MINIMAMINIMALISASLISASI BIAYA I BIAYA MENGGUNAKANMENGGUNAKAN GOLDEN SECTION GOLDEN SECTION AND HOOK JEEVES METHODSAND HOOK JEEVES METHODS

OBJECTIVESOBJECTIVES

Understand why and where optimization occurs in engineering problem solving

Understand the major elements of the general optimization problem (1) objective function (2) decision variables and (3) constraints

Be able to distinguish between linear and nonlinear optimization and between constrained and unconstrained problems

PUSTAKA

James B Riggs 1988 ldquoAn Introduction to Numerical Methods for Chemical Engineersrdquo Texas Texas Tech University Press Chapter 6

1048708 Steven C Chapra amp Raymond P Canale 2003ldquoNumerical Methods for Engineers With Software and Programming Applicationsrdquo 4th edition New York McGraw-Hill Company IncPart Four

1048708 etc

Cost components

$ year

Pipe diamater (in)

1 125 15 25

Operating Costs 4697 660 312 164 56

Pipe capital costs 168 308 389 474 660

Pump capital costs

401 192 150 150 150

Total 5266 1160 852 788 866

INTRODUCTORY EXAMPLEINTRODUCTORY EXAMPLE

Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satu proses ke proses yang lain

Diameter pipa optimum berdasarkanBiaya investasi dan biaya operasi

Diameterpipa manayang akanAnda pilih

2

PENGANTAR-1PENGANTAR-1

Definisi optimasi Jenis optimasi 1- maksimasi 2- minimasi Dua hal penting dalam studi optimasi

1- fungsi objektif dan decision variables 2- kendala (constraints)

Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidang

Engineering

Contoh-contoh constraints yang menyertai persoalan optimasi

Definisi dan Jenis Optimasi

Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum dalam arti paling menguntungkan

Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasiJika berkaitan dengan masalah keuntungan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi)Jika berkaitan dengan masalah pengeluaranpengorbanan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan pengeluaranpengorbanan minimum (minimasi)

Fungsi ObjektifFungsi Objektif

Secara umum fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective function) sedangkan harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah) atau decision variableSecara analitik nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan y = f(x)dapat diperoleh pada harga x yang memenuhiyrsquo = frsquo(x) = 0Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya proses optimasi dapat dilakukan secara numerik

Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang EngineeringEngineering

Design pump and heat transfer equipment for maximum efficiency

Design waste water treatment system to meet water-quality standards of least cost

Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost etc

Ilustrasi maksimasi (secara grafik)

Beberapa istilahMaksimum lokalMaksimum global

A unimodal function

One hump orone valley

PENGANTAR-2PENGANTAR-2

Catatan Analoguntuk kasus minimasi

Maksimum dan minimum lokal dan global

PENGANTAR-3PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

OBJECTIVESOBJECTIVES

Understand why and where optimization occurs in engineering problem solving

Understand the major elements of the general optimization problem (1) objective function (2) decision variables and (3) constraints

Be able to distinguish between linear and nonlinear optimization and between constrained and unconstrained problems

PUSTAKA

James B Riggs 1988 ldquoAn Introduction to Numerical Methods for Chemical Engineersrdquo Texas Texas Tech University Press Chapter 6

1048708 Steven C Chapra amp Raymond P Canale 2003ldquoNumerical Methods for Engineers With Software and Programming Applicationsrdquo 4th edition New York McGraw-Hill Company IncPart Four

1048708 etc

Cost components

$ year

Pipe diamater (in)

1 125 15 25

Operating Costs 4697 660 312 164 56

Pipe capital costs 168 308 389 474 660

Pump capital costs

401 192 150 150 150

Total 5266 1160 852 788 866

INTRODUCTORY EXAMPLEINTRODUCTORY EXAMPLE

Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satu proses ke proses yang lain

Diameter pipa optimum berdasarkanBiaya investasi dan biaya operasi

Diameterpipa manayang akanAnda pilih

2

PENGANTAR-1PENGANTAR-1

Definisi optimasi Jenis optimasi 1- maksimasi 2- minimasi Dua hal penting dalam studi optimasi

1- fungsi objektif dan decision variables 2- kendala (constraints)

Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidang

Engineering

Contoh-contoh constraints yang menyertai persoalan optimasi

Definisi dan Jenis Optimasi

Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum dalam arti paling menguntungkan

Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasiJika berkaitan dengan masalah keuntungan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi)Jika berkaitan dengan masalah pengeluaranpengorbanan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan pengeluaranpengorbanan minimum (minimasi)

Fungsi ObjektifFungsi Objektif

Secara umum fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective function) sedangkan harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah) atau decision variableSecara analitik nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan y = f(x)dapat diperoleh pada harga x yang memenuhiyrsquo = frsquo(x) = 0Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya proses optimasi dapat dilakukan secara numerik

Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang EngineeringEngineering

Design pump and heat transfer equipment for maximum efficiency

Design waste water treatment system to meet water-quality standards of least cost

Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost etc

Ilustrasi maksimasi (secara grafik)

Beberapa istilahMaksimum lokalMaksimum global

A unimodal function

One hump orone valley

PENGANTAR-2PENGANTAR-2

Catatan Analoguntuk kasus minimasi

Maksimum dan minimum lokal dan global

PENGANTAR-3PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

PUSTAKA

James B Riggs 1988 ldquoAn Introduction to Numerical Methods for Chemical Engineersrdquo Texas Texas Tech University Press Chapter 6

1048708 Steven C Chapra amp Raymond P Canale 2003ldquoNumerical Methods for Engineers With Software and Programming Applicationsrdquo 4th edition New York McGraw-Hill Company IncPart Four

1048708 etc

Cost components

$ year

Pipe diamater (in)

1 125 15 25

Operating Costs 4697 660 312 164 56

Pipe capital costs 168 308 389 474 660

Pump capital costs

401 192 150 150 150

Total 5266 1160 852 788 866

INTRODUCTORY EXAMPLEINTRODUCTORY EXAMPLE

Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satu proses ke proses yang lain

Diameter pipa optimum berdasarkanBiaya investasi dan biaya operasi

Diameterpipa manayang akanAnda pilih

2

PENGANTAR-1PENGANTAR-1

Definisi optimasi Jenis optimasi 1- maksimasi 2- minimasi Dua hal penting dalam studi optimasi

1- fungsi objektif dan decision variables 2- kendala (constraints)

Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidang

Engineering

Contoh-contoh constraints yang menyertai persoalan optimasi

Definisi dan Jenis Optimasi

Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum dalam arti paling menguntungkan

Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasiJika berkaitan dengan masalah keuntungan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi)Jika berkaitan dengan masalah pengeluaranpengorbanan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan pengeluaranpengorbanan minimum (minimasi)

Fungsi ObjektifFungsi Objektif

Secara umum fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective function) sedangkan harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah) atau decision variableSecara analitik nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan y = f(x)dapat diperoleh pada harga x yang memenuhiyrsquo = frsquo(x) = 0Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya proses optimasi dapat dilakukan secara numerik

Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang EngineeringEngineering

Design pump and heat transfer equipment for maximum efficiency

Design waste water treatment system to meet water-quality standards of least cost

Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost etc

Ilustrasi maksimasi (secara grafik)

Beberapa istilahMaksimum lokalMaksimum global

A unimodal function

One hump orone valley

PENGANTAR-2PENGANTAR-2

Catatan Analoguntuk kasus minimasi

Maksimum dan minimum lokal dan global

PENGANTAR-3PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Cost components

$ year

Pipe diamater (in)

1 125 15 25

Operating Costs 4697 660 312 164 56

Pipe capital costs 168 308 389 474 660

Pump capital costs

401 192 150 150 150

Total 5266 1160 852 788 866

INTRODUCTORY EXAMPLEINTRODUCTORY EXAMPLE

Persoalan pemilihan diameter pipa untuk mengangkut fluida dari satu proses ke proses yang lain

Diameter pipa optimum berdasarkanBiaya investasi dan biaya operasi

Diameterpipa manayang akanAnda pilih

2

PENGANTAR-1PENGANTAR-1

Definisi optimasi Jenis optimasi 1- maksimasi 2- minimasi Dua hal penting dalam studi optimasi

1- fungsi objektif dan decision variables 2- kendala (constraints)

Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidang

Engineering

Contoh-contoh constraints yang menyertai persoalan optimasi

Definisi dan Jenis Optimasi

Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum dalam arti paling menguntungkan

Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasiJika berkaitan dengan masalah keuntungan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi)Jika berkaitan dengan masalah pengeluaranpengorbanan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan pengeluaranpengorbanan minimum (minimasi)

Fungsi ObjektifFungsi Objektif

Secara umum fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective function) sedangkan harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah) atau decision variableSecara analitik nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan y = f(x)dapat diperoleh pada harga x yang memenuhiyrsquo = frsquo(x) = 0Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya proses optimasi dapat dilakukan secara numerik

Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang EngineeringEngineering

Design pump and heat transfer equipment for maximum efficiency

Design waste water treatment system to meet water-quality standards of least cost

Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost etc

Ilustrasi maksimasi (secara grafik)

Beberapa istilahMaksimum lokalMaksimum global

A unimodal function

One hump orone valley

PENGANTAR-2PENGANTAR-2

Catatan Analoguntuk kasus minimasi

Maksimum dan minimum lokal dan global

PENGANTAR-3PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

PENGANTAR-1PENGANTAR-1

Definisi optimasi Jenis optimasi 1- maksimasi 2- minimasi Dua hal penting dalam studi optimasi

1- fungsi objektif dan decision variables 2- kendala (constraints)

Contoh-contoh persoalan optimasi dalam bidang

Engineering

Contoh-contoh constraints yang menyertai persoalan optimasi

Definisi dan Jenis Optimasi

Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum dalam arti paling menguntungkan

Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasiJika berkaitan dengan masalah keuntungan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi)Jika berkaitan dengan masalah pengeluaranpengorbanan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan pengeluaranpengorbanan minimum (minimasi)

Fungsi ObjektifFungsi Objektif

Secara umum fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective function) sedangkan harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah) atau decision variableSecara analitik nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan y = f(x)dapat diperoleh pada harga x yang memenuhiyrsquo = frsquo(x) = 0Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya proses optimasi dapat dilakukan secara numerik

Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang EngineeringEngineering

Design pump and heat transfer equipment for maximum efficiency

Design waste water treatment system to meet water-quality standards of least cost

Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost etc

Ilustrasi maksimasi (secara grafik)

Beberapa istilahMaksimum lokalMaksimum global

A unimodal function

One hump orone valley

PENGANTAR-2PENGANTAR-2

Catatan Analoguntuk kasus minimasi

Maksimum dan minimum lokal dan global

PENGANTAR-3PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Definisi dan Jenis Optimasi

Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum dalam arti paling menguntungkan

Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasiJika berkaitan dengan masalah keuntungan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi)Jika berkaitan dengan masalah pengeluaranpengorbanan maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan pengeluaranpengorbanan minimum (minimasi)

Fungsi ObjektifFungsi Objektif

Secara umum fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective function) sedangkan harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah) atau decision variableSecara analitik nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan y = f(x)dapat diperoleh pada harga x yang memenuhiyrsquo = frsquo(x) = 0Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya proses optimasi dapat dilakukan secara numerik

Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang EngineeringEngineering

Design pump and heat transfer equipment for maximum efficiency

Design waste water treatment system to meet water-quality standards of least cost

Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost etc

Ilustrasi maksimasi (secara grafik)

Beberapa istilahMaksimum lokalMaksimum global

A unimodal function

One hump orone valley

PENGANTAR-2PENGANTAR-2

Catatan Analoguntuk kasus minimasi

Maksimum dan minimum lokal dan global

PENGANTAR-3PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Fungsi ObjektifFungsi Objektif

Secara umum fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective function) sedangkan harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel (perubah) atau decision variableSecara analitik nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan y = f(x)dapat diperoleh pada harga x yang memenuhiyrsquo = frsquo(x) = 0Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya proses optimasi dapat dilakukan secara numerik

Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang EngineeringEngineering

Design pump and heat transfer equipment for maximum efficiency

Design waste water treatment system to meet water-quality standards of least cost

Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost etc

Ilustrasi maksimasi (secara grafik)

Beberapa istilahMaksimum lokalMaksimum global

A unimodal function

One hump orone valley

PENGANTAR-2PENGANTAR-2

Catatan Analoguntuk kasus minimasi

Maksimum dan minimum lokal dan global

PENGANTAR-3PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang Contoh Persoalan Optimasi dalam Bidang EngineeringEngineering

Design pump and heat transfer equipment for maximum efficiency

Design waste water treatment system to meet water-quality standards of least cost

Optimal planning and scheduling Optimal pipeline network Inventory control Maintenance planning to minimize cost etc

Ilustrasi maksimasi (secara grafik)

Beberapa istilahMaksimum lokalMaksimum global

A unimodal function

One hump orone valley

PENGANTAR-2PENGANTAR-2

Catatan Analoguntuk kasus minimasi

Maksimum dan minimum lokal dan global

PENGANTAR-3PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Ilustrasi maksimasi (secara grafik)

Beberapa istilahMaksimum lokalMaksimum global

A unimodal function

One hump orone valley

PENGANTAR-2PENGANTAR-2

Catatan Analoguntuk kasus minimasi

Maksimum dan minimum lokal dan global

PENGANTAR-3PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Maksimum dan minimum lokal dan global

PENGANTAR-3PENGANTAR-3

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Perbedaan antara persoalan optimasi denganpencarian penentuan akar persamaan

PENGANTAR-4PENGANTAR-4

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Ilustrasi grafik optimasi dua variabel

PENGANTAR-5PENGANTAR-5

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb

y = f(x)

Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi) Dalam hal ini x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode golden section1048708 Metode Newton1048708 Metode interpolasi kuadrat1048708 dsb

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

METODE GOLDEN SECTION

Golden section merupakan salah satu cara ataumetode optimasi numerik yang bisa dipakai untukfungsi yang bersifat unimodal Kedua tipeoptimasi yaitu maksimasi dan minimasi dapatdiselesaikan dengan cara ini

Golden-section (search) method merupakanmetode optimasi satu variabel yang sederhanadan mempunyai pendekatan yang mirip

denganmetode bisection dalam penentuan akarpersamaan tak linier

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

METODE GOLDEN SECTION

Tinjaulah fungsi f(x) yangakan ditentukan maksimumnyapada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di samping) ide dasar metode ini adalah memanfaatkan nilai yang lama sebagai nilai yang baruSecara matematik

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

METODE GOLDEN SECTION

1

2

21

1210

l

l

ll

lmakalll

1

2

l

lR

RRatau

l

l

l

latau

l

l

l

ll 111

2

1

1

2

2

1

1

21

Karena

Ambil kebalikannya dan kemudian definisikan

01 2 RRSehingga

6180302

15

R

positifnyaakarNilai

(R biasa disebut sebagaiGolden ration atau golden number)

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

ALGORITMAALGORITMA

(kasus maksimasi)

1 Mulai dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu yang mengapit titik

maksimum

2 Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang

xl dan xu sesuai dengan golden ratio (R)

dxx

dxx

XXd

u

lu

2

11

2

15

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

ALGORITMA (kasus maksimasi)

3 Berdasarkan harga f(x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2) diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya Jadi hanya diperlukan 1 titik baru

Ada 2 kasus

(a) Jika f(x1) gt f(x2)Maka domain x antara xl dan x2 dieliminasix2 lama = xl barux1 lama = x2 baruxu lama = xu barux1 baru ditentukan

(b) Jika f(x2) gt f(x1)Maka domain x antara x1 dan xu dieliminasix1 lama = xu barux2 lama = x1 baruxl lama = xl baru

x2 baru ditentukan

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

METODE GOLDEN SECTIONMETODE GOLDEN SECTION

Algoritma untuk kasus minimasi kebalikan dari algoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas

Efektivitas evaluasi dengan metode golden section

Misal diinginkan pengecilan interval sampai menjadi 0001 dari semula maka jumlah step yang diperlukan (N) adalah

(0618)N = 0001N = 143 asymp 15

Jumlah evaluasi = 2 + (N ndash 1) x 1 = 16

Silakan Pelajari Contoh Soal

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

EXAMPLE DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = 2X2 ndash 8X + 12 KNOWN

XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH) = 0XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS) = 4TOL = 0001 (SAMPLE)

X=XA = 0YA = (202) - (80) + 12 = 12

X=XB=4YB = (242 )ndash (84) +12 =12

61802

15

L

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

XP=XA + (1 ndash L) (XB ndash XA) = 0 + ( 1 ndash 0618) (4 ndash 0) =153 YP = (2 15322) ndash (8153) +12 = 444

XQ=XA + L(XB ndash XA) = 0 + 0618(4 ndash 0) = 2472 YQ= (224722) ndash (82472) + 12 = 445

XPNEW=153 + (1 ndash L)(2472 ndash 153) = 18898 YPNEW=( 2188982) ndash (818898) + 12 = 402

XQNEW=153 + 0618(2472 ndash 153) = 1915 YPNEW = (219152) ndash (81915) +12 = 401

DSThelliphellip

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

METODE NEWTONMETODE NEWTON

Metode ini menggunakan pendekatan yang sama denganmetode Newton dalam penentuan akar persamaan tak liniermelalui pendefinisian fungsi g(x) = frsquo(x)

Karena pada kondisi optimum

f (x) = g (x) = 0(x menyatakan nilai x optimum)

maka nilai x dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut

)(

)(1 xif

xifxx ii

Silakan Pelajari Contoh Soal Berikut

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Metode ini dapat digunakanuntuk melakukan optimasi secara numerik

Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomialorde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x) di dekattitik optimumnya

(Perhatikan gambar disampinghellip)

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

METODE INTERPOLASI KUADRATMETODE INTERPOLASI KUADRAT

Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0 x1 dan x2) yang mengapit titik optimumnya maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya

Diferensiasikan persamaan yang diperoleh set hasilnya menjadi sama dengan nol dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb

Penentuan x3 dilakukan secara iteratif melalui strategi yang sama dengan metode golden section hingga diperoleh penyelesaian yang konvergen

))((2))((2))((2

))(())(())((

102021210

21

202

20

221

22

210

3 xxxfxxxfxxxf

xxxfxxxfxxxfx

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

OPTIMASI BANYAK VARIABELOPTIMASI BANYAK VARIABEL

Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb

y = f(x1 x2 x3 hellip xn)

Ingin dicari harga x1 x2 x3 hellip xn yang memberikan hargay maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi)

Pengelompokan metodenya secara garis besar (1) non gradientmethods dan (2) gradient methods

Beberapa metode yang akan dibahas

1048708 Metode Hooke-Jeeves1048708 Metode langsung random search1048708 Metode steepest ascent (ascending) descent (descending)

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

METODE HOOKE-JEEVESMETODE HOOKE-JEEVES

Prinsip metode Hooke-Jeeves

(1) Eksplorasi nilai Δxi(2) Mengulangi langkah sukses

Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi

y = (x1 ndash 4)2 + 05(x2 ndash 9)2 + 3

Sebagai cek dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4 x2 = 9 dan harga ymin =3

Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awal x1 = 1x2 = 16 serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Gagal3584

Gagal75 12 4

Gagal45 10 3

Gagal45 10 5

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Gagal45 8 5

Sukses35 10 4

Sukses85 12 3

Mengulangi langkah sukses

Sukses195 14 2

Gagal475 18 2

Sukses315 16 2

Eksplorasi dengan Δ x1 = 1 Δ x2 =2

Basis36516 1

KomentarKomentarYYXX22XX11Hooke Jeeves -2Hooke Jeeves -2

Hasil Hasil PerhitunganPerhitungan

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Hooke Jeeves -3Hooke Jeeves -3

Hasil Perhitungan

Gagal302884

Gagal318 964

Gagal306 92 38

Gagal306 92 42

Eksplorasi dengan Δx1 = 02 x2 =04

Gagal302884

Sukses302 92 4

Mengulangi langkah sukses

Sukses318964

Gagal496 104 4

Gagal354 10 38

Gagal354 10 42

Eksplorasi dengan Δ x1 = 02 x2 =04

KomentarYX2X1

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Gagal30008896400

Sukses30008904400

Mengulangi langkah sukses

Sukses3007912400

Gagal3039 928 400

Gagal302192396

Gagal302192404

Eksplorasi dengan Δ x1 = 004 Δ x2 =008

KomentarYX2X1

Hooke Jeeves -4Hooke Jeeves -4

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH)

Sesuai dengan namanya metode ini secara berulang-ulang mengevaluasi nilai fungsi pada nilai-nilai variabel bebas tertentu (selected values) secara acak Jika banyaknya sampel yang dicoba mencukupi maka kondisi optimumnya akan teramati

tidak efisienhellip

Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiable sekalipun

Pendekatan ini pada umumnya akan menghasilkan titik optimum global (bukan optimum lokal)

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

METODE STEEPEST ASCENTDESCENT

1048708 Merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana

1048708 Terminologisteepest ascent 1048708 untuk pencarian maksimum fungsisteepest descent 1048708 untuk pencarian minimum fungsi

1048708 Prinsip pencarian optimum

Dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensionalfunction) menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function) berdasarkan gradien arah pencarian Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif)

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

PENCARIAN TITIK OPTIMUM

Sebagai ilustrasi f(xy)tinjaulah fungsi 2variabel f(xy) yangakan ditentukan titikmaksimumnya (lihatgambar di samping)

Berdasarkan nilaiawal x = x0 amp y = y0dapat ditentukannilai gradien (atauarah steepestascent)-nya yaknisebesar h0

Berdasarkan h0 nilai maksimum fungsi

dapat ditentukan yakni pada titik ldquo1rdquoDemikian seterusnya proses inidilakukan berulang-ulang hinggadiperoleh titik optimum

sesungguhnya

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Secara Numerik

Misal untuk sebuah fungsi 2 variabel f(xy)yang akan dicari titik optimumnya dengan nilai awal

x = x0 dan y = y0

Pada langkah iterasi pertama nilai x dan y yang barudapat ditentukan dengan

hy

fyy

and

hx

fxx

00

00

yx0

yx0

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

merupakan turunan parsial fungsi f(xy) terhadap x dan y

Dalam hal ini vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg

Pada kasus ini sebuah fungsi 2 variabel dalam x dan yf(xy) ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satuvariabel dalam h g(h)

Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya Demikian seterusnya

y

fand

x

f

jy

fix

ff

Silahkan Pelajari Contoh Silahkan Pelajari Contoh

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Contoh AplikasiLOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU

Sejumlah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xiyi)menghasilkan limbah masing-masing sejumlah Qi Akan dibangunsuatu unit pengolah limbah terpadu untuk seluruh pabrik tersebutOngkos pengangkutan limbah dari pabrik ke unit pengolah limbahberbanding lurus dengan debit pangkat 06 Ingin ditentukan posisi(koordinat) unit pengolah limbah agar ongkos pengangkutanlimbah minimum

Analisis

Misal Lokasi pengolah limbah berada di titik P (xP yP)

Jarak pabrik (xiyi) ke lokasi pengolah limbah

Ongkos transport dari pabrik (xi yi)

60))((arg debitjarakkaH

22 )()( ipipi yyxxd

2260 )()( ipipii yyxxQkC

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

Ongkos transport total

Dicari nilai xP dan yP yang memberikan nilai CT minimumMisal

Dimisalkan pula nilai k = 1

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai

OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA OPTIMASI FUNGSI 2 VARIABEL SECARA ANALITIKANALITIK

(sebuah perbandingan)(sebuah perbandingan)

1048708 Tinjaulah sebuah fungsi 2 variabel f(xy)1048708 Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi 3 kategori

f(xy) mempunyai minimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai maksimum lokal jika det(H) gt 0 dan

f(xy) mempunyai titik belok (saddle point) jika det(H) lt 0det(H) merupakan nilaideterminan matriks Hessian yangdinyatakan sebagai