KÜMELERKONU ANLATIMI

KÜMELERKüme: Nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir.

Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin elemanları denir.

Kümeler; A,B,C,D,...gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümede bir eleman birden fazla yazılamaz.

Elemanların, kümenin içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.

A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.

KÜMELERKÜMENİN GÖSTERİLİŞİ10 Tabanında, elemanları 5 ten büyük rakamlardan oluşan küme 3 ayrı yöntemle gösterilir.1-Liste yöntemi: Elemanları küme parantezi({ })içerisine alıp, her bir eleman arasına virgül (,) gelecek şekilde yazılır ve kümeler adları büyük harfle yazılır. 2-Ven Şeması: Düzgün kapalı şekil içerisine eleman yazılarak küme oluşturulur.

.3.3.5.5

KÜMELERKÜMENİN GÖSTERİLİŞİ

3-Ortak Özellik yöntemi: A={ x I x,10 tabanındaki beşten büyük rakamlar}veya A={ x I x 5ve x 10 tabanındaki rakamlar }

KÜMELEREŞİT KÜMEAynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit küme denir ÖRNEK:A={ 1,2,5,10} B={x I x,10 sayısının pozitif tam bölenleri}kümelerinin eşit olduğunu gösterelim.

ÇÖZÜM: 10 sayısının pozitif tam bölenleri 1,2,5,10 dur O halde, B={1,2,5,10} dur A ile B kümeleri eşittir. A=B şeklinde gösterilir

KÜMELERSONLU VE SONSUZ KÜME

Sonlu Küme: Elemanlarının sayısı bir doğal sayı olan kümeye sonlu küme denir.Sonsuz Küme: Sayılamayacak kadar çok elemanlı olan kümeye sonsuz küme denir.BOŞ KÜME

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.Boş küme {} sembolüyle gösterilir. Boş kümenin eleman sayısı sıfır dır.

KÜMELERÖZ ALT KÜMEBir kümenin kendisinden başka bütün alt kümelerine bu kümenin öz alt kümesi denir. N elemanlı bir kümenin “ALT küme-1”sayıda öz alt küme sayısı var.

Örnek:A={x,y}kümesinin öz alt kümeleri { } ,{x} ,{y} dır

KÜMELERALT KÜMEBir A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.A B şeklinde gösterilir. Eğer A,B nin alt kümesi değil ise bu A B şeklinde gösterilir.

A B,A kümesi B kümesinin alt kümesidir.B A,B kümesi A kümesini kapsar. A kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı S(a)=2 dir.

KÜMELERALT KÜME ÖZELLİKLERİ1-A A (Her küme kendisinin alt kümesidir.)2-{ } A ( Boş küme her elemanın alt kümesidir)3-(A B ve B A) ise A=B dir.4-(A B ve B C) ise A C dir.5-n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı:

!

!. !

n n

r n r r

KÜMELEREVRENSEL KÜME VE TÜMLEYENÜzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E harfiyle gösterilir.Evrensel kümenin, A kümesinin dışındaki elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir.A kümesinin tümleyeni A’ şeklinde gösterilir. A’

E

A

KÜMELEREVRENSEL KÜME VE TÜMLEYENTÜMLEYEN ÖZELLİKLERİ1) (A’)’=A 2)s(A)+ s(A’)= s(E)3) ' E

5) ' 'A B B A 4) 'E

6) 'A A

KÜMELERDE MORGAN KURALI

1- A ve B herhangi iki küme ise; (AUB)’ =A’ B’

2- A ve B herhangi iki küme ise ; (A B)’ =A’UB’

KÜMELERKÜMELERİN BİRLEŞİMİA ve B herhangi iki küme olmak üzere; A ile B kümelerinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir. A BA={a,b,c,d}, B={b,c,e,f} kümeleri

veriliyor AUB kümesini liste biçiminde yazalım.

AUB={a,b,c,d,e,f} dir.

.a .d .

.b .e.c .f

AUB

KÜMELERKÜMELERİN BİRLEŞİMİBirleşim İşleminin Özellikleri1-Tek kuvvet özelliği: AUA=A

2-Değişme özeliği: AUB=BUA

3-Birleşme özeliği: Her A,B,C kümesi için AU(BUC)=(AUB)UC

4-Birim(etkisiz) eleman özeliği: Her küme için AU{ }={ }UA

KÜMELERKÜMELERİN KESİŞİMİA ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ve B nin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu kümenin kesişimi denir. Kümelerinin kesişimi A B şeklinde gösterilir. Aile B nin kesişimibiçiminde tanımlanır.Örnek: A={1,2,3,4,5}ve B={3,4,6,7} kümeleri veriliyor. A B kümesini liste biçiminde yazalım ve ven şemasında gösterelim: Çözüm: A B={3,4}

{ }A B xIx A x

.1.2.5

.3 .6.4

.7

A B

KÜMELERKÜMELERİN KESİŞİMİKesişim İşleminin Özellikleri1-Tek kuvvet özelliği:Her eleman için dır

2-Değişme özelliği: her A ve B kümeleri için dir.

A A A{ }

{ }

A A xIx A x A

xIx A

A

A B B A

{ }

{ }

A B xIx a x B

xIx B x A

B A

KÜMELERKÜMELERİN KESİŞİMİKesişim İşleminin Özellikleri3-Birleşme özelliği: Her A;B;C kümeleri için

( )A B C A B C

A B C xIx A x B C

xIx A x B x C

xI x A x B x C

A B C

4-Yutan eleman özelliği: Her A kümesi için dir(Bu işlemde yutan eleman dir.)

A A

KÜMELERKÜMELERİN FARKIA ve B herhangi iki küme olsun. A da olup B de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye “A”nın”B”den farkı denir ve A\B veya A-B Biçiminde gösterilir.

Örnek: A={1,2,3,4,5},B{3,5,6,7}kümeleri veriliyor.A-B ve B-A kümelerini bulunuz. Çözüm: A-B={1,2,4},B-A={6,7} dir.

A B xIx A x B

.1 .2 .3

.3 .6

.5 .7

AB

A-B B-A

KÜMELERKÜMELERİN FARKIÖzellikler1)A\B=2)E-A= 3)A-A=4)A- =A

5) -A=

6)

A

A

A BiseA B

KÜMELERKÜMELERİN FARKIÖzellikler7)

8)

9)

10)

11)

A B A A B

A B A B

A B B A B

A B C A B C

A B B A