kuliah ke-12 ekspektasi
TRANSCRIPT
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 11
EKSPEKTASIEKSPEKTASI
Ekspektasi dari variabel random merupakan konsep yang terpenting dalam mempelajari teori peluang dan statistika. Konsep ini telah meng”akar” dalam perjudian, karena penjudi ingin mengetahui apa yang mereka “harapkan “ untuk menang dalam setiap permainan.
Ekspektasi dari variabel random X ditulis E (X),lambang E disebut Operator Ekspektasi
Beberapa istilah ekspektasi, aslinya adalah :Expectation; The Mean; The Average; The Expected Value; Arithmetic Mean; Mathematical Expection.( );
( )( ) ;
i ii
x px jikaX vrd
E Xxf x dx jikaX vrk
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 22
MOMEN DAN VARIANSIMOMEN DAN VARIANSI
Momen ke n dari variabel random X didefinisikan sebagai berikut :
Variansi, terjemahan dari variance, kadang kadang disebut ragam. Variansi dari variabel random X, ditulis Var (X) atau 2
X, yang didefinisikan Var (X) = E { X – E (X)}2 . Apibila dijabarkan, diperoleh : Var (X)= E (X2)- { E (X) }2
( );
( )( ) ;
i
ni
in
n
x px jikaX vrd
E Xx f x dx jikaX vrk
2
2
( ) ( ),
( )( ) ( ) ;
i ii
x px jikaX vrd
Var Xx f x dx jikaX vrk
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 33
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAN FUNGSI FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAN FUNGSI KARAKTERISTIKKARAKTERISTIK
1. Fungsi pembangkit momen, terjemahan dari moment generating functions, diberi lambang : MX (t) atau (t)MX (t) = (t) ≜ E (etX)
2. Fungsi karakteristik (characteristic function) diberikan lambang : x()
( );
( )( ) ;
itxi
i
Xtx
e px X vrd
M tx f x dx X vrk
( );
( )( ) ;
ij xi
i
Xj x
e px X vrd
e f x dx X vrk
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 44
EKSPEKTASI LANJUTANEKSPEKTASI LANJUTAN
Jika X variabel random, maka Y = g (X) juga merupakan variabel random
Beberapa sifat : Jika a dan b konstanta, maka :1. E (aX + b) = a E (X) + b
Dengan mengambil nilai a = 0, maka E (b) = b2. Var (aX + b) = a2 Var X
Var (k) = ? E (k) = ?
( k adalah konstanta )
( ) ( );
( ) ( )( ) ( ) ;
i ii
gx px X vrd
E Y E gXgx f x dx X vrk
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 55
Contoh soalContoh soal
1. Diberikan VRD X dengan E (X1. Diberikan VRD X dengan E (Xkk) = 0,8 k = 1, 2 …) = 0,8 k = 1, 2 …
Tentukan : a. MGF dari VR X tersebutTentukan : a. MGF dari VR X tersebut
. (0) (1) ?X X
b p dan p
Solusi :Solusi : ( ) ( )tX tx
X Xx
M t E e e p x≜
Maclaurin :Maclaurin :
21 11 ( ) .... ( ) ...
2! !
( ) ( )
tX k
tX
X
e tX tX tXk
M t E e
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 66
22
22
2
1
1 ... ...2! !
1 ( ) ( ) ... ( )2! !
1 0,8 ... ... ...2! !
1 0,8!
kk
kk
k
k
t tE tX X X
k
t ttE X E X E x
k
t tt
k
t
k
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 77
1
( ) 1 0,8 ,!
k
Xk
tM t atau
k
0
0,2 0,8!
k
k
t
k
( ) 0,2 0,8 t
XM t e
( ) ( )tX tx
X Xx
M t E e e p x (0) 0 0,2
Xp P X ≜ (1) 1 0,8
Xp P X ≜
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 88
2
, dimana :Jika Y aX b a dan b real maka
VarY Var aX b E aX b aE X b
Jadi : Var (aX + b) = a2 Var X
22 ( )E a X E X
2= a Var X
22 ( )a E X E X
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 99
Beberapa kasus :Beberapa kasus :
a = 1 a = 1 Y = X + b Y = X + b
E (Y) = E (X + b) = E (X) + b E (Y) = E (X + b) = E (X) + b Y Y = = XX + b + b
Var Y = Var X Var Y = Var X dengan lain perkataan Var (b) = dengan lain perkataan Var (b) = 00
b = 0 b = 0 Y Y = = XX atau E(Y) = E(X) atau E(Y) = E(X)
2 2
Y Xatau Var Y Var X
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1010
Selanjutnya bagaimana dengan Var (aX + bY) =?Selanjutnya bagaimana dengan Var (aX + bY) =?
2
2
2
2 22 2
2 2
( )
( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
2 ,
Var aX bY E aX bY E aX bY
E aX bY aE X bE Y
E a X E X b Y E Y
E a X E X b Y E Y ab X E X Y E y
a Var X b VarY ab Cov X Y
Jika a = 1 = b maka Var (X + Y) = Var X + Var Y + 2 Cov (X, Y)Jika a = 1 = b maka Var (X + Y) = Var X + Var Y + 2 Cov (X, Y)
Definisi : Cov (X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y)]Definisi : Cov (X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y)]
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1111
Contoh soalContoh soal
Diberikan pdf dari VRK X :Diberikan pdf dari VRK X :
; 1( )
0 ;X
x xf x
x lainnya
Pertanyaan Pertanyaan Tentukan :Tentukan :
a.a. XX b.b. Var XVar Xc.c. ( )
XF x
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1212
PenyelesaianPenyelesaian
-1 1 x
f (x)
( ) ( )X E X x f x dx
≜
1 0 1
1 0 1
.0 ( ) ( ) . 0x dx x x dx x x dx x dx
0 1
0 12 2 3 31 13 31 0
1 0
0X x dx x dx x x
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1313
22 2( ) ( )X
Var X E X E X
12 2 2
1
( ) ( )E X x f x dx x x dx
≜
0 10 13 3 4
1 01 0
1 1
4 4x dx x dx x x
41 1 10 ( 1)
4 4 2
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1414
2
2
12 2
12 2
0 ; 1
; 1 0( )
; 0 1
1 ; 1
x
X x
x
xF x
x
x
Grafiknya?
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1515
Korelasi antara X dan Y dinyatakan oleh :Korelasi antara X dan Y dinyatakan oleh :
Correlation (korelasi)Correlation (korelasi)
,,
X Y
Cov X YX Y
, yang disebut koefisien korelasi, yang disebut koefisien korelasi
Sifats :Sifats :
1.1. (X, Y) = (X, Y) = (Y, X) (Y, X)
2.2. -1 -1 1 1
3.3. (X, X) = 1 ; (X, X) = 1 ; (X,- X) = -1(X,- X) = -1
Bagaimana dengan Cov (X,X) ?Bagaimana dengan Cov (X,X) ?
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1616
Soal-soalSoal-soal
1. Variabel Random X mempunyai pdf ;1. Variabel Random X mempunyai pdf ;
2( ) ; 0 0( )
0 ;X
k x x xf x
x lainnya
Pertanyaan :Pertanyaan :a.a. Tentukan k Tentukan k b.b. E (X) dan Var XE (X) dan Var Xc.c. Fungsi distribusi dari X berikut gambarnyaFungsi distribusi dari X berikut gambarnya
Rabu 12 April 2023Rabu 12 April 2023 [MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 1717
2. Seperti soal no 1 apabila VR X mempunyai pdf :2. Seperti soal no 1 apabila VR X mempunyai pdf :
2 ; 0 1( )
0 ;X
x xf x
x lainnya
Soal-soalSoal-soal
3. Probability density function (pdf) dari suatu variable random X diketahui sebagai berikut :
; 1( )
;
a bx O xf x
O untukxlainnya
Jika E (X) = ½ , maka tentukan nilai dari a dan b