Modelos Matemáticos Simples: Ecuaciones Diferenciales y Transformación Fasorial J. Benavides S.

LA TRANSFORMACIÓN FASORIAL

Regresando al primer ejemplo:

Consideremos la ec. (2) (para el

sistema mecánico con la ecuación (2`) el caso es similar), con una entrada: y recordando que:

se ve que:

Reescribiendo la ec. (2), pero con: , se tiene:

(4)

Esta ec. (4) no es la misma ec.(2), pero tiene la particularidad que si tomamos la parte real de ambos miembros corresponde a la ec.(2). Del mismo modo, la parte real de la solución de la ec.(4) será la solución de la ec.(2).

Por las propiedades de la función exponencial (especificamente que sus derivadas e integrales también son exponenciales), la solución de la ec. (4) será de la forma:

(5)

que puede ponerse como: (6)

Donde, definimos el número complejo: (7)

Reemplazando (6) en (4) se tiene:

(8)

Se observa que todos los términos de la ec. (8) contienen el factor ejωt por lo que se puede simplificar, quedando la ecuación algebraica con números complejos siguiente:

(9)

De donde resulta:

(10)

O lo que es lo mismo:

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(11)

Definiendo el módulo y el ángulo de como sigue:

y

Tendremos, abreviadamente:

(12)

La solución de la ecuación (4) para se obtiene reponiendo el término ejωt que fue simplificado en la ecuación (8), o sea:

La solución de la ecuación original de nuestro sistema (2), debe ser necesariamente la parte real de la solución de la ecuación (4), es decir:

,

Es decir, finalmente:

(13)

Se denominan:= el fasor asociado a la corriente senoidal i(t).

= el módulo o valor máximo de i(t). Corresponde a . = la fase o desfase de la corriente i(t) en relación a v(t).

= el fasor rotatorio (es una variable intermedia poco mencionada, también llamada versor)

En resumen, para resolver la ecuación integrodiferencial (2), se ha resuelto la ecuación algebraica (9) cuya solución es el fasor dado por (11), retornando al dominio del tiempo para obtener la solución de (2) dada por (13).

2

( ), ( )v t i tEcuaciones Diferenciales

ˆ( ) ( )ˆ( ) ( )

j tm

j tm

v t v t V e

i t i t I e

ˆ ˆ,m mV IEcuaciones Algebraicascon números complejos

ˆ( ) Re j tmi t I e

Dominio del Tiempo Dominio del FasorTransformación

Retorno al Dominio del Tiempo

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Caso de Sistemas con Múltiples Entradas Senoidales de Frecuencias Diferentes.

Si un sistema tiene múltiples entradas senoidales de la misma frecuencia, se puede aplicar el principio de superposición y el método fasorial simultáneamente. En ese caso, se obtendrán fasores parciales de la solución para cada variable, las que se sumarán para obtener el fasor resultante total y luego aplicar la transformación fasorial inversa, obteniendo la solución total en el dominio del tiempo.

Si las entradas son de diferente frecuencia, también se puede usar superposición y transformación fasorial. Pero en este caso, se deberá encontrar la solución parcial en el dominio del tiempo para cada frecuencia y luego sumar dichas soluciones. Veamos ese proceso para un caso específico.

Siendo las tensiones:

Tarea: Resolver i(t) y dibujar los resultados de las corrientes parciales y total para:

R = 100 [Ω]L = 0,1 [H]C = 10 [μF]V1 = 15 [V], ω1=100[Rad/seg], δ1=0ºV2 = 20 [V], ω2=200[Rad/seg], δ2=30ºV3 = 25 [V], ω3=300[Rad/seg], δ3=45º

3

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Resolvamos este ejemplo para el caso general.

a) Con :

´

b) Con :

c) Con :

Finalmente, la corriente total por superposición será:

Por lo tanto:

4

1̂V

1( )i t1̂I

1 1Lj L jX

R

11

1Cj jX

C

1 1

11 11

1 1 1 11

1 111

1

( )1 1 1 1 1 1

1

1

1 1 1 1 1

ˆ ˆˆˆ1

ˆ ( ) :

( ) ( )

( ) cos

L CR R

j

LX XC

V V VIZZ

R j LC

I I I e Fasor dei

arc tg arc tg

i t I t

1( )v t

2̂V

2 ( )i t2̂I

2 2Lj L jX

R

22

1Cj jX

C

2 2

22 22

2 2 2 22

2 222

2

( )2 2 2 2 2 2

1

2

2 2 2 2 2

ˆ ˆˆˆ1

ˆ ( ) :

( ) ( )

( ) cos

L CR R

j

LX XC

V V VIZZ

R j LC

I I I e Fasor dei

arc tg arc tg

i t I t

2 ( )v t

3 3

33 3 3

3 3 3 33

3 333

3

( )3 3 3 3 3 3

1

3

3 3 3 3 3

ˆ ˆˆ

ˆ1

ˆ ( ) :

( ) ( )

( ) cos

L CR R

j

LC X X

V V VIZZ

R j LC

I I I e Fasor dei

arc tg arc tg

i t I t

3̂V

3( )i t3̂I

3 3Lj L jX

R

11

1Cj jX

C

3( )v t