La GravitazioneLa Gravitazione

Modelli di universo

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I protagonisti

• Platone (IV sec. a.C.)– Il cielo, perfetto ed immutabile esige che

i moti delle stelle siano cerchi– Il moto dei pianeti, erranti tra le stelle,

devono essere comunque combinazioni di moti circolari

• Eudosso (IV sec. A.C.)– Modello geocentrico, piuttosto

complicato, completato da Aristotele

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I protagonisti

• Aristarco di Samo (III sec. a.C.)– Modello eliocentrico in grado di

spiegare:• Moto d’insieme delle stelle fisse come moto

apparente• Variazione stagionale dell’altezza del Sole

sull’orizzonte• Moto retrogrado dei pianeti

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I protagonisti

• Tolomeo (II sec. d.C.)– Modello geocentrico perfezionato in

grado di prevedere con accuratezza le posizioni delle stelle e dei pianeti

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I protagonisti• Copernico e la rivoluzione

copernicana (1543)– Modello eliocentrico:

• I pianeti ruotano attorno al Sole in orbite circolari, con diversa velocità; ciò spiega il moto retrogrado dei pianeti

• La Terra ruota, oltre che attorno al Sole, anche attorno ad un proprio asse; ciò spiega il moto delle Stelle fisse.

• Riprende l’ipotesi di Aristarco

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I protagonisti• Tycho Brahe

– Raccolse per circa vent’anni dati riguardanti le posizioni dei pianeti e delle stelle

– Osservò e studiò il moto di una cometa scoprendo che si muoveva in una orbita attorno al Sole

– Osservò una ‘supernova’– Permise a Keplero di dedurre le sue tre

leggi

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I protagonisti

• Keplero– Sui dati di Brahe si accorse di alcune

anomalie nel moto di Marte– Abbandonò l’ipotesi dei moti circolari dei

pianeti– Formulò le sue famose tre leggi

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I protagonisti

• Galileo e il ‘suo’ cannocchiale– Scopre che la Luna ha un aspetto simile

a quello della Terra con valli e montagne– Scopre che Giove possiede dei satelliti

che gli ruotano attorno– Giustifica da un punto di vista ‘fisico’ il

movimento di rotazione della Terra

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I protagonisti

• Newton– Introduce la legge di gravitazione

universale che giustifica le tre leggi di Keplero, spiegando le interazioni tra i corpi celesti

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Keplero

Le tre leggi

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Prima legge di Keplero

• I pianeti si muovono su orbite ellittiche delle quali il Sole occupa uno dei due fuochi

• Conseguenza:– Il pianeta non si trova sempre alla

stessa distanza dal Sole

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Seconda Legge di Keplero

• Le aree descritte dai raggi congiungenti il pianeta al Sole sono proporzionali ai tempi impiegati a descriverle

• Conseguenza:– La velocità di un pianeta nella sua orbita

intorno al Sole non è costante

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Terza Legge di Keplero

• I quadrati dei tempi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori

32

31

22

21

R

R

T

T

3 21R kT

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La Legge di gravitazioneuniversale

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La deduzione della legge di gravitazione

• Ipotesi iniziali– Le leggi della dinamica valgono anche

per i corpi celesti– La forza che obbliga la Luna a ruotare

attorno alla Terra è la stessa che fa cadere i corpi sulla Terra

– L’orbita della Luna è praticamente circolare

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Un po’ di calcoli2

22 3

2

2 2

3 2

2

4 1 (per la III legge di Keplero)

4 4

P PS

P PS PS

P PS SP PPS PS

a RT

a R T RT k

k ka R F m

R R

Risulta quindi una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza

224

SP

PSP

R

mkF

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L’intuizione di Newton

2 22

2

4 se si pone 4

1si ottiene

PSP S

SP

SP S PSP

mF k C k

R

F C mR

Una formula analoga deve valere anche per altri sistemi:

Giove e i suoi pianeti, Terra e Luna,

ognuno con un C diverso

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L’intuizione di Newton

SPPSPSSP mCmCcioèFF

22

1

1

PS

SPPS

SP

PSSPR

mCFR

mCF

Per il 3° principio della dinamica la Terra deve esercitare sul Sole la stessa forza che il Sole esercita sulla Terra

.... Gm

C

m

C

P

P

S

S Costante di gravitazione universale

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La legge di Newton

2

1

SP

PSSPR

mCF

GmCGm

C

m

CSS

P

P

S

S cioè ....

Per cui sostituendo nella formula

Si ottiene:2R

mmGF PS

SP