la simetría so(4)

Universidad de Salamanca

Trabajo de Fin de Grado

Grado en Fısica

La simetrıa SO(4) en el problema cuantico deKepler-Coulomb

Autor:

Sergio

Alvarez Sanchez

Directora:

Dra. Marina

de la Torre Mayado

FACULTAD DE CIENCIAS

Area de Fısica Teorica

Salamanca, julio, 2015

Dna. Marina de la Torre Mayado, Profesor Contratado Doctor de Fısica Teorica de la

Facultad de Ciencias de la Universidad de Salamanca, autoriza la presentacion del Trabajo de

Fin de Grado en Fısica titulado La simetrıa SO(4) en el problema cuantico de Kepler-Coulomb,

realizado bajo su tutela por D. Sergio Alvarez Sanchez

En Salamanca, a 8 de julio, 2015

“Niemals das Schweigen zu brechen, wenn nicht zu verbessern”

L. van Beethoven

La Simetrıa SO(4) en el Problema Cuantico de Kepler-Coulomb

Resumen

Estudiamos la simetrıa oculta SO(4) de los estados ligados del atomo de hidrogeno. Desde

un enfoque puramente algebraico, obtenemos una realizacion concreta de SO(4) generada

por el operador cuantico de Runge-Lenz y el operador de momento angular cuando nos

restringimos al subespacio de Hilbert de estados de energıa negativa. Esta dependencia

en la energıa de la realizacion nos permitira encontrar el espectro de energıa (formula de

Bohr). Correspondiente a cada nivel de energıa, se obtiene una representacion irreducible

de SO(4). Los estados base de estas representaciones son justamente las funciones de onda

propias degeneradas para cada nivel de energıa. Un analisis en detalle de estas funciones de

onda requiere el uso de un sistema concreto de coordenadas. Ası, obtendremos las funciones

de onda propias del atomo de hidrogeno en coordenadas polares esfericas y en coordenadas

parabolicas.

Palabras-clave — Problema de Kepler-Coulomb — Simetrıa dinamica — Atomo de

hidrogeno — Algebra SO(4) — Integrabilidad

SO(4) Symmetry of the Kepler-Coulomb Problem in Quantum Mechanics

Abstract

We review the “hidden” SO(4) symmetry of the bound hydrogen atom. We first take

an algebraic approach using the quantum mechanical Runge-Lenz vector. It provides, in

addition to the SO(3) orbital angular momentum operators, three constants of motion for the

hydrogenic Hamiltonian. If we restrict to a subspace of the Hilbert space that corresponds

to a particular bound states energy eigenvalue, a realization of SO(4) is obtained. This

energy dependent realization can be used to rederive the Bohr formula for the energy levels.

Corresponding to each level we obtain a unitary irreducible representation of SO(4). The

basis functions for each such irreducible representation are just the hydrogenic wavefunctions

belonging to the energy level. A coordinate system must be incorporated into the description

to render the eigenstates in detail, and we shall obtain the state functions of hydrogen in

spherical-polar and parabolic coordinates.

Key-words — Kepler-Coulomb Problem — Hydrogen Atom — Hidden Symmetry —

SO(4) Algebra — Integrability

Indice

Indice i

Introduccion 1

Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Objetivos y esquema del Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Notacion y convenciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Breve comentario bibliografico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I Consideraciones previas 5

1 Sistemas Hamiltonianos: integrabilidad y separabilidad 5

1.1 El problema clasico de Kepler-Coulomb en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . 5

1.2 El problema clasico de Euler-Coulomb en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Sistemas ortogonales de coordenadas curvilıneas en el espacio . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Relacion entre los sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Algebra de Lie de SO(4) 15

2.1 Aspectos generales del algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Representaciones de un algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Realizacion fısica de un algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Algebra de Lie de SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Representaciones del algebra de SO(3): un breve repaso . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Reglas de seleccion para operadores escalares y vectoriales . . . . . . . . . 18

2.2.2 Operadores tensoriales irreducibles y Teorema de Wigner-Eckart . . . . . 20

2.3 Representaciones del algebra de SO(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Representaciones unitarias irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Isomorfismo SO(4) ≈ SO(3)⊗SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3 Operadores de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

i

Indice

II El problema cuantico de Kepler-Coulomb en tres dimensiones 33

3 Una realizacion fısica del algebra de SO(4): el atomo de Hidrogeno 33

3.1 El operador de Runge-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 La simetrıa dinamica SO(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Espectro discreto de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Construccion algebraica de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1 Base acoplada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2 Base desacoplada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 El atomo de hidrogeno en representacion de coordenadas 42

4.1 Separabilidad y operadores diferenciales en coordenadas esfericas . . . . . . . . . 42

4.1.1 Los tres primeros niveles de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.2 El nivel generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.3 Tablas y figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Separabilidad y operadores diferenciales en coordenadas parabolicas . . . . . . . 53

4.2.1 Los tres primeros niveles de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.2 El nivel generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.3 Tablas y figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 El problema cuantico de Kepler-Coulomb en coordenadas elıpticas 62

5.1 El problema cuantico de Euler-Coulomb en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . 62

5.1.1 Separabilidad del problema en coordenadas elıpticas. Ecuaciones “radial”

y “angular” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 El atomo de hidrogeno: estados hıbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.1 Funciones de onda propias en coordendas elıpticas . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.2 Tablas y figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3 Discusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Conclusiones 79

Bibliografıa i

ii

Introduccion

Objetivos

El objetivo de este Trabajo de Fin de Grado es el estudio del problema cuantico de Kepler-

Coulomb, en particular el caso del atomo de hidrogeno, desde el punto de vista de la simetrıa

dinamica SO(4).

Antecedentes

La resolucion del problema de Kepler juega un papel clave en la descripcion de las interacciones

gravitatorias y electrostaticas entre dos cuerpos. En este problema se plantea el estudio del

movimiento de una partıcula con masa o carga electrica, en el campo de un potencial de tipo

Newtoniano, inversamente proporcional a la distancia entre el cuerpo y el centro de fuerzas.

Como es bien conocido, este problema constituye un sistema Hamiltoniano que es sobreinte-

grable, y esta propiedad esta relacionada con el hecho de que en el espacio Euclıdeo tridimen-

sional posee un grupo de simetrıa que es al menos tan grande como el grupo de rotaciones en

cuatro dimensiones, SO(4). La existencia de una cantidad del movimiento adicional a las cono-

cidas para cualquier potencial central, fue probada por Laplace en el Traitee de mechanique

celeste de 1799, y posteriormente descubierta de nuevo, aparentemente de forma totalmente

independiente, por W.R. Hamilton en 1845. Sin embargo, a pesar de estos descubrimientos y

redescubrimientos la existencia de este invariante permanecio ignorada hasta que Carl Runge lo

popularizo en su Vektoranalysis publicado en 1919. Este invariante es conocido como el vector

de Runge-Lenz1 [17]-[18].

El observable cuantico analogo al vector de Runge-Lenz fue utilizado por W. Pauli [32] para

obtener el espectro del atomo de hidrogeno en el marco de la “nueva mecanica cuantica” de

W. Heisenberg. Aunque la demostracion de la invariancia del sistema bajo transformaciones

globales del grupo SO(4) fue hecha por primera vez por V. Fock en 1935 [16]. Poco mas tarde,

en 1936, V. Bargmann demostro que los generadores de las transformaciones utilizadas por V.

Fock eran el momento angular y el vector de Runge-Lenz [5].

1En el contexto de la mecanica clasica en ocasiones se utiliza el termino de vector de Laplace-Runge-Lenz.

Mientras que en el dominio cuantico tambien es conocido como el operador de Runge-Lenz-Pauli

1

Introduccion

Esquema

El trabajo esta dividido en dos partes:

• Parte I: Consideraciones previas.

- Breve repaso de los conceptos de integrabilidad y separabilidad aplicados a los sitemas

clasicos de Kepler y Euler. Incluyendo un conciso analisis de los distintos sistemas

de coordenadas curvilıneos en los que es separable el problema de Kepler.

- Clasificacion de las representaciones unitarias e irreducibles del algebra de SO(4)

• Parte II: El problema cuantico de Kepler-Coulomb en tres dimensiones

- Descripcion algebraica del atomo de hidrogeno como una realizacion fısica concreta

de SO(4)

- Calculo de las funciones de onda propias del atomo de hidrogeno en representacion

de coordenadas

- Estudio del atomo de hidrogeno en coordenadas elıpticas-hiperbolicas

Notacion y convenciones

A lo largo de este trabajo, utilizaremos unidades atomicas (~ = e = me = 4πε0 = 1). En la

Tabla 0.1 se reflejan los valores de estas cantidades en el sistema internacional (SI).

Tabla 0.1: Unidades basicas en el sistema atomico

Magnitud Unidad Significado fısico Valor en SI

Masa me Masa del electron 9.10938× 1031 kg

Carga e Carga del electron 1.60218× 1019 C

Momento angular ~ = h/2π Cte. de Planck reducida 1.05457× 1034 J s

Cte. de Coulomb 4πε0 4π veces la permitividad del vacıo 1.11265× 1010 F/m

En este sistema, las unidades de longitud y energıa son estan fijadas a la unidad, y su equivalencia

con el sistema internacional es:

1. El radio de Bohr:

a0 =~2

meα=

4πε0~2

mee2= 0.5292 A

2

Introduccion

2. La energıa de Rydberg:

1Ry =meα

2

2~2= hcR∞ = 13.605 eV , R∞ =

mee4

8ε20h3c

Por otro lado, como trabajamos en el espacio Euclıdeo tridimensional, usaremos ındices latinos

para las componentes espaciales de los vectores/operadores (i, j, k, ... = 1, 2, 3). Ası mismo

seguiremos la convencion de Einstein para la suma de ındices repetidos y con εijk representamos

el sımbolo de Levi-Civita, el tensor completamente antisimetrico con ε123 = +1.

Breve comentario bibliografico

Aparte de los artıculos especializados consultados y/o trabajados durante la elaboracion de este

trabajo senalamos los libros de textos principales que han servido para la fijacion de ideas,

conceptos, notaciones, etc.

En el contexto de la Mecanica Cuantica se han utilizado principalmente las monografıas de

Cohen-Tannoudji [8], Weinberg [39] y Tahktajan [36]. Las pautas sobre sistemas integrables se

han seguido del libro de Perelomov [33]. Finalmente, para el estudio de las representaciones

irreducibles del algebra de SO(4) se ha seguido el libro de Arno Bohm, [6].

3

Parte I

Parte I

Consideraciones previas

1 Sistemas Hamiltonianos: integrabilidad y separabilidad

Dada la importancia que tiene en fısica la resolucion del problema de Kepler, no se puede dejar

de sopesar la gran fortuna de ser un sistema Hamiltoniano maximalmente sobreintegrable. Por

ello, empezaremos recordando algunos conceptos sobre integrabilidad y separabilidad.

El metodo de Hamilton-Jacobi sustituye las ecuaciones de Hamilton por una unica ecuacion

en derivadas parciales. Aunque este tipo de ecuaciones suelen ser bastante difıciles de integrar

existen sistemas N -dimensionales cuya ecuacion de Hamilton-Jacobi puede ser descompuesta en

un conjunto de ecuaciones desacopladas, denominados sistemas separables. Todos los sistemas

de Hamilton-Jacobi separables son integrables.

Un Hamiltoniano N -dimensional se denomina integrable cuando posee un conjunto de N con-

stantes del movimiento independientes y en involucion. Los sistemas maximalmente sobreinte-

grables admiten camo maximo 2N − 1 invariantes funcionalmente independientes. Se dispone

ası, de mas constantes del movimiento de las necesarias y el sistema es separable en al menos

dos sistemas de coordenadas distintos.

En el espacio Euclıdeo, un sistema Hamiltoniano de la forma

H =1

2p2 + V

admite un segundo invariante cuadratico en los momentos si y solo si la ecuacion de Hamilton-

Jacobi es separable en al menos uno de los siguientes sistemas de coordenadas: cartesiano, polar

esferico, parabolico o elıptico-hiperbolico.

1.1 El problema clasico de Kepler-Coulomb en tres dimensiones

El problema de Kepler es un sistema Hamiltoniano con todas las propiedades que hemos ido

definiendo hasta ahora: presenta un segundo invariante cuadratico en los momentos (el vector

de Runge-Lenz) y admite separabilidad en al menos dos sistemas de coordenadas distintos.

4

Consideraciones Previas

Mas aun, comparte con el oscilador armonico el siguiente resultado, conocido como Teorema de

Bertrand: Los unicos potenciales centrales cuyas orbitas acotadas son cerradas representando

movimientos periodicos son:

V = −αr

, V = αr2

La dinamica del problema clasico de Kepler esta determinada por el Hamiltoniano:

H =1

2p2 − α

r, α > 0 (1.1)

Este Hamiltoniano es invariante bajo el grupo de rotaciones en el espacio Euclıdeo tridimen-

sional, SO(3), donde las componentes del vector momento angular son cantidades conservadas:

Li = εijkxipj

La idea de que todas las trayectorias para α > 0 y correspondientes a E < 0 sean cerradas sugiere

la existencia de una simetrıa oculta y, consecuentemente, de otras integrales del movimiento

adicionales.

En efecto, las componentes del vector de Laplace-Runge-Lenz:

A = p×L− αr

r(1.2)

Ai = εijkpiLj −αxir

, {H ,Ai} = 0

son constantes del movimiento ademas de la energıa y el momento angular.

Son necesarias ciertas relaciones entre la energıa, E y las componentes del momento angular y

del vector de Runge-Lenz Li y Ai, de manera que como maximo existan cinco constantes del

movimiento funcionalmente independientes:

1. El vector de Runge-Lenz esta contenido en el plano de las orbitas clasicas y es perpendic-

ular al momento angular L:

A ·L = L ·A = 0

2. Su magnitud coincide (salvo una constante multiplicativa) con la excentricidad de las

orbitas clasicas. Haciendo el producto escalar de A con r, siendo θ el angulo entre ellos:

r =L2/α2

1 + ε cos θ, ε = A/α

5

Parte I

3. Tomando el cuadrado de (1.2):

A2 = α2 + 2EL2 , con E =p2

2− α

r

Esta propiedad confiere al vector un sentido dinamico. La energıa del sistema viene dada

por:

E = − α

2(L2 + M2)

donde M es el vector de Runge-Lenz reescalado de la siguiente manera:

M =

√1

−2EA,

4. Los corchetes de Poisson de las integrales del movimiento L y M son:

{L1 , Lj} = εijkLk , {Li ,Mj} = εijkMk , {MiMj} = εijkLk

De estas expresiones vemos, que para un valor fijo de la energıa, los vectores invariantes

generan un algebra cerrada, el algebra de Lie del grupo SO(4).

En resumen:

(i) El sistema es sobreintegrable, y permite elegir diferentes conjuntos de tres constantes del

movimiento en involucion con el Hamiltoniano para resolver el problema. Dependiendo

de que invariantes se escojan la separabilidad de la ecuacion de Hamilton-Jacobi se puede

realizar en dos sistemas de coordenadas distintos: E, L2, L3, en coordenadas polares

esfericas, o bien, E, A3, L3, en coordendas parabolicas.

(ii) Ademas de los metodos habituales para obtener las soluciones del problema de Kepler

(integracion directa, ecuacion de Binet), existe un metodo consistente en utilizar el vector

de Laplace-Runge-Lenz. La simetrıa “oculta” SO(4) resuelve el problema utilizando pro-

cedimientos puramente algebraicos, esto es, sin resolver ecuaciones diferenciales ni calcular

integrales.

1.2 El problema clasico de Euler-Coulomb en tres dimensiones

Consideremos el Hamiltoniano para un sistema formado por una partıcula ligera, de masa

unidad, moviendose alrededor de dos cuerpos pesados o centros Coulombianos fijos:

H =1

2p2 − α1

r1− α2

r2, V = −α1

r1− α2

r2

6


es decir, tratamos el problema de Euler [15] en el espacio Euclıdeo tridimensional.

Los centros estan localizados en los puntos (0, 0,+d) y (0, 0,−d), y sus intensidades son α1, α2

respectivamente. Las distancias de la partıcula a los centros, ver Figura 1.1, son:

r1 =√x21 + x22 + (x3 − d)2 , r2 =

√x21 + x22 + (x3 + d)2

Figura 1.1: Partıcula moviendose en presencia de dos centros de fuerza fijos

En este caso, como en el problema de un centro, existe un segundo invariante adicional cuadratico

en los momentos [33] dado por:

I2 =[L2 − d2

(p21 + p22

)]+ 2d

[α1(d− x3)

r1+α2(d+ x3)

r2

]Este sistema tambien es integrable en el sentido de Sturm-Liouville, puesto que existen tres

invariantes en involucion con el Hamiltoniano:

{H , I2} = {H ,L3} = {I2, L3} = 0

donde L3 es la componente cartesiana del momento angular correspondiente a la direccion en

la que se encuentran los centros Coulombianos.

Para integrar las ecuaciones de movimiento usando el metodo de separacion de variables se

utilizan las coordenadas elıpticas. Un estudio completo y mas detallado sobre este movimiento

podemos encontrarlo en [28].

Es interesante considerar los dos lımites en que el problema de dos centros reduce al problema

de Kepler-Coulomb. Entendiendo d como un parametro de deformacion, la primera posibilidad

ocurre cuando d→ 0, es decir cuando los dos centros colapsan en uno. Las coordenadas elıpticas

7

Parte I

se convierten en coordenadas esfericas y, dado que el sistema adquiere simetrıa de rotacion, el

segundo invariante deviene el momento angular al cuadrado:

limd→0

I2 = L2

El otro lımite es mas delicado, si un centro se traslada al origen y el otro se escapa al infinito,

es decir d→∞, las coordenadas elıpticas se convierten en parabolicas, e I2 se convierte en una

de las componentes del vector de Runge-Lenz. Esta doble operacion es:

1. La traslacion del origen de coordenadas sobre el eje x3: x1 → x1 , x2 → x2 , x3 →

x3 + d , trasforma el segundo invariante en:

I2 = L2 + 2dA3 + 2d

[α2(2d+ x3)√

x21 + x22 + (x3 + 2d)2

]

donde A3 es la componente del vector de Runge-Lenz en la direccion en que se encuentran

los dos centros de fuerza.

2. En el lımite d→∞ el segundo invariante renormalizado da lugar a:

limd→∞

I22dα1

= A3 +α2

α1

El problema de una partıcula moviendose en el campo de fuerzas creado por dos centros Newto-

nianos es completamente integrable pero no soluble: existen tres constantes del movimiento en

involucion, que permiten reducir las ecuaciones de Hamilton-Jacobi a tres ecuaciones diferen-

ciales ordinarias no acopladas que, sin embargo, no pueden integrarse en terminos de funciones

elementales o especiales conocidas.

El estudio del problema de Kepler se completa utilizando las coordenadas elıpticas para las que

el conjunto de invariantes funcionalmente independientes es {E, I2, L3}. La sobreintegrabilidad

del problema se recupera al tener la libertad de escoger la direccion en la que se definen las

coordenadas elıpticas, tal como se muestra en la figura 1.2.

1.3 Sistemas ortogonales de coordenadas curvilıneas en el espacio

En el espacio Euclıdeo tridimensional, analizaremos los sistemas de coordenadas curvilıneos en

los que el problema de Kepler-Coulomb es separable, atendiendo a la transformacion de coorde-

nadas con respecto al sistema cartesiano, a la metrica diagonal gij y al operador Laplaciano

8


Figura 1.2: Coordenadas elıpticas para el problema de un centro de fuerza. Al no estar fijado

el segundo foco, existe un grado de libertad para el giro de las coordenadas

dado por:

∇2 = ∆ =1√

det[g]∇g−1

√det[g]∇ =

1√det[g]

∂igij√

det[g] ∂j

Las coordenadas cartesianas las denotamos por (x1, x2, x3). El tensor metrico gij es diagonal

con componentes g11 = g22 = g33 = 1. Consecuentemente:

ds2 = dx21 + dx22 + dx23

Y el Laplaciano es:

∆ =∂2

∂x21+

∂2

∂x22+

∂2

∂x23

Coordenadas polares esfericas

• Transformacion de coordenadas:

x1 = r sin θ cosϕ

x2 = r sin θ sinϕ

x3 = r cos θ

r =

√x21 + x22 + x23 , θ = arccos

x3√x21 + x22 + x23

, ϕ = arctanx2x1

donde: r ∈ [0,∞), θ ∈ [0, π] y ϕ ∈ [0, 2π].

• La metrica es:

ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2

El determinante de la metrica es por tanto det[g] = r4 sin2 θ, y su inversa:

g−1 = (∂1)2 + (∂2)

2 + (∂3)2 =

∂2

∂r2+

1

r2∂

∂θ

2

+1

r2 sin2 θ

∂2

∂ϕ2

9

Parte I

• El Laplaciano es:

∆ =1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂ϕ2

Coordenadas parabolicas Las coordenadas parabolicas constituyen un sistema bidimen-

sional de coordenadas ortogonales en el que las lıneas coordenadas son parabolas confocales. Se

puede obtener una version tridimensional de este sistema por rotacion de las curvas bidimen-

sionales alrededor del eje de simetrıa de las parabolas.

Figura 1.3: Coordenadas parabolicas en el plano y en el espacio: Las superficies de ξ y η cons-

tante son paraboloides de revolucion alrededor del eje X3 con foco en el origen de coordenadas.


x1 =√ξη cosϕ

x2 =√ξη sinϕ

x3 = 12 (ξ − η)

ξ = r(1 + cos θ) , η = r(1− cos θ) , ϕ = ϕ

donde: ξ ∈ [0,∞), η ∈ [0,∞) y ϕ ∈ [0, 2π].

• Metrica:

ds2 =r

2

(dξ2

ξ+dη2

η

)+ ξη dϕ2

El determinante de la metrica es por tanto det[g] = r2/4,y su inversa:

g−1 = (∂1)2 + (∂2)

2 + (∂3)2 =

2

r

(ξ∂2

∂ξ2+ η

∂2

∂η2

)+

1

ξη

∂2

∂ϕ2

10


• Laplaciano:

∆ =4

ξ + η

(∂

∂ξξ∂

∂ξ+

∂

∂ηη∂

∂η

)+

1

ξη

∂2

∂ϕ2

Coordenadas elıpticas prolatas Las coordenadas elıpticas prolatas, o elıpticas-hiperbolicas

son un sistema bidimensional de coordenadas ortogonales en el que las lıneas coordenadas son

elipses e hiperbolas confocales. Los focos, F1 y F2, se situan en dos puntos simetricos con

respecto al origen. La version en tres dimensiones, al igual que para el sistema parabolico,

consiste en hacer una rotacion de las curvas bidimensionales alrededor del eje en el que se

situan los focos.

Figura 1.4: Coordenadas elıpticas prolatas en el plano y en el espacio: Las superficies de u cons-

tante son elipsoides de revolucion mientras que las superficies de v constante son hiperboloides

de revolucion alrededor del eje X3

Existen varias definiciones para las coordenadas elıpticas. En nuestro estudio utilizaremos la

version de Euler, definidas por la siguiente transformacion:


x1 = 1d

√u2 − d2

√d2 − v2 cosϕ

x2 = 1d

√u2 − d2

√d2 − v2 sinϕ

x3 = 1d uv

u =

r1 + r22

, v =r1 − r2

2, ϕ = ϕ

donde: u ∈ [d,∞), v ∈ [−d,+d] y ϕ ∈ [0, 2π].

Las variables r1 y r2 son las distancias respecto de los focos F1 y F2 respectivamente:

r1 =√x21 + x22 + (x3 − d)2 , r2 =

√x21 + x22 + (x3 + d)2

11

Parte I

• La metrica:

ds2 =u2 − v2

u2 − d2du2 +

u2 − v2

d2 − v2dv2 +

(u2 − d2)(d2 − v2)d2

dϕ2

• El Laplaciano:

∆ =1

u2 − v2

(∂

∂u

((u2 − d2) ∂

∂u

)+

∂

∂v

((d2 − v2) ∂

∂v

))+

d2

(u2 − d2)(d2 − v2)∂2

∂ϕ2

1.3.1 Relacion entre los sistemas de coordenadas

Se puede considerar el sistema curvilıneo de coordenadas elıptico (elıptico-hiperbolico) como el

sistema mas general de tal forma que los otros se pueden obtener como casos lımite del anterior.

Como hemos visto, la variable azimutal ϕ es comun para los tres sistemas curvilıneos y corres-

ponde al giro alrededor del eje X3. Si denotamos, como antes, los focos de la elipse por F1 y F2

que estan situados en +d y −d respectivamente sobre el eje de giro, entonces:

(a) El sistema de coordenadas polares esfericas aparece como el lımite del elıptico cuando los

dos focos F1 y F2 colapsan en uno solo situado en el origen de coordenadas. Esto es,

considerar el lımite d → 0.

Figura 1.5: Lımite de las coordenadas elıpticas cuando d→ 0.

En efecto, la variable u ∈ [d, ∞) en el lımite d → 0 toma valores en u ∈ [0,∞) y

la renombramos como u ≡ r; mientras que para v ∈ [−d, d], podemos hacer el cambio

v = d cos θ con θ ∈ [0, π] de manera que:

limd→0

x1 = limd→0

(1

d

√u2 − d2

√d2 − v2 cosϕ

)= r sin θ cosϕ

limd→0

x2 = limd→0

(1

d

√u2 − d2

√d2 − v2 sinϕ

)= r sin θ sinϕ

limd→0

x3 = limd→0

(1

duv

)= r cos θ

12


(b) El sistema de coordenadas parabolico aparece como el lımite del elıptico cuando uno de

los focos (por ejemplo, F1) permanece fijo y el otro foco se desplaza hacia el infinito. Esto

es, considerar el lımite matematico d → ∞.

Figura 1.6: Lımite de las coordenadas elıpticas cuando d→∞

En realidad es necesario hacer esto en dos pasos: primero trasladar el foco fijo, F1, al

origen de coordenadas x3 → x3 + d y segundo hacer el lımite d → ∞, realizando los

cambios:

u = d+η

2, v = −d+

ξ

2

donde las variables ξ, η ∈ [0,∞) cuando d → ∞.

Vemos que en este lımite se recuperan las coordenadas parabolicas:

limd→∞

x1 = limd→∞

(1

d

√u2 − d2

√d2 − v2 cosϕ

)=√ξη cosϕ

limd→∞

x2 = limd→∞

(1

d

√u2 − d2

√d2 − v2 sinϕ

)=√ξη sinϕ

limd→∞

x3 = limd→∞

(1

duv + d

)=

1

2(ξ − η)

(c) Finalmente, el sistema cartesiano aparece como el lımite del elıptico cuando los dos focos

F1 y F2 se marchan hacia el infinito.

13

Parte I

2 Algebra de Lie de SO(4)

El objetivo de esta seccion es clasificar las representaciones irreducibles del algebra de SO(4).

2.1 Aspectos generales del algebra de Lie

El algebra de Lie asociada a un grupo de Lie N -dimensional queda completamente definida

especificando el conmutador de los elementos de la base:

[Eα, Eβ] = cαβγEγ , α, β, γ = 1, 2, ..., N (2.1)

donde los coeficientes cαβγ se llaman constantes de estructura y los elementos de la base Ei son

los generadores del algebra.

2.1.1 Representaciones de un algebra de Lie

Definido el algebra de Lie de manera abstracta mediante las relaciones de conmutacion (2.1),

podemos considerar los generadores Ei como operadores actuando sobre un espacio vectorial W

de dimension n, con base:

W ={|a〉 , a = 1, 2, ..., n

}La actuacion de Ei sobre un vector de W se expande en los vectores de la base:

Eα |b〉 =∑a

|a〉〈a|Ei|b〉 , a, b = 1, 2, ..., n ; α = 1, ..., N

donde 〈α|Ei|β〉 es el elemento de matriz de Ei.

Los operadores Ei generan una representacion del algebra de Lie y el espacio vectorial W es el

espacio de representacion del algebra.

El primer paso es clasificar las representaciones irreducibles: si el espacio vectorial W no contiene

ningun subespacio invariante, a parte de los triviales, por la actuacion de los generadores Ei, la

representacion es irreducible. Las representaciones de un algebra cuyos generadores son opera-

dores hermıticos (como los observables cuanticos de un sistema fısico) son ademas unitarias.

Dado un algebra de Lie es importante conocer la existencia de operadores que conmutan con

todos los elementos de un algebra, los llamados operadores de Casimir.

14


2.1.2 Realizacion fısica de un algebra de Lie

Una vez definido el algebra de una manera abstracta mediante las relaciones de conmutacion

(2.1), para su aplicacion a un sistema fısico sera necesario conocer la forma de los generadores

en terminos de los observables fısicos del problema. Estos operadores formaran una realizacion

fısica concreta del algebra. Por ejemplo, bien conocidas son las realizaciones fısicas del algebra

de SO(3)≈SU(2) dadas por las tres componentes del momento angular orbital L = r × p, las

tres componentes del espın Si = 12σi en terminos de las matrices de Pauli, o el momento angular

total del electron J = L + S.

2.1.3 Algebra de Lie de SO(N)

Los generadores del algebra de SO(N) son las matrices antisimetricas e imaginarias puras:

SO(N) :={Jαβ, J

∗αβ = −Jαβ , Jαβ = −Jβα

}, α, β = 1, 2, ..., N

cuyos elementos de matriz son:(Jαβ

)γ,δ

= −iδαγδβδ + iδαδδβγ , α, β, γ, δ = 1, 2, ..., N

De manera que el algebra queda perfectamente definida con las relaciones de conmutacion

siguientes:

[Jαβ , Jγδ] = i(δαγ Jβδ + δβδJαγ − δαδJβγ − δβγ Jαδ

), α, β, γ, δ = 1, 2, ..., N (2.2)

De la propia definicion de matriz antisimetrica se deduce que el numero de parametros inde-

pendientes que se necesitan es el numero de elementos de matriz por encima de la diagonal

principal, esto es:N(N − 1)

2

Por ello, el algebra de SO(3) esta generado por tres operadores que definen el algebra:

[J i , J j ] = iεijkJk

Por su parte, el algebra de SO(4) esta generada por seis operadores definidos por:

J i =1

2εijkJ jk , V i = J i4 , i, j, k = 1, 2, 3

Usando (2.2), el algebra queda perfectamente definida con las relaciones de conmutacion:

[J i , J j ] = iεijkLk , [J i , Vj ] = iεijkVk , [Vi , Vj ] = iεijkJk

15

Parte I

2.2 Representaciones del algebra de SO(3): un breve repaso

Las relaciones de conmutacion que cierran el algebra de Lie de SO(3) son:

[J i , J j ] = iεijkJk (2.3)

Introduciendo los operadores escalera J± = J1 ± iJ2, las relaciones de conmutacion siguientes

son equivalentes a (2.3):

[J3 , J±] = ±J±

El operador de Casimir que conmuta con todos los generadores es:

J2

= J iJ i = J21 + J

22 + J

23 , [J

2, J i] = 0 (2.4)

Las representaciones unitarias irreducibles se caracterizan por un unico numero cuantico j, que

puede tomar valores enteros o semienteros. La base estandar de las representaciones irreducibles

de SO(3) en las que el operador de Casimir y una de las componentes de J , habitualmente J3,

son diagonales es:

Rj ={|j,m〉 , m = −j ,−j + 1 , ... , j − 1 , j

}, dim

(Rj)

= 2j + 1

donde sabemos que:

J2 |j,m〉 = j(j + 1) |j,m〉 ,

J3 |j,m〉 = m |j,m〉 ,

J± |j,m〉 =√

(j ±m+ 1)(j ∓m) |j,m± 1〉

Operadores escalares y vectoriales en SO(3)

• Llamaremos operador escalar en SO(3) a un operador S que verifica:

[S , Ji] = 0 (2.5)

• Un operador vectorial en SO(3), V , es vector cuyas componentes son operadores que

satisfacen las relaciones de conmutacion:

[Ji, Vj ] = iεijkVk (2.6)

Es conveniente trabajar con el operador V 3 y los operadores escalera V± = V1 ± iV2 en

lugar de con las componentes V 1, V 2, V 3. En este caso, las relaciones de conmutacion:

[J± , V∓] = ±2V3 , [J3 , V±] = ±V± , [J± , V3] = ∓V±

16


[J+ , V+] = [J− , V−] = [J3 , V3] = 0

Ahora enumeramos algunas de las propiedades que satisfacen J y V , y que nos resultaran de

utilidad mas adelante:

J · V = V · J ,

[(J · V ) , J i] = 0,

[J2, V ] = i(V × J − J × V ), (2.7)

[J2, J × V ] = 2i(J

2V − (J · V )J),[

J2, [J

2, V ]

]= 2(J

2V − 2(J · V )J + V J

2)

2.2.1 Reglas de seleccion para operadores escalares y vectoriales

Las reglas de seleccion nos permiten calcular que elementos de matriz de un operador entre dos

estados de la base estandar para SO(3) son, a priori, iguales a cero.

• Los elementos de matriz de S se obtienen facilmente usando la propia definicion de escalar

(2.5). En efecto:

〈j′,m′|[S , J3]|j,m〉 = 0⇒ δm′m

〈j′,m′|[S , J2]|j,m〉 = 0⇒ δj′j

Un operador escalar es diagonal para los estados de las representaciones unitarias irreducibles

de SO(3). Mas aun, sus elementos de matriz son independientes de m:

〈j′,m′|S|j,m〉 = δj′jδm′m 〈j′||S||j〉 (2.8)

donde 〈j′||S||j〉 se llama elemento de matriz reducido.

• Las reglas de seleccion de un operador vectorial V , se hacen por separado para cada

componente:

Para V 3:

〈j′,m′|[J3, V3]|j,m〉 = 0 =⇒ (m′ −m) 〈j′,m′|V3|j,m〉 = 0⇒ δm′m

Para V ±, utilizando [J3 , V±] = ±V± obtenemos:

(m′ − (m± 1)) 〈j′,m′|V±|j,m〉 = 0⇒ δm′(m±1)

17

Parte I

Algo mas complicado es obtener las reglas de seleccion para el numero cuantico j. El

procedimiento consiste en tomar los elementos de matriz en la ultima identidad en (2.7):[J

2, [J

2, V ]

]= 2(J

2V − 2(J · V )J + V J

2)

De un lado, la izquierda de esta igualdad:

〈j′,m′|[J

2, [J

2, V ]

]|j,m〉 = [j′(j′ + 1)− j(j + 1)]2 〈j′,m′|V |j,m〉

Por el otro lado, a la derecha de la misma expresion:

2 〈j′,m′|(J

2V − 2(J · V )J + V J

2)|j,m〉 =

= 2[j′(j′ + 1) + j(j + 1)] 〈j′,m′|V |j,m〉 − 4 〈j′,m′|(J · V )J |j,m〉

Juntado ambos resultados y simplificando:

[(j′ − j)2 − 1][(j′ + j + 1)2 − 1] 〈j′,m′|V |j,m〉 = −4 〈j′||J · V ||j〉〈j′,m′|J |j,m〉 ,

donde se ha utilizado que (J · V ) es un operador escalar.

Podemos distinguir dos casos:

(a) Para j′ 6= j

Como necesariamente 〈j′,m′|J |j,m〉 = 0, pues J i no cambia el numero cuantico j,

entonces (j′ − j)2 − 1 = 0, lo que implica j′ = j ± 1

(b) Para j′ = j

La expresion para los elementos de matriz de V i resulta:

〈j,m′|V |j,m〉 =1

j(j + 1)〈j||J · V ||j〉〈j,m′|J |j,m〉

En general 〈j||J · V ||j〉 es distinto de cero, salvo para aquellos operadores para los

cuales J · V = 0.

Resumiendo, las reglas de seleccion para un operador vectorial son:

〈j′,m′|V±|j,m〉 6= 0⇔ m′ = m± 1

〈j′,m′|V3|j,m〉 6= 0⇔ m′ = m

〈j′,m′|V |j,m〉 6= 0⇔ j′ = j ± 1, j

18


2.2.2 Operadores tensoriales irreducibles y Teorema de Wigner-Eckart

En general definimos un operador tensorial irreducible de orden k como un conjunto de 2k + 1

operadores T(k)q (q = −k,−k + 1, ..., k) que satisfacen las reglas de conmutacion siguientes con

las componentes del momento angular J :

[J3, T(k)q ] = q T

(k)q (2.9a)

[J±, T(k)q ] =

√(k ± q + 1)(k ∓ q) T (k)

q±1 (2.9b)

Un operador vectorial es,entonces, un operador tensorial irreducible de orden k = 1 y cuyas

componentes son:

V(1)±1 = ∓

√1

2V ±, V

(1)0 = V 3

Teorema:

El elemento de matriz de un operador tensorial irreducible T(k)q (q = −k,−k + 1, ..., k) entre

autoestados del momento angular es:

〈j′,m′| T (k)q |j,m〉 = 〈jmkq|j′m′〉〈j′||T (k)

q ||j〉 (2.10)

donde 〈jmkq|j′m′〉 es un coeficiente de Clebsch Gordan y 〈j′||T (k)q ||j〉 el elemento de matriz

reducido.

Tabla 2.1: Coeficientes de Clebsch Gordan: 〈j1 m−m2 1 m2|j,m〉j = m2 = 1 m2 = 0 m2 = −1

j1 + 1√

(j1+m)(j1+m+1)(2j1+1)(2j1+2)

√(j1−m+1)(j1+m+1)

(2j1+1)(j1+1)

√(j1−m)(j1−m+1)(2j1+1)(2j1+2)

j1 −√

(j1+m)(j1−m+1)2j1(j1+1)

m√j1(j1+1)

√(j1−m)(j1+m+1)

2j1(j1+1)

j1 − 1√

(j1−m)(j1−m+1)2j1(2j1+1) −

√(j1−m)(j1+m)j1(2j1+1)

√(j1+m+1)(j1+m)

2j1(j1+1)

Sea |j,m〉 un estado de una representacion de SO(3) y sea V(1)q un operador vectorial, podemos

ver como actua este operador sobre un vector de la base si expandimos V(1)q |j,m〉:

V(1)q |j,m〉 =

∑j′m′

|j′,m′〉〈j m 1 q|j′m′〉〈j′||V (1)q ||j〉

Con las reglas de seleccion que obtuvimos anteriormente para un operador vectorial se deduce

que los unicos resultados distintos de cero en esta ultima expresion son aquellos para los que

j′ = j + 1 , j , j − 1 y m′ = m+ q.

19

Parte I

Utilizando los coeficientes de la Tabla 2.1, vemos como actua un operador vectorial sobre las

representaciones irreducibles de SO(3) en la base estandar, |j,m〉:

V3 |j,m〉 =√j2 −m2 cj |j − 1,m〉

−maj |j,m〉 (2.11a)

−√

(j + 1)2 −m2 dj |j + 1,m〉

V+ |j,m〉 =√

(j −m− 1)(j −m) cj |j − 1,m+ 1〉

−√

(j +m+ 1)(j −m) aj |j,m+ 1〉 (2.11b)

+√

(j +m+ 1)(j +m+ 2) dj |j + 1,m+ 1〉

V− |j,m〉 = −√

(j +m)(j +m− 1) cj |j − 1,m− 1〉

−√

(j −m+ 1)(j +m) aj |j,m− 1〉 (2.11c)

−√

(j −m+ 1)(j −m+ 2) dj |j + 1,m− 1〉

donde cj , aj y dj se definen a partir de estas expresiones y son coeficientes que solo dependen

de j:

cj = −〈j − 1||V ||j〉√j(2j + 1)

aj = −〈j||V ||j〉j(j + 1)

dj = − 〈j + 1||V ||j〉(2j + 1)(j + 1)

En realidad, es posible elegir la base |j,m〉 de manera que [6]:

dj = cj+1

2.3 Representaciones del algebra de SO(4)

Las relaciones de conmutacion que definen el algebra de SO(4) son:

[J i , J j ] = iεijkJk

[J i , Vj ] = iεijkVk (2.12)

[Vi , Vj ] = iεijkJk

20


O, en terminos de los operadores escalera:

[V3 , V±] = ±J± , [V+ , V−] = 2J3

Gracias a la identidad de Jacobi bastara conocer [V3 , V+] = J+ ya que es posible escribir las

otras dos como:

[V3, V−] =1

2

[[[V3, V+], J−

], J−

][V+, V−] =

[[V3, V+], J−

]Para clasificar las representaciones irreducibles del algebra necesitamos conocer como son los

coeficientes aj , cj , dj definidos en las identidades (2.11 con cj+1 = dj).

Tomando el conmutador [V3 , V+] = J+ sobre la base |j,m〉:

(V3V+ − V+V3) |j,m〉 = J+ |j,m〉

Por un lado,sustituyendo (2.11):

(V3V+ − V+V3) |j,m〉 =[cjaj−1(j − 1)− cjaj(j + 1)]√

(j −m− 1)(j −m) |j − 1,m+ 1〉

+ [(2j − 1)c2j + a2j − (2j + 3)c2j+1]√

(j +m+ 1)(j −m) |j,m+ 1〉

− [jaj − (j + 2)aj+1]cj+1

√(j +m+ 1)(j +m+ 2) |j + 1,m+ 1〉

Por otra parte,

J+ |j,m〉 =√

(j +m+ 1)(j −m) |j,m+ 1〉

Igualando ambas expresiones y teniendo en cuenta que los vectores son linealmente independientes,

obtenemos dos ecuaciones para aj y cj :

[jaj − (j + 2)aj+1]cj+1 = 0 (2.13a)

(2j − 1)c2j + a2j − (2j + 3)c2j+1 = 1 (2.13b)

Lo primero que hacemos para resolver estas dos ecuaciones es fijar un valor de j mınimo, ya

que j ≥ 0, que llamaremos j0:

j = j0, j0 + 1, j0 + 2, ... , 2j0 ∈ Z+

Para todos los valores de j para los que cj 6= 0 obtenemos, multiplicando (2.13a) por por (j+1),

una relacion de recurrencia:

[j(j + 1)aj − (j + 1)(j + 2)aj+1] = 0

21

Parte I

Definiendo αj = j(j + 1)aj , la relacion de recurrencia se escribe: αj − αj+1 = 0, de donde

se deduce que αj es independiente de j. Llamamos a esta constante αj ≡ j0η, donde η es un

numero complejo arbitrario. Con esta notacion, el coeficiente aj es:

aj =ηj0

(j + 1)j, j ≥ j0 (2.14)

Para determinar cj , definimos

τj = (2j + 1)(2j − 1)c2j

y multiplicando por (2j + 1) en (2.13b), se obtiene la relacion de recurrencia:

τj+1 − τj = (a2j − 1)(2j + 1) = −[(j + 1)2 − j2]− j20η2(

1

(j + 1)2− 1

j2

)donde ya hemos sustituido aj por (2.14).

Calculamos ahora la suma: :

j−1∑j=j0

(τj+1 − τj) = τj − τj0 = [j20 − j2]− j20η2(

1

j20− 1

j2

), ∀j ≥ 0

Como j0 es el valor mınimo de j, entonces cj0 = 0, y consecuentemente τj0 = 0 de manera que,

finalmente la solucion para cj es:

c2j =(j20 − j2)(j2 − η2)

j2(4j2 − 1), j ≥ j0 (2.15)

En resumen, (2.14) y (2.15) determinan los coeficientes aj y cj y los dos parametros (j0, η)

clasifican las representaciones irreducibles de SO(4).

2.3.1 Representaciones unitarias irreducibles

En mecanica cuantica los operadores son observables fısicos, es decir, son operadores hermıticos

y las representaciones irreducibles de un algebra definida por operadores hermıticos son ademas

unitarias. Veamos que restricciones impone esto a los parametros (j0, η).

Si el operador vectorial V es hermıtico, entonces:

〈j,m| V 3 |j,m〉 = 〈j,m| V †3 |j,m〉

〈j − 1,m| V 3 |j,m〉 = 〈j − 1,m| V †3 |j,m〉

Se deduce,pues, que aj y cj son reales. Luego c2j ≥ 0 y de (2.15) el parametro η tambien es real.

22


Esto requiere que j2−η2 < 0, es decir, los valores de j estan acotados superiormente y todas las

representaciones unitarias irreducibles son de dimension finita. Por tanto, teniendo en cuenta

los valores que toma j podemos dejar que j0 tome valores enteros o semienteros positivos y

negativos y:

2j0 ∈ Z , η = |j0|+ 1 , |j0|+ 2 , ...

Las representaciones unitarias irreducibles de SO(4) se caracterizan por el par (j0, η), donde el

espacio vectorial que contiene todos los estados con los valores permitidos de j es:

R(j0, η) ={|(j0, η), j,m〉 : j = |j0|, |j0|+ 1, ..., η − 1; m = −j,−j + 1, ..., j − 1, j

}dim (R(j0, η)) = η2 − |j0|2

En la Tabla 2.2 se incluye una lista de las primeras representaciones unitarias irreducibles de

SO(4) hasta dimension 16.

Tabla 2.2: Representaciones unitarias irreducibles de SO(4). Aquellas que estan destacadas

corresponden, como veremos, a la realizacion concreta del atomo de hidrogeno.

dim (j0, η) dim (j0, η)

1 (0, 1) 9 (0, 3) , (±4, 5)

2 (±12 ,

32) 10 (±3

2 ,52), (±9

2 ,112 )

3 (±1, 2) 11 (±5, 6)

4 (0, 2) , (±32 ,

52) 12 (±11

2 ,132 ), (±2, 4)

5 (±2, 3) 13 (±6, 7)

6 (±12 ,

52), (±5

2 ,72) 14 (±5

2 ,92), (±13

2 ,152 )

7 (±3, 4) 15 (±7, 8), (±1, 4)

8 (±1, 3), (±72 ,

92) 16 (0, 4) , (±2, 5), (±15

2 ,172 )

Con esta manera de construir las representaciones unitarias irreducibles resulta evidente que

el algebra de SO(4) contiene el subalgebra de SO(3). En esta base, los generadores de SO(3)

son diagonales por cajas, cada una de las cajas corresponde a una representacion irreducible de

SO(3):

R(j0, η) ⇒︸︷︷︸SO(3)

Rj0 ⊕Rj0+1 ⊕ ...Rη−1

23

Parte I

Es decir, los operadores J± y J3 dejan invariante el subespacio caracterizado por un valor de j

fijo, mientras que V ± y V 3 son los operadores que cierran el algebra de SO(4) y dejan invariante

el espacio completo R(j0, η):

J3 |j,m〉 = m |(j0, η), j,m〉

J± |j,m〉 =√

(j ±m+ 1)(j ∓m) |(j0, η), j,m± 1〉

V3 |(j0, η), j,m〉 =√j2 −m2 cj |(j0, η), j − 1,m〉

−maj |(j0, η), j,m〉

−√

(j + 1)2 −m2 cj+1 |(j0, η), j + 1,m〉

V+ |(j0, η), j,m〉 =√

(j −m− 1)(j −m) cj |(j0, η), j − 1,m+ 1〉

−√

(j +m+ 1)(j −m) aj |(j0, η), j,m+ 1〉

+√

(j +m+ 1)(j +m+ 2) cj+1 |(j0, η), j + 1,m+ 1〉

V− |(j0, η), j,m〉 = −√

(j +m)(j +m− 1) cj |(j0, η), j − 1,m− 1〉

−√

(j −m+ 1)(j +m) aj |(j0, η), j,m− 1〉

−√

(j −m+ 1)(j −m+ 2) cj+1 |(j0, η), j + 1,m− 1〉

2.3.2 Isomorfismo SO(4) ≈ SO(3)⊗SO(3)

Ademas de obtener la clasificacion de las representaciones de SO(4) mediante el par de parametros

(j0, η) es posible construir estas representaciones desde un enfoque distinto en el que se evidencia

el isomorfismo local SO(4) ≈ SO(3)⊗SO(3).

A partir de las relaciones de conmutacion del algebra de SO(4), se deduce que la semisuma y

la semidiferencia2 de los operadores J y V :

J±i =

1

2(J i ± V i) (2.16)

representan cada una de ellas de forma desacoplada el algebra de SO(3):

[J±i , J

±j ] = iεijkJ

±k , [J

∓i , J

±j ] = 0

2Una combinacion lineal de los generadores de un algebra forman otro algebra compacta de la misma dimension

y rango

24


El isomorfismo que existe entre las algebras de SO(3)⊗SO(3) y SO(4) es manifiesto con la

recombinacion de generadores siguiente:

J ij = εijk

(J+k + J

−k

)= εijkJk , J i4 = J

+i − J

−i = V i

para los que se verifican las relaciones de conmutacion de los generadores de SO(4):

[Jαβ , Jγδ] = i(δαγ Jβδ + δβδJαγ − δαδJβγ − δβγ Jαδ

), α, β, γ, δ = 1, 2, 3, 4

El espacio sobre el que los operadores(J±)2

y J±3 definen el algebra de SO(3) de forma

desacoplada es el espacio producto tensorial:

Rj+ ⊗Rj− ={|j−,m−〉 ⊗ |j−,m−〉 ≡ |j+,m+; j−,m−〉

}donde m+ = −j+,−j+ + 1, ...,+j+ y m− = j−, j− + 1, ...,+j−. En efecto,(

J±)2 |j+,m+; j−,m−〉 = j±(j± + 1) |j+,m+; j−,m−〉 (2.17a)

J±3 |j+,m+; j−,m−〉 = m± |j+,m+; j−,m−〉 (2.17b)

La dimension de Rj+ ⊗Rj− es dim (R(j+, j−)) = (2j+ + 1)(2j− + 1).

Los operadores J i = J+i + J

−i nos dan una nueva representacion del algebra de SO(3) que

en general es reducible. Para encontrar sus componentes irreducibles bastara con encontrar

una base del espacio producto tensorial que sea propia de J2

y de J3. Este proceso es el que

conocemos como acoplamiento de dos momentos angulares, del que destacamos tres puntos

principales:

(a) La base acoplada en la que J2

y J3 son diagonales es precisamente la base de SO(4) que

encontramos antes:


}(b) En el producto j+⊗ j− aparecen todas, y cada una solo una vez, las representaciones con

j = |j+ − j−| , |j+ − j−|+ 1 , ... , j+ + j−

Esto establece una conexion entre los dos pares de parametros (j0, η) y (j+, j−) dada por:

|j0| = |j+ − j−| , η = j+ + j− + 1

25

Parte I

(c) El proceso determina de forma unıvoca los coeficientes de Clebsch Gordan, que son la

transformacion unitaria entre la base acoplada y desacoplada:

|(j0, η), j,m〉 =

j+∑m+=−j+

j−∑m−=−j−

〈j+j−m+m−|jm〉 |j+,m+; j−,m−〉

y

|j+,m+; j−,m−〉 =

η−1∑j=j0

〈jm|j+j−m+m−〉 |(j0, η)j,m〉

En resumen, ademas de la version “acoplada” existe otra manera de caracterizar las represen-

taciones unitarias irreducibles de SO(4): mediante los numeros cuanticos (j+, j−). Llamaremos

a estas representaciones la version desacoplada SO(3)⊗SO(3); en la Tabla 2.3 se enumeran las

primeras representaciones hasta dimension 16.

Tabla 2.3: Representaciones unitarias irreducibles de SO(4)≈SO(3)⊗SO(3). Aquellas que estan

destacadas corresponden, como veremos, a la realizacion concreta del atomo de hidrogeno.

dim (j+, j−) dim (j+, j−)

1 (0, 0) 9 (1, 1) , (0, 4), (4, 0)

2 (0, 12), (12 , 0) 10 (0, 92), (92 , 0), (2, 12), (12 , 2)

3 (0, 1), (1, 0) 11 (0, 5), (5, 0)

4 (1

2,1

2) , (0, 32), (32 , 0) 12 (0, 112 ), (112 , 0), (12 ,

52), (52 ,

12), (1, 32), (32 , 1)

5 (0, 2), (2, 0) 13 (0, 6), (6, 0)

6 (0, 52), (52 , 0), (1, 12), (12 , 1) 14 (0, 132 ), (132 , 0), (3, 12), (12 , 3)

7 (0, 3), (3, 0) 15 (0, 7), (7, 0), (1, 2), (2, 1)

8 (0, 72), (72 , 0), (12 ,32), (32 ,

12) 16 (

3

2,3

2) , (0, 152 ), (152 , 0), (12 ,

72), (72 ,

12)

2.3.3 Operadores de Casimir

El algebra de SO(4) admite dos operadores independientes que conmutan con los seis generadores.

Son los operadores de Casimir:

26


• En la de SO(4) acoplada, son los operadores cuadraticos:

C1 = J iJ i + V iV i = J2

+ V2

C2 = J iV i = V iJ i = J · V = V · J

[C1 , J i] = [ˆ

C1 , ˆiV ] = [C2 , J i] = [C2 , V i] = 0

Conviene expresarlos en funcion de los operadores J±, J3, V± y V3:

C1 = J+J− + V+V− + V 23 + J3(J3 − 1),

C2 =1

2(V+J− + V−J+) + V3J3.

Sustituyendo (2.11), (2.14) y (2.15) obtenemos los autovalores en la base acoplada:

C1 |(j0, η), j,m〉 = (j20 + η2 − 1) |(j0, η), j,m〉 ,

C2 |(j0, η), j,m〉 = −j0η |(j0, η), j,m〉 .

• En la version SO(4) ≈ SO(3)⊗SO(3) o desacoplada, encontramos los mismos operadores

cuadraticos con distinto disfraz:

C1 = 2(J+i J

+i + J

−i J−i

)= J

2+ V

2

C2 = 2(J+i J

+i − J

−i J−i

)= J · V = V · J

[C1 , J i] = [ˆ

C1 , ˆiV ] = [C2 , J i] = [C2 , V i] = 0

Sustituyendo (2.17), la ecuacion de autovalores para estos dos operadores es en la base

desacoplada es:

C1 |j+,m+; j−,m−〉 = 2(j+(j+ + 1) + j−(j− + 1)) |j+,m+; j−,m−〉 ,

C2 |j+,m+; j−,m−〉 = 2(j+(j+ + 1)− j−(j− + 1)) |j+,m+; j−,m−〉 .

2.4 Conclusiones

El algebra de SO(4), semisimple y de rango 2, esta formada por seis generadores y necesita

de dos parametros para caracterizar el espacio de sus representaciones unitarias irreducibles.

Con nuestra particular manera de construir el algebra de SO(4) a partir del algebra de SO(3)

encontramos dos versiones localmente equivalentes para el espacio de representacion:

27

Parte I

Verison SO(4): Base acoplada

• Las relaciones de conmutacion que definen el algebra son:

[V3 , V±] = ±J±

[V+ , V−] = 2J3 (2.19)

• Las representaciones unitarias irreducibles se caracterizan por el par de parametros (j0, η):

2j0 ∈ Z , η = |j0|+ 1 , |j0|+ 2 , ...

• El espacio de representacion es:


}(2.20)

con dimension dim (R(j0, η)) = η2 − j20 .

• Los operadores J actuan dentro del subespacio invariante de SO(3) con j fijo:

J2 |j,m〉 = j(j + 1) |(j0, η), j,m〉

J3 |j,m〉 = m |(j0, η), j,m〉 (2.21)

J± |j,m〉 =√

(j ±m+ 1)(j ∓m) |(j0, η), j,m± 1〉

• Los operadores V son invariantes dentro de la representacion irreducible de SO(4):

V3 |(j0, η), j,m〉 =√j2 −m2 cj |(j0, η), j − 1,m〉

−maj |(j0, η), j,m〉 (2.22a)

−√

(j + 1)2 −m2 cj+1 |(j0, η), j + 1,m〉

V+ |(j0, η), j,m〉 =√

(j −m− 1)(j −m) cj |(j0, η), j − 1,m+ 1〉

−√

(j +m+ 1)(j −m) aj |(j0, η), j,m+ 1〉 (2.22b)

+√

(j +m+ 1)(j +m+ 2) cj+1 |(j0, η), j + 1,m+ 1〉

V− |(j0, η), j,m〉 = −√

(j +m)(j +m− 1) cj |(j0, η), j − 1,m− 1〉

−√

(j −m+ 1)(j +m) aj |(j0, η), j,m− 1〉 (2.22c)

−√

(j −m+ 1)(j −m+ 2) cj+1 |(j0, η), j + 1,m− 1〉

28


donde:

c2j (j0, η) =(j20 − j2)(j2 − η2)

j2(4j2 − 1), aj(j0, η) =

ηj0(j + 1)j

, j ≥ j0

• Los operadores de Casimir C1 y C2 son diagonales:

C1 |(j0, η), j,m〉 = (j20 + η2 − 1) |(j0, η), j,m〉 , (2.23a)

C2 |(j0, η), j,m〉 = −j0η |(j0, η), j,m〉 . (2.23b)

Verison SO(4) ≈ SO(3)⊗SO(3): Base desacoplada

• Los operadores

J±i =

1

2(J i ± V i)

generan un algebra compacta de la misma dimension y rango definida por las siguientes

relaciones de conmutacion:

[J±i , J

±j ] = iεijkJ

±k , [J

∓i , J

±j ] = 0

• Las representaciones unitarias irreducibles se caracteriza por el par de parametros (j+, j−):

2j+ ∈ Z , 2j− ∈ Z

• El espacio de representacion es:

R(j+, j−) = Rj+ ⊗Rj− ={|j+,m+; j−,m−〉

}(2.24)

m+ = −j+,−j+ + 1, ..., j+ − 1, j+ , m− = −j−,−j− + 1, ..., j− − 1, j−

con dimension dim (R(j+, j−)) = (2j+ + 1)(2j− + 1)

• Los generadores de SO(3)⊗SO(3) actuan de manera trivial sobre los estados de la base

desacoplada:(J±)2 |j+,m+; j−,m−〉 = j±(j± + 1) |j+,m+; j−,m−〉

J±3 |j+,m+; j−,m−〉 = m± |j+,m+; j−,m−〉 (2.25)

J+± |j+,m+; j−,m−〉 =

√(j+ ±m+ + 1)(j+ ∓m+) |j+,m+ ± 1; j−,m−〉

J−± |j+,m+; j−,m−〉 =

√(j− ±m− + 1)(j− ∓m−) |j+,m+; j−,m− ± 1〉

• Los operadores de Casimir son diagonales:

C1 |j+,m+; j−,m−〉 = 2(j+(j+ + 1) + j−(j− + 1)) |j+,m+; j−,m−〉 , (2.26a)

C2 |j+,m+; j−,m−〉 = 2(j+(j+ + 1)− j−(j− + 1)) |j+,m+; j−,m−〉 . (2.26b)

29

El problema cuantico de Kepler-Coulomb

Parte II


en tres dimensiones

3 Una realizacion fısica del algebra de SO(4): el atomo de

Hidrogeno

En esta seccion describiremos el problema cuantico de Kepler-Coulomb (el atomo de hidrogeno)

de una manera puramente algebraica. Veremos como los invariantes del sistema Hamiltoniano

satisfacen las relaciones de conmutacion del algebra de SO(4) cuando nos restringimos a los

estados ligados (E < 0) y forman una realizacion fısica concreta de este algebra.

3.1 El operador de Runge-Lenz

En mecanica cuantica las variables canonicas conjugadas del espacio de fases son los operadores

hermıticos sobre un espacio de Hilbert que satisfacen el algebra de Heisenberg:

[xi , pj ] = iδij

El operador Hamiltoniano del atomo de hidrogeno es:

H =p2

2− 1

r(3.1)

Este sistema cuantico tiene es invariante bajo rotaciones espaciales, lo que se traduce en las

siguientes relaciones de conmutacion:

[H , L2] = [H , Li] = [L

2, Li] = 0

donde L es el operador momento con componentes Li = εijkxj pk. Sabemos que L es una

realizacion fısica de SO(3), es decir,

[L1 , Lj ] = i εijkLk

El Hamiltoniano (3.1) admite un operador invariante adicional, el operador de Runge-Lenz:

31

Parte II

1. Usando el principio de correspondencia, W. Pauli [32] demostro que el operador hermıtico

de Runge-Lenz,

A =1

2

(p× L− L× p

)− x

r(3.2)

es el observable compatible con el vector de Laplace-Runge-Lenz clasico del problema de

Kepler.

Existen varias maneras de expresar este operador; en componentes:

Ai =1

2εijk

(pjLk − Lj pk

)− xi

r

Ai = ipi − εijkLj pk −xir

, Ai = −ipi + εijkpjLk −xir

Ai = xip2 − pi(xj pj)−

xir

, Ai = p2xi − (pj xj)pi −xir

Estas expresiones se pueden demostrar facilmente con las propiedades del sımbolo de

Levi-Civita y los conmutadores del algebra de Heisenberg.

2. Estos operadores, conmutan con el Hamiltoniano:

[H , Ai] = 0

Son, por tanto, operadores invariantes del sistema dinamico.

3. El operador de Runge-Lenz es ortogonal al operador momento angular:

L · A = A · L = 0 (3.3)

4. Su modulo al cuadrado es:

A2

= Ai Ai = 2H (L2

+ 1) + 1 (3.4)

5. Las relaciones de conmutacion;

[Li , Lj ] = i εijkLk , [Li , Aj ] = iεijkAk , [Ai , Aj ] = −iεijk2HLk

indican que sobre el subespacio de Hilbert de autofunciones de energıa negativa de H, el

conjunto de las componentes del momento angular y del vector de Runge-Lenz representa

el algebra de Lie de un grupo compacto.

32


3.2 La simetrıa dinamica SO(4)

El operador de Runge-Lenz reescalado en la forma

Mi =

√1

−2EAi, (3.5)

sobre el subespacio de energıa negativa (sustituir el operador H por su autovalor E < 0), junto

con el operador de momento angular, define el algebra de SO(4):

[Li , Lj ] = i εijkLk , [Li , Mj ] = i εijkMk , [Mi , Mj ] = i εijkLk

El conjunto de seis observables que forman las tres componentes del momento angular y las

tres componentes del operador de Runge-Lenz constituyen una realizacion fısica concreta del

algebra de SO(4).

Vamos a aplicar los resultados de la seccion 2 sobre las representaciones irreducibles del algebra

de SO(4) a esta “realizacion del atomo de hidrogeno”. Sustituimos J por L, y V por M . El

espacio de las representaciones de SO(4) es para esta realizacion:

R(j0, η) ={|(j0, η), l,m〉 : l = |j0|, |j0|+ 1, ..., η − 1; m = −l,−l + 1, ...,+l

}En la version desacoplada SO(3)⊗SO(3) los generadores son:

J+i =

1

2(Li + M i) , J

−i =

1

2(Li − M i)

Y la base desacoplada es:

Rj+ ⊗Rj− ={|j+,m+; j−,m−〉

}m+ = −j+,−j+ + 1, ...,+j+ , m− = −j−,−j− + 1, ...,+j−

El caracter dinamico del operador de Runge-Lenz se manifiesta en la propiedad que deviene de

su modulo al cuadrado (3.4), esta propiedad se expresa ahora, para E < 0:

M2

= −(L2

+ 1)− 1

2E,

Se deduce inmediatamente que existe una relacion entre el operador Hamiltoniano y el primer

Casimir del algebra de SO(4).

H = − 1

2(L2

+ M2

+ 1)= − 1

2(C1 + 1)

El segundo Casimir cuadratico del algebra es C2 = 0 debido a que los operadores de momento

angular y de Runge-Lenz son ortogonales:

C2 = L · M = 0

33

Parte II

3.2.1 Espectro discreto de energıa

Los estados propios del operador H se agrupan en representaciones unitarias irreducibles de

SO(4) con energıas dadas en funcion de los autovalores de los operadores de Casimir del algebra.

De (2.23):

C1 |(j0, η), l,m〉 = (j20 + η2 − 1) |(j0, η), l,m〉

C2 |(j0, η), l,m〉 = −j0η |(j0, η), l,m〉 = 0

⇒ j0 = 0 ⇒ η = 1, 2, 3... ≡ n ∈ N

En la version SO(3)⊗SO(3), obtenemos de las ecuaciones (2.26):

C1 |j+,m+; j−,m−〉 = 2(j+(j+ + 1) + j−(j− + 1)) |j+,m+; j−,m−〉 ,

C2 |j+,m+; j−,m−〉 = 2(j+(j+ + 1)− j−(j− + 1)) |j+,m+; j−,m−〉 = 0

⇒ j+ = j− ≡ j donde j = 0,1

2, 1, ... ∈ Z+

12

El problema de identificar los valores propios

H |n, l,m〉 = E |n, l,m〉 , E < 0

H |j,m+; j,m−〉 = E |j,m+; j,m−〉 , E < 0

queda resuelto inmediatamente, una vez fijado el autovalor de C1 :

En = − 1

2n2= − 1

2(2j + 1)2, (2j + 1) = n ∈ N , j = 0,

1

2, 1,

3

2, ...

Hemos obtenido una realizacion fısica concreta de SO(4) en la que las representaciones irreducibles

se caracterizan por un unico numero cuantico, el numero cuantico principal n. Esta situacion

es analoga, por ejemplo, a la realizacion concreta de SO(3) para el momento angular orbital

en la que solo estan permitidos valores de l enteros (los valores semienteros quedan fuera de la

representacion).

3.3 Construccion algebraica de estados

Correspondiente a cada nivel de energıa tenemos una representacion unitaria irreducible de

SO(4), cuya degeneracion coincide exactamente con la dimension de la representacion. Veamos

ahora como obtener todos los estados, dado un nivel de energıa. Lo haremos por separado, para

la version SO(4) y la version SO(3)⊗SO(3).

34


3.3.1 Base acoplada

Los estados de la base acoplada, |n, l,m〉 son:

R((0, n)) ={|n, l,m〉

}, dimR((0, n)) =

n−1∑l=0

(2l + 1) = 2(n− 1)n

2+ n = n2

l = 0, 1, ..., n− 1

m = = −l,−l + 1, ...,+l

Los operadores H, L2

y L3 forman un conjunto completo de observables compatibles tales que:

H |n, l,m〉 = En |n, l,m〉 (3.6a)

L2 |n, l,m〉 = l(l + 1) |n, l,m〉 (3.6b)

L3 |n, l,m〉 = m |n, l,m〉 (3.6c)

En la Figura 3.1 se muestran los estados en la base acoplada del atomo de hidrogeno ordenados

por el numero cuantico orbital, l de acuerdo con l = 0, 1, 2, 3...(s, p, d, f, ...) hasta el cuarto nivel

de energıa, n = 4. Para cada l, la degeneracion es 2l + 1

Dentro de cada representacion irreducible de SO(4), los operadores escalera permiten movernos

entre estados: mientras que los operadores escalera para el momento angular dejan invariante

los subespacios con l fijo, es decir,

L± |n, l,m〉 =√

(l ±m+ 1)(l ∓m) |n, l,m± 1〉 , (3.7a)

los operadores M3, M± conectan estados con distinto valor de l:

M3 |n, l,m〉 =√l2 −m2

√(n+ l)(n− l)

(2l + 1)(2l − 1)|n, l − 1,m〉

−√

(l + 1)2 −m2

√(n+ l + 1)(n− l − 1)

(2l + 3)(2l + 1)|n, l + 1,m〉 (3.7b)

M± |n, l,m〉 = ±√

(l ∓m− 1)(l ∓m)

√(n+ l)(n− l)

(2l + 1)(2l − 1)|n, l − 1,m± 1〉

±√

(l ±m+ 1)(l ±m+ 2)

√(n+ l + 1)(n− l − 1)

(2l + 3)(2l + 1)|n, l + 1,m± 1〉 (3.7c)

35

Parte II

Figura 3.1: Estructura espectral de los estados propios del atomo de hidrogeno en la base

acoplada de SO(4). Con m representamos el valor absoluto |m| y por σ, π, δ, φ, ...(|m| =

0, 1, 2, 3, ...).

De estas expresiones se deduce que M+ conecta directamente estados con m = l:

M+ |n, l − 1, l − 1〉 =

√2l(n2 − l2)

2l + 1|n, l, l〉

Es decir, como puede verse en la Figura 3.2 para la representacion n = 3, podemos obtener

cualquier estado |n, l, l〉 a partir del estado |n, 0, 0〉 de la representacion:

|n, l, l〉 =1

2ll!

√n (n− l − 1)!(2l + 1)!

(n+ l)!

(M+

)l|n, 0, 0〉

De la misma forma, y de acuerdo con:

|n, l,m〉 =

[(l +m)!

(l −m)! 2l!

]1/2 (L−

)l−m|n, l, l〉

36


Figura 3.2: Torre de estados para n = 3. Base acoplada: Construccion de SO(4) a partir del

estado |3, 0, 0〉.

|3, 2, 2〉

L−��

|3, 1, 1〉

L−��

M+

88

|3, 2, 1〉

��|3, 0, 0〉

M+

99

|3, 1, 0〉

��

|3, 2, 0〉

��|3, 1,−1〉 |3, 2,−1〉

��|3, 2,−2〉

vemos que cualquier estado de la representacion se obtiene del estado |n, 0, 0〉 mediante:

|n, l,m〉 =1

2ll!

√n (2l + 1)

(l +m)! (n− l − 1)!

(l −m)!(n+ l)!

(L−

)l−m (M+

)l|n, 0, 0〉 (3.8)

3.3.2 Base desacoplada

Los estados pertenecientes a la base desacoplada, |j,m+; j,m−〉 son:

Rj ⊗Rj ={|j,m+; j,m−〉

}, dim(Rj ⊗Rj) = (2j + 1)(2j + 1) = (2j + 1)2 = n2

j =n− 1

2

m+ = −j,−j + 1, ...,+j

m− = = −j,−j + 1, ...,+j

Los operadores diagonales son(J±)2

y J±3 :

(J±)2 |j,m+; j,m−〉 = j±(j± + 1) |j,m+; j,m−〉

J±3 |j,m+; j,m−〉 = m± |j,m+; j,m−〉

Puesto que las proyecciones del momento angular L3 = J+3 + J

−3 y del vector de Runge-Lenz

M3 = J+3 − J

−3 tambien son diagonales en esta base, elegimos los autovalores de estos opera-

dores, junto con el numero cuantico principal para caracterizar la base desacoplada, es decir,

37

Parte II

|j,m+; j,m−〉 ≡ |n, τ,m〉 donde:

H |n, τ,m〉 = En |n, τ,m〉 , n = 2j + 1 (3.9a)

M3 |n, τ,m〉 = τ |n, τ,m〉 , τ = m+ −m− (3.9b)

L3 |n, τ,m〉 = m |n, τ,m〉 , m = m+ +m− (3.9c)

Los numeros cuanticos con los que caracterizamos los estados de la base desacoplada son:

|m| = 0, 1, 2..., n− 1

τ = −(n− |m| − 1), −(n− |m| − 1) + 2, ..., (n− |m| − 1)− 2, (n− |m| − 1)

Figura 3.3: Estructura espectral de los estados propios del atomo de hidrogeno en la base

desacoplada SO(3)⊗SO(3). Con m representamos el valor absoluto |m|

En la Figura 3.3 se muestran los estados degenerados del atomo de hidrogeno en su version

desacoplada, ordenados de acuerdo a |m| = 0, 1, 2, 3, ...(σ, π, δ, φ...) hasta n = 4.

38


En esta base, los operadores escalera

J+± =

1

2

(L± + M±

)y J

−± =

1

2

(L± − M±

)desplazan de manera directa estados con distintos numeros cuanticos m y τ , como puede verse

en la Figura 3.4:

J+± |n, τ,m〉 =

√(n±m± τ + 1

2

)(n∓m∓ τ − 1

2

)|n, τ ± 1,m± 1〉 (3.10a)

J−± |n, τ,m〉 =

√(n±m∓ τ + 1

2

)(n∓m± τ − 1

2

)|n, τ ∓ 1,m± 1〉 (3.10b)

Figura 3.4: Representacion desacoplada para n = 3. Construccion de ≈SO(3)⊗SO(3) a partir

del estado de mas peso en la representacion |3, 0, 2〉

|3, 0, 2〉

J+

−xx J−− %%|3,−1, 1〉

ww

J+

+88

''

|3, 1, 1〉

J−+

ee

%%xx|3,−2, 0〉

77

''

|3, 0, 0〉

gg

ww &&

88

|3, 2, 0〉

ee

yy|3,−1,−1〉

77

''

gg

|3, 1,−1〉

99

xx|3, 0,−2〉

gg 88

El estado con mas peso en esta representacion es el estado anulado por la accion de los operadores

J±+, es decir, el estado |n, 0, n− 1〉. Un estado cualquiera de SO(3)⊗SO(3) se obtiene a partir

del estado de mas peso como sigue:

|n, τ,m〉 =

=1

(n− 1)!

√(n+m+ τ − 1)! (n+m− τ − 1)!

(n−m− τ − 1)! (n−m+ τ − 1)!

(J+−

)n−1−m−τ2

(J−−

)n−1−m+τ2 |n, 0, n− 1〉

39

Parte II

4 El atomo de hidrogeno en representacion de coordenadas

De forma puramente algebraica hemos encontrados dos representaciones equivalentes del problema

de Kepler-Coulomb, ahora veremos como los operadores que diagonalizan en cada una de las

bases llevan a la separabilidad de la ecuacion de Shcrodinger en dos sistemas de coordenadas

curvilıneas diferentes, que son:

i){H, L

2, L3

}. Los estados de la representacion acoplada son las funciones de onda propias

del atomo de hidrogeno en coordenadas esfericas.

ii){H, M3, L3

}. Los estados de la representacion desacoplada son las funciones de onda

propias del atomo de hidrogeno en coordenadas parabolicas.

4.1 Separabilidad y operadores diferenciales en coordenadas esfericas

En coordenadas polares esfericas, el operador Hamiltoniano es el operador diferencial:

H = −1

2

[1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂ϕ2

]− 1

r(4.1)

De la forma que tienen los operadores L3 y L2

en coordenadas esfericas, la separabilidad de la

ecuacion de Schrodinger es manifiesta:

L3 = −i ∂∂ϕ

, L2

= −[

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

]Esto permite elegir el ansatz

ψ(r, θ, ϕ) = f(r)Y (θ, ϕ)

Estas funciones de onda corresponden a los estados |n, l,m〉 de la base acoplada de SO(4)

para la realizacion del atomo de hidrogeno. En efecto, las funciones de onda 〈r, θ, ϕ|n, l,m〉 ≡

ψn,l,m(r, θ, ϕ) son propias de L2

y de L3:

L2ψn,l,m(r, θ, ϕ) = l(l + 1)ψn,l,m(r, θ, ϕ)

L3 ψn,l,m(r, θ, ϕ) = mψn,l,m(r, θ, ϕ)

donde, de acuerdo con la forma diferencial de los operadores escalera, y el algebra, resulta

L± = L1 ± iL2 = e±iϕ(∂

∂θ± i cot θ

∂

∂ϕ

)L± ψn,l,m(r, θ, ϕ) =

√(l ±m+ 1)(l ∓m)ψn,l,m±1(r, θ, ϕ)

40


que la parte angular de la funcion de onda, Y (θ, ϕ) son los armonicos esfericos. Y, por tanto a

falta de la normalizacion:

ψn,l,m(r, θ, ϕ) = fn,l(r)Yml (θ, ϕ) = fn,l(r)P

|m|l (cos θ) eimϕ

donde Pml (cos θ) son los polinomios asociados de Legendre [1] y los numeros cuanticos l =

0, 1, ..., n− 1 y m = −l,−l + 1, ...,+l.

Dado que las autofunciones se calculan habitualmente usando esta separabilidad de la ecuacion

de Schrodinger, no se ha abordado en la literatura el analisis de las funciones de onda basandose

en la simetrıa adicional aportada por el operador de Runge-Lenz. Para ello, necesitaremos la

forma diferencial de los operadores escalera asociados al operador de Runge-Lenz:

M± = M1 ± M2 = −n e±i ϕ[sin θ +

1

r sin θ

∂2

∂ϕ2+

cosϕ

r

∂

∂θ+

sin θ

r

∂2

∂θ2+ sin θ

∂

∂r

∓ i

sin θ

∂2

∂r∂ϕ− cos θ

∂2

∂r∂θ

]4.1.1 Los tres primeros niveles de energıa

El procedimiento es estandar en el estudio de las representaciones irreducibles de un algebra de

Lie compacta. Se identifica primero el estado de mas peso (la funcion de onda aniquilada por

los operadores escalera L+ y M+). Ello requiere resolver una ecuacion en derivadas parciales

desacoplada para las variables angulares (θ, ϕ) y para la variable radial, r. Para ilustrar el

procedimiento identificaremos las funciones de onda propias en los tres primeros niveles de

energıa.

• Para el primer nivel de energıa o estado fundamental el metodo es muy sencillo. En este

caso n = 1 ⇒ l = m = 0. Es decir, hay un unico estado, que es aniquilado por todos los

operadores:

L± |1, 0, 0〉 = 0 , M± |1, 0, 0〉 = 0

En representacion de coordenadas la accion de L± sobre |0, 0, 0〉 se convierte en la ecuacion

diferencial de primer orden siguiente:

〈r, θ, ϕ|L±|1, 0, 0〉 = 0 ⇒[± ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

]ψ0,0,0(r, θ, ϕ) = 0

Claramente la solucion ha de ser de la forma ψ1,0,0 = f1,0(r)Y00 (θ, ϕ) donde hemos seleccio-

nado el armonico esferico (sin normalizar) Y 00 (θ, ϕ) = 1 pues es el unico anulado tanto por

41

Parte II

L+ como por L−. Utilizando esto y la aniquilacion de este estado por M± obtenemos la

ecuacion diferencial para la parte radial:

〈r, θ, ϕ|M±|1, 0, 0〉 = ⇒(d

dr+ 1

)f1,0(r) = 0

cuya solucion proporciona la funcion de onda, ya normalizada, del estado fundamental:

ψ1,0,0(r, θ, ϕ) =

√1

πe−r

• En el siguiente nivel de energıa, n = 2, los numeros cuanticos de los estados degenerados

son:

l = 0,m = 0 ; l = 1, |m| = 0, 1

En la base acoplada, los operadores escalera conectan estados de la representacion irreducible

de SO(4) como se puede observar en la Figura 4.1. Es claro que L± son los operadores

escalera de las representaciones irreducibles de SO(3) con l = 0 y l = 1, mientras que los

operadores M± conectan estados con diferente momento angular.

Figura 4.1: Accion de los operadores L± y M± en la base |n, l,m〉 para n = 2

|2, 1, 1〉M−

$$

// |2, 1, 0〉ooL− // |2, 1,−1〉L+

oo

yy|2, 0, 0〉M+

dd99

L− //

L+

oo

M− //

M+

oo

Sobre el estado de mas peso de la representacion, L+ |2, 1, 1〉 = 0 da lugar a la ecuacion

en derivadas parciales:

〈r, θ, ϕ|L+|2, 1, 1〉 = 0 ⇒[∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

]ψ2,1,1(r, θ, ϕ) = 0

El ansatz de separacion ψ2,1,1(r, θ, ϕ) = f2,1(r)Y11 (θ, ϕ) tiene en cuenta que el armonico

esferico Y 11 (θ, ϕ) es la solucion a la ecuacion en derivadas parciales para las coordenadas

angulares y con esta informacion, la anulacion de M+ sobre el mismo estado equivale a:

〈r, θ, ϕ|M+|2, 1, 1〉 = 0 ⇒(d

dr− 1

r+

1

2

)f2,1(r) = 0

42


La solucion para la funcion radial es f2,1(r) = r e−r2 y, por tanto, la funcion de onda

total del estado con mas peso en la representacion en el segundo nivel de energıa, una vez

normalizada, resulta:

ψ2,1,1(r, θ, ϕ) =1

8√πr e−

r2 sin θ eiϕ

Las otras funciones de onda linealmente independientes se obtienen mediante la accion de

los operadores L− y M− :

ψ2,1,0(r, θ, ϕ) =1√2L−ψ2,1,1(r, θ, ϕ)

ψ2,1,−1(r, θ, ϕ) =1

2L2−ψ2,1,1(r, θ, ϕ)

ψ2,0,0(r, θ, ϕ) =1√2M−ψ2,1,1(r, θ, ϕ)

Sus expresiones analıticas se recogen en la Tabla 4.1.

• En el tercer nivel de energıa, n = 3, tenemos:

l = 0, m = 0 ; l = 1, |m| = 0, 1 ; l = 2, |m| = 0,−1,−2

y el procedimiento se complica puesto que L± y M± no conmutan. En la Figura 4.2

podemos observar la conexion entre los diferentes estados a traves de los operadores es-

calera del algebra. Las lıneas discontinuas en el diagrama de la Figura 4.2 muestran que la

accion de M− sobre el estado |3, 1, 1〉, por ejemplo, da una combinacion lineal de |3, 2, 0〉

y |3, 0, 0〉. Esto dara problemas para alcanzar el estado |3, 0, 0〉 utilizando los operadores

diferenciales M± a partir del estado de mayor peso en la representacion.

|3, 2, 2〉M−

$$

// |3, 2, 1〉oo

$$

// |3, 2, 0〉oo// |3, 2,−1〉oo

yy

L− // |3, 2,−2〉L+

oo

yy|3, 1, 1〉M+

dd

%%

::

// |3, 1, 0〉oo

dd99

// |3, 1,−1〉oo

ee

yy

99

|3, 0, 0〉

ee 99

L− //

L+

oo

M− //

M+

oo

Figura 4.2: Accion de los operadores L± y M± en la base |n, l,m〉 para n = 3

43

Parte II

Como veremos, parece necesario utilizar los operadores hıbridos J±+ y J

±−, de la version

desacoplada SO(3)⊗SO(3) y expresar los estados acoplados en la base desacoplada con la

ayuda de los coeficientes de Clebsch Gordan. Ası, los 9 estados de la representacion SO(4)

para n = 3 en funcion de los estados de la base desacoplada son:

l = 2 ,

|3, 2, 2〉 = |1, 1; 1, 1〉

|3, 2, 1〉 = 1√2

(|1, 1; 1, 0〉+ |1, 0; 1, 1〉)

|3, 2, 0〉 = 1√6

(|1, 1; 1,−1〉+ 2 |1, 0; 1, 0〉+ |1,−1; 1, 1〉)

|3, 2,−1〉 = 1√2

(|1, 0; 1,−1〉+ |1,−1; 1, 0〉)

|3, 2,−2〉 = |1,−1; 1,−1〉

l = 1 ,

|3, 1, 1〉 = 1√

2(|1, 1; 1, 0〉 − |1, 0; 1, 1〉)

|3, 1, 0〉 = 1√2

(|1, 1; 1,−1〉 − |1,−1; 1, 1〉)

|3, 1,−1〉 = 1√2

(|1, 0; 1,−1〉 − |1,−1; 1, 0〉)

l = 0 , |3, 0, 0〉 =1√3

(|1, 1; 1,−1〉 − |1, 0; 1, 0〉+ |1,−1; 1, 1〉)

De nuevo, la ecuacion diferencial que obtenemos de L+ |3, 2, 2〉 = 0 en coordenadas

esfericas es:

〈r, θ, ϕ|L+|3, 2, 2〉 = 0 ⇒[∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂ϕ

]ψ3,2,2(r, θ, ϕ) = 0

Donde una vez mas, ψ3,2,2(r, θ, ϕ) = f3,2(r)Y22 (θ, ϕ) con el armonico esferico Y 2

2 (θ, ϕ), la

anulacion de M+ sobre el estado equivale a una ecuacion diferencial para r de primer

orden:

〈r, θ, ϕ|M+|3, 2, 2〉 = 0 ⇒(d

dr− 2

r+

1

3

)f3,2(r) = 0

La funcion de onda total del estado con mas peso en la representacion en el tercer nivel

de energıa resulta, tras normalizar:

ψ3,2,2(r, θ, ϕ) =1

162√πr2 e−

r3 sin2 θ ei 2ϕ

Las demas funciones de onda que forman una base ortonormal en la representacion

irreducible de SO(4) de dimension 9 se obtienen a partir de la de mas peso mediante

44


la accion de los operadores escalera:

ψ3,2,1(r, θ, ϕ) =1

2

[J+− + J

−−

]ψ3,2,2(r, θ, ϕ)

ψ2,2,0(r, θ, ϕ) =1

2√

6

[(J+−

)2+ 2J

−−J

+− +

(J−−

)2]ψ3,2,2(r, θ, ϕ)

ψ2,2,−1(r, θ, ϕ) =1

4

[(J+−

)2J−− + J

+−

(J−−

)2]ψ3,2,2(r, θ, ϕ)

ψ2,2,−2(r, θ, ϕ) =1

4

[(J+−

)2 (J−−

)2]ψ3,2,2(r, θ, ϕ)

ψ3,1,1(r, θ, ϕ) =1

2

[J+− − J

−−

]ψ3,2,2(r, θ, ϕ)

ψ3,1,0(r, θ, ϕ) =1

2√

2

[(J−−

)2−(J+−

)2]ψ3,2,2(r, θ, ϕ)

ψ3,1,−1(r, θ, ϕ) =1

4

[(J+−

)2− J−−J

+− +

(J−−

)2]ψ3,2,2(r, θ, ϕ)

ψ3,0,0(r, θ, ϕ) =1√3

[J+−

(J−−

)2−(J+−

)2J−−

]ψ2,1,1(r, θ, ϕ)

En la deduccion de estos resultados se ha usado el conocimiento de la accion de J±± en

la base desacoplada (2.25) y los coeficientes de Clebsch Gordan que permiten la transfor-

macion entre las dos bases:

|n, l,m〉 =

j∑m+=−j

j∑m−=−j

〈j j m+m−|l m〉 |j,m+; j,m−〉

Se reproducen ası los resultados, ya conocidos, acerca de las funciones de onda propias del

problema cuantico de Kepler-Coulomb en tres dimensiones para el tercer nivel de energıa,

que podemos ver en la Tabla 4.1 junto con las funciones de onda de los niveles n = 1, 2

antes expuestas, todas ellas normalizadas.

4.1.2 El nivel generico

La pauta a seguir en el nivel generico n, donde l = 0, ..., n− 1 y |m| = 0, 1, ...l es clara:

Consideramos el estado de mayor peso en dicha representacion, es decir, ψn,2j,2j(r, θ, ϕ) =

〈r, θ, ϕ|n, 2j, 2j〉, donde l = m = n − 1 = 2j. En este estado, teniendo en cuenta que

〈r, θ, ϕ|L+|n, 2j, 2j〉 = 0,

〈r, θ, ϕ|L+|n, 2j, 2j〉 = e+iϕ(∂

∂θ+ i cot θ∂ϕ

)ψn,2j,2j(r, θ, ϕ) = 0

queda claro que la parte angular de la funcion de onda es es el armonico esferico Y 2j2j (θ, ϕ):

Y 2j2j (θ, ϕ) =

1

22j (2j)!

√(4j + 1)!

4π(sin θ)2j ei 2jϕ

45

Parte II

Con esta informacion y usando 〈r, θ, ϕ|M+|n, 2j, 2j〉 = 0, obtenemos una ecuacion diferencial

ordinaria de primer orden para fn,2j(r):[d

dr− 2j

r+

1

n

]fn,2j(r) = 0

De todo ello resulta que la funcion de onda de mas peso en esta representacion generica es de

la forma:

ψn,2j,2j(r, θ, ϕ) =1

(2j)!n2√π

( rn

)(2j)e−

rn (sin θ)2j ei 2jϕ

Las demas funciones de onda en la representacion irreducible de dimension n2 se obtienen

mediante la iteraccion de los operadores hıbridos J±− y el conocimiento de los coeficientes de

Clebsch Gordan:

ψn,l,m(r, θ, ϕ) =

=∑m+

∑m−

〈l m|j j m+m−〉2j!

√(2j +m+)! (2j +m−)!

(2j −m+)! (2j −m−)!

(J+−

)j−m+(J−−

)j−m−ψn,2j,2j(r, θ, ϕ)

El algebra de SO(4) tambien nos permite encontrar una expresion analıtica para este estado

generico, ψn,l,m(r, θ, ϕ) :

• Por un lado, la parte angular son los armonicos esfericos, que normalizados son:

Y ±ml (θ, ϕ) =

√(2l + 1)

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ) e±imϕ

donde Pml (cos θ) son los polinomios asociados de Legendre para la coordenada cos θ.

• Por otra parte, tenemos en cuenta que los operadores M± tienen la particular forma en

coordenadas esfericas:

M± = n

{± ∂

∂r

[cos θL± − sin θe±iϕ

(L3 ± 1

)]∓1

r

[sin θ

∂

∂θL± ± cos θL±

(L3 ± 1

)∓ sin θe±iϕL3

(L3 ± 1

)]− sin θe±iϕ

},

Con la ayuda de las siguientes relaciones de recurrencia para los armonicos esfericos:

(a)[L±, cos θ

]= ∓ sin θe±iϕ

46


(b) cos θY ml (θ, ϕ) =

√(l+m+1)(l−m+1)

(2l+1)(2l+3) Y ml+1(θ, ϕ) +

√(l+m)(l−m)(2l+1)(2l−1)Y

ml−1(θ, ϕ)

(c) sin θ∂Yml (θ,ϕ)

∂θ = l√

(l+1)2−m2

4(l+1)2−1 Yml+1(θ, ϕ)− (l + 1)

√l2−m2

4l2−1 Yml−1(θ, ϕ)

y las ecuaciones (3.7c), se obtiene, tras un laborioso calculo algebraico, la siguiente

ecuacion diferencial de primer orden que relaciona fn,l(r) con fn,l−1(r) a partir del el-

emento de matriz 〈r, θ, ϕ|M−|n, l,m〉,

fn,l−1(r) =n√

(n+ l)(n− l)

[ld

dr+l(l + 1)

r− 1

]fn,l(r) (4.2)

Repitiendo este mismo calculo pero para el elemento de matriz 〈r, θ, ϕ|M+|n, l − 1,m− 1〉

resulta:

fn,l(r) =n√

(n+ l)(n− l)

[l(l + 1)

r− l d

dr− 1

]fn,l−1(r) (4.3)

Sustituyendo fn,l−1(r) de (4.2) en la segunda ecuacion (4.3), llegamos a una ecuacion

diferencial de segundo orden para fn,l(r):[rd2

dr2+ 2

d

dr+ 2− r

n2− l(l + 1)

r

]fn,l(r) = 0

Sus soluciones coinciden con la parte radial de la funcion de onda para el nivel generico

del atomo de hidrogeno, y son:

fn,l(r) =1

r

(2r

n

)l+1

e−rn L2l+1

n−l−1

(2r

n

)

donde L2l+1n−l−1

(2rn

)son los polinomios generalizados de Laguerre para la variable 2r

n .

4.1.3 Tablas y figuras

Finalmente, expresaremos en terminos del radio de Bohr, a0, las funciones de onda propias

del Hamiltoniano un atomo tridimensional hidrgenoide con carga Z en coordenadas polares

esfericas:

ψn,l,±m(r, θ, ϕ) = fn,l(r)Yml (θ, ϕ) =

=a0Zr

√(n− l − 1)!Z3

n2 ((n+ l)!)3 a30

(2Zr

na0

)l+1

e− Zrn a0 L2l+1

n−l−1

(2Zr

na0

)e±imϕ√

2πPml (cos θ)

(4.4)

47

Parte II

• Las funciones de onda en coordenadas esfericas (4.4) son los estados de la representacion

acoplada del algebra de SO(4) para la realizacion concreta del problema cuantico de

Kepler-Coulomb.

〈r, θ, ϕ|n, l,m〉 ≡ ψn,l,±m(r, θ, ϕ)

donde recordamos una vez mas que dado n, los numeros cuanticos que caracterizan cada

estado son pueden tomar los valores: l = 0, 1, ...n− 1 y m = 0, 1, ..., l

• Estos estados forman una base ortonormal:

〈n, l,m|n′, l′,m′〉 =

∫ψ∗n,l,±m(r, θ, ϕ)ψn′,l′,±m′(r, θ, ϕ) r2 dr dθ dϕ = δnn′δl l′δmm′

• La degeneracion coincide con la dimension de cada representacion de SO(4) y es:

n−1∑l=0

(2l + 1) = 2(n− 1)n

2+ n = n2

• En la Tabla 4.1 se muestran los valores propios y las funciones propias, convenientemente

normalizadas, del Hamiltoniano (4.1) para los niveles de energıa n = 1, 2, 3.

• Para cada representacion, el numero total de nodos es:

n−m− 1

Por un lado l−m son los nodos de los polinomios asociados de Legendre, Pml (cos θ). Por

otro lado, las raıces de la parte radial de la funcion de onda, que coinciden con los nodos

de los polinomios generalizados de Laguerre, son n− l − 1.

• Por ultimo, en la Tabla 4.2 representamos las curvas de nivel correspondientes al corte

con el plano x2 = 0 de la densidad de probabilidad |ψn,l,m|2 en unidades atomicas para los

tres primeros niveles de energıa de las funciones de onda esfericas del atomo de hidrogeno.

48


Tabla 4.1: Valores propios y autofunciones de los estados esfericos de un atomo hidrogenoide

hasta el nivel de energıa n = 3

Energıa Funcion propia

E1 = −Z2Ry ψ1,0,0(r, θ, ϕ) =(Za0

) 32 1√

πe−Zra0

ψ2,1,±1(r, θ, ϕ) =(Za0

) 32 1

8√πZra0e− Zr

2a0 sin θ e±iϕ

E2 = −Z2

4 Ry ψ2,1,0(r, θ, ϕ) =(Za0

) 32 1

4√2π

Zra0e− Zr

2a0 cos θ

ψ2,0,0(r, θ, ϕ) =(Za0

) 32 1

4√2π

(2− Zr

a0

)e− Zr

2a0

ψ3,2,±2(r, θ, ϕ) =(Za0

) 32 1

162√π

(Zra0

)2e− Zr

3a0 sin2 θ e±i 2ϕ

ψ3,2,±1(r, θ, ϕ) =(Za0

) 32 1

81√π

(Zra0

)2e− Zr

3a0 sin θ cos θ e±i ϕ

ψ3,2,0(r, θ, ϕ) =(Za0

) 32 1

81√6π

(Zra0

)2e− Zr

3a0

(3 cos2 θ − 1

)E1 = −Z2

9 Ry

ψ3,1,±1(r, θ, ϕ) =(Za0

) 32 2

27√π

(Zra0

) [1− 1

6

(Zra0

)]e− Zr

3a0 sin θ e±i ϕ

ψ3,1,0(r, θ, ϕ) =(Za0

) 32 2

27

√2π

(Zra0

) [1− 1

6

(Zra0

)]e− Zr

3a0 cos θ

ψ3,0,0(r, θ, ϕ) =(Za0

) 32 1

3√3π

[1− 2

3

(Zra0

)+ 2

27

(Zra0

)2]e− Zr

3a0

49

Parte II

Tabla 4.2: Curvas de nivel para |ψn,l,m|2 frente a (x1, x3) en unidades atomicas

n = 1 l = |m| = 0

l = |m| = 1

n = 2

|m| = 0 , l = 0 , 1

l = |m| = 2

n = 3 |m| = 1 , l = 1 , 2

|m| = 0 , l = 0 , 1 , 2

50


4.2 Separabilidad y operadores diferenciales en coordenadas parabolicas

En coordenadas parabolicas el potencial de Coulomb y el operador diferencial de Hamilton son:

• Potencial de Coulomb:

V (ξ, η, ϕ) =−2

ξ + η

• Hamiltoniano:

H =−2

ξ + η

[∂

∂ξ

(ξ∂

∂ξ

)+

∂

∂η

(η∂

∂η

)+

1

4

(1

ξ+

1

η

)∂2

∂ϕ2+ 1

](4.5)

Las funciones de onda propias del Hamiltoniano en coordenadas parabolicas se corresponden con

los estados de la base desacoplada de SO(4) ≈ SO(3)⊗SO(3). Recordemos que los operadores

que elegimos para diagonalizar en esta base son H, L3 y M3. La forma diferencial de los

operadores L3 y M3 en coordenadas parabolicas es:

L3 = −i ∂∂ϕ

, M3 =2n

ξ + η

[η∂

∂ξ

(ξ∂

∂ξ

)− ξ ∂

∂η

(η∂

∂η

)− 1

4

(ξ

η− η

ξ

)∂2

∂ϕ2− ξ − η

2

]Escribimos estas funciones de onda como 〈ξ, η, ϕ|n, τ,m〉 ≡ Ψn,τ,m(ξ, η, ϕ), donde n es el numero

cuantico principal, τ el valor propio de la tercera componente del operador de Runge-Lenz y m

el numero cuantico magnetico (valor propio de L3). La separabilidad es ahora menos evidente

que en el caso de coordenadas esfericas, sin embargo, multiplicando por el factor metrico en la

ecuacion de Schrodinger obtenemos la siguiente ecuacion diferencial:[2∂

∂ξ

(ξ∂

∂ξ

)+ 2

∂

∂η

(η∂

∂η

)+

1

2

(1

ξ+

1

η

)∂2

∂ϕ2+ 2

]Ψ(ξ, η, ϕ) = − (ξ + η)En

donde podemos considerar el antsaz de separacion:

Ψ(ξ, η, ϕ) = X(ξ)Y (η) exp(imϕ)

Puesto que las funciones de onda son propias de L3,

L3Ψn,τ,±m(ξ, η, ϕ) = mΨn,τ,m(ξ, η, ϕ)

se obtienen dos ecuaciones separadas para X(ξ) y Y (η):

n

[2d

dξ

(ξd

dξ

)− m2

2ξ+ (ξEn + 1)

]X(ξ) = τX(ξ)

n

[2d

dη

(ηd

dη

)− m2

2η+ (ηEn + 1)

]Y (η) = −τY (η)

51

Parte II

donde τ es la constante de separacion. Eliminando la energıa en las ecuaciones separadas la

ecuacion de autovalores para la constante de separacion es:

2n

ξ + η

[η∂

∂ξ

(ξ∂

∂ξ

)− ξ ∂

∂η

(η∂

∂η

)− 1

4

(ξ

η− η

ξ

)∂2

∂ϕ2− ξ − η

2

]Ψ(ξ, η, ϕ) = τΨ(ξ, η, ϕ)

El operador diferencial que actua a la izquierda de la igualdad sobre Ψ(ξ, η, ϕ) coincide con la

tercera componente del operador de Runge-Lenz:

M3Ψn,τ,m(ξ, η, ϕ) = τ Ψn,τ,m(ξ, η, ϕ)

Como en el caso acoplado, la simetrıa oculta permite obtener las funciones de onda propias

de (4.5). Para ello, necesitaremos conocer las expresiones de los operadores diferenciales del

algebra en coordenadas parabolicas:

J+± =

1

2

(L± + M±

)= n e±iϕ

[√ξ∂

∂ξ± i

2√ξ

∂

∂ϕ±√ξ

2n

] [√η∂

∂η± i

2√η

∂

∂ϕ∓√η

2n

]J−± =

1

2

(L± − M±

)= n e±iϕ

[√ξ∂

∂ξ∓ i

2√ξ

∂

∂ϕ±√ξ

2n

] [√η∂

∂η± i

2√η

∂

∂ϕ±√η

2n

]

4.2.1 Los tres primeros niveles de energıa

El procedimiento es analogo al del caso esferico. Para ilustrarlo identificamos las funciones de

onda propias en los tres primeros niveles.

• Para el primer nivel de energıa n = 1 ⇒ τ = m = 0 solo existe un unico estado que es

anulado por todos los operadores:

J±± |1, 0, 0〉 = 0

En coordenadas parabolicas, la ecuacion diferencial que se obtiene del elemento de matriz

〈ξ, η, ϕ|J++|1, 0, 0〉 = 0 es separable:[√

ξ∂

∂ξ+

√ξ

2

]X1,0,0(ξ) = 0 ,

[√η∂

∂η−√η

2

]Y1,0,0(η) = 0

Cuya solucion nos da la funcion de onda parabolica en el estado fundamental:

Ψ1,0,0(ξ, η, ϕ) =1√πe−

ξ+η2

52


• Para el siguiente nivel de energıa, n = 2, los numeros cuanticos son ahora:

m = 0 , τ = −1,+1 ; |m| = 1 , τ = 0

En la base desacoplada las acciones efectivas de los operadores escalera J+± y J

−±, ver

Figura 4.3, permiten alcanzar cualquier estado de la representacion a partir del estado de

mayor peso |2, 0, 1〉.

Figura 4.3: Accion de los operadores J+± y J

−± en la base |n, τ,m〉 para n = 2

|2, 0, 1〉

J+

−yy J

−−

%%|2,−1, 0〉

J+

+

99

|2, 1, 0〉

J−+

ee

Este estado, |2, 0, 1〉, es anulado por J++, resultando las ecuaciones separadas:[√

ξ∂

∂ξ− 1

2√ξ

+

√ξ

4

]X2,0,1(ξ) = 0 ,

[√η∂

∂η− 1

2√η−√η

4

]Y2,0,1(η) = 0

Cuya solucion nos da la funcion de onda total del estado con mas peso en la representacion

irreducible para el segundo nivel de energıa. Despues de normalizar, resulta:

Ψ2,0,±1(ξ, η, ϕ) =1

8√π

(ξ η)12 e−

(ξ+η)4 e±i ϕ

Las otras funciones de onda linealmente independientes se obtienen mediante la accion de

los operadores J+− y J

−− :

Ψ2,1,0(ξ, η, ϕ) =1√2J−−ψ2,0,1(ξ, η, ϕ)

Ψ2,−1,0(ξ, η, ϕ) =1√2J+−ψ2,0,1(ξ, η, ϕ)

Sus expresiones analıticas se recogen en la Tabla 4.3

• Para el tercer nivel de energıa, n = 3, los numeros cuanticos son:

m = 0 , τ = −2, 0,+2 ; |m| = 1 , τ = −1,+1 ; |m| = 2 , τ = 0

Sobre el estado de mayor peso en la representacion, |3, 0, 2〉, del elemento de matriz

〈ξ, η, ϕ|J++|3, 0, 2〉 = 0, resultan dos ecuaciones diferenciales separadas para las variables

ξ y η: [√ξ∂

∂ξ− 1√

ξ+

√ξ

4

]X3,0,2(ξ) = 0 ,

[√η∂

∂η− 1√η−√η

4

]Y3,0,2(η) = 0

53

Parte II

La solucion nos da la funcion de onda total del estado de mayor peso de la representacion

irreducible para n = 3, una vez normalizada:

Ψ3,0,±2(ξ, η, ϕ) =1

162√π

(ξ η) e−(ξ+η)

6 e±i 2ϕ

Figura 4.4: Accion de los operadores J+± y J

−± en la base |n, τ,m〉 para n = 3

|3, 0, 2〉

J+

−yy J

−−

%%|3,−1, 1〉

xx

J+

+

99

%%

|3, 1, 1〉

J−+

ee

%%yy|3,−2, 0〉

88

|3, 0, 0〉

ee 99

|3, 2, 0〉

ee

El resto de estados se calculan utilizando los operadores escalera:

Ψ3,1,1(ξ, η, ϕ) =1√2J−−ψ3,0,2(ξ, η, ϕ)

Ψ3,−1,1(ξ, η, ϕ) =1√2J+−ψ3,0,2(ξ, η, ϕ)

Ψ3,2,0(ξ, η, ϕ) =1√2

(J−−

)2ψ3,0,2(ξ, η, ϕ)

Ψ3,−2,0(ξ, η, ϕ) =1

2

(J+−

)2ψ3,0,2(ξ, η, ϕ)

Ψ3,0,0(ξ, η, ϕ) =1

2

(J+−

)(J−−

)ψ3,0,2(ξ, η, ϕ)

Obteniendo ası, todas las funciones en coordenadas parabolicas para la representacion de

dimension 9 de SO(3)⊗SO(3) con 2j+1 = 3. Las expresiones explıcitas de estas funciones

se recogen en la Tabla 4.3.

4.2.2 El nivel generico

El procedimiento a seguir para el nivel generico n , m = |m| = 0, 1, ..., n− 1 y

τ = −(n−m− 1),−(n−m− 1) + 2, ..., (n−m− 1)− 2, (n−m− 1)

es el siguiente:

Identificamos el estado de mayor peso en la representacion, es decir |n, 0, 2j〉 donde m = n−1 =

2j , τ = 0; la anulacion de este estado por parte del operador J++ requiere la resolucion de las

ecuaciones diferenciales de primer orden desacopladas:[√ξ∂

∂ξ− 2j

2√ξ

+

√ξ

2n

]Xn,0,2j(ξ) = 0 ,

[√η∂

∂η− 2j

2√η−√η

2n

]Yn,0,2j(η) = 0

54


Las soluciones a estas ecuaciones nos dan la funcion de onda total para el estado de mayor peso

en la representacion irreducible de SO(3)⊗SO(3) para un n dado, que son, convenientemente

normalizadas:

Ψn,0,±2j(ξ, η, ϕ) =1

n2 (2j)!√πe−

ξ+η2n (ξη)j e±i 2jϕ

Las demas funciones de onda en la representacion irreducible de dimension (2j+1)2 se obtienen

mediante la iteraccion de los operadores J+− y J

−−:

Ψn,τ,m(ξ, η, ϕ) =

=1

(2j)!

√(4j −m− τ)!(4j −m+ τ)!

(m+ τ)!(m− τ)!

(J+−

) 2j−m−τ2

(J−−

) 2j−m+τ2

Ψn,0,2j(ξ, η, ϕ) (4.6)

Para encontrar de forma general la expresion de las funciones separadas Xn,τ,m(ξ) y Yn,τ,m(η)

operamos k veces (con k ≥ 0) con el operador J+− sobre una funcion Ψ cuya dependencia en la

variable ϕ es de la forma: eimϕ:(J+−

)kΨn,0,2j(ξ, η, ϕ) =

= e−i kϕξk−m

2 eξ2n∂k

∂ξk

(ξm2 e−

ξ2nX(ξ)

)ηk−m

2 e−η2n∂k

∂ηk

(ηm2 e

η2nY (η)

)eimϕ

De la expresion anterior, con k = 2j−m−τ2 , podemos deducir la formula de Rodrigues para los

polinomios generalizados de Laguerre [1], de forma que:

X(ξ) =

(ξ

n

)m2

e−ξ2n Lmnξ

(ξ

n

), Y (η) =

(ηn

)m2e−

η2n Lmnη

(ηn

)donde los numeros cuanticos parabolicos nξ y nη que hemos introducido son:

nξ =2j −m− τ

2, nη =

2j −m+ τ

2

es decir, las raıces de los polinomios generalizados de Laguerre para las variables ξ y η respecti-

vamente.

Dado n, o equivalentemente j = n−12 , para cada representacion irreducible de SO(3)⊗SO(3) los

numeros cuanticos parabolicos nξ y nη fijan los autovalores de m y de τ :

m = n− nξ − nη − 1 , τ = nη − nξ

Esto es, son un par de parametros que caracterizan de manera alternativa las representaciones

irreducibles de la base desacoplada mediante |n, τ,m〉 ≡ |nξ, nη,m〉:

0 ≤ m ≤ (n− 1) , 0 ≤ nξ ≤ (n− 1) , 0 ≤ nη ≤ (n− 1)

55

Parte II


Finalmente, expresaremos las funciones propias del Hamiltoniano (4.5) en coordenadas parabolicas

en funcion del radio de Bohr a0 y convenientemente normalizadas para un atomo hidrogenoide

con carga Z:

Ψn,τ,±m(ξ, η, ϕ) = X(ξ)Y (η)e±imϕ =√(Z

a0

)3 nξ!nη!

n4 π (nξ +m)!(nη +m)!

(Zξ

na0

)m2(Zη

na0

)m2

e−Z(ξ+η)

2na0 Lmnξ

(Zξ

na0

)Lmnη

(Zη

na0

)e±imϕ

(4.7)

• Las funciones de onda en coordenadas parabolicas (4.7) son los estados propios de la rep-

resentacion desacoplada del algebra de SO(4) ≈ SO(3)⊗SO(3) para la realizacion concreta

del problema de Kepler-Coulomb.

〈ξ, η, ϕ|n, τ,m〉 ≡ Ψn,τ,m(ξ, η, ϕ)

donde recordemos que los valores posibles de los numeros cuanticos m y τ para cada

representacion irreducible son:

m = |m| = 0, 1, ..., n− 1 , τ = −(n−m− 1),−(n−m− 1) + 2, ..., (n−m− 1)


〈n, τ,m|n′, τ ′,m′〉 =

∫Ψ∗n,τ,m(ξ, η, ϕ)Ψn′,τ ′,m′(ξ, η, ϕ)

ξ + η

4dξ dη dϕ = δnn′δτ τ ′δmm′

• La degeneracion en la energıa, como en la base acoplada, coincide con la dimension de

cada representacion irreducible de SO(3)⊗SO(3) y es n2.

• En la Tabla 4.3 se muestran los valores propios y las funciones de onda propias, normalizadas,

del Hamiltoniano de Kepler-Coulomb (4.5) en coordenadas parabolicas para los tres primeros

niveles de energıa.

• El numero total de nodos de las funciones de onda es la suma de los nodos de los polinomios

generalizados de Laguerre para las coordenadas ξ y η, es decir:

nξ + nη = n−m− 1

Donde se ve que el numero de nodos de las funciones de onda parabolicas coincide con el

de las funciones de onda esfericas.

56


• Por ultimo, en la Tabla 4.4 representamos las curvas de nivel correspondientes al corte

con el plano x2 = 0 de la densidad de probabilidad |Ψn,τ,±m|2 en unidades atomicas para

los tres primeros niveles de energıa de las funciones de onda parabolicas del atomo de

hidrogeno.

En contraste con la densidad de probabilidad para los estados esfericos, la densidad de

probabilidad no preserva la simetrıa respecto al origen de coordenadas. Esta asimetrıa

frente a los ejes cartesianos hace posible que los estados parabolicos tengan dipolos

electricos permanentes.

57

Parte II

Tabla 4.3: Autovalores y funciones propias de los estados parabolicos hasta n = 3

Energıa Funcion propia

E = −Z2Ry Ψ1,0,0(ξ, η, ϕ) =(Za0

) 32 1√

πe−Z(ξ+η)

2a0

Ψ2,0,±1(ξ, η, ϕ) =(Za0

) 32 1

8√π

(Zξa0

) 12(Zηa0

) 12e−Z(ξ+η)

4a0 e±i ϕ

Ψ2,1,0(ξ, η, ϕ) =(Za0

) 32 1

4√π

[1− 1

2

(Zηa0

)]e−Z(ξ+η)

4a0

E = −Z2

4 Ry

Ψ2,−1,0(ξ, η, ϕ) =(Za0

) 32 1

4√π

[1− 1

2

(Zξa0

)]e−Z(ξ+η)

4a0

Ψ3,0,±2(ξ, η, ϕ) =(Za0

) 32 1

162√π

(Zξa0

) (Zηa0

)e−Z(ξ+η)

6a0 e±i 2ϕ

Ψ3,−1,±1(ξ, η, ϕ) =(Za0

) 32 1

27

√2π

(Zξa0

) 12(Zηa0

) 12[1− 1

6

(Zξa0

)]e−Z(ξ+η)

6a0 e±i ϕ

Ψ1,1,±1(ξ, η, ϕ) =(Za0

) 32 1

27

√2π

(Zξa0

) 12(Zηa0

) 12[1− 1

6

(Zηa0

)]e−Z(ξ+η)

6a0 e±i ϕ

E = −Z2

9 Ry

Ψ3,−2,0(ξ, η, ϕ) =(Za0

) 32 1

9√π

[1− 2

3

(Zξa0

)+ 1

18

(Zξa0

)2]e−Z(ξ+η)

6a0

Ψ3,0,0(ξ, η, ϕ) =(Za0

) 32 1

9√π

[1− 1

3

(Zξa0

)] [1− 1

3

(Zηa0

)]e−Z(ξ+η)

6a0

Ψ3,2,0(ξ, η, ϕ) =(Za0

) 32 1

9√π

[1− 2

3

(Zηa0

)+ 1

18

(Zηa0

)2]e−Z(ξ+η)

6a0

58


Tabla 4.4: Curvas de nivel para |Ψnτ,m|2 frente a (x1, x3) en unidades atomicas

n = 1 τ = |m| = 0

|m| = 1 , τ = 0

n = 2

m = 0 , τ = −1 ,+1

|m| = 2 , τ = 0

n = 3 |m| = 1 , τ = −1 ,+1

m = 0 , τ = −2 , 0 ,+2

59

Parte II

5 El problema cuantico de Kepler-Coulomb en coordenadas

elıpticas

A pesar de que habitualmente se resuelve el problema cuantico de Kepler-Coulomb en coorde-

nadas esfericas o bien en coordenadas parabolicas, la ecuacion de Schrodinger para el atomo

de hidrogeno es tambien separable en coordenadas elıpticas, como consecuencia de la simetrıa

oculta SO(4). En ese caso, un foco se situa en el centro Coulombiano y el otro a una distancia

R = 2d en la direccion de la tercera componente del operador vectorial de Runge-Lenz.

Estas coordenadas se utilizan habitualmente para estudiar el problema de dos centros de fuerza,

como el ion molecular H+2 . Por ello, comenzaremos describiendo el problema cuantico de Euler-

Coulomb en el espacio tridimensional.

5.1 El problema cuantico de Euler-Coulomb en tres dimensiones

Para un electron situado a distancias r1 y r2 de dos centros Coulombianos fijos con cargas Z1

y Z2 separados una distancia R = 2d, el Hamiltoniano que gobierna la dinamica es:

H =p2

2− Z1

r1− Z2

r2

con

r1 =√x21 + x22 + (x3 − d)2 , r2 =

√x21 + x22 + (x3 + d)2

Se trata de un problema integrable, ya que existen dos invariantes en involucion con el Hamil-

toniano, que son:

I2 =[L

2 − d2(p21 + p22

)]+ 2d

[Z1(d− x3)

r1+Z2(d+ x3)

r2

]y la componente del momento angular correspondiente al eje en el que se situan los centros de

fuerza, L3.

[H , I2] = [H , L3] = [I2 , L3] = 0

El problema de dos centros de fuerza es un sistema muy especial que tiende a un sistema sobrein-

tegrable, el problema de un solo centro, en dos lımites distintos asociados con la transformacion

de las coordenadas elıpticas: (1) Cuando los dos centros colapsan en uno, en el lımite R→ 0 (2)

Cuando uno de los centros escapa al infinito mientras que el otro migra al origen, en el lımite

R→∞.

60


5.1.1 Separabilidad del problema en coordenadas elıpticas. Ecuaciones “radial” y

“angular”

La ecuacioin de Schrodinger para el problema de Euler-Coulomb tridimensional es separable en

coordenadas elıpticas prolatas. Las ecuaciones que vamos a obtener se escriben de forma mas

sintetica en terminos de las variables adimensionales siguientes:

λ =u

d=

r1 + r2R

, 1 ≤ λ <∞ , µ =v

d=

r1 − r2R

, −1 ≤ µ ≤ 1

En este sistema de coordenadas, los operadores diferenciales invariantes del problema son:

• El Hamiltoniano:

H =−2

R2

{1

λ2 − µ2

[∂

∂λ

((λ2 − 1)

∂

∂λ

)+

∂

∂µ

((1− µ2) ∂

∂µ

)]+

1

(λ2 − 1)(1− µ2)∂2

∂ϕ2

}− 2

R

((Z1 + Z2)λ− (Z1 − Z2)µ

λ2 − µ2

)(5.1)

• El segundo invariante, I2

I2 =1− µ2

λ2 − µ2∂

∂λ

((λ2 − 1)

∂

∂λ

)− λ2 − 1

λ2 − µ2∂

∂µ

((1− µ2) ∂

∂µ

)+

[1

λ2 − 1− 1

1− µ2

]∂2

∂ϕ2−R (Z1 + Z2)λ(1− µ2)− (Z1 − Z2)µ(λ2 − 1)

λ2 − µ2

• La componente del momento angular en la direccion de los centros de fuerza:

L3 = −i ∂∂ϕ

Las funciones de onda son separables con el ansatz:

Φ(λ, µ, ϕ) = L(λ)M(µ) exp(±imϕ)

donde recordemos que estamos considerando, sin perdida de generalidad, que m > 0 y ası evitar

escribir el valor absoluto |m| continuamente.

Las ecuaciones separadas para L(λ) y M(µ) son:[d

dλ

(λ2 − 1

) d

dλ− m2

λ2 − 1− p2(λ2 − 1) +R(Z1 + Z2)λ− α

]L(λ) = 0 , (1 ≤ λ <∞)

(5.2a)[d

dµ

(1− µ2

) d

dµ− m2

1− µ2− p2(1− µ2)−R(Z1 − Z2)µ+ α

]M(µ) = 0 , (−1 ≤ µ ≤ 1)

(5.2b)

61

Parte II

donde p es el parametro asociado con la energıa:

p2 =−ER2

2,

y α es la constante de separacion, autovalor del operador diferencial I2:

I2Φ(λ, µ, ϕ) = αΦ(λ, µ, ϕ)

Debido al comportamiento cuando R → 0 de las variables λ ∼ 2r/R y µ ∼ cos θ, es habitual

llamar a (5.2a) la ecuacion “radial” y a (5.2b) ecuacion “angular”. Ambas ecuaciones son casos

particulares de la ecuacion diferencial esferoidal generalizada [19]. Resolverlas simultaneamente

es un problema muy complicado ya que estan acopadas en los parametros p y α, que dependen

de la energıa y del autovalor del segundo invariante del sistema.

5.2 El atomo de hidrogeno: estados hıbridos

Para el atomo de hidrogeno, tomamos Z1 = 1 y Z2 = 0, de forma que el problema se simplifica

ya que conocemos el autovalor de la energıa para los estados ligados, es decir, E = −1/2n2.

Ası, el parametro de energıa depende de la distancia R y del numero cuantico principal:

p2 =R2

4n2

Con todo ello, las dos ecuaciones para el problema de dos centros se convierten en la misma

ecuacion con distinto rango de variacion para las variables λ y µ, es decr:[d

dλ

(λ2 − 1

) d

dλ− m2

λ2 − 1− p2(λ2 − 1) + 2pnλ− α

]L(λ) = 0 , (1 ≤ λ <∞)

[d

dµ

(1− µ2

) d

dµ− m2

1− µ2− p2(1− µ2)− 2pnµ+ α

]M(µ) = 0 , (−1 ≤ µ ≤ 1)

Estas ecuaciones admiten soluciones “finitas”. Sustituyamos L(λ) y M(µ) en las ecuaciones

diferenciales por:

L(λ) = e−pλ(λ2 − 1

)m2 f(λ)

M(µ) = e−pµ(1− µ2

)m2 f(µ)

Las ecuaciones diferenciales ordinarias que resultan para f(λ) y f(µ) las resolvemos aplicando

el metodo de Frobenius, es decir, considerando una serie de potencias en torno a un punto

singular regular. Sustituyendo en las ecuaciones radial y angular, respectivamente, las series de

potencias en las variables λ y µ obtenemos una relacion de recurrencia a tres terminos. Puesto

62


que las soluciones con sentido fısico requieren que ambas series sean finitas, de esta relacion de

recurrencia se deduce que ambas series truncan a un polinomio de grado n−m− 1. Definimos

los numeros cuanticos elıpticos nλ y nµ como los nodos de los polinomios, de manera que:

nλ + nµ = n−m− 1

En la Figura 5.1 mostramos todos los estados elıpticos hasta n = 4 ordenados por el valor de

m (σ, π, δ, φ, ... para m = 0, 1, 2, 3, ...) y por nλ y nµ. Los estados con n −m fijo estan forma-

dos, como veremos en seguida, por una combinacion de estados esfericos con distinto valor del

momento angular, desde l = m hasta l = n− 1.

Figura 5.1: Estructura espectral de los estados elıpticos del atomo de hidrogeno.

Para cada pareja de numeros cuanticos elıpticos nλ y nµ, la constante de separacion α esta fijada,

por tanto, calculando este autovalor, podremos caracterizar los estados de la representacion.

63

Parte II

Sea |n, α,m〉 la base en la que los invariantes {H, I2, L3} son diagonales, es decir los estados

elıpticos del atomo de hidrogeno 〈λ, µ, ϕ|n, α,m〉 ≡ Φn,α,m(λ, µ, ϕ):

H |n, α,m〉 = En |n, α,m〉 (5.3a)

I2 |n, α,m〉 = α |n, α,m〉 (5.3b)

L3 |n, α,m〉 = m |n, α,m〉 (5.3c)

Como hemos dicho, el atomo de hidrogeno es un caso particular del problema de dos centros

donde una de las cargas se hace cero Z2 = 0. Ası, el operador asociado al segundo invariante

en representacion de coordenadas sera:

I2 = L2 − d2

(p21 + p22

)+ 2d

[(d− x3)

r1

]y toma la particular forma:

I2 = L2

+ 2pM3 , p = d√−2E =

R

2n

cuando referimos los observables al foco de la elipse donde se encuentra el origen del potencial

(r ≡ r1), es decir, cuando hacemos la traslacion:x1 → x1 , x2 → x2 , x3 → x3 + d

Dado que conocemos como actuan los operadores L2

y M3 sobre los estados esfericos, ecua-

ciones (3.6) y (3.7b), vamos a expandir |n, α,m〉 en terminos de la base |n, l,m〉, donde n y m

permanecen fijos, pero l varıa desde m hasta n− 1:

|n, α,m〉 =

n−1∑l=m

gl(α) |n, l,m〉

De la expresion de autovalores para el segundo invariante I2:(L

2+ 2pM3

) n−1∑l=|m|

gl(α) |n, l,m〉 = αn−1∑l=|m|

gl(α) |n, l,m〉

obtenemos una relacion de recurrencia a tres terminos para los coeficientes gl(α):

α− l(l + 1)

2pgl(α) =

√(l2 −m2)(n2 − l2)

(2l − 1)(2l + 1)gl−1(α) +

√((l + 1)2 −m2)(n2 − (l + 1)2)

(2l + 1)(2l + 3)gl+1(α)

Para cada par de valores n y m, la relacion de recurrencia da un determinante secular de orden

n −m. Las raıces determinan los autovalores de α y los correspondientes coeficientes {gl(α)}

que especifican los estados hıbridos |n, α,m〉 =∑

l gl(α) |n, l,m〉.

Para ilustrar el procedimiento calculamos α en los siguientes casos:

64


• Para n−m = 1

En este caso, solo existe el estado l = m ⇒ gm+1 = gm+2 = ... = 0, y la ecuacion de

recurrencia queda:

gm(α)

[α−m(m+ 1)

2p

]= 0⇒ α = m(m+ 1)

Ademas en este caso solo existe un coeficiente de hibridacion que escogemos normalizado

gm(α) = 1. Para cada n, el estado elıptico con n−m = 1 coincide con el estado esferico

(y parabolico) de mayor peso en las representaciones de SO(4) (y de SO(3)⊗SO(3)) con

l = m = n−1 (o bien τ = 0). Los numeros cuanticos elıpticos de estos estados son siempre

nλ = nµ = 0, como se deduce de nλ + nµ = n−m− 1 , nλ, nµ ≥ 0.

• Para n−m = 2

Ahora, l = m,m + 1 ⇒ gm+2 = gm+3 = ... = 0, definiendo αm = α −m(m + 1), las

ecuaciones de recurrencia son:

l = m ⇒ αm2pgm(α) − gm+1(α) = 0

l = m+ 1 ⇒ gm(α) − αm+1

2pgm+1(α) = 0

La ecuacion secular que obtenemos es una ecuacion cuadratica con dos posibles autovalores

para α:

αmαm+1 = 4p2 ⇒ m(1 +m)2(2 +m) + 2(1 +m)2α+ α2 = 4p2

Los coeficientes de hibridacion vienen determinados por:

gm+1(α)

gm(α)=αm2p

, g2m(α) + g2m+1(α) = 1

Para cada n, existen dos estados elıpticos (uno para cada valor de α) formados por la

hibridacion de dos estados esfericos con l = m y l = m + 1. Los numeros cuanticos

elıpticos posibles, (nλ, nµ), para estos estados son (1, 0) y (0, 1).

• Para n−m = 3

En este caso, l = m,m+ 1,m+ 2 y los coeficientes gm+3 = gm+4 = ... = 0. Las ecuaciones

de recurrencia:

l = m ⇒ αm2pgm(α) −

√4(2 +m)

3 + 2mgm+1(α) = 0

65

Parte II

l = m+ 1 ⇒ −√

4(2 +m)

3 + 2mgm(α) +

αm+1

2pgm+1(α) −

√4(1 +m)

3 + 2mgm+2(α) = 0

l = m+ 2 ⇒ −√

4(1 +m)

3 + 2mgm+1(α) +

αm+2

2pgm+2(α) = 0

Del determinante secular se obtiene la siguiente ecuacion cubica:

αmαm+1αm+2 = 4p2(4α− 4(4 + 3m+m2)

)donde αm ≡ α−m(m+ 1). Mientras que los coeficientes se determinan con

gm+1

gm=

√2m+ 3

m+ 2

αm4p

,gm+2

gm=

√m+ 1

m+ 2

αmαm+2

y la normalizacion g2m(α) + g2m+1(α) + g2m+2(α) = 1.

Las tres soluciones posibles para α determinan caracterizan los distintos estados hıbridos,

donde para cada α, las posibilidades para los numeros cuanticos (nλ, nµ) son (2, 0), (1, 1)

y (0, 2).

El ultimo caso para el que es posible encontrar soluciones analıticas es n − m = 4, para el

que la ecuacion secular es una cuartica. En los siguientes casos es necesario el uso de metodos

numericos para determinar el valor de α. De manera que, para cada par de valores de n y m,

los estados estan degenerados n −m veces dependiendo del autovalor α(n,m,R). En la Tabla

5.1 se recogen las ecuaciones seculares de orden n−m para todos estos casos.

Tabla 5.1: Ecuaciones seculares para el autovalor de α(n,m,R)

n−m Ecuacion secular

1 αm = 0

2 αmαm+1 = 4p2

3 αmαm+1αm+2 = 4p2 (βm+2αm + βm+1αm+2)

4αmαm+1αm+2αm+3 =

4p2 (βm+3αmαm+1 + βm+2αmαm+3 + βm+1αm+2αm+3)− 144p2

La notacion que se utilizamos es: p2 = R2

4n2 y n el numero cuantico principal; αm = α−m(m+1)

y βl = βl(n,m) ≡ [(l2−m2)(n2−l2)](2l+1)(2l−1) .

Las relaciones de recurrencia son tambien utiles, como hemos visto, para determinar los coefi-

cientes que relacionan los estados en coordenadas elıpticas con los habituales estados de la base

66


acoplada de SO(4):

|n, α,m〉 =∑l

gl(α) |n, l,m〉 (5.4a)

o bien

|n, l,m〉 =∑α

gl(α) |n, α,m〉 (5.4b)

donde, para n y m fijos, la suma se extiende desde l = m hasta l = n−1 en el primer caso y para

los n−m valores distintos de α en el segundo. Los coeficientes gl(α) definen una transformacion

unitaria entre las bases y juegan el papel de Coeficientes de Clebsch Gordan generalizados:

gl(α) = 〈n, α,m|n, l,m〉 = 〈n, l,m|n, α,m〉 (5.5)

Estos coeficientes, calculados segun el procedimiento antes descrito, se recogen en la Tabla 5.2.

En esta tabla se escriben todos en funcion del primer coeficiente, gm, la eleccion de este se hace

atendiendo a la ortonormalizacion de la base 〈n, α,m|n′α′m′〉 = δnn′δαα′δmm′ .

Tabla 5.2: Coeficientes de hibridacion gl(α)

n−m gl(α) = 〈n, α,m|n, l,m〉

2gm+1

gm= αm

2p

3gm+1

gm=√

2m+3m+2

αm4p

gm+2

gm=√

m+1m+2

αmαm+2

4gm+1

gm=√

2m+33(2m+5)

αm2p

gm+2

gm= 1

4

√3

(m+1)(m+3)

[αmαm+1

12p2(2m+ 3)− (2m+ 5)

]gm+3

gm=√

(2m+3)(2m+5)(m+1)(m+3)

[(2m+3)(2m+5)

(αmαm+1

2p

)− 6p

]1

4αm+3

5.2.1 Funciones de onda propias en coordendas elıpticas

Las funciones de onda propias del Hamiltoniano en coordenadas elıpticas (5.1 con Z1 = 1 y

Z2 = 0) son explıcitamente, normalizacion aparte:

Φn,α,m(λ, µ, ϕ) = 〈λ, µ, ϕ|n, α,m〉 =

=[(λ2 − 1

) (1− µ2

)]m2 e−p(λ+µ)fn,α,m(λ)fn,α,m(µ) e±imϕ (5.6)

67

Parte II

Las funcionesfn,α,m(λ) y fn,α,m(µ) son polinomios de grado n −m − 1 en las variables λ y µ

respectivamente. En la Tabla 5.3 especificamos la forma monica de estos polinomios fn,α,m(x)

hasta el caso n−m = 4.

Tabla 5.3: Polinomios fn,α,m(x)

n−m fn,α,m(x)

2 x+ 2pαm

3 x2 + αm+2

2p x+ αm+2−2αm

4 x3 + αm+2

2p x2 + 12p2−αm(αm+3−4)20p2−αmαm+1

x+ αm+3(52p2−αmαm+1)6p(20p2−αmα+1)

Las coordenadas esfericas y parabolicas estan ıntimamente relacionadas con las elıpticas, de he-

cho, como comentamos en las consideraciones previas de este trabajo, el sistema elıptico puede

considerarse como el mas general, pudiendose obtener los otros dos como casos lımite. Por la

misma razon, es de esperar que cuando R→ 0 y R→∞, la forma lımite de nuestras funciones

de onda elıpticas sea la de las funciones de onda en coordenadas esfericas en el primer caso y

en parabolicas en el segundo.

El segundo invariante, cuando R→ 0 resulta:

limR→0

I2 = limR→0

(L

2+ 2pM3

)= L

2

Y por tanto la constante α va al autovalor de L2, es decir, α −→ l(l + 1). En las graficas de la

Figura 5.2 se aprecia como α−l(l+1) tiende a cero cuando R→ 0. Todos los coeficientes de hib-

ridacion gl se anulan excepto el que lleva al estado esferico con el correspondiente autovalor de l.

En el lımite R → 0 la funcion de onda elıptica |n, α,m〉 se convierte en una particular funcion

de onda caracterizada por el valor de α→ l(l + 1), es decir |n, l,m〉:

|n, α,m〉 =n−1∑l=m

gl(α) |n, l,m〉 −→︸︷︷︸R→0

|n, l,m〉 : α −→ l(l + 1)

68


Figura 5.2: Autovalor α. Se representa α frente a ZR. En el lımite R → 0 desaparece, pues

α→ l(l+ 1). El valor en el lımite cuando R→∞, α→ τ viene indicado en la derecha en cada

caso. La ordenada esta reescalada por: 12p+n para asegurar que los dos lımites son finitos.

0.5 5 50 500

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

2sσ

2pσ

3pπ

3dπ

4dδ

4fδ

∞

α-l(l+1)2 p+n

ZR

n-m=2τ=-1

τ=+1

0.5 5 50 500

-2

-1

0

1

2

3dσ

3sσ

3pσ

4fπ

4pπ

4dπ

∞

α-l(l+1)2 p+n

n-m=3

τ=+2

τ=-2

τ=0

ZR

0.5 5 50 500

-3

-2

-1

0

1

2

3

4sσ

4pσ

4dσ

4fσ

τ=-3

τ=-1

τ=+1

τ=+3

n-m=4

α-l(l+1)2 p+n

ZR∞

69

Parte II

Para R → ∞, el autovalor α deviene el autovalor de la tercera componente del operador de

Runge-Lenz:

limR→∞

I22p

= limR→∞

(L

2+ 2pM3

2p

)= M3 ⇒ α −→︸︷︷︸

R→∞

τ = (m+ −m−)

En este caso como se ve es necesario re-escalar el segundo invariante a fin de que el lımite

sea finito. De nuevo este lımite queda perfectamente reflejado en la Figura 5.2. Ahora, los

coeficientes de hibridacion se convierten en los coeficientes de Clebsch Gordan correspondientes

a la transformacion unitaria entre estados de la base acoplada y desacoplada (??), es decir:

|n, α,m〉 =

n−1∑l=m

gl(α) |n, l,m〉 −→︸︷︷︸R→∞

|n, τ,m〉 =

n−1∑l=m

〈l m|j j m+m−〉 |n, l,m〉

donde n = 2j + 1 , τ = m+ −m− , m = m+ +m−.


En resumen:

• Las funciones propias del atomo de hidrogeno en coordenadas elıpticas prolatas (5.6) se

corresponden con los estados de una representacion “hıbrida” de SO(4):

〈λ, µ, ϕ|n, α,m〉 ≡ Φn,α,m(λ, µ, ϕ)

donde, para cada representacion de n, los posibles valores de m son |m| = 0, 1, ...n− 1 y

los n−m valores distintos de α se calculan con las ecuaciones seculares de la Tabla 5.1.


〈n, α,m|n′α′m′〉 =

∫Φ∗n,α,m(λ, µ, ϕ)Φn′,α′,m′(λ, µ, ϕ)

R3

8

(λ2 − µ2

)= δnn′δαα′δmm′

• Dado que las funciones α no son triviales para los numeros cuanticos ni para la distancia

R solamente somos capaces de encontrar soluciones analıticas hasta n − m = 4. En la

Tabla 5.5 se muestran los valores propios y las autofunciones (normalizadas solamente en

el caso sencillo n−m = 1), del Hamiltoniano para un atomo hidrogenoide (con carga Z)

hasta el tercer nivel de energıa.

• En la Tabla 5.4 se comparan las tres bases de las representaciones irreducibles de SO(4)

para el problema de Kepler-Coulomb.

70


• Cada estado |n, α,m〉 esta caracterizado por un valor particular de los numeros cuanticos

elıpticos (nλ, nµ,m, enumerados en la Figura 5.1), de manera que el numero total de nodos

lo las funcione:

nλ + nµ = n−m− 1

permanece constante para cualquier valor de ZR. El numero de nodos coincide efec-

tivamente con el de las funciones de onda en coordenadas esfericas y en coordenadas

parabolicas.

• Por ultimo, representamos las curvas de nivel correspondientes al corte con el plano x2 = 0

de la densidad de probabilidad |Φn,α,m|2 en unidades atomicas para distintos valores de

R. Aunque no se repiten en este apartado las graficas, en los lımites R→ 0 y R→∞ se

reproducen los resultados de las Tablas 4.2 y 4.4 respectivamente.

Tabla 5.4: Tabla comparativa entre las tres bases de estados del atomo de hidrogeno

R→ 0 R R→∞

Base acoplada Base hıbrida Base desacoplada

|n, l,m〉 |n, α,m〉 |j,m+ ; j,m−〉 = |n, τ,m〉

{H, L2, L3} {H, I2, L3} {H, M3, L3}

n = 1, 2, ... n = 1, 2, ... j = 0, 12 , 1, ...⇐ n = 2j + 1

l = 0, ..., n− 1 m ≡ |m| = 0, ..., n− 1 |m| = 0, ..., n− 1⇐ m = m+ +m−

m = −l,−l + 1, ...,+l n−m valores de α τ = −σ,−σ + 2, ...,+σ , σ = n− |m| − 1

α −→ l(l + 1) α(R) α −→ τ , τ = m+ −m−

gl = 1 gl(α, p) gl = 〈l m|j j m+m−〉

71

Parte II

Tabla 5.5: Autovalores y funciones propias en coordenadas elıpticas del atomo de hidrogeno

hasta el nivel de energıa n = 3 en unidades atomicas

Energıa Funcion propia-Segundo invariante

E = −Z2Ry Φ1,α,0(λ, µ, ϕ) =(Za0

) 32 1√

πe−ZR(λ+µ)

2a0

α = 0

E = −Z2

4 Ry Φ2,α,±1(λ, µ, ϕ) =(Za0

) 23 ZR

16√π

(λ2 − 1

) 12(1− µ2

) 12 e−ZR(λ+µ)

4a0 e±i ϕ

α = 2

Φ2,α,0(λ, µ, ϕ) =(λ+ ZR

2α

) (µ+ ZR

2α

)e−

ZR(λ+µ)4

α(α− 2) = Z2R2

4

E = −Z2

9 Ry Φ3,α,±2(λ, µ, ϕ) =(Za0

) 23 Z2R2

648√π

(λ2 − 1

) (1− µ2

)e−

ZR(λ+µ)6 e±2i ϕ

α = 6

Φ3,α,±1(λ, µ, ϕ) =(λ+ ZR

3(α−2)

)(µ+ ZR

3(α−2)

) (λ2 − 1

) 12(1− µ2

) 12 e−

ZR(λ+µ)6 e±i ϕ

(α− 2)(α− 6) = Z2R2

9

Φ3,1,0(λ, µ, ϕ) =(λ2 + 3(α−6)

ZR λ+ 1− 8α

)(µ2 + 3(α−6)

ZR µ+ 1− 8α

)e−

ZR(λ+µ)6

α(α− 2)(α− 6) = 4Z2R2

9 (α− 4)

72


Tabla 5.6: Curvas de nivel para |Φnα,m|2 frente a (x1, x3) con R = 1 en unidades atomicas

n = 1 n−m = 1

n−m = 1

n = 2

n−m = 2

n−m = 1

n = 3 n−m = 2

n−m = 3

73

Parte II

Tabla 5.7: Curvas de nivel para |Φnα,m|2 frente a (x1, x3) con R = 4 en unidades atomicas

n = 1 n−m = 1

n−m = 1

n = 2

n−m = 2

n−m = 1

n = 3 n−m = 2

n−m = 3

74


5.3 Discusion

Mas alla de proporcionar una perspectiva poco convencional del atomo de hidrogeno, las

funciones propias en coordenadas elıpticas-hiperbolicas tienen utilidad practica. Los estados

hıbridos |n, α,m〉 proporcionan la combinacion lineal correcta, especificada por los coeficientes

gl, de los estados esfericos degenerados para tratar el efecto Stark inducido por una carga pun-

tual o dipolo puntual en teorıa de perturbaciones. En el lımite R→∞ esta perturbacion se hace

equivalente a un campo uniforme, y las funciones de onda elıpticas reducen a las parabolicas.

Las autofunciones elıpticas pueden utilizarese para construir soluciones analıticas exactas para

ciertas configuraciones especiales del sistema general de dos centros Coulombianos formado

por una partıcula cargada que interacciona con un par de cargas fijas Z1 y Z2 situadas a una

distancia R entre sı.

En este sentido, es interesante discutir por que encontramos soluciones sencillas de las ecua-

ciones esferoidales generalizadas (5.2) para el caso Z2 pero no para el caso general. Siguiendo

el planteamiento de Demkov en [13], suponemos que la energıa del sistema equivale a la del

problema equivalente de un solo centro con carga igual a la suma de las cargas, (Z1 + Z2), es

decir,

Enλ = −Z1 + Z2

2n2λ

para la ecuacion radial (5.2a), y para la ecuacion angular (5.2b), consideramos una energıa que

depende de la diferencia de las cargas (Z1 − Z2), es decir,

Enµ = −Z1 − Z2

2n2µ

Las funciones L(λ) y M(µ) satisfacen ecuaciones similares para los mismos valores de p2 y de la

constante de separacion α. La condicion para la energıa requiere resolver la ecuacion diofantica:

Enλ = −Z1 + Z2

2n2λ= −Z1 − Z2

2n2µ= Enµ (5.7)

Esta ecuacion determina nλ y nµ para Z1 y Z2 dados. Una vez fijado el autovalor de la energıa,

para cada m debemos tambien imponer que coincida el autovalor del segundo invariante, es

decir, α. El requerimiento de que la constante de separacion sea la misma αλ = αµ determina

la distancia internuclear especıfica R = 2d.

75

Parte II

Las funciones de onda de estos estados tan especiales son:

Φnλ,αλ,m |nµ,αµ,m(λ, µ, ϕ) = Lnλ,αλ,m(λ)M,nµ,αµ,m(µ) exp(±imϕ)

donde hay que imponer tambien una condicion para los nodos de las funciones L(λ) y M(µ):

el numero de nodos no puede exceder nλ −m− 1 en λ ∈ [1,∞) y no puede exceder nµ −m− 1

en µ ∈ [−1, 1].

En general, no es posible encontrar soluciones finitas con todas estas restricciones. Tales solu-

ciones han sido obtenidas por Demkov [13] para varios estados electronicos.

76

Conclusiones

Conclusiones

Los principales resultados y conclusiones que se han obtenido en la elaboracion de este trabajo

son los siguientes:

1. Clasificacion de las representaciones unitarias irreducibles del algebra de rango 2 de Lie

SO(4).

– Base acoplada. A partir del subalgebra de SO(3) y la accion de un operador vectorial

sobre la base “estandar” de momento angular, |jm〉 encontramos una clasificacion de

las representaciones unitarias e irreducibles de SO(4) en funcion de dos parametros

(j0, η):

2j0 ∈ Z , η = |j0|+ 1 , |j0|+ 2 , ...

– Base desacoplada. A partir del isomorfismo local SO(4)≈SO(3)⊗SO(3), encontramos

una base equivalente de las representaciones unitarias irreducibles que se clasifican

por el par de parametros (j+, j−):

2j+ ∈ Z , 2j− ∈ Z

2. El atomo de hidrogeno constituye una realizacion fısica muy concreta de las representa-

ciones irreducibles del algebra del SO(4) consecuencia de la simetrıa dinamica generada

por los operadores de momento angular y de Runge-Lenz. Mas aun, el Hamiltoniano es

funcion del primer operador de Casimir cuadratico de SO(4) y hemos conseguido deducir

el espectro de autovalores de energıa negativa por consideraciones puramente algebraicas.

Los estados ligados del Hamiltoniano pertenecen a una representacion unitaria irreducible

de SO(4). La dimension de las representaciones constituyen la “degeneracion accidental”

del sistema:

– En la vision acoplada, los operadores que son diagonales son {H, L2, L3}. Los

numeros cuanticos que caracterizan las estados para un nivel de energıa n:{|n, l,m〉

} l = 0, 1, ..., n− 1

m = = −l,−l + 1, ...,+l

77

Conclusiones

– En la version desacoplada, los operadores diagonales son {H, M3, L3}. Los numeros

cuanticos con los que caracterizamos los estados de la base desacoplada son:{|n, τ,m〉

}|m| = 0, 1, 2..., n− 1

τ = −(n− |m| − 1), −(n− |m| − 1) + 2, ..., (n− |m| − 1)− 2, (n− |m| − 1)

3. En representacion de coordenadas vemos como los operadores que diagonalizan en cada

una de las bases de SO(4) permite el calculo mediante ecuaciones ordinarias sencillas de

las funciones de onda propias en dos sistemas de coordenadas distintos:

– Los estados de la base acoplada corresponden a las funciones de onda propias en

coordenadas esfericas.

– Los estados de la base desacoplada corresponden a las funciones de onda propias en

coordenadas parabolicas.

En ambos casos se da el metodo para calcular las funciones de onda en los tres primeros

niveles de energıa y se extiende para el nivel generico.

4. Por ultimo, hemos realizado el estudio del atomo de hidrogeno viniendo del problema mas

general de dos centros de fuerza, que es separable en coordenadas elıpticas, por anulacion

de uno de los centros.

Los estados propios en coordenadas elıpticas son “hıbridos” que interpolan entre las dos

versiones anteriores del las representaciones de SO(4). Aplicando metodos algebraicos

hemos obtenido el espectro del segundo invariante del problema y los lımites R → 0 y

R→∞.

78

Conclusiones

Conclusions

The main results and conclusions we have reached in the development of this work are as follows:

1. Classification of irreducible representations of a Lie algebra SO(4)

– Coupled basis. The simplest approach to the representation theory of SO(4) is to

begin with the well known subalgebra SO(3). Then the additional commutation

relations needed to make the components of the angular momentum and the compo-

nents of a vector operator into a Lie algebra SO(4) are used to classify the irreducible

representations by the two parameters (j0, η):

2j0 ∈ Z , η = |j0|+ 1 , |j0|+ 2 , ...

– Uncoupled basis. An different approach is possible for SO(4).From local isomor-

phism SO(4)≈SO(3)⊗SO(3) we find an equivalent basis of the irreducible unitary

representations that can be classified by the pair (j+, j−):

2j+ ∈ Z , 2j− ∈ Z

2. We obtain a special class of the representations of SO(4) characterized by j0 = 0 or

j+ = j−, the hydrogenic realization. It is generated by the angular momentum and the

Runge-Lenz vector operator and we have used to rederive the Bohr formula for the energy

levels. Corresponding to each energy level a unitary irreducible representation of SO(4)

is obtained. The basis functions for each representation can be denoted by:

– Coupled basis. The diagonal operators are {H, L2, L3}, and their eigenvalues for a

given n: {|n, l,m〉

} l = 0, 1, ..., n− 1

m = = −l,−l + 1, ...,+l

– Uncoupled basis. Diagonal operators are now {H, M3, L3} and the quantum num-

bers: {|n, τ,m〉

}|m| = 0, 1, 2..., n− 1

τ = −(n− |m| − 1), −(n− |m| − 1) + 2, ..., (n− |m| − 1)− 2, (n− |m| − 1)

79

Conclusions

3. In coordinates the different basis allows us to calculate the eigenfunctions into two different

coordinate systems:

– The coupled states corresponds to wave functions in spherical polar coordinates.

– The uncoupled states corresponds to wave functions in parabolic coordinates.

4. The Shcrodinger equation is also separated in prolate elliptical coordinates, as a con-

sequence of the hidden symmert. Elliptical states are hybrids that interpolate between

spherical and parabolic states. Here, we have evaluated the separation constant and the

limits R→ 0 and R→∞.

80

Bibliografıa

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