Kontrol Sistemleri

Frekans Ortamında Karalılık

BMGS sistemin sinusoydal girdiye cevabı

Frekans davranışıDoğrusal sistemlerde frekans cevabı (davranışı), sistemin harmonik girdi

uygulandığı durumdaki düzenli rejim cevabı olarak tanımlanmaktadır.

)tsin()(Fx)t(x

)tsin(x)t(x

a

e

0

0

Frekans Transfer Fonksiyonu

Frekans Transfer Fonksiyonu (F.T.F.), harmonik girdi uygulanan

doğrusal sistemin çıktısının girdisine oranı şeklinde tanımlanır.FTF

Frekanssistem transfer fonksiyonunda 's' yerine 'jw' koyarak

sistemin frekans transfer fonksiyonu elde edilir

)(

)(

)(

)()(

wtj

e

wtj

a

e

a

eX

eX

jwX

jwXjwFFTF

φ

ImF(jw)

ReF(jw)

F(jw)

sincos.)(Im)(Re)( jFFjwFjwFjwF

)(Re

)(Imtan

)(Re

)(Imtan 1

jwF

jwF

jwF

jwF

22

ImRe)()( FFjwFwF

jj

e

a ewFeX

XjwF )()(

Frekans Davranışının Grafiksel İncelenmesi

:

Sistemlerin frekans davranışı derken kastedilen, sistemin tek

bir frekansa bağlı olarak girdi çıktı ilşkisinin bulunması değil

tersine sistemin çıktı fonksiyonunun geniş bir frekans

aralığında incelenmesidir.

Bu hedefe yönelik karmaşık sayıların farklı gösterimlerine

uygun olarak grafiksel methodlar geliştirilmiştir.

• Yer Eğrileri

• Bode Diyagramları

Yer Eğrileri ile Analiz

• Verilen G(s) transfer fonksiyonundan FTF’na geçilir (s=jw)

• Frekans Transfer Fonksiyonu

• şeklinde düzenlenir.

• Apsisi reel eksen, ordinatı imajiner eksen olan bir eksen

takımı seçilir.

• Sıfırdan başlayıp artan frekanslarda FTF’nun reel ve imajiner

kısmı bulunarak grafikte gösterimi yapılır.

)jw(FIm)jw(FRe)jw(F

Frekans (rad/s) ReF(jw) ImF(jw)

0 1 0

1 … …

… … …

wn 0 -0,5

… … …

∞ 0 0

Bode Diyagramları

Yer eğrilerinden farklı olarak Bode diyagramlarında frekansa

bağlı değişen genlik ve faz açısı değerleri iki ayrı

diyagramda gösterilir.

Grafikler çizilirken logaritmik skala kullanılır. Böylelikler geniş

bir aralıktaki frekans değişimlerine karşılık gelen genlikler ve

faz açıları grafikten kolaylıkla okunabilir.

Bode Diyagramları çizilirken sırasıyla şu adımlar izlenir:

• Verilen G(s) transfer fonksiyonundan FTF’na geçilir (s=jw)

• Verilen frekans aralığı için FTF’nun genliği hesaplanır ve

logaritması alınır.

• Verilen frekans aralığı için FTF’nun faz açısı hesaplanır ve

logaritması alınır.

Bode Diyagramları

Bode diyagramları

Bode Diyagramları: (Özellikleri)

• Geniş bir sahada değişen frekans ve genlikleri bir eksen

takımında göstermeye olanak sağlar.

• Bode diyagramlarında, logaritmik genliğin standart gösterimi

şeklindedir.

• Doğrusal sistemlerin açık devre çözümlemelerinde sistemin

parçası olan her bir bloğun Bode diyagramı çizilir ve daha

sonra bunların süper pozisyonundan oluşan toplam sistemin

Bode diyagramı elde edilir. Böylelikle çarpım şeklindeki

ifadeler logaritmik skalada toplamlara dönüşür.

2010)(log201 wGdB

Bode Diyagramları

F1(w) F2(w) F3(w) Fn(w)Xe Xa

)(........)()()()(

)(.........)()()(

21

21

wFwFwFwFjwF

jwFjwFjwFX

XjwF

n

n

e

a

)(........)()(log)(log 21 wFwFwFwF n

)(log.........)(log)(log)(log 21 wFwFwFwF n

)...(

21

21

21

111

)(........)()()(

)(.........)()()(

newFwFwFewF

ewFewFewFX

XjwF

n

n

e

a

)...( 21 nee n .....21

BMGS Frekans Davranışının İncelenmesi

(t) x(t)=K(t)+xxT epaa

1sT

K

)s(x

)s(x)s(G

p

e

a

2

ppp

e

a

)Tw(1

)Twj1.(K

Twj1

K)wjs(G

1sT

K

)s(x

)s(x)s(G

2

p

2

p

)Tw(1

TwK.j

)Tw(1

K)wjs(G

2

p

)Tw(1

K)jw(G)w(F

Twtan

)jw(GRe

)jw(İmGtan 11

)wtsin()w(Fx)t(x eadr

BMGS-Frekans Davranışı Yer Eğrisi

2

p

2

p

)Tw(1

TwK.j

)Tw(1

K)wjs(G

BMGS-Frekans Davranışı BODE

2

p

)Tw(1

K)jw(G)w(F

Twtan

)jw(GRe

)jw(İmGtan 11

İMGS Frekans Davranışının İncelenmesi

2

n

2

2

n

)w

w..2()

w

w(1

1)jw(G)w(F

2

n

n11

)w

w(1

w

w..2

tan)jw(GRe

)jw(İmGtan

)wtsin()w(Fx)t(x eadr

2

n

n2

2

n

s2s)s(G

2

n

2

2

n

n

2

n

2

n

n2

2

n

)w

w..2()

w

w(1

iw

w..2)

w

w(1

s2s)s(G

İMGS-Frekans Davranışı Yer Eğrisi

2

2

22

2

2

2

21

2

21

1

)w

w..()

w

w(

w

w..

i

)w

w..()

w

w(

)w

w(

)iw(F

nn

n

nn

n

İMGS-Frekans Davranışı BODE

2

p

)Tw(1

K)jw(G)w(F

Twtan)jw(GRe

)jw(İmGtan 11

Nyquist Stabilite Kriteri

Açık Devre Transfer Fonksiyonu

kapalı bir devrenin sinyal hatları herhangi bir yerinden

şekildeki gibi kesilip geri besleme etkisi ortadan kaldırılırsa

devre “Açık Devre” haline gelmiş olur.

Bu durunda devrenin açıldığı noktadan devreye girilen Xe

sinyali girdi,yine devreyi dolaşarak bu noktadan çıkan Xa

sinyali de çıktı olarak alınarak yazılan Transfer Fonksiyonu

“Açık devre Transfer Fonksiyonu” olarak tanımlanır.

)s(H)s(G

)s(G)s(GC

1

)s(H)s(G)s(GO

Nyquist Stabilite Kriteri

1+GH Çizimi GH Çizimi

KTF paydasının (1+Go)= 0 olması durumunda girdi ne olursa olsun, genlik

sonsuza gider, yani devrenin stabilitesi bozulur.

Bu durum ise Go(s=jw)=Go.ej.w.t kompleks fonksiyonunun Go(s=jw)=Go.e

j = -1

değerini alması ,yani mutlak genliğin Go=1 ve faz açısının = -180 olması halinde

gerçekleşir.

Nyquist Stabilite Kriteri

Açık devrenin Go(jw) TF nun kompleks düzlemde çizilen yer eğrisinin, fazı -

180o ye mutlak genliğin de Go=1 e ulaştığı negatif reel eksenle kesiştiği

(-1,0) noktası , açık devre NYQUİST stabilite kriterinin temelini oluşturur.

Nyquist Kriterine göre, Go(jw) eğrisi, w=0 dan başlayarak artan frekanslar

yönünde (-1,0) noktası yakınından geçerken bu noktayı soluna alıp

geçiyorsa sistem stabildir; sağına alıp geçiyorsa instabildir; eğer eğri (-

1,0) noktasından geçiyorsa sistem stabilite sınırındadır.

Nyquist Stabilite Kriteri