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Mancebo Piqueras, J. A. y Sanz Pérez, E., 2008. La hidráulica kárstica como aplicación de la hidrodinámica general. Estudio del flujo en un terreno yesíferofisurado. Boletín Geológico y Minero, 119 (1): 63-70ISSN: 0366-0176

63

La hidráulica kárstica como aplicación de la hidrodinámica general. Estudio del flujo en un terreno

yesífero fisuradoJ. A. Mancebo Piqueras(1) y E. Sanz Pérez(2)

(1) Dep. Mecánica Industrial, E.U.I.T.I., Universidad Politécnica de Madrid, España. E-mail: [email protected],

(2) Dep. Ingeniería del Terreno, E.T.S.I.C.C.P., Universidad Politécnica de Madrid, España. E-mail: [email protected]

Introducción

Como primera tarea se definen algunos casos de flujosubterráneo desde un punto de vista teórico. Para ellose utilizará como base de partida las ecuaciones bási-cas en forma diferencial o integral y a continuación seobtendrá la ley de distribución de velocidad. Esta leyde velocidad permitirá deducir el resto de paráme-tros. El análisis pretende también complementar laformulación disponible y ayudar en la definición dealgunas expresiones contenidas en las fuentes que semencionan al final de este trabajo. Se intenta asíplantear una vía teórica sencilla de estudio que per-

mita analizar casos particulares de flujo subterráneomás allá de los casos que aquí se presentan. Comoobjetivo último se aplica el estudio a un caso real enel que el agua subterránea sale a la superficie a travésde las fisuras que afloran en algunos escarpes yesífe-ros karstificados.

Hipótesis y ecuaciones básicas

Las rocas compactas fisuradas pueden considerarsecomo un medio poroso natural, que será ademáshomogéneo si en cualquier punto la resistencia al

RESUMEN

Se pretende plantear y desarrollar algunas de las leyes clásicas de hidrodinámica introduciendo las características que permiten su apli-cación al flujo subterráneo en general y a la hidráulica kárstica en particular. Se estudia la consideración de si el movimiento del agua sub-terránea en el karst se puede definir como flujo a través de conductos individuales o como un medio continuo con huecos saturados enuna matriz sólida. Los trabajos de Hagen (1839) y Poiseuille (1846), junto con los de Darcy (1856) configuran la referencia básica para esteestudio (in Crespo, 2006). A ellos puede añadirse también las aportaciones de Couette y Chezy (Rouse, 1951) para flujo libre sobre super-ficies rocosas. Se presentan varios casos en los que las leyes del movimiento laminar unidireccional ofrecen soluciones que pueden serválidas para la definición de los parámetros fundamentales del flujo del agua en el subsuelo.

Palabras clave: flujo laminar, hidráulica, karst, matriz sólida, unidireccional

Karst hydraulic as a general hydrodinamic application.

Study of the flow in a fissurated gypsum soil

ABSTRACT

The aim of this article is to raise and develop some of the classical laws of hydraulics, introducing features that allow its application tosubsurface flow in general and particularly to karst hydrology. Whether the movement of groundwater in karst can be defined as flowthrough individual channels or whether it can be considered as a continuous medium with saturated holes in a solid matrix is ponderedover. The work of Hagen (1839) and Poiseuille (1846), along with Darcy (1856) form the basic reference for this study (in Crespo, 2006).Contributions from Couette and Chezy (Rouse, 1951) on free flow over rock surfaces have been studied as well. There are several casesin which the laws of unidirectional laminar motion offer solutions that can be effective for defining the basic parameters of the flow ofwater in the subsoil.

Key words: Hydraulic, karst, laminar flow, solid matrix, unidirectional

ARTICULO 5:ART. El material tipo de la 5/8/08 15:50 Página 63

movimiento del fluido es la misma. Dada la irregula-ridad de los medios porosos es preciso introducir elconcepto de escala de homogeneidad. Atendiendo aeste criterio, un aluvión con granos de 1 mm de diá-metro, aproximadamente, será homogéneo a lasescala del dm; un macizo rocoso, yesífero por ejem-plo, solo podrá ser considerado como homogéneopara dimensiones de dominio de 100 veces la mayordimensión de los bloques.

El movimiento del agua a través de los conductosy espacios intergranulares del terreno está inducidopor una variación de potencial hidráulico

expresando este potencial en términos de energía porunidad de peso de fluido, en relación a la longitud enla que se produce, es decir, existe un gradiente depotencial (J), ecuación (2), o de cota piezométrica,que origina el movimiento del agua. Si la presión esconstante, entonces el movimiento está inducidosolamente por la variación de posición (fig. 1).

El planteamiento de los estudios de Hagen-Poiseuille y Couette precisa de algunas hipótesis:

• Los efectos de la viscosidad predominan y orde-nan el desarrollo del flujo

• Las trayectorias son rectas y paralelas a las pare-des de los conductos

• Un aumento del número de Reynolds (Re) sobreun determinado límite, desestabiliza el régimenque pasa a ser turbulento

Las ecuaciones básicas aplicables a un flujo unidirec-cional son:

- Continuidad, con movimiento en dirección x:

donde v=w=0

definición euleriana de la velocidad en función de laposición (y,z) y del tiempo (t)Además para el fluido incompresible, como la veloci-dad no depende de (x) tendremos

(1)

- Conservación de cantidad de movimiento (ec. deNavier). Solamente es necesario plantear el equilibriode fuerzas en dirección (x)

(2)

- Conservación de la energía (teorema de Bernoulli):para una línea de corriente:

(3)

donde el término de velocidad puede ser desprecia-ble por su irrelevante valor, salvo cuando se trate deflujo en terrenos fracturados, frecuentes en karst, enlos que la velocidad y los efectos cinéticos derivadosson importantes.

Flujo bidimensional sobre una superficie fija. Modelo

de corriente de Couette

El movimiento se produce por arrastre de una placaen superficie con velocidad (V0) sin variación de poten-cial. Podría ayudar a definir algunos casos de flujo enlámina libre sobre superficies rocosas a través deestratos horizontales con pendiente suave (fig. 2).

En este caso la ecuación de Navier queda reducidaa la siguiente expresión

integrando la anterior ecuación con las condicionesde contorno: para y = 0, u = 0, además para y = h, u =V0 , queda la velocidad definida por la siguiente leylineal para la velocidad

(4)

Mancebo Piqueras, J. A. y Sanz Pérez, E., 2008. La hidráulica kárstica como aplicación... Boletín Geológico y Minero, 119 (1): 63-70

64

Fig. 1. Variación de energía potencial entre dos puntos de un con-ductoFig. 1. Potential energy variation between two points of a conduit

zp+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟γ

r r r vV u i v y w z= ⋅ + ⋅ + ⋅

r rV u i f y z t= ⋅ = ( ), ,

divVux

r= =∂

∂0

1 2

2

2

2gut

Ju

yu

z⋅ = + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∂∂

μγ

∂∂

∂∂

zp v

gCte+ + =

γ

2

2

∂∂

2

20

uy

=

u yVh

y( ) = 0



65

siendo la velocidad media V = Vo/2 y el caudal por uni-dad de ancho

(5)

Flujo bidimensional entre superficies sólidas. Modelo

de corriente de Hagen-Poiseuille

El movimiento se mantiene gracias al gradiente depotencial. Es el caso que se verifica en fisuras planaso donde predominan las dimensiones (x,z) sobre (y) ypodría aplicarse en algunas corrientes subterráneas através de fisuras de escasa dimensión en las que exis-te un nivel freático mayor aguas arriba y un gradientehidráulico apreciable en el recorrido del fluido (Fig. 3).

Operando de manera similar al caso anterior, porconservación de cantidad de movimiento:

Integrando obtenemos los parámetros principalesdel flujo

Velocidad

(6)

Caudal por unidad de ancho

(7)

Velocidad media

(8)

Por último despejando de la ec.(8) el gradiente depotencial (pérdida de carga por unidad de longitud)

(9)

Modelo de corriente de Hagen-Poiseuille-Couette

Resulta de la combinación de los dos efectos anterio-res, existe gradiente de potencial y velocidad induci-da en superficie, y se podría asimilar a determinadoscasos de sifonamiento del terreno en los que el flujoes acompañado por el terreno y existe además ungradiente hidráulico apreciable (Fig.4).

Quedando las leyes de velocidad y caudal:

(10)

Fig. 2. Corriente de fluido inducida por el movimiento de una placacon velocidad V0

Fig. 2. Fluid flow induced by the movement of a slab with speed V0

Fig. 3. Corriente entre dos superficies sólidas inducido por gra-diente de cota piezométricaFig. 3. Flow between two solid surfaces induced by piezometricgradient

Fig. 4. Combinación flujo inducido por movimiento en superficie yvariación de presiónFig. 4. Induced flow due to the combination of surface movementand pressure variation

qQL

u y dyV hh

= = =∫ ( ) 0

0 2

∂∂

γμ

2

2

uy

J= − ⋅

u yJ

yh y( ) ( )= −γμ2

2

q u y dyJhh

= ⋅ =∫ ( )γ

μ

3

0 12

VJh p p h

L= =

−( )γμ μ

21 2

2

12 12

JV

h RVghe

= =12 2422

2μγ

u y hy yVh

yJ

( ) = −( ) +γμ2

2 0


(11)

Modelo de flujo a través de conductos axilsimétricos

(canales kársticos)

Es el caso asimilable al desarrollo de un karst confisuras en forma de conductos en los que la dimen-sión (x) es la más importante, y cuyo modelo de sec-ción aproximadamente circular puede ser válido paradefinir el flujo laminar en algunos conductos de diso-lución subterráneos longitudinales (Fig.5).

La ecuación que define este movimiento en formalocal es la siguiente (expresando el laplaciano de lavelocidad (Δu) en coordenadas cilíndricas):

La resolución de la anterior ecuación ofrece la dis-tribución de velocidad en función del radio (r)

(12)

Caudal

(13)

Velocidad media

(14)

Variación de potencial por unidad de longitud o pér-dida de carga por unidad de longitud:

(15)

Si el régimen deja de ser laminar, según el criterio delnúmero de Reynolds (Re) que veremos después, laexpresión anterior queda

La anterior expresión es la fórmula de Darcy-Weisbach, donde

es una función de Re y de la rugosidad relativa de lasparedes del conducto:

(donde Ra es la rugosidad absoluta y D el diámetro delconducto), dada por la fórmula de Colebrook y tam-bién por el diagrama de Moody.

Modelo de flujo de la Ley de Darcy

En un medio poroso natural, confinado en el interiorde un conducto de longitud L que une dos depósitos(Fig.6), uno con la superficie libre a mayor altura queel otro, se establece un flujo entre ambos definido porla velocidad media, que es, según Darcy (1856):


66

Fig. 6. Experimento de Darcy. Variación del potencial en el flujo enun medio porosoFig. 6. Darcy´s experiment. Potential variation of the flow through aporous medium

Fig. 5. Movimiento axilsimétrico en un conducto con gradiente depresiónFig. 5. Axial symmetrical movement in a conduit with a pressuregradient

q hV

hJ

= +γ12 2

3 0

Jd udr r

dudr

= ⋅ + ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

μγ

2

2

1

u rp p

LR r R r

J

( ) = − −( ) = −( )1 2 2 2 2 2

4 4μγμ

Qp p

LR R

J

= − =1 2 4 4

8 8μπ γ

μπ

VJR= γ

μ

2

8

JV

gD RVgDe

= =32 6422

2ν

J f RVg De= ( ) ⋅

,ε2

2

f Re( , )ε

ε = RD

a



67

(16)

siendoV: velocidad media (velocidad de Darcy)i : gradiente hidráulicoK: conductividad hidráulica o permeabilidad, quees función de las características del medio porosoy del fluido (viscosidad y peso específico)

Por tanto el caudal que atraviesa la superficietransversal (A) será

La ley de Darcy basa su validez en una considera-ción macroscópica del medio poroso, considerando,además, que solo actúan las fuerzas viscosas siendolas inerciales prácticamente nulas. Esta ley no tieneen cuenta las características y el comportamiento delflujo en cada poro, y deja de ser válida cuando lasfuerzas inerciales son importantes, es decir, cuando elnúmero de Reynolds es elevado, aun cuando el régi-men de flujo siga siendo laminar.

El tipo de régimen puede definirse por el paráme-tro adimensional de Reynolds:

SiendoV: velocidad del flujo (velocidad de Darcy)L: longitud característica. Diámetro medio de las

partículas sólidas (d50) o (2e) en caso de terrenosfisurados, siendo (e) el ancho de la fisura

µ: viscosidad dinámica del fluido. Para el agua esaproximadamente:

µ=0,0012 kg/m.s=1,2 cP (centipoise)

: viscosidad cinemática. Para el agua es υ=1,2•10-6 m2 /s =1,2 cSt (centistoke)

La ley de Darcy es válida si Re está comprendidoentre 1 y 10, y en general debe tomarse Re < 4 -5. Sinembargo, si consideramos la velocidad real (Vr), essiempre superior a la velocidad de Darcy, dada laheterogeneidad del medio. Como la relación entreambas velocidades es la porosidad eficaz (me), ten-dremos

Siendo ne la porosidad eficaz.

Así, una porosidad elevada, por ejemplo 20 %,dará lugar a una velocidad real cinco veces superior ala de Darcy, pero si la porosidad desciende al 5 %, lavelocidad real es veinte veces superior. En esta pro-porción aumenta también el número de Reynoldsobtenido con la velocidad real, por lo que si se opta-se por este parámetro para clasificar el tipo de régi-men, los límites varían enormemente aumentandohasta valores alrededor de 100-200. Además si setrata de circulación por conductos kársticos de escalamilimétrica o centimétrica, el número de Reynoldsfrontera para que un régimen de flujo deje de serlaminar se sitúa en 2300 y para régimen turbulentocompletamente desarrollado en el rango de 6000-10000.

La velocidad real (Vr) anterior es en realidad unavelocidad lineal media, puesto que se ha consideradoque el agua sigue trayectorias rectilíneas, cuando noes así. Las partículas fluidas se mueven casi siempresiguiendo trayectorias tridimensionales variables conel tiempo, pero sobre todo con el espacio, bordeandoel contorno de las partículas sólidas, atravesando lasangosturas que conectan los poros, variando tambiénsu módulo, lo que daría lugar a un coeficiente quetuviese en cuenta las singularidades de paso tanto enel terreno poroso, como en las fisuras de un terrenofracturado karstificado.

La conductividad hidráulica, cuyas unidades sonlas de una velocidad, representa la velocidad de flujoa través de un terreno de área unidad, provocada porun gradiente hidráulico unidad. Sin embargo, Kdepende también de las características del fluido,según la relación

donde K: conductividad hidráulica o permeabilidad de

DarcyK0: permeabilidad intrínseca. Depende solo del mate-

rial del medio porosoγ: peso específico del fluidoµ: viscosidad dinámica del fluido

El orden de magnitud de K resulta extremadamen-te amplio y oscila, entre 103 m/día en gravas limpias,hasta 10-5 m/día en arcillas no meteorizadas, según

ϑ

V Kh

LKi K

dhdl

= = = −Δ

Q V A K A i= ⋅ = ⋅ ⋅

RVL V L

e = = ⋅ρμ ϑ

VVnr

e

RVL V L

err r= =

⋅ρμ ϑ

KK

= 0γμ


datos de Casagrande. Alejados de estos extremos, essignificativo que la conductividad hidráulica de unaarena limpia (K = 1 m/día) es 10.000 veces mayor quela de una mezcla de arena, limo y arcilla (K = 0,0001m/día).

La permeabilidad intrínseca, K0, tiene unidades deL2, expresándose en cm2 o en m2, y también en darcys(1 darcy ≈ 10-8 cm2 ).

Flujos subterráneos a los que no es aplicable la Ley

de Darcy

Como hemos observado antes si Re > 4-5 la ley deDarcy deja de cumplirse, aunque el régimen sigasiendo laminar. En estos casos podrían, sin embargo,aplicarse los modelos estudiados. Si el régimen esturbulento completamente desarrollado, el gradientehidráulico es:

Por tanto la velocidad es

Esta forma de expresar el gradiente hidráulico per-mite definir una permeabilidad turbulenta

que solo depende de las propiedades del medio poro-so, de manera similar a la fórmula de Chezy utilizadaen corrientes libres, según la cual:

donde χ = f (material, radio hidráulico) es el coefi-ciente de Chezy. Bazin ofrece la siguiente expresiónpara el cálculo de χ:

m= coeficiente que depende del material que limita lacorriente. Para rocas m= 1,8

Rh= radio hidráulico (L),

im= pendiente motriz: gradiente hidráulico

Por tanto en estos flujos habría que estudiar la via-bilidad de aplicación de los modelos anteriores(Couette, Hagen-Poiseuille, etc) aun cuando el régi-men abandone las condiciones de flujo laminar.

Movimiento del agua en medios fisurados

Aunque las rocas son localmente impermeables, aligual que los terrenos muy cementados, en ellas exis-ten fracturas, planos de contacto entre estratos, etc,que dan lugar a fisuras y diaclasas, que en algunaszonas progresan a velocidad notable debido a proce-sos de karstificación. Cuando las fisuras forman unared suficientemente densa, el conjunto rocoso, aunsiendo anisótropo, puede comportarse a escalamacroscópica como un medio poroso homogéneo.En este contexto, el régimen es laminar, en general, silas fisuras tienen una anchura pequeña (inferior a 1mm).

Si asumimos las fisuras como espacios entre pla-nos sólidos paralelos, en ellas se desarrolla un flujounidireccional bidimensional inducido por la existen-cia de un gradiente hidráulico (variación de cota pie-zométrica por unidad de longitud). Si este régimen eslaminar y como las fuerzas de inercia son desprecia-bles, partiendo de las ecuaciones de conservación deNavier-Stokes, según se expuso anteriormente, lavelocidad se distribuye de forma parabólica siendonula en el contacto con las paredes sólidas y máximaen el plano equidistante central, y puede definirse suley de distribución según la expresión de Hagen-Poiseuille expuesta anteriormente, etc. (10)

siendo d el ancho de la fisura, y por tanto la velocidadmedia (V) y el caudal por unidad de longitud de fisu-ra (q) quedan:

En este caso, la permeabilidad (K) en el plano de lafisura y la permeabilidad intrínseca pueden definirsecomo:


68

i bV= 2

Vb

i=1

V X R ih m= ⋅ ⋅

Xm

Rh

=+

87

1

v yi

yd y( ) ( )= −γμ12

2

Vd

i qd

i= =γ

μγ

μ

2 3

12 12 ;

Kd

Kd

= =γ

μ

2 2

12 12 ; 0R

área transversal del flujoperímetro sólido bañado por la corrienteh =

′ =Kb

1



69

Aplicación del modelo de corriente de Hagen-

Poiseuille a un caso de flujo intersticial por una fisura

Un ejemplo de este tipo de flujo es el que se produceen los afloramientos del frente rocoso de algunosescarpes yesíferos a lo largo de amplios tramos delvalle medio del río Jarama (Madrid).

En el ejemplo que nos ocupa (Fig. 7), se tiene unapared rocosa de yesos tableados (Fotos 1 y 2) entrelos que se han formado algunas fisuras, entre ellasuna fisura de 0,45 mm de espesor medio y 60 m delongitud por la que se establece un flujo inducido poruna diferencia de potencial hidráulico de 5 m.

El caudal descargado unitario, con hipótesis deviscosidad dominante será:

y el caudal total que pasa a través de la fisura:

La velocidad media es

Comprobamos la hipótesis de viscosidad dominante

Puede observarse que la turbulencia no permite laaplicación de la ley de Darcy, por lo que se ha elegidoun modelo de flujo lo más fiel posible a la realidad. Lainfluencia de la longitud de la fisura es trascendental,ya que su incremento reduce la velocidad del agua ypor tanto el caudal de drenaje al exterior.

Otras consideraciones en el estudio del flujo

turbulento

En régimen de transición a turbulento, la velocidadpuede expresarse como sigue (Custodio y Llamas,1996; Sanz, 2004):

Fig. 7. Flujo a través de una fisura en un estrato rocosoFig. 7. Flow through a fissure in a stratified rock

Foto 2. Drenaje a través de fisuras en escarpes yesíferos de la cube-ta del JaramaFoto 2. Drainage through fissures in gypsum clifts in the Jaramabasin

Foto 1. Flujo a través de fisuras en roca yesífera. Frente de una can-tera abandonada junto al río JaramaFoto 1. Flow through fissures in gypsum rock. Abandoned quarrynext to Jarama river

qd

i

m sml

s ml

m

= ⋅ =⋅⋅

⋅ =

= ⋅ =⋅

=⋅

−

γμ

3 3

6 3

129810 0 00045

12 0 0012560

5 17 10 0 0052 0 31

,,

, / , ,min

Q qL l s l= = ⋅ = =0 00517 9 0 047 2 8, , / , /min

Vqh

m s cm s= =⋅

= =−1 04 10

0 000450 015 1 15

5,,

, / , /

RVd

Rdl

e

e

= =⋅ ⋅ ⋅

=

= ⋅ = ⋅ <−

ρμ

10 0 015 2 0 000450 0012

8 6

8 60 00045

606 5 10 1

3

5

, ,,

,

,,

,

V Ki c i= +


donde

Cuando el régimen es totalmente turbulento, setiene

Al estar animado el flujo de una considerable agi-tación hidráulica, la distribución de la velocidad dejade ser parabólica, y prácticamente se convierte enuniforme, excepto en la película anexa a las paredes,capa límite, en la que es laminar, y ahí es donde sedesarrolla casi todo el gradiente de velocidad y portanto la disipación de energía.

En determinadas ocasiones, las fisuras se desarro-llan rápidamente por disolución en terrenos karstifi-cados, formándose conductos con circulación enrégimen turbulento, tanto en régimen libre como for-zado, pero siempre caracterizados por la turbulenciadel movimiento. En estos casos el término de energíacinética, V2/2.g, no puede despreciarse. Cuando setrata de corrientes forzadas, la fórmula de Darcy-Weisbach puede ser apropiada para definir el gra-diente hidráulico, mientras que en flujo libre es utili-zable la fórmula de Chezy, pudiendo estudiarse loscasos en que el régimen libre es crítico, subcrítico,etc. mediante el número de Froude (Fº), que relacionalas fuerzas inerciales con las gravitatorias:

Un flujo libre crítico es aquel en el que Fº = 1, nece-sitando una energía específica mínima para el trans-porte de un determinado caudal. Si Fº > 1, el régimenes supercrítico y en él la velocidad es elevada, dismi-nuyendo la altura de lámina, es el caso de flujo sobresuperficies poco rugosas con elevada pendiente. Si Fº< 1, el régimen se denomina subcrítico, y la altura dela lámina de la corriente fluida es considerablementemayor, para ello es necesario que la pendiente delfondo sea escasa y la rugosidad acusada. En generallos regímenes hidráulicos subterráneos son subcríti-cos, salvo cuando se desarrollan canales kársticos yel flujo se acelera pasando a supercrítico.

Conclusiones

El desarrollo de las ecuaciones básicas de mecánicade fluidos supone un recurso interesante y útil para ladefinición de numerosos casos de flujo subterráneo.

Su aplicación requiere un planteamiento de partidageneral que se particulariza con las condiciones decontorno convenientes para cada situación. El ámbitoteórico de aplicación se ha completado con el estudiode un caso real en el que se ha trabajado últimamen-te, los afloramientos salinos por el drenaje del acuífe-ro terciario de la plataforma situada entre los vallesde los ríos Manzanares y Jarama (FormaciónVallecas). En estos casos, el flujo intergranular y ladisolución en la zona de contacto de estratos, de dife-rente material incluso, ha dado paso a corrientes cuyaturbulencia excede del alcance de la ley de Darcy. Sesupone que con el tiempo la red kárstica se desarro-llará dando lugar a nuevos conductos que serán prin-cipalmente axilsimétricos y corrientes entre superfi-cies sólidas a través de fisuras. Los modelosexpuestos constituyen por tanto una vía de estudiode determinados casos reales, si se admiten las dife-rencias existentes entre modelo y caso real. Estasdivergencias son por tanto una dificultad a abordarde manera individual y su resolución definirá la bon-dad del modelo de flujo planteado.

Unidades y nomenclatura

A superficie transversal a la corriente (m2)Fº número de Froude (adimensional)D,d diámetro de conductos (m)h altura de lámina de fluido (mca)Re número de Reynolds (adimensional)u velocidad del flujo libre o forzado en dirección x (m/s)V velocidad media en una sección transversal al flujo

(m/s)γ peso específico (N/m3)μ viscosidad dinámica (kg/m s)ν viscosidad cinemática (m2/s)ρ densidad (kg/m3)i gradiente hidráulico (adimensional)K permeabilidad (m/s)me porosidad eficaz (adimensional)p presión (N/m2)g aceleración de la gravedad (m/s2)

Referencias

Custodio, E. y Llamas, M.R. 1996. Hidrología Subterránea.Omega, Barcelona, 445-463 y 576-591.

Crespo, A. 2006. Mecánica de Fluidos. Thomson. Madrid.263-280.

Rouse, H. 1951. Hidráulica. Dossat, Madrid, 138-200.Sanz, E. 2004. Hidráulica Subterránea Aplicada. Colegio

Oficial de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos,Madrid, 45-66.

Recibido: diciembre 2007Aceptado: abril 2008


70

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