Задача 20. Определить корреляционную функцию для флуктуаций плотности в идеальном ферми-газе. В низкотемпературном пределе найти корреляционный радиус и период осцилляций Фриделя. Решение. Определим оператор плотности числа ферми-частиц через операторы рождения и уничтожения частиц:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ˆ ;

1 1ˆ ˆexp ; exp .

n

i ia aV V

ψ ψ

ψ ψ

+

+ +

=

⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

∑ ∑p pp p

r r r

r pr r ⎞− ⎟⎠

pr (1)

Здесь V - объем системы, р – импульс частицы. Мы опустили спиновые переменные, так как они не представляют интереса в данной задаче. Итак,

( ) ( )', '

1ˆ ˆ ˆ exp ' .in a aV

+ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ p pp p

r p p r (2)

Элементы двойной суммы в (2) с '=p p образуют среднее число частиц 1 ˆ ˆn aV

+= ∑ p pp

a . (3)

Флуктуация оператора числа частиц определяется как разность

( ) ( ) ( )''

1ˆ ˆ ˆ ˆ exp ' .in n n a aV

+

≠

⎡ ⎤∆ = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ p pp p

r r p p r (4)

В сумме (4) отсутствуют диагональные члены – они выделены в среднее значение. При нахождении среднего значения ( ) ( )1 2ˆ ˆn n∆ ∆r r , т.е. диагонального матричного

элемента оператора после подстановки (4) получим сумму, каждый член которой представляет собой произведение двух операторов рождения и двух операторов уничтожения частиц. Диагональные матричные элементы имеет только слагаемые вида

( ) ( )1ˆ ˆn n∆ ∆r r2

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 2 ' ' 1 22'

' ' 1 22'

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ exp '

1 ˆ ˆ ˆ ˆ exp '

in n a a a aV

ia a a aV

+ +

≠

+ +

≠

⎡ ⎤∆ ∆ = − − =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

∑

p p p pp p

p p p pp p

r r p p r r

p p r r. (5)

Здесь произведена перестановка оператора уничтожения через два оператора с другим импульсом. Поэтому знак выражения не изменился. При усреднении (5) находим средние значения произведения операторов через функцию распределения Ферми при данной температуре Т:

( )

( )

2

' ' ''

1ˆ ˆ ; ;2exp / 1

1ˆ ˆ 1 .exp / 1

p pp

pp

pa a nmT

a a nT

εε µ

ε µ

+

+

= = =⎡ ⎤− +⎣ ⎦

= − =⎡ ⎤− − +⎣ ⎦

p p

p p

(6)

Подставляя (6) в (5) и определяя 2 1= −r r r , находим

( ) ( ) ( ) ( )1 2 '2'

1ˆ ˆ 1 exp 'p pin n n n

V ≠

.⎡ ⎤∆ ∆ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦∑p p

r r p p r (7)

От суммы в (7) переходим к кратному интегралу (тогда отличие становится несущественным)

'≠p p

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 ' 6

'ˆ ˆ 2 1 exp '2

p pi dn n n n

π⎡ ⎤∆ ∆ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫

p pr r p p r .d (8)

Фактор 2 добавлен из-за суммирования по спину ½ .

Интеграл (8) разбивается на два интеграла. В первом производим элементарные интегрирования

( )( )

( )( )

( )6 3' 22 exp '

2 2p pi d d dn nδ

π π⎡ ⎤− = =⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ ∫

p p pp p r r r .nδ (9)

Из (8) и (9) находим ( ) ( ) ( )

( )

1 2 2 1

2

3

ˆ ˆ ( );

2( ) exp .2p

n n n n r

i dr nn

δ ν

νπ

∆ ∆ = − +

⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎣ ⎦∫

r r r r

ppr (10)

Величина ( )rν называется корреляционной функцией. Вычислим ее сначала при нулевой температуре. В этом случае функция распределения Ферми представляет собой ферми-ступеньку:

1, ;0, .

Fp

F

p pn

p p<⎧

= ⎨ >⎩ (11)

Импульс Ферми связан с n соотношением

( )1/323Fp nπ= . (12) Подставляя (11) и (12) в (10), вычисляем элементарный интеграл:

( )

2

49( ) cos sin .

2 /F

FF

p r p rnrp rp r

Fν⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (13)

Видно, что корреляционная функция спадает степенным образом при увеличении расстояния r между частицами. При этом она осциллирует (т.н. осцилляции Фриделя –французский физик Jacques Friedel, предсказал эффект осцилляций в 1954 г.). Период осцилляций согласно (13) равен 2 / F .pπ При корреляционная функция (13) стремится к константе:

0r →

1(0) .2

nν = −

Это соотношение справедливо при любой температуре, а не только при нулевой, что следует из (10). Корреляционная функция (10) может быть оценена и при ненулевой температуре, но малой по сравнению с энергией Ферми: .FT ε<< Для импульсов, близких в импульсу Ферми, функция распределения Ферми при этом может быть записана в виде

( )1

exp / 1pF F

np p v T

=− +⎡ ⎤⎣ ⎦

. (14)

Здесь / - скорость частицы на границе Ферми. При больших r интеграл в (10) представляет собой компоненту Фурье от быстроосциллирующей функции и определяется областью импульсов, близких к импульсу Ферми. Так как выражение (14) не имеет особенностей на вещественной оси, то интеграл в (10) экспоненциально мал и определяется особенностью, ближайшей к вещественной оси. Согласно (14) простой полюс имеет место в точке

F Fv p= m

F/c Fp p i T vπ= + .

Тогда интеграл в (10) с экспоненциальной точностью оценивается как expF

Trv

π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Следовательно, корреляционная функция оценивается как

2

2( ) exp exp ; .2

Fc

F c

vTr rrv rπ r r

Tν

π⎛ ⎞⎛ ⎞

− = − >> =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼ (15)

Корреляционный радиус уменьшается с ростом температуры. Можно сделать вывод, что конечная температура разрушает осцилляции Фриделя. В задаче (14) при рассмотрении осцилляций магнитной восприимчивости в сильном магнитном поле с напряженностью Н (эффект де Гааза – ван Альфена) было получено, что осцилляции наблюдаются при условии

;2B F BeT Hmc

µ ε µ<< << = . (16)

Циклотронный радиус вращения электрона в магнитном поле с ларморовской частотой Lω равен

.F

L

v mcvReHω

= = F (17)

Для наблюдения эффекта требуется, чтобы cR r<< . Это ограничивает температуру сверху тем же условием (16).

3