a kombinatorika tÁrgya

Készítette: Takács Sándor 1

A KOMBINATORIKA TÁRGYA

• Kérdések:• 1. n elemet hányféleképpen lehet egymás• mellé tenni (permutáció).• 2. n elemből hányféleképpen lehet kiválasztani• k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít (kombináció).• 3. n elemből hányféleképpen lehet kiválasztani• k elemet úgy, hogy a sorrend számít (variáció).• Példák.

a. Hányféleképpen tölthető ki egy lottószelvény?b. Hány értelmes vagy értelmetlen szó képezhető a MATEMATIKA szó

betűiből? c. Hányféleképpen lehet négy játékos között kiosztani az 52 lapos francia

kártyát? d. Hány háromjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 5 számjegyekből? e. Hányféle módon ülhet le 6 személy egy padra egymás mellé, és

hányféleképpen helyezkedhet el egy kerek asztal körül?


Permutációk

DEFINÍCIÓ. n különböző elem egy meghatározott sorrendben való elhelyezését az n elem egy permutációjának nevezzük.

Példa. Legyen: a, b, c. Permutációk pl.: b c a, c a b, a c b, stb.

– Mennyi a permutációk száma?

– Vegyük az {1,2,3} halmazt. A lehetséges permutációk

3

1

1

1

1

1

2

2

2

2

23

3

3

3


Pn: n számú elem összes permutációinak száma:Pn = n(n - 1)(n - 2)...3•2•1 = n! (n faktoriális)

Megjegyzés.1. n! = n(n-1)! ezért a fenti képlet így is írható:

Pn = nPn-1 (rekurzív képlet).2. Definíció szerint 0! = 1.3. A fenti tételt indukcióval bizonyítjuk!Példa. Írjuk le 4 elem lehetséges permutációit

abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdcacabd cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba


Megjegyzés.1. Az n növekedésével az n! nagyon erősen növekszik. Például 10!=3 628 8002. Az n! közelítésére a Stirling formulát használhatjuk. Eszerint

21

2!

nnnen Feladatok.1. Hány olyan tízjegyű szám van, amelyben minden számjegy

csak egyszer fordul elő?2. Hányféle sorrendben állítható 3 férfi és 4 nő, ha azt akarjuk,

hogy a férfiak és nők felváltva következzenek egymás után?3. Az 1,2,3,4,5 elemeknek hány olyan permutációja van,

amelynek harmadik eleme 1-es?


4. Az 1,2,3,4,5,6,7,8 számjegyekből készíthető nyolcjegyű számok közül hány kezdődik 125-el?

5. Hány olyan permutációja van az 1,2,3,4,5,6,7,8 elemeknek, amelyben az első három helyet a 6,7,8 elemek foglalják el valamilyen sorrendben, s az utolsó helyen az 5-ös áll?

6. Hány ötjegyű páratlan szám készíthető az 1,2,3,4,5 számjegyekből?7. Hányféleképpen lehet 8 gépre 8 munkást elosztani, ha az első gépre csak 2

munkás jöhet számításba?8. Hányféleképpen lehet egy kerek asztal körül 20 embert elhelyezni, ha kettő

közülük okvetlenül egymás mellé akar ülni? 9. Hányféleképpen foglalhat helyet egymás mellett 4 férfi és 4 nő úgy, hogy a

férfiak és nők felváltva kövessék egymást?10. Egy dobozban 20 alkatrész van, köztük 5 selejtes. Hányféleképpen vehetjük

ki egyenként a 20 alkatrészt úgy, hogy utoljára a selejteseket vegyük ki?11. Adott a síkon n pont, amelyek között nincs három olyan, amely egy

egyenesre esik. Valamelyik pontból kiindulva, az egyes pontokat egyenes szakaszokkal összekötve zárt n-szögeket rajzolunk. Hány különböző n-szöget kaphatunk?


ISMÉTLÉSES PERMUTÁCIÓ

DEFINÍCIÓ. Adott n elem, amelyek között r (r≤n) különböző található: a1, a2, …,ar. Az a1 elem k1-szera2 elem k2 –szer………………..ar elem kr- szer fordul elő, és k1+k2+…+kr = nAz adott n elem egy meghatározott sorrendjét ezen elemek egy ismétléses permutációjának nevezzük. A lehetséges ismétléses permutációk számát a következőképpen jelöljük:

rkkknP ,...,, 21

Készítsük el az a,b,b permutációit!

a,b,ba,b,bb,a,bb,b,ab,a,bb,b,a

a,b,bb,a,bb,b,a


)....( !!...!

!21

21

,...,, 21 nkkkkkk

nP r

kkkn

r

r

Példa. Az 1, 1, 2, 3 elemek esetén:

24

4! 4 3 2 1P 4 3 12.

2! 2 1

Példa. A MATEMATIKA szó betűiből alkotott összes ismétléses permutációk száma:

.151200!2!2!3

!10


Feladatok

1. Egy bolt 5 dolgozója közül 2 fő 25 éves, 1 fő 32 éves, 2 fő 40 éves. Életkoraik szerint hány lehetséges sorrendbe rendezhetők?

2. Hányféleképpen tölthetjük ki egy 13 mérkőzést tartalmazó totószelvény egy oszlopát, ha 8 mérkőzést 1-esre, 2 mérkőzést x-esre és 3 mérkőzést 2-esre tippelünk?

3. Határozzuk meg az 1,2,2,3,3,3 elemek permutációinak számát! Ezek közül hány olyan van, amelyben az első helyen a kettes számjegy áll?

4. Az 1 és 2 számjegyek felhasználásával hány olyan nyolcjegyű számot készíthetünk, amelyben az 1-esek száma egyenlő a 2-esek számával?

5. A KOMBINATORIKA betűinek hány permutációja van?6. Az 1,1,2,2,3,3 számjegyekből hány olyan hatjegyű szám

készíthető, amely 12-vel kezdődik?


Feladatok

7. Az 1,2,3,4,5 számjegyekből úgy készítünk tízjegyű számokat, hogy minden számjegyet kétszer felhasználunk. Ezek közül hány kezdődik 135-el?

8. Hány hatjegyű páros szám alkotható a 2,2,3,5,6,6 számjegyekből?

9. Hányféle sorrendben húzhatunk ki egy dobozból 5 fehér és 4 fekete golyót, ha csak azokat a húzásokat tekintjük különbözőknek, amelyekben a színek más sorrendben következnek?

10. Hány ötjegyű szám készíthető a 0,1,1,3,3 számjegyekből? Írjuk fel őket!

11. Hány nyolcjegyű szám készíthető a 0,0,0,3,3,3,4,4 számjegyekből?


12. Mutassuk meg, hogy: 2! 1 ! 1 ! ! ; n n n n

13. Igazoljuk, hogy ha k≥1 és egész szám, akkor fennáll a következő egyenlőség:

14. Mutassuk meg, hogy minden n ≥1 egész számra igaz a következő egyenlőség:

• n!=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+11!+1

15. Legyen (a1, a2,…,an) az 1,2,…,n számoknak egy tetszőleges permutációja. Bizonyítsuk be, hogy a következő szorzat páros szám, ha n páratlan:

2

2 !1 3 3 1....

2 2 2 2 2 ! k

kk k

k

1 21

1 1 ... 1 ;

n

i ni

a i a a a


Variációk

DEFINÍCIÓ. Legyen n különböző elem; k elemet (n≥ k) kell kiválasztanunk, minden elemet legfeljebb egyszer, és a sorrend is számít n elem k-ad osztályú variációja.

Példa: Írjuk fel a,b,c,d másodosztályú variációit!

kn: VSzámuk

(a,b) (a,c) (a,d) (b,a) (b,c) (b,d)

(c,a) (c,b) (c,d) (d,a) (d,b) (d,c)


Variációk

2. Hány háromjegyű számot készíthetünk az 1,2,3,4,5,6 számjegyekből, ha minden szám csak egymástól különböző számjegyeket tartalmazhat?

3. Hány háromjegyű számot készíthetünk az 0,1,2,3,4,5 számjegyekből, ha minden szám csak egymástól különböző számjegyeket tartalmazhat?

4. Hány olyan nyolcjegyű szám van, amiben a számjegyek nem ismétlődhetnek?5. 20 munkásból 15-öt kell futószalag elé állítani. Hányféleképpen lehetséges ez,

ha a futószalaghoz állítás sorrendjét is figyelembe vesszük?6. 10 munkahely mindenikére kell küldenünk egy szakmunkást, és vele egy

segédmunkást. Hányféleképpen lehetséges ez, ha a vállalat 10 szakmunkással és 12 segédmunkással rendelkezik?

!( 1) 2 ... 1

!k

n

nV n n n n k

n k

Feladatok:1. Hozzuk egyszerűbb alakra:

5 4 k+2 k+1n n n n

2 kn n

V V V V.) b.)

V Va


7. Hányféleképpen ültethetünk egy padra 5 fiú és 4 lány közül 5 személyt úgy, hogy két fiú, vagy két lány ne kerüljön egymás mellé?

8. Egy dobozból, amelyben 8 piros és bizonyos számú fehér, számozott golyó van, egymás után visszatevés nélkül 1280-féleképpen húzható ki három golyó úgy, hogy két piros vagy két fehér golyó ne következzék egymás után. Hány fehér golyó van a dobozban?

9. Lehetséges-e, hogy n elem permutációinak száma egyenlő ugyanezen elemek valahányad osztályú ismétlés nélküli variációinak a számával?


Ismétléses variáció

Definíció:Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses variációját kapjuk.

k(i)n: VSzámuk

Példa: Írjuk fel a,b,c,d másodosztályú ismétléses variációit!

(a,a) (a,b) (a,c) (a,d)(b,a) (b,b) (b,c) (b,d)(c,a) (c,b) (c,c) (c,d)(d,a) (d,b) (d,c) (d,d)


Ismétléses variáció

Feladat: Állítsuk elő az 1,2 elemek negyedosztályú ismétléses variációit! (1 1 1 1) (1 1 1 2) (1 1 2 1) (1 2 1 1) (2 1 1 1) (1 1 2 2) (1 2 1 2) (1 2 2 1)

(2 2 1 1) (2 1 2 1) (2 1 1 2) (1 2 2 2) (2 1 2 2) (2 2 1 2) (2 2 2 1) (2 2 2 2)

k(i)n: V kTétel n

Példa: 1. Egy kockával ötször dobunk egymás után. Hány különböző dobássorozatot kapunk, ha a dobások sorrendje is számít?

2. Hatjegyű telefonszámok esetén mennyi az automata telefonközpont összes lehetséges állomásainak a száma?

3. Hány különböző módon tölthető ki egy 13 találatos totószelvény?

65

106

313


Kombináció

Definíció:Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet (0<k≤n) választunk ki, hogy mindenik csak egyszer kerül sorra, és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú kombinációját kapjuk.

kn: C

n

kSzámuk

Példa: Írjuk fel a,b,c,d másodosztályú kombinációit!

(a,b) (a,c) (a,d)(b,c) (b,d)(c,d)


Kombinációk

1. Hány szelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen 5-ösöm a LOTTÓ-n?

( 1) 2 ... 1 !

! ! !

nkn

k

n n n n k nC

k k n k

Megjegyzés:A bizonyítás alapja a köv. összefüggés:

( , ) !

!( )!k k n kn n

nC P

k n k


Ismétléses Kombináció

Definíció:Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses kombinációját kapjuk.

k(i)n: CSzámuk

Példa: Írjuk fel a,b,c,d másodosztályú ismétléses kombinációit!

(a,a) (a,b) (a,c) (a,d)(b,b) (b,c) (b,d)(c,c) (c,d)(d,d)

1( )

n kk in

kC


1 1

0 1 1

0

...

; (n N; a,b )

n n n nn n n n n

n n

n nn k k

kk

a b a a b ab b

a b R

k

nbinomiális együttható;

Ezekből az alábbi Pascal háromszöget kapjuk.

Binomiális tétel

Példa: fejtsük ki: (x2-2y3)5


0

3

0

2

3

3

2

2

1

1

0

1

0

0

1

3

1

2

2

3

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

Pascal háromszög


l. Szimmetria:

2. Összegtulajdonság:

3. Az n-edik sor összege:

4. Bernoulli egyenlőtlenség:

kn

n

k

n

1

1

1 k

n

k

n

k

n

nn

k

n

k

n2)11(

0

).1 ,1( ,11 nanaa n

Tulajdonságok

a kombinatorika tÁrgya

Documents