14- teoría de colas (presentación)
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Teoría de Colas
Nombre profesor redactor de presentación
18 de julio, 2012
Formación por Competencias
2Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Contextualización
- La atención de los usuarios en un servicio de carácter privado o
público genera una cola en espera que se brinde la atención,
aplicando principios y análisis estadísticos se puede lograr que el
tiempo de espera y de atención se reduzcan a partir del
comportamiento de llegada y el tipo de servicio brindado.
- Los modelos de colas son herramientas científicas que permiten que
la administración pueda utilizar mecanismo científicos de análisis
para aumentar el nivel de servicio y reducir los tiempos de espera.
- Los modelos de colas forman parte de los métodos de planificación
de las operaciones y se complementan con la planificación de corto
y mediano plazo.
Formación por Competencias
3Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Preguntas generadoras
– ¿Cuáles son los cuatro modelos básicos de
líneas de espera?
– ¿Cómo aplicar los modelos de líneas de espera
en la prestación de servicios públicos?
– ¿Cómo dirigir un análisis económico de colas?
– ¿Qué utilidad tiene la teoría de colas para
mejorar la eficiencia y oportunidad de los
servicios públicos?
Formación por Competencias
4Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Puntos a estudiar
• Características de un sistema de líneas de espera
– Características de las llegadas– Características de la línea de espera– Características del dispositivo de servicio– Medida del funcionamiento de las colas– Costes de las colas
5Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Contenido
• Tipos de modelos de colas
Modelo A: modelo de cola de canal único y tiempos exponenciales de servicio
Modelo B: modelo de cola muticanalModelo C: modelo de tiempo de servicio constanteModelo D: modelo de población limitada
• Otros enfoques de las colas
6Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
‘La otra línea siempre
va es más rápida.’
‘Si usted cambia de
línea, la que dejó de
utilizar comenzará a ir
más rápido que la
nueva’.
© 1995 Corel Corp.
Gracias por esperar.
Hola, ... ¿está usted ahí?
Usted ha estado ahí antes
7Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Banco Clientes Cajero Depósito, etc.
Consulta Pacientes Doctor Tratamientodel médico
Cruce Coches Luz Paso controladode tráfico
Cadena
de montaje Piezas Trabajadores Montaje
Situación Llegadas Servidores Proceso de servicio
Ejemplos de líneas de espera
8Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Estudiadas por primera vez por A. K. Erlang en 1913:
– Análisis de los servicios telefónicos.
• Área de conocimiento denominada teoría de colas:
– Cola es otra denominación para línea de espera.
• Problema de decisión:
– Equilibrio entre el coste de suministrar un buen
servicio y el coste de tiempo de espera de los
clientes.
Líneas de espera
9Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Nivel de servicio
Coste
Coste del tiempo en cola
Óptimo
Costes de las líneas de espera
10Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Cola: línea de espera.
• Llegada: una persona, máquina, pieza, etc.
que llega y demanda un servicio.
• Disciplina de cola: reglas para determinar el
orden en el que las llegadas reciben el
servicio.
• Canal: número de líneas de espera.
• Fase: número de pasos a seguir en el
servicio.
Terminología de las líneas de espera
11Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Tamaño de la población:– Limitada– Ilimitada
• Comportamiento de lasllegadas:– Ponerse a la cola y esperar a
ser servido
– Se niegan a colocarse en la cola
– Reniegan, abandonan la cola
Dispositivo de
servicioLínea de espera
Distribución de la llegada:
Poisson Otras
Patrón de las llegadas:
AleatoriaSecuencia conocida
Características de la llegada
Características deun sistema de líneas de espera
12Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Dispositivo de
servicioLínea de espera
Características de la línea de espera
Tamaño de la cola: Limitado Ilimitado
Prioridad del servicio: FIFO Otros
Características del sistema de líneas de espera
13Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Dispositivo de
servicioLínea de espera
Características del dispositivo de servicio
Número de canales:
Único Múltiple
Número de fases en el sistema de servicio:
Único Múltiple
Distribución del tiempo de servicio:
Exponencial negativo Otros
Características del sistema de líneas de espera
14Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Sistema de servicio
Línea de espera Dispositivo de
servicio
Llegadas
© 1995 Corel Corp.
Sistema de líneas de espera
15Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño
Ilimitado
Características de las llegadas
16Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño
LimitadoIlimitado
© 1995 Corel Corp.
Número fijo
de aviones
para revisión
Características de las llegadas
17Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño Patrónde llegadas
LimitadoIlimitado Aleatorio No aleatorio
Caracterísiticas de las llegadas
18Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño Patrónde llegadas
LimitadoIlimitado AleatorioNo
aleatorio
Poisson Otros
Características de las llegadas
19Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Número de sucesos
que ocurren en un
intervalo de tiempo:
– Ejemplo: número de
clientes que llegan en
15minutos.
• Media = (por ejemplo:
5/hora)
• Probabilidad:
0,0
0,3
0,6
0 1 2 3 4 5X
P(X)
0,0
0,3
0,6
0 2 4 6 8 10X
P(X)
= 0,5
= 6,0
Distribución de Poisson
x
e)x(P
x
20Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Distribuciones de Poisson para los tiempos de llegada
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x
0,00
0,05
0,10
0.15
0,20
0,25
0,30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
Pro
babili
da
d
Pro
babili
d
ad
=2 =4
21Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño ComportamientoPatrón
de llegada
LimitadoIlimitado AleatorioNo
aleatorioPaciente Impaciente
Poisson Otros
Características de las llegadas
22Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Origen de las
llegadas (población)
Tamaño ComportamientoPatrón
de llegada
LimitadoIlimita
doAleatorio
No
aleatorioPaciente Impaciente
RehúsaPoisson Otros
Características de las llegadas
23Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Origen
de las
llegada
s Dispositiv
o de
servicio
Línea de
espera
Sistema de servicio
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¡La cola era
demasiado
larga!
Rehusar
24Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Origen de
las llegadas
(población)
Tamaño ComportamientoPatrónde llegada
LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio
Paciente Impaciente
Rehúsa ReniegaPoisson Otros
Características de las llegadas
25Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
RenegarOrigen de las
llegadas
Dispositivo de
servicio
Línea de espera
Sistema de servicios
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¡Me voy!
26Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Línea de espera
Duración
Ilimitada
© 1995 Corel Corp.
Características de la línea de espera
27Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Línea de espera
Duración
LimitadaIlimitada
© 1995 Corel Corp.
© 1995 Corel Corp.
Características de la línea de espera
28Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Línea de espera
Duración Disciplina
De la cola
LimitadaIlimitada FIFOAleatorio Prioridad
Características de la línea de espera
29Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Dispositivo
de servicio
Configuración
MulticanalCanal
único
Fase
única
Características del servicio
30Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Tiempo de servicio y tiempo entre
llegadas:
– Ejemplo: el tiempo de servicio
es de 20 minutos.
• Tasa de servicio media =
– Por ejemplo: clientes/hora.
• Tiempo de servicio medio = 1/
• Ecuación:
Distribución exponencial negativa
xμe)xt(f 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 2 4 6 8 10 x
Pro
bab
ilid
ad
t>x
=1
=2
=3
=4
31Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Pro
ba
bil
ity
0 30 60 90 120 150 180
Service time (minutes)
Distribución exponencial negativa
Tiempo de servicio
medio = 1 hora
Tiempo de servicio medio = 20
minutos
32Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Bahía
Línea de espera de
los barcos
Barcos en
el mar
Sistema de descarga de barcosBarcos
vacíos
Sistema de un canal, una fase
33Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Coches y
comida
Sistema de un canal, multifase
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicio
Cola
Sistema de servicio
Recogida
Coches en cola
Coches en
el áreaVentanilla de servicio a automóviles de McDonald´s
Pago
Dispositivo
de servicio
34Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicioCola
Sistema de servicio
Dispositivo
de servicio
Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para
ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.
Sistema multicanal, una fase
35Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Dispositivo
de servicio
Llegadas
Unidades
servidas
Dispositivo
de servicioCola
Sistema de servicio
Dispositivo
de servicio
Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan
una de las diferentes lavadoras y después, una de
las diferentes secadoras.
Dispositivo
de servicio
Sistema multicanal, multifase
36Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Tiempo medio en la cola, Wq.
• Longitud media de la cola, Lq.
• Tiempo medio en el sistema, Ws.
• Número medio de clientes en el sistema, Ls.
• Probabilidad de que el dispositivo de servicio esté
desocupado, P0.
• Utilización del sistema, .
• Probabilidad de que haya unidades k en el sistema,
Pn > k.
Medidas de evaluación de las líneas de espera
37Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Características del modelo de colas básico
• Las llegadas se sirven con disciplina primero llegado,
primero servido.
• Las llegadas son independientes de las llegadasanteriores.
• Los patrones de llegada se describen mediante unadistribución de probabilidad de Poisson. Los clientesprovienen de una población muy grande.
• Los tiempos de servicio varían de un cliente a otro y son independientes entre sí, pero se conoce el tiempo de servicio medio.
• Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial negativa.
• El ritmo de servicio es mayor que el de llegadas.
38Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Simple (M/M/1)
– Ejemplo: ventanilla de información en unos almacenes.
• Multicanal (M/M/S)
– Ejemplo: mostrador de venta de billetes de una línea aérea.
• Servicio constante (M/D/1)
– Ejemplo: túnel de lavado de coches.
• Población limitada
– Ejemplo: departamento que tiene sólo 7 taladradoras.
Tipos de modelos de colas
39Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Modelo: sistema de un canal, una fase.
• Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.
• Distribución de llegada: Poisson.
• Cola: ilimitada, una sola cola.
• Disciplina de cola: FIFO (FCFS).
• Distribución del servicio: exponencial negativa.
• Relación: servicio y llegada independientes.
• Ritmo de servicio > ritmo de llegada
Características del modelo simple (M/M/1)
40Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Ecuaciones del modelo simple (M/M/1)
Número medio de
unidades en cola:
Tiempo medio
en el sistema:
Número medio
de unidades en
cola:Tiempo medio
en cola:
Utilización
del sistema:
L
W
L
W
s
s
q
q
=
=
=
=
-
1
2
-
( - )
( - )
=
41Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Probabilidad de que haya 0 unidades en el sistema,
es decir, que el sistema esté desocupado:
Probabilidad de que haya más de k unidades en el sistema,
donde n es el número de unidades en el sistema.
P
k+1
01 1= - = -
=Pn>k
Ecuaciones de probabilidad simple (M/M/1)
( )
42Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Tipo: sistema multicanal.
• Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.
• Distribución de llegada: Poisson.
• Cola: ilimitada, colas múltiples.
• Disciplina de cola: FIFO (FCFS).
• Distribución del servicio: exponencial negativa.
• Relación: servicio y llegada independientes.
• Ritmo de servicio > ritmo de llegada
Características del modelo de cola multicanal (M/M/S)
43Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/S)
λMμ
Mμ
μ
λ
M!
1
μ
λ
n!
1
1P
M1M
0n
n0
Probabilidad de que haya
cero personas o unidades
en el sistema:
PM!M
L
M
s
Número medio de
personas o unidades en el
sistema:
PM!M
W
M
s
Tiempo medio que una
unidad permanece en el
sistema:
44Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/S)
sq
sq
WW
LL
Número medio de personas o
unidades esperando en la cola
para recibir el servicio:
Tiempo medio que una
persona o unidad permanece
en la cola:
45Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Modelo: sistema de un canal, una fase.
• Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.
• Distribución de llegada: Poisson.
• Cola: ilimitada, una única cola.
• Disciplina de cola: FIFO (FCFS).
• Distribución del servicio: exponencial negativa.
• Relación: llegada y servicio independiente.
• Ritmo de servicio > ritmo de llegada
Características del modelo de tiempo de servicioconstante (M/D/1)
46Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Ecuaciones del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1)
Número medio de personas
o unidades en el sistema:
Tiempo medio que una unidad
permanece en el sistema:
q
q
W
L
Número medio de personas o
unidades esperando para recibir
servicio:
Tiempo medio que una persona o
unidad permanece en la cola:
qs
qs
WW
LL
47Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
• Modelo: sistema de un canal, una fase.
• Origen de la llegada: limitado, no rehúsa, no reniega.
• Distribución de llegada: Poisson.
• Cola: ilimitada, una única cola.
• Disciplina de cola: FIFO (FCFS).
• Distribución del servicio: exponencial negativa.
• Relación: servicio y llegada independientes.
• Ritmo de servicio > ritmo de llegada
Características del modelo de población limitada
48Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Ecuaciones del modelo de población limitada
XF
)F(T
)LN(
)UT(LW
)F(NL
UT
TX
Factor servicio:
Número medio de personas o
unidades esperando a recibir
servicio:
Tiempo medio que una persona o
unidad permanece en la cola:
49Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Ecuaciones del modelo de población limitada
HLJN
FNXH
)X(NFJ
Número medio en
funcionamiento:
Número medio que se
sirven:
Tamaño de
la población:
50Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Ecuaciones del modelo de población limitada
Notación:
D = probabilidad de que una unidad debapermanecer en cola.
F = factor de eficiencia.
• H = número medio de unidades que se sirven.
• J = número medio de unidades que no están en la cola o en el servicio.
• L = número medio de unidades en espera de ser servidas.
51Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Ecuaciones del modelo de población limitada
• M = número de canales de servicio.
• N = número de clientes potenciales.
• T = tiempo de servicio medio.
• U = tiempo medio entre las necesidades de servicio de una unidad.
• W = tiempo medio de espera en la cola de una unidad.
• X = factor de servicio.
• Se obtendrán los datos de tablas de cola limitadas.
52Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
= número medio de llegadas por
período de tiempo.
– Ejemplo: 3 unidades/hora
= número medio de personas o
artículos servidos por período de
tiempo.
– Ejemplo: 4 unidades/hora
• 1/ = 15 minutos/unidad
Recuerde: y son valores
© 1984-1994 T/Maker Co.
Si el tiempo de servicio
medio es 15 minutos,
entonces μ es 4 clientes/hora.
53Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012
Ejemplos a desarrollar
– Realizar algunos ejemplos prácticos del libro
– Valorar la aplicación de los modelos de colas en el proyecto que se
realiza en la organización seleccionado, para lograr una mejora en el
servicio de atención al usuario.
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