Kvantu operāciju dinamikaMarats Golovkins

LU un LMT Datorzinātņu dienas

„Ratnieki”, Līgatnes novads, 2012.gada 6.-8. augusts

“Computer science applications and its relations to quantum physics”, project of the European Social Fund Nr. 2009/0216/1DP/1.1.1.2.0/09/APIA/VIAA/044

2

Markova ķēde ir varbūtisks process galīgu stāvokļu kopā.

Piemēram, 2x2 laukums, kur kauliņš katrā rūtiņā var atrasties ar noteiktu varbūtību.

Kauliņš laukuma ietvaros var pārvietoties uz augšu/leju, pa labi/pa kreisi ar vienu un to pašu varbūtību 1/2.

Markova ķēdes

I1/2

II1/3

III1/6

IV0

3

Šāda procesa sākuma stāvokli var aprakstīt ar varbūtību sadalījuma vektoru

(1/2, 1/3, 1/6, 0)

Savukārt pašu procesu nosaka matrica

Markova ķēdesI

1/2II

1/3

III1/6

IV0

021

210

2100

21

2100

21

021

210

4

Jautājot, ar kādu varbūtību kauliņš atradīsies pirmajā laukumā pēc diviem soļiem, atbildi var rast, divas reizes pareizinot sākotnējā varbūtību sadalījuma vektoru ar šo matricu:

Markova ķēdesI

1/2II

1/3

III1/6

IV0

41

41

41

41

021

210

2100

21

2100

21

021

210

061

31

21

2

5

Stohastiska matrica ir matrica, kas sastāv no nenegatīviem elementiem, tāda, ka katras rindiņas elementu summa ir 1.

Piemēram,

Katru Markova ķēdi apraksta stohastiska matrica. Un otrādi, katrai stohastiskai matricai atbilst Markova ķēde.

Markova ķēdes

1000

0210

21

41

41

41

41

125

41

310

6

No klasiskās Markova ķēžu teorijas ir zināms, ja Markova ķēdi ar matricu K izpilda pietiekoši lielu soļu daudzumu, tadlai arī kāds nebūtu sākotnējais varbūtību sadalījums S, tas arvien vairāk tuvinās stacionāram sadalījumam, proti, eksistē c > 0, tāds, ka

No šejienes

Markova ķēdes

cn

n

cncn

nSKKSK

limlim

cn

n

cn

nKK

lim)lim( 2

Markova ķēdes

8

Kas notiek kvantu operāciju gadījumā?

9

• Klasiskais bits: 0 vai 1

• Kvantu bits: |0 + |1, kur||2 +||2 = 1.

• Klasisko bitu reģistrs (3 biti): 000 vai 001 vai 010 vai 011 vai 100 vai 101 v 110 vai 111

• Kvantu bitu reģistrs (3 biti): 1|000+2|001+3|010+4|011 +5|100+6 |101 +

+7|110 +8 |111, kur

|1|2 +|2|2 +|3|2 +|4|2 +|5|2 +|6|2 +|7|2 +|8|2 = 1.

Kvantu informācija

10

• Kvantu bitu reģistrs 1|000 + 2|001 + … + 8|111

• Atbilst vektors

• Kompleksi saistītais vektors:• Vektoru vietā bieži izmanto arī blīvuma matricu:

Kvantu stāvokļi

8

2

1

2

8*28

*18

*82

22

*12

*81

*21

21

*8

*2

*1

8

2

1

*8*2

*1

11

• ar varbūtību p1 : |1 = 11|000+21|001 + … + 81|111• ar varbūtību p2 : |2 = 12|000+22|001 + … + 82|111 …• ar varbūtību pk : |k = 1k|000+2k|001 + … + 8k|111,

kur p1 + p2 + … + pk = 1.

• Blīvuma matrica:

• n bitu gadījumā – 2n x 2n matrica

Kvantu stāvokļi, turp.

kk k222111 ppp

12

• Jebkuru kvantu stāvokli var aprakstīt ar atbilstošu blīvuma matricu.

• Blīvuma matricas i-tais diagonāles elements nosaka varbūtību, ka kvantu stāvoklis pēc mērījuma nonāk i-tajā determinētajā stāvoklī, tāpēc visu blīvuma matricas diagonāles elementu summa ir 1.

Kvantu operācijas.

kk k222111 ppp

13

• Kvantu stāvokļus var mainīt izmantojot kvantu operācijas

• : ’

• ’ =() = V1V1*+ V2V2* + … + VsVs*

• Ja ir n x n blīvuma matrica, tad ir lineāra operācija telpā ar dimensiju n2, t.i., to var aprakstīt kā matricu n2 x n2.

Kvantu operācijas

14

• ’ =() = V1V1*+ V2V2* + … + VsVs*

• Tā kā blīvuma matricas diagonāles elementu summai ir jābūt 1, kvantu operācija šo īpašību saglabā, tāpēc arī ’ diagonāles elementu summa ir 1.

• Matemātiski šo nosacījumu apraksta vienādojums

V1*V1+ V2*V2 + … + Vs*Vs = 1

• vispārīgā gadījumā citu ierobežojumu matricām Vi nav

Kvantu operācijas

15

Kvantu operāciju sauc par unitālu, ja tā neizmaina vienības matricu, t.i.,

(I) = I

Visas populārākās kvantu operācijas ir unitālas, piemēram, mērījuma operācija, jebkura unitāra matrica.

Kvantu operācijas

16

Teorēma

Lai arī kāda nebūtu unitāla kvantu operācija , eksistē augoša virkne

n1, n2, …, nk,… tāda ka , kur

1 2 = ;2 ir projekcija telpā ar dimensiju n2;3) ja eksistē virkne m1, m2, …, mk, tāda ka , tad ’ = .

Kvantu operācijas

kn

klim

'lim

km

k

17

Kvantu operācijas

18

Ir zināms, ka šāda operācija ir projekcijas matrica telpā n2.

Tieši tāpat kā operācijai , arī jebkurai mērījuma operācijai izpildās 2 = .

Vai ir iespējams izteikt kā mērījuma operāciju?

Kvantu operācijas

19

Teorēma.

Eksistē kvantu operācija , tāda ka 2 = , ko nav iespējams izteikt kā mērījuma operāciju.

Kvantu operācijas

8100

0810

0081

:

Paldies!