la gran paradoja en la modelizaciÓn y la elecciÓn en sociedades democrÁticas sobre la importancia...

LA GRAN PARADOJA EN LA MODELIZACIÓN Y LA ELECCIÓN EN SOCIEDADES DEMOCRÁTICAS

Sobre la importancia de los estudios que en la Universidad de Granada se desarrollan sobre

operadores linguísticos

JAVIER MONTEROFacultad de MatemáticasUniversidad Complutense

Madrid

Febrero 20, 2006

Indice• El problema de la toma social de decisiones

• Libertad• Justicia • Rationalidad/Consistencia

• Teoremas de Imposibilidad• Teorema de Arrow • Relevanci matemática y significado en la vida real• Teoremas de posibilidad alternativos

• Consecquencias • Arrow, pluralidad políticas y dictaduras• Black y el esquema derecha/izquierda• Algunos dilemas políticos

• Crítica a los teoremas de imposibilidad• Condiciones • Objetivos• Hipótesis ocultas

• Enfoque difuso• Racionalidad relajada• Libertad relajada• Justicia relajada

• Comentarios finales• El auténtico significado del teorema de Arrow• El verdadero objetivo (elección/ayuda/conocimiento• La revolución Francesa: Libertad, Justicia, Fraternidad

EL PROBLEMA: Libertad, Justicia, Racionalidad

• El problema de la democracia

• Agregación de preferencias

• Preferencias individuales “racionales”

• Preferencias sociales “racionales”

• Ni dictaduras u oligarquías, igualdad

• Libertad individual

EL PROBLEMA: Libertad, Justicia, Racionalidad

Objetivo:

Sistemas de decisión social– Con libertad y racionalidad individuales– Bajo ciertos principios de justicia (igualdad)– Debieran producir preferencias sociales racionales – Siempre!

TEOREMAS DE IMPOSIBILIDAD

Principales hipótesis del Teorema de Arrow (aparentemente):

• Dominio universal– Libertad

• Anonimato– Igualdad

• Independencia de alternativas irrelevantes– Hipótesis de naturaleza matemática

• Neutralidad– No hay interacción individuos/alternativas

• Respuesta no negativa – Mejoras parciales implican mejoras globales

• Soberanía ciudadana – Principio de autonomía

• Unanimidad– Consenso


Teorema de Arrow:

• Las condiciones anteriores (definidas de una forma precisa), son inconsistentes en cuanto tengamos más de dos alternativas y más de dos individuos

• La única manera de asegurar la racionalidad (así definida) de las preferencias del grupo, a partir de la amalgación de preferencias individuales racionales, es la dictadura (de un dictador racional, que para cada uno suele ser uno mismo)


• Racionalidad/Consistencia: – Las preferencias definen órdenes lineales

• Si hacemos hincapié en la racionalidad: – Acabaremos pidiendo un dictador (racional)

• Si hacemos hincapié en la libertad: – Empezarán a aparecer inconsistencias por todos los sitios

• Incompatibilidad:– Racionalidad es incompatible con Justicia y Libertad

• Multitud de teoremas de imposibilidad (see, e.g., Kelly)


Significado del Teorema de Arrow:

• Será extremadamente difícil conseguir al mismo tiempo esas tres características tan deseables

• Libertad, justicia y racionalidad son contradicorias y no se pueden tener juntas

• Versión “Soft” del Teorema de Arrow´s theorem– Formulación práctica del teorema (Zadeh)

• Buscar algún “equilibrio acceptable”, “a la larga” aunque sea (Teoría de Juegos)


Consecuencias del Teorema de Arrow:

• Partido político único– Comunismo, fascismo, corrientes de pensamiento único

• Dos únicos partidos de facto• Cambios legislativos para intentar reducir en la

medida de lo posible el número de partidos• Reglas de asignación acumulativas (D’Hont, p.e.)

o introducción de barreras mínimas

TEOREMAS ALTERNATIVOS DE POSIBILIDAD

• Relajar el concepto de solución social (Sen)

– Concepto más débil de “solución”– Asegurar simplemente la existencia (no vacío) de un

“conjunto de elección”– No exigir la existencia de una “mejor” elección– Un conjunto de “posibles” elecciones– No se resuelve el problema de decisión, pero se acota

TEOREMAS ALTERNATIVOS DE POSIBILIDAD

• Restringir las opciones individuales (Black)– Limitar (sutilmente) la libertad

– Existencia de representaciones “unimodales” de unas alternativas linearmente estructuradas

– “Simpatía” por las alternatives “contiguas”

– Nada de libertad absoluta!

– Expulsar del sistema a los no unimodales (“radicales”)

– Presión social para una representación “lineal” de partidos (izquierda-centro-derecha) para hacer posible el consenso

CONSECUENCIAS DE LOS TEOREMAS DE IMPOSIBILIDAD

• La herencia negativa de Arrow: – La democracia como incoherencia (ni siquiera utopía)– La libertad de la democracia nos trae irracionalidad– La racionalidad de la democracia nos trae esclavitud– Falta de fe en las instituciones para gestionar la sociedad– Equilibrio entre “buenos” dictatores y cierta “anarquía”

• Por qué es “el menos malo de los sistemas”?– La democracia no es un sistema de votación– La democracia es más que la “democracia deliberativa”– Actitudes, respeto, negociación (no regateo)… el camino!

CONSECUENCIAS DE LOS TEOREMAS DE POSIBILIDAD

• Único modelo elección: teorema de Black• Representación unidimensional asumida por la sociedad

• Existencia y simpatía por los partidos “contiguos”

• Transferencia de votos entre partidos

• Cambios internos en los partidos, creación de nuevos partidos

• Existen representaciones con propiedades análogas (circular, p.e.)

• Unimodalidad en representaciones bidimensionales

• Un dilema político actual: el nacionalismo• Bidimensionalidad: dificultades maniobras (aprendizaje)

• Falta de “simpatía”: centrifugación (no transferencia votos)

Black (unidimensional)

• Dos partidos


• Sus votantes se radicalizan o diferencian


• Y los partidos se separan


• Han ido demasiado lejos para los votantes


• Pero los partidos no se dan por enterados


• Así que aparece un nuevo partido


• Sujeto a su vez a la tensión de los votantes


• Así que se desplazan todos


• Pero los votantes piden más


• Y los partidos se acercan más


• Tanto que los votantes no los distinguen


• Y desaparece aquél nuevo partido


• Y vuelta a empezar… (gradualidad “otro”)

Black (bidimensional)

Drama (5 partidos, no Black, si otros)

Drama: binariedad(sin transferencias a “contiguos”)

Drama: binariedad(sin transferencias a “otro”)

Drama: binariedad(sin partido “puente”)

CRÍTICA AL ENFOQUEE DE ARROW

Condiciones formales:

• Dominio universal– Posibilidad de limitaciones “naturales” (tipo Black)

• Anonimato– Problemática (no todos estamos igual de afectados por la decisión)

• Independencia de alternativas irrelevantes– Inaceptable en la vida real (el orden de presentación puede ser decisivo)

• Neutralidad– Falsa en la vida real (dependencia de quién dice qué, en qué momento y a quén)

• Respuesta no negativa– Falsa en ciertos contextos (mucha pequeña “maldad” puede ser “buena”)

• Soberanía ciudadana– Esencial en nuestra cultura (pero cuidado siempre con la formulación)

• Unanimidad– Problemática en ciertos contextos (riesgo de uniformidad, necesidad discrepancia)


– Multitud de formulaciones matemáticas – Pero la negatividad de Arrow parece imponerse– Explicaciones de la gran paradoja:

• El grupo es analizado como si fuese un individuo

(pero una persona no es menos compleja de un mundo)

• Existencia en el planteamiento de hipótesis “ocultas”

(asumidas culturalmente)


Pequeñas preguntas para Arrow:– Debemos rechazar un sistema en cuanto exista la

más mínima posibilidad de violar la justicia? – Debemos rechazar un sistema en cuanto exista la

más mínima posibilidad de violar la libertad? – Debemos rechazar un sistema en cuanto exista la

más mínima posibilidad de irracionalidad? – Son las preferencias/alternativas como supone?– Es la decisión nuestro objetivo?


Grandes preguntas para Arrow:– ¿Qué es y cómo es la justicia? – ¿Qué es y cómo es la libertad? – ¿Qué es y cómo es la racionalidad? – ¿Qué son y cómo son nuestras preferencias?– ¿Qué son y cómo son nuestras alternativas?– ¿Qué es y cómo es una decisión?– ¿Qué es y cómo es el amor? (joke)


Hipótesis “ocultas” en Arrow:– Alternativas, preferencias, justicia, libertad, racionalidad,

consenso… son conceptos nítidos en Arrow (SI/NO)

– Todos esos conceptos están sujetos a “gradualidad”

– La gran hipótesis “no declarada” de Arrow:• La lógica Aristotélica (binaria)

• Todavía la lógica estándar en las Ciencias “duras”

– La modelización nítida produce resultados limitados:• Simplifica una realidad compleja

• Cada resultado es “bueno” o es “malo”

• La estadística tradicional, solución para “grandes números”

UN ENFOQUE DIFUSO

• Preferencias nítidas versus difusas:– Modelización clásica (nítida):

• Es la alternativa “x” mejor que la alternativa “y”?

• Únicas respuestas posibles: SI/NO

(pésimo punto de partida para una negociación)

– Teoría de Conjuntos Difusos (Zadeh): • En qué medida es la alternativa “x” mejor que “y”?

• Lenguaje natural (“Bastante”, “Poco”, ...)

UN ENFOQUE DIFUSO

Teorema de Fung y Fu ( y análogos):

Si todas las preferencias son difusas y asumimos que la agregación se realiza con un operador

- continuo (estabilidad funcional)- idempotente (unanimidad)- asociativo (aparente, pero ver Cutello y Montero)- monótono (respuesta no negativa)

entonces sólo existen tres tipos de reglas de agregación:• Pesimista (“mínimo”)• Optimista (“máximo”)• Mixtas (“mínimo” o “máximo” en función de una frontera)

UN ENFOQUE DIFUSO

Introducen gradualidad en preferencias

Pero por qué no también

• Gradualidad en la Libertad?

• Gradualidad en la Justicia?

• Gradualidad en la Racionalidad?

ENFOQUES DIFUSOS ALTERNATIVOS

• Un grupo no debe ser tratado como un individuo• ¿Asociatividad?: regla basada en un único operador

– Todas las opiniones son tratadas igual (sea de 1 persona o de 100)– Critica fundamental a muchos enfoques difusos– Clarificar qué es una regla de agregación (recursividad, p.e.)– La “lógica” parece variable (la regla es la misma)

• Teoremas alternativos de posibilidad:– Maximizar el “poder” mínimo de cada individuo– Medidas para la Racionalidad (Libertad o Justicia– Modelos mixtos con incertidumbres difusa y probabilista– Reglas satisfacientes o que posibiliten la negociación, etc.

ENFOQUES DIFUSOS ALTERNATIVOS

• Sí que podemos encontrar soluciones– “No demasiado lejos” de la Libertad y de la Justicia– “No demasiado lejos” de la Racionalidad (o Consistencia)

• Sí que tiene sentido la búsqueda de soluciones “no demasiado malas” (siempre en función del contexto)

• Evolución/negociación de requerimientos • Dificultades acrecentadas y específicas, por supuesto• Posibilidad de introducir restricciones tipo Black:

– “Unimodalidad” en las preferencias difusas

COMENTARIOS FINALES

• El problema clave casi siempre: hipótesis “ocultas”– No se discuten y no se hace hincapíe en ellas

• Significado trivial (nítido) del teorema de Arrow:– Nada es perfecto en este mundo

• Dificultades profundas en el enfoque de Arrow:– Concepción binaria de cada pieza del modelo– Imposibilidad de negociación con alternativas cerradas (sólo regateo)– Sin espacio para búsqueda de soluciones creativas (Roy, Shafer)

• Importancia de la imprecisión difusa en el lenguaje:– Una descripción difusa es con frecuencia la mejor solución– Los detalles se van cerrando (o abriendo) durante una negociación– Interés de conexiones “aleatorias/caóticas” sugerentes (evolución especies: el óptimo global no se alcanza con óptimos globales)

COMENTARIOS FINALES

• El mundo definitivamente no es binario (ni siquiera de “grises”) • Sino lleno de colores, intensidades, brillos, tonalidades…(y no todo está en el mundo “visible”: tenemos sentimientos!)

– Enfoques multicriterio difusos– Problemas de representación de la complejidad– Dificultades para reconocer, formalizar y representar factores– Importancia del desarrollo de técnicas de representación

• ¿Modelos para la “Toma de Decisiones”?– Más hincapié en comprensión de la información (modelización)– Información, Conocimiento, Decisión– Interés en la gestión del proceso de decisión: negociación – Consistencia del proceso (las elecciones son arbitrarias o incontrolables)– El cerebro humano localiza diferenciadamente “análisis” de “elección”

COMENTARIOS FINALES

COMENTARIOS FINALES

Libertad, Justicia, Racionalidad(Arrow)

Libertad, Justicia, Fraternidad(Revolución francesa)

Modelos de “soft computing” con espacio para la FRATERNIDAD

Negociación con alternativas “abiertas”(Variables linguísticas, p.e.)

GRACIAS!

REFERENCIAS

• A. Amo, J. Montero, E. Molina: Representation of consistent recursive rules. – Eur. J. Oper. Res. 130, 29-53 (2001).

• K.J. Arrow: Social Choice and Individual Values. – Wiley, New York (1951, 1964).

• D. Black: The Theory of Commitees and Elections. – Cambridge U.P., Cambridge (1958).

• L.W. Fung, K.S. Fu: An axiomatic approach to rational decision making in a fuzzy environment. – In L.A. Zadeh, K.S. Fu, K. Tanaka, M. Shimura, eds.: Fuzzy Sets and their Applications to

Cognitive and Decision Processes. Academic Press, New York (1975). • J.S. Kelly: Arrow Impossibility Theorems.

– Academic Press, New York (1975).• A.K. Sen: Collective Choice and Social Welfare.

– Holden-Day, San Francisco (1970).

REFERENCIAS

• J.P. Brans: The DGS Prometee procedure. – Journal of Decision Systems 7:283-307 (1998).

• V. Cutello, J. Montero: A characterization of rational amalgamation operations.– Int.J. App. Reasoning 8, 325-344 (1993).

• V. Cutello, J. Montero: Fuzzy rationality measures. – Fuzzy Sets and Systems 62, 39-44 (1994).

• V. Cutello, J. Montero: Hierachies of aggregation operators. – Int.J. Intelligent Systems 9, 1025-1045 (1994).

• V. Cutello y J. Montero: Recursive connective rules.– Int. J. Intelligent Systems 14, 3-20 (1999).

• J. Fodor, M. Roubens: Fuzzy Preference Modelling and Multicriteria Decision Support. – (Kluwer, 1994)

• J.G. Pachón et al.: Searching for the dimension of valued preference relations. – Int.J. App. Reasoning 33, 133-157 (2003).

REFERENCIAS

• D. Gómez, J. Montero: A discussion on aggregation operators.– Kybernetika 40, 107-120 (2004).

• J. Montero: A note on Fung-Fu’s theorem. – Fuzzy Sets and Systems 13, 259-269 (1985).

• J. Montero, J. Tejada: Some problems on the definition of fuzzy preference relations. – Fuzzy Sets and Systems 20, 45-53 (1986).

• J. Montero: Arrow’s theorem under fuzzy rationality. – Behavioral Science 32, 267-273 (1987).

• J. Montero: Social welfare functions in a fuzzy environment. – Kybernetes 16, 241-245 (1987).

• J. Montero: Aggregation of fuzzy opinions in a non-homogeneous group. – Fuzzy Sets and Systems 25, 15-20 (1988).

REFERENCIAS

• J. Montero: Single-peakedness in weigthed aggregation of fuzzy opinions in a fuzzy group. – In J. Kacprzyk, M. Fedrizzi, eds.: Multiperson Decision Making Using Fuzzy Sets and

Posibility Theory, pp. 163-171 (Kluwer, 1990).• J. Montero et al.: A general model for deriving preference structures from data.

– Eur.J. Oper. Res. 98, 98-110 (1997).• J. Montero, M. Mendel: Crisp Acts, Fuzzy Decisions.

– In S. Barro et al., Eds.: Advances in Fuzzy Logic, pp. 219-238 (Universidad de Santiago de Compostela, 1998).

• G. Owen: Game Theory – (Academic Press, 1982)

• B. Roy: Decision sciences or decision aid sciences. – European Journal of Operational Research 66:184-203 (1993).

• G. Shaffer: Savage revisited. – Statistical Science 1:463-501 (1986).

• L.A. Zadeh: Fuzzy Sets. – Information and Control 8:338-353 (1965).

la gran paradoja en la modelizaciÓn y la elecciÓn en sociedades democrÁticas sobre la importancia...

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