kvantitativne metode poslovnog odlučivanja
DESCRIPTION
PredavanjaTRANSCRIPT
-
1
Prof.dr.sc. Ljiljana Lovri
Ekonomski fakultet Rijeka
Diplomski studij
P R E D A V A N J A
KVANTITATIVNE METODE ZA POSLOVNO
ODLUIVANJE
-
2
Sadraj:
1. MODELIRANJE U POSLOVNOM ODLUIVANJU
Model . Vrste modela. Etape modeliranja.
Deterministiki i stohastiki modeli.
Simulacijski modeli.
Rjeenje analitiko, simulacijsko.
2. ANALITIKE METODE
Linearno programiranje. Rjeavanje problema. Analiza osjetljivosti.
Modeli zaliha.
Ekonometrijski modeli.
3. METODA SIMULACIJE
Monte Carlo simulacija. Diskretna simulacija.
Prednosti i nedostaci metode simulacije.
Generiranje sluajne varijable.
Primjena na odabranim primjerima.
-
3
KVANTITATIVNE METODE ZA POSLOVNO ODLUIVANJE
Donoenje poslovnih odluka je sve sloeniji i zahtjevniji proces, esto u uvjetima rizika, a na
je nain razmiljanja deterministiki. U kolegiju se obrauju metode koje predstavljaju
neizostavan alat za poslovno odluivanje.
Kvantitativne metode se primjenjuju kad se u praksi susretnemo s:
- kompleksnim problemima koji se ne mogu rijeiti na osnovi iskustva ili
kvantitativne analize;
- problemima za koje su odluke od velikog znaaja;
- novim problemima i nepoznatim situacijama;
- problemima koji se esto ponavljaju i zahtjevni su za rjeavanje.
Cilj kolegija jest pripremiti studente za rjeavanje problema u podruju poslovnog odluivanja
i to kroz identifikaciju problema, postavljanje modela, prikupljanje podataka, rjeavanje
modela, formalno testiranje rjeenja i analizu rezultata.
U kolegiju se povezuje ekonomska teorija s matematikim modeliranjem, a postupak
rjeavanja modela i analize se provodi na raunalu.
1. MODELIRANJE U POSLOVNOM ODLUIVANJU
Osnova za analizu i predvianje jesu modeli koji repliciraju strukturu poslovnog procesa
odnosno sustava tako da se mogu procijeniti efekti promjena u njemu.
Model
Model pojednostavljeni prikaz sloenog sustava.
Sustav - skup objekata i procesa koji su u meuzavisnosti.
Cilj modeliranja : razumijevanje sustava, kontrola i utjecaj na rad sustava.
U primjeni kvantitativnih metoda u ekonomiji i menedmentu javljaju se specifini problemi
koji proizlaze iz kvalitativnih karakteristika ovih disciplina, sloenih struktura i meuzavisnosti
-
4
koje je esto nemogue opisati i predstaviti matematikim formulacijama. Najvaniji korak
predstavlja definiranje problema Kako bismo postigli cilj modeliranja potrebno je specificirati
im jednostavniji model. Iako se moe raditi o vrlo sloenom sustavu, to se moe postii
definiranjem ogranienja u sustavu, kako bi bile ukljuene samo vane karakteristike
prouavanog sustava.
Etape modeliranja
Proces modeliranja tee kroz nekoliko koraka. U tom procesu je osnovni zadatak
specificiranje okretnog modela. Radi se o pojednostavljenom prikazu prouavanog sustava.
Ako su ogranienja odnosno pretpostavke neispravno definirane, model nee biti
reprezentativan. Tada ga je potrebno poboljati. Radi se o ciklusu modeliranja koji je
prikazan na slici 1.
Definiranje problema
Definiranje problema predstavlja najvaniji i najtei korak u modeliranju, poto svi daljnji
koraci ovise o ovom. Potrebno je saeto definirati problem i ciljeve te utvrditi ogranienja u
sustavu kako bismo se usredotoili samo na karakteristike sustava koje su nam vane u
istraivanju.
Izgradnja modela
Model je zapravo, oblik predoavanja sistema i teorije o njemu. Dok je teorija uvijek verbalno
izraena, model moe biti nainjen u razliitim medijima. Model slui. Model slui za
objanjavanje nekih konkretnih procesa ili stanja sustava. Stoga je model zapravo, samo
simplifikacija i apstrahiranje nekih kljunih elemenata teorije . Njegova je uloga provjeravanje
teorije na djelu. (iljak, str.19).
Izgradnja modela ovisi o vrsti modela koji e se koristiti. Iz verbalno definiranog problema
istraivanja moramo matematiki definirati uvjete i ogranienja sustava kojima se odreuje
prostor moguih rjeenja.
-
5
Slika 1. Etape modeliranja
Prikupljanje podataka
Prikupljanje podataka je vaan korak koji zahtjeva posebnu panju jer o raspoloivosti i
kvaliteti podataka ovise rezultati modeliranja. Ako potrebni podaci nisu raspoloivi u
standardnom sustavu prikupljanja podataka poslovanja, potrebno je odluiti izmeu dviju
mogunosti:
- neposredni dodatni zahtjevi za prikupljanje nedostatnih podataka;
- prilagodba modela za postojeu skupinu podataka.
Dodatni zahtjevi za prikupljanjem podataka iziskuju obino znatne trokove i potrebno je
analizom utvrditi njihovu ekonomsku opravdanost. esto i s jednostavnijim modelom i
skromnijim podacima postiemo dobre rezultate.
Definiranje
problema
Izgradnja modela
Prikupljanje i
analiza podataka
Ispitivanje
valjanosti
modela
Verifikacija
modela
-
6
Verifikacija i ispitivanje valjanosti modela
Verifikacija je utvrivanje korektnosti modela, tj. ispitivanje funkcionira li model onako kako
oekujemo. To je formalno testiranje odgovara li rjeenje koje dobijemo svim uvjetnim
ogranienjima modela, ili kratko reeno jesmo li dobili mogue rjeenje modela.
Ispitivanjem valjanosti utvrujemo daje li model rjeenja koja se slau s opaanjima na
realnom sustavu. Ukoliko utvrdimo da postoje neslaganja ili proturjenosti, model je potrebno
poboljati redefiniranjem ogranienja i pretpostavki. Taj postupak ponavljamo dok ne
postignemo zadovoljavajuu reprezentativnost modela.
Vrste modela
Postoji mnogo vrsta modela. Nae podruje interesa jesu matematiki modeli, koji spadaju u
simbolike modele. To je skup matematikih i logikih veza meu pojedinim elementima
sustava. Npr. matematiki model kontrole zaliha ukljuuje potranju za proizvodom, trokove
dranja zaliha i snienja nabavnih cijena za vee narudbe. Modeli mogu biti jednostavniji i
sloeniji, npr. model zaliha se moe predstaviti jednom jednadbom, dok se makroekonomski
model privrede moe sastojati od sustava diferencijskih jednadbi vieg reda.
Podjelu matematikih modela baziramo na vrsti sustava kojeg modeliramo. Sustavi mogu biti
statiki ili dinamiki, diskretni ili kontinuirani.
Statiki sustav
- vrijeme nema vanu ulogu ili smo zainteresirani za stanje sustava u odreenom
trenutku. Primjer: financijski sustavi daju financijsko stanje poduzea u
odreenom trenutku.
Dinamiki sustav
- sustav koji se mijenja kroz vrijeme. Primjer: prolaz putnika kroz zranu luku.
-
7
Diskretni i kontinuirani sustav
- stanje sustava se mijenja u diskretnim vremenskim intervalima, odnosno
kontinuirano. Primjeri: prolaz putnika u zranoj luci je diskretni dogaaj
dogaa se u odreenim trenucima; prolaz nafte kroz naftovod je kontinuirani
dogaaj nema odreenih trenutaka kad nastane dogaaj.
Deterministiki i stohastiki modeli
Deterministiki modeli: modeli koji imaju egzaktno rjeenje koje se esto naziva
analitiko:
- nema sluajnih utjecaja na varijable i parametre;
- izmeu varijabli je tona uzrono-posljedina veza; za odreene ulazne
vrijednosti varijabli dobivaju se uvijek iste izlazne vrijednosti varijable.
Stohastiki modeli: imaju parametre (ili varijable) koje nemaju fiksne vrijednosti:
- ukljuuju sluajne varijable odnosno sluajne procese;
- nije mogue tono predvidjeti izlazne vrijednosti varijabli;
- sluajne varijable su predstavljene distribucijama vjerojatnosti.
Stohastiki modeli obuhvaaju:
modele koji se od deterministikih modela razlikuju jer ukljuuju sluajne greke - za
sustave ije bi ponaanje mogli tono predvidjeti za ulazne vrijednosti parametri i varijabli
modela, kad ne bi bili prisutni sluajni utjecaji ili greke koje prouzrokuju odstupanja od
takvog ponaanja. Za tu vrstu sluajne greke vrijede pretpostavke:
o da su raspodjeljene N (0,2);
o povezanost s deterministikim dijelom je aditivna rjee multiplikativna;
o sluajne greke su nekorelirane u vremenu (tj.stanje u trenutku nije ovisno o proteklim
stanjima)
modeli s jae ukljuenim sluajnim utjecajima, npr. kao promjene u samoj
strukturi sustava.
- vaan korak u analizi takvog sluajnog procesa je utvrivanje distribucije
-
8
vjerojatnosti i njenih parametara, odnosno prepoznavanje oblika teorijske raspodjele koja se
najbolje prilagoava empirijskim podacima.
Osnovna karakterisitka primjene u poslovnom odluivanju stohastikih modela koji
eksplicitno ukljuuju sluajnu varijablu jest velik broj ponovljenih uzoraka. Samo u tom
sluaju imamo dobru potporu pri odluivanju u uvjetima rizika.
Nalaenje rjeenja - analitiki i simulacijski pristup
Deterministiki modeli imaju egzaktno rjeenje analitiko rjeenje.
Stohastiki modeli:
o za neke imamo analitiko rjeenje iz distribucija vjerojatnosti ulaznih podataka
izraunava se zakon distribucije izlaznih varijabli;
o za veinu analitiko rjeenje ne postoji, pa koristimo simulacijski pristup. Iz dovoljno velikog
broja empirijskih simulacija sluajne varijable, dobijemo podatke o njezinoj distribuciji
vjerojatnosti.
Simulacijski modeli
Veina stohastikih modela se ne moe analitiki rijeiti pa se za nalaenje rjeenja koristi
numerika tehnika, simulacija. Iako je simulacija metodologija za rjeavanje odreene vrste
stohastikih modela, esto govorimo o simulacijskim modelima. To je zbog toga jer ti modeli
imaju odreene zajednike karakteristike:
- slue za prouavanje stohastikih sustava i stohastika svojstva se analiziraju
na osnovi velikog broja uzoraka (kako bi se postigla pouzdanost) iz
odgovarajuih distribucija vjerojatnosti;
- modeli se sastoje od skupa pravila, logikih izraza, distribucija vjerojatnosti i
matematikih jednadbi.
Metoda simulacije se najee upotrebljava u proizvodnji, transportu, uslunom sektoru,
financijskom sektoru, komunikacijama itd.
-
9
Osnovne vrste simulacija su:
- Monte Carlo simulacija za statike sustave;
- diskretna i kontinuirana simualcija za dinamike sustave.
Prikazat emo Monte Carlo simulaciju na primjeru odluivanja u uvjetima rizika i u kontroli
zaliha.
-
10
2. ANALITIKE METODE
Analitiki metode su one koje za rjeavanje koriste klasine tehnike. Prouit emo neke
deterministike i stohastike modele koji se rjeavaju analitikim metodama, a koriste se u
poslovnom odluivanju.
Deterministiki modeli su modeli u kojima je pretpostavljeno da nema neizvjesnosti u
varijablama i parametrima modela. Iako u praksi nema takvih primjera gdje se sve sa
sigurnou odvija, ipak takvi modeli predstavljaju razumnu aproksimaciju za sluajeve gdje je
varijabilnost mala. Prednost im je to su obino jednostavniji za rjeavanje od stohastikih
modela.
Obradit emo modele linearnog programiranja i modele zaliha.
Linearno programiranje
Linearno programiranje (LP) je optimizacijska tehnika, jedna od metoda operacijskih
istraivanja1. LP je matematika metoda za maksimiziranje ili minimiziranje linearne funkcije
cilja(kriterija) s ogranienjima u obliku linearnih nejednadbi odnosno jednadbi, te s uvjetom
nenegativnosti za varijable.
S obzirom na vrstu ogranienja razlikujemo slijedee oblike problema LP:
- Standardni oblik problema maksimuma ogranienja u obliku
- Standardni oblik problema minimuma ogranienja u obliku
- Kanonski oblik problema maksimuma(ili minimuma) ogranienja su jednadbe
- Opi oblik problema maksimuma (ili minimuma) ogranienja u obliku , ,=
1 Operacijska istraivanja predstavljaju primjenu matematikih metoda u modeliranju i analizi
sustava
-
11
MATEMATIKI MODEL Standardni problem maksimuma Maksimizirati funkciju cilja: Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn (1) uz ogranienja: a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (2) a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2 E E E E E am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm uvjet nenegativnosti: x1, x2, ..xn 0 (3) Model moemo pisati u saetom obliku:
====
====n
1j
jj xcMaxz (4)
====
n
1j
ijij bxa , i=1,2..m (5)
xj 0 (6)
gdje je:
cj = koeficijent funkcije cilja j-te varijable, j=1,2..n;
xj = strukturna varijabla, j=1,2..n;
bi = koliina i-tog ogranienja; koeficijent na desnoj strani nejednadbe, i=1,2..m;
aij= koliina i-tog ogranienja potrebnog za jedinicu j-te varijable; koeficijent uz
varijablu u ogranienju, i=1,2..m , j=1,2..n;
-
12
Model napisan u matrinom obliku:
[[[[ ]]]]
====
n
2
1
n21
x
x
x
c...ccMaxzM
(7)
m
2
1
n
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
MM
L
MMMM
L
L
(8)
0
0
0
x
x
x
n
2
1
MM (9)
Uvedemo li oznake,
====
n
2
1
c
c
c
cM ,
====
n
2
1
x
x
x
xM
,
====
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A
L
MMMM
L
L
,
====
m
2
1
b
b
b
bM
,
gdje je c vektor koeficijenata funkcije cilja, x vektor nepoznanica i to strukturnih varijabli, A matrica koeficijenata i to strukturnih, te b vektor slobodnih lanova. Model (1)-(3) u matrinom obliku moemo napisati simboliki : Max z = c'x (10) A x b (11) x 0 (12)
-
13
Vektor x koji zadovoljava ogranienje (11) predstavlja rjeenje problema.
Vektor x koji zadovoljava ogranienje (11) i (12) predstavlja mogue rjeenje problema.
Vektor x koji zadovoljava ogranienje (10),(11) i (12) predstavlja optimalno rjeenje
problema.
Kanonski problem
Problem maksimuma u kanonskom obliku i matrinoj notaciji:
Max z = c'x (13) A x = b (14) x 0 (15)
Kanonski problem karakteriziraju ogranienja u obliku jednadbi. Iz standardnog oblika
moemo prijei u kanonski pomou dopunskih varijabli. Dopunske varijable se ukljuuju u
ogranienja (11) i tako od nejednadbi dobivamo jednadbe. Vektor nepoznanica se sada
sastoji od strukturnih i dopunskih varijabli.
Standardni problem linearnog programiranja i njegov kanonski oblik su ekvivalentni, tj. svako
rjeenje jednog od tih problema ujedno je rjeenje i drugog.
Dopunske varijable u funkciji cilja imaju koeficijent jednak nuli, to znai da one nita ne
pridodaju vrijednosti nekog programa.
Standardni problem maksimuma (1) - (3) napisan u kanonskom obliku glasi:
Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn + 0xn+1 + 0xn+2 + ...+ 0xn+m (16) a11x1+a12x2+ ...+a1nxn + xn+1 = b1 (17) a21x1+a22x2+ ...+a2nxn + xn+2 = b2 E E E E E . .. ..... am1x1+am2x2+ ...+amnxn + xn+m = bm x1, x2, ..xn+m 0 (18)
-
14
Problem proizvodnje
Cilj: Sastaviti proizvodni program tako da ne prekoraimo raspoloivu koliinu resursa
potrebnih za proizvodnju i da maksimiziramo ukupno postignute rezultate s
obzirom na postavljeni kriterij.
Pretpostavimo da je postavljeni kriterij postizanje im veeg profita. Uvodimo oznake:
Pj proizvod vrste j (j=1,2,...n);
Ri resurs vrste i (i=1,2,...m);
cj profit po jedinici proizvoda j (j=1,2,...n);
xj koliina proizvoda vrste j (j=1,2, ...n)
aij utroak resursa i po jedinici proizvoda j (i=1,2,...m; j=1,2,...n);
bi raspoloiva koliina resursa i (i=1,2,...m).
z ukupni profit
Podatke emo predstaviti u tablici:
Tablica 1. Opi podaci za problem proizvodnje
Proizvod jed.profit
Resurs
P1 c1
P2 c2
...
Pn cn
Raspoloiva kol.resursa
R1 a11 a12 a1n b1 R2 a21 a22 a2n b2
Rm am1 am2 amn bm
Matematiki model:
Funkcija cilja maksimizira ukupni profit z:
Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn (19)
-
15
uz ogranienja raspoloivih resursa: a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (20) a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2 E E E E E am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm uvjet nenegativnosti: x1, x2, ..xn 0 (21) Optimalni rezultat e dati odgovor kakva e biti struktura proizvodnje (kolika je proizvodnja
pojedine vrste proizvoda), koliki je maksimalni ukupni profit, te kolika je iskoritenost pojedine
vrste resursa.
Opi problem proizvodnje ovako definiran je pojednostavljen. U programu mogu biti
ukljuena dodatna ogranienja vezana uz tehnoloki proces proizvodnje, zatim plasman na
trite i slino. Pretpostavka je da se ne radi o viefaznoj proizvodnji.
Postavljeni cilj u programu moe biti jo npr. maksimizacija iskoritenosti kapaciteta strojeva,
minimizacija ukupnih trokova, itd.
RJEAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA
Rjeenje problema linearnog programiranja moemo dobiti
- grafiki za probleme s najvie dvije strukturne varijable
( koordinatni sustav x10x2)2
- algebarski pomou simpleks metode
2 odnosno tri strukturne varijable ( prostorni koordinatni sustav x10x20x3)
-
16
Grafiko rjeenje
Primjer 1
Poduzee proizvodi dva proizvoda P1 i P2. Svaki proizvod se obrauje na dva stroja S1 i S2.
Potrebno vrijeme obrade na strojevima za svaki proizvod i raspoloivi kapacitet strojeva (u
satima)i profit (u kunama) po komadu proizvoda pojedine vrste iznose:
Proizvod
Stroj P1 P2 Kapacitet
strojeva
(sati) S1
S2
1 1
2 1
200
300
Profit 40 60
Na tritu se moe prodati najvie 150 komada proizvoda P2 !
Potrebno je odrediti optimalan plan proizvodnje, tj. koliinu x1 proizvoda P1, te koliinu x2
proizvoda P2 koje je potrebno proizvesti koristei raspoloivi kapacitet strojeva i mogui
plasman na tritu, za koje e ukupni profit biti maksimalan.
Matematiki model:
Max z = 40x1 + 60x2 (22)
x1 + x2 200 (23)
2x1 + x2 300
x2 150
x1, x2 0 (24)
Radi se o standardnom problemu maksimuma (ogranienja(23) u obliku ), sa dvije
strukturne varijable i tri ogranienja( kapacitet strojeva i mogunost prodaje proizvoda).
-
17
Koraci rjeavanja grafike metode jesu:
- nacrtati ogranienja;
- odrediti skup moguih rjeenja;
- odrediti poloaj funkcije cilja3
- odrediti optimalno rjeenje, pomicanjem pravca koji predstavlja funkciju cilja paralelno
u smjeru optimizacije4 do zadnje toke skupa moguih rjeenja.
Osnovni teoremi LP
Ako problem LP ima optimalna rjeenja, tada se najmanje jedno od tih rjeenja nalazi
u ekstremnoj toki skupa moguih rjeenja.
Problem LP s ogranienim, nepraznim skupom moguih rjeenja uvijek ima optimalno
rjeenje.
Grafiki prikaz ogranienja skupa moguih rjeenja te funkcije cilja
Ogranienje (24) nenegativnosti:
- predstavlja skup toaka prvog kvadranta koordinatne ravnine x10x2 s ishoditem i
pozitivnim dijelovima koordinatnih osi.
3 umjesto crtanja funkcije cilja, optimum se moe odrediti izraunavanjem vrijednosti funkcije cilja za
pojedini vrh skupa moguih rjeenja te utvrivanjem za koji od njih je vrijednost z funkcije cilja maksimalna. 4 kod traenja maksimuma pravac pomiemo u smjeru od ishodia koordinatnog sustava, a kod traenja minimuma pravac pomiemo u smjeru prema ishoditu koordinatnog sustava.
-
18
Ogranienja (23):
- odredi se skup toaka koje zadovoljavaju pojedino ogranienje (oznake = i
-
19
unutarnje toke
granine toke toke
ekstremna toka
Crtanje funkcije cilja:
Prema osnovnom teoremu , najvea vrijednost funkcije cilja bit e u nekom od vrhova skupa
moguih rjeenja.
Najvea vrijednost funkcije cilja z je u vrhu D. optimalno rjeenje je x1 = 50, x2 = 150, z=
11000.
vrh koordinate
vrha
z
A
B
C
D
E
(0,0)
(150,0)
(100,100)
(50,150)
(0,150)
0
6000
10000
11000
9000
Zbog ega je optimalno rjeenje u nekom od vrhova skupa moguih rjeenja?
Uzmemo li jednu od toaka npr. T (50,50), vrijednost funkcije cilja e za tu toku iznositi z=
4050 + 6050 = 5000. Jednadba funkcije cilja kroz tu toku je 5000=40x1 + 60x2 . Ako
izaberemo T1 (50,100), vrijednost funkcije cilja e biti z= 4050 + 60100 = 7000, a jednadba
kroz tu toku je 7000=40x1 + 60x2 . Dakle, jednadba z = 40x1 + 60x2 , predstavlja skup
pravaca s istim nagibom.
-
20
Slika1. Grafiko rjeenje
Pomicanjem pravca funkcije cilja paralelno preko skupa moguih rjeenja, im dalje od
ishodita, do zadnje toke koju dodiruje u skupu moguih rjeenja, nalazimo optimalno
rjeenje u toki D (50,150), tj. x1=50, x2=150, a optimalna vrijednost funkcije cilja z= 11000.
Interpretacija optimalnog rjeenja:
Optimalni proizvodni program:
x1 = 50 komada proizvoda P1
x2 = 150 komada proizvoda P2
maksimalni profit z=11000 kn.
Ako bi se radilo o nekoj drugoj funkciji cilja, optimalno rjeenje bi moglo biti u nekom drugom
vrhu, a ako jednadba funkcije cilja ima nagib kao neki od pravaca ogranienja, tada se
optimalno rjeenje nalazi u dva vrha i svim tokama na duini koja ih povezuje.
-
21
Nalaenje ekstremnih toaka algebarskim putem
Kod traenja rjeenja algebarskim putem, potreban nam je model u kanonskoj formi.
Kanonska forma modela:
Svakom ogranienju na lijevoj strani dodajemo po jednu nepoznanicu kako bismo dobili
sustav jednadbi. To su dopunske varijable (varijable manjka). One u funkciji cilja imaju
koeficijent 0 jer ne pridonose vrijednosti z.
Max z = 40x1 + 60x2 + 0 x3 + 0x4 + 0 x5 (25)
x1 + x2 + x3 =200 (26)
2x1 + x2 + x4 = 300
x2 + x5 = 150
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0 (27)
Da bismo nali rjeenje potrebno je rijeiti sustav od tri jednadbe (relacije pod (26) ) i nai
ono rjeenje koje zadovoljava uvjet nenegativnosti i daje funkciji cilja maksimalnu vrijednost.
Taj sustav jednadbi ima manje jednadbi nego nepoznanica i zbog toga nema jedinstveno
rjeenje.
Sustav napisan simboliki i u matrinom obliku:
A x = b
150
300
200
10010
01012
00111
5
4
3
2
1 =
x
x
x
x
x
-
22
Moe se napisati i ovako:
=
+
+
+
+
150
300
200
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
2
1
54321 xxxxx
ili krae:
A1 x1 + A2 x2 + A3 x3 + A4 x4 + A5 x5 = b
Ukupno imamo 5 varijabli, 2 strukturne (x1, x2) i 3 dodatne (x3 , x4 , x5). Za svaki vrh znamo
vrijednost strukturnih varijabli, a sada bi trebali odrediti jo vrijednost dodatnih varijabli.
Toka A(0,0)
x1=0, x2=0 , x3 =?, x4 =?, x5 =?
=
+
+
+
+
150
300
200
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
2
1
543 xxx
Prva dva produkta su jednaka nuli (jer su vrijednosti varijabli jednake nuli). Sustav sad
moemo pisati :
=
150
300
200
100
010
001
5
4
3
x
x
x
U matrici A smo izbrisali 1. i 2. stupac, a u vektoru nepoznanica izbacili varijable x1 i x2. Iz
proirene matrice sustava itamo odmah rjeenje jer je matrica koeficijenata jedinina.
-
23
150100
300010
200001
x3=200, x4=300 , x5 =150 .
Toka B(150,0)
Briemo 2. i 4. stupac u matrici A izbacimo varijable x2 i x4 , pa rijeimo sustav:
150100
50010
150001
150100
100020
200011
150100
300002
200011
L
x1=150, x3=50 , x5 =150 .
Rjeenja za sve vrhove su u tablici:
vrh prostor (x1, x2) prostor (x1, x2, x3 , x4 , x5)
A
B
C
D
E
(0,0)
(150,0)
(100,100)
(50,150)
(0,150)
(0,0,200,300,150)
(150,0,50,0,150)
(100,100,0,0,50)
(50,150,0,50,0)
(0,150,50,150,0)
Zajedniko svojstvo toaka A,B,C,D,E:
- 3 od 5 varijabli je razliito od nule(3 zato jer su 3 ogranienja u ovom problemu LP).
Zbog toga:
sustav od 3 jednadbe i 5 nepoznanica sustav od 3 jednadbe i 3 nepoznanice;
matrica koeficijenata sustava A35 matrica koeficijenata sustava A33 ;
sustav s mnogo rjeenja sustav s jednim rjeenjem*.
-
24
Karakteristike sustava*:
Vektori matrice A33 ine bazu.
Rjeenje sustava zovemo bazino rjeenje6.
Ukljuenjem uvjeta nenegativnosti varijabli dobivamo bazino mogue rjeenje problema LP.
Bazino mogue rjeenje je ekstremna toka skupa moguih rjeenja.
Meu ekstremnim tokama nalazimo optimalno rjeenje.
Optimalno rjeenje je toka D. U prostoru (x1, x2, x3 , x4 , x5) nalazimo vrijednost dodatnih
varijabli. Samo x4 je razliita od 0. To znai da je kapacitet strojeva S2 neiskoriten i to 50
sati. S1 grupa strojeva je potpuno iskoritena kao i plasman na tritu.
Ekstremne toke skupa moguih rjeenja i optimalno rjeenje se pronalaze simpleks
metodom. Svaka iteracija simpleks metode sadri po jedno bazino rjeenje.
Standardni problem minimuma
Matematiki model problema minimuma ( standardni oblik):
Min w = c1x1+c2x2+.....+cnxn (28)
a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (29)
a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2
E E E E E
am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm
x1, x2, ..xn 0 (30)
U matrinom obliku moemo napisati simboliki :
Min w = c'x (31)
A x b (32)
6 Bazino rjeenje sustava od m jednadbi i n nepoznanica je ono rjeenje kod kojeg m varijabli ima vrijednost
razliitu od nule, a preostalih (n-m) varijabli vrijednost jednaku nuli.
-
25
x 0 (33)
Primjena Problem prehrane
Cilj: Sastaviti prehrambeni program tako da svaka hranjiva komponenta bude
zastupljena bar u minimalnoj koliini i prehrambeni program bude najjeftiniji.
Ovaj problem je prvi put postavio G.J.Stigler7 1945.godine. Obuhvaao je 77 namirnica i 9
hranjivih elemenata.
Uvodimo oznake:
Nj namirnica vrste j (j=1,2,...n);
Hi hranjivi sastojak vrste i (i=1,2,..m);
cj jedinina cijena namirnice j (j=1,2,...n);
xj koliina namirnice vrste j (j=1,2, ...n)
aij koliina hranjivog sastojka vrste i u jedinici namirnice vrste j (i=1,2,...m; j=1,2,...n);
bi minimalna koliina hranjivog sastojka vrste i (i=1,2,...m) koji se zahtijeva u
prehrambenom programu;
w cijena prehrambenog programa.
Podatke emo predstaviti u tablici:
Tablica 2. Opi podaci za problem prehrane
Namirnica jed.cijena
Hranjivi sastojak
N1 c1
N2 c2
...
Nn cn
Minimalna koliina
hranjivog sastojka
H1 a11 a12 a1n b1 H2 a21 a22 a2n b2
Hm am1 am2 amn bm
7 Marti, Lj.: Matematike metode za ekonomske analize II, Narodne novine Zagreb, 1966., str.90.
-
26
Matematiki model:
Funkcija cilja minimizira trokove w prehrambenog programa :
Min w = c1x1+c2x2+.....+cnxn (34) uz ogranienja vezana uz zastupljenost bar minimalnih koliina hranjivih sastojaka : a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (35) a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2 E E E E E am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm uvjet nenegativnosti: x1, x2, ..xn 0 (36) Optimalni rezultat e dati odgovor od kojih namirnica e se sastojati obrok, koliki su
minimalni trokovi, te kolika je zastupljenost pojedine vrste hranjivog elementa.
Rjeenje problema LP moemo dobiti
- grafiki za probleme s najvie dvije strukturne varijable ( koordinatni sustav x10x2)8
- algebarski pomou simpleks metode (npr. Charnesove M metoda; originalna simpleks
metoda primijenjena na dual ovog problema)
Primjer
Tvornica hrane za pse u pripremi gotove hrane koristi 2 namirnice, itarice i meso. itarice
sadre masnoa 1 g/kg i bjelanevina1g/kg . Meso sadri masnoa 2g/kg i bjelanevina
4g/kg. Cijena za 1 kg itarica je 6 kn, a mesa 21 kn. Pakiranje gotove hrane mora sadravati
bar 30 g masnoa i bar 40 g bjelanevina. Treba odrediti koliinu jedne i druge namirnice
koju pakiranje mora sadravati, a da pri tom budu zadovoljeni nutricijski zahtjevi i cijena bude
minimalna.
8 odnosno tri strukturne varijable ( prostorni koordinatni sustav x10x20x3)
-
27
Prikazat emo podatke u tablici:
Hranjivi sastojci g/kg
Namirnica masnoe bjelanevine Cijena u kn za 1kg
itarice Meso
1 1 2 4
6 21
min.kol. (g) sastojka u pakiranju
30 40
Matematiki model:
Min w = 6x1 + 21x2 (37)
x1 + 2x2 30 (38)
x1 + 4x2 40
x1, x2 0 (39)
Radi se o standardnom problemu minimuma (ogranienja(38) u obliku ), sa dvije strukturne
varijable i dva ogranienja(minimalni nutricijski zahtjevi za masnoe i bjelanevine).
Optimalno rjeenje dobiveno grafikim putem je prikazano na slici 2.
Slika 2. Grafiko rjeenje
Interpretacija rjeenja:
Pakiranje e sadravati 20 kg itarica i 5 kg mesa. Cijena pakiranja je 225 kn.
-
28
Rjeavanje problema LP se provodi primjenom simpleks algoritma. To je algebarski postupak
za nalaenje mogueg bazinog rjeenja sustava jednadbi matrinim putem, a pri tom
svako dobiveno rjeenje ispituje jesmo li nali bazino rjeenje koje funkciji cilja daje
maksimalnu vrijednost, odnosno moe li se vrijednost z poveati prijelazom na slijedee
bazino rjeenje. Geometrijski gledano, simpleks metoda kree od ishodita i dalje od vrha
do vrha po skupu moguih rjeenja, poveavajui vrijednost funkcije cilja dok ne doe do
optimalnog rjeenja. Poetno bazino rjeenje je ono koje je poznato, tj. ono kod kojeg su
strukturne varijable jednake nuli (nebazine), a dodatne varijable su bazine (razliite od
nule). To je ishodite koordinatnog sustava. Slijedee bazino rjeenje nalazimo
elementarnom transformacijom poetne baze, tako da se jedan od vektora poetne baze
zamijeni jednim od preostalih vektora matrice A, a koji nisu u bazi. Ta zamjena se odvija
prema definiranim kriterijima za odabir vektora koji e ui u bazu, te onog koji e izai iz
baze. Transformacija baze tj. nalaenje novih bazinih rjeenja se obavlja sve dok postoji
mogunost poveanja vrijednosti funkcije cilja z. Primjenom kriterija omogueno je da se
doe do optimalnog rjeenja efikasno, tj. Bez da se nalazi i ispituje sva mogua bazina
rjeenja sustava.
Koristit emo MS Excel Solver program za nalaenje optimalnog rjeenja i analizu
osjetljivosti rjeenja.
Nalaenje rjeenja prikazat emo na primjeru 1, str.8 , iz Metode i modeli za donoenje
optimalnih poslovnih odluka.
Radi se o problemu proizvodnje. Potrebno je odrediti optimalan plan proizvodnje, tj. koliinu
x1 proizvoda P1, te koliinu x2 proizvoda P2 koje je potrebno proizvesti koristei raspoloivi
kapacitet strojeva i mogui plasman na tritu, za koje e ukupni profit biti maksimalan.
-
29
Matematiki model:
Max z = 40x1 + 60x2 (1)
x1 + x2 200 (2)
2x1 + x2 300
x2 150
x1, x2 0 (3)
Matematiki model u matrinpm obliku:
Max z = (4)
(5)
(6)
Unosimo podatke u radni list:
A B C D
1 ogranienja P1 P2 rspoloivo
2 S1 1 1 200
3 S2 2 1 300
4 Trite 0 1 150
5 Profit 40 60
6
7 Rjeenja 1 1 (koliine)
8 Max
9 Fn.cilja =SUMPRODUCT( B5:C5;B7:C7) (cijenakoliina)
10
11 ogranienja iskoriteno raspoloivo 12
S1 =SUMPRODUCT( B2:C2;$B$7:$C$7) =D2
13 S2
=SUMPRODUCT( B3:C3;$B$7:$C$7) =D3
14 Trite
=SUMPRODUCT( B4:C4;$B$7:$C$7) =D4
-
30
Za odreena rjeenja varijabli x1 i x2 , vrijednost funkcije cilja (4) i pojedinih ogranienja (5)
predstavlja skalarni produkt za koje u programu imamo na raspolaganju funkciju
SUMPRODUCT (prvi_niz, drugi_niz). Za poetna rjeenja
varijabli x1 i x2 postavljamo vrijednost 1, pa nam to omoguuje provjeravanje ispravnosti
uneenih formula (skalarni produkt mora biti jednak sumi koeficijenata odgovarajueg retka).
Slika 2: Unos podataka u radni list.
Unosimo parametre modela:
Slika 3: Unos parametara modela
U prozoru Mogunosti uvodimo zahtjev da se radi o linearnom modelu i zahtjev o
nenegativnosti varijabli.
Slika 4: Unos opcija parametara modela
-
31
Nakon toga odabirom gumba Solve (slika 3.) rijeimo problem.
Pored optimalnog rjeenja jo moemo dobiti 3 izvjea (slika 5.):
- o rjeenju
- o analizi osjetljivosti
- o granicama.
Slika 5: Izbor izvjea.
Microsoft Excel 11.0 Answer Report Worksheet: [Book1]Sheet1 Report Created: 5.1.2009 12:04:42 Target Cell (Max)
Cell Name Original
Value Final Value Max
profit $B$9 Fn.cilja 100 11000 Adjustable Cells opt.kol.
Cell Name Original
Value Final Value proizvodnje
$B$7 Rjeenja P1 1 50
$C$7 Rjeenja P2 1 150 Constraints
Cell Name Cell
Value Formula Status Slack $B$12 S1 iskoriteno 200 $B$12
-
32
Ovo izvjee ukljuuje rjeenja varijabli (razine proizvodnje pojedine vrste proizvoda), optimalnu
vrijednost funkcije cilja (maksimalni profit) te iskoritenost ogranienja (resursa proizvodnje,
plasmana). U naem primjeru dobivamo informaciju da je plasman na tritu i kapacitet strojeva S1
potpuno iskoriten (predstavljaju uska grla za poveavanje proizvodnje), dok kapacitet strojeva S2
ima neiskoritenih 50 sati.
Analiza osjetljivosti
Pomou analiza osjetljivosti utvrujemo osjetljivost optimalnog rjeenja
na promjenu : 1. jednog parametra u funkciji cilja (OFC)
2. jednog parametra na desnoj strani ogranienja (RHS)
Problem asortimana proizvodnje P1 i P2:
Max z = 40x1 + 60x2 (profit)
x1 + x2 200 (sati S1)
2x1 + x2 300 (sati S2)
x2 150 (tr. P2)
x1,x2 0 (nenegativnost)
Optimalno rjeenje je o(50,150) i maksimalni profit z=11000.
Slika 6 Grafiko rjeenje LP.
-
33
Promjene parametra u funkciji cilja
Poveamo li profit po jedinici P1 sa 40 kn na 50 kn , funkcija cilja je:
z' = 50x1 + 60x2
Iz grafikog prikaza vidi se da se optimalno rjeenje ne mijenja. Kako se jedinini
profit poveao, poveava se i vrijednost z. Optimalno rjeenje e se promijeniti
ako se nagib funkcije cilja vie promijeni, npr. z1 = 140x1 + 60x2 , o1(150,0), z1=21000
Postoji interval vrijednosti za pojedini parametar u funkciji cilja, unutar kojeg
intervala optimalna vrijednost ostaje nepromijenjena, a mijenja se samo vrijednost funkcije
cilja. Ako parametar poprima vrijednosti van navedenog intervala, mijenja se i optimalno
rjeenje. Tako za c1 interval vrijednosti je (0,60), a za c2 interval je (40, +).
Microsoft Excel 11.0 Sensitivity Report Worksheet: [Book1]Sheet1 Report Created: 5.1.2009 12:05:57
parametri u funkciji cilja
dozvoljeno pove. i smanjenje param. u funkciji cilja
Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
$B$7 Rjeenja P1 50 0 40 20 40
$C$7 Rjeenja P2 150 0 60 1E+30 20
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
$B$12 S1 iskoriteno 200 40 200 25 50 $B$13 S2 iskoriteno 250 0 300 1E+30 50
$B$14 Trite iskoriteno 150 20 150 50 50
Slika 7 Analiza osjetljivosti
-
34
Promjene parametra na desnoj strani ogranienja
Poveamo li desnu stranu drugog ogranienja (sati S2) na 400, mijenja se skup
moguih rjeenja, nagib funkcije cilja se ne mijenja, ali se mijenja optimalno rjeenje: z1=
28000, o(200,0).
Max z = 140x1 + 60x2
x1 + x2 200
2x1 + x2 400
x2 150
x1,x2 0
Slika 8 Novo grafiko rjeenje
Ukupni profit se poveao sa 21000 na 28000 kn, za dodatnih 100 sati rada S2. To znai da
svaki dodatni sat rada S2 poveava profit za 70kn (ili svaki sat manje je 70kn manje profita).
Ako se mijenja desna strana ogranienja koje je potpuno iskoriteno ('usko grlo'), promjena
nastaje i u funkciji cilja. Mjerimo utjecaj promjene za 1 jedinicu desne strane pojedinog
ogranienja na promjenu u vrijednosti u funkciji cilja koju zovemo dualna cijena ili cijena u
-
35
sjeni. Kad ogranienje predstavlja resurs, dualna cijena predstavlja marginalnu vrijednost tog
resursa. U izvjeu takoer dobivamo i interval vrijednosti za desnu stranu pojedinog
ogranienja unutar kojeg dualna cijena ostaje nepromijenjena.
Dualna vrijednost (Shadow price) ili marginalna vrijednost ogranienja predstavlja promjenu
vrijednosti funkcije cilja za poveanje RHS ogranienja za jedinicu. Dualna vrijednost y2 = 70
je marginalna vrijednost funkcije cilja za poveanje RHS 2.ogranienja primala. Svaki dodatni
sat rada S2 poveava profit za 70 kn.
Za ogranienje koje nije 'usko grlo', dualna vrijednost je nula, jer malo poveanje RHS ne
moe poveati optimalnu vrijednost funkcije cilja. Kad se RHS mijenja unutar granica
odreenog intervala, shadow price se ne mijenja.
Promjena vrijednosti funkcije cilja predstavlja umnoak dualne vrijednosti i promjene RHS.
U Excelu postoji jo i tree izvjee koje se odnosi na granice unutar kojih se kreu
vrijednosti pojedine varijable, te o vrijednosti funkcije cilja koja odgovara granicama tog
intervala.
Poveavanje resursa.
Ulaganje u dodatne kapacitet resursa se isplati do visine dualne cijene za jedinicu resursa,
ali pri tom treba voditi rauna da ostanemo u granicama dozvoljenog intervala. Znai, ulagat
emo za dodatni sat rada kapaciteta S2 do 70kn.
Strukturna varijabla jednaka nuli
Reducirani troak ( Reduced cost) ili oportunitetni troak je minimalna vrijednost za koju se
treba mijenjati parametar funkcije cilja za odreenu varijablu kako ona ne bi bila jednaka nuli
u optimalnom rjeenju. To je iznos za koji e se vrijednost funkcije cilja promijeniti , ako
varijabla umjesto 0 poprimi vrijednost 1. Ako se radi o problemu maksimuma (minimuma),
reduced cost je vrijednost za koju se parametar u funkciji cilja treba poveati (smanjiti). Za P2
jedinini profit bi se trebao poveati za 10 kn kako bi bilo profitabilno proizvoditi P2.
-
36
Predstavit emo cjelokupni Excel izvjetaj za model:
Max z = 140x1 + 60x2
x1 + x2 200
2x1 + x2 300
x2 150
x1,x2 0
Target Cell (Max)
Cell Name Original
Value Final Value
$B$9 Fn.cilja P1 200 21000
Adjustable Cells
Cell Name Original
Value Final Value $B$7 Rjeenja P1 1 150
$C$7 Rjeenja P2 1 0 Constraints
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$B$12 S1 iskoriteno 150 $B$12
-
37
Microsoft Excel 10.0 Sensitivity Report Worksheet: [Book1.xls]Sheet1 Report Created: 3/13/2009 17:26:22 Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
$B$7 Rjeenja P1 150 0 140 1E+30 20
$C$7 Rjeenja P2 0 -10 60 10 1E+30
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
$B$12 S1 iskoriteno 150 0 200 1E+30 50 $B$13 S2 iskoriteno 300 70 300 100 300 $B$14 Trite iskoriteno 0 0 150 1E+30 150
Tablica 2 Excel izvjetaj
Kako je optimalna vrijednost strukturne varijable x2 jednaka nuli, imamo njezin oportunitetni troak. To
znai da minimalna vrijednost od koje bi jedinini profit P2 trebao biti vei kako bi bilo profitabilno
proizvoditi P2 jest 10 kn.
Kapacitet S2 je potpuno iskoriten, dakle radi se o "uskom grlu" u proizvodnji. Dualna (marginalna)
vrijednost tog ogranienja jest 70 kn, to znai da svaki dodatni sat rada S2 poveava profit za 70 kn.
To je ujedno i cijena jednog sata rada S2 do koje visine se isplati ulagati kod poveanja kapaciteta.
Intervali vrijednosti na desnoj strani svakog ogranienja unutar kojih optimalno rjeenje ostaje
nepromijenjeno jesu: b1 (150, +); b2 (0, 400); b3 (0, +).
Na kraju emo ukratko ponoviti.
Analiza osjetljivosti se odnosi na:
- promjenu OFC za varijablu;
-mijenjanje vrijednosti strukturne varijable koja ima vrijednost 0 u vrijednost koja nije 0;
- promjenu RHS ogranienja.
Vano je napomenuti da se ispituju promjene samo u jednom parametru. Ako se radi o promjenama u
vie parametara, tada je problem sloeniji i potrebno je primijeniti parametarsko programiranje.
-
38
Pojmovi u raunalnom ispisu analize osjetljivosti:
Allowable Decrease(Increase)
Dozvoljeni pad (rast) za 1 koeficijent u funkciji cilja Najvea vrijednost za koju se koeficijent strukturne varijable u funkciji cilja moe smanjiti (poveati)
a da postojee optimalno rjeenje ostane optimalno.
Dozvoljeni pad (rast) za 1 vrijednost na desnoj strani ogranienja Najvea vrijednost za koju se vrijednost na desnoj strani ogranienja moe smanjiti (poveati) a da
dualna cijena ostane nepromijenjena.
RHS vrijednost(vrijednost desne strane ogranienja) Koliina raspoloivog resursa (za ogranienje ) ili minimalni zahtjev nekog kriterija (za ogranienje
).
Shadow price (dualna cijena) Veliina promjene vrijednosti funkcije cilja za poveanje desne strane jednog ogranienja za 1
jedinicu (marginalna vrijednost resursa).
OFC vrijednost (koeficijent u funkciji cilja) Koeficijent strukturne varijable u funkciji cilja (npr. jedinini profit, jedinini troak ).
Reduced cost (oprtunitetni troak) Postoji kad je neka strukturna varijabla jednaka nuli u optimalnom rjeenju. To je najmanji iznos od
kojeg koeficijent u funkciji cilja uz tu strukturnu varijablu treba biti vei, kako bi optimalno rjeenje te
varijable bilo razliito od nule. To je razlika izmeu marginalnog doprinosa te varijable i potrebnih
marginalnih trokova resursa.
Slack (dopunske varijable) Razlika izmeu lijeve (LHS) i desne (RHS) strane ogranienja. Kod ogranienja obino predstavlja
neiskoriteni resurs, a kod ogranienja predstavlja prekoraenje minimalnog zahtjeva.
-
39
Modeli zaliha
Zalihe su vrlo vane u poslovnom procesu jer su neophodne za nesmetano odvijanje
procesa. Prevelike zalihe znae zamrznuta sredstva koja stvaraju trokove, a premale mogu
uzrokovati zastoj u poslovnom procesu i velike tete u poslovanju. Zbog toga zalihe trebaju
biti optimalne.
Cilj ; Odrediti plan naruivanja (kada i koliko) koji e minimizirati trokove zaliha, ali i trokove
naruivanja i dostave.
Izloit emo osnovni model zaliha sa stalnom potranjom, a nema nedostatka zaliha. To je
pojednostavljeni problem koji je osnova i za sve ostale modele zaliha. Izraunava se
optimalna veliina narudbe.
Pretpostavke:
- potranja je poznata i konstantna u jedinici vremena;
- poiljke popunjavaju skladite u trenutku kad se zalihe iscrpe i nema
nedostatka zaliha;
- koliina narudbe je konstantna;
- trokovi skladita po jedinici zaliha i fiksni trokovi narudbe su konstantni.
Na slici 10 je prikazano kretanje stanja zaliha prema navedenim pretpostavkama.
Slika 10 Kretanja stanja zaliha
-
40
Uvodimo oznake:
TC ukupni trokovi zaliha;
Cs ukupni trokovi skladitenja;
Cn - ukupni trokovi narudbe;
C trokovi jedne narudbe;
Q koliina narudbe;
h trokovi skladitenja jedinice zaliha;
D potranja u jedinici vremena.
Potrebno je odrediti optimum pomou funkcije ukupnih trokova:
TC = Cs + Cn
2
QhCs ====
Q
CDCn ====
Trokovi skladitenja su odreeni srednjom vrijednosti koliina punog i praznog skladita, a
to je 2
Q.
Q
CDQhTC ++++====
2
Optimum emo nai pomou diferencijalnog rauna:
22 Q
CDh
Q
TC====
02 2
====Q
CDh
22h
Q
CD====
Tako dobivamo optimalnu koliinu narudbe h
CDQo
2==== .
Optimalno vrijeme naruivanja zaliha: hD
C
hD
CD
D
QZ oo
222============ .
Ukupni optimalni trokovi iznose: o
o
oQ
CDQhTC ++++====
2.
-
41
Grafiko rjeenje je na slici 11:
Slika 11 Grafiko rjeenje problema zaliha
Razina optimalne narudbe, Qo je pri jednakosti Cs=Cn , odnosno 2
hQ
Q
CD==== ,
iz koje se dobiva h
CDQo
2==== .
Stohastiki model zaliha
Stohastiki modeli ukljuuju bar jednu stohastiku varijablu. Vrijednosti te varijable su
predstavljene distribucijama vjerojatnosti to je nain definiranja raspona moguih vrijednosti
koje varijabla moe poprimiti. Stohastiki modeli su blie stvarnosti od deterministikih. U
poslovnoj ekonomiji i poslovnom odluivanju ee su prisutni problemi u kojima nisu
precizno determinirani uzrono posljedini odnosi meu varijablama u modelu kao to nisu ni
poznate sve vrijednosti parametara koji su potrebni za dobivanje jedinstvenog rjeenja. Vrlo
su esti problemi u kojima je kod donoenja odluka prisutan rizik, sluajni utjecaji te
nedostatak informacija. Stohastiko modeliranje je vano podruje modeliranja koje emo
objasniti samo kroz jednostavnije primjere u poslovnom odluivanju. Ipak, u praktinom
smislu, ne samo kod sloenijih i opsenijih problema, teko je specificirati matematiki model
kao i nai analitiko rjeenje. U takvim sluajevima koristimo metodu simulacije.
-
42
U modelima zaliha mogu postojati razni izvori sluajne varijabilnosti - kao vrijeme isporuke,
razliiti trokovi, ali ipak najvanija je potranja koju smo u deterministikom modelu uzimali
kao prosjenu vrijednost. Varijabilnost potranje nije jako vana do trenutka kad se naruuje.
Ako u tom trenutku naglo poraste potranja, zalihe e pasti bre od oekivanja. Zalihe se
mogu iscrpsti prije nego nove dou. Zbog toga mnoga poduzea odravaju rezervne zalihe
(vidi sliku 12). Rezervne zalihe se koriste ako potranja poraste za vrijeme perioda isporuke.
Pitanje je koliko velike te rezerve trebaju biti. Ako su premale moe stati poslovanje, a ako su
prevelike, kapital je vezan u nepotrebnim zalihama. Odgovor dobijemo ako znamo
distribuciju vjerojatnosti potranje.
Slika 12 Kretanje zaliha uz odravanje rezerve
Uniformna distribucija vjerojatnosti potranje
Svaka koliina potranje jednako vjerojatna. Potranja za vrijeme perioda isporuke varira
izmeu minimalne vrijednosti a i maksimalne vrijednosti b. Prosjena potranja za vrijeme
isporuke jest 2
ab ==== . Poduzee moe odluiti da ima zaliha dovoljno za najveu razinu
potranje, a to znai da mora odravati koliinu b- rezervne zalihe. Alternativa je neto
manja razina i time riskira nastanak zastoja poslovanja. Npr. ako eli riskirati da ostane bez
zaliha u 5% sluajeva, lako je dobiti rjeenje jer je svaka potranja jednako vjerojatna (slika
13).
-
43
Slika 13 Uniformna distribucija vjerojatnosti potranje
Primjer
Potranja za proizvodom varira od 120 do 800 komada dnevno. Vrijeme isporuke je 2 dana.
Trokovi jednog komada proizvoda na zalihi je 2 kn dnevno. Kolike moraju biti rezervne
zalihe kako bi se osiguralo poslovanje u 95% sluajeva? Odredite koliinu narudbe za
odravanje tih zaliha.
h= 2
D dnevna : a= 120 ; b= 800;
D za 2 dana: a= 240 ; b= 1600; = 920
100% osiguranje zaliha:
Rezervne zalihe su b- = 1600 920 = 680 kom
95% osiguranje zaliha:
c= a + 0.95(b-a) = 240 + 0.95(1600-240) = 1532 kom je potranja koja e se
dogoditi u ne vie od 95% sluajeva
-
44
Rezervne zalihe su c- = 1532 920 = 612 kom
Trokovi odravanja rezervnih zaliha su: 612 2 = 1224 kn dnevno.
Normalna distribucija vjerojatnosti potranje
Potranja varira s velikom vjerojatnou, a srednje vrijednosti i vjerojatnost naglo padaju na
niim i viim razinama potranje.
Normalna distribucija vjerojatnosti : N(,)
Standardna normalna distribucija : N(0,1) vrijednosti u tablici.
====x
z transformacija nestandardne normalne distribucije u standardnu;
x vrij.sluajne varijable; , - parametri njezine normalne raspodjele.
Primjer
Normalna distribucija potranje:
D dnevna: = 460, =180 ;
D za 2 dana: =920 , 625418018022 .====++++====
Traimo razinu potranje x koja nije prekoraena u vie od 5% sluajeva.
Radi se o povrini ispod desnog repa normalne distribucije koja iznosi 5%. Za standardnu
normalnu distribuciju u tablici nalazimo odgovarajui z=1.65. Potranja x koja e se dogoditi
u ne vie od 5% sluajeva za zadanu distribuciju potranje jest:
-
45
x = z + = 1.65 254.6 + 920 = 1340.1 1340
To e biti koliina narudbe za odravanje zaliha.
Rezervne zalihe su: x - =1340 920 = 420 .
Zadana normalna N(920;255):
====x
z X= 1340
-------------------
-
46
Ekonometrijski modeli
Predavanja prema knjizi Lj.Lovri: Uvod u ekonometriju, Ekonomski fakultet
Rijeka, 2005.
-
47
3. METODA SIMULACIJE
Metoda simulacije se primjenjuje kada je sustav za koji je potrebno specificirati
model presloen za analitiki pristup. Izloit emo samo osnovnu proceduru ove
tehnike i primjenu u podruju zaliha i investicijskih projekata.
Simulacija je proces stvaranja modela realnog sustava i eksperimentiranja s
modelom u cilju razumijevanja ponaanja sustava i/ili razvijanja raznih strategija
funkcioniranja sustava (Pedgen et al.,1995).
Monte Carlo simulacija
Simulaciju emo koristiti za sustave koji u sebi ukljuuju neizvjesnost u
ponaanju, a poslovne odluke ine rizinim. Neizvjesnost se u modelima
predstavlja stvaranjem uzoraka iz odgovarajue distribucije vjerojatnosti. Takva
vrsta simulacije se esto naziva Monte Carlo simulacija. To su najjednostavnije
vrste simulacijskih modela. Ukratko, stohastike karakteristike sustava su
definirane sluajnim varijablama. Ulazne vrijednosti takvih varijabli su definirane
distribucijama vjerojatnosti koje ih najbolje predstavljaju. S obzirom da se radi o
sluajnim vrijednostima, izlazne vrijednosti modela se raunaju kao prosjeni
pokazatelji dovoljnih broja iteracija provedenih modelom.
Osnovna su tri koraka simulacijskog modeliranja:
1. Za sluajnu varijablu izaberemo vrstu distribucije vjerojatnosti i njezine
parametre koji najbolje odraavaju ponaanje te sluajne varijable.
2. Izvedemo dovoljno velik broj iteracija, pokusa u kojima se pojavljuje takva
sluajna varijabla.
3. Za svaki pokus biljeimo izlazne vrijednosti modela i na kraju za rezultate
izraunavamo matematiko oekivanje, standardnu devijaciju i druge
statistike pokazatelje.
-
48
Monte Carlo simulacija je shema koritenja sluajnih brojeva tj. U(0,1) sluajnih
vrijednosti koje slue za rjeavanje odreenih stohastikih ili deterministikih
problema u kojima vrijeme nema vanosti (Law, Kelton, 1991). U irem smislu
Monte Carlo je metoda u kojoj se koriste sluajni brojevi za rjeenje problema. Za
simulaciju diskretnih dogaaja (npr. sustavi usluivanja) taj nain nije pogodan jer
se u tabelarnom prikazu ne moe na odgovarajui nain pratiti promjene kroz
vrijeme. Zbog toga za takve probleme postoje posebni programski paketi i
programski jezici. Slina je situacija s kontinuiranim dogaajima.
Mi emo Monte Carlo simulaciju koristiti za probleme koji su uglavnom statiki
kao to su kontrola zaliha i analiza rizika.
Diskretna simulacija
Diskretna simulacija se primjenjuje na sustave koji se mogu opisati nizom
diskretnih dogaaja. Diskretni dogaaj predstavlja skup okolnosti koje su izazvale
promjenu stanja sustava. Simulacija se odvija tako da se biljee sve promjene
vezane uz nastali dogaaj i zatim prelazi na slijedei dogaaj. Drugim rijeima
simulacija se odvija od dogaaja do dogaaja uz predpostavku da se nita vano
ne dogaa u vremenu izmeu dogaaja. Metoda nema ogranienja tj. mogu se
pomou nje prouavati vrlo sloeni sustavi, a za to se koriste posebni
kompjuterski programi odnosno programski jezici. U kompjuterskom programu se
generiraju dogaaji prema stvarnom procesu u pruavanom sustavu i prikupljaju
podaci vezani uz promjene nastale simulacijom.
Problemi sustava usluivanja (sustava redova ekanja) rjeavaju se diskretnom
simulacijom. U takvim sustavima dogaaji su vezani uz dolazak potroaa i
njihovo usluivanje. Kad bi dolasci i vrijeme usluivanja bili u jednakim
vremnskim razmacima radilo bi se o deterministikom sustavu i ne bi se stvarali
redovi. Ipak, u veini sustava usluivanja postoji varijabilnost u procesu dolaenja
i usluivanja. Redovi nastaju kad je potranja za uslugom vea od kapaciteta
resursa koji prua uslugu. Potroai ne dolaze u regularnim intervalima, a postoje
-
49
i varijacije oko prosjene duine vremena usluivanja. Modeliranje takvog
sustava predstavlja prikupljanje uzoraka iz distribucije vremena meu dolascima i
distribucije vremena usluivanja. te dvije sluajne varijable se u modelu
generiraju prema pretpostavljenim teorijskim i empirijskim distribucijama
vjerojatnosti.
Odvijanje simulacije prati se vremenski, tj. simulacijskim satom. Prvi dogaaj ,
dolazak potroaa, dogodi se nakon vremenskog intervala koji je generiran
prema odgovarajuoj distribuciji vjerojatnosti. Kako je sustav na poetku prazan,
potroa je odmah usluen i to u vremenu koji je generiran prema odreenoj
distribuciji vjerojatnosti. Dogaaji dalje slijede navedene distribucije, te se biljee
statistiki podaci o broju potroaa u sustavu, u redu, za svakog potroaa
vrijeme ekanja u redu, vrijeme usluivanja, a na kraju i iskoritenost sustava za
vrijeme simulacije. to se vrijeme simulacije produuje rezultati su stabilniji i
kaemo da sustav postie ravnoteno stanje. Na kraju predvienog vremena
simulacije dobivaju se prosjene vrijednosti skupljenih statistikih podataka.
Simulacijski model koji reprezentira prouavani sustav tako daje statistike
pokazatelje koje nazivamo historijska simulacija. Ako u tom modelu mijenjamo
ulazne parametre modela ispitujemo funkcioniranje sustava u promijenjenim
uvjetima, dakle eksperimentiramo modelom. Usporeujui rezultate s
historijskom simulacijom dobivamo vane informacije o funkciniranju sustava i
mogunosti njegovog poboljanja.
Podruje primjene je iroko u planiranju i organizaciji lukih postrojenja,
aerodroma, skladita, telefonskih centrala, bolnica, banaka, trgovina, ukratku
svugdje gdje postoji mogunost zastoja i uskih grla.
Za neke jednostavnije sustave usluivanja postoji analitiko rjeenje, tj. formule
pomou kojih se mogu izraunati prosjene vrijednosti pokazatelja funkconiranja
sustava. Meutim u praksi su rijetki primjeri na koje se analitiko rjeenje moe
primijeniti.
-
50
Prednosti i nedostaci metode simulacije
Prednosti ove metode su viestruke. Omoguava bolje razumijevanje sustava,
eksperimentiranje modelom sustava i pripremu za nepoznate situacije u
funkcioniranju sustava, omoguuje otkrivanje uskih grla, procjenu rizinih
dogaaja i bolju pripremu za donoenje poslovnih odluka u uvjetima rizika. Ne
postoji tako sloeni sustav koji se ne bi mogao metodom simulacije modelirati i
istraiti.
Nedostatak metode simulacije jest to je za sloenije sustave ovo skupa metoda
jer zahtijeva timski rad i skupu programsku podrku. Simulacijom ne dobivamo
optimalno rjeenje. Simulacija ne daje egzaktno rjeenje kao analitike metode.
Rezultati simulacije predstavljaju uzorak, pa se stoga za statistiku analizu
rezultata treba koristiti teoriju uzoraka.
Generiranje sluajne varijable
Sluajni brojevi
Sluajni brojevi su brojevi koji su uniformno distribuirani izmeu 0 i 1, tj. U (0,1).
Funkcija vjerojatnosti ( slika ) uniformne distribucije je:
-
51
Pseudosluajni brojevi
Pseudosluajni brojevi imaju svojstva sluajnih brojeva (nezavisnost, jednaka
vjerojatnost), a izraunavaju se pomou algoritma. Njihova je prednost to se
mogu ponoviti, a to je vrlo vano kod simulacije. Naime, koritenjem istog niza
sluajnih brojeva za razliite varijante modela, omoguuje se reduciranje
varijabilnosti u rezultatima i na taj nain lake otkrivanje stvarne razlike meu
varijantama modela.
Postoji vie vrsta generatora (algoritama). vano da niz brojeva bude dovoljno
dug i da se ne degenerira. Najvie se koristi multiplikativni kongruentni generator:
xi+1 = a xi (mod m)
x0 sjeme (seed), poetna vrijednost;
mod m modulo m a xi podijeliti sa m i zadrati ostatak.
Simulacijski programski paketi imaju ukljuene generatore koji su testirani na
sluajnost i jednaku vjerojatnost.
Generiranje sluajne varijable
Simulacijski programski paketi imaju ugraene postupke za generiranje sluajne
varijable prema teorijskoj ili empirijskoj distribuciji. Objasnit emo samo osnovni
princip.
Primjer
Trgovina prodaje mlijeko u velikim paketima. Potranja je sluajna varijabla broj
prodanih paketa varira prema prikupljenim podacima u tablici 1 (empirijska
distribucija vjerojatnosti).
-
52
Tablica1
broj prodanih
paketa dnevno sredina frekvencija
relat.frekv.
(%)
kumulativne
frekv.(%)
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
15
25
35
45
55
10
18
24
7
5
16
28
37
11
8
16
44
81
92
100
ukupno 64 100
Potronju x emo predstaviti srednjom vrijednosti razreda. Distribucija
vjerojatnosti je ureeni skup parova vrijednosti varijable i pripadajue
vjerojatnosti, {{{{ }}}}))x(p,x( ii , i=1,2,...k.
Vjerojatnost potranje za podatke u tablici izraunamo kao relativnu frekvenciju
(%). U cilju modeliranja potranje koristit emo sluajne brojeve. Umjesto
uobiajenog raspona od 0 do 1, koristit emo raspon od 0 do 100, to je u skladu
s rasponom relativnih frekvencija u tablici. Potrebno je pridruiti sluajne brojeve
distribuciji u tablici1.Svaki sluajni broj mora biti lociran samo u jednom intervalu
u tablici. Zato je korisno izraunati vrijednosti kumulativnih frekvencija. irina
intervala za svaku vrijednost sluajne varijable x odreena je veliinom relativne
frekvencije svakog razreda. Kako su intervali razliite duine, oni ukljuuju i
razliiti raspon sluajnih brojeva. to se jasnije moe predstaviti pomou kruga
(slika):
00-15
16-43
44-80
81-91
92-99
-
53
Potranja je sluajna varijabla koja je distribuirana s vjerojatnou koja odgovara
irini razreda, a irinu razreda odreuju originalni podaci. Prema navedenom,
tablicu 1 emo upotpuniti intervalima sluajnih brojeva (RN). (tablica2).
Tablica 2
broj prodanih
paketa dnevno
Sredina
x frekvencija
relat.frekv.
fr (%)
kumulativne
frekv.(%)
RN
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
15
25
35
45
55
10
18
24
7
5
16
28
37
11
8
16
44
81
92
100
00-15
16-43
44-80
81-91
92-99
ukupno 64 100
Kroz viestruki postupak izvlaenja sluajnih brojeva, dobit emo u uzorku
korektni udjel potranje iz svakog intervala. Ako elimo simulirati potranju za 10
dana, uzet emo niz od 10 sluajnih brojeva. Za svaki sluajni broj lociramo u
tablici interval u koji pripada i oitamo pripadnu koliinu potranje (sredinu
razreda). Tone vrijednosti diskretne sluajne varijable mogu se dobiti
interpolacijom. Sluajni brojevi i simulirana potranja predstavljena je u tablici, a
postupak na grafikonu.
RN Potranja
35
72
63
54
12
90
89
60
21
37
25
35
35
35
15
45
45
35
25
25
-
54
Slika Kumulativna funkcija distribucije potranje mlijeka
Za teorijske funkcije distribucije je isti postupak . Na slici je prikazan postupak
generiranja kontinuirane sluajne varijable.
Slika Kumulativna funkcija distribucije kontinuirane sluajne varijable
RN
x X
F(x)
-
55
Primjena na odabranim primjerima
Simulacija kontrole zaliha
Predstavit emo simulacijski model zaliha trgovine koja prodaje mlijeko i za koju
su prikupljeni podaci o potranji tijekom 64 dana (tablica 1).
Koliina (Q) koja se naruuje je fiksna vrijednost. Kritine zalihe (R) predstavljaju
razinu zaliha kad robu treba naruiti. To znai ako su, ako su zalihe krajem dana
na razini jednakoj ili manjoj od kritinih zaliha, roba se naruuje. Ukupni trokovi
obuhvaaju osim trokove naruivanja i trokove manjka zaliha.
Podaci:
Fiksni trokovi jedne narudbe iznose 180 kn.
Troak zaliha (skladitenja) jednog paketa dnevno je 0,45 kn.
Troak manjka zaliha je gubitak koji nastaje kad potroa ne moe kupiti mlijeko
u toj trgovini jer su zalihe ponestale i procijenjen je na 5 kn po paketu.
Vrijeme potrebno da naruena roba stigne od trenutka naruivanja je 2 dana.
Potrebno je odrediti: koliinu narudbe Q, kritine zalihe R, za danu potranju D
koja je sluajna varijabla, te ukupne trokove, trokove zaliha, trokove manjka
zaliha.
Problem emo rijeiti simulacijom. Potranju emo generirati po empirijskoj
distribuciji (Tablica 1).
Poetni uvjeti simulacije:
Zalihe na poetku su jednake nuli i prvi dan dospijeva naruena koliina Q.
Potranju moemo utvrditi iz distribucije vjerojatnosti (Tablica 1) tj. iz prikupljenih
podataka za 64 dana poslovanja. Oekivana potranja je:
D= 327031 ======== .)(i
ii frxxE paketa.
-
56
Kako se radi o stohastikoj varijabli s empirijskom distribucijom vjerojatnosti,
nemamo analitiko rjeenje problema. Pribline vrijednosti emo dobiti koristei
analitiko rjeenje deterministikog modela, to znai da emo uzeti da je
potranja fiksna vrijednost.
D= 32 paketa
h=0.45 kn/dan
C= 180 kn
160450
321802====
====
.Q paketa
CS= knQh
362
====
dnevno
CN= knQ
DC36====
dnevno
532450
18022====
========.hD
CZ dana
Kritina razina zaliha (R):
Vrijeme koje je potrebno da naruitelj dostavi robu od trenutka naruivanja iznosi
2 dana, a dnevna oekivana potranja je 32 paketa, pa je R=2 32 = 64 paketa.
Tako smo dobili osnovne parametre za simulaciju (historijska) : Q=160, R=64,
potranja generirana po empirijskoj distribuciji.
Simulaciju emo provesti za 30 dana. Odmah 1.dan stie prva poiljka od 160
paketa i nema zaliha. Nova narudba kree kad zalihe padnu ispod 64 paketa i
potrebno je 2 dana da stigne. Potranja je generirana po diskretnoj empirijskoj
distribuciji (slika).
Simulaciju provodimo u tablici pomou programa MS Excel.
-
57
Ponavljanje simulacije
Simulacija od 30 dana daje 4 vrste trokova. Ukoliko ponovimo simulaciju
rezultati e biti drukiji jer se mijenjaju sluajni brojevi. Radi se o stohastikom
sustavu. Zbog toga je potrebno simulaciju od 30 dana ponavljati to vie puta
kako bismo dobili informacije o distribuciji vjerojatnosti prema kojoj se sluajne
varijable ponaaju. Ponovit emo simulaciju 200 puta, izraunat prosjene
vrijednosti iz dobivenih 200 podataka za 4 vrste trokova koji nas zanimaju.
Za ponavljanje simulacija koristimo Excel proceduru Data Table.
-
58
-
59
Simulacijski eksperimenti
Pretpostavimo da trgovina zaista posluje prema Q=160, R=65. Tada se
simulacija koju smo izveli naziva historijska simulacija. Ona oponaa (simulira)
poslovni sustav prema stvarnim parametrima.
Svrha ovakvog simulacijskog modela jest eksperimentiranje. Mijenjanjem ulaznih
vrijednosti parametara elimo doi do vanih saznanja o sustavu koja e nam
pomoi u kvalitetnijem poslovnom odluivanju.
Pomou naeg simulacijskog modela elimo utvrditi koliinu narudbe Q i kritine
zalihe R s kojima e se smanjiti ukupni mjeseni trokovi. Svaki eksperiment e
uzeti odreene kombinacije razina Q i R, ponoviti simulaciju 200 puta i izraunati
prosjene vrijednosti trokova. Tako emo usporeujui prosjene izlazne
vrijednosti doi do odgovora koja razina Q i R smanjuje ukupne trokove.
Pri tom koristimo Excel proceduru Scenario Manager (Tools/ Scenarios).
Pored sadanjeg stanja (historijske simulacije) jo je izvedeno 5 scenarija.
rezultati su na slici... Najmanje ukupne trokove daje scenarij sadanje stanje.
Ipak visoka je razina manjka zaliha. Druge je pitanje koliko je dobro za
poslovanje da potroai ne mogu dobiti robu uvijek kad ju trae.
Slika Scenario Manager rezultati.
-
60
Eksperimentiranje je esto svrha simulacijskog modeliranja, a eli se utvrditi
efekte promjene nekog parametra u modelu. To mogu biti, osim koliine
narudbe, razina kod koje treba ponoviti narudbu, trokovi zaliha, vrijeme
isporuke. Mogu se ispitivati i promjene u strukturi modela, npr.promjene
ditribucije potranje, varijabilno vrijeme isporuke umjesto fiksnog itd.
Simulacija investicijskih ulaganja
U modelima zaliha simulaciju smo koristili za utvrditi vjerojatnost nestanka zaliha.
Analiza rizika je povezana sa investicijskim procjenama. Svaki projekt koji traje
nekoliko godina nosi rizik. Ako kamate rastu bit e skuplji, ako se pojavi
konkurencija smanjit e se oekivani profit. Nemogue je predvidjeti budunost,
ali simulacija moe pomoi u procjeni rizika od financijskih gubitaka.
Oznake:
NPV - neto sadanja vrijednost;
D(n) godinji donosi;
I (0) poetni ulog;
i diskontna stopa.
NPV se izraunava ovako:
)()(
)(
)(
)(
)(
)(02 11
2
1
1I
i
nD
i
D
i
DNPV
n
++++++++++++
++++++++
++++==== L
Godinji donosi predstavljaju sluajnu varijablu. Obino se ponaa po normalnoj
distribuciji (donosi su simetrino raspodijeljeni oko sredine). Ako su vei donosi
vjerojatniji, tada je neka asimetrina distribucija, kao trokutasta prikladnija.
Analiza rizika se temelji na pretpostavkama i zbog toga ih treba paljivo
razmatrati. Mogue su promjenljive varijance distribucije kroz vrijeme ili donosi
mogu biti u korelaciji i slino. U takvim sloenijim sluajevima potrebno je koristiti
posebne programe (u Excelu je to @RISK).
-
61
Literatura: Anderson, D., R., Sweeney, D.J., Williams, T.A.,: Quantitative Methods for Business, Edition, Thomson, Ohio, 2004. Barkovi, D.: Operacijska istraivanja, Ekonomski fakultet Osijek, Osijek, 2002. Chiang,A.C.: Osnovne metode matematike ekonomije, MATE, Zagreb, 1994. Marti, Lj.: Matematike metode za ekonomske analize II, Informator, Zagreb 1974. Nerali,L. : Uvod u matematiko programiranje, Element, Zagreb, 2003. Waner, S., Costenoble, S.R.: Finite Mathematics and Applied Calculus, Fourth Edition, Thomson, Belmont, 2007.