kvantitativne finansije- duga i kratka pozicija opcija
TRANSCRIPT
![Page 1: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/1.jpg)
5 – Opcije Kvantitativne finansije
Ekonomski fakultet Univerziteta u Beogradu
Letnji semestar 2011/12.
dr Miloš Božović
![Page 2: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/2.jpg)
Sadržaj predavanja
Osnovni pojmovi vezani za opcije
Vrednovanje opcija u diskretnom vremenu metodom binomnog stabla
Black-Scholes formula
1
![Page 3: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/3.jpg)
Osnovni pojmovi vezani za opcije
2
![Page 4: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/4.jpg)
Derivati
Derivat je finansijski instrument čija se vrednost ili dohodak izvodi iz vrednosti ili dohotka nekog drugog instrumenta
Instrument na osnovu koga se određuje vrednosti ili dohodak derivata naziva se osnovna aktiva
Primeri derivata: Terminski ugovori (forvardi i fjučersi)
Svopovi
Opcije
3
![Page 5: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/5.jpg)
Vrste osnovnih aktiva
Kamatne stope
Valutni kursevi
Roba i sirovine
Akcije
Obveznice
Električna energija
Polise osiguranja
Meteorološki parametri
... 4
![Page 6: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/6.jpg)
Zbog čega su derivati značajni?
Igraju ključnu ulogu u transferu rizika na finansijskom tržištu
Mnoge finansijske transakcije imaju u sebi ugrađene derivate
Mnoge investicione odluke mogu se predstaviti kao realne opcije
Obaveze kompanije mogu se predstaviti kao opcija na njenu celokupnu aktivu
5
![Page 7: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/7.jpg)
Kako se trguje derivatima
Berzanski Chicago Board Options Exchange (CBOE)
Vanberzanski (OTC)
6
![Page 8: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/8.jpg)
Veličina tržišta derivata
7
Izvor: Banka za međunarodna poravnanja, Bazel
![Page 9: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/9.jpg)
Za šta se koriste derivati?
Za zaštitu od rizika
Za ostvarivanje spekulativnog profita
Za arbitražu
Za promenu prirode obaveza
Za promenu prirode ulaganja
8
![Page 10: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/10.jpg)
Opcije
Opcije su instrumenti koji daju pravo, ali ne i obavezu, da se osnovna aktiva kupi ili proda po unapred utvrđenoj fiksnoj ceni
Ta cena se naziva cenom izvršenja (engl. exercise price ili strike price)
Iskorišćenje prava datog opcijom naziva se izvršenje
Vrste opcija prema pravu koje daju: Opcija kupovine (engl. call option)
Opcija prodaje (engl. put option)
9
![Page 11: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/11.jpg)
Vrste opcija prema načinu izvršenja
Američka opcija se može izvršiti u bilo kom trenutku važenja opcije
Evropska opcija se može izvršiti samo na dan dospeća opcije
10
![Page 12: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/12.jpg)
Opcija kupovine za akcije kompanije Google 15. jun 2010. Cena jedne akcije je: 497.07 / 497.25
11
Strike Price
Jul 2010 Bid
Jul 2010 Offer
Sep 2010 Bid
Sep 2010 Offer
Dec 2010 Bid
Dec 2010 Offer
460 43.30 44.00 51.90 53.90 63.40 64.80
480 28.60 29.00 39.70 40.40 50.80 52.30
500 17.00 17.40 28.30 29.30 40.60 41.30
520 9.00 9.30 19.10 19.90 31.40 32.00
540 4.20 4.40 12.70 13.00 23.10 24.00
560 1.75 2.10 7.40 8.40 16.80 17.70
![Page 13: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/13.jpg)
12
Strike Price
Jul 2010 Bid
Jul 2010 Offer
Sep 2010 Bid
Sep 2010 Offer
Dec 2010 Bid
Dec 2010 Offer
460 6.30 6.60 15.70 16.20 26.00 27.30
480 11.30 11.70 22.20 22.70 33.30 35.00
500 19.50 20.00 30.90 32.60 42.20 43.00
520 31.60 33.90 41.80 43.60 52.80 54.50
540 46.30 47.20 54.90 56.10 64.90 66.20
560 64.30 66.70 70.00 71.30 78.60 80.00
Opcija prodaje za akcije kompanije Google 15. jun 2010. Cena jedne akcije je: 497.07 / 497.25
![Page 14: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/14.jpg)
Razlika između opcija i terminskih ugovora
Terminski ugovori obavezuju ugovorne strane da kupe ili prodaju osnovnu aktivu
Opcije kupcu daju pravo na kupovinu ili prodaju osnovne aktive
13
![Page 15: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/15.jpg)
Moguće pozicije u opcijama
Duga pozicija u opciji kupovine (call)
Duga pozicija u opciji prodaje (put)
Kratka pozicija u opciji kupovine (call)
Kratka pozicija u opciji prodaje (put)
14
![Page 16: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/16.jpg)
Dohoci za duge i kratke pozicije
K = cena izvršenja, ST = cena osnovne aktive u trenutku dospeća opcije
15
duga pozicija, call
ST ST K K
ST ST K K
kratka pozicija, call
duga pozicija, put kratka pozicija, put
![Page 17: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/17.jpg)
Duga pozicija u opciji kupovine
Profit za evropsku opciju = $5, cena izvršenja = $100
16
30
20
10
0
-5
70 80 90 100
110 120 130
Profit ($)
Cena akcije na dospeću ($)
![Page 18: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/18.jpg)
Kratka pozicija u opciji kupovine
Profit za evropsku opciju = $5, cena izvršenja = $100
17
-30
-20
-10
0 5
70 80 90 100
110 120 130
Profit ($)
Cena akcije na dospeću ($)
![Page 19: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/19.jpg)
Duga pozicija u opciji prodaje
Profit za evropsku opciju = $7, cena izvršenja = $70
18
30
20
10
0
-7 70 60 50 40 80 90 100
Profit ($)
Cena akcije na dospeću ($)
![Page 20: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/20.jpg)
Kratka pozicija u opciji prodaje
Profit za evropsku opciju = $7, cena izvršenja = $70
19
-30
-20
-10
7
0 70
60 50 40
80 90 100
Profit ($) Cena akcije
na dospeću ($)
![Page 21: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/21.jpg)
Terminologija
Profitabilnost trenutnog izvršenja: At-the-money
In-the-money
Out-of-the-money
Serija (lanac) opcija
Intrinsična vrednost
Vremenska vrednost
20
![Page 22: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/22.jpg)
Serija (lanac) opcija Apr 16, 2011 NASDAQ calls and puts on MSFT (underlying price = $25.39)
21
![Page 23: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/23.jpg)
Vrednovanje opcija u diskretnom vremenu metodom binomnog stabla
22
![Page 24: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/24.jpg)
Trenutna cena akcije je $20
Kroz 3 meseca vredeće ili $22 ili $18
23
Jednostavno binomno stablo
Cena akcije = $18
Cena akcije = $22
Cena akcije = $20
![Page 25: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/25.jpg)
24
Opcija na akciju
Cena akcije = $18 Cena opcije =$0
Cena akcije = $22 Cena opcije =$1
Cena akcije = $20 Cena opcije =?
Cena izvršenja = $21
Vreme dospeća = 3 meseca
![Page 26: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/26.jpg)
25
Nerizični portfolio
18Δ
22Δ – 1
Duga pozicija u Δ akcija
Kratka pozicija u jednoj opciji
Uslov nerizičnosti: 22Δ = 18, tj. Δ = 0.25
![Page 27: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/27.jpg)
Vrednost replicirajućeg portfolija
Pretpostavimo da je nerizična stopa r = 12%.
Nerizični portfolio se sastoji od: duge pozicije u Δ = 0.25 akcija
kratke pozicije u jednoj opciji
Vrednost portfolija kroz 3 meseca je: 22 x 0.25 – 1 = $4.50
Vrednost portfolija danas je: 4.50 / (1+r)1/4 = $4.37
26
![Page 28: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/28.jpg)
Vrednost opcije
Nerizični portfolio se sastoji od: duge pozicije u Δ = 0.25 akcija
kratke pozicije u jednoj opciji
vredi $4.37
Trenutna vrednost pozicije u akcijama je: 20 x 0.25 = $5.00
Trenutna cena opcije, C0 , zadovoljava uslov: $5.00 – C0 = $4.37,
tj. C0 = $0.63
27
![Page 29: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/29.jpg)
28
Uopštenje
S0u Cu
S0d Cd
S0 C0
![Page 30: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/30.jpg)
29
Uopštenje
Duga pozicija u Δ akcija i kratka pozicija u jednoj opciji
Uslov nerizičnosti: S0uΔ – Cu = S0dΔ – Cd , tj.
S0uΔ – Cu
S0dΔ – Cd
dSuSCC du
00 −−=Δ
![Page 31: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/31.jpg)
30
Uopštenje
Vrednost portfolija u trenutku T je S0uΔ – Cu
Vrednost portfolija u trenutku 0 je (S0uΔ – Cu)/(1+r)T
Takođe, u trenutku 0 mora važiti i da je vrednost portfolija jednaka S0Δ – C0
Sledi da je
Tu
rCuSSC)1(
000 +
−Δ−Δ=
![Page 32: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/32.jpg)
31
Uopštenje
Zamenom Δ dobijamo
gde je
])1([)1(
10 duT CppC
rC −+
+=
dudrp
T
−−+= )1(
![Page 33: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/33.jpg)
32
p kao verovatnoća
p i 1 – p možemo interpretirati kao verovatnoće kretanja cene naviše i naniže
Vrednost derivata je diskontovani očekivani dohodak, gde se očekivanje meri u odnosu na riziko-neutralne verovatnoće S0u
Cu
S0d Cd
S0 C0
![Page 34: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/34.jpg)
33
Riziko-neutralno vrednovanje
U modelu binomnog stabla akcija zarađuje nerizičnu stopu prinosa
Binomna stabla ilustruju opštiji rezultat da za vrednovanje derivata možemo smatrati da je: Prinos na osnovnu aktivu isti kao i prinos na nerizičnu
Diskontovanje se vrši nerizičnom stopom prinosa
Ovaj metod se naziva riziko-neutralno vrednovanje
Ilustracija: početni primer
![Page 35: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/35.jpg)
34
Irelevantnost stope prinosa na akciju
Kada tražimo vrednost opcije u funkciji cene osnovne aktive, (stvarne) verovatnoće kretanja cene naviše i naniže su irelevantne
To ukazuje na opštiji rezultat da su očekivane stope prinosa osnovnih aktiva irelevantne za vrednost derivata
![Page 36: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/36.jpg)
35
Primer sa dva vremenska koraka
Opcija prodaje, K = 52, r = 5%
Svaki korak iznosi 1 godinu
50
60
40
72
48
32
![Page 37: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/37.jpg)
36
Delta
Delta (Δ) predstavlja osetljivost cene opcije na promenu cene osnovne aktive
Vrednost delte je različita za svaki čvor u binomnom stablu
![Page 38: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/38.jpg)
37
Izbor parametara u i d
Uobičajen način je da se u i d povežu sa volatilnošću tako što se izabere
gde je Δt vrednost vremenskog koraka, u godinama.
t
t
eud
euΔσ−
Δσ
==
=
1
![Page 39: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/39.jpg)
38
Teorema Girsanova
Volatilnost je ista u “stvarnom” i u riziko-neutralnom svetu
Možemo stoga koristiti procene volatilnosti dobijene iz stvarnih prinosa da rekonstruišemo kretanje cene u modelu binomnog stabla u riziko-neutralnom svetu
![Page 40: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/40.jpg)
39
Opcije sa drugim osnovnim aktivama
Moguće druge osnovne aktive: Berzanski indeksi
Valutni kursevi
Fjučersi
Procedura za konstruisanje binomnog stabla je ista, osim razlike u načinu računanja riziko-neutralnih verovatnoća p.
![Page 41: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/41.jpg)
40
Riziko-neutralna verovatnoća: opšti izraz
p =a ! d
u ! d
a = er!t za opcije na akcije koje ne plaćaju dividende
a = e(r!q)"t za opcije na berzanske indekse (q je dividendni prinos)
a = e(r!q)"t za opcije na valutne kurseve (q je nerizični prinos za
stranu valutu)
a =1 za opcije na fjučerse
![Page 42: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/42.jpg)
Black-Scholes formula
41
![Page 43: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/43.jpg)
42
Izvođenje formule iz modela binomnog stabla
Opcija je “u novcu” kada je
Sledi:
C0= e
!rT n!
(n ! j)! j!pj(1! p)
n! jmax{S
0ujdn! j
!K, 0}j=0
n
"
j !n
2"ln(S
0K )
2! T n
C0= e
!rT(S
0U1!KU
2)
U1=
n!
(n ! j)! j!pj(1! p)
n! jujdn! j
j>!
"
U2=
n!
(n ! j)! j!pj(1! p)
n! j
j>!
"
![Page 44: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/44.jpg)
43
Izvođenje formule iz modela binomnog stabla
U1 i U2 možemo naći na osnovu binomne funkcije raspodele
Kada broj vremenskih koraka teži beskonačnosti, možemo primeniti Centralnu graničnu teoremu
Binomna raspodela težiće normalnoj
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑α> α>
−− −−
=−−
−+=j j
jnjrTjnjn ppjjn
neppjjn
ndppuU ****1 1
!)!(!1
!)!(!])1([
dppupup
)1(*
−+=
![Page 45: Kvantitativne Finansije- Duga i Kratka Pozicija Opcija](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033012/55cf9748550346d03390bda1/html5/thumbnails/45.jpg)
44
Rešenje
C0= S
0N(d
1)! e
!rTKN(d
2)
d1=ln(S
0/K )+ (r +!
2/ 2)T
! T
d2= d
1!! T