slide01pioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/lec1(314).pdf · 2018-08-29 · microsoft word -...
TRANSCRIPT
Le c t u r e 1 | 1
สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
1.1. แบบจาํลองปรากฏการณ์ในชีวติประจาํวัน
(a) Kinetic Equations
กลุ่มของสมการในการอธิบาย Gas dynamics,
Aerodynamics, Plasma physics โดยศกึษาการ
ชนกนัของอนภุาคระดบัโมเลกลุ เชน่ Boltzmann’s
equation
Le c t u r e 1 | 2
(b) Navier-Stokes equations
เป็นระบบสมการทีใช้ในการศกึษาการใหลของ
ของเหลวทีมีความหนืด
Le c t u r e 1 | 3
(c) Granular Material Flows
(d) Chemotactic Cell Motion and Pattern Formation
Le c t u r e 1 | 4
(e) Semiconductor Modeling
(f) Free Boundary Problems and Phase Transitions
Le c t u r e 1 | 5
(g) Reaction-Diffusion Equations
(h) Wave Equations
Le c t u r e 1 | 6
(i) Digital Image Processing
(j) Socio-Economic Modeling
Le c t u r e 1 | 7
1.2. ความหมายของ PDE
บทนิยาม สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย หรือ Partial
Differential Equations (PDE) คือ สมการเชิง
อนพุนัธ์ทผีลเฉลยเป็นฟังก์ชนัทีขึนกบัตวัแปรอย่าง
น้อยสองตัว
ในวิชานีจะเขียนแทนผลเฉลยของ PDE ด้วย
และตวัแปรด้วย
ถ้าตวัแปรคือ จะได้ ใน
กรณีพิกดัเชิงขวัตวัแปรจะเป็น และจะได้
Le c t u r e 1 | 8
ตัวอย่าง(สมการลาปลาซ) ใน 2D สมการลาปลาซ
คือ
โดย คือตัวดาํเนินการลาปลาซ นิยามโดย
สมการลาปลาซใน 3D คือ
เมือ และ
Le c t u r e 1 | 9
ตัวอย่าง สมการ Schrödinger คือ
โดย และ เป็นค่าคงตวัของ Plank
สมการนีเป็นแบบจําลองทีใช้ในการศกึษาระบบที
มีมิติเล็กมาก ๆ (ในระดบั ) ของวิชา Quantum
Mechanics
ผลเฉลยของสมการไม่มีความหมายเชิงกายภาพ
แต่พจน์
Le c t u r e 1 | 10
Note ในสมการเชิงอนพุนัธ์ย่อยแต่ละสมการควรมี
การหาอนพุนัธ์ย่อยเทียบกบัตวัแปรอย่างน้อยสองตวั
ปรากฏอยู่ ไมเ่ช่นนนัจะสามารถลดทอนการศกึษา
เป็น ODE ได้
ตวัอย่างเช่น PDE
สามารถแก้ได้โดยเทียบกบั ODE
ซงึจะได้
ดงันนัผลเฉลยทวัไปของ PDE คือ
Le c t u r e 1 | 11
1.3. ทมีาของ PDE เชิงเส้นทสีาํคัญ
สมการเชิงอนพุนัธ์ยอ่ยทสีําคญัในวิชานี
Transport equation
Diffusion/Heat equation
Wave equation
Laplace and Poisson equation
Le c t u r e 1 | 12
ตัวอย่าง (Transport equation)
พิจารณาถนนเส้นหนึงซงึมียานพาหนะดงัรูป
ให้ และ มีค่าน้อย ๆ
ในช่วง ณ เวลา ให้
จํานวนรถ
ความหนาแน่นของรถ
จะได้ ดงันนัจํานวนรถบนถนน
ช่วง เพิมขึนในช่วงเวลา เทา่กบั
Le c t u r e 1 | 13
กําหนดให้
อตัราจํานวนรถวิงไปทางขวาที
ดงันนัรถวิงเข้าสู ่ ในช่วงเวลา ทงัหมด
โดยกฎการอนรัุกษ์จะได้
หารด้วย จะได้
Le c t u r e 1 | 14
แทน จะได้สมการ
นนัคือ
ถ้า เป็นฟังก์ชนัทีมีอนพุนัธ์ โดยกฏลกูโซจ่ะได้
ซงึเรียกวา่ สมการการเคลือนท ี
ถ้า แปรผนัตรงกบั นนัคือ จะได้
ซงึเรียกวา่ สมการการเคลือนทเีชิงเส้น
Le c t u r e 1 | 15
ตัวอย่าง (Diffusion/Heat equation)
พิจารณาหลอดแก้วยาวทีมีพืนทีหน้าตดัคงที
ภายในหลอดมีของเหลวใส เมือหยดสีลงไปสีจะพร่
กระจายในทกุทิศทาง
ให้ และ มีค่าน้อย ๆ
ในช่วง ณ เวลา ให้
จํานวนเม็ดสี
ความเข้มข้นของสี
ดงันนั
Le c t u r e 1 | 16
ในช่วง เมือเวลาผ่านไปในช่วง มี
จํานวนสีเพมิขึนด้วยอตัราเท่ากบั
โดย Fick’s law จะได้อตัราการแพร่ของเม็ดสีไป
ทางขวาทีตําแหน่ง เทา่กบั
โดย เรียกวา่สมัประสิทธิการแพร่
ดงันนัอตัราการแพร่ของสีเข้าไปใน ในช่วงเวลา
เทา่กบั
Le c t u r e 1 | 17
โดยกฎการอนรัุกษ์จะได้
หารด้วย และให้ จะได้สมการ
ซงึเรียกวา่ สมการการแพร่ (Diffusion equation)
Le c t u r e 1 | 18
1.4. สัญลักษณ์และคาํศัพท์
อนัดบัสงูสดุของอนพุนัธ์ย่อยทีปรากฏในสมการ
เชิงอนพุนัธ์ย่อย จะเรียกว่า อันดับของสมการเชิง
อนุพนัธ์ย่อย
Le c t u r e 1 | 19
ตัวอย่าง จงหาอนัดบัของ ต่อไปนี
Le c t u r e 1 | 20
ตวัแปรอิสระใน แบ่งได้เป็น ตวัแปรเชิงพืนที
มกัแทนด้วย และ เวลา
ถ้า ไมป่รากฏในสมการจะเรียกสมการนนัวา่
ถ้าสมการขนึกบัตวัแปร สมการจะเรียกว่า
เพือความสะดวกเรามกัเขียนอนพุนัธ์ย่อยแทน
ด้วย