kuliah 4 interpolasi-spline method
DESCRIPTION
saasTRANSCRIPT
-
KAEDAH KAEDAH
INTERPOLASI
SPLINE(Interpolation Spline Method)1
-
KKENAPAENAPA SSPLINEPLINE????
Polynomial interpolation involves finding a polynomialof order n that passes through n+1 data points.Several methods to obtain such a polynomial includedirect method, Newtons Divided Difference polynomial,and Lagrangian interpolation method. So is spline justanother method of obtaining this nth order polynomial? NO! Actually, when n becomes large, in manycases, one may get oscillatory behavior in the resultingcases, one may get oscillatory behavior in the resultingpolynomial. This was shown by Runge when heinterpolated data based on a simple function of
on an interval of [-1, 1]. For example, take sixequidistantly spaced points in [-1, 1] and find y at thesepoints as given in Table 1. 2
22511
xy
+=
-
Jadual 1
-1.0 0.038461
-0.6 0.1
-0.2 0.5
0.2 0.5
x 22511
xy
+=
3
0.6 0.1
1.0 0.038461
Figure 1: 5th order polynomial vs. exact function
-
,2019.17308.156731.0)( 425 xxxf += 11 x
0
1
2
f x( )
f1 n1 x,( )f1 n2 x,( )f1 n3 x,( )
4
Runge mendapati, apabila peringkat polinomial menghampiri
infiniti, polinomial akan mencapah pada selang 1 < x < 0.726
dan 0.726 < x < 1.
1 0.5 0 0.5 1
1
x
-
Jadi apakah kaedah yang sesuai digunakan untuk
interpolasi dengan menggunakan lebih banyak data
dan dalam masa yang sama mengekalkan
penumpuan?
KaedahKaedahKaedahKaedah InterpolasiInterpolasiInterpolasiInterpolasi SplineSplineSplineSpline
5
KaedahKaedahKaedahKaedah InterpolasiInterpolasiInterpolasiInterpolasi SplineSplineSplineSpline
-
INTERPOLASI SPLINE LINEAR
Diberi , memenuhi data
spline linear. Jika data yang diberi adalah dalam susunan
menaik, maka spline linear adalah .
( ) ( ) ( )( )nnnn yxyxyxyx ,,,......,,,, 111100 ( ))( ii xfy =
6
-
),()()()()( 001
010 xx
xx
xfxfxfxf
+= 10 xxx
2 11 1
2 1
( ) ( )( ) ( ),f x f xf x x xx x
= +
21 xxx
INTERPOLASI SPLINE LINEAR
7
11 1
1
( ) ( )( ) ( ),n nn nn n
f x f xf x x xx x
= +
1n nx x x
Perhatikan sebutan , ia adalah kecerunan
di antara dan .
1
1)()(
ii
ii
xx
xfxf
1ix ix
-
CONTOH 1(A)
Halaju menaik sebuah roket diberikan sebagai fungsi masa
seperti dalam Jadual 1. Cari halaju pada t=16 saat menggunakan
kaedah interpolasi spline linear.
8
t v(t)s m/s0 0
10 227.0415 362.7820 517.35
22.5 602.9730 901.67
Jadual 1
Velocity vs. time data for the rocket example
-
,150 =t 78.362)( 0 =tv
,201 =t 35.517)( 1 =tv
)()()()()( 001
010 tttt
tvtvtvtv
+=
)15(1520
78.36235.51778.362
+= t
Kita dapat lihat tiada
perbezaan dengan
interpolasi linear yang lain.
Ia masih menggunakan
hanya dua data yang
berturutan. Serta
perubahan kecerunan
berlaku secara mendadak.
Ini bermakna, terbitan
yang pertama tidak
selanjar pada titik
9
)15(1520
78.362
+= t
)15(913.3078.362)( += ttv,16=t
)1516(913.3078.362)16( +=v-1393.7ms=
Pada
perubahan kecerunan
berlaku secara mendadak.
Ini bermakna, terbitan
yang pertama tidak
selanjar pada titik
tersebut. Jadi, bagaimana
untuk membaiki keadaan
ini?
-
( ) ( ) ( )( )nnnn yxyxyxyx ,,,......,,,, 111100
,)( 1121 cxbxaxf ++= 10 xxx 2
2 2 2 ,a x b x c= + + 21 xxx
INTERPOLASI SPLINE KUADRATIK
Diberi , memenuhi data
spline kuadratik. Maka spline kuadratik adalah .
10
2 2 2
,2
nnn cxbxa ++= nn xxx 1
Diperoleh pekali 3n berikut:
, , ; 1,2, ,i i ia b c i n=
-
LangkahLangkahLangkahLangkah 1:1:1:1:
Untuk mendapatkan nilai pekali 3n , kita perlu ada 3n persamaandan selesaikannya secara serentak.
Jadi, setiap spline kuadratik melalui dua data yang berturutan.
INTERPOLASI SPLINE KUADRATIK
11
Untuk mendapatkan nilai pekali 3n , kita perlu ada 3n persamaandan selesaikannya secara serentak.
Jadi, setiap spline kuadratik melalui dua data yang berturutan.
-
)( 0101201 xfcxbxa =++2
1 1 1 1 1 1( )a x b x c f x+ + =
)( 1121 =++ iiiiii xfcxbxa2 ( )i i i i i ia x b x c f x+ + =
( ) 2 ,n n nf x a x b x c= + + nn xxx 1
12
)( 1121 =++ nnnnnn xfcxbxa)(2 nnnnnn xfcxbxa =++
-
LangkahLangkahLangkahLangkah 2:2:2:2:
Terbitan pertama dua spline kuadratik adalah selanjar pada titik-
titik pedalaman. Contohnya, terbitan bagi spline kuadratik pertama
(n=1)
21 1 1 1 1 0 1adalah 2 bagi a x b x c a x b x x x+ + +
Terbitan spline kuadratik kedua (n=2)
13
Terbitan spline kuadratik kedua (n=2)
22 2 2 2 2 1 2adalah 2 bagi a x b x c a x b x x x+ + +
maka kedua-duanya adalah sama pada 1xx=
212111 22 bxabxa +=+022 212111 =+ bxabxa
-
Similarly at the other interior points,
022 323222 =+ bxabxa
.
.
.
022 11 =+ ++ iiiiii bxabxa
Terdapat (n-1) titikpedalaman, kita ada (n-1) persamaan. Setakat ini,
jumlah persamaan adalah
persamaan. Kita masih
memerlukan satu lagi
persamaan. Andaikan spline
yang pertama adalah linear,
maka
)13()1()2( =+ nnn
14
.
.
.
022 1111 =+ nnnnnn bxabxa
persamaan. Kita masih
memerlukan satu lagi
persamaan. Andaikan spline
yang pertama adalah linear,
maka
atau
01 =a
( ) 1 1f x b x c= +
-
,)( 1121 cxbxaxf ++= 10 xxx ,22
22 cxbxa ++= 21 xxx
.
Ini memberikan 3n persamaan dan 3n pekali. Ia dapat
diselesaikan menggunakan pelbagai kaedah seperti ???
15
.
.
.
,2
nnn cxbxa ++= nn xxx 1
-
CONTOH 1(B)
Halaju menaik sebuah roket diberikan sebagai fungsi masa
seperti dalam Jadual 1. Cari halaju pada t=16 saat menggunakan
kaedah interpolasi spline kuadratik.
16
t v(t)s m/s0 0
10 227.0415 362.7820 517.35
22.5 602.9730 901.67
Jadual 1
Velocity vs. time data for the rocket example
-
Since there are six data points, five quadratic splines pass through them.
,)( 1121 ctbtatv ++= 100 t ,22
22 ctbta ++= 1510 t
,332
3 ctbta ++= 2015 t
Terdapat 6 data, maka kita peroleh 5 spline kuadratik
17
,442
4 ctbta ++= 5.2220 t
,552
5 ctbta ++= 305.22 t
-
Langkah 1:
Dapatkan semua persamaan. Setiap spline kuadratik melalui dua
data berturutan.
( ) 21 1 1v t a t b t c= + +0)0()0( 1121 =++ cba
04.227)10()10( 2 =++ cba
melalui t = 0 dan t = 10,
(1)
(2)
18
04.227)10()10( 1121 =++ cba
( ) 22 2 2v t a t b t c= + +04.227)10()10( 2222 =++ cba78.362)15()15( 2222 =++ cba
melalui t = 10 dan t = 15,
(1)
(2)
(3)
(4)
-
Kita juga dapat
332
3 ctbta ++78.362)15()15( 3323 =++ cba35.517)20()20( 3323 =++ cba
442
4 ctbta ++35.517)20()20( 4424 =++ cba
(5)
(6)
(7)
(8)
35.517)20()20( 444 =++ cba97.602)5.22()5.22( 4424 =++ cba
552
5 ctbta ++97.602)5.22()5.22( 5525 =++ cba
67.901)30()30( 5525 =++ cba
(7)
(8)
(9)
(10)
-
Langkah 2:
Terbitan pertama spline kuadratik adalah selanjar pada titik-titik
pedalaman.
0)10(2)10(2 2211 =+ baba
0)15(2)15(2 3322 =+ baba
0)20(2)20(2 =+ baba
(11)
(12)
(13)
t = 15
t = 20
t = 10
20
0)20(2)20(2 4433 =+ baba
0)5.22(2)5.22(2 5544 =+ baba
(13)
(14)
t = 20
t = 22.5
Anggap spline yang pertama adalah linear;112
1 ctbta ++
1 0 (15)a =
-
=
97.60297.60235.51735.51778.36278.36204.22704.227
0
15.2225.50600000000000000015.2225.506000000000000120400000000000000000120400000000000000115225000000000000000115225000000000000110100000000000000000110100000000000000100
3
3
3
2
2
2
1
1
1
c
ba
c
ba
c
ba
21
00000
67.901
00000000000000101450145000000000000014001400000000000000130013000000000000001200120130900000000000000
5
5
5
4
4
4
3
c
ba
c
ba
-
Solving the above 15 equations gives the 15 unknowns as
i ia ib ic
1 0 22.704 0
2 0.8888 4.928 88.88
3 -0.1356 35.66 -141.61
22
4 1.6048 -33.956 554.55
5 0.20889 28.86 -152.13
-
Maka, kita peroleh persamaan spline berikut:
,704.22)( ttv = 100 t2( ) 0.8888 4.928 88.88,v t t t= + + 1510 t
2( ) 0.1356 35.66 141.61,v t t t= + 2015 t2( ) 1.6048 33.956 554.55,v t t t= + 5.2220 t2( ) 1.6048 33.956 554.55,v t t t= + 5.2220 t
2( ) 0.20889 28.86 152.13,v t t t= + 305.22 t
Pada t = 16
2 1(16) 0.1356(16) 35.66(16) 141.61 394.24v ms= + =23
-
JJARAKARAK DARIPADADARIPADA PPROFILROFIL HHALAJUALAJU
Dapatkan jarak yang dilalui oleh roket tersebut pada masa
t=11s hingga t=16s ?
,704.22)( ttv = 100 t2( ) 0.8888 4.928 88.88,v t t t= + + 1510 t
24
( ) 0.8888 4.928 88.88,v t t t= + + 1510 t2( ) 0.1356 35.66 141.61,v t t t= + 2015 t
2( ) 1.6048 33.956 554.55,v t t t= + 5.2220 t2( ) 0.20889 28.86 152.13,v t t t= + 305.22 t
-
=16
11
)()11()16( dttvss
But since the splines are valid over different ranges, we need to break the integral accordingly as
,88.88928.48888.0)( 2 ++= tttv 1510 t ,61.14166.351356.0 2 += tt 2015 t
+=16
11
15
11
16
15
)()()( dttvdttvdttv
15 16
25
++++=15
11
16
15
22 )61.14166.351356.0()88.88928.48888.0()11()16( dtttdtttss
9.1595= m
-
16)()16( == ttvdtd
a
,61.14166.351356.0)( 2 += tttv 2015 t
PECUTAN DARIPADA PROFIL HALAJU
Dapatkan pecutan roket pada t=16s.
26
,
)61.14166.351356.0()()( 2 +== ttdtd
tvdtd
ta
66.352712.0)( += tta 2015 t 66.35)16(2712.0)16( +=a
321.31= m/s2
-
( ) ( ) ( )( )nnnn yxyxyxyx ,,,......,,,, 111100
3 21 1 1 1( ) ,f x a x b x c x d= + + + 10 xxx
3 22 2 2 2 ,a x b x c x d= + + + 21 xxx
INTERPOLASI SPLINE KUBIK
Diberi , memenuhi data
spline kubik. Maka spline kubik adalah .
27
2 2 2 2
3 2,n n n na x b x c x d= + + + nn xxx 1
Diperoleh pekali 4n berikut:
, , ; 1,2, ,i i ia b c i n=
-
Untuk mendapatkan nilai pekali 4n , kita perlu ada 4n persamaandan selesaikannya secara serentak.
LangkahLangkahLangkahLangkah 1: 1: 1: 1: Setiap spline kubik melalui dua data yang berturutan.
LangkahLangkahLangkahLangkah 2:2:2:2: Terbitan pertama spline kubik adalah selanjar pada titik-
titik pedalaman.
INTERPOLASI SPLINE KUBIK
28
LangkahLangkahLangkahLangkah 2:2:2:2: Terbitan pertama spline kubik adalah selanjar pada titik-
titik pedalaman.
LangkahLangkahLangkahLangkah 3: 3: 3: 3: Terbitan kedua spline kubik adalah selanjar pada titik-
titik pedalaman.
LangkahLangkahLangkahLangkah 4:4:4:4: Terbitan kedua spline kubik adalah sifar pada titik-titik
hujung.
-
CONTOH 2
Dapatkan kubik spline yang memenuhi data berikut:
x f(x)1 1
2 53 4
29
LangkahLangkahLangkahLangkah 1: 1: 1: 1: Setiap spline kubik melalui dua data yang
berturutan.
3 21 1 1 1 1( ) ,f x a x b x c x d= + + + 1 2x
( ) 3 22 2 2 2 2 ,f x a x b x c x d= + + + 2 3x 1
1
2
2
(1) 1(2) 5(2) 5(3) 4
ffff
=
=
=
=
-
LangkahLangkahLangkahLangkah 2:2:2:2: Terbitan pertama spline kubik adalah selanjar pada titik-
titik pedalaman.
1 2(2) (2)f f =
LangkahLangkahLangkahLangkah 3: 3: 3: 3: Terbitan kedua spline kubik adalah selanjar pada
titik-titik pedalaman.
30
( )1 2(2) 2f f =LangkahLangkahLangkahLangkah 4:4:4:4: Terbitan kedua spline kubik adalah sifar pada
titik-titik hujung.
( )1
2
(1) 03 0
ff =
=
-
11
1
1
a
bc
d
31
1
2
2
2
2
a
bc
d
-
Maka, penyelesaiannya adalah
1
1
1
1
a
bc
da
32
2
2
2
2
a
bc
d
-
Maka, kita peroleh persamaan spline berikut:
3 21( ) 1.25 3.75 1.5 3,f x x x x= + + 1 2x
( ) 3 22 1.25 11.25 31.5 23,f x x x x= + 2 3x
33