la bottega del matematico

La Bottega del Matematico:bilancio di un’esperienza

Un’iniziativa di avvicinamento e orientamento

alla Matematica organizzata dalla

Sovrintendenza Scolastica, in collaborazione

con il Dipartimento di Matematica della Facoltà

di Scienze dell’Università di Trento.

“Non c’è nulla che colpisca più di questo fatto:via via che la Matematica si elevava e appartavanelle regioni più alte del pensiero astratto,tornava poi a terracome uno strumento sempre più importanteper l’analisi dei fatti concreti.”

Alfred N.Whitehead, La scienza e il mondo moderno.

Autonome Provinz Bozen – Südtirol -Provincia Autonoma di Bolzano-Alto Adige Hauptschulamt - Sovrintendenza Scolastica

La Bottega del Matematico: bilancio di un’esperienza

supervisioneIspettore Paolo Lorenzi, Sovrintendenza Scolastica

a cura diLaura Bonora, Intendenza Scolastica Italiana

hanno collaboratoProf. Stefano Bonaccorsi, Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze, Università di Trento;Prof. Domenico Luminati, Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze, Università di Trento;Prof. Andrea Pugliese, Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze, Università di Trento;Prof. Marco Sabatini, Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze, Università di Trento;Prof. Italo Tamanini, Dipartimento di Matematica, Facoltà di Scienze, Università di Trento.

Prof. Piergiorgio Cemin, Liceo Pedagogico Artistico “Pascoli” - Liceo Scientifico Salesiano, Bolzano;Prof.ssa Paola Cerrocchi, Liceo Scientifico “Torricelli”, Bolzano;Prof. Sergio Forti, Istituto Tecnico per Geometri “Delai”, Bolzano;Prof. Diego Gottardi, Liceo Scientifico “Torricelli”, Bolzano;Prof.ssa Renata Maffetti, Istituto Tecnico Industriale “Galilei”, Bolzano.

Dott.ssa Laura Buonerba, laureata in matematica, frequentante della SSIS di Rovereto;Dott. Paolo Caresia, laureato in matematica, frequentante della SSIS di Rovereto.

Provincia Autonoma di BolzanoIntendenza Scolastica ItalianaUfficio Processi Educativi - 2006Stampa: Promotion snc - Bolzano

Nel presentare questo quaderno che documenta,in sintesi, “La Bottega del Matematico”desideriamo mettere in evidenza in particolareun ambito disciplinare e soffermarci su tre parolechiave che caratterizzano l’esperienza:eccellenza, condivisione, autorevolezza.

L’ambito disciplinare delle Scienze e, inparticolare, della Matematica, quale ambientedi studio e sviluppo privilegiato delleproblematiche affrontate nella “Bottega”,costituisce, anche per la scuola, luogo dicostruzione di competenze fondamentali per ilcittadino e fondanti la costruzione del sapere.

“La Bottega del Matematico”, in particolare, èun’offerta per gli studenti con profitto eccellentema sarebbe riduttivo se la considerassimo soloda questo punto di vista: essa è e dovrà continuaread essere una testimonianza dell’intreccioprofondo e fruttuoso tra la scuola per tutti e lascuola per ciascuno, nella consapevolezza chel’eccellenza comporta anche un elevato grado diresponsabilità, che va riconosciuto e condiviso.Sarà dall’ampia condivisione dell’esperienzadella “Bottega”, che questo quaderno vuolepromuovere sia a livello delle scuole siadell’Università, che potranno nascere ulterioriproposte per l’eccellenza e per l’apprendimento-insegnamento della Matematica. Se l’eccellenzachiama la condivisione, così ambedue poggianosull’autorevolezza delle persone che hannovissuto l’esperienza: siano loro docenti o studenti.Dalle pagine che presentiamo si potrannoapprezzare diverse sfaccettature di autorevolezza,che non si limitano alla disciplina Matematicae che desideriamo portare ad esempio per lacostruzione di situazioni di apprendimento e diformazione realmente efficaci.

La Vicepresidente della Provincia,Ass. Luisa Gnecchi

Il Sovrintendente Scolastico,Prof.ssa Bruna Visintin Rauzi

La Bottega del Matematico Presentazione

Presentazione

La pervasività della matematica nella culturascientifica occidentale e nelle sue applicazioniè uno dei tratti caratteristici della nostra società.Il suo essere strumento concettuale perl'interpretazione del mondo naturale e per lacodificazione della tecnica è stato chiaro sin daitempi di Talete e Platone, ma forse mai comeoggi ne viene fatto un così grande utilizzo.

Di conseguenza e di pari passo si moltiplicanole questioni a cui la matematica deve rispondere,alcune di queste ottengono risposta ed importantiapplicazioni, altre rimangono aperte erappresentano sfide ambiziose per tantiricercatori.

Il modo di procedere della ricerca matematicaha delle caratteristiche che sono rimaste immutatenei secoli e che sono comuni a tutte le grandiscuole; tra esse la caratteristica di "studio dabottega", ovvero la presenza di un maestro cheinsegna oralmente ai suoi allievi, li impegna inperiodi di apprendistato alla ricerca di soluzionio ri-soluzioni di problemi, li sottopone aconfronti-scontri di idee e tecniche.

Pertanto, l'esperienza di Salorno, proseguendoin questa direzione grazie alla fattivacollaborazione tra studenti e docenti delle scuoledella provincia di Bolzano e docenti dimatematica della facoltà di scienze di Trento,costituisce senz'altro un ottimo modo peraccostarsi alla matematica e alle sue grandiquestioni aperte.

Il Preside della facoltà di ScienzeLibera Università di TrentoProf. Marco Andreatta

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La Bottega del Matematico Premessa

La “Bottega del Matematico” nasce nel 2003dall’esigenza fortemente sentita nel personaledella scuola di offrire delle proposte perl’eccellenza scolastica e, al contempo,sperimentare nuove forme di approccio alladidattica della matematica e alla formazione deidocenti della disciplina.

La scelta del titolo dell’iniziativa mette in lucela metodologia e l’ambiente che si desideranoproporre: la bottega, sullo stile di quelle artigianedel 1500.

A distanza di quattro anni dalla prima edizionedella “Bottega del Matematico” abbiamodesiderato raccogliere anche su carta, in unquaderno, le ricerche, i pensieri, i problemi enaturalmente anche i ricordi delle giornate passateinsieme a “fare matematica”. Abbiamo decisoper il formato di un quaderno perchè ci sembrapiù coerente con l’ambiente di bottega e perchèpossa presentarsi effettivamente come unmateriale aperto di, lavoro, quale questocontributo intende essere. Desideriamo, infatti,che in queste pagine trovino confronto gliinsegnanti, gli studenti e spunto tutti coloro chehanno a cuore l’apprendimento della Matematica.

Con lo sguardo rivolto ai possibili lettori, moltidi loro coautori, si sono raccolti i temi dellediverse sessioni di “Bottega” divisi per annata eper gruppo. In ciascuna sezione dedicata alsingolo gruppo si possono trovare: la descrizionedell’argomento, ricavata generalmente da untesto redatto dal responsabile scientifico, alcunicommenti del responsabile scientifico, del tutorscolastico e degli studenti, nei quali, ciascunodal proprio punto di vista, hanno messo a fuocol’esperienza.

Alcuni temi si ripetono negli anni quindi non siè riportata pari pari la trattazione teorica ma siè preferito optare per un commento eventualmentearricchito da novità metodologiche. É il caso

Un quaderno di Bottega

della teoria dei massimi e minimi, dei nodi edella probabilità che sono state riproposte neidiversi anni ma che, si noterà, sono caratterizzateda approcci anche sostanzialmente diversi.Rendono più vivida e ricca la descrizione dellegiornate di “Bottega del Matematico” le attenteosservazioni di due aspiranti insegnanti, iscrittia l la Scuola di Special izzazione perl’Insegnamento Secondario che, con toni ancheappassionati, hanno tratteggiato gli aspetti positivie negativi dell’esperienza in riferimento alla suatrasferibilità nella consueta prassi scolastica. Unabreve sintesi della valutazione dell’iniziativa daparte di chi l’ha vissuta ed una prospettiva peril futuro, concludono il quaderno che vuole essereuno strumento “in progress” per offrire idee emateriale ai docenti di Matematica nella ricercadi situazioni favorevoli all’apprendimentoefficace della disciplina.

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Paolo Lorenzi

La Bottega del Matematico:

imparare il mestiere del ricercatorePaolo Lorenzi

La Bottega del Matematico Progetto

Lo studio della matematica si sviluppa, nellascuola superiore, con una grande disponibilitàdi tempo e attenzione da parte dei docenti ma siriconosce che l’apprendimento di questadisciplina non è pari alle richieste di utilizzodelle competenze matematiche nella vita reale.Si ipotizza quindi che l’approccio scolastico allamatematica richieda alcuni approfondimentianche da un punto di vista metodologico intermini di ricerca di nuove e più efficaci strategiedi approccio.

In misura determinante si riscontra il bisogno diofferte culturali e disciplinari in riferimento aglistudenti eccellenti, quegli studenti che spesso,per dinamiche di classe, per scarsa disponibilità

di tempo e anche per un giustificato senso disoddisfazione, avendo loro raggiunto già buonilivelli di apprendimento disciplinare, rischianodi non ricevere nell’ambiente scolastico ulterioristimoli e sollecitazioni al miglioramento.Da queste considerazioni e dal desiderio diesplorare nuove forme di coinvolgimento deidocenti nasce la proposta di una settimana dedicataalla risoluzione di problemi aperti utilizzando lamatematica e ipotesi avanzate di modellizzazione.

Obiettivi� Orientare gli studenti verso un “fare matematica”che unisca gli aspetti teorici a quelli pratici,prospettando, nel concreto di un’esperienza distudio, il lavoro di ricerca del matematico;

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� Incentivare l’eccellenza scolastica;� Far riconoscere alcuni aspetti formativi

della matematica;� Esplorare nuove ipotesi di formazione per

i docenti di matematica.

A chi è rivoltoIl progetto è rivolto a studenti con un profittoscolastico eccellente, sia nella disciplinamatematica, sia nelle altre discipline. Vengonoselezionati circa 20 studenti, in relazione alprofitto, ed è titolo preferenziale la conoscenzascolastica della lingua inglese. La partecipazionealla “Bottega del Matematico” costituisce per glistudenti credito formativo da spendere all’Esamedi Stato.

TempiIl periodo di svolgimento del progetto ègeneralmente tra marzo e aprile ed è precedutoda alcuni incontri tra docenti tutor e docentiuniversitari per l’elaborazione dei problemi apertie la programmazione delle attività.

Le giornate di lavoro sono articolate con un orarioche va dalle ore 9,00 alle 12,30 e dalle 14,00 alleore 18,00.

Il dopo cena è a disposizione dei singoli gruppiche potranno utilizzarlo anche per continuare ilavori o per partecipare ad iniziative promossedai tutors.Il pomeriggio dell’ultimo giorno di “Bottega” isingoli gruppi presentano i loro lavori alla presenzadelle autorità scolastiche locali, del preside dellaFacoltà di Scienze di Trento e di alcuni docenti

di matematica e fisica della provincia chedesiderano intervenire.I lavori prodotti dai gruppi sono pubblicati sulportale delle scuole www.emscuola.org , doveè anche attivo, nel periodo di “Bottega”, un diariodi bordo on line aggiornato quotidianamente daipartecipanti ed una interessante (oltre chedivertente) rassegna fotografica.

DescrizioneNelle quattro giornate di svolgimento del progettovengono trattati, in tre gruppi diversi, treargomenti matematici elaborati dall’èquipescientifica dell’Università di Trento. Gli studentisono seguiti da tre docenti della scuola superiorecon funzione di tutor e da tre docentidell’Università di Trento con funzioni di stimolo,orientamento e consulenza sulle strategie dirisoluzione applicabili ai diversi contestiproblematici.Il progetto è residenziale per tutti i partecipantie quindi docenti e studenti trascorrono le quattrogiornate in una struttura ricettiva idonea sia alpernottamento sia al lavoro di gruppo, messa adisposizione dall’Amministrazione provinciale.Ogni gruppo ha a disposizione due o tre computerportatili ed è garantito l’accesso ad Internet.In particolare:I docenti universitari: hanno funzioni dicoordinamento e di consulenza scientifica. Nondanno soluzioni ai problemi ma guidano, arichiesta, gli studenti verso l’ipotesi risolutivada loro prospettata fornendo, se necessario,indicazioni bibliografiche e brevi consulenzeteoriche riguardanti gli strumenti matematiciutilizzati; ma soprattutto il loro compito è dichiarire, ove necessario, i termini del problemaaperto e le attese in ordine alla sua risoluzione.

I docenti di scuola superiore: sono scelti tra idocenti di matematica in servizio presso le scuolesuperiori della provincia che hanno dato la lorodisponibilità a far parte del progetto. Il lorocompito è di favorire le dinamiche collaborativedi gruppo, di regolare la comunicazione tra igruppi e nella sessione plenaria, di supportare idocenti universitari affinchè il lavoro diconsulenza sia più efficace. La loro funzione èquindi di tutor di processo. Nemmeno loro

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possono intervenire direttamente nella risoluzionedei problemi.

Gli studenti: proposti dai loro docenti, sonoscelti tra i ragazzi con profitto eccellente, pariad una media almeno dell’otto, con spiccatointeresse per le discipline scientifiche e per lamatematica in particolare. I gruppi vengonocostituiti tenendo conto della provenienza diciascuno studente in modo da non avere, neilimiti del possibile, nello stesso gruppo, studentidella stessa classe. Il progetto è assolutamentegratuito per tutti gli studenti invitati. Se loritengono opportuno, i partecipanti possonoportarsi i materiali di studio personali comemanuali, calcolatrice, ecc. Al termine dellasettimana di “Bottega” gli studenti possonopresentare l’attestato di partecipazione alla propriascuola perchè venga loro riconosciuto un creditoformativo per l’Esame di Stato e, se lo ritengonoopportuno, presentare la questione matematicaquale argomento a scelta del candidato nelcolloquio orale dello stesso Esame.

La sede: La “Bottega del Matematico” si svolgepresso la sede dello Jugendheim “Haus Noldin”di Salorno, in quanto la struttura ha sufficientericettività, è attrezzata per ospitare sedute dilavoro anche in gruppo ed è sufficientementeperiferica pur essendo, al contempo, facilmenteraggiungibile dalle vicine città.

Valutazione e ricadutaLa valutazione del progetto è effettuata in basealle risposte dei ragazzi monitorate nelle giornatedi lavoro ed in base ai dati di osservazione che


ciascun docente coinvolto avrà cura diraccogliere analiticamente sia in ordine allapartecipazione al lavoro, sia in ordine allapreparazione degli studenti, sia ancora in ordineal loro entusiasmo nel partecipare ad attivitàcollaborative. Tale valutazione è un utile edimprescindibile elemento per la progettazionedi ulteriori proposte nella stessa direzione overso nuove direttrici da realizzare nei prossimianni.

Le osservazioni dei docenti di classe dei singolialunni frequentanti la “Bottega del Matematico”e dei loro Dirigenti Scolastici sono elementipreziosi per orientare in maniera più mirata lefuture proposte.

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La Bottega del Matematico Edizione 2003 - Gruppo A

Problemi di minimo nello

studio delle bolle di sapone

Responsabile scientifico: Prof. Italo TamaniniDocente tutor: Prof. Sergio FortiComponenti del gruppo: Stefano Boldrini (Liceo scientifico “Torricelli”),

Marco Ferrante (ITI “Galilei”),Massimo Gaspari (Liceo scientifico “Torricelli”),Luca Giulini (Liceo Scientifico Tecnologico “Galilei”),Giorgia Lamberti (Liceo scientifico “Torricelli”),Stefano Pernici (Liceo Classico “Carducci”).

ArgomentoI problemi di ottimizzazione (del genere “minimocosto” o “massima utilità”) sono ampiamentediffusi, sia nella pratica quotidiana sia nei settoridi punta della ricerca scientifica. I fenomeni ditensione superficiale costituiscono in qualchemodo un paradigma in questo contesto: le bolledi sapone e le lamine saponose, tese su telaimetallici o confinate fra lastre e pioli, dannoluogo a configurazioni d’equilibrio stabile che,dal punto di vista della modellizzazionematematica, corrispondono appunto a soluzionidi problemi di minimo (percorsi di lunghezzaminima, superfici di area minima).

PrerequisitiGeometria: curve e superfici, lunghezza ed area,poliedri e solidi platonici, simmetrie edeformazioni;

A n a l i s i m a t e m a t i c a eTrigonometria: funzioni,derivate, condizioni di minimo;

Concetti meno noti (curvatura,formula di Eulero e altri aspettitopologici) verranno introdottied adeguatamente discussi incorso d'opera.

Obiettivi• Sviluppare la consapevolezza

dell'approccio scientifico nella

sperimentazione e nella riflessione sui fenomeniosservati.

• Enfatizzare l'importanza del linguaggio, deimetodi e dei processi della matematica per laloro descrizione e comprensione.

• Perfezionare strumenti analitici già possedutied introdurne di nuovi per lo studio e larisoluzione di questioni poste dall'osservazionedi fatti concreti.

MetodologiaLa metodologia di lavoro prevista per il gruppoconsisteva nel proporre esperimenti con le laminedi sapone, grazie alla strumentazione fornita dallaboratorio di didattica dell’università di Trento.I sistemi risultanti sarebbero quindi stati indagatiper scoprirne le caratteristiche e gli invarianti

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(simmetrie, curvatura, struttura delle intersezioni).Attraverso concetti di natura chimico-fisica,quindi, i ragazzi avrebbero costruito modelliastratti dei fenomeni osservati e ne avrebberodiscussa la rilevanza e la flessibilità.

Naturalmente la metodologia di lavoro prevedevala presenza di almeno un docente-tutore,possibilmente esperto di Cabri o simili peresplorazioni geometriche al computer. Inparticolare, il lavoro dei tutor doveva esserefinalizzato a sollecitare descrizioni efficaci delleconfigurazioni ottenute, in termini di grafi,superfici lisce, sistemi con singolarità ed aproporre problemi ispirati dagli esperimenti oad essi collegati.

AttivitàNelle varie sessioni di lavoro sono stati presentatiproblemi diversi, iniziando da semplici questionidi minimo di tipo geometrico, discusse insiemenei loro aspetti più intuitivi e presto accompagnatedall’esecuzione di esperimenti con le lamine di

sapone. All’inizio è stato proposto un gioco dicostruzione di figure con moduli quadrati (usandopenna e fogli quadrettati), da accostare lato controlato, tutte della stessa area ma di forma diversa.Si sono osservate semplici proprietà del lorocontorno, trovando le forme di perimetro minimoe massimo. Si è quindi cercato di enunciare unaversione generale del problema, introducendo ilformalismo discreto della teoria dei grafi, perpoi passare al problema isoperimetrico nel piano(prima fra i rettangoli ed i poligoni di n lati, poiin generale) e nello spazio. Nei casi più facili sisono tentate e talvolta portate a termine le

dimostrazioni di alcune notevoli proprietà,utilizzando conoscenze pregresse (tipo il teoremadi Erone) o approntando nuovi strumenti (adesempio, alcune disuguaglianze fra medie). Leforme circolari e sferiche, tipiche delle soluzionidi tali problemi, sono state osservatesperimentalmente nelle bolle libere o confinatefra lastre parallele (si è usato il materialeappositamente realizzato dal Laboratorio di ricercasui materiali e i metodi per la didattica e ladivulgazione della matematica del Dipartimentodi Matematica dell’Università di Trento). Conopportuni esperimenti si è discussa la “proprietàdi area minima” delle lamine saponose, che negoverna il comportamento.

Si è quindi passati a considerare le “reti di minimalunghezza”, che devono connettere nel modo piùbreve possibile un insieme di punti dati nel piano.La questione è stata analizzata in dettaglio nelcaso di tre e di quattro punti, anche con strumentianalitici per confermare o rigettare ipotesisuggerite dall’intuizione. Le caratteristichefondamentali delle soluzioni (incroci a tre viecon angoli di 120°) sono state ritrovate nei sistemilaminari ottenuti con adeguati strumenti.Riflettendo sulla particolare forma “a sella” dellelamine saponose sospese in un contorno metallicosono stati introdotti, sempre in situazioni“concrete” e basandosi sull’intuizione geometrica,alcuni concetti molto importanti di geometria(curvatura) e di topologia (distinzione fraconfigurazioni diverse che si presentano con ilmedesimo contorno). In un caso (catenoide) si ècercato di verificare analiticamente che la“soluzione congetturata” (il cilindro) era solo

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apparente.Le riflessioni conclusive hanno riguardato isistemi laminari più complessi, che presentanonuove intersezioni di tipo molto particolare: dalle

osservazioni sperimentali si è estratto il modellogeometrico, sul quale sono state effettuate misureangolari con l’uso della trigonometria.

Hanno detto...

... il responsabile scientificoEsperienza complessiva decisamente positiva. É stato veramente piacevole confrontarsi con gli studentidel gruppo, tutti molto motivati e tutti di ottimo livello. Il ritmo di lavoro è stato piuttosto intenso, masostenibile. L’ambiente era decisamente favorevole e confortevole. Abbiamo “giocato”, discusso elavorato molto, forse con poco utilizzo del computer puntando invece ad esperimenti e costruzionimanuali.

... il tutorLa "Bottega del matematico 2003" si è rivelata una iniziativaampiamente riuscita e ben organizzata.Ha soddisfatto le mie attese sul clima di lavoro e sullecapacità dei singoli studenti. Era da tempo che non mitrovavo a contatto con un gruppo fortemente motivato,capace di sviscerare con notevole intuizione problemi chepresentavano oggettive difficoltà di soluzione. Mi auguroche questa iniziativa si ripeta per stimolare gli studenti piùdotati ad approfondire con successo, opportunamente guidati,problemi nuovi presentati dai docenti universitari.

... uno studenteNon pensavo proprio che da una cosa semplice e banale come le bolle di sapone, da un gioco perbambini, si potessero scoprire tante cose interessanti. Tutto il programma mi ha davvero preso moltissimosin dall’inizio. Non mi immaginavo che il corso fosse strutturato in questo modo: gli studenti vengonoportati alla soluzione del problema con l’aiuto del professore. Avrei pensato piuttosto ad una serie dilezioni "stile università"; così invece è stato molto più accattivante.Anche il clima nato in questi giorni, i rapporti instauratisi tra compagni di lavoro ed il professore sonostati subito molto piacevoli. Grazie a tutti coloro che si sono dati da fare per organizzare questa bellainiziativa!Ancora grazie,Luca Giulini LST “G. Galilei”

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La Bottega del Matematico Edizione 2003 - Gruppo B

Sistemi dinamici discreti, sia deterministici,

sia probabilistici, in biologia di popolazione

Responsabile scientifico: Prof. Andrea PuglieseDocente tutor: Prof.ssa Paola CerrocchiComponenti del gruppo: Andrea Culpo (Liceo Classico “Carducci”),

Andrea Girardi (ITI “Galilei”),Roberto Monti (Liceo Scientifico Brunico),Fabio Pasini (Liceo Scientifico Tecnologico “Galilei”),Martina Roilo (Liceo scientifico “Torricelli”),Alessio Trazzi (Liceo scientifico “Torricelli”).

ArgomentoNegli ultimi decenni le applicazioni dellamatematica alle scienze biologiche hannoacquisito un notevole rilievo, dando spesso luogoa problematiche diverse da quelle derivanti dalleapplicazioni fisiche. Fra gli aspetti significatividi molte di queste applicazioni vi sono l'attenzioneai fenomeni di tipo qualitativo e l'importanza delcaso nella dinamica.

L’attività prevista per il gruppo B era incentratasu questi aspetti, sviluppando quindi sistemidinamici probabilistici ed analizzando lecaratteristiche dei diversi risultati possibili. Perlo svolgimento dell’attività si è scelto diconcentrarsi sui modelli di genetica dipopolazione, un argomento cheha una storia relativamentelunga (70-80 anni) e chepresenta numerosi vantaggi: imodelli possono essere costruitipartendo da conoscenzeabbastanza elementari (le leggidi Mendel) ed hanno proprietànon scontate (ad esempio lasopravvivenza di un solo allele),ma non difficili da dimostrare;d'altra parte, molti problemi sutali modelli sono tuttora aperti.

PrerequisitiNon erano richiesti requisitifondamentali, anche se l’avere

già affrontato qualche concetto di probabilità,così come le idee fondamentali della genetica,sarebbe stato utile, assieme ad una sufficientemanualità nell'uso del computer. Per il resto sipresupponevano semplicemente competenze dibase di calcolo algebrico.

Obiettivi• Far comprendere il processo di modellizzazione,in particolare per quanto riguarda la geneticadi popolazioni.

• Capire cosa si intende con un modello dinamicoprobabilistico, in cui il caso influisce sulladinamica, ma vi è anche la possibilità di

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effettuare previsioni.• Esaminare alcuni sistemi dinamici discreti

deterministici e i loro possibili comportamenti.Definire cosa è un equilibrio.

• Discutere le relazioni fra modelli deterministicie probabilistici.

Metodologia

Partendo dalle leggi di Mendel e discutendo sucosa esse implichino per i figli di una coppia, siprevedeva di passare alla genetica di popolazione,limitandosi ai casi più semplici e cercando di farcostruire modelli ragionevolmente semplici. Aquesto punto sarebbero stati implementati imodelli al computer. Il momento successivoconsisteva nel cercare di trasformare tali modelliin modelli deterministici, discutendo di quantociò fosse ragionevole, del comportamento diquesti e facendo un confronto con il casoprobabilistico.

Il passo finale sarebbe stato quello di considerareproblemi analoghi nel caso di crescita dipopolazione, prendendo in esame modelli piùricchi di comportamenti. Nel caso stocastico sipuntava a vedere che è possibile che il numeromedio di individui cresca esponenzialmente, mala probabilità di estinzione sia alta. Nel casodeterministico, dopo avere visto la crescitaesponenziale ed alcune sue proprietà, sarebbestata introdotta la mappa logistica, esaminandonei possibili comportamenti: convergenzaall'equilibrio, convergenza a soluzioni periodiche,soluzioni “caotiche”.


AttivitàPartendo dalle leggi di Mendel ed analizzandoil loro significato, si è lavorato prima di tutto suquesto tema: “Supponiamo che una coppia (connote caratteristiche genetiche) abbia n figli: cosapossiamo dire sui geni dei figli?”. Da unproblema probabilistico, quindi, per estensionesi è arrivati al modello binomiale. Con un lavorodi progressione i ragazzi sono arrivati a scoprirela funzione generatrice di numeri pseudo-casuali.Un gruppetto di “esperti di programmazione”ha anche elaborato un programma di simulazionein Excel del modello binomiale.

L’obiettivo successivo era di passare dai figli diuna coppia all’evoluzione delle frequenze genichein una popolazione. Partendo dalla presentazionedel modello più semplice (2 alleli a 1 locus, congenerazioni separate e accoppiamento casuale),i ragazzi hanno “scoperto” le leggi di Hardy-Weinberg sulle frequenze geniche dopo gliaccoppiamenti. Anche questo modello è statoimplementato al computer e si sono svoltenumerose simulazioni.E’ stata quindi introdotta la nozione di catena diMarkov e di matrice di transizione, che permettedi calcolare le probabilità ad ogni tempo e suquesta base è stata intuita una dimostrazione delfatto che si ha estinzione certa di uno degli alleli.A questo punto il lavoro è progreditointroducendo la variabile della mortalità degliindividui. Il gruppo ha scelto di limitarsi aconsiderare un modello deterministico chedescrivesse la dinamica della frequenza media.Sono state quindi trovate le equazioni ricorsiveche determinano le frequenze medie nellegenerazioni successive e, ragionando sullastabilizzazione delle frequenze, i ragazzi hannocostruito il concetto di equilibrio ed hanno svoltoi calcoli che permettono di distinguere i casi incui vi è un equilibrio interno oppure no, arrivandoad elaborare in modo semi-intuitivo il concettodi equilibrio stabile o instabile.

Il tutor a questo punto ha mostrato un programmadi simulazione del modello probabilistico conmortalità, usando il quale, si osserva come ilmodello deterministico catturi alcune proprietàimportanti anche dei modelli probabilistici. Infine

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è stato proposto un programma di calcolo diequazioni ricorsive usando la mappa logistica edè stato fatto osservare come, a seconda dei valori

dei parametri, si possa avere convergenza a unlimite, a soluzioni periodiche, oppure soluzioni“caotiche”.

Hanno detto...

... il responsabile scientificoGli studenti hanno lavorato con impegno ed interesse al progetto. Hanno affrontato con interesse strumentinuovi, acquistandone dimestichezza soprattutto durante l'organizzazione della presentazione conclusiva.Gli studenti sono rimasti un po’ perplessi di fronte all'attività di modellizzazione, forse perché sembravamolto artificiale rispetto alla realtà. Sono invece rimasti molto colpiti dalla comparsa di strutture matematiche(parzialmente) note in situazioni nuove (come il triangolo di Tartaglia nella distribuzione binomiale, o l'usodi matrici per calcolare probabilità ai tempi successivi) e da fenomeni inaspettati (come le successionicaotiche che riempiono tutto un intervallo).La preparazione della presentazione conclusiva è stata molto attenta a presentare nel loro complesso imetodi e i risultati raggiunti. Ritengo che sia stata molto utile per ragionare sui problemi e le attività svoltee per rielaborare una conoscenza comune.

... il tutorLa prima impressione è di trovarsi in una classe normale,solo un po’ ridotta.Il responsabile scientifico parla dell’esperimento di Mendele di probabilità, introduce il calcolo combinatorio e costruiscesemplici modelli di popolazione procedendo a ritmo serrato,ma senza dare nulla per scontato. Con sapiente noncuranzamette a disposizione dei ragazzi i suoi vecchi testi di biologiae matematica del liceo, rompendo così il ghiaccio inizialeed accorciando la distanza tra sè e i ragazzi.Mentre il lavoro procede ed i compiti si differenziano, simanifesta con chiarezza quello che ha permesso a questiragazzi di raggiungere risultati eccellenti (non solo in

matematica): un notevole senso di responsabilità e la disponibilità ad assumere ruoli produttivi nel gruppo.Così, in maniera del tutto spontanea, c’è chi riordina e sintetizza le idee emerse, chi lavora al computer,chi verifica la correttezza delle affermazioni condivise dal gruppo, chi documenta il lavoro svolto. Il climache si respira è di confidenza crescente e nonostante l’intenso ritmo di lavoro e la stanchezza, la partecipazioneal lavoro è costante e proficua.

... uno studenteQuattro giorni di lavoro, diciassette ragazzi, 3 professori universitari, 3 tutor...una ricetta giusta per realizzareuna delle esperienze più interessanti della mia vita. Fin da piccolo la matematica mi ha subito preso, miinvogliava a calcolare e finalmente qui a Salorno sono riuscito a sentirmi nel mio ambiente: giorni trascorsia scoprire cose nuove, a trovare nuove formule...alla fine ci si può fermare e affermare che è veramentegratificante! Sono capitato nel gruppo che si occupava dei modelli di popolazione, statistica, biologia: ilproff. Pugliese ci è stato di fondamentale aiuto e merita i ringraziamenti, come la provincia di Bolzano checi ha offerto questa opportunità.Alessio Trazzi, Liceo Scientifico “E. Torricelli”

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La Bottega del Matematico Edizione 2003 - Gruppo C

Automi cellulari e loro applicazioni alla modellizzazione

di fenomeni fisici e socio-economici

Responsabile scientifico: Prof. Marco SabatiniDocente tutor: Prof.ssa Renata MaffettiComponenti del gruppo: Chinquinquira Kewin (ITI “Galilei”),

Corradini Alessandro (Liceo Scientifico Tecnologico “Galilei”),Martincigh Stefano (ITI “Galilei”),Pulice Valentina (Liceo scientifico “Torricelli”),Tschigg Cristian (Liceo Scientifico Tecnologico “Galilei”).

ArgomentoGli automi cellulari si sono dimostrati unostrumento estremamente elastico ed adattabileper la costruzione di modelli evolutivi. Esistonomodelli cellulari per lo studio dell’erosione delterreno, dell’evoluzione di popolazioni, dellosviluppo urbano, della dinamica dei gas, dellacombustione, della percolazione ed altro. Inoltreessi si prestano ad applicazioni pratiche:recentemente ad esempio sono state sviluppatetecniche per l’elaborazione di immagini e per lacrittografia a chiave pubblica basate su opportuniautomi cellulari. Un automa cellulare è compostodi tante unità elementari identiche, dette celle,disposte una accanto all’altra, come una sorta difoglio quadrettato che si estende indefinitamentein tutte le direzioni.

Ogni cella può assumere unnumero finito di stati. Al passaredel tempo, ogni cella cambiastato a seconda del proprio statoiniziale e di quello delle cellevicine. Nel caso più semplice glistati sono due, che possonoessere interpretati come “vita”e “morte” o “acceso” e “spento”.Restando nell’ambito degliautomi più semplici, la leggeevolutiva può essere scelta inmodo da far dipendere lo statodi una cella C all’istante n+1 daquello di C e delle celleconfinanti all’istante n, secondo

una regola puramente numerica. In questo modo,l’evoluzione del sistema è determinata in manieraunivoca. L’automa di Conway, detto “Life”,dimostra una straordinaria ricchezza diconfigurazioni interessanti.

Ma le regole evolutive possono essere molto piùcomplesse di quella ideata da Conway. Gli statipossono essere molti più di due, le celle coinvoltenella regola evolutiva possono essere anchelontane da quella interessata, la regola stessa puòconsiderare anche stati assunti ad istanti n-1, n-2 .., n-k. La struttura dello spazio può non esserecostituita da un reticolo quadrato, ma esagonaleo triangolare. Lo spazio stesso può avere proprietàtopologiche diverse da quelle del piano euclideo,

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come nel caso considerato più frequentementenella costruzione di programmi per PC.

Prerequisiti

Geometria ed algebra elementare.

Abitudine all'uso del computer.

Obiettivi• Descrivere una semplice procedura di

costruzione di modelli discreti.

• Mostrare con esempi come la prescrizione diregole semplici possa portare allo sviluppo difenomeni complessi.

• Descrivere configurazioni stazionarie,periodiche, viaggianti.

• Mostrare come la sopravvivenza di alcuneconfigurazioni possa dipendere dalle condizioniiniziali o dallapresenza di altreconfigurazioni ecome la possibilitàdi sopravvivenzadipenda in modoessenziale dalleleggi che regolanol’evoluzione delsistema.

• Descrivere applicazioni a sistemi fisici e socio-economici.

MetodologiaIl lavoro si inizia con carta e penna, applicandoa configurazioni iniziali molto semplici le regoleevo lu t ive de l l a “v i t a” d i Conway .Successivamente si passa a studiare al computerl’evoluzione di configurazioni più complesse perlo stesso tipo di automa cellulare bidimensionale.In un secondo tempo sono state cambiate le leggievolutive, osservando le conseguenze deicambiamenti sulle stesse configurazioni iniziali.Gli studenti sono quindi stati invitati a formularele loro leggi ed a scoprirne le proprietà.

AttivitàSi è iniziato studiando le regole evolutive delpiù noto degli automi cellulari, “Life”, creatoda Conway poco più di trenta anni fa. Usandosolamente carta e penna, è stata analizzatal’evoluzione di configurazioni molto semplici,consistenti di poche celle.Una volta compreso il meccanismo, si èproseguito affrontando problemi elementari:esistono configurazioni stazionarie, periodiche,viaggianti? Quante? È possibile costruirne dinuove a partire da quelle già note? A qualevelocità si può spostare una configurazioneviaggiante?

Esaurita questa fase si è quindi passati a lavorareal PC, usando un programma specifico per lostudio di vari tipi di automi cellulari, MJCell.Dopo una panoramica guidata, in cui sono statipresentati automi con proprietà dinamiche moltodiverse, gli studenti hanno usato liberamente ilprogramma per esplorare le caratteristiche deivari automi.Successivamente sono state modificate le regoleevolutive, per osservare l’effetto che le modifiche,scelte casualmente, avevano sulle configurazioni.Anche in questa fase gli studenti sono stati lasciatiliberi di agire secondo fantasia, di osservare econfrontare i risultati delle loro scelte.

Una pausa nell’uso del PC ha permesso diintrodurre qualche concetto matematico utile:lo spazio toroidale (l’ambiente più adatto per lostudio degli automi al PC), il prodotto scalarein spazi di dimensione n e l’algebra matriciale.A questo punto è stato possibile introdurre unasemplice classe di automi invertibili ed illustrareuna loro possibile applicazione alla crittografia.Il passo finale è stato la costruzione di unprogramma in Pascal per la codifica/decodificadi messaggi di testo, basato su un automacellulare invertibile.

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Hanno detto...

... il responsabile scientifico Gli studenti hanno lavorato con un certo entusiasmo, sia nella prima fase, della carta-e-penna, sia nellaseconda, in cui hanno potuto ammirare sullo schermo del PC la bellezza delle configurazioni che sievolvevano secondo le leggi dei vari automi cellulari, sia nella terza, in cui hanno sviluppato unprogramma per la codifica di messaggi di testo. Alcuni di loro hanno fatto osservazioni acute sulleproprietà degli automi cellulari, risolvendo autonomamente alcuni dei problemi posti. Per esempio,uno studente ha osservato che la massima velocità raggiungibile da una configurazione in “Life” nonè quella di un aliante o di un’astronave, ma quella di una miccia che si consuma. Un altro studenteha trovato un metodo per costruire nuove configurazioni stazionarie diverso da quello a cui pensavoquando ho posto il problema. In generale sembra che non ci siano stati problemi di comprensione deiconcetti presentati, neanche quando è stato introdotto uno spazio toroidale per lo studio degli automiin uno spazio senza bordo. Esperienza molto positiva.

... il tutorL'argomento trattato “automi cellulari” era completamente sconosciuto ai ragazzi che componevanoil mio gruppo. Il docente, dopo una breve presentazione, ha proposto loro lo studio delle regoleevolutive degli automi cellulari con il semplice utilizzo di carta e penna specificando che ogni elementodell’automa in una griglia spaziale regolare è detto cella e può essere in uno degli stati finiti che lacella può avere. Gli stati delle celle variano secondo una regola locale, cioè lo stato di una cella adun dato istante di tempo dipende dallo stato della cella stessa e dagli stati delle celle vicine all’istanteprecedente.I ragazzi hanno seguito con attenzione decisamente attratti da un argomento così originale e hannoproseguito il loro lavoro di studio fino a sera. Nei giorni seguenti abbiamo continuato con l'ausiliodei computer ed è lì che i ragazzi, vedendo le pittoresche e vistose configurazioni degli automi diMJCell, hanno dimostrato entusiasmo nell'esplorare le leggi di evoluzione delle configurazioni. Assiemehanno definito le configurazioni stazionarie, viaggianti, periodiche, hanno trovato metodi per costruirenuove configurazioni, hanno realizzato un programma in Pascal di codifica di testi, sino ad osservareche gli automi cellulari forniscono una rappresentazione immediata (e, in un certo senso, "semplice")di fenomeni in cui l'evoluzione globale dipende da leggi locali come, ad esempio, del comportamentofisico dei gas perfetti, ma anche del movimento dei filamenti di DNA all'interno di una soluzione,dell'evoluzione di una popolazione sotto l'effetto di determinate leggi economiche e sociali.É stata un'esperienza molto positiva, dove i ragazzi hanno potuto misurarsi in un ambiente di studiodiverso dalla scuola.

... uno studente Sono le ore 19 spaccate, di questa giornata, mercoledì 26.03.03. Fra poco c’è nuovamente cibo... tantocibo... siamo ormai così stremati dagli automi che praticamente ne vediamo ovunque... anche il cibolo vediamo ovunque... ma quello è reale... Siamo comunque giunti a delle conclusioni, siamo felici eci riteniamo soddisfatti del lavoro svolto. É stato anche costruito un programmino per dimostrare ciòche abbiamo "carpito" in questi giorni... ora dobbiamo andare in sala a cenare... CIAO!

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Fenomeni di tensione superficiale:

esperimenti e modellizzazione

Responsabile scientifico: Prof. Italo TamaniniDocente tutor: Prof. Sergio FortiComponenti del gruppo: Michele Conci (Liceo scientifico “Torricelli”),

Franco Concli (ITI “Galilei”),Giulia Della Rocca (Liceo linguistico Salesiano),Valentina Fellin (Liceo scientifico “Torricelli”),Marco Pizzato (Liceo scientifico “Torricelli”),Fabio Verber (ITG “Delai”),Flavia Vincenzi (Liceo Classico “Carducci” Merano)

ArgomentoI fenomeni di tensione superficiale sono lo spuntoper creare una situazione, concreta e coinvolgente,di esplorazione di una ricca problematica secondole linee del metodo scientifico e di conseguenteelaborazione teorica.

Le bolle di sapone e le lamine saponose dannoluogo infatti a configurazioni d’equilibrio stabileche, dal punto di vista della modellizzazionematematica, corrispondono a soluzioni diproblemi di minimo (percorsi di lunghezzaminima, superfici di area minima). I sistemi dilamine che si possono creare ed osservare conopportuni esperimenti sono spesso sorprendentie affascinanti. La teoria che spiega questifenomeni è un capitolo molto importante dellamatematica, ricco di risultati profondi, di questioniaperte, di metodi ingegnosi chesi possono applicare allo studiodi problemi diversi . Ladescrizione delle strutturerichiede un linguaggio precisoed articolato e consente dimettere a frutto le conoscenzeacquisite (di geometria, dianalisi, ma anche di fisica echimica), affiancandovene din u o v e ( t o p o l o g i a ,combinatoria).

PrerequisitiGeometria: curve e superfici,lunghezza ed area, poliedri e

solidi platonici;

Analisi matematica e Trigonometria: funzioni,derivate, condizioni di minimo;

Concetti meno noti (curvatura, formula di Euleroe altri aspetti topologici) sono stati introdotti edadeguatamente discussi in corso d'opera.

Obiettivi• Sviluppare la consapevolezza dell'approccio

scientifico nella sperimentazione e nellariflessione sui fenomeni osservati.


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MetodologiaIl lavoro previsto per questo gruppo prevedevadi concentrarsi su esperimenti con le lamine disapone, utilizzando la strumentazione fornita dallaboratorio dell’Università di Trento. I sistemicosì creati sarebbero stati indagati per scoprirnele caratteristiche e gli invarianti (simmetrie,curvatura, struttura delle intersezioni). Opportuni

concetti di natura chimico-fisica (tensionesuperficiale) avrebbero quindi permesso dicostruire modelli astratti dei fenomeni osservati,dei quali si sarebbe poi discusso la rilevanza ela flessibilità. In particolare, si pensava disollecitare descrizioni efficaci delle configurazioniottenute, in termini di superfici lisce e sistemicon singolarità e di proporre problemi ispiratidagli esperimenti o ad essi collegati.

AttivitàNelle varie sessioni di lavoro sono stati presentatiproblemi diversi, sempre iniziando da esperimenticon le lamine di sapone.

Dapprima è stata discussa la forma sferica dellebolle, mettendo in risalto le proprietà di simmetriadella sfera, osservandone la curvatura in rapportoagli effetti causati dalla differenza di pressionefra interno ed esterno della bolla, fino ad arrivarealla proprietà di area minima, che governaappunto la formazione dei sistemi laminari. In

questo contesto si sono discusse le formeisoperimetriche ottimali fra i poligoni, inparticolare triangoli e rettangoli, dove facilicalcoli permettono di controllare le soluzioni.

Come ulteriore applicazione si è risolto ilproblema di trovare, fra tutti i cilindri d’identicovolume, quello avente la superficie esterna diarea minima, la cui forma è realizzata ad esempionel noto campione di massa (Kilogrammocampione) conservato a Sevres. Si sono ancheanalizzate varianti del problema isoperimetrico:bolle semisferiche appoggiate ad un piano, bollecilindriche confinate fra lastre parallele, eccetera,passando poi ad osservare e descrivere sempliciraggruppamenti di due o tre bolle.Con l’intento di comprenderne le forme diautoorganizzazione, si sono compiute esperienzecon lamine saponose, tese su contorni metallici.Riflettendo sulla loro particolare forma “a sella”sono stati introdotti, sempre in situazioni“concrete” e basandosi sull’intuizione

geometrica, alcuni concetti molto importanti digeometria (curvatura) e di topologia (distinzionefra configurazioni diverse che si presentano conil medesimo contorno). In un caso (catenoide)si è cercato di verificare analiticamente che la“soluzione congetturata” (il cilindro) era soloapparente.

In seguito si è passati a considerare le “reti diminima lunghezza”, che devono connettere nelmodo più breve possibile un insieme di puntidati nel piano. La questione è stata analizzata in

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dettaglio nel caso di tre e di quattro punti, anchecon strumenti analitici per confermare o rigettareipotesi suggerite dall’intuizione. Le caratteristichefondamentali delle soluzioni (incroci a tre viecon angoli di 120°) sono state ritrovate nei sistemilaminari ottenuti con adeguati strumenti.

Le riflessioni conclusive hanno riguardato isistemi laminari più complessi, che presentanonuove intersezioni di tipo molto particolare: dalleosservazioni sperimentali si è estratto il modellogeometrico, sul quale sono state effettuate misureangolari con l’uso della trigonometria.

Hanno detto...

... il responsabile scientificoEsperienza, la seconda per me, decisamente positiva. É stato veramente piacevole confrontarsi congli studenti del gruppo, tutti molto motivati e tutti di ottimo livello. Il ritmo di lavoro mi è sembratoindovinato, l’ambiente come sempre confortevole e favorevole all’instaurarsi di una buona atmosfera.Abbiamo “giocato” e lavorato molto, puntando fortemente sugli esperimenti interattivi e sulla discussionecomune. Ragazzi e ragazze si sono fra l’altro impadroniti dei “trucchi del mestiere”, cosa che si èrivelata utile nella fase finale di presentazione dei risultati.

... uno studenteInnanzitutto volevo ringraziare professori, tutor eorganizzatori vari che hanno reso possibile questa bellaesperienza. Un grosso saluto va a tutti i "giovani matematici"con i quali ho trascorso questi 4 giorni, in particolare aglisfidanti di calcetto, anche se ho prevalentemente perso (macontro la fortuna di Michele e Franco non si può fare niente),un saluto ai tre con i quali per circa 2 ore ho giocato unasola partita di biliardo (quelle ultime 3 biglie mi perseguitanoancora nel sonno!!),un saluto a Marco che dopo i 4 giorni

è entrato in una crisi piuttosto preoccupante che potrei chiamare sindrome del "109°28’16’’.394........";einfine come dimenticare la mitica, matrioska della cucina! Veramente GRAZIE A TUTTI!!Fabio Verber, ITG “Delai”

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Problemi riconducibili

alla teoria dei grafi

Responsabile scientifico: Prof. Domenico LuminatiDocente tutor: Prof.ssa Paola CerrocchiComponenti del gruppo: Elena D’Abronzo (ITI “Galilei”),

Lucio Fiorella (Liceo Classico “Carducci” Merano)Roberto Manfrin (ITC “C. Batisti”),Julian Rizzon (ITG “Delai”),Marco Sorauf (Liceo scientifico “Torricelli”),Carolina Tomisich (Liceo Classico “Carducci” Merano),Federica Vadagnini (Liceo scientifico “Torricelli”).

ArgomentoUn grafo è un insieme dotato di una relazionesimmetrica e antiriflessiva. Alternativamentepuò essere visto come una coppia G = (V,E)dove V è un insieme (i cui elementi vengonodetti vertici) e E è un insieme di sottinsiemi diV, ciascuno costituito da due elementi. Glielementi di E vengono detti lati.Il problema che storicamente ha dato origine allateoria dei grafi è il problema dei ponti diKönigsberg, ossia il problema di determinare seun grafo possieda una passeggiata euleriana,ossia se sia possibile percorrerlo attraversandonetutti i lati esattamente una volta. Il problema hauna soluzione elementare: una tale passeggiataesiste se e solo se ogni vertice ha valenza pari.La dimostrazione di questoteorema fornisce anche unaprocedura per la determinazionedi una passeggiata euleriana.

PrerequisitiNozioni di geometria earitmetica elementari.

Obiettivi• Imparare a riconoscere la

comune struttura di grafosoggiacente ad a lcuniproblemi apparentementemolto diversi l'uno dall'altro;

• Acquisire alcune tecnichecombinatorie elementari che

permet tono la formal izzaz ione edeventualmente la risoluzione di tali problemi.

• In generale, individuare proprietà notevoli dialcuni grafi.

MetodologiaVengono proposti alcuni problemi, come:

- problema dei ponti di Königsberg,

- problema delle tre case,

- determinazione del numero di possibili solidiregolari,

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disegni e modelli di carta del nastro di Möbius,si è utilizzata anche una simulazione al computerche permette di testare il problema delle tre casesu varie superfici, cilindro, toro e nastro diMöbius.

Per la formula di Eulero si è rivelato utile unparticolare gioco di costruzioni che permette diassemblare in poliedri delle facce poligonali divarie forme. I ragazzi hanno così potuto costruireeffettivamente dei poliedri sui quali verificaresperimentalmente la formula, prima didimostrarla. In questo modo si sono potuticostruire anche dei poliedri con topologia nonbanale, sui quali si è verificato che la formula diEulero non vale (il valore di v - e + f dipendedalla topologia del poliedro).


- determinazione del massimo numero di tripuntiin un percorso minimo,

- problema del commesso viaggiatore.

I ragazzi saranno invitati a creare modellimatematici e quindi a costruire ed esaminareesempi, con l'utilizzo di materiali “poveri” comecarta, penna, forbici e nastro adesivo ma anchecon l'utilizzo di software. Gli studenti verrannoquindi guidati a congetturare gli enunciati deiteoremi che spiegano le fenomenologie osservatee ad individuarne, in alcuni casi particolari, lestrategie dimostrative.

AttivitàDi volta in volta dopo aver posto il problema iragazzi sono stati invitati a costruire esempi,formulare congetture e a darne eventualmente ladimostrazione.Nella maggior parte del tempo sono stati usatisoltanto carta e penna, solo per il problema delletre case e per la formula di Eulero sono statiutilizzati altri materiali. Per le tre case, dopo cheè stata individuata la proprietà del piano che neimpedisce la realizzazione (teorema di Jordan)si è passati ad analizzare la possibilità di realizzareil grafo K 3,3 anche in altri ambienti. Oltre a

Hanno detto...

... il responsabile scientifico La valutazione complessiva dell'esperienza è, da parte mia, senz'altro positiva. I ragazzi si sono rivelatiinteressati, molto attivi e partecipi.Essendo io alla prima esperienza del genere, ero un po’ preoccupato riguardo alla struttura da darealle lezioni/laboratorio, a quali argomenti tirare fuori e quando. In realtà il lavoro si è rivelato menodifficile del previsto (anche se non meno faticoso) proprio per la partecipazione dei ragazzi. In qualchesenso erano loro a guidare la lezione. È stato molto gratificante e, se posso dirlo, anche molto divertente.

... il tutor I problemi proposti come stimolo iniziale coinvolgono molto i ragazzi e la sensazione che bastinonozioni matematiche elementari per affrontarli crea nel gruppo un clima di aspettativa partecipe.

Alcuni studenti affrontano il lavoro con una “vis polemica” notevole, trascinando l’intero gruppo inuna serie di riflessioni particolarmente significative sul concetto di dimostrazione: la relazione di

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Eulero, provata per induzione, scatena dubbi sulla validità del principio di induzione in particolare esull’idea di dimostrazione che ciascuno di loro si è costruito durante il percorso scolastico.

É per me molto istruttivo osservare con quantaautorevolezza il responsabile scientifico moderi il dibattito,accettando i diversi punti di vista e discutendoli “da paria pari”.Trovo poi particolarmente interessante la trattazione deipoliedri regolari con il metodo del grafo duale (penso dipoterla proporre in una delle mie classi) e sonopiacevolmente sorpresa dalla gioia infantile che questiallievi eccellenti ritrovano nel costruire figure solideutilizzando una serie di figure piane ad incastro (giocodidattico fornito loro dal docente universitario!)Al termine di tre giornate di lavoro intenso, gli studenti

mostrano segni di stanchezza ma sembrano quasi rilassarsi mentre preparano la presentazione in power-point, la domanda inaspettata di una ragazza mi lascia senza parole: “Ma come mai ci viziate tanto?”.

...uno studenteOrmai sono a casa, ma continuo a ricordare con un sorriso queste giornate passate tra matematica(TANTA!!) e calcetto (troppo poco... ;-))... grazie a tutti per questa meravigliosa esperienza! nonimporta se ha richiesto tantissimo impegno e concentrazione, ne ho un gran bel ricordo...GRAZIEGRAZIE GRAZIE a tutti.

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Passeggiate casuali e

successioni di variabili aleatorie

Responsabile scientifico: Prof. Stefano BonaccorsiDocente tutor: Prof.ssa Renata MaffettiComponenti del gruppo: Sarah Giomi (Liceo scientifico “Torricelli”),

Marlene Chelodi (Liceo Scientifico “Torricelli”),Milena Greifenberg (Scient. IPSCT “Falcone e Borsellino” Bressanone),Andrea Lorenzi (Liceo Linguistico Salesiano),Daniel Olivieri (Liceo scientifico “Torricelli”),Thomas Pioggia (Liceo Classico “Carducci” Merano),Anna Scuttari (Liceo scientifico “Torricelli”).

ArgomentoVolendo ridurre il problema all’essenziale, l’ideadi base del corso è molto semplice. Esiste unconcetto intuitivo di probabilità, che tutti usiamoin qualche modo nella nostra vita quotidiana. Inquesto modo, tutti diamo dei giudizi suaffermazioni che un matematico può considerare“risultati (possibili esiti) di un esperimento”. Daun punto di vista matematico, non ha moltaimportanza il modo in cui diamo questo giudizio;siamo invece interessati a costruire una teoria,che chiameremo calcolo delle probabilità, checi consenta di rendere i nostri giudizi tra lorocoerenti.Questo sforzo viene ripagato nel momento in cuila teoria, applicata correttamente, ci consente disuperare il senso comune e didare giudizi corretti sullaprobabilità di eventi che vannoal di là dell’intuizione. Da questopunto di vista si parla, con untermine forse fuorviante, diparadossi del calcolo delleprobabilità. Parleremo invece diambiguità tutte le volte chedovremo affrontare un problemache viene espresso in termininon precisi e tale che le diverseformalizzazioni matematicheche risultano essere possibiliconducono a risultati diversi.Una parte dell’incontro saràdedicata a sfidare gli studenti aprevedere il risultato di un gioco.

Utilizzeremo volutamente giochi con unformalismo semplice e il più possibile nonambiguo, ma computazionalmente pesanti, percui non sia possibile trovare il risultato a mente.Verificheremo quindi le ipotesi proposte conl’ausilio di semplici simulazioni al calcolatore,trovando anche risultati “sorprendenti”. Questirisultati saranno infine formalizzati sotto formadi teoremi e dimostrati.

PrerequisitiEssere in grado di maneggiare matrici e vettoried avere un’idea intuitiva di limite.

Obiettivi• Sistematizzare i concetti di base della probabilità

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a partire da un’idea intuitiva.

• Capire cosa s’intende per passeggiata aleatoria,quali sono i problemi che pone e come risolverli.

• Esaminare infine le "catene di Markov" discrete,comprendere i loro legami con i sistemi dinamicie comprendere il loro comportamento asintotico.

MetodologiaSi parte dal concetto fondamentale di probabilitàcondizionata. Gli studenti verranno invitati adiscutere alcuni “paradossi”, come il problemadelle tre porte, e a dare nuove formulazioni perdiscuterne le conseguenze. Si introdurranno poile passeggiate casuali, anche attraverso l'uso diopportune simulazioni al calcolatore; a partire daqueste, si vuole utilizzare il problema della rovinadel giocatore per introdurre le catene di Markov.Gli studenti verranno infine invitati a costruireesempi di matrici di transizione applicate asemplici sistemi dinamici ed a studiarne ilcomportamento a lungo termine.

AttivitàCalcolo delle probabilità. Lavorando solo suinsiemi discreti, abbiamo evitato alcunecomplicazioni tecniche (introduzione delle -

algebre, definizione di misura). Abbiamointrodotto la probabilità condizionata come nuovogiudizio su un evento che diamo in seguito ad unaumento della nostra conoscenza. In tal modo,questo concetto viene facilmente riconosciutocome concetto basilare di probabilità e non comeconcetto derivato.

Per affrontare i problemi, abbiamo usato (primain maniera intuitiva, poi formalizzando ilconcetto) le variabili aleatorie: come sirappresentano (il grafico della distribuzione) ecome si sintetizzano (la loro media).

Paradossi. I problemi più noti che abbiamoaffrontato sono stati il problema dei compleanni(qual è la dimensione minima di una classe percui la probabilità che due persone siano nate lo

stesso giorno è 1/2 ) e il problema delle trescatole (“Supponiamo di essere ad un giocotelevisivo, di fronte a tre porte: dietro una diesse vi è un superpremio, dietro le altre non sivince nulla. Scegliamo una porta ed ilpresentatore ci mostra che dietro un’altra portanon vi era nulla. Se ci venisse proposto dicambiare porta, ci conviene accettare?).

I modelli di urne. A partire dal caso più semplice(estrazione con rimpiazzo da un’urna fissa), imodelli di urne possono essere presi a modelloper diversi fenomeni fisici. Con gli studenti,abbiamo fissato l’attenzione sul modello delleurne di Polya.

Passeggiate casuali. Consideriamo il risultato diun gioco, in cui ad ogni turno un giocatore puòaumentare di una quantità X il suo capitale; ilcapitale accumulato al tempo n, Sn, è un modellodi passeggiata casuale. Questo gioco si prestabene ad essere simulato al calcolatore, anchecon un semplice spreadsheet come Excel.Abbiamo quindi discusso il problema dipasseggiata con barriere. Questo modello nascenaturalmente negli esempi (la passeggiata

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dell’ubriaco, la rovina del giocatore) e conduceinfine a discutere ulteriori paradossi: ad esempio,per raddoppiare il mio capitale alla roulette, è

meglio il gioco conservativo (un euro alla volta)oppure il gioco d’attacco (punto tutto subito)?

Hanno detto...

... il responsabile scientificoCome esperienza personale non posso che essere soddisfatto. Ho apprezzato il rapporto che si è creatoall’interno del gruppo e, in generale, della struttura nel complesso; ho apprezzato lo spirito del gruppoe la loro intelligenza; ho apprezzato la volontà di superare da soli gli ostacoli proposti e l’umiltà divenire a chiedere consiglio nel momento in cui la decisione si rivelava troppo difficile.Professionalmente, il programma svolto in tre giorni è una copia abbastanza fedele del programmad’esame di “Calcolo delle Probabilità” per il corso di laurea di Matematica; è sorprendente osservarequanta parte ne sia stata assorbita in un tempo tanto breve. Rispetto all’insegnamento universitario,ha influito positivamente l’atmosfera rilassata e la possibilità di interagire con continuità con il docente;vorrei però sottolineare come gli studenti non abbiano mai avuto il tempo di ritornare sugli argomentiintrodotti, ma siano stati costretti ad assimilarli in tempo reale.

...il tutorIl nostro gruppo era costituito da sette studenti; i ragazziper la maggior parte si conoscevano tra loro, ma nonavevano mai affrontato insieme un lavoro di gruppo diquesta portata e così impegnativo.Già dal secondo giorno il gruppo si è presentato moltoaffiatato e compatto, i ragazzi hanno preso parte in modopresente e costruttivo ai lavori proposti dal docente,raggiungendo i risultati migliori al terzo giorno dove sonoemerse le competenze di ciascuno e la volontà di cooperare

in gruppo per approfondire al meglio l’argomento.Giudico l’esperienza molto positiva e notevole per il rapporto di collaborazione e di valorizzazioneche si instaura tra il gruppo dei ragazzi e i docenti e mi auguro di poterla rivivere il prossimo anno.

...uno studenteUn grazie di cuore ai nostri tutor, che sono stati disponibilissimi!!!!!!!!!hanno contribuito a creare unatmosfera meravigliosa all’interno del gruppo!

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Automi cellulari

Responsabile scientifico: Prof. Marco SabatiniDocente tutor: Prof. Diego GottardiComponenti del gruppo: Elena Basso (Liceo Scientifico “Torricelli”),

Igor Bertan (ITI “Galilei”),Philipp Dalmolin (ITI “Galilei”),Paolo Fusaro (Liceo scientifico “Torricelli”),Daiana Marabese (Liceo scientifico “Torricelli”),Matteo Sambugaro (Liceo scientifico “Torricelli”),Matteo Tabarelli (Liceo Linguistico Salesiano).

ArgomentoGli “automi cellulari” sono delle strutturediscrete e regolari di entità interagenti. Si puòimmaginare un reticolo bidimensionale (ma ledimensioni potrebbero essere più di due) di celleche evolvono temporalmente cambiando “stato”(per es. “acceso-spento” ma gli stati possonoessere anche più di due) in funzione del propriostato al livello di evoluzione precedente e/o anchein funzione dello stato delle celle vicine.La trasformazione del sistema viene determinatamediante un algoritmo di calcolo, espressogeneralmente in termini matriciali, dato che lalegge di evoluzione tiene conto anche dellaposizione e dello stato delle celle vicine a quellaconsiderata. È evidente che la geometria vettorialesta alla base di una corretta epratica trattazione di questoargomento, così come lesuccessioni definite perricorrenza sono lo strumentobase per poter comprenderel’evoluzione temporale delsistema.

PrerequisitiGeometr ia ed a lgebraelementare.Abitudine all'uso del computer.

Obiettivi• Comprendere come uno

strumento matematico creato

con regole “di gioco”, in prima istanzaarbitrarie, possa diventare un potente strumentodi analisi per vari fenomeni di tipo evolutivo.

• Evidenziare l’aspetto della modellizzazione,cioè la scelta di leggi di evoluzione del sistema,coerenti e consistenti con il tipo di fenomenoda descrivere e di cui studiare lo sviluppo.

• Mettere in evidenza la necessità di conosceree di saper gestire degli strumenti matematicipiù raffinati rispetto a quelli utilizzatinell’esperienza quotidiana.

• Implementare strumenti matematici su macchinecalcolatrici e come la scelta di tali strumenti

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sia condizionata dalla logica di tipo digitaledei calcolatori (calcolo discreto piuttosto checontinuo).

MetodologiaL’obiettivo di base consiste nella descrizione diconcetti fondamentali dei sistemi dinamicimediante una particolare classe di sistemidinamici discreti – gli automi cellulari – il cuitrattamento non richiede particolari conoscenzematematiche. Questo permette di parlare diconfigurazioni stazionarie, periodiche, viaggianti,ecc., facendo appello solo all’intuizione deglistudenti, pur definendo rigorosamente ognunadi queste nozioni. La possibilità di studiare alPC l’evoluzione delle configurazioni usandouno dei tanti programmi reperibili su Internetfacilita il compito, rendendo immediatamentesperimentabile il significato di tali definizioni.

Un secondo obiettivo consiste nel mostrare unapproccio alla costruzione di modelli diverso daquello presentato nei corsi scolastici di fisica echimica. In tali corsi si parte da leggi accettatein quanto ricavate sperimentalmente, a partiredalle quali si deducono e studiano altre proprietàdel mondo fisico, come, per esempio, laconservazione dell’energia. Tutto è già noto ecodificato. Per contro, lavorando con gli automicellulari è naturale iniziare con un’ipotesi dilavoro, da verificare ed eventualmente modificarein relazione al problema affrontato. Il fatto chegli automi cellulari abbiano una quantità diapplicazioni sviluppate recentemente nei campipiù diversi, dalla fisica dei gas alla crittografiaalla dinamica delle popolazioni, comunica l’ideadi un campo in evoluzione, più vicina alla realtàdella ricerca scientifica di quello che gli studentiricavano dallo studio delle teorie classiche.

AttivitàAbbiamo iniziato studiando le regole evolutivedel più noto degli automi cellulari, “Life”, creatoda Conway poco più di trenta anni fa. Usandosolamente carta a quadretti e penna, abbiamoanalizzato l’evoluzione di configurazioni moltosemplici, consistenti di poche celle. Una voltacompreso il meccanismo, abbiamo continuatoaffrontando problemi elementari: esistono

configurazioni stazionarie, periodiche, viaggianti?Quante? É possibile costruirne di nuove a partireda quelle già note? A quale velocità si puòspostare una configurazione viaggiante?

Esaurita questa fase siamo passati a lavorare alPC, usando un programma scritto appositamenteper lo studio di vari tipi di automi cellulari,MJCell. Dopo una panoramica guidata, in cui

sono stati presentati automi con proprietàdinamiche molto diverse, gli studenti sono statilasciati liberi di usare il programma per esplorarele caratteristiche dei vari automi.

In questa fase è stata illustrata l’utilità di lavoraresu uno spazio limitato come il toro, spiegandoanche perché le proprietà dinamiche di alcuneconfigurazioni cambino a seconda dello spazioin cui vengono considerate.

Successivamente abbiamo usato una dellefunzionalità di MJCell, che permette dimodificare le regole evolutive, per osservarel’effetto che le modifiche, scelte casualmente,hanno sulle configurazioni. Anche in questa fasegli studenti sono stati lasciati liberi di agiresecondo fantasia e di osservare e confrontare irisultati delle loro scelte.Durante una pausa nell’uso del PC è stata fattauna digressione di carattere matematico sullesuccessioni definite per ricorrenza, che hannovari punti in comune con gli automi cellulari. Inseguito l’analogia con le successioni ricorsive èrisultata utile per costruire esempi di automireversibili e per illustrare una loro possibileapplicazione alla crittografia.

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Hanno detto...

... il responsabile scientificoEsperienza molto positiva. L’aver impostato il lavoro comune su ritmi più lenti rispetto al 2003 hapermesso di approfondire con più calma alcuni punti importanti, sia pur a scapito dell’ampiezza dellatrattazione.

... il tutorNonostante alcune difficoltà incontrate in campo matematico, a causa della obiettiva complessità degliAC e delle leggi che ne descrivono il funzionamento, ritengo che il lavoro sia assolutamente validoin quanto pone in relazione la matematica e la realtà.Gli studenti hanno potuto capire come la matematica diventi modellizzazione e quindi descrizionedella realtà e possa dare origine a previsioni utili anche in campo industriale e non solo della puraricerca.

...uno studenteParticolari complimenti al corso, organizzato e strutturato bene! Il nostro gruppo in particolare lavoraanche con strumenti software! Insomma ci divertiamo e impariamo e sopratutto ogni tanto, anzi spesso,si fa una pausa al sole che non guasta mai!!

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Teoria dei nodi

Responsabile scientifico: Prof. Domenico LuminatiDocente tutor: Prof.ssa Paola CerrocchiComponenti del gruppo: Nadia Begher (ITI “Galilei”),

Maddalena Boselli (Liceo Scientifico Salesiano),Nathalie Cavada (Liceo scientifico “Torricelli”),Filippo Gavatta (Liceo scientifico “Torricelli”),Simonluca Merlante (Liceo scientifico “Torricelli”),Tommaso Moretto (Liceo scientifico “Torricelli”),Federico Stefenelli (ITI “Galilei”).

ArgomentoUn nodo è una curva chiusa e senza incroci, conuna o più componenti , nel lo spaziotridimensionale. Due nodi si dicono equivalentise esiste una isotopia ambiente (di tutto lo spaziotridimensionale) che li porta uno sull'altro. Inaltri termini, più intuitivi, due nodi sono “lo stessonodo” se si riesce a deformarne uno sull'altrosenza “effettuare tagli”.Il problema della teoria dei nodi è quello diclassificare i nodi a meno di equivalenza. Questoproblema, apparentemente semplice, è in reltàestremamente complesso e tuttora noncompletamente risolto, ovvero non si è ancoratrovato (nemmeno da un punto di vistaesclusivamente teorico) un algoritmo che, datidue nodi, sia in grado di distinguerli a meno diequivalenza.

PrerequisitiNozioni di base di geometria(curve, proiezioni) e di algebra(massimo comun divisore diinteri e manipolazione dipolinomi).

Obiettivi• Introdurre in modo intuitivo

alcuni concetti di topologiaelementare (omeomorfismi edeformazioni).

• Mediante l'introduzione dellateoria combinatorica dei nodi,evidenziare come si possano

"fare conti" con oggetti non numerici (teoremadi Reidemeister).

• Introdurre il concetto di invariante - concettocentrale in matematica ogni volta che si affrontaun problema di classificazione - facendoneemergere naturalmente la necessità cercandodi classificare alcuni nodi.

• Dare un esempio di un problema di una certanatura (in questo caso topologica) la cuisoluzione usa s t rument i d i na turacompletamente diversa (nel nostro casol'aritmetica).

MetodologiaLa prima cosa necessaria per sviluppare una


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teoria dei nodi è introdurre un'adeguatasimbologia con la quale descrivere e operare suinodi. Questo può essere fatto mimando gli usualidisegni con i quali vengono rappresentati i nodisu tutti i libri (non matematici) che ne trattanoe introducendo il concetto di diagramma.Introdotta la simbologia per rappresentare i nodi(i diagrammi), il teorema di Reidemeister (1930)permette di dare le regole di manipolazione deidiagrammi: due diagrammi rappresentano nodiequivalenti se e solo se si può passare dall'unoall'altro con una sequenza finita di mosseelementari (dette mosse di Reidemeister), checonsistono nel deformare localmente ildiagramma.

Il teorema di Reidemeister permette quindi diprovare che due diagrammi sono lo stesso nodoqualora si riesca a trovare una sequenza di mosseche li trasforma l'uno sull'altro, ma questo teoremanon è di alcun aiuto quando si voglia inveceprovare che due nodi sono diversi.

L'unico risultato teorico che permetterebbe diusare questo teorema anche in senso “negativo”è un recente risultato che stima il numero dimosse di Reidemeister necessarie per ricondurreun finto nodo (ossia un diagramma equivalenteal nodo banale) ad una curva senza incroci.Purtroppo la stima è esponenziale sul numero diincroci del diagramma e questo la rendeinutilizzabile nella pratica anche da un calcolatore.Si introducono quindi invarianti per i nodi.Il primo invariante è il linking number, chemisura quanto due componenti di un nodo siallacciano l'una attorno all'altra.Con questo invariante si prova facilmente chealcuni nodi sono tra di loro non equivalenti, comead esempio il link di Hopf, il nodo di Salomonee il nodo banale a due componenti.Si affronterà quindi una classe di nodi facilmentedescrivibili e abbastanza ricca: quella dei noditorici, così chiamata perchè stanno tutti sullasuperficie di un toro.Di volta in volta, dopo aver posto il problema,i ragazzi verranno invitati a ragionarci sopra,formulando congetture e a darne eventualmentela dimostrazione.

Come materiale di supporto sono stati utilizzati

delle funicelle e dei gommini con le estremitàcalamitate, per riprodurre e manipolare nodi.Questi si sono rivelati particolarmente utili perindividuare isotopie fra nodi (ad esempio l'ottoed il suo speculare) e decomporle in mosse diReidemeister. Molto utile per lo studio dei noditorici si è rivelata una applet che permette dicostruirli e visualizzarli interattivamente,evidenziandone il numero di componenticonnesse.

AttivitàDal punto di vista dei contenuti va segnalato chel'assoluta novità degli argomenti trattati, del tipodi problematiche e delle tecniche dimostrativeutilizzate hanno inizialmente disorientato iragazzi, che però in breve hanno superato ladifficoltà ed hanno acquisito una buona familiaritàcon la materia trattata.La difficoltà forse maggiore è stata quella digiustificare matematicamente la nozione didiagramma di un nodo, dato che i ragazzi nonpotevano possedere gli strumenti necessari perparlare di “proiezioni generiche” e, come previsto,ne è stata data una giustificazione esclusivamenteintuitiva. Questo ha probabilmente ingeneratol'idea che in qualche senso “non si stesse facendodella matematica”, idea superata nel momentoin cui i ragazzi si sono resi conto di come siapossibile ragionare in modo matematico, ancheusando simboli diversi da quelli comunementeusati per “fare matematica”.La stima del numero di mosse di Reidemeisternecessarie a verificare se un nodo sia banaleoppure no, ha dato lo spunto per ragionare sullaefficienza di un algoritmo, che, come in questocaso, pur avendo rilevanza teorica, potrebbe non


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essere di alcuna utilità pratica.Dal punto di vista più strettamente curricolare,con l'analisi del numero di componenti di unnodo torico, si è presentata l'occasione dirichiamare e approfondire il concetto di massimocomun divisore e dare, senza esplicitarle, alcune

nozioni di base dell'aritmetica modulare. Questoproblema ha molto stimolato i ragazzi, che vi sisono impegnati moltissimo (anche al di fuoridelle ore di lavoro in comune) fino ad arrivarea capirne la soluzione, quasi senza interventi daparte del docente.

Hanno detto...

... il responsabile scientificoL'attività si è svolta in un clima molto sereno e di grande partecipazione da parte di tutti. Dopo unprimo momento di comprensibile imbarazzo, da parte di alcuni quasi di diffidenza, tutti i ragazzi sisono lasciati coinvolgere nell'esperienza, sia dal punto di vista umano, sia da quello più strettamentematematico, e hanno dato il loro positivo e costruttivo contributo, a tutti i livelli: formulazione dicongetture, individuazione di strategie dimostrative, individuazione di nuovi problemi, raccolta eorganizzazione del materiale per l'esposizione finale. Tutti quanti alla fine sono stati incuriositi edinteressati dagli argomenti, dando prova di grande determinazione nel cercare (anche al di fuori degliorari previsti per l'attività) soluzioni ai problemi proposti.

...il tutorSi è creata subito un’atmosfera irreale, sospesa tra scopertaludica e tensione alla formalizzazione. Alcuni dei ragazzisono entrati immediatamente nella logica della teoria,rendendosi attori del lavoro di ricerca, costruendo diagrammie formulando ipotesi, senza lasciarsi prendere dal timoredi sbagliare, altri hanno invece osservato a lungo senzaintervenire, mostrando a tratti un educato scetticismo versoun argomento considerato “distante”.Al centro del tavolo il groviglio di cordicelle di gomma,base sperimentale della teoria, è stato oggetto di accanite

manipolazioni da parte di tutti, perchè le “mosse di Reidemeister”, il “linking number”e i “polinomidi Jones” sono costruzioni astratte che acquistano significato quando vengono ricondotte alla realtàche descrivono. Su tutti l’attenzione esperta di “Mimmo”, che con bonaria ironia provoca chi tace,mette in dubbio certezze, valorizza le intuizioni di chi si nasconde e chiede sempre di argomentare.Un’ultima sorpresa, al momento della rielaborazione finale: gli studenti aspettano direttive! É necessariolasciarli soli perchè prendano delle decisioni e si assumano la responsabilità della presentazione inassemblea plenaria.

...uno studenteNon avrei mai pensato che mi mancasse così tanto la bottega! Non si può inventare qualcosa pertornare indietro vero..?!?! Le pause passate sulla terrazza al sole, i grovigli di Mimmo, le meravigliosepartite a calcetto... Che nostalgia...! Beh, invece di continuare a lagnarmi forse è più opportuno, ancheperchè se lo meritano proprio, ringraziare tutti i professori, i tutor, gli organizzatori e per ultima, manon per importanza, la mitica nonnina che serviva ai tavoli...!!Federico Stefenelli, ITI “Galilei”

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Massimi e minimi

Responsabile scientifico: Prof. Italo TamaniniDocente tutor: Prof.ssa Renata MaffettiComponenti del gruppo: M. Ruggero Franzoso (Liceo scientifico “Torricelli”)

Giulia De Salvador (Liceo scientifico “Torricelli”),Marco Montel (Liceo scientifico Salesiano),Adriano Rosin (ITI “Galilei”),Leila Ines Teboni (Liceo scientifico “Torricelli”),Michele Weiss (Liceo scientifico “Torricelli”),Matthias Zösch (ITI “Galilei”).

ArgomentoL’argomento riguarda i cosiddetti “problemi diottimizzazione”, un settore molto attivo dellamatematica e molto importante per le applicazioni(in campo ingegneristico, economico,...). In questoambito si sono considerati problemi di massimoe di minimo per grandezze geometriche(lunghezza, area, volume).

PrerequisitiNozioni di base di geometria (curve e superfici,retta e piano tangente; lunghezza, area e volume;poliedri, cilindro e sfera; simmetrie edeformazioni), di analisi matematica (funzionie grafici; derivate e condizioni di minimo,integrali), di fisica (leggi del moto) e ditrigonometria. Concetti meno noti sono statiintrodotti ed adeguatamente discussiin corso d'opera.

Obiettivi

• Fornire un ventaglio di problemi“concreti”, che hanno origine insituazioni fisiche, per verificarela capacità di traduzione inl i n g u a g g i o m a t e m a t i c oappropriato.

• Utilizzare le conoscenze e letecniche acquisite nel percorsoscolastico ed introdurne di nuoveper lo studio e la risoluzione dellequestioni teoriche collegate.

MetodologiaNelle varie sessioni di lavoro sono stati presentatiproblemi diversi, spesso iniziando da esperimentio da spunti offerti da situazioni concrete.Dapprima sono state discusse le formeisoperimetriche ottimali fra i poligoni, inparticolare triangoli e rettangoli, dove facilicalcoli permettono di controllare le soluzioni.Si è poi risolto il problema di trovare, fra tutti icilindri d’identico volume, quello avente lasuperficie esterna di area minima, la cui formaè realizzata ad esempio nel noto campione dimassa (Kilogrammo campione) conservato aSevres.In seguito si è passati a considerare le “reti diminima lunghezza”, che devono connettere nelmodo più breve possibile un insieme di punti

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dati nel piano. La questione è stata introdottadall’esame di una “macchina” costituita dacarrucole e fili ai quali sono appese delle massee dallo studio delle configurazioni di equilibrioche vi si ottengono. Considerazioni di tipoenergetico hanno permesso di costruire unmodello geometrico della situazione, nel qualesostanzialmente si chiede di trovare il punto “piùvicino” a tre punti dati, nel senso che deve avereuna somma delle distanze minima da questi.La questione del collegamento più breve è stata

poi analizzata in dettaglio nel caso di tre e diquattro punti, per confermare o rigettare ipotesisuggerite dall’intuizione. Le caratteristichefondamentali delle soluzioni (incroci a tre viecon angoli di 120°) sono state poi sfruttate nellaprogettazione di reti minime più complesse.

AttivitàGli studenti hanno partecipato con interesse alleattività sperimentali, formulando ipotesiragionevoli e sottoponendole a verifica analitica.L’impegno profuso è stato encomiabile ed hapermesso di raggiungere i risultati attesi.

Hanno reagito con curiosità e maturità allesituazioni, spesso sorprendenti, che è statopossibile sperimentare, discutendo insieme earrivando rapidamente alla comprensione deifenomeni. Hanno mostrato entusiasmo di frontea questioni nuove e adeguata preparazionenell’affrontarle, lavorando molto attivamente nelgruppo.

Hanno costruito una buona presentazioneconclusiva, sia pur coinvolgendo aspetti nonveramente centrali del lavoro svolto.

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Hanno detto...

...il responsabile scientificoEsperienza molto positiva, con un gruppo che si è subito affiatato e che ha svolto un ottimo lavoro,con serietà ed interesse. La presenza del tutor nella conduzione delle attività e nella vivacizzazionedella discussione è stata fondamentale. Anche la presenza, discreta ma percepibile, della dott.ssaBuonerba come osservatrice dei lavori ha contribuito all’ottimo clima che si è instaurato nel gruppo.

...il tutorGli studenti, superata l’insicurezza e le perplessità sulleloro capacità di seguire quanto proposto dal docente, tipichedel primo giorno, hanno familiarizzato rapidamente congli argomenti e con la nuova modalità di ricerca dellesoluzioni, giungendo a volte con velocità sorprendente arisolvere correttamente i quesiti discussi. Hanno partecipatoattivamente e in modo costruttivo, con entusiasmo ancheper otto ore al giorno...fino alle sette di sera!Hanno appreso che il lavoro del matematico è di notevolesupporto allo sviluppo delle conoscenze e delle tecnologieutilizzate nel quotidiano.

...uno studenteLa cosa strana quando si ritorna al tran tran quotidiano dopo un’esperienza del genere è che inizialmentemai avresti pensato di divertirti così tanto...A distanza di una settimana dalla presentazione finale sento veramente la mancanza di tutti i ragazzie i professori con cui ho vissuto quattro giorni indimenticabili!!! Quando mai mi ricapiterà di giocarea calcetto in 8 (uno per manopola) o di fare gli sfidoni a biliardo con regole tutte particolari anche acausa della pendenza del tavolo???? E soprattutto quando mi ritroverò coinvolta in lezioni di matematicaveramente piacevoli (con tutto il rispetto per il prof. Gottardi ovviamente...)???Un grande grazie e un grande bacio a tutti i protagonisti della bottega, con la speranza di rivedervitutti presto!!!Un abbraccio,Leila Ines Teboni, Liceo Scientifico “Torricelli”

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ArgomentoL’oggetto del lavoro affrontato è la“brachistocrona”: cioè la curva che unisce duepunti seguendo il percorso che rende minimo iltempo di percorrenza. Il problema così posto èun problema tipicamente matematico ma nonservono grossi sforzi di immaginazione per capireche i collegamenti con la realtà in generale e conla fisica in particolare sono facili: basta pensarealla propagazione della luce (rifrazione). Ilproblema viene affrontato a partire da situazionipiuttosto facili, come la velocità di propagazioneomogenea nello spazio, che possono essere risoltecon le semplici conoscenze geometriche e poi siva a complicare la condizione di propagazionein modo tale da dover ricorrere a tecnicheanalitiche: bisogna rendere minima una funzionea p p l i c a n d o i l c a l c o l odiferenziale. Il livello dicomplicazione diviene massimoquando l a ve loc i t à d ipropagazione cambia in modocontinuo e la soluzione diventauna traiettoria complessa checontrasta con la soluzione piùintuitiva (la linea retta tra i duepunti).

PrerequisitiNozioni di base di geometria(curve e superfici, retta e pianotangente; lunghezza, area evolume; poliedri, cilindro es f e r a ; s i m m e t r i e edeformazioni), di analisi


Brachistocrona

Problemi di massimo e di minimo

Responsabile scientifico: Prof. Italo TamaniniDocente tutor: Prof. Diego GottardiComponenti del gruppo: Marco Abram (ITI “Galilei”),

Daniele De Martin Polo (Liceo classico “Cantore” - Brunico),Andrea Gambarotto (Liceo scientifico “Torricelli”),Martin Gozzi (Liceo scientifico “Torricelli”),Marco Pellin (Liceo scientifico “Torricelli”),Alice Walzl (Liceo scientifico Salesiano).

matematica (funzioni e grafici; derivate econdizioni di minimo, integrali), di fisica (leggidel moto) e di trigonometria. Concetti menonoti vengono introdotti ed adeguatamente discussiin corso d'opera.Obiettivi• Comprendere come gli strumenti matematici

vadano usati con rigore e generalità. Lamatematica deve costituire un modello delfenomeno e a l l ’ in te rno d i ques tamodellizzazione vanno applicate le tecnichedi calcolo. Inoltre i risultati ottenuti devonoavere validità generale e questa deve esserededotta e dimostrata in modo logico e noncontraddittorio.

• Sviluppare la consapevolezza del metodo

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scientifico nella sperimentazione e nellar i f lessione sui fenomeni osservat i .



MetodologiaSi propongono attività di esplorazione di fatti,di costruzione di modelli e di risoluzione diproblemi, anche a partire dalla sperimentazionecon materiali appositamente studiati e realizzatiper questo scopo (la relativa strumentazione èstata fornita dal laboratorio dell’Università).Gli studenti saranno invitati a riflettere sullequestioni poste, a formalizzarle nel linguaggiomatematico, a scegliere la strategia risolutiva.

AttivitàIl tema centrale affrontato quest’anno ha una

lunga e affascinante storia ed è noto come“problema della brachistocrona”: si tratta insostanza di trovare la curva lungo la quale ungrave cade impiegando il tempo minore. E’ unclassico problema di calcolo delle variazioni,che per una trattazione completa e rigorosa habisogno di tecniche piuttosto avanzate ma che,se ci si accontenta di comprenderne gli aspettiprincipali anche senza la verifica formale di ognidettaglio, consente di costruire un percorsomatematico molto ricco ed interessante.Con l’ausilio di un modellino appositamenterealizzato dall’Istituto d’Arte “A. Vittoria” diTrento si sono compiute alcune osservazionipreliminari; usando le leggi della dinamica delpunto materiale si è poi costruito un modellomatematico del problema e si sono analizzate leprime semplici possibilità (un segmento, unacirconferenza,...), calcolando anche con l’aiutodi software specifico (Derive) il corrispondentetempo di caduta. Si è poi ottenuta una condizionecaratteristica della curva soluzione, per analogiacon un problema di rifrazione, e si è mostratoche la cicloide, precedentemente descritta evisualizzata con Cabrì, la verifica.

Hanno detto...

...il responsabile scientificoPur davanti ad una questione nuova ed impegnativa, gli studenti si sono dimostrati attenti ed interessati

ed hanno cercato nel loro bagaglio di conoscenze glistrumenti ed i ragionamenti che potevano essere utili pervenirne a capo. Si sono impegnati con curiosità, un po’sorpresi di come un (grande!) matematico del Seicentoabbia saputo collegare fatti apparentemente lontani perdirimere la questione. Non hanno risparmiato i controllianche laboriosi e i calcoli talvolta faticosi, lanciando ognitanto idee e spunti brillanti. Hanno costruito una buonapresentazione dell’argomento e dell’attività sviluppata nelletre giornate.Esperienza come sempre positiva. Si doveva arrivare aduna soluzione in un contesto assolutamente inesplorato,

lavorando su più fronti: teorico-modellistico, grafico-numerico al calcolatore... Il “clima” delle giornateè stato piacevole, il lavoro intenso e soddisfacente. Un buon gruppo, interessato, impegnato e capace,e un ottimo tutor!

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...il tutorGli studenti hanno avuto un approccio graduale al problema che li ha portati passo passo verso situazionisempre più impegnative. Questo approccio ha favorito la comprensione e lo sviluppo delle nuovetecniche di calcolo e di modellizzazione. Sicuramente ci sono state delle difficoltà dovute più allamancanza di metodo che alla mancanza di conoscenze ma in breve tempo sono state superate.

...uno studenteNELLA BOTTEGA DELLE MERAVIGLIE... :-)...allora, intanto grazie davvero a tutti (professori e "compagni") per questa bellissima esperienza,anche se i primi due gg sono stati abbastanza duri...beh utile lo è stato, e molto, ma gli ultimi 2 gg èstato anche molto divertente...finalmente ho scoperto cos’è una "brachistocosa" e ho appreso meglioanke argomenti che sto trattando a scuola....un bacio a tutti....Alice Walzl, Liceo Scientifico Europeo Salesiano

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Elementi di teoria dei nodi

Responsabile scientifico: Prof. Domenico LuminatiDocente tutor: Prof.ssa Renata MaffettiComponenti del gruppo: Arianna Brillo (Liceo scientifico Salesiano),

Davide Cappelletti (ITI “Galilei”),Francesco Erdini (Liceo scientifico “Torricelli”),Silvia Fabbretti (Liceo scientifico “Torricelli”),Michele Larcher (Liceo scientifico “Torricelli”),Luca Pignata (Liceo scientifico “Pascal” - Merano),Mattia Prevedello (Liceo scientifico Salesiano).

ArgomentoUn nodo è una curva chiusa e senza incroci, conuna o più componenti , nello spaziotridimensionale. Due nodi si dicono equivalentise esiste una isotopia ambiente (di tutto lo spaziotridimensionale) che li porta uno sull'altro. Inaltri termini, più intuitivi, due nodi sono “lostesso nodo” se si riesce a deformarne unosull'altro senza “effettuare tagli”.Il problema della teoria dei nodi è quello diclassificare i nodi a meno di equivalenza. Questoproblema, apparentemente semplice, è in reltàestremamente complesso e tuttora noncompletamente risolto, ovvero non si è ancoratrovato (nemmeno da un punto di vistaesclusivamente teorico) un algoritmo che, datidue nodi, sia in grado did i s t ingue r l i a meno d iequivalenza.

PrerequisitiNozioni di base di geometria(curve, proiezioni) e di algebra(massimo comun divisore diinteri e manipolazione dipolinomi).

Obiettivi• Introdurre in modo intuitivo

alcuni concetti di topologiaelementare (omeomorfismi edeformazioni).

• Mediante l'introduzione della

teoria combinatorica dei nodi, evidenziare comesi possano "fare conti" con oggetti non numerici(teorema di Reidemeister).

• Introdurre il concetto di invariante - concettocentrale in matematica ogni volta che si affrontaun problema di classificazione - facendoneemergere naturalmente la necessità cercandodi classificare alcuni nodi.

MetodologiaPartendo dall'analisi di alcuni esempi concretiottenuti manipolando cordicelle e ricostruendomodelli presi dalla realtà, si cercherà di introdurreuna corretta formalizzazione della teoria dei nodi(evidenziando anche tutti i problemi connessi ad

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una tale formalizzazione - nodi e deformazionipatologiche).Una volta enunciato il teorema di Reidemeister(che introduce un calcolo di tipo grafico-combinatorico sui nodi), si analizzeranno esempie si riuscirà ad evidenziare la necessità di definiredegli invarianti e se ne analizzeranno alcuni(linking number e polinomi di Jones).Gli studenti verranno guidati nel formularecongetture di enunciati che spieghino lefenomenologie osservate e ad individuarne, inalcuni casi particolari, le strategie dimostrative.

AttivitàDopo un breve brain-storming su cosa è un nodoe su come si confrontano nodi tra loro si è costruitoun formalismo e un linguaggio da utilizzare percatalogare questo curioso oggetto che è il “nodo”.Inizialmente gli studenti hanno ascoltato e seguitoil docente stupiti ed increduli che un oggetto cosìbuffo potesse far parte della “severa” matematica,ma poi, invitati a riflettere, a giocare e asperimentare con corde e cime magnetiche dapoter annodare e arrotolare a piacere, hannomesso da parte molto presto la tradizionalematematica studiata sui banchi di scuola,lasciandosi affascinare da un argomento nuovoe così strano.Collaborando tra loro hanno dimostrato abilitànell’apprendimento, nell’intuizione e nellarielaborazione dei nuovi concetti. Insiemeabbiamo classificato nodi, dimostrato teoremi,trovato invarianti e regole che associano polinomialla costruzione di nodi spingendoci sino ai noditorici! Per tre giornate i ragazzi hanno non solofatto, disfatto e sgarbugliato corde annodate ediagrammi su fogli ma soprattutto imparatovelocemente a manipolare le operazioni e ilformalismo tipico di questo argomento arrivandoa dimostrare anche teoremi complessi.Come un matematico, hanno provato il “gusto”di trovare le risposte giuste a domande curiose.Va segnalato che l'assoluta novità degli argomentitrattati, del tipo di problematiche e delle tecnichedimostrative utilizzate hanno inizialmentedisorientato i ragazzi. In breve, però, tutti hannosuperato la difficoltà ed hanno acquisito unabuona familiarità con le tecniche di manipolazione

dei diagrammi.Rispetto all'anno precedente, si è preferito nondare alcuna giustificazione matematica dellanozione di diagramma di un nodo, ma la si èintrodotta semplicemente come una simbologia“facilmente riconoscibile” per descrivere curvenello spazio tridimensionale. I ragazzi non hannofaticato ad accettarla, anzi sono stati in grado finda subito di “operare” con tali simboli, arrivandoanche ad individuare autonomamente alcunedelle mosse di Reidemeister, a trovare unastrategia per banalizzare un nodo attraversoscambi di sopra sotto e una dimostrazione delfatto che il linking number di un nodo è sempreun numero intero.Il calcolo del polinomio di Jones è statal'occasione per richiamare il principio d'induzionee vederlo in azione in un contesto completamentediverso da quelli abituali (calcolo del polinomiodei nodi banali a più componenti) ed è statooccasione per vedere come il principiod'induzione possa essere usato non solo suinaturali, ma anche su insiemi parzialmenteordinati e ben fondati (nodi ordinati dalla lorocomplessità data da numero di incroci e numerodi scambi necessari a banalizzare il nodo).L'analisi del numero di componenti di un nodotorico, oltre a dare lo spunto per accennare alledefinizioni e proprietà di base dell'aritmeticamodulare, ha fornito l'occasione per richiamaree approfondire il concetto di massimo comundivisore e per dimostrare l'algoritmo di Euclideper il suo calcolo.

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Hanno detto...

...il responsabile scientificoSuperati l'imbarazzo e la diffidenza iniziale, tutti i ragazzi, in varia misura, si sono lasciati coinvolgerenell'esperienza, sia dal punto di vista umano, sia da quello più strettamente matematico, e hanno dato,con tenacia e determinazione, il loro positivo e costruttivo contributo, a tutti i livelli: formulazionedi congetture, individuazione di strategie dimostrative, individuazione di nuovi problemi, raccolta e

organizzazione del materiale per l'esposizione finale.

...il tutorOttimo il lavoro di sintesi per l’esposizione dell’ultimogiorno. I ragazzi hanno lavorato in gruppo per riassumeregli argomenti e per esporli in modo efficace coordinandosinelle varie operazioni tipiche della stesura finale di unlavoro.

...uno studenteSono stanco.... sono dimagrito... ci danno da mangiare gliavanzi dei pranzi precedenti... sto deperendo... sono ancora

più pallido del solito... le barzellette dei profe non fanno ridere... e noi dobbiamo ridere per forzaperchè sennò ci fanno scarpinare fino a castelli irraggiungibili ma soprattutto chiusi... piove un giornosì e l’altro anche... ma per il resto va anche bene.... x fortuna che non devo fare nodi tutto il giornoaltrimenti non sarei qui a scrivere sul blog... spero di rivedervi ancora...


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Massimi e minimi

Responsabile scientifico: Prof. Stefano BonaccorsiDocente tutor: Prof. Piergiorgio CeminComponenti del gruppo: Marco Concli (ITI “Galilei”),

Martina Doliana (Liceo scientifico Salesiano),Sonia Frei (Liceo scientifico “Pascal” - Merano),David Roilo (Liceo scientifico “Torricelli”),Marco Tonini (Liceo scientifico “Torricelli”),Alexander Zanon (Liceo scientifico Salesiano).

ArgomentoIntroduzione al concetto di probabilità.Qual è la differenza tra il concetto intuitivo diprobabilità e la sua definizione formale? In tanteoccasioni della vita quotidiana, noi assegniamoprobabilità ad eventi sulla base di una intuizione.Spesso questa intuizione porta a risultati corretti(quando scommettiamo sul lancio di un dado, adesempio), ma in altri casi il risultato corretto vacontro il senso comune (e quindi non vienecompreso).Passeggiate casuali. Il fenomeno delle passeggiatecasuali (che possiamo interpretare come il capitaleaccumulato in una successione di lanci di testao croce) è il modello a cui applichiamo le nostreconoscenze. Vogliamo approfondire due aspetti:il comportamento asintotico (ilteorema centrale del limite) eil comportamento in caso dibarriere.Applicazioni. Nella vita di tuttii giorni veniamo a contatto coni sondaggi: ma li sappiamointerpretare? Quali sono le realiaffermazioni e perchè isondaggi possono, in buonafede , sbag l ia re? E , inparticolare, cosa significa cheun sondaggio è sbagliato?

PrerequisitiEssere in grado di maneggiarematrici e vettori ed avereun’idea intuitiva di limite.

Obiettivi• Assiomi di Kolmogorov.

• Passeggiata aleatoria, cos’è, quali sono iproblemi che pone e come risolverli.

• Studiare i sondaggi.

MetodologiaCalcolo delle probabilità. La probabilità vieneintrodotta attraverso gli assiomi di Kolmogorov.Viene quindi mostrato come in casi concreti sipossano assegnare le probabilità usando ladefinizione classica (casi favorevoli/casi totali)oppure la definizione frequentista (rapporto trasuccessi e tentativi) oppure dando un nostro

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giudizio soggettivo. Abbiamo anche parlato diprobabilità condizionata come nuovo giudiziosu un evento che diamo in seguito ad un aumentodella nostra conoscenza.Le variabili aleatorie sono state introdotte come“numeri” che possono assumere diversi valori,ognuno dei quali con una certa probabilità.Quindi il concetto è stato esteso alle variabilialeatorie continue. Abbiamo anche parlato dimedia (in relazione alla media aritmetica) e didispersione.

Passeggiate casuali. Abbiamo introdotto lo studiodelle passeggiate casuali tramite le simulazionial calcolatore (Excel e applet java). Abbiamodiscusso il numero di pareggi che si ottengonosu una passeggiata di lunghezza n ed il valoredel massimo scostamento: abbiamo mostratoche entrambi questi numeri crescono come laradice quadrata di n. Abbiamo anche mostrato,usando la formula d i S t i r l ing perl’approssimazione del fattoriale, che la probabilitàdi finire alla pari dopo n lanci tende a 0 per nche cresce oltre ogni limite.Abbiamo quindi discusso il problema dipasseggiata con una barriera. Anche in questocaso la discussione è partita tramite lesimulazioni, quindi abbiamo calcolato laprobabilità di assorbimento nei vari casi.L’esempio tipico è la passeggiata del marinaioubriaco. Abbiamo quindi aggiunto una secondabarriera (che rappresenta la porta di casa per ilmarinaio): come cambia la probabilità di salvarsiin tale caso? Infine, abbiamo mostrato come lostesso modello si applica al seguente gioco: adesempio, per raddoppiare il mio capitale allaroulette, è meglio il gioco conservativo (un euroalla volta) oppure il gioco d’attacco (punto tuttosubito)?

Gaussiana. Il teorema centrale del limite, nellaforma debole di De Moivre-Laplace, è statointrodotto in relazione alla passeggiata casuale.Abbiamo quindi dovuto introdurre e studiare levariabili aleatorie con distribuzione gaussiana;questo ha reso necessario parlare di variabilialeatorie continue.Abbiamo quindi parlato di come viene costruitoun sondaggio, quali sono le risposte che puòdare e cosa non possiamo aspettarci.

AttivitàIn questa edizione, la volontà di arrivare ad unesempio particolare (lo studio dei sondaggi) hadiminuito la possibilità di proporre percorsialternativi; il responsabile scientifico, prof.Bonaccorsi, ha cercato di mantenere l’attenzionedegli studenti proponendo alcuni giochi logici,che potevano essere risolti con gli strumenti piùsemplici del calcolo delle probabilità. Alcuni diessi (le due figlie di Mr. Brown, ad esempio)sono stati proposti nella presentazione; altri sonostati oggetto di discussione a tavola (come ilduello tra i tre cowboys).Affrontare il problema dei sondaggi è statorischioso, poichè richiede un numero di nuovistrumenti tale da rendere duro il cammino perarrivarci. La speranza è che quanto visto vengapoi rielaborato in maniera personale. D’altraparte, anche i ragazzi erano d’accordo che unpunto di arrivo fosse necessario per avere unostimolo ad approfondire gli argomenti.

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Hanno detto...

...il responsabile scientificoHo molto apprezzato il fatto che dopo la presentazione, quando erano liberi di fare quello che volevano,i ragazzi siano tornati nella nostra stanza, per giocare insieme e per parlare, fare domande, di matematicae non solo; allora ho capito che, dal punto di vista umano, la Bottega aveva funzionato.

...il tutorHo verificato nelle giornate della Bottega quanto siaimportante per questi ragazzi avere un incontro reale epersonale col mondo della ricerca e dell’università.

...uno studenteVolevo ringraziare tutti, compagni e professori, che hannoreso possibile questa bellissima esperienza. Nonostantei primi giorni siano risultati abbastanza duri, è stataun’esperienza molto positiva e istruttiva.Gli ultimi due giorni sono stati per me i più belli e i piùdivertenti, forse perchè ci siamo conosciuti meglio e siamo

riusciti a confrontarci. Per questo volevo ringraziare in particolare il mio gruppo, che ha reso possibilequesto.Grazie ancora a tuttiMartina Doliana, Liceo Scientifico Salesiano

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un’iniziativa rivolta all’eccellenzaLaura Buonerba

La Bottega del Matematico Il punto di vista

Dal 4 al 7 aprile 2005 ventuno studenti concarriera brillante, provenienti dalle classi quintedelle scuole superiori della provincia di Bolzano,si sono confrontati con questioni matematichenel corso della terza edizione della Bottega delMatematico. Sono stati formati tre gruppi dilavoro, ciascuno costituito da 7 ragazzi, da undocente universitario e da un insegnante-tutor discuola superiore.

All’interno di ciascun gruppo il docente haproposto agli studenti dei problemi e li ha guidatinella risoluzione.

Tutti gli studenti che hanno preso parte alleattività della Bottega, hanno trovato l’esperienzamolto positiva e assolutamente piacevole. Graziea questa esperienza essi hanno potuto:

• mettersi in gioco, scatenando fantasia ecreatività,

• calarsi nello “spirito del ricercatore” per risolveresituazioni problematiche,

• osservare come ragiona un matematico diprofessione,

• costruire nuovi concetti e abilità,

• arricchire di significati concetti già appresi,

• mettere in pratica le loro conoscenze scolastichedella matematica,

• approfondire la loro preparazione in vistadell’esame di maturità,

• avere eventualmente qualche indicazioneriguardo al loro orientamento universitario.

La Bottega: un ambiente di sperimentazione diuna metodologia didattica specifica di disciplina

Quali sono stati i contenuti della matematicatrattati all’interno di ciascun gruppo? Quali sonostate le strategie di insegnamento, le metodologie,le modalità di interazione adottate da ciascundocente universitario? Quali strumenti sono statiutilizzati per favorire l’apprendimento deglistudenti? Mi riferirò in particolare alle attivitàda me osservate all’interno del gruppo guidatodal Professore universitario Italo Tamanini eseguito dall’insegnante-tutor Renata Maffetti.

All’interno di questo gruppo il docente haaffrontato problemi di massimo e minimo facendoriferimento sia a situazioni di tipo concreto siaa situazioni di tipo puramente teorico.

Vediamo alcuni esempi di problemi che i ragazzihanno affrontato:

1) Progettare la costruzione di una scatola apartire da un cartoncino quadrato (di latofissato) in modo che il volume sia massimo.

2) Progettare la realizzazione di un recinto diforma rettangolare, utilizzando uno steccatodi lunghezza fissata, in modo da racchiuderela massima superficie di terreno. Vedere cosasuccede se si appoggia lo steccato ad un muro.

3) Qual è tra i triangoli inscritti in unacirconferenza quello di area massima?

4) Dati due punti posti dalla stessa parte di unaretta, qual è il percorso minimo che collegaun punto all’altro passando per un punto dellaretta?

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5) Qual è la rete minima che collega 3 puntidisposti ai vertici di un triangolo equilatero?E quella che collega 4 punti disposti ai verticidi un quadrato?

6) Qual è la rete minima che collega 3 puntidisposti ai vertici di un triangolo qualsiasi?

In alcuni casi il docente ha “lanciato” direttamenteil problema (come nel caso dei primi cinqueesempi sopra riportati), in altri è partito dasituazioni sperimentali significative con lo scopodi far “inciampare” i ragazzi in qualche problemainteressante (come nel caso dell’esempio 6).

Se da una parte gli studenti sono stati stimolatia pensare, a ragionare, a far riferimento alle lorocapacità logiche e intuitive, alla loro fantasia ealle loro conoscenze matematiche, dall’altrahanno “costruito” nuovi concetti matematici e“arricchito di significati” concetti già acquisitia scuola. Ad esempio, i ragazzi, già abituati atrovare il massimo e il minimo di una funzionemediante il calcolo della derivata prima, hannoavuto la possibilità di applicare tale concettonella risoluzione di problemi relativi a situazionireali comprendendone così l’utilità pratica.

Le lezioni del Prof. Tamanini si sono svolteprevalentemente sotto forma di dialogo. Nellarisoluzione dei problemi il docente hageneralmente ascoltato le proposte avanzate dairagazzi e sulla base di queste ha formulato nuovedomande in modo da condurli alla soluzione. Inalcuni casi gli studenti hanno rispostocorrettamente, in altri casi si sono avvicinati alla

risposta corretta, in altri ancora hanno sbagliatoma dagli errori hanno imparato a costruire ipotesipiù valide.

In diverse occasioni gli studenti hanno avutomodo di operare con le mani oltre che con lamente. Significativi sono stati ad esempio imomenti dedicati alla realizzazione, a partiredall’osservazione di alcune foto, di costruzionicon cubetti e tasselli.

Non sono mancati momenti in cui i ragazzi,lavorando suddivisi in gruppetti più piccoli di 2o 3 persone, hanno eseguito diversi calcoli, avolte anche complessi, mettendo in pratica leabilità di calcolo differenziale acquisite a scuola.A volte non hanno trovato difficoltà, altre voltehanno chiesto l’intervento del docente o del tutor.

Il docente ha fatto riferimento in più occasionial mondo della fisica soprattutto per far“inciampare” gli studenti in problemi significativi.Ad esempio:

� Dall’osservazione di una fotografia delcampione di massa di platino-iridioconservato a Parigi è scaturito il problemadi come realizzare un cilindro di volumefissato e di superficie totale minima.

� Dal montaggio di un interessante apparatosperimentale, costituito da 3 masse, sostenuteda 2 fili opportunamente legati fra loro efatti passare nella gola di 3 carrucole fissatead un sostegno, è nato il problema di comecostruire la rete minima che colleghi trepunti qualsiasi.

In qualche occasione il docente è ricorso all’usodel computer, soprattutto per mostrare dellesimulazioni utili a chiarire alcuni concettimatematici.

I ragazzi hanno partecipato con grande interesseed entusiasmo a tutte le attività che sono stateloro proposte. Ad alcuni problemi si sonoveramente appassionati e in più occasioni hannoavanzato ipotesi risolutive brillanti.Descriverò a titolo di esempio le fasi principali

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del lavoro svolto sulle reti minime.

� Il docente ha inizialmente proposto il problemadi progettare una rete stradale minima dicollegamento tra 3 città equidistanti tra loro.

� Ha fatto poi montare l’apparato sperimentaledelle 3 masse e delle 3 carrucole, sopradescritto, per fare osservare l’interessantedisposizione angolare dei tre tratti di filo enello stesso tempo per far riflettere sul perchéil sistema raggiunga una tale configurazione.Gli studenti hanno eseguito dei calcoli pertradurre il problema di energia potenzialeminima in un problema di lunghezza minimae sono quindi arrivati al problema di trovarela rete minima che collega tre punti dispostiai vertici di un triangolo qualsiasi.

� Infine il docente ha chiesto ai ragazzi diprogettare un metanodotto di lunghezzaminima in modo da collegare due città allatubazione principale di metano. In questaoccasione gli studenti, opportunamenteguidati dal docente, hanno dimostrato disaper applicare ad una situazione nuova ep i u t t o s t o c o m p l e s s a i c o n c e t t iprecedentemente acquisiti.

A conclusione dell’attività svolta è stato richiestoa ciascuno dei tre gruppi di presentare il propriolavoro rispettando le seguenti modalità: circa 20minuti a disposizione, da ripartire ugualmentetra i vari componenti, e possibilità di utilizzarePowerPoint.Nel gruppo del Prof. Tamanini, il docente hainvitato gli studenti a dividersi in tre gruppettie a concentrarsi ciascuno su un problema, traquelli trattati, che li avesse appassionati. Iproblemi scelti sono stati:

� il problema di Erone (problema 4) e unasua applicazione al gioco del biliardo,

� il problema 2,

� il problema 6 e il progetto del metanodotto.

I ragazzi, dopo aver stabilito i punti fondamentali

da sviluppare, hanno cominciato a realizzaredelle diapositive in PowerPoint, dando liberosfogo in alcuni casi alla loro fantasia. Il docenteli ha lasciati lavorare senza influenzare le loroscelte. In questi momenti gli studenti si sonoimpegnati con entusiasmo, dimostrando di sapere:

� lavorare in gruppo,

� mettere in gioco e coordinare le competenzedi ciascuno,

� finalizzare il lavoro al raggiungimento diun obiettivo comune,

� rispettare l’opinione dell’altro e nello stessotempo sostenere la propria.

Nella fase finale di presentazione del lavorosvolto ciascun gruppo ha saputo affrontare lasituazione con disinvoltura e ha dimostrato dipadroneggiare i concetti acquisiti.

La Bottega: un prototipo di situazione didatticaefficace

L’insegnamento della matematica nelle scuolesuperiori presenta ancora oggi molti difetti.

� Spesso l’insegnante sviluppa prima la teoria,dando definizioni, enunciando e dimostrandoteoremi, e poi la applica o la fa applicareagli allievi nella risoluzione di esercizi,spesso ripetitivi, o di problemi che anchese complessi “si sa già come trattare”. Spessogli esercizi e i problemi affrontati a scuolahanno come risultato quello di consolidareforme di automatismi piuttosto che quellodi indurre i ragazzi al ragionamento.

� Spesso l’insegnante è convinto che si debbanosubito portare gli studenti verso laformalizzazione e dimentica l’importanzadi far riferimento a situazioni concrete. Nederiva che gli studenti sono spesso incapacidi utilizzare la matematica come strumentoper descrivere e rappresentare la realtà.

� Spesso l’insegnante mira solo alla disciplina“matematica”, quella che si trova bene

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ordinata nei libri di scuola, svuotandolaperciò del suo significato e rendendola, ilpiù delle volte, arida agli occhi degli studenti.

� Spesso l’insegnante favorisce negli allievila suddivisione delle conoscenzematematiche in settori separati tra loro. Raresono le occasioni in cui li spinge ad usaretutta quanta la matematica e non solo unapiccola parte. Ai ragazzi viene così amancare un quadro complessivo del saperematematico e delle relazioni fondamentaliesistenti tra le diverse aree.

Come si possono superare tali limiti? Nellegiornate della Bottega i tre docenti universitarihanno scelto di partire da situazioniproblematiche. Invece di iniziare la trattazionedi un argomento con una serie di definizioni eteoremi, sono partiti lanciando dei problemi lacui risoluzione ha portato alla scoperta di unnuovo concetto o allo sviluppo di una teoria. Puòessere efficace anche a scuola una tale sceltametodologica? Vediamo di esaminare i punti diforza di una didattica di questo tipo:

� può suscitare l’interesse e la partecipazionedi tutti gli allievi;

� coinvolge gli studenti e scatena la lorofantasia nel creare ipotesi per cui essidivengono veramente attivi e si calano nello“spirito del ricercatore” per risolvere iproblemi;

� li porta a costruire nuovi concetti e abilitàe nello stesso tempo a consolidare quelliacquisiti in precedenza;

� li spinge a pensare, a ragionare;

� li porta ad usare tutta quanta la matematicae a non operare nette separazioni tra i variargomenti;

� li spinge ad avere il coraggio di sbagliare,di riconoscere i propri errori e di costruireipotesi sempre più valide;

� li avvicina sempre di più al modo di lavoraredel ricercatore, il quale, una volta che hainciampato in un problema, procede pertentativi ed errori verso la ricerca dellasoluzione;

� li motiva intrinsecamente all’apprendimentodella matematica;

� combatte il nozionismo: un problema trasformauna nozione qualsiasi in una nozioneimportante, rilevante per quel problema.

Qualcuno si potrebbe però domandare se non visiano altre strategie ugualmente efficaci perottenere gli stessi risultati. Se pensiamo però almodo di procedere della scienza, ci accorgiamoche la ricerca scientifica parte sempre da problemie che lo scienziato si trova il più delle volte adinciampare in problemi, che rappresentano perlui situazioni nuove, per le quali non ha prontedelle soluzioni. Lo stesso sapere matematico«nasce da un’attività comune su problemisignificativi, di cui si parla e si discute» [1].

Queste considerazioni inducono quindi a pensareche il modo più autentico di fare matematica siaquello di risolvere problemi e che le conoscenzee le abilità matematiche si possano imparare«lavorando attivamente in situazioni significative,discorrendo di quello che si fa, calandosi incontesti specifici, passando da un contestoall’altro e producendo infine concettidecontestualizzati, pronti ad essere usati in nuovicontesti» [1].

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Nelle giornate della Bottega i tre docentiuniversitari in più occasioni hanno fatto operarei ragazzi con le mani oltre che con la mente. Ciòsi è rivelato utile ai fini della costruzione dialcuni concetti matematici. «I concetti matematiciastratti nascono molto spesso insieme alleoperazioni delle mani e del corpo, e, se le manie il corpo non agiscono, spesso nella mente nonsi producono concetti, ma solo nomi privi disignificato, che svaniscono rapidamente» [2].Penso quindi che una fase di “operatorietàconcreta” sia importante a volte anche a livellodi scuola superiore.

La strategia utilizzata dai tre docenti dicoinvolgere direttamente i ragazzi nellapreparazione e nella presentazione del lavoropotrebbe essere utilizzata anche a scuola a fianco(o in sostituzione) dell’interrogazionetradizionale. Gli studenti avrebbero così mododi:� imparare a lavorare in gruppo,� riflettere sui concetti appresi,� mettersi in gioco,� dare libero sfogo alla loro fantasia.

Ciascun docente universitario, all’interno delsuo gruppo, ha realizzato un ambiente apertoalla discussione, alla condivisione del sapere eun insieme strutturato di attività volte allacostruzione di significati degli oggetti matematici.Anche nella scuola sarebbe auspicabile da partedell’insegnante di matematica un atteggiamentodi questo tipo.

La Bottega: un modello di formazione per idocentiLe attività svolte alla Bottega del Matematicohanno costituito un momento molto importanteai fini della mia formazione. Partecipare in qualitàdi osservatrice è stata un’esperienza per menuova e molto costruttiva. Parlando con la tutorRenata Maffetti, docente di matematica nellescuole superiori da diversi anni, è emerso cheesperienze del genere sono molto positive ancheper gli stessi docenti che già insegnano nellescuole. Lei stessa mi ha detto di aver ripropostoin classe alcune delle attività presentate nelleedizioni della Bottega degli anni passati. Penso

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che attività del genere siano molto utili agliinsegnanti (sia a quelli che si preparano ad entrarenella scuola sia a quelli che vi operano già),perché possano ripensare le forme e i contenutid e l l ’ i n s e g n a m e n t o e l e m o d a l i t àdell’apprendimento.

Riferimenti bibliografici[1] G. Anzellotti, Matematica Biennio e Triennio,Nuova secondaria, gennaio 2003

[2] G. Anzellotti, Il liceo e la preparazione pergli studi universitari, maggio 2003


il punto di vista di uno specializzando

Paolo Caresia


L’edizione 2005 della Bottega del Matematicoha visto coinvolti tre gruppi di studenti, ognunoconcentrato su un argomento proposto dal proprioresponsabile scientifico. La suddivisione deiragazzi nei vari gruppi è stata effettuata a priori,separando per quanto possibile quelli provenientidalla stessa scuola, con l’intento di mettere aconfronto approcci diversi tra loro.

Si tratta, come detto, di un’iniziativa rivolta astudenti eccellenti, ma sarebbe interessantevalutare l’efficacia dei metodi di lavoro utilizzatie la loro applicabilità nelle classi scolastiche. Siavverte infatti la necessità di un cambiamentonelle metodologie didattiche utilizzate nellescuola allo scopo di renderle meno “teoriche” epiù vicine all’attività di ricerca vera e propria.La “Bottega del Matematico” è organizzata inmodo da avere proprio queste caratteristiche.

Un altro aspetto interessante è la possibilità diapplicare questo stesso metodo di lavoro nelleattività di formazione dei docenti, chediverrebbero dunque vere e propriesperimentazioni che consentano di acquisireconoscenze e formare nuove idee direttamentesul campo.

In qualità di specializzando della Scuola diSpecializzazione all’Insegnamento Secondario(SSIS) di Rovereto, ho seguitoper intero le attività del gruppoB.

ArgomentiCome già accennato, il temadestinato al gruppo B è statoquello della teoria dei nodi.Si tratta di un argomentocompletamente nuovo per i

ragazzi e non incluso nella normaleprogrammazione scolastica, nonostante non sianomancati alcuni riferimenti alla matematica perloro “più consueta”.Gli argomenti trattati nel corso della Bottegasono stati:

• definizione di nodo;

• nodi equivalenti, diagrammi dei nodi;

• mosse di Reidemeister e Teorema diReidemeister;

• invariante per un nodo;

• polinomi di Jones;

• nodi torici;

• linking number.

Nel presentare questi argomenti inoltre non sonomancate inoltre le occasioni per divagare indirezioni diverse.

La Bottega: un’iniziativa rivolta all’eccellenzaCome detto questa iniziativa è pensata in modospecifico per studenti dal profitto molto elevato,

s p e c i a l m e n t e n e l l ediscipline scientifiche. Sitratta pertanto di ragazzi chenon hanno bisogno di esseremotivati nello svolgerequeste attività, perché giàn a t u r a l m e n t e m o l t ointeressati alla materiaproposta.

La Bottega è organizzata su

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misura per un’utenza di questo tipo, soprattuttoda due punti di vista: i contenuti ed i ritmi dilavoro. Gli argomenti trattati, infatti, sono quasitotalmente nuovi per i ragazzi e sicuramenteimpegnativi. La teoria dei nodi, ad esempio,richiede l’utilizzo di strumenti propri, quasisempre diversi da quelli della matematica cheviene proposta in classe: agli studenti è richiestoin sostanza di ripartire da zero, di costruire percosì dire dal nulla, o meglio da un sempliceproblema pratico (vogliamo studiare i nodi), unateoria. Si tratta di un approccio completamentenuovo, che forse per la prima volta mostra lorocome, partendo da un problema ben definito,possa nascere una teoria, in sostanza come sisviluppa la ricerca scientifica.

Sono anche nuovi o poco utilizzati molti deglistrumenti concettuali necessari a questo scopo.Si trova modo di riflettere ad esempio sul concettodi dimostrazione, di condizione necessaria osufficiente, con la possibilità di contestualizzareil tutto in un ambito concreto (ad esempiodimostrare che due nodi sono equivalenti odiversi), concetti sicuramente già incontrati ascuola ma sui quali raramente ci si sofferma alungo.

Oltre ai contenuti, la Bottega del Matematicopuò far leva sull’entusiasmo e l’amore dei ragazziper la disciplina anche nell’organizzazione degliorari e nello stabilire i ritmi di lavoro. Si tratta,infatti, di ritmi piuttosto serrati, che impegnanol’intera giornata, per un totale di sette ore dilavoro per quattro giorni consecutivi. È dunquerichiesta una capacità di concentrazione nonindifferente e prolungata nel tempo.

Nonostante questo almeno alcuni dei ragazzi sisono appassionati agli argomenti proposti alpunto di rifletterci persino nel tempo libero (cioèdurante le serate).

L’interesse di questi ragazzi per la matematicasi poteva vedere anche nelle occasioni in cui ilprof. Luminati divagava rispetto all’argomentoprincipale. Ad esempio nel caso del discorsosulla quarta dimensione. Tale tema è emerso inmaniera quasi casuale ragionando sui nodi e la

semplice affermazione, che se esistesse una quartadimensione sarebbe possibile sciogliere qualsiasinodo tridimensionale, ha scatenato le domandee diversi ragazzi hanno mostrato di voler capiremeglio come funzionassero le cose in uno spazioquadridimensionale.

A proposito è stato interessante osservare comequesti ragazzi non si siano lasciati scoraggiaredalla difficoltà dell’argomento ma si siano sforzatidi capire meglio, a differenza di altri cheavrebbero potuto rinunciare “bollando” questocompito come proibitivo ed adatto solo agliscienziati.

La selezione degli studenti è dunque unacaratteristica fondamentale della Bottega, che siè rivelata un’esperienza interessante e piacevoleper gli stessi docenti che, raramente, hanno lapossibilità di lavorare in un ambiente chepotremmo definire quasi ideale. D’altra parte, lapartecipazione è stata gratificante anche per iragazzi, per i quali è stata probabilmente unasoddisfazione anche il solo fatto di essereselezionati. Inoltre la possibilità di confrontarsicon problemi interessanti ed impegnativi hacostituito uno stimolo a mettersi in gioco,divenendo quasi una sfida, promossa anchedall’atteggiamento degli insegnanti che hannosempre dimostrato grande stima e fiducia neiconfronti dei loro allievi-apprendisti. La stessastima che poi è emersa chiaramente dalle paroledi elogio delle Autorità, in particolare l’AssessoraGnecchi e il preside della Facoltà di Scienzedell’Università di Trento prof. Andreatta, chehanno partecipato alla presentazione finale dei

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lavori dei tre gruppi.

La Bottega: un prototipo di situazione didatticaefficaceLa Bottega del Matematico rappresentaun’occasione unica sia per gli studenti che pergli insegnanti, soprattutto in quanto basata su unapproccio molto diverso da quello comunementeadottato nelle scuole. Sono particolari, infatti,non solo i contenuti, ma anche il genere di attivitàproposta e il fatto di dover organizzare e costruireanche una presentazione da esporre in pubblico.L’idea di base è la convinzione che si può, anziè più efficace, imparare facendo, piuttosto cheascoltando semplicemente una lezione. Si trattadunque di imparare dall’esperienza diretta di unesperto nel settore e guidata, in modo da renderlapiù efficace.

Questa metodologia di lavoro è stata adottata intutti tre i gruppi, presentando una serie di problemida risolvere con gli strumenti forniti, costruendoda sé gli strumenti adeguati.

Più dei contenuti specifici e dei casi particolari,però, interessa la metodologia generale applicabilein contesti diversi, nella scuola soprattutto. Faccioriferimento al lavoro svolto dal gruppo che hoosservato. Gli strumenti necessari per le attivitàerano piuttosto semplici: delle corde con leestremità dotate di calamite, in modo da poterlerichiudere, un computer con un paio di programmidi visualizzazione dei nodi, carta, cartelloni,lavagna, penna e pennarelli; in un’altra stanza,inoltre, era disponibile un ulteriore PC collegato

ad internet.

Per quanto riguarda la disposizione fisica ditavoli e studenti si è scelto di disporre due tavoliaccostati in modo da formare un quadrato attornoal quale sedersi. Questa soluzione permetteva adognuno di vedere in faccia tutti gli altri e questoha favorito le interazioni, compattandovelocemente il gruppo. Al centro del quadratorimaneva inoltre molto spazio libero perappoggiare gli strumenti del mestiere, cioè lecorde.L’approccio al problema adottato dal prof.Luminati è stato estremamente pratico: con lecorde è stato semplice capire cosa si intenda pernodo, concetto normalmente usato nellaterminologia corrente e sostanzialmente similea quello a cui si riferisce la teoria matematica,con l’eccezione che le due estremità della cordaannodata devono sempre chiudersi una sull’altra.

L’esperimento iniziale proposto era moltoelementare: si chiedeva di fare un nodo semplice(chiamato nodo a trifoglio), come quello che siusa per allacciare le scarpe, ad un ragazzodestrorso e ad un mancino per poi osservare sefossero uguali. Non è stato difficile accorgersiche non lo erano; anzi, erano esattamentesimmetrici (come è stato possibile appurare graziead uno specchio). I ragazzi stavano dunquelavorando esclusivamente a livello pratico esperimentando su suggerimento del prof.Luminati, che interveniva essenzialmenteponendo quesiti e raccogliendo le risposte deglistudenti.

Tramite la prova diretta, il nocciolo del problemaè risultato molto chiaro e sono apparsi evidentianche gli obiettivi che ci si proponeva. Se invecefosse stato semplicemente comunicato che loscopo di quei quattro giorni sarebbe stato lostudio dei nodi e del modo in cui possono esserericondotti gli uni agli altri, probabilmente lareazione sarebbe stata quella di chiedersi: ma anoi cosa importa? Sarebbe stato cioè percepitocome un problema astratto, nebuloso e lontanodalla realtà. Invece in questo modo il problemaè stato compreso più a fondo e, pur essendo ungenere di conoscenza non indispensabile per la

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vita di tutti i giorni, è stato visto come un eserciziointeressante nel quale la matematica entra nelconcreto. Ciò dimostra l’importanza di partire,ogni volta che sia possibile, da esempi pratici;chi ha stabilito, infatti, che bisogna prima studiareuna teoria e poi andare a controllare in laboratoriose le sue predizioni sono vere o meno? Questapotrebbe essere una scelta ottimale in termini dirisparmio di tempo; tuttavia la scienza raramenteprocede in questo modo. Poche teorie sono statesviluppate a livello puramente teorico: la maggiorparte prende le mosse dall’interpretazione deifenomeni osservati. Sarebbe dunque interessanteprovare a far precedere le esperienze dilaboratorio alle altre e, da quelle, ricavarecongetture riguardanti le leggi che ne sono allabase.

La Bottega del Matematico si propone di adottarequesta idea come base di lavoro ed è un peccatoche sia un’iniziativa ancora isolata e rivolta adun numero ristretto di studenti, nonché ad unasola disciplina, perché la metodologia di fondoè sicuramente esportabile in altri ambiti. Forsela scuola stessa e la società trasmettonoindirettamente l’idea che lavorare manualmentesia un’attività meno nobile e quindi non adattaalla matematica, che privilegia il pensiero; fattosta che inizialmente era facile notare una certareticenza a svolgere i compiti assegnati inmaniera diretta e concreta. Dopo alcunesollecitazioni però, una volta rotto il ghiaccio,a tutti risultava naturale provare a sperimentareogni osservazione e utilizzare direttamente lecorde per visualizzare i diagrammi che venivanorappresentati alla lavagna, fino a fondere, ognivolta possibile, l’attività pratica con quellaconcettuale, in modo che ognuna completassel’altra. La possibilità di lavorare anche con lemani è dunque risultata molto gradita, appenasuperato quello che potremmo chiamare uno“stupore iniziale”. Questo approccio, per cosìdire sperimentale, alla teoria dei nodi hacaratterizzato tutto il lavoro del prof. Luminati,che ha cercato sempre di coinvolgere gli studenti,affidando loro il compito di trovare soluzioni aivari problemi e di spiegare solo in seguito leproprie ragioni agli altri membri del gruppo. Ilprimo giorno, ad esempio, non ha mai parlato

per più di mezz’ora consecutivamente e, ingenerale, si è limitato a porre i problemi edinvitare gli studenti a risolverli, anche se a volteera necessario indicare loro la via corretta ecostantemente c’era bisogno di raccogliere leidee e riorganizzarle in modo da rendere piùfacile trarne delle conclusioni. In generale laparte di spiegazione frontale è stata limitata almassimo: inizialmente era praticamente assente,in seguito, invece, si è resa a volte necessariaper spiegare dei concetti che non erano ricavabilidirettamente dagli studenti; anche nella “lezione”,però, il professore cercava sempre di coinvolgerei ragazzi con domande ed esortandoli a chiederechiarimenti in caso di dubbi. Queste fasi si sonorese sempre più necessarie via via che lacomplessità degli argomenti affrontati cresceva,ma sono state intervallate da esercizi nei qualiapplicare direttamente quanto appreso e da attivitàche richiedevano comunque un lavoro più praticoda parte degli studenti.

Un’interessante osservazione è emersaaffrontando la parte relativa ai nodi torici, chesi riconduceva a strumenti matematici piùconsueti e faceva uso di concetti affrontati neiprimi anni di scuola superiore e poi utilizzatisolo occasionalmente e spesso in manieraimplicita. Questa metodologia di studio, per cuici si concentra di volta in volta solo su un settoreristretto dimenticando tutto il resto, porta adimenticare facilmente i concetti appresi, anchese agli studenti più dotati basta poco perrichiamare tutto alla mente. Sarebbe invece utilenel corso degli studi affrontare problemi checoinvolgano più aree diverse della matematica,in modo da sviluppare collegamenti sempre nuovie mantenere fresche tutte le conoscenze principali.Si otterrebbe in questo modo un altro vantaggio,quello di dare una risposta credibile alla domandache sovente gli studenti si pongono: ma questoa cosa mi serve?

Altro elemento fondamentale nell’avvicinare lamatematica ai ragazzi è l’atteggiamento chedimostra l’insegnante nei confronti delladisciplina. Dimostrare il proprio entusiasmo pergli argomenti trattati può diventare, infatti,contagioso. Un modo di farlo è quello di lasciarsi

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andare, ogni tanto, a ruota libera. Si tratta cioèdi non seguire sempre schemi e scalette bendefinite dalle quali è impossibile deviare; a volte

è più costruttivo seguire “l’istinto”, cogliendo alvolo l’occasione (da un argomento trattato, dauna domanda) per divagare su questioni chepersonalmente ci hanno interessato molto epotrebbero quindi, perché no, interessare anchegli studenti. Non importa se questi argomentisono strettamente collegati al programma oppureno: l’obiettivo è quello di mostrare che lamatematica (e anche la fisica e le altre scienze)sono dei campi aperti in cui ci si può muovereseguendo il vento e nella direzione che più cipiace.

In questo compito gioca un ruolo fondamentalela passione del docente per la propria disciplinae l’entusiasmo con cui la vuole non trasmettere,ma donare ai propri studenti. Nel corso delleattività del gruppo B più volte è risultata evidentel’importanza e l’efficacia dell’effettuare alcunedi queste divagazioni a ruota libera. Un esempioè già stato citato in precedenza -la discussionesulla quarta dimensione- un altro esempio cheha avuto successo riguarda il dibattito su quantofosse il risultato di una moltiplicazione di zerofattori. Anche questo argomento non era collegatodirettamente alla teoria dei nodi, ma ha coinvoltonotevolmente gli studenti, i quali non riuscivanoa rendersi conto del motivo per cui il risultatofosse 1. Ancora una volta è emerso il fascino di

argomenti per così dire “strani”, cioè pocointuitivi, sicuramente fuori dal consueto. Puòsembrare di perdere tempo, ma non coglierequeste occasioni significa togliere gran parte delfascino alla scienza e trasmetterne un’immaginepiù noiosa e schematizzata che finirà per attirarepochi consensi.

La sorpresa degli studenti della Bottega delMatematico ha riguardato poi diversi aspetti. Losi capisce ad esempio dalla scheda di valutazionecomplessiva dell’esperienza che hanno compilatonell’ultima giornata. Nella valutazione relativaalle attese sui contenuti si legge: “Si pensava chefosse più improntato sul programma scolastico,ma siamo rimasti sorpresi in positivo dagliargomenti proposti”. Ancora, la valutazione dellapossibilità di utilizzare l’esperienza in ambitoscolastico è “molto dubbia”. Il riferimento èprobabilmente ai contenuti che, comecomprendono bene gli studenti, esulano dallanormale programmazione. In generale comunqueè stato possibile comprendere che questa Bottegadel Matematico è stata vista come un’attività asé, decisamente diversa e fuori dall’esperienzascolastica, ma interessante (ad esempio i ragazziavrebbero gradito estendere la durata ad unasettimana intera) ed anche piacevole.Tra gli elementi di diversità c’è sicuramenteanche il tipo di matematica con la quale hannoavuto la possibilità di confrontarsi. Abituati alavorare quasi sempre con numeri, funzioni edequazioni, in questa occasione si sono trovati adarmeggiare con nuovi simboli quali i diagrammi,nuove operazioni come le mosse di Reidemeister,in generale nuovi strumenti come gli invarianti.Il prof. Luminati ha sottolineato molto questoaspetto, in particolare all’inizio delle attività ealla fine della prima giornata. Il suo scopo eraquello di convincere gli studenti che quantoproponeva loro non era un gioco, ma vera epropria matematica anche se fa uso di unasimbologia diversa ed inusuale.

La metodologia didattica descritta richiedecompetenze nuove anche agli studenti. Spesso,infatti, la scuola richiede di capire ma soprattuttodi studiare. Questo può essere sufficiente perraggiungere un buon profitto. Il risultato è però

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che spesso i ragazzi sono in grado di utilizzarele competenze acquisite solo in un numero moltoristretto di situazioni. Non sono abituati cioè asfruttarle a più ampio respiro, adattandole allesituazioni e ai problemi di diversa natura che sipongono nella vita reale. Questa scarsa abitudinea risolvere problemi si riscontra nei risultati deltest PISA 2003, nel quale l’Italia si è classificatamolto in basso nella graduatoria dei punteggigenerali. Una tendenza di questo tipo è emersaanche nel corso della Bottega del Matematico,segno che la causa non è da ricercare nellecapacità individuali (in questo caso fuoridiscussione), ma proprio nell’ambiente diapprendimento. Nello scendere progressivamentein profondità nella teoria dei nodi venivanorichieste sempre maggiori capacità diragionamento ai ragazzi, veniva affidato loro uncompito. Non si trattava più di capire comequalcun altro aveva risolto un problema,dimostrato un teorema o ricavato una formula.In questo caso, il problema era loro e lorodovevano escogitare una soluzione contandosulle proprie forze. Si trattava dunque di unlavoro creativo, molto più simile a quanto avvienenella ricerca che non nella scuola. Compiti diquesto tipo sono molto più stimolanti e dannosoddisfazione se svolti correttamente; tuttaviasono emerse delle evidenti difficoltà, ammessedai ragazzi stessi. Nella scheda di valutazionecomplessiva dell’esperienza, al punto dove sichiedeva di dare un giudizio in merito aicontenuti, si legge: “Presentavano inizialmentequalche difficoltà, perché non siamo abituati aragionare”. Ed effettivamente si notava lamancanza di familiarità con le strutture

fondamentali del ragionamento matematico.Difficoltà ad esempio a capire autonomamentequando una tesi si possa ritenere dimostrata ocosa permetta di dimostrare un teorema, oltreche qualche problema ad esprimersi facendo usodi una terminologia matematica concettualmentecorretta. Un esempio è costituito dal teorema diReidemeister, affrontando il quale si è notatauna mancanza di familiarità con concettifondamentali come quello di teorema e dubbisul loro utilizzo (c’era a tale proposito la tendenzaa confondere le mosse di Reidemeister con ilteorema stesso). Nel caso fortunato di questistudenti eccellenti era piuttosto facile far notareloro l’errore e riportarli sulla via giusta, ma inuna classe comune le cose potrebbero esserediverse, a meno che non ci sia un’abitudineconsolidata nel tempo a maneggiare questiconcetti.

Un’altra difficoltà riscontrata nell’osservazioneche ho condotto è quella di visualizzare oggettiin tre dimensioni. Effettivamente non si dà moltaimportanza nella scuola allo studio dellageometria solida. Questo è risultato evidentesoprattutto lavorando sui nodi torici: risultavadifficile, ad esempio, capire come i vari segmentisi uniscano tra loro una volta che il cilindro vienerichiuso su sé stesso a formare il toro. Si presentaa questo punto una domanda “classica”: “Ma acosa serve studiare la matematica e familiarizzaread esempio con il concetto di teorema o dicondizione necessaria e sufficiente?”.Conoscendo persone che hanno completato uncorso di studi scientifico (a livello universitario)ci si accorge che quanto hanno appreso si riflettenel loro modo di vedere il mondo; rappresentacioè uno strumento per interpretare la realtà edaffrontare ogni situazione. Esiste una sorta di“pensiero matematico-scientifico” che non siapplica soltanto agli specifici contenutidisciplinari e alla ricerca, ma a qualsiasi aspettodella vita. La scuola dovrebbe cercare ditrasmettere almeno in parte questa attitudine,perché possa servire anche a chi poi nonproseguirà gli studi, oppure intraprenderà stradediverse. In questo compito si può avere successosolamente utilizzando un metodo di insegnamentoadeguato. Non è sufficiente fare in modo che gli

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studenti imparino a memoria delle formule o siricordino il procedimento che consente dirisolvere meccanicamente un problema. I ragazzidevono imparare ad acquisire delle conoscenzee ad utilizzarle per produrne delle altre e perrisolvere problemi. Questo è possibile solo sel’insegnante acconsente a mettersi in gioco e afare per primo da modello, da maestro, a fornire,cioè, l’esempio e non a trasmettere semplicementeun elenco di conoscenze. Lo spirito della Bottegadel Matematico è proprio questo: un docentefunge da guida e punto di riferimento per ungruppo di apprendisti. Starà poi a questi ultimicercare di trarre da lui quanto possibile. Questoè lo spunto che la Bottega del Matematico puòfornire alla scuola intera.

La Bottega: un modello di formazione per idocentiNonostante la via probabilmente più efficace perrinnovare l’insegnamento scolastico siachiaramente indicata da iniziative del tipo dellaBottega, c’è ancora molto lavoro da fare perdefinire meglio gli ambiti precisi in cui questemetodologie didattiche possono essere impiegate.È ancora necessaria, cioè, una vera e propriasperimentazione, che in parte potrà esserecompiuta dagli insegnanti stessi nelle loro classi.La Bottega del Matematico rappresentasicuramente un’occasione di sperimentazione diquesto tipo, una volta che si tenga conto dellecaratteristiche particolari che le competono.

Una prima indicazione significativa è proprio ilsuccesso che le attività proposte riscontranopresso gli studenti. Vedere l’impegno profusonelle giornate, godere di un clima disteso edallegro durante il lavoro ed ascoltare ledichiarazioni entusiaste dei partecipanti: sonotutti elementi che indicano il successo del metododi lavoro adottato.

L’importanza di fare esperienze come quelladella Bottega è collegata ad una sempliceconstatazione. In generale, per quante possibilitàsi esaminino, la varietà di situazioni e di casidella vita reale può essere compresa e controllatasoltanto grazie ad un‘esperienza il più possibileampia e variegata. Questo vale anche per quanto

riguarda la scuola. Un insegnante riesce amigliorare sé stesso soprattutto riflettendo sullapropria esperienza. Può anche ricavareinformazioni interessanti leggendo dei testi, madeve sempre farlo avendo bene in mente lesituazioni reali nelle quali si è trovato ad operare.Un problema può essere però che l’insegnantetende a sperimentare sempre le stesse condizioni,gli stessi metodi e contesti di apprendimento.Invece poter vivere esperienze diverse permettedi porre a confronto tante strategie differenti, trale quali poter scegliere la migliore, o dalle qualipoter prendere spunto per la propria professione.Per questo motivo personalmente mi è stata moltoutile la partecipazione alla Bottega delMatematico. Mi ha consentito di osservare aspettinuovi e nuove idee didattiche all’opera. Unesempio è la possibilità di toccare diversiargomenti della matematica apparentementelontani tra loro partendo dallo stesso problema.In questo modo si creano collegamenti nuovi travarie aree che rafforzano gli schemi mentali,rendono più facile richiamarli alla memoria incaso di necessità e consentono di mantenere vivia lungo concetti che altrimenti potrebbero esseredimenticati

L’impressione è dunque che iniziative di questotipo possano alla fine risultare estremamente utilinon solo per gli studenti, ma anche per gliinsegnanti stessi. Parlando con i tre docenti discuola superiore che affiancavano i professoriuniversitari, ho capito che loro hanno cercato diportare nelle classi quanto potevano delle ideeraccolte durante la Bottega, anche nelle edizionidegli scorsi anni. Questo metodo potrebbe ancheessere adottato come modello per la formazionedegli insegnanti. Organizzare cioè delle occasioniin cui sperimentare in maniera concreta dellesituazioni didattiche alternative. In manieraconcreta significa che tali attività potrebberoessere effettuate alla compresenza di insegnantie studenti in modo da poter valutare subito ilsuccesso o meno di una strategia analizzandodirettamente il modo in cui i ragazzi rispondono,magari addirittura ascoltando e valutando i loroeventuali suggerimenti. Probabilmente unapproccio di questo tipo sarebbe fonte di un grannumero di nuove interessanti idee, molte più di

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quante si possano ricavare riflettendo sulladidattica a tavolino.Gli studenti come apprendisti nella BottegaLa partecipazione alla Bottega del Matematicoha messo in evidenza come la presenza deglistudenti ad alcuni momenti di formazione degliinsegnanti sarebbe utile, perché la possibilità diosservare e conoscere meglio gli allievirenderebbe più efficace l’insegnamento epermetterebbe di adattarlo rendendolo piùfunzionale alle strutture mentali ed ai metodi distudio dei ragazzi. La Bottega del Matematicoha fornito importanti indicazioni in questo senso,anche se le osservazioni sono relative ad ungruppo selezionato di allievi. Questo fattoconsente di cogliere gli aspetti fondamentali diun metodo di studio di successo, con la speranzadi poter trasferire qualcuna di questecaratteristiche a chi fa più fatica.Prima di tutto è necessario sottolineare come ilclima generale in cui si sono svolte tutte le attivitàfosse molto allegro e disteso. Nel gruppo B, inparticolare, l’ambiente si è rivelato subito moltofamiliare e la maggior parte degli studenti nonha dimostrato soggezione nei confronti di tutore docente universitario. In generale la voglia discherzare non è mai mancata e frequentementele uscite spiritose hanno contribuito a rilassaretutti, anche nei periodi di maggiore sforzo o calodi attenzione.È difficile individuare delle linee generali nelmodo di affrontare i compiti assegnati a questiragazzi. Ognuno infatti possiede uno stile diversoin relazione al proprio carattere. Chi era piùestroverso e sicuro di sé ha partecipato in modopiù attivo, i ragazzi più timidi invece sono rimastipiù silenziosi, ma questo non vuol dire che nonsi siano impegnati e non abbiano apprezzato illavoro proposto, anzi. Proprio questi ragazzierano quelli che prendevano appunti in manierapiù sistematica ed attenta.Un momento fondamentale dell’esperienza dellaBottega del Matematico è stata sicuramente lapresentazione dei risultati e, prima, la suapreparazione. Si tratta di un’attività che a scuolararamente i ragazzi hanno occasione di fare eche può essere invece utile in molti altri ambitidella vita: dover presentare dei concetti, infatti,richiede di averli capiti bene e non solo. Richiede

la capacità di osservarli “dall’alto” e diriorganizzarli in modo chiaro e coerente, tenendoconto anche del tipo di pubblico al quale ci sirivolgerà. Tutto questo è emerso chiaramentenel corso della Bottega. La presentazione dovevaessere organizzata dagli studenti stessi cheavevano la possibilità di scegliere su quali degliargomenti affrontati soffermarsi maggiormente.La decisione del gruppo B è stata quella dieffettuare una panoramica generale, della qualead ognuno sarebbe stata affidata una parte.L’ultima mattinata è stata spesa nelle prove oralidella presentazione preparata il giorno prima.Anche in questo caso il prof. Luminati ha seguitoda vicino i ragazzi. È a questo punto che mi èstato possibile notare una scarsa abitudine aorganizzare presentazioni e ad esporre in modochiaro e logicamente corretto una serie di concetti;è stato infatti necessario in alcuni casi l’interventodel professore per spostare l’attenzione da concettimeno rilevanti ad altri più fondamentali, percambiare l’ordine in cui gli stessi venivanopresentati o ancora per correggere piccoli erroriconcettuali. La valenza principale dellapresentazione, dunque, è stata quella di averchiarito molto le idee ai ragazzi stessi; il fatto didover riassumere un determinato lavoro aiutanotevolmente a fissare le idee e in effetti moltilo utilizzano sistematicamente come metodo distudio. Esporre i risultati ottenuti alla classepotrebbe essere considerata un’attività chelogicamente conclude una fase di lavoro digruppo. L’ideale sarebbe riuscire a creare,compatibilmente con la necessità dellavalutazione, un clima in cui i ragazzi si sentanoliberi di esprimersi, senza paura di sbagliare,accogliendo in maniera positiva le osservazionied i suggerimenti dell’insegnante. L’esposizionedi conoscenze di qualche genere di fronte ad unapersona esperta che sia in grado di capire,segnalare e correggere gli errori costituisce ingenerale un’opportunità fondamentale di affinarela propria comprensione. Questo è proprio ilruolo che deve essere ricoperto dall’insegnante.

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L’importanza di un approccio “problematico e

costruttivista” nella didattica della matematica

Partecipare alla “Bottega del Matematico” è stataper me un’esperienza molto significativa estimolante. Mi ha dato la possibilità di “vedere”nuove modalità di insegnamento e soprattutto disperimentarne l’efficacia.

La scelta di partire da problemi per affrontarequestioni di matematica mi è sembrata moltoefficace e nello stesso tempo significativa.Efficace perché capace di coinvolgere attivamenteed emotivamente gli allievi nella costruzionedella conoscenza, significativa perché capace di“ricreare” la situazione in cui si trova il più dellevolte il matematico di professione o più ingenerale lo scienziato. Davanti a situazioniproblematiche “nuove” lo scienziato non ha infattischemi già pronti da applicare. Credo che moltospesso a scuola l’allievo “perda” questo latoaffascinante della matematica: il più delle voltepercepisce la matematica come un insieme diregole, definizioni, teoremi che esiste da sempre,calato dall’alto da qualche autorità e che bisognain un certo senso soloimparare ad applicare negliesercizi. Questa immaginedistorta della matematicadiscende molto spesso dalmodo in cui la matematicaviene insegnata. Il modo piùdiffuso di fare lezione è,infatti, quello di presentares i s t e m a t i c a m e n t e u nargomento, partendo daq u a l c h e e s e m p i o ,i n t r o d u c e n d o d e l l edefinizioni, derivando deiteoremi e infine affrontandoesercizi appropriati. Questosistema se da una parte ha ilvantaggio di consentire unapresentazione “ordinata”

Laura Buonerba

dell’argomento trattato, dall’altra ha lo svantaggiodi non coinvolgere attivamente lo studente nellacostruzione della conoscenza, facendoglipercepire il più delle volte la matematica comeun edificio cristallizzato e dogmatico. Da quidiscende la necessità di affiancare alla lezionefrontale altre metodologie didattiche chefavoriscano un maggiore coinvolgimento deglistudenti nella costruzione della conoscenza.Dedicare uno spazio significativo allasistemazione ordinata della conoscenza e allosviluppo di capacità di calcolo è certamenteimportante, ma è altrettanto fondamentalesviluppare i concetti matematici in attivitàdidattiche significative, in cui l’alunno possaessere attivamente coinvolto e stimolato arisolvere e a porsi problemi. “Il risolvere e ilporsi problemi” fornisce, infatti, agli allievi nonsolo l’occasione di mettere alla prova le loroconoscenze e di arricchire di significati concettigià appresi, ma anche quella, forse piùimportante, di costruire nuovi concetti e abilità.

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Il risolvere e il porsi problemi è inoltre essenzialenel contribuire alla formazione generale degliallievi: serve infatti a far acquisire all’allievo, apoco a poco, la capacità di matematizzare unasituazione problematica reale, di ragionare inmaniera logica e di argomentare le proprierisposte. È necessario però che i problemi propostisiano “autentici problemi” per gli allievi e nonsemplici esercizi a carattere ripetitivo. Fareesercizi dello stesso tipo può essere importanteper acquisire scioltezza e sicurezza, ma può anchefavorire meccanismi di automatismo. Unostudente davanti ad un esercizio possiede giàtutti gli elementi necessari a risolverlo, in uncerto senso deve solo applicare regole, formule,schemi già pronti. Proprio per questo l’esercizio,pur necessario, è un qualche cosa che dopo unpo’ diventa abbastanza noioso e ripetitivo. Ilproblema invece non segue uno schemacompletamente predefinito e richiede allo studenteuno sforzo maggiore per essere risolto. Davantiad un problema l’allievo deve ricorrere a tuttele sue capacità logico-intuitive. I problemi piùimpegnativi richiedono generalmente un’idea,un’intuizione. Ma l’intuizione non basta per diredi aver risolto il problema. Dopo la fase diintuizione del risultato deve seguire una fase disintesi, in cui si deve dimostrare con unaconcatenazione di argomentazioni quanto è statosolo intuito.Generalmente l’insegnante è convinto che sidebbano fornire allo studente tutti gli strumentinecessari a risolvere un problema ma così facendocompie un duplice errore: da una parte sottovalutale capacità dei propri studenti, dall’altra fapercepire loro la matematica come qualcosa dinoioso e ripetitivo. Sono profondamente convintache tutti gli allievi (e non solo quelli eccellenti)siano in grado di mobilitare notevoli risorsedavanti ad un problema che li appassioniveramente e che un insegnamento per problemipossa risvegliare l’interesse degli studenti versola matematica e renderla ai loro occhi piùaffascinante e piacevole.

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La Bottega del Matematico Prospettive

Nei quattro anni durante i quali è stata propostal’iniziativa si sono avvicendati 6 docentiuniversitari del Dipartimento di Matematica dellaFacoltà di Scienze dell’Università di Trento, 5docenti e 85 studenti provenienti da 11 scuolesecondarie di secondo grado della provincia.Gli studenti valutano l’esperienza di “Bottega”in maniera molto positiva: alcuni di loroaffermano di aver scoperto un nuovo volto dellaMatematica, sostanzialmente diverso da quellodella disciplina incontrata a scuola ed auspicanol’ampliamento dell’iniziativa.Da una semplice indagine, effettuata sugli studentiche hanno frequentato la “Bottega” negli anni2003 e 2004 (un totale di 39 studenti), alla qualeattribuiamo valore puramente indicativo dato illimitato numero di risposte (circa 14 pari al 36%),è risultato che la quasi totalità degli intervistatiè iscritta a facoltà scientifiche delle quali il 57%è rappresentato da ingegneria articolata nei diversiindirizzi (ambientale, meccanica, civile, ...).Non risulta, invece, che l’iniziativa abbia favoritoin maniera diretta l’iscrizione a Matematicapiuttosto che ad altri corsi di Laurea. Lapartecipazione all’esperienza ha consentito,invece, ad alcuni ragazzi che si mostravanotitubanti nei confronti di una scelta universitariarivolta a Matematica, di dissipare alcunepreoccupazioni sperimentando in prima personal’attività di ricerca.Tutti i docenti di scuola superiore che si sonoavvicendati come tutor alla “Bottega” affermanodi aver introdotto nella pratica didattica alcunispunti, contenutistici e metodologici, apprezzatinelle giornate di lavoro e di aver riscontrato neiloro studenti segnali di ritorno positivi.La valutazione complessiva dell’esperienza siada parte dei docenti sia da parte dagli studenti è,in sintesi, molto positiva.La prosecuzione dell’iniziativa è quindi unaproposta che desideriamo sostenere innanzituttocome offerta per i ragazzi con profitto scolasticoeccellente, ma anche come ipotesi avanzata di


un bilancio e alcune idee per domani

Paolo Lorenzi

formazione in servizio per i docenti.Nell’accingerci a progettare la “Bottega delMatematico” 2007 ci sembra di poter sintetizzarele proposte maturate nei momenti di discussionee valutazione tra docenti e studenti, sviluppandoancor più tre aspetti principali: apertura versol’esterno, responsabilizzazione degli studenti,valorizzazione della relazione umana.

L’apertura verso l’esternoLa Bottega si aprirà maggiormente al territorioed al dialogo tra le scuole, tra insegnanti estudenti.La scelta di essere ospiti di una piccola comunitàlocale ha un suo pregio nella tranquillità dellasoluzione logistica, ma può offrire maggioriopportunità se, come desideriamo, riusciremo acoinvolgere la popolazione nel clima della“Bottega del Matematico”. L’idea è di vivere lamatematica con la cittadinanza, in alcunimomenti a margine del lavoro di Bottega, percondividere prima l’esperienza con il paese checi ospita e socializzarla poi con le scuole dellaprovincia. Riteniamo, infatti, che l’esperienzasia sufficientemente maturata al punto di poterinteragire positivamente con le scuole e con lealtre realtà interessate alla ricerca didattica rivoltanon solo all’eccellenza.Il modello della “Bottega” è stato proposto allescuole, sia come laboratorio di matematica siacome situazione sperimentale avanzata diformazione in servizio per docenti.L’esperienza della “Bottega” ha confermato,infatti, il laboratorio di matematica comeun’opzione metodologica imprescindibile perl’apprendimento della disciplina e come spazioe tempo concreti nei quali “fare matematica” eprovare a risolvere problemi e questioni apertea tutti i livelli scolari.Anche dal punto di vista della formazione inservizio per i docenti, la “Bottega” ha evidenziatoun modello che merita di essere preso seriamentein considerazione. Il modello è ancora quello

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del laboratorio di formazione nel quale lacompresenza di studenti, docenti della scuola edell’università, in relazione cooperativa tra loro,porta a realizzare un vero ambiente diapprendimento per tutti i soggetti coinvolti. Lapresenza degli studenti, veri testimonidell’efficacia di soluzioni didattiche emetodologiche e, finora, sempre assenti nelleattività consuete di formazione dei docenti,conferisce completezza al processo di costruzionedi sapere in una comunità di apprendimento.Se da un lato la “Bottega” è un’efficace propostaper l’eccellenza scolastica e si è rivelata un utilemodello sperimentale per la didattica e laformazione, dall’altro ha bisogno di raccoglieredal territorio alcune sollecitazioni e problemiche, nelle giornate di lavoro, potranno essereaffrontati e, forse, avviati a soluzione.L’apertura della Bottega è quindi nella direzionecentripeta e centrifuga: testimone di metodologiedidattiche e formative esportabili e ambienteavanzato di sviluppo di alcune problematichereali.

La responsabilizzazione degli studentiIl lavoro in “Bottega” è affrontato, come nellapiù antica versione, in maniera guidata, sotto ladiretta assistenza e tutela della figura autorevoledel maestro. É il modello che si è voluto proporree che confermiamo come situazione diapprendimento efficace di contenuti e soprattuttodi metodologie. Desideriamo però introdurre unmaggior coinvolgimento degli studenti nellasoluzione dei problemi e nello sviscerare lequestioni. La problematizzazione degli argomentie tempi più lunghi dedicati al lavoro autonomodel gruppo potrebbero aiutare gli studenti adassumersi sempre più, anche in gruppo, laresponsabilità della ricerca o della soluzione.

La valorizzazione della relazione umanaÉ stata messa in evidenza più volte l’importanzadelle relazioni umane anche nell’ambiente di“Bottega” che, forse meglio di altri, ne mette inrisalto la risonanza positiva con l’apprendimentoed il lavoro di ricerca.Si farà tesoro della ricchezza delle relazioniumane, favorite dalla situazione di bottega, cheinformano i rapporti di collaborazione nel gruppoe favoriscono, motivandola, la disponibilità a

ricercare nuove strategie e a condividere nuovesoluzioni. La relazione umana e l’apprendimentodella matematica, come forse tutti gliapprendimenti, hanno però bisogno di tempo.Di un tempo non rubato ad altre attività (uno deimotivi a sostegno della scelta di una realtàdecentrata per ospitare l’esperienza) ma di untempo disteso, lungo, che dia anche spazio alformarsi di pensieri complessi e profondi ed albisogno di condividerli con altri. É questaesperienza che fa della “Bottega del Matematico”un luogo ed un tempo insostituibili per alcuniragazzi “fortunati” e che chiede di esserecondivisa con un maggior numero di studenti edi insegnanti.Le tre caratteristiche sopra accennate, che sonostate evidenti nelle passate edizioni della“Bottega” e che desideriamo impregnino semprepiù in profondità anche le future, chiedono, perrealizzarsi, un ampliamento dei tempi consueti:da quattro giorni a cinque.In conclusione desidero esprimere una nota digratitudine a tutti i docenti che hannoaccompagnato le diverse edizioni della “Bottegadel Matematico” e che, al di là della profondacompetenza disciplinare e professionale, hannoportato in tutte le attività un reale contributo ditestimonianza personale. É stato possibile, daparte degli studenti, apprezzare l’approccioumano e scientifico di alcuni adulti autorevoliin tutti i momenti della giornata non solo percogliere da loro le metodologie per risolvereproblemi o per affrontare questioni matematichema anche per confrontare con loro testimonianzepersonali di attribuzione di valore formativo aipotesi culturali.

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La Bottega del Matematico Indice

Indice

• Presentazione 4

• Premessa: Un quaderno di Bottega 5

• Progetto: La Bottega del Matematico: imparare il mestiere del ricercatore 6

• Edizione 2003 - Gruppo A: Problemi di minimo nello studio delle bolle di sapone 9

• Edizione 2003 - Gruppo B: Sistemi dinamici discreti, sia deterministici, sia probabilistici,in biologia di popolazione 12

• Edizione 2003 - Gruppo C: Automi cellulari e loro applicazioni alla modellizzazionedi fenomeni fisici e socio-economici 15

• Edizione 2004 - Gruppo A: Fenomeni di tensione superficiale: esperimenti e modellizzazione 18

• Edizione 2004 - Gruppo B: Problemi riconducibili alla teoria dei grafi 21

• Edizione 2004 - Gruppo C: Passeggiate casuali e sucessioni di variabili aleatorie 24

• Edizione 2005 - Gruppo A: Automi cellulari 27

• Edizione 2005 - Gruppo B: Teoria dei nodi 30

• Edizione 2005 - Gruppo C: Massimi e minimi 33

• Edizione 2006 - Gruppo A: Brachistocrona: problemi di massimo e di minimo 36

• Edizione 2006 - Gruppo B: Elementi di teoria dei nodi 39

• Edizione 2006 - Gruppo C: Massimi e minimi 42

• Il punto di vista: La Bottega del Matematico: un’iniziativa rivolta all’eccellenza 45

• Il punto di vista: La Bottega del Matematico: il punto di vista di uno specializzando 50

• Il punto di vista: L’importanza di un approccio “problematico e costruttivo”nella didattica della matematica 58

• Prospettive: La Bottega del Matematico: un bilancio e alcune idee per domani 60

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la bottega del matematico

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