КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП

I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

nIKOLAJ wAWILOW

Typeset by AMS-TEX1

2 ИНТРОДУКЦИЯ

За пределами пассивного наслаждения мы открываем музыку, заставляющуюнас активно участвовать в операциях ума, который UPORQDO^IWAET, OVIWLQETI TWORIT. iSKUSSTWO, собственно говоря, — \TO SPOSOB SOZDANIQ PROIZ-WEDENIJ S POMO]X@ NEKOTORYH METODOW, LIBO POLU^ENNYH W REZULXTATEOBU^ENIQ, LIBO WYDUMANNYH. Эти методы являются STROGIMI I OPREDELENNY-MI PUTQMI, обеспечивающими правильность наших операций. Если взять в этойобласти в качестве гида лишь разум, он приведет нас прямо ко лжи, так как разумв данном случае не освящен инстинктом. Инстинкт же непогрешим. Если он насобманывает, то это уже не инстинкт. Во всяком случае, в таких вещах VIWAQILL@ZIQ GORAZDO CENNEE, ^EM MERTWAQ REALXNOSTX.

Игорь Стравинский. [1]

По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто фор-мулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с помощью измерений получаемчисла и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинное WELI^IENAUKI SOSTOIT W TOM, ^TO MY MOVEM NAJTI TAKOJ SPOSOB RASSUVDENIQ,PRI KOTOROM ZAKON STANOWITSQ O^EWIDNYM.

Ричард Фейнман. [2]

То, что наблюдатель, куда бы он ни шел, переносит с собой центр проходимойим местности, — это довольно банальное и, можно сказать, независимое от негоявление. Но что происходит с прогуливающимся человеком, если он случайно по-падает в естественно выгодную точку (пересечение дорог или долин), откуда нетолько взгляды, но и сами вещи расходятся в разные стороны? Тогда SUB_EK-TIWNAQ TO^KA ZRENIQ SOWPADAET S OB_EKTIWNYM RASPOLOVENIEM WE]EJ, ивосприятие обретает всю свою полноту. Местность расшифровывается и озаряет-ся. ~ELOWEK WIDIT.

Пьер Тейяр де Шарден. [3]

Одни вещи хороши в каких-то определенных целях, другие — сами по себе, атретьи — и сами по себе, и для чего-то еще. Природа хитроумно устроила так,что большинство полезных вещей вызывают у нас субъективное чувство приятно-сти. И это касается не только питания и размножения, но и познания. Открытие вобласти фундаментальных исследований, например, доставляет радость вне зави-симости от его возможного практического применения. Но L@BOE приобретенноетаким образом ZNANIE RANO ILI POZDNO STANOWITSQ POLEZNYM тем, что уве-личивает нашу власть над Природой.

Ганс Селье. [4]

Приобретение человеком знаний включает в себя три науки. Первая — этонаука обычного знания, вторая — наука необычных духовных состояний, часто

ИНТРОДУКЦИЯ 3

называемых экстазом, и, наконец, третья и наиболее важная наука — наука ис-тинной реальности: наука, занимающаяся изучением того, что неизмеримо вышепредметов изучения первых двух наук.

tOLXKO REALXNOE WNUTRENNEE ZNANIE SOSTAWLQET ZNANIE NAUKI ISTIN-NOJ REALXNOSTI. Первые же две науки лишь отражают, каждая по-своему, тре-тью науку. Они почти бесполезны без нее.Представим себе кучера. Он сидит на козлах экипажа и управляет лошадью,

которая тянет за собой экипаж. Экипаж — это интеллект, высшая форма, в пре-делах которой мы находимся, когда сознаем свое существование и решаем, чтонам делать. Экипаж дает возможность лошади и ездоку действовать. Это то, чтомы называем TA[KIL, внешняя оболочка или формулировка. Лошадь, являющая-ся движущей силой, символизирует энергию, называемую иногда \MOCIONALXNYMSOSTOQNIEM, а иногда как-нибудь по-другому. Она необходима, чтобы привестив движение экипаж. Человек, в нашей схеме, есть тот, кто воспринимает наи-лучшим образом цель и возможности ситуации и направляет экипаж в заданномнаправлении.Каждый из этих трех элементов, взятый в отдельности, способен выполнять

свои функции, причем достаточно правильно. Но общая функция, которую мыназываем движением экипажа к цели, не может осуществляться до тех пор, покадействия трех элементов не будут согласованы PRAWILXNYM OBRAZOM\.

Идрис Шах. sKAZKI DERWI[EJ

Пишущий стихотворение, однако, пишет его не потому, что он рассчитываетна посмертную славу, хотя он часто и надеется, что стихотворение его пережи-вет, пусть не надолго. Пишущий стихотворение пишет его потому, что язык емуподсказывает или просто диктует следующую строчку. Начиная стихотворение,поэт, как правило, не знает, чем оно кончится, и порой оказывается очень удив-лен тем, что получилось, ибо часто получается лучше, чем он предполагал, частомысль его заходит дальше, чем он рассчитывал. Это и есть тот момент, когдабудущее языка вмешивается в его настоящее. sU]ESTWU@T, как мы знаем, TRIMETODA POZNANIQ: ANALITI^ESKIJ, INTUITIWNYJ I метод, которым пользо-вались библейские пророки — POSREDSTWOM OTKROWENIQ. Отличие поэзии отпрочих форм литературы в том, что она пользуется сразу всеми тремя (тяготеяпреимущественно ко второму и третьему), ибо WSE TRI DANY W QZYKE; и порой спомощью одного слова, одной рифмы пишущему стихотворение удается оказатьсятам, где до него никто не бывал, — и дальше, может быть, чем он сам бы же-лал. Пишущий стихотворение пишет его прежде всего потому, что стихотворение— колоссальный ускоритель сознания, мышления, мироощущения. Испытав этоускорение единожды, человек уже не в состоянии отказаться от повторения этогоопыта.

Иосиф Бродский

\Идрис Шах дает следующий комментарий: “этот открывок записан в дервиш-ском манускрипте на персидском языке. Различные варианты его найдены в такихгеографически удаленных друг от друга школах, как дамасская и делийская”.

4 ИНТРОДУКЦИЯ

oGLAWLENIE

. . . написать задачник, развивающий попутно с навыками счета,моральное чувство и чувство исторической перспективы.

Венедикт Ерофеев. iZ ZAPISNYH KNIVEK

iNTRODUKCIQ

§ 1 ♦. Фактический план: контент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13§ 2 ♦. Мистический план: was sind und was sollen die Gruppen 16§ 3 z. Мистический план: пригоршня философем

с оргвыводами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19§ 4 ♦. Практический план: для всех и ни для кого . . . . . . . . . . . . 25§ 5 ♦. Технический план: кулинарный путеводитель . . . . . . . . . 29§ 6 ♥. Мистический план: о математике и ее изучении . . . . . . . 33§ 7 ♣. Мистический план в фактических аспектах:

доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36§ 8 ♣. Мистический план: текст, контекст и гипертекст . . . . . . 39§ 9 ♦. Практический план: пререквизиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41§ 10 ♦. Технический план: computers and typesetting . . . . . . . . . 43§ 11 ♠. Мистический план в фактических и технических аспектах:

Невский диалект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46§ 12 ♠. Практический план: генезис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51§ 13 ♦. Астральный план: smile of smiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

rAZDEL I. oSNOWY TEORII

gLAWA 1. gRUPPY

§ 1 ♦. Определение группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60§ 2 ♠. Сколько операций в группе? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64§ 3 ♦. Первые примеры абелевых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68§ 4 ♦. Первые примеры неабелевых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70§ 5 ♦. Простейшие конструкции над группами . . . . . . . . . . . . . . . . 74§ 6 ♦. Образующие и соотношения: первый приступ . . . . . . . . . . 77§ 7 ♥. Группы порядков < 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87§ 8 ♥. Графы Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95§ 9 ♦. Группы симметрий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97§ 10 ♥. Конечные группы симметрий сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . 102§ 11 ♥. De divina proportione: икосианы,

{3, 3, 5} и {5, 3, 3}, W (H4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109§ 12 ♥. Группы автоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115§ 13 ♦. Группы матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

ОГЛАВЛЕНИЕ 5

§ 14 ♥. Группы движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124§ 17 ♦. Групповые кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129§ 15 z. Группы в алгебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134§ 16 z. Группы в топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142§ 18 z. Группы с дополнительными структурами,

1st instalment: топологические группы . . . . . . . . . . . . . . . . 146§ 19 z. Группы с дополнительными структурами,

2nd instalment: группы Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152§ 20 z. Группы с дополнительными структурами,

3rd instalment: алгебраические группы . . . . . . . . . . . . . . . . 156§ 21 ♠. Квазигруппы и латинские квадраты . . . . . . . . . . . . . . . . . 162§ 22 ♠. Инверсные полугруппы, группоиды, гипергруппы . . . 165

gLAWA 2. pODGRUPPY I SMEVNYE KLASSY

§ 1 ♦. Подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169§ 2 ♦. Первые примеры подгрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171§ 3 ♦. Централизатор элемента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173§ 4 ♦. Централизаторы, нормализаторы, соизмерители . . . . . . 174§ 5 ♦. Порядок элемента и экспонента группы . . . . . . . . . . . . . . . 175§ 6 ♦. Подгруппа, порожденная подмножеством . . . . . . . . . . . . . . 178§ 7 ♦. Produktformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179§ 8 ♦. Пересечение и порождение подгрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180§ 9 ♥. Решетка подгрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183§ 10 ♥. Максимальные подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185§ 11 ♠. Подгруппа Фраттини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188§ 12 ♦. Циклические группы и их подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . 190§ 13 ♦. Системы образующих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193§ 14 ♠. Условия минимальности и максимальности . . . . . . . . . . 196§ 15 ♠. Длина и приведенные разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200§ 16 ♦. Смежные классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202§ 17 ♦. Индекс, системы представителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205§ 18 ♦. Теорема Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209§ 19 ♥. Теорема Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213§ 20 ♠. Виртуальные группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216§ 21 ♦. Двойные смежные классы, Indexformel . . . . . . . . . . . . . . . 217§ 22 ♦. Пересечения левых и правых смежных классов . . . . . . 220§ 23 ♥. Алгебра Гекке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

gLAWA 3. nORMALXNYE DELITELI I FAKTOR-GRUPPY

§ 1 ♦. Нормальные подгруппы, простые группы . . . . . . . . . . . . . 225

6 ИНТРОДУКЦИЯ

§ 2 ♦. Первые примеры нормальных подгрупп . . . . . . . . . . . . . . . 228§ 3 ♦. Не каждая подгруппа нормальна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232§ 4 ♦. Классы сопряженных элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234§ 5 ♥. Классы сопряженных элементов в конечных группах . 237§ 6 ♦. Klassengleichung, ♣ теорема Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239§ 7 ♠. Алгебра классов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241§ 8 ♦. Сопряженность и нормальные подгруппы . . . . . . . . . . . . . 243§ 9 ♦. Порождение нормальных подгрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247§ 10 ♥. Субнормальные подгруппы, ♣ теорема Виландта . . . . 249§ 11 ♦. Фактор-группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251§ 12 ♦. Первые примеры фактор-групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254§ 13 ♦. Теоремы о соответствии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256§ 14 ♠. Counting argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257§ 15 ♥. Примеры нормальных подгрупп и фактор-групп

в линейных группах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258§ 16 ♠. Бинарные группы многогранников,

1st instalment: группа T ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261§ 17 ♠. Бинарные группы многогранников,

2nd instalment: группа O? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263§ 18 ♠. Бинарные группы многогранников,

3rd instalment: группа I? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264§ 19 ♠. Вычисления с кватернионами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267§ 20 ♠. Группы гомологий дифференциальных групп . . . . . . . . 269

gLAWA 4. gOMOMORFIZMY GRUPP

§ 1 ♦. Гомоморизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270§ 2 ♦. Первые примеры гомоморизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275§ 3 ♦. Гомоморфизмы, связанные со структурой группы . . . . . 277§ 4 ♦. Образ и ядро гомоморфизма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280§ 5 ♦. Теорема о гомоморфизме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282§ 6 ♦. Теоремы об изоморфизме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284§ 7 ♠. Категория групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287§ 8 ♠. Характеристические и вполне характеристические

подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290§ 9 ♠. Характеристически простые группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293§ 10 ♣. Хопфовость и отмеченные подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . 294§ 11 ♥. Группы автоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295§ 12 ♥. Строение групп автоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298§ 13 ♥. Суммируемые эндоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299§ 14 ♥. Нормальные и центральные эндоморфизмы . . . . . . . . . . 301

ОГЛАВЛЕНИЕ 7

§ 15 ♥. Сюръективность = инъективность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303§ 16 ♠. Группа автоморфизмов неабелевой простой группы . . 305§ 17 ♦. Матричные гомоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307§ 18 ♥. Линейные представления, 1st instalment: язык матриц 310§ 19 ♥. Линейные представления,

2nd instalment: разложимость и приводимость . . . . . . . . 313§ 20 ♠. Линейные представления,

3rd installment: язык модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315§ 21 ♥. Линейные представления,

4th installment: представления конечных групп . . . . . . . 318§ 22 ♠. Эндоморфизмы аддитивной группы поля . . . . . . . . . . . . 322§ 23 ♣. Линейные представления,

5th installment: рациональные представления . . . . . . . . . 324§ 24 ♦. Ряды подгрупп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327§ 25 ♠. Лемма Цассенхауза о бабочке и

Verfeinerungssatz Шрайера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330§ 26 ♠. Теорема Жордана—Гельдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

rAZDEL II. dEJSTWIQ GRUPP

gLAWA 5. sIMMETRI^ESKAQ GRUPPA

§ 1 ♦. Перестановки, симметрическая группа . . . . . . . . . . . . . . . . 338§ 2 ♦. Циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342§ 3 ♥. Большая се[к]стина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344§ 4 ♦. Разложение перестановки на независимые циклы . . . . . 346§ 5 ♠. Количество перестановок степени n с m циклами . . . . . 348§ 6 ♦. Классы сопряженности Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352§ 7 ♣. Наибольший порядок элемента Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354§ 8 ♦. Порождение Sn фундаментальными транспозициями . 359§ 9 ♦. Знак перестановки, 1st instalment: декремент . . . . . . . . . 361§ 10 ♦. Знакопеременная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362§ 11 ♦. Знак перестановки, 2nd instalment: транспозиции . . . . 364§ 12 ♦. Знак перестановки, 3rd instalment: инверсии . . . . . . . . . 366§ 13 ♦. Знак перестановки, 4th instalment: определитель . . . . . 369§ 14 ♥. Игра в 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370§ 15 ♦. Транзитивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373§ 16 ♥. Кратная транзитивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375§ 17 ♣. Системы Штейнера и группы Матье . . . . . . . . . . . . . . . . . 377§ 18 ♣. Игра в 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379§ 19 ♠. Примитивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

8 ИНТРОДУКЦИЯ

§ 20 ♠. Теорема Галуа о простоте An, n ≥ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 382§ 21 ♠. Автоморфизмы Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384§ 22 ♠. Mathematica перестановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

gLAWA 6. dEJSTWIQ GRUPP

§ 1 ♦. Действие группы на множестве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389§ 2 ♥. Эквивариантные отображения,

♠ категория G-множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391§ 3 ♦. Естественное действие Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391§ 4 ♠. Категория групп перестановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393§ 5 ♦. Естественное действие GL(n, K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393§ 6 ♦. Действие группы на себе трансляциями . . . . . . . . . . . . . . . 396§ 7 ♦. Теорема Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394§ 8 ♠. Голоморф . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397§ 9 ♥. Действие на смежных классах,

♠ обобщенная теорема Кэли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397§ 10 ♦. Действие группы на себе сопряжениями . . . . . . . . . . . . . 399§ 11 ♦. Орбиты и стабилизаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400§ 12 ♥. Главные однородные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401§ 13 ♥. Классификация однородных пространств . . . . . . . . . . . . 403§ 13 ♠. Бернсайдовское кольцо конечной группы . . . . . . . . . . . . . 403§ 14 ♠. Лемма Бернсайда, раскраски куба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403§ 15 ♠. Основные конструкции над G-множествами . . . . . . . . . . 407§ 16 ♠. Произведение, копроизведение и

расслоенное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408§ 17 ♠. Действие на отображениях G-множеств . . . . . . . . . . . . . . 409§ 18 ♥. Несколько замечательных действий,

возникающих в геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411§ 19 ♣. Два замечательных действия S3 и S6 . . . . . . . . . . . . . . . . 411§ 20 ♥. Каскады и потоки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

Hors-d’oeuvres

aPPENDIKS 1: Set[’]s cradle

§ 1 ♦. Логические символы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414§ 2 ♦. Элементы и подмножества, булевы операции . . . . . . . . . . 415§ 3 ♦. Коллективизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416§ 4 ♦. Группировка и скобки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418§ 5 ♦. Произведение и копроизведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420§ 6 ♦. Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

ОГЛАВЛЕНИЕ 9

§ 7 ♦. Сюръекции, инъекции, биекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422§ 8 ♦. Композиция отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423§ 9 ♦. Отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425§ 10 ♦. Отношения эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425§ 11 ♦. Отношения порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427§ 12 ♦. Алгебраические операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428§ 13 ♦. Мощность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430§ 14 ♦. Аксиома выбора и лемма Куратовского—Цорна . . . . . 430

aPPENDIKS 2. aBELEWY GRUPPY

§ 1 ♦. Линейная независимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433§ 2 ♦. Свободные абелевы группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434§ 3 ♦. Универсальное свойство свободных абелевых групп . . 436§ 4 ♦. Подгруппы свободных абелевых групп,

1st instalment: свободу подгруппам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438§ 5 ♦. Подгруппа кручения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439§ 6 ♦. Примарное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442§ 7 ♦. Разложение на циклические слагаемые . . . . . . . . . . . . . . . . 444§ 8 ♦. Единственность разложения на циклические слагаемые 446§ 9 ♦. Тип абелевой группы, примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448§ 10 ♦. Подгруппы свободной абелевой группы,

2nd instalment: классификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452§ 11 ♥. Делимые группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455§ 12 ♥. Примеры делимых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456§ 13 ♥. Универсальное свойство делимых групп . . . . . . . . . . . . . 459§ 14 ♥. Классификация делимых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

aPPENDIKS 3. iSTO^NIKOWEDENIE

§ 1 ♣. AMS Subject Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462§ 2 ♥. Теория групп: путеводитель по литературе . . . . . . . . . . . 466§ 3 ♠. Теория групп: a student’s guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476§ 4 ♠. Электронный ресурс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483§ 5 ♣. Источники и составные части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

Apparatus

Index rerum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??Index personae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??Index symboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??

10 ИНТРОДУКЦИЯ

sODERVANIE SLEDU@]EJ ^ASTIII: oSNOWNYE KONSTRUKCII

rAZDEL III. oSNOWNYE KONSTRUKCII

gLAWA 7. kOMMUTATORY I KOMMUTANT

gLAWA 8. pROIZWEDENIQ, PREDELY, SPLETENIQ

rAZDEL IV. kONE^NYE GRUPPY

gLAWA 9. tEOREMY sILOWA

gLAWA 10. kLASSIFIKACIQ KONE^NYH PROSTYH GRUPP

rAZDEL V. oBRAZU@]IE I SOOTNO[ENIQ

gLAWA 11. sWOBODNYE KONSTRUKCII

gLAWA 12. kOPREDSTAWLENIQ GRUPP

ОГЛАВЛЕНИЕ 11

sODERVANIE DALXNEJ[IH ^ASTEJ:tEORIQ KONKRETNYH GRUPP

rAZDEL I. lINEJNYE GRUPPY

gLAWA 1. lINEJNYE GRUPPY NAD TELAMI

gLAWA 2. lINEJNYE GRUPPY NAD KOLXCAMI

gLAWA 3. pODGRUPPY LINEJNYH GRUPP

rAZDEL II. kLASSI^ESKIE GRUPPY

gLAWA 4. kLASSI^ESKIE GRUPPY

gLAWA 5. pODGRUPPY KLASSI^ESKIH GRUPP

rAZDEL III. gRUPPY SIMMETRIJ

gLAWA 6. sISTEMY KORNEJ I GRUPPY wEJLQ

gLAWA 7. kRISTALLOGRAFI^ESKIE GRUPPY

rAZDEL IV. gRUPPY TIPA lI

gLAWA 8. aLGEBRAI^ESKIE GRUPPY

gLAWA 9. gRUPPY {EWALLE

gLAWA 10. kONE^NYE GRUPPY TIPA lI

rAZDEL V. pREDSTAWLENIQ GRUPP

gLAWA 11. oSNOWNYE PONQTIQ TEORII PREDSTAWLENIJ

gLAWA 12. pREDSTAWLENIQ KONE^NYH GRUPP

gLAWA 13. rACIONALXNYE PREDSTAWLENIQ GRUPP {EWALLE

gLAWA 14. pREDSTAWLENIQ KONE^NYH GRUPP TIPA lI

12 ИНТРОДУКЦИЯ

introdukciq

Творящий Благо сказал Чжуан-цзы:— Ты говоришь о бесполезном.— s TEM, KTO POZNAL BESPOLEZNOE, MOVNO GOWORITX I OPOLEZNOM, — ответил Чжуан-цзы. — Ведь земля и велика, иширока, а человек ею пользуется [лишь] в размере своей стопы.А полезна ли еще человеку земля, когда рядом с его стопою роют[ему] могилу вплоть до Желтых источников?— Бесполезна, — ответил Творящий Благо.— В таком случае, — сказал Чжуан-цзы, — становится ясной ипольза бесполезного.

Чжуан-цзы

При рассмотрении любых важных предметов NET NI^EGO BOLEESU]ESTWENNOGO, ^EM WYQSNENIE OSNOWOPOLAGA@]IH IDEJ.

Жозеф де Местр

Nothing that is worth knowing can be taught.Oscar Wilde

Было начало второго, когда я вернулся к себе. На столе в кабине-те в пятне света от лампы мирно лежал раскрытый на страницеoPASNOSTI POWOROTA Додерляйн. С час еще, глотая простывшийчай, я сидел над ним, перелистывая страницы. И тут произошлаинтересная вещь: все прежние темные места сделались совершен-но понятными, словно налились светом, и здесь, при свете лампы,ночью, в глуши, я понял, что значит настоящее знание.“Большой опыт можно приобрести в деревне, — думал я, засыпая,— но только нужно читать, читать, побольше . . . читать . . . ”

Михаил Булгаков. kRE]ENIE POWOROTOM

Важнейшее место в буддийской эпистемологии занимает видение,поскольку видение — основа знания. Знание невозможно без ви-дения; WSE ZNANIE BERET SWOE NA^ALO W WIDENII. Таким об-разом, в учении Будды знание и видение тесно связаны. Поэтомубуддийская философия категорически предписывает видеть ре-альность такой, какова она есть. sOZERCANIE ESTX PEREVIWA-NIE PROSWETLENIQ.

Дайсэцу Судзуки

ГАРГАНТЮА И ПАНТАГРЮЭЛЬ 13

nE I]ITE SPOSOB UPOTREBLENIQ, I]ITE SMYSL!

Людвиг Виттгенштейн (slightly updated)

Ведь в человеке не одна только физическая сторона; в нем и ду-ховная сторона есть, и есть — больше того — есть сторона ми-стическая, сверхдуховная сторона.

Венедикт Ерофеев. mOSKWA—pETU[KI

mATEMATIKA BOLX[OGO STILQ SO^ETAET WYSO^AJ[U@ STE-PENX \KSPLICITNOSTI S WYSO^AJ[EJ STEPENX@ SUGGESTIWNO-STI. Иными словами, она апеллирует не только к рассудку, но и кбиологии (зрение, моторика, пространственное чувство, чувство рит-ма), к эстетическому и религиозному чувству, к духовной и SWERHDU-HOWNOJ стороне человека. В работе профессионального математикалогика является не только не единственным — как полагают домо-рощенные мудрецы — но и далеко не главным аспектом. В действи-тельности, она занимает чисто служебное положение по отношению кнаблюдательности, AKUMENU*, воображению, фантазии, движению, эс-тетике, прагматике, интуиции, остроумию — и, в первую очередь, поотношению к OTKROWENI@ и PONIMANI@, т. е. прямому контакту смиром идей, данному в форме NEPOSREDSTWENNOGO созерцания истины.Самым важными сторонами математики являются ее очарование и

UWLEKATELXNOSTX. Для профессионала это очевидно без дальнейшихобъяснений, но любой учебный текст, который построен без учета это-го основополагающего обстоятельства, W MIRNOE WREMQ WREDEN, AW WOENNOE — OPASEN. Тот текст, который Вы видите перед собой,представляет собой фрагмент систематического учебника алгебры дляначинающих, написанного с изложенных выше позиций. В отличие отфренологических учебников, ON OBRA]EN не к логической шишке где-то в левом полушарии, а K SOZNANI@, PODSOZNANI@ I GIPERSO-ZNANI@ U^ENIKA W IH CELOSTNOSTI. Этот текст скомпонирован потем же законам, что gEPTAMERON, gARGANT@A I pANTAGR@\LX, tRI-STRAM {ENDI, vAK-FATALIST, kOT mURR, wINNI-pUH , wLASTELINKOLEC, zWEZDNYE WOJNY, iNDIANA dVONS и его следует оценивать потем же критериям.

*aKUMEN — термин Невского диалекта, означающий остроту и/или силу ума,PERSPIKACI@ или проницательность. Если противное не оговорено явно, набранныекириллическим шрифтом \tt WOKABULY относятся к Невскому диалекту.

14 ИНТРОДУКЦИЯ

§ 1 ♦. fAKTI^ESKIJ PLAN: KONTENT. . . in unserem Jahrhundert treten Substitution und Substitutions-

gruppe, Transformation und Transformationsgruppe, Operation undOperationsgruppe . . . immer deutlicher als die wichtigsten Begriffeder Mathematik hervor*.

Sophus Lie

The theory of groups is a branch of Mathematics in which one doessomething to something and then compares the result with the resultof doing the same thing to something else, or something else to thesame thing.

James Newman

We may as well cut out the group theory. That is a subject that willnever be of any use.

James Jeans

Настоящая книга представляет собой систематическое введение вобщую теорию групп, начиная с первых определений. В ней излага-ется — с большим запасом — весь материал, который включаетсяв общие курсы алгебры, и, сверх того, трактуются некоторые темы,которые обычно затрагиваются только в специальных курсах по тео-рии групп. Кроме детальной отработки на многочисленных примерахосновных понятий теории групп (гомоморфизмы, подгруппы, смежныеклассы, нормальные подгруппы, фактор-группы, порождение, сопря-женность и т.д.), мы подробно обсуждаем действия групп, основныеконструкции над группами, задание групп образующими и соотноше-ниями и основы теории конечных групп. По оглавлению читательможет более подробно ознакомиться с включенными темами. Выборматериала диктуется тем, что по моему мнению должен знать о тео-рии групп любой математик, и вообще любой специалист, которомуприходится SERXEZNO использовать теорию групп в своей работе. На-звание книги должно подчеркнуть то обстоятельство, что OB]AQ TEO-RIQ GRUPP — allgemeine Gruppentheorie, теория групп DLQ WSEH —не только не совпадает с абстрактной теорией групп, но и находитсяв прямой оппозиции к ней.

*В нашем столетии понятия перестановки и группы перестановок, преобразова-ния и группы преобразований, оператора и группы операторов . . . все отчетливеевыступают в качестве WAVNEJ[IH понятий всей Математики.

§ 1 KONTENT 15

В этом отношении книга UNIKALXNA* в русской учебной литера-туре. Дело в том, что WSE\ остальные SISTEMATI^ESKIE учебникитеории групп на русском языке написаны LIBO специалистами по AB-STRAKTNOJ теории групп — и рассчитаны на расширенное воспроиз-водство специалистов по теории групп настолько ABSTRAKTNOJ, чтоона не может иметь никаких приложений нигде, включая саму тео-рию групп!!! — LIBO физиками для физиков. Книги Куроша [118]и Каргаполова—Мерзлякова [97] — а других не было — расска-зывают NE O TOM, NE TO и NE TAK . Не о том, что реально понадобитсяTOJ, кто учит теорию групп, чтобы использовать ее в своей работе,не то, что EJ встретится, и не так, как это было EJ интересно. Дело втом, что ей понадобятся конкретные группы — в 9 случаях из 10 — в99 случаях из 100 — в 999 случаях из 1000 — группы симметрий (сим-метрические группы, кристаллографические группы, группы Вейля),группы типа Ли (классические группы, исключительные группы Ше-валле, группы Ли, алгебраические группы, конечные простые группы)или связанные с ними группы, такие как группы кос, группы Стейн-берга и т. д. А как раз о конкретных группах имеющиеся абстрактныеучебники не говорят NI^EGO. С другой стороны, учебники для физи-ков обсуждают конкретные группы — и в этом смысле дают гораздоболее адекватное представление о теории групп!!! — но делают этов том духе, теми средствами и на таком языке, что были приняты уматематиков лет 70 назад.В этом тексте я пытаюсь рассказать о конкретных группах и TO,

^TO и TAK, KAK это принято у математиков SEGODNQ. Разумеется, что-бы говорить о конкретных группах, нужно вначале овладеть некото-рым минимумом общих понятий и простейших фактов. Именно этимобъясняется двусмысленность в названии: kNIGA II, kONKRETNAQTEORIQ GRUPP по-русски значит не совсем то же самое, что kNI-GA IIbis, tEORIQ KONKRETNYH GRUPP. Несколько первых читателейпредлагали назвать Книгу IIB еще более KONKRETNO, скажем, ~ISTOKONKRETNAQ TEORIQ GRUPP. Многие указали на железобетонные па-рагоны [220], [5]. Однако настоящее объяснение названия гораздо про-ще. Внутренний текст этой книги существует в четырех синхронныхверсиях, одна из которых английская. А по-английски, как обсужда-

*Разумеется, в NORMATIWNOM Великорусском языке автор не может сказать ниче-го такого о собственной книге. Но в Невском диалекте вокабула UNIKALXNA лишенаэмоциональной окраски и значит ровно то, что она значит, а именно, unique.

\Это обычное полемическое преувеличение в духе Арнольда, на русскомимеются два превосходных учебника, Шмидта [220] и Холла [207], первыйиз которых написан 90 лет назад, а второй — 60 лет назад.

16 ИНТРОДУКЦИЯ

ется в книге I,

Concrete (group theory) 6= (Concrete group) theory.Дойдя до середины оглавления, англофон снова посмотрит на назва-ние Concrete group theory и переставит в нем скобки. В ита-льянской версии то же название звучит так: Teoria di gruppi inconcreto (Настоящая теория групп) — as opposed to Teoria digruppi concreti. Таким образом, название этой книги, как, соб-ственно, и большая часть самой теории групп, представляет собойNEPEREWODIMU@ IGRU KL@^EWYH SLOW. Из всех непереводимыхслов настоящей книги самое ключевое — MORE (= more). Большеидей, больше понятий, больше SUBSTANCII, больше KONKRETA*, боль-ше примеров, больше конструкций, больше методов, больше трюков,больше вычислений, больше фактов, больше деталей, больше объяс-нений, больше доказательств, больше истории, больше жизни —es ist nicht richtig zu sagen, daß die Chevalley-Gruppen sinddas wichtigste im Leben, weil die Chevalley-Gruppen sind dasLeben selbst.

§ 2 ♦. mISTI^ESKIJ PLAN: wassind und was sollen die Gruppen

Die Begriffe Invariante und continuierliche Gruppe sind so alt wie dieMathematik selbst*.

Sophus Lie

Lange bevor man sich mit Permutationen beschäftigte, wurden ma-thematische Figuren konstruiert, die auf das engste mit Gruppentheo-rie zusammenhängen und nur mit gruppentheoretischen Begriffenerfaßt werden können, nämlich die regulären Muster, welche durchBewegungen und Spiegelungen mit sich selbst zur Deckung gebrachtwerden können. Insbesondere bestand die von Griechen viel bewun-derte ägyptische Mathematik zweifellos in der Auffindung solcherFiguren. In der arabischen und persischen Kunst erlebte die ägyp-tische Ornamentik einen neuen gewaltigen Aufschwung und schufGebilde von unerhörter Vollendung und mathematischer Tiefe. In der

*Тот, кто читал Das Parfüm Зюсскинда , знает, что KONKRETOM называется\SSENCIQ, используемый в парфюмерии экстракт эфирных масел. Я думаю, это тотнюанс в названии книги Concrete mathematics, который ускользнул от большин-ства комментаторов. Concrete mathematics значит еще Essential mathematics.

*Понятия инварианта и непрерывной группы такие же старинные, как самаМатематика.

§ 2 was sind und was sollen die gruppen 17

gotischen Architektur trifft man sogar komplizierte Raumgruppen*.

Andreas Speiser. [347]

В настоящей книге мы начинаем изучение первой из фундаменталь-ных классических структур алгебры — групп. Формально определе-ние группы чрезвычайно незатейливо: это просто множество с однойассоциативной бинарной операцией, для которой существует всюдуопределенная обратная операция. Однако эта простота обманчива.Уже на уровне конечных групп за последние два века возникли кра-сивейшие и глубочайшие математические теории, потребовавшие длясвоего создания десятилетий вдохновенного изобретательного трудасотен блестящих математиков. Все это время развитие теории группвдохновлялось и инспирировалось п(р)оявлением понятия группы игрупповых идей в сотнях самых различных математичеcких и экстра-математических контекстов. В целом важность понятия группы дляматематики сопоставима только с важностью таких понятий как кате-гория, множество, отображение, кольцо, модуль, топологическое про-странство, многообразие, мера, . . .Официально теория групп возникла в начале XIX века из трех

основных источников:

• теории чисел,• теории алгебраических уравнений,• геометрии.

Эта получившая широкое распространение в советской литературеточка зрения пропагандировалась Вуссингом: “Почти всегдаутверждается, или по крайней мере прямо подразумевается, что аб-страктное понятие группы возникло в конце XIX века из понятия груп-пы подстановок, которое в свою очередь обязано своим возникновени-ем теории алгебраических уравнений. По мнению автора, при изуче-нии математических источников выясняется, что абстрактная теория

*Задолго до того, как люди начали заниматься перестановками, они констру-ировали математические фигуры, которые теснейшим образом связаны с теори-ей групп и которые можно выразить TOLXKO в теоретико-групповых терминах, аименно, регулярные орнаменты, которые переводятся в себя движениями и отра-жениями. В частности, египетская математика, которой столь восхищались греки,несомненно состояла именно в поиске таких фигур. Египетская орнаментика пе-режила новый мощный взлет в арабском и персидском искусстве, где она создалаобразцы NESLYHANNOGO совершенства и математической глубины. В готическойархитектуре встречаются даже сложные пространственные группы.

18 ИНТРОДУКЦИЯ

групп имеет исторически три корня. Конечно, теория решения алгеб-раических уравнений является одним из них, — достаточно, преждевсего, назвать имена Лагранжа, Руффини, Гаусса, Абеля, Коши, Га-луа, Серре и К.Жордана, — но не единственноопределяющим, и уж, конечно, не единственным. Два другие источни-ка, оказавших столь же плодотворное влияние, как и теория решенияалгебраических уравнений, — геометрия и теория чисел XIX века —до сих пор не осознавались как таковые в значительной степени пото-му, что теоретико-групповые формы мышления применялись в этихобластях неявно, вовсе без употребления термина GRUPPA и вначалебез связи с параллельно развивающейся теорией групп подстановок”,[6], [368].

Эварист Галуа (Évariste Galois, 25 октября 1811, Бург Ла Рен — 31 мая1832, Париж) — один из самых удивительных математиков во всей историинашей науки, оказавший громадное влияние на ее дальнейшее развитие, темболее поразительное, что он был убит на дуэли в возрасте 20 лет.Первая его работа, посвященная непрерывным дробям, была опубликова-

на в апреле 1829 года. Его самое замечательное достижение состоит в том,что (в возрасте 16–18 лет!) он получил полный ответ на вопрос о разреши-мости уравнений в радикалах. Однако ни Коши, ни Фурье, ни Пуассон несмогли понять его работ и “потеряли” рукописи статей, представлен-ных им в Comptes Rendus (впрочем, потом Коши опубликовал ту часть этихработ, которую все же смог понять, под своим именем).Среди прочего Галуа ввел понятия поля, группы, подгруппы, смежного

класса, нормальной подгруппы, простой и разрешимой группы, композици-онного ряда, etc. Много важнейших понятий алгебры названы в его честь:теория Галуа, группа Галуа, поля Галуа, соответствие Галуа, когомологииГалуа. Не надеясь более на честность французских математиков в пред-смертном письме своему другу Огюсту Шевалье Галуа просит сообщитьсвои результаты об алгебраических функциях Гауссу и Якоби.Работы Галуа были переоткрыты в 1843–1846 годах Лиувиллем, а

широкое признание получили только в 1870-х годах. Все сохранившиесяматематические рукописи Галуа собраны в [271], и их чтение производитсовершенно ошеломительное впечатление. В этих рукописях можно найтиформулировки десятков теорем, которые обычно связываются с именами Ко-ши, Жордана, Гельдера, Мура и других математиков, доказавших этифакты десятилетия спустя. Часть этих текстов переведена на русский язык[65].Широкой публике Галуа известен главным образом по романтической ле-

генде, порожденной тем, что он погиб в столь юном возрасте, два раза небыл принят в l’Ecole Polytechnique и исключен из l’Ecole Normale, провелнесколько месяцев в тюрьме, и т.д. Литература, посвященная этой легенде,совершенно необъятна, см., в частности, [7], [8].

§ 3 PRIGOR[NQ FILOSOFEM 19

Сам термин GRUPPA впервые употребил в 1830 году Эварист Га-луа, правда он обозначал так как собственно группы, так и смеж-ные классы по подгруппе. Этот термин происходит от grouper lespermutations — GRUPPIROWATX PERESTANOWKI. А именно, Галуа связалс каждым алгебраическим уравнением группу перестановок его корней— группу Галуа — и доказал SPEKTAKULQRNYJ, или, как сказали бысегодня, SENSACIONNYJ результат, утверждающий, что уравнениетогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда его группа Галуаразрешима. В течение нескольких лет было осознано, что этот резуль-тат объясняет неразрешимость классических геометрических проблем(трисекция угла, удвоение куба, . . . ) — и что его легко обобщить стем, чтобы доказать несуществование интегралов от элементарныхфункций, невозможность интегрирования дифференциальных уравне-ний в квадратурах и т. д. В качестве типично шпенглеровского сов-падения отметим, что в том же самом 1830 году, когда Галуа впервыеупотребил термин GRUPPA, Гессель нашел все 32 кристаллографиче-ские класса.Однако я склонен верить, что в действительности PONQTIE GRUP-

PY QWLQETSQ DREWNEJ[IM MATEMATI^ESKIM PONQTIEM, не толькоболее древним, чем алгебраические уравнения, но даже BOLEE DREW-NIM, ^EM само PONQTIE ^ISLA, и неотделимым от человеческой ци-вилизации. gRUPPY P[R]OQWLQ@TSQ WS@DU, где возникают сим-метрии, автоморфизмы, обратимые преобразования. Иными слова-ми, всюду, GDE ESTX POWTORQ@]IESQ I SAMOWOSPROIZWODQ]IESQUZORY (patterns). А человеческая KULXTURA, PODOBNO PRIRODE IVIZNI, SOSTOIT W SOSTAWLENII UZOROW. Группы — уже конечныегруппы — дают нам неисчерпаемый материал для упражнения на-шего остроумия и изобретательности. Именно этим объясняется вез-десущность идеи группы, универсальность этого понятия и огромноеразнообразие его приложений в самой математике, а также в искус-стве, физике, химии, кристаллографии, теории передачи информации,криптографии, . . .

§ 3 z. mISTI^ESKIJ PLAN: PRIGOR[NQFILOSOFEM S ORGWYWODAMI

Как часто в науке начинаешь понимать, что ABSTRAKCII бы-вают в такой же или даже W BOLX[EJ STEPENI REALXNY, ^EMOSQZAEMYE KONKRETNYE FAKTY.

Ганс Селье. [4]

Here are my principles. If you don’t like them, I have

20 ИНТРОДУКЦИЯ

others.

Groucho Marx

Для более квалифицированного читателя отметим несколько принципиальныхидеологических соображений, объясняющих выбор и освещение материала.

• В приложениях теории групп в математике и за ее пределами, как правило,возникают не группы сами по себе, а действия групп, будь то перестановочныедействия конечных групп, линейные действия групп Ли и алгебраических группили непрерывные действия топологических или дискретных групп на многообра-зиях, графах и других геометрических объектах. В математике группа чаще всего(но не всегда!) возникает как группа автоморфизмов какой-то структуры точнотак же, как алгебра Ли чаще всего возникает как алгебра Ли дифференциро-ваний. Поэтому целью начального этапа изучения теории групп должна бытьподготовка к изучению теории представлений, в первую очередь перестановоч-ных и линейных. Это значит, что изучение теории групп должно начинаться сдвух примеров: симметрической группы Sn и полной линейной группыGL(n, K).

• В действительности, Sn и GL(n, K) это один и тот же пример. С однойстороны, векторные пространства это множества с дополнительной структурой. Сдругой стороны, множества являются частным случаем векторных пространств.А именно, множество — это просто векторное пространство над полем из одногоэлемента, совпадающее со своим базисом. Подлинный смысл этого утверждениястановится понятен только после изучения теории представлений и теории инва-риантов, но обозначения, терминология и сама постановка вопросов должны с са-мого начала приучать к аналогии между перестановками и матрицами. Например,множество k-элементных подмножеств следует рассматривать как k-ю внешнююстепень множества и т.д. Формальным воплощением этой идеи является теорияλ-колец [80], [209].

• Центральным объектом всей математики XX века является понятие группыс дополнительной структурой: топологические группы, вещественные и ком-плексные группы Ли, алгебраические группы\, p-адические аналитические груп-пы, проконечные группы, адельные группы, etc. A topological group is perhapsthe most important concept in modern Mathematics, [324], с. 125. Это поня-тие лежит в основе не только алгебры и топологии, но и римановой геометрии, ал-гебраической геометрии, теории комплексных аналитических пространств, теориичисел, теории автоморфных функций, функционального и гармонического анализа,теории специальных функций, теории интегрирования, теории дифференциальныхуравнений, эргодической теории (не говоря уже о приложениях в физике!).

\Я помню свое удивление, когда первый раз увидел выражение ALGEBRAI^ESKIEGRUPPY — по наивности я тогда считал, что ALGEBRAI^ESKIE GRUPPY это ABSTRAKT-NYE группы. В действительности, как мы впервые услышим уже в главе I, алгеб-раическая группа — это группа, которая одновременно является алгебраическиммногообразием, причем отображения, определяющие структуру группы, являютсяморфизмами многообразий.

§ 3 PRIGOR[NQ FILOSOFEM 21

Софус Ли (Sophus Lie, 17 декабря 1842, Nordfjordeid, поселок недалеко отБергена, — 18 февраля 1899, Кристиания, ныне Осло) — гениальный нор-вежский математик, основатель теории групп и алгебр Ли, внесший осно-вополагающий вклад в геометрию, теорию дифференциальных уравнений иматематическую физику. По общему признанию XX век в математике былвеком теории Ли, в том же смысле, в котором XVIII век был веком веще-ственного анализа, а XIX век — веком комплексного анализа.Преподавателем математики в школе, где учился Ли, был Людвиг Силов

и Ли посещал его лекции по теории групп. Его первые работы конца1860-х годов относятся к геометрии. О его выносливости и физической силев то время ходили легенды. Например, однажды он решил навестить своихродителей в Моссе, пройдя 60 километров и не застав их дома, он тут жеразвернулся и направился обратно в Осло.В 1869–1870 годах Ли получил стипендию для стажировки в Берлине и

Париже, где близко подружился с Клейном. Французская стажи-ровка чуть не закончилась для Ли трагически. Когда началась франко—германская война, Клейн вернулся в Германию, а Ли отправился PE[KOMв Италию. По дороге он был арестован как немецкий шпион, так как по-лицейские приняли его математические записи за шифр. И уж, конечно,особенно подозрительным было письмо от Клейна на немецком языке! Егодаже хотели расстрелять, но после вмешательства Гастона Дарбу все жеосвободили. Во время этой поездки Ли понял основополагающее значениетеории групп для математики. С тех пор основной темой его исследованийстали непрерывные группы и их приложения в геометрии, теории диффе-ренциальных уравнений и механике.После возвращения Ли в Норвегию в 1871 году он защитил докторскую

диссертацию и начал искать университетскую позицию за границей, но в1872 году его назначили (экстраординарным) профессором университета вКристиании. Что касается научной работы, следующие 10 лет были самы-ми продуктивными в его жизни. За эти годы он и создал то, что сегодняносит имя TEORII lI, и получил фундаментальные приложения этой теориив теории дифференциальных уравнений. Кстати, многие из его работ тогопериода написаны на норвежском языке!Однако, в 1886 году Клейну предложили позицию в Геттингене и Ли пе-

ребрался на освободившуюся позицию в Лейпциге. Судя по дальнейшемуразвитию событий, это было ошибкой. Ли страдал от необходимости мно-го преподавать на иностранном языке слабым студентам, крайне болезненовоспринимал вопросы приоритета и остро конфликтовал с немецкими кол-легами — как в Лейпциге, так elsewhere, в том числе с Клейном и Киллин-гом. Уже в 1889 году это привело к тяжелейшему нервному расстройствуи бессоннице, так что Ли был даже вынужден длительное время лечитьсяв психиатрической клинике под Ганновером, все время мечтая вернуться народину. Однако фактически вернулся он только в 1898 году, уже абсолютнобольным человеком, и на следующий год умер от злокачественной анемии.В нашем курсе упоминаются алгебры Ли, скобка Ли, группы Ли, теория

Ли, несколько теорем Ли, теорема Ли—Колчина, etc. На русском языкеимеется достаточно основательная биография Ли [9].

22 ИНТРОДУКЦИЯ

• Наиболее интересные группы — это конкретные группы: группы симмет-рии геометрических конфигураций, простые конечные группы, простые алгебраи-ческие группы, классические группы, группы движений, группы типа Ли, группыШевалле, группы Стейнберга, группы Кокстера, группы Вейля, группы, порож-денные специальными элементами (отражениями, псевдоотражениями, корневы-ми элементами, квадратичными элементами, etc.), кристаллографические группы,спорадические группы, etc. Именно к изучению этих групп относится подавляю-щая часть наиболее содержательных, глубоких, трудных и полезных результатовтеории групп.

• Изучение абстрактных бесконечных групп алгебраическими методамичрезвычайно сложно, в большинстве случаев не очень интересно, а зачастую про-сто совершенно бессодержательно. Теория бесконечных групп является разделомгеометрии, а не алгебры. Даже в тех случаях, когда чисто алгебраическое изу-чение абстрактных групп возможно и плодотворно (свободные группы, свободныепроизведения, амальгамы, группы Бернсайда, etc.) только геометрическая реа-лизация может дать настоящее понимание. Например, свободная группа являетсяфундаментальной группой графа и все относящиеся к ней результаты есте-ственнее всего доказывать именно на этом языке.

• Понятие конечной группы содержательно как само по себе так и, в особен-ности, в связи с ролью конечных групп в алгебраической теории чисел, комбинато-рике, теории кодирования, теории решеток, классификации многообразий, и т.д.Конечные группы являются линейными и алгебраическими, в классе конечныхгрупп можно проводить чисто алгебраические доказательства индукцией по по-рядку точно так же, как в классе связных алгебраических групп можно проводитьиндукцию по размерности\. Конечные группы устроены гораздо сложнее, чемалгебраические группы над алгебраически замкнутым полем (если, конечно, ин-тересоваться только замкнутыми подгруппами, рациональными представлениямии т.д.!) и гораздо проще, чем алгебраические группы над произвольным полем.Первым шагом к решению любого вопроса о конечных группах является решениесоответствующего вопроса об алгебраических группах над алгебраически замкну-тым полем. Классификация дает возможность получать чисто алгебраическиеответы на многие ESTESTWENNO возникающие вопросы, относящиеся к конечнымгруппам. Тем не менее, даже при анализе конечных групп значительно продуктив-нее пользоваться геометрическими реализациями связанными с соответствующейалгебраической группой, либо, если с группой не связано никаких классическихгеометрий, строить комбинаторную геометрию исходя из самой группы (билдин-ги, диаграммные геометрии и т.д.).

• С каждой группой связано групповое кольцо. Описание линейных пред-ставлений группы эквивалентно описанию модулей над ее групповой алгеброй.Тем самым, теория представлений групп вкладывается в более общую теориюпредставлений ассоциативных колец. Тем не менее, отдельное изложениеклассической — полупростой — теории представлений конечных групп вполнеоправдано, по следующим причинам. Во-первых, это случай, представляющийнаибольший интерес для подавляющего большинства приложений за пределами

\С точки зрения теории моделей порядок и размерность — это одно и то же,и то и другое являются частными случаями ранга Морли, [10].

§ 3 PRIGOR[NQ FILOSOFEM 23

алгебры. Во-вторых, это модель гармонического анализа — конечномерная, нонекоммутативная! В силу конечномерности здесь не происходит отвлечениявнимания на второстепенные вопросы сходимости, с другой стороны, в силу неком-мутативности возникает гораздо лучшее понимание действительно важных струк-турных вопросов. В-третьих, понимание современной теории представлений ассо-циативных колец — и даже понимание гораздо более простой теории модулярныхпредставлений конечных групп — на принятом в общем курсе уровне абстракциив принципе невозможно. Дело в том, что в этих теориях мы должны переосмыс-лить язык, технику и саму проблематику теории представлений, по сравнению склассическим случаем. В неполупростом случае полностью или в значительнойстепени утрачивают свое значение такие классические понятия, как неприводи-мое представление, и попытка изложить неполупростую теорию на классическомязыке приводит к нагромождению технических деталей и полному непониманию.С другой стороны, любая попытка ввести на начальном уровне современные по-нятия, для которых студент не обладает ни опытом, ни мотивацией, ни набороммысленных образов, может привести только к формализму и полному непонима-нию.

• Понятие группы аналогично понятию алгебры Ли: в группе умножениеиграет роль сложения, а коммутирование — роль скобки Ли. Использование группавтоморфизмов полностью параллельно использованию алгебр Ли дифференциро-ваний. Однако понятие группы значительно сложнее понятия алгебры Ли, таккак умножение в группе некоммутативно, поэтому прежде, чем браться за какую-то задачу о группах, полезно вначале решить соответствующую задачу для алгебрЛи. Эта аналогия чрезвычайно плодотворна и как руководящая идея, и как точ-ное математическое утверждение (в тех случаях, когда ее удается превратитьв точное утверждение, как, например, в теории Ли или в теории Магнуса). Этааналогия получает полное развитие в теории алгебр Хопфа (или, как теперьпринято говорить, квантовых групп), где выясняется, что группы и алгебрыЛи являются частными случаями одного и того же объекта и все относящиеся кним результаты допускают единую формулировку. l@BOE современное IZLOVE-NIE TEORII GRUPP DOLVNO U^ITYWATX PARALLELIZM GRUPP I ALGEBR lI науровне языка, техники и постановки вопросов.

• Самым важным из всего, что произошло до сих пор в конечной математике,является классификация конечных простых групп. Она открывает возмож-ность к получению доказательств результатов о конечных объектах, основанныхна переборе случаев (case by case analysis). Следствия классификации [11] для та-ких областей математики, как теория чисел, комбинаторика, теория Галуа, теориярешеток, теория римановых поверхностей, теория особенностей, теория кодирова-ния, и т. д. не говоря уже о самой теории конечных групп и теории представлений,не только не продуманы, но и не начинали всерьез продумываться. Симметрииплатоновых тел гипнотизируют математиков на протяжении 25 веков. Можно ду-мать, что и симметрия конечных простых групп и извлечение ее непосредственныхследствий будет одной из важнейших задач математики на несколько столетий.Поэтому KURS TEORII GRUPP, W KOTOROM NE SFORMULIROWANA TEOREMA KLAS-SIFIKACII KONE^NYH PROSTYH GRUPP, NE QWLQETSQ KURSOM TEORII GRUPP.

• Теория алгебр Ли есть теория простых алгебр Ли. Нильпотентные и разре-шимые алгебры Ли рассматриваются не сами по себе, а лишь постольку, посколькуэто необходимо для классификации или изучения простых алгебр. Точно так же

24 ИНТРОДУКЦИЯ

TEORIQ GRUPP DOLVNA BYTX TEORIEJ PROSTYH GRUPP. То, что это не так, и вXX веке было написано громадное число работ по группам, близким к разреши-мым, представляется мне аберрацией, связанной с тем, что простые группы быликлассифицированы исторически очень поздно — даже предположение о возможно-сти полной классификации конечных простых групп не высказывалось всерьез доначала 1960-х годов.

• tEORIQ ABELEWYH GRUPP по своей идеологии и используемой технике вообщеNE QWLQETSQ ^ASTX@ TEORII GRUPP, а относится к линейной алгебре. Конеч-но, модули над кольцом Z можно изучать и сами по себе, но действительно инте-ресный вопрос состоит в том, какие из свойств кольца Z при этом на самом делеиспользуются. Таким образом, результаты об абелевых группах, за исключени-ем классификации конечно порожденных абелевых групп, вообще не следуетвключать в курс теории групп. Классификация же конечно порожденных абелевыхгрупп настолько важна для изучения конечных групп и с точки зрения приложе-ний в теории чисел и комбинаторике, а ее доказательство настолько просто, чтовключение его в курс теории групп оправдано.

• Классификация с точностью до изоморфизма сколь-нибудь широких клас-сов групп в терминах явных инвариантов (аналогичная классификации конечнопорожденных абелевых групп) как правило невозможна. Например, невозмож-на уже никакая разумная классификация конечных метабелевых p-групп. Дело втом, что такая классификация включала бы в себя задачу о паре матриц и, темсамым, отвечала бы вообще на все вопросы жизни. Кроме того, в большинствеслучаев такая классификация не является даже желательной. Например, даже ко-гда в некотором классе групп известны полные наборы инвариантов с точностьюдо изоморфизма (скажем, для некоторых классов бесконечных абелевых групп), набольшинство конкретных вопросов проще отвечать непосредственно, чем пользу-ясь такой классификацией.

• Доказательство большинства результатов о группах (в особенности о к�