construction de P ~ Posons
I !
A I Soit a~ d@fini par r@currence par a I = Sup (4, ~T ) et
O
A' h,.~= sup g. ~+...._.~I 2,,~ ) k.A'~ ' ~+'*-~ " ° On posera A~ = a 1 , o . h e~, b~= a ~ ( , e l ) ,
On a A£ > A '~ e t be ~ 2 b ~ _ 1 , b 1 ~ 4 °
Consid@rons la fonction d@finie sur ¢
2
qui est enti~re d'ordre z@ro. C'est done la tra~sform@e de Fourier d'un
op@rateur diff@rentiel P(D) d'un6 classe de Gevrey° Comme
£
g et y forme un ensemble born@. P(D) (~) c
87
III.29
Consid4rons d'autre part~ les int@grales
~ +~ tZ e -ixt
qui sont absolument et uniform6ment convergentes. Dono
I ~ -ixt ~,~, E(X) = e~-WTTT- dt 6 g
C'est une solution @14mentaire de P(D). Montrons que E(x)
pour x % 0 . Pour oela~ nous allons @valuer E(x)° On a
est anal3rtique
~ --- 1- """ ~ . °~ b. ~~'~ l~l~=.~ ~ ~ ! ~ ! ~ 1 ) o b. ~' ~ ~ ( , - ~ -- r-r(~-~m~
m%j m%j
b . (1.~,~m-j Comp%e tenu de 2b~a ~ b~+ IJ , soit < , si m> j ~ on tire :
0 b ~ ( - ~ b ) ~ - ~ - bm ~ b m ~>j e
e t
Dono~ pnur x % 09 on a
~" " E ~ ( . j ~ j I~1) 2 r .',
J
Ce qui prouve que E(x) est analytique en dehors de l'origineo
coq.f.d.
4. Construction d'une distribution non inversible. Contrairement au cas
des hyperfonctions dans lesquelles, on salt, d'apr~s une proposition de
Martineau (of.[24], ohapitre II, proposition 5°3) que tout op4rateur de
M.
88
III. 30
convolution d~fini par une ultradistribution ~ suppor¢ compact est toujours
inversible~ i.e applique l'espace des hyperfonctions sur lui-m¢me, darts
le cas qui nous pr@occupe, M. Ehrenpreis a oonstruit (cf.[10]) l'exemple
suiv~ut, qui n'es¢ inversible dans aucune ciasse non quasi-analytique que
nous reproduisons afin d'6tre complet~ I1 consid~re la fonction d'une
variable
2j! j log2j
qui est enti6re de type exponentiel I. Comme elle est born~e sur ~, c'est
donc la transform6e de Fourier d'une distribution S & suppor¢ dans
[ - I , + I ] , De
~ o~ x = j log2j sup IF(xj +y)l ~ - 2 ' j t o ~ j , "
jlogj
On d~duit~ d'apr~s le th@or~me 111.1-12 que S n'es~ inversible dams aucune
olasse des ultradistributions constrtuites ~ partir des fonctions non
quasi-analytiques oar, si x ~ > M(x) est une fonction croissante telle
que
o l + x 2 clx< + ~
On aura~ pour une infinit6 d'indices X° .7
j , M(xj) ~ j lo~ j
c.q.f°d.
89
III.31
§ 3 • - La convolution et I e support singulier
I- Nous allons g@ngraliser au cas des ultradistributions et au support singulier
le thgor~me bien connu de M. Lions: L'enveloppe convexe du support d'un produit
de convolution de deux distributions ~ support compact est @gale ~ la somme des
enveloppes convexes de leurs supports. Nous appliquons ensuite ce r&sultat au ph~-
nom~ne de la propagation de ia r@gularit~ d'une solution d'une @quation diff~ren-
tielle d'ordre infini. (Pour le cas de la solution d'une @quation diff~rentielle
d'ordre fini, ce ph~nom~ne est montr& par MM. Boman et Malgrange of. [5~ , [23] ).
Afin d'abrgger les ~critures, naus notons par W (resp. ~ )
(le support M(p) - singulier) d'une ultradistribution W et par
le support
r(H) (resp. r(~))
l'enveloppe convexe de l'ensemble W (resp. ~ )
Proposition III.3-1 : Soient W et W' deux ultradistributions ~ support com Z
pact, alors F(W) + F(W') = F(W e W')
D@monstration: I1 suffit de r@gulariser W et W' pour se ramener au cas des
distributlons~ c.q.f.d.
Supposons que W et W' op~rent sur la classe M(p) . Si a et a' sont
deux fonctions de ~(M(p)) identiques ~ I sur un voisinage de ~ et ~' res-
pectivement. Ecrivons :
~" = ~w + (l-a) w
W' = a'W' + (I-~') W'
W , W' = aW St dW' + (termes r6guliers)
On obtie ~
Soit :
r (~ .~,,w_L) ~ r (w) . r ( w , )
Nous allons montrer que, si l'une des deux ultradistributions est un op@rateur
90
I I I . 3 2
diff6rontiol d'ordro infini satisfais~nt A cortaines conditions (conditions
toujours remplies s'il est un op6rateur diff6rentiel ordinaire), alors il y a l~6ga -
izte. Nous obtenons alnsi une g6n&ralisation d'un t :eoreme de HSrmander (cf. th6o-
r~me 4.h p. 161 de [17] ).
• p ~ P ° • Remarque : Ii est interessano de donner une caracterlsatlon des W tels que
~(~[* W') = ~) + ~(~') quelque soit W' E g'(M(p))
Dans le reste de ce chapitre~ nous supposons que les suites M(p) sont
"sph@r ique s" .
Th6or~me III.3-2 : Supposons que l'ultradistribution ~ support compact S , 9]06,
rant sur ~ (M(p)) est telle qu'il existe une constante B > 0 et une suite
c n > (111.3-1) ¥ z 6 [- 6 u
II <-Mt (z)
Alors, pour toute W66'(M(p )) , on a F(W) c F(S~ W)
Tenant compte du th@or~me II.3-I, nous obtenons comme corollaire
Th~or~me III.3-3 S i S = P_(D) , ~u on@rateur dlff~rentiel d'ordre infini qui
@pour transform@ e de Fourier une fonction enti~re d'ordre presque inf@rieur
un, telle que ia fonction Q(x) (qui intervient 0ans !e th.oreme II.3-I) est
associ@e ~ une suite Q(p) 6 ~ . Alors on a :
F(Q(p)-support slngulier de T ) = F(Q(p)-support singulier de P(T))
pour toute T E ~' (Q(p)) de Q(~)-support singulier ccmpact.
D@monstration du Th@o~'@me III.3- ~ . Posons K = F(S * W) et L = F(S=) ,
= Max II xll et s = Max il x II - Rappelons (cf. th@or~me 1.2-12) qu'une x6K x6L
91
III.33
ultradistribution S a pour M(p)-Suppor~ singulier =S avec ~(S)== L ,
@iet seulement si : pour tout j E N+ , il existe tune suite ~ = B(J) =
(~m (j))mEN tendant vers l'infini avec m et des constan~es positives
k. et A. telles que J
A
o~ ~(z) o ~(-<~, ~m ~) ~t ~a ~onot~on d'appui ~u compact ~
Nous pouvons prendre, ici, pour B(J) une suite M(p)-~doptge puisque
nous avons supposg que S op~re sur ~(M(p)) .
De m@me~ pour ~ * S , nous trouvons une suite ~ = ~(j) = (~m(J))m6N
tenda~t vers l'infini et des constantes h et B. telles que
( I I I .3 -3 ) II~]~j M(hjx)
En prenant pour h. et 3
k.=h..
k.j le inf(hj~ kj)~ nous pouvons supposer que
Nous allons nous servir de (III.3-1) et du th~or~me II.1-~ pour
dgduire une estimation analogue pour W , qui nous permettra d'estimer
le support M(p)-Singulier de W .
Soit m > I fixg. Choisissons un nombre positif d tel que~ pour
tout couple (z = x+iy, z' = x'+iy') E C n X C n hors d'un compact ~ les
conditions
( I I I .3-4)
implique
done, de (III.3-2) , on d~duit pour un tel z
A Sup IS(z+s')]~Aj[~(~(iy) + ~m Mr(z) +
11Z'tl ~m Mr(z)
]l~f+m Mt("))~ J
x Sup ~ F ~ ( ~t (x+x,) 3
92
III.34
mais l'hypoth&se de sph6ricit~ entralne qu'il existe des constantes C O et
C 1 telles que
Sup (~-~D~(x+=,)]) ~ c o ~-p(M~(c~=))
z = x+iy E C n , Donc~ il existe une constante D > 0 telle que pour tout 3
a, veo llYll ~; J ~ ( h j x ) , on a
1 11.~1 ~( cl x ) ] Sup l~(z+z')i ~ D. EXP~L(iY ) + (s + 7 )m Nt(z) + . + it ~ ' l l~ ~t (~) ~ J
A A On obtient de m@me une estimation analogue pour S W ~ soi~
Sup ~t(~)l ~ ^ I IMI + M ( c~ ) ] llz,ll~m W(z+z')l~D ~ Exp[HK(iy ) + (w + 7 ) m ~t(z) + j
Dono~ du th~or~me de division 2r
I (z}l = upt p-" It z'tt~p
Sup Is(~+z') S,=plSW(~-w) ~ ' ~ r ~ IIZ'lt~ t --
avec
Pour tout
e t
m Mt ( z ) e t r = Mt (z ) , r 6 s ~ t e p=
z = x+iy E C n hjx , aveo llYtl ~ J M( ) , on a ,
A
2, m-1 m-1 m+1
F.j = D'(Dj)o (B)
a(~) = (,., + ~. )~ ~t(z) + ll.vli + N ( c ~ ) + ~ (~+ 7 )m Mt(~)+ (%=) J
m+1 + m--T~t(z)
93
III.35
Soit
~u*ai~ que (~m)m~ e± (~m (J))m~, son~ ~es suites 9'(~(p))-mop-
~es, on voit ~u'iz existe une su±te ~(j) = (~m(J))m~ tenda~ verb
l'infini 9 %elle que le premier terme du second membre de la derni~re
in6galit6 soit major@ par M (x). D'ofi
I (III.3-5) G(z) ~ ~(j)(x) + 7 (I + ~-I ) 11~1
Donc, pour l'entier j donn@, choisissons j' tel que
I ~-I I kt = d., et At = Fj, . On a 7 ' (1 + ) K 7 ° Aveo 6 ( j ) = ~ ( j ' ) , 3 3 3
19(~+iy)l 2 tL~I 3
d&s que
llyll ~ J f M(k~ :~)]
Ce qui prouve que
En faisan% tendre m verb l'infini, on obtient
r(~) c r ( s * : ¢ )
C.QoF.D°
94
III.36
Remarque ~ Si nous rempla9ons la condition (III,3-I) p~r" S es% ~'(M(p))-
inversible (ice ~ x 6 ~n , on a ~p l~(x+~) 1 ~ B Exp(-Mt(x)) ) on
II~ ~t (~) 2 2s
o~ ~(r) d@signe la boule de centre O et do rayon r, tendis que
o =~Ixll o5 ~uo s : ~ II~II , c~, po~ ~p~i~ io t~or~me do division, x£L
on doit prendre cette fois-ci
r(z) = I!Im zll + Mt(Z ) et p(z) = m r(z) (et non plus r(z) = Et(z))
2- Ph4.nom~n.e ' .d9 la propagation de !~..r@gularit4
,Prpposition III.~-4 - Soi t S une ultradis~ribut.iqn ~ support 9om~aot
<~d~ (~(p)) de suppqrt ~(p~-Sin~lier, co~.act telle que S * T E g(M(p)) es% en_ fair
z'~z~m~t ~ ~(M(p)).
D6monstration : Consid@rons d'~bord le cas of~ T a un support compact. La
condition (II!o3-3) est alors remplac@e par ~ Ii existe des constantes posi-
tives AI~ A 2 et A 3 telles que
z 6 C n , I(S * T)(z)I g A I Exp (-M(A2z) + A 3 lllm zll )
soit, ~ x E ~n ,
AICI" Exp ( 3A3~lt (x)-M( C 2"x) )
L'existence des CB' e% C~ provien% du fei% que l~(p) est sph@rique.
Remplagons (111.3-2) par le relation ~ !I existe des constantes DS et D 2
et une suite (8~)~C ~ M(p)-~daptge telle que
z 6 ,n , l~(z)l ~ D~ Exp(D2111m zll + ~(Z))
95
IIIo37
soit, ~ x 6~ n
A ) Sup Exp (~n.~-7) Sup Is(~ + c)l~ ~(~ ~t(~) llcll~t(x) :~(~ + ~)
D I c~, ~ ( ~ ~Mt(~) + ~ ( c ~ , ~ ) )
La formule de division
l~(~)l ~ Sup I~ ~(,.+c)! Sup I~(z+c) l /s~ 1/~(~+~)12 llctt~3,q(~) / I I cil~,q(~)
donne:
i~ AI 1 1 IC"D'C"' ~ ~ ~ n (~11 ~ B 1 (3(A3+D2)Mt(~)+2~t(~)+~(C~'x) - ~(O~ ~))
En se servant de la condition de ~'(M(p))-adaptation s11r les suites (t~)
(B~), on ~oit qu~ • est bi~n d~s ~(N(p)) po~ tout~ M(p) ~ ~(p) ,
done dams g(~(p))~ d'apr&s la proposition 1.2-6 ,
et
Dans le cas off T m'est pas & support oompact, on 4crit T = c~T + (1-(z)T
avec ~ E ~ (M(p)) identique & I sur le ~(p)-Support singulier de T o
On a alors (I - ~)T 6 g(M(p)) done, S * ~T = (S * T) + S *((I-~)T) appar-
%lent & ~(M(p)), d'oa ~T S~(N(p)) ,
coq.f.d.
Si 8 = P(D), un op4rateur diff@rentiel d'ordre fini ou infini satisfai-
sant aux conditions du thgor&me III.3-3, alors P(D) op&re sur ~ (Q(p)).
On ale %h4or~me suivant, qui, pour un op4rateur diffgrentiel (aux d4riv4os
partielles) ordinaire, & @oefficien~s existmmts test ~ouv6 par
M.M Malgrange [23] st Boman [5].
Soient F tun ensemble ferm4 convexe de rR n ot Q un ouvert de ~n tels
que~ d@signant par Ha le demi espace ferm@ de ~n d@fini par x I ~ a
l'ensemble (f] n F n Ha) soit compact e D4signons par Oa l'int@rieur de
96
IIio38
O 0 Ha ~ on a
T h@or~.me III.3-~ : Sous les h~ypoth4ses ~@om4tri~ues pr4q@den.~S, soii
~. SuDDosons que le Q(p)-Support singt~ier de T est dans F , Alors la
e(Q(p) ~t restriction de T ~ ~a es% darts ~ ~a) si .... seulem~nt si la
restriction de P * T & Oa est dans g(Q(p), Oa)
2. Supposons qu'en d~ehors de F~ T est analyti~ueo Alors la restriction de
T & ~a est analyti~ue si et s eulement si la restriotionude P* T &_
Oa est analyti~ueo
Dgmonstration ~ La seconde partie rgsu!te imm4diatement de la premi&re pattie
et du thgor~me Bang-N~ndelbrojt sur l'intersection des classes de fonctions
indgfiniment diff@rent~ables. Montrons la premier@ partie.
ZQ ~ la condition es% manifostemon% ~'op4r~to~ P(D) operant sur ~ (p))
ngcessaire. Pour la suffisance, nous allons tronquer T pour appliquer le
thgor~me III.3-3. Soit ~ tune fonction de la variable x~ scule, qui est
indgfiniment diffgrcntiable de la classe
pour x~ ~ a - ¢ ~ & z6ro pour x I ~ a -
un Q(p)-Support singulier oompacto Comme
QZ = IPl =%inf Q(p) , identique & un
° L'ultradistribution ~ T a done
T E~'(Q(p)) , on peut appliquer la formule de Leibniz-H~rmauder g@n4ralis4e
(of. proposition 1.2-14), soit
Comme %ous les termes de la s4rie s'annulent pour x I < a - ¢ ou x I > a -
o% q~e ~(PT) est dans ~(Q(p)) , le Q(p) -support sin~ulier de P(~T)
es% contenu dans ~ Ha_ e . Done 9 d'apr~s le th@or&me IIIo3-3~ il en es% de
re@me pour le Q(p)-Support singulier de ~ T . La restriction de ~ T
Qa-~ ~ qui coincide avec celle de T~ es% alors darts g(Q(p), ~a_~)o Le
97
%h6or&me en r4sulte, @rant arbitraire. o.q.fod~
III.39
§4.- E~istence des s oluGions, d'une 4quation de
convolution darts tune olasse de fonctions
q uasi-analytiques
Nous @tendons le %h4ortme 111.1-7 d'existenoe des solutions dans go(M(p))
au cas o~ la suite M(p) no v4rifie pas forc6men% la condition de non
quasi-analytioi%6. De faton pr6cise~ la suite M(p) es% suppos@e log~rithmi-
quemen% convexe~ d6rivabls, multipliable eG sph4rique. La condition do non
quasi-analytioit6 es% rempiao6e par
a > 0 ~ lim a (p) M(p)> 0
Cctte oondiGion nous perme% d'associcr ~ la suite M(p) sa fonction associ6e°
La m@me condition nous assure que l'espace 6o(N(p)) oontien% %cures los
fonctions exponenGielles ice les fonotions (x~---> Exp i < ~x >) . (L'espace
6o(M(p)) @Gang d@fini de la re@me ms~ni6re que iorsque M(p) 6 4est muni d'une
topologie de Freohet-Schwartz d6finie de la m6me faton)o On d6finit encore la
transforn~ de Fourier d'une forms lin6aire continue T 6 g~(M(p)) par
@(z) :~(~ >E~i<~.~)
qui est tune fonction enti~re sur ~n On monGre [30] que les fonctions expo-
nentielles song totales dans 6o(~(p)) et qu'il y a correspondant biuniveque
A entre T E g~(M(p)) st sa transform@e do Fourier T .
Ainsi, prenan% M(p) = (Ipl!) ~ , pour ~= J l'espace go(Ipl! ) n'est
mutre chose que llespaoe des fonoGions enti&res ~ et pour 0 < ~ < I 9 on
I obtien% l'espaoe des fonotions enti~res d~ordre ~ e% de type minimal,
Rappelons qu'~ne suite h > 0 est digs So(~(p))-~d~pt~e, si pour tout
H > 0 eG touG a 6 ~ ~ il existe H' 6 ~ ~ tel que
98
III.40
V z e C n , M(H z) + a Mh(Z) ~< M(H'z)
Ii vient
Th~or~me III.4-1 : Soit S 6 [ eo(M(p)) ] ,
et satisfaisant
operant sur ao (M (p))
(III.4-1) Sup IS(x+z) I ~> Exp(-Mh(X)) II zli<~M h (x)
o~ h est une suite
S~(%(M(p))) = go~(p))
&o (M (p) ) -adapt~e. AiQrs S
Darts le cas o~ la suite o~ la suite P! est ao(M )- M(p) (p)
adapt~e, nous pouvons prendre alors Mh(X ) = llxll , le premier
membre de (III.4-1) est donc sup~rieur ~ IS(o) I que nous
pouvons supposer non nul. Donc (III.4-1) est v~rifi~ automati-
quement pour toute S 6(&o(M(p)))' , on a donc le
Corollaire : Soit e ~ 1 alors S ~ , (ao(p!~)) pour toute
S ~ (eo(p!~)) (D~montr~ aussi par M.Martineau dans [28] p.137)
(Les S e (~o(p!~)) ' op~rent sur &o(p!~))
D~monstration du th~or~me III.4-1 : Comme &o(M(p)) est un
Frechet-Schwartz, il suffit qu'on prouve que l'application
transpos~e est injective et ~ image ferm~e pour les suites. Ii
r~sulte donc du
Lemme : Si une suite T i 6 [&0(M(p))] '
a :
i) II existe H > O , k > O et A > O
ITj(z) l < A Exp(S(Hz) + kllIm zll)
converge vers T , on o
, tels que V z e C n
, j = 0,i ....
2) Tj (z) converge vers To(Z) sur tout compact de C n
99
III.41
Car du fait que T est la limite des T. , T est divisible o 3 o
par Set il ne reste qu'~ faire la division cormae dans le cas
du th~or~me III.l-7 pour voir que To/S satisfait ~ une
estimation du m~me type que les Ti , et d'appliquer le th~-
or~me suivant dQ ~ M. Neymark (cf.[30]) pour conclure
Th~or~me de Ne~rmark : S_~i ~ est une fonction enti~re telle ~ue
IU(z) I ~< C Exp(M(Hz) + kHIm zU) , V z e e n
%
Alors il existe U 6 [ e 0(M(p) ,~n)] , unique telle que U = U
Preuve du lemme : La suite T l
born~e, il existe alors h > 0
f e &o(M(p) ~R n) , la condition
convergeant vers T o , donc
, k > 0 tel que pour tout
Sup Sup TD(P)f(x) I ~< 1 LI xll ~<k (p) hlP~S(p)
implique ]Tj(f) I < A. Ii suffit d~s lors de consid~rer les
fonctions
x I > fz(X) = Exp(-M(h ) - klIIm zll + i <ZoX>)
pour obtenir (i).
Pour (2), il suffit de remarquer que, quand z parcourt un
compact de ~n, l'ensemble (x ~--> Exp i <z,x>) reste born~
dans ao (M (p) ,~n)
100
CHAPITRE IV
LA REGULARITE INTERIEURE
Soit
On consid~re les propri4t4s suivantes :
un 414men% de ~ et
(R 1)b , S est A~-inversible .
(R 3) route T E~'(M(p)) satisf~isant
de S(~(~))
§ I - Po, sition duprq,bl~me
S une ultradistribution g support compact d'une olasse
satisfaisant &
S*TES
S * T 6 (~ est
est un 414ment de g.
est un @16men%
Dgfini%ion IV.I-I : L'op@rateur de convolution d4fini par S
analytique ((resp. M(p) hypoelliptique, faiblement M(p) hypoellip%ique)) si
S poss~de la propri6t4 (R I) ((resp. (R 2), (R 3)))
Nous mon%rerons que (R I) ~> (R 2) ~ (R 3) e% que les r~ciproques
son% fausses .
Nous montrerons encore que si S poss&de la proprigt4 (R 3), alors S
est~-inversible . Mais nous n'avons pas pu montrer que (R 1)b es% une
cons4quence de (R I)o .
§ 2 - Les Mt ~ hypoellipticitgs ........... ~Pl ............
es~ di% ellip%ique
I-Caz~ot@risa%ion z Sol% S E &'(Q(p)), nous avons le th4or&me suivsmt
4%endan% les r4sultats de M. Ehrenpreis (cf. [10]) au cas des ul%r~distribu-
%ions .
101
IV.2
Th@or~me IV.2-1 ~ Co nsid~rons les propri@t4s suivantes
(i) S est M(D) hypoelli~tique (Rest. faiblement M(D) hypoe,,!,,li~tique)
(ii) II existe des cons tantespositives A, B, C et D (( resp. A, C, D et
une suite (Y£)Lg~7 des hombres positifs tendant vers l'infini)) telles
que
(IV.2-1) pour %0u% ~= ~+ i~ E ~n satisfaiso.nt ~ II~II~C
on a A
(~v. 2-2) Is(c)! ~ tklt -~ ~ ( - A II~tl) A
((~es~. (ZV.2-2 ' ) IS(~)I ~ S ~ ( - ~ ( C ) - * l l~l l ) . ) )
s$,n~l,~er ,oompa,q¢tel le cue (S * E - 8) 6 ~ .
A lo rs on a ( i ) - -=> ( i i ) ~ ( i i i ) • ,~! on suppose quo S ( ( resp . S e t
o p~re (( o,z,~,ren~ )) s~ (Z(p)) alors (iii) ~->(i) .
a S ~ M(p) S u ~ o r t
s ) )
(Dans 1¢ cas oG S est un op6rateur diff6rentiel, des r4sultats simil~ires
on% 6t4s donn6s par BjSrok [ 2 ] )
On a imm6di~tement le
Co=on~i=e zv. 2-2 ~ .Soit s ~ ~ , ( ~ ( p ) ) e ~ = a z ~ s ~ ~ (M(p ) ) , ~Zors ~i s
est M(p) hypoelliptique~ S est faiblement M(p) ~ypoellipti~ue. Ces deux
notions de r6~ularit6 coTncident si et seulement s i S*(D' ) D ~' .
D4monstration du th4or&me
16re p ~ r t i e ( i ) ~-~>( i i )
On raisonne par ~bsurde . Supposons donc qu'il existe ure suite
(zv.2-3) Lln(J)li ~ M( • ) , 7 tl~(J+~)tl ~ tt~(J)tl ~ J(~(c(J)) + ~)
102
IV.3
A (~v.2-4) !s(c( j ) ) l ~ tIc(j)ll - j E~ ( - j ll~(J)ll)
(( Resp. (zv.2-4'). ~o~ to~te ~ (Y~)%eN ten~a~ wrs 1'inf~ni
l~(c(J)) l ~ E~ (-~(C(J)) - J II~(J)II).))
Consid~rons la somme infinie
J
Nous allons montrer qu'olle oonverge darts ~ '(M(p)) vers une u l t r a d i s t r i -
b~tio~, soi~ T, s ~ , C s ~ i ~ t ~ s * T E g (( Ros~ S *T E ~(M(~)) )) • No~s
o~enons iz~qe con'bro.dio~Gion en prol.ivant T ~ Co
~(j)(~(~)) ll~(~)ll ~ ~ ~o~
~!~(~)~(~(~))
~ s~e IIC(~)II ~na~ ~e~ ~'i~in~, o~ ~eu~ ~ose~ ~ue !~(j)! ~ ~ •
,ao~, ~o~ K ~ oom~o~ ~e e ~, ~o~o~ k : ~ !I~l, o~ x E K
I ~ - i <c(.i~.x> I E~ ~l~(J)II , IC(j)(P(J))I K dx
(o~ i =J~ )
Done, pour tout comp~ot K C ~R n et pour tout nombre H > 0 ,
et
i J ~k
,H, Ip(J)I
103
IV.4
Ce qui montre, d'apr~s le th6or&me I. ~-3, que
~(~(~))
J
converge dans ~'(M(p))
(b) S* T E g car
A V(g) E N n , ID(N)(s * T)(x)l ~Z I~(J)(g) S(~(j)) Ex~-i <C(j),x~l
A Se ssrvant de (IV.2-4) ((Resp.(IV.2-4'))) pour es~imer S(~(j)) c~ de (IVo2-2)
pour estimer IExp~ <C(j),x~l ~ Exp llxll, ll~(J)ll on obtien~
1 c-(~)(g) ~-~ [(tlxtt-J) tl~(J)tt~ 1D(g)(s . T)(~)I ~ ~ Iic(j)li j J
Cette derni~re s~rie converge uniform~ment st~r toU~ compact 9 d'oG S*TE8
(( Resp.
ID(g)(s * T)(x)Ig ~ I~(J)(g)!ExP(-~ (~(j) + (llxll-j)!ll](j)ll) J
lgl
J 1pl
0. ~ ~ou~o ~ o ~ o ~ ~ i ~ ! ~(~)) ~ o ~ ~ou~o ( ~ ) ~ ~ o ~ n ~ vo~o
l ' in f in i . Dono, d ' ~ 1~ p~,opo~itio~ 1.2-6, S * ~ e 6(M(p)) . ))
(c) Prouvons enfin que I~ forme !in~aire d6finie par
n'est pas continue ~our la topologie induite p~r celle de
que T ~ g
Soit N(p) E M , sph6rique, satisfaisant ~ N ~ M i.e
g, ~ ce qui prouve
1
lim ~T_+~
104
IV.5
D'~pr~s le th~or~me 1.2-i~ de P~ley-~iener g~n@ralis@~ on
l~(Z)l g A ° Exp (IIIm zll - N(B ° z))
don% Be servant de la d6rivabilit6 de la suite N(p)~ on trouve une
constante C telle que o
C
(iv.2-6) I$(~)I ~ ~ E~ (III~ ~II- ~(c o ~))
Pour chaque j E ~, posons k( j ) = M(C(j)) et soi t Vj(z) = j
qui est la transformge de Fourier de l'41@ment
~(M(p ) ) . Nous ~llons montrer que I~ suite (v/j)j E~ est born6e dans
8' et que IT(~j)I tend verb l'infini. En effet, de (IV.2-6), on
afortiori
c S 11 Im(z--((.f))ll l~j(~)l ~ o E~ +II ~ II k(j)
c o j k(j) E~ (II~ ~II+ ll~(.i)ll kCj) ) ,,~, ¥' 'If z~C (j)II
De (IV.2-3), on k• c j k(j)
I et i+°il,_C(j)ll ~ 2 0o(I + If,If)
s i llz-C(j)ll ~ , on a "I' '+' IIZ-c(J)II g IIC(J)II ~ 2
II z< (j)I1 ~ II ~ 11, on ~ II ~II ~ 11~ II a'o~
.~ k(.i) + llz-~('J)ll ~ j k(j) ~ ll~(J)tl ~ 2 Ll~.ll
et si
105
IV. 6
En rgsum@
V j ~ , V z e ~ n , } ~ j ( z ) 1 % 2eCo(1 + I lz l l ) Exp ItIm zll
ce qui prouve que I~ suite (~j)j E ~ est bornde dans 8'. Toujours de
(IV.2-6), on obtient
C o j k(j) lllm~(~) - Im C(m)il _ N(Co l@S(C(m))l ~ s ÷ IIC(3)'C(m)ll EXP~ k(j) ((j)-((m)
k(j) )~
Nous allons estimer eerie derni&re expression .
De (IV.2-3), on
( rv .2 - ' ( ) liz=(t::(.'l~ -.~(,~)11 ~ ll'n(.~)ll+ ll'n(=)lt k(j) k(D
L'in4gali%4 (iv.2-7), jointe & la condition de sph4rici%4 de N(p) mon%re
qu'il existe tune const~ute D o %elle que pour tout couple de nombres (j,m),
j ~m ~ onn
N(Co ((.~)_-~(m)~(j) ) ~ N(D ° ~(m))
Donc
g 2e C o
m~ m m
off la constante A I ne d~pend pas de j. Ce qui prouve que
c.q.f°d.
2~me pattie
grale
(IV. 2-8)
(ii) =~-> (iii) . Pour ohaque £0 6~ (M(p)), considgrons l'int4-
I n
lt~ft=c
106
IV.7
qui, compte tenu de (IV.2-2) ((Resp. (IV.2-2').)), est convergen%e et
reste born4e si ~ parcourt un ensemble ~, tel qu'il e~Iste une constants
A ° ((Respo des constantes A ° e% H ° .)) telle que
~ Ao(1 + II' ll)
((Resp. V ~ 6 J'5, 1~(~)! g A o ~ (-M(Hol~)).)) Ce qui prouve que E so p~olonge par continuit4 en un ~l@ment de ~'
(( Resp. E d4finit un dl~ment de ~'(M(p)).)). On ~ imm@di~tement
= J"
Prouvons que le M(p)-Support singulier de E est oontenu dans la boule
centr4e en O, de rayon A + 2 D , done compact. (Nous avons supposd que D
est assez grand pour que II~ll ~ C ==> M~D ) ~ ~) ~ soi% en sffet x ° 6 ~n
11%11>A+2D, ile iste 1o s ene me I vec
<Xo,1]o> < - (A+2D). Soit U un voisinage ouvert convexe rel~tivement compact
de x ° eontenu dans le demi espace Ix I <x,1]o> < - (A + 2D)}. Alors, pour
I route ~0 E~(M(p), U) st tout ~ = ~+ i~, aveo I]~]I ~ ~
on a, d'apr~s le thdor~me de P~ley-Wiener et l'in4galit6 (IV.2-2') (Remarquer
que (IV.2-2) implique (IV.2-2'))
o~ A ° et H song des constantes ddpend~t de %~ e% o~ H U d~signe la o
fonction d'appui du compact ~ o Compte tenu de II~II ~ ~ ) et du choix
de U o On peut majorer l~ derni&re quantit~ p~r
Soit ~ fort iori
107
IV. 8
Soit F la vari~tg dans ~n , image du compl~mentaire (dans ~n) de la
boule(dans ~n) oentrg en 0, de rayon C par l'applioation
A A Par suite de l'analytioit~ de ~0/S daus [~cnlll~+ i1~ll~C et II~II~ M (~)}
et de l'estimation (IV.2-9) sur l~ croissance de cette fonction, on peut
dgformer la vari~tg d'int~gration
Soit
1 n ~ 1 n
II~ll>c c~r ¢(c)
Consid~rons l'espace veotoriel E(M(p), U) = ~ ~(M(p), U, H) muni de la E>O
topologie limits inductive par les applications na%urelles de 8(M(p),U,H)
dans E(M(p)U) . C'est un espace de Schwartz oomplet, dono rgflexif. Nous
allons montrer que la forms lin6aire E dgfinie sur~(M(p))U) se prolongs
par oontinuitg & [E(M(p),U)]', co qui montrera que la restriction de E
est une fonction de la classe M(p). Pour voir que E se prolonge, on !
considers ~s [~(~(~))~)] , le ~oisi~age ~e ~o ~f ~gfini par
D'o~, en refaisant le calcul de (IV.2-9), on ~ encore
!
Donc E se prolonge& [E(M(p), U)] c.q.f.d
~&me ~artie (iii) ---->(i) A l'aidedes hyPO%h&ses supp!6mentaireso (I1
suffit d'ailleurs de supposer que S * E - 6 E g(M(p))). Soit ~ 6~(M(p))
108
IV.9
identique ~ un, sur le support M(p)-Singulier de Eo Puisque S op&re
sur ~(M(p)), on volt que S * (1-cz) E appartient ~ 8(M(p)). Par suite
w = 8 - S * ~ E = (6 - S * E) + S *(I - ~) E appartient zussi ~ g(M(p)).
Pour montrer que T ~ ~ (r~s, T ~ ~(M(p)) ), nous ~nons tronquer T
De mani~re pr@cise~ d@signons par ~(r)9 la boule dans ~n de centre O,
de rayon r . Supposons que le support de S est sontenu dans ~(s) et
celui de ~E dsms ~ (a). Soit 8 6 (~(M(p)) identique ~ un, sur ~(r)
o~ r > s + a . Alors la restriction de (ST * S) * ~E & ~7~(r-s-~) ne
d4pend que de la valeur de BT * S sur (r-s) et cette derni&re valeur
oo[noide (%oujours SUr ~(r-s)) avec oelle de T * S . Dons la restriction de
(ST * S) * ~E ~ ~(r-s-a) appartient & 6(~(r-s-a)) (resp. C(M(p),
~(r-~-~)) ) co=e
ST = BT* (w- S*~E) = ST* w- (ST* S) * ~E
La suite M(p) 4taut d~rivable~ 8T 6~'(M(p)) et w £ 6(M(p)) entraine
que 8T * w 6 g(M(p)) , D o n c la restriction de 8T & ~(r-s-a), qui co,n-
side ayes celle de T~ est indgfiniment diff4rentiable, Le r@sultat suit
en faisant tendre r vers l'infinio
(Dans le oas de la M(p)-hypoelliptioit@ faible. Par le raisonnement pr@o@dent
on voit que T 6 g. Mais alors, en itgrant le oalcul~ on a oette fois-ci
8 T * w 6 g(M(p)) puisque w E g(M(p)) et 8T E g , d'o~ la conclusion ).
Cette m4thode n'est qu'une extension des raisonnements du livre de
M, Schwartz (o~. [34])
Remarque I ~ Le m@me raisonnement permet de prouver ques~ilexinte E 6~)'[Q(p))~"
analytique en dehors d'~u compact et telle que S * E - 6 E~, alors S
poss~de la propri4t@ de r4gularit4 (R I) a
109
IV. i0
Remarque 2 = Toujours par la m4thode de %ronquature, on volt que si S
operant sur ~(M(p)), est M(p) hypoelliptique, alors S poss~de la
propri~t4 de r~gularit4 suivante
En particulier~ la solution 41~mentaire d'un op4rateur M(p) ~oelliptique
est une distribution. Ceci implique que si S est M(p) hypoelliptique alors
s Dons la onotion in rsi le d ns , oonst t
chapitre III.§ 3, qui poss&de la propri4t4 de rggularit4 (R 3), ne peut
v4rifier (R 2) •
Remarque 3 ~ M. Schwartz a montr4 (cf. [34] remarque qui suite le thgor&me
XXIV) que si T 6 ~' et T ~ 6(M(p)), alors il existe u_ne font%ion ~ 6~
telle qus T * ~ 6 ~ et que T @ ~ % 6(M(p)) . On psut penser ~ la situation
analogue suivante : Si T 6~'(M(p)) aveo T ~ ~'~ alors il existe ~ 6
telle que ~ * T ~' mais ~ * T ~ 6 • M~lheureusement~ oette assertion~
notge (A)~ est fausse. C'est-g-dire, il exis%e T 6~'(~(p)) mais T ~'
te.!%e que l'on a ~ 6~, ~ @ T 6~' implique ~ * T 6 &. Pour voir que
i'assertion (A) est f~usseo Consid4rons la propri4t4 suivante~ S ~tant
toujours une ultradistribution ~ support oompaot donn~e o
(R 5) route T 6~' telle que S * T 6 g ~ppartien% ~ 6
Si (A) est vzaie, il est imm4diat que la r4gularit~ (R 5) impliquerait
la r4gularit4 (R 2) o Le contre exemple suivan% montre qu'il nten est rien°
Consid4rons pour set effet, un op4rateur diff4rentiel S (~ coeffiaients
constants) hypoelliptique (au sens de HSrmander-Schwartz) mais non elliptique
analytique° L'op4rateur S v4rifie alors (R 5), mais non (R 2) pour une
certaine classe ~(p) 6J~, d~apr~s la proposition IV. 2-3 qui suit o
110
IV.11
Remarque 4 g Consid4rons les propri~t~s suivantes
(i) Toute T E ~' (M(p)) satisfaisant & S * T E ~o(M(p)) app~rtisnt
(ii) Pour tout nombre H > 0 9 il existe des constan~es positives A~ B
et c t llesqu ou tout lt tl -gM( )
(iii) ll existe une solution glgmentaire E ~'(M(p)) qui, en dehors d'un
compact est ~ne fonction appartenant & 8o(M(p)) •
On peut montrer de la mgme fagon que dans le thgor&me IV.2-~ que
(i) ~>(ii) ~>(iii)o Et si on suppose que S et E op&rent sur ~(M(p))
alors (ii) ~> (i) •
~.--L e su~ort M(p)-Singulier de la solution ~l~mentaire d'un oo~rateur
faiblement M(p) h,ypoelli~tique
Soit S un tel op~rateur et soit E une solution ~l~mentaire de S °
Notons par E~respo=S)!e support M(p)-Sin~uner de E (resp. de S ).
Si ~ E~(M(p)) est identique & tun, SLUr E . On a S *(I-~) E E 8(M(p)) •
Appliquons la remarque qui suit le thgor&me III.3-3 • II vient la
Proposition IVo2-2 ' : Pour toute solution ~igmentaire E d'un opgrateur fai-
blement ~i(p). h~gelliptique S, on a
V m > I F(E) C ~ F(S) +~(m,s)
2m ofl~(m,s) d~si~e la boule darts ~, °entree en 0 de r~yon ~ Max II~I
. . . . . . . . . xES s t off I~(K) .d,~,signe l~enveloppe oonvexe de l 'ensemble K o
On voit done que si S est faiblement M(p) hypoelliptique pour routes les
classes M(p), sa solution @l@mentaire est analytique en dehors du compact
111
IV.~2
( ~ _ ~ ( ~ ) +#~(m,s)) ~o~
P roDositio D IV.2-3 ~ Si l'op6rateur S est faiblemen% M(p) h,ypoelliptique
pour routes les classes M(p) 6 0~ S e st ell iotiQue analytique .
§ ~ - O p@rateur elliptique analFtique
et la r4~ularit4unjverselle
I -Op@rateur ellipti~ue-anal,ytique - On ale th@or&me de caract4risation
suivant qui se d6montre de la m@me fagon que le th@or~me IV o2-1 o
Th@or~me IV.3-1 ~ Soit S une ultradistribution & support compact o
Consid@rons lee p ropri@t4s s uivantes
(i) L'op,@,ra,teur,,,,de convo,lut,i, on dgfini par ,, ,S ,,v4rifie (R I) a
(i i) II exist# ,un, e c,onstante A >.,,0,,, %elle que ¥ ~ = ~ + i~ 6 C n s a, tisfai-
, I
(~ii) Ii existe une oonstante Bet tune suite Q(p) E /~ telles que
I
(IVo]-I) IS(C)I ~" ~ (-Q(<) -~ h!l)
(iv) ll e~iste ~e ~olutio~ 41~e~t~i=~ ~ ~ ~9'(~(p)) ~e ,l'o~at~
S ~ qui est analT~ique e n dehors d'un co m2aoto
(v) L' opgra%eur S es% el lip tiguewanal,yti que
On a alors (i) ~=> (it) ,,e,t,,,(iii), (iv), (v) sont @quivalente,s,. Si on, suppose
9ue S est ~-inversible alors (ii) ~=> (iii) o
Montrons que (it) ~ (iii) quand S est ~-inversible, c'est-&-dire
quand il existe tune suite M(p) 6 /~ qu'on peut supposer sph@rique e% des
constantes positives A ° et B telles que o
( iv.3-2) v ~ ~ ~ sup I~ (~ : ' )1 ~ A ~ (-~(~)) o
112
IV. 13
Nous allons montrer qu'il existe des constantes positives
tenss a=epou~o~t C :g +i~e ~ aveo IIClI~4A e~
Donc, avec une s u i t e Q(p) E /~ t r~s r ~ g u l i ~ r e t e l l e que l i ra I p t - + ~
on a a l o r s B I ~ ( c ~ t ) ~ ~(~) e t ( i i ) ' en r~su~ te o
soi~o~o ¢ = ~+i~n s a t i s ~ ! s ~ n ~ l l ~ t t ~ 4 A et
II~ll ~ ~ I1~11. ~ o ~ supposons que A es t assez gr~nd pour que M(~) ~; -~ II~ll possible, car lim--'-~)= 0). A un tel C, correspond d'apr~s (c,~t
llilt-'= H-~, ^ (~v.3-~) u~ ~o ~ ~ avee lt~olt ~ ~ ( t ) e~ tS(~+ ~o)l ~ Ao ~ (- ~(~)) "
Alors la fonotion diune variable oomplexe k~'--> g(k) = ~(~ + k(l o - i~])
es% visiblement diff4rente de z~ro dans le disque IX 1 ~ ~ . Nous pouvons
donc appliquer le th4or&me II.2-I g la fonction g avec k ° = I e%
I] < 4-~ , d'ofl
(n~.3-~) I~(o)l > 1~(~)t 3(~+~) / Sup ~ !~(x)l ~ Ixl ~ ' z ' IS~3e l~(x)13~ ~voc H = H(~) = 2 + Log 3_£
Mais du principe du module maximum, on a
At, BI, C I e% D I
ll~ll ~ ~ il:ll, on a
1
o (p) ; =
lx l s ]p I¢(x)l 3E . Sup I¢(x)l 2 ~ S~p Is(c+¢,) l 3~+2 e I ttc 'tl~3e(~( ~ )+11~11 ) lxl ~7
et de (IV.3-3), on a
A Sup l S(C+~ ' ) I ~ B
Itc ' ll~3e(.o.) o o,o)
De !a condition de sph4ricit4, on a
I1~ 'll<3e ( ... ) o
113
IV. 14
9one (IV.3-5) donne (IV° 3-4) avec
3H+2 AI A3H+3 1
=o (T-t-) o o
B~ .. (3E + 3) + (3~{ + 2) (~ + 3e ~o)
CI = Co et D.~ = Be(1 + 3e) (3~ + 2)
c.q.f.d.
2. La r4~larit4 universelle
Proposition IV.3-2 - Soit E E ~'(N(p)) anal,ytique en dehors d'un compact
tel qu'il existe S e g'(M(p)) ave o S * E : 6, alors E e~' .
I~monstration ~ Nous allons montrer~ que sous ces conditions, l'ultradistri-
bution 8 d6finit un op4rateur de convolution M(p) hypoelliptiqueo Par
suite, on a E E ~' d'apr&s la remarque 3 qui suit le %h6or~me IV.2-1 .
* Inf M(p) e% m~- M~ * . D4signons par ~ , l'ensemble
des ultradistributions P de support compact admettant une transform4e de
Fourier de l a forme suivante -
A o___ P(,.): ~ ( 1 +
j =1
(L~ fonct ion ~: > ~ ( z )
2 2 Zl + .oo + Zn )
2 bj oG b . > m . •
J 3
est done enti~re de type exponentiel z4ro). Un
tel op4rateur est elliptique amalytique. En effet la pattie r4elle de
(z2 + "°° + Z2n ) est positive pour tout m = x + iy avec ll~l*=llxll done
A P(~ + iy) =~ o si tNI4Nt
Comme, d'autre part ~(x) ~ I pour tout x ~ e n, P es~ ~-in~ersible
Donc P es% ellipitque-analytique d'apr&s le th@or~me IV.3-1 o La solution
414mentaire d'un tel op@rateur es% m~me une fonction do g(M(p)) o (cfo Roumieu
[32"T p. 186).
114
IV. 15
Nous a!ions montrer maintenant que, quel que soit P 6 ~M ' l'op4rateur
P * S est ~(p) hypoelliptique. Pour cela, consid@rons ~ 6 ~ ,
identique ~ un sum l'ensemble K, hors duquel E est suppos4 analytique
et telle que S * ~ ~ ~ (M(p)). ~ o n o S *(1-~) E = 6-S * ~E £ g(M(p)).
D'O~, si T est tlne solution @l@mentaire de P, on a
(P*S)*(~E*T) =~-S*(I~)~.
Aveo (~E * T E ~' et S *(I-G) E 6 6(M(p)), dono, P * S est ~(p)
hypoellip%ique.
Montrons enfin par absurde que S est M(p) hypoelliptique. Notons
d'abord que IX~U~ toute f E 8~ il existe un op4rateur P 6 @M tel que
P*f6g •
II suffit de poser A~= Sup Sup IA~f(x)l et de prendre
b L > Max (m~, A%_I ) (of. la construction de P dans la d@monstration du
th@or&me III.2-6). Donc, si S n'est pas M(p) hypoelliptique, il existe
alors une T 6~'()I(p)) n'appartenant pas ~ g avee S * T 6 6 . Dono
si P 6 ~M ayes P *(S * T) 6 g qui prouve que l'op4rateur P * S n'est
pas N(p) hypoelliptiqueo Donc contradiction°
Nous avons montr@ le
Th4or~me IV o~-5 : Les conditions suivan%es sont 4quivalentes
J,
2.
3.
.
L'op@rateur S
L'op4rateur S
L'op@rateur S
M(p) 6 ~o
L'op~rateur S
est elliptique-%nal~tique
es% M(p) h,ypoelli~tique pour toute suite ~(p) 6 o~
est faiblement N(p) hyOoqlliptique pour t~ut%suite
poss~de une solutiqn @14mentaire E 6~' qui e st
an.alFtique, en dehors d'un compapt .
115
IV. 16
Remarque ~ On ne peut esp4rer que S soit un op4rateur diff4rentiel d'ordre
fini ou infini. M. Roumieu a construi% (of. [32]) en effet, une ultradistri-
bution de support l'origine qui n'est pas une somme convergente (dans auoun
~t(M(p))) de d~riv4es de la mesure de Dirac, et il est facile de voir que
cette distribution d@finit tun op4rateur de convolution elliptique-analytique.
3. Uneqaract~risation des fonctions a!lalytiques : En relation avec les
@quations de convolution, M. Schwartz a donn@ (ds~ns son livTe, cf [34] th4or~me
XXIV) la caract@risation suivante des fonotions analytiques ~ Soit T 6~D' ,
pour que T E ~ il faut e% il suffit que T * ~ E OLpour tout s E~ o
Nous voulons prouver que T est analytique, si et seulement si P * T E~'
pour tout op@rateur diff@rentiel d'ordre infini P de la forme
D(P) ' off E / ~ ' .
Nous noterons PM pour expliciter que l'op6~ateur est assooi@ ~ la suite
M(p) 6~ ° Si nous d4signons par D(P) l'espace vectoriel des distri-
butions T telles que P * T 6~', on ale
Th4or~me IVo3-4 ~ ~ D(PM) = . . . . . . . . . . . M E,,~
D4monstration : Si T E (L, on a 4videmmont PM * T E(i, V M(p) E %.
Done ~bc O D(PM) . Pour la r4oiproque, nous allons prouver d'abord que M
si T E D(PN) et si Q(p) 6w~estte].le que ~ V Ipl N(pjQ(p) < + ~ , pour %ou% E~5
> 0, alors pour tout op4rateur diff4rentiel de la forme
116
IV. 17
I
Q(D) = ~ a(p) D (p) off llm" )T~,< Ipl~+~ (Q(P) la(p) 1 +
et route fonction ~ E 8(N(p)) , on a T E D(Q) , En partioulier
T E D(Q) . Pour oela, nous allons appliquer la formule de Leibniz-E6rmander
g~n~ralis~e,
Q(D) (a T) = ~ ~I~)IP'(D(P)~)(~ ) , i =~ !
e~ d@montrer que cette somme converge dans ~' ~ il suffit mGme qu'elle
converge pour la topologie faible. Soit donc ~ E ~ donn~, il s'agit
d'estimer
( iv.3-6) I ~ < ~ . , ~ (/iy) Ipl~D(p)~ > !
(p)1(g-p)! ~(g) , (g)~(p)
off <, > d~signe l'aocouplement dans la dualit~ ~ et ~)' .
Soit K le support de ~ , la fonction ~ appartenant ~ 8(N(p)), il existe
des constantes B ° et k ° telles que
x ~ K o ~ ~(p)
L'ensemble ~ = ( D(P)°e ) es t dono born~ dans c~) , Comm e
TED(PN) on a
Sup Sup <~(P)% ~ > = A < +
117
IV,18
Donc le second membre de (IV.3-6) es% major4 par
nlglla(g) l A ° kolPl N(p)N(g_p)
(o~ n est la dimension de l'espace) • Puisque
oonstantes C et h telles que o o
o ~(~)
N(p) 6~, il existe des
de sorte qu'on peut majorer (IV.3-6) par
AoCo ~k!Pl(~,(g)>(p) (n h°)'gl'a(g)'N(g) )
done born@e. Ce qui prouve que ~ T 6 D(Q) . Achevons notre d4monstration
par l'absurde. Soit donc T E n D(PM) , mats T % 6~. D'apr~s le thgor~me
de Bang-Mandelbrojt, il existe done une suite M(p) 6 /~ qu'on peut suppo-
se= M(~) = M(p) pou~ tout
que la restriction de T &
alors l'ultradistribution P
A P(z) = ~
IPI= Igl, et un ouvert relativemen% compact U tels
U n'appartient pas & 6(M(p)~ U) ° Consid@rons
telle quo IPl (~+... + 2 ) 2 ~(p)
qui est un op4rateur diff4rentiel d'ordre infini de la forme Q(D) o
Si ~ E g(N(p)), on a ~ T E D(P) . Prenons pour ~ une fonotion ~ support
compact identique & un sur ~ • Comme pour tout x 6 ~n 21pl
~(x) ~ Sup 11xll ,, = ~ 2 M (IL~I, ooo, ILxll) ~ ~ 2 ~(~) 2
(P) M(p)
l l g
IV.19
De P(~ T) E 6' , on d@duit qu'il existe H ° > 0 tel que :
H
Par division, il r~sulte que •
H
le thgor~me de Paley-Wiener, montre que ~ T E ~ (M(p)).
D'ofx oontradio~ion~ oe qui prouve le th~or~me . o.q.f.d.
Ces r~sultats on± ~t~ annono~s darts une no~e a u x C.R. Acad. Sci. Paris
[t.260 (1965), pp. 4397 & 4399 ].
Pour le oas des op~ra%eurs diffgrentiels aux d~riv~es par~ielles ordinaires,
no%re th~or~me IV.3-3 a ~t~ retrouv~ ul~rieurement par ~:i. Bjork [~] ot
Harvey [~3] -
119
CHAP I TKE V
0PERATEUR HYPERBOLIQUE
§ I -Les op@rateurs l~yperboliques
I - Nous consid4rons darts ce chapitre des ultradistributions et des fonctions
d6finies sur ~n × ~ , dont les variables son% not@es par (x,t), x = (Xl,.°.Xn).
Nous disons
D@finition V.I-I : L'ultradistribution ' ~ support comoact S d@finit un
oD4rateur (de oQnvolution) hyperbolique par rapport & %+ (resp. t ) s'il
9xiste une solution @l@mentaire E(x,t) 6 U __ ~'(g(p~) ayant son M/ ~Ec4g /
su~0portdans tun o6nestr±o%ement convexe IP) q ontenu dans un~emi..espaoe
% m t O (resp. t ~ to)
Remarque :Dans le cas d'un op~ra%eur diff@rentie! d'ordre fini 9 on salt
(of. [16]~ th@or&me 5o5oi) que s'il ss% hyperboiique par rapport a %hue
direotion~ il l'est par rapport ~ la direction oppos@e. II n'en est rien
dans le oas d'un op@rateur diff@rentiel d'ordre infinio Ainsi l'op4rateur
P(D) aveo
j=1 3
poss~de une solution 614mentaire de support darts t ~ O~ mais ne poss&de ~as
de solution 61gmentaire de support dans t g t o , pour tout t o ~ 0
2 [email protected] des opgrateurs hyperboliques : Soit S une ultradistri-
bu%ion & support compact 9 on ale th4or&me suivant qui @tend un thgor&me de
M. Ehrenpreis (of. [11]) au cas des ultradistributions°
120
V.2
Th4or~me V.I,1 : Les trois conditions suivantes sont ~quivalentes
(i) S est hyperbolique par rapport ~ t (resp. t.)
(ii) S est inversible darts ~= U ~'(M(p)) et il existe en outre une
muite M(p)6~ e% des oonstantes pqsitives a~ H %elles que pour tout A
(z~T) 6 gu × C la condition S(z,~) = 0 implique
I (Resp. Im T
1 (~llTm nil+ M((z, ' , ' ))) lint > -~
[HIIIm zll + M((z,T))]. )
(iii), Ii exi,ste tune suite Q(p) 6 ~,pt des oonstantes positive,s A, B telles
Que Dour tout (zgT) 6 ,n X @ satisfaisant & Im T ~ - A [lllm zll+ Q((z~T))],
l~(z,~)l ~ ~ Exp (-B[llIm zll+ lira 'r I + Q((z,T)) ])
D6monstration = (Nous allons raisonner comme Ehrenpreis [11~)
(ii) ----->(iii~ : L'op@rateur S 4taut ~inversible, il existe donc une
oonstante positive A ° et uno suite N(p)6~ quton peut supposer N(p)= N(g)
si JPl = Igl et N(p) ~ M(p) (o~ M(p) est ia suite intervenant dans (ii))
et telle que
v ( x , t ) ~ × ~ , Sup
Dono pour tout (z,T) 6 gum ~, on peut trouver (x,t) 6 An×
^ (v.1-2) Is(:~, 5)1 ~ B o
o~ (Re z) = (pattie r4elle Zl,... , pattie r4elle Zn) ,
de T .
Gel que
Re • = partie r@elle
121
V.3
]1~I ) ~ N(u) ~ N(II~I,...,II~I),~ uec ~+~ on voit qu'il Comme N( ~ "" ° ~ n
e x i s t e u n e o o n s t a n t e C t e l l e q u e . p o u r t o u t ( z . T ) 6 cnx C ~ on o
Sup N((~+~,, ~')) ~ N((cj, COT)) , Co~I
Considgrons alors la fonotion en%i&re d'une seule variable
A ~ > g(X) = S(z + X(x-z), T+ X(t-T))
Supposons que (z,T) v4rifie
(V°I-4) Im T ~ -3Ho(lllm zIl+ N((CoZ , COT)) )
o~ R e~t =e oo~st~nte ~p~=ieur~ ~ M~ (g3, ~/~), o
tons-le provisoirement) dans oe cas g(k) -7/- O~ pour tout
2 On peut appliquer le th@or&me II°2-I avec k ° = I , r =
2 r ...... e6 < 16--~ (avec ses motations)o On obtient
3
(v.I-5) I~(o)l ~ [M(3~)] [~(~ )] [~(~)]
Be o~ ~(~) = 2 + lo~
H m I . On a (admet-
I !xl ~5 "
e t
Posons L(z,T) = 3e(llIm zll + IIm ~! + N(z,~) ) . P a r l e prinoipe maximum,
on
(v.I-6) ~(3~) = ~ l~(x)1 ~ Sup l~(z+~', Ix 1 ~ 3 ~ tt(z',,')tl~L(z,~)
T+T')I
Pour estimer oe dernier terme ~ nous allons exprimer le fair que
(On peut choisir N(p) ~ croissance suffisamment lente pour que
I1 existe donc des constantes A ° e% A I telles que
s ~ ~,(~(p)) ).
A
o Exp ~1(llIm zll + llm TT)+ N((z,T))~
122
V.4
Donc
~A O
D'o~, vu la d4finition de
devient
A
l t (~' ,~' ) t1~(~,$3
L(z)T), et tenant oompte de (V.I-3) ; (V.I-6)
Mg(Be) ~ A ° Exp(A1(3e + 1)(ll!m ztt+llm ~ ! + Be AIN((z,T)) + N((CoZ) Co~)) )
Don% de (V.1-5)) on a a f q r t i o r i , oompte tenu de (Vol-2) et de
~ ( ( z , ~ ) ) ~ ~ ( C o ( Z , ~ ) ) , (c o > I I )
l~(z ,~) l=l~(o) l ~ [ % E ~ ( ~ ( ( ~ , ~ ) ) ) ] 3(~(~)+1) x
(-3H(~)-2) [AoSX#(A1(3e+1)(llZm zll+ IZm $I) + (3eA1+1)N((CoZ, Co~)))]
Soit, en r@sumant, pour tout (z,~) E cnx ¢ v@rifiant
On a
l ~ ( z , ' r ) ! ~ c 1 m.:~ [_c2( l i z~ ~'II + I I = 'r! + ~T((CoZ , Co'r ) ) ]
~.,,-~o Cl = :BS(:~(~q)+~) / ~):~('q)+2 O O
0 2 = ~ (A~(Se+~)(3~(~)+2), S(~(n)+l) + (3~*~+1)(3~(~)+2))
Don% la condition (iii) est remplie .
I Montrons enfin que g(X) =~= 0 , pour tout IX1 ~ ~ ° Posons
z = z+X(x-z)
= • + x ( t - T )
avec (z,T) satisfaisant & (v.1-4) et ( x , t ) e ~ U x ~ satisf~Isant & (V.1-1)~
123
v.5
Nous allons montrer que (Z, T) £ cnx C ne satisfsit pas & l'in@galit4 de
I A l a oondition ( i i ) s i IX != IX I + i X21 ~ 7 ' dono a f o r t i o r i S (Z ,T ) =/~ O •
En effet, renan% compte de (V.I-4)~ on a
(V.I-7) Im T = (Im T) (I-ki) + k2(t-Re ~)
.~ - 3 ~o(1~1) [llTm dl+ ~ ( ( C j , C j ) ) ] + IX21.1"~-R~ ~'1
et
Soit
t t Im ztt < (1 - x l ) t l I m zll + tX21ttx - Re zlt
- ( 1 - x l ) l iZm ~11 < - li I m ~ t + t k211 tx - Re zll
Portant ceci dans (V.1-7), on obtient
Im T ~ - 3Ho[liIm ~I + ( l - k 1) N ( C o Z , C o T ) ) ] + Ik21(3Ho l l x -Re zll + 1 t -Re '1"1)
Pllisque 3H O ~ I e% N((Re z, Re T)) % N(Co(Z,T)) , on a, oompte %enu de
(v1-t)
-r,,, ~ ,= - 3%[ltIm ~t + (~--X~ - !X2t) ~(Co(~,'~))]
Soit
I (~ii m ZI I + N((Z,T))) (V.I-8) Im T ~ - 3HollIm ~I- HoN(Co(Z,T)) ~ -
1 ~ K ~ 1 tandis que (V.I-3) mon%re que o a r 1 - x I - I x21~7 ' Eo 7 ~ '
- N((CoZ, cj)) ~ s~p N((~+~,,~+~,)) ~-~(z,T)
TU la d4finition de (Z,T). Enfin, puisque
M((~,$)) ~ ~((~,~))
(V.I-8) donne alors I Im T < -~ (~IIm ~I + M((Z,T)))
A do~o ~(~) = s(z,T) ~ ~,~p~,~ (ii) . c.q.f.d.
124
V°6
~ D'apr6s la proposition III,1-3, on psut rempl&cer ~Qz \ par
~e suite N(p) ~ q(p) tr6s r6~li~re tells que lim = = .
.Q~ , . - ¢ - - , -
N(p)-Sd~pt6e. Co~o Q((~,t)) ~ Nk((~,~)) o~, ~pp~Zons-Ze, ~ ( ( ~ , ~ ) )
= ~o~ s;p I (~ ' t ) (P) l , , , IPl ~ la condition (iii) entra~ne slots
(P) klp I ~(p)
(v. ~-9) I l~ (z ,~ ) l =, ~. ~,~ ( - ~[NIm zll + lira ~! + :Nk( (Z ,~) ) ] )
pour tout (z,T) ~ cnx C satisfaisant
I~ 7 ~ - A [lIIm zli + ~k((~,7))]
Pour tout ~.E cn~ d@signons par P(z) la courbe dans le plan C d@finie
p~r • = T1 + i T 2 ~ e ° ~1 ' 72 ~ ~ e t T2 = - "< l l Im zll + N ~ : ( ( z , ~ ) ) ]
orient6e dans le sens des 7 1 croissantes. Ceoi 6tant~ consid@rons la forme
li~ire s~ ~(N(p)) ~fi~ie ~r
~,=~ r ( z ) s (~ ,7 )
Vu l'estimation (V.I-9) sur la croissance de (z~T)] cette int@grale est
convergente ~ ells est re@me born6e sum les psrties bornges de ~ (H(p)) ,donc
E E~'(N(p)) o Enfin si ~0 = S * ~ , on aen dgformant P(z) & ~R ,
le support de E es% contenu dans le c6ne strictement convexe suivant
Soit en effet ~ 6~(N(p)) tell~ que l'enveloppe oonvexe de son support ne
rencontre pas F . Montrons qu'on a E(~0) = 0 . Et nol;re r@sulta% en r@~ulte
1 2 5
v.?
car route $ E~(N(p)) dont le support ne rencontre pas £, s'@crit sous la
forme d'une somme finie de telles ~ . Notons p~r ~ i'enveloppe oonvexe
du support de ~ e% H~(z,T) sa fonotion d'&ppui, Comme ~ E~ (N(p))
il existe des constantes D et h telles que o
~ais ~ ~ F = ¢ • D'apr~s Hahn-Bo~uach, il existe x o
I constante B I > B (I + ~ ) tels que tout (x,t) E
<x, x>
A + BI
E ~n , liXoit = 1 et une
v 6 r i f i e
Dono, pour - . = x + i X X o , x > o et ~ =~1 + i ( - A ( x + N k ( ( z ' T ) ) ) , on,~
~ ( z , T ~ = Sup (<X. Im z>+ ( to Im T)) (x,t)~
sup [k<x.x >- A ( - - (x,t)~* o
<XoX > O
A + B I) (x+ ~k((~,~)))]
Soit
H ~ z , T ) ) ~ Sup [ ( t < x . % > l - B1A)Nk((Z,~)) - X ~ I ] ~ DtNk( (Z ,~) ) - X ~ 1 (x,t)~|
o~ D 1 = Sup I < X , X o > l - B I A • L ' e s t i m a t i o n (V . I - 10 ) donne , l o t s (x,t)e~
-XAB I
l~6z~)l ~ Do e ~p (~k((~,~)) -N((~, h~)))
Par suite, tenant compte de (V.I-9) et de la d@finition de F(z), l'int6grale
I ) n+1 ~(<¢~) d~)
es% major4e en module par
n+ I -X (AB I-AB-B ) DoB e
Z =X+l X O
~r(z) ~ [ (D1+B+~)Nk((z'~))-~((h~'h~))]d~ d~l
126
V.8
La s u i t e (k~)~E N @rant N(p)-adapt@e, i l e x i s t e tme o o n s t a n t e D 2 t e l l e
que le quantit@ sous signe d'int@gration est major@e en modulo par D 2
(1+ll(z,T)l~n+ 2 . I1 existe donc une constante D 3 , ind@pendante de k,
telle que -~ (A~ I-A~-B )
~ ~+~D D
Or, la fonotion ~(Z,T) / /S(z , , ) @t~nt enelytique pour (Z,~) ~ ~nx ¢ ~vec
v~r i~ i~nt ~m ~ ~ - ~[lt~m zll+ Q(" ,~ ) ] , tenant oom~te de leur d~oroiss~neo
l ' i n ~ i n i , on v o i t aue ~k(~) ne d~pend p~s X(pour X>O)° ~ n o
!~ (~ ) I=1%(~)1=1%(~)1 ~ ( , ~ ) n + ~ D o e,-,)~. (.AB ~ -A~-B )
oG (AB1-AB-B) > O, et en feisant tendre k vers +=, on a E(~) : O o Par
suite E(#) = 0 pour route ~ E~(N(p)) dont le support no rencontre pas F .
(.i) =-->..(ii).. D~signons per E e l'espace go(M(p), Qe) eveo aa=ARnx]-a,+a[ ,
• ~ Q+ per E~(resp E~) l 'espeoe %(N(p) ~ ) (resp. % ( ~ ( p ) o~ )) o~
na+ : @n X I-a, + ~[ (resp. Q~ = ~n X 3-=, e[ o Soit
Qs oontient le support de S .
Supposons que S poss&de tune solution 61@menteire
eSne d~fini p~r l'~q=tio~ klil~I ~ t + k (~esp. < , de support d~s
klilxll ~ k - t ) . S u p p o s o n s en outre que E+(resp, E_) op~re sur la olasse
M(p) . Soit a > 2s + k . On dtsigne par Ea(S ) le sous-espace vectoriel
ferm@ des f E E satisfeisant g (S * f) (x,t) = 0, si !t! < e-s •
L'espaoe Ea(S ) est muni de la topologie induite par E a . I1 vient en
s > 0 tel que l'ensemble
E+ de support dens !e
lemme la
Proposition. V.I-2 ~ Si.. S est b~erbolique (dans ~'(}{(p))) per rapport
~ 6 E: ) telle que (S * ~) (x,t) = 0 pour tout (x,t) v@rifismt t ~ 0
t27
v°9
l'ap21ioation f [ > ~ @rant continue •
D@monstration ~ Soit ~ > 0 tel que a > 2 s + k + e o $oit NZ tune suite
simple de J~ v6rifiant N~ ~ M(p) si IPl = Z • Soit ~ ( 8o(N£ ,]- ~, a[)
fonction de la variable t, identique & I sur ]-~ a-~] . La fonction
S * ~ f = S * f + S *(~-1)f s'annule pour t 6 [-~+s, a-s-el . Ecrivons
S * a f = g+ + g_
ell g+ a son support dams le demi-espaco t ~ a - s - e et g a son
support dans le demi-espace t ~ - a + s . La fonotion E+ * g+ a donc
son support darts le demi-espace t > a - s - k - ¢ o Donc, ~f - E+ * g+
coincide avec f sur le demi-espaoe t g a - s - k - e eta fortiori
pour tout t ~ s . Soit alors
f = Restriction de (~f - E+
II vlent
S ~ 7 = S * (restriction de g_ & O+s )
Elle est done nulle darts 0 + • Soit, par oontinuit4 o
(s.Y) (x, t) =o pour tout (~,t) aveo t~O o
D'o~ l'existenceo
L'unicit6 ~ le probl~me 6rant lin4aire, il revient ~ montrer que 7 E E + s
si on a ~ ~ s'Banule sur
nulle dans E + . Comme 7 s
~ n x ~
d6finie sur
0 et S * 7 s'annule sur O + alors 7 es% s o
s'azmule sum- Os ' on peut la prolonger par z@ro
. Soit
!
t o ~i (~,t)¢ n s,
I~ n × ~ . On v@rifie qu'on a encore
128
V.IO
d'oG
= * ( S ) = 0 fl E+ *fl
Quant ~ la continuit4 de l'application f~ > f~ elle r@sulte du fair
• g+ sont des op4rations oontinues . que f : ~ ~f et que f ! > E+
Fin de la d@monstration du th@or~me V.I-I ~ La condition (i) implique
donc que l'application f~---> ~ de Ea(S ) dans E s est continue.
I1 en r@sulte que f ~ ~(0,-2a) d4finit une forme lin@aire continue sur
Ea(S), il existe donc un compact K c 0 a et des hombres positifs hl et h 2
tels que
o~
tT (o , -2a ) l ~ ~11tfttK,~ 2
1t~t1~, h = Sup s ~ ) D ( P ) f ( x ' t )
Consid@rons les fonctions
7(:~, Q = ~ ,~ ( - i t "~ ~ i < ~ . ~ ) A
o~ (~ ; r ) est t~z que S(~;r ) = 0
On a 17(0~2a)} = ~ ( - 2 ~ o Zm T)
e± ltf-]!K,h ~ Exp E~,i((~', ~ )) + a ~Im T1 + k llIm zll ~
o~
D'o~
(x,t)~:
h, ( ) T
coq.f°d.
En corollaire, nous avons la
Propositio~ Voi-3 ~ Si ~(z,v) est tun ~ol,yn6me homog~ne, alors P(D) est
~'(M(p))-~e~bo~i~ue par rapport ~ t. ~i ~ ~ule~nt ~i P(D) e~t
'-h,yperbol.ique par rapport ~ t .(Done P(D) est aussi hyperbolique par
rapport ~ t@)
129
V.11
D4monstra%ion : La condition est 4videntment suffisanteo Pour la n4cessit@
la condition (ii) du th6or&me V~I-i montre en effet
A I v (~,~)E~n× ~, P (~,~) =0----> Im~ ---
a A
Mais P 6tant homog~ne, (kx, XT) est aussi un z@ro de A P ~ d=o~ pour ~>0
on a
Im T ~ --- a X
En faisant tendre k vers + = , on voit que Im T m 0o Mais (-x, -¢) es%
A zgro de P, d'oO Im (-~) ~ O, soit 11m TI= 0 o Ce qui prouve que
A %~'--~ P(x~t) n'a que des z6ros r@els pour %ont x E ~ n donn6o En partioulier
A P(O,t) ~ 0 .Donc) d'apr~s le th@or&me 5°5-3 (ef.[16]) de HSrmander, P(D)
est ~' -hyperbolique, i.e~ il existe une distribution E~ solution @l@mentaire
de P(D) , de support contenu dans ~m cSne strietemen% convexe dans tun demi
espace t m % ou t g t o o c.q.f.do
Remarque ~ No Schapira montre (of°[31]) que si un op@rateur diff6rentiel
P(D) d~ordre m es% hyperbolique dans notre sens, alors P(D) + Q(D) l'est
encore~ pourvu que l'op@rateur diff~rentiel Q(D) soit d'ordre striotemen%
inf6rieur & m o Nous n'avons pas pu montrer tun r6sultat analogue pour un
op@rateum d'ordre infinio
Probl~me ~ Soit P un op@rateur diff6rentiel d'ordre infini (qui es% d'ordre
non fini par rapport & t) et qui est hyperbolique par rapport & t+ •
L'op@rateur P + Q est-il hyperbolique en t+ pour tout op6rateur diff~rentiel
Q d'ordre m < + ~ ?
§ 2 - Probl~me de Cauoh$
I. Probl~me d'existence ~ Soit
(d'ordre non fini par rapport &
Ab'(Z(p))-inversible •
P(D) u n . op4rateur diff@rentiel d'ordre znfini
1 3 0
V.12
Soit O un ouvert P-convexe, dent l'intersection avec l'hyperplan t = 0
no soit pas vide. Notons par O(x) cette intersection. I1 vient le
Th@or6me V.2-I ~ Sous les h.ypoth~ses pr6o6dentes, po~ tou~e f ~ go(M(p),O)
et tout (%'"'~m) e [eo(~.~(p), a(:O)] m÷~ i~ e~:i~t~ ~ ~ eeOC(p), n) t~)4. ~
que
P u = f dans
e....L~ (D~- lu ) (x ,O) = a j ( x ) dans ~Q(z) ~our j = O:, l~.. . . ,m
D@monstration ~ D ' a p r ~ s nos hypotheses, il existe w E go(~(p),O) telle
que Pw = f . Le chaugement de vari~le u = v + w ram~ne le probl&me au
oas off f = 0 o Bolt Eo(P ) = [u E go(M(p),O) telle que P~ = O} muni
de la topologie induite par go(M(p)~O)o C'est tun Freohe+~-Sohwartz. II
@mU) s ' a g i t de m o n t r e r que l ' a p p l i o a t i o n T ~ u ~ - - > ( u ( x , 0 ) ~ . . . ~ ( x , O ) )
e s t s u r j e c t i w de Eo(P ) s u r F = [ g o ( M ( p ) , ~ ( x ) ) ] m + l . Doric de mon~re r que
l'application transpos@e iT, est injective et d'image ferm~ car il s'a-
glt dos Frechet-Schwartzo I~is F ' s'identifie g @m+1 g ~ ( M ( p ) , ~(x))
g~(M(p),O), L'op@rateur P @rant surjeotif de go(M(p)~) sur lui-m@me, v.
sa transpos@e~ P est d'image ferm@o e% oette image P*(g~(M, ,,~)) est tP)
donc 6gale ~ E°o Consid4rons l'application
m 8j L , (Uo,...,~)~ > 7, (-1)Juj(~) ~ (TtJ) 6(t) de
j=O
¢~+I~(M(r),~(~))_ ~ ~(M(p),O) ~ui e~t ~'~e ~r~e, D~i~n~ p~r
la projection naturelle de 3~(~i(p)~O) sur &~(M(p)~)/E °, on volt que P
p o L , qui s'identifie & t T ~ est d'image ferm@eo Montrons enfin que t T ~J
est injective ~ c'est-&-dire que si ~ (-1)Uj(x) ~ 8t jH 8(t) appartient
E°9 on doit avoir U. = 0 pour j = O~..o,m o En d'autre terme, soit 0
e t
dar t s
131
Vo13
W ~ g~(M(p),~) %elle que
m (v.2-~) }(~) w ~ (-~)J ~J
= ~J(=) ~ ~tJ~ ~(t) j~
aiors pour tout j = 0~.o.,m~ U. = 0 . Mais la transformation de Fourier J
donne A m
v (~,~) ~ c n × , , ~(-~, ~) w(~,~) : ~ (-~)~j(~).(~)J o~ ~ -JZT
j =0
Comme P est d'ordre infini par rapport & t 9 il exis%e un ensemble non
A polaire des z tels que • I > P(-z~ -~) ne se r4dtuise pas & un
A polynSme. Pour ces valeurs de z~ on a W(z~) = 0 (pour tout ~), ear
A T ~ ~ P(-% -~) grant tune fonotion de type expenentiel zgro, a une infinit6
de z~ros, done ~ (-I) j ̂ )J Uj(z) (i • est identiquemen% nulle. Ceci 4tan%
vrai sum tin ensemble non polaire, on obtien% >] /, (-I) j ~'j(z) (i T) j - 0 .
coq.f.d.
2 - P r o b l ~ m e d ' u m . i o i t 6 ~ P o s o n s P ( D ) : P j ( D x ) D ~ q u i es% t o u j o u r s
suppos6 d'ordre infini p~r rapport & t j=O i.e, pour tout %~ il existe
j > ~ tel que Pj(Dx) ~= O, les Pj(Dx) 6%ant des op6rateurs diff6rentiels
d'ordre fini ou infini en x . On
Th6or~me Vo2-2 ~,S,oit P(D) ,.uno,p@,ra±eur diff4re,n%ie,l d'ordre infini
-n+1- op@;ant sur~'(M(p)), hy~erbolique,,,,,p, ar,rapp,0,rt & t o Soient ~ E ~(Z(p),~ )6%
mn+1
(v.2-2) P, =Pv =0
et,,,t,elles q.u'i! existe un,tntier m ave.c
( V o 2 - 3 ) ( D J ( ~ - ~ ) ) ( x , O ) = 0 p o u r t o u t j > m
132
V.14
Alors on a
o~ les
i l l
= ~ + ~ [ ~j(:~) t j
j=O
r
P 0 ..... 0 o
m PI Po ..... 0
m(m-1)P 2 (m-1)P I ..... 0 • •
t ,
° i m !Pm (m-1 P~-I ..... Po
v@rifient le syst~me d'@qt~ioms
r
am_ I : =0
o
i ao k
D6monstration z L'op6rateur diff~rentiel op~r&ut sur~(M(p)), rappelons
qu'on a P f E g pour tout f E &(M(p)) . Done posant
[i ~m+l % = ~ (~ - ~ ) ) ( x , t ) ~i t > o
O si t ~ 0
et w = I O si t>O
~m+1 (~ - ~)(~,t) si tmO
qui sont, d'apr&s (V°2-3), des ~l~ments de
de (V.2-2), on a
Et a tenant oompte
P w = P w =0 +
Soit E+ (resp. E_) la solution 61~mentaire de P, dont le support est
contenu daus le demi-espace (t ~ O) (resp. (t g 0)). On a
w+ = (E+*P) * w+ = E+*(P *%) = 0
respo w = 0)9 car la condition sur le support est bien remplie. Donc
m+1 ¥ (x,t)E ~n × ££, ~ ( , - £0)) (x,t) = 0
133
V.15
Soi~
aVeO ~j(x) =
m
~(~,~) = ~o(=,~) + ~_~ ~ j ( ~ ) ~J
j=O
( ~ (, -~) ) ( ~ , o ) D~ ( v . 2 - 3 ) o~ o ~ i ~ t ~noo=~ ~ j "
P~ aj(x)tJ)=o j--o
Soit
(Poem) t m + (Poam _1 + m P1am)tm-] + o.o + [m!Pmam+(m-1)IPm_lam_1+ ...+Poao]= 0
ce qua prouve que leS fonctions
6nonc@eo
ao~.~o~ a m v4rifient l'6quation matrioielle
c.q°f.d.
134
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