Kombinatorika sa Kombinatorika sa zaoberá otázkami, zaoberá otázkami, ktoré súvisia s ktoré súvisia s určovaním počtu určovaním počtu všetkýchvšetkých skupín zostavených skupín zostavených podľa určitých pravidiel podľa určitých pravidiel z prvkov danej z prvkov danej konečnej množiny.konečnej množiny.

VariácieVariácie

Definícia:Definícia:

Nech Nech kk, , nn εε N, 1 N, 1<<kk <<nn. Variácia . Variácia kk-tej triedy z -tej triedy z nn prvkov je každá usporiadaná prvkov je každá usporiadaná kk-prvková skupina -prvková skupina zostavená iba z týchto zostavená iba z týchto nn prvkov tak, že každý sa v prvkov tak, že každý sa v nej nachádza najviac raz. Variácie nej nachádza najviac raz. Variácie kk-tej triedy z -tej triedy z nn prvkov označujeme Vprvkov označujeme Vkk((nn).).

)!kn(

!n)n(Vk Vzorec:Vzorec:

Riešený príklad č.1:Riešený príklad č.1:Koľko trikolór možno zostaviť z týchto farieb: Koľko trikolór možno zostaviť z týchto farieb:

biela, červená, modrá, zelená?biela, červená, modrá, zelená?

Riešenie:Riešenie: Ide o skupiny tvorené tromi zo Ide o skupiny tvorené tromi zo štyroch prvkov, pričom záleží na poradí prvkov štyroch prvkov, pričom záleží na poradí prvkov v skupine, t.j. ide o variácie tretej triedy zo v skupine, t.j. ide o variácie tretej triedy zo štyroch prvkov. Takých skupín je štyroch prvkov. Takých skupín je

VV33(4)=4.3.2=24.(4)=4.3.2=24.

Teda možno vytvoriť 24 rôznych trikolór.Teda možno vytvoriť 24 rôznych trikolór.

Riešený príklad č.2:Riešený príklad č.2:Koľko rôznych výsledkov môže mať hokejový zápas, Koľko rôznych výsledkov môže mať hokejový zápas,

ak obidve mužstvá strelia najviac po 3 góly, pričom hostia ak obidve mužstvá strelia najviac po 3 góly, pričom hostia dostanú aspoň 1 gól a remíza nastane iba v tom prípade, že dostanú aspoň 1 gól a remíza nastane iba v tom prípade, že obidve mužstvá strelia práve 3 góly.obidve mužstvá strelia práve 3 góly.

Riešenie:Riešenie: Počet všetkých možných výsledkov ,pri Počet všetkých možných výsledkov ,pri ktorých sa zápas nekončí remízou [Vktorých sa zápas nekončí remízou [V22(4)]. Z tohto (4)]. Z tohto

počtu musíme vylúčiť zápasy [Vpočtu musíme vylúčiť zápasy [V11(3)], v ktorých hostia (3)], v ktorých hostia

nedostanú ani 1 gól a pripočítame 1 výsledok, keď nedostanú ani 1 gól a pripočítame 1 výsledok, keď zápas skončí nerozhodne 3:3.zápas skončí nerozhodne 3:3.

Celkový počet výsledkov hokejového zápasu je 10.Celkový počet výsledkov hokejového zápasu je 10.

1013121)3(V)4(Vn 12

Variácie s opakovanímVariácie s opakovaním

Vzorec:Vzorec:

Definícia:Definícia:

Variácia Variácia kk-tej triedy s opakovaním z -tej triedy s opakovaním z nn prvkov je prvkov je každá usporiadaná každá usporiadaná kk-prvková skupina zostavená iba -prvková skupina zostavená iba z týchto z týchto nn prvkov. Každé miesto k-prvkovej skupiny prvkov. Každé miesto k-prvkovej skupiny možno obsadiť n spôsobmi a všetkých k miest možno možno obsadiť n spôsobmi a všetkých k miest možno obsadiť obsadiť nn..nn. ... .. ... .nn = = nnkk..

kk n)n('V

kk-krát-krát

Riešený príklad č.3:Riešený príklad č.3:Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísel Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísel

možno napísať číslicami 1, 3, 5, 7, 8, ak sa v možno napísať číslicami 1, 3, 5, 7, 8, ak sa v každom čísle môže každá číslica ľubovoľne každom čísle môže každá číslica ľubovoľne opakovať?opakovať?

Riešenie:Riešenie: Ak sa môžu číslice opakovať, ide o Ak sa môžu číslice opakovať, ide o variácie piatej triedy z piatych prvkov s variácie piatej triedy z piatych prvkov s opakovaním. opakovaním.

V´V´55(5) = 5(5) = 555 = 3125 = 3125

Z týchto číslic možno vytvoriť 3 125 päťciferných čísiel.Z týchto číslic možno vytvoriť 3 125 päťciferných čísiel.

Riešený príklad č.4:Riešený príklad č.4:Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísel Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísel

možno napísať číslicami 4, 7? Ak sa môžu možno napísať číslicami 4, 7? Ak sa môžu opakovať.opakovať.

Riešenie:Riešenie: Ak sa môžu číslice opakovať, ide o Ak sa môžu číslice opakovať, ide o variácie piatej triedy z dvoch prvkov s variácie piatej triedy z dvoch prvkov s opakovaním. opakovaním.

V´V´55(2) = 2(2) = 255 = 32 = 32

Z týchto číslic možno vytvoriť 32 päťciferných čísielZ týchto číslic možno vytvoriť 32 päťciferných čísiel..

PermutáciePermutácie

Definícia:Definícia:

Permutácia z Permutácia z nn prvkov je každá variácia prvkov je každá variácia nn-tej -tej triedy z týchto triedy z týchto nn prvkov. Počet všetkých permutácií z prvkov. Počet všetkých permutácií z nn prvkov označujeme prvkov označujeme PP((nn). (Sú špeciálne druhy ). (Sú špeciálne druhy Variácií, kedy Variácií, kedy nn==kk))

Vzorec:Vzorec: !n)n(Pk

Riešený príklad č.5:Riešený príklad č.5:Koľko rôznych zostáv útoku môže zostaviť Koľko rôznych zostáv útoku môže zostaviť

tréner futbalového družstva z hráčov s číslami 7, 8, tréner futbalového družstva z hráčov s číslami 7, 8, 9, 10, 11 tak, aby hráči s párnymi číslami nehrali 9, 10, 11 tak, aby hráči s párnymi číslami nehrali vedľa seba.vedľa seba.

Riešenie:Riešenie: Od počtu zostáv musíme odpočítať Od počtu zostáv musíme odpočítať počet zostáv, ktorých hráči s párnymi číslami počet zostáv, ktorých hráči s párnymi číslami sú vedľa seba. Tieto zostavy dostaneme sú vedľa seba. Tieto zostavy dostaneme utvorením všetkých permutácií zo štyroch utvorením všetkých permutácií zo štyroch prvkov a to pre hráčov s číslami 8 a10.prvkov a to pre hráčov s číslami 8 a10.

Z týchto hráčov možno vytvoriť 72 zostáv útokuZ týchto hráčov možno vytvoriť 72 zostáv útoku..

7228.2120!4.2!5)4(P.2)5(PP

Riešený príklad č.6:Riešený príklad č.6:Koľko rôznych zostáv útoku môže zostaviť Koľko rôznych zostáv útoku môže zostaviť

tréner futbalového družstva z hráčov s číslami 7, 8, tréner futbalového družstva z hráčov s číslami 7, 8, 9, 10, 11 tak, aby hráči s nepárnymi číslami nehrali 9, 10, 11 tak, aby hráči s nepárnymi číslami nehrali vedľa seba.vedľa seba.

Riešenie:Riešenie: Každá takáto zostava má tvar Každá takáto zostava má tvar

x, 8, y, 8, z, kde x, y, z sú hráči s nepárnymi x, 8, y, 8, z, kde x, y, z sú hráči s nepárnymi číslami. Preto počet týchto zostáv je:číslami. Preto počet týchto zostáv je:

Z týchto hráčov možno vytvoriť 12 zostáv útoku.Z týchto hráčov možno vytvoriť 12 zostáv útoku.

126.2!3.2)3(P.2P

Permutácie s opakovanímPermutácie s opakovaním

Definícia:Definícia:

Permutácia z Permutácia z nn prvkov je každá variácia prvkov je každá variácia nn-tej -tej triedy z týchto triedy z týchto nn prvkov. Počet všetkých permutácií z prvkov. Počet všetkých permutácií z nn prvkov označujeme prvkov označujeme PP((nn). (Sú špeciálne druhy ). (Sú špeciálne druhy Variácií, kedy Variácií, kedy nn==kk))

Vzorec:Vzorec:

!.r ... !.!.rr

!n)n(P

i21ri

Riešený príklad č.7:Riešený príklad č.7:Koľko rôznych slov môžeme utvoriť zo slova Koľko rôznych slov môžeme utvoriť zo slova

Mississippi (aj takých, ktoré nenájdeme v žiadnom Mississippi (aj takých, ktoré nenájdeme v žiadnom slovníku).slovníku).

Riešenie:Riešenie: Ak písmeno „i" napíšeme na jedno z Ak písmeno „i" napíšeme na jedno z jedenástich miest v slove, písmeno „p" môžeme jedenástich miest v slove, písmeno „p" môžeme napísať už len na jedno z desiatich miest, napísať už len na jedno z desiatich miest, písmeno „s" na jedno z deviatich miest atď. písmeno „s" na jedno z deviatich miest atď.

Z Mississippi môžeme spolu utvoriť 34 650 slov.Z Mississippi môžeme spolu utvoriť 34 650 slov.

346504.3.2.1.4.3.2.1.2.1.1

11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

!1!.2!.4!.4

!11)11(P 4,4,2,1

Riešený príklad č.8:Riešený príklad č.8:Koľko vlakových súprav možno utvoriť, ak si Koľko vlakových súprav možno utvoriť, ak si

môžeme vybrať z 3 jedálenských, 2 nefajčiarskych a môžeme vybrať z 3 jedálenských, 2 nefajčiarskych a 2 lôžkových vagónov?2 lôžkových vagónov?

Riešenie:Riešenie: Pretože ak písmeno "a" napíšeme Pretože ak písmeno "a" napíšeme na jedno z piatich miest v slove, písmeno "k" na jedno z piatich miest v slove, písmeno "k" môžeme napísať už len na jedno zo štyroch môžeme napísať už len na jedno zo štyroch miest, písmeno "r" na jedno z troch miest atď.miest, písmeno "r" na jedno z troch miest atď.

Možno utvoriť 1 260 vlakových súprav.Možno utvoriť 1 260 vlakových súprav.

12604.3.2.1.3.2.1.2.1

7.6.5.4.3.2.1

2!.3!.4!

!9)9(P 4,3,2

KombinácieKombinácie

Definícia:Definícia:

Kombinácia Kombinácia kk-tej triedy z -tej triedy z nn prvkov je každá k- prvkov je každá k-prvková podmnožina množiny určenej týmito prvková podmnožina množiny určenej týmito nn prvkami. Označuje ju Cprvkami. Označuje ju Ckk((nn).).

Vzorec:Vzorec:

k

n)n(Ck

Riešený príklad č.9:Riešený príklad č.9:Na písomnej skúške z matematiky je 16 žiakov, z Na písomnej skúške z matematiky je 16 žiakov, z

ktorých štyria sú na skúšku výborne pripravení. Polovica ktorých štyria sú na skúšku výborne pripravení. Polovica žiakov má vždy rovnaké zadanie úlohy. Koľkými spôsobmi žiakov má vždy rovnaké zadanie úlohy. Koľkými spôsobmi môžeme rozdeliť žiakov, aby v obidvoch skupinách boli vždy môžeme rozdeliť žiakov, aby v obidvoch skupinách boli vždy dvaja výborne pripravení žiaci?dvaja výborne pripravení žiaci?

Riešenie:Riešenie: Počet spôsobov, ktorými môžeme rozdeliť Počet spôsobov, ktorými môžeme rozdeliť štyroch výborne pripravených žiakov do dvoch skupín po štyroch výborne pripravených žiakov do dvoch skupín po dvoch žiakoch v každej skupine je Cdvoch žiakoch v každej skupine je C22(4). Ku každej dvojici (4). Ku každej dvojici

môžeme pripojiť 6 žiakov, to je Cmôžeme pripojiť 6 žiakov, to je C66(12).(12).

Žiakov môžeme rozdeliť 5 544 spôsobmi.Žiakov môžeme rozdeliť 5 544 spôsobmi.

55446

12.

2

4)12(C).4(Cn 62

Riešený príklad č.10:Riešený príklad č.10:V triede je 21 chlapcov a 9 dievčat. Koľkými V triede je 21 chlapcov a 9 dievčat. Koľkými

spôsobmi možno zvoliť trojčlenný výbor tak, aby v spôsobmi možno zvoliť trojčlenný výbor tak, aby v ňom boli 2 chlapci a 1 dievča?ňom boli 2 chlapci a 1 dievča?

Riešenie:Riešenie: Počet spôsobov, ktorými môžeme Počet spôsobov, ktorými môžeme rozdeliť žiakov do výboru po dvoch chlapcov, rozdeliť žiakov do výboru po dvoch chlapcov, to je Cto je C22(21). Ku každej dvojici môžeme pripojiť (21). Ku každej dvojici môžeme pripojiť

jedno dievča, to je Cjedno dievča, to je C11(9).(9).

Možno utvoriť 1 890 spôsobmi trojčlenný výbor.Možno utvoriť 1 890 spôsobmi trojčlenný výbor.

18901

6.

2

21)9(C).21(Cn 12

Kombinácie s opakovanímKombinácie s opakovaním

Vzorec:Vzorec:

Definícia:Definícia:

Ak vyberáme Ak vyberáme kk-prvkové skupiny, ktorej prvky sa -prvkové skupiny, ktorej prvky sa môžu opakovať, ale na ich poradí nezáleží, hovoríme môžu opakovať, ale na ich poradí nezáleží, hovoríme o kombináciách s opakovaním. Označujeme C´o kombináciách s opakovaním. Označujeme C´kk((nn).).

k

1kn)n('C k

Riešený príklad č.11:Riešený príklad č.11: Vo vrecku je máte10 guliek. Koľkými Vo vrecku je máte10 guliek. Koľkými

spôsobmi môžete z vrecka vytiahnuť tri guličky?spôsobmi môžete z vrecka vytiahnuť tri guličky?

Riešenie:Riešenie: Ak nezáleží na poradí a prvky sa Ak nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať, tak ide o kombinácie 3 triedy môžu opakovať, tak ide o kombinácie 3 triedy z 10 prvkov s opakovaním.z 10 prvkov s opakovaním.

Tri guličky môžeme vytiahnuť 66 spôsobmi.Tri guličky môžeme vytiahnuť 66 spôsobmi.

663

12

3

1310)10('C 3

Ak ste pochopili teóriu, tak môžete Ak ste pochopili teóriu, tak môžete prejsť na cvičenia.prejsť na cvičenia.