krachten en structurele systemen i (2009-2010)

Krachtenleer en structurele systemen I

(1e architectuur semester I 2009-2010)

Dirk Jaspaert

Deze notities zijn opgesteld voor de architectuurstudent 1e jaar.

Er wordt niet naar volledigheid gestreefd noch naar een eenzijdige thematiek omwille

van de toepasbaarheid op gebouwen.

Het deel I van de cursus (semester I) handelt over krachtenleer en is een noodzakelijke

voorbereiding op deel II (semester II) dat over structurele systemen in evenwicht gaat.

Toch wordt ook in deel I al gepoogd met de behandelde thema’s een aantal structurele problemen

fysisch helder te vertalen en ondanks het vereenvoudigen dat daarmee

gepaard gaat toch zowel de theorie als de praktijk recht te doen.

Dit eerste deel is inhoudelijk een compromis tussen de voor verdere studiejaren

vereiste leerstof en een gewenste keuze uit mechanica-onderwerpen die

helpen fysisch de wetmatigheden verklaren waaraan goedgebouwde constructies

op intelligente wijze voldoen.

Dirk Jaspaert

Inhoudsopgave

1 Inleiding 11.1 Constructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Algemeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Concrete voorstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Verbindingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Mechanica 42.1 Mechanica als tak van de fysica . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Basisbegrippen: kracht en massa, de wetten van Newton . . . 52.3 Eenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Invloeden van buitenaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1 Windkracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.2 Waterdruk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.3 Gronddruk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.4 Aardbevingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.5 Thermische uitzetting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Vectoren 103.1 Bewerkingen met vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Scalair produkt van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.3 Componenten volgens orthogonaal assenstelsel . . . . . 12

3.3 Vectorcomponenten evenwijdig en loodrecht met een richting . 133.4 Vectorieel produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.3 Componenten van het vectorieel product . . . . . . . . 17

ii

INHOUDSOPGAVE

4 Krachten en momenten 204.1 Vrijgemaakte lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1 Twee-dimensionaal evenwicht . . . . . . . . . . . . . . 224.1.2 Drie-dimensionaal evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Moment als een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Krachtenkoppels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5 Krachtensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.5.1 Equivalente krachtensystemen . . . . . . . . . . . . . . 364.5.2 Systeem vervangen door equivalente systemen . . . . . 39

4.6 Lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6.1 Middelpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6.2 Oppervlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6.3 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6.4 Lijnen, krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6.5 Massamiddelpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6.6 Dichtheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6.7 Samengestelde objecten . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Lichaam in evenwicht 485.1 Twee dimensionale toepassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2 Wrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3 Drie-dimensionele toepassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.4 Krachtenparen en -driehoeken in krachtensystemen . . . . . . 62

5.4.1 Krachtenparen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.4.2 Krachtendriehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Structuren in evenwicht 636.1 Vectoractieve structuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1.1 De methode van de knopen . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.2 Alternatieve methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 Massa-actieve structuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2.1 Vergelijking tussen vakwerken en balken . . . . . . . . 676.2.2 Krachten in balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2.3 Bepalen van inwendige krachten en momenten . . . . . 686.2.4 Vergelijking tussen vektoractieve en massa-actieve struc-

turen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2.5 Vormgeving en weerstandsmoment . . . . . . . . . . . 72

6.3 Vormactieve structuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3.1 Kabelstructuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3.2 Pneumatische structuren . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

iii

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

dirk jaspaert

Lijst van figuren

1.1 De architraafconstructie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Oplegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Asverbinding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Boutverbinding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Mechanica als tak van de fysica . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Vectoriele voorstelling van een kracht . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Vectoriele voorstelling van de windkracht . . . . . . . . . . . . 82.4 Wet van Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Sinus- en cosinusregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Vectorcomponenten in twee dimensies . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Plaatsvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Vectorcomponenten evenwijdig en loodrecht met een richting . 133.5 Voorbeeld 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.6 Voorbeeld 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.7 Voorbeeld 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.8 Voorbeeld 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1 Gehele constructie, geval 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Vrijgemaakte lichaam, geval 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Gehele constructie, geval 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4 Vrijgemaakte lichaam, geval 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.5 Gehele constructie, geval 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.6 Vrijgemaakte vectoren, geval 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.7 Voorbeeld 7, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.8 Voorbeeld 7, vrijgemaakte lichaam . . . . . . . . . . . . . . . 234.9 Voorbeeld 7, x- en y-componenten . . . . . . . . . . . . . . . . 234.10 Voorbeeld 7, alternatieve oplossing . . . . . . . . . . . . . . . 244.11 Voorbeeld 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.12 Voorbeeld 8, vrijgemaakte lichaam . . . . . . . . . . . . . . . 26

iv

LIJST VAN FIGUREN

4.13 Voorbeeld 8, krachten in knoop A . . . . . . . . . . . . . . . . 264.14 Definitie moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.15 Opmerking bij momentwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.16 Voorbeeld 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.17 Voorbeeld 10, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.18 Voorbeeld 10, werkwijze 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.19 Voorbeeld 10, werkwijze 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.20 Voorbeeld 11, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.21 Voorbeeld 12, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.22 Voorbeeld 12, uitwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.23 Speciaal geval 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.24 Speciaal geval 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.25 Speciaal geval 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.26 Krachtenkoppel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.27 Krachtenkoppel, uitgewerkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.28 Voorbeeld 13, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.29 Equivalente krachtensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.30 Voorbeeld 14, systeem (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.31 Voorbeeld 14, systeem (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.32 Voorbeeld 14, systeem (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.33 Voorbeeld 15, systeem (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.34 Systeem vervangen door een equivalent systeem (1) . . . . . . 384.35 Systeem vervangen door een equivalent systeem (2) . . . . . . 404.36 Voorbeeld 16, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.37 Gemiddelde plaats, biljartballen . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.38 Gemiddelde positie van een oppervlak . . . . . . . . . . . . . . 434.39 Gemiddelde positie van een oppervlak, infenitisimale delen . . 434.40 Middelpunt van een volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.41 Samengestelde oppervlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1 Lichaam in evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 De scharnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 De roloplegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 De inklemming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.5 Voorbeeld 17, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.6 Voorbeeld 18, vrijgemaakt lichaam . . . . . . . . . . . . . . . 515.7 Statisch onbepaalde systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.8 Onvoldoende ondersteund systeem, eerste manier . . . . . . . 525.9 Onvoldoende ondersteund systeem, tweede manier . . . . . . . 525.10 Onvoldoende ondersteund systeem, voorbeeld (a) . . . . . . . 535.11 Onvoldoende ondersteund systeem,voorbeeld (b) . . . . . . . . 53

v

LIJST VAN FIGUREN

5.12 Onvoldoende ondersteund systeem, voorbeeld (c) . . . . . . . 535.13 Voorstelling van de wrijvingskracht . . . . . . . . . . . . . . . 545.14 Voorbeeld 18, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.15 Voorbeeld 18, deel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.16 Voorbeeld 18, deel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.17 Voorbeeld 18, alternatieve oplossing . . . . . . . . . . . . . . . 565.18 Voorbeeld 20, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.19 Voorbeeld 20, vrijgemaakt lichaam . . . . . . . . . . . . . . . 585.20 Het bolscharnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.21 De glijoplegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.22 Het lijnscharnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.23 De ruimtelijke inklemming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.24 Voorbeeld 21, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.25 Voorbeeld 21, vrijgemaakt lichaam . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1 Voorbeeld 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2 Voorbeeld 22, vrijgemaakt lichaam . . . . . . . . . . . . . . . 646.3 Voorbeeld 21, reaktiekrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4 Voorbeeld 21, evenwicht in knoop A . . . . . . . . . . . . . . . 666.5 Voorbeeld 21, alternatieve methode knoop A . . . . . . . . . . 666.6 Voorbeeld 21, alternatieve methode knoop B . . . . . . . . . . 666.7 Diagonalen in een vakwerk (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.8 Diagonalen in een vakwerk (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.9 Diagonalen in een vakwerk (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.10 Krachten in balken (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.11 Krachten in balken (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.12 Krachten in balken (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.13 Voorbeeld 23, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.14 Voorbeeld 23, inwendige krachten . . . . . . . . . . . . . . . . 706.15 Voorbeeld 24, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.16 Voorbeeld 24, inwendige krachten . . . . . . . . . . . . . . . . 716.17 Balk in buiging belast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.18 Belastingsituatie in doorbuigende balk . . . . . . . . . . . . . 736.19 Eenparig belaste kabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.20 Eenparig belaste kabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.21 Voorbeeld 26, opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.22 Bolvormig drukvat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

vi

Lijst van tabellen

2.1 SI-grootheden en -eenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.1 Wrijvingscoe!cienten van verschillende systemen. . . . . . . . 55

vii

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Constructies

1.1.1 Algemeen

Elk materieel bestaand object wordt met inwendige of uitwendige krachten instand gehouden en heeft de vaardigheid deze krachten op te nemen of ze af teleiden naar een ander iets. Daardoor is elk voorwerp in de breedst mogelijketechnische zin gesproken een constructie.Een constructie heeft een voorkomen of uitwendige vorm en een inwendigestructuur. Vorm en structuur ontstaan in een vormproces afhankelijk vanfysische en chemische wetmatigheden (de natuurlijke processen) of van men-selijke vormgeving.Een constructie is dus niet louter een bestaand object, maar stelt tegelij-kertijd een proces en het resultaat ervan voor. Een catalogus van construc-ties opzetten is daarom een moeilijke zaak. Toch kunnen we ons voordeeldoen met de studie van een reeks in de wereld van architectuur en de kunstvoorkomende of historisch belangrijke constructies (zie deel 2).

1.1.2 Concrete voorstelling

Om de behandelde materie even concreet voor te stellen vertrekken we vaneen eenvoudig voorbeeld (figuur 1.1), de architraafconstructie zoals bij deOude Grieken toegepast of zoals Luc Deleu in zijn triomfbogen met con-tainers werd toegepast. Een horizontaal deel (de ’architraaf’) wordt op tweeverticale delen (kolommen of zuilen) geplaatst en er al dan niet mee verbon-den. De zuilen steunen op de grond door tussenplaatsen van een fundering.Architraaf en zuilen noemen we constructiedelen.

1

1. Inleiding

Figuur 1.1: De architraafconstructie

Opdat dit geheel een constructie zou zijn moet het ’weerstaan’ aan alle in-vloeden die erop inwerken, maw. het moet in zijn geheel in stand blijvenzonder om te vallen, weg te zakken, door te breken, enz. Algemeen zegt mendat een constructie voldoende stabiel, stijf en sterk moet zijn om in even-wicht te blijven onder de inwerkende invloeden. In dit geval hier betekentstabiliteit dat het geheel bv. niet mag omwaaien of in de grond verzakken,stijfheid dat de delen niet mogen doorplooien, sterkte dat de architraaf nietmag doorbreken of zuilen afbrokkelen.Het evenwicht wordt verloren wanneer het geheel of een deel van de construc-tie zijn evenwicht verliest. Wat er zoal kan gebeuren:

de architraaf kan van de zuilen waaiende architraaf kan doorbrekende architraaf kan overdreven doorbuigende zuilen kunnen afbrokkelende zuilen kunnen uitknikkende zuilen kunnen omvallende zuilen kunnen wegzakkende verbindingen tussen de constructiedelen zijn hierbij van groot belang

1.1.3 Verbindingen

Afhankelijk van de aard van de verbindingen kan de constructie het op di-verse manieren begeven.Indien de architraaf enkel opgelegd is op de zuilen dan is de enige weerstandtegen een horizontale beweging de wrijving (figuur 1.2). Tegen omkante-len is er geen weerstand, enkel tegen een neerwaarts gerichte beweging iser een weerstand onder de vorm van een in de weg staande zuil. Indien dearchitraaf via een loodrecht op het voorvlak staande as (figuur 1.3) verbon-

2

1. Inleiding

Figuur 1.2: Oplegging Figuur 1.3: Asverbinding

Figuur 1.4: Boutverbinding

den is met een van de zuilen dan kan hij niet schuiven noch kantelen in dedieptezin (loodrecht op het blad), het draaien evenwijdig met het voorvlakwordt niet verhinderd. Indien de architraaf met bv. vier boutverbindingen,die samen de hoekpunten van een rechthoek vormen, verbonden is aan eenzuil (figuur 1.4), dan is geen enkele beweging van de architraaf tov. de zuilmogelijk en spreekt men van een stijve verbinding. Dezelfde redenering kangevoerd worden voor de zuilen.Naargelang de aard en de grootte van de invloeden waaraan het geheel bloot-staat is het nodig de verbindingen al dan niet beperkender te maken om toteen constructie te komen.

Hiermee kan ingezien worden dat een constructie uit delen bestaat die metelkaar verbonden zijn op zo’n wijze dat de gehele constructie stabiel, sterken stijf is. Dit inzicht is kwalitatief, om een kwantitatief inzicht te verkrijgenmoet er te rade gegaan worden bij de mechanica.

3

Hoofdstuk 2

Mechanica

2.1 Mechanica als tak van de fysica

De mechanica is een tak van de fysica en de benadering van de mechanicakan gezien worden zoals in figuur 2.1. De mechanica werd gegrondvest doorIsaac Newton (1642-1727) en is nog steeds zeer deugdelijk zolang het nietgaat om te grote snelheden (c), te kleine afstanden (atomair), te grote of tekleine massa’s (galaxieen, atoomkernen).

Het doel van de mechanica is de studie van de bewegingen die gebeuren onderinvloed van krachten.

Drie aspecten van de studie worden onderscheiden:1- gegeven de beweging, bepaal dan snelheid en versnelling: di. de kinemat-ica.2a- gegeven de krachten, bepaal dan de beweging: di. de dynamica.2b- gegeven de krachten, bepaal de evenwichtsstanden bij afwezigheid van

FYSISCH PROBLEEM WISKUNDIGE FORMULERING

FYSISCHE CONCLUSIES KWANTITATIEVE INTERPRETATIE

(Intuïtie) (oplossing)

Figuur 2.1: Mechanica als tak van de fysica

4

2. Mechanica

beweging: di. de statica.Het domein dat voor deze cursus het belangrijkste is, is de statica.

De mechanica kan ook opgedeeld worden naar de objecten die ze bestudeert:- een massadeeltje (kogel, aarde in haar baan om de zon)- een systeem van massadeeltjes:

• als stelsel

• als star lichaam

• als vervormbare materie

De redenering vertrekt vanuit een massadeeltje en wordt vervolgens uitge-breid naar een star lichaam. De wetten die verder geformuleerd worden alsvoor een deeltje gelden ook voor de hierna beschouwde lichamen.

Vooreerst moeten echter nog een aantal basisbegrippen zoals massa, kracht,snelheid, versnelling en impuls ingevoerd worden.

2.2 Basisbegrippen: kracht en massa, de wet-ten van Newton

De begrippen massa en kracht kunnen uit elkaar afgeleid worden via de pos-tulaten van Newton, maar worden hier even fundamenteel opgevat. Vanuitde ervaring is het begrip ’kracht’ bekend.

De postulaten van Newton:

1. Een deeltje met een constante massa dat aan geen kracht onderwor-pen is, beweegt zich met een constante snelheid (eenparig rechtlijnigebeweging) of bevindt zich in rust.

2. De verandering met de tijd van de impuls is gelijk aan de kracht die ophet deeltje werkt.

3. Voor elke kracht (actie) is er een even grote maar tegengestelde kracht(reactie).

Deze postulaten zijn zeer belangrijk en worden als de axiomatische funderingvan de mechanica opgevat.Voor een constante massa kan de tweede wet nog geformuleerd worden als

!F =d(m!v)

dt= m

d!v

dt= m!a (2.1)

5

2. Mechanica

Figuur 2.2: Vectoriele voorstelling van een kracht

of

De kracht op een deeltje is het product van de massa en de versnelling vanhet deeltje.

Krachten worden algemeen als vectoren behandeld, maar ze hebben weleen bepaald aangrijpingspunt of een lijn van aangrijpingspunten. Vectorenhebben een bepaalde richting, zin en grootte. Ze kunnen voorgesteld wordenzoals in figuur 2.2 te zien is. In formule 2.1 zijn zowel !F , !v als !a vectorenen merk op dat dit inhoud dat hierbij zowel de grootte als de richting vande kracht met de verandering van snelheid in verhouding staan. De massa(m) is een scalaire grootheid, afhankelijk van de soort en het volume van dematerie waaruit het deeltje is samengesteld en onafhankelijk van de plaatswaar het deeltje zich bevindt.Het begrip massa wordt misschien het best geduid door vergelijking van tweedeeltjes met verschillende massa. Indien ze elk aan een draad rondgeslingerdworden met de hand dan moet er om het ene deeltje bij te houden een groteretrekkracht uitoefenen dan bij het andere, dit omdat het het ene een groteremassa heeft dan het andere.

De belangrijkste kracht waarmee rekening moet gehouden worden is de zwaar-tekracht, de aantrekkingskracht door de aarde uitgeoefend en gericht naarhaar middelpunt. Een deeltje met massa m ondervindt een zwaartekracht !Gdie het de versnelling !g (valversnelling 9,81 m/s2) doet krijgen indien losge-laten.

!G = m.!g (2.2)

hierbij is !G het gewicht.

6

2. Mechanica

Grootheid Eenheidlengte mtijd s

massa kg

Tabel 2.1: SI-grootheden en -eenheden

2.3 Eenheden

We volgen de SI-eenheden: De eenheid van kracht werd hieruit afgeleid enkreeg als naam ”Newton”:

N = kg.m

s2

maw. 1 kg massa ondervindt van de aarde een aantrekkingskracht van

G = m.g = 1kg.9, 81m

s2

In de normale praktijk van de bouwwereld wordt dit afgerond op 10 N en alsvoldoende nauwkeurig aangenomen. 10 N wordt ook 1 daN genoemd.

2.4 Invloeden van buitenaf

2.4.1 Windkracht

Het in rekening brengen van de windkracht is een zeer ingewikkelde aan-gelegenheid. Een voorgeschreven procedure wordt gebruikt voor de bereken-ing ervan. Hierbij dient een onderscheid gemaakt te worden tussen stijveen slappe constructies. In het algemeen kan gesteld worden dat de krachtafhankelijk is van

1. de gemiddelde windsnelheid, di. basissnelheid en het bijhorende vlaag-spectrum. Hierbij wordt de ligging en blootgesteldheid in rekeninggebracht.

2. de vorm en de verhoudingen van de constructie (aerodynamische coe!-cienten).

3. de doorlatendheid van de constructie (openingen die aanwezig zijn).

In wat volgt zal er steeds gerekend worden met een windkracht van 1 kN/m2

die horizontaal gericht is.

7

2. Mechanica

Figuur 2.3: Vectoriele voorstelling van de windkracht

De wind oefent slechts een invloed uit in de richting loodrecht op het op-pervlak (zie ook figuur 2.3). Deze kan zowel een druk- als een zuigkrachtzijn. Eigenlijk zorgt de wind ook voor wrijving, de grootte hiervan is echterverwaarloosbaar.

2.4.2 Waterdruk

De waterdruk is net als de atmosfeerdruk een alzijdige druk. De druk diewater op een voorwerp uitoefent wordt bekomen door de volgende vergelijk-ing:

P = "w.h = 10.hkN/m2 (2.3)

De wet van Archimedes 1 Indien een lichaam in een fluıdum geplaatstwordt, ondervindt dit lichaam een opwaartse kracht welke evenredig is metde verplaatste hoeveelheid fluıdum.

Figuur 2.4: Wet van Archimedes

Indien het soortelijk gewicht van een lichaam lager is dan dat van water, gaathet drijven (bv. dennenhout, 6,5 kN/m3). Wanneer het soortelijk gewichtvan een gewicht groter is dan dat van water, gaat het zinken (bv. beton,20 kN/m3).

8

2. Mechanica

2.4.3 Gronddruk

De gronddruk is de zijdelingse druk uitgeoefend op een constructie dooropgestapelde grond naast deze constructie en de eventuele belasting bovenopdeze grond. De grootte van deze druk hangt oa. van de grondsoort, hierbijspeelt het soortelijk gewicht en de samenhang een rol (inwendige wrijving ancohesie). Vaak treedt de gronddruk op in combinatie met waterdruk, laterkomen we hier nog op terug.

2.4.4 Aardbevingen

Dit zijn grote horizontale krachten in een bepaald tijdsverloop (met eenbepaald spectrum). Dit natuurfenomeen kan een zeer nadelige invloed hebbenop een constructie indien de de eigenfrequentie van deze constructie binneneen bepaald bereik ligt. Dit wordt nagegaan door een wiskundig model vande constuctie te testen tov. bestaande of te verwachten spectra.

2.4.5 Thermische uitzetting

De invloed van thermische uitzetting wordt duidelijk ahv. volgend voorbeeld:

Voorbeeld 1

We beschouwen een 100 m lang staalprofiel (# = 10!5/K), vastgezet in eenconstructie, dat een temperatuursstijging van 50 K ondergaat. De optredendethermische spanning kan dan als volgt berekend worden:

"L = 10!5.50.100m = 5.10!2m

dit is de lengteverandering die de staaf zou ondergaan indien hij vrij zoukunnen bewegen. De constructie zorgt er echter voor dat de staaf niet kanuitzetten. Bij gevolg treedt volgende spanning op in de staaf:

"F = A.E.$ = A.210kN/mm2.50mm

100.000mm! 100AN

voor een staaf met een grondvlak van 10x10 mm geeft dit

F = 10.000N = 10kN = 1ton

9

Hoofdstuk 3

Vectoren

Een fysische hoeveelheid die door een getal kan beschreven worden, is eenscalaire grootheid (bv. massa, tijd, energie, enz.). Een fysische grootheid dieook gekarakteriseerd wordt door een richting en een zin, kunnen we als eenvector voortstellen (bv. afstand, kracht, snelheid, enz.).

3.1 Bewerkingen met vectoren

Som van vectoren

!v + !u = !u + !v = !w (3.1)

Product van een scalar en een vector

a!v = vector (3.2)

ab!v = (ab)!v = a(b!v) (3.3)

(a + b)!v = a!v + b!v (3.4)

a(!v + !u) = a!v + a!u (3.5)!v

a=

1

a!v (3.6)

("1)!v = "!v (3.7)

Verschil van vectoren

!v " !u = !v + ("!u) (3.8)

10

3. Vectoren

A B

C

ab

c! "

#

Figuur 3.1: Sinus- en cosinusregel

Eenheidsvector

!u = |!v|.!ev (3.9)

!ev =!v

|!v| (3.10)

Ontbinden van een vector

Cosinusregel:c2 = a2 + b2 " 2ab.cos" (3.11)

Sinusregel:a

sin#=

b

sin%=

c

sin"(3.12)

Vectorcomponenten in 2 dimensies

Figuur 3.2: Vectorcomponenten in twee dimensies Figuur 3.3: Plaatsvectoren

11

3. Vectoren

3.2 Scalair produkt van vectoren

Bij de bewerkingen met vectoren zijn er twee soorten ”producten”. Het enelevert als resultaat een scalair getal op, het andere resulteert in een nieuwevector.Bij een scalair produkt bezit het resultaat van de bewerking geen vectorieleeigenschappen meer. Voorbeelden hiervan zijn:

• het product van twee plaatsvectoren dat een oppervlakte moet worden.

• het product van een kracht met een afstand dat een arbeid moet uit-drukken.

Naast fysische betekenis heeft dit scalair product ook toepassing als omwegom loodrechte en parallelle componenten van vectoren te bepalen.

3.2.1 Definitie

!v.!u = |!v|.|!u|.cos& (3.13)

met & de hoek tussen de twee vectoren als hun beginpunten samengebrachtworden. Het resultaat is dus geen vector, maar een scalaire hoeveelheid.

3.2.2 Eigenschappen

commutatief: !v.!u = !u.!vassociatief mbt. scal. verm.: a.(!u + !v) = (a.!u).!v = (!u).a.!vdistributief tov. vectorsom: !u.(!v + !w) = !u.!v + !u.!w

3.2.3 Componenten volgens orthogonaal assenstelsel

Wanneer de componenten van twee vectoren in een orthogonaal assenstelselgekend zijn, kan het scalair produkt ook als volgt berekend worden:

!u.!v = (ux!ex + uy!ey + uz!ez).(vx!ex + vy!ey + vz!ez) (3.14)

= uxvx!ex!ex + uxvy!ex!ey + uxvz!ex!ez (3.15)

uyvx!ey!ex + uyvy!ey!ey + uyvz!ey!ez (3.16)

uzvx!ez!ex + uzvy!ez!ey + uzvz!ez!ez (3.17)

12

3. Vectoren

Figuur 3.4: Vectorcomponenten evenwijdig en loodrecht met een richting

hierbij geldt dat

!ex.!ex = |!ex|.|!ex|.cos2' (3.18)

!ex.!ey = |!ex|.|!ey|.cos'

2(3.19)

!ex.!ez = |!ex|.|!ez|.cos'

2(3.20)

dit geeft dan als eindresultaat

!u.!v = uxvx + uyvy + uzvz (3.21)

en

cos& =!u.!v

|!u|.|!v| =uxvx + uyvy + uzvy

|!u|.|!v| (3.22)

3.3 Vectorcomponenten evenwijdig en lood-recht met een richting

De component // met een richting wordt ook de projectie op die richtinggenoemd. We kunnen de componenten tov. een richting vlot bepalen dmv.het scalair product.

!u = !uP + !uN

met |!uP | = |!u|.cos&!eL.!u = |!eL|.|!u|.cos&|!uP | = !eL.!u

#

!"#

"$

!uP = |!uP |!eL

= (!eL.!u).!eL

!uN = !u + !uP

13

3. Vectoren

Voorbeeld 2

gegeven: |!F | = 100 N, |( !OA)| = 8 m, zie ook figuur 3.5.

gevraagd: !r.!F ?

Figuur 3.5: Voorbeeld 2

oplossing:

1. De groottes en de hoek komen rechtstreeks uit de definitie:

!r.!F = |!r|.|!F |.cos&

= 8m.100N.cos2'

3

= 8.100.1

2= 400Nm

2. Men kan ook vertrekken vanuit de componenten van beide vectoren inhet assenstelsel:

!r = 8.!exm

!F = 100.cos2'

3.!ex + 100.sin

2'

3.!ey

= 50!ex + 100.

$3

2!eyN

bijgevolg geldt

!r.!F = rxFx + ryFy + rzFz

= 8.50 + 0.100$

3

2+ 0.0

= 400Nm

14

3. Vectoren

Voorbeeld 3

gegeven: zie figuur 3.6.gevraagd: bepaal de hoek tussen AB en AC in de bijhorende figuur.


oplossing:methode: de coordinaten van A,B en C zijn gekend, bijgevolg kan de vec-toriele vergelijking voor !rAB en !rAC opgesteld worden en ook de cos& bepaaldworden.

!rAB = ("2" 2)!ex + (6" 4)!ey + (1" 3)!ez

!rAC = (4" 2)!ex + (8" 4)!ey + (8" 3)!ez

of

!rAB = "4!ex + 2!ey " 2!ez

!rAC = 2!ex + 4!ey + 5!ez

en

|!rAB| =%

("4)2 + 22 + ("2)2 = 4, 9m

|!rAC | =$

22 + 42 + 52 = 6, 71m

!rAB.!rAC = ("4).2 + 2.4 + ("2).5

= "10m2

cos& =!eAB.!eAC

|!rAB|.|!rAC | ="10

4, 9.6, 71= "0, 304

= & = arccos("0, 304) = 107, 7

15

3. Vectoren


Voorbeeld 4

gegeven: men trekt aan het touw OA met een kracht van 50 N, zie ookfiguur 3.7.gevraagd: wat zijn de componenten van F evenwijdig en loodrecht op de kabelOB?oplossing:

werkwijze: eerst wordt !F vectorieel voorgesteld en vervolgens wordt !eOB

bepaald.

!rOA = "3!ex + 6!ey + 6!ez

!rOB = 3!ex + 10!ey " 2!ez

|!rOA| =$

9 + 36 + 36 = 9m

|!rOB| =$

9 + 100 + 4

!eOA =!rOA

|!rOA| = "0, 333!ex + 0, 667!ey + 0, 667!ez

!eOB =!rOB

|!rOB| = "0, 282!ex + 0, 941!ey + 0, 188!ez

!F = |!F |.!eOA = 50.("0, 333!ex + 0, 667!ey + 0, 667!ez)

= "16, 7!ex + 33, 3!ey + 33, 3!ez

!eOB.!F = 0, 282("16, 7) + 0, 941(33, 3)" 0, 188(33, 3)

= 20, 4N!FP = (!eOB.!F )!eOB = 5, 8!ex + 19, 2!ey " 3, 8!ez

!FN = !F " !FP = "22, 5!ex + 14, 1!ey + 37, 1!ez

16

3. Vectoren

3.4 Vectorieel produkt

3.4.1 Definitie

!u% !v = |!u|.|!v|.sin&.!e"(u,v) (3.23)

!u% !v staat loodrecht op !u en !v. De eenheid van !u% !v=gewoon produkt vande eenheden van !u en !v.!u% !v = !0 asa !u//!v en !u = !0, !v = !0.

3.4.2 Eigenschappen

!u% !v = "!v % !u (3.24)

a(!u% !v) = a.!u% !v = !u% a.!v (3.25)

!u% (!v + !w) = !u% !v + !u% !w (3.26)

3.4.3 Componenten van het vectorieel product

!u% !v = (ux!ex + uy!ey + uz!ez)% (vx!ex + vy!ey + vz!ez)

= uxvx(!ex % !ex) + uxvy(!ex % !ey) + uxvz(!ex % !ez)

uyvx(!ey % !ex) + uyvy(!ey % !ey) + uyvz(!ey % !ez)

uzvx(!ez % !ex) + uzvy(!ez % !ey) + uzvz(!ez % !ez)

hierbij geldt (volgens de kurketrekker-regel) dat

!ex % !ex = |!ex|.|!ex|.sin2'.!ez = 0

!ex % !ey = |!ex|.|!ey|.sin'

2.!ez = !ez

!ex % !ez = |!ex|.|!ez|.sin'

2.!ey = "!ey

bijgevolg blijft de volgende vergelijking over

!u% !v = (uyvz " uzvy)!ex " (uxvz " uzvx)!ey + (uxvy " uyvx)!ez (3.27)

maw.

!u% !v =

&&&&&&&

!ex !ey !ez

ux uy uz

vx vy vz

&&&&&&&(3.28)

17

3. Vectoren


Voorbeeld 5

gegeven: !u = "2!ex + !ey, !v = 3!ex " 4!ez

gevraagd: !u% !v =?oplossing:

!u% !v = "2.3.(!ex % !ex) + ("2).("4).(!ex % !ez) + 1.3.(!ey % !ex)

+1.("4).(!ey % !ez)

= ("6).(0) + (8).("!ey) + (3).("!ez) + ("4).!ex

= "4.!ex " 8.!ez " 3.!ez

!u% !v =

&&&&&&&

!ex !ey !ez

ux uy uz

vx vy vz

&&&&&&&=

&&&&&&&

!ex !ey !ez

"2 1 03 0 "4

&&&&&&&

= "4.!ex " 8.!ez " 3.!ez

Voorbeeld 6

gegeven: zie figuur 3.8.gevraagd: bepaal de componenten van de eenheidsvector loodrecht op OA enOB en bepaal de minimumafstand van A tot OB.oplossing:

!rOA % !rOB =

&&&&&&&

!ex !ey !ez

10 "2 36 6 "3

&&&&&&&= "12!ex + 48!ey + 72!ez

18

3. Vectoren

!e" = "0, 137.!ex + 0, 549.!ey + 0, 824.!ez

d = 9, 71m

19

Hoofdstuk 4

Krachten en momenten

Een lichaam is in evenwicht wanneer elk punt ervan aan een constante snel-heid onderworpen is, di. wanneer het niet versneld of vertraagd wordt. Vol-gens het tweede postulaat van Newton is er sprake van een evenwicht wanneerde som van alle inwerkende krachten nul is. Voor constructies nemen we aandat de beginsnelheid daarenboven nul is, zodat het lichaam door niets ver-stoord wordt in z’n rusttoestand.

4.1 Vrijgemaakte lichamen

Figuur 4.1: Gehele constructie, geval 2 Figuur 4.2: Vrijgemaakte lichaam, geval 1

De krachten die op een lichaam inwerken worden uitwendige krachtengenoemd. Het te onderzoeken lichaam met daarop voorgesteld de erop in-werkende krachten, is een vrijgemaakt lichaam. Let op, in figuur 4.2 zijn !TAB

en !G de uitwendige krachten.Indien het bovenste blok dient onderzocht te worden, dan is het vrijgemaaktelichaam onderworpen aan drie uitwendige krachten (figuur 4.4): !TCD, !G1

en !TBA. De twee blokken tezamen als een vrijgemaakt lichaam beschouwdworden. De uitwendige krachten zijn dan !TCD, !G1 en !G2 (figuur 4.6. Deze

20

4. Krachten en momenten

Figuur 4.3: Gehele constructie, geval 2 Figuur 4.4: Vrijgemaakte lichaam, geval 2

Figuur 4.5: Gehele constructie, geval 3 Figuur 4.6: Vrijgemaakte vectoren, geval 3

21


krachten zijn deels bekend (!G1 en !G2) en deels onbekend (!TAB, !TCD). Echter,door het lichaam vrij te maken, kunnen de hierbij optredende krachten beg-root worden door het evenwicht uit te drukken:

1e geval:

'!F = 0

# !TAB + !G2 = 0

# !TAB = "!G2

2e geval:

'!F = 0

# !TCD + !G1 + !TBA = 0

3e geval:

'!F = 0

# !TCD + !G1 + !G2 = 0

# !TCD = "(!G1 + !G2)

In het eerste en het derde geval volgt hieruit meteen de onbekende kracht.Bij geval twee moet eerst nog een ander deel vrijgemaakt worden alvorensalle onbekenden berekend kunnen worden.

4.1.1 Twee-dimensionaal evenwicht

'!F = 0

('

Fx).!ex + ('

Fy).!ey = 0

&( )

Fx = 0)Fy = 0

De ene vectoriele vergelijking is dus gelijkwaardig met twee algebraıschevergelijkingen.

Voorbeeld 7

gegeven: een zwaar schilderij is opgehangen aan kabels, het gewicht van hetschilderij bedraagt 2 kN (zie ook figuur 4.7).

22


Figuur 4.7: Voorbeeld 7, opgave Figuur 4.8: Voorbeeld 7, vrijgemaakte lichaam

Figuur 4.9: Voorbeeld 7, x- en y-componenten

gevraagd: bepaal de spanningskrachten in AB en AC.oplossing:werkwijze: zoek een vrij te maken lichaam dat onderworpen is aan de krachtendie achterhaald dienen te worden. Door een deel van het kabelgeheel rondpunt A (knooppunt te isoleren wordt een vrijgemaakt lichaam bekomen datonderworpen is aan het gewicht van het schilderij en aan de 2 onbekendekabelkrachten.

1. Teken het vrijgemaakte lichaam rond punt A en stel alle gegevens voor.

2. Pas de evenwichtsvergelijkingen toe. Kies eenassenstelsel en druk dekabelkracht uit in x- en y-componenten. De evenwichtsvergelijkingenzien er dan als volgt uit:

'Fx = TAC .cos

$'

4" TAB.cos

'

3= 0

'Fy = TAC .sin

'

4+ TAB.sin

'

3" 2kN = 0

23


Figuur 4.10: Voorbeeld 7, alternatieve oplossing

of

TAC .

$2

2" TAB.

1

2= 0 (1)

TAC .

$2

2" TAB.

$3

2" 2kN = 0 (2)

TAB.

$3

2+ TAB.

1

2" 2kN = 0 (2)" (1)

TAB

2.($

3 + 1) = 2kN

#(

TAB = 1, 46kNTAC = 1, 04kN

Alternatieve oplossing: de krachten in A moeten een gesloten krachtenveel-hoek vormen om in evenwicht te zijn. Hier een driehoek waarvan 2 hoekengekend zijn. De derde hoek is bijgevolg ook gekend en bedraagt 105. Als de si-nusregel nu toegepast wordt, wordt dezelfde oplossing als hierboven bekomen.

4.1.2 Drie-dimensionaal evenwicht

'!F = !0

('

Fx).!ex + ('

Fy).!ey + ('

Fz).!ez = 0

&

!"#

"$

)Fx = 0)Fy = 0)Fz = 0

De ene verctoriele vergelijking is hier gelijkwaardig met drie algebraıschevergelijkingen.

24



Voorbeeld 8

gegeven: een sculptuur van 10 kN hangt aan het plafond met dunne kabelsdie in A, B en C bevestigd zijn. A is een knooppunt van de kabels waaronderhet gewicht ophangt (zie ook figuur 4.11).gevraagd: wat zijn de spankrachten in AB, AC en AD?oplossing:werkwijze: analoog aan het twee-dimensionele probleem wordt het vrijge-maakt lichaam afgezonderd rond het knooppunt van de kabels A). Op diemanier wordt een vrijgemaakt lichaam bekomen dat enkel onderworpen isaan de te vinden onbekende krachten en de resterende bekende kracht.

1. Teken het vrijgemaakt lichaam door de krachten voor te stellen die opde kabels op het lichaam uitoefenen. De groottes van de vectoren !TAB,!TAC en !TAD zijn de gevraagde spankrachten.

2. Bepaal de evenwichtsvergelijking:

'!F = !TAB + !TAC + !TAD " 10kN.!ez = 0

Om deze vectoren op de lossen naar de spankrachten in de kabels, moeten devectoren eerst in hun componenten uitgedrukt worden. Hiertoe wordt eerst

25


Figuur 4.12: Voorbeeld 8, vrijgemaakte lichaam Figuur 4.13: Voorbeeld 8, krachten in knoop A

een eenheidsvector in de richting van de respectievelijk vectoren bepaald.Deze wordt gevonden door de plaatsvectoren !rAB, !rAC en !rAD te delen doorhun grootte.

!eAB =!eAB

|!rAB| =2.!ex + 4.!ey + 4.!ez

6

=1

3.!ex +

2

3.!ey +

2

3.!ez

Nu wordt !TAB als het product van de spankracht TAB in de kabel AB en !eAB

geschreven.

!TAB = TAB.!eAB = TAB.(1

3.!ex +

2

3.!ey +

2

3.!ez)

Op dezelfde wijze wordt

!TAB = TAC .!eAC = TAC .("0, 41.!ex " 0, 41.!ey + 0, 82.!ez)!TAD = TAD.!eAD = TAD.(0, 51.!ex " 0, 51.!ey + 0, 61.!ez)

bekomen. Herschrijf nu de evenwichtsvergelijkingen:'

!F = !TAB + !TAC + !TAD " 10kN.!ez = 0

= (TAB

3" 0, 41.TAC + 0, 51.TAD).!ex + (

2

3.TAB " 0, 41.TAC " 0, 51.TAD).!ey

+(2

3.TAB + 0, 82.TAC + 0, 62.TAD " 10kN).!ez = !0

ofwel moeten alle componenten apart = 0 zijn, dit levert natuurlijk een stelselop:

'Fx =

1

3.TAB " 0, 41.TAC + 0, 51.TAD = 0 (1)

26


'Fy =

2

3.TAB " 0, 41.TAC " 0, 51.TAD = 0 (2)

'Fz =

2

3.TAB + 0, 82.TAC + 0, 69.TAD " 10kN = 0 (3)

TAB " 0, 82.TAC = 0 (1) + (2)"AB

3+ 1, 02.TAD = 0 (1)" (2)

# TAB = 0, 82.TAC

# TAB = 3, 06.TAD

Beide worden in vergelijking (3) gevoegd:

0 =2

3.TAB + TAB +

0, 69

3.1, 02.TAB " 10kN

# TAB.(2

3+ 1 + 0, 225) = 10kN

#

!"#

"$

TAB = 5, 28kNTAC = 6, 44kNTAD = 1, 73kN

4.2 Moment

Zelfs als de som van alle krachten die op een object inwerken nul is, kan er nogaltijd een e#ect ontstaan. Er werd namelijk nog niet nagegaan of het objectkan roteren. Om dit te bestuderen wordt het begrip moment geıntroduceerd.

Het moment van een kracht is de maat waarmee aangegeven wordt hoe sterken in welke zin de kracht het bestudeerde object wil laten roteren rond eenpunt of een as.

Kijk loodrecht op een vlak waarin zich een punt en een kracht bevinden.De grootte van het moment wordt dan als a.F gedefinieerd met als eenheid[Nm]. Nauwkeurig wordt dit als volgt geformuleerd:

De groote van het moment van een kracht !F (met !F = F.!eF ) rond hetpunt O is MO = a.F , waarbij a de afstand tussen het punt O en het aangrij-pingspunt van de kracht !F voorstelt. Op de figuur is het duidelijk in welkerichting en zin de neiging tot draaien ontstaat. In dit geval wordt gezegd datde zin van het moment gelijk is aan de tegenuurwijzerzin. In hetgeen volgtwordt als conventie deze zin als de positieve zin beschouwd. Samengevatwordt het moment van een kracht rond een punt als volgt bepaald:

27


Figuur 4.14: Definitie moment

Figuur 4.15: Opmerking bij momentwerking

1. Neem vanaf het punt de loodrechte afstand tot werkingslijn van dekracht.

2. Maak het product van deze loodrechte afstand met de grootte van dekracht, dit is dan de grootte van het moment.

3. Bepaal vervolgens de werkingszin van het moment.

Merk op: als de werkingslijn van de kracht door het beschouwde punt gaat,is de afstand a gelijk aan nul en is het moment dit bijgevolg ook (zie ookfiguur 4.15).

Voorbeeld 9

Een kraan ondervindt een moment resulterend uit het verschil tussen hetmoment van het te torsen gewicht en het moment tgv. het tegengewicht (ziefiguur 4.16).

28



Figuur 4.17: Voorbeeld 10, opgave

Voorbeeld 10

gegeven: figuur 4.17gevraagd: bepaal het moment van de kracht F rond het punt A.oplossing:werkwijze 1: Bepaal de loodrechte afstand van het punt A tot de werkingslijnvan de kracht (figuur 4.18):

a = 6.sin'

6= 6.

1

2= 3m

De grootte van het moment is

MA = 3.40 = 120kNm

Figuur 4.18: Voorbeeld 10, werkwijze 1 Figuur 4.19: Voorbeeld 10, werkwijze 2

29


De zin is positief (tegenuurzijzerzin).

werkwijze 2:Splits de kracht in x- en y-componenten en bepaal de som van de momentenvan de afzonderlijke componenten (figuur 4.19):

MA = ax.Fx + ay.Fy

met

(Fx = 40.cos!

6Fy = 40.sin!

6 = 40.12 = 20kN

en

(ax = 0may = 6m

# MA = 120kNm

4.3 Moment als een vector

Zoals reeds uit het voorgaande mocht blijken, heeft een moment niet alleeneen grootte, maar ook een richting en zin. Een moment kan bijgevolg beschouwdworden als een vector:

!MO = !r % !F (4.1)

met !MO het moment van !F om het punt O en waarbij !r de plaatsvectorvan de kortste afstand van het punt O tot de werkingslijn van de kracht !Fvoorstelt. De zin van het moment kan als volgt bepaald worden: indien eenkurketrekker de draaiing, door !r% !F aangegeven volgt, dan beweegt de puntzich in de zin van het moment !MO.Samengevat heeft het moment !MO van een kracht !F om een punt O drieeigenschappen:

1. De grootte van !MO is gelijk aan het produkt van de grootte van !F ende loodrechte afstand van O tot !F .

2. !MO staat loorecht op het vlak gevormd door O en !F .

3. De zin van !MO wordt bepaald door de kurketrekkerregel. Let wel opde volgorde in het vectorieel product (!r % !F ).

Voorbeeld 11

gegeven: figuur 4.20.

gevraagd: bepaal het moment van !F om P .oplossing:

30



Daar de vector !r in !M = !r % !F een plaatsvector vanuit P naar en punt opde werkingslijn van !F is, kiezen we als tweede punt het aangrijpingspunt van!F .

!r = ("5" 1).!ex + (12" 3).!ey + (6" 4).!ez

= "6.!ex + 9.!ey + 2.!ez

Het moment !MP (!F ) is dan

!r % !F =

&&&&&&&

!ex !ey !ez

"6 9 27 4 4

&&&&&&&= 28.!ex + 38.!ey " 87.!ez

De grootte van het moment

| !MP | =%

(28)2 + (38)2 + ("87)2

= 99kNm

|!F | = 9kNm

De loodrechte afstand tussen het punt P en de werkingslijn van !F is

| !MP ||!F |

= 11m

Neem nu een as L en de kracht !F . !MO is het moment van !F om eenwillekeurig punt O van de as L. Het moment van !F om de as L is de

31



component van !MO evenwijdig met L: !ML

!ML = (!eL. !MO).!eL

!ML = (!eL.(!r % !F )).!eL

met !eL.(!r % !F ) =

&&&&&&&

!ex !ey !ez

rx ry rz

Fx Fy Fz

&&&&&&&

De waarde van het scalair getal !eL. !MO geeft de grootte van het moment omde as, het teken ervan de zin (positief indien dezelfde zin als !eL, negatiefindien andersom). Het resultaat is onafhankelijk van de keuze van het puntO.

Voorbeeld 12


gevraagd: bepaal het moment van !F om de as L.oplossing:Kies een punt A op de as L

!r = (4" 4).!ex + (8" 2).!ey + (6" 0).!ez

= 6.!ey + 6.!ez

Het moment van !F om A is

!MA = !r % !F =

&&&&&&&

!ex !ey !ez

0 6 6"20 10 60

&&&&&&&

32


Figuur 4.22: Voorbeeld 12, uitwerking

= 300.!ex " 120.!ey + 120.!ez

Bepalen we nu een eenheidsvector langs L

!AB = (2" 4).!ex + ("7" 2).!ey + (6" 0).!ez

| !AB| = 11

!eAB ="2

11.!ex "

9

11.!ey +

6

11.!ez

!ML = (!eAB. !MA).!eAB

= (" 2

11.300 +" 9

11.("120)

6

11.120).!eAB

= 109, 1.!eABNm

Speciale gevallen:

1. De werkingslijn van !F staat loodrecht op het vlak waarin L ligt: | !ML| =a.|!F | (figuur 4.23).

2. De werkingslijn van !F is evenwijdig met L: !ML = !0, want !MO = !r% !Fstaat loodrecht op !F en bijgevolg staat !MO loodrecht op L en is !ML

nul (figuur 4.24).

3. De werkingslijn van !F snijdt L, zodoende is !MO nul. Dit omdat hetsnijpunt als het punt O kan gekozen worden, zodat geldt dat !ML nulis (figuur 4.25).

33


Figuur 4.23: Speciaal geval 1 Figuur 4.24: Speciaal geval 2

Figuur 4.25: Speciaal geval 3

4.4 Krachtenkoppels

Beschouw nu twee krachten, precies even groot, evenwijdig met elkaar, maartegengesteld van zin. Wat is het moment van dit stelsel krachten rond eengekozen punt uitgeoefend?

!MO = !r1 % !F + !r2 % ("!F )!MO = (!r1 " !r2)% !F!MO = !r % !F

Merk op dat dit moment volkomen onafhankelijk is van het punt O. Ver-mits dit krachtenstelsel als som van de krachten

) !F nul geeft, maar wel eenmoment !M heeft kan het voorgesteld worden door het moment !M alleen ofdoor elk ander krachtenstelsel dat hetzelfde resulterend moment geeft.De grootte van dit moment wordt gegeven door het produkt van de lood-rechte afstand tussen de krachten en de grootte van de kracht. !M staatvanzelfsprekend loodrecht op het vlak, gevormd door beide krachten. Eendergelijk stelsel heet een krachtenkoppel.

34


Figuur 4.26: Krachtenkoppel Figuur 4.27: Krachtenkoppel, uitgewerkt


Voorbeeld 13


gevraagd: bepaal het moment !M .oplossing:Er zijn twee mogelijk manieren om tot een oplossing te komen:

1. De afstand tussen de werklijnen is 4 m, zodat het moment van hetkoppel

| !M | = (4m).(2kN)

= 8kNm

De draaiingszin indachtig en de kurketrekkersregel toepassend moet hetmoment een vector zijn die uit het blad naar voor komt

!M = +8kNm.!ez

35


Figuur 4.29: Equivalente krachtensystemen

2. Vectorieel:

!M = !r1 % 2.!ey + !r2 % ("2.!ey)

= (7.!ex + 2.!ey)% 2.!ey + (3.!ex + 7.!ey)% ("2.!ey)

4.5 Krachtensystemen

4.5.1 Equivalente krachtensystemen

Twee systemen zijn gelijkwaardig of equivalent wanneer de som van de krachtengelijk en de som van de momenten gelijk zijn:

('

!F )1 = ('

!F )2 (4.2)

('

!MO)1 = ('

!MO)2 (4.3)

Indien de som van de krachten en momenten rond een punt O van tweesystemen gelijk zijn, dan kan aangetoond worden dat de som van momentenrond een willekeurig punt van de twee systemen gelijk zijn. Om het equivalentzijn van twee systemen na te gaan, dient dus slechts de som van de momentenrond een willekeurig punt bepaald te worden.

Voorbeeld 14

gegeven: figuur 4.30-4.32.gevraagd: zijn de voorgestelde systemen (1), (2) en (3) equivalent?

36


Figuur 4.30: Voorbeeld 14, systeem (1) Figuur 4.31: Voorbeeld 14, systeem (2)

Figuur 4.32: Voorbeeld 14, systeem (3)

oplossing:

1. Som van de krachten:

('

!F )1 = 50N.!ey

('

!F )2 = 50N.!ey

('

!F )3 = 50N.!ey

2. Som van de momenten rond een willekeurig punt:

('

!MO)1 = !0

('

!MO)2 = 50N.0, 5m" 50Nm

= "25Nm.!ez

('

!MO)3 = 1, 0m.50N " 50Nm

= !0

Beide punten in acht genomen, kunnen besloten worden dat de systemen (1)en (3) equivalent zijn.

Voorbeeld 15

gegeven:

37


Figuur 4.33: Voorbeeld 15, systeem (1)

Figuur 4.34: Systeem vervangen door een equivalent systeem (1)

38


!FA = "15.!ex " 10.!ey + 10.!ez (kN)!FB = 10.!ex + 30.!ey + 5!ez (kN)!M = 60.!ex " 90.!ey + 150.!ez (kNm)!FC = 5.!ex + 10.!ey " 5.!ez (kN)!FD = "10.!ex + 10.!ey + 20.!ez (kN)

gevraagd: zijn deze systemen equivalent?oplossing:

1. Som van de krachten:

('

!F )1 = !FA + !FB = "5.!ex + 20.!ey + 15.!ez

('

!F )2 = !FC + !FD = "5.!ex + 20.!ey + 15.!ez

2. Som van de momenten rond een willekeurig punt:

('

!MO)1 = 5.!ey % !FB + !M =

&&&&&&&

!ex !ey !ez

0 6 010 30 5

&&&&&&&+ !M

= 90.!ex " 90.!ey + 90.!ez [kNm]

('

!MO)2 =

&&&&&&&

!ex !ey !ez

3 6 3"10 10 20

&&&&&&&= 90.!ex " 90.!ey + 90.!ez

Beide systemen zijn dus equivalent.

4.5.2 Systeem vervangen door equivalente systemen

Indien het er enkel om gaat de totale krachten en momenten inwerkend op eenlichaam te bestuderen, dan kan dikwijls het gegeven geheel van krachten enmomenten vervangen worden door een eenvoudiger, gemakkelijker te bestud-eren stelsel. De verschillende mogelijkheden hierbij zijn:

1. Het herleiden van een systeem tot een kracht en een koppel:

('

!F )1 = ('

!F )2

!F = ('

!F )1

('

!MO)2 = ('

!MO)2

!M = ('

!MO)1

39


Figuur 4.35: Systeem vervangen door een equivalent systeem (2)

2. Het herleiden van een kracht tot een kracht en een koppel:

!F = !FP

!M = !r % !FP

3. Het herleiden van een stelsel snijdende krachten tot een kracht:

!F = !F1 + . . . + !Fn'!MO ' !0

4. Herleiden van een stelsel evenwijdige krachten tot een kracht:

!F = ('

!F )

het aangrijpingspunt wordt bepaald door

!r % !F = ('

!MO)1

met !r de plaatsvector van O tot !F .

Voorbeeld 16

gegeven: zie figuur 4.36.

!FA = 20.!ez (kN)!FB = 30.!ez (kN)!FC = "10.!ez (kN)

40



gevraagd: vervang dit systeem door een equivalent stelsel.oplossing:

!F = !FA + !FB + !FC

= 30.!ez + 20.!ez " 10.!ez (kN)

= 40.!ezkN!MO(!F ) = (

'!MO)1

&&&&&&&

!ex !ey !ez

x y z0 0 40

&&&&&&&=

&&&&&&&

!ex !ey !ez

2 6 00 0 30

&&&&&&&+

&&&&&&&

!ex !ey !ez

"2 "3 00 0 20

&&&&&&&+

&&&&&&&

!ex !ey !ez

4 2 00 0 10

&&&&&&&

# (100" 40.y).!ex + (20 + 40.x).!ey = !0

# y = 2, 5m en x = "0, 5m

4.6 Lichamen

Het gewicht van een lichaam werkt niet slechts vanuit een punt, het isverdeeld over het gehele object. Toch kan je het gewicht van het lichaamvoorstellen door een equivalente kracht werkend in een punt: het zwaartepunt.Verder wordt dit zwaartepunt gedefinieerd en wordt het voor verscheideneobjecten bepaald.

4.6.1 Middelpunten

Om de ’gemiddelde plaats’ van een groep biljartballen (N) te bepalen, danwordt best een coordinatenstelsel x, y gekozen. De gemiddelde positie wordt

41


Figuur 4.37: Gemiddelde plaats, biljartballen

dan als volgt bepaald (zie figuur 4.37):

x =

)i xi

N(4.4)

y =

)i yi

N(4.5)

Indien elke bal van een waarde (ci) wordt voorzien, dan kan de totale waardebekomen door de som van de ci’s te maken. De gemiddelde waarden voor xen y zijn dan:

x =

)i xici

ci(4.6)

y =

)i yici

ci(4.7)

Deze waarden zijn waarde middelpunten of gewogen gemiddelde posities.Indien elke bal een verschillende massa heeft dan wordt hiermee het ”mas-samiddelpunt”:

x =

)i ximi

mi(4.8)

y =

)i yimi

mi(4.9)

Is de massa onderworpen aan een zwaartekrachtveld dan worden de massa’saangetrokken met mi.!g en is er sprake van een zwaartepunt.

4.6.2 Oppervlakken

Verdeel het oppervlak A in delen A1, A2,. . . , AN (figuur 4.38) en ken aanelk oppervlak een coordinatenpaar (x1, y1),. . . , (xN , yN) toe, de gemiddelde

42


Figuur 4.38: Gemiddelde positie van een oppervlak

Figuur 4.39: Gemiddelde positie van een oppervlak, infenitisimale delen

positie van het oppervlak A of het middelpunt door wordt dan gevonden door

x =

)i xiAi

Ai(4.10)

y =

)i yiAi

Ai(4.11)

Om de posities van de oppervlak-delen Ai te kunnen bepalen moeten dezeinfenitisimaal klein verondersteld worden, ( dA, en dan worden de vorigevergelijkingen

x =

*A xdA

dA(4.12)

y =

*A ydA

dA(4.13)

Heeft het oppervlak symmetrie-assen dan ligt het middelpunt op deze as-sen. In de lijn van de voorgaande benamingen wordt zo een middelpunt hetzwaartepunt van dat oppervlak genoemd.

43


Figuur 4.40: Middelpunt van een volume

4.6.3 Volumes

Er geldt voor het middelpunt het volgende (zie figuur ??)

x =

*V xdV

dV(4.14)

y =

*V ydV

dV(4.15)

z =

*V zdV

dV(4.16)

4.6.4 Lijnen, krommen

Hier worden volgende vergelijkingen gebruikt om het middelpunt te bepalen

x =

*L xdL

dL(4.17)

y =

*L ydL

dL(4.18)

z =

*L zdL

dL(4.19)

4.6.5 Massamiddelpunt

Het massamiddelpunt van een voorwerp is het middelpunt van zijn massa.

x =

*m xdm

dm(4.20)

44


y =

*m ydm

dm(4.21)

z =

*m zdm

dm(4.22)

Vooraleer het zwaartepunt van een voorwerp te bepalen, moeten eerst debelangrijkste eigenschap ervan vermeld worden:het gewicht van een voorwerp kan voorgesteld worden dmv. een enkele equiva-lente kracht, aangrijpend in het zwaartepunt van het voorwerp. Het gewichtvan een elementair deeltje is "dm.g.!ez, met g de valversnelling. De totalesommatie levert het gewicht van het object

+

m"g.!ez.dm = "m.g.!ez = "G.!ez

Het moment van een elementair deeltje rond de oorsprong is

(x.!ex + y.!ey + zvecez)% ("dm.g.!ez) = x.g.!ey.dm" y.g.!ex.dm

na integreren+

m(x.g.!ey.dm" y.g.!ex.dm) = m.g.x.!ey "m.g.y.!ex = G.x.!ey "G.y.!ex

Zolang het om de totale kracht en het totale moment gaat, mag er aangenomenworden dat het gewicht in het massamiddelpunt aangrijpt.

4.6.6 Dichtheid

dm = (.dV (4.23)

m =+

mdm =

+

V(.dV (4.24)

Indien het object homogeen is dan geldt

m = (.+

VdV = (.V (4.25)

Soortelijk gewicht:" = g.( (4.26)

Zwaartepunt:

x =

*V (.x.dV

dV(4.27)

y =

*V (.y.dV

dV(4.28)

z =

*V (.z.dV

dV(4.29)

45


Figuur 4.41: Samengestelde oppervlakken

Voor een homogeen object valt het zwaartepunt samen met het middelpunt.

Opmerking: een gebogen homogeen staafje van gelijkmatige sectie, heeft bijbenadering het zwaartepunt in het midden.

4.6.7 Samengestelde objecten

Oppervlakken:

x =

*A x.dA*A dA

=

*A1

x.dA +*A2

x.dA +*A3

x.dA*A1

dA +*A2

dA +*A3

dA

=x1.A1 + x2.A2 + x3.A3

A1 + A2 + A3

=

)i xi.Ai)

i Ai

y =

)i yi.Ai)

i Ai

Volumes:

x =

)i xi.Vi)

i Vi

y =

)i yi.Vi)

i Vi

z =

)i zi.Vi)

i Vi

Krommen:

x =

)i xi.Li)

i Li

46


y =

)i yi.Li)

i Li

z =

)i zi.Li)

i Li

De stellingen van Papinus-Galdinus:

1. A = 2.'.y.L

2. V = 2.'.y.A

Voorbeeld 17

gegeven: de omtrek van een cirkel is 2'R, de oppervlakte van een cirkel is4'R en het volume van een bol bedraagt 4

3'R3.gevraagd: bepaal het zwaartepunt van een halve cirkellijn (1).oplossing:De kromme laten wentelen geeft een boloppervlak, daarbij is L = 'R delengte van de halve cirkellijn en yL de hoogte van het zwaartepunt. Indienwe het zwaartepunt mee laten wentelen met de halve cirkellijn, beschrijft heteen omtrek van 2.'.yL

# boloppervlak : (2.'.yL).L = 2.'2.R.yL

dit moet gelijk zijn aan het bekende 4.'.R2

# yL =4.'.R2

2.'2.R=

2.R

'

47

Hoofdstuk 5

Lichaam in evenwicht

Indien op een lichaam krachten en momenten inwerken, dan moeten dieaan volgende voorwaarden voldoen opdat het lichaam in evenwicht is (ziefiguur 5.1):

1. De som van de krachten erop inwerkend is nul:'

!F = !0 (5.1)

2. De som van de momenten rond een willekeurig punt O is nul:'

!MO = !0 (5.2)

Speciale gevallen:

1. Een lichaam dat enkel onderworpen is aan snijdende krachten en nietaan koppels is in evenwicht als de som van de erop inwerkende krachtennul is, want uit

) !F = !0 volgt dan dat) !MO = !0.

2. Indien een lichaam in evenwicht is, dan is de som van de momentenom een punt van een as nul en bijgevolg ook het moment rond de asnul.

) !MO = !0 impliceert dat voor een wilekeurige as L ook geldt) !ML = !0.

Figuur 5.1: Lichaam in evenwicht

48

5. Lichaam in evenwicht

5.1 Twee dimensionale toepassing

Krachten en momenten door verbindingen op het lichaam uitgeoefend noe-men we reakties. Dit drukt uit dat de verbinding reageert op andere krachtenen koppels die we belastingen op het lichaam noemen. De verbindingenstellen we op een conventionele manier voor.

De scharnier Laat rotatie toe, maar verhindert horizontale of verticalebeweging en bijgevolg elke translatie in het vlak. Een scharnierverbind-ing (figuur 5.2) kan dus geen moment uitoefenen, maar wel een in het vlakwillekeurig gerichte kracht.

Figuur 5.2: De scharnier

De roloplegging Stelt een scharnier voor die op wieltje loopt of over eenvlak glijdt. Ze verhindert alleen beweging loodrecht op het oppervlak waaropze rolt of glijdt. Een roloplegging (figuur 5.3) kan geen moment uitoefenen,noch een kracht evenwijdig met haar glijrichting, wel een kracht loodrechtop het glijvlak.

Figuur 5.3: De roloplegging

De inklemming Stelt een verbinding voor die volkomen in een wandvastzit, dus niet kan verdraaien noch zich verplaatsen. Een inklemming(figuur 5.4) kan dus een moment opnemen en een willekeurig in het vlakgerichte kracht.Met behulp van de types van verbindingen krijgen we informatie over de aarden de richting van de krachtwerkingen door de verbindingen uitgeoefend.

In twee dimensies komt het bepalen van de evenwichtstoestand neer op het

49


Figuur 5.4: De inklemming


uitwerken van volgende drie scalaire vergelijkingen (dit is de scalaire vormvan vergelijkingen 5.1 en 5.2 voor een tweedimensionele omgeving):

'Fx = 0 (5.3)

'Fy = 0 (5.4)

'MO = 0 (5.5)

met O een willekeurig punt. Dit zijn drie onafhankelijke vergelijkingen. Erkunnen bijgevolg maximaal drie onbekende krachten of koppels berekendworden.

Voorbeeld 18

gegeven: een balk verbonden meteen scharnier en een roloplegging en on-derworpen aan een verticaal gerichte kracht (2 kN) (figuur 5.5). gevraagd:bereken de reactiekrachten.oplossing:

1. Teken het vrijgemaakte lichaam met de gepaste vertaling van de ver-bindingen. In A een horizontale en verticale reaktie, in B een krachtloodrecht op het glijvlak.

2. Pas de evenwichtsvergelijkingen toe:

50


Figuur 5.6: Voorbeeld 18, vrijgemaakt lichaam

'Fx = RAx "RB.sin

'

6= 0

'Fy = RAy " 2kN + RB.cos

'

6'

MA = "3m.2kN + 5m.RB.cos'

6

#

!"#

"$

RAx = 0, 69kNRAy = 0, 80kNRB = 1, 39kN

Opmerking: Indien bijvoorbeeld RAy in het vrijgemaakte lichaam naar bene-den was gekozen, dan zou de uitkomst RAy = "0, 80kN zijn geweest en danzou de voorgestelde oplossing nog steeds dezelfde zijn geweest.

Statisch onbepaalde systemen

Wanneer een object zodanig verbonden is dat er meer onbekende verbindings-krachten ontstaan dan er onafhankelijke evenwichtsvergelijkingen zijn, danwordt dit een statisch onbepaald systeem genoemd. In figuur 5.7 zijn er zodrie vergelijkingen en vier onbekenden. Een momentenvergelijking rond eenander punt levert geen bijkomende vergelijking op vermits deze een lineairecombinatie van de reeds bestaande vergelijkingen zal zijn.Het verschil tussen het aantal onbekenden en het aantal vergelijkingen noemt

Figuur 5.7: Statisch onbepaalde systemen

51


Figuur 5.8: Onvoldoende ondersteund systeem, eerste manier

Figuur 5.9: Onvoldoende ondersteund systeem, tweede manier

men de graad van statische onbepaaldheid. Het systeem van figuur ?? iseenvoudig onbepaald.

Onvoldoende ondersteunde systemen

Een object is onvoldoende ondersteund is wanneer het niet in evenwicht blijftonder de erop inwerkende krachten. Het object zal zich dus in bewegingzetten wanneer de lasten erop aangebracht worden. Bij tweedimensionelesystemen gebeurt dit op twee mogelijke wijzen:

1. De verbindingen zijn alleen maar in staat om evenwijdige krachten uitte oefenen (figuur 5.8). Hierdoor kan het object vrij bewegen haaks opdeze krachten.

2. De verbindingen zijn slechts in staat om snijdende reaktiekrachten uitte oefenen (figuur 5.9). Als de lasten op het object een moment ronddit snijpunt uitoefenen, blijft het object niet in evenwicht.

In figuren 5.10-5.12 zijn de systemen (a) en (b) onvoldoende ondersteund,systeem (c) is daarentegen wel voldoende ondersteund.

5.2 Wrijving

Wanneer twee materiaaloppervlakken over elkaar glijden dan is er in het ’kon-taktoppervlak’ een zekere weerstand voelbaar tegenover dit glijden. Indien

52


Figuur 5.10: Onvoldoende ondersteund systeem,voorbeeld (a)

Figuur 5.11: Onvoldoende ondersteund sys-teem,voorbeeld (b)

Figuur 5.12: Onvoldoende ondersteund systeem,voorbeeld (c)

53


Figuur 5.13: Voorstelling van de wrijvingskracht

de bedoelde oppervlakken in rust zijn tov. elkaar dan moet er, om ze tegen-over elkaar in beweging te brengen tijdens hun kontakt, een zekere krachtoverwonnen worden. De grootte van de kracht is afhankelijk van de ruwheidvan beide oppervlakken. Hoe ruwer de oppervlakken hoe groter de krachtdie moet overwonnen worden om de oppervlakken in beweging te krijgen.Daarnaast is het ook mogelijk dat de in kontakt zijnde oppervlakken eenchemische of fysische (ver)binding aangaan. Indien dit het geval is, moeteen extra kracht (bovenop de ’gewone wrijving’ tgv. oppervlakteruwheden)geleverd worden om de oppervlakken over elkaar te bewegen.De theorie van de droge wrijving of wrijving volgens Coulomb, voorspelt demaximale wrijvingskrachten die droge, in kontakt zijnde oppervlakken opelkaar kunnen uitoefenen. In figuur 5.13 is een boek liggend op een tafelvoorgesteld. Wordt er tegen het boek met een kracht F geduwd, dan kanhet evenwicht ervan uitgedrukt worden door het vrijgemaakte lichaam voorte stellen.

G stelt het gewicht van het boek voor, N is de verticale component vande reaktie van de tafel op het boek. De maximale wrijvingkracht die kanontstaan wordt gegeven door

W = µS.N (5.6)

met µS de statische wrijvingscoe!cient. µS is voor een aantal kontaktenproefondervindelijk bepaald. Er is nog een belangrijk begrip bij het fenomeenwrijving dat nog niet werd aangekaart, met name de wrijvingshoek. Dit isde hoek die de steilste helling waaronder het object in rust blijft onder zijneigen gewicht.

Voorbeeld 19

gegeven: op een kist wordt een horizontale kracht uitgeoefend. De kist weegt800 N, de statische wrijvingscoe!cient tussen de kist en het hellend vlakbedraagt 0,4 (zie ook figuur 5.14).gevraagd: bepaal de wrijvingskracht als de kabel een horizontale kracht van

54


Oppervlak 1 Oppervlak 2 µs

metaal metaal 0,15-0,20metselwerk metselwerk 0,60-0,70

hout hout 0,25-0,50metaal metselwerk 0,30-0,70metaal hout 0,20-0,60rubber beton O,50-0,90

Tabel 5.1: Wrijvingscoe!cienten van verschillende systemen.


400 N uitoefent. Wat is de grootste kracht die de kabel mag leveren zonderdat de kist de helling opglijdt?oplossing:

1. Maak de kist vrij, kies een assenstelsel en druk het evenwicht langs dex-as uit.

'Fx = W + T.cos20 # "G.sin20 # = 0

# W = "Y.cos20 # + G.sin #

Figuur 5.15: Voorbeeld 18, deel 1

55


Figuur 5.16: Voorbeeld 18, deel 2

Figuur 5.17: Voorbeeld 18, alternatieve oplossing

# W = "102, 3N

2. Kies een handig assenstelsel en druk het evenwicht erin uit.'

Fx = T "N.sin20 # " µN.cos20 # = 0'

Fy = N.cos20 # " muN.sin20 # "G = 0

#(

N = 996, 4NT = 715, 3N

Alternatieve oplossing voor deel 2: gebruik de totale reaktie R en & = bgtanµ:

T = R.sin(& + 20 #)

G = R.cos(& + 20 # #)

# T = G.tan(& + 20 #)

= 800.tan(21, 8 # + 20 #)

= 715, 3N

56



Voorbeeld 20

gegeven: men duwt met een kracht F tegen een kast met een gewicht G, ziefiguur 5.18. gevraagd: bepaal de hoogte h, waarop je mag duwen opdat dekast wegglijdt en niet kantelt, als functie van de wrijvingscoe!cient.oplossing:Op het ogenblik dat de kast gaat kantelen is er geen reactiekracht meer in

het punt B. Maak de kast vrij op dat specifieke ogenblik.

'MA = F.h"G.

b

2= 0 (1)

'Fx = W " F = 0 # F = W = µ.N = µ.G (2)

'Fy = N "G = 0 # N = G (3)

(2)in(1) # µ.G.h"G.b

2= 0

# h =b

2µ

Bij deze h begint de kast en te glijden en te kantelen, is h groter, dan zal dekast kantelen, is h kleiner dan zal de kast glijden.

5.3 Drie-dimensionele toepassing

Bol- of kogelscharnier Het object kan rond dit punt vrij roteren, maarzich in geen enkele richting verplaatsen (zie figuur 5.20). Deze verbinding oe-

57



58


fent dus een willekeurig ruimtelijke kracht uit of kan drie krachtcomponentenuitoefenen.

Figuur 5.20: Het bolscharnier

Rol- of glijoplegging Dit is een verbinding zoals hierboven die daaren-boven vrij kan rollen op een ondersteunend vlak (zie figuur 5.21). Dezeverbinding kan slechts een kracht uitoefenen loodrecht op het rol- of glijvlak.

Figuur 5.21: De glijoplegging

(Lijn-)scharnier Is een verbinding die vrij draaien om een as toelaat enanders niets. Deze verbinding kan dus krachten in elke richting opnemenen momenten in twee loodrechte richtingen op de as opnemen. Soms wordtdeze scharnier geacht geen momenten te kunnen opnemen of krachten langsde as (zie figuur 5.22). Vaak wordt de lijnscharnier ’ geleidende verbinding’genoemd.

Ruimtlijke inklemming Geen enkele ruimtelijke beweging kan gebeuren(zie figuur ??). Krachten en momenten worden opgenomen door de verbind-ing in drie richtingen. In drie dimensies komt het bepalen van de evenwicht-stoestand neer op het uitwerken van volgende zes scalaire vergelijkingen (dit

59


Figuur 5.22: Het lijnscharnier

Figuur 5.23: De ruimtelijke inklemming

is de scalaire vorm van vergelijkingen 5.1 en 5.2 voor een driedimensioneleomgeving):

'Fx = 0 (5.7)

'Fy = 0 (5.8)

'Fz = 0 (5.9)

'Mx = 0 (5.10)

'My = 0 (5.11)

'Mz = 0 (5.12)

met O een willekeurig punt. Dit zijn zes onafhankelijke vergelijkingen. Erkunnen bijgevolg maximaal zes onbekende krachten of koppels berekend wor-den.

Voorbeeld 21

gegeven: de staaf AB is opgehangen met kabels BC (// met de x-as) enBD (// met de y-as) en zit in in A verbonden met een bolscharnier. Hetgewicht van de staaf (0,2 kN) werkt in het midden van de staaf (figuur 5.24).

60




gevraagd: welke krachten werken in de kabels? Wat is de reaktie in punt A?oplossing:Probeer een vrijgemaakt lichaam van de staaf AB, waarin de ondersteun-ing in A optreedt en de twee kabelkrachten optreden, te vinden. Pas hiervervolgens de evenwichtsvergelijkingen op toe.

'Fx = RAx " TBC

'Fy = RAy " TBD

'Fz = RAz " 0, 2 = 0

'Mx = TBD.0, 6" 0, 2.0, 5

'My = 0, 2.0, 2" TBC .0, 6

'Mz = 1, 0.TBC " 0, 4.TBD

61


#

!"#

"$

TBD = 0, 167kN = RAx

TBC = 0, 067kN = RAy

RAz = 0, 2kN

De momenten kunnen ook met de vectoriele vergelijking gevonden worden,het is dan best om de som van de momenten rond A te nemen.

5.4 Krachtenparen en -driehoeken in kracht-ensystemen

5.4.1 Krachtenparen

Indien het krachtenstelsel op een lichaam inwerkend gelijkwaardig is mettwee krachten op verschillende punten aangrijpend, kan het volgende gezegdworden:

Als het lichaam in evenwicht is, moet gelden dat !F $ = "!F .Dus vormen ze een koppel indien hun werkingslijn niet samenvalt.

Besluit: een stelsel van twee krachten is slechts in evenwicht als de krachteneven groot zijn, tegengesteld van zin en dezelfde werkingslijn hebben. Ditheet dan een krachtenpaar.Bij de voorbeelden is steeds het gewicht van het voorwerp verwaarloosd.

5.4.2 Krachtendriehoek

Indien een object in evenwicht is onder een stelsel met drie krachten, op drieverschillende punten aangrijpend, dan liggen deze drie krachten in een vlaken zijn ze ofwel evenwijdig ofwel concurrent.

62

krachten en structurele systemen i (2009-2010)

Documents