la teoría de colas
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La Teoría de Colas Muchas industrias de productos y de servicios tienen un sistema de
colas en el que los ¨productos¨ (o clientes) llegan a una ¨estación ¨ esperan en una ¨fila¨ (o cola), obtienen algún ¨servicio¨ y luego salen del sistema. Considere los siguientes ejemplos:
Los clientes llegan a un banco, esperan en una fila para obtener un servicio de uno de los cajeros, y después salen del banco.
Las partes de un proceso de producción llegan a una estación de trabajo particular desde diferentes estaciones, esperan en un compartimiento para ser procesadas por una máquina, y luego son enviadas a otra estación de trabajo.
Después de hacer sus compras, los clientes eligen una fila en las cajas, esperan a que el cajero les cobre y luego salen de la tienda.
Las llamadas telefónicas llegan al centro de reservaciones de una aerolínea, esperan al agente de ventas disponible, son atendidas por ese agente y dejan el sistema cuando el cliente cuelga.
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Características de un sistema de colas Una población de clientes, que es el conjunto
de los clientes posibles. Un proceso de llegada, que es la forma en
que llegan los clientes de esa población Un proceso de colas, que está conformado
por (a) la manera que los clientes esperan para ser atendidos y (b) la disciplina de colas, que es la forma en que son elegidos para proporcionarles el servicio.
La Teoría de Colas Proceso de salida, que son de los siguientes dos tipos: a. Los elementos abandonan completamente el sistema después
de ser atendidos, lo que tiene como resultado un sistema de colas de un paso. Por ejemplo como se muestra en la figura 1.2 (a) los clientes de un banco esperan en una sola fila, son atendidos por uno de los tres cajeros y, después que son atendidos abandonan el sistema.
b. Los productos, ya que son procesados en una estación de trabajo, son trasladados a alguna otra parte para someterlos a otro tipo de proceso, lo que tiene como resultado una red de colas. Por ejemplo, los productos que se muestran en la figura 1.2 (b) primero son procesadas en la estación de trabajo A y después son enviadas a la estación de trabajo B o C. Los productos terminados en ambas estaciones, B y C, luego son procesados en la estación D, antes de abandonar el sistema.
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La población de clientes Al tomar en cuenta la base de clientes, la
principal preocupación es el tamaño de la población. Para problemas como los de un banco o un supermercado, en donde el número de clientes potenciales es bastante grande (cientos de miles), el tamaño de la población se considera, para fines prácticos, como si fuera infinita.
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El proceso de llegada El proceso de llegada es la forma en que los
clientes llegan a solicitar un servicio. La característica más importante del proceso es el tiempo entre llegadas, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas. Este lapso es importante porque mientras menor sea el intervalo de tiempo, con más frecuencia llegan los clientes, lo que aumenta la demanda de servidores disponibles.
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Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas: Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en
un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo)
Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.
La Teoría de Colas Con el objeto de verificar si una situación determinada del
sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes:
1.-¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos de servicio en secuencia?
2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad?
3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria?
4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones aleatorias de tiempo?
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Por lo general, las tasas de llegada y de servicio no se conocen con certidumbre sino que son de naturaleza estocástica o probabilística. Es decir los tiempos de llegada y de servicio deben describirse a través de distribuciones de probabilidad y las distribuciones de probabilidad que se elijan deben describir la forma en que e comportan los tiempos de llegada o de servicio.
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En teoría de líneas de espera o de colas se utilizan tres distribuciones de probabilidad bastante comunes, estan se mencionan a continuación:
Markov DeterminísticaGeneral
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La distribución de Markov, en honor al matemático A.A. Markov quien identifico los eventos "sin memoria", se utiliza para describir ocurrencias aleatorias, es decir, aquellas de las que puede decirse que carecen de memoria acerca de los eventos pasados.
Una distribución determinística es aquella en que los sucesos ocurren en forma constante y sin cambio.
La distribución general sería cualquier otra distribución de probabilidad. Es posible describir el patrón de llegadas por medio de una distribución de probabilidad y el patrón de servicio a través de otra
La Teoría de Colas NOTACIÓN KENDALL A / B / C En donde A = se sustituye por la letra que denote la distribución de llegada. B = se sustituye por la letra que denote la distribución de
servicio. C = se sustituye por el entero positivo que denote el numero de
canales de servicio. La notación kendall también utiliza M = Markoviano, D =
determinística, G = General, por ejemplo un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, servicio determinístico y tres canales de servicio se identificará en notación Kendall como:
M / D / 3
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Los modelos de Líneas de espera que se analizarán son los siguientes:
Modelo M / M / 1 Modelo M / M / SModelo M / G / 1Modelo M / D / 1
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TIEMPOS DE LLEGADA Y TIEMPOS DE SERVICIO. En particular, existe un promedio de l llegadas en un periodo, T, la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo esta dado por: distribución de Poisson
P[n llegadas en le tiempo T] =
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Por ejemplo si existe un promedio de 6 llegadas aleatorias por hora, la probabilidad de que haya solo 3 llegadas durante una hora esta dada por:
P[6 llegadas en le tiempo en una hora] = = 0.0892
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TIEMPO DE SERVICIO Si la duración de los tiempos de servicio es aleatoria, la distribución exponencial negativa describe ese tipo de servicio. Si la m es la tasa promedio de servicio entonces la distribución esta dada por:
F(t) = m e-m t Es posible emplear esta formula para calcular
la probabilidad de que el servicio sea mas prolongado que alguna duración especificada de tiempo T. En la siguiente figura se representa este modelo.
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Características de operación: Sistema de estado estable: primero debemos de observar que sí l =
tasa promedio de llegadas y m = tasa promedio de servicio, entonces l debe de ser menor que m . Si esto no ocurriera el promedio de llegadas sería superior al numero promedio que se atienden y el numero de unidades que están esperando se volvería infinitamente grande. Si hacemos que r = l / m puede denominarse a r como factor de utilización
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Pw = probabilidad de que el sistema esté ocupado.
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probabilidad de que el sistema no esté trabajando.
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la probabilidad de que haya n unidades en el sistema.
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el numero promedio de unidades que se encuentran en el sistema.
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el numero promedio de unidades que esperan ser atendidas, Lq.
L = Lq + r Lq = L - r
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Tiempo promedio de una unidad en el sistema.
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tiempo esperado o promedio que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida.
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A una línea de espera llegan 20 unidades por hora y el tiempo promedio de servicio es de 30 unidades por hora, realizar un análisis de esta línea de espera.
l = 20 unidades por horam = 30 unidades por hora