la géométrie autrement le théorème de pythagore pythagore mathématicien grec vers 500 avant jc...
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La Géométrie Autrement
Le théorème de Pythagore
Pythagore mathématicien grec vers 500 avant JC
représentation à la cathédrale de
Chartres
Vu par Raphael
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La Géométrie Autrement
Le théorème de Pythagore
vocabulairedémonstration
exemples :réciproque
ex 1 ex 2 ex 3
exemples r :ex 1r ex 2r ex 3r
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La Géométrie Autrement
A
C
B
Vocabulaire
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
[BC] est l’ du triangle ABC
hypoténuse
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La Géométrie Autrement
On a quatre triangles rectangles identiquesa
bc a
bc a
bc a
bc
Démonstration
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La Géométrie Autrement
On dispose les quatre triangles rectangles
dans un carré
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
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La Géométrie Autrement On obtient un nouveau carré
JOLI
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
J
O
L
I
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La Géométrie Autrement
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
J
O
L
I
L ’aire de JOLI est :
c²
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La Géométrie Autrement
dans le même carré d ’une autre façon .
On dispose ensuite les quatre triangles rectangles
a
b
a
b
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La Géométrie Autrement
a
b
a
b
On obtient deux nouveaux carrés :
JADE
JA
D OCREE O
CR
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La Géométrie Autrement
a
b
a
b
JA
D E O
CR
L ’aire de OCRE est :
a²
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La Géométrie Autrement
a
b
a
b
JA
D E O
CR
L ’aire de JADE est :
b²
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La Géométrie Autrement
c
J
O
L
I a
b
a
b
JA
D E O
CR
L ’aire de JOLI est égale àla somme des aires de OCRE et de JADE
c²a²
b²+
a
bc
a
b
c
a
b
c
a
bc
a
b
a
b
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La Géométrie Autrement
c2 = a2 + b2
Cette égalité est connue depuis l ’antiquité sous le nom de :
théorème de Pythagore
a
bc
On peut donc écrire pour le triangle
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La Géométrie Autrement
Le théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés .
hypoténuse
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La Géométrie Autrement
Le théorème de Pythagore un autre énoncé
A
C
B
Si ABC est un triangle rectangle A alors BC² = AB² + AC²
! Le théorème de Pythagore ne s’appliquequ’aux triangles rectangles.
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La Géométrie Autrement
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm.Calculer BC B
A C
3
4
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
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La Géométrie Autrement
On applique le théorème de Pythagore :On sait que ABC est un triangle rectangle en A donc BC² = CA² + AB² (on écrit la propriété avec des lettres)
BC² = 16 + 9 (on calcule)
BC² = 4² + 3²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3cm et AC = 4cm.Calculer BC B
A C
3
4
1) On fait un dessin
2)
BC = 5 cm (5 > 4, [BC)] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)
BC² = 25 (on écrit la valeur exacte de BC) BC = 25 (25 est le carré de 5)
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La Géométrie Autrement
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm.Calculer EF E
D F
5
6
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La Géométrie Autrement
DEF est un triangle rectangle en D tel que DE = 5cm et DF = 6cm.Calculer EF E
D F
5
6
1) On fait un dessin
2) On applique le théorème de Pythagore :On sait que DEF est un triangle rectangle en D donc EF² = ED² + DF² (on écrit la propriété avec des lettres)
EF² = 25 + 36 (on calcule)
EF² = 5² + 6²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
EF 7,8 cm (7,8 > 6, [EF] est l’hypoténuse, c’est donc le plus grand côté, le résultat est vraisemblable)
~~
EF² = 61 (on écrit la valeur exacte de BC) EF = 61 (61 est le carré du nombre qui s’écrit 61 7,8)~~
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La Géométrie Autrement
On applique le théorème de Pythagore :On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc AC² = AB² + BC²
Ex1 ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 8cm et BC = 6cm.Calculer AC A
B C
8
6
AC² = 64 + 36AC² = 8² + 6²
AC² = 100AC = 100AC = 10 cm
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La Géométrie Autrement
1) On fait un dessin
On a un triangle rectangle, on connaît 2 longueurs, on cherche la 3ème, on utilise donc le théorème de Pythagore
2)
GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm.Calculer IH G
I H
23
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La Géométrie Autrement
On applique le théorème de Pythagore :On sait que GHI est un triangle rectangle en I donc GH² = GI² + IH² (on écrit la propriété avec des lettres)
1) On fait un dessin2)
9 = 4 + IH² (on transforme l’égalité pour isoler IH²)
3² = 2² + IH²(on remplace les lettres par les longueurs connues)
IH 2,2 cm (2,2 < 3, [IH] est l’un des côtés de l’angle droit, il est donc plus petit que l’hypoténuse, le résultat est vraisemblable)
~~
IH² = 9 - 4 (pour trouver IH² il faut soustraire 9 et 4 )
GHI est un triangle rectangle en I tel que GI = 2cm et GH = 3cm.Calculer IH
G
I H
23
IH² = 5 IH = 5 (5 est le carré du nombre qui s’écrit 5 2,2)~~
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La Géométrie Autrement
On applique le théorème de Pythagore :On sait que STU est un triangle rectangle en T donc SU² = ST² + TU²
36 = 25 + TU² 6² = 5² + TU²
TU 3,3 cm ~~
TU² = 36 - 25
EX 2.STU est un triangle rectangle en T tel que ST = 5cm et SU = 6cm.Calculer TU
S
T U
56
TU² = 11 TU = 11
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La Géométrie Autrement
à suivre …
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La Géométrie Autrement
La réciproque du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté.
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La Géométrie Autrement
La réciproque du théorème de Pythagore
un autre énoncé
Si, dans un triangle ABC on a BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.
! à la présentation des calculs
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La Géométrie Autrement
Le triangle ABC tel que AB=75m, BC=45m et AC=60m est-il un triangle rectangle ?
1) On repère le côté le plus long: c’est [AB]
2) On calcule le carré de la longueur de [AB]
3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
4) On constate l’égalité :
5) On cite la propriété appliquée pour conclure :
AB² = 75² = 5 625
BC² + AC² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625
AB² = BC² + AC²
d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C.
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La Géométrie Autrement
Le triangle DEF tel que DE=11m, EF=15m et DF=9m est-il un triangle rectangle ?
1) On repère le côté le plus long: c’est [EF]
2) On calcule le carré de la longueur de [EF]
3) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
4) On constate qu’il n’y a pas égalité :
5) On peut affirmer que :
EF² = 15² = 225
DE² + DF² = 11² + 9² = 121 + 81
= 202
EF² = DE² + DF²
le triangle ABC n’est pas un triangle rectangle.
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La Géométrie Autrement
2) On repère le côté le plus long: c’est [EL]
3) On calcule le carré de la longueur de [EL]
4) On calcule la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés
5) On constate l’égalité :
EL² = 8,5² = 72,25
SE² + SL² = 4² + 7,5² = 16 + 56,25
= 72,25EL² = SE² + SL²
4cm
8,5cm
7,5cm
S
OL E
A-t-on (SE) (SL) ?┴
1) On précise le triangle dans lequel on travaille :Dans le triangle SEL, SE=4, SL=7,5 et EL=8,5.
6) On cite la propriété appliquée pour conclure :d’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle SEL est rectangle en S, alors (SE) (SL) .┴
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La Géométrie Autrement
fin