KÉMIAI ALAPOK - tankonyvtar.hu · COPYRIGHT: 2011-2016, Dr. Benkő Zoltán, Kőmívesné Tamás Ibolya, Dr. Stankovics Éva, BME Vegyészmérnöki és Biomérnöki Kar Szervetlen
100
Szerkesztette: BENKŐ ZOLTÁN Írta: BENKŐ ZOLTÁN, KŐMÍVESNÉ TAMÁS IBOLYA, STANKOVICS ÉVA Lektorálta: IGAZ SAROLTA KÉMIAI ALAPOK Egyetemi tananyag 2011 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Vegyészmérnöki és Biomérnöki Kar Szervetlen és Analitikai Kémia Tanszék
Budapesti Műszaki eacutes Gazdasaacutegtudomaacutenyi Egyetem Vegyeacuteszmeacuternoumlki eacutes Biomeacuternoumlki Kar Szervetlen eacutes Analitikai Keacutemia Tanszeacutek
COPYRIGHT 2011-2016 Dr Benkő Zoltaacuten Kőmiacutevesneacute Tamaacutes Ibolya Dr Stankovics Eacuteva BME
Vegyeacuteszmeacuternoumlki eacutes Biomeacuternoumlki Kar Szervetlen eacutes Analitikai Keacutemia Tanszeacutek
LEKTORAacuteLTA Dr Igaz Sarolta OKKER Zrt
KOumlZREMŰKOumlDOumlTT Fekete Csaba Koumlnczoumll Laacuteszloacute
A szerző neveacutenek feltuumlnteteacutese mellett nem kereskedelmi ceacutellal szabadon
maacutesolhatoacute terjeszthető megjelentethető eacutes előadhatoacute de nem moacutedosiacutethatoacute
TAacuteMOGATAacuteS
Keacuteszuumllt a TAacuteMOP-412-082AKMR-2009-0028 szaacutemuacute bdquoMultidiszciplinaacuteris modulrendszerű digitaacutelis
tananyagfejleszteacutes a vegyeacuteszmeacuternoumlki biomeacuternoumlki eacutes vegyeacutesz alapkeacutepzeacutesbenrdquo ciacutemű projekt kereteacuteben
KEacuteSZUumlLT a Typotex Kiadoacute gondozaacutesaacuteban
FELELŐS VEZETŐ Votisky Zsuzsa
AZ ELEKTRONIKUS KIADAacuteST ELŐKEacuteSZIacuteTETTE Waizinger Joacutezsef
valamint a megoszlaacutesi egyensuacutelyokat Az aacuteltalaacutenos keacutemiaacuteval foglalkozoacute reacuteszt az Elektrokeacutemia ciacutemű fejezet
zaacuterja A jegyzet utolsoacute fejezetei roumlviden ismertetik a legfontosabb szervetlen eacutes szerves keacutemiai ismereteket
veacuteguumll az eacuterdeklődő Olvasoacute az utolsoacute fejezetben talaacutelhatoacute peacuteldataacuter gyakorloacutefeladatain oumlnaacutelloacutean ellenőrizheti
felkeacuteszuumlltseacutegeacutet
Tartalomjegyzeacutek 3
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
TARTALOMJEGYZEacuteK
ELŐSZOacute 5 1 MATEMATIKAI EacuteS FIZIKAI ALAPOK 6
11 Matematikai alapok 6 12 Fizikai alapismeretek 33 13 A goumlroumlg aacutebeacuteceacute 43
2 AZ ATOMOK SZERKEZETE 44 21 Az atommodellekről dioacuteheacutejban 44 22 Az atomok feleacutepiacuteteacutese 44 23 Az atomok elektronszerkezete 48 24 A kvantumszaacutemok 56 25 Az elemek perioacutedusos rendszere 57 26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben 62 27 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek -feladatok 73
3 KEacuteMIAI KOumlTEacuteSEK EacuteS A MOLEKULAacuteK SZERKEZETE 75 31 Keacutemiai koumlteacutesek 75 32 A molekulaacutek alakja 90
4 HALMAZOK HALMAZAacuteLLAPOTOK 104 41 Alapfogalmak elemek vegyuumlletek kevereacutekek 104 42 Az anyagi halmazok csoportosiacutetaacutesa 106 43 Halmazaacutellapotok halmazaacutellapot-vaacuteltozaacutesok 106 44 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek 129 45 Szaacutemiacutetaacutesi feladatok gaacuteztoumlrveacutenyekkel 130
5 KONCENTRAacuteCIOacuteK OLDHATOacuteSAacuteG AacuteTKRISTAacuteLYOSIacuteTAacuteS 148 51 Toumlrt- illetve szaacutezaleacutekjellegű mennyiseacutegek 148 52 Koncentraacutecioacute jellegű mennyiseacutegek 149 53 A ppm- eacutes ppb-koncentraacutecioacutek 150 54 A koncentraacutecioacutek aacutetszaacutemiacutetaacutesa 151 55 Az oldhatoacutesaacuteg 166 56 Műveletek oldatokkal 168 57 Kristaacutelyvizes soacutek 182 58 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek 191
6 HIacuteG OLDATOK TOumlRVEacuteNYEI 193 61 A forraacutespont-emelkedeacutes eacutes fagyaacutespontcsoumlkkeneacutes toumlrveacutenye 193 62 A van rsquot Hoff-faktor 194 63 Az ozmoacutezisnyomaacutes 197
Ebben a bevezető jellegű fejezetben az első feacuteleacuteves Keacutemiai alapok eacutes Aacuteltalaacutenos keacutemia gyakorlat
elsajaacutetiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges legfontosabb matematikai eacutes fizikai oumlsszefuumlggeacuteseket vesszuumlk sorra
11 Matematikai alapok
111 A meacutereacutesek eacutes szaacutemiacutetaacutesok pontossaacutega
A meacuterhető mennyiseacutegeknek keacutet nagy csoportjaacutet kuumlloumlnboumlztethetjuumlk meg Az egyik az uacutegynevezett
diszkreacutet vaacuteltozoacuteval leiacuterhatoacute mennyiseacuteg melyeket pontosan szaacutemszerűsiacuteteni tudunk Ilyen peacuteldaacuteul a
darabszaacutem ismeruumlnk olyat hogy egy darab alma vagy neacutegy darab alma de nincs tuacutel sok eacutertelme 254
darab almaacuteroacutel beszeacutelni A maacutesik csoportba olyan mennyiseacutegek tartoznak melyek eacuterteacuteke folytonosan
vaacuteltozhat azaz nem csak adott egeacutesz eacuterteacutekeket vehet fel Ilyen peacuteldaacuteul a toumlmeg a teruumllet az
aacuteramerősseacuteg az anyagmennyiseacuteg eacutes iacutegy tovaacutebb Ezekre jellemző hogy eacuterteacutekuumlk baacutermilyen ndash nem
felteacutetlenuumll egeacutesz ndash eacuterteacuteket felvehet Ennek van egy rendkiacutevuumll fontos koumlvetkezmeacutenye az ilyen
mennyiseacutegek meacutereacutesekor elkoumlvetett hiba befolyaacutesolja a meacutereacutes pontossaacutegaacutet
Vegyuumlnk egy egyszerű peacuteldaacutet Toumlmegmeacutereacutesneacutel egyaacuteltalaacuten nem mindegy milyen bdquofajtardquo meacuterleget
hasznaacutelunk hogy peacuteldaacuteul tehermeacutereacutesre hasznaacutelatos bdquomaacutezsaacutenrdquo szemeacutelymeacuterlegen konyhai meacuterlegen
vagy a laboratoacuterium analitikai meacuterlegeacuten meacuterjuumlk meg egy taacutergy toumlmegeacutet A kuumlloumlnboumlző meacuterlegeket
kuumlloumlnfeacutele meacutereacuteshataacuterokra tervezteacutek eacutes elteacuterő pontossaacuteggal is rendelkeznek Peacuteldaacuteul miacuteg egy maacutezsa
vagy egy szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm addig egy analitikai meacuterleg pontossaacutega
toumlbbnyire 00001 gramm vagy akaacuter meacuteg enneacutel kisebb is lehet Mit is jelent ez a pontossaacuteg kifejezeacutes
Ha egy digitaacutelis szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm eacutes a meacuterleg 764 kilogrammot mutat
akkor a teacutenyleges toumlmegről annyit tudunk hogy igen nagy valoacutesziacutenűseacuteggel a 763 kilogramm eacutes 765
kilogramm koumlzoumltt van Eacutes ebből az is koumlvetkezik hogy 764 kilogrammnak laacutetjuk toumlmeguumlnket akkor
is ha az 76359 kilogramm vagy akaacuter 76432 kilogramm mivel a meacuterleg nem keacutepes pontosabban
kijelezni az eacuterteacuteket
Vegyuumlnk egy maacutesik peacuteldaacutet Egy seprűnyeacutel hosszaacutenak meghataacuterozaacutesaacutet veacutegezzuumlk eacutes keacutetfeacutele
meacuterőszalag aacutell rendelkezeacutesuumlnkre az egyiken centimeacuteter-beosztaacutes van a maacutesikon a millimeacutetereket is
feltuumlntetteacutek az előzőt kisebb pontossaacuteguacutenak az utoacutebbit nagyobb pontossaacuteguacutenak tekintjuumlk A seprűnyeacutel
hosszaacutet egy nagyon pontos meacutereacutessel is megmeacutertuumlk eacutes 168314 centimeacuteternek adoacutedott Ha megmeacuterjuumlk
ezt a taacutergyat a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal millimeacuteter pontossaacuteggal ismerjuumlk a taacutergy hosszaacutet
mely 168 centimeacuteter eacutes 3 millimeacuteter Ha azonban a maacutesik centimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal meacuterjuumlk
meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet csak a centimeacuteteregyseacutegeket tudjuk leolvasni ami esetuumlnkben 168
esetleg szemre tudjuk becsuumllni a harmad centimeacuteternyi taacutevolsaacutegot Ebben az esetben azonban nem
adhatjuk meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet 1683 centimeacuteternek mert a meacuterőszalag beosztaacutesa ezt nem teszi
lehetőveacute A centimeacuteter pontossaacuteguacute meacuterőszalaggal meacuterve a helyesen megadott mennyiseacuteg 168
centimeacuteter
Tegyuumlk fel hogy a fentebb emliacutetett seprűnyelet megmeacuterjuumlk a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalag
segiacutetseacutegeacutevel eacutes hosszaacutet egeacuteszen pontosan 1683 centimeacuteternek olvassuk le azaz szemre nem
eacuterzeacutekeluumlnk elteacutereacutest a millimeacuteteregyseacutegben Ilyenkor azonban nem adhatjuk meg a seprűnyeacutel hosszaacutet az
alaacutebbi alakban 168300 centimeacuteter de meacuteg iacutegy sem 16830 centimeacuteter mivel a meacuterőeszkoumlz
pontossaacutega ezt nem teszi lehetőveacute A helyes megadaacutesi moacuted a koumlvetkező 1683 centimeacuteter
Akaacuter laboratoacuteriumban dolgozunk akaacuter szaacutemiacutetaacutesi feladatot oldunk meg gyakran előfordul hogy
az adatok pontossaacutegaacutet is figyelembe kell vennuumlnk Ha meacutereacutest veacutegzuumlnk aacuteltalaacuteban ismerjuumlk a meacutereacutes
pontossaacutegaacutet eacutes ebből meg tudjuk aacutellapiacutetani milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű megadnunk az eredmeacutenyt
Viszont a szaacutemiacutetaacutesi feladatok is aacuteltalaacuteban kiacuteseacuterleti eredmeacutenyeken alapulnak ezeacutert ott is fontos szem
előtt tartani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacutet A fentiek alapjaacuten jelentős kuumlloumlnbseacuteg van peacuteldaacuteul az 10 dm3
eacutes az 10000 dm3 koumlzoumltt Az első esetben csak az első tizedesjegyben lehetuumlnk biztosak a valoacutesaacutegban
lehet hogy 102 dm3 vagy 098 dm3 az eacuterteacutek A maacutesodik esetben azonban biztosak lehetuumlnk abban
hogy neacutegy tizedesjegy pontossaacuteggal ismerjuumlk az eacuterteacuteket Termeacuteszetesen egy adott teacuterfogatot nem csak
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 7
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
dm3-ben hanem maacutes meacuterteacutekegyseacutegben is megadhatunk azaz 10000 dm3 megegyezik 10000 cm3-rel
Innen laacutethatjuk hogy nem a tizedesjegyek szaacutema szaacutemiacutet
Az eacuterteacutekes jegy fogalmaacutet a pontossaacuteg definiaacutelaacutesaacutera vezetteacutek be Eacuterteacutekes jegynek tekintjuumlk a szaacutem
szaacutemjegyeit kiveacuteve az egyneacutel kisebb szaacutemok elejeacuten talaacutelhatoacute nullaacutet illetve nullaacutekat (azon nullaacutekat
melyek csak a helyi eacuterteacuteket jelzik) Az 10 dm3 feliacuteraacutesban 2 eacuterteacutekes jeggyel adtuk meg a pontossaacutegot
az 10000 dm3 eseteacuten pedig 5 eacuterteacutekes jegyről beszeacuteluumlnk Viszont a 002 dm
3 eseteacuten probleacutemaacuteba
uumltkoumlzuumlnk Ebben az esetben az első keacutet nulla nem szaacutemiacutet eacuterteacutekes jegynek csupaacuten a 2-es szaacutemjegy A
legegyszerűbb moacutedja az eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutenak hogy a mennyiseacuteget aacutetiacuterjuk normaacutel alakba
eacutes megaacutellapiacutetjuk hogy haacuteny szaacutemjegyet tartalmaz a 10 megfelelő hatvaacutenya előtt aacutelloacute szorzoacute teacutenyező
A fenti peacuteldaacuteban 002 dm3 = 2 middot 10ndash2 dm3 azaz 1 eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal ismerjuumlk a teacuterfogatot Az
eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutera az alaacutebbi szabaacutelyokat ismerjuumlk
Az egyneacutel kisebb szaacutemokban az első nem zeacuterus szaacutemjegyet megelőző nullaacutek nem szaacutemiacutetanak
eacuterteacutekes jegynek Peacuteldaacuteul 0000060 g = 60 middot 10ndash5 g azaz keacutet eacuterteacutekes jegyet tartalmaz
Baacutermely maacutes esetben (azaz ha van előtte nem zeacuterus szaacutemjegy) a nulla is eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Peacuteldaacuteul a 10000 dm3-ben 5 eacuterteacutekes jegy talaacutelhatoacute
A nullaacutetoacutel elteacuterő minden szaacutemjegy eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Fontos megjegyezni hogy a meacuterteacutekegyseacutegek aacutetvaacuteltaacutesa nem okozhat vaacuteltozaacutest az eacuterteacutekes jegyek
szaacutemaacuteban azaz sem nem noumlvekedhet sem nem csoumlkkenhet az eacuterteacutekes jegyek szaacutema Iacutegy peacuteldaacuteul
0067060 km = 67060 m = 67060 cm = 67060 mm = 67060 middot 10ndash2 km mint laacutetjuk minden esetben 5
eacuterteacutekes jegy a pontossaacuteg
Ha szaacutemiacutetaacutesi feladatokat oldunk meg szaacutemoloacutegeacutepuumlnkkel aacuteltalaacuteban igen sok tizedes jegy
pontossaacutegra keacutepesek vagyunk meghataacuterozni az eredmeacutenyeket Azonban a sok-sok tizedes jegy
megadaacutesa gyakran teljesen felesleges A koumlvetkezőkben azt vizsgaacuteljuk meg hogy egy szaacutemiacutetaacutesi
feladat megoldaacutesa soraacuten milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű a szaacutemiacutetaacutesokat elveacutegezni eacutes a veacutegeredmeacutenyt
megadni
A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten ceacutelszerű a lehető legpontosabban szaacutemolni mivel iacutegy tudjuk lecsoumlkkenteni a
kerekiacuteteacutesekből adoacutedoacute hibaacutekat Ha rendelkezeacutesre aacutell szaacutemoloacutegeacutep akkor eacuterdemes az adatokat megtartani
a szaacutemoloacutegeacutepben eacutes azokkal szaacutemolni tovaacutebb
Ha a feladat veacutegeacutere eacutertuumlnk a veacutegeredmeacuteny megadaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacutepp ceacutelszerű veacutegezni
vizsgaacuteljuk meg a feladat szoumlvegeacuteben talaacutelhatoacute adatok pontossaacutegaacutet azaz aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny
eacuterteacutekes jegyre van megadva Ezutaacuten meg kell aacutellapiacutetanunk hogy melyik mennyiseacuteg tartalmazza a
legkevesebb eacuterteacutekes jegyet azaz melyik van a legpontatlanabbul megadva A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten csupaacuten
matematikai műveleteket veacutegzuumlnk eacutes iacutegy nem tudunk javiacutetani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacuten Tehaacutet a
veacutegeredmeacuteny pontossaacutegaacutet a legpontatlanabbul megadott kiindulaacutesi adat pontossaacutega szabja meg a
veacutegeredmeacutenyt (legfeljebb) annyi eacuterteacutekes jegy pontossaacutegra adjuk meg mint a legpontatlanabbul
megadott kiindulaacutesi adat eacuterteacutekes jegyeinek szaacutema A szaacutemoloacutegeacutep adatait a megfelelő eacuterteacutekes jegyekre
kell kerekiacutetenuumlnk azaz az 1 2 3 eacutes 4 szaacutemjegyeket lefeleacute az 5 6 7 8 eacutes 9 szaacutemjegyeket pedig felfeleacute
kerekiacutetjuumlk Egy zaacuterthelyi dolgozat eseteacuten termeacuteszetesen a reacuteszeredmeacutenyeket sem ceacutelszerű lejegyezni
az oumlsszes leacutetező tizedesjeggyel ilyenkor is eacuterdemes eacutesszerűen kerekiacutetenuumlnk a megfelelő eacuterteacutekes
jegyre Amennyiben az eredmeacuteny egy nagyon kicsi vagy nagyon nagy szaacutem mindenkeacutepp eacuterdemes
normaacutelalakban megadni az eredmeacutenyt Ennek tovaacutebbi előnye hogy az eacuterteacutekes jegyek szaacutemaacutet is
ellenőrizni tudjuk
11 peacutelda
Egy teacuteglatest eacuteleinek hossza a = 637 cm b = 014570 m eacutes c = 3201 cm Adjuk meg a teacuteglatest
teacuterfogataacutet m3 egyseacutegben
Megoldaacutes
Iacuterjuk aacutet az oumlsszes adatot meacuteter meacuterteacutekegyseacutegre eacutes aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny eacuterteacutekes jegyet
tartalmaz
a = 637 cm = 00637 m 3 eacuterteacutekes jegy
b = 014570 m 5 eacuterteacutekes jegy
c = 3201 cm = 03201 m 4 eacuterteacutekes jegy
8 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A teacuteglatest teacuterfogata
V = a middot b middot c = (00637 m) middot (014570 m) middot (03201 m) = 000029708769 m3
Mivel igen kicsi szaacutemeacuterteacutekről van szoacute ceacutelszerű aacutetiacuternunk normaacutelalakra V = 29708769 middot 10minus4 m3
Mint fentebb ismertettuumlk a veacutegeredmeacutenyt szabaacutelyosan a legpontatlanabbul azaz legkevesebb
eacuterteacutekes jeggyel megadott adat eacuterteacutekes jegyire lehet megadni azaz jelen esetben 3 eacuterteacutekes jegyneacutel
toumlbbet nem eacuterdemes megadunk A veacutegeredmeacuteny helyes pontossaacutegban megadva
V = 297 ∙ 10minus4 m3
112 Alapvető matematikai oumlsszefuumlggeacutesek
Egyenes araacutenyossaacuteg keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn ha az egyik mennyiseacuteget
valahaacutenyszorosaacutera vaacuteltoztatjuk akkor a maacutesik mennyiseacuteg is ugyanannyiszorosaacutera vaacuteltozik
Ha az egyenes araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki iacutegy iacuterhatjuk le y = a middot x ahol y eacutes x a keacutet
keacuterdeacuteses mennyiseacuteg a pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt akkor
beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg araacutenya aacutellandoacute jelen esetben ez megegyezik
a-val Grafikonban aacutebraacutezolva egy origoacuten aacutetmenő egyenest kapunk
1121 aacutebra Az egyenes araacutenyossaacuteg
Az egyenes araacutenyossaacuteg fuumlggveacutenye a lineaacuteris fuumlggveacutenyek egy speciaacutelis esete a tengelymetszet
zeacuterus azaz az egyenesnek az origoacuten kell aacutetmennie
Az egyenes araacutenyossaacutegra szaacutemtalan peacuteldaacutet tudunk a mindennapi eacuteletből eacutes a
termeacuteszettudomaacutenyokboacutel egyaraacutent A fizikai eacutes keacutemiai tartalmuacute peacuteldaacutekkal a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg reacuteszletesen azonban koumlvetkezzen egy igen egyszerű peacutelda Ennek ceacutelja elsősorban
az hogy megismerhessuumlk a kuumlloumlnboumlző megoldaacutesi moacutedszereket hogy ki-ki maga eldoumlnthesse hogy
melyiket alkalmazza koumlnnyebben
12 peacutelda
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forintba keruumll akkor mennyibe keruumll 3 kilogramm reacutezgaacutelic
Megoldaacutes
A) Feliacuteraacutes egyenes araacutenyossaacuteggal szoumlvegesen
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 9
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic x forint
Ezt toumlbbfeacutelekeacuteppen lehet megoldani
Feliacuterhatjuk hogy a mennyiseacutegek araacutenya aacutellandoacute
kg3
forintw
kg2
forint1800
Ebből koumlnnyedeacuten megkapjuk hogy w = 2700 forint
Egy maacutesik megoldaacutes ha az uacutegynevezett keresztbeszorzaacutest alkalmazzuk melyet sok helyen taniacutetanak
koumlzeacutepiskolaacutekban elsősorban keacutemiaoacuteraacuten
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic w forint
Azaz 2 kg middot w forint = 3 kg middot 1800 forint melyből egyszerűen adoacutedik hogy w = 2700 forint
hasonloacutean az előző megoldaacutes eredmeacutenyeacutehez
B) Kiszaacutemiacutethatjuk az araacutenyossaacutegi teacutenyezőt az y = a middot x egyenlet alapjaacuten ez tulajdonkeacuteppen az 1
kilogramm reacutezgaacutelic aacutera
kg
forint900
kg2
forint1800
toumlmeg
aacutera
Iacutegy az egyseacutegaacuterboacutel koumlnnyedeacuten megkaphatjuk a 3 kilogramm reacutezgaacuteliceacutert fizetendő aacuterat w = a middot x =
(900 forint kg) middot (3 kg) = 2700 forint
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg ha az egyik mennyiseacuteget valahaacutenyszorosaacutera noumlveljuumlk a maacutesik mennyiseacuteg
ugyanannyiad reacuteszeacutere csoumlkken
Ha a fordiacutetott araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki a koumlvetkezőkeacutepp iacuterhatjuk fel y = b x ahol
y eacutes x a keacutet keacuterdeacuteses mennyiseacuteg b pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg
koumlzoumltt akkor beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg szorzata aacutellandoacute jelen esetben
ez megegyezik b-vel Grafikonban aacutebraacutezolva egy uacutegynevezett hiperbolaacutet kapunk (amennyiben a
negatiacutev mennyiseacutegekről is van eacutertelme beszeacutelni a hiperbolaacutenak van egy negatiacutev tartomaacutenyban
talaacutelhatoacute szaacutera is)
10 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1122 aacutebra A fordiacutetott araacutenyossaacuteg
Termeacuteszetesen fordiacutetott araacutenyossaacutegra is szaacutemtalan peacuteldaacutet lehet talaacutelni melyekkel a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg Ismeacutet egy igen egyszerű peacutelda
13 peacutelda
Keacutetfeacutele tisztasaacuteguacute reacutezgaacutelicot forgalmaz a vegyszerkereskedő A rosszabb minőseacutegű toumlbb
szennyeződeacutest tartalmazoacute aacutera kilogrammonkeacutent 1800 forint aacutem van egy tisztaacutebb is melynek aacutera 2400
forint kilogrammonkeacutent Haacuteny kilogrammnyit tudunk venni a jobb minőseacutegű reacutezgaacutelic 12
kilogrammjaacutenak aacuteraacuteboacutel ha azt rosszabb minőseacutegű reacutezgaacutelicra koumlltjuumlk
Megoldaacutes
A) Araacutenypaacuterral
Ha 2400 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel 12 kg-ot tudunk venni
akkor az 1800 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel z kg-ot tudunk venni
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg eseteacuten a mennyiseacutegek szorzata aacutellandoacute
(2400 Ftkg) middot (12 kg) = (1800 Ftkg) middot (z kg)
Ebből z = 16 kilogramm
B) Fuumlggveacutennyel
Mivel a fordiacutetott araacutenyossaacuteg feliacuterhatoacute uacutegy hogy y = b x ebből koumlvetkezik hogy b = y middot x tehaacutet
b = (2400 Ftkg) middot (12 kg) = 28 800 Ft azaz ennyi a rendelkezeacutesre aacutelloacute peacutenzoumlsszeg Ebből
kiszaacutemiacutethatoacute hogy az olcsoacutebb reacutezgaacutelicboacutel mennyit tudunk venni
y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 11
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodfokuacute egyenlet megoldaacutesa
A maacutesodfokuacute egyenlet megoldoacutekeacutepleteacutenek alkalmazaacutesaacutehoz az egyenletet az alaacutebbi formaacutera kell hozni
a middot x2 + b middot x + c = 0
Ekkor az a b eacutes c parameacuteterek fuumlggveacutenyeacuteben a maacutesodfokuacute egyenlet keacutet megoldaacutesa
a2
ca4bbx
2
1
eacutes
a2
ca4bbx
2
2
A neacutegyzetgyoumlk alatti kifejezeacutest diszkriminaacutensnak nevezzuumlk D = b2 ndash 4 middot a middot c
A diszkriminaacutens előjeleacuteből koumlvetkeztethetuumlnk arra hogy haacuteny valoacutes megoldaacutesa van a maacutesodfokuacute
egyenletnek Ha a diszkriminaacutens pozitiacutev keacutet valoacutes gyoumlkoumlt kapunk ha a diszkriminaacutens negatiacutev nincsen
valoacutes megoldaacutesa az egyenletnek Abban az esetben ha a diszkriminaacutens eacuterteacuteke nulla x1 eacutes x2 gyoumlkoumlk
megegyeznek azaz a maacutesodfokuacute egyenletnek egyetlen megoldaacutesa van
14 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
(x ndash 2) middot (x + 5) = 8
Megoldaacutes
Elveacutegezve a szorzaacutest
x2 ndash 2 middot x + 5 middot x ndash 10 = 8
Nullaacutera rendezve
x2 + 3 middot x ndash 18 = 0
Tehaacutet a = 1 b = 3 eacutes c = ndash18 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe (itt a fenti keacutet keacuteplet egy koumlzoumls
keacutepletteacute van oumlsszeolvasztva)
2
93
2
813
12
)18(1433
a2
ca4bbx
22
21
azaz 2
93x1
eacutes 6
2
93x 2
15 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
16 middot x2 ndash 104 middot x + 169 = 0
Megoldaacutes
A nullaacutera rendezett formaacuteboacutel a = 16 b = minus104 eacutes c = 169 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe
4
13
32
0104
162
169164104104
a2
ca4bbx
22
21
Mivel az egyenlet diszkriminaacutensa (a neacutegyzetgyoumlk alatt aacutelloacute kifejezeacutes D = b2 minus 4 middot a middot c) zeacuterus az
egyenlet keacutet gyoumlke ugyanaz tehaacutet egy megoldaacutesa van az egyenletnek 4
13x
12 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Oumlsszegek eacutes szorzatok feliacuteraacutesa
Egy oumlsszeg kifejteacutese
n
1i
n21i aaaa
Egy szorzat kifejteacutese m21
m
1i
i bbbb
Legfontosabb hatvaacutenyozaacutesi eacutes gyoumlkvonaacutesi azonossaacutegok
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a ndash b) middot (a + b) = a2 ndash b2
an middot bn = (amiddotb)n
an bn = (a b)n (b ne 0)
an middot am = an + m
an am = an ndash m (a ne 0)
mnnmmn aaa
n
1
n aa (a ge 0 ha n paacuteros)
mely alapjaacuten a fenti hatvaacutenyozaacutesi azonossaacutegok alkalmazhatoacuteak a gyoumlkvonaacutesra is
A logaritmusfuumlggveacutenyt a koumlvetkezőkeacuteppen definiaacutelhatjuk f(x) = loga x ahol bdquoardquo egy pozitiacutev
szaacutem A fuumlggveacuteny csak pozitiacutev x eacuterteacutekekre van definiaacutelva Amennyiben a gt 0 a fuumlggveacuteny monoton
noumlvekvő ha 0 lt a lt 1 a fuumlggveacuteny csoumlkkenő A logaritmusfuumlggveacuteny az x tengelyt mindig az (1 0)
pontban metszi
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 15
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1134 aacutebra Logaritmusfuumlggveacutenyek
114 Log-log diagramok eacutes taacutersaik
A meacuternoumlki-keacutemiai gyakorlatban sok oumlsszefuumlggeacutest hatvaacutenyfuumlggveacutenykeacutent jeleniacutethetuumlnk meg A
logaritmus egyik igen fontos alkalmazaacutesa hogy meg tudjuk vele aacutellapiacutetani egy hatvaacutenyfuumlggveacuteny
ismeretlen kitevőjeacutet
16 peacutelda
Adott keacutet meacuterhető mennyiseacuteg x eacutes y eacutes tudjuk hogy a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes az alaacutebbi
alakuacute y = xn A meacutereacuteseink soraacuten a koumlvetkező eacuterteacutekpaacuterokat kapjuk
x y
17 377
30 1559
37 2633
42 3615
49 5315
57 7757
69 12506
Aacutellapiacutetsuk meg az n hatvaacutenykitevőt
Megoldaacutes
Az eacuterteacutekpaacuterokat dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
16 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1141 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute koumlzti kapcsolat
A fenti aacutebraacuteboacutel igen neheacutez megaacutellapiacutetani a hatvaacutenykitevőt Mivel a keacutet vaacuteltozoacute (x eacutes y) koumlzoumltti
kapcsolat hatvaacutenyfuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le y = xn pozitiacutev x eacutes y eseteacuten loga y = loga xn = n middot loga x Ezeacutert
vegyuumlk az x eacutes y eacuterteacutekek 10-es alapuacute logaritmusaacutet
lg x lg y
02304 05761
04771 11928
05682 14205
06232 15581
06902 17255
07559 18897
08388 20971
A fenti eacuterteacutekpaacuterokat szinteacuten aacutebraacutezolhatjuk dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben
1142 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute logaritmusa koumlzti kapcsolat
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 17
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az eacuterteacutekek logaritmusa koumlzoumltti kapcsolat maacuter egyenes araacutenyossaacuteggal iacuterhatoacute le
koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk az egyenes meredekseacutegeacutet (iraacutenytangenseacutet) is n = 25 (Ezt akaacuter a
grafikonroacutel leolvasva akaacuter a megfelelő logaritmusok haacutenyadosakeacutent megkaphatjuk)
Tehaacutet a keresett fuumlggveacutenykapcsolat y = x25
A meacuternoumlki gyakorlatban elterjedt az uacutegynevezett log-log diagramok hasznaacutelata is Ekkor nem a
logaritmuseacuterteacutekeket aacutebraacutezoljuk a hagyomaacutenyos beosztaacutesuacute tengelyeken hanem a teacutenyleges eacuterteacutekeket
1145 aacutebra Az y = f(x) = a middot 10bmiddotx fuumlggveacuteny
A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineaacuteris leacutepteacutekű miacuteg az y tengely (ordinaacuteta)
logaritmikus leacutepteacutekű Az exponenciaacutelis fuumlggveacuteny parameacutetereit a meredekseacutegből eacutes tengelymetszetből
koumlnnyen leolvashatjuk
y = f(x) = a middot lg x Ekkor egyszerűen y-t aacutebraacutezoljuk lg x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes meghataacuterozhatjuk
az ismeretlen bdquoardquo parameacutetert
1146 aacutebra Az y = f(x) = a middot lg x fuumlggveacuteny
Tehaacutet ebben az esetben az abszcissza (x tengely) leacutepteacuteke logaritmikus miacuteg az ordinaacuteta (y tengely)
leacutepteacuteke lineaacuteris
Ez a moacutedszer akkor is segiacutetseacuteguumlnkre lehet ha nem ismerjuumlk az oumlsszefuumlggeacutest a keacutet mennyiseacuteg (x eacutes
y) koumlzoumltt viszont az aacutebraacutezolaacutesboacutel remeacutenykedhetuumlnk hogy az oumlsszefuumlggeacutes nem tuacutel bonyolult
fuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le Ilyenkor eacuterdemes kiproacutebaacutelni a fenti aacutetalakiacutetaacutesokat eacutes abban a szerencseacutes
esetben ha az iacutegy keletkezett transzformaacutelt vaacuteltozoacutek koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest kapunk meg tudjuk
hataacuterozni a szuumlkseacuteges parameacutetereket
Meacutereacutesi eredmeacutenyeket tartalmazoacute taacuteblaacutezatok hasznaacutelata soraacuten gyakran előfordul hogy egy olyan adatra
van szuumlkseacuteguumlnk melyre eacuteppen nincs meacutereacutesi eredmeacuteny Erre egy egyszerű peacutelda (peacuteldaacuteul y
mennyiseacuteget meacuterjuumlk x fuumlggveacutenyeacuteben)
x y
00 120
50 160
100 200
Tehaacutet ismerjuumlk y eacuterteacutekeacutet x = 00 x = 50 eacutes x = 100 eseteacuten Tegyuumlk fel hogy nekuumlnk toumlrteacutenetesen
szuumlkseacuteguumlnk van x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutere Ekkor toumlbb lehetőseacuteguumlnk van
ndash megmeacuterjuumlk kiacuteseacuterletileg x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutet
ndash aacutebraacutezoljuk y-t x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes grafikusan proacutebaacutelunk koumlvetkeztetni y eacuterteacutekeacutere x = 70 eseteacuten
ndash matematikai uacuteton bdquokiokoskodjukrdquo y eacuterteacutekeacutet az x = 70 helyen
Az első megoldaacutesra gyakran nincs lehetőseacuteg noha valoacutesziacutenűleg az lenne a legpontosabb A
grafikus megoldaacutes aacuteltalaacuteban hosszadalmas eacutes a leolvasaacutes pontatlan ezeacutert aacuteltalaacuteban az uacutegynevezett
lineaacuteris interpolaacutecioacutet alkalmazzuk ilyen esetekben Termeacuteszetesen ehhez az szuumlkseacuteges hogy a keacutet
vizsgaacutelt vaacuteltozoacute koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes aacutelljon fenn A moacutedszer gyakran olyankor is alkalmazhatoacute
ha a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt nem lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes viszont igen joacute koumlzeliacuteteacutessel lineaacuterisnak
tekinthető az adott tartomaacutenyban ezeacutert nem okoz tuacutel nagy hibaacutet az ha lineaacuterisnak vesszuumlk az
oumlsszefuumlggeacutest Ezt termeacuteszetesen az adott probleacutema jellege hataacuterozza meg eacutes csak bizonyos esetekben
hasznaacutelhatoacute Amennyiben keacutet meacutereacutesi pont koumlzoumltti eacuterteacuteket szeretneacutenk meghataacuterozni interpolaacutecioacuteroacutel
beszeacuteluumlnk (laacutesd fent) Ha a meacutereacutesi pontok alapjaacuten egy olyan pontot szeretneacutenk meghataacuterozni mely a
meacutereacutesi tartomaacutenyon kiacutevuumll esik azaz a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten peacuteldaacuteul x = 150 eseteacuten szeretneacutenk
meghataacuterozni y eacuterteacutekeacutet extrapolaacutecioacuteroacutel van szoacute Figyelem Miacuteg az interpolaacutecioacute a linearitaacutes
felteacutetelezeacuteseacutevel helyes eredmeacutenyt ad az extrapolaacutecioacute gyakran vezet olyan eredmeacutenyhez mely nem
felel meg a valoacutesaacutegnak Ennek oka hogy attoacutel hogy egy bizonyos tartomaacutenyban joggal
alkalmazhatunk lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest gyakran maacutes tartomaacutenyokban maacuter nagy hibaacutet okozhat a lineaacuteris
viselkedeacutestől valoacute elteacutereacutes Erre egy szemleacuteletes peacuteldaacutet mutat az alaacutebbi aacutebra
1151 aacutebra Az extrapolaacutecioacute hibaacutei
20 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az x = 40 hellip 50 tartomaacutenyban az oumlsszefuumlggeacutes lineaacuterisnak tekinthető tehaacutet peacuteldaacuteul az
x = 42 vagy x = 46 pontokban viszonylag pontosan becsuumllhetjuumlk y eacuterteacutekeacutet Aacutem ha az x = 40 eacutes x = 50
pontok alapjaacuten proacutebaacutelunk extrapolaacutelni x = 10 eacuterteacutekre a piros sziacutenű egyenes alapjaacuten (lineaacuteris fuumlggveacutenyt
felteacutetelezve) igen nagy hibaacutet koumlvetuumlnk el
A lineaacuteris interpolaacutecioacutet legszemleacuteletesebben egy peacutelda alapjaacuten eacuterthetjuumlk meg
17 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet vizes oldataacutenak a sűrűseacutege eacutes az oldat toumlmeg-os oumlsszeteacutetele koumlzoumltt
gyakorlatilag lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes Az alaacutebbi taacuteblaacutezat kuumlloumlnboumlző toumlmeg-os oumlsszeteacutetelű
magneacutezium-szulfaacutet-oldatok sűrűseacutegeacutet tartalmazza 20 degC hőmeacuterseacutekleten Becsuumlljuumlk meg lineaacuteris
interpolaacutecioacuteval a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutegeacutet
MgSO4-tartalom
(toumlmeg)
sűrűseacuteg
(gcm3)
6 10602
10 11034
14 11484
18 11955
Megoldaacutes
Az első leacutepeacutes megkeresni hogy mely pontok koumlzoumltt ceacutelszerű az interpolaacutecioacutet veacutegezni azaz meg kell
aacutellapiacutetani mely meacutereacutesi pontok koumlzeacute esik a keacuterdeacuteses pont A 11 toumlmeg-os oldat a 10 eacutes a 14 toumlmeg-
os oldat oumlsszeteacutetele koumlzeacute esik tehaacutet ebben az intervallumban ceacutelszerű a lineaacuteris interpolaacutecioacutet
elveacutegezni (Elvileg ugyan maacutes pontok koumlzoumltt is tudnaacutenk veacutegezni interpolaacutecioacutet aacutem a legszűkebb
intervallumot ceacutelszerű kivaacutelasztani mert a linearitaacutes felteacutetelezeacutese itt a leghelytaacutelloacutebb)
Lineaacuteris interpolaacutecioacute eseteacuten az y mennyiseacuteget (a sűrűseacuteget) x mennyiseacuteg (a MgSO4-tartalom
toumlmeg-ban) fuumlggveacutenyeacuteben a koumlvetkező oumlsszefuumlggeacutessel iacuterhatjuk le
y = a middot x + b
Az alaacutebbi diagramon laacutethatoacutek a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 14 toumlmeg-os (x2) oumlsszeteacutetelhez tartozoacute
pontok (a megfelelő sűrűseacutegek rendre y1 eacutes y2) illetve a keacuterdeacuteses sűrűseacuteg (y) a 11 toumlmeg-os pontban
(melyet a viacutezszintes tengelyen x-nek roumlvidiacutetettuumlnk)
1152 aacutebra Az oldat sűrűseacutege a toumlmegszaacutezaleacutek fuumlggveacutenyeacuteben
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 21
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Tehaacutet az (x1 y1) eacutes (x2 y2) pontok koumlzeacute behuacutezott egyenes meredekseacutege
12
12
xx
yy
x
ya
Mivel a noumlvekmeacutenyek (Γy eacutes Γx) koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn az bdquoardquo meredekseacuteg
ugyanakkora a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 11 toumlmeg-os (x) oumlsszeteacutetel eseteacuten is mint ahogyan a
koumlvetkező aacutebraacuten is laacutethatoacute
1153 aacutebra A sűrűseacuteg szaacutemiacutetaacutesa interpolaacutecioacuteval
Azaz feliacuterhatoacute ismeacutet hogy Γy eacutes Γx araacutenya aacutellandoacute meacuteghozzaacute a fenti bdquoardquo eacuterteacutek
1
1
xx
yy
x
ya
Mivel az bdquoardquo meredekseacuteg mindkeacutet esetben ugyanakkora feliacuterhatjuk a koumlvetkező kifejezeacutest
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
x
ya
Ezt a keacutepletet eacuterdemes megjegyezni aacutem ha nem megy olyan koumlnnyedeacuten akkor a fenti
gondolatmenettel baacutermikor igen koumlnnyen eljuthatunk hozzaacute Mivel a fenti egyenletben csupaacuten az y az
ismeretlen koumlnnyen kifejezhető
11
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Behelyettesiacutetve a keacutepletbe x x1 x2 y1 eacutes y2 eacuterteacutekeacutet (meacuterteacutekegyseacutegek neacutelkuumll)
1147111465110341)1011(1014
1034114841y)xx(
xx
yyy 11
12
12
Tehaacutet a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege 11147 gcm3
22 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Megjegyzeacutes ugyanehhez az eredmeacutenyhez eljuthatunk kicsit maacutes uacuteton is Az alaacutebbi aacutebraacuten bejeloumllt
keacutet haacuteromszoumlg hasonloacute egymaacuteshoz iacutegy az oldalaik araacutenya is aacutellandoacute
1154 aacutebra Az interpolaacutecioacute szemleacutelteteacutese hasonloacute haacuteromszoumlgekkel
18 peacutelda
Egy kiacuteseacuterlet soraacuten megmeacutertuumlk egy ismeretlen magneacutezium-szulfaacutet oldat sűrűseacutegeacutet mely 11600 gcm3-
nek adoacutedott Lineaacuteris interpolaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel aacutellapiacutetsuk meg az oldat magneacutezium-szulfaacutet-tartalmaacutet
toumlmeg-ban A feladat megoldaacutesaacutehoz hasznaacuteljuk az előző peacuteldaacuteban megadott taacuteblaacutezatot
Megoldaacutes
A lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes lehetőseacuteget terem arra hogy a sűrűseacuteg (y) ismereteacuteben az ismeretlen toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelt (x) is meghataacuterozhassuk Mivel az 11600 gcm3 sűrűseacuteg-eacuterteacutek a 11484 eacutes 11955 gcm3
eacuterteacutekek koumlzoumltt talaacutelhatoacute a 14 eacutes 18 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelhez tartozoacute pontok koumlzt kell interpolaacutelni Az
előző peacuteldaacuteban megismert oumlsszefuumlggeacutest kell alkalmaznunk
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
Ebből most x-et kell kifejeznuumlnk x1 x2 y1 y2 eacutes y fuumlggveacutenyeacuteben
1
12
121
12
1211 x
yy
xx)yy(x
yy
xx)yy(xx
Behelyettesiacutetve a megfelelő eacuterteacutekeket
159814141484119551
1418)1484116001(x
yy
xx)yy(x 1
12
121
Tehaacutet az 11600 gcm3 sűrűseacutegű magneacutezium-szulfaacutet-oldat koumlruumllbeluumll 15 toumlmeg-os
Mint emliacutetettuumlk az extrapolaacutecioacute soraacuten mindig fokozott figyelemmel kell eljaacuterni mivel gyakran
előfordul hogy az extrapolaacutelt eacuterteacutek nem joacute becsleacutese a valoacutedi eacuterteacuteknek Koumlvetkezzen egy peacutelda az
extrapolaacutecioacutera
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 23
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
19 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet-oldatra bemutatott 6 eacutes 10 toumlmeg-os adatok alapjaacuten extrapolaacuteljunk 0 toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelre
Megoldaacutes
Az előzőekhez hasonloacutean 6 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelneacutel (x1) a sűrűseacuteg 10602 gcm3 (y1) 10 toumlmeg
(x2) eseteacuten pedig 11034 gcm3 (y2) A feladat megbecsuumllni a sűrűseacuteget (y) 0 toumlmeg (x) eseteacuten
Ismeacutetelten ceacutelszerű egy aacutebraacutet keacutesziacuteteni a megoldaacuteshoz
1155 aacutebra Peacutelda a lineaacuteris extrapolaacutecioacutera
Az előző feladatok megoldaacutesaacutehoz hasonloacutean feliacuterhatjuk az egyes pontokat oumlsszekoumltő egyenesek
meredekseacutegeacutet eacutes a keacutet meredekseacutegnek meg kell egyeznie
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
x
ya
Kifejezve y-t x fuumlggveacutenyeacuteben
11
12
1211
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyyy)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Eacuterdemes megfigyelni hogy a kapott kifejezeacutes ugyanaz mint amit az interpolaacutecioacutenaacutel kaptunk
Behelyettesiacutetve az eacuterteacutekeket
9954006021)60(610
0602110341y)xx(
xx
yyy 11
12
12
A desztillaacutelt viacutez sűrűseacutege 4 degC-on 1000 grammcm3 20 degC-on pedig 0998 grammcm
3 iacutegy az
extrapolaacutecioacuteval kapott 09954 grammcm3 eacuterteacutek igen joacutel koumlzeliacuteti a valoacutedi eacuterteacuteket Ebből arra
koumlvetkeztethetuumlnk hogy a magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege eacutes oumlsszeteacutetele koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes igen
Gyakran előfordul hogy egy egyenlet megoldaacutesaacutera nem ismeruumlnk megfelelő bdquokeacutepletetrdquo sőt nem ritka
hogy egy egyenletet csak koumlzeliacutetőleg tudunk megoldani Ebben a reacuteszben bemutatunk egy egyszerű
moacutedszert melynek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megoldhatunk kuumlloumlnfeacutele egyenleteket
110 peacutelda
Oldjuk meg koumlzeliacutetőleg a koumlvetkező egyenletet
0xlgx
Megoldaacutes
Az egyenletet a pozitiacutev szaacutemok halmazaacuten kell megoldanunk
Hozzuk az egyenletet a koumlvetkező formaacutera
x = f(x)
Erre keacutet lehetőseacuteguumlnk van azaz
A) xlgx
x10x xA 10)x(f
B) xlgx
22 )x(lg)xlg(x xlg)x(f 2B
Ezutaacuten proacutebaacuteljuk megoldani az egyenletet az A) illetve B) uacuteton Vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0
eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0 = 05 ezutaacuten x0 eacuterteacutekeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuten aacutelloacute kifejezeacutesbe
melynek eredmeacutenye x1 = f(x0) lesz Ezutaacuten x1-et behelyettesiacutetjuumlk a jobb oldali kifejezeacutesbe eacutes
megkapjuk x2 = f(x1) eacuterteacutekeacutet majd ezt ismeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuteba eacutes iacutegy tovaacutebb
Ha az egyenlet megoldhatoacute ezzel a moacutedszerrel azt kell tapasztalnunk hogy az egymaacutest koumlvető x0
x1 = f(x0) x2 = f(x1) x3 = f(x2) hellip xi+1 = f(xi) hellip eacuterteacutekeknek koumlzeledniuumlk kell a megoldaacuteshoz mely
iacutegy tetszőleges pontossaacuteggal kiszaacutemiacutethatoacute Most neacutezzuumlk ezt meg az adott peacuteldaacuten
A)
x0 = 05 x0 = 05000
x1 = 50000x
1010 0 x1 asymp 01363
x2 = 19630x
1010 1 x2 asymp 03605
x3 = 36050x
1010 2 x3 asymp 02509
x4 = 25090x
1010 3 x4 asymp 03156
x5 = 31560x
1010 4 x5 asymp 02743
x6 = 27430x
1010 5 x6 asymp 02994
x7 = 29940x
1010 6 x7 asymp 02837
x8 = 28370x
1010 7 x8 asymp 02933
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 25
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x9 = 29330x
1010 8 x9 asymp 02873
x10 = 28730x
1010 9 x10 asymp 02910
x11 = 29100x
1010 10 x11 asymp 02887
x12 = 28870x
1010 11 x12 asymp 02902
x13 = 29020x
1010 12 x13 asymp 02893
x14 = 28930x
1010 13 x14 asymp 02898
x15 = 28980x
1010 14 x15 asymp 02895
x16 = 28950x
1010 15 x16 asymp 02897
x17 = 28970x
1010 16 x17 asymp 02896
x18 = 28960x
1010 17 x18 asymp 02896
x19 = 28960x
1010 18 x19 asymp 02896
Mint laacutetjuk az eredmeacutenyek egy adott eacuterteacutekhez koumlzeliacutetenek eacutes ez az eacuterteacutek eacuteppen az egyenlet
megoldaacutesa
1161 aacutebra Az eredmeacutenyek konvergenciaacuteja
Az eredmeacutenyekből szeacutepen laacutetszik hogy mineacutel toumlbbszoumlr veacutegezzuumlk el a behelyettesiacuteteacutest egyre
pontosabban kapjuk meg az egyenlet eredmeacutenyeacutet Ha keacutet tizedesjegy pontossaacuteggal szeretneacutenk
megoldani az egyenletet akkor eleacuteg csak a 8 leacutepeacutesig folytatni ha az eredmeacutenyre haacuterom tizedesjegy
pontossaacutegra vagyunk kiacutevaacutencsiak a 14 leacutepeacutesig kell folytatnunk az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest Az egyenlet
pontos megoldaacutesa heacutet eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal 02896232
Megjegyzendő hogy a moacutedszer gyorsasaacutega termeacuteszetesen fuumlgg a kiindulaacutesi x0 eacuterteacutek kivaacutelasztaacutesaacutetoacutel
Az eljaacuteraacutest grafikusan az alaacutebbi animaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel szemleacuteltethetjuumlk
26 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1161 animaacutecioacute Az iteraacutecioacute
1162 aacutebra Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutes szemleacutelteteacutese
B)
Az előzőekhez hasonloacutean legyen a kiindulaacutesi eacuterteacutek x0 = 05
x0 = 05 x0 asymp 05000
x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906
x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874
x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013
x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837
x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431
x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055
x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090
x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017
x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)
2 x9 asymp 00897
x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965
x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016
x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 27
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972
x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097
x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555
x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697
x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867
x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311
Mint ahogyan a fenti eacuterteacutekeket aacutebraacutezolva laacutethatjuk az eredmeacutenyek nem tartanak egy adott
eacuterteacutekhez
1163 aacutebra A nem megfelelő fuumlggveacutenykapcsolat koumlvetkezmeacutenye
A feladatot iacutegy a B) uacuteton nem tudjuk megoldani a megoldaacutes csak az A) uacuteton lehetseacuteges Annak
magyaraacutezataacutehoz hogy mieacutert csak az egyik uacuteton jutottunk el a veacutegeredmeacutenyhez felsőbb matematikai
eszkoumlzoumlk is szuumlkseacutegesek ezeacutert ezzel a keacuterdeacutessel itt nem foglalkozunk reacuteszletesen Amennyiben egy
aacutetalakiacutetaacutesi moacuted nem vezet megoldaacuteshoz eacuterdemes megproacutebaacutelni az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest a fuumlggveacuteny
inverzeacutevel is
111 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
x3 + 4 middot x2 minus 1 = 0
Megoldaacutes
Egy harmadfokuacute fuumlggveacutenynek egy kettő vagy haacuterom gyoumlke lehetseacuteges A g(x) = x3 + 4 middot x2 minus 1
fuumlggveacutenyt aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
Mint a fenti aacutebraacuteboacutel laacutethatoacute a g(x) fuumlggveacutenynek haacuterom zeacuteruspontja van iacutegy a g(x) = 0
egyenletnek haacuterom megoldaacutesa van A grafikus megoldaacutesboacutel annyit megaacutellapiacutethatunk hogy egy gyoumlk
x = minus4 koumlrnyezeteacuteben egy maacutesik x = minus05 koumlrnyezeteacuteben miacuteg a harmadik x = 05 koumlrnyezeteacuteben
talaacutelhatoacute
Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacuteshoz x = f(x) alakra kell hozni az egyenletet Erre toumlbb lehetőseacuteg is van
A)
3 2x41x
Az előző feladat megoldaacutesaacutenak mintaacutejaacutera vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0 eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0=10
(baacutermely maacutes szaacutem is lehetne) Az iteraacutecioacute első 32 leacutepeacuteseacutenek xn eacuterteacuteke a leacutepeacutesszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben a
Az alaacutebbiakban a legfontosabb siacutekidomok keruumlleteacutenek (K) eacutes teruumlleteacutenek (T) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Haacuteromszoumlg
cbaK
2
sinba
2
maT a
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a haacuteromszoumlg oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo
oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Trapeacutez
dcbaK
30 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
m2
caT
bdquoardquo eacutes bdquocrdquo a trapeacutez paacuterhuzamos oldalai m a keacutet paacuterhuzamos oldal koumlzoumltti taacutevolsaacuteg azaz a trapeacutez
magassaacutega bdquocrdquo eacutes bdquodrdquo a trapeacutez szaacuterai
Paralelogramma
)ba(2K
sinbambmaT ba
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a paralelogramma oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg mb az a oldalhoz
tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Teacuteglalap
)ba(2K
baT
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a teacuteglalap oldalai
Neacutegyzet
a4K
2aT
bdquoardquo a neacutegyzet oldala
Deltoid
)ba(2K
fe2
1T
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a deltoid oldalai bdquoerdquo eacutes bdquofrdquo a deltoid aacutetloacutei
Rombusz
a4K
sinamaT 2a
bdquoardquo a rombusz oldala ma a magassaacutega α pedig a rombusz keacutet egymaacutes melletti oldala aacuteltal bezaacutert
szoumlg
Koumlr
dr2K
22 d4
1rT
bdquorrdquo a koumlr sugara bdquodrdquo a koumlr aacutetmeacuterője
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 31
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Haacuteromszoumlg
cbaK 2
sinba
2
maT a
Trapeacutez
dcbaK m2
caT
Paralelogramma
)ba(2K sinbambmaT ba
Teacuteglalap
)ba(2K baT
Neacutegyzet
a4K 2aT
Deltoid
)ba(2K fe
2
1T
Rombusz
a4K sinamaT 2a
Koumlr
dr2K 22 d4
1rT
118 Testek felsziacutene eacutes teacuterfogata
Az alaacutebbiakban a legfontosabb testek felsziacuteneacutenek (A) eacutes teacuterfogataacutenak (V) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Teacuteglatest
)acbcab(2A
32 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
cbaV
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a teacuteglatest eacutelei
Kocka
2a6A
3aV
bdquoardquo a kocka eacutele
Egyenes koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2
hd4
1hrV 22
bdquorrdquo az alapkoumlr sugara bdquodrdquo az alapkoumlr aacutetmeacuterője bdquohrdquo a henger magassaacutega
Goumlmb
22 dr4A
33 d6
1r
3
4V
bdquorrdquo a goumlmb sugara bdquodrdquo a goumlmb aacutetmeacuterője
Teacuteglatest
)acbcab(2A cbaV
Kocka
2a6A 3aV
Egyenes
koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2 hd4
1hrV 22
Goumlmb
22 dr4A 33 d6
1r
3
4V
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 33
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
12 Fizikai alapismeretek
121 SI-alapmennyiseacutegek meacuterteacutekegyseacutegeik eacutes gyakori jeloumlleacuteseik
Hosszuacutesaacuteg
Jele ℓ (longitudo hosszuacutesaacuteg) s (taacutevolsaacuteg uacutet)
Meacuterteacutekegyseacutege meacuteter ( metrum ndash latin metron ndash goumlroumlg meacuterteacutek) roumlvidiacuteteacutese m
Toumlmeg
Jele m (massa)
Meacuterteacutekegyseacutege kilogramm ( kilo + gramma ndash goumlroumlg kis toumlmeg) roumlvidiacuteteacutese kg
Idő
Jele t (tempus)
Meacuterteacutekegyseacutege maacutesodperc vagy szekundum ( secunda ndash latin kis reacutesz) roumlvidiacuteteacutese s
Aacuteramerősseacuteg
Jele I (intensitas)
Meacuterteacutekegyseacutege amper ( Andreacute-Marie Ampegravere) roumlvidiacuteteacutese A
Hőmeacuterseacuteklet
Jele T (temperare)
Meacuterteacutekegyseacutege kelvin ( William Thomson Kelvin) roumlvidiacuteteacutese K
Energia a munkaveacutegző keacutepesseacuteg Az energia bdquoeltaacuterolt munkardquo mely megfelelő koumlruumllmeacutenyek
koumlzoumltt munkaacutevaacute alakiacutethatoacute Az energia kuumlloumlnfeacutele formaacutekban jelenik meg peacuteldaacuteul beszeacutelhetuumlnk
mechanikai (mozgaacutesi helyzetihellip) termikus elektromos stb Az energia a rendszer egy aacutellapotaacutet iacuterja
le a munka pedig az aacutellapotok koumlzoumltti vaacuteltozaacutest
Jele E ( energy ndash angol)
Meacuterteacutekegyseacutege ugyanaz mint a munkaacutenak J (joule) 1 J = 1 Nmiddotm = 1 kgmiddotm2middotsminus2
Teljesiacutetmeacuteny a munka eacutes az munkaveacutegzeacutes időtartamaacutenak haacutenyadosa egyseacutegnyi idő alatt veacutegzett
munka a munkaveacutegzeacutes sebesseacutege
Jele P ( power ndash angol)
t
WP
Meacuterteacutekegyseacutege W (watt) 1 W = 1 Js = 1 (kgmiddotm2s2)s = 1 kgmiddotm2s3 = 1 kgmiddotm2middotsminus3
s
F
Fs
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 37
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hataacutesfok a hasznos munka eacutes az oumlsszes befektetett munka haacutenyadosa vagy maacuteskeacuteppen a
hasznos teljesiacutetmeacuteny eacutes az oumlsszes befektetett teljesiacutetmeacuteny haacutenyadosa
Jele ε
ouml
h
W
W
ouml
h
P
P
Wh hasznos munka Wouml befektetett munka Ph hasznos teljesiacutetmeacuteny Pouml befektetett teljesiacutetmeacuteny
Dimenzioacutementes szaacutem eacuterteacuteke 0 le ε le 1
124 Elektromossaacutegtan
Toumllteacutes az elemi toumllteacutesnek valahaacutenyszorosa
Jele Q
Meacuterteacutekegyseacutege C (coulomb) 1 C = 1 Amiddots
Az elektron toumllteacutese q = 1602middot10minus19 C Az elektoron toumllteacuteseacutet negatiacutevnak a protoneacutet pedig
pozitiacutevnak tekintjuumlk
Coulomb toumlrveacutenye keacutet pontszerű toumllteacutes koumlzoumltt hatoacute erő egyenesen araacutenyos a toumllteacutesekkel eacutes
fordiacutetottan araacutenyos a toumllteacutesek koumlzoumltti taacutevolsaacuteg neacutegyzeteacutevel Keacutet azonos előjelű toumllteacutes (++ illetve minusminus)
F erő Q1 eacutes Q2 toumllteacutes r a keacutet toumllteacutes koumlzoumltti taacutevolsaacuteg k araacutenyossaacutegi teacutenyező melynek eacuterteacuteke
899 ∙ 109 Nm2C2
1241 aacutebra Coulomb toumlrveacutenye
Aacuteramerősseacuteg az időegyseacuteg alatt aacutethaladt toumllteacutesek mennyiseacutege
Jele I ( intensitas ndash angol)
t
QI
Q aacutethaladt toumllteacutes t idő
Meacuterteacutekegyseacutege A (amper) 1 A = 1 Cs = 1 Cmiddotsminus1
38 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Feszuumlltseacuteg a munka eacutes a toumllteacutes haacutenyadosa A feszuumlltseacuteg megadja hogy mennyi munkaacutet veacutegez a
mező egyseacutegnyi toumllteacutesen miacuteg a toumllteacutes az egyik pontboacutel elmozdul a maacutesikba
Jele U
Q
WU
Q toumllteacutes W a Q toumllteacutes egyik pontboacutel a maacutesikba juttataacutesaacutehoz szuumlkseacuteges munka
Meacuterteacutekegyseacutege V (volt) 1 V = 1 JC = 1 kgmiddotm2s2(Amiddots) = 1 kgmiddotm2(Amiddots3) = 1 kgmiddotm2middotAminus1middotsminus3
Ellenaacutellaacutes egy elektromos koumlrben egy fogyasztoacuten eső feszuumlltseacuteg eacutes a rajta aacutetmenő aacuteramerősseacuteg
Ilyenkor az aacuteramforraacutes terheletlen azaz a teljes feszuumlltseacuteg az aacuteramforraacuteson esik
Azonban ha egy fogyasztoacuteval terheljuumlk az aacuteramforraacutest az aacuteramforraacuteson meacutert feszuumlltseacuteg maacuter nem
egyezik meg az elektromotoros erővel hanem annaacutel kisebb lesz Ezt a feszuumlltseacuteget
kapocsfeszuumlltseacutegnek nevezzuumlk (a terhelt aacuteramforraacutes kapcsain meacutert feszuumlltseacuteg) A jelenseacuteg oka hogy
az aacuteramkoumlrben folyoacute aacuteram az aacuteramforraacuteson is aacutetfolyik A toumllteacutesek mozgaacutesaacuteval szemben azonban az
aacuteramforraacutesnak is van ellenaacutellaacutesa ezt belső ellenaacutellaacutesnak nevezzuumlk
1242 aacutebra A belső ellenaacutellaacutes szemleacutelteteacutese
Az aacuteramkoumlrben meacuterhető aacuteramerősseacuteget (I) a fogyasztoacute bdquokuumllsőrdquo ellenaacutellaacutesa (Rk) eacutes az aacuteramforraacutes
belső ellenaacutellaacutesa (Rb) hataacuterozza meg
)RR(IU bk0 bk
0
RR
UI
A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramforraacutes kapcsain meacuterhető feszuumlltseacuteg azaz
b0kk RIURIU
A kapocsfeszuumlltseacuteget az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben aacutebraacutezolva a koumlvetkező diagramot kapjuk
1243 aacutebra A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben
U0
Uk
Rb
Rk
+minus
I
40 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha egy elhanyagolhatoacute ellenaacutellaacutesuacute vezetődarabbal oumlsszekoumltjuumlk az aacuteramforraacutes kivezeteacuteseit a
kapocsfeszuumlltseacuteg zeacuterus eacutes az ilyenkor meacuterhető aacuteramerősseacuteg a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram
b
00
R
UI
Mint ahogyan a fenti diagramon is laacutethatoacute a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram aacuteramerősseacuteg maximumaacutet adja meg
Egyenaacuteram munkaacuteja az aacuteramerősseacuteg a feszuumlltseacuteg eacutes az idő szorzata aacutem az ellenaacutellaacutes
segiacutetseacutegeacutevel toumlbb maacutes moacutedon is meghataacuterozhatoacute
tUIW
I aacuteramerősseacuteg U feszuumlltseacuteg t az elektromos munkaveacutegzeacutes ideje
Meacuterteacutekegyseacutege ndash a toumlbbi munkaacutehoz hasonloacutean ndash joule
A munka koumlnnyen adoacutedik a feszuumlltseacuteg eacutes a toumllteacutesmennyiseacuteg definiacutecioacutejaacuteboacutel
Q
WU tIUQUW
Az ellenaacutellaacutes segiacutetseacutegeacutevel a koumlvetkező keacutepletek adoacutednak
tR
UtU
R
UtUIW
2
illetve tRIt)RI(ItUIW 2
Elektromos teljesiacutetmeacuteny az elektromos teljesiacutetmeacuteny az aacuteramerősseacuteg eacutes a feszuumlltseacuteg szorzatakeacutent
adoacutedik Az ellenaacutellaacutes bevezeteacuteseacutevel ismeacutet tovaacutebbi oumlsszefuumlggeacuteseket kaphatunk
RIR
UUIW 2
2
Az elektromos teljesiacutetmeacuteny meacuterteacutekegyseacutege a watt A fenti oumlsszefuumlggeacutesek koumlzvetlenuumll adoacutednak az
elektromos munka keacutepleteiből (a teljesiacutetmeacuteny munka eacutes a munkaveacutegzeacutes idejeacutenek haacutenyadosa)
125 Hőtan
Hőmeacuterseacutekleti skaacutelaacutek a hőmeacuterseacuteklet meghataacuterozaacutesaacutera toumlbb kuumlloumlnboumlző skaacutelaacutet hasznaacutelhatunk A skaacutelaacutek
nagy reacuteszeacutet tapasztalati uacuteton alakiacutetottaacutek ki meacuteghozzaacute egy kivaacutelasztott alsoacute eacutes felső hőmeacuterseacutekleti eacuterteacutek
koumlzoumltt meghataacuterozott szaacutemuacute egyenletes skaacutelaosztaacutest alkalmazva Itt csak a gyakorlati szempontboacutel
legfontosabb keacutet skaacutelaacutet taacutergyaljuk
Az atomot alkotoacute elemi reacuteszecskeacutek toumlmege eacutes toumllteacutese
Reacuteszecske neve Toumlmeg Toumllteacutes Relatiacutev
toumlmeg
Relatiacutev
toumllteacutes
Atommag Proton (p+) 1672 middot 10minus27 kg 16021 middot 10minus19 C 18355 +1
Neutron (n0) 1674 middot 10minus27 kg 0 18377 0
Elektronburok Elektron (eminus) 9109 middot 10minus31 kg minus16021 middot 10minus19 C 1 minus1
Mint laacutethatoacute a fenti taacuteblaacutezatboacutel a proton eacutes a neutron toumlmege koumlzeliacutetőleg megegyezik az elektron
toumlmege pedig ezekneacutel nagysaacutegrendekkel kisebb (mintegy 1840-ed reacutesze a proton vagy a neutron
toumlmegeacutenek) A neutron semleges a proton eacutes az elektron toumllteacutese abszoluacutet eacuterteacutekben megegyezik aacutem
előjeluumlk ellenteacutetes
Rendszaacutem az atomban talaacutelhatoacute protonok szaacutema
Jele Z
Toumlmegszaacutem az atommagban talaacutelhatoacute protonok eacutes neutronok szaacutemaacutenak az oumlsszege
Jele A
Neutronszaacutem toumlmegszaacutemboacutel levonva a protonok szaacutemaacutet azaz a toumlmegszaacutem eacutes a rendszaacutem
kuumlloumlnbseacutege
Jele N
N = Z minus A
2 Az atomok szerkezete 45
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
(Keacutemiai) elemeknek nevezzuumlk az azonos rendszaacutemmal rendelkező atomokboacutel feleacutepuumllő
anyagokat Az elemeket vegyjeluumlkkel szoktuk azonosiacutetani A vegyjel előtt a toumlmegszaacutemot eacutes a
rendszaacutemot is feltuumlntethetjuumlk ilyenkor rendszerint a bal felső indexbe a toumlmegszaacutemot a bal alsoacute
indexbe a rendszaacutemot iacuterjuk
EAZ
Nuklid azonos rendszaacutemuacute eacutes toumlmegszaacutemuacute atommagokat tartalmazoacute atomok oumlsszesseacutege
Izotoacutep egy elem izotoacutepjainak nevezzuumlk azonos rendszaacutemmal aacutem kuumlloumlnboumlző toumlmegszaacutemmal
rendelkező atomjait (Egy elem kuumlloumlnboumlző neutronszaacutemuacute nuklidjai)
Relatiacutev atomtoumlmeg megmutatja hogy az adott atom toumlmege haacutenyszorosa egy C126 -atom
toumlmegeacutenek 112-ed reacuteszeacuteneacutel
Anyagmennyiseacuteg 1 moacutel az anyagmennyiseacutege 6022 middot 1023 darab reacuteszecskeacutenek
Avogadro-szaacutem egy moacutel reacuteszecske darabszaacutema Eacuterteacuteke 6022 middot 1023 mol
A relatiacutev atomtoumlmeg megadja 1 moacutel elem toumlmegeacutet az adott elem 6022 middot 1023 darab atomjaacutenak
oumlssztoumlmegeacutet
Egy elemek legnagyobb reacutesze toumlbbfeacutele izotoacutep elegye a termeacuteszetes gyakorisaacutegukboacutel adoacutedik a
relatiacutev atomtoumlmeg A relatiacutev atomtoumlmeg kiszaacutemiacutetaacutesaacutenaacutel az egyes izotoacutepok atomtoumlmegeacutet a termeacuteszetes
gyakorisaacutegukkal suacutelyozzuk
Tiszta elem olyan elem mely (a termeacuteszetben) csak egyetlen stabil izotoacutepjaacuteval fordul elő
A kuumlloumlnboumlző izotoacutepok gyakorlatilag toumlkeacuteletesen azonos keacutemiai tulajdonsaacuteggal rendelkeznek A
legnagyobb kuumlloumlnbseacuteg fizikai tulajdonsaacutegokban a hidrogeacuten haacuterom izotoacutepja koumlzoumltt van (itt egyetlen
proton mellett egy vagy keacutet neutron viszonylag nagyobb elteacutereacutest okoz) 1H proacutecium (9998) 2H deuteacuterium (002) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese D 3H triacutecium (radioaktiacutev) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese T
Radioaktivitaacutes a nem stabil atommagok spontaacuten bomlaacutesa A radioaktiacutev bomlaacutest nagy energiaacutejuacute
sugaacuterzaacutes kiacuteseacuteri
A nem stabil magokat szokaacutes radioaktiacutev magoknak is nevezni
A radioaktivitaacutes keacutemiai moacutedszerekkel ndash tehaacutet az elektronszerkezeten keresztuumll ndash nem
befolyaacutesolhatoacute
48 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
23 Az atomok elektronszerkezete
Az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronszerkezetuumlk hataacuterozza meg a keacutemiai vaacuteltozaacutesok az
atommagra nincsenek hataacutessal Az elektronok szaacutema megegyezik a rendszaacutemmal mely az adott
elemre jellemző iacutegy a kuumlloumlnboumlző elemek vaacuterhatoacutean kuumlloumlnboumlző keacutemiai tulajdonsaacutegokkal rendelkeznek
Az elektronok az atomokban atompaacutelyaacutekon helyezkednek el
Atompaacutelya az a teacuterreacutesz ahol az elektron 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute
Az elektron a teacuter baacutermely teacuterreacuteszeacuteben megtalaacutelhatoacute valamilyen valoacutesziacutenűseacuteggel az atompaacutelya
nem jelent eacuteles hataacutert inkaacutebb valoacutesziacutenűseacutegi jellegű
Az atompaacutelyaacutekat egy szaacutem eacutes egy betű kombinaacutecioacutejaacuteval szoktuk jeloumllni peacuteldaacuteul 1s 2px 3dxy
stbhellip
A paacutelyaacutekat teacuterben aacutebraacutezolhatjuk uacutegy hogy megjeleniacutetjuumlk azt a feluumlletet mellyel hataacuterolt
teacuterreacuteszben az elektron megtalaacutelaacutesaacutenak valoacutesziacutenűseacutege 90-os
A kuumlloumlnfeacutele paacutelyaacutek alakjaacutet megfigyelhetjuumlk az alaacutebbi aacutebraacuten
231 aacutebra Kuumlloumlnboumlző atompaacutelyaacutek alakja
A paacutelyaacutek egyik fontos jellemzője a csomoacutesiacutekok szaacutema Csomoacutesiacuteknak nevezzuumlk azt a siacutekot mely
keresztuumllmegy az atommagon eacutes benne az elektron megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege zeacuterus Mint laacutethatoacute az s-
paacutelyaacutenak nincsen csomoacutesiacutekja a p-paacutelyaacuteknak egy csomoacutesiacutekja van a d-paacutelyaacuteknak keacutet csomoacutesiacutekja van eacutes
iacutegy tovaacutebb
Az elektronburok feleacutepuumlleacutese
Mint a koraacutebbiakban is emliacutetettuumlk az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronburok feleacutepiacuteteacutese az
elektronszerkezet hataacuterozza meg Ezeacutert rendkiacutevuumll fontos az elektronszerkezet feleacutepuumlleacuteseacutet viszonylag
reacuteszletesen taacutergyalnunk Az aacuteltalaacutenos keacutemia ezen reacutesze viszonylag bonyolult viszont a fontos
alapfogalmak elsajaacutetiacutetaacutesa utaacuten eacuterdekes toumlrveacutenyszerűseacutegeket ismeruumlnk majd meg
Vegyuumlnk egy tetszőleges atommagot eacutes koumlzeliacutetsuumlnk hozzaacute egy elektront Az elektron a
legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacutera keruumll eacutes ezt energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri (Megjegyzendő hogy
a felszabaduloacute energia nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket) A legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutet 1s
paacutelyaacutenak nevezzuumlk Egy maacutesodik elektron koumlzeliacutetve az iacutegy keletkezett bdquoegyelektronosrdquo rendszerhez
szinteacuten egy atompaacutelyaacutera keruumllt melyet ismeacutet energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuter A maacutesodik elektron ndash az
elsőhoumlz hasonloacutean ndash az 1s paacutelyaacutera keruumll eacutes az energiafelszabadulaacutes is megegyezik az első elektron
koumltődeacuteseacuteneacutel tapasztalttal Ha ehhez a bdquokeacutetelektronosrdquo rendszerhez egy uacutejabb elektront adunk az maacuter
nem keruumllhet a legalacsonyabb energiaacutejuacute 1s paacutelyaacutera mivel az atompaacutelyaacutekon maximaacutelisan keacutet elektron
foglalhat helyet (Most ezt fogadjuk el teacutenykeacutent ndash a kiegeacutesziacutető anyagkeacutent taacutergyalandoacute ndash aacuteltalaacutenosan
megfogalmazott Pauli-elv koumlvetkezmeacutenye) A harmadik elektron iacutegy a 2s paacutelyaacutera keruumll Egy negyedik
elektront meacuteg mindig el tudunk helyezni a 2s paacutelyaacuten aacutem az oumltoumldik elektronnak maacuter az egyik 2p
paacutelyaacutera kell keruumllnie (mivel paacutelyaacutenkeacutent maximum keacutet elektron foglalhat helyet) Meacuteg mielőtt tuacutelzottan
belebonyoloacutednaacutenk a paacutelyaacutek szaacutemozaacutesaacuteba eacutes sorrendjeacutebe eacuterdemes oumlsszefoglalnunk a fentieket
2 Az atomok szerkezete 49
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
ndash Energiaminimumra toumlrekveacutes az elektron mindig a legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektront lehet elhelyezni
A paacutelyaacutekat az elektronokkal szokaacutes az alaacutebbi cellaacutes jeloumlleacutessel jeloumllni
Paacutelya elektron neacutelkuumll
(uumlres paacutelya)
Paacutelya egy elektronnal
(feacutelig betoumlltoumltt paacutelya)
Paacutelya keacutet elektronnal
(betoumlltoumltt paacutelya)
Alapaacutellapotuacute atom minden elektron a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacuten helyezkedik el
Gerjesztett atom az atommal energiaacutet koumlzoumllve egy vagy toumlbb elektron magasabb energiaacutejuacute
paacutelyaacutera keruumll (Meacuteg mindig koumltődik az atomhoz nem szakad le roacutela)
Az atompaacutelyaacutek alheacutejakat az alheacutejak pedig elektronheacutejakat alkotnak
Az alheacutejat a paacutelya megjeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute betű jeloumlli peacuteldaacuteul lehetseacuteges p-alheacutej d-alheacutej stb Egy
alheacutejon beluumll ugyanolyan tiacutepusuacute eacutes azonos (vagy hasonloacute) meacuteretű paacutelyaacutek talaacutelhatoacuteak aacutem ezeknek a
Egy adott alheacutejon beluumll az elektronok energiaacuteja azonos tehaacutet a 2px 2py eacutes a 2pz paacutelyaacutekon talaacutelhatoacute
elektronoknak ugyanakkora (ugyanolyam meacutely) az energiaacuteja
Az elektronheacutejat pedig a paacutelya jeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute szaacutem mutatja meg az elektronheacutej bdquomeacutereteacutevelrdquo
van kapcsolatban az 1 heacutej van a legkoumlzelebb az atommaghoz a 2 heacutej enneacutel kijjebb talaacutelhatoacute eacutes iacutegy
tovaacutebb Tehaacutet a heacutej sorszaacutema az atommagtoacutel valoacute taacutevolsaacutegot jelenti
A heacutejakon beluumll alheacutejak talaacutelhatoacuteak Peacuteldaacuteul az 1 heacutej egyetlen alheacutejboacutel (1s) aacutell mely csupaacuten egy
paacutelyaacutet tartalmaz (1s) a 2 heacutej keacutet alheacutejboacutel aacutell a 2s-alheacutej eacutes a 2p-alheacutej alkotja A legalacsonyabb
energiaacutejuacute heacutejat K heacutejnak a toumlbbit pedig rendre L M N O hellip heacutejaknak nevezzuumlk
Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk kuumlloumlnboumlző bdquofajtardquo kuumlloumlnboumlző alakuacute paacutelyaacutekat az egyes tiacutepusuacute atompaacutelyaacutek
darabszaacutemaacutet pedig a paacuteratlan egeacutesz szaacutemok adjaacutek meg (1 3 5 7 9 hellip)
ndash s-paacutelya heacutejankeacutent egy s-paacutelya lehetseacuteges ez az egy paacutelya alkotja az s-alheacutejat
ndash p-paacutelya heacutejankeacutent haacuterom p-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a p-alheacutejat
ndash d-paacutelya heacutejankeacutent oumlt d-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a d-alheacutejat
ndash f-paacutelya heacutejankeacutent heacutet f-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek az f-alheacutejat
Mint laacutethatoacute az s-alheacutej kiveacuteteleacutevel egy alheacutejon beluumll toumlbb paacutelya is talaacutelhatoacute a paacutelyaacuteknak toumlbbfeacutele
iraacutenyultsaacutega van a px py eacutes pz paacutelyaacutek egy dereacutekszoumlgű (Descartes-feacutele) teacuterbeli koordinaacutetarendszer
Tehaacutet mindig legelőszoumlr az 1s alheacutej toumlltődik be majd a 2s ezutaacuten a 2p Tovaacutebbi elektront a 3s
alheacutejra tudunk elhelyezni ezutaacuten a 3p alheacutej koumlvetkezik Eddig a sorrend megegyezik azzal mint amire
a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten szaacutemiacutetanaacutenk Aacutem a taacuteblaacutezat szerint koumlvetkező 3d alheacutej energiaacuteja magasabb
mint a 4s alheacutejeacute ezeacutert az elektron inkaacutebb arra keruumll Neheacutez pontos magyaraacutezatot adni arra hogy ez
mieacutert van ezeacutert egyszerűen csak fogadjuk el
Az alheacutejak fentebb bemutatott betoumlltődeacutesi sorrendje az alaacutebbi aacutebraacuten koumlnnyen nyomon koumlvethető
233 aacutebra Az alheacutejak betoumllteacutesi sorrendje
3px 3py 3pz3s
3p-alheacutej3s-alheacutej
3 (M) heacutej
3d-alheacutej
3dxy 3pyz 3pxz 3px minusy 3pz 2 22
1s
2s
3s
4s
5s
2p
3p
4p
5p
3d
4d
5d
4f
6s 6p
1 (K)
2 (L)
3 (M)
4 (N)
5 (O)
6 (P)
52 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Termeacuteszetesen a paacutelyaacutek betoumlltődeacutese addig tart amiacuteg rendelkezeacutesre aacutell elektron Mindig
figyelembe kell vennuumlnk hogy
ndash az s-alheacutejon 1 paacutelya
ndash a p-alheacutejon 3 paacutelya
ndash a d-alheacutejon 5 paacutelya
ndash az f-alheacutejon 7 paacutelya
talaacutelhatoacute eacutes hogy minden paacutelyaacuten maximaacutelisan keacutet elektron helyezkedhet el
Oumlsszefoglalva
ndash az s-alheacutejakra maximaacutelisan 2 elektront
ndash a p-alheacutejakra maximaacutelisan 6 elektront
ndash a d-alheacutejakra maximaacutelisan 10 elektront
ndash az f-alheacutejakra maximaacutelisan 14 elektront
helyezhetuumlnk
Ezeacutert szokaacutes a betoumlltődeacutesi energiasorrendet az alaacutebbi moacutedon is jeloumllni
1s2 rarr 2s
2 rarr 2p6 rarr 3s
2 rarr 3p6 rarr
rarr 4s2 rarr 3d
10 rarr 4p6 rarr 5s
2 rarr 4d10 rarr
rarr 5p6 rarr 6s
2 rarr 4f14
rarr 5d10 rarr 6p
6 hellip
Peacuteldaacuteul ha a fluoratom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak a fluor (9F)
rendszaacutemaacutenak megfelelő 9 elektront kell megfelelően elhelyezni Ehhez az 1s paacutelyaacutera helyezuumlnk 2
elektront majd a 2s paacutelyaacutera szinteacuten 2 elektront Ez oumlsszesen 4 elektron meacuteg tovaacutebbi 5 elektront kell
elhelyeznuumlnk Sorrendben a 2p paacutelya koumlvetkezik melyre legfeljebb 6 elektront tudunk elhelyezni iacutegy
a mind az 5 elektron a 2p paacutelyaacutera keruumll
Az elektronok szaacutemaacutet az alheacutejakon a jobb felső indexbe tett szaacutemmal jeloumlljuumlk
A fenti fluoratom elektronjainak alheacutejak koumlzoumltti megoszlaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen iacuterhatjuk le
roumlviden
F 1s2 2s2 2p5
Azaz az 1s eacutes 2s alheacutejakra (paacutelyaacutekra) 2ndash2 elektron miacuteg a 2p paacutelyaacutera 5 elektron keruumll (2ndash2 egy-egy
p-paacutelyaacutera miacuteg a harmadikra csak 1)
Cellaacutes jeloumlleacutessel
Elektronkonfiguraacutecioacute az elektronok paacutelyaacutek szerinti elrendeződeacutese egy atomban
Most pedig vizsgaacuteljuk meg a nitrogeacutenatom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutet
A nitrogeacuten rendszaacutema 7 iacutegy 7 elektronja van Az előzőekhez hasonloacutean 2ndash2 elektront elhelyezuumlnk
az 1s eacutes 2s paacutelyaacutekon A maradeacutek 3 elektront a 2p paacutelyaacuten tudjuk elhelyezni
N 1s2 2s2 2p3
Itt viszont keacutet lehetőseacuteguumlnk van
A) a haacuterom p-paacutelyaacutera keruumll egyndashegyndashegy elektron
B) a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll egyre keacutet elektron keruumll miacuteg egy maacutesikra csak egy a harmadik p-paacutelya
pedig betoumlltetlen marad
1s 2s 2p
2 Az atomok szerkezete 53
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A cellaacutes jeloumlleacutessel a keacutet lehetőseacuteg
A)
B)
A fenti keacutet lehetőseacuteg koumlzuumll csak az egyik felel meg a valoacutesaacutegnak meacutegpedig az A) Tehaacutet egy
alheacutejon beluumll az elektronok lehetőseacuteg szerint paacuterosiacutetatlanul helyezkednek el [azaz a B) esetben csak
egy paacuterosiacutetatlan elektron van miacuteg az A) esetben haacuterom] Ezt Hund-szabaacutelynak nevezzuumlk
Hund-szabaacutely egy atom alheacutejaacuten az elektronok uacutegy helyezkednek el hogy koumlzuumlluumlk mineacutel toumlbb
legyen paacuterosiacutetatlan
Az alapaacutellapotuacute elektronszerkezet kialakulaacutesakor az alaacutebbi toumlrveacutenyszerűseacutegeknek kell
teljesuumllniuumlk
ndash Energiaminiumra toumlrekveacutes az elektron mindig a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera
keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera legfeljebb keacutet elektron keruumllhet
ndash Alheacutejak eseteacuten lehetőseacuteg szerint a legtoumlbb elektron legyen paacuterosiacutetatlan
21 peacutelda
Aacutellapiacutetsuk meg a germaacuteniumatom alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Vegyuumlk sorra hogy melyik alheacutejon haacuteny elektron lehet A jobb oldali oszlopban a betoumlltődeacutesi sorrend
szerint az oumlsszes elektron szaacutemaacutet is feltuumlntettuumlk melyet az adott alheacutej teliacutetődeacuteseacutevel lehetseacuteges eleacuterni
Alheacutejon Oumlsszesen
(betoumlltődeacutes szerint)
1s 2 2
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36
Mivel a germaacuteniumnak 32 elektronja van a 3d alheacutej betoumlltődeacuteseacutevel oumlsszesen 30 elektront tudunk
elhelyezni ezeacutert a 4p alheacutejra is keruumll elektron meacuteghozzaacute 2
Tehaacutet az alapaacutellapotuacute germaacuteniumatom elektronszerkezete
Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2
1s 2s 2p
1s 2s 2p
54 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ellenőrzeacuteskeacutepp eacuterdemes oumlsszeszaacutemolnunk a felső indexben szereplő szaacutemokat az oumlsszegnek meg
kell egyeznie a germaacuteniumatom elektronjainak szaacutemaacuteval
2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32
Mivel a p-alheacutejon 6 elektront lehet elhelyezni a haacuterom p-paacutelyaacuten a maradeacutek keacutet elektronnak a
Hund-szabaacutely eacutertelmeacuteben paacuterosiacutetatlanul kell elhelyezkednie Csak a 4s eacutes 4p-alheacutejat aacutebraacutezolva (az
Az atomot a keacutemiai reaktivitaacutes szempontjaacuteboacutel keacutet reacuteszre (bdquoreacutetegrerdquo) oszthatjuk a kuumllső
vegyeacuterteacutekelektronok vesznek reacuteszt a koumlteacutesek kialakiacutetaacutesaacuteban iacutegy a keacutemiai reakcioacutekban a belsőbb
elektronokra (eacutes az atommagra) viszont nincs hataacutesuk a keacutemiai vaacuteltozaacutesoknak
Vegyeacuterteacutekelektronok vegyeacuterteacutekelektronoknak nevezzuumlk az atom keacutemiai reakcioacutekban reacuteszt vevő
kuumllső elektronjait
Atomtoumlrzs az atommag eacutes azon elektronok melyek nem vegyeacuterteacutekelektronok
A fenti peacuteldaacuteban a germaacuteniumnak oumlsszesen neacutegy vegyeacuterteacutekelektronja van keacutet s eacutes keacutet p elektronja
van a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten Az első (K) a maacutesodik (L) eacutes a harmadik (M) heacutejat lezaacutertnak tekintjuumlk ezek
alkotjaacutek az atomtoumlrzset
A nemesgaacutezok elektronszerkezete igen stabilis keacutemiai reaktivitaacutesuk igen csekeacutely Ennek oka
hogy az s- eacutes p-alheacutejak a nemesgaacutezok eseteacuten vaacutelnak teliacutetetteacute (kiveacuteve a heacuteliumot ahol csak az 1s alheacutej
teliacutetődik) iacutegy a lezaacutert heacutejak kiemelkedő stabilitaacutest biztosiacutetanak A vegyeacuterteacutekelektronokat szoktaacutek uacutegy
emliacuteteni hogy a legfelső lezaacutert heacutejon kiacutevuumll elhelyezkedő elektronok a vegyeacuterteacutekheacutejat pedig mint a
legkuumllső lezaacuteratlan heacutejat Ez a megfogalmazaacutes bizonyos esetekben feacutelreeacuterteacutest okozhat
Peacuteldaacuteul a kalcium (rendszaacutema 20) alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2
Mint laacutetjuk a 3 heacutej meacuteg nem teliacutetett mivel a 3d-alheacutej elektronjai a 4s alheacutej teliacutetődeacutese utaacuten
neacutepesuumllnek be aacutem csak a 4s alheacutej 2 elektronjaacutet tekintjuumlk vegyeacuterteacutekelektronnak
Az elektronkonfiguraacutecioacute jeloumlleacuteseacutet gyakran leroumlvidiacutetjuumlk a koumlvetkező moacutedon megkeressuumlk azt a
legnagyobb rendszaacutemuacute nemesgaacutezt (1He 10Ne 18Ar 36Kr 54Xe 86Rn) melynek rendszaacutema kisebb az
adott elem rendszaacutemaacutenaacutel eacutes csak az elem eacutes a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteget
tuumlntetjuumlk fel
Peacuteldaacuteul a germaacutenium (rendszaacutema 32) elektronkonfiguraacutecioacuteja eseteacuten a legnagyobb naacutela kisebb
rendszaacutemuacute nemesgaacutez a 18-as rendszaacutemuacute argon (Ar) melynek elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
Iacutegy a germaacutenium elektronkonfiguraacutecioacuteja eacutes az argon elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg
A germaacutenium roumlvidiacutetett elektronkonfiguraacutecioacuteja iacutegy
Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2
4s 4p
Ge 1s2 2s
2 2p
6 3s
2 3p
6 4s
2 3d
10 4p
2
Ar
2 Az atomok szerkezete 55
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Eacuterdemes az elektronok feltoumlltődeacuteseacutet az alaacutebbi taacuteblaacutezatos formaacuteban is oumlsszefoglalni
Alheacutejon Oumlsszesen Nemesgaacutez
1s 2 2 2He
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10 10Ne
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18 18Ar
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36 36Kr
5s 2 36 + 2 = 38
4d 10 38 + 10 = 48
5p 6 48 + 6 = 54 54Xe
6s 2 54 + 2 = 56
4f 14 56 + 14 = 70
5d 10 70 + 10 = 80
6p 6 80 + 6 = 86 86Rn
7s 2 86 + 2 =88
5f 14 88 + 14 = 102
6d 10 102 + 10 = 112
7p 6 112 + 6 = 118 118UUo
22 peacutelda
Iacuterjuk fel a 48-es rendszaacutemuacute kadmium elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Tehaacutet 48 elektront kell elhelyeznuumlnk Iacutegy a teljes elektronkonfiguraacutecioacute
Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10
Most hataacuterozzuk meg az elektronkonfiguraacutecioacutet a roumlvidiacutetett leiacuteraacutessal A kriptonban 36 elektron
talaacutelhatoacute (a xenonnak toumlbb elektronja van mint a kadmiumnak) iacutegy a maradeacutek 48minus36 = 12 elektront
kell csak feltuumlntetnuumlnk ezek az 5s eacutes a 4d alheacutejakra keruumllnek
Cd [Kr] 5s2 4d10
Gyakorloacutefeladatok
Iacuterjuk fel az alaacutebbi elemek alapaacutellapotuacute konfiguraacutecioacutejaacutet
a) 38Sr
b) 13Al
c) 34Se
d) 53I
e) 25Mn
f) 36Kr
g) 67Ho
h) 83Bi
i) 95Am
j) 80Hg
Megoldaacutesok
a) [Kr] 5s2
b) [Ne] 3s2 3p1
56 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
c) [Ar] 4s2 3d10 4p4
d) [Kr] 4d10 5s2 5p5
e) [Ar] 4s2 3d5
f) [Ar] 3d10 4s2 4p6
g) [Xe] 4f11 6s2
h) [Xe] 4f14
5d10
6s2 6p
3
i) [Rn] 5f7 7s2
j) [Xe] 4f14 5d10 6s2
24 A kvantumszaacutemok
Az atompaacutelyaacutek illetve az elektronok betoumlltődeacuteseacutenek sorrendje szoros oumlsszefuumlggeacutesben aacutell a
Schroumldinger-egyenletekkel melyek a kvantumkeacutemia legfontosabb alapegyenletei koumlzeacute tartoznak
Mivel ezen egyenletek megeacuterteacutese felsőbb matematikai ismereteket koumlvetel itt nem ismerkeduumlnk meg
veluumlk (keacutesőbbi egyetemi tanulmaacutenyainkban viszont majd igen) azonban neacutehaacuteny fontosabb
koumlvetkezmeacutenyuumlket bemutatjuk A Schroumldinger-egyenletek megoldaacutesai kvantaacuteltak ami azt jelenti
hogy nem vehetnek fel baacutermilyen tetszőleges eacuterteacuteket hanem csak joacutel meghataacuterozott eacuterteacutekűek lehetnek
Egy szemleacuteletes peacutelda a molekulaacutek rezgőmozgaacutesa a molekula atomjait keacutepzeljuumlk el toumlmegpontoknak
melyeket a keacutemiai koumlteacutesek rugoacutekeacutent koumltnek oumlssze Egy nagyon egyszerű keacutetatomos molekula a
dihidrogeacuten (H2) A molekulaacutek ndash iacutegy a dihidrogeacuten is ndash folyamatos rezgőmozgaacutessal rendelkeznek aacutem
ennek frekvenciaacuteja nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket Ha energiaacutet koumlzluumlnk a molekulaacuteval noumlvelhetjuumlk a
rezgeacutes frekvenciaacutejaacutet aacutem nem tetszőleges meacuterteacutekben a rezgeacutes frekvenciaacuteja kvantaacutelt
Egy adott atomban az elektronok energiaszintjei is kvantaacuteltak nem vehetnek fel baacutermilyen
eacuterteacuteket az egyes energiaszintek energiaacuteja meghataacuterozott Az elektronok nem tartoacutezkodhatnak
energiaszintek koumlzoumltt csak adott energiaszinteken Ha az elektront az egyik energiaszintről egy
maacutesikra szeretneacutenk juttatni (gerjeszteni) meghataacuterozott energiaacutet kell koumlzoumllnuumlnk vele A Schroumldinger-
egyenlet alapjaacuten kiszaacutemiacutethatjuk az elektronszintek energiaacutejaacutet ez tartalmaz egy parameacutetert melynek
eacuterteacuteke 1 2 3 stb eacuterteacutekeket vehet fel Ezt a parameacutetert főkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Az elektron
maacutegneses tulajdonsaacutegokkal is rendelkezik melyek szinteacuten kvantaacuteltak Ezeket a tulajdonsaacutegokat a
melleacutekkvantumszaacutem eacutes a maacutegneses kvantumszaacutem hataacuterozza meg aacutem ezek eacuterteacuteke sem lehet
tetszőleges Az elektron rendelkezik egy spinnek nevezett mennyiseacuteggel mely fuumlggetlen a toumlbbi
kvantumszaacutemtoacutel A spin az elektron egy maacutegneses jellemzője az ehhez tartozoacute kvantumszaacutemot
spinkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Mint majd laacutetni fogjuk a spinkvantumszaacutem keacutet ellenteacutetes előjelű aacutem
azonos abszoluacutet eacuterteacutekű szaacutem (minusfrac12 vagy +frac12) lehet
Tehaacutet az atom baacutermely elektronja neacutegy kvantumszaacutemmal jellemezhető
A főkvantumszaacutem (n) eacuterteacuteke 1 2 3 stb pozitiacutev egeacutesz szaacutem lehet eacutes megadja hogy az elektron
haacutenyadik heacutejon van Mineacutel nagyobb n eacuterteacuteke az elektron annaacutel nagyobb sugaruacute paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Tehaacutet
n = 1 eseteacuten tudjuk hogy az elektron az első heacutejon talaacutelhatoacute n = 2 eseteacuten pedig hogy a maacutesodik
elektronheacutejon Az elektron energiaacuteja is fuumlgg a főkvantumszaacutemtoacutel a legalacsonyabb energia n = 1-hez
tartozik
A melleacutekkvantumszaacutem (ℓ) eacuterteacuteke 0 1 hellip nminus1 lehetseacuteges tehaacutet az adott heacutejon (adott n eseteacuten)
n-feacutele kuumlloumlnboumlző melleacutekkvantumszaacutem lehetseacuteges A melleacutekkvantumszaacutem megadja hogy az elektron
az elektronheacutejon beluumll melyik alheacutejon (s p d f hellip) talaacutelhatoacute
Az első elektronheacutejon (n = 1) csak ℓ = 0 lehetseacuteges azaz csak s-alheacutejon lehet az elektron
A maacutesodik elektronheacutejon (n = 2) ℓ eacuterteacuteke lehet 0 vagy 1 Ha ℓ = 0 az elektron az s-alheacutejon van
ha pedig ℓ = 1 az elektron a p-alheacutejon talaacutelhatoacute
A harmadik heacutejon (n = 3) ℓ eacuterteacuteke haacuterom kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel 0 1 vagy 2 Az ℓ = 0 eacuterteacutek
mindig s-alheacutejat jeloumll ℓ = 1 eseteacuten az elektron p-alheacutejon talaacutelhatoacute ha pedig ℓ eacuterteacuteke 2 akkor az
elektronroacutel megaacutellapiacutethatoacute hogy a d-alheacutejon van
A maacutegneses kvantumszaacutem (m) eacuterteacuteke egeacutesz szaacutem lehet minusℓ-től +ℓ-ig terjedőleg (a 0-t is
beleeacutertve) iacutegy (2middotℓ + 1) kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel A maacutegneses kvantumszaacutem adott alheacutej eseteacuten a
2 Az atomok szerkezete 57
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
paacutelyaacutek iraacutenyaacutet adja meg tehaacutet egy adott alheacutej eseteacuten m eacuterteacuteke alapjaacuten meg tudjuk aacutellapiacutetani hogy az
elektron melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul ha ℓ = 0 csak egyetlen eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem m = 0 Az s-alheacutejon
beluumll egyetlen s-paacutelya talaacutelhatoacute ehhez tartozik az m = 0 maacutegneses kvantumszaacutem
Ha ℓ = 1 a p-alheacutejon talaacutelhatoacute az elektron Viszont haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyuacute p-paacutelyaacutet ismeruumlnk
px- py- eacutes pz-paacutelyaacutekat A maacutegneses kvantumszaacutem ℓ = 1 eseteacuten m = minus1 m = 0 eacutes m = +1 lehet a haacuterom
A d-alheacutej azaz ℓ = 2 eseteacuten maacuter oumltfeacutele eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem minus2 minus1 0 +1
eacutes +2 Az oumlt kuumlloumlnboumlző maacutegneses kvantumszaacutem az oumlt kuumlloumlnboumlző d-paacutelyaacutet jeloumlli a d-alheacutejon beluumll
Az f-alheacutej eseteacuten (ℓ = 3) heacutet kuumlloumlnboumlző eacuterteacutek koumlzuumll vehet fel egyet a maacutegneses kvantumszaacutem minus3
minus2 minus1 0 +1 +2 +3 iacutegy az f-alheacutejon beluumll heacutet paacutelya kuumlloumlnboumlztethető meg
A spinkvantumszaacutem (ms) eacuterteacuteke +frac12 vagy minusfrac12 lehet Egy adott paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron
keruumllhet ezek mindig ellenteacutetes spinkvantumszaacutemmal rendelkeznek Az elektronok cellaacutes jeloumlleacuteseacuteneacutel a
Tehaacutet ha ismerjuumlk egy elektron mind a neacutegy kvantumszaacutemaacutet akkor tudjuk hogy melyik heacutejon (n)
azon beluumll melyik alheacutejon (ℓ) van eacutes azt is ismerjuumlk hogy az alheacutejon beluumll melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
(m) Az adott paacutelyaacuten talaacutelhatoacute keacutet elektront a spinkvantumszaacutem (ms) kuumlloumlnboumlzteti meg
Egy adott atomban azon elektronok melyek csupaacuten spinkvantumszaacutemukban kuumlloumlnboumlznek egy
elektronpaacutert alkotnak
Tehaacutet egy atomban minden egyes elektron bdquobeazonosiacutethatoacuterdquo a neacutegy kvantumszaacutem segiacutetseacutegeacutevel
Egy nagyon fontos megaacutellapiacutetaacutes hogy egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet Ez a Pauli-
elvvel van oumlsszefuumlggeacutesben
Pauli-elv egy atomban nem lehet keacutet (vagy toumlbb) olyan elektron melynek mind a neacutegy
kvantumszaacutema azonos
A kvantumszaacutemok egy oumlsszetett fizikai elmeacutelet igen bonyolult matematikai oumlsszefuumlggeacutesekkel
megkapott eredmeacutenyei melyek segiacutetseacutegeacutevel megmagyaraacutezhatoacute a heacutejakndashalheacutejakndashpaacutelyaacutek rendszere iacutegy
az atom elektronheacutejaacutenak szerkezete Mint hamarosan laacutetjuk az elemek perioacutedusos rendszereacutenek
feleacutepiacuteteacutese is szoros oumlsszhangban van a kvantumszaacutemok rendszereacutevel
25 Az elemek perioacutedusos rendszere
Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Maacuter reacutegen megfigyelteacutek hogy bizonyos elemek hasonloacute keacutemiai (eacutesvagy fizikai) tulajdonsaacutegokkal
rendelkeznek Mengyelejev a XIX szaacutezad veacutegeacuten az addig felfedezett elemeket egy taacuteblaacutezatba
gyűjtoumltte oumlssze Sőt a felfedezett toumlrveacutenyszerűseacutegeket felhasznaacutelva Mengyelejev szaacutemos addig meacuteg
ismeretlen elem tulajdonsaacutegait joacutesolta meg
A perioacutedusos rendszer az elemeknek a noumlvekvő rendszaacutem szerint feleacutepiacutetett taacuteblaacutezata
Eacuterdekes moacutedon ha az egymaacutest koumlvető rendszaacutemuacute (azaz elektronszaacutemuacute) elemeket sorba
rendezzuumlk ez az elektronok beeacutepuumlleacutesi sorrendje szerint toumlrteacutenik
58 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
251 aacutebra Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszer feleacutepuumlleacutese joacutel megfigyelhető az alaacutebbi animaacutecioacuten
251 animaacutecioacute Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Perioacutedusok
A perioacutedusos rendszerben a viacutezszintes sorokat perioacutedusoknak vagy soroknak nevezzuumlk Gyakran
kuumlloumlnbseacuteg van a sor eacutes a perioacutedus megjeloumlleacutes koumlzoumltt az első bdquosorrdquo-nak aacuteltalaacuteban a 2 perioacutedust szokaacutes
tekinteni peacuteldaacuteul a szeacuten vagy a nitrogeacuten bdquoelső sorbelirdquo elem
Mezők
Az egymaacutes alatti sorok az adott elektronheacutej beeacutepuumlleacuteseacutet mutatjaacutek Az elemeket a fenti taacuteblaacutezatba
rendezve kuumlloumlnboumlző uacutegynevezett mezőket figyelhetuumlnk meg egy mezőn beluumll az azonos betoumlltődő
alheacutejjal rendelkező elemek talaacutelhatoacutek Iacutegy megkuumlloumlnboumlztetuumlnk s- p- d- eacutes f-mezőt
1 1s 1s
2 2s 2p
3 3s 3p
4 4s 3d 4p
5 5s 4d 5p
6 6s 5d 6p
7 7s 6d 7p
4f
5f
2 Az atomok szerkezete 59
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
252 aacutebra A perioacutedusos rendszer mezői
Az s-mező eacuterdekes moacutedon keacutet helyen talaacutelhatoacute az egyik a perioacutedusos rendszer bal oldalaacuten a
maacutesik pedig csupaacuten egyetlen elemet tartalmaz a heacuteliumot A heacutelium egyreacuteszt azeacutert keruumllt a perioacutedusos
rendszer jobb oldalaacutera mivel tulajdonsaacutegaiban sokkal inkaacutebb hasonliacutet az ott talaacutelhatoacute elemekhez A
heacutelium bdquoaacutethelyezeacuteserdquo azonban nem oumlnkeacutenyes a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban toumlltődik be az
adott heacutej az 1 (K) heacutej pedig keacutet elektronnal teliacutethető azaz maacuter a heacuteliumnaacutel lezaacuterul a heacutej
Mint fentebb laacutethatjuk az f-mezőt aacuteltalaacuteban ki szoktaacutek venni az uacutegynevezett bdquohosszuacute perioacutedusos
rendszerbőlrdquo mivel egy hosszuacute keskeny taacuteblaacutezat kezeleacutese viszonylag koumlruumllmeacutenyes
A feltoumlltődeacutesi sorrendből adoacutedik hogy az első perioacutedusban csak s-mező talaacutelhatoacute a maacutesodik
perioacutedustoacutel kezdődik a p-mező feltoumlltődeacutese Mivel a 4s alheacutej hamarabb kezd feltoumlltődni mint a 3d a
3d heacutej a 4 perioacutedusban kezd csak feltoumlltődni Hasonloacute a helyzet az f-mezővel a 4f alheacutej csak a 6s
alheacutej betoumlltődeacutese utaacuten kezd el beneacutepesuumllni iacutegy a 6 perioacutedusban talaacutelhatoacute A tudomaacuteny pillanatnyi
aacutellaacutesa szerint nem sikeruumllt meacuteg előaacutelliacutetani olyan elemet mely a 8 perioacutedusban talaacutelhatoacute sőt a 7
perioacutedus nagyobb rendszaacutemuacute (uacutegynevezett keacutesői) elemei is rendkiacutevuumll instabilak aacuteltalaacuteban csupaacuten
nyomnyi mennyiseacutegben sikeruumll őket előaacutelliacutetani (gyakran ez csak neacutehaacutenyszor tiacutez atomot jelent) A
nagyfokuacute instabilitaacutes oka az atommagok radioaktivitaacutesa aacuteltalaacuteban magreakcioacutek segiacutetseacutegeacutevel lehet
ilyen nagy rendszaacutemuacute atommagokat előaacutelliacutetani melyek azonban toumlbbnyire nagyon gyorsan radioaktiacutev
bomlaacutest szenvednek Ebből koumlvetkezik hogy az ilyen rendkiacutevuumll nagy rendszaacutemuacute elemek fizikai eacutes
keacutemiai tulajdonsaacutegairoacutel nem sokat tudunk Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megjegyezhetjuumlk hogy a
perioacutedusos rendszer alsoacutebb perioacutedusaiban ndash a sok kuumllső elektronnak koumlszoumlnhetően ndash noumlvekszik a
feacutemes jelleg eacutes meacuteg a főcsoportokban is elmosoacutedik az egyes elemek keacutemiai tulajdonsaacutegai koumlzoumltt a
hataacuter
1 s
2
3
4
5
6
7
s -
m
e z
ő
d-mező
p-mező
f-mező
60 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
I
A
II
A
III
B
IV
B
V
B
VI
B
VII
B
VIII
B
VIII
B
VIII
B
I
B
II
B
III
A
IV
A
V
A
VI
A
VII
A
VIII
A
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Ta Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
253 aacutebra A perioacutedusos rendszer
Oszlopok
A hasonloacute elektronszerkezetű elemek fuumlggőleges elrendeződeacutesben helyezkednek le egymaacutes alatti
helyet foglalnak el a perioacutedusos rendszerben ezek egy oszlopot alkotnak
Az s-mező eacutes a p-mező oszlopait oumlsszefoglaloacutean főcsoportoknak miacuteg a d-mező oszlopait
melleacutekcsoportoknak szokaacutes nevezni A keacutesőbbiekben megismerkeduumlnk az egyes oszlopok
elnevezeacuteseivel is
Az oszlopok szaacutemozaacutesaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen szokaacutes veacutegezni
ndash a reacutegiesebb szaacutemozaacutes szerint kuumlloumln taacutergyaljuk a főcsoportokat illetve a melleacutekcsoportokat aacutem
mindkettőt roacutemai szaacutemokkal jeloumlljuumlk Ilyenkor a főcsoportok eseteacuten a megfelelő roacutemai szaacutem
melleacute A betűt iacuterunk miacuteg a melleacutekcsoportokat B betűvel jeloumlljuumlk A fő- eacutes melleacutekcsoportok
(Pd) ezuumlst (Ag) ozmium (Os) iridium (Ir) platina (Pt) eacutes az arany (Au)
Lantanidaacutek eacutes aktinidaacutek
Az f-mező 6 perioacutedusaacuteba tartozoacute feacutemeit lantanidaacuteknak (a 7 perioacutedusaacuteba tartozoacutekat pedig
aktinidaacuteknak szoktuk nevezni)
Ritka foumlldfeacutemek
A lantanidaacutekat a szkandiummal (Sc) eacutes az ittriummal (Y) egyuumltt ritkafeacutemeknek nevezzuumlk
62 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Nemfeacutemek Alkaacutelfeacutemek
Feacutelfeacutemek Alkaacutelifoumlldfeacutemek
Maacutesodfajuacute feacutemek Lantanidaacutek
Aacutetmeneti feacutemek Aktinidaacutek
Nemesfeacutemek
254 aacutebra A perioacutedusos rendszer felosztaacutesa az atomok feacutemes jellege szerint
26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszerben bizonyos tulajdonsaacutegok folytonosan maacutes tulajdonsaacutegok pedig perioacutedusosan
vaacuteltoznak
261 Toumlmegszaacutem neutronszaacutem eacutes relatiacutev atomtoumlmeg vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A proacutecium ( H11 ) kiveacuteteleacutevel minden izotoacutep tartalmaz neutronokat mivel maacuter keacutet proton melleacute is
szuumlkseacuteges neutron hogy az atommag stabil legyen
A kis rendszaacutemuacute elemek legstabilabb izotoacutepjai eseteacuten (perioacutedusos rendszer eleje) a protonok eacutes a
neutronok szaacutema gyakran megegyezik (azaz a neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya egy koumlruumlli ndash
N Z asymp 1) tehaacutet a toumlmegszaacutem gyakran a rendszaacutem keacutetszerese A kalcium 40-es toumlmegszaacutemuacute izotoacutepja (
Ca4020 ) a legnagyobb rendszaacutemuacute izotoacutep melyben a protonok eacutes neutronok szaacutema megegyezik
Nagyobb rendszaacutemuacute elemek izotoacutepjai eseteacuten a neutronok szaacutema meghaladja a protonokeacutet tehaacutet a
toumlmegszaacutem nagyobb mint a rendszaacutem keacutetszerese Ennek oka hogy egyre toumlbb neutronra van szuumlkseacuteg
a pozitiacutev toumllteacutesű protonok elektrosztatikus tasziacutetaacutesaacutenak leaacuternyeacutekolaacutesaacutera A perioacutedusos rendszer utolsoacute
perioacutedusaacuteban a neutronok eacutes protonok szaacutemaacutenak araacutenya (N Z) rendszerint nagyobb mint 15
2 Az atomok szerkezete 63
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az alaacutebbi aacutebraacuten a leacutetező oumlsszes stabil izotoacutep neutronszaacutem protonszaacutem araacutenya (N Z) van
feltuumlntetve a rendszaacutem (Z protonszaacutem) fuumlggveacutenyeacuteben A piros vonal az N Z = 1 esetet jeleniacuteti meg
2611 aacutebra A neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya a toumlmegszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel noumlvekszik ez aloacutel neacutehaacuteny elempaacuter a kiveacutetel
Az alaacutebbi aacutebraacuten az elemek relatiacutev atomtoumlmegeacutet (Ar) aacutebraacutezoltuk a rendszaacutem (Z) fuumlggveacutenyeacuteben
(keacutek koumlroumlk) A fekete egyenes az Ar = Z a zoumlld egyenes az Ar = 2 middot Z a piros egyenes pedig az
Ar = 3 middot Z fuumlggveacutenyeket jelenti
2612 aacutebra A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
64 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute a relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel egyre meredekebben noumlvekszik Miacuteg
a kis rendszaacutemok eseteacuten Ar asymp 2 middot Z (a neutronok szaacutema nagyjaacuteboacutel megegyezik a protonok szaacutemaacuteval ndash a
rendszaacutemmal) addig a nagy rendszaacutemok eseteacuten az Ar Z araacuteny 2-neacutel joacuteval nagyobb
262 Az atomok meacutereteacutenek vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Az atomokat goumlmbszerűnek felteacutetelezzuumlk iacutegy az atomok meacutereteacutet az atomsugaacuterral (idegen szoacuteval
atomraacutediusszal) szoktuk jellemezni (Csak megemliacutetjuumlk hogy az atomsugaacuter fuumlgg az atom aacutellapotaacutetoacutel
azaz attoacutel is hogy milyen koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacuteban vesz reacutesz Ezaacuteltal toumlbbfeacutele moacutedon definiaacutelhatjuk az
atomsugarat aacutem ennek reacuteszleteivel itt nem foglalkozunk) Az atomsugaacuter (eacutes iacutegy az atomteacuterfogat)
vaacuteltozaacutesa szaacutemos maacutes tulajdonsaacuteg vaacuteltozaacutesaacutera hataacutessal van (peacuteldaacuteul sűrűseacuteg halmazaacutellapot)
Az atomsugaacuter periodikusan vaacuteltozik a perioacutedusos rendszeren beluumll
Egy adott perioacuteduson beluumll az atomsugaacuter balroacutel jobbra csoumlkken Ennek a magyaraacutezata a
koumlvetkező egy perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra haladva noumlvekszik az atommag toumllteacutese mivel egyre
toumlbb proton talaacutelhatoacute benne Az atommag toumllteacuteseacutet az elektronok leaacuternyeacutekoljaacutek A lezaacutert belső heacutejak
elektronjainak negatiacutev toumllteacutese egy perioacuteduson beluumll gyakorlatilag azonosnak tekinthető Balroacutel jobbra
haladva egy perioacutedusban az elektronok ugyanarra a kuumllső heacutejra leacutepnek be ezek aacuternyeacutekoloacute hataacutesa
sokkal kisebb mint az alatta levő heacutejak elektronjaieacute iacutegy az atommag (balroacutel jobbra noumlvekedő) toumllteacutese
egyre erősebben vonzza a vegyeacuterteacutekelektronokat ennek koumlvetkezteacuteben az atomsugaacuter csoumlkken
Az atomsugaacuter egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik Magyaraacutezat a paacutelyaacutek meacuterete
2621 aacutebra Az atomsugaacuter vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Itt eacuterdemes megemliacuteteni a sűrűseacuteg vaacuteltozaacutesaacutet is A sűrűseacuteg termeacuteszetesen nemcsak az
atomteacuterfogattoacutel (atomsugaacutertoacutel) fuumlgg hanem a halmazaacutellapottoacutel az atomok elrendeződeacuteseacutetől a
kristaacutelyszerkezettől is iacutegy igen neheacutez aacuteltalaacutenosan tendenciaacutekat talaacutelni Viszont azt mindenkeacuteppen
eacuterdemes megjegyezni hogy a sűrűseacuteg egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik
1
2
3
4
5
6
7
ATOMSUGAacuteR
2 Az atomok szerkezete 65
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
263 Az elemek halmazaacutellapota
A halmazaacutellapot a reacuteszecskeacuteket oumlsszetartoacute koumllcsoumlnhataacutesoktoacutel fuumlgg A kuumlloumlnfeacutele koumllcsoumlnhataacutesok eacutes a
halmazaacutellapot oumlsszefuumlggeacuteseit majd a keacutesőbbiekben reacuteszletesen taacutergyaljuk itt ndash a teljesseacuteg kedveacuteeacutert ndash
azonban megmutatjuk a perioacutedusos rendszer mely reacuteszeacuteben milyen halmazaacutellapot jellemző
Normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson (101325 kPa) eacutes 25 degC hőmeacuterseacutekleten az elemek tuacutelnyomoacute toumlbbseacutege
szilaacuterd azonban talaacutelhatunk koumlzoumlttuumlk szeacutep szaacutemban gaacutezokat is A legritkaacutebb halmazaacutellapot a folyadeacutek
csupaacuten keacutet elem folyeacutekony 25 degC-on a broacutem (Br) eacutes a higany (Hg) Tovaacutebbi keacutet elemnek igen
alacsony az olvadaacutespontja a galliumeacute (Ga 30 degC) eacutes a ceacuteziumeacute (Cs 28 degC) is szobahőmeacuterseacuteklet
koumlzeleacuteben van enyhe melegiacuteteacutes hataacutesaacutera megolvadnak
A vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema az első 12 oszlopban megegyezik az oszlop szaacutemaacuteval A p-
mezőben pedig a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacutet megkapjuk ha az oszlop szaacutemaacuteboacutel levonunk 10-et a
66 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
lezaacutert d-alheacutejat (a tiacutez elektronjaacuteval) maacuter nem szokaacutes a p-mező vegyeacuterteacutekelektronjaihoz szaacutemiacutetani (itt az
n-dik heacutej teliacutetődik viszont az (nminus1)-dik heacutej maacuter lezaacuterult a 12 oszlopban) Egyetlen kiveacutetel a heacutelium
(18 oszlop) melynek csupaacuten 2 vegyeacuterteacutekelektronja van
(A reacutegi szaacutemozaacutesi moacuted szerint a főcsoportokban az oszlop szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Ez a melleacutekcsoportok eseteacuten is igaz viszont a VIIIB keacutet oszlopaacutera
nem igaz ndash kobalt nikkel eacutes az alattuk talaacutelhatoacute elemek)
Vegyeacuterteacutek az atom aacuteltal leacutetesiacutethető keacutemiai koumlteacutesek szaacutema A kuumlloumlnboumlző elemek gyakran toumlbbfeacutele
Ennek magyaraacutezata a koumlvetkező Maacuter koraacutebban megismertuumlk hogy a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema
a perioacutedusos rendszer főcsoportjaiban balroacutel jobbra noumlvekszik A keveacutes vegyeacuterteacutekelektronnal
rendelkező feacutemek viszonylag koumlnnyen le tudjaacutek adni elektronjaikat iacutegy igen stabilis nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionokkaacute alakulnak miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező nemfeacutemek
eseteacuten a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute elektronfelveacutetellel koumlnnyebben kialakul Ellenkező esetben a
nemesgaacutez elektronszerkezet eleacutereacuteseacutehez a kevesebb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező feacutemeknek
viszonylag sok elektront kellene felvenniuumlk miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező
nemfeacutemeknek igen sok elektront kellene leadniuk mely energetikailag igen kedvezőtlen
Iacutegy peacuteldaacuteul a kaacuteliumatomboacutel egy vegyeacuterteacutekelektronjaacutenak eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval egyszeresen pozitiacutev
toumllteacutesű kaacuteliumion miacuteg a heacutet vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező fluoratom egy elektront felveacuteve
fluoridanionnaacute tud alakulni Mind a kaacuteliumionnak mind a fluoridionnak nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacuteja van
A nemfeacutemek aacuteltal maximaacutelisan felvehető elektronok szaacutemaacutet nagyon egyszerűen meg tudjuk
aacutellapiacutetani a nemesgaacutezoknak ndash a heacutelium kiveacuteteleacutevel ndash mindig keacutet s eacutes hat p elektronja van azaz a
vegyeacuterteacutekheacutejukon 8 elektronjuk van Legyen a nemfeacutemnek n vegyeacuterteacutekelektronja ekkor pontosan
8 minus n elektron szuumlkseacuteges ahhoz hogy 8 elektronja legyen a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
Mint az előzőekben maacuter taacutergyaltuk a perioacutedusos rendszer oszlopaacutenak sorszaacutema eacutes az adott elem
vegyeacuterteacutekelektronjainak szaacutema koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes van Az oszlopok aktuaacutelis szaacutemozaacutesa szerint
tehaacutet az m-edik oszlopban talaacutelhatoacute nemfeacutem 18 minus m elektront tud felvenni Peacuteldaacuteul a 15 oszlopban
talaacutelhatoacute foszforatom 18 minus 15 = 3 elektront tud maximaacutelisan felvenni a 16 csoportban talaacutelhatoacute
keacutenatom pedig maximaacutelisan 18 minus 16 = 2 elektron felveacuteteleacutevel keacutepes anionnaacute alakulni
A főcsoportokban a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Peacuteldaacuteul egy alumiacuteniumatomroacutel (mely haacuterom vegyeacuterteacutekelektronnal
d) Az arzeacuten (As) a 15 csoportban talaacutelhatoacute vegyeacuterteacutekelektron-konfiguraacutecioacuteja 4s2 4p3 Az arzeacuten
uacutegy tud nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionnaacute alakulni ha lead 5 elektront vagy pedig ha
felvesz 3 elektront
As rarr As5+ + 5eminus
As + 3eminusrarr As3minus
e) A hidrogeacuten egy kicsit kuumlloumlnoumls eset mivel a hozzaacute legkoumlzelebbi nemesgaacutez a heacutelium melynek 2
(vegyeacuterteacutek)elektronja van Iacutegy a hidrogeacutenatom egy elektron eladaacutesaacuteval hidrogeacutenkationnaacute
(tulajdonkeacuteppen protonnaacute 1H+ equiv p+) miacuteg egy elektron felveacuteteleacutevel anionnaacute keacutepes alakulni A
hidrogeacutenből keacutepződő aniont hidridionnak nevezzuumlk (az 1Hminus eseteacuten egy proton keacutet elektronnal)
H rarr H+ + eminus
H + eminusrarr Hminus
Eacuterdemes megjegyezni hogy az atomboacutel elektronfelveacutetellel keacutepződő ion elnevezeacuteseacutenek veacutegeacuten
mindig -id veacutegződeacutes talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul
O2minus oxid
As3minus arzenid
Hminus hidrid
70 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A melleacutekcsoportok eseteacuten nem jellemző hogy az elemek elektronfelveacutetellel anionnaacute alakuljanak
eacutes a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema is kicsit komplikaacuteltabb A 3 oszloptoacutel a 8 oszlopig
az elemekből baacutermely vegyeacuterteacutekelektront el lehet taacutevoliacutetani iacutegy az eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutemaacutenak
maximuma az oszlop sorszaacutemaacuteval azonos Viszont a 9 oszloptoacutel kezdődően a helyzet hasonloacutevaacute vaacutelik
ahhoz mint amit a nemfeacutemekneacutel tapasztaltunk nagyszaacutemuacute elektron eltaacutevoliacutetaacutesa maacuter nem lehetseacuteges
tehaacutet nem lehetseacuteges peacuteldaacuteul 9-szeresen pozitiacutev ion keacutepzeacutese Aniont keacutepezve azonban az aktuaacutelis heacutej
lezaacuteraacutesaacutehoz a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute eleacutereacuteseacutehez az oumlsszes p-elektront is fel kellene toumlltenuumlnk
melyhez igen sok energia szuumlkseacuteges A 9 eacutes 10 oszlopban iacutegy nehezen lehet megjoacutesolni a
maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronszaacutemot A 11 oszlopban toumlbbnyire 1 vagy 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacutera
van lehetőseacuteg miacuteg a 12 oszlopban 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval keacutepezhető kation
A melleacutekcsoportokroacutel aacuteltalaacutenossaacutegban elmondhatoacute hogy itt a főcsoportokhoz keacutepest sokkal toumlbb
Első ionizaacutecioacutes energia vagy első ionizaacutecioacutes potenciaacutel első ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt
az energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy atomboacutel egyszeresen pozitiacutev iont (kationt) hozzunk
leacutetre
Az ionizaacutecioacutes energia az alaacutebbi folyamat energiaszuumlkseacutegleteacutet jelenti
X rarr X+ + eminus
Mindig a leggyengeacutebben koumltoumltt elektront tudjuk legkoumlnnyebben eltaacutevoliacutetani eacutes eacutertelemszerűen
mineacutel erősebben koumltődik egy elektron az atomhoz annaacutel nehezebb eltaacutevoliacutetani azaz annaacutel toumlbb
energiaacutet kell befektetnuumlnk hogy el tudjuk taacutevoliacutetani
A legstabilabb elektronszerkezettel a nemesgaacutezok rendelkeznek (18 oszlop) mivel itt zaacuterul le a
betoumlltődő elektronheacutej A lezaacutert elektronheacutej mindig kiemelkedően stabil ezeacutert a nemesgaacutezok első
ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb egy perioacuteduson beluumll Mivel az alkaacutelifeacutemek ionizaacutelaacutesaacuteval nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute egyszeresen pozitiacutev ion keletkezik ez igen nagy stabilitaacutessal rendelkezik eacutes
az alkaacutelifeacutematom koumlnnyen leadja az egyetlen s vegyeacuterteacutekelektronjaacutet Tehaacutet egy perioacuteduson beluumll az
alkaacutelifeacutemek első ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legkisebb
Az első ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Egy adott perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra noumlvekszik (az alkaacutelifeacutemektől a nemesgaacutezok iraacutenyaacuteba)
az első ionizaacutecioacutes energia eacuterteacuteke
Mineacutel nagyobb egy atom a taacutevolsaacuteg koumlvetkezteacuteben a negatiacutev toumllteacutesű kuumllső elektronjaira annaacutel
keveacutesbeacute hat a pozitiacutev toumllteacutesű atommag vonzaacutesa iacutegy annaacutel koumlnnyebben taacutevoliacutethatoacute el
Iacutegy egy oszlopon beluumll fentről lefeleacute csoumlkken az első ionizaacutecioacutes energia
2651 aacutebra Az ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
1
2
3
4
5
6
7
1 IONIZAacuteCIOacuteS ENERGIA
72 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt az
energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy egyszeresen pozitiacutev ionboacutel keacutetszeresen pozitiacutev iont
hozzunk leacutetre
A maacutesodik ionizaacutecioacutes energia mindig nagyobb mint az első ionizaacutecioacutes energia mivel egy
kationroacutel kell leszakiacutetanunk egy negatiacutev toumllteacutesű elektront mely meacutelyebb energiaacutejuacute paacutelyaacuten van mint az
első eltaacutevoliacutetott elektron
Egy perioacuteduson beluumll az alkaacutelifeacutemek maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb (igen stabil
nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ion elektronszerkezeteacutet bontjuk meg) miacuteg az alkaacutelifoumlldfeacutemekeacute a
legkisebb (a vegyeacuterteacutekheacutejukon maacuter csak egy elektron talaacutelhatoacute ez viszonylag koumlnnyen eltaacutevoliacutethatoacute)
Azaz egy perioacuteduson beluumll a 2 oszloptoacutel a 18 oszlopig nő az ionizaacutecioacutes potenciaacutel aacutem az 1
oszlopban meacuteg enneacutel is nagyobb
Egy oszlopon beluumll a maacutesodik ionizaacutecioacutes potenciaacutel fentről lefeleacute csoumlkken
k-dik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel az energia mely egy elektronnak egy (kminus1)-szeresen
3111 animaacutecioacute Az ionos koumlteacutes kialakulaacutesa
Az ionos koumlteacutes leacutetrejoumlhet egyszerű eacutes oumlsszetett ionok koumlzoumltt
Az egyszerű ionok atomokboacutel keacutepződnek elektron(ok) leadaacutesaacuteval (kationok) vagy elektron(ok)
felveacuteteleacutevel (anionok)
76 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Egyszerű kationok K+ Mg2+ Al3+ Fe3+ Ce4+ stb
Egyszerű anionok Clminus O2minus N3minus Iminus Hminus stb
Az oumlsszetett ionok toumlbb atomboacutel eacutepuumllnek fel eacutes toumllteacutessel rendelkeznek
Oumlsszetett kationok legfontosabb az ammoacuteniumion NH4+
Oumlsszetett anionok NO3minus CO3
2minus PO4
3minus SO4
2minus stb
A tisztaacuten ionos koumlteacutesű vegyuumlletek rendszerint igen elteacuterő elektronegativitaacutesuacute elemekből joumlnnek
leacutetre Toumlbbnyire alkaacutelifeacutem vagy alkaacutelifoumlldfeacutem kationt tartalmaznak eacutes anionjuk aacuteltalaacuteban vagy
oumlsszetett ion vagy a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban talaacutelhatoacute elemek egyszerű anionja
(elsősorban 16 eacutes 17 oszlop)
II) Feacutemes koumlteacutes
Feacutematomok eseteacuten a vegyeacuterteacutekheacutej elektronjai viszonylag gyengeacuten koumltoumlttek A feacutematomokboacutel
pozitiacutev toumllteacutesű ionok keletkeznek a vegyeacuterteacutekelektronok pedig az atomtoumlrzsek koumlzoumltti teacuterben
delokalizaacuteloacutednak
Feacutemes koumlteacutes az egeacutesz kristaacutelyra kiterjedő koumlzoumls elektronfelhő aacuteltal leacutetrehozott keacutemiai kapcsolatot
feacutemes koumlteacutesnek nevezzuumlk
A feacutemes koumlteacutes (nem meglepő moacutedon) feacutematomok koumlzoumltt joumlhet leacutetre A feacutemek elektronegativitaacutesa
rendszerint nem tuacutel nagy ezeacutert a tisztaacuten feacutemes koumlteacutes akkor joumlhet leacutetre ha kicsi az elemek
elektronegativitaacutesa
3112 animaacutecioacute A feacutemes koumlteacutes kialakulaacutesa
III) Kovalens koumlteacutes
Keacutemiai koumlteacutes uacutegy is leacutetrejoumlhet ha az egymaacutes melletti atomok koumlzoumls (uacutegynevezett koumltő)
elektronpaacuteron (vagy elektronpaacuterokon) keresztuumll kapcsoloacutednak oumlssze
Ezt legegyszerűbben egy peacuteldaacuten keresztuumll eacuterthetjuumlk meg Vegyuumlnk keacutet kloacuteratomot Mindkettőnek
az elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ne] 3s2 3p5 ha feacutemes koumlteacutest szeretneacutenk kialakiacutetani koumlzoumlttuumlk 7ndash7 elektront
kellene leadnia mindkettőnek Ez energetikailag rendkiacutevuumll kedvezőtlen Ezeacutert a lezaacutert elektronheacutejat
elektronfelveacutetel uacutetjaacuten lenne ceacutelszerű eleacuterni Termeacuteszetesen a keacutet kloacuteratom elektronegativitaacutesa
ugyanakkora nem joumlhet leacutetre koumlzoumlttuumlk ionos koumlteacutes
A keacutet kloacuteratom koumlzoumltt koumltő elektronpaacuter leacutetesiacuteteacuteseacutevel alakul ki a keacutemiai koumlteacutes a koumltő elektronpaacuter a
keacutet kloacuteratom egyndashegy elektronjaacuteboacutel joumln leacutetre viszont mindkeacutet atomhoz egyaraacutent tartozik Iacutegy mindkeacutet
kloacuteratom koumlruumll 8ndash8 elektron talaacutelhatoacute tehaacutet mindkeacutet kloacuteratom nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacutevaacute
vaacutelik teljesuumll az oktettszabaacutely A folyamatot energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri
Kovalens koumlteacutes A koumlzoumls elektronpaacuterral leacutetesiacutetett koumlteacutest kovalens koumlteacutesnek nevezzuumlk (Az angol
A heteronukleaacuteris koumlteacutes lehet apolaacuteris vagy polaacuteris
Egy koumlteacutes apolaacuterisnak tekinthető ha a keacutet atom elektronegativitaacutesa azonos
Az azonos atomok koumlzoumltti koumlteacutesek apolaacuterisak (Megjegyzeacutes peacuteldaacuteul a szeacutenndashhidrogeacuten-koumlteacutest is
tekinthetjuumlk koumlzel apolaacuterisnak mivel a szeacuten eacutes a hidrogeacuten elektronegativitaacutesa hasonloacute [EN(C) = 25
EN(H) = 21])
A kovalens koumlteacutes polaacuteris ha keacutet olyan atomot koumlt oumlssze melyek elektronegativitaacutesa koumlzoumltt
kuumlloumlnbseacuteg van A polaacuteris kovalens koumlteacutes viszonylag jelentős ionos jelleggel rendelkezik
Peacuteldaacuteul a hidrogeacutenndashkloacuter-koumlteacutes igen polaacuterisnak tekinthető a keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltt jelentős
kuumlloumlnbseacuteg van EN(Cl) = 30 EN(H) = 21
A polaacuteris kovalens koumlteacutesben a nagyobb elektronegativitaacutesuacute atom reacuteszleges negatiacutev toumllteacutesű
(pontosabban negatiacutevan polarizaacutelt) a kisebb elektronegativitaacutesuacute pedig reacuteszben pozitiacutev toumllteacutesű
(pozitiacutevan polarizaacutelt) Egy keacutetatomos molekulaacuteban a keacutet atomra jutoacute uacutegynevezett parciaacutelis toumllteacutes
(reacuteszleges toumllteacutes) nagysaacutega azonos de előjele ellenteacutetes Ezt a koumlvetkezőkeacutepp szoktuk eacuterzeacutekeltetni a
molekula keacutepleteacuteben
H Cl() ()
A hidrogeacuten-klorid molekulaacuteban a toumllteacutesek nem egyenletesen oszlanak el Az ilyen molekulaacutekat
dipoacutelusmolekulaacuteknak nevezzuumlk
A koumlteacutes polarizaacuteltsaacutega vektormennyiseacuteg nyiacutellal szoktuk jeloumllni A dipoacutelusvektor a pozitiacutev
toumllteacutesből mutat a negatiacutev toumllteacutes feleacute Azt hogy egy molekula dipoacutelusmolekula-e a dipoacutelusvektorok
eredője hataacuterozza meg
Dipoacutelusmolekula olyan molekula melyben vannak polaacuteris koumlteacutesek eacutes a koumlteacutesek
dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus
Apolaacuteris molekula csak apolaacuteris koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula vagy olyan molekula melyben
a polaacuteris koumlteacutesek uacutegy helyezkednek el hogy dipoacutelusvektorainak oumlsszege zeacuterus legyen
78 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A keacutetatomos molekula akkor dipoacutelusos hogyha a koumlteacutes polaacuteris Toumlbbatomos molekulaacutek eseteacuten a
molekula szerkezete is fontos szerepet jaacutetszik annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy a molekula dipoacutelusmolekula-
e Ezzel a molekulaacutek szerkezete kapcsaacuten reacuteszletesen foglalkozunk majd (ennek a fejezetnek a veacutegeacuten)
Az előzőekben megismerkedtuumlnk a haacuterom legfontosabb koumlteacutestiacutepussal Ezen koumlteacutesek igen erősek
ezeacutert szokaacutes elsőrendű koumlteacuteseknek nevezni őket
Az elsőrendű koumlteacutesek
ndash ionos koumlteacutes
ndash feacutemes koumlteacutes
ndash kovalens koumlteacutes
Az elektronegativitaacutes eacutes a koumlteacutesjelleg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes
A haacuterom alaptiacutepus taacutergyalaacutesaacutenaacutel megemliacutetettuumlk hogy az adott koumlteacutestiacutepus rendszerint milyen
elemek koumlzoumltt joumln leacutetre Ezeket oumlsszefoglalva
ndash tisztaacuten ionos koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha az elemek elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg nagy
ndash tisztaacuten feacutemes koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesa hasonloacute (kicsi az elektronegativitaacutesok
kuumlloumlnbseacutege) eacutes mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa kis eacuterteacutekű
ndash tisztaacuten kovalens koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesai nem tuacutelzottan kuumlloumlnboumlzőek eacutes
mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa nagy
A perioacutedusos rendszerből tetszőleges keacutet elemet kivaacutelasztva a koumlzoumlttuumlk leacutetesuumllő koumlteacutest gyakran
nem tudjuk besorolni a fentiek alapjaacuten egyik koumlteacutestiacutepusba sem Fontos hangsuacutelyozni hogy az aacutetmenet
gyakorlatilag folytonos baacutermelyik keacutet elsőrendű koumlteacutes koumlzoumltt Iacutegy gyakran előfordul hogy keacutet
atom koumlzoumltti koumlteacutest nem lehet tisztaacuten ionos feacutemes vagy kovalens koumlteacuteskeacutent leiacuterni A fent taacutergyalt
polaacuteris kovalens koumlteacutes peacuteldaacuteul aacutetmenet a kovalens eacutes az ionos koumlteacutes koumlzoumltt
Legyen A eacutes B keacutet tetszőleges elem A keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg eacutes a keacutet
atom elektronegativitaacutesaacutenak oumlsszege segiacutethet annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy milyen tiacutepusuacute elsőrendű koumlteacutes
joumlhet leacutetre a keacutet elem atomjai koumlzoumltt
A koumlvetkező oumlkoumllszabaacutelyokat alkalmazhatjuk
Ha ∆EN(AB) nagy eacuterteacutek (jellemzően 20 foumlloumltt) a koumlteacutes ionos jellege nagy
Ha ∆EN(AB) kicsi eacuterteacutek (jellemzően 15 alatt) akkor a koumlteacutes lehet kovalens vagy feacutemes
Ha sumEN(AB) nagy (jellemzően 40 felett) akkor a koumlteacutes kovalensnek tekinthető
Ha sumEN(AB) kicsi (jellemzően 30 alatt) akkor a koumlteacutes feacutemes jellegűnek tekinthető
Pauling szerint ∆EN(AB) = 15hellip2 eseteacuten az A eacutes B atomok koumlzoumltti koumlteacutes nagyjaacuteboacutel fele-fele
meacuterteacutekben ionos eacutes kovalens jellegű
A stabilan előaacutelliacutethatoacute elemek koumlzuumll a ceacutezium elektronegativitaacutesa a legkisebb 08 (enneacutel csupaacuten a
csak radioaktiacutev izotoacutepokkal rendelkező francium elektronegativitaacutesa kisebb 07) a fluor
elektronegativitaacutesa pedig a legnagyobb (40) Ezen elemekből megalkothatjuk a toumlkeacuteletes ionos feacutemes
eacutes kovalens koumlteacuteseket
∆EN(AB) Cs F sumEN(AB) Cs F
Cs 00 32 Cs 16 48
F 32 00 F 48 80
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 79
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha aacutebraacutezoljuk a ∆EN(AB) fuumlggveacutenyeacuteben sumEN(AB) eacuterteacutekeit egy haacuteromszoumlg haacuterom csuacutecsaacutet
kapjuk
311 aacutebra A koumlteacutes jellege eacutes az elektronegativitaacutes
Baacutermely maacutes elem elektronegativitaacutesa a ceacutezium eacutes a fluor koumlzeacute esik iacutegy a fenti aacutebraacuten baacutermely keacutet
elem koumlzoumltti koumlteacutest feltuumlntethetjuumlk az elektronegativitaacutesaik ismereteacuteben
3112 aacutebra Peacuteldaacutek aacutetmeneti jellegű koumlteacutesekre
80 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint a fenti aacutebraacuten laacutethatoacute neacutehaacuteny vegyuumlletet igen neheacutez a haacuterom elsőrendű koumlteacutes valamelyikeacutebe
besorolni Ilyen peacuteldaacuteul a vas(II)-szulfid (FeS) sziliacutecium-dioxid (SiO2) vagy az ezuumlst-klorid (AgCl) A
keacutemiai koumlteacutesek ezen vegyuumlletekben nem tekinthetők ionosnak jelentős a kovalens jelleguumlk
A fenti aacutebra alapjaacuten a kovalens koumlteacutes az elemi oxigeacutenben (O2) eacutes a keacutenmolekulaacuteban (S8) apolaacuteris
miacuteg a nitrogeacuten-monoxidban (NO) eacutes a keacutet kuumlloumlnboumlző halogeacutenatomot tartalmazoacute broacutem-fluoridban
(BrF) polaacuteris
A reacutez-cink oumltvoumlzetben (CuZn) eacutes a magneacutezium-szilicidben (Mg2Si egy oumltvoumlzeacutesre hasznaacutelt
vegyuumllet) a koumlteacutes feacutemesnek tekinthető Termeacuteszetesen a feacutem alumiacuteniumban is feacutemes a koumlteacutes
A liacutetium-fluorid (LiF) a kalcium-oxid (CaO) eacutes az alumiacutenium-oxid (Al2O3) ionos koumlteacutesű
vegyuumlletek az utoacutebbiban viszonylag jelentős kovalens jelleg is megaacutellapiacutethatoacute
A fentiek alapjaacuten belaacutethatoacute hogy a keacutemiai koumlteacutes ionos feacutemes illetve kovalens jellege elsősorban
az koumlteacutest leacutetesiacutető elemek elektronegativitaacutesaacutetoacutel fuumlgg Fontos megjegyezni hogy a keacutemiai koumlteacutes
gyakran nem iacuterthatoacute le egyfeacutele koumlteacutestiacutepussal hanem toumlbb tiacutepus tulajdonsaacutegait oumltvoumlzi
Sokatomos molekulaacutek
Az oktett szabaacutelyt termeacuteszetesen a kettőneacutel toumlbb atomos molekulaacutek is koumlvetik aacuteltalaacuteban
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a metaacutenmolekulaacutet A metaacuten keacuteplete CH4 azaz egy molekulaacutejaacuteban neacutegy
hidrogeacutenatom eacutes egy szeacutenatom talaacutelhatoacute A szeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p2 tehaacutet neacutegy
vegyeacuterteacutekelektronja van miacuteg a hidrogeacutenek egyndashegy elektronnal rendelkeznek A szeacutenatom
elektronoktettet (8 elektron a kuumllső heacutejon) szeretne leacutetrehozni a hidrogeacuteneknek pedig a heacuteliumhoz
hasonloacute 2 elektronos elektronszerkezet a kedvező
Ha a szeacuten koumlreacute rendeződik a neacutegy hidrogeacutenatom neacutegy kovalens koumlteacutes alakul ki Minden hidrogeacuten
koumlrnyezeteacuteben iacutegy 2ndash2 elektron talaacutelhatoacute (piros koumlroumlkkel jeloumllve) miacuteg a neacutegy (koumlzoumls) elektronpaacuter a
szeacuten szaacutemaacutera biztosiacutetja a nyolc vegyeacuterteacutekelektront (piros neacutegyzettel jeloumllve)
3113 aacutebra Az oktettszabaacutely
Most pedig vizsgaacuteljuk meg hogyan neacutez ki a metaacutenhoz hasonloacute nitrogeacutenvegyuumlletet
elektronszerkezete
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p3 azaz 5 vegyeacuterteacutekelektronja van A nitrogeacuten 8
elektronos vegyeacuterteacutekheacutej eleacutereacuteseacutere toumlrekszik (oktettszabaacutely) ehhez 3 elektronra van meacuteg szuumlkseacutege A
haacuterom elektront haacuterom hidrogeacuten szolgaacuteltatja iacutegy a keletkező molekula keacuteplete NH3 Iacutegy a nitrogeacuten eacutes
a hidrogeacutenek is eleacuterteacutek a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet Haacuterom koumltő elektronpaacuter joumln leacutetre azaz a
nitrogeacuten oumlsszesen 3 elektronjaacutet adja a koumlteacutesekbe a maradeacutek 2 elektronja pedig csak a nitrogeacutenhez
kapcsoloacutedik Az ilyen elektronpaacutert magaacutenos (vagy nemkoumltő) elektronpaacuternak nevezzuumlk A koraacutebban
taacutergyalt kloacutermolekula eseteacuteben mindkeacutet kloacuteratom 3ndash3 magaacutenos elektronpaacuterral rendelkezik
Magaacutenos elektronpaacuter olyan vegyeacuterteacutek-elektronpaacuter mely a kovalens koumlteacutest alkotoacute keacutet atom
koumlzuumll csak az egyikhez tartozik Egy atomon akaacuter toumlbb magaacutenos elektronpaacuter is lehetseacuteges
A kovalens koumlteacutes jellemzői
Koumlteacutesi energia egy koumlteacutes felszakiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges energia az az energia melyet be kell
fektetni hogy a koumlteacutest leacutetesiacutető atomokat veacutegtelen taacutevolsaacutegba taacutevoliacutetsuk (Eacutertelemszerűen ugyanekkora
energia szabadul fel mikor a keacutet atom veacutegtelen taacutevolsaacutegboacutel kiindulva leacutetrehozza a koumlteacutest) Aacuteltalaacuteban
CH H
H
H
CH H
H
H
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 81
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Jmol (kJmol) meacuterteacutekegyseacutegben adjuk meg eacuterteacutekeacutet aacutem gyakran hasznaacutelt ndash nem SI ndash meacuterteacutekegyseacuteg a
kcalmol 1 kcalmol = 418 kJmol
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
A koumlteacutestaacutevolsaacutegok rendszerint neacutehaacutenyszor 10minus10 meacuteter nagysaacutegrendűek termeacuteszetesen a koumlteacutest
leacutetesiacutető atomok rendszaacutemaacutetoacutel fuumlggően Gyakran hasznaacuteljuk az angstroumlm vagy aringngstroumlm
meacuterteacutekegyseacuteget (roumlvidiacutetve Aring) melynek eacuterteacuteke 10minus10 meacuteter
(Megjegyzeacutes az atomtaacutevolsaacuteg baacutermely keacutet atom taacutevolsaacutegaacutet jelentheti ha a koumlteacutestaacutevolsaacuteg
kifejezeacutest hasznaacuteljuk akkor a keacutet atom koumlzoumltt keacutemiai koumlteacutes talaacutelhatoacute)
A koumlteacuteshossz fuumlgg az atomok meacutereteacutetől eacutes az őket oumlsszetartoacute koumlteacutes erősseacutegeacutetől Peacuteldaacuteul a kovalens
koumlteacutes a fluormolekulaacuteban (FminusF) roumlvidebb mint egy kloacutermolekulaacuteban (ClminusCl) mivel a kloacuteratomok
joacuteval nagyobbak a fluoratomoknaacutel Ennek megfelelően a halogeacutenmolekulaacutek koumlzoumltt a fluormolekula
koumlteacuteshossza a legroumlvidebb enneacutel nagyobb a kloacutermolekulaacuteeacute majd sorrendben a broacutemmolekula (BrminusBr)
eacutes joacutedmolekula (IminusI) koumlvetkezik oumlsszhangban a halogeacutenatomok meacutereteacutevel
Adott keacutet atom (peacuteldaacuteul keacutet szeacutenatom) melyek koumlzoumltt mineacutel roumlvidebb a koumlteacuteshossz annaacutel
erősebbnek tekinthető a koumlteacutes Tehaacutet a koumlteacutes erősseacutegeacutere a koumlteacuteshosszboacutel is nyerhetuumlnk informaacutecioacutet
Fontos azonban hogy mindig azonos fajta koumlteacuteseket hasonliacutetsunk oumlssze peacuteldaacuteul egy CminusC eacutes egy CminusH
koumlteacutes hosszaacutet oumlsszehasonliacutetva azok erősseacutegeacutet nem lehet pontosan megbecsuumllni mivel a koumlteacutest alkotoacute
atomok atomsugaraacutenak is hataacutesa van a koumlteacuteshosszra
Toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek
Bizonyos esetekben az elektronoktett kialakiacutetaacutesaacutehoz nem elegendő egyetlen koumltő elektronpaacuter
Ezt ismeacutet egy peacuteldaacuten keresztuumll ceacutelszerű megvizsgaacutelni
Az elemi nitrogeacuten molekulaacuteris formaacuteban fordul elő a termeacuteszetben A nitrogeacuten
elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p
3 a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema 5 Keacutet nitrogeacutenatomboacutel egy
nitrogeacutenmolekula keletkezik melynek oumlsszesen 2 middot 5 = 10 elektronja van a lezaacutert heacutejakon kiacutevuumll Mint
fentebb laacutettuk a kloacutermolekula eseteacuten 14 elektronboacutel tudtuk kialakiacutetani a keacutet elektronoktettet Viszont a
nitrogeacuten eseteacuten nem aacutell rendelkezeacutesre ennyi elektron
Mi toumlrteacutenik ha a keacutet nitrogeacutenatom nem egyndashegy hanem keacutetndashkeacutet elektronjaacuteval leacutetesiacutet koumlteacutest
Ekkor mindkeacutet nitrogeacutenatom koumlruumll 5 + 2 = 7 vegyeacuterteacutekelektron van (eleve volt 5 a maacutesik nitrogeacutentől
pedig 2-t kapott) iacutegy nem teljesuumll az oktettelv
Most vizsgaacuteljuk meg hogy mi vaacuteltozik ha mindkeacutet nitrogeacuten haacuteromndashhaacuterom elektront szolgaacuteltat a
koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacutehoz Ekkorra mindkeacutet nitrogeacuten koumlruumll eacuteppen 8 elektron talaacutelhatoacute azaz megfelel az
oktettszabaacutelynak Ha mindkeacutet nitrogeacuten 3ndash3 elektronnal leacutetesiacutet koumlteacutest oumlsszesen 6 elektron talaacutelhatoacute a
keacutet nitrogeacutenatom koumlzoumltt A 6 elektronboacutel 3 elektronpaacutert tudunk leacutetrehozni a nitrogeacutenek keacutetndashkeacutet
elektronja pedig egyndashegy magaacutenos elektronpaacutert alkot Mivel az elektronpaacutert egy vonallal szokaacutes
jeloumllni a nitrogeacutenmolekula szerkezeteacutet az alaacutebbi formaacuteban szoktuk feliacuterni
| N equiv N |
Az iacutegy keletkezett koumlteacutest haacutermas koumlteacutesnek nevezzuumlk Termeacuteszetesen ennek mintaacutejaacutera leacutetezik
kettős koumlteacutes is
Kettős koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely keacutet koumltő elektronpaacuteron keresztuumll koumlti oumlssze a keacutet
atomot
Haacutermas koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely haacuterom koumltő elektronpaacuteron keresztuumll leacutetesiacutet kapcsolatot
a keacutet atom koumlzoumltt
Az elmeacuteleti szaacutemiacutetaacutesok eacutes kiacuteseacuterletek alapjaacuten a kettős koumlteacutes joacuteval erősebb mint az egyes koumlteacutes aacutem
a kettős koumlteacutes koumlteacutesi energiaacuteja aacuteltalaacuteban nem keacutetszerese az egyes koumlteacuteseacutenek hanem kisebb annaacutel
82 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hasonloacutean a haacutermas koumlteacutes is rendszerint erősebb mint egy egyes vagy kettős koumlteacutes aacutem nem
haacuteromszor olyan erős mint egy egyes koumlteacutes
Mivel a koumlteacutesek erősseacutegeacutet a koumlteacutesenergiaacuteval szoktuk jellemezni neacutezzuumlk meg az CminusC C=C eacutes
A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja 610 kJmol minus 347 kJmol = 263 kJmol miacuteg
a szeacutenndashszeacuten haacutermas koumlteacutes bdquoharmadik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja a haacutermas eacutes kettős koumlteacutes koumlteacutesi
energiaacutejaacutenak a kuumlloumlnbseacutegekeacutent adoacutedik 836 kJmol minus 610 kJmol = 226 kJmol
Ennek magyaraacutezataacutehoz meg kell ismerkednuumlnk a molekulapaacutelya fogalmaacuteval
Molekulapaacutelya az a teacuterreacutesz melyen beluumll 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute az elektron Az
atompaacutelyaacutehoz hasonloacutean egy molekulapaacutelyaacutera is maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet A koumltő
elektronpaacuterokat tehaacutet molekulapaacutelyaacutekkal jeleniacutethetjuumlk meg
Teacuterjuumlnk vissza tehaacutet az egyes kettős eacutes haacutermas koumlteacutesek elteacuterő erősseacutege kuumlloumlnbseacutegeacutenek
eacutertelmezeacuteseacutehez Az egyes koumlteacutesnek megfelelő elektronok a keacutet atom koumlzoumltt tengelyiraacutenyban
helyezkednek el egy hengerszimmetrikus molekulapaacutelyaacuten A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodikrdquo elektronpaacuterja maacuter
nem keruumllhet ugyanebbe a teacuterreacuteszbe hanem bdquopiskoacuteta alakbanrdquo az etileacutenmolekula siacutekja alatt eacutes foumlloumltt
helyezkedik el Mivel ezek az elektronok maacuter nem a keacutet atomot oumlsszekoumltő tengely menteacuten
helyezkednek el a koumlteacutes gyengeacutebb mint az egyszeres koumlteacutes
A σ-koumlteacutes eacutes π-koumlteacutes
Az egyszeres koumlteacutest ζ (szigma) koumlteacutesnek hiacutevjuk a maacutesodik eacutes harmadik koumlteacuteseket pedig π (piacute)
koumlteacuteseknek nevezzuumlk
Most vizsgaacuteljuk meg hogyan alakulhat ki ζ-koumlteacutes illetve π-koumlteacutes
A hidrogeacutenatomnak egyetlen elektronja van mely a goumlmbszimmetrikus 1s paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Keacutet
hidrogeacutenatomot koumlzeliacutetve egymaacuteshoz a keacutet atompaacutelyaacuteboacutel keacutet molekulapaacutelya joumln leacutetre Az egyikre keacutet
elektron keruumll miacuteg a maacutesik betoumlltetlen marad (az elsőt szokaacutes koumltőpaacutelyaacutenak a maacutesikat pedig
laziacutetoacutepaacutelyaacutenak nevezni) A keacutetszeresen betoumlltoumltt paacutelya hengerszimmetrikus az ilyet nevezzuumlk ζ-
koumlteacutesnek
3114 aacutebra A σ-koumlteacutes
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a hidrogeacuten-klorid-molekula kialakulaacutesaacutet A kloacuteratomnak 7
vegyeacuterteacutekelektronja van 3s2 3p5 azaz a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll kettő keacutetszeresen betoumlltoumltt miacuteg a
harmadik csak egyszeresen Iacutegy a hidrogeacuten 1s-paacutelyaacutejaacuteboacutel eacutes a kloacuter egyik 3p-paacutelyaacutejaacuteboacutel joumlnnek leacutetre a
molekulapaacutelyaacutek
Ismeacutet egy hengerszimmetrikus ζ-paacutelya joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 83
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A fent megismert ζ-koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak peacuteldaacuteul a teliacutetett szeacutenhidrogeacutenekben is melyeknek igen
fontos jellemzőjuumlk hogy a hengerszimmetrikus koumlteacutesek tengelye menteacuten a csoportok el tudnak
fordulni egymaacuteshoz keacutepest viszonylag kis energiabefekteteacutes hataacutesaacutera iacutegy az ilyen vegyuumlletekben a ζ-
koumlteacutestengely koumlruumlli forgaacutes (rotaacutecioacute) igen koumlnnyen veacutegbemegy
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek kialakulaacutesaacutet Vegyuumlk peacuteldaacuteul a
nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesaacutet
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja 2s2 2p3 A haacuterom p-elektron a haacuterom kuumlloumlnboumlző teacuteraacutellaacutesuacute p-
3115 aacutebra A nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesa
A keacutet px-paacutelyaacuteboacutel leacutetrejoumln a ζ-koumlteacutes
3116 aacutebra A nitrogeacutenmolekula σ-koumlteacutese
Viszont ha a px-paacutelyaacutekboacutel kialakul a ζ-koumlteacutes a py- eacutes pz-paacutelyaacutekboacutel maacuter nem joumlhet leacutetre ζ-koumlteacutes
Ezzel ellenben π-koumlteacutesek joumlnnek leacutetre
3117 aacutebra A nitrogeacutenmolekula π-koumlteacutesei
A keacutet π-koumlteacutesnek van egy-egy csomoacutesiacutekja (ahol az elektronok megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege 0) ez a
keacutet csomoacutesiacutek egymaacutesra merőleges A nitrogeacuten eseteacuteben a keacutet π-koumlteacutes teljesen egyforma meacuteretű eacutes
A koumltő elektronpaacuter keacutetfeacutelekeacuteppen joumlhet leacutetre vagy mindkeacutet atom ad egy-egy (vagy toumlbb)
elektront vagy csak az egyik atomtoacutel szaacutermazik a koumltő elektronpaacuter
Kolligaacutecioacutes koumlteacutes mindkeacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom hozzaacutejaacuterul elektronnal (elektronokkal) a koumlteacuteshez
A fentebb taacutergyalt koumlteacutesek mindegyike kolligaacutecioacutes koumlteacutes akaacuter a kloacutermolekula akaacuter a
nitrogeacutenmolekula leacutetrejoumltteacuteről van szoacute
Datiacutev vagy koordinaacutecioacutes koumlteacutes a keacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom koumlzuumll az egyik atom egy teljes
elektronpaacuterral jaacuterul hozzaacute a koumlteacuteshez (ez az elektronpaacuter donor atom) miacuteg a maacutesik atom nem
szolgaacuteltat elektront a koumlteacuteshez (ezt elektronpaacuter-akceptor atomnak nevezzuumlk)
(datiacutev a dativus latin szoacuteboacutel melynek jelenteacutese adaacutes)
A datiacutev koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez szuumlkseacuteges hogy az egyik atomnak legye magaacutenos (nemkoumltő)
elektronpaacuterja a maacutesik atom pedig legyen bdquoelektronhiaacutenyosrdquo Az elektronhiaacuteny akkor leacutep fel ha nem
teljesuumll az oktettszabaacutely
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a boacuter-trifluorid (BF3) molekulaacutet A haacuterom fluoratom egy-egy elektront ad a
kovalens koumlteacutesbe a boacuter ([He] 2s2 2p1) pedig 3 elektronnal tud koumlteacutest leacutetesiacuteteni iacutegy a boacuter koumlruumll haacuterom
koumltő elektronpaacuter helyezkedik el azaz a boacuter vegyeacuterteacutekheacutejaacuten csak hat elektron talaacutelhatoacute A boacuter-trifluorid
molekula siacutek szerkezetű mind a neacutegy atom egy siacutekban van eacutes a boacuteratomnak van egy uumlres p-paacutelyaacuteja
Az uumlres paacutelyaacutek elektronpaacuter-akceptorkeacutent viselkedhetnek
Most keressuumlnk egy elektronpaacuterdonor molekulaacutet Peacuteldaacuteul a fentebb megismert ammoacuteniamolekula
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral iacutegy elektronpaacuterdonornak tekinthető
Mi toumlrteacutenik ha koumlzeledik egymaacuteshoz egy ammoacutenia- eacutes egy boacuter-trifluorid molekula Az
ammoacuteniamolekula nitrogeacutenatomja a magaacutenos paacuterjaacutet bdquokoumllcsoumlnadjardquo a boacuternak iacutegy annak leacutetrejoumln az
elektronoktettje A nitrogeacuten a magaacutenos paacuterjaacutet nem adja aacutet teljesen a boacuternak hanem az a keacutet atom
koumlzoumltt elhelyezkedő elektronpaacuterraacute alakul Iacutegy a nitrogeacutennek is megmarad az elektronoktettje Az iacutegy
leacutetrejoumlvő datiacutev koumlteacutes olyan mint egy hagyomaacutenyos kovalens koumlteacutes a kuumlloumlnbseacuteg csak abban van hogy
a datiacutev koumlteacutes eseteacuten mindkeacutet elektront ugyanaz az atom adja A kialakuloacute datiacutev koumlteacutes kialakulaacutesaacutenak az
a hajtoacuteereje hogy a boacuteratom elektronhiaacutenya csoumlkkenjen (iacutegy teljesuumll az oktettszabaacutely)
A datiacutev koumlteacutest aacuteltalaacuteban vonal helyett nyiacutellal szoktuk jeloumllni A nyiacutel az elektronpaacuterdonor atomtoacutel
mutat az elektronpaacuter-akceptor atom feleacute
N B
H
HH F
FF
Termeacuteszetesen nemcsak az ammoacutenia nitrogeacutenje lehet elektronpaacuter-donor akaacuter ionok is adhatnak
elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesbe Peacuteldaacuteul a fluoridionnak (Fminus) is van 4 magaacutenos elektronpaacuterja
Mi toumlrteacutenik ha egy boacuter-trifluorid molekulaacutet eacutes egy fluoridiont koumlzeliacutetuumlnk egymaacuteshoz A
fluoridion egyik magaacutenos paacuterja datiacutev koumlteacutest leacutetesiacutet a boacutertrifluorid boacuteratomjaacuteval Egy anion keletkezik
melyben a neacutegy fluor egy boacuteratomot vesz koumlruumll
B
F
FF
F
A keletkező igen nagy stabilitaacutesuacute ion neve tetrafluoroboraacutet-anion Benne a neacutegy fluor-boacuter koumlteacutes
teljesen egyenranguacute nem lehet megkuumlloumlnboumlztetni a kolligaacutecioacutes elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesből
szaacutermazoacutetoacutel Mind a neacutegy fluoratom mind a boacuteratom eseteacuten teljesuumll az oktettszabaacutely (mindegyik atom
koumlruumll neacutegy elektronpaacuter talaacutelhatoacute) A negatiacutev toumllteacutes megoszlik a neacutegy fluoratomon egyiknek sincs
kituumlntetett szerepe
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 85
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Datiacutev koumlteacutes nemcsak keacutet kuumlloumlnaacutelloacute molekula vagy ion koumlzoumltt joumlhet leacutetre erre peacutelda a szeacuten-
monoxid molekula
A szeacuten-monoxidot feliacuterhatjuk uacutegy hogy kettős koumlteacutest iacuterunk a szeacuten- eacutes oxigeacutenatom koumlzeacute
C O
Mint laacutethatoacute az oxigeacutenatom koumlruumll neacutegy elektronpaacuter van iacutegy ez megfelel az oktettszabaacutelynak
Viszont a szeacutenatom koumlruumll csak hat elektron (3 elektronpaacuter) talaacutelhatoacute iacutegy elektronhiaacutenyos Az oxigeacuten a
keacutet elektronpaacuterja koumlzuumll az egyikkel datiacutev koumlteacutest tud leacutetesiacuteteni iacutegy haacutermas koumlteacutes alakul ki
C O
Az oxigeacuten az elektronpaacuterdonor a szeacuten pedig az elektronpaacuter-akceptor Ha oumlsszeszaacutemoljuk az
elektronokat a szeacuten eacutes az oxigeacuten koumlruumll azt tapasztaljuk hogy mindkeacutet elem eseteacuten teljesuumll az oktettelv
Eacuterdemes megjegyezni hogy a szeacuten-monoxidban a koumlteacutes gyakorlatilag apolaacuteris ami meglepő ha
belegondolunk hogy a szeacuten eacutes az oxigeacuten elektronegativitaacutesa koumlzoumltt mintegy egyseacutegnyi a kuumlloumlnbseacuteg
[EN(O) = 34 EN(C) = 25] Tehaacutet a koumlteacutesnek polaacuterisnak kellene lennie az elektronegativitaacutesok
alapjaacuten az oxigeacutenen kellene lennie az elektrontoumlbbletnek Mivel az oxigeacuten elektront (negatiacutev toumllteacutes) ad
be a datiacutev koumlteacutesbe a koumlteacutes polaritaacutesa csoumlkken Ebből nyilvaacutenvaloacutevaacute vaacutelik az is hogy az
elektronegativitaacutesok alapjaacuten nem mindig lehet egyeacutertelműen eldoumlnteni hogy egy koumlteacutes mennyire
polaacuteris
Delokalizaacutelt elektronok
Delokalizaacutecioacute ha egy elektron nem rendelhető egyeacutertelműen egy adott atomhoz vagy keacutemiai
koumlteacuteshez az elektront delokalizaacuteltnak tekintjuumlk
A latin eredetű szoacute jelenteacutese nem helyhez koumltoumltt A lokalizaacutelt (bdquohelyhez koumltoumlttrdquo) koumlteacutes joacutel
meghataacuterozottan keacutet atom koumlzoumltt helyezkedik el
Akkor joumln leacutetre delokalizaacutecioacute ha egy molekulapaacutelya kettőneacutel toumlbb atomra terjed ki
Koumlvetkezzen egy peacutelda delokalizaacutelt elektronszerkezetre
A benzol keacuteplete C6H6 siacutek szerkezetű molekulaacutejaacuteban a szeacutenatomok egy szabaacutelyos hatszoumlg
csuacutecsaiban talaacutelhatoacutek Az oktettelv teljesuumlleacutese ceacuteljaacuteboacutel a szeacutenatomok koumlzeacute vaacuteltakozva egyes eacutes kettős
koumlteacuteseket kellene berajzolnunk (oumlsszesen hat ζ- eacutes haacuterom π-koumlteacutes)
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
Mint koraacutebban emliacutetettuumlk a kettős koumlteacutes hossza roumlvidebb az egyes koumlteacuteseacuteneacutel iacutegy a benzol eseteacuten
is vaacuteltakozoacute hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket kellene kapnunk A kiacuteseacuterleti vizsgaacutelatok azonban ndash ezek alapjaacuten
kisseacute meglepő moacutedon ndash a szeacutenatomok koumlzoumltt azonos hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket aacutellapiacutetottak meg Ez azt
sejteti hogy a szeacutenatomok koumlzoumltti koumlteacutes nem tekinthető sem egyes sem kettős koumlteacutesnek hanem
valahol a kettő koumlzoumltt van A benzol 3 middot 2 = 6 π-elektronja delokalizaacuteloacutedik a hat szeacutenatom foumlloumltt Ennek
megjeleniacuteteacuteseacutere gyakran alkalmazzuk az alaacutebbi keacutepletjeloumlleacutest (a karika a hat delokalizaacuteloacutedott elektront
jeleniacuteti meg)
86 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
31 peacutelda
Iacuterjuk fel a koumlvetkező molekulaacutek elektronszerkezeteacutet
a) hidrogeacuten-klorid (HCl)
b) viacutez (H2O)
c) etileacuten (H2CCH2)
d) acetileacuten (HCCH)
e) szeacuten-dioxid (CO2)
f) keacuten-dioxid (SO2)
g) keacuten-trioxid (SO3)
h) ammoacuteniumion (NH4+)
Megoldaacutes
a) A hidrogeacuten-kloridban egy koumltő elektronpaacuteron keresztuumll joumln leacutetre a kovalens koumlteacutes a
kloacuteratomnak pedig van haacuterom magaacutenos elektronpaacuterja
H Cl
Mivel a hidrogeacuten eacutes a kloacuter elektronegativitaacutesa jelentősen elteacuterő [EN(H) = 21 EN(C) = 31] a
koumlteacutes polaacuteris kovalens koumlteacutesnek tekinthető
b) A viacutezmolekulaacuteban az oxigeacuten hat vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel kettőt bead a keacutet egyes koumlteacutesbe iacutegy a
dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha a megfelelő toumllteacutesek uacutegy rendeződnek hogy koumlzoumlttuumlk a
legnagyobb stabilizaacutecioacute joumlhessen leacutetre Ezt orientaacutecioacutes hataacutesnak (effektusnak) nevezzuumlk
3121 aacutebra A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesaacutet megfigyelhetjuumlk a koumlvetkező animaacutecioacuten
3121 animaacutecioacute A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Hidrogeacutenkoumlteacutes (vagy hidrogeacutenhiacutedkoumlteacutes) olyan molekulaacutek koumlzoumltt joumln leacutetre melyekben a
hidrogeacutenatom egy kiemelkedően nagy elektronegativitaacutesuacute atomjaacutehoz kapcsoloacutedik
A hidrogeacutenkoumlteacutes az aacutetlagos dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel erősebb a legerősebb maacutesodrendű koumlteacutes A
hidrogeacutenkoumlteacutes leacutetrejoumltteacutenek felteacutetele hogy a keacutet atom elektronegativitaacutesa koumlzoumltt nagy kuumlloumlnbseacuteg
legyen Aacuteltalaacuteban akkor szaacutemiacutethatunk hidrogeacutenkoumlteacutes kialakulaacutesaacutera ha a hidrogeacutenatom oxigeacutenhez
nitrogeacutenhez vagy fluorhoz kapcsoloacutedik A hidrogeacutenkoumlteacutes rendkiacutevuumll fontos oumlsszetartoacute erő megtalaacutelhatoacute
szaacutemos termeacuteszetes vegyuumlletben
A viacutez az egyik legfontosabb vegyuumllet melynek molekulaacutei koumlzoumltt hidrogeacutenkoumlteacutes talaacutelhatoacute
O
H
H
H O
H
H
O H
()
()
()
()
()
()
()
()
()
3122 aacutebra A hidrogeacutenkoumlteacutes
Dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumllcsoumlnhataacutes egy dipoacutelusmolekula eacutes egy apolaacuteris molekula koumlzoumltt
leacutetrejoumlvő oumlsszetartoacute erő
A dipoacutelusmolekula kismeacuterteacutekű toumllteacutesmegoszlaacutest okoz a koumlzeleacuteben talaacutelhatoacute apolaacuteris molekulaacuteban
ezt indukaacutelt polarizaacutecioacutenak nevezzuumlk A dipoacutelusmolekula eacutes az indukaacutelt polaritaacutessal rendelkező
molekula koumlzoumltt iacutegy elektrosztatikus vonzaacutes joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 89
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
3123 aacutebra A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes gyengeacutebb a dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel mivel az apolaacuteris molekula
csak igen kismeacuterteacutekben tud polarizaacuteloacutedni
3122 animaacutecioacute A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes az apolaacuteris molekulaacutekat oumlsszetartoacute gyenge koumllcsoumlnhataacutes
A diszperzioacutes koumlteacutest szoktaacutek London-koumllcsoumlnhataacutesnak is nevezni
A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes alapja hogy egy molekula (vagy atom) elektronjai folyamatos
veacuteletlenszerű (rezgő) mozgaacutest veacutegeznek iacutegy meacuteg az apolaacuteris molekulaacutekban is leacutetrejoumln kismeacuterteacutekű
polarizaacutecioacute Az iacutegy leacutetrejoumltt pillanatszerű polarizaacuteltsaacuteg a szomszeacutedos apolaacuteris molekulaacutet polarizaacutelja
(hasonloacutean a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez) Tehaacutet oumlnmagaacuteban az apolaacuteris molekulaacutek
eseteacuten is leacutetrejoumlhet pillanatszerű aszimmetrikus toumllteacuteseloszlaacutes indukaacutelt polarizaacutecioacute (megjegyzeacutes az
apolaacuteris jelleg viszont időben kiaacutetlagoloacutedik eacutes iacutegy oumlsszesseacutegeacuteben nem tapasztalunk dipoacutelusjelleget) A
keletkezett gyengeacuten polarizaacutelt molekulaacutek koumlzoumltt elektrosztatikus vonzoacuteerő joumln leacutetre melynek
eredmeacutenye a gyenge diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
3124 aacutebra A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
A maacutesodrendű koumlteacutesek noumlvekvő erősseacuteg szerinti sorrendje
1 Mit mond ki az oktettelv (vagy maacuteskeacutepp oktettszabaacutely)
2 Mi az elsőrendű eacutes a maacutesodrendű keacutemiai koumlteacutes
3 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a homonukleaacuteris eacutes a heteronukleaacuteris keacutemiai koumlteacutes koumlzoumltt
4 Definiaacutelja az ionos koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
5 Definiaacutelja a feacutemes koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
6 Definiaacutelja a kovalens koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
+minus
90 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
7 Mit jelent ha egy kovalens koumlteacutes polaacuteris vagy apolaacuteris
8 Mieacutert nem teljesuumll az oktettszabaacutely a hidrogeacuten eseteacuten
9 A boacuter-trifluoridot (BF3) elektronhiaacutenyos vegyuumlletkeacutent szoktaacutek emlegetni Mieacutert
10 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a kolligaacutecioacutes eacutes a datiacutev kovalens koumlteacutes koumlzoumltt
11 Hogyan jellemezhető a kovalens koumlteacutes erősseacutege
12 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat koumlteacuteshossz koumlteacutesi energia
13 Keacutet elem elektronegativitaacutesa alapjaacuten hogyan becsuumllhető meg hogy ezen elemek atomja koumlzoumltt
milyen tiacutepusuacute (elsőrendű) keacutemiai koumlteacutes joumlhet leacutetre
14 Mi a magaacutenos elektronpaacuter Nevezzen meg neacutehaacuteny molekulaacutet melyben valamely atom
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral
15 Hogyan definiaacutelnaacute a kettős koumlteacutest eacutes a haacutermas koumlteacutest Mi a ζ- eacutes a π-koumlteacutes Soroljon fel neacutehaacuteny
molekulaacutet melyben kettős illetve haacutermas koumlteacutes talaacutelhatoacute
16 Sorolja fel a maacutesodrendű koumlteacutes fajtaacuteit hasonliacutetsa oumlssze őket a fizikai jelenseacuteg illetve a
koumlteacuteserősseacuteg szempontjaacuteboacutel
17 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a dipoacutelus-dipoacutelus a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus eacutes diszperzioacutes koumlteacutesek koumlzoumltt
18 Milyen koumlteacutes joumlhet leacutetre a koumlvetkező vegyuumlletek molekulaacutei koumlzoumltt
a viacutez (H2O)
b kloroform (maacutes neacuteven trikloacutermetaacuten CHCl3)
c metaacuten (CH4)
d joacuted (I2)
e hidrogeacuten-fluorid (HF)
f keacuten-dioxid (SO2)
g argon (Ar)
h hidrogeacuten-jodid (HI)
32 A molekulaacutek alakja
321 A molekulageometria
A molekulaacutek elektronszerkezete eacutes alakja koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes aacutell fenn Tehaacutet mielőtt egy
molekula szerkezeteacutet felrajzolnaacutenk fontos aacutetgondolni hogy a molekulaacuteban milyen koumlteacutesek
talaacutelhatoacuteak Az elektronok negatiacutev toumllteacutesuumlk folytaacuten tasziacutetjaacutek egymaacutest iacutegy a molekula elektronpaacuterjai
egymaacutestoacutel a lehető legtaacutevolabb szeretneacutenek elhelyezkedni
A molekulaacutek szerkezeteacutet a vegyeacuterteacutek-elektronpaacuterok hataacuterozzaacutek meg a koumltő eacutes magaacutenos
elektronpaacuterok uacutegy helyezkednek el hogy taacutevolsaacuteguk maximaacutelis legyen
Fontos megaacutellapiacutetaacutesok
ndash a kettős koumlteacutesek teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacutesekeacute a haacutermas koumlteacutesekeacute pedig nagyobb
mint a kettős koumlteacutesekeacute
ndash a magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban nagyobb mint a koumltő elektronpaacuterokeacute
Ha egy molekula szerkezeteacutet (geometriaacutejaacutet) szeretneacutenk meghataacuterozni az első leacutepeacutes megaacutellapiacutetani
hogy haacuteny koumltő eacutes magaacutenos elektronpaacuterral rendelkeznek az egyes atomok eacutes hogy a koumltő
elektronpaacuterok haacutenyszoros koumlteacutessel kapcsoljaacutek oumlssze az egyes atomokat
A koumlzponti atomot A-val a hozzaacute kapcsoloacutedoacute atomot X-szel a koumlzponti atom magaacutenos
elektronpaacuterjaacutet pedig E-vel szokaacutes jeloumllni
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 91
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A koumlzponti atomhoz kapcsoloacutedoacute atomot vagy atomcsoportot ligandumnak nevezzuumlk
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
Koumlteacutesszoumlg a ligandumok atommagjaacutet eacutes a koumlzponti atom atommagjaacutet oumlsszekoumltő szakaszok aacuteltal
bezaacutert szoumlg (A koumlteacutesszoumlg 180deg-naacutel nem lehet nagyobb eacuterteacutekű) XAXrsquo koumlteacutesszoumlg az aacutebra alapjaacuten
A
X
X
XAX szoumlg
Baacutermely egyszerű biner (keacutet elemből aacutelloacute) molekulaacutet feliacuterhatunk AXnEm alakban (Az X jeloumllhet
aacuteltalaacutenos ligandumot is tehaacutet nem biztos hogy azonos ligandumokroacutel van szoacute A tovaacutebbiakban azon
molekulaacutekkal foglalkozunk melyek koumlzponti atomja koumlruumll azonos ligandumok talaacutelhatoacutek)
A molekula alakjaacuten vagy geometriaacutejaacuten a ligandumok atommagjai aacuteltal meghataacuterozott
geometriai alakzatot eacutertjuumlk
Lineaacuteris molekula egy haacuterom- vagy toumlbbatomos molekula lineaacuteris ha minden atommagja
ugyanarra az egyenesre esik (A keacutetatomos molekulaacutek eseteacuten az atommagok mindig egy egyenesre
esnek itt nincs eacutertelme linearitaacutesroacutel beszeacutelni)
Erre egy peacutelda az acetileacuten- (etin-) molekula
C CH H
Siacutek vagy planaacuteris molekula minden atomja egy siacutekba esik
Peacuteldaacuteul a koraacutebban emliacutetett boacuter-trifluorid siacutekmolekula mivel az oumlsszes atomja egy siacutekban
talaacutelhatoacute az FBF koumlteacutesszoumlgek 120deg-osak eacutes a haacuterom FminusBminusF koumlteacutesszoumlg oumlsszege kiadja a teljesszoumlget
(360deg)
B
F
FF
322 A molekulaacutek polaritaacutesa
Maacuter a keacutemiai koumlteacutesekkel foglalkozoacute fejezet elejeacuten emliacutetettuumlk az apolaacuteris eacutes a dipoacutelusmolekula
fogalmaacutenaacutel hogy a molekula polaritaacutesa szempontjaacuteboacutel nemcsak a koumlteacutesek polaritaacutesa szaacutemiacutet hanem
azok teacuterbeli elrendeződeacutese is
Azon molekula melyben csak apolaacuteris koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak az mindig apolaacuteris A polaacuteris
koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula lehet apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula ha a koumlteacutesek dipoacutelusvektorainak
eredője nullvektor a molekula apolaacuteris ha a dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus vektor a
molekulaacutenak van eredő dipoacutelusa tehaacutet dipoacutelusmolekulaacuteroacutel van szoacute
Ezt szemleacuteltessuumlk is egy-keacutet peacuteldaacuteval
Szeacutenhidrogeacutenek olyan vegyuumlletek melyek csak szeacuten- eacutes hidrogeacutenatomot tartalmaznak Neacutehaacuteny
Az oumlt elektronpaacuterboacutel haacuterom egy siacutekban rendeződik el haacuteromszoumlg alakban a maacutesik keacutet elektronpaacuter
pedig a siacutek alatt illetve foumlloumltt helyezkedik el Az oumlt AminusX koumlteacutesből haacuterom elteacuter a maacutesik kettőtől elteacuterő
koumlrnyezetben talaacutelhatoacute iacutegy ezen koumlteacutesek hossza aacuteltalaacuteban elteacuter a maacutesik keacutet koumlteacutes hosszaacutetoacutel
A haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ligandumok poziacutecioacutejaacutet ekvatoriaacutelisnak miacuteg az erre
merőlegesekeacutet pedig axiaacutelisnak (vagy apikaacutelisnak) nevezzuumlk
Keacutet egymaacutes melletti ekvatoriaacutelis helyzetben leacutevő ligandum koumlzoumltti koumlteacutesszoumlg 120deg miacuteg egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis ligandum koumlzoumltt 90deg-os a koumlteacutesszoumlg
Az iacutegy keletkező szerkezet olyan mintha keacutet haacuteromszoumlg alapuacute piramist egy lapjukon
oumlsszeilleszteneacutenk ezeacutert az ilyen molekulageometria elnevezeacutese haacuteromszoumlg alapuacute bipiramis vagy
trigonaacutelis bipiramis
Az ilyen koumlteacuteselrendeződeacutes eseteacuten a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor a molekula apolaacuteris
Peacutelda PF5 AsCl5
Megjegyzeacutes oumlt ligandum nemcsak haacuteromszoumlg alapuacute piramis alakban rendeződhet el hanem
lehetseacuteges egy maacutesfajta elrendeződeacutes is melynek neve neacutegyzet alapuacute piramis vagy tetragonaacutelis
piramis Ekkor a ligandumok egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela csuacutecsaiban foglalnak helyet
94 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Rendszerint a trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutes energetikailag kedvezőbb mint a tetragonaacutelis
piramisos
n = 6 m = 0 AX6E0
A hat elektronpaacuter teacuterben uacutegy helyezkedik el egymaacutestoacutel legtaacutevolabb ha a koumlzponti atomot egy
oktaeacuteder koumlzepeacutebe a ligandumokat pedig az oktaeacuteder hat csuacutecsaacuteba helyezzuumlk Az oumlsszes AminusX koumlteacutes
hossza azonos Keacutet egymaacutes melletti X eacutes Xrsquo ligandum eseteacuten az XAXrsquo szoumlg 90deg-os
Az ilyen elrendeződeacutest oktaeacutederes geometriaacutenak nevezzuumlk
Ha egy molekula alakja oktaeacuteder akkor nem lehet dipoacutelusmolekula
Peacutelda SF6 PF6minus
n = 7 m = 0 AX7E0
Az alaacutebbiakban csak a legjellegzetesebb geometria kialakulaacutesaacutet ndash elsősorban eacuterdekesseacutegkeacutent ndash
taacutergyaljuk A heacutet elektronpaacuterboacutel oumlt egy siacutekban egy szabaacutelyos oumltszoumlg csuacutecsainak iraacutenyaacuteban helyezkedik
el A koumlzponti atom az oumltszoumlg koumlzeacuteppontjaacuteban talaacutelhatoacute a hozzaacute kapcsoloacutedoacute oumlt ligandum pedig az
oumltszoumlg csuacutecsaiban A fennmaradoacute keacutet ligandum az oumltszoumlg siacutekja feleacute eacutes alaacute keruumll uacutegy hogy ezen keacutet
ligandum eacutes a koumlzponti atom egy egyenesbe esik A molekulaacuteban keacutetfeacutele koumlteacuteshosszt figyelhetuumlnk
meg aacuteltalaacuteban az oumltszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute koumlteacutesek eacutes a maacutesik keacutet koumlteacutes aacuteltalaacuteban nem egyforma
hosszuacutesaacuteguacute
A keletkező molekula geometriaacutejaacutet oumltszoumlg alapuacute bipiramisnak vagy pentagonaacutelis bipiramisnak
nevezzuumlk
A szimmetrikus elrendeződeacutes koumlvetkezteacuteben a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor iacutegy a molekula
apolaacuteris
Peacutelda IF7
n = 8 m = 0 AX8E0
Csak az eacuterdekesseacuteg eacutes teljesseacuteg kedveacuteeacutert emliacutetjuumlk meg ezt az elrendeződeacutest rendkiacutevuumll ritka A
nyolc koumltő elektronpaacuter egy neacutegyzetes antiprizma csuacutecsain helyezkedik el A neacutegyzetes antiprizma
uacutegy aacutelliacutethatoacute elő ha egy neacutegyzet alapuacute egyenes hasaacuteb alapjaacutet eacutes fedőlapjaacutet egymaacuteshoz keacutepest 45deg-ban
elforgatjuk
A molekula apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Peacutelda XeF82minus
Miutaacuten megbirkoacuteztunk az egyszerűbb magaacutenos elektronpaacutert nem tartalmazoacute molekulaacutek
szerkezeteacutevel most vizsgaacuteljunk bonyolultabb eseteket ahol a koumltő elektronpaacuterok mellett magaacutenos
elektronpaacuterok is talaacutelhatoacutek a koumlzponti atom vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
n = 2 m = 1 AX2E1
A molekula koumlzponti atomja koumlruumll haacuterom elektronpaacuter talaacutelhatoacute melyek koumlzuumll kettő koumltő
elektronpaacuter A haacuterom elektronpaacuter eseteacuten az ideaacutelis elrendeződeacutes haacuteromszoumlg alakuacute a haacuteromszoumlg keacutet
csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum
A magaacutenos elektronpaacutert tartalmazoacute haacuteromatomos AX2E molekula geometriaacutejaacutet hajlottnak vagy
V-alakuacutenak nevezzuumlk
Amennyiben az AminusX koumlteacutes polaacuteris a V-alakuacute molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda SO2 NO2minus
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 95
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
n = 2 m = 2 AX2E2
Neacutegy elektronpaacuter (keacutet koumltő keacutet magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll ezek
tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder keacutet csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum a maacutesik keacutet csuacutecs
iraacutenyaacuteba a magaacutenos paacuterok mutatnak
A keacutet magaacutenos elektronpaacuterral rendelkező haacuteromatomos molekulaacutek geometriaacuteja az előző ponthoz
hasonloacutean hajlott vagy V-alakuacute
Az ilyen geometriaacutejuacute molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda H2O H2S
n = 2 m = 3 AX2E3
Oumlsszesen oumlt elektronpaacuter (keacutet koumltő haacuterom magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll
iacutegy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesre szaacutemiacutetunk A magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban
nagyobb mint a ligandumokeacute iacutegy ezek foglaljaacutek el a haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ekvatoriaacutelis
poziacutecioacutekat a keacutet ligandum pedig a siacutek alaacute eacutes foumlleacute keruumll Az XAXrsquo szoumlg iacutegy 180deg-os tehaacutet a molekula
geometriaacuteja lineaacuteris
A molekula apolaacuteris (laacutesd az AX2 esetet)
Peacutelda XeF2 I3minus
Megjegyzeacutes eacuterdemes aacutetgondolni mieacutert is keruumll a nagyobb teacuterigeacutenyű csoport az ekvatoriaacutelis
poziacutecioacuteba Egy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesű modell eseteacuten legyen az axiaacutelis ligandum Xax az
ekvatoriaacutelis ligandum pedig Xekv Mivel az XekvminusAminusXrsquoekv koumlteacutesszoumlg 120deg az XaxminusAminusXekv koumlteacutesszoumlg
pedig csak 90deg keacutet ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacuteg kisebb mint egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltt Ezeacutert a nagyobb teacuterigeacutenyű
csoport ndash hogy a toumlbbi ligandumtoacutel a legtaacutevolabb helyezkedjen el az ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll
n = 3 m = 1 AX3E1
Ebben az esetben neacutegy elektronpaacuter (haacuterom koumltő egy magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti
atomja koumlruumll iacutegy ezek tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder haacuterom csuacutecsaacuten talaacutelhatoacute ligandum iacutegy
ezek egy siacutekba esnek A magaacutenos elektronpaacuter nagyobb teacuterigeacutenye folytaacuten az XAXrsquo aacuteltalaacuteban kisebb a
tetraeacutederben leacutevőneacutel (azaz 1095deg-naacutel)
A molekula geometriaacuteja haacuteromszoumlg alapuacute piramisos vagy trigonaacutelis piramisos
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda NH3 PF3
n = 3 m = 2 AX3E2
Az elektronpaacuterok szaacutema haacuterom koumltő eacutes keacutet magaacutenos oumlsszesen oumlt elektronpaacuter mely trigonaacutelis
bipiramis alakzatot vesz fel A magaacutenos elektronpaacuteroknak nagyobb a teacuterigeacutenyuumlk ezeacutert ezek az
ekvatoriaacutelis poziacutecioacutekba keruumllnek A haacuterom ligandum koumlzuumll kettő axiaacutelis helyzetben van a harmadik
pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula szerkezete T-alakuacute
Amennyiben az AminusX koumlteacutesek polaacuterisak a molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda ClF3
n = 4 m = 1 AX4E1
96 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az oumlt elektronpaacuterboacutel neacutegy koumltő eacutes egy magaacutenos ismeacutet trigonaacutelis bipiramis alakzatot vesz fel A
magaacutenos elektronpaacuter ebben az esetben is ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll A neacutegy ligandum koumlzuumll kettő
axiaacutelis helyzetben van a maacutesik kettő pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula geometriaacutejaacutet meacuterleghinta alakuacutenak nevezzuumlk (ritkaacutebban torzult tetraeacutedernek is
nevezik)
Mivel a dipoacutelusvektorok eredője nem nullvektor a molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda SF4
n = 4 m = 2 AX4E2
A koumlzponti atomhoz oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik neacutegy koumltő eacutes keacutet magaacutenos ezek
oktaeacutederesen rendeződnek el A magaacutenos elektronpaacuterok keacutet egymaacutessal ellenteacutetes poziacutecioacutet foglalnak
el hogy tasziacutetaacutesukat csoumlkkentseacutek A toumlbbi neacutegy ligandum neacutegyzet alakban rendeződik el
Az ilyen molekula geometriaacuteja neacutegyzetes vagy tetragonaacutelis planaacuteris
A molekula apolaacuteris (meacuteg polaacuteris AminusX koumlteacutesek eseteacuten is)
Peacutelda XeF4
n = 5 m = 1 AX5E1
Oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik koumlzponti atomhoz ezek ismeacutet oktaeacutederesen rendeződnek el
Az oktaeacuteder egyik csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula neacutegyzetes piramisos vagy tetragonaacutelis piramisos szerkezetű
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda BrF5
n = 6 m = 1 AX6E1
A koumlzponti atomon heacutet elektronpaacuter talaacutelhatoacute ezek pentagonaacutelis bipiramis alakba rendeződnek
ennek az oumltszoumlg siacutekja alatti (vagy feletti) csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula oumltszoumlg alapuacute piramisos vagy pentagonaacutelis piramisos szerkezetű
A molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda XeF6
Az alaacutebbi taacuteblaacutezatban a kuumlloumlnfeacutele alapmolekulaacutek szerkezeteacutet foglaltuk oumlssze
n m Keacuteplet
Elektronpaacuterok
elrendeződeacutese a
koumlzponti atom
koumlruumll
Molekula
alakja Koumlteacutesszoumlgek
Polaritaacutes
(ha AminusX
koumlteacutes
polaacuteris)
Peacutelda
1 AX A X polaacuteris HCl
2 0 AX2 lineaacuteris lineaacuteris A XX
XAX 180deg apolaacuteris CO2
1 AX2E trigonaacutelis planaacuteris hajlott vagy
V-alakuacute X
A
X
polaacuteris SO2
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 97
A szerző neveacutenek feltuumlnteteacutese mellett nem kereskedelmi ceacutellal szabadon
maacutesolhatoacute terjeszthető megjelentethető eacutes előadhatoacute de nem moacutedosiacutethatoacute
TAacuteMOGATAacuteS
Keacuteszuumllt a TAacuteMOP-412-082AKMR-2009-0028 szaacutemuacute bdquoMultidiszciplinaacuteris modulrendszerű digitaacutelis
tananyagfejleszteacutes a vegyeacuteszmeacuternoumlki biomeacuternoumlki eacutes vegyeacutesz alapkeacutepzeacutesbenrdquo ciacutemű projekt kereteacuteben
KEacuteSZUumlLT a Typotex Kiadoacute gondozaacutesaacuteban
FELELŐS VEZETŐ Votisky Zsuzsa
AZ ELEKTRONIKUS KIADAacuteST ELŐKEacuteSZIacuteTETTE Waizinger Joacutezsef
valamint a megoszlaacutesi egyensuacutelyokat Az aacuteltalaacutenos keacutemiaacuteval foglalkozoacute reacuteszt az Elektrokeacutemia ciacutemű fejezet
zaacuterja A jegyzet utolsoacute fejezetei roumlviden ismertetik a legfontosabb szervetlen eacutes szerves keacutemiai ismereteket
veacuteguumll az eacuterdeklődő Olvasoacute az utolsoacute fejezetben talaacutelhatoacute peacuteldataacuter gyakorloacutefeladatain oumlnaacutelloacutean ellenőrizheti
felkeacuteszuumlltseacutegeacutet
Tartalomjegyzeacutek 3
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
TARTALOMJEGYZEacuteK
ELŐSZOacute 5 1 MATEMATIKAI EacuteS FIZIKAI ALAPOK 6
11 Matematikai alapok 6 12 Fizikai alapismeretek 33 13 A goumlroumlg aacutebeacuteceacute 43
2 AZ ATOMOK SZERKEZETE 44 21 Az atommodellekről dioacuteheacutejban 44 22 Az atomok feleacutepiacuteteacutese 44 23 Az atomok elektronszerkezete 48 24 A kvantumszaacutemok 56 25 Az elemek perioacutedusos rendszere 57 26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben 62 27 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek -feladatok 73
3 KEacuteMIAI KOumlTEacuteSEK EacuteS A MOLEKULAacuteK SZERKEZETE 75 31 Keacutemiai koumlteacutesek 75 32 A molekulaacutek alakja 90
4 HALMAZOK HALMAZAacuteLLAPOTOK 104 41 Alapfogalmak elemek vegyuumlletek kevereacutekek 104 42 Az anyagi halmazok csoportosiacutetaacutesa 106 43 Halmazaacutellapotok halmazaacutellapot-vaacuteltozaacutesok 106 44 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek 129 45 Szaacutemiacutetaacutesi feladatok gaacuteztoumlrveacutenyekkel 130
5 KONCENTRAacuteCIOacuteK OLDHATOacuteSAacuteG AacuteTKRISTAacuteLYOSIacuteTAacuteS 148 51 Toumlrt- illetve szaacutezaleacutekjellegű mennyiseacutegek 148 52 Koncentraacutecioacute jellegű mennyiseacutegek 149 53 A ppm- eacutes ppb-koncentraacutecioacutek 150 54 A koncentraacutecioacutek aacutetszaacutemiacutetaacutesa 151 55 Az oldhatoacutesaacuteg 166 56 Műveletek oldatokkal 168 57 Kristaacutelyvizes soacutek 182 58 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek 191
6 HIacuteG OLDATOK TOumlRVEacuteNYEI 193 61 A forraacutespont-emelkedeacutes eacutes fagyaacutespontcsoumlkkeneacutes toumlrveacutenye 193 62 A van rsquot Hoff-faktor 194 63 Az ozmoacutezisnyomaacutes 197
Ebben a bevezető jellegű fejezetben az első feacuteleacuteves Keacutemiai alapok eacutes Aacuteltalaacutenos keacutemia gyakorlat
elsajaacutetiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges legfontosabb matematikai eacutes fizikai oumlsszefuumlggeacuteseket vesszuumlk sorra
11 Matematikai alapok
111 A meacutereacutesek eacutes szaacutemiacutetaacutesok pontossaacutega
A meacuterhető mennyiseacutegeknek keacutet nagy csoportjaacutet kuumlloumlnboumlztethetjuumlk meg Az egyik az uacutegynevezett
diszkreacutet vaacuteltozoacuteval leiacuterhatoacute mennyiseacuteg melyeket pontosan szaacutemszerűsiacuteteni tudunk Ilyen peacuteldaacuteul a
darabszaacutem ismeruumlnk olyat hogy egy darab alma vagy neacutegy darab alma de nincs tuacutel sok eacutertelme 254
darab almaacuteroacutel beszeacutelni A maacutesik csoportba olyan mennyiseacutegek tartoznak melyek eacuterteacuteke folytonosan
vaacuteltozhat azaz nem csak adott egeacutesz eacuterteacutekeket vehet fel Ilyen peacuteldaacuteul a toumlmeg a teruumllet az
aacuteramerősseacuteg az anyagmennyiseacuteg eacutes iacutegy tovaacutebb Ezekre jellemző hogy eacuterteacutekuumlk baacutermilyen ndash nem
felteacutetlenuumll egeacutesz ndash eacuterteacuteket felvehet Ennek van egy rendkiacutevuumll fontos koumlvetkezmeacutenye az ilyen
mennyiseacutegek meacutereacutesekor elkoumlvetett hiba befolyaacutesolja a meacutereacutes pontossaacutegaacutet
Vegyuumlnk egy egyszerű peacuteldaacutet Toumlmegmeacutereacutesneacutel egyaacuteltalaacuten nem mindegy milyen bdquofajtardquo meacuterleget
hasznaacutelunk hogy peacuteldaacuteul tehermeacutereacutesre hasznaacutelatos bdquomaacutezsaacutenrdquo szemeacutelymeacuterlegen konyhai meacuterlegen
vagy a laboratoacuterium analitikai meacuterlegeacuten meacuterjuumlk meg egy taacutergy toumlmegeacutet A kuumlloumlnboumlző meacuterlegeket
kuumlloumlnfeacutele meacutereacuteshataacuterokra tervezteacutek eacutes elteacuterő pontossaacuteggal is rendelkeznek Peacuteldaacuteul miacuteg egy maacutezsa
vagy egy szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm addig egy analitikai meacuterleg pontossaacutega
toumlbbnyire 00001 gramm vagy akaacuter meacuteg enneacutel kisebb is lehet Mit is jelent ez a pontossaacuteg kifejezeacutes
Ha egy digitaacutelis szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm eacutes a meacuterleg 764 kilogrammot mutat
akkor a teacutenyleges toumlmegről annyit tudunk hogy igen nagy valoacutesziacutenűseacuteggel a 763 kilogramm eacutes 765
kilogramm koumlzoumltt van Eacutes ebből az is koumlvetkezik hogy 764 kilogrammnak laacutetjuk toumlmeguumlnket akkor
is ha az 76359 kilogramm vagy akaacuter 76432 kilogramm mivel a meacuterleg nem keacutepes pontosabban
kijelezni az eacuterteacuteket
Vegyuumlnk egy maacutesik peacuteldaacutet Egy seprűnyeacutel hosszaacutenak meghataacuterozaacutesaacutet veacutegezzuumlk eacutes keacutetfeacutele
meacuterőszalag aacutell rendelkezeacutesuumlnkre az egyiken centimeacuteter-beosztaacutes van a maacutesikon a millimeacutetereket is
feltuumlntetteacutek az előzőt kisebb pontossaacuteguacutenak az utoacutebbit nagyobb pontossaacuteguacutenak tekintjuumlk A seprűnyeacutel
hosszaacutet egy nagyon pontos meacutereacutessel is megmeacutertuumlk eacutes 168314 centimeacuteternek adoacutedott Ha megmeacuterjuumlk
ezt a taacutergyat a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal millimeacuteter pontossaacuteggal ismerjuumlk a taacutergy hosszaacutet
mely 168 centimeacuteter eacutes 3 millimeacuteter Ha azonban a maacutesik centimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal meacuterjuumlk
meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet csak a centimeacuteteregyseacutegeket tudjuk leolvasni ami esetuumlnkben 168
esetleg szemre tudjuk becsuumllni a harmad centimeacuteternyi taacutevolsaacutegot Ebben az esetben azonban nem
adhatjuk meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet 1683 centimeacuteternek mert a meacuterőszalag beosztaacutesa ezt nem teszi
lehetőveacute A centimeacuteter pontossaacuteguacute meacuterőszalaggal meacuterve a helyesen megadott mennyiseacuteg 168
centimeacuteter
Tegyuumlk fel hogy a fentebb emliacutetett seprűnyelet megmeacuterjuumlk a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalag
segiacutetseacutegeacutevel eacutes hosszaacutet egeacuteszen pontosan 1683 centimeacuteternek olvassuk le azaz szemre nem
eacuterzeacutekeluumlnk elteacutereacutest a millimeacuteteregyseacutegben Ilyenkor azonban nem adhatjuk meg a seprűnyeacutel hosszaacutet az
alaacutebbi alakban 168300 centimeacuteter de meacuteg iacutegy sem 16830 centimeacuteter mivel a meacuterőeszkoumlz
pontossaacutega ezt nem teszi lehetőveacute A helyes megadaacutesi moacuted a koumlvetkező 1683 centimeacuteter
Akaacuter laboratoacuteriumban dolgozunk akaacuter szaacutemiacutetaacutesi feladatot oldunk meg gyakran előfordul hogy
az adatok pontossaacutegaacutet is figyelembe kell vennuumlnk Ha meacutereacutest veacutegzuumlnk aacuteltalaacuteban ismerjuumlk a meacutereacutes
pontossaacutegaacutet eacutes ebből meg tudjuk aacutellapiacutetani milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű megadnunk az eredmeacutenyt
Viszont a szaacutemiacutetaacutesi feladatok is aacuteltalaacuteban kiacuteseacuterleti eredmeacutenyeken alapulnak ezeacutert ott is fontos szem
előtt tartani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacutet A fentiek alapjaacuten jelentős kuumlloumlnbseacuteg van peacuteldaacuteul az 10 dm3
eacutes az 10000 dm3 koumlzoumltt Az első esetben csak az első tizedesjegyben lehetuumlnk biztosak a valoacutesaacutegban
lehet hogy 102 dm3 vagy 098 dm3 az eacuterteacutek A maacutesodik esetben azonban biztosak lehetuumlnk abban
hogy neacutegy tizedesjegy pontossaacuteggal ismerjuumlk az eacuterteacuteket Termeacuteszetesen egy adott teacuterfogatot nem csak
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 7
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
dm3-ben hanem maacutes meacuterteacutekegyseacutegben is megadhatunk azaz 10000 dm3 megegyezik 10000 cm3-rel
Innen laacutethatjuk hogy nem a tizedesjegyek szaacutema szaacutemiacutet
Az eacuterteacutekes jegy fogalmaacutet a pontossaacuteg definiaacutelaacutesaacutera vezetteacutek be Eacuterteacutekes jegynek tekintjuumlk a szaacutem
szaacutemjegyeit kiveacuteve az egyneacutel kisebb szaacutemok elejeacuten talaacutelhatoacute nullaacutet illetve nullaacutekat (azon nullaacutekat
melyek csak a helyi eacuterteacuteket jelzik) Az 10 dm3 feliacuteraacutesban 2 eacuterteacutekes jeggyel adtuk meg a pontossaacutegot
az 10000 dm3 eseteacuten pedig 5 eacuterteacutekes jegyről beszeacuteluumlnk Viszont a 002 dm
3 eseteacuten probleacutemaacuteba
uumltkoumlzuumlnk Ebben az esetben az első keacutet nulla nem szaacutemiacutet eacuterteacutekes jegynek csupaacuten a 2-es szaacutemjegy A
legegyszerűbb moacutedja az eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutenak hogy a mennyiseacuteget aacutetiacuterjuk normaacutel alakba
eacutes megaacutellapiacutetjuk hogy haacuteny szaacutemjegyet tartalmaz a 10 megfelelő hatvaacutenya előtt aacutelloacute szorzoacute teacutenyező
A fenti peacuteldaacuteban 002 dm3 = 2 middot 10ndash2 dm3 azaz 1 eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal ismerjuumlk a teacuterfogatot Az
eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutera az alaacutebbi szabaacutelyokat ismerjuumlk
Az egyneacutel kisebb szaacutemokban az első nem zeacuterus szaacutemjegyet megelőző nullaacutek nem szaacutemiacutetanak
eacuterteacutekes jegynek Peacuteldaacuteul 0000060 g = 60 middot 10ndash5 g azaz keacutet eacuterteacutekes jegyet tartalmaz
Baacutermely maacutes esetben (azaz ha van előtte nem zeacuterus szaacutemjegy) a nulla is eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Peacuteldaacuteul a 10000 dm3-ben 5 eacuterteacutekes jegy talaacutelhatoacute
A nullaacutetoacutel elteacuterő minden szaacutemjegy eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Fontos megjegyezni hogy a meacuterteacutekegyseacutegek aacutetvaacuteltaacutesa nem okozhat vaacuteltozaacutest az eacuterteacutekes jegyek
szaacutemaacuteban azaz sem nem noumlvekedhet sem nem csoumlkkenhet az eacuterteacutekes jegyek szaacutema Iacutegy peacuteldaacuteul
0067060 km = 67060 m = 67060 cm = 67060 mm = 67060 middot 10ndash2 km mint laacutetjuk minden esetben 5
eacuterteacutekes jegy a pontossaacuteg
Ha szaacutemiacutetaacutesi feladatokat oldunk meg szaacutemoloacutegeacutepuumlnkkel aacuteltalaacuteban igen sok tizedes jegy
pontossaacutegra keacutepesek vagyunk meghataacuterozni az eredmeacutenyeket Azonban a sok-sok tizedes jegy
megadaacutesa gyakran teljesen felesleges A koumlvetkezőkben azt vizsgaacuteljuk meg hogy egy szaacutemiacutetaacutesi
feladat megoldaacutesa soraacuten milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű a szaacutemiacutetaacutesokat elveacutegezni eacutes a veacutegeredmeacutenyt
megadni
A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten ceacutelszerű a lehető legpontosabban szaacutemolni mivel iacutegy tudjuk lecsoumlkkenteni a
kerekiacuteteacutesekből adoacutedoacute hibaacutekat Ha rendelkezeacutesre aacutell szaacutemoloacutegeacutep akkor eacuterdemes az adatokat megtartani
a szaacutemoloacutegeacutepben eacutes azokkal szaacutemolni tovaacutebb
Ha a feladat veacutegeacutere eacutertuumlnk a veacutegeredmeacuteny megadaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacutepp ceacutelszerű veacutegezni
vizsgaacuteljuk meg a feladat szoumlvegeacuteben talaacutelhatoacute adatok pontossaacutegaacutet azaz aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny
eacuterteacutekes jegyre van megadva Ezutaacuten meg kell aacutellapiacutetanunk hogy melyik mennyiseacuteg tartalmazza a
legkevesebb eacuterteacutekes jegyet azaz melyik van a legpontatlanabbul megadva A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten csupaacuten
matematikai műveleteket veacutegzuumlnk eacutes iacutegy nem tudunk javiacutetani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacuten Tehaacutet a
veacutegeredmeacuteny pontossaacutegaacutet a legpontatlanabbul megadott kiindulaacutesi adat pontossaacutega szabja meg a
veacutegeredmeacutenyt (legfeljebb) annyi eacuterteacutekes jegy pontossaacutegra adjuk meg mint a legpontatlanabbul
megadott kiindulaacutesi adat eacuterteacutekes jegyeinek szaacutema A szaacutemoloacutegeacutep adatait a megfelelő eacuterteacutekes jegyekre
kell kerekiacutetenuumlnk azaz az 1 2 3 eacutes 4 szaacutemjegyeket lefeleacute az 5 6 7 8 eacutes 9 szaacutemjegyeket pedig felfeleacute
kerekiacutetjuumlk Egy zaacuterthelyi dolgozat eseteacuten termeacuteszetesen a reacuteszeredmeacutenyeket sem ceacutelszerű lejegyezni
az oumlsszes leacutetező tizedesjeggyel ilyenkor is eacuterdemes eacutesszerűen kerekiacutetenuumlnk a megfelelő eacuterteacutekes
jegyre Amennyiben az eredmeacuteny egy nagyon kicsi vagy nagyon nagy szaacutem mindenkeacutepp eacuterdemes
normaacutelalakban megadni az eredmeacutenyt Ennek tovaacutebbi előnye hogy az eacuterteacutekes jegyek szaacutemaacutet is
ellenőrizni tudjuk
11 peacutelda
Egy teacuteglatest eacuteleinek hossza a = 637 cm b = 014570 m eacutes c = 3201 cm Adjuk meg a teacuteglatest
teacuterfogataacutet m3 egyseacutegben
Megoldaacutes
Iacuterjuk aacutet az oumlsszes adatot meacuteter meacuterteacutekegyseacutegre eacutes aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny eacuterteacutekes jegyet
tartalmaz
a = 637 cm = 00637 m 3 eacuterteacutekes jegy
b = 014570 m 5 eacuterteacutekes jegy
c = 3201 cm = 03201 m 4 eacuterteacutekes jegy
8 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A teacuteglatest teacuterfogata
V = a middot b middot c = (00637 m) middot (014570 m) middot (03201 m) = 000029708769 m3
Mivel igen kicsi szaacutemeacuterteacutekről van szoacute ceacutelszerű aacutetiacuternunk normaacutelalakra V = 29708769 middot 10minus4 m3
Mint fentebb ismertettuumlk a veacutegeredmeacutenyt szabaacutelyosan a legpontatlanabbul azaz legkevesebb
eacuterteacutekes jeggyel megadott adat eacuterteacutekes jegyire lehet megadni azaz jelen esetben 3 eacuterteacutekes jegyneacutel
toumlbbet nem eacuterdemes megadunk A veacutegeredmeacuteny helyes pontossaacutegban megadva
V = 297 ∙ 10minus4 m3
112 Alapvető matematikai oumlsszefuumlggeacutesek
Egyenes araacutenyossaacuteg keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn ha az egyik mennyiseacuteget
valahaacutenyszorosaacutera vaacuteltoztatjuk akkor a maacutesik mennyiseacuteg is ugyanannyiszorosaacutera vaacuteltozik
Ha az egyenes araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki iacutegy iacuterhatjuk le y = a middot x ahol y eacutes x a keacutet
keacuterdeacuteses mennyiseacuteg a pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt akkor
beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg araacutenya aacutellandoacute jelen esetben ez megegyezik
a-val Grafikonban aacutebraacutezolva egy origoacuten aacutetmenő egyenest kapunk
1121 aacutebra Az egyenes araacutenyossaacuteg
Az egyenes araacutenyossaacuteg fuumlggveacutenye a lineaacuteris fuumlggveacutenyek egy speciaacutelis esete a tengelymetszet
zeacuterus azaz az egyenesnek az origoacuten kell aacutetmennie
Az egyenes araacutenyossaacutegra szaacutemtalan peacuteldaacutet tudunk a mindennapi eacuteletből eacutes a
termeacuteszettudomaacutenyokboacutel egyaraacutent A fizikai eacutes keacutemiai tartalmuacute peacuteldaacutekkal a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg reacuteszletesen azonban koumlvetkezzen egy igen egyszerű peacutelda Ennek ceacutelja elsősorban
az hogy megismerhessuumlk a kuumlloumlnboumlző megoldaacutesi moacutedszereket hogy ki-ki maga eldoumlnthesse hogy
melyiket alkalmazza koumlnnyebben
12 peacutelda
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forintba keruumll akkor mennyibe keruumll 3 kilogramm reacutezgaacutelic
Megoldaacutes
A) Feliacuteraacutes egyenes araacutenyossaacuteggal szoumlvegesen
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 9
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic x forint
Ezt toumlbbfeacutelekeacuteppen lehet megoldani
Feliacuterhatjuk hogy a mennyiseacutegek araacutenya aacutellandoacute
kg3
forintw
kg2
forint1800
Ebből koumlnnyedeacuten megkapjuk hogy w = 2700 forint
Egy maacutesik megoldaacutes ha az uacutegynevezett keresztbeszorzaacutest alkalmazzuk melyet sok helyen taniacutetanak
koumlzeacutepiskolaacutekban elsősorban keacutemiaoacuteraacuten
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic w forint
Azaz 2 kg middot w forint = 3 kg middot 1800 forint melyből egyszerűen adoacutedik hogy w = 2700 forint
hasonloacutean az előző megoldaacutes eredmeacutenyeacutehez
B) Kiszaacutemiacutethatjuk az araacutenyossaacutegi teacutenyezőt az y = a middot x egyenlet alapjaacuten ez tulajdonkeacuteppen az 1
kilogramm reacutezgaacutelic aacutera
kg
forint900
kg2
forint1800
toumlmeg
aacutera
Iacutegy az egyseacutegaacuterboacutel koumlnnyedeacuten megkaphatjuk a 3 kilogramm reacutezgaacuteliceacutert fizetendő aacuterat w = a middot x =
(900 forint kg) middot (3 kg) = 2700 forint
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg ha az egyik mennyiseacuteget valahaacutenyszorosaacutera noumlveljuumlk a maacutesik mennyiseacuteg
ugyanannyiad reacuteszeacutere csoumlkken
Ha a fordiacutetott araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki a koumlvetkezőkeacutepp iacuterhatjuk fel y = b x ahol
y eacutes x a keacutet keacuterdeacuteses mennyiseacuteg b pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg
koumlzoumltt akkor beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg szorzata aacutellandoacute jelen esetben
ez megegyezik b-vel Grafikonban aacutebraacutezolva egy uacutegynevezett hiperbolaacutet kapunk (amennyiben a
negatiacutev mennyiseacutegekről is van eacutertelme beszeacutelni a hiperbolaacutenak van egy negatiacutev tartomaacutenyban
talaacutelhatoacute szaacutera is)
10 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1122 aacutebra A fordiacutetott araacutenyossaacuteg
Termeacuteszetesen fordiacutetott araacutenyossaacutegra is szaacutemtalan peacuteldaacutet lehet talaacutelni melyekkel a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg Ismeacutet egy igen egyszerű peacutelda
13 peacutelda
Keacutetfeacutele tisztasaacuteguacute reacutezgaacutelicot forgalmaz a vegyszerkereskedő A rosszabb minőseacutegű toumlbb
szennyeződeacutest tartalmazoacute aacutera kilogrammonkeacutent 1800 forint aacutem van egy tisztaacutebb is melynek aacutera 2400
forint kilogrammonkeacutent Haacuteny kilogrammnyit tudunk venni a jobb minőseacutegű reacutezgaacutelic 12
kilogrammjaacutenak aacuteraacuteboacutel ha azt rosszabb minőseacutegű reacutezgaacutelicra koumlltjuumlk
Megoldaacutes
A) Araacutenypaacuterral
Ha 2400 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel 12 kg-ot tudunk venni
akkor az 1800 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel z kg-ot tudunk venni
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg eseteacuten a mennyiseacutegek szorzata aacutellandoacute
(2400 Ftkg) middot (12 kg) = (1800 Ftkg) middot (z kg)
Ebből z = 16 kilogramm
B) Fuumlggveacutennyel
Mivel a fordiacutetott araacutenyossaacuteg feliacuterhatoacute uacutegy hogy y = b x ebből koumlvetkezik hogy b = y middot x tehaacutet
b = (2400 Ftkg) middot (12 kg) = 28 800 Ft azaz ennyi a rendelkezeacutesre aacutelloacute peacutenzoumlsszeg Ebből
kiszaacutemiacutethatoacute hogy az olcsoacutebb reacutezgaacutelicboacutel mennyit tudunk venni
y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 11
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodfokuacute egyenlet megoldaacutesa
A maacutesodfokuacute egyenlet megoldoacutekeacutepleteacutenek alkalmazaacutesaacutehoz az egyenletet az alaacutebbi formaacutera kell hozni
a middot x2 + b middot x + c = 0
Ekkor az a b eacutes c parameacuteterek fuumlggveacutenyeacuteben a maacutesodfokuacute egyenlet keacutet megoldaacutesa
a2
ca4bbx
2
1
eacutes
a2
ca4bbx
2
2
A neacutegyzetgyoumlk alatti kifejezeacutest diszkriminaacutensnak nevezzuumlk D = b2 ndash 4 middot a middot c
A diszkriminaacutens előjeleacuteből koumlvetkeztethetuumlnk arra hogy haacuteny valoacutes megoldaacutesa van a maacutesodfokuacute
egyenletnek Ha a diszkriminaacutens pozitiacutev keacutet valoacutes gyoumlkoumlt kapunk ha a diszkriminaacutens negatiacutev nincsen
valoacutes megoldaacutesa az egyenletnek Abban az esetben ha a diszkriminaacutens eacuterteacuteke nulla x1 eacutes x2 gyoumlkoumlk
megegyeznek azaz a maacutesodfokuacute egyenletnek egyetlen megoldaacutesa van
14 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
(x ndash 2) middot (x + 5) = 8
Megoldaacutes
Elveacutegezve a szorzaacutest
x2 ndash 2 middot x + 5 middot x ndash 10 = 8
Nullaacutera rendezve
x2 + 3 middot x ndash 18 = 0
Tehaacutet a = 1 b = 3 eacutes c = ndash18 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe (itt a fenti keacutet keacuteplet egy koumlzoumls
keacutepletteacute van oumlsszeolvasztva)
2
93
2
813
12
)18(1433
a2
ca4bbx
22
21
azaz 2
93x1
eacutes 6
2
93x 2
15 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
16 middot x2 ndash 104 middot x + 169 = 0
Megoldaacutes
A nullaacutera rendezett formaacuteboacutel a = 16 b = minus104 eacutes c = 169 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe
4
13
32
0104
162
169164104104
a2
ca4bbx
22
21
Mivel az egyenlet diszkriminaacutensa (a neacutegyzetgyoumlk alatt aacutelloacute kifejezeacutes D = b2 minus 4 middot a middot c) zeacuterus az
egyenlet keacutet gyoumlke ugyanaz tehaacutet egy megoldaacutesa van az egyenletnek 4
13x
12 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Oumlsszegek eacutes szorzatok feliacuteraacutesa
Egy oumlsszeg kifejteacutese
n
1i
n21i aaaa
Egy szorzat kifejteacutese m21
m
1i
i bbbb
Legfontosabb hatvaacutenyozaacutesi eacutes gyoumlkvonaacutesi azonossaacutegok
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a ndash b) middot (a + b) = a2 ndash b2
an middot bn = (amiddotb)n
an bn = (a b)n (b ne 0)
an middot am = an + m
an am = an ndash m (a ne 0)
mnnmmn aaa
n
1
n aa (a ge 0 ha n paacuteros)
mely alapjaacuten a fenti hatvaacutenyozaacutesi azonossaacutegok alkalmazhatoacuteak a gyoumlkvonaacutesra is
A logaritmusfuumlggveacutenyt a koumlvetkezőkeacuteppen definiaacutelhatjuk f(x) = loga x ahol bdquoardquo egy pozitiacutev
szaacutem A fuumlggveacuteny csak pozitiacutev x eacuterteacutekekre van definiaacutelva Amennyiben a gt 0 a fuumlggveacuteny monoton
noumlvekvő ha 0 lt a lt 1 a fuumlggveacuteny csoumlkkenő A logaritmusfuumlggveacuteny az x tengelyt mindig az (1 0)
pontban metszi
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 15
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1134 aacutebra Logaritmusfuumlggveacutenyek
114 Log-log diagramok eacutes taacutersaik
A meacuternoumlki-keacutemiai gyakorlatban sok oumlsszefuumlggeacutest hatvaacutenyfuumlggveacutenykeacutent jeleniacutethetuumlnk meg A
logaritmus egyik igen fontos alkalmazaacutesa hogy meg tudjuk vele aacutellapiacutetani egy hatvaacutenyfuumlggveacuteny
ismeretlen kitevőjeacutet
16 peacutelda
Adott keacutet meacuterhető mennyiseacuteg x eacutes y eacutes tudjuk hogy a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes az alaacutebbi
alakuacute y = xn A meacutereacuteseink soraacuten a koumlvetkező eacuterteacutekpaacuterokat kapjuk
x y
17 377
30 1559
37 2633
42 3615
49 5315
57 7757
69 12506
Aacutellapiacutetsuk meg az n hatvaacutenykitevőt
Megoldaacutes
Az eacuterteacutekpaacuterokat dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
16 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1141 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute koumlzti kapcsolat
A fenti aacutebraacuteboacutel igen neheacutez megaacutellapiacutetani a hatvaacutenykitevőt Mivel a keacutet vaacuteltozoacute (x eacutes y) koumlzoumltti
kapcsolat hatvaacutenyfuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le y = xn pozitiacutev x eacutes y eseteacuten loga y = loga xn = n middot loga x Ezeacutert
vegyuumlk az x eacutes y eacuterteacutekek 10-es alapuacute logaritmusaacutet
lg x lg y
02304 05761
04771 11928
05682 14205
06232 15581
06902 17255
07559 18897
08388 20971
A fenti eacuterteacutekpaacuterokat szinteacuten aacutebraacutezolhatjuk dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben
1142 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute logaritmusa koumlzti kapcsolat
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 17
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az eacuterteacutekek logaritmusa koumlzoumltti kapcsolat maacuter egyenes araacutenyossaacuteggal iacuterhatoacute le
koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk az egyenes meredekseacutegeacutet (iraacutenytangenseacutet) is n = 25 (Ezt akaacuter a
grafikonroacutel leolvasva akaacuter a megfelelő logaritmusok haacutenyadosakeacutent megkaphatjuk)
Tehaacutet a keresett fuumlggveacutenykapcsolat y = x25
A meacuternoumlki gyakorlatban elterjedt az uacutegynevezett log-log diagramok hasznaacutelata is Ekkor nem a
logaritmuseacuterteacutekeket aacutebraacutezoljuk a hagyomaacutenyos beosztaacutesuacute tengelyeken hanem a teacutenyleges eacuterteacutekeket
1145 aacutebra Az y = f(x) = a middot 10bmiddotx fuumlggveacuteny
A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineaacuteris leacutepteacutekű miacuteg az y tengely (ordinaacuteta)
logaritmikus leacutepteacutekű Az exponenciaacutelis fuumlggveacuteny parameacutetereit a meredekseacutegből eacutes tengelymetszetből
koumlnnyen leolvashatjuk
y = f(x) = a middot lg x Ekkor egyszerűen y-t aacutebraacutezoljuk lg x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes meghataacuterozhatjuk
az ismeretlen bdquoardquo parameacutetert
1146 aacutebra Az y = f(x) = a middot lg x fuumlggveacuteny
Tehaacutet ebben az esetben az abszcissza (x tengely) leacutepteacuteke logaritmikus miacuteg az ordinaacuteta (y tengely)
leacutepteacuteke lineaacuteris
Ez a moacutedszer akkor is segiacutetseacuteguumlnkre lehet ha nem ismerjuumlk az oumlsszefuumlggeacutest a keacutet mennyiseacuteg (x eacutes
y) koumlzoumltt viszont az aacutebraacutezolaacutesboacutel remeacutenykedhetuumlnk hogy az oumlsszefuumlggeacutes nem tuacutel bonyolult
fuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le Ilyenkor eacuterdemes kiproacutebaacutelni a fenti aacutetalakiacutetaacutesokat eacutes abban a szerencseacutes
esetben ha az iacutegy keletkezett transzformaacutelt vaacuteltozoacutek koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest kapunk meg tudjuk
hataacuterozni a szuumlkseacuteges parameacutetereket
Meacutereacutesi eredmeacutenyeket tartalmazoacute taacuteblaacutezatok hasznaacutelata soraacuten gyakran előfordul hogy egy olyan adatra
van szuumlkseacuteguumlnk melyre eacuteppen nincs meacutereacutesi eredmeacuteny Erre egy egyszerű peacutelda (peacuteldaacuteul y
mennyiseacuteget meacuterjuumlk x fuumlggveacutenyeacuteben)
x y
00 120
50 160
100 200
Tehaacutet ismerjuumlk y eacuterteacutekeacutet x = 00 x = 50 eacutes x = 100 eseteacuten Tegyuumlk fel hogy nekuumlnk toumlrteacutenetesen
szuumlkseacuteguumlnk van x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutere Ekkor toumlbb lehetőseacuteguumlnk van
ndash megmeacuterjuumlk kiacuteseacuterletileg x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutet
ndash aacutebraacutezoljuk y-t x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes grafikusan proacutebaacutelunk koumlvetkeztetni y eacuterteacutekeacutere x = 70 eseteacuten
ndash matematikai uacuteton bdquokiokoskodjukrdquo y eacuterteacutekeacutet az x = 70 helyen
Az első megoldaacutesra gyakran nincs lehetőseacuteg noha valoacutesziacutenűleg az lenne a legpontosabb A
grafikus megoldaacutes aacuteltalaacuteban hosszadalmas eacutes a leolvasaacutes pontatlan ezeacutert aacuteltalaacuteban az uacutegynevezett
lineaacuteris interpolaacutecioacutet alkalmazzuk ilyen esetekben Termeacuteszetesen ehhez az szuumlkseacuteges hogy a keacutet
vizsgaacutelt vaacuteltozoacute koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes aacutelljon fenn A moacutedszer gyakran olyankor is alkalmazhatoacute
ha a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt nem lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes viszont igen joacute koumlzeliacuteteacutessel lineaacuterisnak
tekinthető az adott tartomaacutenyban ezeacutert nem okoz tuacutel nagy hibaacutet az ha lineaacuterisnak vesszuumlk az
oumlsszefuumlggeacutest Ezt termeacuteszetesen az adott probleacutema jellege hataacuterozza meg eacutes csak bizonyos esetekben
hasznaacutelhatoacute Amennyiben keacutet meacutereacutesi pont koumlzoumltti eacuterteacuteket szeretneacutenk meghataacuterozni interpolaacutecioacuteroacutel
beszeacuteluumlnk (laacutesd fent) Ha a meacutereacutesi pontok alapjaacuten egy olyan pontot szeretneacutenk meghataacuterozni mely a
meacutereacutesi tartomaacutenyon kiacutevuumll esik azaz a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten peacuteldaacuteul x = 150 eseteacuten szeretneacutenk
meghataacuterozni y eacuterteacutekeacutet extrapolaacutecioacuteroacutel van szoacute Figyelem Miacuteg az interpolaacutecioacute a linearitaacutes
felteacutetelezeacuteseacutevel helyes eredmeacutenyt ad az extrapolaacutecioacute gyakran vezet olyan eredmeacutenyhez mely nem
felel meg a valoacutesaacutegnak Ennek oka hogy attoacutel hogy egy bizonyos tartomaacutenyban joggal
alkalmazhatunk lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest gyakran maacutes tartomaacutenyokban maacuter nagy hibaacutet okozhat a lineaacuteris
viselkedeacutestől valoacute elteacutereacutes Erre egy szemleacuteletes peacuteldaacutet mutat az alaacutebbi aacutebra
1151 aacutebra Az extrapolaacutecioacute hibaacutei
20 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az x = 40 hellip 50 tartomaacutenyban az oumlsszefuumlggeacutes lineaacuterisnak tekinthető tehaacutet peacuteldaacuteul az
x = 42 vagy x = 46 pontokban viszonylag pontosan becsuumllhetjuumlk y eacuterteacutekeacutet Aacutem ha az x = 40 eacutes x = 50
pontok alapjaacuten proacutebaacutelunk extrapolaacutelni x = 10 eacuterteacutekre a piros sziacutenű egyenes alapjaacuten (lineaacuteris fuumlggveacutenyt
felteacutetelezve) igen nagy hibaacutet koumlvetuumlnk el
A lineaacuteris interpolaacutecioacutet legszemleacuteletesebben egy peacutelda alapjaacuten eacuterthetjuumlk meg
17 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet vizes oldataacutenak a sűrűseacutege eacutes az oldat toumlmeg-os oumlsszeteacutetele koumlzoumltt
gyakorlatilag lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes Az alaacutebbi taacuteblaacutezat kuumlloumlnboumlző toumlmeg-os oumlsszeteacutetelű
magneacutezium-szulfaacutet-oldatok sűrűseacutegeacutet tartalmazza 20 degC hőmeacuterseacutekleten Becsuumlljuumlk meg lineaacuteris
interpolaacutecioacuteval a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutegeacutet
MgSO4-tartalom
(toumlmeg)
sűrűseacuteg
(gcm3)
6 10602
10 11034
14 11484
18 11955
Megoldaacutes
Az első leacutepeacutes megkeresni hogy mely pontok koumlzoumltt ceacutelszerű az interpolaacutecioacutet veacutegezni azaz meg kell
aacutellapiacutetani mely meacutereacutesi pontok koumlzeacute esik a keacuterdeacuteses pont A 11 toumlmeg-os oldat a 10 eacutes a 14 toumlmeg-
os oldat oumlsszeteacutetele koumlzeacute esik tehaacutet ebben az intervallumban ceacutelszerű a lineaacuteris interpolaacutecioacutet
elveacutegezni (Elvileg ugyan maacutes pontok koumlzoumltt is tudnaacutenk veacutegezni interpolaacutecioacutet aacutem a legszűkebb
intervallumot ceacutelszerű kivaacutelasztani mert a linearitaacutes felteacutetelezeacutese itt a leghelytaacutelloacutebb)
Lineaacuteris interpolaacutecioacute eseteacuten az y mennyiseacuteget (a sűrűseacuteget) x mennyiseacuteg (a MgSO4-tartalom
toumlmeg-ban) fuumlggveacutenyeacuteben a koumlvetkező oumlsszefuumlggeacutessel iacuterhatjuk le
y = a middot x + b
Az alaacutebbi diagramon laacutethatoacutek a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 14 toumlmeg-os (x2) oumlsszeteacutetelhez tartozoacute
pontok (a megfelelő sűrűseacutegek rendre y1 eacutes y2) illetve a keacuterdeacuteses sűrűseacuteg (y) a 11 toumlmeg-os pontban
(melyet a viacutezszintes tengelyen x-nek roumlvidiacutetettuumlnk)
1152 aacutebra Az oldat sűrűseacutege a toumlmegszaacutezaleacutek fuumlggveacutenyeacuteben
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 21
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Tehaacutet az (x1 y1) eacutes (x2 y2) pontok koumlzeacute behuacutezott egyenes meredekseacutege
12
12
xx
yy
x
ya
Mivel a noumlvekmeacutenyek (Γy eacutes Γx) koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn az bdquoardquo meredekseacuteg
ugyanakkora a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 11 toumlmeg-os (x) oumlsszeteacutetel eseteacuten is mint ahogyan a
koumlvetkező aacutebraacuten is laacutethatoacute
1153 aacutebra A sűrűseacuteg szaacutemiacutetaacutesa interpolaacutecioacuteval
Azaz feliacuterhatoacute ismeacutet hogy Γy eacutes Γx araacutenya aacutellandoacute meacuteghozzaacute a fenti bdquoardquo eacuterteacutek
1
1
xx
yy
x
ya
Mivel az bdquoardquo meredekseacuteg mindkeacutet esetben ugyanakkora feliacuterhatjuk a koumlvetkező kifejezeacutest
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
x
ya
Ezt a keacutepletet eacuterdemes megjegyezni aacutem ha nem megy olyan koumlnnyedeacuten akkor a fenti
gondolatmenettel baacutermikor igen koumlnnyen eljuthatunk hozzaacute Mivel a fenti egyenletben csupaacuten az y az
ismeretlen koumlnnyen kifejezhető
11
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Behelyettesiacutetve a keacutepletbe x x1 x2 y1 eacutes y2 eacuterteacutekeacutet (meacuterteacutekegyseacutegek neacutelkuumll)
1147111465110341)1011(1014
1034114841y)xx(
xx
yyy 11
12
12
Tehaacutet a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege 11147 gcm3
22 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Megjegyzeacutes ugyanehhez az eredmeacutenyhez eljuthatunk kicsit maacutes uacuteton is Az alaacutebbi aacutebraacuten bejeloumllt
keacutet haacuteromszoumlg hasonloacute egymaacuteshoz iacutegy az oldalaik araacutenya is aacutellandoacute
1154 aacutebra Az interpolaacutecioacute szemleacutelteteacutese hasonloacute haacuteromszoumlgekkel
18 peacutelda
Egy kiacuteseacuterlet soraacuten megmeacutertuumlk egy ismeretlen magneacutezium-szulfaacutet oldat sűrűseacutegeacutet mely 11600 gcm3-
nek adoacutedott Lineaacuteris interpolaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel aacutellapiacutetsuk meg az oldat magneacutezium-szulfaacutet-tartalmaacutet
toumlmeg-ban A feladat megoldaacutesaacutehoz hasznaacuteljuk az előző peacuteldaacuteban megadott taacuteblaacutezatot
Megoldaacutes
A lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes lehetőseacuteget terem arra hogy a sűrűseacuteg (y) ismereteacuteben az ismeretlen toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelt (x) is meghataacuterozhassuk Mivel az 11600 gcm3 sűrűseacuteg-eacuterteacutek a 11484 eacutes 11955 gcm3
eacuterteacutekek koumlzoumltt talaacutelhatoacute a 14 eacutes 18 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelhez tartozoacute pontok koumlzt kell interpolaacutelni Az
előző peacuteldaacuteban megismert oumlsszefuumlggeacutest kell alkalmaznunk
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
Ebből most x-et kell kifejeznuumlnk x1 x2 y1 y2 eacutes y fuumlggveacutenyeacuteben
1
12
121
12
1211 x
yy
xx)yy(x
yy
xx)yy(xx
Behelyettesiacutetve a megfelelő eacuterteacutekeket
159814141484119551
1418)1484116001(x
yy
xx)yy(x 1
12
121
Tehaacutet az 11600 gcm3 sűrűseacutegű magneacutezium-szulfaacutet-oldat koumlruumllbeluumll 15 toumlmeg-os
Mint emliacutetettuumlk az extrapolaacutecioacute soraacuten mindig fokozott figyelemmel kell eljaacuterni mivel gyakran
előfordul hogy az extrapolaacutelt eacuterteacutek nem joacute becsleacutese a valoacutedi eacuterteacuteknek Koumlvetkezzen egy peacutelda az
extrapolaacutecioacutera
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 23
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
19 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet-oldatra bemutatott 6 eacutes 10 toumlmeg-os adatok alapjaacuten extrapolaacuteljunk 0 toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelre
Megoldaacutes
Az előzőekhez hasonloacutean 6 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelneacutel (x1) a sűrűseacuteg 10602 gcm3 (y1) 10 toumlmeg
(x2) eseteacuten pedig 11034 gcm3 (y2) A feladat megbecsuumllni a sűrűseacuteget (y) 0 toumlmeg (x) eseteacuten
Ismeacutetelten ceacutelszerű egy aacutebraacutet keacutesziacuteteni a megoldaacuteshoz
1155 aacutebra Peacutelda a lineaacuteris extrapolaacutecioacutera
Az előző feladatok megoldaacutesaacutehoz hasonloacutean feliacuterhatjuk az egyes pontokat oumlsszekoumltő egyenesek
meredekseacutegeacutet eacutes a keacutet meredekseacutegnek meg kell egyeznie
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
x
ya
Kifejezve y-t x fuumlggveacutenyeacuteben
11
12
1211
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyyy)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Eacuterdemes megfigyelni hogy a kapott kifejezeacutes ugyanaz mint amit az interpolaacutecioacutenaacutel kaptunk
Behelyettesiacutetve az eacuterteacutekeket
9954006021)60(610
0602110341y)xx(
xx
yyy 11
12
12
A desztillaacutelt viacutez sűrűseacutege 4 degC-on 1000 grammcm3 20 degC-on pedig 0998 grammcm
3 iacutegy az
extrapolaacutecioacuteval kapott 09954 grammcm3 eacuterteacutek igen joacutel koumlzeliacuteti a valoacutedi eacuterteacuteket Ebből arra
koumlvetkeztethetuumlnk hogy a magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege eacutes oumlsszeteacutetele koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes igen
Gyakran előfordul hogy egy egyenlet megoldaacutesaacutera nem ismeruumlnk megfelelő bdquokeacutepletetrdquo sőt nem ritka
hogy egy egyenletet csak koumlzeliacutetőleg tudunk megoldani Ebben a reacuteszben bemutatunk egy egyszerű
moacutedszert melynek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megoldhatunk kuumlloumlnfeacutele egyenleteket
110 peacutelda
Oldjuk meg koumlzeliacutetőleg a koumlvetkező egyenletet
0xlgx
Megoldaacutes
Az egyenletet a pozitiacutev szaacutemok halmazaacuten kell megoldanunk
Hozzuk az egyenletet a koumlvetkező formaacutera
x = f(x)
Erre keacutet lehetőseacuteguumlnk van azaz
A) xlgx
x10x xA 10)x(f
B) xlgx
22 )x(lg)xlg(x xlg)x(f 2B
Ezutaacuten proacutebaacuteljuk megoldani az egyenletet az A) illetve B) uacuteton Vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0
eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0 = 05 ezutaacuten x0 eacuterteacutekeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuten aacutelloacute kifejezeacutesbe
melynek eredmeacutenye x1 = f(x0) lesz Ezutaacuten x1-et behelyettesiacutetjuumlk a jobb oldali kifejezeacutesbe eacutes
megkapjuk x2 = f(x1) eacuterteacutekeacutet majd ezt ismeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuteba eacutes iacutegy tovaacutebb
Ha az egyenlet megoldhatoacute ezzel a moacutedszerrel azt kell tapasztalnunk hogy az egymaacutest koumlvető x0
x1 = f(x0) x2 = f(x1) x3 = f(x2) hellip xi+1 = f(xi) hellip eacuterteacutekeknek koumlzeledniuumlk kell a megoldaacuteshoz mely
iacutegy tetszőleges pontossaacuteggal kiszaacutemiacutethatoacute Most neacutezzuumlk ezt meg az adott peacuteldaacuten
A)
x0 = 05 x0 = 05000
x1 = 50000x
1010 0 x1 asymp 01363
x2 = 19630x
1010 1 x2 asymp 03605
x3 = 36050x
1010 2 x3 asymp 02509
x4 = 25090x
1010 3 x4 asymp 03156
x5 = 31560x
1010 4 x5 asymp 02743
x6 = 27430x
1010 5 x6 asymp 02994
x7 = 29940x
1010 6 x7 asymp 02837
x8 = 28370x
1010 7 x8 asymp 02933
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 25
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x9 = 29330x
1010 8 x9 asymp 02873
x10 = 28730x
1010 9 x10 asymp 02910
x11 = 29100x
1010 10 x11 asymp 02887
x12 = 28870x
1010 11 x12 asymp 02902
x13 = 29020x
1010 12 x13 asymp 02893
x14 = 28930x
1010 13 x14 asymp 02898
x15 = 28980x
1010 14 x15 asymp 02895
x16 = 28950x
1010 15 x16 asymp 02897
x17 = 28970x
1010 16 x17 asymp 02896
x18 = 28960x
1010 17 x18 asymp 02896
x19 = 28960x
1010 18 x19 asymp 02896
Mint laacutetjuk az eredmeacutenyek egy adott eacuterteacutekhez koumlzeliacutetenek eacutes ez az eacuterteacutek eacuteppen az egyenlet
megoldaacutesa
1161 aacutebra Az eredmeacutenyek konvergenciaacuteja
Az eredmeacutenyekből szeacutepen laacutetszik hogy mineacutel toumlbbszoumlr veacutegezzuumlk el a behelyettesiacuteteacutest egyre
pontosabban kapjuk meg az egyenlet eredmeacutenyeacutet Ha keacutet tizedesjegy pontossaacuteggal szeretneacutenk
megoldani az egyenletet akkor eleacuteg csak a 8 leacutepeacutesig folytatni ha az eredmeacutenyre haacuterom tizedesjegy
pontossaacutegra vagyunk kiacutevaacutencsiak a 14 leacutepeacutesig kell folytatnunk az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest Az egyenlet
pontos megoldaacutesa heacutet eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal 02896232
Megjegyzendő hogy a moacutedszer gyorsasaacutega termeacuteszetesen fuumlgg a kiindulaacutesi x0 eacuterteacutek kivaacutelasztaacutesaacutetoacutel
Az eljaacuteraacutest grafikusan az alaacutebbi animaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel szemleacuteltethetjuumlk
26 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1161 animaacutecioacute Az iteraacutecioacute
1162 aacutebra Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutes szemleacutelteteacutese
B)
Az előzőekhez hasonloacutean legyen a kiindulaacutesi eacuterteacutek x0 = 05
x0 = 05 x0 asymp 05000
x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906
x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874
x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013
x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837
x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431
x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055
x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090
x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017
x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)
2 x9 asymp 00897
x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965
x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016
x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 27
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972
x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097
x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555
x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697
x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867
x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311
Mint ahogyan a fenti eacuterteacutekeket aacutebraacutezolva laacutethatjuk az eredmeacutenyek nem tartanak egy adott
eacuterteacutekhez
1163 aacutebra A nem megfelelő fuumlggveacutenykapcsolat koumlvetkezmeacutenye
A feladatot iacutegy a B) uacuteton nem tudjuk megoldani a megoldaacutes csak az A) uacuteton lehetseacuteges Annak
magyaraacutezataacutehoz hogy mieacutert csak az egyik uacuteton jutottunk el a veacutegeredmeacutenyhez felsőbb matematikai
eszkoumlzoumlk is szuumlkseacutegesek ezeacutert ezzel a keacuterdeacutessel itt nem foglalkozunk reacuteszletesen Amennyiben egy
aacutetalakiacutetaacutesi moacuted nem vezet megoldaacuteshoz eacuterdemes megproacutebaacutelni az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest a fuumlggveacuteny
inverzeacutevel is
111 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
x3 + 4 middot x2 minus 1 = 0
Megoldaacutes
Egy harmadfokuacute fuumlggveacutenynek egy kettő vagy haacuterom gyoumlke lehetseacuteges A g(x) = x3 + 4 middot x2 minus 1
fuumlggveacutenyt aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
Mint a fenti aacutebraacuteboacutel laacutethatoacute a g(x) fuumlggveacutenynek haacuterom zeacuteruspontja van iacutegy a g(x) = 0
egyenletnek haacuterom megoldaacutesa van A grafikus megoldaacutesboacutel annyit megaacutellapiacutethatunk hogy egy gyoumlk
x = minus4 koumlrnyezeteacuteben egy maacutesik x = minus05 koumlrnyezeteacuteben miacuteg a harmadik x = 05 koumlrnyezeteacuteben
talaacutelhatoacute
Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacuteshoz x = f(x) alakra kell hozni az egyenletet Erre toumlbb lehetőseacuteg is van
A)
3 2x41x
Az előző feladat megoldaacutesaacutenak mintaacutejaacutera vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0 eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0=10
(baacutermely maacutes szaacutem is lehetne) Az iteraacutecioacute első 32 leacutepeacuteseacutenek xn eacuterteacuteke a leacutepeacutesszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben a
Az alaacutebbiakban a legfontosabb siacutekidomok keruumlleteacutenek (K) eacutes teruumlleteacutenek (T) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Haacuteromszoumlg
cbaK
2
sinba
2
maT a
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a haacuteromszoumlg oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo
oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Trapeacutez
dcbaK
30 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
m2
caT
bdquoardquo eacutes bdquocrdquo a trapeacutez paacuterhuzamos oldalai m a keacutet paacuterhuzamos oldal koumlzoumltti taacutevolsaacuteg azaz a trapeacutez
magassaacutega bdquocrdquo eacutes bdquodrdquo a trapeacutez szaacuterai
Paralelogramma
)ba(2K
sinbambmaT ba
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a paralelogramma oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg mb az a oldalhoz
tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Teacuteglalap
)ba(2K
baT
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a teacuteglalap oldalai
Neacutegyzet
a4K
2aT
bdquoardquo a neacutegyzet oldala
Deltoid
)ba(2K
fe2
1T
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a deltoid oldalai bdquoerdquo eacutes bdquofrdquo a deltoid aacutetloacutei
Rombusz
a4K
sinamaT 2a
bdquoardquo a rombusz oldala ma a magassaacutega α pedig a rombusz keacutet egymaacutes melletti oldala aacuteltal bezaacutert
szoumlg
Koumlr
dr2K
22 d4
1rT
bdquorrdquo a koumlr sugara bdquodrdquo a koumlr aacutetmeacuterője
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 31
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Haacuteromszoumlg
cbaK 2
sinba
2
maT a
Trapeacutez
dcbaK m2
caT
Paralelogramma
)ba(2K sinbambmaT ba
Teacuteglalap
)ba(2K baT
Neacutegyzet
a4K 2aT
Deltoid
)ba(2K fe
2
1T
Rombusz
a4K sinamaT 2a
Koumlr
dr2K 22 d4
1rT
118 Testek felsziacutene eacutes teacuterfogata
Az alaacutebbiakban a legfontosabb testek felsziacuteneacutenek (A) eacutes teacuterfogataacutenak (V) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Teacuteglatest
)acbcab(2A
32 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
cbaV
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a teacuteglatest eacutelei
Kocka
2a6A
3aV
bdquoardquo a kocka eacutele
Egyenes koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2
hd4
1hrV 22
bdquorrdquo az alapkoumlr sugara bdquodrdquo az alapkoumlr aacutetmeacuterője bdquohrdquo a henger magassaacutega
Goumlmb
22 dr4A
33 d6
1r
3
4V
bdquorrdquo a goumlmb sugara bdquodrdquo a goumlmb aacutetmeacuterője
Teacuteglatest
)acbcab(2A cbaV
Kocka
2a6A 3aV
Egyenes
koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2 hd4
1hrV 22
Goumlmb
22 dr4A 33 d6
1r
3
4V
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 33
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
12 Fizikai alapismeretek
121 SI-alapmennyiseacutegek meacuterteacutekegyseacutegeik eacutes gyakori jeloumlleacuteseik
Hosszuacutesaacuteg
Jele ℓ (longitudo hosszuacutesaacuteg) s (taacutevolsaacuteg uacutet)
Meacuterteacutekegyseacutege meacuteter ( metrum ndash latin metron ndash goumlroumlg meacuterteacutek) roumlvidiacuteteacutese m
Toumlmeg
Jele m (massa)
Meacuterteacutekegyseacutege kilogramm ( kilo + gramma ndash goumlroumlg kis toumlmeg) roumlvidiacuteteacutese kg
Idő
Jele t (tempus)
Meacuterteacutekegyseacutege maacutesodperc vagy szekundum ( secunda ndash latin kis reacutesz) roumlvidiacuteteacutese s
Aacuteramerősseacuteg
Jele I (intensitas)
Meacuterteacutekegyseacutege amper ( Andreacute-Marie Ampegravere) roumlvidiacuteteacutese A
Hőmeacuterseacuteklet
Jele T (temperare)
Meacuterteacutekegyseacutege kelvin ( William Thomson Kelvin) roumlvidiacuteteacutese K
Energia a munkaveacutegző keacutepesseacuteg Az energia bdquoeltaacuterolt munkardquo mely megfelelő koumlruumllmeacutenyek
koumlzoumltt munkaacutevaacute alakiacutethatoacute Az energia kuumlloumlnfeacutele formaacutekban jelenik meg peacuteldaacuteul beszeacutelhetuumlnk
mechanikai (mozgaacutesi helyzetihellip) termikus elektromos stb Az energia a rendszer egy aacutellapotaacutet iacuterja
le a munka pedig az aacutellapotok koumlzoumltti vaacuteltozaacutest
Jele E ( energy ndash angol)
Meacuterteacutekegyseacutege ugyanaz mint a munkaacutenak J (joule) 1 J = 1 Nmiddotm = 1 kgmiddotm2middotsminus2
Teljesiacutetmeacuteny a munka eacutes az munkaveacutegzeacutes időtartamaacutenak haacutenyadosa egyseacutegnyi idő alatt veacutegzett
munka a munkaveacutegzeacutes sebesseacutege
Jele P ( power ndash angol)
t
WP
Meacuterteacutekegyseacutege W (watt) 1 W = 1 Js = 1 (kgmiddotm2s2)s = 1 kgmiddotm2s3 = 1 kgmiddotm2middotsminus3
s
F
Fs
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 37
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hataacutesfok a hasznos munka eacutes az oumlsszes befektetett munka haacutenyadosa vagy maacuteskeacuteppen a
hasznos teljesiacutetmeacuteny eacutes az oumlsszes befektetett teljesiacutetmeacuteny haacutenyadosa
Jele ε
ouml
h
W
W
ouml
h
P
P
Wh hasznos munka Wouml befektetett munka Ph hasznos teljesiacutetmeacuteny Pouml befektetett teljesiacutetmeacuteny
Dimenzioacutementes szaacutem eacuterteacuteke 0 le ε le 1
124 Elektromossaacutegtan
Toumllteacutes az elemi toumllteacutesnek valahaacutenyszorosa
Jele Q
Meacuterteacutekegyseacutege C (coulomb) 1 C = 1 Amiddots
Az elektron toumllteacutese q = 1602middot10minus19 C Az elektoron toumllteacuteseacutet negatiacutevnak a protoneacutet pedig
pozitiacutevnak tekintjuumlk
Coulomb toumlrveacutenye keacutet pontszerű toumllteacutes koumlzoumltt hatoacute erő egyenesen araacutenyos a toumllteacutesekkel eacutes
fordiacutetottan araacutenyos a toumllteacutesek koumlzoumltti taacutevolsaacuteg neacutegyzeteacutevel Keacutet azonos előjelű toumllteacutes (++ illetve minusminus)
F erő Q1 eacutes Q2 toumllteacutes r a keacutet toumllteacutes koumlzoumltti taacutevolsaacuteg k araacutenyossaacutegi teacutenyező melynek eacuterteacuteke
899 ∙ 109 Nm2C2
1241 aacutebra Coulomb toumlrveacutenye
Aacuteramerősseacuteg az időegyseacuteg alatt aacutethaladt toumllteacutesek mennyiseacutege
Jele I ( intensitas ndash angol)
t
QI
Q aacutethaladt toumllteacutes t idő
Meacuterteacutekegyseacutege A (amper) 1 A = 1 Cs = 1 Cmiddotsminus1
38 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Feszuumlltseacuteg a munka eacutes a toumllteacutes haacutenyadosa A feszuumlltseacuteg megadja hogy mennyi munkaacutet veacutegez a
mező egyseacutegnyi toumllteacutesen miacuteg a toumllteacutes az egyik pontboacutel elmozdul a maacutesikba
Jele U
Q
WU
Q toumllteacutes W a Q toumllteacutes egyik pontboacutel a maacutesikba juttataacutesaacutehoz szuumlkseacuteges munka
Meacuterteacutekegyseacutege V (volt) 1 V = 1 JC = 1 kgmiddotm2s2(Amiddots) = 1 kgmiddotm2(Amiddots3) = 1 kgmiddotm2middotAminus1middotsminus3
Ellenaacutellaacutes egy elektromos koumlrben egy fogyasztoacuten eső feszuumlltseacuteg eacutes a rajta aacutetmenő aacuteramerősseacuteg
Ilyenkor az aacuteramforraacutes terheletlen azaz a teljes feszuumlltseacuteg az aacuteramforraacuteson esik
Azonban ha egy fogyasztoacuteval terheljuumlk az aacuteramforraacutest az aacuteramforraacuteson meacutert feszuumlltseacuteg maacuter nem
egyezik meg az elektromotoros erővel hanem annaacutel kisebb lesz Ezt a feszuumlltseacuteget
kapocsfeszuumlltseacutegnek nevezzuumlk (a terhelt aacuteramforraacutes kapcsain meacutert feszuumlltseacuteg) A jelenseacuteg oka hogy
az aacuteramkoumlrben folyoacute aacuteram az aacuteramforraacuteson is aacutetfolyik A toumllteacutesek mozgaacutesaacuteval szemben azonban az
aacuteramforraacutesnak is van ellenaacutellaacutesa ezt belső ellenaacutellaacutesnak nevezzuumlk
1242 aacutebra A belső ellenaacutellaacutes szemleacutelteteacutese
Az aacuteramkoumlrben meacuterhető aacuteramerősseacuteget (I) a fogyasztoacute bdquokuumllsőrdquo ellenaacutellaacutesa (Rk) eacutes az aacuteramforraacutes
belső ellenaacutellaacutesa (Rb) hataacuterozza meg
)RR(IU bk0 bk
0
RR
UI
A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramforraacutes kapcsain meacuterhető feszuumlltseacuteg azaz
b0kk RIURIU
A kapocsfeszuumlltseacuteget az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben aacutebraacutezolva a koumlvetkező diagramot kapjuk
1243 aacutebra A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben
U0
Uk
Rb
Rk
+minus
I
40 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha egy elhanyagolhatoacute ellenaacutellaacutesuacute vezetődarabbal oumlsszekoumltjuumlk az aacuteramforraacutes kivezeteacuteseit a
kapocsfeszuumlltseacuteg zeacuterus eacutes az ilyenkor meacuterhető aacuteramerősseacuteg a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram
b
00
R
UI
Mint ahogyan a fenti diagramon is laacutethatoacute a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram aacuteramerősseacuteg maximumaacutet adja meg
Egyenaacuteram munkaacuteja az aacuteramerősseacuteg a feszuumlltseacuteg eacutes az idő szorzata aacutem az ellenaacutellaacutes
segiacutetseacutegeacutevel toumlbb maacutes moacutedon is meghataacuterozhatoacute
tUIW
I aacuteramerősseacuteg U feszuumlltseacuteg t az elektromos munkaveacutegzeacutes ideje
Meacuterteacutekegyseacutege ndash a toumlbbi munkaacutehoz hasonloacutean ndash joule
A munka koumlnnyen adoacutedik a feszuumlltseacuteg eacutes a toumllteacutesmennyiseacuteg definiacutecioacutejaacuteboacutel
Q
WU tIUQUW
Az ellenaacutellaacutes segiacutetseacutegeacutevel a koumlvetkező keacutepletek adoacutednak
tR
UtU
R
UtUIW
2
illetve tRIt)RI(ItUIW 2
Elektromos teljesiacutetmeacuteny az elektromos teljesiacutetmeacuteny az aacuteramerősseacuteg eacutes a feszuumlltseacuteg szorzatakeacutent
adoacutedik Az ellenaacutellaacutes bevezeteacuteseacutevel ismeacutet tovaacutebbi oumlsszefuumlggeacuteseket kaphatunk
RIR
UUIW 2
2
Az elektromos teljesiacutetmeacuteny meacuterteacutekegyseacutege a watt A fenti oumlsszefuumlggeacutesek koumlzvetlenuumll adoacutednak az
elektromos munka keacutepleteiből (a teljesiacutetmeacuteny munka eacutes a munkaveacutegzeacutes idejeacutenek haacutenyadosa)
125 Hőtan
Hőmeacuterseacutekleti skaacutelaacutek a hőmeacuterseacuteklet meghataacuterozaacutesaacutera toumlbb kuumlloumlnboumlző skaacutelaacutet hasznaacutelhatunk A skaacutelaacutek
nagy reacuteszeacutet tapasztalati uacuteton alakiacutetottaacutek ki meacuteghozzaacute egy kivaacutelasztott alsoacute eacutes felső hőmeacuterseacutekleti eacuterteacutek
koumlzoumltt meghataacuterozott szaacutemuacute egyenletes skaacutelaosztaacutest alkalmazva Itt csak a gyakorlati szempontboacutel
legfontosabb keacutet skaacutelaacutet taacutergyaljuk
Az atomot alkotoacute elemi reacuteszecskeacutek toumlmege eacutes toumllteacutese
Reacuteszecske neve Toumlmeg Toumllteacutes Relatiacutev
toumlmeg
Relatiacutev
toumllteacutes
Atommag Proton (p+) 1672 middot 10minus27 kg 16021 middot 10minus19 C 18355 +1
Neutron (n0) 1674 middot 10minus27 kg 0 18377 0
Elektronburok Elektron (eminus) 9109 middot 10minus31 kg minus16021 middot 10minus19 C 1 minus1
Mint laacutethatoacute a fenti taacuteblaacutezatboacutel a proton eacutes a neutron toumlmege koumlzeliacutetőleg megegyezik az elektron
toumlmege pedig ezekneacutel nagysaacutegrendekkel kisebb (mintegy 1840-ed reacutesze a proton vagy a neutron
toumlmegeacutenek) A neutron semleges a proton eacutes az elektron toumllteacutese abszoluacutet eacuterteacutekben megegyezik aacutem
előjeluumlk ellenteacutetes
Rendszaacutem az atomban talaacutelhatoacute protonok szaacutema
Jele Z
Toumlmegszaacutem az atommagban talaacutelhatoacute protonok eacutes neutronok szaacutemaacutenak az oumlsszege
Jele A
Neutronszaacutem toumlmegszaacutemboacutel levonva a protonok szaacutemaacutet azaz a toumlmegszaacutem eacutes a rendszaacutem
kuumlloumlnbseacutege
Jele N
N = Z minus A
2 Az atomok szerkezete 45
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
(Keacutemiai) elemeknek nevezzuumlk az azonos rendszaacutemmal rendelkező atomokboacutel feleacutepuumllő
anyagokat Az elemeket vegyjeluumlkkel szoktuk azonosiacutetani A vegyjel előtt a toumlmegszaacutemot eacutes a
rendszaacutemot is feltuumlntethetjuumlk ilyenkor rendszerint a bal felső indexbe a toumlmegszaacutemot a bal alsoacute
indexbe a rendszaacutemot iacuterjuk
EAZ
Nuklid azonos rendszaacutemuacute eacutes toumlmegszaacutemuacute atommagokat tartalmazoacute atomok oumlsszesseacutege
Izotoacutep egy elem izotoacutepjainak nevezzuumlk azonos rendszaacutemmal aacutem kuumlloumlnboumlző toumlmegszaacutemmal
rendelkező atomjait (Egy elem kuumlloumlnboumlző neutronszaacutemuacute nuklidjai)
Relatiacutev atomtoumlmeg megmutatja hogy az adott atom toumlmege haacutenyszorosa egy C126 -atom
toumlmegeacutenek 112-ed reacuteszeacuteneacutel
Anyagmennyiseacuteg 1 moacutel az anyagmennyiseacutege 6022 middot 1023 darab reacuteszecskeacutenek
Avogadro-szaacutem egy moacutel reacuteszecske darabszaacutema Eacuterteacuteke 6022 middot 1023 mol
A relatiacutev atomtoumlmeg megadja 1 moacutel elem toumlmegeacutet az adott elem 6022 middot 1023 darab atomjaacutenak
oumlssztoumlmegeacutet
Egy elemek legnagyobb reacutesze toumlbbfeacutele izotoacutep elegye a termeacuteszetes gyakorisaacutegukboacutel adoacutedik a
relatiacutev atomtoumlmeg A relatiacutev atomtoumlmeg kiszaacutemiacutetaacutesaacutenaacutel az egyes izotoacutepok atomtoumlmegeacutet a termeacuteszetes
gyakorisaacutegukkal suacutelyozzuk
Tiszta elem olyan elem mely (a termeacuteszetben) csak egyetlen stabil izotoacutepjaacuteval fordul elő
A kuumlloumlnboumlző izotoacutepok gyakorlatilag toumlkeacuteletesen azonos keacutemiai tulajdonsaacuteggal rendelkeznek A
legnagyobb kuumlloumlnbseacuteg fizikai tulajdonsaacutegokban a hidrogeacuten haacuterom izotoacutepja koumlzoumltt van (itt egyetlen
proton mellett egy vagy keacutet neutron viszonylag nagyobb elteacutereacutest okoz) 1H proacutecium (9998) 2H deuteacuterium (002) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese D 3H triacutecium (radioaktiacutev) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese T
Radioaktivitaacutes a nem stabil atommagok spontaacuten bomlaacutesa A radioaktiacutev bomlaacutest nagy energiaacutejuacute
sugaacuterzaacutes kiacuteseacuteri
A nem stabil magokat szokaacutes radioaktiacutev magoknak is nevezni
A radioaktivitaacutes keacutemiai moacutedszerekkel ndash tehaacutet az elektronszerkezeten keresztuumll ndash nem
befolyaacutesolhatoacute
48 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
23 Az atomok elektronszerkezete
Az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronszerkezetuumlk hataacuterozza meg a keacutemiai vaacuteltozaacutesok az
atommagra nincsenek hataacutessal Az elektronok szaacutema megegyezik a rendszaacutemmal mely az adott
elemre jellemző iacutegy a kuumlloumlnboumlző elemek vaacuterhatoacutean kuumlloumlnboumlző keacutemiai tulajdonsaacutegokkal rendelkeznek
Az elektronok az atomokban atompaacutelyaacutekon helyezkednek el
Atompaacutelya az a teacuterreacutesz ahol az elektron 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute
Az elektron a teacuter baacutermely teacuterreacuteszeacuteben megtalaacutelhatoacute valamilyen valoacutesziacutenűseacuteggel az atompaacutelya
nem jelent eacuteles hataacutert inkaacutebb valoacutesziacutenűseacutegi jellegű
Az atompaacutelyaacutekat egy szaacutem eacutes egy betű kombinaacutecioacutejaacuteval szoktuk jeloumllni peacuteldaacuteul 1s 2px 3dxy
stbhellip
A paacutelyaacutekat teacuterben aacutebraacutezolhatjuk uacutegy hogy megjeleniacutetjuumlk azt a feluumlletet mellyel hataacuterolt
teacuterreacuteszben az elektron megtalaacutelaacutesaacutenak valoacutesziacutenűseacutege 90-os
A kuumlloumlnfeacutele paacutelyaacutek alakjaacutet megfigyelhetjuumlk az alaacutebbi aacutebraacuten
231 aacutebra Kuumlloumlnboumlző atompaacutelyaacutek alakja
A paacutelyaacutek egyik fontos jellemzője a csomoacutesiacutekok szaacutema Csomoacutesiacuteknak nevezzuumlk azt a siacutekot mely
keresztuumllmegy az atommagon eacutes benne az elektron megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege zeacuterus Mint laacutethatoacute az s-
paacutelyaacutenak nincsen csomoacutesiacutekja a p-paacutelyaacuteknak egy csomoacutesiacutekja van a d-paacutelyaacuteknak keacutet csomoacutesiacutekja van eacutes
iacutegy tovaacutebb
Az elektronburok feleacutepuumlleacutese
Mint a koraacutebbiakban is emliacutetettuumlk az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronburok feleacutepiacuteteacutese az
elektronszerkezet hataacuterozza meg Ezeacutert rendkiacutevuumll fontos az elektronszerkezet feleacutepuumlleacuteseacutet viszonylag
reacuteszletesen taacutergyalnunk Az aacuteltalaacutenos keacutemia ezen reacutesze viszonylag bonyolult viszont a fontos
alapfogalmak elsajaacutetiacutetaacutesa utaacuten eacuterdekes toumlrveacutenyszerűseacutegeket ismeruumlnk majd meg
Vegyuumlnk egy tetszőleges atommagot eacutes koumlzeliacutetsuumlnk hozzaacute egy elektront Az elektron a
legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacutera keruumll eacutes ezt energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri (Megjegyzendő hogy
a felszabaduloacute energia nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket) A legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutet 1s
paacutelyaacutenak nevezzuumlk Egy maacutesodik elektron koumlzeliacutetve az iacutegy keletkezett bdquoegyelektronosrdquo rendszerhez
szinteacuten egy atompaacutelyaacutera keruumllt melyet ismeacutet energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuter A maacutesodik elektron ndash az
elsőhoumlz hasonloacutean ndash az 1s paacutelyaacutera keruumll eacutes az energiafelszabadulaacutes is megegyezik az első elektron
koumltődeacuteseacuteneacutel tapasztalttal Ha ehhez a bdquokeacutetelektronosrdquo rendszerhez egy uacutejabb elektront adunk az maacuter
nem keruumllhet a legalacsonyabb energiaacutejuacute 1s paacutelyaacutera mivel az atompaacutelyaacutekon maximaacutelisan keacutet elektron
foglalhat helyet (Most ezt fogadjuk el teacutenykeacutent ndash a kiegeacutesziacutető anyagkeacutent taacutergyalandoacute ndash aacuteltalaacutenosan
megfogalmazott Pauli-elv koumlvetkezmeacutenye) A harmadik elektron iacutegy a 2s paacutelyaacutera keruumll Egy negyedik
elektront meacuteg mindig el tudunk helyezni a 2s paacutelyaacuten aacutem az oumltoumldik elektronnak maacuter az egyik 2p
paacutelyaacutera kell keruumllnie (mivel paacutelyaacutenkeacutent maximum keacutet elektron foglalhat helyet) Meacuteg mielőtt tuacutelzottan
belebonyoloacutednaacutenk a paacutelyaacutek szaacutemozaacutesaacuteba eacutes sorrendjeacutebe eacuterdemes oumlsszefoglalnunk a fentieket
2 Az atomok szerkezete 49
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
ndash Energiaminimumra toumlrekveacutes az elektron mindig a legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektront lehet elhelyezni
A paacutelyaacutekat az elektronokkal szokaacutes az alaacutebbi cellaacutes jeloumlleacutessel jeloumllni
Paacutelya elektron neacutelkuumll
(uumlres paacutelya)
Paacutelya egy elektronnal
(feacutelig betoumlltoumltt paacutelya)
Paacutelya keacutet elektronnal
(betoumlltoumltt paacutelya)
Alapaacutellapotuacute atom minden elektron a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacuten helyezkedik el
Gerjesztett atom az atommal energiaacutet koumlzoumllve egy vagy toumlbb elektron magasabb energiaacutejuacute
paacutelyaacutera keruumll (Meacuteg mindig koumltődik az atomhoz nem szakad le roacutela)
Az atompaacutelyaacutek alheacutejakat az alheacutejak pedig elektronheacutejakat alkotnak
Az alheacutejat a paacutelya megjeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute betű jeloumlli peacuteldaacuteul lehetseacuteges p-alheacutej d-alheacutej stb Egy
alheacutejon beluumll ugyanolyan tiacutepusuacute eacutes azonos (vagy hasonloacute) meacuteretű paacutelyaacutek talaacutelhatoacuteak aacutem ezeknek a
Egy adott alheacutejon beluumll az elektronok energiaacuteja azonos tehaacutet a 2px 2py eacutes a 2pz paacutelyaacutekon talaacutelhatoacute
elektronoknak ugyanakkora (ugyanolyam meacutely) az energiaacuteja
Az elektronheacutejat pedig a paacutelya jeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute szaacutem mutatja meg az elektronheacutej bdquomeacutereteacutevelrdquo
van kapcsolatban az 1 heacutej van a legkoumlzelebb az atommaghoz a 2 heacutej enneacutel kijjebb talaacutelhatoacute eacutes iacutegy
tovaacutebb Tehaacutet a heacutej sorszaacutema az atommagtoacutel valoacute taacutevolsaacutegot jelenti
A heacutejakon beluumll alheacutejak talaacutelhatoacuteak Peacuteldaacuteul az 1 heacutej egyetlen alheacutejboacutel (1s) aacutell mely csupaacuten egy
paacutelyaacutet tartalmaz (1s) a 2 heacutej keacutet alheacutejboacutel aacutell a 2s-alheacutej eacutes a 2p-alheacutej alkotja A legalacsonyabb
energiaacutejuacute heacutejat K heacutejnak a toumlbbit pedig rendre L M N O hellip heacutejaknak nevezzuumlk
Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk kuumlloumlnboumlző bdquofajtardquo kuumlloumlnboumlző alakuacute paacutelyaacutekat az egyes tiacutepusuacute atompaacutelyaacutek
darabszaacutemaacutet pedig a paacuteratlan egeacutesz szaacutemok adjaacutek meg (1 3 5 7 9 hellip)
ndash s-paacutelya heacutejankeacutent egy s-paacutelya lehetseacuteges ez az egy paacutelya alkotja az s-alheacutejat
ndash p-paacutelya heacutejankeacutent haacuterom p-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a p-alheacutejat
ndash d-paacutelya heacutejankeacutent oumlt d-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a d-alheacutejat
ndash f-paacutelya heacutejankeacutent heacutet f-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek az f-alheacutejat
Mint laacutethatoacute az s-alheacutej kiveacuteteleacutevel egy alheacutejon beluumll toumlbb paacutelya is talaacutelhatoacute a paacutelyaacuteknak toumlbbfeacutele
iraacutenyultsaacutega van a px py eacutes pz paacutelyaacutek egy dereacutekszoumlgű (Descartes-feacutele) teacuterbeli koordinaacutetarendszer
Tehaacutet mindig legelőszoumlr az 1s alheacutej toumlltődik be majd a 2s ezutaacuten a 2p Tovaacutebbi elektront a 3s
alheacutejra tudunk elhelyezni ezutaacuten a 3p alheacutej koumlvetkezik Eddig a sorrend megegyezik azzal mint amire
a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten szaacutemiacutetanaacutenk Aacutem a taacuteblaacutezat szerint koumlvetkező 3d alheacutej energiaacuteja magasabb
mint a 4s alheacutejeacute ezeacutert az elektron inkaacutebb arra keruumll Neheacutez pontos magyaraacutezatot adni arra hogy ez
mieacutert van ezeacutert egyszerűen csak fogadjuk el
Az alheacutejak fentebb bemutatott betoumlltődeacutesi sorrendje az alaacutebbi aacutebraacuten koumlnnyen nyomon koumlvethető
233 aacutebra Az alheacutejak betoumllteacutesi sorrendje
3px 3py 3pz3s
3p-alheacutej3s-alheacutej
3 (M) heacutej
3d-alheacutej
3dxy 3pyz 3pxz 3px minusy 3pz 2 22
1s
2s
3s
4s
5s
2p
3p
4p
5p
3d
4d
5d
4f
6s 6p
1 (K)
2 (L)
3 (M)
4 (N)
5 (O)
6 (P)
52 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Termeacuteszetesen a paacutelyaacutek betoumlltődeacutese addig tart amiacuteg rendelkezeacutesre aacutell elektron Mindig
figyelembe kell vennuumlnk hogy
ndash az s-alheacutejon 1 paacutelya
ndash a p-alheacutejon 3 paacutelya
ndash a d-alheacutejon 5 paacutelya
ndash az f-alheacutejon 7 paacutelya
talaacutelhatoacute eacutes hogy minden paacutelyaacuten maximaacutelisan keacutet elektron helyezkedhet el
Oumlsszefoglalva
ndash az s-alheacutejakra maximaacutelisan 2 elektront
ndash a p-alheacutejakra maximaacutelisan 6 elektront
ndash a d-alheacutejakra maximaacutelisan 10 elektront
ndash az f-alheacutejakra maximaacutelisan 14 elektront
helyezhetuumlnk
Ezeacutert szokaacutes a betoumlltődeacutesi energiasorrendet az alaacutebbi moacutedon is jeloumllni
1s2 rarr 2s
2 rarr 2p6 rarr 3s
2 rarr 3p6 rarr
rarr 4s2 rarr 3d
10 rarr 4p6 rarr 5s
2 rarr 4d10 rarr
rarr 5p6 rarr 6s
2 rarr 4f14
rarr 5d10 rarr 6p
6 hellip
Peacuteldaacuteul ha a fluoratom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak a fluor (9F)
rendszaacutemaacutenak megfelelő 9 elektront kell megfelelően elhelyezni Ehhez az 1s paacutelyaacutera helyezuumlnk 2
elektront majd a 2s paacutelyaacutera szinteacuten 2 elektront Ez oumlsszesen 4 elektron meacuteg tovaacutebbi 5 elektront kell
elhelyeznuumlnk Sorrendben a 2p paacutelya koumlvetkezik melyre legfeljebb 6 elektront tudunk elhelyezni iacutegy
a mind az 5 elektron a 2p paacutelyaacutera keruumll
Az elektronok szaacutemaacutet az alheacutejakon a jobb felső indexbe tett szaacutemmal jeloumlljuumlk
A fenti fluoratom elektronjainak alheacutejak koumlzoumltti megoszlaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen iacuterhatjuk le
roumlviden
F 1s2 2s2 2p5
Azaz az 1s eacutes 2s alheacutejakra (paacutelyaacutekra) 2ndash2 elektron miacuteg a 2p paacutelyaacutera 5 elektron keruumll (2ndash2 egy-egy
p-paacutelyaacutera miacuteg a harmadikra csak 1)
Cellaacutes jeloumlleacutessel
Elektronkonfiguraacutecioacute az elektronok paacutelyaacutek szerinti elrendeződeacutese egy atomban
Most pedig vizsgaacuteljuk meg a nitrogeacutenatom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutet
A nitrogeacuten rendszaacutema 7 iacutegy 7 elektronja van Az előzőekhez hasonloacutean 2ndash2 elektront elhelyezuumlnk
az 1s eacutes 2s paacutelyaacutekon A maradeacutek 3 elektront a 2p paacutelyaacuten tudjuk elhelyezni
N 1s2 2s2 2p3
Itt viszont keacutet lehetőseacuteguumlnk van
A) a haacuterom p-paacutelyaacutera keruumll egyndashegyndashegy elektron
B) a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll egyre keacutet elektron keruumll miacuteg egy maacutesikra csak egy a harmadik p-paacutelya
pedig betoumlltetlen marad
1s 2s 2p
2 Az atomok szerkezete 53
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A cellaacutes jeloumlleacutessel a keacutet lehetőseacuteg
A)
B)
A fenti keacutet lehetőseacuteg koumlzuumll csak az egyik felel meg a valoacutesaacutegnak meacutegpedig az A) Tehaacutet egy
alheacutejon beluumll az elektronok lehetőseacuteg szerint paacuterosiacutetatlanul helyezkednek el [azaz a B) esetben csak
egy paacuterosiacutetatlan elektron van miacuteg az A) esetben haacuterom] Ezt Hund-szabaacutelynak nevezzuumlk
Hund-szabaacutely egy atom alheacutejaacuten az elektronok uacutegy helyezkednek el hogy koumlzuumlluumlk mineacutel toumlbb
legyen paacuterosiacutetatlan
Az alapaacutellapotuacute elektronszerkezet kialakulaacutesakor az alaacutebbi toumlrveacutenyszerűseacutegeknek kell
teljesuumllniuumlk
ndash Energiaminiumra toumlrekveacutes az elektron mindig a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera
keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera legfeljebb keacutet elektron keruumllhet
ndash Alheacutejak eseteacuten lehetőseacuteg szerint a legtoumlbb elektron legyen paacuterosiacutetatlan
21 peacutelda
Aacutellapiacutetsuk meg a germaacuteniumatom alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Vegyuumlk sorra hogy melyik alheacutejon haacuteny elektron lehet A jobb oldali oszlopban a betoumlltődeacutesi sorrend
szerint az oumlsszes elektron szaacutemaacutet is feltuumlntettuumlk melyet az adott alheacutej teliacutetődeacuteseacutevel lehetseacuteges eleacuterni
Alheacutejon Oumlsszesen
(betoumlltődeacutes szerint)
1s 2 2
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36
Mivel a germaacuteniumnak 32 elektronja van a 3d alheacutej betoumlltődeacuteseacutevel oumlsszesen 30 elektront tudunk
elhelyezni ezeacutert a 4p alheacutejra is keruumll elektron meacuteghozzaacute 2
Tehaacutet az alapaacutellapotuacute germaacuteniumatom elektronszerkezete
Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2
1s 2s 2p
1s 2s 2p
54 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ellenőrzeacuteskeacutepp eacuterdemes oumlsszeszaacutemolnunk a felső indexben szereplő szaacutemokat az oumlsszegnek meg
kell egyeznie a germaacuteniumatom elektronjainak szaacutemaacuteval
2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32
Mivel a p-alheacutejon 6 elektront lehet elhelyezni a haacuterom p-paacutelyaacuten a maradeacutek keacutet elektronnak a
Hund-szabaacutely eacutertelmeacuteben paacuterosiacutetatlanul kell elhelyezkednie Csak a 4s eacutes 4p-alheacutejat aacutebraacutezolva (az
Az atomot a keacutemiai reaktivitaacutes szempontjaacuteboacutel keacutet reacuteszre (bdquoreacutetegrerdquo) oszthatjuk a kuumllső
vegyeacuterteacutekelektronok vesznek reacuteszt a koumlteacutesek kialakiacutetaacutesaacuteban iacutegy a keacutemiai reakcioacutekban a belsőbb
elektronokra (eacutes az atommagra) viszont nincs hataacutesuk a keacutemiai vaacuteltozaacutesoknak
Vegyeacuterteacutekelektronok vegyeacuterteacutekelektronoknak nevezzuumlk az atom keacutemiai reakcioacutekban reacuteszt vevő
kuumllső elektronjait
Atomtoumlrzs az atommag eacutes azon elektronok melyek nem vegyeacuterteacutekelektronok
A fenti peacuteldaacuteban a germaacuteniumnak oumlsszesen neacutegy vegyeacuterteacutekelektronja van keacutet s eacutes keacutet p elektronja
van a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten Az első (K) a maacutesodik (L) eacutes a harmadik (M) heacutejat lezaacutertnak tekintjuumlk ezek
alkotjaacutek az atomtoumlrzset
A nemesgaacutezok elektronszerkezete igen stabilis keacutemiai reaktivitaacutesuk igen csekeacutely Ennek oka
hogy az s- eacutes p-alheacutejak a nemesgaacutezok eseteacuten vaacutelnak teliacutetetteacute (kiveacuteve a heacuteliumot ahol csak az 1s alheacutej
teliacutetődik) iacutegy a lezaacutert heacutejak kiemelkedő stabilitaacutest biztosiacutetanak A vegyeacuterteacutekelektronokat szoktaacutek uacutegy
emliacuteteni hogy a legfelső lezaacutert heacutejon kiacutevuumll elhelyezkedő elektronok a vegyeacuterteacutekheacutejat pedig mint a
legkuumllső lezaacuteratlan heacutejat Ez a megfogalmazaacutes bizonyos esetekben feacutelreeacuterteacutest okozhat
Peacuteldaacuteul a kalcium (rendszaacutema 20) alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2
Mint laacutetjuk a 3 heacutej meacuteg nem teliacutetett mivel a 3d-alheacutej elektronjai a 4s alheacutej teliacutetődeacutese utaacuten
neacutepesuumllnek be aacutem csak a 4s alheacutej 2 elektronjaacutet tekintjuumlk vegyeacuterteacutekelektronnak
Az elektronkonfiguraacutecioacute jeloumlleacuteseacutet gyakran leroumlvidiacutetjuumlk a koumlvetkező moacutedon megkeressuumlk azt a
legnagyobb rendszaacutemuacute nemesgaacutezt (1He 10Ne 18Ar 36Kr 54Xe 86Rn) melynek rendszaacutema kisebb az
adott elem rendszaacutemaacutenaacutel eacutes csak az elem eacutes a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteget
tuumlntetjuumlk fel
Peacuteldaacuteul a germaacutenium (rendszaacutema 32) elektronkonfiguraacutecioacuteja eseteacuten a legnagyobb naacutela kisebb
rendszaacutemuacute nemesgaacutez a 18-as rendszaacutemuacute argon (Ar) melynek elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
Iacutegy a germaacutenium elektronkonfiguraacutecioacuteja eacutes az argon elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg
A germaacutenium roumlvidiacutetett elektronkonfiguraacutecioacuteja iacutegy
Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2
4s 4p
Ge 1s2 2s
2 2p
6 3s
2 3p
6 4s
2 3d
10 4p
2
Ar
2 Az atomok szerkezete 55
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Eacuterdemes az elektronok feltoumlltődeacuteseacutet az alaacutebbi taacuteblaacutezatos formaacuteban is oumlsszefoglalni
Alheacutejon Oumlsszesen Nemesgaacutez
1s 2 2 2He
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10 10Ne
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18 18Ar
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36 36Kr
5s 2 36 + 2 = 38
4d 10 38 + 10 = 48
5p 6 48 + 6 = 54 54Xe
6s 2 54 + 2 = 56
4f 14 56 + 14 = 70
5d 10 70 + 10 = 80
6p 6 80 + 6 = 86 86Rn
7s 2 86 + 2 =88
5f 14 88 + 14 = 102
6d 10 102 + 10 = 112
7p 6 112 + 6 = 118 118UUo
22 peacutelda
Iacuterjuk fel a 48-es rendszaacutemuacute kadmium elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Tehaacutet 48 elektront kell elhelyeznuumlnk Iacutegy a teljes elektronkonfiguraacutecioacute
Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10
Most hataacuterozzuk meg az elektronkonfiguraacutecioacutet a roumlvidiacutetett leiacuteraacutessal A kriptonban 36 elektron
talaacutelhatoacute (a xenonnak toumlbb elektronja van mint a kadmiumnak) iacutegy a maradeacutek 48minus36 = 12 elektront
kell csak feltuumlntetnuumlnk ezek az 5s eacutes a 4d alheacutejakra keruumllnek
Cd [Kr] 5s2 4d10
Gyakorloacutefeladatok
Iacuterjuk fel az alaacutebbi elemek alapaacutellapotuacute konfiguraacutecioacutejaacutet
a) 38Sr
b) 13Al
c) 34Se
d) 53I
e) 25Mn
f) 36Kr
g) 67Ho
h) 83Bi
i) 95Am
j) 80Hg
Megoldaacutesok
a) [Kr] 5s2
b) [Ne] 3s2 3p1
56 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
c) [Ar] 4s2 3d10 4p4
d) [Kr] 4d10 5s2 5p5
e) [Ar] 4s2 3d5
f) [Ar] 3d10 4s2 4p6
g) [Xe] 4f11 6s2
h) [Xe] 4f14
5d10
6s2 6p
3
i) [Rn] 5f7 7s2
j) [Xe] 4f14 5d10 6s2
24 A kvantumszaacutemok
Az atompaacutelyaacutek illetve az elektronok betoumlltődeacuteseacutenek sorrendje szoros oumlsszefuumlggeacutesben aacutell a
Schroumldinger-egyenletekkel melyek a kvantumkeacutemia legfontosabb alapegyenletei koumlzeacute tartoznak
Mivel ezen egyenletek megeacuterteacutese felsőbb matematikai ismereteket koumlvetel itt nem ismerkeduumlnk meg
veluumlk (keacutesőbbi egyetemi tanulmaacutenyainkban viszont majd igen) azonban neacutehaacuteny fontosabb
koumlvetkezmeacutenyuumlket bemutatjuk A Schroumldinger-egyenletek megoldaacutesai kvantaacuteltak ami azt jelenti
hogy nem vehetnek fel baacutermilyen tetszőleges eacuterteacuteket hanem csak joacutel meghataacuterozott eacuterteacutekűek lehetnek
Egy szemleacuteletes peacutelda a molekulaacutek rezgőmozgaacutesa a molekula atomjait keacutepzeljuumlk el toumlmegpontoknak
melyeket a keacutemiai koumlteacutesek rugoacutekeacutent koumltnek oumlssze Egy nagyon egyszerű keacutetatomos molekula a
dihidrogeacuten (H2) A molekulaacutek ndash iacutegy a dihidrogeacuten is ndash folyamatos rezgőmozgaacutessal rendelkeznek aacutem
ennek frekvenciaacuteja nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket Ha energiaacutet koumlzluumlnk a molekulaacuteval noumlvelhetjuumlk a
rezgeacutes frekvenciaacutejaacutet aacutem nem tetszőleges meacuterteacutekben a rezgeacutes frekvenciaacuteja kvantaacutelt
Egy adott atomban az elektronok energiaszintjei is kvantaacuteltak nem vehetnek fel baacutermilyen
eacuterteacuteket az egyes energiaszintek energiaacuteja meghataacuterozott Az elektronok nem tartoacutezkodhatnak
energiaszintek koumlzoumltt csak adott energiaszinteken Ha az elektront az egyik energiaszintről egy
maacutesikra szeretneacutenk juttatni (gerjeszteni) meghataacuterozott energiaacutet kell koumlzoumllnuumlnk vele A Schroumldinger-
egyenlet alapjaacuten kiszaacutemiacutethatjuk az elektronszintek energiaacutejaacutet ez tartalmaz egy parameacutetert melynek
eacuterteacuteke 1 2 3 stb eacuterteacutekeket vehet fel Ezt a parameacutetert főkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Az elektron
maacutegneses tulajdonsaacutegokkal is rendelkezik melyek szinteacuten kvantaacuteltak Ezeket a tulajdonsaacutegokat a
melleacutekkvantumszaacutem eacutes a maacutegneses kvantumszaacutem hataacuterozza meg aacutem ezek eacuterteacuteke sem lehet
tetszőleges Az elektron rendelkezik egy spinnek nevezett mennyiseacuteggel mely fuumlggetlen a toumlbbi
kvantumszaacutemtoacutel A spin az elektron egy maacutegneses jellemzője az ehhez tartozoacute kvantumszaacutemot
spinkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Mint majd laacutetni fogjuk a spinkvantumszaacutem keacutet ellenteacutetes előjelű aacutem
azonos abszoluacutet eacuterteacutekű szaacutem (minusfrac12 vagy +frac12) lehet
Tehaacutet az atom baacutermely elektronja neacutegy kvantumszaacutemmal jellemezhető
A főkvantumszaacutem (n) eacuterteacuteke 1 2 3 stb pozitiacutev egeacutesz szaacutem lehet eacutes megadja hogy az elektron
haacutenyadik heacutejon van Mineacutel nagyobb n eacuterteacuteke az elektron annaacutel nagyobb sugaruacute paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Tehaacutet
n = 1 eseteacuten tudjuk hogy az elektron az első heacutejon talaacutelhatoacute n = 2 eseteacuten pedig hogy a maacutesodik
elektronheacutejon Az elektron energiaacuteja is fuumlgg a főkvantumszaacutemtoacutel a legalacsonyabb energia n = 1-hez
tartozik
A melleacutekkvantumszaacutem (ℓ) eacuterteacuteke 0 1 hellip nminus1 lehetseacuteges tehaacutet az adott heacutejon (adott n eseteacuten)
n-feacutele kuumlloumlnboumlző melleacutekkvantumszaacutem lehetseacuteges A melleacutekkvantumszaacutem megadja hogy az elektron
az elektronheacutejon beluumll melyik alheacutejon (s p d f hellip) talaacutelhatoacute
Az első elektronheacutejon (n = 1) csak ℓ = 0 lehetseacuteges azaz csak s-alheacutejon lehet az elektron
A maacutesodik elektronheacutejon (n = 2) ℓ eacuterteacuteke lehet 0 vagy 1 Ha ℓ = 0 az elektron az s-alheacutejon van
ha pedig ℓ = 1 az elektron a p-alheacutejon talaacutelhatoacute
A harmadik heacutejon (n = 3) ℓ eacuterteacuteke haacuterom kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel 0 1 vagy 2 Az ℓ = 0 eacuterteacutek
mindig s-alheacutejat jeloumll ℓ = 1 eseteacuten az elektron p-alheacutejon talaacutelhatoacute ha pedig ℓ eacuterteacuteke 2 akkor az
elektronroacutel megaacutellapiacutethatoacute hogy a d-alheacutejon van
A maacutegneses kvantumszaacutem (m) eacuterteacuteke egeacutesz szaacutem lehet minusℓ-től +ℓ-ig terjedőleg (a 0-t is
beleeacutertve) iacutegy (2middotℓ + 1) kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel A maacutegneses kvantumszaacutem adott alheacutej eseteacuten a
2 Az atomok szerkezete 57
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
paacutelyaacutek iraacutenyaacutet adja meg tehaacutet egy adott alheacutej eseteacuten m eacuterteacuteke alapjaacuten meg tudjuk aacutellapiacutetani hogy az
elektron melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul ha ℓ = 0 csak egyetlen eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem m = 0 Az s-alheacutejon
beluumll egyetlen s-paacutelya talaacutelhatoacute ehhez tartozik az m = 0 maacutegneses kvantumszaacutem
Ha ℓ = 1 a p-alheacutejon talaacutelhatoacute az elektron Viszont haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyuacute p-paacutelyaacutet ismeruumlnk
px- py- eacutes pz-paacutelyaacutekat A maacutegneses kvantumszaacutem ℓ = 1 eseteacuten m = minus1 m = 0 eacutes m = +1 lehet a haacuterom
A d-alheacutej azaz ℓ = 2 eseteacuten maacuter oumltfeacutele eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem minus2 minus1 0 +1
eacutes +2 Az oumlt kuumlloumlnboumlző maacutegneses kvantumszaacutem az oumlt kuumlloumlnboumlző d-paacutelyaacutet jeloumlli a d-alheacutejon beluumll
Az f-alheacutej eseteacuten (ℓ = 3) heacutet kuumlloumlnboumlző eacuterteacutek koumlzuumll vehet fel egyet a maacutegneses kvantumszaacutem minus3
minus2 minus1 0 +1 +2 +3 iacutegy az f-alheacutejon beluumll heacutet paacutelya kuumlloumlnboumlztethető meg
A spinkvantumszaacutem (ms) eacuterteacuteke +frac12 vagy minusfrac12 lehet Egy adott paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron
keruumllhet ezek mindig ellenteacutetes spinkvantumszaacutemmal rendelkeznek Az elektronok cellaacutes jeloumlleacuteseacuteneacutel a
Tehaacutet ha ismerjuumlk egy elektron mind a neacutegy kvantumszaacutemaacutet akkor tudjuk hogy melyik heacutejon (n)
azon beluumll melyik alheacutejon (ℓ) van eacutes azt is ismerjuumlk hogy az alheacutejon beluumll melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
(m) Az adott paacutelyaacuten talaacutelhatoacute keacutet elektront a spinkvantumszaacutem (ms) kuumlloumlnboumlzteti meg
Egy adott atomban azon elektronok melyek csupaacuten spinkvantumszaacutemukban kuumlloumlnboumlznek egy
elektronpaacutert alkotnak
Tehaacutet egy atomban minden egyes elektron bdquobeazonosiacutethatoacuterdquo a neacutegy kvantumszaacutem segiacutetseacutegeacutevel
Egy nagyon fontos megaacutellapiacutetaacutes hogy egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet Ez a Pauli-
elvvel van oumlsszefuumlggeacutesben
Pauli-elv egy atomban nem lehet keacutet (vagy toumlbb) olyan elektron melynek mind a neacutegy
kvantumszaacutema azonos
A kvantumszaacutemok egy oumlsszetett fizikai elmeacutelet igen bonyolult matematikai oumlsszefuumlggeacutesekkel
megkapott eredmeacutenyei melyek segiacutetseacutegeacutevel megmagyaraacutezhatoacute a heacutejakndashalheacutejakndashpaacutelyaacutek rendszere iacutegy
az atom elektronheacutejaacutenak szerkezete Mint hamarosan laacutetjuk az elemek perioacutedusos rendszereacutenek
feleacutepiacuteteacutese is szoros oumlsszhangban van a kvantumszaacutemok rendszereacutevel
25 Az elemek perioacutedusos rendszere
Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Maacuter reacutegen megfigyelteacutek hogy bizonyos elemek hasonloacute keacutemiai (eacutesvagy fizikai) tulajdonsaacutegokkal
rendelkeznek Mengyelejev a XIX szaacutezad veacutegeacuten az addig felfedezett elemeket egy taacuteblaacutezatba
gyűjtoumltte oumlssze Sőt a felfedezett toumlrveacutenyszerűseacutegeket felhasznaacutelva Mengyelejev szaacutemos addig meacuteg
ismeretlen elem tulajdonsaacutegait joacutesolta meg
A perioacutedusos rendszer az elemeknek a noumlvekvő rendszaacutem szerint feleacutepiacutetett taacuteblaacutezata
Eacuterdekes moacutedon ha az egymaacutest koumlvető rendszaacutemuacute (azaz elektronszaacutemuacute) elemeket sorba
rendezzuumlk ez az elektronok beeacutepuumlleacutesi sorrendje szerint toumlrteacutenik
58 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
251 aacutebra Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszer feleacutepuumlleacutese joacutel megfigyelhető az alaacutebbi animaacutecioacuten
251 animaacutecioacute Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Perioacutedusok
A perioacutedusos rendszerben a viacutezszintes sorokat perioacutedusoknak vagy soroknak nevezzuumlk Gyakran
kuumlloumlnbseacuteg van a sor eacutes a perioacutedus megjeloumlleacutes koumlzoumltt az első bdquosorrdquo-nak aacuteltalaacuteban a 2 perioacutedust szokaacutes
tekinteni peacuteldaacuteul a szeacuten vagy a nitrogeacuten bdquoelső sorbelirdquo elem
Mezők
Az egymaacutes alatti sorok az adott elektronheacutej beeacutepuumlleacuteseacutet mutatjaacutek Az elemeket a fenti taacuteblaacutezatba
rendezve kuumlloumlnboumlző uacutegynevezett mezőket figyelhetuumlnk meg egy mezőn beluumll az azonos betoumlltődő
alheacutejjal rendelkező elemek talaacutelhatoacutek Iacutegy megkuumlloumlnboumlztetuumlnk s- p- d- eacutes f-mezőt
1 1s 1s
2 2s 2p
3 3s 3p
4 4s 3d 4p
5 5s 4d 5p
6 6s 5d 6p
7 7s 6d 7p
4f
5f
2 Az atomok szerkezete 59
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
252 aacutebra A perioacutedusos rendszer mezői
Az s-mező eacuterdekes moacutedon keacutet helyen talaacutelhatoacute az egyik a perioacutedusos rendszer bal oldalaacuten a
maacutesik pedig csupaacuten egyetlen elemet tartalmaz a heacuteliumot A heacutelium egyreacuteszt azeacutert keruumllt a perioacutedusos
rendszer jobb oldalaacutera mivel tulajdonsaacutegaiban sokkal inkaacutebb hasonliacutet az ott talaacutelhatoacute elemekhez A
heacutelium bdquoaacutethelyezeacuteserdquo azonban nem oumlnkeacutenyes a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban toumlltődik be az
adott heacutej az 1 (K) heacutej pedig keacutet elektronnal teliacutethető azaz maacuter a heacuteliumnaacutel lezaacuterul a heacutej
Mint fentebb laacutethatjuk az f-mezőt aacuteltalaacuteban ki szoktaacutek venni az uacutegynevezett bdquohosszuacute perioacutedusos
rendszerbőlrdquo mivel egy hosszuacute keskeny taacuteblaacutezat kezeleacutese viszonylag koumlruumllmeacutenyes
A feltoumlltődeacutesi sorrendből adoacutedik hogy az első perioacutedusban csak s-mező talaacutelhatoacute a maacutesodik
perioacutedustoacutel kezdődik a p-mező feltoumlltődeacutese Mivel a 4s alheacutej hamarabb kezd feltoumlltődni mint a 3d a
3d heacutej a 4 perioacutedusban kezd csak feltoumlltődni Hasonloacute a helyzet az f-mezővel a 4f alheacutej csak a 6s
alheacutej betoumlltődeacutese utaacuten kezd el beneacutepesuumllni iacutegy a 6 perioacutedusban talaacutelhatoacute A tudomaacuteny pillanatnyi
aacutellaacutesa szerint nem sikeruumllt meacuteg előaacutelliacutetani olyan elemet mely a 8 perioacutedusban talaacutelhatoacute sőt a 7
perioacutedus nagyobb rendszaacutemuacute (uacutegynevezett keacutesői) elemei is rendkiacutevuumll instabilak aacuteltalaacuteban csupaacuten
nyomnyi mennyiseacutegben sikeruumll őket előaacutelliacutetani (gyakran ez csak neacutehaacutenyszor tiacutez atomot jelent) A
nagyfokuacute instabilitaacutes oka az atommagok radioaktivitaacutesa aacuteltalaacuteban magreakcioacutek segiacutetseacutegeacutevel lehet
ilyen nagy rendszaacutemuacute atommagokat előaacutelliacutetani melyek azonban toumlbbnyire nagyon gyorsan radioaktiacutev
bomlaacutest szenvednek Ebből koumlvetkezik hogy az ilyen rendkiacutevuumll nagy rendszaacutemuacute elemek fizikai eacutes
keacutemiai tulajdonsaacutegairoacutel nem sokat tudunk Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megjegyezhetjuumlk hogy a
perioacutedusos rendszer alsoacutebb perioacutedusaiban ndash a sok kuumllső elektronnak koumlszoumlnhetően ndash noumlvekszik a
feacutemes jelleg eacutes meacuteg a főcsoportokban is elmosoacutedik az egyes elemek keacutemiai tulajdonsaacutegai koumlzoumltt a
hataacuter
1 s
2
3
4
5
6
7
s -
m
e z
ő
d-mező
p-mező
f-mező
60 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
I
A
II
A
III
B
IV
B
V
B
VI
B
VII
B
VIII
B
VIII
B
VIII
B
I
B
II
B
III
A
IV
A
V
A
VI
A
VII
A
VIII
A
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Ta Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
253 aacutebra A perioacutedusos rendszer
Oszlopok
A hasonloacute elektronszerkezetű elemek fuumlggőleges elrendeződeacutesben helyezkednek le egymaacutes alatti
helyet foglalnak el a perioacutedusos rendszerben ezek egy oszlopot alkotnak
Az s-mező eacutes a p-mező oszlopait oumlsszefoglaloacutean főcsoportoknak miacuteg a d-mező oszlopait
melleacutekcsoportoknak szokaacutes nevezni A keacutesőbbiekben megismerkeduumlnk az egyes oszlopok
elnevezeacuteseivel is
Az oszlopok szaacutemozaacutesaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen szokaacutes veacutegezni
ndash a reacutegiesebb szaacutemozaacutes szerint kuumlloumln taacutergyaljuk a főcsoportokat illetve a melleacutekcsoportokat aacutem
mindkettőt roacutemai szaacutemokkal jeloumlljuumlk Ilyenkor a főcsoportok eseteacuten a megfelelő roacutemai szaacutem
melleacute A betűt iacuterunk miacuteg a melleacutekcsoportokat B betűvel jeloumlljuumlk A fő- eacutes melleacutekcsoportok
(Pd) ezuumlst (Ag) ozmium (Os) iridium (Ir) platina (Pt) eacutes az arany (Au)
Lantanidaacutek eacutes aktinidaacutek
Az f-mező 6 perioacutedusaacuteba tartozoacute feacutemeit lantanidaacuteknak (a 7 perioacutedusaacuteba tartozoacutekat pedig
aktinidaacuteknak szoktuk nevezni)
Ritka foumlldfeacutemek
A lantanidaacutekat a szkandiummal (Sc) eacutes az ittriummal (Y) egyuumltt ritkafeacutemeknek nevezzuumlk
62 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Nemfeacutemek Alkaacutelfeacutemek
Feacutelfeacutemek Alkaacutelifoumlldfeacutemek
Maacutesodfajuacute feacutemek Lantanidaacutek
Aacutetmeneti feacutemek Aktinidaacutek
Nemesfeacutemek
254 aacutebra A perioacutedusos rendszer felosztaacutesa az atomok feacutemes jellege szerint
26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszerben bizonyos tulajdonsaacutegok folytonosan maacutes tulajdonsaacutegok pedig perioacutedusosan
vaacuteltoznak
261 Toumlmegszaacutem neutronszaacutem eacutes relatiacutev atomtoumlmeg vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A proacutecium ( H11 ) kiveacuteteleacutevel minden izotoacutep tartalmaz neutronokat mivel maacuter keacutet proton melleacute is
szuumlkseacuteges neutron hogy az atommag stabil legyen
A kis rendszaacutemuacute elemek legstabilabb izotoacutepjai eseteacuten (perioacutedusos rendszer eleje) a protonok eacutes a
neutronok szaacutema gyakran megegyezik (azaz a neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya egy koumlruumlli ndash
N Z asymp 1) tehaacutet a toumlmegszaacutem gyakran a rendszaacutem keacutetszerese A kalcium 40-es toumlmegszaacutemuacute izotoacutepja (
Ca4020 ) a legnagyobb rendszaacutemuacute izotoacutep melyben a protonok eacutes neutronok szaacutema megegyezik
Nagyobb rendszaacutemuacute elemek izotoacutepjai eseteacuten a neutronok szaacutema meghaladja a protonokeacutet tehaacutet a
toumlmegszaacutem nagyobb mint a rendszaacutem keacutetszerese Ennek oka hogy egyre toumlbb neutronra van szuumlkseacuteg
a pozitiacutev toumllteacutesű protonok elektrosztatikus tasziacutetaacutesaacutenak leaacuternyeacutekolaacutesaacutera A perioacutedusos rendszer utolsoacute
perioacutedusaacuteban a neutronok eacutes protonok szaacutemaacutenak araacutenya (N Z) rendszerint nagyobb mint 15
2 Az atomok szerkezete 63
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az alaacutebbi aacutebraacuten a leacutetező oumlsszes stabil izotoacutep neutronszaacutem protonszaacutem araacutenya (N Z) van
feltuumlntetve a rendszaacutem (Z protonszaacutem) fuumlggveacutenyeacuteben A piros vonal az N Z = 1 esetet jeleniacuteti meg
2611 aacutebra A neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya a toumlmegszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel noumlvekszik ez aloacutel neacutehaacuteny elempaacuter a kiveacutetel
Az alaacutebbi aacutebraacuten az elemek relatiacutev atomtoumlmegeacutet (Ar) aacutebraacutezoltuk a rendszaacutem (Z) fuumlggveacutenyeacuteben
(keacutek koumlroumlk) A fekete egyenes az Ar = Z a zoumlld egyenes az Ar = 2 middot Z a piros egyenes pedig az
Ar = 3 middot Z fuumlggveacutenyeket jelenti
2612 aacutebra A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
64 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute a relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel egyre meredekebben noumlvekszik Miacuteg
a kis rendszaacutemok eseteacuten Ar asymp 2 middot Z (a neutronok szaacutema nagyjaacuteboacutel megegyezik a protonok szaacutemaacuteval ndash a
rendszaacutemmal) addig a nagy rendszaacutemok eseteacuten az Ar Z araacuteny 2-neacutel joacuteval nagyobb
262 Az atomok meacutereteacutenek vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Az atomokat goumlmbszerűnek felteacutetelezzuumlk iacutegy az atomok meacutereteacutet az atomsugaacuterral (idegen szoacuteval
atomraacutediusszal) szoktuk jellemezni (Csak megemliacutetjuumlk hogy az atomsugaacuter fuumlgg az atom aacutellapotaacutetoacutel
azaz attoacutel is hogy milyen koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacuteban vesz reacutesz Ezaacuteltal toumlbbfeacutele moacutedon definiaacutelhatjuk az
atomsugarat aacutem ennek reacuteszleteivel itt nem foglalkozunk) Az atomsugaacuter (eacutes iacutegy az atomteacuterfogat)
vaacuteltozaacutesa szaacutemos maacutes tulajdonsaacuteg vaacuteltozaacutesaacutera hataacutessal van (peacuteldaacuteul sűrűseacuteg halmazaacutellapot)
Az atomsugaacuter periodikusan vaacuteltozik a perioacutedusos rendszeren beluumll
Egy adott perioacuteduson beluumll az atomsugaacuter balroacutel jobbra csoumlkken Ennek a magyaraacutezata a
koumlvetkező egy perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra haladva noumlvekszik az atommag toumllteacutese mivel egyre
toumlbb proton talaacutelhatoacute benne Az atommag toumllteacuteseacutet az elektronok leaacuternyeacutekoljaacutek A lezaacutert belső heacutejak
elektronjainak negatiacutev toumllteacutese egy perioacuteduson beluumll gyakorlatilag azonosnak tekinthető Balroacutel jobbra
haladva egy perioacutedusban az elektronok ugyanarra a kuumllső heacutejra leacutepnek be ezek aacuternyeacutekoloacute hataacutesa
sokkal kisebb mint az alatta levő heacutejak elektronjaieacute iacutegy az atommag (balroacutel jobbra noumlvekedő) toumllteacutese
egyre erősebben vonzza a vegyeacuterteacutekelektronokat ennek koumlvetkezteacuteben az atomsugaacuter csoumlkken
Az atomsugaacuter egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik Magyaraacutezat a paacutelyaacutek meacuterete
2621 aacutebra Az atomsugaacuter vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Itt eacuterdemes megemliacuteteni a sűrűseacuteg vaacuteltozaacutesaacutet is A sűrűseacuteg termeacuteszetesen nemcsak az
atomteacuterfogattoacutel (atomsugaacutertoacutel) fuumlgg hanem a halmazaacutellapottoacutel az atomok elrendeződeacuteseacutetől a
kristaacutelyszerkezettől is iacutegy igen neheacutez aacuteltalaacutenosan tendenciaacutekat talaacutelni Viszont azt mindenkeacuteppen
eacuterdemes megjegyezni hogy a sűrűseacuteg egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik
1
2
3
4
5
6
7
ATOMSUGAacuteR
2 Az atomok szerkezete 65
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
263 Az elemek halmazaacutellapota
A halmazaacutellapot a reacuteszecskeacuteket oumlsszetartoacute koumllcsoumlnhataacutesoktoacutel fuumlgg A kuumlloumlnfeacutele koumllcsoumlnhataacutesok eacutes a
halmazaacutellapot oumlsszefuumlggeacuteseit majd a keacutesőbbiekben reacuteszletesen taacutergyaljuk itt ndash a teljesseacuteg kedveacuteeacutert ndash
azonban megmutatjuk a perioacutedusos rendszer mely reacuteszeacuteben milyen halmazaacutellapot jellemző
Normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson (101325 kPa) eacutes 25 degC hőmeacuterseacutekleten az elemek tuacutelnyomoacute toumlbbseacutege
szilaacuterd azonban talaacutelhatunk koumlzoumlttuumlk szeacutep szaacutemban gaacutezokat is A legritkaacutebb halmazaacutellapot a folyadeacutek
csupaacuten keacutet elem folyeacutekony 25 degC-on a broacutem (Br) eacutes a higany (Hg) Tovaacutebbi keacutet elemnek igen
alacsony az olvadaacutespontja a galliumeacute (Ga 30 degC) eacutes a ceacuteziumeacute (Cs 28 degC) is szobahőmeacuterseacuteklet
koumlzeleacuteben van enyhe melegiacuteteacutes hataacutesaacutera megolvadnak
A vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema az első 12 oszlopban megegyezik az oszlop szaacutemaacuteval A p-
mezőben pedig a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacutet megkapjuk ha az oszlop szaacutemaacuteboacutel levonunk 10-et a
66 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
lezaacutert d-alheacutejat (a tiacutez elektronjaacuteval) maacuter nem szokaacutes a p-mező vegyeacuterteacutekelektronjaihoz szaacutemiacutetani (itt az
n-dik heacutej teliacutetődik viszont az (nminus1)-dik heacutej maacuter lezaacuterult a 12 oszlopban) Egyetlen kiveacutetel a heacutelium
(18 oszlop) melynek csupaacuten 2 vegyeacuterteacutekelektronja van
(A reacutegi szaacutemozaacutesi moacuted szerint a főcsoportokban az oszlop szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Ez a melleacutekcsoportok eseteacuten is igaz viszont a VIIIB keacutet oszlopaacutera
nem igaz ndash kobalt nikkel eacutes az alattuk talaacutelhatoacute elemek)
Vegyeacuterteacutek az atom aacuteltal leacutetesiacutethető keacutemiai koumlteacutesek szaacutema A kuumlloumlnboumlző elemek gyakran toumlbbfeacutele
Ennek magyaraacutezata a koumlvetkező Maacuter koraacutebban megismertuumlk hogy a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema
a perioacutedusos rendszer főcsoportjaiban balroacutel jobbra noumlvekszik A keveacutes vegyeacuterteacutekelektronnal
rendelkező feacutemek viszonylag koumlnnyen le tudjaacutek adni elektronjaikat iacutegy igen stabilis nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionokkaacute alakulnak miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező nemfeacutemek
eseteacuten a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute elektronfelveacutetellel koumlnnyebben kialakul Ellenkező esetben a
nemesgaacutez elektronszerkezet eleacutereacuteseacutehez a kevesebb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező feacutemeknek
viszonylag sok elektront kellene felvenniuumlk miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező
nemfeacutemeknek igen sok elektront kellene leadniuk mely energetikailag igen kedvezőtlen
Iacutegy peacuteldaacuteul a kaacuteliumatomboacutel egy vegyeacuterteacutekelektronjaacutenak eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval egyszeresen pozitiacutev
toumllteacutesű kaacuteliumion miacuteg a heacutet vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező fluoratom egy elektront felveacuteve
fluoridanionnaacute tud alakulni Mind a kaacuteliumionnak mind a fluoridionnak nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacuteja van
A nemfeacutemek aacuteltal maximaacutelisan felvehető elektronok szaacutemaacutet nagyon egyszerűen meg tudjuk
aacutellapiacutetani a nemesgaacutezoknak ndash a heacutelium kiveacuteteleacutevel ndash mindig keacutet s eacutes hat p elektronja van azaz a
vegyeacuterteacutekheacutejukon 8 elektronjuk van Legyen a nemfeacutemnek n vegyeacuterteacutekelektronja ekkor pontosan
8 minus n elektron szuumlkseacuteges ahhoz hogy 8 elektronja legyen a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
Mint az előzőekben maacuter taacutergyaltuk a perioacutedusos rendszer oszlopaacutenak sorszaacutema eacutes az adott elem
vegyeacuterteacutekelektronjainak szaacutema koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes van Az oszlopok aktuaacutelis szaacutemozaacutesa szerint
tehaacutet az m-edik oszlopban talaacutelhatoacute nemfeacutem 18 minus m elektront tud felvenni Peacuteldaacuteul a 15 oszlopban
talaacutelhatoacute foszforatom 18 minus 15 = 3 elektront tud maximaacutelisan felvenni a 16 csoportban talaacutelhatoacute
keacutenatom pedig maximaacutelisan 18 minus 16 = 2 elektron felveacuteteleacutevel keacutepes anionnaacute alakulni
A főcsoportokban a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Peacuteldaacuteul egy alumiacuteniumatomroacutel (mely haacuterom vegyeacuterteacutekelektronnal
d) Az arzeacuten (As) a 15 csoportban talaacutelhatoacute vegyeacuterteacutekelektron-konfiguraacutecioacuteja 4s2 4p3 Az arzeacuten
uacutegy tud nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionnaacute alakulni ha lead 5 elektront vagy pedig ha
felvesz 3 elektront
As rarr As5+ + 5eminus
As + 3eminusrarr As3minus
e) A hidrogeacuten egy kicsit kuumlloumlnoumls eset mivel a hozzaacute legkoumlzelebbi nemesgaacutez a heacutelium melynek 2
(vegyeacuterteacutek)elektronja van Iacutegy a hidrogeacutenatom egy elektron eladaacutesaacuteval hidrogeacutenkationnaacute
(tulajdonkeacuteppen protonnaacute 1H+ equiv p+) miacuteg egy elektron felveacuteteleacutevel anionnaacute keacutepes alakulni A
hidrogeacutenből keacutepződő aniont hidridionnak nevezzuumlk (az 1Hminus eseteacuten egy proton keacutet elektronnal)
H rarr H+ + eminus
H + eminusrarr Hminus
Eacuterdemes megjegyezni hogy az atomboacutel elektronfelveacutetellel keacutepződő ion elnevezeacuteseacutenek veacutegeacuten
mindig -id veacutegződeacutes talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul
O2minus oxid
As3minus arzenid
Hminus hidrid
70 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A melleacutekcsoportok eseteacuten nem jellemző hogy az elemek elektronfelveacutetellel anionnaacute alakuljanak
eacutes a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema is kicsit komplikaacuteltabb A 3 oszloptoacutel a 8 oszlopig
az elemekből baacutermely vegyeacuterteacutekelektront el lehet taacutevoliacutetani iacutegy az eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutemaacutenak
maximuma az oszlop sorszaacutemaacuteval azonos Viszont a 9 oszloptoacutel kezdődően a helyzet hasonloacutevaacute vaacutelik
ahhoz mint amit a nemfeacutemekneacutel tapasztaltunk nagyszaacutemuacute elektron eltaacutevoliacutetaacutesa maacuter nem lehetseacuteges
tehaacutet nem lehetseacuteges peacuteldaacuteul 9-szeresen pozitiacutev ion keacutepzeacutese Aniont keacutepezve azonban az aktuaacutelis heacutej
lezaacuteraacutesaacutehoz a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute eleacutereacuteseacutehez az oumlsszes p-elektront is fel kellene toumlltenuumlnk
melyhez igen sok energia szuumlkseacuteges A 9 eacutes 10 oszlopban iacutegy nehezen lehet megjoacutesolni a
maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronszaacutemot A 11 oszlopban toumlbbnyire 1 vagy 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacutera
van lehetőseacuteg miacuteg a 12 oszlopban 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval keacutepezhető kation
A melleacutekcsoportokroacutel aacuteltalaacutenossaacutegban elmondhatoacute hogy itt a főcsoportokhoz keacutepest sokkal toumlbb
Első ionizaacutecioacutes energia vagy első ionizaacutecioacutes potenciaacutel első ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt
az energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy atomboacutel egyszeresen pozitiacutev iont (kationt) hozzunk
leacutetre
Az ionizaacutecioacutes energia az alaacutebbi folyamat energiaszuumlkseacutegleteacutet jelenti
X rarr X+ + eminus
Mindig a leggyengeacutebben koumltoumltt elektront tudjuk legkoumlnnyebben eltaacutevoliacutetani eacutes eacutertelemszerűen
mineacutel erősebben koumltődik egy elektron az atomhoz annaacutel nehezebb eltaacutevoliacutetani azaz annaacutel toumlbb
energiaacutet kell befektetnuumlnk hogy el tudjuk taacutevoliacutetani
A legstabilabb elektronszerkezettel a nemesgaacutezok rendelkeznek (18 oszlop) mivel itt zaacuterul le a
betoumlltődő elektronheacutej A lezaacutert elektronheacutej mindig kiemelkedően stabil ezeacutert a nemesgaacutezok első
ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb egy perioacuteduson beluumll Mivel az alkaacutelifeacutemek ionizaacutelaacutesaacuteval nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute egyszeresen pozitiacutev ion keletkezik ez igen nagy stabilitaacutessal rendelkezik eacutes
az alkaacutelifeacutematom koumlnnyen leadja az egyetlen s vegyeacuterteacutekelektronjaacutet Tehaacutet egy perioacuteduson beluumll az
alkaacutelifeacutemek első ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legkisebb
Az első ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Egy adott perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra noumlvekszik (az alkaacutelifeacutemektől a nemesgaacutezok iraacutenyaacuteba)
az első ionizaacutecioacutes energia eacuterteacuteke
Mineacutel nagyobb egy atom a taacutevolsaacuteg koumlvetkezteacuteben a negatiacutev toumllteacutesű kuumllső elektronjaira annaacutel
keveacutesbeacute hat a pozitiacutev toumllteacutesű atommag vonzaacutesa iacutegy annaacutel koumlnnyebben taacutevoliacutethatoacute el
Iacutegy egy oszlopon beluumll fentről lefeleacute csoumlkken az első ionizaacutecioacutes energia
2651 aacutebra Az ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
1
2
3
4
5
6
7
1 IONIZAacuteCIOacuteS ENERGIA
72 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt az
energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy egyszeresen pozitiacutev ionboacutel keacutetszeresen pozitiacutev iont
hozzunk leacutetre
A maacutesodik ionizaacutecioacutes energia mindig nagyobb mint az első ionizaacutecioacutes energia mivel egy
kationroacutel kell leszakiacutetanunk egy negatiacutev toumllteacutesű elektront mely meacutelyebb energiaacutejuacute paacutelyaacuten van mint az
első eltaacutevoliacutetott elektron
Egy perioacuteduson beluumll az alkaacutelifeacutemek maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb (igen stabil
nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ion elektronszerkezeteacutet bontjuk meg) miacuteg az alkaacutelifoumlldfeacutemekeacute a
legkisebb (a vegyeacuterteacutekheacutejukon maacuter csak egy elektron talaacutelhatoacute ez viszonylag koumlnnyen eltaacutevoliacutethatoacute)
Azaz egy perioacuteduson beluumll a 2 oszloptoacutel a 18 oszlopig nő az ionizaacutecioacutes potenciaacutel aacutem az 1
oszlopban meacuteg enneacutel is nagyobb
Egy oszlopon beluumll a maacutesodik ionizaacutecioacutes potenciaacutel fentről lefeleacute csoumlkken
k-dik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel az energia mely egy elektronnak egy (kminus1)-szeresen
3111 animaacutecioacute Az ionos koumlteacutes kialakulaacutesa
Az ionos koumlteacutes leacutetrejoumlhet egyszerű eacutes oumlsszetett ionok koumlzoumltt
Az egyszerű ionok atomokboacutel keacutepződnek elektron(ok) leadaacutesaacuteval (kationok) vagy elektron(ok)
felveacuteteleacutevel (anionok)
76 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Egyszerű kationok K+ Mg2+ Al3+ Fe3+ Ce4+ stb
Egyszerű anionok Clminus O2minus N3minus Iminus Hminus stb
Az oumlsszetett ionok toumlbb atomboacutel eacutepuumllnek fel eacutes toumllteacutessel rendelkeznek
Oumlsszetett kationok legfontosabb az ammoacuteniumion NH4+
Oumlsszetett anionok NO3minus CO3
2minus PO4
3minus SO4
2minus stb
A tisztaacuten ionos koumlteacutesű vegyuumlletek rendszerint igen elteacuterő elektronegativitaacutesuacute elemekből joumlnnek
leacutetre Toumlbbnyire alkaacutelifeacutem vagy alkaacutelifoumlldfeacutem kationt tartalmaznak eacutes anionjuk aacuteltalaacuteban vagy
oumlsszetett ion vagy a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban talaacutelhatoacute elemek egyszerű anionja
(elsősorban 16 eacutes 17 oszlop)
II) Feacutemes koumlteacutes
Feacutematomok eseteacuten a vegyeacuterteacutekheacutej elektronjai viszonylag gyengeacuten koumltoumlttek A feacutematomokboacutel
pozitiacutev toumllteacutesű ionok keletkeznek a vegyeacuterteacutekelektronok pedig az atomtoumlrzsek koumlzoumltti teacuterben
delokalizaacuteloacutednak
Feacutemes koumlteacutes az egeacutesz kristaacutelyra kiterjedő koumlzoumls elektronfelhő aacuteltal leacutetrehozott keacutemiai kapcsolatot
feacutemes koumlteacutesnek nevezzuumlk
A feacutemes koumlteacutes (nem meglepő moacutedon) feacutematomok koumlzoumltt joumlhet leacutetre A feacutemek elektronegativitaacutesa
rendszerint nem tuacutel nagy ezeacutert a tisztaacuten feacutemes koumlteacutes akkor joumlhet leacutetre ha kicsi az elemek
elektronegativitaacutesa
3112 animaacutecioacute A feacutemes koumlteacutes kialakulaacutesa
III) Kovalens koumlteacutes
Keacutemiai koumlteacutes uacutegy is leacutetrejoumlhet ha az egymaacutes melletti atomok koumlzoumls (uacutegynevezett koumltő)
elektronpaacuteron (vagy elektronpaacuterokon) keresztuumll kapcsoloacutednak oumlssze
Ezt legegyszerűbben egy peacuteldaacuten keresztuumll eacuterthetjuumlk meg Vegyuumlnk keacutet kloacuteratomot Mindkettőnek
az elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ne] 3s2 3p5 ha feacutemes koumlteacutest szeretneacutenk kialakiacutetani koumlzoumlttuumlk 7ndash7 elektront
kellene leadnia mindkettőnek Ez energetikailag rendkiacutevuumll kedvezőtlen Ezeacutert a lezaacutert elektronheacutejat
elektronfelveacutetel uacutetjaacuten lenne ceacutelszerű eleacuterni Termeacuteszetesen a keacutet kloacuteratom elektronegativitaacutesa
ugyanakkora nem joumlhet leacutetre koumlzoumlttuumlk ionos koumlteacutes
A keacutet kloacuteratom koumlzoumltt koumltő elektronpaacuter leacutetesiacuteteacuteseacutevel alakul ki a keacutemiai koumlteacutes a koumltő elektronpaacuter a
keacutet kloacuteratom egyndashegy elektronjaacuteboacutel joumln leacutetre viszont mindkeacutet atomhoz egyaraacutent tartozik Iacutegy mindkeacutet
kloacuteratom koumlruumll 8ndash8 elektron talaacutelhatoacute tehaacutet mindkeacutet kloacuteratom nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacutevaacute
vaacutelik teljesuumll az oktettszabaacutely A folyamatot energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri
Kovalens koumlteacutes A koumlzoumls elektronpaacuterral leacutetesiacutetett koumlteacutest kovalens koumlteacutesnek nevezzuumlk (Az angol
A heteronukleaacuteris koumlteacutes lehet apolaacuteris vagy polaacuteris
Egy koumlteacutes apolaacuterisnak tekinthető ha a keacutet atom elektronegativitaacutesa azonos
Az azonos atomok koumlzoumltti koumlteacutesek apolaacuterisak (Megjegyzeacutes peacuteldaacuteul a szeacutenndashhidrogeacuten-koumlteacutest is
tekinthetjuumlk koumlzel apolaacuterisnak mivel a szeacuten eacutes a hidrogeacuten elektronegativitaacutesa hasonloacute [EN(C) = 25
EN(H) = 21])
A kovalens koumlteacutes polaacuteris ha keacutet olyan atomot koumlt oumlssze melyek elektronegativitaacutesa koumlzoumltt
kuumlloumlnbseacuteg van A polaacuteris kovalens koumlteacutes viszonylag jelentős ionos jelleggel rendelkezik
Peacuteldaacuteul a hidrogeacutenndashkloacuter-koumlteacutes igen polaacuterisnak tekinthető a keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltt jelentős
kuumlloumlnbseacuteg van EN(Cl) = 30 EN(H) = 21
A polaacuteris kovalens koumlteacutesben a nagyobb elektronegativitaacutesuacute atom reacuteszleges negatiacutev toumllteacutesű
(pontosabban negatiacutevan polarizaacutelt) a kisebb elektronegativitaacutesuacute pedig reacuteszben pozitiacutev toumllteacutesű
(pozitiacutevan polarizaacutelt) Egy keacutetatomos molekulaacuteban a keacutet atomra jutoacute uacutegynevezett parciaacutelis toumllteacutes
(reacuteszleges toumllteacutes) nagysaacutega azonos de előjele ellenteacutetes Ezt a koumlvetkezőkeacutepp szoktuk eacuterzeacutekeltetni a
molekula keacutepleteacuteben
H Cl() ()
A hidrogeacuten-klorid molekulaacuteban a toumllteacutesek nem egyenletesen oszlanak el Az ilyen molekulaacutekat
dipoacutelusmolekulaacuteknak nevezzuumlk
A koumlteacutes polarizaacuteltsaacutega vektormennyiseacuteg nyiacutellal szoktuk jeloumllni A dipoacutelusvektor a pozitiacutev
toumllteacutesből mutat a negatiacutev toumllteacutes feleacute Azt hogy egy molekula dipoacutelusmolekula-e a dipoacutelusvektorok
eredője hataacuterozza meg
Dipoacutelusmolekula olyan molekula melyben vannak polaacuteris koumlteacutesek eacutes a koumlteacutesek
dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus
Apolaacuteris molekula csak apolaacuteris koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula vagy olyan molekula melyben
a polaacuteris koumlteacutesek uacutegy helyezkednek el hogy dipoacutelusvektorainak oumlsszege zeacuterus legyen
78 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A keacutetatomos molekula akkor dipoacutelusos hogyha a koumlteacutes polaacuteris Toumlbbatomos molekulaacutek eseteacuten a
molekula szerkezete is fontos szerepet jaacutetszik annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy a molekula dipoacutelusmolekula-
e Ezzel a molekulaacutek szerkezete kapcsaacuten reacuteszletesen foglalkozunk majd (ennek a fejezetnek a veacutegeacuten)
Az előzőekben megismerkedtuumlnk a haacuterom legfontosabb koumlteacutestiacutepussal Ezen koumlteacutesek igen erősek
ezeacutert szokaacutes elsőrendű koumlteacuteseknek nevezni őket
Az elsőrendű koumlteacutesek
ndash ionos koumlteacutes
ndash feacutemes koumlteacutes
ndash kovalens koumlteacutes
Az elektronegativitaacutes eacutes a koumlteacutesjelleg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes
A haacuterom alaptiacutepus taacutergyalaacutesaacutenaacutel megemliacutetettuumlk hogy az adott koumlteacutestiacutepus rendszerint milyen
elemek koumlzoumltt joumln leacutetre Ezeket oumlsszefoglalva
ndash tisztaacuten ionos koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha az elemek elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg nagy
ndash tisztaacuten feacutemes koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesa hasonloacute (kicsi az elektronegativitaacutesok
kuumlloumlnbseacutege) eacutes mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa kis eacuterteacutekű
ndash tisztaacuten kovalens koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesai nem tuacutelzottan kuumlloumlnboumlzőek eacutes
mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa nagy
A perioacutedusos rendszerből tetszőleges keacutet elemet kivaacutelasztva a koumlzoumlttuumlk leacutetesuumllő koumlteacutest gyakran
nem tudjuk besorolni a fentiek alapjaacuten egyik koumlteacutestiacutepusba sem Fontos hangsuacutelyozni hogy az aacutetmenet
gyakorlatilag folytonos baacutermelyik keacutet elsőrendű koumlteacutes koumlzoumltt Iacutegy gyakran előfordul hogy keacutet
atom koumlzoumltti koumlteacutest nem lehet tisztaacuten ionos feacutemes vagy kovalens koumlteacuteskeacutent leiacuterni A fent taacutergyalt
polaacuteris kovalens koumlteacutes peacuteldaacuteul aacutetmenet a kovalens eacutes az ionos koumlteacutes koumlzoumltt
Legyen A eacutes B keacutet tetszőleges elem A keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg eacutes a keacutet
atom elektronegativitaacutesaacutenak oumlsszege segiacutethet annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy milyen tiacutepusuacute elsőrendű koumlteacutes
joumlhet leacutetre a keacutet elem atomjai koumlzoumltt
A koumlvetkező oumlkoumllszabaacutelyokat alkalmazhatjuk
Ha ∆EN(AB) nagy eacuterteacutek (jellemzően 20 foumlloumltt) a koumlteacutes ionos jellege nagy
Ha ∆EN(AB) kicsi eacuterteacutek (jellemzően 15 alatt) akkor a koumlteacutes lehet kovalens vagy feacutemes
Ha sumEN(AB) nagy (jellemzően 40 felett) akkor a koumlteacutes kovalensnek tekinthető
Ha sumEN(AB) kicsi (jellemzően 30 alatt) akkor a koumlteacutes feacutemes jellegűnek tekinthető
Pauling szerint ∆EN(AB) = 15hellip2 eseteacuten az A eacutes B atomok koumlzoumltti koumlteacutes nagyjaacuteboacutel fele-fele
meacuterteacutekben ionos eacutes kovalens jellegű
A stabilan előaacutelliacutethatoacute elemek koumlzuumll a ceacutezium elektronegativitaacutesa a legkisebb 08 (enneacutel csupaacuten a
csak radioaktiacutev izotoacutepokkal rendelkező francium elektronegativitaacutesa kisebb 07) a fluor
elektronegativitaacutesa pedig a legnagyobb (40) Ezen elemekből megalkothatjuk a toumlkeacuteletes ionos feacutemes
eacutes kovalens koumlteacuteseket
∆EN(AB) Cs F sumEN(AB) Cs F
Cs 00 32 Cs 16 48
F 32 00 F 48 80
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 79
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha aacutebraacutezoljuk a ∆EN(AB) fuumlggveacutenyeacuteben sumEN(AB) eacuterteacutekeit egy haacuteromszoumlg haacuterom csuacutecsaacutet
kapjuk
311 aacutebra A koumlteacutes jellege eacutes az elektronegativitaacutes
Baacutermely maacutes elem elektronegativitaacutesa a ceacutezium eacutes a fluor koumlzeacute esik iacutegy a fenti aacutebraacuten baacutermely keacutet
elem koumlzoumltti koumlteacutest feltuumlntethetjuumlk az elektronegativitaacutesaik ismereteacuteben
3112 aacutebra Peacuteldaacutek aacutetmeneti jellegű koumlteacutesekre
80 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint a fenti aacutebraacuten laacutethatoacute neacutehaacuteny vegyuumlletet igen neheacutez a haacuterom elsőrendű koumlteacutes valamelyikeacutebe
besorolni Ilyen peacuteldaacuteul a vas(II)-szulfid (FeS) sziliacutecium-dioxid (SiO2) vagy az ezuumlst-klorid (AgCl) A
keacutemiai koumlteacutesek ezen vegyuumlletekben nem tekinthetők ionosnak jelentős a kovalens jelleguumlk
A fenti aacutebra alapjaacuten a kovalens koumlteacutes az elemi oxigeacutenben (O2) eacutes a keacutenmolekulaacuteban (S8) apolaacuteris
miacuteg a nitrogeacuten-monoxidban (NO) eacutes a keacutet kuumlloumlnboumlző halogeacutenatomot tartalmazoacute broacutem-fluoridban
(BrF) polaacuteris
A reacutez-cink oumltvoumlzetben (CuZn) eacutes a magneacutezium-szilicidben (Mg2Si egy oumltvoumlzeacutesre hasznaacutelt
vegyuumllet) a koumlteacutes feacutemesnek tekinthető Termeacuteszetesen a feacutem alumiacuteniumban is feacutemes a koumlteacutes
A liacutetium-fluorid (LiF) a kalcium-oxid (CaO) eacutes az alumiacutenium-oxid (Al2O3) ionos koumlteacutesű
vegyuumlletek az utoacutebbiban viszonylag jelentős kovalens jelleg is megaacutellapiacutethatoacute
A fentiek alapjaacuten belaacutethatoacute hogy a keacutemiai koumlteacutes ionos feacutemes illetve kovalens jellege elsősorban
az koumlteacutest leacutetesiacutető elemek elektronegativitaacutesaacutetoacutel fuumlgg Fontos megjegyezni hogy a keacutemiai koumlteacutes
gyakran nem iacuterthatoacute le egyfeacutele koumlteacutestiacutepussal hanem toumlbb tiacutepus tulajdonsaacutegait oumltvoumlzi
Sokatomos molekulaacutek
Az oktett szabaacutelyt termeacuteszetesen a kettőneacutel toumlbb atomos molekulaacutek is koumlvetik aacuteltalaacuteban
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a metaacutenmolekulaacutet A metaacuten keacuteplete CH4 azaz egy molekulaacutejaacuteban neacutegy
hidrogeacutenatom eacutes egy szeacutenatom talaacutelhatoacute A szeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p2 tehaacutet neacutegy
vegyeacuterteacutekelektronja van miacuteg a hidrogeacutenek egyndashegy elektronnal rendelkeznek A szeacutenatom
elektronoktettet (8 elektron a kuumllső heacutejon) szeretne leacutetrehozni a hidrogeacuteneknek pedig a heacuteliumhoz
hasonloacute 2 elektronos elektronszerkezet a kedvező
Ha a szeacuten koumlreacute rendeződik a neacutegy hidrogeacutenatom neacutegy kovalens koumlteacutes alakul ki Minden hidrogeacuten
koumlrnyezeteacuteben iacutegy 2ndash2 elektron talaacutelhatoacute (piros koumlroumlkkel jeloumllve) miacuteg a neacutegy (koumlzoumls) elektronpaacuter a
szeacuten szaacutemaacutera biztosiacutetja a nyolc vegyeacuterteacutekelektront (piros neacutegyzettel jeloumllve)
3113 aacutebra Az oktettszabaacutely
Most pedig vizsgaacuteljuk meg hogyan neacutez ki a metaacutenhoz hasonloacute nitrogeacutenvegyuumlletet
elektronszerkezete
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p3 azaz 5 vegyeacuterteacutekelektronja van A nitrogeacuten 8
elektronos vegyeacuterteacutekheacutej eleacutereacuteseacutere toumlrekszik (oktettszabaacutely) ehhez 3 elektronra van meacuteg szuumlkseacutege A
haacuterom elektront haacuterom hidrogeacuten szolgaacuteltatja iacutegy a keletkező molekula keacuteplete NH3 Iacutegy a nitrogeacuten eacutes
a hidrogeacutenek is eleacuterteacutek a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet Haacuterom koumltő elektronpaacuter joumln leacutetre azaz a
nitrogeacuten oumlsszesen 3 elektronjaacutet adja a koumlteacutesekbe a maradeacutek 2 elektronja pedig csak a nitrogeacutenhez
kapcsoloacutedik Az ilyen elektronpaacutert magaacutenos (vagy nemkoumltő) elektronpaacuternak nevezzuumlk A koraacutebban
taacutergyalt kloacutermolekula eseteacuteben mindkeacutet kloacuteratom 3ndash3 magaacutenos elektronpaacuterral rendelkezik
Magaacutenos elektronpaacuter olyan vegyeacuterteacutek-elektronpaacuter mely a kovalens koumlteacutest alkotoacute keacutet atom
koumlzuumll csak az egyikhez tartozik Egy atomon akaacuter toumlbb magaacutenos elektronpaacuter is lehetseacuteges
A kovalens koumlteacutes jellemzői
Koumlteacutesi energia egy koumlteacutes felszakiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges energia az az energia melyet be kell
fektetni hogy a koumlteacutest leacutetesiacutető atomokat veacutegtelen taacutevolsaacutegba taacutevoliacutetsuk (Eacutertelemszerűen ugyanekkora
energia szabadul fel mikor a keacutet atom veacutegtelen taacutevolsaacutegboacutel kiindulva leacutetrehozza a koumlteacutest) Aacuteltalaacuteban
CH H
H
H
CH H
H
H
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 81
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Jmol (kJmol) meacuterteacutekegyseacutegben adjuk meg eacuterteacutekeacutet aacutem gyakran hasznaacutelt ndash nem SI ndash meacuterteacutekegyseacuteg a
kcalmol 1 kcalmol = 418 kJmol
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
A koumlteacutestaacutevolsaacutegok rendszerint neacutehaacutenyszor 10minus10 meacuteter nagysaacutegrendűek termeacuteszetesen a koumlteacutest
leacutetesiacutető atomok rendszaacutemaacutetoacutel fuumlggően Gyakran hasznaacuteljuk az angstroumlm vagy aringngstroumlm
meacuterteacutekegyseacuteget (roumlvidiacutetve Aring) melynek eacuterteacuteke 10minus10 meacuteter
(Megjegyzeacutes az atomtaacutevolsaacuteg baacutermely keacutet atom taacutevolsaacutegaacutet jelentheti ha a koumlteacutestaacutevolsaacuteg
kifejezeacutest hasznaacuteljuk akkor a keacutet atom koumlzoumltt keacutemiai koumlteacutes talaacutelhatoacute)
A koumlteacuteshossz fuumlgg az atomok meacutereteacutetől eacutes az őket oumlsszetartoacute koumlteacutes erősseacutegeacutetől Peacuteldaacuteul a kovalens
koumlteacutes a fluormolekulaacuteban (FminusF) roumlvidebb mint egy kloacutermolekulaacuteban (ClminusCl) mivel a kloacuteratomok
joacuteval nagyobbak a fluoratomoknaacutel Ennek megfelelően a halogeacutenmolekulaacutek koumlzoumltt a fluormolekula
koumlteacuteshossza a legroumlvidebb enneacutel nagyobb a kloacutermolekulaacuteeacute majd sorrendben a broacutemmolekula (BrminusBr)
eacutes joacutedmolekula (IminusI) koumlvetkezik oumlsszhangban a halogeacutenatomok meacutereteacutevel
Adott keacutet atom (peacuteldaacuteul keacutet szeacutenatom) melyek koumlzoumltt mineacutel roumlvidebb a koumlteacuteshossz annaacutel
erősebbnek tekinthető a koumlteacutes Tehaacutet a koumlteacutes erősseacutegeacutere a koumlteacuteshosszboacutel is nyerhetuumlnk informaacutecioacutet
Fontos azonban hogy mindig azonos fajta koumlteacuteseket hasonliacutetsunk oumlssze peacuteldaacuteul egy CminusC eacutes egy CminusH
koumlteacutes hosszaacutet oumlsszehasonliacutetva azok erősseacutegeacutet nem lehet pontosan megbecsuumllni mivel a koumlteacutest alkotoacute
atomok atomsugaraacutenak is hataacutesa van a koumlteacuteshosszra
Toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek
Bizonyos esetekben az elektronoktett kialakiacutetaacutesaacutehoz nem elegendő egyetlen koumltő elektronpaacuter
Ezt ismeacutet egy peacuteldaacuten keresztuumll ceacutelszerű megvizsgaacutelni
Az elemi nitrogeacuten molekulaacuteris formaacuteban fordul elő a termeacuteszetben A nitrogeacuten
elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p
3 a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema 5 Keacutet nitrogeacutenatomboacutel egy
nitrogeacutenmolekula keletkezik melynek oumlsszesen 2 middot 5 = 10 elektronja van a lezaacutert heacutejakon kiacutevuumll Mint
fentebb laacutettuk a kloacutermolekula eseteacuten 14 elektronboacutel tudtuk kialakiacutetani a keacutet elektronoktettet Viszont a
nitrogeacuten eseteacuten nem aacutell rendelkezeacutesre ennyi elektron
Mi toumlrteacutenik ha a keacutet nitrogeacutenatom nem egyndashegy hanem keacutetndashkeacutet elektronjaacuteval leacutetesiacutet koumlteacutest
Ekkor mindkeacutet nitrogeacutenatom koumlruumll 5 + 2 = 7 vegyeacuterteacutekelektron van (eleve volt 5 a maacutesik nitrogeacutentől
pedig 2-t kapott) iacutegy nem teljesuumll az oktettelv
Most vizsgaacuteljuk meg hogy mi vaacuteltozik ha mindkeacutet nitrogeacuten haacuteromndashhaacuterom elektront szolgaacuteltat a
koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacutehoz Ekkorra mindkeacutet nitrogeacuten koumlruumll eacuteppen 8 elektron talaacutelhatoacute azaz megfelel az
oktettszabaacutelynak Ha mindkeacutet nitrogeacuten 3ndash3 elektronnal leacutetesiacutet koumlteacutest oumlsszesen 6 elektron talaacutelhatoacute a
keacutet nitrogeacutenatom koumlzoumltt A 6 elektronboacutel 3 elektronpaacutert tudunk leacutetrehozni a nitrogeacutenek keacutetndashkeacutet
elektronja pedig egyndashegy magaacutenos elektronpaacutert alkot Mivel az elektronpaacutert egy vonallal szokaacutes
jeloumllni a nitrogeacutenmolekula szerkezeteacutet az alaacutebbi formaacuteban szoktuk feliacuterni
| N equiv N |
Az iacutegy keletkezett koumlteacutest haacutermas koumlteacutesnek nevezzuumlk Termeacuteszetesen ennek mintaacutejaacutera leacutetezik
kettős koumlteacutes is
Kettős koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely keacutet koumltő elektronpaacuteron keresztuumll koumlti oumlssze a keacutet
atomot
Haacutermas koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely haacuterom koumltő elektronpaacuteron keresztuumll leacutetesiacutet kapcsolatot
a keacutet atom koumlzoumltt
Az elmeacuteleti szaacutemiacutetaacutesok eacutes kiacuteseacuterletek alapjaacuten a kettős koumlteacutes joacuteval erősebb mint az egyes koumlteacutes aacutem
a kettős koumlteacutes koumlteacutesi energiaacuteja aacuteltalaacuteban nem keacutetszerese az egyes koumlteacuteseacutenek hanem kisebb annaacutel
82 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hasonloacutean a haacutermas koumlteacutes is rendszerint erősebb mint egy egyes vagy kettős koumlteacutes aacutem nem
haacuteromszor olyan erős mint egy egyes koumlteacutes
Mivel a koumlteacutesek erősseacutegeacutet a koumlteacutesenergiaacuteval szoktuk jellemezni neacutezzuumlk meg az CminusC C=C eacutes
A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja 610 kJmol minus 347 kJmol = 263 kJmol miacuteg
a szeacutenndashszeacuten haacutermas koumlteacutes bdquoharmadik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja a haacutermas eacutes kettős koumlteacutes koumlteacutesi
energiaacutejaacutenak a kuumlloumlnbseacutegekeacutent adoacutedik 836 kJmol minus 610 kJmol = 226 kJmol
Ennek magyaraacutezataacutehoz meg kell ismerkednuumlnk a molekulapaacutelya fogalmaacuteval
Molekulapaacutelya az a teacuterreacutesz melyen beluumll 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute az elektron Az
atompaacutelyaacutehoz hasonloacutean egy molekulapaacutelyaacutera is maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet A koumltő
elektronpaacuterokat tehaacutet molekulapaacutelyaacutekkal jeleniacutethetjuumlk meg
Teacuterjuumlnk vissza tehaacutet az egyes kettős eacutes haacutermas koumlteacutesek elteacuterő erősseacutege kuumlloumlnbseacutegeacutenek
eacutertelmezeacuteseacutehez Az egyes koumlteacutesnek megfelelő elektronok a keacutet atom koumlzoumltt tengelyiraacutenyban
helyezkednek el egy hengerszimmetrikus molekulapaacutelyaacuten A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodikrdquo elektronpaacuterja maacuter
nem keruumllhet ugyanebbe a teacuterreacuteszbe hanem bdquopiskoacuteta alakbanrdquo az etileacutenmolekula siacutekja alatt eacutes foumlloumltt
helyezkedik el Mivel ezek az elektronok maacuter nem a keacutet atomot oumlsszekoumltő tengely menteacuten
helyezkednek el a koumlteacutes gyengeacutebb mint az egyszeres koumlteacutes
A σ-koumlteacutes eacutes π-koumlteacutes
Az egyszeres koumlteacutest ζ (szigma) koumlteacutesnek hiacutevjuk a maacutesodik eacutes harmadik koumlteacuteseket pedig π (piacute)
koumlteacuteseknek nevezzuumlk
Most vizsgaacuteljuk meg hogyan alakulhat ki ζ-koumlteacutes illetve π-koumlteacutes
A hidrogeacutenatomnak egyetlen elektronja van mely a goumlmbszimmetrikus 1s paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Keacutet
hidrogeacutenatomot koumlzeliacutetve egymaacuteshoz a keacutet atompaacutelyaacuteboacutel keacutet molekulapaacutelya joumln leacutetre Az egyikre keacutet
elektron keruumll miacuteg a maacutesik betoumlltetlen marad (az elsőt szokaacutes koumltőpaacutelyaacutenak a maacutesikat pedig
laziacutetoacutepaacutelyaacutenak nevezni) A keacutetszeresen betoumlltoumltt paacutelya hengerszimmetrikus az ilyet nevezzuumlk ζ-
koumlteacutesnek
3114 aacutebra A σ-koumlteacutes
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a hidrogeacuten-klorid-molekula kialakulaacutesaacutet A kloacuteratomnak 7
vegyeacuterteacutekelektronja van 3s2 3p5 azaz a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll kettő keacutetszeresen betoumlltoumltt miacuteg a
harmadik csak egyszeresen Iacutegy a hidrogeacuten 1s-paacutelyaacutejaacuteboacutel eacutes a kloacuter egyik 3p-paacutelyaacutejaacuteboacutel joumlnnek leacutetre a
molekulapaacutelyaacutek
Ismeacutet egy hengerszimmetrikus ζ-paacutelya joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 83
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A fent megismert ζ-koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak peacuteldaacuteul a teliacutetett szeacutenhidrogeacutenekben is melyeknek igen
fontos jellemzőjuumlk hogy a hengerszimmetrikus koumlteacutesek tengelye menteacuten a csoportok el tudnak
fordulni egymaacuteshoz keacutepest viszonylag kis energiabefekteteacutes hataacutesaacutera iacutegy az ilyen vegyuumlletekben a ζ-
koumlteacutestengely koumlruumlli forgaacutes (rotaacutecioacute) igen koumlnnyen veacutegbemegy
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek kialakulaacutesaacutet Vegyuumlk peacuteldaacuteul a
nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesaacutet
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja 2s2 2p3 A haacuterom p-elektron a haacuterom kuumlloumlnboumlző teacuteraacutellaacutesuacute p-
3115 aacutebra A nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesa
A keacutet px-paacutelyaacuteboacutel leacutetrejoumln a ζ-koumlteacutes
3116 aacutebra A nitrogeacutenmolekula σ-koumlteacutese
Viszont ha a px-paacutelyaacutekboacutel kialakul a ζ-koumlteacutes a py- eacutes pz-paacutelyaacutekboacutel maacuter nem joumlhet leacutetre ζ-koumlteacutes
Ezzel ellenben π-koumlteacutesek joumlnnek leacutetre
3117 aacutebra A nitrogeacutenmolekula π-koumlteacutesei
A keacutet π-koumlteacutesnek van egy-egy csomoacutesiacutekja (ahol az elektronok megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege 0) ez a
keacutet csomoacutesiacutek egymaacutesra merőleges A nitrogeacuten eseteacuteben a keacutet π-koumlteacutes teljesen egyforma meacuteretű eacutes
A koumltő elektronpaacuter keacutetfeacutelekeacuteppen joumlhet leacutetre vagy mindkeacutet atom ad egy-egy (vagy toumlbb)
elektront vagy csak az egyik atomtoacutel szaacutermazik a koumltő elektronpaacuter
Kolligaacutecioacutes koumlteacutes mindkeacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom hozzaacutejaacuterul elektronnal (elektronokkal) a koumlteacuteshez
A fentebb taacutergyalt koumlteacutesek mindegyike kolligaacutecioacutes koumlteacutes akaacuter a kloacutermolekula akaacuter a
nitrogeacutenmolekula leacutetrejoumltteacuteről van szoacute
Datiacutev vagy koordinaacutecioacutes koumlteacutes a keacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom koumlzuumll az egyik atom egy teljes
elektronpaacuterral jaacuterul hozzaacute a koumlteacuteshez (ez az elektronpaacuter donor atom) miacuteg a maacutesik atom nem
szolgaacuteltat elektront a koumlteacuteshez (ezt elektronpaacuter-akceptor atomnak nevezzuumlk)
(datiacutev a dativus latin szoacuteboacutel melynek jelenteacutese adaacutes)
A datiacutev koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez szuumlkseacuteges hogy az egyik atomnak legye magaacutenos (nemkoumltő)
elektronpaacuterja a maacutesik atom pedig legyen bdquoelektronhiaacutenyosrdquo Az elektronhiaacuteny akkor leacutep fel ha nem
teljesuumll az oktettszabaacutely
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a boacuter-trifluorid (BF3) molekulaacutet A haacuterom fluoratom egy-egy elektront ad a
kovalens koumlteacutesbe a boacuter ([He] 2s2 2p1) pedig 3 elektronnal tud koumlteacutest leacutetesiacuteteni iacutegy a boacuter koumlruumll haacuterom
koumltő elektronpaacuter helyezkedik el azaz a boacuter vegyeacuterteacutekheacutejaacuten csak hat elektron talaacutelhatoacute A boacuter-trifluorid
molekula siacutek szerkezetű mind a neacutegy atom egy siacutekban van eacutes a boacuteratomnak van egy uumlres p-paacutelyaacuteja
Az uumlres paacutelyaacutek elektronpaacuter-akceptorkeacutent viselkedhetnek
Most keressuumlnk egy elektronpaacuterdonor molekulaacutet Peacuteldaacuteul a fentebb megismert ammoacuteniamolekula
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral iacutegy elektronpaacuterdonornak tekinthető
Mi toumlrteacutenik ha koumlzeledik egymaacuteshoz egy ammoacutenia- eacutes egy boacuter-trifluorid molekula Az
ammoacuteniamolekula nitrogeacutenatomja a magaacutenos paacuterjaacutet bdquokoumllcsoumlnadjardquo a boacuternak iacutegy annak leacutetrejoumln az
elektronoktettje A nitrogeacuten a magaacutenos paacuterjaacutet nem adja aacutet teljesen a boacuternak hanem az a keacutet atom
koumlzoumltt elhelyezkedő elektronpaacuterraacute alakul Iacutegy a nitrogeacutennek is megmarad az elektronoktettje Az iacutegy
leacutetrejoumlvő datiacutev koumlteacutes olyan mint egy hagyomaacutenyos kovalens koumlteacutes a kuumlloumlnbseacuteg csak abban van hogy
a datiacutev koumlteacutes eseteacuten mindkeacutet elektront ugyanaz az atom adja A kialakuloacute datiacutev koumlteacutes kialakulaacutesaacutenak az
a hajtoacuteereje hogy a boacuteratom elektronhiaacutenya csoumlkkenjen (iacutegy teljesuumll az oktettszabaacutely)
A datiacutev koumlteacutest aacuteltalaacuteban vonal helyett nyiacutellal szoktuk jeloumllni A nyiacutel az elektronpaacuterdonor atomtoacutel
mutat az elektronpaacuter-akceptor atom feleacute
N B
H
HH F
FF
Termeacuteszetesen nemcsak az ammoacutenia nitrogeacutenje lehet elektronpaacuter-donor akaacuter ionok is adhatnak
elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesbe Peacuteldaacuteul a fluoridionnak (Fminus) is van 4 magaacutenos elektronpaacuterja
Mi toumlrteacutenik ha egy boacuter-trifluorid molekulaacutet eacutes egy fluoridiont koumlzeliacutetuumlnk egymaacuteshoz A
fluoridion egyik magaacutenos paacuterja datiacutev koumlteacutest leacutetesiacutet a boacutertrifluorid boacuteratomjaacuteval Egy anion keletkezik
melyben a neacutegy fluor egy boacuteratomot vesz koumlruumll
B
F
FF
F
A keletkező igen nagy stabilitaacutesuacute ion neve tetrafluoroboraacutet-anion Benne a neacutegy fluor-boacuter koumlteacutes
teljesen egyenranguacute nem lehet megkuumlloumlnboumlztetni a kolligaacutecioacutes elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesből
szaacutermazoacutetoacutel Mind a neacutegy fluoratom mind a boacuteratom eseteacuten teljesuumll az oktettszabaacutely (mindegyik atom
koumlruumll neacutegy elektronpaacuter talaacutelhatoacute) A negatiacutev toumllteacutes megoszlik a neacutegy fluoratomon egyiknek sincs
kituumlntetett szerepe
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 85
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Datiacutev koumlteacutes nemcsak keacutet kuumlloumlnaacutelloacute molekula vagy ion koumlzoumltt joumlhet leacutetre erre peacutelda a szeacuten-
monoxid molekula
A szeacuten-monoxidot feliacuterhatjuk uacutegy hogy kettős koumlteacutest iacuterunk a szeacuten- eacutes oxigeacutenatom koumlzeacute
C O
Mint laacutethatoacute az oxigeacutenatom koumlruumll neacutegy elektronpaacuter van iacutegy ez megfelel az oktettszabaacutelynak
Viszont a szeacutenatom koumlruumll csak hat elektron (3 elektronpaacuter) talaacutelhatoacute iacutegy elektronhiaacutenyos Az oxigeacuten a
keacutet elektronpaacuterja koumlzuumll az egyikkel datiacutev koumlteacutest tud leacutetesiacuteteni iacutegy haacutermas koumlteacutes alakul ki
C O
Az oxigeacuten az elektronpaacuterdonor a szeacuten pedig az elektronpaacuter-akceptor Ha oumlsszeszaacutemoljuk az
elektronokat a szeacuten eacutes az oxigeacuten koumlruumll azt tapasztaljuk hogy mindkeacutet elem eseteacuten teljesuumll az oktettelv
Eacuterdemes megjegyezni hogy a szeacuten-monoxidban a koumlteacutes gyakorlatilag apolaacuteris ami meglepő ha
belegondolunk hogy a szeacuten eacutes az oxigeacuten elektronegativitaacutesa koumlzoumltt mintegy egyseacutegnyi a kuumlloumlnbseacuteg
[EN(O) = 34 EN(C) = 25] Tehaacutet a koumlteacutesnek polaacuterisnak kellene lennie az elektronegativitaacutesok
alapjaacuten az oxigeacutenen kellene lennie az elektrontoumlbbletnek Mivel az oxigeacuten elektront (negatiacutev toumllteacutes) ad
be a datiacutev koumlteacutesbe a koumlteacutes polaritaacutesa csoumlkken Ebből nyilvaacutenvaloacutevaacute vaacutelik az is hogy az
elektronegativitaacutesok alapjaacuten nem mindig lehet egyeacutertelműen eldoumlnteni hogy egy koumlteacutes mennyire
polaacuteris
Delokalizaacutelt elektronok
Delokalizaacutecioacute ha egy elektron nem rendelhető egyeacutertelműen egy adott atomhoz vagy keacutemiai
koumlteacuteshez az elektront delokalizaacuteltnak tekintjuumlk
A latin eredetű szoacute jelenteacutese nem helyhez koumltoumltt A lokalizaacutelt (bdquohelyhez koumltoumlttrdquo) koumlteacutes joacutel
meghataacuterozottan keacutet atom koumlzoumltt helyezkedik el
Akkor joumln leacutetre delokalizaacutecioacute ha egy molekulapaacutelya kettőneacutel toumlbb atomra terjed ki
Koumlvetkezzen egy peacutelda delokalizaacutelt elektronszerkezetre
A benzol keacuteplete C6H6 siacutek szerkezetű molekulaacutejaacuteban a szeacutenatomok egy szabaacutelyos hatszoumlg
csuacutecsaiban talaacutelhatoacutek Az oktettelv teljesuumlleacutese ceacuteljaacuteboacutel a szeacutenatomok koumlzeacute vaacuteltakozva egyes eacutes kettős
koumlteacuteseket kellene berajzolnunk (oumlsszesen hat ζ- eacutes haacuterom π-koumlteacutes)
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
Mint koraacutebban emliacutetettuumlk a kettős koumlteacutes hossza roumlvidebb az egyes koumlteacuteseacuteneacutel iacutegy a benzol eseteacuten
is vaacuteltakozoacute hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket kellene kapnunk A kiacuteseacuterleti vizsgaacutelatok azonban ndash ezek alapjaacuten
kisseacute meglepő moacutedon ndash a szeacutenatomok koumlzoumltt azonos hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket aacutellapiacutetottak meg Ez azt
sejteti hogy a szeacutenatomok koumlzoumltti koumlteacutes nem tekinthető sem egyes sem kettős koumlteacutesnek hanem
valahol a kettő koumlzoumltt van A benzol 3 middot 2 = 6 π-elektronja delokalizaacuteloacutedik a hat szeacutenatom foumlloumltt Ennek
megjeleniacuteteacuteseacutere gyakran alkalmazzuk az alaacutebbi keacutepletjeloumlleacutest (a karika a hat delokalizaacuteloacutedott elektront
jeleniacuteti meg)
86 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
31 peacutelda
Iacuterjuk fel a koumlvetkező molekulaacutek elektronszerkezeteacutet
a) hidrogeacuten-klorid (HCl)
b) viacutez (H2O)
c) etileacuten (H2CCH2)
d) acetileacuten (HCCH)
e) szeacuten-dioxid (CO2)
f) keacuten-dioxid (SO2)
g) keacuten-trioxid (SO3)
h) ammoacuteniumion (NH4+)
Megoldaacutes
a) A hidrogeacuten-kloridban egy koumltő elektronpaacuteron keresztuumll joumln leacutetre a kovalens koumlteacutes a
kloacuteratomnak pedig van haacuterom magaacutenos elektronpaacuterja
H Cl
Mivel a hidrogeacuten eacutes a kloacuter elektronegativitaacutesa jelentősen elteacuterő [EN(H) = 21 EN(C) = 31] a
koumlteacutes polaacuteris kovalens koumlteacutesnek tekinthető
b) A viacutezmolekulaacuteban az oxigeacuten hat vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel kettőt bead a keacutet egyes koumlteacutesbe iacutegy a
dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha a megfelelő toumllteacutesek uacutegy rendeződnek hogy koumlzoumlttuumlk a
legnagyobb stabilizaacutecioacute joumlhessen leacutetre Ezt orientaacutecioacutes hataacutesnak (effektusnak) nevezzuumlk
3121 aacutebra A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesaacutet megfigyelhetjuumlk a koumlvetkező animaacutecioacuten
3121 animaacutecioacute A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Hidrogeacutenkoumlteacutes (vagy hidrogeacutenhiacutedkoumlteacutes) olyan molekulaacutek koumlzoumltt joumln leacutetre melyekben a
hidrogeacutenatom egy kiemelkedően nagy elektronegativitaacutesuacute atomjaacutehoz kapcsoloacutedik
A hidrogeacutenkoumlteacutes az aacutetlagos dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel erősebb a legerősebb maacutesodrendű koumlteacutes A
hidrogeacutenkoumlteacutes leacutetrejoumltteacutenek felteacutetele hogy a keacutet atom elektronegativitaacutesa koumlzoumltt nagy kuumlloumlnbseacuteg
legyen Aacuteltalaacuteban akkor szaacutemiacutethatunk hidrogeacutenkoumlteacutes kialakulaacutesaacutera ha a hidrogeacutenatom oxigeacutenhez
nitrogeacutenhez vagy fluorhoz kapcsoloacutedik A hidrogeacutenkoumlteacutes rendkiacutevuumll fontos oumlsszetartoacute erő megtalaacutelhatoacute
szaacutemos termeacuteszetes vegyuumlletben
A viacutez az egyik legfontosabb vegyuumllet melynek molekulaacutei koumlzoumltt hidrogeacutenkoumlteacutes talaacutelhatoacute
O
H
H
H O
H
H
O H
()
()
()
()
()
()
()
()
()
3122 aacutebra A hidrogeacutenkoumlteacutes
Dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumllcsoumlnhataacutes egy dipoacutelusmolekula eacutes egy apolaacuteris molekula koumlzoumltt
leacutetrejoumlvő oumlsszetartoacute erő
A dipoacutelusmolekula kismeacuterteacutekű toumllteacutesmegoszlaacutest okoz a koumlzeleacuteben talaacutelhatoacute apolaacuteris molekulaacuteban
ezt indukaacutelt polarizaacutecioacutenak nevezzuumlk A dipoacutelusmolekula eacutes az indukaacutelt polaritaacutessal rendelkező
molekula koumlzoumltt iacutegy elektrosztatikus vonzaacutes joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 89
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
3123 aacutebra A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes gyengeacutebb a dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel mivel az apolaacuteris molekula
csak igen kismeacuterteacutekben tud polarizaacuteloacutedni
3122 animaacutecioacute A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes az apolaacuteris molekulaacutekat oumlsszetartoacute gyenge koumllcsoumlnhataacutes
A diszperzioacutes koumlteacutest szoktaacutek London-koumllcsoumlnhataacutesnak is nevezni
A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes alapja hogy egy molekula (vagy atom) elektronjai folyamatos
veacuteletlenszerű (rezgő) mozgaacutest veacutegeznek iacutegy meacuteg az apolaacuteris molekulaacutekban is leacutetrejoumln kismeacuterteacutekű
polarizaacutecioacute Az iacutegy leacutetrejoumltt pillanatszerű polarizaacuteltsaacuteg a szomszeacutedos apolaacuteris molekulaacutet polarizaacutelja
(hasonloacutean a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez) Tehaacutet oumlnmagaacuteban az apolaacuteris molekulaacutek
eseteacuten is leacutetrejoumlhet pillanatszerű aszimmetrikus toumllteacuteseloszlaacutes indukaacutelt polarizaacutecioacute (megjegyzeacutes az
apolaacuteris jelleg viszont időben kiaacutetlagoloacutedik eacutes iacutegy oumlsszesseacutegeacuteben nem tapasztalunk dipoacutelusjelleget) A
keletkezett gyengeacuten polarizaacutelt molekulaacutek koumlzoumltt elektrosztatikus vonzoacuteerő joumln leacutetre melynek
eredmeacutenye a gyenge diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
3124 aacutebra A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
A maacutesodrendű koumlteacutesek noumlvekvő erősseacuteg szerinti sorrendje
1 Mit mond ki az oktettelv (vagy maacuteskeacutepp oktettszabaacutely)
2 Mi az elsőrendű eacutes a maacutesodrendű keacutemiai koumlteacutes
3 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a homonukleaacuteris eacutes a heteronukleaacuteris keacutemiai koumlteacutes koumlzoumltt
4 Definiaacutelja az ionos koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
5 Definiaacutelja a feacutemes koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
6 Definiaacutelja a kovalens koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
+minus
90 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
7 Mit jelent ha egy kovalens koumlteacutes polaacuteris vagy apolaacuteris
8 Mieacutert nem teljesuumll az oktettszabaacutely a hidrogeacuten eseteacuten
9 A boacuter-trifluoridot (BF3) elektronhiaacutenyos vegyuumlletkeacutent szoktaacutek emlegetni Mieacutert
10 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a kolligaacutecioacutes eacutes a datiacutev kovalens koumlteacutes koumlzoumltt
11 Hogyan jellemezhető a kovalens koumlteacutes erősseacutege
12 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat koumlteacuteshossz koumlteacutesi energia
13 Keacutet elem elektronegativitaacutesa alapjaacuten hogyan becsuumllhető meg hogy ezen elemek atomja koumlzoumltt
milyen tiacutepusuacute (elsőrendű) keacutemiai koumlteacutes joumlhet leacutetre
14 Mi a magaacutenos elektronpaacuter Nevezzen meg neacutehaacuteny molekulaacutet melyben valamely atom
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral
15 Hogyan definiaacutelnaacute a kettős koumlteacutest eacutes a haacutermas koumlteacutest Mi a ζ- eacutes a π-koumlteacutes Soroljon fel neacutehaacuteny
molekulaacutet melyben kettős illetve haacutermas koumlteacutes talaacutelhatoacute
16 Sorolja fel a maacutesodrendű koumlteacutes fajtaacuteit hasonliacutetsa oumlssze őket a fizikai jelenseacuteg illetve a
koumlteacuteserősseacuteg szempontjaacuteboacutel
17 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a dipoacutelus-dipoacutelus a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus eacutes diszperzioacutes koumlteacutesek koumlzoumltt
18 Milyen koumlteacutes joumlhet leacutetre a koumlvetkező vegyuumlletek molekulaacutei koumlzoumltt
a viacutez (H2O)
b kloroform (maacutes neacuteven trikloacutermetaacuten CHCl3)
c metaacuten (CH4)
d joacuted (I2)
e hidrogeacuten-fluorid (HF)
f keacuten-dioxid (SO2)
g argon (Ar)
h hidrogeacuten-jodid (HI)
32 A molekulaacutek alakja
321 A molekulageometria
A molekulaacutek elektronszerkezete eacutes alakja koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes aacutell fenn Tehaacutet mielőtt egy
molekula szerkezeteacutet felrajzolnaacutenk fontos aacutetgondolni hogy a molekulaacuteban milyen koumlteacutesek
talaacutelhatoacuteak Az elektronok negatiacutev toumllteacutesuumlk folytaacuten tasziacutetjaacutek egymaacutest iacutegy a molekula elektronpaacuterjai
egymaacutestoacutel a lehető legtaacutevolabb szeretneacutenek elhelyezkedni
A molekulaacutek szerkezeteacutet a vegyeacuterteacutek-elektronpaacuterok hataacuterozzaacutek meg a koumltő eacutes magaacutenos
elektronpaacuterok uacutegy helyezkednek el hogy taacutevolsaacuteguk maximaacutelis legyen
Fontos megaacutellapiacutetaacutesok
ndash a kettős koumlteacutesek teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacutesekeacute a haacutermas koumlteacutesekeacute pedig nagyobb
mint a kettős koumlteacutesekeacute
ndash a magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban nagyobb mint a koumltő elektronpaacuterokeacute
Ha egy molekula szerkezeteacutet (geometriaacutejaacutet) szeretneacutenk meghataacuterozni az első leacutepeacutes megaacutellapiacutetani
hogy haacuteny koumltő eacutes magaacutenos elektronpaacuterral rendelkeznek az egyes atomok eacutes hogy a koumltő
elektronpaacuterok haacutenyszoros koumlteacutessel kapcsoljaacutek oumlssze az egyes atomokat
A koumlzponti atomot A-val a hozzaacute kapcsoloacutedoacute atomot X-szel a koumlzponti atom magaacutenos
elektronpaacuterjaacutet pedig E-vel szokaacutes jeloumllni
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 91
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A koumlzponti atomhoz kapcsoloacutedoacute atomot vagy atomcsoportot ligandumnak nevezzuumlk
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
Koumlteacutesszoumlg a ligandumok atommagjaacutet eacutes a koumlzponti atom atommagjaacutet oumlsszekoumltő szakaszok aacuteltal
bezaacutert szoumlg (A koumlteacutesszoumlg 180deg-naacutel nem lehet nagyobb eacuterteacutekű) XAXrsquo koumlteacutesszoumlg az aacutebra alapjaacuten
A
X
X
XAX szoumlg
Baacutermely egyszerű biner (keacutet elemből aacutelloacute) molekulaacutet feliacuterhatunk AXnEm alakban (Az X jeloumllhet
aacuteltalaacutenos ligandumot is tehaacutet nem biztos hogy azonos ligandumokroacutel van szoacute A tovaacutebbiakban azon
molekulaacutekkal foglalkozunk melyek koumlzponti atomja koumlruumll azonos ligandumok talaacutelhatoacutek)
A molekula alakjaacuten vagy geometriaacutejaacuten a ligandumok atommagjai aacuteltal meghataacuterozott
geometriai alakzatot eacutertjuumlk
Lineaacuteris molekula egy haacuterom- vagy toumlbbatomos molekula lineaacuteris ha minden atommagja
ugyanarra az egyenesre esik (A keacutetatomos molekulaacutek eseteacuten az atommagok mindig egy egyenesre
esnek itt nincs eacutertelme linearitaacutesroacutel beszeacutelni)
Erre egy peacutelda az acetileacuten- (etin-) molekula
C CH H
Siacutek vagy planaacuteris molekula minden atomja egy siacutekba esik
Peacuteldaacuteul a koraacutebban emliacutetett boacuter-trifluorid siacutekmolekula mivel az oumlsszes atomja egy siacutekban
talaacutelhatoacute az FBF koumlteacutesszoumlgek 120deg-osak eacutes a haacuterom FminusBminusF koumlteacutesszoumlg oumlsszege kiadja a teljesszoumlget
(360deg)
B
F
FF
322 A molekulaacutek polaritaacutesa
Maacuter a keacutemiai koumlteacutesekkel foglalkozoacute fejezet elejeacuten emliacutetettuumlk az apolaacuteris eacutes a dipoacutelusmolekula
fogalmaacutenaacutel hogy a molekula polaritaacutesa szempontjaacuteboacutel nemcsak a koumlteacutesek polaritaacutesa szaacutemiacutet hanem
azok teacuterbeli elrendeződeacutese is
Azon molekula melyben csak apolaacuteris koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak az mindig apolaacuteris A polaacuteris
koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula lehet apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula ha a koumlteacutesek dipoacutelusvektorainak
eredője nullvektor a molekula apolaacuteris ha a dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus vektor a
molekulaacutenak van eredő dipoacutelusa tehaacutet dipoacutelusmolekulaacuteroacutel van szoacute
Ezt szemleacuteltessuumlk is egy-keacutet peacuteldaacuteval
Szeacutenhidrogeacutenek olyan vegyuumlletek melyek csak szeacuten- eacutes hidrogeacutenatomot tartalmaznak Neacutehaacuteny
Az oumlt elektronpaacuterboacutel haacuterom egy siacutekban rendeződik el haacuteromszoumlg alakban a maacutesik keacutet elektronpaacuter
pedig a siacutek alatt illetve foumlloumltt helyezkedik el Az oumlt AminusX koumlteacutesből haacuterom elteacuter a maacutesik kettőtől elteacuterő
koumlrnyezetben talaacutelhatoacute iacutegy ezen koumlteacutesek hossza aacuteltalaacuteban elteacuter a maacutesik keacutet koumlteacutes hosszaacutetoacutel
A haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ligandumok poziacutecioacutejaacutet ekvatoriaacutelisnak miacuteg az erre
merőlegesekeacutet pedig axiaacutelisnak (vagy apikaacutelisnak) nevezzuumlk
Keacutet egymaacutes melletti ekvatoriaacutelis helyzetben leacutevő ligandum koumlzoumltti koumlteacutesszoumlg 120deg miacuteg egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis ligandum koumlzoumltt 90deg-os a koumlteacutesszoumlg
Az iacutegy keletkező szerkezet olyan mintha keacutet haacuteromszoumlg alapuacute piramist egy lapjukon
oumlsszeilleszteneacutenk ezeacutert az ilyen molekulageometria elnevezeacutese haacuteromszoumlg alapuacute bipiramis vagy
trigonaacutelis bipiramis
Az ilyen koumlteacuteselrendeződeacutes eseteacuten a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor a molekula apolaacuteris
Peacutelda PF5 AsCl5
Megjegyzeacutes oumlt ligandum nemcsak haacuteromszoumlg alapuacute piramis alakban rendeződhet el hanem
lehetseacuteges egy maacutesfajta elrendeződeacutes is melynek neve neacutegyzet alapuacute piramis vagy tetragonaacutelis
piramis Ekkor a ligandumok egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela csuacutecsaiban foglalnak helyet
94 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Rendszerint a trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutes energetikailag kedvezőbb mint a tetragonaacutelis
piramisos
n = 6 m = 0 AX6E0
A hat elektronpaacuter teacuterben uacutegy helyezkedik el egymaacutestoacutel legtaacutevolabb ha a koumlzponti atomot egy
oktaeacuteder koumlzepeacutebe a ligandumokat pedig az oktaeacuteder hat csuacutecsaacuteba helyezzuumlk Az oumlsszes AminusX koumlteacutes
hossza azonos Keacutet egymaacutes melletti X eacutes Xrsquo ligandum eseteacuten az XAXrsquo szoumlg 90deg-os
Az ilyen elrendeződeacutest oktaeacutederes geometriaacutenak nevezzuumlk
Ha egy molekula alakja oktaeacuteder akkor nem lehet dipoacutelusmolekula
Peacutelda SF6 PF6minus
n = 7 m = 0 AX7E0
Az alaacutebbiakban csak a legjellegzetesebb geometria kialakulaacutesaacutet ndash elsősorban eacuterdekesseacutegkeacutent ndash
taacutergyaljuk A heacutet elektronpaacuterboacutel oumlt egy siacutekban egy szabaacutelyos oumltszoumlg csuacutecsainak iraacutenyaacuteban helyezkedik
el A koumlzponti atom az oumltszoumlg koumlzeacuteppontjaacuteban talaacutelhatoacute a hozzaacute kapcsoloacutedoacute oumlt ligandum pedig az
oumltszoumlg csuacutecsaiban A fennmaradoacute keacutet ligandum az oumltszoumlg siacutekja feleacute eacutes alaacute keruumll uacutegy hogy ezen keacutet
ligandum eacutes a koumlzponti atom egy egyenesbe esik A molekulaacuteban keacutetfeacutele koumlteacuteshosszt figyelhetuumlnk
meg aacuteltalaacuteban az oumltszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute koumlteacutesek eacutes a maacutesik keacutet koumlteacutes aacuteltalaacuteban nem egyforma
hosszuacutesaacuteguacute
A keletkező molekula geometriaacutejaacutet oumltszoumlg alapuacute bipiramisnak vagy pentagonaacutelis bipiramisnak
nevezzuumlk
A szimmetrikus elrendeződeacutes koumlvetkezteacuteben a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor iacutegy a molekula
apolaacuteris
Peacutelda IF7
n = 8 m = 0 AX8E0
Csak az eacuterdekesseacuteg eacutes teljesseacuteg kedveacuteeacutert emliacutetjuumlk meg ezt az elrendeződeacutest rendkiacutevuumll ritka A
nyolc koumltő elektronpaacuter egy neacutegyzetes antiprizma csuacutecsain helyezkedik el A neacutegyzetes antiprizma
uacutegy aacutelliacutethatoacute elő ha egy neacutegyzet alapuacute egyenes hasaacuteb alapjaacutet eacutes fedőlapjaacutet egymaacuteshoz keacutepest 45deg-ban
elforgatjuk
A molekula apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Peacutelda XeF82minus
Miutaacuten megbirkoacuteztunk az egyszerűbb magaacutenos elektronpaacutert nem tartalmazoacute molekulaacutek
szerkezeteacutevel most vizsgaacuteljunk bonyolultabb eseteket ahol a koumltő elektronpaacuterok mellett magaacutenos
elektronpaacuterok is talaacutelhatoacutek a koumlzponti atom vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
n = 2 m = 1 AX2E1
A molekula koumlzponti atomja koumlruumll haacuterom elektronpaacuter talaacutelhatoacute melyek koumlzuumll kettő koumltő
elektronpaacuter A haacuterom elektronpaacuter eseteacuten az ideaacutelis elrendeződeacutes haacuteromszoumlg alakuacute a haacuteromszoumlg keacutet
csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum
A magaacutenos elektronpaacutert tartalmazoacute haacuteromatomos AX2E molekula geometriaacutejaacutet hajlottnak vagy
V-alakuacutenak nevezzuumlk
Amennyiben az AminusX koumlteacutes polaacuteris a V-alakuacute molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda SO2 NO2minus
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 95
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
n = 2 m = 2 AX2E2
Neacutegy elektronpaacuter (keacutet koumltő keacutet magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll ezek
tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder keacutet csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum a maacutesik keacutet csuacutecs
iraacutenyaacuteba a magaacutenos paacuterok mutatnak
A keacutet magaacutenos elektronpaacuterral rendelkező haacuteromatomos molekulaacutek geometriaacuteja az előző ponthoz
hasonloacutean hajlott vagy V-alakuacute
Az ilyen geometriaacutejuacute molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda H2O H2S
n = 2 m = 3 AX2E3
Oumlsszesen oumlt elektronpaacuter (keacutet koumltő haacuterom magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll
iacutegy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesre szaacutemiacutetunk A magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban
nagyobb mint a ligandumokeacute iacutegy ezek foglaljaacutek el a haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ekvatoriaacutelis
poziacutecioacutekat a keacutet ligandum pedig a siacutek alaacute eacutes foumlleacute keruumll Az XAXrsquo szoumlg iacutegy 180deg-os tehaacutet a molekula
geometriaacuteja lineaacuteris
A molekula apolaacuteris (laacutesd az AX2 esetet)
Peacutelda XeF2 I3minus
Megjegyzeacutes eacuterdemes aacutetgondolni mieacutert is keruumll a nagyobb teacuterigeacutenyű csoport az ekvatoriaacutelis
poziacutecioacuteba Egy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesű modell eseteacuten legyen az axiaacutelis ligandum Xax az
ekvatoriaacutelis ligandum pedig Xekv Mivel az XekvminusAminusXrsquoekv koumlteacutesszoumlg 120deg az XaxminusAminusXekv koumlteacutesszoumlg
pedig csak 90deg keacutet ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacuteg kisebb mint egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltt Ezeacutert a nagyobb teacuterigeacutenyű
csoport ndash hogy a toumlbbi ligandumtoacutel a legtaacutevolabb helyezkedjen el az ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll
n = 3 m = 1 AX3E1
Ebben az esetben neacutegy elektronpaacuter (haacuterom koumltő egy magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti
atomja koumlruumll iacutegy ezek tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder haacuterom csuacutecsaacuten talaacutelhatoacute ligandum iacutegy
ezek egy siacutekba esnek A magaacutenos elektronpaacuter nagyobb teacuterigeacutenye folytaacuten az XAXrsquo aacuteltalaacuteban kisebb a
tetraeacutederben leacutevőneacutel (azaz 1095deg-naacutel)
A molekula geometriaacuteja haacuteromszoumlg alapuacute piramisos vagy trigonaacutelis piramisos
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda NH3 PF3
n = 3 m = 2 AX3E2
Az elektronpaacuterok szaacutema haacuterom koumltő eacutes keacutet magaacutenos oumlsszesen oumlt elektronpaacuter mely trigonaacutelis
bipiramis alakzatot vesz fel A magaacutenos elektronpaacuteroknak nagyobb a teacuterigeacutenyuumlk ezeacutert ezek az
ekvatoriaacutelis poziacutecioacutekba keruumllnek A haacuterom ligandum koumlzuumll kettő axiaacutelis helyzetben van a harmadik
pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula szerkezete T-alakuacute
Amennyiben az AminusX koumlteacutesek polaacuterisak a molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda ClF3
n = 4 m = 1 AX4E1
96 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az oumlt elektronpaacuterboacutel neacutegy koumltő eacutes egy magaacutenos ismeacutet trigonaacutelis bipiramis alakzatot vesz fel A
magaacutenos elektronpaacuter ebben az esetben is ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll A neacutegy ligandum koumlzuumll kettő
axiaacutelis helyzetben van a maacutesik kettő pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula geometriaacutejaacutet meacuterleghinta alakuacutenak nevezzuumlk (ritkaacutebban torzult tetraeacutedernek is
nevezik)
Mivel a dipoacutelusvektorok eredője nem nullvektor a molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda SF4
n = 4 m = 2 AX4E2
A koumlzponti atomhoz oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik neacutegy koumltő eacutes keacutet magaacutenos ezek
oktaeacutederesen rendeződnek el A magaacutenos elektronpaacuterok keacutet egymaacutessal ellenteacutetes poziacutecioacutet foglalnak
el hogy tasziacutetaacutesukat csoumlkkentseacutek A toumlbbi neacutegy ligandum neacutegyzet alakban rendeződik el
Az ilyen molekula geometriaacuteja neacutegyzetes vagy tetragonaacutelis planaacuteris
A molekula apolaacuteris (meacuteg polaacuteris AminusX koumlteacutesek eseteacuten is)
Peacutelda XeF4
n = 5 m = 1 AX5E1
Oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik koumlzponti atomhoz ezek ismeacutet oktaeacutederesen rendeződnek el
Az oktaeacuteder egyik csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula neacutegyzetes piramisos vagy tetragonaacutelis piramisos szerkezetű
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda BrF5
n = 6 m = 1 AX6E1
A koumlzponti atomon heacutet elektronpaacuter talaacutelhatoacute ezek pentagonaacutelis bipiramis alakba rendeződnek
ennek az oumltszoumlg siacutekja alatti (vagy feletti) csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula oumltszoumlg alapuacute piramisos vagy pentagonaacutelis piramisos szerkezetű
A molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda XeF6
Az alaacutebbi taacuteblaacutezatban a kuumlloumlnfeacutele alapmolekulaacutek szerkezeteacutet foglaltuk oumlssze
n m Keacuteplet
Elektronpaacuterok
elrendeződeacutese a
koumlzponti atom
koumlruumll
Molekula
alakja Koumlteacutesszoumlgek
Polaritaacutes
(ha AminusX
koumlteacutes
polaacuteris)
Peacutelda
1 AX A X polaacuteris HCl
2 0 AX2 lineaacuteris lineaacuteris A XX
XAX 180deg apolaacuteris CO2
1 AX2E trigonaacutelis planaacuteris hajlott vagy
V-alakuacute X
A
X
polaacuteris SO2
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 97
Az etileacuten keacuteplete C2H4 A keacutet szeacutenatom koumlzoumltt kettős koumlteacutes van a szeacutenatomok koumlruumll haacuterom
ligandum helyezkedik el (egy szeacuten eacutes keacutet hidrogeacuten) ezek haacuteromszoumlg alakban rendeződnek Mivel a
kettős koumlteacutes teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacuteseacute a HCH-koumlteacutesszoumlg kisebb mint a HCC-
koumlteacutesszoumlg
C C
H
H H
H
Az etileacutenmolekula apolaacuteris mivel minden koumlteacutese apolaacuteris Megjegyezzuumlk ha az oumlsszes hidrogeacutent
lecsereacuteljuumlk neacutegy olyan azonos atomra hogy a koumlteacutes polaacuterissaacute vaacuteljon (peacuteldaacuteul fluor) az iacutegy keletkező
molekula is apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Acetileacuten (etin)
Keacuteplete C2H2 a szeacutenatomok koumlzoumltt haacutermas koumlteacutes helyezkedik el A szeacutenatom koumlruumll keacutet ligandum
van (egy szeacuten eacutes egy hidrogeacuten) lineaacuteris geometria
C CH H
Az acetileacuten ndash a toumlbbi szeacutenhidrogeacutenhez hasonloacutean ndash apolaacuteris molekulaacutejuacute
Dikloacuter-metaacuten
1
1
90deg arsquo
Tartalomjegyzeacutek 3
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
TARTALOMJEGYZEacuteK
ELŐSZOacute 5 1 MATEMATIKAI EacuteS FIZIKAI ALAPOK 6
11 Matematikai alapok 6 12 Fizikai alapismeretek 33 13 A goumlroumlg aacutebeacuteceacute 43
2 AZ ATOMOK SZERKEZETE 44 21 Az atommodellekről dioacuteheacutejban 44 22 Az atomok feleacutepiacuteteacutese 44 23 Az atomok elektronszerkezete 48 24 A kvantumszaacutemok 56 25 Az elemek perioacutedusos rendszere 57 26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben 62 27 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek -feladatok 73
3 KEacuteMIAI KOumlTEacuteSEK EacuteS A MOLEKULAacuteK SZERKEZETE 75 31 Keacutemiai koumlteacutesek 75 32 A molekulaacutek alakja 90
4 HALMAZOK HALMAZAacuteLLAPOTOK 104 41 Alapfogalmak elemek vegyuumlletek kevereacutekek 104 42 Az anyagi halmazok csoportosiacutetaacutesa 106 43 Halmazaacutellapotok halmazaacutellapot-vaacuteltozaacutesok 106 44 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek 129 45 Szaacutemiacutetaacutesi feladatok gaacuteztoumlrveacutenyekkel 130
5 KONCENTRAacuteCIOacuteK OLDHATOacuteSAacuteG AacuteTKRISTAacuteLYOSIacuteTAacuteS 148 51 Toumlrt- illetve szaacutezaleacutekjellegű mennyiseacutegek 148 52 Koncentraacutecioacute jellegű mennyiseacutegek 149 53 A ppm- eacutes ppb-koncentraacutecioacutek 150 54 A koncentraacutecioacutek aacutetszaacutemiacutetaacutesa 151 55 Az oldhatoacutesaacuteg 166 56 Műveletek oldatokkal 168 57 Kristaacutelyvizes soacutek 182 58 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek 191
6 HIacuteG OLDATOK TOumlRVEacuteNYEI 193 61 A forraacutespont-emelkedeacutes eacutes fagyaacutespontcsoumlkkeneacutes toumlrveacutenye 193 62 A van rsquot Hoff-faktor 194 63 Az ozmoacutezisnyomaacutes 197
Ebben a bevezető jellegű fejezetben az első feacuteleacuteves Keacutemiai alapok eacutes Aacuteltalaacutenos keacutemia gyakorlat
elsajaacutetiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges legfontosabb matematikai eacutes fizikai oumlsszefuumlggeacuteseket vesszuumlk sorra
11 Matematikai alapok
111 A meacutereacutesek eacutes szaacutemiacutetaacutesok pontossaacutega
A meacuterhető mennyiseacutegeknek keacutet nagy csoportjaacutet kuumlloumlnboumlztethetjuumlk meg Az egyik az uacutegynevezett
diszkreacutet vaacuteltozoacuteval leiacuterhatoacute mennyiseacuteg melyeket pontosan szaacutemszerűsiacuteteni tudunk Ilyen peacuteldaacuteul a
darabszaacutem ismeruumlnk olyat hogy egy darab alma vagy neacutegy darab alma de nincs tuacutel sok eacutertelme 254
darab almaacuteroacutel beszeacutelni A maacutesik csoportba olyan mennyiseacutegek tartoznak melyek eacuterteacuteke folytonosan
vaacuteltozhat azaz nem csak adott egeacutesz eacuterteacutekeket vehet fel Ilyen peacuteldaacuteul a toumlmeg a teruumllet az
aacuteramerősseacuteg az anyagmennyiseacuteg eacutes iacutegy tovaacutebb Ezekre jellemző hogy eacuterteacutekuumlk baacutermilyen ndash nem
felteacutetlenuumll egeacutesz ndash eacuterteacuteket felvehet Ennek van egy rendkiacutevuumll fontos koumlvetkezmeacutenye az ilyen
mennyiseacutegek meacutereacutesekor elkoumlvetett hiba befolyaacutesolja a meacutereacutes pontossaacutegaacutet
Vegyuumlnk egy egyszerű peacuteldaacutet Toumlmegmeacutereacutesneacutel egyaacuteltalaacuten nem mindegy milyen bdquofajtardquo meacuterleget
hasznaacutelunk hogy peacuteldaacuteul tehermeacutereacutesre hasznaacutelatos bdquomaacutezsaacutenrdquo szemeacutelymeacuterlegen konyhai meacuterlegen
vagy a laboratoacuterium analitikai meacuterlegeacuten meacuterjuumlk meg egy taacutergy toumlmegeacutet A kuumlloumlnboumlző meacuterlegeket
kuumlloumlnfeacutele meacutereacuteshataacuterokra tervezteacutek eacutes elteacuterő pontossaacuteggal is rendelkeznek Peacuteldaacuteul miacuteg egy maacutezsa
vagy egy szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm addig egy analitikai meacuterleg pontossaacutega
toumlbbnyire 00001 gramm vagy akaacuter meacuteg enneacutel kisebb is lehet Mit is jelent ez a pontossaacuteg kifejezeacutes
Ha egy digitaacutelis szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm eacutes a meacuterleg 764 kilogrammot mutat
akkor a teacutenyleges toumlmegről annyit tudunk hogy igen nagy valoacutesziacutenűseacuteggel a 763 kilogramm eacutes 765
kilogramm koumlzoumltt van Eacutes ebből az is koumlvetkezik hogy 764 kilogrammnak laacutetjuk toumlmeguumlnket akkor
is ha az 76359 kilogramm vagy akaacuter 76432 kilogramm mivel a meacuterleg nem keacutepes pontosabban
kijelezni az eacuterteacuteket
Vegyuumlnk egy maacutesik peacuteldaacutet Egy seprűnyeacutel hosszaacutenak meghataacuterozaacutesaacutet veacutegezzuumlk eacutes keacutetfeacutele
meacuterőszalag aacutell rendelkezeacutesuumlnkre az egyiken centimeacuteter-beosztaacutes van a maacutesikon a millimeacutetereket is
feltuumlntetteacutek az előzőt kisebb pontossaacuteguacutenak az utoacutebbit nagyobb pontossaacuteguacutenak tekintjuumlk A seprűnyeacutel
hosszaacutet egy nagyon pontos meacutereacutessel is megmeacutertuumlk eacutes 168314 centimeacuteternek adoacutedott Ha megmeacuterjuumlk
ezt a taacutergyat a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal millimeacuteter pontossaacuteggal ismerjuumlk a taacutergy hosszaacutet
mely 168 centimeacuteter eacutes 3 millimeacuteter Ha azonban a maacutesik centimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal meacuterjuumlk
meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet csak a centimeacuteteregyseacutegeket tudjuk leolvasni ami esetuumlnkben 168
esetleg szemre tudjuk becsuumllni a harmad centimeacuteternyi taacutevolsaacutegot Ebben az esetben azonban nem
adhatjuk meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet 1683 centimeacuteternek mert a meacuterőszalag beosztaacutesa ezt nem teszi
lehetőveacute A centimeacuteter pontossaacuteguacute meacuterőszalaggal meacuterve a helyesen megadott mennyiseacuteg 168
centimeacuteter
Tegyuumlk fel hogy a fentebb emliacutetett seprűnyelet megmeacuterjuumlk a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalag
segiacutetseacutegeacutevel eacutes hosszaacutet egeacuteszen pontosan 1683 centimeacuteternek olvassuk le azaz szemre nem
eacuterzeacutekeluumlnk elteacutereacutest a millimeacuteteregyseacutegben Ilyenkor azonban nem adhatjuk meg a seprűnyeacutel hosszaacutet az
alaacutebbi alakban 168300 centimeacuteter de meacuteg iacutegy sem 16830 centimeacuteter mivel a meacuterőeszkoumlz
pontossaacutega ezt nem teszi lehetőveacute A helyes megadaacutesi moacuted a koumlvetkező 1683 centimeacuteter
Akaacuter laboratoacuteriumban dolgozunk akaacuter szaacutemiacutetaacutesi feladatot oldunk meg gyakran előfordul hogy
az adatok pontossaacutegaacutet is figyelembe kell vennuumlnk Ha meacutereacutest veacutegzuumlnk aacuteltalaacuteban ismerjuumlk a meacutereacutes
pontossaacutegaacutet eacutes ebből meg tudjuk aacutellapiacutetani milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű megadnunk az eredmeacutenyt
Viszont a szaacutemiacutetaacutesi feladatok is aacuteltalaacuteban kiacuteseacuterleti eredmeacutenyeken alapulnak ezeacutert ott is fontos szem
előtt tartani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacutet A fentiek alapjaacuten jelentős kuumlloumlnbseacuteg van peacuteldaacuteul az 10 dm3
eacutes az 10000 dm3 koumlzoumltt Az első esetben csak az első tizedesjegyben lehetuumlnk biztosak a valoacutesaacutegban
lehet hogy 102 dm3 vagy 098 dm3 az eacuterteacutek A maacutesodik esetben azonban biztosak lehetuumlnk abban
hogy neacutegy tizedesjegy pontossaacuteggal ismerjuumlk az eacuterteacuteket Termeacuteszetesen egy adott teacuterfogatot nem csak
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 7
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
dm3-ben hanem maacutes meacuterteacutekegyseacutegben is megadhatunk azaz 10000 dm3 megegyezik 10000 cm3-rel
Innen laacutethatjuk hogy nem a tizedesjegyek szaacutema szaacutemiacutet
Az eacuterteacutekes jegy fogalmaacutet a pontossaacuteg definiaacutelaacutesaacutera vezetteacutek be Eacuterteacutekes jegynek tekintjuumlk a szaacutem
szaacutemjegyeit kiveacuteve az egyneacutel kisebb szaacutemok elejeacuten talaacutelhatoacute nullaacutet illetve nullaacutekat (azon nullaacutekat
melyek csak a helyi eacuterteacuteket jelzik) Az 10 dm3 feliacuteraacutesban 2 eacuterteacutekes jeggyel adtuk meg a pontossaacutegot
az 10000 dm3 eseteacuten pedig 5 eacuterteacutekes jegyről beszeacuteluumlnk Viszont a 002 dm
3 eseteacuten probleacutemaacuteba
uumltkoumlzuumlnk Ebben az esetben az első keacutet nulla nem szaacutemiacutet eacuterteacutekes jegynek csupaacuten a 2-es szaacutemjegy A
legegyszerűbb moacutedja az eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutenak hogy a mennyiseacuteget aacutetiacuterjuk normaacutel alakba
eacutes megaacutellapiacutetjuk hogy haacuteny szaacutemjegyet tartalmaz a 10 megfelelő hatvaacutenya előtt aacutelloacute szorzoacute teacutenyező
A fenti peacuteldaacuteban 002 dm3 = 2 middot 10ndash2 dm3 azaz 1 eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal ismerjuumlk a teacuterfogatot Az
eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutera az alaacutebbi szabaacutelyokat ismerjuumlk
Az egyneacutel kisebb szaacutemokban az első nem zeacuterus szaacutemjegyet megelőző nullaacutek nem szaacutemiacutetanak
eacuterteacutekes jegynek Peacuteldaacuteul 0000060 g = 60 middot 10ndash5 g azaz keacutet eacuterteacutekes jegyet tartalmaz
Baacutermely maacutes esetben (azaz ha van előtte nem zeacuterus szaacutemjegy) a nulla is eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Peacuteldaacuteul a 10000 dm3-ben 5 eacuterteacutekes jegy talaacutelhatoacute
A nullaacutetoacutel elteacuterő minden szaacutemjegy eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Fontos megjegyezni hogy a meacuterteacutekegyseacutegek aacutetvaacuteltaacutesa nem okozhat vaacuteltozaacutest az eacuterteacutekes jegyek
szaacutemaacuteban azaz sem nem noumlvekedhet sem nem csoumlkkenhet az eacuterteacutekes jegyek szaacutema Iacutegy peacuteldaacuteul
0067060 km = 67060 m = 67060 cm = 67060 mm = 67060 middot 10ndash2 km mint laacutetjuk minden esetben 5
eacuterteacutekes jegy a pontossaacuteg
Ha szaacutemiacutetaacutesi feladatokat oldunk meg szaacutemoloacutegeacutepuumlnkkel aacuteltalaacuteban igen sok tizedes jegy
pontossaacutegra keacutepesek vagyunk meghataacuterozni az eredmeacutenyeket Azonban a sok-sok tizedes jegy
megadaacutesa gyakran teljesen felesleges A koumlvetkezőkben azt vizsgaacuteljuk meg hogy egy szaacutemiacutetaacutesi
feladat megoldaacutesa soraacuten milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű a szaacutemiacutetaacutesokat elveacutegezni eacutes a veacutegeredmeacutenyt
megadni
A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten ceacutelszerű a lehető legpontosabban szaacutemolni mivel iacutegy tudjuk lecsoumlkkenteni a
kerekiacuteteacutesekből adoacutedoacute hibaacutekat Ha rendelkezeacutesre aacutell szaacutemoloacutegeacutep akkor eacuterdemes az adatokat megtartani
a szaacutemoloacutegeacutepben eacutes azokkal szaacutemolni tovaacutebb
Ha a feladat veacutegeacutere eacutertuumlnk a veacutegeredmeacuteny megadaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacutepp ceacutelszerű veacutegezni
vizsgaacuteljuk meg a feladat szoumlvegeacuteben talaacutelhatoacute adatok pontossaacutegaacutet azaz aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny
eacuterteacutekes jegyre van megadva Ezutaacuten meg kell aacutellapiacutetanunk hogy melyik mennyiseacuteg tartalmazza a
legkevesebb eacuterteacutekes jegyet azaz melyik van a legpontatlanabbul megadva A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten csupaacuten
matematikai műveleteket veacutegzuumlnk eacutes iacutegy nem tudunk javiacutetani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacuten Tehaacutet a
veacutegeredmeacuteny pontossaacutegaacutet a legpontatlanabbul megadott kiindulaacutesi adat pontossaacutega szabja meg a
veacutegeredmeacutenyt (legfeljebb) annyi eacuterteacutekes jegy pontossaacutegra adjuk meg mint a legpontatlanabbul
megadott kiindulaacutesi adat eacuterteacutekes jegyeinek szaacutema A szaacutemoloacutegeacutep adatait a megfelelő eacuterteacutekes jegyekre
kell kerekiacutetenuumlnk azaz az 1 2 3 eacutes 4 szaacutemjegyeket lefeleacute az 5 6 7 8 eacutes 9 szaacutemjegyeket pedig felfeleacute
kerekiacutetjuumlk Egy zaacuterthelyi dolgozat eseteacuten termeacuteszetesen a reacuteszeredmeacutenyeket sem ceacutelszerű lejegyezni
az oumlsszes leacutetező tizedesjeggyel ilyenkor is eacuterdemes eacutesszerűen kerekiacutetenuumlnk a megfelelő eacuterteacutekes
jegyre Amennyiben az eredmeacuteny egy nagyon kicsi vagy nagyon nagy szaacutem mindenkeacutepp eacuterdemes
normaacutelalakban megadni az eredmeacutenyt Ennek tovaacutebbi előnye hogy az eacuterteacutekes jegyek szaacutemaacutet is
ellenőrizni tudjuk
11 peacutelda
Egy teacuteglatest eacuteleinek hossza a = 637 cm b = 014570 m eacutes c = 3201 cm Adjuk meg a teacuteglatest
teacuterfogataacutet m3 egyseacutegben
Megoldaacutes
Iacuterjuk aacutet az oumlsszes adatot meacuteter meacuterteacutekegyseacutegre eacutes aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny eacuterteacutekes jegyet
tartalmaz
a = 637 cm = 00637 m 3 eacuterteacutekes jegy
b = 014570 m 5 eacuterteacutekes jegy
c = 3201 cm = 03201 m 4 eacuterteacutekes jegy
8 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A teacuteglatest teacuterfogata
V = a middot b middot c = (00637 m) middot (014570 m) middot (03201 m) = 000029708769 m3
Mivel igen kicsi szaacutemeacuterteacutekről van szoacute ceacutelszerű aacutetiacuternunk normaacutelalakra V = 29708769 middot 10minus4 m3
Mint fentebb ismertettuumlk a veacutegeredmeacutenyt szabaacutelyosan a legpontatlanabbul azaz legkevesebb
eacuterteacutekes jeggyel megadott adat eacuterteacutekes jegyire lehet megadni azaz jelen esetben 3 eacuterteacutekes jegyneacutel
toumlbbet nem eacuterdemes megadunk A veacutegeredmeacuteny helyes pontossaacutegban megadva
V = 297 ∙ 10minus4 m3
112 Alapvető matematikai oumlsszefuumlggeacutesek
Egyenes araacutenyossaacuteg keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn ha az egyik mennyiseacuteget
valahaacutenyszorosaacutera vaacuteltoztatjuk akkor a maacutesik mennyiseacuteg is ugyanannyiszorosaacutera vaacuteltozik
Ha az egyenes araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki iacutegy iacuterhatjuk le y = a middot x ahol y eacutes x a keacutet
keacuterdeacuteses mennyiseacuteg a pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt akkor
beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg araacutenya aacutellandoacute jelen esetben ez megegyezik
a-val Grafikonban aacutebraacutezolva egy origoacuten aacutetmenő egyenest kapunk
1121 aacutebra Az egyenes araacutenyossaacuteg
Az egyenes araacutenyossaacuteg fuumlggveacutenye a lineaacuteris fuumlggveacutenyek egy speciaacutelis esete a tengelymetszet
zeacuterus azaz az egyenesnek az origoacuten kell aacutetmennie
Az egyenes araacutenyossaacutegra szaacutemtalan peacuteldaacutet tudunk a mindennapi eacuteletből eacutes a
termeacuteszettudomaacutenyokboacutel egyaraacutent A fizikai eacutes keacutemiai tartalmuacute peacuteldaacutekkal a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg reacuteszletesen azonban koumlvetkezzen egy igen egyszerű peacutelda Ennek ceacutelja elsősorban
az hogy megismerhessuumlk a kuumlloumlnboumlző megoldaacutesi moacutedszereket hogy ki-ki maga eldoumlnthesse hogy
melyiket alkalmazza koumlnnyebben
12 peacutelda
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forintba keruumll akkor mennyibe keruumll 3 kilogramm reacutezgaacutelic
Megoldaacutes
A) Feliacuteraacutes egyenes araacutenyossaacuteggal szoumlvegesen
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 9
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic x forint
Ezt toumlbbfeacutelekeacuteppen lehet megoldani
Feliacuterhatjuk hogy a mennyiseacutegek araacutenya aacutellandoacute
kg3
forintw
kg2
forint1800
Ebből koumlnnyedeacuten megkapjuk hogy w = 2700 forint
Egy maacutesik megoldaacutes ha az uacutegynevezett keresztbeszorzaacutest alkalmazzuk melyet sok helyen taniacutetanak
koumlzeacutepiskolaacutekban elsősorban keacutemiaoacuteraacuten
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic w forint
Azaz 2 kg middot w forint = 3 kg middot 1800 forint melyből egyszerűen adoacutedik hogy w = 2700 forint
hasonloacutean az előző megoldaacutes eredmeacutenyeacutehez
B) Kiszaacutemiacutethatjuk az araacutenyossaacutegi teacutenyezőt az y = a middot x egyenlet alapjaacuten ez tulajdonkeacuteppen az 1
kilogramm reacutezgaacutelic aacutera
kg
forint900
kg2
forint1800
toumlmeg
aacutera
Iacutegy az egyseacutegaacuterboacutel koumlnnyedeacuten megkaphatjuk a 3 kilogramm reacutezgaacuteliceacutert fizetendő aacuterat w = a middot x =
(900 forint kg) middot (3 kg) = 2700 forint
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg ha az egyik mennyiseacuteget valahaacutenyszorosaacutera noumlveljuumlk a maacutesik mennyiseacuteg
ugyanannyiad reacuteszeacutere csoumlkken
Ha a fordiacutetott araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki a koumlvetkezőkeacutepp iacuterhatjuk fel y = b x ahol
y eacutes x a keacutet keacuterdeacuteses mennyiseacuteg b pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg
koumlzoumltt akkor beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg szorzata aacutellandoacute jelen esetben
ez megegyezik b-vel Grafikonban aacutebraacutezolva egy uacutegynevezett hiperbolaacutet kapunk (amennyiben a
negatiacutev mennyiseacutegekről is van eacutertelme beszeacutelni a hiperbolaacutenak van egy negatiacutev tartomaacutenyban
talaacutelhatoacute szaacutera is)
10 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1122 aacutebra A fordiacutetott araacutenyossaacuteg
Termeacuteszetesen fordiacutetott araacutenyossaacutegra is szaacutemtalan peacuteldaacutet lehet talaacutelni melyekkel a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg Ismeacutet egy igen egyszerű peacutelda
13 peacutelda
Keacutetfeacutele tisztasaacuteguacute reacutezgaacutelicot forgalmaz a vegyszerkereskedő A rosszabb minőseacutegű toumlbb
szennyeződeacutest tartalmazoacute aacutera kilogrammonkeacutent 1800 forint aacutem van egy tisztaacutebb is melynek aacutera 2400
forint kilogrammonkeacutent Haacuteny kilogrammnyit tudunk venni a jobb minőseacutegű reacutezgaacutelic 12
kilogrammjaacutenak aacuteraacuteboacutel ha azt rosszabb minőseacutegű reacutezgaacutelicra koumlltjuumlk
Megoldaacutes
A) Araacutenypaacuterral
Ha 2400 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel 12 kg-ot tudunk venni
akkor az 1800 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel z kg-ot tudunk venni
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg eseteacuten a mennyiseacutegek szorzata aacutellandoacute
(2400 Ftkg) middot (12 kg) = (1800 Ftkg) middot (z kg)
Ebből z = 16 kilogramm
B) Fuumlggveacutennyel
Mivel a fordiacutetott araacutenyossaacuteg feliacuterhatoacute uacutegy hogy y = b x ebből koumlvetkezik hogy b = y middot x tehaacutet
b = (2400 Ftkg) middot (12 kg) = 28 800 Ft azaz ennyi a rendelkezeacutesre aacutelloacute peacutenzoumlsszeg Ebből
kiszaacutemiacutethatoacute hogy az olcsoacutebb reacutezgaacutelicboacutel mennyit tudunk venni
y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 11
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodfokuacute egyenlet megoldaacutesa
A maacutesodfokuacute egyenlet megoldoacutekeacutepleteacutenek alkalmazaacutesaacutehoz az egyenletet az alaacutebbi formaacutera kell hozni
a middot x2 + b middot x + c = 0
Ekkor az a b eacutes c parameacuteterek fuumlggveacutenyeacuteben a maacutesodfokuacute egyenlet keacutet megoldaacutesa
a2
ca4bbx
2
1
eacutes
a2
ca4bbx
2
2
A neacutegyzetgyoumlk alatti kifejezeacutest diszkriminaacutensnak nevezzuumlk D = b2 ndash 4 middot a middot c
A diszkriminaacutens előjeleacuteből koumlvetkeztethetuumlnk arra hogy haacuteny valoacutes megoldaacutesa van a maacutesodfokuacute
egyenletnek Ha a diszkriminaacutens pozitiacutev keacutet valoacutes gyoumlkoumlt kapunk ha a diszkriminaacutens negatiacutev nincsen
valoacutes megoldaacutesa az egyenletnek Abban az esetben ha a diszkriminaacutens eacuterteacuteke nulla x1 eacutes x2 gyoumlkoumlk
megegyeznek azaz a maacutesodfokuacute egyenletnek egyetlen megoldaacutesa van
14 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
(x ndash 2) middot (x + 5) = 8
Megoldaacutes
Elveacutegezve a szorzaacutest
x2 ndash 2 middot x + 5 middot x ndash 10 = 8
Nullaacutera rendezve
x2 + 3 middot x ndash 18 = 0
Tehaacutet a = 1 b = 3 eacutes c = ndash18 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe (itt a fenti keacutet keacuteplet egy koumlzoumls
keacutepletteacute van oumlsszeolvasztva)
2
93
2
813
12
)18(1433
a2
ca4bbx
22
21
azaz 2
93x1
eacutes 6
2
93x 2
15 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
16 middot x2 ndash 104 middot x + 169 = 0
Megoldaacutes
A nullaacutera rendezett formaacuteboacutel a = 16 b = minus104 eacutes c = 169 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe
4
13
32
0104
162
169164104104
a2
ca4bbx
22
21
Mivel az egyenlet diszkriminaacutensa (a neacutegyzetgyoumlk alatt aacutelloacute kifejezeacutes D = b2 minus 4 middot a middot c) zeacuterus az
egyenlet keacutet gyoumlke ugyanaz tehaacutet egy megoldaacutesa van az egyenletnek 4
13x
12 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Oumlsszegek eacutes szorzatok feliacuteraacutesa
Egy oumlsszeg kifejteacutese
n
1i
n21i aaaa
Egy szorzat kifejteacutese m21
m
1i
i bbbb
Legfontosabb hatvaacutenyozaacutesi eacutes gyoumlkvonaacutesi azonossaacutegok
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a ndash b) middot (a + b) = a2 ndash b2
an middot bn = (amiddotb)n
an bn = (a b)n (b ne 0)
an middot am = an + m
an am = an ndash m (a ne 0)
mnnmmn aaa
n
1
n aa (a ge 0 ha n paacuteros)
mely alapjaacuten a fenti hatvaacutenyozaacutesi azonossaacutegok alkalmazhatoacuteak a gyoumlkvonaacutesra is
A logaritmusfuumlggveacutenyt a koumlvetkezőkeacuteppen definiaacutelhatjuk f(x) = loga x ahol bdquoardquo egy pozitiacutev
szaacutem A fuumlggveacuteny csak pozitiacutev x eacuterteacutekekre van definiaacutelva Amennyiben a gt 0 a fuumlggveacuteny monoton
noumlvekvő ha 0 lt a lt 1 a fuumlggveacuteny csoumlkkenő A logaritmusfuumlggveacuteny az x tengelyt mindig az (1 0)
pontban metszi
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 15
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1134 aacutebra Logaritmusfuumlggveacutenyek
114 Log-log diagramok eacutes taacutersaik
A meacuternoumlki-keacutemiai gyakorlatban sok oumlsszefuumlggeacutest hatvaacutenyfuumlggveacutenykeacutent jeleniacutethetuumlnk meg A
logaritmus egyik igen fontos alkalmazaacutesa hogy meg tudjuk vele aacutellapiacutetani egy hatvaacutenyfuumlggveacuteny
ismeretlen kitevőjeacutet
16 peacutelda
Adott keacutet meacuterhető mennyiseacuteg x eacutes y eacutes tudjuk hogy a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes az alaacutebbi
alakuacute y = xn A meacutereacuteseink soraacuten a koumlvetkező eacuterteacutekpaacuterokat kapjuk
x y
17 377
30 1559
37 2633
42 3615
49 5315
57 7757
69 12506
Aacutellapiacutetsuk meg az n hatvaacutenykitevőt
Megoldaacutes
Az eacuterteacutekpaacuterokat dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
16 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1141 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute koumlzti kapcsolat
A fenti aacutebraacuteboacutel igen neheacutez megaacutellapiacutetani a hatvaacutenykitevőt Mivel a keacutet vaacuteltozoacute (x eacutes y) koumlzoumltti
kapcsolat hatvaacutenyfuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le y = xn pozitiacutev x eacutes y eseteacuten loga y = loga xn = n middot loga x Ezeacutert
vegyuumlk az x eacutes y eacuterteacutekek 10-es alapuacute logaritmusaacutet
lg x lg y
02304 05761
04771 11928
05682 14205
06232 15581
06902 17255
07559 18897
08388 20971
A fenti eacuterteacutekpaacuterokat szinteacuten aacutebraacutezolhatjuk dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben
1142 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute logaritmusa koumlzti kapcsolat
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 17
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az eacuterteacutekek logaritmusa koumlzoumltti kapcsolat maacuter egyenes araacutenyossaacuteggal iacuterhatoacute le
koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk az egyenes meredekseacutegeacutet (iraacutenytangenseacutet) is n = 25 (Ezt akaacuter a
grafikonroacutel leolvasva akaacuter a megfelelő logaritmusok haacutenyadosakeacutent megkaphatjuk)
Tehaacutet a keresett fuumlggveacutenykapcsolat y = x25
A meacuternoumlki gyakorlatban elterjedt az uacutegynevezett log-log diagramok hasznaacutelata is Ekkor nem a
logaritmuseacuterteacutekeket aacutebraacutezoljuk a hagyomaacutenyos beosztaacutesuacute tengelyeken hanem a teacutenyleges eacuterteacutekeket
1145 aacutebra Az y = f(x) = a middot 10bmiddotx fuumlggveacuteny
A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineaacuteris leacutepteacutekű miacuteg az y tengely (ordinaacuteta)
logaritmikus leacutepteacutekű Az exponenciaacutelis fuumlggveacuteny parameacutetereit a meredekseacutegből eacutes tengelymetszetből
koumlnnyen leolvashatjuk
y = f(x) = a middot lg x Ekkor egyszerűen y-t aacutebraacutezoljuk lg x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes meghataacuterozhatjuk
az ismeretlen bdquoardquo parameacutetert
1146 aacutebra Az y = f(x) = a middot lg x fuumlggveacuteny
Tehaacutet ebben az esetben az abszcissza (x tengely) leacutepteacuteke logaritmikus miacuteg az ordinaacuteta (y tengely)
leacutepteacuteke lineaacuteris
Ez a moacutedszer akkor is segiacutetseacuteguumlnkre lehet ha nem ismerjuumlk az oumlsszefuumlggeacutest a keacutet mennyiseacuteg (x eacutes
y) koumlzoumltt viszont az aacutebraacutezolaacutesboacutel remeacutenykedhetuumlnk hogy az oumlsszefuumlggeacutes nem tuacutel bonyolult
fuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le Ilyenkor eacuterdemes kiproacutebaacutelni a fenti aacutetalakiacutetaacutesokat eacutes abban a szerencseacutes
esetben ha az iacutegy keletkezett transzformaacutelt vaacuteltozoacutek koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest kapunk meg tudjuk
hataacuterozni a szuumlkseacuteges parameacutetereket
Meacutereacutesi eredmeacutenyeket tartalmazoacute taacuteblaacutezatok hasznaacutelata soraacuten gyakran előfordul hogy egy olyan adatra
van szuumlkseacuteguumlnk melyre eacuteppen nincs meacutereacutesi eredmeacuteny Erre egy egyszerű peacutelda (peacuteldaacuteul y
mennyiseacuteget meacuterjuumlk x fuumlggveacutenyeacuteben)
x y
00 120
50 160
100 200
Tehaacutet ismerjuumlk y eacuterteacutekeacutet x = 00 x = 50 eacutes x = 100 eseteacuten Tegyuumlk fel hogy nekuumlnk toumlrteacutenetesen
szuumlkseacuteguumlnk van x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutere Ekkor toumlbb lehetőseacuteguumlnk van
ndash megmeacuterjuumlk kiacuteseacuterletileg x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutet
ndash aacutebraacutezoljuk y-t x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes grafikusan proacutebaacutelunk koumlvetkeztetni y eacuterteacutekeacutere x = 70 eseteacuten
ndash matematikai uacuteton bdquokiokoskodjukrdquo y eacuterteacutekeacutet az x = 70 helyen
Az első megoldaacutesra gyakran nincs lehetőseacuteg noha valoacutesziacutenűleg az lenne a legpontosabb A
grafikus megoldaacutes aacuteltalaacuteban hosszadalmas eacutes a leolvasaacutes pontatlan ezeacutert aacuteltalaacuteban az uacutegynevezett
lineaacuteris interpolaacutecioacutet alkalmazzuk ilyen esetekben Termeacuteszetesen ehhez az szuumlkseacuteges hogy a keacutet
vizsgaacutelt vaacuteltozoacute koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes aacutelljon fenn A moacutedszer gyakran olyankor is alkalmazhatoacute
ha a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt nem lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes viszont igen joacute koumlzeliacuteteacutessel lineaacuterisnak
tekinthető az adott tartomaacutenyban ezeacutert nem okoz tuacutel nagy hibaacutet az ha lineaacuterisnak vesszuumlk az
oumlsszefuumlggeacutest Ezt termeacuteszetesen az adott probleacutema jellege hataacuterozza meg eacutes csak bizonyos esetekben
hasznaacutelhatoacute Amennyiben keacutet meacutereacutesi pont koumlzoumltti eacuterteacuteket szeretneacutenk meghataacuterozni interpolaacutecioacuteroacutel
beszeacuteluumlnk (laacutesd fent) Ha a meacutereacutesi pontok alapjaacuten egy olyan pontot szeretneacutenk meghataacuterozni mely a
meacutereacutesi tartomaacutenyon kiacutevuumll esik azaz a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten peacuteldaacuteul x = 150 eseteacuten szeretneacutenk
meghataacuterozni y eacuterteacutekeacutet extrapolaacutecioacuteroacutel van szoacute Figyelem Miacuteg az interpolaacutecioacute a linearitaacutes
felteacutetelezeacuteseacutevel helyes eredmeacutenyt ad az extrapolaacutecioacute gyakran vezet olyan eredmeacutenyhez mely nem
felel meg a valoacutesaacutegnak Ennek oka hogy attoacutel hogy egy bizonyos tartomaacutenyban joggal
alkalmazhatunk lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest gyakran maacutes tartomaacutenyokban maacuter nagy hibaacutet okozhat a lineaacuteris
viselkedeacutestől valoacute elteacutereacutes Erre egy szemleacuteletes peacuteldaacutet mutat az alaacutebbi aacutebra
1151 aacutebra Az extrapolaacutecioacute hibaacutei
20 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az x = 40 hellip 50 tartomaacutenyban az oumlsszefuumlggeacutes lineaacuterisnak tekinthető tehaacutet peacuteldaacuteul az
x = 42 vagy x = 46 pontokban viszonylag pontosan becsuumllhetjuumlk y eacuterteacutekeacutet Aacutem ha az x = 40 eacutes x = 50
pontok alapjaacuten proacutebaacutelunk extrapolaacutelni x = 10 eacuterteacutekre a piros sziacutenű egyenes alapjaacuten (lineaacuteris fuumlggveacutenyt
felteacutetelezve) igen nagy hibaacutet koumlvetuumlnk el
A lineaacuteris interpolaacutecioacutet legszemleacuteletesebben egy peacutelda alapjaacuten eacuterthetjuumlk meg
17 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet vizes oldataacutenak a sűrűseacutege eacutes az oldat toumlmeg-os oumlsszeteacutetele koumlzoumltt
gyakorlatilag lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes Az alaacutebbi taacuteblaacutezat kuumlloumlnboumlző toumlmeg-os oumlsszeteacutetelű
magneacutezium-szulfaacutet-oldatok sűrűseacutegeacutet tartalmazza 20 degC hőmeacuterseacutekleten Becsuumlljuumlk meg lineaacuteris
interpolaacutecioacuteval a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutegeacutet
MgSO4-tartalom
(toumlmeg)
sűrűseacuteg
(gcm3)
6 10602
10 11034
14 11484
18 11955
Megoldaacutes
Az első leacutepeacutes megkeresni hogy mely pontok koumlzoumltt ceacutelszerű az interpolaacutecioacutet veacutegezni azaz meg kell
aacutellapiacutetani mely meacutereacutesi pontok koumlzeacute esik a keacuterdeacuteses pont A 11 toumlmeg-os oldat a 10 eacutes a 14 toumlmeg-
os oldat oumlsszeteacutetele koumlzeacute esik tehaacutet ebben az intervallumban ceacutelszerű a lineaacuteris interpolaacutecioacutet
elveacutegezni (Elvileg ugyan maacutes pontok koumlzoumltt is tudnaacutenk veacutegezni interpolaacutecioacutet aacutem a legszűkebb
intervallumot ceacutelszerű kivaacutelasztani mert a linearitaacutes felteacutetelezeacutese itt a leghelytaacutelloacutebb)
Lineaacuteris interpolaacutecioacute eseteacuten az y mennyiseacuteget (a sűrűseacuteget) x mennyiseacuteg (a MgSO4-tartalom
toumlmeg-ban) fuumlggveacutenyeacuteben a koumlvetkező oumlsszefuumlggeacutessel iacuterhatjuk le
y = a middot x + b
Az alaacutebbi diagramon laacutethatoacutek a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 14 toumlmeg-os (x2) oumlsszeteacutetelhez tartozoacute
pontok (a megfelelő sűrűseacutegek rendre y1 eacutes y2) illetve a keacuterdeacuteses sűrűseacuteg (y) a 11 toumlmeg-os pontban
(melyet a viacutezszintes tengelyen x-nek roumlvidiacutetettuumlnk)
1152 aacutebra Az oldat sűrűseacutege a toumlmegszaacutezaleacutek fuumlggveacutenyeacuteben
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 21
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Tehaacutet az (x1 y1) eacutes (x2 y2) pontok koumlzeacute behuacutezott egyenes meredekseacutege
12
12
xx
yy
x
ya
Mivel a noumlvekmeacutenyek (Γy eacutes Γx) koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn az bdquoardquo meredekseacuteg
ugyanakkora a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 11 toumlmeg-os (x) oumlsszeteacutetel eseteacuten is mint ahogyan a
koumlvetkező aacutebraacuten is laacutethatoacute
1153 aacutebra A sűrűseacuteg szaacutemiacutetaacutesa interpolaacutecioacuteval
Azaz feliacuterhatoacute ismeacutet hogy Γy eacutes Γx araacutenya aacutellandoacute meacuteghozzaacute a fenti bdquoardquo eacuterteacutek
1
1
xx
yy
x
ya
Mivel az bdquoardquo meredekseacuteg mindkeacutet esetben ugyanakkora feliacuterhatjuk a koumlvetkező kifejezeacutest
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
x
ya
Ezt a keacutepletet eacuterdemes megjegyezni aacutem ha nem megy olyan koumlnnyedeacuten akkor a fenti
gondolatmenettel baacutermikor igen koumlnnyen eljuthatunk hozzaacute Mivel a fenti egyenletben csupaacuten az y az
ismeretlen koumlnnyen kifejezhető
11
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Behelyettesiacutetve a keacutepletbe x x1 x2 y1 eacutes y2 eacuterteacutekeacutet (meacuterteacutekegyseacutegek neacutelkuumll)
1147111465110341)1011(1014
1034114841y)xx(
xx
yyy 11
12
12
Tehaacutet a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege 11147 gcm3
22 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Megjegyzeacutes ugyanehhez az eredmeacutenyhez eljuthatunk kicsit maacutes uacuteton is Az alaacutebbi aacutebraacuten bejeloumllt
keacutet haacuteromszoumlg hasonloacute egymaacuteshoz iacutegy az oldalaik araacutenya is aacutellandoacute
1154 aacutebra Az interpolaacutecioacute szemleacutelteteacutese hasonloacute haacuteromszoumlgekkel
18 peacutelda
Egy kiacuteseacuterlet soraacuten megmeacutertuumlk egy ismeretlen magneacutezium-szulfaacutet oldat sűrűseacutegeacutet mely 11600 gcm3-
nek adoacutedott Lineaacuteris interpolaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel aacutellapiacutetsuk meg az oldat magneacutezium-szulfaacutet-tartalmaacutet
toumlmeg-ban A feladat megoldaacutesaacutehoz hasznaacuteljuk az előző peacuteldaacuteban megadott taacuteblaacutezatot
Megoldaacutes
A lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes lehetőseacuteget terem arra hogy a sűrűseacuteg (y) ismereteacuteben az ismeretlen toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelt (x) is meghataacuterozhassuk Mivel az 11600 gcm3 sűrűseacuteg-eacuterteacutek a 11484 eacutes 11955 gcm3
eacuterteacutekek koumlzoumltt talaacutelhatoacute a 14 eacutes 18 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelhez tartozoacute pontok koumlzt kell interpolaacutelni Az
előző peacuteldaacuteban megismert oumlsszefuumlggeacutest kell alkalmaznunk
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
Ebből most x-et kell kifejeznuumlnk x1 x2 y1 y2 eacutes y fuumlggveacutenyeacuteben
1
12
121
12
1211 x
yy
xx)yy(x
yy
xx)yy(xx
Behelyettesiacutetve a megfelelő eacuterteacutekeket
159814141484119551
1418)1484116001(x
yy
xx)yy(x 1
12
121
Tehaacutet az 11600 gcm3 sűrűseacutegű magneacutezium-szulfaacutet-oldat koumlruumllbeluumll 15 toumlmeg-os
Mint emliacutetettuumlk az extrapolaacutecioacute soraacuten mindig fokozott figyelemmel kell eljaacuterni mivel gyakran
előfordul hogy az extrapolaacutelt eacuterteacutek nem joacute becsleacutese a valoacutedi eacuterteacuteknek Koumlvetkezzen egy peacutelda az
extrapolaacutecioacutera
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 23
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
19 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet-oldatra bemutatott 6 eacutes 10 toumlmeg-os adatok alapjaacuten extrapolaacuteljunk 0 toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelre
Megoldaacutes
Az előzőekhez hasonloacutean 6 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelneacutel (x1) a sűrűseacuteg 10602 gcm3 (y1) 10 toumlmeg
(x2) eseteacuten pedig 11034 gcm3 (y2) A feladat megbecsuumllni a sűrűseacuteget (y) 0 toumlmeg (x) eseteacuten
Ismeacutetelten ceacutelszerű egy aacutebraacutet keacutesziacuteteni a megoldaacuteshoz
1155 aacutebra Peacutelda a lineaacuteris extrapolaacutecioacutera
Az előző feladatok megoldaacutesaacutehoz hasonloacutean feliacuterhatjuk az egyes pontokat oumlsszekoumltő egyenesek
meredekseacutegeacutet eacutes a keacutet meredekseacutegnek meg kell egyeznie
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
x
ya
Kifejezve y-t x fuumlggveacutenyeacuteben
11
12
1211
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyyy)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Eacuterdemes megfigyelni hogy a kapott kifejezeacutes ugyanaz mint amit az interpolaacutecioacutenaacutel kaptunk
Behelyettesiacutetve az eacuterteacutekeket
9954006021)60(610
0602110341y)xx(
xx
yyy 11
12
12
A desztillaacutelt viacutez sűrűseacutege 4 degC-on 1000 grammcm3 20 degC-on pedig 0998 grammcm
3 iacutegy az
extrapolaacutecioacuteval kapott 09954 grammcm3 eacuterteacutek igen joacutel koumlzeliacuteti a valoacutedi eacuterteacuteket Ebből arra
koumlvetkeztethetuumlnk hogy a magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege eacutes oumlsszeteacutetele koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes igen
Gyakran előfordul hogy egy egyenlet megoldaacutesaacutera nem ismeruumlnk megfelelő bdquokeacutepletetrdquo sőt nem ritka
hogy egy egyenletet csak koumlzeliacutetőleg tudunk megoldani Ebben a reacuteszben bemutatunk egy egyszerű
moacutedszert melynek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megoldhatunk kuumlloumlnfeacutele egyenleteket
110 peacutelda
Oldjuk meg koumlzeliacutetőleg a koumlvetkező egyenletet
0xlgx
Megoldaacutes
Az egyenletet a pozitiacutev szaacutemok halmazaacuten kell megoldanunk
Hozzuk az egyenletet a koumlvetkező formaacutera
x = f(x)
Erre keacutet lehetőseacuteguumlnk van azaz
A) xlgx
x10x xA 10)x(f
B) xlgx
22 )x(lg)xlg(x xlg)x(f 2B
Ezutaacuten proacutebaacuteljuk megoldani az egyenletet az A) illetve B) uacuteton Vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0
eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0 = 05 ezutaacuten x0 eacuterteacutekeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuten aacutelloacute kifejezeacutesbe
melynek eredmeacutenye x1 = f(x0) lesz Ezutaacuten x1-et behelyettesiacutetjuumlk a jobb oldali kifejezeacutesbe eacutes
megkapjuk x2 = f(x1) eacuterteacutekeacutet majd ezt ismeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuteba eacutes iacutegy tovaacutebb
Ha az egyenlet megoldhatoacute ezzel a moacutedszerrel azt kell tapasztalnunk hogy az egymaacutest koumlvető x0
x1 = f(x0) x2 = f(x1) x3 = f(x2) hellip xi+1 = f(xi) hellip eacuterteacutekeknek koumlzeledniuumlk kell a megoldaacuteshoz mely
iacutegy tetszőleges pontossaacuteggal kiszaacutemiacutethatoacute Most neacutezzuumlk ezt meg az adott peacuteldaacuten
A)
x0 = 05 x0 = 05000
x1 = 50000x
1010 0 x1 asymp 01363
x2 = 19630x
1010 1 x2 asymp 03605
x3 = 36050x
1010 2 x3 asymp 02509
x4 = 25090x
1010 3 x4 asymp 03156
x5 = 31560x
1010 4 x5 asymp 02743
x6 = 27430x
1010 5 x6 asymp 02994
x7 = 29940x
1010 6 x7 asymp 02837
x8 = 28370x
1010 7 x8 asymp 02933
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 25
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x9 = 29330x
1010 8 x9 asymp 02873
x10 = 28730x
1010 9 x10 asymp 02910
x11 = 29100x
1010 10 x11 asymp 02887
x12 = 28870x
1010 11 x12 asymp 02902
x13 = 29020x
1010 12 x13 asymp 02893
x14 = 28930x
1010 13 x14 asymp 02898
x15 = 28980x
1010 14 x15 asymp 02895
x16 = 28950x
1010 15 x16 asymp 02897
x17 = 28970x
1010 16 x17 asymp 02896
x18 = 28960x
1010 17 x18 asymp 02896
x19 = 28960x
1010 18 x19 asymp 02896
Mint laacutetjuk az eredmeacutenyek egy adott eacuterteacutekhez koumlzeliacutetenek eacutes ez az eacuterteacutek eacuteppen az egyenlet
megoldaacutesa
1161 aacutebra Az eredmeacutenyek konvergenciaacuteja
Az eredmeacutenyekből szeacutepen laacutetszik hogy mineacutel toumlbbszoumlr veacutegezzuumlk el a behelyettesiacuteteacutest egyre
pontosabban kapjuk meg az egyenlet eredmeacutenyeacutet Ha keacutet tizedesjegy pontossaacuteggal szeretneacutenk
megoldani az egyenletet akkor eleacuteg csak a 8 leacutepeacutesig folytatni ha az eredmeacutenyre haacuterom tizedesjegy
pontossaacutegra vagyunk kiacutevaacutencsiak a 14 leacutepeacutesig kell folytatnunk az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest Az egyenlet
pontos megoldaacutesa heacutet eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal 02896232
Megjegyzendő hogy a moacutedszer gyorsasaacutega termeacuteszetesen fuumlgg a kiindulaacutesi x0 eacuterteacutek kivaacutelasztaacutesaacutetoacutel
Az eljaacuteraacutest grafikusan az alaacutebbi animaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel szemleacuteltethetjuumlk
26 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1161 animaacutecioacute Az iteraacutecioacute
1162 aacutebra Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutes szemleacutelteteacutese
B)
Az előzőekhez hasonloacutean legyen a kiindulaacutesi eacuterteacutek x0 = 05
x0 = 05 x0 asymp 05000
x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906
x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874
x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013
x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837
x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431
x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055
x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090
x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017
x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)
2 x9 asymp 00897
x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965
x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016
x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 27
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972
x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097
x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555
x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697
x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867
x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311
Mint ahogyan a fenti eacuterteacutekeket aacutebraacutezolva laacutethatjuk az eredmeacutenyek nem tartanak egy adott
eacuterteacutekhez
1163 aacutebra A nem megfelelő fuumlggveacutenykapcsolat koumlvetkezmeacutenye
A feladatot iacutegy a B) uacuteton nem tudjuk megoldani a megoldaacutes csak az A) uacuteton lehetseacuteges Annak
magyaraacutezataacutehoz hogy mieacutert csak az egyik uacuteton jutottunk el a veacutegeredmeacutenyhez felsőbb matematikai
eszkoumlzoumlk is szuumlkseacutegesek ezeacutert ezzel a keacuterdeacutessel itt nem foglalkozunk reacuteszletesen Amennyiben egy
aacutetalakiacutetaacutesi moacuted nem vezet megoldaacuteshoz eacuterdemes megproacutebaacutelni az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest a fuumlggveacuteny
inverzeacutevel is
111 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
x3 + 4 middot x2 minus 1 = 0
Megoldaacutes
Egy harmadfokuacute fuumlggveacutenynek egy kettő vagy haacuterom gyoumlke lehetseacuteges A g(x) = x3 + 4 middot x2 minus 1
fuumlggveacutenyt aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
Mint a fenti aacutebraacuteboacutel laacutethatoacute a g(x) fuumlggveacutenynek haacuterom zeacuteruspontja van iacutegy a g(x) = 0
egyenletnek haacuterom megoldaacutesa van A grafikus megoldaacutesboacutel annyit megaacutellapiacutethatunk hogy egy gyoumlk
x = minus4 koumlrnyezeteacuteben egy maacutesik x = minus05 koumlrnyezeteacuteben miacuteg a harmadik x = 05 koumlrnyezeteacuteben
talaacutelhatoacute
Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacuteshoz x = f(x) alakra kell hozni az egyenletet Erre toumlbb lehetőseacuteg is van
A)
3 2x41x
Az előző feladat megoldaacutesaacutenak mintaacutejaacutera vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0 eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0=10
(baacutermely maacutes szaacutem is lehetne) Az iteraacutecioacute első 32 leacutepeacuteseacutenek xn eacuterteacuteke a leacutepeacutesszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben a
Az alaacutebbiakban a legfontosabb siacutekidomok keruumlleteacutenek (K) eacutes teruumlleteacutenek (T) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Haacuteromszoumlg
cbaK
2
sinba
2
maT a
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a haacuteromszoumlg oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo
oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Trapeacutez
dcbaK
30 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
m2
caT
bdquoardquo eacutes bdquocrdquo a trapeacutez paacuterhuzamos oldalai m a keacutet paacuterhuzamos oldal koumlzoumltti taacutevolsaacuteg azaz a trapeacutez
magassaacutega bdquocrdquo eacutes bdquodrdquo a trapeacutez szaacuterai
Paralelogramma
)ba(2K
sinbambmaT ba
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a paralelogramma oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg mb az a oldalhoz
tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Teacuteglalap
)ba(2K
baT
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a teacuteglalap oldalai
Neacutegyzet
a4K
2aT
bdquoardquo a neacutegyzet oldala
Deltoid
)ba(2K
fe2
1T
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a deltoid oldalai bdquoerdquo eacutes bdquofrdquo a deltoid aacutetloacutei
Rombusz
a4K
sinamaT 2a
bdquoardquo a rombusz oldala ma a magassaacutega α pedig a rombusz keacutet egymaacutes melletti oldala aacuteltal bezaacutert
szoumlg
Koumlr
dr2K
22 d4
1rT
bdquorrdquo a koumlr sugara bdquodrdquo a koumlr aacutetmeacuterője
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 31
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Haacuteromszoumlg
cbaK 2
sinba
2
maT a
Trapeacutez
dcbaK m2
caT
Paralelogramma
)ba(2K sinbambmaT ba
Teacuteglalap
)ba(2K baT
Neacutegyzet
a4K 2aT
Deltoid
)ba(2K fe
2
1T
Rombusz
a4K sinamaT 2a
Koumlr
dr2K 22 d4
1rT
118 Testek felsziacutene eacutes teacuterfogata
Az alaacutebbiakban a legfontosabb testek felsziacuteneacutenek (A) eacutes teacuterfogataacutenak (V) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Teacuteglatest
)acbcab(2A
32 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
cbaV
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a teacuteglatest eacutelei
Kocka
2a6A
3aV
bdquoardquo a kocka eacutele
Egyenes koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2
hd4
1hrV 22
bdquorrdquo az alapkoumlr sugara bdquodrdquo az alapkoumlr aacutetmeacuterője bdquohrdquo a henger magassaacutega
Goumlmb
22 dr4A
33 d6
1r
3
4V
bdquorrdquo a goumlmb sugara bdquodrdquo a goumlmb aacutetmeacuterője
Teacuteglatest
)acbcab(2A cbaV
Kocka
2a6A 3aV
Egyenes
koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2 hd4
1hrV 22
Goumlmb
22 dr4A 33 d6
1r
3
4V
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 33
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
12 Fizikai alapismeretek
121 SI-alapmennyiseacutegek meacuterteacutekegyseacutegeik eacutes gyakori jeloumlleacuteseik
Hosszuacutesaacuteg
Jele ℓ (longitudo hosszuacutesaacuteg) s (taacutevolsaacuteg uacutet)
Meacuterteacutekegyseacutege meacuteter ( metrum ndash latin metron ndash goumlroumlg meacuterteacutek) roumlvidiacuteteacutese m
Toumlmeg
Jele m (massa)
Meacuterteacutekegyseacutege kilogramm ( kilo + gramma ndash goumlroumlg kis toumlmeg) roumlvidiacuteteacutese kg
Idő
Jele t (tempus)
Meacuterteacutekegyseacutege maacutesodperc vagy szekundum ( secunda ndash latin kis reacutesz) roumlvidiacuteteacutese s
Aacuteramerősseacuteg
Jele I (intensitas)
Meacuterteacutekegyseacutege amper ( Andreacute-Marie Ampegravere) roumlvidiacuteteacutese A
Hőmeacuterseacuteklet
Jele T (temperare)
Meacuterteacutekegyseacutege kelvin ( William Thomson Kelvin) roumlvidiacuteteacutese K
Energia a munkaveacutegző keacutepesseacuteg Az energia bdquoeltaacuterolt munkardquo mely megfelelő koumlruumllmeacutenyek
koumlzoumltt munkaacutevaacute alakiacutethatoacute Az energia kuumlloumlnfeacutele formaacutekban jelenik meg peacuteldaacuteul beszeacutelhetuumlnk
mechanikai (mozgaacutesi helyzetihellip) termikus elektromos stb Az energia a rendszer egy aacutellapotaacutet iacuterja
le a munka pedig az aacutellapotok koumlzoumltti vaacuteltozaacutest
Jele E ( energy ndash angol)
Meacuterteacutekegyseacutege ugyanaz mint a munkaacutenak J (joule) 1 J = 1 Nmiddotm = 1 kgmiddotm2middotsminus2
Teljesiacutetmeacuteny a munka eacutes az munkaveacutegzeacutes időtartamaacutenak haacutenyadosa egyseacutegnyi idő alatt veacutegzett
munka a munkaveacutegzeacutes sebesseacutege
Jele P ( power ndash angol)
t
WP
Meacuterteacutekegyseacutege W (watt) 1 W = 1 Js = 1 (kgmiddotm2s2)s = 1 kgmiddotm2s3 = 1 kgmiddotm2middotsminus3
s
F
Fs
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 37
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hataacutesfok a hasznos munka eacutes az oumlsszes befektetett munka haacutenyadosa vagy maacuteskeacuteppen a
hasznos teljesiacutetmeacuteny eacutes az oumlsszes befektetett teljesiacutetmeacuteny haacutenyadosa
Jele ε
ouml
h
W
W
ouml
h
P
P
Wh hasznos munka Wouml befektetett munka Ph hasznos teljesiacutetmeacuteny Pouml befektetett teljesiacutetmeacuteny
Dimenzioacutementes szaacutem eacuterteacuteke 0 le ε le 1
124 Elektromossaacutegtan
Toumllteacutes az elemi toumllteacutesnek valahaacutenyszorosa
Jele Q
Meacuterteacutekegyseacutege C (coulomb) 1 C = 1 Amiddots
Az elektron toumllteacutese q = 1602middot10minus19 C Az elektoron toumllteacuteseacutet negatiacutevnak a protoneacutet pedig
pozitiacutevnak tekintjuumlk
Coulomb toumlrveacutenye keacutet pontszerű toumllteacutes koumlzoumltt hatoacute erő egyenesen araacutenyos a toumllteacutesekkel eacutes
fordiacutetottan araacutenyos a toumllteacutesek koumlzoumltti taacutevolsaacuteg neacutegyzeteacutevel Keacutet azonos előjelű toumllteacutes (++ illetve minusminus)
F erő Q1 eacutes Q2 toumllteacutes r a keacutet toumllteacutes koumlzoumltti taacutevolsaacuteg k araacutenyossaacutegi teacutenyező melynek eacuterteacuteke
899 ∙ 109 Nm2C2
1241 aacutebra Coulomb toumlrveacutenye
Aacuteramerősseacuteg az időegyseacuteg alatt aacutethaladt toumllteacutesek mennyiseacutege
Jele I ( intensitas ndash angol)
t
QI
Q aacutethaladt toumllteacutes t idő
Meacuterteacutekegyseacutege A (amper) 1 A = 1 Cs = 1 Cmiddotsminus1
38 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Feszuumlltseacuteg a munka eacutes a toumllteacutes haacutenyadosa A feszuumlltseacuteg megadja hogy mennyi munkaacutet veacutegez a
mező egyseacutegnyi toumllteacutesen miacuteg a toumllteacutes az egyik pontboacutel elmozdul a maacutesikba
Jele U
Q
WU
Q toumllteacutes W a Q toumllteacutes egyik pontboacutel a maacutesikba juttataacutesaacutehoz szuumlkseacuteges munka
Meacuterteacutekegyseacutege V (volt) 1 V = 1 JC = 1 kgmiddotm2s2(Amiddots) = 1 kgmiddotm2(Amiddots3) = 1 kgmiddotm2middotAminus1middotsminus3
Ellenaacutellaacutes egy elektromos koumlrben egy fogyasztoacuten eső feszuumlltseacuteg eacutes a rajta aacutetmenő aacuteramerősseacuteg
Ilyenkor az aacuteramforraacutes terheletlen azaz a teljes feszuumlltseacuteg az aacuteramforraacuteson esik
Azonban ha egy fogyasztoacuteval terheljuumlk az aacuteramforraacutest az aacuteramforraacuteson meacutert feszuumlltseacuteg maacuter nem
egyezik meg az elektromotoros erővel hanem annaacutel kisebb lesz Ezt a feszuumlltseacuteget
kapocsfeszuumlltseacutegnek nevezzuumlk (a terhelt aacuteramforraacutes kapcsain meacutert feszuumlltseacuteg) A jelenseacuteg oka hogy
az aacuteramkoumlrben folyoacute aacuteram az aacuteramforraacuteson is aacutetfolyik A toumllteacutesek mozgaacutesaacuteval szemben azonban az
aacuteramforraacutesnak is van ellenaacutellaacutesa ezt belső ellenaacutellaacutesnak nevezzuumlk
1242 aacutebra A belső ellenaacutellaacutes szemleacutelteteacutese
Az aacuteramkoumlrben meacuterhető aacuteramerősseacuteget (I) a fogyasztoacute bdquokuumllsőrdquo ellenaacutellaacutesa (Rk) eacutes az aacuteramforraacutes
belső ellenaacutellaacutesa (Rb) hataacuterozza meg
)RR(IU bk0 bk
0
RR
UI
A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramforraacutes kapcsain meacuterhető feszuumlltseacuteg azaz
b0kk RIURIU
A kapocsfeszuumlltseacuteget az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben aacutebraacutezolva a koumlvetkező diagramot kapjuk
1243 aacutebra A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben
U0
Uk
Rb
Rk
+minus
I
40 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha egy elhanyagolhatoacute ellenaacutellaacutesuacute vezetődarabbal oumlsszekoumltjuumlk az aacuteramforraacutes kivezeteacuteseit a
kapocsfeszuumlltseacuteg zeacuterus eacutes az ilyenkor meacuterhető aacuteramerősseacuteg a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram
b
00
R
UI
Mint ahogyan a fenti diagramon is laacutethatoacute a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram aacuteramerősseacuteg maximumaacutet adja meg
Egyenaacuteram munkaacuteja az aacuteramerősseacuteg a feszuumlltseacuteg eacutes az idő szorzata aacutem az ellenaacutellaacutes
segiacutetseacutegeacutevel toumlbb maacutes moacutedon is meghataacuterozhatoacute
tUIW
I aacuteramerősseacuteg U feszuumlltseacuteg t az elektromos munkaveacutegzeacutes ideje
Meacuterteacutekegyseacutege ndash a toumlbbi munkaacutehoz hasonloacutean ndash joule
A munka koumlnnyen adoacutedik a feszuumlltseacuteg eacutes a toumllteacutesmennyiseacuteg definiacutecioacutejaacuteboacutel
Q
WU tIUQUW
Az ellenaacutellaacutes segiacutetseacutegeacutevel a koumlvetkező keacutepletek adoacutednak
tR
UtU
R
UtUIW
2
illetve tRIt)RI(ItUIW 2
Elektromos teljesiacutetmeacuteny az elektromos teljesiacutetmeacuteny az aacuteramerősseacuteg eacutes a feszuumlltseacuteg szorzatakeacutent
adoacutedik Az ellenaacutellaacutes bevezeteacuteseacutevel ismeacutet tovaacutebbi oumlsszefuumlggeacuteseket kaphatunk
RIR
UUIW 2
2
Az elektromos teljesiacutetmeacuteny meacuterteacutekegyseacutege a watt A fenti oumlsszefuumlggeacutesek koumlzvetlenuumll adoacutednak az
elektromos munka keacutepleteiből (a teljesiacutetmeacuteny munka eacutes a munkaveacutegzeacutes idejeacutenek haacutenyadosa)
125 Hőtan
Hőmeacuterseacutekleti skaacutelaacutek a hőmeacuterseacuteklet meghataacuterozaacutesaacutera toumlbb kuumlloumlnboumlző skaacutelaacutet hasznaacutelhatunk A skaacutelaacutek
nagy reacuteszeacutet tapasztalati uacuteton alakiacutetottaacutek ki meacuteghozzaacute egy kivaacutelasztott alsoacute eacutes felső hőmeacuterseacutekleti eacuterteacutek
koumlzoumltt meghataacuterozott szaacutemuacute egyenletes skaacutelaosztaacutest alkalmazva Itt csak a gyakorlati szempontboacutel
legfontosabb keacutet skaacutelaacutet taacutergyaljuk
Az atomot alkotoacute elemi reacuteszecskeacutek toumlmege eacutes toumllteacutese
Reacuteszecske neve Toumlmeg Toumllteacutes Relatiacutev
toumlmeg
Relatiacutev
toumllteacutes
Atommag Proton (p+) 1672 middot 10minus27 kg 16021 middot 10minus19 C 18355 +1
Neutron (n0) 1674 middot 10minus27 kg 0 18377 0
Elektronburok Elektron (eminus) 9109 middot 10minus31 kg minus16021 middot 10minus19 C 1 minus1
Mint laacutethatoacute a fenti taacuteblaacutezatboacutel a proton eacutes a neutron toumlmege koumlzeliacutetőleg megegyezik az elektron
toumlmege pedig ezekneacutel nagysaacutegrendekkel kisebb (mintegy 1840-ed reacutesze a proton vagy a neutron
toumlmegeacutenek) A neutron semleges a proton eacutes az elektron toumllteacutese abszoluacutet eacuterteacutekben megegyezik aacutem
előjeluumlk ellenteacutetes
Rendszaacutem az atomban talaacutelhatoacute protonok szaacutema
Jele Z
Toumlmegszaacutem az atommagban talaacutelhatoacute protonok eacutes neutronok szaacutemaacutenak az oumlsszege
Jele A
Neutronszaacutem toumlmegszaacutemboacutel levonva a protonok szaacutemaacutet azaz a toumlmegszaacutem eacutes a rendszaacutem
kuumlloumlnbseacutege
Jele N
N = Z minus A
2 Az atomok szerkezete 45
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
(Keacutemiai) elemeknek nevezzuumlk az azonos rendszaacutemmal rendelkező atomokboacutel feleacutepuumllő
anyagokat Az elemeket vegyjeluumlkkel szoktuk azonosiacutetani A vegyjel előtt a toumlmegszaacutemot eacutes a
rendszaacutemot is feltuumlntethetjuumlk ilyenkor rendszerint a bal felső indexbe a toumlmegszaacutemot a bal alsoacute
indexbe a rendszaacutemot iacuterjuk
EAZ
Nuklid azonos rendszaacutemuacute eacutes toumlmegszaacutemuacute atommagokat tartalmazoacute atomok oumlsszesseacutege
Izotoacutep egy elem izotoacutepjainak nevezzuumlk azonos rendszaacutemmal aacutem kuumlloumlnboumlző toumlmegszaacutemmal
rendelkező atomjait (Egy elem kuumlloumlnboumlző neutronszaacutemuacute nuklidjai)
Relatiacutev atomtoumlmeg megmutatja hogy az adott atom toumlmege haacutenyszorosa egy C126 -atom
toumlmegeacutenek 112-ed reacuteszeacuteneacutel
Anyagmennyiseacuteg 1 moacutel az anyagmennyiseacutege 6022 middot 1023 darab reacuteszecskeacutenek
Avogadro-szaacutem egy moacutel reacuteszecske darabszaacutema Eacuterteacuteke 6022 middot 1023 mol
A relatiacutev atomtoumlmeg megadja 1 moacutel elem toumlmegeacutet az adott elem 6022 middot 1023 darab atomjaacutenak
oumlssztoumlmegeacutet
Egy elemek legnagyobb reacutesze toumlbbfeacutele izotoacutep elegye a termeacuteszetes gyakorisaacutegukboacutel adoacutedik a
relatiacutev atomtoumlmeg A relatiacutev atomtoumlmeg kiszaacutemiacutetaacutesaacutenaacutel az egyes izotoacutepok atomtoumlmegeacutet a termeacuteszetes
gyakorisaacutegukkal suacutelyozzuk
Tiszta elem olyan elem mely (a termeacuteszetben) csak egyetlen stabil izotoacutepjaacuteval fordul elő
A kuumlloumlnboumlző izotoacutepok gyakorlatilag toumlkeacuteletesen azonos keacutemiai tulajdonsaacuteggal rendelkeznek A
legnagyobb kuumlloumlnbseacuteg fizikai tulajdonsaacutegokban a hidrogeacuten haacuterom izotoacutepja koumlzoumltt van (itt egyetlen
proton mellett egy vagy keacutet neutron viszonylag nagyobb elteacutereacutest okoz) 1H proacutecium (9998) 2H deuteacuterium (002) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese D 3H triacutecium (radioaktiacutev) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese T
Radioaktivitaacutes a nem stabil atommagok spontaacuten bomlaacutesa A radioaktiacutev bomlaacutest nagy energiaacutejuacute
sugaacuterzaacutes kiacuteseacuteri
A nem stabil magokat szokaacutes radioaktiacutev magoknak is nevezni
A radioaktivitaacutes keacutemiai moacutedszerekkel ndash tehaacutet az elektronszerkezeten keresztuumll ndash nem
befolyaacutesolhatoacute
48 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
23 Az atomok elektronszerkezete
Az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronszerkezetuumlk hataacuterozza meg a keacutemiai vaacuteltozaacutesok az
atommagra nincsenek hataacutessal Az elektronok szaacutema megegyezik a rendszaacutemmal mely az adott
elemre jellemző iacutegy a kuumlloumlnboumlző elemek vaacuterhatoacutean kuumlloumlnboumlző keacutemiai tulajdonsaacutegokkal rendelkeznek
Az elektronok az atomokban atompaacutelyaacutekon helyezkednek el
Atompaacutelya az a teacuterreacutesz ahol az elektron 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute
Az elektron a teacuter baacutermely teacuterreacuteszeacuteben megtalaacutelhatoacute valamilyen valoacutesziacutenűseacuteggel az atompaacutelya
nem jelent eacuteles hataacutert inkaacutebb valoacutesziacutenűseacutegi jellegű
Az atompaacutelyaacutekat egy szaacutem eacutes egy betű kombinaacutecioacutejaacuteval szoktuk jeloumllni peacuteldaacuteul 1s 2px 3dxy
stbhellip
A paacutelyaacutekat teacuterben aacutebraacutezolhatjuk uacutegy hogy megjeleniacutetjuumlk azt a feluumlletet mellyel hataacuterolt
teacuterreacuteszben az elektron megtalaacutelaacutesaacutenak valoacutesziacutenűseacutege 90-os
A kuumlloumlnfeacutele paacutelyaacutek alakjaacutet megfigyelhetjuumlk az alaacutebbi aacutebraacuten
231 aacutebra Kuumlloumlnboumlző atompaacutelyaacutek alakja
A paacutelyaacutek egyik fontos jellemzője a csomoacutesiacutekok szaacutema Csomoacutesiacuteknak nevezzuumlk azt a siacutekot mely
keresztuumllmegy az atommagon eacutes benne az elektron megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege zeacuterus Mint laacutethatoacute az s-
paacutelyaacutenak nincsen csomoacutesiacutekja a p-paacutelyaacuteknak egy csomoacutesiacutekja van a d-paacutelyaacuteknak keacutet csomoacutesiacutekja van eacutes
iacutegy tovaacutebb
Az elektronburok feleacutepuumlleacutese
Mint a koraacutebbiakban is emliacutetettuumlk az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronburok feleacutepiacuteteacutese az
elektronszerkezet hataacuterozza meg Ezeacutert rendkiacutevuumll fontos az elektronszerkezet feleacutepuumlleacuteseacutet viszonylag
reacuteszletesen taacutergyalnunk Az aacuteltalaacutenos keacutemia ezen reacutesze viszonylag bonyolult viszont a fontos
alapfogalmak elsajaacutetiacutetaacutesa utaacuten eacuterdekes toumlrveacutenyszerűseacutegeket ismeruumlnk majd meg
Vegyuumlnk egy tetszőleges atommagot eacutes koumlzeliacutetsuumlnk hozzaacute egy elektront Az elektron a
legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacutera keruumll eacutes ezt energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri (Megjegyzendő hogy
a felszabaduloacute energia nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket) A legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutet 1s
paacutelyaacutenak nevezzuumlk Egy maacutesodik elektron koumlzeliacutetve az iacutegy keletkezett bdquoegyelektronosrdquo rendszerhez
szinteacuten egy atompaacutelyaacutera keruumllt melyet ismeacutet energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuter A maacutesodik elektron ndash az
elsőhoumlz hasonloacutean ndash az 1s paacutelyaacutera keruumll eacutes az energiafelszabadulaacutes is megegyezik az első elektron
koumltődeacuteseacuteneacutel tapasztalttal Ha ehhez a bdquokeacutetelektronosrdquo rendszerhez egy uacutejabb elektront adunk az maacuter
nem keruumllhet a legalacsonyabb energiaacutejuacute 1s paacutelyaacutera mivel az atompaacutelyaacutekon maximaacutelisan keacutet elektron
foglalhat helyet (Most ezt fogadjuk el teacutenykeacutent ndash a kiegeacutesziacutető anyagkeacutent taacutergyalandoacute ndash aacuteltalaacutenosan
megfogalmazott Pauli-elv koumlvetkezmeacutenye) A harmadik elektron iacutegy a 2s paacutelyaacutera keruumll Egy negyedik
elektront meacuteg mindig el tudunk helyezni a 2s paacutelyaacuten aacutem az oumltoumldik elektronnak maacuter az egyik 2p
paacutelyaacutera kell keruumllnie (mivel paacutelyaacutenkeacutent maximum keacutet elektron foglalhat helyet) Meacuteg mielőtt tuacutelzottan
belebonyoloacutednaacutenk a paacutelyaacutek szaacutemozaacutesaacuteba eacutes sorrendjeacutebe eacuterdemes oumlsszefoglalnunk a fentieket
2 Az atomok szerkezete 49
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
ndash Energiaminimumra toumlrekveacutes az elektron mindig a legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektront lehet elhelyezni
A paacutelyaacutekat az elektronokkal szokaacutes az alaacutebbi cellaacutes jeloumlleacutessel jeloumllni
Paacutelya elektron neacutelkuumll
(uumlres paacutelya)
Paacutelya egy elektronnal
(feacutelig betoumlltoumltt paacutelya)
Paacutelya keacutet elektronnal
(betoumlltoumltt paacutelya)
Alapaacutellapotuacute atom minden elektron a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacuten helyezkedik el
Gerjesztett atom az atommal energiaacutet koumlzoumllve egy vagy toumlbb elektron magasabb energiaacutejuacute
paacutelyaacutera keruumll (Meacuteg mindig koumltődik az atomhoz nem szakad le roacutela)
Az atompaacutelyaacutek alheacutejakat az alheacutejak pedig elektronheacutejakat alkotnak
Az alheacutejat a paacutelya megjeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute betű jeloumlli peacuteldaacuteul lehetseacuteges p-alheacutej d-alheacutej stb Egy
alheacutejon beluumll ugyanolyan tiacutepusuacute eacutes azonos (vagy hasonloacute) meacuteretű paacutelyaacutek talaacutelhatoacuteak aacutem ezeknek a
Egy adott alheacutejon beluumll az elektronok energiaacuteja azonos tehaacutet a 2px 2py eacutes a 2pz paacutelyaacutekon talaacutelhatoacute
elektronoknak ugyanakkora (ugyanolyam meacutely) az energiaacuteja
Az elektronheacutejat pedig a paacutelya jeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute szaacutem mutatja meg az elektronheacutej bdquomeacutereteacutevelrdquo
van kapcsolatban az 1 heacutej van a legkoumlzelebb az atommaghoz a 2 heacutej enneacutel kijjebb talaacutelhatoacute eacutes iacutegy
tovaacutebb Tehaacutet a heacutej sorszaacutema az atommagtoacutel valoacute taacutevolsaacutegot jelenti
A heacutejakon beluumll alheacutejak talaacutelhatoacuteak Peacuteldaacuteul az 1 heacutej egyetlen alheacutejboacutel (1s) aacutell mely csupaacuten egy
paacutelyaacutet tartalmaz (1s) a 2 heacutej keacutet alheacutejboacutel aacutell a 2s-alheacutej eacutes a 2p-alheacutej alkotja A legalacsonyabb
energiaacutejuacute heacutejat K heacutejnak a toumlbbit pedig rendre L M N O hellip heacutejaknak nevezzuumlk
Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk kuumlloumlnboumlző bdquofajtardquo kuumlloumlnboumlző alakuacute paacutelyaacutekat az egyes tiacutepusuacute atompaacutelyaacutek
darabszaacutemaacutet pedig a paacuteratlan egeacutesz szaacutemok adjaacutek meg (1 3 5 7 9 hellip)
ndash s-paacutelya heacutejankeacutent egy s-paacutelya lehetseacuteges ez az egy paacutelya alkotja az s-alheacutejat
ndash p-paacutelya heacutejankeacutent haacuterom p-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a p-alheacutejat
ndash d-paacutelya heacutejankeacutent oumlt d-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a d-alheacutejat
ndash f-paacutelya heacutejankeacutent heacutet f-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek az f-alheacutejat
Mint laacutethatoacute az s-alheacutej kiveacuteteleacutevel egy alheacutejon beluumll toumlbb paacutelya is talaacutelhatoacute a paacutelyaacuteknak toumlbbfeacutele
iraacutenyultsaacutega van a px py eacutes pz paacutelyaacutek egy dereacutekszoumlgű (Descartes-feacutele) teacuterbeli koordinaacutetarendszer
Tehaacutet mindig legelőszoumlr az 1s alheacutej toumlltődik be majd a 2s ezutaacuten a 2p Tovaacutebbi elektront a 3s
alheacutejra tudunk elhelyezni ezutaacuten a 3p alheacutej koumlvetkezik Eddig a sorrend megegyezik azzal mint amire
a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten szaacutemiacutetanaacutenk Aacutem a taacuteblaacutezat szerint koumlvetkező 3d alheacutej energiaacuteja magasabb
mint a 4s alheacutejeacute ezeacutert az elektron inkaacutebb arra keruumll Neheacutez pontos magyaraacutezatot adni arra hogy ez
mieacutert van ezeacutert egyszerűen csak fogadjuk el
Az alheacutejak fentebb bemutatott betoumlltődeacutesi sorrendje az alaacutebbi aacutebraacuten koumlnnyen nyomon koumlvethető
233 aacutebra Az alheacutejak betoumllteacutesi sorrendje
3px 3py 3pz3s
3p-alheacutej3s-alheacutej
3 (M) heacutej
3d-alheacutej
3dxy 3pyz 3pxz 3px minusy 3pz 2 22
1s
2s
3s
4s
5s
2p
3p
4p
5p
3d
4d
5d
4f
6s 6p
1 (K)
2 (L)
3 (M)
4 (N)
5 (O)
6 (P)
52 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Termeacuteszetesen a paacutelyaacutek betoumlltődeacutese addig tart amiacuteg rendelkezeacutesre aacutell elektron Mindig
figyelembe kell vennuumlnk hogy
ndash az s-alheacutejon 1 paacutelya
ndash a p-alheacutejon 3 paacutelya
ndash a d-alheacutejon 5 paacutelya
ndash az f-alheacutejon 7 paacutelya
talaacutelhatoacute eacutes hogy minden paacutelyaacuten maximaacutelisan keacutet elektron helyezkedhet el
Oumlsszefoglalva
ndash az s-alheacutejakra maximaacutelisan 2 elektront
ndash a p-alheacutejakra maximaacutelisan 6 elektront
ndash a d-alheacutejakra maximaacutelisan 10 elektront
ndash az f-alheacutejakra maximaacutelisan 14 elektront
helyezhetuumlnk
Ezeacutert szokaacutes a betoumlltődeacutesi energiasorrendet az alaacutebbi moacutedon is jeloumllni
1s2 rarr 2s
2 rarr 2p6 rarr 3s
2 rarr 3p6 rarr
rarr 4s2 rarr 3d
10 rarr 4p6 rarr 5s
2 rarr 4d10 rarr
rarr 5p6 rarr 6s
2 rarr 4f14
rarr 5d10 rarr 6p
6 hellip
Peacuteldaacuteul ha a fluoratom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak a fluor (9F)
rendszaacutemaacutenak megfelelő 9 elektront kell megfelelően elhelyezni Ehhez az 1s paacutelyaacutera helyezuumlnk 2
elektront majd a 2s paacutelyaacutera szinteacuten 2 elektront Ez oumlsszesen 4 elektron meacuteg tovaacutebbi 5 elektront kell
elhelyeznuumlnk Sorrendben a 2p paacutelya koumlvetkezik melyre legfeljebb 6 elektront tudunk elhelyezni iacutegy
a mind az 5 elektron a 2p paacutelyaacutera keruumll
Az elektronok szaacutemaacutet az alheacutejakon a jobb felső indexbe tett szaacutemmal jeloumlljuumlk
A fenti fluoratom elektronjainak alheacutejak koumlzoumltti megoszlaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen iacuterhatjuk le
roumlviden
F 1s2 2s2 2p5
Azaz az 1s eacutes 2s alheacutejakra (paacutelyaacutekra) 2ndash2 elektron miacuteg a 2p paacutelyaacutera 5 elektron keruumll (2ndash2 egy-egy
p-paacutelyaacutera miacuteg a harmadikra csak 1)
Cellaacutes jeloumlleacutessel
Elektronkonfiguraacutecioacute az elektronok paacutelyaacutek szerinti elrendeződeacutese egy atomban
Most pedig vizsgaacuteljuk meg a nitrogeacutenatom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutet
A nitrogeacuten rendszaacutema 7 iacutegy 7 elektronja van Az előzőekhez hasonloacutean 2ndash2 elektront elhelyezuumlnk
az 1s eacutes 2s paacutelyaacutekon A maradeacutek 3 elektront a 2p paacutelyaacuten tudjuk elhelyezni
N 1s2 2s2 2p3
Itt viszont keacutet lehetőseacuteguumlnk van
A) a haacuterom p-paacutelyaacutera keruumll egyndashegyndashegy elektron
B) a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll egyre keacutet elektron keruumll miacuteg egy maacutesikra csak egy a harmadik p-paacutelya
pedig betoumlltetlen marad
1s 2s 2p
2 Az atomok szerkezete 53
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A cellaacutes jeloumlleacutessel a keacutet lehetőseacuteg
A)
B)
A fenti keacutet lehetőseacuteg koumlzuumll csak az egyik felel meg a valoacutesaacutegnak meacutegpedig az A) Tehaacutet egy
alheacutejon beluumll az elektronok lehetőseacuteg szerint paacuterosiacutetatlanul helyezkednek el [azaz a B) esetben csak
egy paacuterosiacutetatlan elektron van miacuteg az A) esetben haacuterom] Ezt Hund-szabaacutelynak nevezzuumlk
Hund-szabaacutely egy atom alheacutejaacuten az elektronok uacutegy helyezkednek el hogy koumlzuumlluumlk mineacutel toumlbb
legyen paacuterosiacutetatlan
Az alapaacutellapotuacute elektronszerkezet kialakulaacutesakor az alaacutebbi toumlrveacutenyszerűseacutegeknek kell
teljesuumllniuumlk
ndash Energiaminiumra toumlrekveacutes az elektron mindig a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera
keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera legfeljebb keacutet elektron keruumllhet
ndash Alheacutejak eseteacuten lehetőseacuteg szerint a legtoumlbb elektron legyen paacuterosiacutetatlan
21 peacutelda
Aacutellapiacutetsuk meg a germaacuteniumatom alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Vegyuumlk sorra hogy melyik alheacutejon haacuteny elektron lehet A jobb oldali oszlopban a betoumlltődeacutesi sorrend
szerint az oumlsszes elektron szaacutemaacutet is feltuumlntettuumlk melyet az adott alheacutej teliacutetődeacuteseacutevel lehetseacuteges eleacuterni
Alheacutejon Oumlsszesen
(betoumlltődeacutes szerint)
1s 2 2
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36
Mivel a germaacuteniumnak 32 elektronja van a 3d alheacutej betoumlltődeacuteseacutevel oumlsszesen 30 elektront tudunk
elhelyezni ezeacutert a 4p alheacutejra is keruumll elektron meacuteghozzaacute 2
Tehaacutet az alapaacutellapotuacute germaacuteniumatom elektronszerkezete
Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2
1s 2s 2p
1s 2s 2p
54 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ellenőrzeacuteskeacutepp eacuterdemes oumlsszeszaacutemolnunk a felső indexben szereplő szaacutemokat az oumlsszegnek meg
kell egyeznie a germaacuteniumatom elektronjainak szaacutemaacuteval
2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32
Mivel a p-alheacutejon 6 elektront lehet elhelyezni a haacuterom p-paacutelyaacuten a maradeacutek keacutet elektronnak a
Hund-szabaacutely eacutertelmeacuteben paacuterosiacutetatlanul kell elhelyezkednie Csak a 4s eacutes 4p-alheacutejat aacutebraacutezolva (az
Az atomot a keacutemiai reaktivitaacutes szempontjaacuteboacutel keacutet reacuteszre (bdquoreacutetegrerdquo) oszthatjuk a kuumllső
vegyeacuterteacutekelektronok vesznek reacuteszt a koumlteacutesek kialakiacutetaacutesaacuteban iacutegy a keacutemiai reakcioacutekban a belsőbb
elektronokra (eacutes az atommagra) viszont nincs hataacutesuk a keacutemiai vaacuteltozaacutesoknak
Vegyeacuterteacutekelektronok vegyeacuterteacutekelektronoknak nevezzuumlk az atom keacutemiai reakcioacutekban reacuteszt vevő
kuumllső elektronjait
Atomtoumlrzs az atommag eacutes azon elektronok melyek nem vegyeacuterteacutekelektronok
A fenti peacuteldaacuteban a germaacuteniumnak oumlsszesen neacutegy vegyeacuterteacutekelektronja van keacutet s eacutes keacutet p elektronja
van a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten Az első (K) a maacutesodik (L) eacutes a harmadik (M) heacutejat lezaacutertnak tekintjuumlk ezek
alkotjaacutek az atomtoumlrzset
A nemesgaacutezok elektronszerkezete igen stabilis keacutemiai reaktivitaacutesuk igen csekeacutely Ennek oka
hogy az s- eacutes p-alheacutejak a nemesgaacutezok eseteacuten vaacutelnak teliacutetetteacute (kiveacuteve a heacuteliumot ahol csak az 1s alheacutej
teliacutetődik) iacutegy a lezaacutert heacutejak kiemelkedő stabilitaacutest biztosiacutetanak A vegyeacuterteacutekelektronokat szoktaacutek uacutegy
emliacuteteni hogy a legfelső lezaacutert heacutejon kiacutevuumll elhelyezkedő elektronok a vegyeacuterteacutekheacutejat pedig mint a
legkuumllső lezaacuteratlan heacutejat Ez a megfogalmazaacutes bizonyos esetekben feacutelreeacuterteacutest okozhat
Peacuteldaacuteul a kalcium (rendszaacutema 20) alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2
Mint laacutetjuk a 3 heacutej meacuteg nem teliacutetett mivel a 3d-alheacutej elektronjai a 4s alheacutej teliacutetődeacutese utaacuten
neacutepesuumllnek be aacutem csak a 4s alheacutej 2 elektronjaacutet tekintjuumlk vegyeacuterteacutekelektronnak
Az elektronkonfiguraacutecioacute jeloumlleacuteseacutet gyakran leroumlvidiacutetjuumlk a koumlvetkező moacutedon megkeressuumlk azt a
legnagyobb rendszaacutemuacute nemesgaacutezt (1He 10Ne 18Ar 36Kr 54Xe 86Rn) melynek rendszaacutema kisebb az
adott elem rendszaacutemaacutenaacutel eacutes csak az elem eacutes a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteget
tuumlntetjuumlk fel
Peacuteldaacuteul a germaacutenium (rendszaacutema 32) elektronkonfiguraacutecioacuteja eseteacuten a legnagyobb naacutela kisebb
rendszaacutemuacute nemesgaacutez a 18-as rendszaacutemuacute argon (Ar) melynek elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
Iacutegy a germaacutenium elektronkonfiguraacutecioacuteja eacutes az argon elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg
A germaacutenium roumlvidiacutetett elektronkonfiguraacutecioacuteja iacutegy
Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2
4s 4p
Ge 1s2 2s
2 2p
6 3s
2 3p
6 4s
2 3d
10 4p
2
Ar
2 Az atomok szerkezete 55
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Eacuterdemes az elektronok feltoumlltődeacuteseacutet az alaacutebbi taacuteblaacutezatos formaacuteban is oumlsszefoglalni
Alheacutejon Oumlsszesen Nemesgaacutez
1s 2 2 2He
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10 10Ne
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18 18Ar
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36 36Kr
5s 2 36 + 2 = 38
4d 10 38 + 10 = 48
5p 6 48 + 6 = 54 54Xe
6s 2 54 + 2 = 56
4f 14 56 + 14 = 70
5d 10 70 + 10 = 80
6p 6 80 + 6 = 86 86Rn
7s 2 86 + 2 =88
5f 14 88 + 14 = 102
6d 10 102 + 10 = 112
7p 6 112 + 6 = 118 118UUo
22 peacutelda
Iacuterjuk fel a 48-es rendszaacutemuacute kadmium elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Tehaacutet 48 elektront kell elhelyeznuumlnk Iacutegy a teljes elektronkonfiguraacutecioacute
Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10
Most hataacuterozzuk meg az elektronkonfiguraacutecioacutet a roumlvidiacutetett leiacuteraacutessal A kriptonban 36 elektron
talaacutelhatoacute (a xenonnak toumlbb elektronja van mint a kadmiumnak) iacutegy a maradeacutek 48minus36 = 12 elektront
kell csak feltuumlntetnuumlnk ezek az 5s eacutes a 4d alheacutejakra keruumllnek
Cd [Kr] 5s2 4d10
Gyakorloacutefeladatok
Iacuterjuk fel az alaacutebbi elemek alapaacutellapotuacute konfiguraacutecioacutejaacutet
a) 38Sr
b) 13Al
c) 34Se
d) 53I
e) 25Mn
f) 36Kr
g) 67Ho
h) 83Bi
i) 95Am
j) 80Hg
Megoldaacutesok
a) [Kr] 5s2
b) [Ne] 3s2 3p1
56 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
c) [Ar] 4s2 3d10 4p4
d) [Kr] 4d10 5s2 5p5
e) [Ar] 4s2 3d5
f) [Ar] 3d10 4s2 4p6
g) [Xe] 4f11 6s2
h) [Xe] 4f14
5d10
6s2 6p
3
i) [Rn] 5f7 7s2
j) [Xe] 4f14 5d10 6s2
24 A kvantumszaacutemok
Az atompaacutelyaacutek illetve az elektronok betoumlltődeacuteseacutenek sorrendje szoros oumlsszefuumlggeacutesben aacutell a
Schroumldinger-egyenletekkel melyek a kvantumkeacutemia legfontosabb alapegyenletei koumlzeacute tartoznak
Mivel ezen egyenletek megeacuterteacutese felsőbb matematikai ismereteket koumlvetel itt nem ismerkeduumlnk meg
veluumlk (keacutesőbbi egyetemi tanulmaacutenyainkban viszont majd igen) azonban neacutehaacuteny fontosabb
koumlvetkezmeacutenyuumlket bemutatjuk A Schroumldinger-egyenletek megoldaacutesai kvantaacuteltak ami azt jelenti
hogy nem vehetnek fel baacutermilyen tetszőleges eacuterteacuteket hanem csak joacutel meghataacuterozott eacuterteacutekűek lehetnek
Egy szemleacuteletes peacutelda a molekulaacutek rezgőmozgaacutesa a molekula atomjait keacutepzeljuumlk el toumlmegpontoknak
melyeket a keacutemiai koumlteacutesek rugoacutekeacutent koumltnek oumlssze Egy nagyon egyszerű keacutetatomos molekula a
dihidrogeacuten (H2) A molekulaacutek ndash iacutegy a dihidrogeacuten is ndash folyamatos rezgőmozgaacutessal rendelkeznek aacutem
ennek frekvenciaacuteja nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket Ha energiaacutet koumlzluumlnk a molekulaacuteval noumlvelhetjuumlk a
rezgeacutes frekvenciaacutejaacutet aacutem nem tetszőleges meacuterteacutekben a rezgeacutes frekvenciaacuteja kvantaacutelt
Egy adott atomban az elektronok energiaszintjei is kvantaacuteltak nem vehetnek fel baacutermilyen
eacuterteacuteket az egyes energiaszintek energiaacuteja meghataacuterozott Az elektronok nem tartoacutezkodhatnak
energiaszintek koumlzoumltt csak adott energiaszinteken Ha az elektront az egyik energiaszintről egy
maacutesikra szeretneacutenk juttatni (gerjeszteni) meghataacuterozott energiaacutet kell koumlzoumllnuumlnk vele A Schroumldinger-
egyenlet alapjaacuten kiszaacutemiacutethatjuk az elektronszintek energiaacutejaacutet ez tartalmaz egy parameacutetert melynek
eacuterteacuteke 1 2 3 stb eacuterteacutekeket vehet fel Ezt a parameacutetert főkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Az elektron
maacutegneses tulajdonsaacutegokkal is rendelkezik melyek szinteacuten kvantaacuteltak Ezeket a tulajdonsaacutegokat a
melleacutekkvantumszaacutem eacutes a maacutegneses kvantumszaacutem hataacuterozza meg aacutem ezek eacuterteacuteke sem lehet
tetszőleges Az elektron rendelkezik egy spinnek nevezett mennyiseacuteggel mely fuumlggetlen a toumlbbi
kvantumszaacutemtoacutel A spin az elektron egy maacutegneses jellemzője az ehhez tartozoacute kvantumszaacutemot
spinkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Mint majd laacutetni fogjuk a spinkvantumszaacutem keacutet ellenteacutetes előjelű aacutem
azonos abszoluacutet eacuterteacutekű szaacutem (minusfrac12 vagy +frac12) lehet
Tehaacutet az atom baacutermely elektronja neacutegy kvantumszaacutemmal jellemezhető
A főkvantumszaacutem (n) eacuterteacuteke 1 2 3 stb pozitiacutev egeacutesz szaacutem lehet eacutes megadja hogy az elektron
haacutenyadik heacutejon van Mineacutel nagyobb n eacuterteacuteke az elektron annaacutel nagyobb sugaruacute paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Tehaacutet
n = 1 eseteacuten tudjuk hogy az elektron az első heacutejon talaacutelhatoacute n = 2 eseteacuten pedig hogy a maacutesodik
elektronheacutejon Az elektron energiaacuteja is fuumlgg a főkvantumszaacutemtoacutel a legalacsonyabb energia n = 1-hez
tartozik
A melleacutekkvantumszaacutem (ℓ) eacuterteacuteke 0 1 hellip nminus1 lehetseacuteges tehaacutet az adott heacutejon (adott n eseteacuten)
n-feacutele kuumlloumlnboumlző melleacutekkvantumszaacutem lehetseacuteges A melleacutekkvantumszaacutem megadja hogy az elektron
az elektronheacutejon beluumll melyik alheacutejon (s p d f hellip) talaacutelhatoacute
Az első elektronheacutejon (n = 1) csak ℓ = 0 lehetseacuteges azaz csak s-alheacutejon lehet az elektron
A maacutesodik elektronheacutejon (n = 2) ℓ eacuterteacuteke lehet 0 vagy 1 Ha ℓ = 0 az elektron az s-alheacutejon van
ha pedig ℓ = 1 az elektron a p-alheacutejon talaacutelhatoacute
A harmadik heacutejon (n = 3) ℓ eacuterteacuteke haacuterom kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel 0 1 vagy 2 Az ℓ = 0 eacuterteacutek
mindig s-alheacutejat jeloumll ℓ = 1 eseteacuten az elektron p-alheacutejon talaacutelhatoacute ha pedig ℓ eacuterteacuteke 2 akkor az
elektronroacutel megaacutellapiacutethatoacute hogy a d-alheacutejon van
A maacutegneses kvantumszaacutem (m) eacuterteacuteke egeacutesz szaacutem lehet minusℓ-től +ℓ-ig terjedőleg (a 0-t is
beleeacutertve) iacutegy (2middotℓ + 1) kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel A maacutegneses kvantumszaacutem adott alheacutej eseteacuten a
2 Az atomok szerkezete 57
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
paacutelyaacutek iraacutenyaacutet adja meg tehaacutet egy adott alheacutej eseteacuten m eacuterteacuteke alapjaacuten meg tudjuk aacutellapiacutetani hogy az
elektron melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul ha ℓ = 0 csak egyetlen eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem m = 0 Az s-alheacutejon
beluumll egyetlen s-paacutelya talaacutelhatoacute ehhez tartozik az m = 0 maacutegneses kvantumszaacutem
Ha ℓ = 1 a p-alheacutejon talaacutelhatoacute az elektron Viszont haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyuacute p-paacutelyaacutet ismeruumlnk
px- py- eacutes pz-paacutelyaacutekat A maacutegneses kvantumszaacutem ℓ = 1 eseteacuten m = minus1 m = 0 eacutes m = +1 lehet a haacuterom
A d-alheacutej azaz ℓ = 2 eseteacuten maacuter oumltfeacutele eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem minus2 minus1 0 +1
eacutes +2 Az oumlt kuumlloumlnboumlző maacutegneses kvantumszaacutem az oumlt kuumlloumlnboumlző d-paacutelyaacutet jeloumlli a d-alheacutejon beluumll
Az f-alheacutej eseteacuten (ℓ = 3) heacutet kuumlloumlnboumlző eacuterteacutek koumlzuumll vehet fel egyet a maacutegneses kvantumszaacutem minus3
minus2 minus1 0 +1 +2 +3 iacutegy az f-alheacutejon beluumll heacutet paacutelya kuumlloumlnboumlztethető meg
A spinkvantumszaacutem (ms) eacuterteacuteke +frac12 vagy minusfrac12 lehet Egy adott paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron
keruumllhet ezek mindig ellenteacutetes spinkvantumszaacutemmal rendelkeznek Az elektronok cellaacutes jeloumlleacuteseacuteneacutel a
Tehaacutet ha ismerjuumlk egy elektron mind a neacutegy kvantumszaacutemaacutet akkor tudjuk hogy melyik heacutejon (n)
azon beluumll melyik alheacutejon (ℓ) van eacutes azt is ismerjuumlk hogy az alheacutejon beluumll melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
(m) Az adott paacutelyaacuten talaacutelhatoacute keacutet elektront a spinkvantumszaacutem (ms) kuumlloumlnboumlzteti meg
Egy adott atomban azon elektronok melyek csupaacuten spinkvantumszaacutemukban kuumlloumlnboumlznek egy
elektronpaacutert alkotnak
Tehaacutet egy atomban minden egyes elektron bdquobeazonosiacutethatoacuterdquo a neacutegy kvantumszaacutem segiacutetseacutegeacutevel
Egy nagyon fontos megaacutellapiacutetaacutes hogy egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet Ez a Pauli-
elvvel van oumlsszefuumlggeacutesben
Pauli-elv egy atomban nem lehet keacutet (vagy toumlbb) olyan elektron melynek mind a neacutegy
kvantumszaacutema azonos
A kvantumszaacutemok egy oumlsszetett fizikai elmeacutelet igen bonyolult matematikai oumlsszefuumlggeacutesekkel
megkapott eredmeacutenyei melyek segiacutetseacutegeacutevel megmagyaraacutezhatoacute a heacutejakndashalheacutejakndashpaacutelyaacutek rendszere iacutegy
az atom elektronheacutejaacutenak szerkezete Mint hamarosan laacutetjuk az elemek perioacutedusos rendszereacutenek
feleacutepiacuteteacutese is szoros oumlsszhangban van a kvantumszaacutemok rendszereacutevel
25 Az elemek perioacutedusos rendszere
Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Maacuter reacutegen megfigyelteacutek hogy bizonyos elemek hasonloacute keacutemiai (eacutesvagy fizikai) tulajdonsaacutegokkal
rendelkeznek Mengyelejev a XIX szaacutezad veacutegeacuten az addig felfedezett elemeket egy taacuteblaacutezatba
gyűjtoumltte oumlssze Sőt a felfedezett toumlrveacutenyszerűseacutegeket felhasznaacutelva Mengyelejev szaacutemos addig meacuteg
ismeretlen elem tulajdonsaacutegait joacutesolta meg
A perioacutedusos rendszer az elemeknek a noumlvekvő rendszaacutem szerint feleacutepiacutetett taacuteblaacutezata
Eacuterdekes moacutedon ha az egymaacutest koumlvető rendszaacutemuacute (azaz elektronszaacutemuacute) elemeket sorba
rendezzuumlk ez az elektronok beeacutepuumlleacutesi sorrendje szerint toumlrteacutenik
58 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
251 aacutebra Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszer feleacutepuumlleacutese joacutel megfigyelhető az alaacutebbi animaacutecioacuten
251 animaacutecioacute Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Perioacutedusok
A perioacutedusos rendszerben a viacutezszintes sorokat perioacutedusoknak vagy soroknak nevezzuumlk Gyakran
kuumlloumlnbseacuteg van a sor eacutes a perioacutedus megjeloumlleacutes koumlzoumltt az első bdquosorrdquo-nak aacuteltalaacuteban a 2 perioacutedust szokaacutes
tekinteni peacuteldaacuteul a szeacuten vagy a nitrogeacuten bdquoelső sorbelirdquo elem
Mezők
Az egymaacutes alatti sorok az adott elektronheacutej beeacutepuumlleacuteseacutet mutatjaacutek Az elemeket a fenti taacuteblaacutezatba
rendezve kuumlloumlnboumlző uacutegynevezett mezőket figyelhetuumlnk meg egy mezőn beluumll az azonos betoumlltődő
alheacutejjal rendelkező elemek talaacutelhatoacutek Iacutegy megkuumlloumlnboumlztetuumlnk s- p- d- eacutes f-mezőt
1 1s 1s
2 2s 2p
3 3s 3p
4 4s 3d 4p
5 5s 4d 5p
6 6s 5d 6p
7 7s 6d 7p
4f
5f
2 Az atomok szerkezete 59
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
252 aacutebra A perioacutedusos rendszer mezői
Az s-mező eacuterdekes moacutedon keacutet helyen talaacutelhatoacute az egyik a perioacutedusos rendszer bal oldalaacuten a
maacutesik pedig csupaacuten egyetlen elemet tartalmaz a heacuteliumot A heacutelium egyreacuteszt azeacutert keruumllt a perioacutedusos
rendszer jobb oldalaacutera mivel tulajdonsaacutegaiban sokkal inkaacutebb hasonliacutet az ott talaacutelhatoacute elemekhez A
heacutelium bdquoaacutethelyezeacuteserdquo azonban nem oumlnkeacutenyes a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban toumlltődik be az
adott heacutej az 1 (K) heacutej pedig keacutet elektronnal teliacutethető azaz maacuter a heacuteliumnaacutel lezaacuterul a heacutej
Mint fentebb laacutethatjuk az f-mezőt aacuteltalaacuteban ki szoktaacutek venni az uacutegynevezett bdquohosszuacute perioacutedusos
rendszerbőlrdquo mivel egy hosszuacute keskeny taacuteblaacutezat kezeleacutese viszonylag koumlruumllmeacutenyes
A feltoumlltődeacutesi sorrendből adoacutedik hogy az első perioacutedusban csak s-mező talaacutelhatoacute a maacutesodik
perioacutedustoacutel kezdődik a p-mező feltoumlltődeacutese Mivel a 4s alheacutej hamarabb kezd feltoumlltődni mint a 3d a
3d heacutej a 4 perioacutedusban kezd csak feltoumlltődni Hasonloacute a helyzet az f-mezővel a 4f alheacutej csak a 6s
alheacutej betoumlltődeacutese utaacuten kezd el beneacutepesuumllni iacutegy a 6 perioacutedusban talaacutelhatoacute A tudomaacuteny pillanatnyi
aacutellaacutesa szerint nem sikeruumllt meacuteg előaacutelliacutetani olyan elemet mely a 8 perioacutedusban talaacutelhatoacute sőt a 7
perioacutedus nagyobb rendszaacutemuacute (uacutegynevezett keacutesői) elemei is rendkiacutevuumll instabilak aacuteltalaacuteban csupaacuten
nyomnyi mennyiseacutegben sikeruumll őket előaacutelliacutetani (gyakran ez csak neacutehaacutenyszor tiacutez atomot jelent) A
nagyfokuacute instabilitaacutes oka az atommagok radioaktivitaacutesa aacuteltalaacuteban magreakcioacutek segiacutetseacutegeacutevel lehet
ilyen nagy rendszaacutemuacute atommagokat előaacutelliacutetani melyek azonban toumlbbnyire nagyon gyorsan radioaktiacutev
bomlaacutest szenvednek Ebből koumlvetkezik hogy az ilyen rendkiacutevuumll nagy rendszaacutemuacute elemek fizikai eacutes
keacutemiai tulajdonsaacutegairoacutel nem sokat tudunk Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megjegyezhetjuumlk hogy a
perioacutedusos rendszer alsoacutebb perioacutedusaiban ndash a sok kuumllső elektronnak koumlszoumlnhetően ndash noumlvekszik a
feacutemes jelleg eacutes meacuteg a főcsoportokban is elmosoacutedik az egyes elemek keacutemiai tulajdonsaacutegai koumlzoumltt a
hataacuter
1 s
2
3
4
5
6
7
s -
m
e z
ő
d-mező
p-mező
f-mező
60 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
I
A
II
A
III
B
IV
B
V
B
VI
B
VII
B
VIII
B
VIII
B
VIII
B
I
B
II
B
III
A
IV
A
V
A
VI
A
VII
A
VIII
A
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Ta Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
253 aacutebra A perioacutedusos rendszer
Oszlopok
A hasonloacute elektronszerkezetű elemek fuumlggőleges elrendeződeacutesben helyezkednek le egymaacutes alatti
helyet foglalnak el a perioacutedusos rendszerben ezek egy oszlopot alkotnak
Az s-mező eacutes a p-mező oszlopait oumlsszefoglaloacutean főcsoportoknak miacuteg a d-mező oszlopait
melleacutekcsoportoknak szokaacutes nevezni A keacutesőbbiekben megismerkeduumlnk az egyes oszlopok
elnevezeacuteseivel is
Az oszlopok szaacutemozaacutesaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen szokaacutes veacutegezni
ndash a reacutegiesebb szaacutemozaacutes szerint kuumlloumln taacutergyaljuk a főcsoportokat illetve a melleacutekcsoportokat aacutem
mindkettőt roacutemai szaacutemokkal jeloumlljuumlk Ilyenkor a főcsoportok eseteacuten a megfelelő roacutemai szaacutem
melleacute A betűt iacuterunk miacuteg a melleacutekcsoportokat B betűvel jeloumlljuumlk A fő- eacutes melleacutekcsoportok
(Pd) ezuumlst (Ag) ozmium (Os) iridium (Ir) platina (Pt) eacutes az arany (Au)
Lantanidaacutek eacutes aktinidaacutek
Az f-mező 6 perioacutedusaacuteba tartozoacute feacutemeit lantanidaacuteknak (a 7 perioacutedusaacuteba tartozoacutekat pedig
aktinidaacuteknak szoktuk nevezni)
Ritka foumlldfeacutemek
A lantanidaacutekat a szkandiummal (Sc) eacutes az ittriummal (Y) egyuumltt ritkafeacutemeknek nevezzuumlk
62 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Nemfeacutemek Alkaacutelfeacutemek
Feacutelfeacutemek Alkaacutelifoumlldfeacutemek
Maacutesodfajuacute feacutemek Lantanidaacutek
Aacutetmeneti feacutemek Aktinidaacutek
Nemesfeacutemek
254 aacutebra A perioacutedusos rendszer felosztaacutesa az atomok feacutemes jellege szerint
26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszerben bizonyos tulajdonsaacutegok folytonosan maacutes tulajdonsaacutegok pedig perioacutedusosan
vaacuteltoznak
261 Toumlmegszaacutem neutronszaacutem eacutes relatiacutev atomtoumlmeg vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A proacutecium ( H11 ) kiveacuteteleacutevel minden izotoacutep tartalmaz neutronokat mivel maacuter keacutet proton melleacute is
szuumlkseacuteges neutron hogy az atommag stabil legyen
A kis rendszaacutemuacute elemek legstabilabb izotoacutepjai eseteacuten (perioacutedusos rendszer eleje) a protonok eacutes a
neutronok szaacutema gyakran megegyezik (azaz a neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya egy koumlruumlli ndash
N Z asymp 1) tehaacutet a toumlmegszaacutem gyakran a rendszaacutem keacutetszerese A kalcium 40-es toumlmegszaacutemuacute izotoacutepja (
Ca4020 ) a legnagyobb rendszaacutemuacute izotoacutep melyben a protonok eacutes neutronok szaacutema megegyezik
Nagyobb rendszaacutemuacute elemek izotoacutepjai eseteacuten a neutronok szaacutema meghaladja a protonokeacutet tehaacutet a
toumlmegszaacutem nagyobb mint a rendszaacutem keacutetszerese Ennek oka hogy egyre toumlbb neutronra van szuumlkseacuteg
a pozitiacutev toumllteacutesű protonok elektrosztatikus tasziacutetaacutesaacutenak leaacuternyeacutekolaacutesaacutera A perioacutedusos rendszer utolsoacute
perioacutedusaacuteban a neutronok eacutes protonok szaacutemaacutenak araacutenya (N Z) rendszerint nagyobb mint 15
2 Az atomok szerkezete 63
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az alaacutebbi aacutebraacuten a leacutetező oumlsszes stabil izotoacutep neutronszaacutem protonszaacutem araacutenya (N Z) van
feltuumlntetve a rendszaacutem (Z protonszaacutem) fuumlggveacutenyeacuteben A piros vonal az N Z = 1 esetet jeleniacuteti meg
2611 aacutebra A neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya a toumlmegszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel noumlvekszik ez aloacutel neacutehaacuteny elempaacuter a kiveacutetel
Az alaacutebbi aacutebraacuten az elemek relatiacutev atomtoumlmegeacutet (Ar) aacutebraacutezoltuk a rendszaacutem (Z) fuumlggveacutenyeacuteben
(keacutek koumlroumlk) A fekete egyenes az Ar = Z a zoumlld egyenes az Ar = 2 middot Z a piros egyenes pedig az
Ar = 3 middot Z fuumlggveacutenyeket jelenti
2612 aacutebra A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
64 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute a relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel egyre meredekebben noumlvekszik Miacuteg
a kis rendszaacutemok eseteacuten Ar asymp 2 middot Z (a neutronok szaacutema nagyjaacuteboacutel megegyezik a protonok szaacutemaacuteval ndash a
rendszaacutemmal) addig a nagy rendszaacutemok eseteacuten az Ar Z araacuteny 2-neacutel joacuteval nagyobb
262 Az atomok meacutereteacutenek vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Az atomokat goumlmbszerűnek felteacutetelezzuumlk iacutegy az atomok meacutereteacutet az atomsugaacuterral (idegen szoacuteval
atomraacutediusszal) szoktuk jellemezni (Csak megemliacutetjuumlk hogy az atomsugaacuter fuumlgg az atom aacutellapotaacutetoacutel
azaz attoacutel is hogy milyen koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacuteban vesz reacutesz Ezaacuteltal toumlbbfeacutele moacutedon definiaacutelhatjuk az
atomsugarat aacutem ennek reacuteszleteivel itt nem foglalkozunk) Az atomsugaacuter (eacutes iacutegy az atomteacuterfogat)
vaacuteltozaacutesa szaacutemos maacutes tulajdonsaacuteg vaacuteltozaacutesaacutera hataacutessal van (peacuteldaacuteul sűrűseacuteg halmazaacutellapot)
Az atomsugaacuter periodikusan vaacuteltozik a perioacutedusos rendszeren beluumll
Egy adott perioacuteduson beluumll az atomsugaacuter balroacutel jobbra csoumlkken Ennek a magyaraacutezata a
koumlvetkező egy perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra haladva noumlvekszik az atommag toumllteacutese mivel egyre
toumlbb proton talaacutelhatoacute benne Az atommag toumllteacuteseacutet az elektronok leaacuternyeacutekoljaacutek A lezaacutert belső heacutejak
elektronjainak negatiacutev toumllteacutese egy perioacuteduson beluumll gyakorlatilag azonosnak tekinthető Balroacutel jobbra
haladva egy perioacutedusban az elektronok ugyanarra a kuumllső heacutejra leacutepnek be ezek aacuternyeacutekoloacute hataacutesa
sokkal kisebb mint az alatta levő heacutejak elektronjaieacute iacutegy az atommag (balroacutel jobbra noumlvekedő) toumllteacutese
egyre erősebben vonzza a vegyeacuterteacutekelektronokat ennek koumlvetkezteacuteben az atomsugaacuter csoumlkken
Az atomsugaacuter egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik Magyaraacutezat a paacutelyaacutek meacuterete
2621 aacutebra Az atomsugaacuter vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Itt eacuterdemes megemliacuteteni a sűrűseacuteg vaacuteltozaacutesaacutet is A sűrűseacuteg termeacuteszetesen nemcsak az
atomteacuterfogattoacutel (atomsugaacutertoacutel) fuumlgg hanem a halmazaacutellapottoacutel az atomok elrendeződeacuteseacutetől a
kristaacutelyszerkezettől is iacutegy igen neheacutez aacuteltalaacutenosan tendenciaacutekat talaacutelni Viszont azt mindenkeacuteppen
eacuterdemes megjegyezni hogy a sűrűseacuteg egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik
1
2
3
4
5
6
7
ATOMSUGAacuteR
2 Az atomok szerkezete 65
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
263 Az elemek halmazaacutellapota
A halmazaacutellapot a reacuteszecskeacuteket oumlsszetartoacute koumllcsoumlnhataacutesoktoacutel fuumlgg A kuumlloumlnfeacutele koumllcsoumlnhataacutesok eacutes a
halmazaacutellapot oumlsszefuumlggeacuteseit majd a keacutesőbbiekben reacuteszletesen taacutergyaljuk itt ndash a teljesseacuteg kedveacuteeacutert ndash
azonban megmutatjuk a perioacutedusos rendszer mely reacuteszeacuteben milyen halmazaacutellapot jellemző
Normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson (101325 kPa) eacutes 25 degC hőmeacuterseacutekleten az elemek tuacutelnyomoacute toumlbbseacutege
szilaacuterd azonban talaacutelhatunk koumlzoumlttuumlk szeacutep szaacutemban gaacutezokat is A legritkaacutebb halmazaacutellapot a folyadeacutek
csupaacuten keacutet elem folyeacutekony 25 degC-on a broacutem (Br) eacutes a higany (Hg) Tovaacutebbi keacutet elemnek igen
alacsony az olvadaacutespontja a galliumeacute (Ga 30 degC) eacutes a ceacuteziumeacute (Cs 28 degC) is szobahőmeacuterseacuteklet
koumlzeleacuteben van enyhe melegiacuteteacutes hataacutesaacutera megolvadnak
A vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema az első 12 oszlopban megegyezik az oszlop szaacutemaacuteval A p-
mezőben pedig a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacutet megkapjuk ha az oszlop szaacutemaacuteboacutel levonunk 10-et a
66 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
lezaacutert d-alheacutejat (a tiacutez elektronjaacuteval) maacuter nem szokaacutes a p-mező vegyeacuterteacutekelektronjaihoz szaacutemiacutetani (itt az
n-dik heacutej teliacutetődik viszont az (nminus1)-dik heacutej maacuter lezaacuterult a 12 oszlopban) Egyetlen kiveacutetel a heacutelium
(18 oszlop) melynek csupaacuten 2 vegyeacuterteacutekelektronja van
(A reacutegi szaacutemozaacutesi moacuted szerint a főcsoportokban az oszlop szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Ez a melleacutekcsoportok eseteacuten is igaz viszont a VIIIB keacutet oszlopaacutera
nem igaz ndash kobalt nikkel eacutes az alattuk talaacutelhatoacute elemek)
Vegyeacuterteacutek az atom aacuteltal leacutetesiacutethető keacutemiai koumlteacutesek szaacutema A kuumlloumlnboumlző elemek gyakran toumlbbfeacutele
Ennek magyaraacutezata a koumlvetkező Maacuter koraacutebban megismertuumlk hogy a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema
a perioacutedusos rendszer főcsoportjaiban balroacutel jobbra noumlvekszik A keveacutes vegyeacuterteacutekelektronnal
rendelkező feacutemek viszonylag koumlnnyen le tudjaacutek adni elektronjaikat iacutegy igen stabilis nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionokkaacute alakulnak miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező nemfeacutemek
eseteacuten a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute elektronfelveacutetellel koumlnnyebben kialakul Ellenkező esetben a
nemesgaacutez elektronszerkezet eleacutereacuteseacutehez a kevesebb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező feacutemeknek
viszonylag sok elektront kellene felvenniuumlk miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező
nemfeacutemeknek igen sok elektront kellene leadniuk mely energetikailag igen kedvezőtlen
Iacutegy peacuteldaacuteul a kaacuteliumatomboacutel egy vegyeacuterteacutekelektronjaacutenak eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval egyszeresen pozitiacutev
toumllteacutesű kaacuteliumion miacuteg a heacutet vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező fluoratom egy elektront felveacuteve
fluoridanionnaacute tud alakulni Mind a kaacuteliumionnak mind a fluoridionnak nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacuteja van
A nemfeacutemek aacuteltal maximaacutelisan felvehető elektronok szaacutemaacutet nagyon egyszerűen meg tudjuk
aacutellapiacutetani a nemesgaacutezoknak ndash a heacutelium kiveacuteteleacutevel ndash mindig keacutet s eacutes hat p elektronja van azaz a
vegyeacuterteacutekheacutejukon 8 elektronjuk van Legyen a nemfeacutemnek n vegyeacuterteacutekelektronja ekkor pontosan
8 minus n elektron szuumlkseacuteges ahhoz hogy 8 elektronja legyen a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
Mint az előzőekben maacuter taacutergyaltuk a perioacutedusos rendszer oszlopaacutenak sorszaacutema eacutes az adott elem
vegyeacuterteacutekelektronjainak szaacutema koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes van Az oszlopok aktuaacutelis szaacutemozaacutesa szerint
tehaacutet az m-edik oszlopban talaacutelhatoacute nemfeacutem 18 minus m elektront tud felvenni Peacuteldaacuteul a 15 oszlopban
talaacutelhatoacute foszforatom 18 minus 15 = 3 elektront tud maximaacutelisan felvenni a 16 csoportban talaacutelhatoacute
keacutenatom pedig maximaacutelisan 18 minus 16 = 2 elektron felveacuteteleacutevel keacutepes anionnaacute alakulni
A főcsoportokban a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Peacuteldaacuteul egy alumiacuteniumatomroacutel (mely haacuterom vegyeacuterteacutekelektronnal
d) Az arzeacuten (As) a 15 csoportban talaacutelhatoacute vegyeacuterteacutekelektron-konfiguraacutecioacuteja 4s2 4p3 Az arzeacuten
uacutegy tud nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionnaacute alakulni ha lead 5 elektront vagy pedig ha
felvesz 3 elektront
As rarr As5+ + 5eminus
As + 3eminusrarr As3minus
e) A hidrogeacuten egy kicsit kuumlloumlnoumls eset mivel a hozzaacute legkoumlzelebbi nemesgaacutez a heacutelium melynek 2
(vegyeacuterteacutek)elektronja van Iacutegy a hidrogeacutenatom egy elektron eladaacutesaacuteval hidrogeacutenkationnaacute
(tulajdonkeacuteppen protonnaacute 1H+ equiv p+) miacuteg egy elektron felveacuteteleacutevel anionnaacute keacutepes alakulni A
hidrogeacutenből keacutepződő aniont hidridionnak nevezzuumlk (az 1Hminus eseteacuten egy proton keacutet elektronnal)
H rarr H+ + eminus
H + eminusrarr Hminus
Eacuterdemes megjegyezni hogy az atomboacutel elektronfelveacutetellel keacutepződő ion elnevezeacuteseacutenek veacutegeacuten
mindig -id veacutegződeacutes talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul
O2minus oxid
As3minus arzenid
Hminus hidrid
70 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A melleacutekcsoportok eseteacuten nem jellemző hogy az elemek elektronfelveacutetellel anionnaacute alakuljanak
eacutes a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema is kicsit komplikaacuteltabb A 3 oszloptoacutel a 8 oszlopig
az elemekből baacutermely vegyeacuterteacutekelektront el lehet taacutevoliacutetani iacutegy az eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutemaacutenak
maximuma az oszlop sorszaacutemaacuteval azonos Viszont a 9 oszloptoacutel kezdődően a helyzet hasonloacutevaacute vaacutelik
ahhoz mint amit a nemfeacutemekneacutel tapasztaltunk nagyszaacutemuacute elektron eltaacutevoliacutetaacutesa maacuter nem lehetseacuteges
tehaacutet nem lehetseacuteges peacuteldaacuteul 9-szeresen pozitiacutev ion keacutepzeacutese Aniont keacutepezve azonban az aktuaacutelis heacutej
lezaacuteraacutesaacutehoz a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute eleacutereacuteseacutehez az oumlsszes p-elektront is fel kellene toumlltenuumlnk
melyhez igen sok energia szuumlkseacuteges A 9 eacutes 10 oszlopban iacutegy nehezen lehet megjoacutesolni a
maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronszaacutemot A 11 oszlopban toumlbbnyire 1 vagy 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacutera
van lehetőseacuteg miacuteg a 12 oszlopban 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval keacutepezhető kation
A melleacutekcsoportokroacutel aacuteltalaacutenossaacutegban elmondhatoacute hogy itt a főcsoportokhoz keacutepest sokkal toumlbb
Első ionizaacutecioacutes energia vagy első ionizaacutecioacutes potenciaacutel első ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt
az energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy atomboacutel egyszeresen pozitiacutev iont (kationt) hozzunk
leacutetre
Az ionizaacutecioacutes energia az alaacutebbi folyamat energiaszuumlkseacutegleteacutet jelenti
X rarr X+ + eminus
Mindig a leggyengeacutebben koumltoumltt elektront tudjuk legkoumlnnyebben eltaacutevoliacutetani eacutes eacutertelemszerűen
mineacutel erősebben koumltődik egy elektron az atomhoz annaacutel nehezebb eltaacutevoliacutetani azaz annaacutel toumlbb
energiaacutet kell befektetnuumlnk hogy el tudjuk taacutevoliacutetani
A legstabilabb elektronszerkezettel a nemesgaacutezok rendelkeznek (18 oszlop) mivel itt zaacuterul le a
betoumlltődő elektronheacutej A lezaacutert elektronheacutej mindig kiemelkedően stabil ezeacutert a nemesgaacutezok első
ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb egy perioacuteduson beluumll Mivel az alkaacutelifeacutemek ionizaacutelaacutesaacuteval nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute egyszeresen pozitiacutev ion keletkezik ez igen nagy stabilitaacutessal rendelkezik eacutes
az alkaacutelifeacutematom koumlnnyen leadja az egyetlen s vegyeacuterteacutekelektronjaacutet Tehaacutet egy perioacuteduson beluumll az
alkaacutelifeacutemek első ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legkisebb
Az első ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Egy adott perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra noumlvekszik (az alkaacutelifeacutemektől a nemesgaacutezok iraacutenyaacuteba)
az első ionizaacutecioacutes energia eacuterteacuteke
Mineacutel nagyobb egy atom a taacutevolsaacuteg koumlvetkezteacuteben a negatiacutev toumllteacutesű kuumllső elektronjaira annaacutel
keveacutesbeacute hat a pozitiacutev toumllteacutesű atommag vonzaacutesa iacutegy annaacutel koumlnnyebben taacutevoliacutethatoacute el
Iacutegy egy oszlopon beluumll fentről lefeleacute csoumlkken az első ionizaacutecioacutes energia
2651 aacutebra Az ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
1
2
3
4
5
6
7
1 IONIZAacuteCIOacuteS ENERGIA
72 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt az
energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy egyszeresen pozitiacutev ionboacutel keacutetszeresen pozitiacutev iont
hozzunk leacutetre
A maacutesodik ionizaacutecioacutes energia mindig nagyobb mint az első ionizaacutecioacutes energia mivel egy
kationroacutel kell leszakiacutetanunk egy negatiacutev toumllteacutesű elektront mely meacutelyebb energiaacutejuacute paacutelyaacuten van mint az
első eltaacutevoliacutetott elektron
Egy perioacuteduson beluumll az alkaacutelifeacutemek maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb (igen stabil
nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ion elektronszerkezeteacutet bontjuk meg) miacuteg az alkaacutelifoumlldfeacutemekeacute a
legkisebb (a vegyeacuterteacutekheacutejukon maacuter csak egy elektron talaacutelhatoacute ez viszonylag koumlnnyen eltaacutevoliacutethatoacute)
Azaz egy perioacuteduson beluumll a 2 oszloptoacutel a 18 oszlopig nő az ionizaacutecioacutes potenciaacutel aacutem az 1
oszlopban meacuteg enneacutel is nagyobb
Egy oszlopon beluumll a maacutesodik ionizaacutecioacutes potenciaacutel fentről lefeleacute csoumlkken
k-dik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel az energia mely egy elektronnak egy (kminus1)-szeresen
3111 animaacutecioacute Az ionos koumlteacutes kialakulaacutesa
Az ionos koumlteacutes leacutetrejoumlhet egyszerű eacutes oumlsszetett ionok koumlzoumltt
Az egyszerű ionok atomokboacutel keacutepződnek elektron(ok) leadaacutesaacuteval (kationok) vagy elektron(ok)
felveacuteteleacutevel (anionok)
76 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Egyszerű kationok K+ Mg2+ Al3+ Fe3+ Ce4+ stb
Egyszerű anionok Clminus O2minus N3minus Iminus Hminus stb
Az oumlsszetett ionok toumlbb atomboacutel eacutepuumllnek fel eacutes toumllteacutessel rendelkeznek
Oumlsszetett kationok legfontosabb az ammoacuteniumion NH4+
Oumlsszetett anionok NO3minus CO3
2minus PO4
3minus SO4
2minus stb
A tisztaacuten ionos koumlteacutesű vegyuumlletek rendszerint igen elteacuterő elektronegativitaacutesuacute elemekből joumlnnek
leacutetre Toumlbbnyire alkaacutelifeacutem vagy alkaacutelifoumlldfeacutem kationt tartalmaznak eacutes anionjuk aacuteltalaacuteban vagy
oumlsszetett ion vagy a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban talaacutelhatoacute elemek egyszerű anionja
(elsősorban 16 eacutes 17 oszlop)
II) Feacutemes koumlteacutes
Feacutematomok eseteacuten a vegyeacuterteacutekheacutej elektronjai viszonylag gyengeacuten koumltoumlttek A feacutematomokboacutel
pozitiacutev toumllteacutesű ionok keletkeznek a vegyeacuterteacutekelektronok pedig az atomtoumlrzsek koumlzoumltti teacuterben
delokalizaacuteloacutednak
Feacutemes koumlteacutes az egeacutesz kristaacutelyra kiterjedő koumlzoumls elektronfelhő aacuteltal leacutetrehozott keacutemiai kapcsolatot
feacutemes koumlteacutesnek nevezzuumlk
A feacutemes koumlteacutes (nem meglepő moacutedon) feacutematomok koumlzoumltt joumlhet leacutetre A feacutemek elektronegativitaacutesa
rendszerint nem tuacutel nagy ezeacutert a tisztaacuten feacutemes koumlteacutes akkor joumlhet leacutetre ha kicsi az elemek
elektronegativitaacutesa
3112 animaacutecioacute A feacutemes koumlteacutes kialakulaacutesa
III) Kovalens koumlteacutes
Keacutemiai koumlteacutes uacutegy is leacutetrejoumlhet ha az egymaacutes melletti atomok koumlzoumls (uacutegynevezett koumltő)
elektronpaacuteron (vagy elektronpaacuterokon) keresztuumll kapcsoloacutednak oumlssze
Ezt legegyszerűbben egy peacuteldaacuten keresztuumll eacuterthetjuumlk meg Vegyuumlnk keacutet kloacuteratomot Mindkettőnek
az elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ne] 3s2 3p5 ha feacutemes koumlteacutest szeretneacutenk kialakiacutetani koumlzoumlttuumlk 7ndash7 elektront
kellene leadnia mindkettőnek Ez energetikailag rendkiacutevuumll kedvezőtlen Ezeacutert a lezaacutert elektronheacutejat
elektronfelveacutetel uacutetjaacuten lenne ceacutelszerű eleacuterni Termeacuteszetesen a keacutet kloacuteratom elektronegativitaacutesa
ugyanakkora nem joumlhet leacutetre koumlzoumlttuumlk ionos koumlteacutes
A keacutet kloacuteratom koumlzoumltt koumltő elektronpaacuter leacutetesiacuteteacuteseacutevel alakul ki a keacutemiai koumlteacutes a koumltő elektronpaacuter a
keacutet kloacuteratom egyndashegy elektronjaacuteboacutel joumln leacutetre viszont mindkeacutet atomhoz egyaraacutent tartozik Iacutegy mindkeacutet
kloacuteratom koumlruumll 8ndash8 elektron talaacutelhatoacute tehaacutet mindkeacutet kloacuteratom nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacutevaacute
vaacutelik teljesuumll az oktettszabaacutely A folyamatot energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri
Kovalens koumlteacutes A koumlzoumls elektronpaacuterral leacutetesiacutetett koumlteacutest kovalens koumlteacutesnek nevezzuumlk (Az angol
A heteronukleaacuteris koumlteacutes lehet apolaacuteris vagy polaacuteris
Egy koumlteacutes apolaacuterisnak tekinthető ha a keacutet atom elektronegativitaacutesa azonos
Az azonos atomok koumlzoumltti koumlteacutesek apolaacuterisak (Megjegyzeacutes peacuteldaacuteul a szeacutenndashhidrogeacuten-koumlteacutest is
tekinthetjuumlk koumlzel apolaacuterisnak mivel a szeacuten eacutes a hidrogeacuten elektronegativitaacutesa hasonloacute [EN(C) = 25
EN(H) = 21])
A kovalens koumlteacutes polaacuteris ha keacutet olyan atomot koumlt oumlssze melyek elektronegativitaacutesa koumlzoumltt
kuumlloumlnbseacuteg van A polaacuteris kovalens koumlteacutes viszonylag jelentős ionos jelleggel rendelkezik
Peacuteldaacuteul a hidrogeacutenndashkloacuter-koumlteacutes igen polaacuterisnak tekinthető a keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltt jelentős
kuumlloumlnbseacuteg van EN(Cl) = 30 EN(H) = 21
A polaacuteris kovalens koumlteacutesben a nagyobb elektronegativitaacutesuacute atom reacuteszleges negatiacutev toumllteacutesű
(pontosabban negatiacutevan polarizaacutelt) a kisebb elektronegativitaacutesuacute pedig reacuteszben pozitiacutev toumllteacutesű
(pozitiacutevan polarizaacutelt) Egy keacutetatomos molekulaacuteban a keacutet atomra jutoacute uacutegynevezett parciaacutelis toumllteacutes
(reacuteszleges toumllteacutes) nagysaacutega azonos de előjele ellenteacutetes Ezt a koumlvetkezőkeacutepp szoktuk eacuterzeacutekeltetni a
molekula keacutepleteacuteben
H Cl() ()
A hidrogeacuten-klorid molekulaacuteban a toumllteacutesek nem egyenletesen oszlanak el Az ilyen molekulaacutekat
dipoacutelusmolekulaacuteknak nevezzuumlk
A koumlteacutes polarizaacuteltsaacutega vektormennyiseacuteg nyiacutellal szoktuk jeloumllni A dipoacutelusvektor a pozitiacutev
toumllteacutesből mutat a negatiacutev toumllteacutes feleacute Azt hogy egy molekula dipoacutelusmolekula-e a dipoacutelusvektorok
eredője hataacuterozza meg
Dipoacutelusmolekula olyan molekula melyben vannak polaacuteris koumlteacutesek eacutes a koumlteacutesek
dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus
Apolaacuteris molekula csak apolaacuteris koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula vagy olyan molekula melyben
a polaacuteris koumlteacutesek uacutegy helyezkednek el hogy dipoacutelusvektorainak oumlsszege zeacuterus legyen
78 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A keacutetatomos molekula akkor dipoacutelusos hogyha a koumlteacutes polaacuteris Toumlbbatomos molekulaacutek eseteacuten a
molekula szerkezete is fontos szerepet jaacutetszik annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy a molekula dipoacutelusmolekula-
e Ezzel a molekulaacutek szerkezete kapcsaacuten reacuteszletesen foglalkozunk majd (ennek a fejezetnek a veacutegeacuten)
Az előzőekben megismerkedtuumlnk a haacuterom legfontosabb koumlteacutestiacutepussal Ezen koumlteacutesek igen erősek
ezeacutert szokaacutes elsőrendű koumlteacuteseknek nevezni őket
Az elsőrendű koumlteacutesek
ndash ionos koumlteacutes
ndash feacutemes koumlteacutes
ndash kovalens koumlteacutes
Az elektronegativitaacutes eacutes a koumlteacutesjelleg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes
A haacuterom alaptiacutepus taacutergyalaacutesaacutenaacutel megemliacutetettuumlk hogy az adott koumlteacutestiacutepus rendszerint milyen
elemek koumlzoumltt joumln leacutetre Ezeket oumlsszefoglalva
ndash tisztaacuten ionos koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha az elemek elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg nagy
ndash tisztaacuten feacutemes koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesa hasonloacute (kicsi az elektronegativitaacutesok
kuumlloumlnbseacutege) eacutes mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa kis eacuterteacutekű
ndash tisztaacuten kovalens koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesai nem tuacutelzottan kuumlloumlnboumlzőek eacutes
mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa nagy
A perioacutedusos rendszerből tetszőleges keacutet elemet kivaacutelasztva a koumlzoumlttuumlk leacutetesuumllő koumlteacutest gyakran
nem tudjuk besorolni a fentiek alapjaacuten egyik koumlteacutestiacutepusba sem Fontos hangsuacutelyozni hogy az aacutetmenet
gyakorlatilag folytonos baacutermelyik keacutet elsőrendű koumlteacutes koumlzoumltt Iacutegy gyakran előfordul hogy keacutet
atom koumlzoumltti koumlteacutest nem lehet tisztaacuten ionos feacutemes vagy kovalens koumlteacuteskeacutent leiacuterni A fent taacutergyalt
polaacuteris kovalens koumlteacutes peacuteldaacuteul aacutetmenet a kovalens eacutes az ionos koumlteacutes koumlzoumltt
Legyen A eacutes B keacutet tetszőleges elem A keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg eacutes a keacutet
atom elektronegativitaacutesaacutenak oumlsszege segiacutethet annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy milyen tiacutepusuacute elsőrendű koumlteacutes
joumlhet leacutetre a keacutet elem atomjai koumlzoumltt
A koumlvetkező oumlkoumllszabaacutelyokat alkalmazhatjuk
Ha ∆EN(AB) nagy eacuterteacutek (jellemzően 20 foumlloumltt) a koumlteacutes ionos jellege nagy
Ha ∆EN(AB) kicsi eacuterteacutek (jellemzően 15 alatt) akkor a koumlteacutes lehet kovalens vagy feacutemes
Ha sumEN(AB) nagy (jellemzően 40 felett) akkor a koumlteacutes kovalensnek tekinthető
Ha sumEN(AB) kicsi (jellemzően 30 alatt) akkor a koumlteacutes feacutemes jellegűnek tekinthető
Pauling szerint ∆EN(AB) = 15hellip2 eseteacuten az A eacutes B atomok koumlzoumltti koumlteacutes nagyjaacuteboacutel fele-fele
meacuterteacutekben ionos eacutes kovalens jellegű
A stabilan előaacutelliacutethatoacute elemek koumlzuumll a ceacutezium elektronegativitaacutesa a legkisebb 08 (enneacutel csupaacuten a
csak radioaktiacutev izotoacutepokkal rendelkező francium elektronegativitaacutesa kisebb 07) a fluor
elektronegativitaacutesa pedig a legnagyobb (40) Ezen elemekből megalkothatjuk a toumlkeacuteletes ionos feacutemes
eacutes kovalens koumlteacuteseket
∆EN(AB) Cs F sumEN(AB) Cs F
Cs 00 32 Cs 16 48
F 32 00 F 48 80
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 79
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha aacutebraacutezoljuk a ∆EN(AB) fuumlggveacutenyeacuteben sumEN(AB) eacuterteacutekeit egy haacuteromszoumlg haacuterom csuacutecsaacutet
kapjuk
311 aacutebra A koumlteacutes jellege eacutes az elektronegativitaacutes
Baacutermely maacutes elem elektronegativitaacutesa a ceacutezium eacutes a fluor koumlzeacute esik iacutegy a fenti aacutebraacuten baacutermely keacutet
elem koumlzoumltti koumlteacutest feltuumlntethetjuumlk az elektronegativitaacutesaik ismereteacuteben
3112 aacutebra Peacuteldaacutek aacutetmeneti jellegű koumlteacutesekre
80 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint a fenti aacutebraacuten laacutethatoacute neacutehaacuteny vegyuumlletet igen neheacutez a haacuterom elsőrendű koumlteacutes valamelyikeacutebe
besorolni Ilyen peacuteldaacuteul a vas(II)-szulfid (FeS) sziliacutecium-dioxid (SiO2) vagy az ezuumlst-klorid (AgCl) A
keacutemiai koumlteacutesek ezen vegyuumlletekben nem tekinthetők ionosnak jelentős a kovalens jelleguumlk
A fenti aacutebra alapjaacuten a kovalens koumlteacutes az elemi oxigeacutenben (O2) eacutes a keacutenmolekulaacuteban (S8) apolaacuteris
miacuteg a nitrogeacuten-monoxidban (NO) eacutes a keacutet kuumlloumlnboumlző halogeacutenatomot tartalmazoacute broacutem-fluoridban
(BrF) polaacuteris
A reacutez-cink oumltvoumlzetben (CuZn) eacutes a magneacutezium-szilicidben (Mg2Si egy oumltvoumlzeacutesre hasznaacutelt
vegyuumllet) a koumlteacutes feacutemesnek tekinthető Termeacuteszetesen a feacutem alumiacuteniumban is feacutemes a koumlteacutes
A liacutetium-fluorid (LiF) a kalcium-oxid (CaO) eacutes az alumiacutenium-oxid (Al2O3) ionos koumlteacutesű
vegyuumlletek az utoacutebbiban viszonylag jelentős kovalens jelleg is megaacutellapiacutethatoacute
A fentiek alapjaacuten belaacutethatoacute hogy a keacutemiai koumlteacutes ionos feacutemes illetve kovalens jellege elsősorban
az koumlteacutest leacutetesiacutető elemek elektronegativitaacutesaacutetoacutel fuumlgg Fontos megjegyezni hogy a keacutemiai koumlteacutes
gyakran nem iacuterthatoacute le egyfeacutele koumlteacutestiacutepussal hanem toumlbb tiacutepus tulajdonsaacutegait oumltvoumlzi
Sokatomos molekulaacutek
Az oktett szabaacutelyt termeacuteszetesen a kettőneacutel toumlbb atomos molekulaacutek is koumlvetik aacuteltalaacuteban
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a metaacutenmolekulaacutet A metaacuten keacuteplete CH4 azaz egy molekulaacutejaacuteban neacutegy
hidrogeacutenatom eacutes egy szeacutenatom talaacutelhatoacute A szeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p2 tehaacutet neacutegy
vegyeacuterteacutekelektronja van miacuteg a hidrogeacutenek egyndashegy elektronnal rendelkeznek A szeacutenatom
elektronoktettet (8 elektron a kuumllső heacutejon) szeretne leacutetrehozni a hidrogeacuteneknek pedig a heacuteliumhoz
hasonloacute 2 elektronos elektronszerkezet a kedvező
Ha a szeacuten koumlreacute rendeződik a neacutegy hidrogeacutenatom neacutegy kovalens koumlteacutes alakul ki Minden hidrogeacuten
koumlrnyezeteacuteben iacutegy 2ndash2 elektron talaacutelhatoacute (piros koumlroumlkkel jeloumllve) miacuteg a neacutegy (koumlzoumls) elektronpaacuter a
szeacuten szaacutemaacutera biztosiacutetja a nyolc vegyeacuterteacutekelektront (piros neacutegyzettel jeloumllve)
3113 aacutebra Az oktettszabaacutely
Most pedig vizsgaacuteljuk meg hogyan neacutez ki a metaacutenhoz hasonloacute nitrogeacutenvegyuumlletet
elektronszerkezete
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p3 azaz 5 vegyeacuterteacutekelektronja van A nitrogeacuten 8
elektronos vegyeacuterteacutekheacutej eleacutereacuteseacutere toumlrekszik (oktettszabaacutely) ehhez 3 elektronra van meacuteg szuumlkseacutege A
haacuterom elektront haacuterom hidrogeacuten szolgaacuteltatja iacutegy a keletkező molekula keacuteplete NH3 Iacutegy a nitrogeacuten eacutes
a hidrogeacutenek is eleacuterteacutek a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet Haacuterom koumltő elektronpaacuter joumln leacutetre azaz a
nitrogeacuten oumlsszesen 3 elektronjaacutet adja a koumlteacutesekbe a maradeacutek 2 elektronja pedig csak a nitrogeacutenhez
kapcsoloacutedik Az ilyen elektronpaacutert magaacutenos (vagy nemkoumltő) elektronpaacuternak nevezzuumlk A koraacutebban
taacutergyalt kloacutermolekula eseteacuteben mindkeacutet kloacuteratom 3ndash3 magaacutenos elektronpaacuterral rendelkezik
Magaacutenos elektronpaacuter olyan vegyeacuterteacutek-elektronpaacuter mely a kovalens koumlteacutest alkotoacute keacutet atom
koumlzuumll csak az egyikhez tartozik Egy atomon akaacuter toumlbb magaacutenos elektronpaacuter is lehetseacuteges
A kovalens koumlteacutes jellemzői
Koumlteacutesi energia egy koumlteacutes felszakiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges energia az az energia melyet be kell
fektetni hogy a koumlteacutest leacutetesiacutető atomokat veacutegtelen taacutevolsaacutegba taacutevoliacutetsuk (Eacutertelemszerűen ugyanekkora
energia szabadul fel mikor a keacutet atom veacutegtelen taacutevolsaacutegboacutel kiindulva leacutetrehozza a koumlteacutest) Aacuteltalaacuteban
CH H
H
H
CH H
H
H
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 81
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Jmol (kJmol) meacuterteacutekegyseacutegben adjuk meg eacuterteacutekeacutet aacutem gyakran hasznaacutelt ndash nem SI ndash meacuterteacutekegyseacuteg a
kcalmol 1 kcalmol = 418 kJmol
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
A koumlteacutestaacutevolsaacutegok rendszerint neacutehaacutenyszor 10minus10 meacuteter nagysaacutegrendűek termeacuteszetesen a koumlteacutest
leacutetesiacutető atomok rendszaacutemaacutetoacutel fuumlggően Gyakran hasznaacuteljuk az angstroumlm vagy aringngstroumlm
meacuterteacutekegyseacuteget (roumlvidiacutetve Aring) melynek eacuterteacuteke 10minus10 meacuteter
(Megjegyzeacutes az atomtaacutevolsaacuteg baacutermely keacutet atom taacutevolsaacutegaacutet jelentheti ha a koumlteacutestaacutevolsaacuteg
kifejezeacutest hasznaacuteljuk akkor a keacutet atom koumlzoumltt keacutemiai koumlteacutes talaacutelhatoacute)
A koumlteacuteshossz fuumlgg az atomok meacutereteacutetől eacutes az őket oumlsszetartoacute koumlteacutes erősseacutegeacutetől Peacuteldaacuteul a kovalens
koumlteacutes a fluormolekulaacuteban (FminusF) roumlvidebb mint egy kloacutermolekulaacuteban (ClminusCl) mivel a kloacuteratomok
joacuteval nagyobbak a fluoratomoknaacutel Ennek megfelelően a halogeacutenmolekulaacutek koumlzoumltt a fluormolekula
koumlteacuteshossza a legroumlvidebb enneacutel nagyobb a kloacutermolekulaacuteeacute majd sorrendben a broacutemmolekula (BrminusBr)
eacutes joacutedmolekula (IminusI) koumlvetkezik oumlsszhangban a halogeacutenatomok meacutereteacutevel
Adott keacutet atom (peacuteldaacuteul keacutet szeacutenatom) melyek koumlzoumltt mineacutel roumlvidebb a koumlteacuteshossz annaacutel
erősebbnek tekinthető a koumlteacutes Tehaacutet a koumlteacutes erősseacutegeacutere a koumlteacuteshosszboacutel is nyerhetuumlnk informaacutecioacutet
Fontos azonban hogy mindig azonos fajta koumlteacuteseket hasonliacutetsunk oumlssze peacuteldaacuteul egy CminusC eacutes egy CminusH
koumlteacutes hosszaacutet oumlsszehasonliacutetva azok erősseacutegeacutet nem lehet pontosan megbecsuumllni mivel a koumlteacutest alkotoacute
atomok atomsugaraacutenak is hataacutesa van a koumlteacuteshosszra
Toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek
Bizonyos esetekben az elektronoktett kialakiacutetaacutesaacutehoz nem elegendő egyetlen koumltő elektronpaacuter
Ezt ismeacutet egy peacuteldaacuten keresztuumll ceacutelszerű megvizsgaacutelni
Az elemi nitrogeacuten molekulaacuteris formaacuteban fordul elő a termeacuteszetben A nitrogeacuten
elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p
3 a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema 5 Keacutet nitrogeacutenatomboacutel egy
nitrogeacutenmolekula keletkezik melynek oumlsszesen 2 middot 5 = 10 elektronja van a lezaacutert heacutejakon kiacutevuumll Mint
fentebb laacutettuk a kloacutermolekula eseteacuten 14 elektronboacutel tudtuk kialakiacutetani a keacutet elektronoktettet Viszont a
nitrogeacuten eseteacuten nem aacutell rendelkezeacutesre ennyi elektron
Mi toumlrteacutenik ha a keacutet nitrogeacutenatom nem egyndashegy hanem keacutetndashkeacutet elektronjaacuteval leacutetesiacutet koumlteacutest
Ekkor mindkeacutet nitrogeacutenatom koumlruumll 5 + 2 = 7 vegyeacuterteacutekelektron van (eleve volt 5 a maacutesik nitrogeacutentől
pedig 2-t kapott) iacutegy nem teljesuumll az oktettelv
Most vizsgaacuteljuk meg hogy mi vaacuteltozik ha mindkeacutet nitrogeacuten haacuteromndashhaacuterom elektront szolgaacuteltat a
koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacutehoz Ekkorra mindkeacutet nitrogeacuten koumlruumll eacuteppen 8 elektron talaacutelhatoacute azaz megfelel az
oktettszabaacutelynak Ha mindkeacutet nitrogeacuten 3ndash3 elektronnal leacutetesiacutet koumlteacutest oumlsszesen 6 elektron talaacutelhatoacute a
keacutet nitrogeacutenatom koumlzoumltt A 6 elektronboacutel 3 elektronpaacutert tudunk leacutetrehozni a nitrogeacutenek keacutetndashkeacutet
elektronja pedig egyndashegy magaacutenos elektronpaacutert alkot Mivel az elektronpaacutert egy vonallal szokaacutes
jeloumllni a nitrogeacutenmolekula szerkezeteacutet az alaacutebbi formaacuteban szoktuk feliacuterni
| N equiv N |
Az iacutegy keletkezett koumlteacutest haacutermas koumlteacutesnek nevezzuumlk Termeacuteszetesen ennek mintaacutejaacutera leacutetezik
kettős koumlteacutes is
Kettős koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely keacutet koumltő elektronpaacuteron keresztuumll koumlti oumlssze a keacutet
atomot
Haacutermas koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely haacuterom koumltő elektronpaacuteron keresztuumll leacutetesiacutet kapcsolatot
a keacutet atom koumlzoumltt
Az elmeacuteleti szaacutemiacutetaacutesok eacutes kiacuteseacuterletek alapjaacuten a kettős koumlteacutes joacuteval erősebb mint az egyes koumlteacutes aacutem
a kettős koumlteacutes koumlteacutesi energiaacuteja aacuteltalaacuteban nem keacutetszerese az egyes koumlteacuteseacutenek hanem kisebb annaacutel
82 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hasonloacutean a haacutermas koumlteacutes is rendszerint erősebb mint egy egyes vagy kettős koumlteacutes aacutem nem
haacuteromszor olyan erős mint egy egyes koumlteacutes
Mivel a koumlteacutesek erősseacutegeacutet a koumlteacutesenergiaacuteval szoktuk jellemezni neacutezzuumlk meg az CminusC C=C eacutes
A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja 610 kJmol minus 347 kJmol = 263 kJmol miacuteg
a szeacutenndashszeacuten haacutermas koumlteacutes bdquoharmadik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja a haacutermas eacutes kettős koumlteacutes koumlteacutesi
energiaacutejaacutenak a kuumlloumlnbseacutegekeacutent adoacutedik 836 kJmol minus 610 kJmol = 226 kJmol
Ennek magyaraacutezataacutehoz meg kell ismerkednuumlnk a molekulapaacutelya fogalmaacuteval
Molekulapaacutelya az a teacuterreacutesz melyen beluumll 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute az elektron Az
atompaacutelyaacutehoz hasonloacutean egy molekulapaacutelyaacutera is maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet A koumltő
elektronpaacuterokat tehaacutet molekulapaacutelyaacutekkal jeleniacutethetjuumlk meg
Teacuterjuumlnk vissza tehaacutet az egyes kettős eacutes haacutermas koumlteacutesek elteacuterő erősseacutege kuumlloumlnbseacutegeacutenek
eacutertelmezeacuteseacutehez Az egyes koumlteacutesnek megfelelő elektronok a keacutet atom koumlzoumltt tengelyiraacutenyban
helyezkednek el egy hengerszimmetrikus molekulapaacutelyaacuten A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodikrdquo elektronpaacuterja maacuter
nem keruumllhet ugyanebbe a teacuterreacuteszbe hanem bdquopiskoacuteta alakbanrdquo az etileacutenmolekula siacutekja alatt eacutes foumlloumltt
helyezkedik el Mivel ezek az elektronok maacuter nem a keacutet atomot oumlsszekoumltő tengely menteacuten
helyezkednek el a koumlteacutes gyengeacutebb mint az egyszeres koumlteacutes
A σ-koumlteacutes eacutes π-koumlteacutes
Az egyszeres koumlteacutest ζ (szigma) koumlteacutesnek hiacutevjuk a maacutesodik eacutes harmadik koumlteacuteseket pedig π (piacute)
koumlteacuteseknek nevezzuumlk
Most vizsgaacuteljuk meg hogyan alakulhat ki ζ-koumlteacutes illetve π-koumlteacutes
A hidrogeacutenatomnak egyetlen elektronja van mely a goumlmbszimmetrikus 1s paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Keacutet
hidrogeacutenatomot koumlzeliacutetve egymaacuteshoz a keacutet atompaacutelyaacuteboacutel keacutet molekulapaacutelya joumln leacutetre Az egyikre keacutet
elektron keruumll miacuteg a maacutesik betoumlltetlen marad (az elsőt szokaacutes koumltőpaacutelyaacutenak a maacutesikat pedig
laziacutetoacutepaacutelyaacutenak nevezni) A keacutetszeresen betoumlltoumltt paacutelya hengerszimmetrikus az ilyet nevezzuumlk ζ-
koumlteacutesnek
3114 aacutebra A σ-koumlteacutes
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a hidrogeacuten-klorid-molekula kialakulaacutesaacutet A kloacuteratomnak 7
vegyeacuterteacutekelektronja van 3s2 3p5 azaz a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll kettő keacutetszeresen betoumlltoumltt miacuteg a
harmadik csak egyszeresen Iacutegy a hidrogeacuten 1s-paacutelyaacutejaacuteboacutel eacutes a kloacuter egyik 3p-paacutelyaacutejaacuteboacutel joumlnnek leacutetre a
molekulapaacutelyaacutek
Ismeacutet egy hengerszimmetrikus ζ-paacutelya joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 83
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A fent megismert ζ-koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak peacuteldaacuteul a teliacutetett szeacutenhidrogeacutenekben is melyeknek igen
fontos jellemzőjuumlk hogy a hengerszimmetrikus koumlteacutesek tengelye menteacuten a csoportok el tudnak
fordulni egymaacuteshoz keacutepest viszonylag kis energiabefekteteacutes hataacutesaacutera iacutegy az ilyen vegyuumlletekben a ζ-
koumlteacutestengely koumlruumlli forgaacutes (rotaacutecioacute) igen koumlnnyen veacutegbemegy
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek kialakulaacutesaacutet Vegyuumlk peacuteldaacuteul a
nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesaacutet
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja 2s2 2p3 A haacuterom p-elektron a haacuterom kuumlloumlnboumlző teacuteraacutellaacutesuacute p-
3115 aacutebra A nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesa
A keacutet px-paacutelyaacuteboacutel leacutetrejoumln a ζ-koumlteacutes
3116 aacutebra A nitrogeacutenmolekula σ-koumlteacutese
Viszont ha a px-paacutelyaacutekboacutel kialakul a ζ-koumlteacutes a py- eacutes pz-paacutelyaacutekboacutel maacuter nem joumlhet leacutetre ζ-koumlteacutes
Ezzel ellenben π-koumlteacutesek joumlnnek leacutetre
3117 aacutebra A nitrogeacutenmolekula π-koumlteacutesei
A keacutet π-koumlteacutesnek van egy-egy csomoacutesiacutekja (ahol az elektronok megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege 0) ez a
keacutet csomoacutesiacutek egymaacutesra merőleges A nitrogeacuten eseteacuteben a keacutet π-koumlteacutes teljesen egyforma meacuteretű eacutes
A koumltő elektronpaacuter keacutetfeacutelekeacuteppen joumlhet leacutetre vagy mindkeacutet atom ad egy-egy (vagy toumlbb)
elektront vagy csak az egyik atomtoacutel szaacutermazik a koumltő elektronpaacuter
Kolligaacutecioacutes koumlteacutes mindkeacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom hozzaacutejaacuterul elektronnal (elektronokkal) a koumlteacuteshez
A fentebb taacutergyalt koumlteacutesek mindegyike kolligaacutecioacutes koumlteacutes akaacuter a kloacutermolekula akaacuter a
nitrogeacutenmolekula leacutetrejoumltteacuteről van szoacute
Datiacutev vagy koordinaacutecioacutes koumlteacutes a keacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom koumlzuumll az egyik atom egy teljes
elektronpaacuterral jaacuterul hozzaacute a koumlteacuteshez (ez az elektronpaacuter donor atom) miacuteg a maacutesik atom nem
szolgaacuteltat elektront a koumlteacuteshez (ezt elektronpaacuter-akceptor atomnak nevezzuumlk)
(datiacutev a dativus latin szoacuteboacutel melynek jelenteacutese adaacutes)
A datiacutev koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez szuumlkseacuteges hogy az egyik atomnak legye magaacutenos (nemkoumltő)
elektronpaacuterja a maacutesik atom pedig legyen bdquoelektronhiaacutenyosrdquo Az elektronhiaacuteny akkor leacutep fel ha nem
teljesuumll az oktettszabaacutely
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a boacuter-trifluorid (BF3) molekulaacutet A haacuterom fluoratom egy-egy elektront ad a
kovalens koumlteacutesbe a boacuter ([He] 2s2 2p1) pedig 3 elektronnal tud koumlteacutest leacutetesiacuteteni iacutegy a boacuter koumlruumll haacuterom
koumltő elektronpaacuter helyezkedik el azaz a boacuter vegyeacuterteacutekheacutejaacuten csak hat elektron talaacutelhatoacute A boacuter-trifluorid
molekula siacutek szerkezetű mind a neacutegy atom egy siacutekban van eacutes a boacuteratomnak van egy uumlres p-paacutelyaacuteja
Az uumlres paacutelyaacutek elektronpaacuter-akceptorkeacutent viselkedhetnek
Most keressuumlnk egy elektronpaacuterdonor molekulaacutet Peacuteldaacuteul a fentebb megismert ammoacuteniamolekula
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral iacutegy elektronpaacuterdonornak tekinthető
Mi toumlrteacutenik ha koumlzeledik egymaacuteshoz egy ammoacutenia- eacutes egy boacuter-trifluorid molekula Az
ammoacuteniamolekula nitrogeacutenatomja a magaacutenos paacuterjaacutet bdquokoumllcsoumlnadjardquo a boacuternak iacutegy annak leacutetrejoumln az
elektronoktettje A nitrogeacuten a magaacutenos paacuterjaacutet nem adja aacutet teljesen a boacuternak hanem az a keacutet atom
koumlzoumltt elhelyezkedő elektronpaacuterraacute alakul Iacutegy a nitrogeacutennek is megmarad az elektronoktettje Az iacutegy
leacutetrejoumlvő datiacutev koumlteacutes olyan mint egy hagyomaacutenyos kovalens koumlteacutes a kuumlloumlnbseacuteg csak abban van hogy
a datiacutev koumlteacutes eseteacuten mindkeacutet elektront ugyanaz az atom adja A kialakuloacute datiacutev koumlteacutes kialakulaacutesaacutenak az
a hajtoacuteereje hogy a boacuteratom elektronhiaacutenya csoumlkkenjen (iacutegy teljesuumll az oktettszabaacutely)
A datiacutev koumlteacutest aacuteltalaacuteban vonal helyett nyiacutellal szoktuk jeloumllni A nyiacutel az elektronpaacuterdonor atomtoacutel
mutat az elektronpaacuter-akceptor atom feleacute
N B
H
HH F
FF
Termeacuteszetesen nemcsak az ammoacutenia nitrogeacutenje lehet elektronpaacuter-donor akaacuter ionok is adhatnak
elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesbe Peacuteldaacuteul a fluoridionnak (Fminus) is van 4 magaacutenos elektronpaacuterja
Mi toumlrteacutenik ha egy boacuter-trifluorid molekulaacutet eacutes egy fluoridiont koumlzeliacutetuumlnk egymaacuteshoz A
fluoridion egyik magaacutenos paacuterja datiacutev koumlteacutest leacutetesiacutet a boacutertrifluorid boacuteratomjaacuteval Egy anion keletkezik
melyben a neacutegy fluor egy boacuteratomot vesz koumlruumll
B
F
FF
F
A keletkező igen nagy stabilitaacutesuacute ion neve tetrafluoroboraacutet-anion Benne a neacutegy fluor-boacuter koumlteacutes
teljesen egyenranguacute nem lehet megkuumlloumlnboumlztetni a kolligaacutecioacutes elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesből
szaacutermazoacutetoacutel Mind a neacutegy fluoratom mind a boacuteratom eseteacuten teljesuumll az oktettszabaacutely (mindegyik atom
koumlruumll neacutegy elektronpaacuter talaacutelhatoacute) A negatiacutev toumllteacutes megoszlik a neacutegy fluoratomon egyiknek sincs
kituumlntetett szerepe
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 85
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Datiacutev koumlteacutes nemcsak keacutet kuumlloumlnaacutelloacute molekula vagy ion koumlzoumltt joumlhet leacutetre erre peacutelda a szeacuten-
monoxid molekula
A szeacuten-monoxidot feliacuterhatjuk uacutegy hogy kettős koumlteacutest iacuterunk a szeacuten- eacutes oxigeacutenatom koumlzeacute
C O
Mint laacutethatoacute az oxigeacutenatom koumlruumll neacutegy elektronpaacuter van iacutegy ez megfelel az oktettszabaacutelynak
Viszont a szeacutenatom koumlruumll csak hat elektron (3 elektronpaacuter) talaacutelhatoacute iacutegy elektronhiaacutenyos Az oxigeacuten a
keacutet elektronpaacuterja koumlzuumll az egyikkel datiacutev koumlteacutest tud leacutetesiacuteteni iacutegy haacutermas koumlteacutes alakul ki
C O
Az oxigeacuten az elektronpaacuterdonor a szeacuten pedig az elektronpaacuter-akceptor Ha oumlsszeszaacutemoljuk az
elektronokat a szeacuten eacutes az oxigeacuten koumlruumll azt tapasztaljuk hogy mindkeacutet elem eseteacuten teljesuumll az oktettelv
Eacuterdemes megjegyezni hogy a szeacuten-monoxidban a koumlteacutes gyakorlatilag apolaacuteris ami meglepő ha
belegondolunk hogy a szeacuten eacutes az oxigeacuten elektronegativitaacutesa koumlzoumltt mintegy egyseacutegnyi a kuumlloumlnbseacuteg
[EN(O) = 34 EN(C) = 25] Tehaacutet a koumlteacutesnek polaacuterisnak kellene lennie az elektronegativitaacutesok
alapjaacuten az oxigeacutenen kellene lennie az elektrontoumlbbletnek Mivel az oxigeacuten elektront (negatiacutev toumllteacutes) ad
be a datiacutev koumlteacutesbe a koumlteacutes polaritaacutesa csoumlkken Ebből nyilvaacutenvaloacutevaacute vaacutelik az is hogy az
elektronegativitaacutesok alapjaacuten nem mindig lehet egyeacutertelműen eldoumlnteni hogy egy koumlteacutes mennyire
polaacuteris
Delokalizaacutelt elektronok
Delokalizaacutecioacute ha egy elektron nem rendelhető egyeacutertelműen egy adott atomhoz vagy keacutemiai
koumlteacuteshez az elektront delokalizaacuteltnak tekintjuumlk
A latin eredetű szoacute jelenteacutese nem helyhez koumltoumltt A lokalizaacutelt (bdquohelyhez koumltoumlttrdquo) koumlteacutes joacutel
meghataacuterozottan keacutet atom koumlzoumltt helyezkedik el
Akkor joumln leacutetre delokalizaacutecioacute ha egy molekulapaacutelya kettőneacutel toumlbb atomra terjed ki
Koumlvetkezzen egy peacutelda delokalizaacutelt elektronszerkezetre
A benzol keacuteplete C6H6 siacutek szerkezetű molekulaacutejaacuteban a szeacutenatomok egy szabaacutelyos hatszoumlg
csuacutecsaiban talaacutelhatoacutek Az oktettelv teljesuumlleacutese ceacuteljaacuteboacutel a szeacutenatomok koumlzeacute vaacuteltakozva egyes eacutes kettős
koumlteacuteseket kellene berajzolnunk (oumlsszesen hat ζ- eacutes haacuterom π-koumlteacutes)
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
Mint koraacutebban emliacutetettuumlk a kettős koumlteacutes hossza roumlvidebb az egyes koumlteacuteseacuteneacutel iacutegy a benzol eseteacuten
is vaacuteltakozoacute hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket kellene kapnunk A kiacuteseacuterleti vizsgaacutelatok azonban ndash ezek alapjaacuten
kisseacute meglepő moacutedon ndash a szeacutenatomok koumlzoumltt azonos hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket aacutellapiacutetottak meg Ez azt
sejteti hogy a szeacutenatomok koumlzoumltti koumlteacutes nem tekinthető sem egyes sem kettős koumlteacutesnek hanem
valahol a kettő koumlzoumltt van A benzol 3 middot 2 = 6 π-elektronja delokalizaacuteloacutedik a hat szeacutenatom foumlloumltt Ennek
megjeleniacuteteacuteseacutere gyakran alkalmazzuk az alaacutebbi keacutepletjeloumlleacutest (a karika a hat delokalizaacuteloacutedott elektront
jeleniacuteti meg)
86 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
31 peacutelda
Iacuterjuk fel a koumlvetkező molekulaacutek elektronszerkezeteacutet
a) hidrogeacuten-klorid (HCl)
b) viacutez (H2O)
c) etileacuten (H2CCH2)
d) acetileacuten (HCCH)
e) szeacuten-dioxid (CO2)
f) keacuten-dioxid (SO2)
g) keacuten-trioxid (SO3)
h) ammoacuteniumion (NH4+)
Megoldaacutes
a) A hidrogeacuten-kloridban egy koumltő elektronpaacuteron keresztuumll joumln leacutetre a kovalens koumlteacutes a
kloacuteratomnak pedig van haacuterom magaacutenos elektronpaacuterja
H Cl
Mivel a hidrogeacuten eacutes a kloacuter elektronegativitaacutesa jelentősen elteacuterő [EN(H) = 21 EN(C) = 31] a
koumlteacutes polaacuteris kovalens koumlteacutesnek tekinthető
b) A viacutezmolekulaacuteban az oxigeacuten hat vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel kettőt bead a keacutet egyes koumlteacutesbe iacutegy a
dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha a megfelelő toumllteacutesek uacutegy rendeződnek hogy koumlzoumlttuumlk a
legnagyobb stabilizaacutecioacute joumlhessen leacutetre Ezt orientaacutecioacutes hataacutesnak (effektusnak) nevezzuumlk
3121 aacutebra A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesaacutet megfigyelhetjuumlk a koumlvetkező animaacutecioacuten
3121 animaacutecioacute A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Hidrogeacutenkoumlteacutes (vagy hidrogeacutenhiacutedkoumlteacutes) olyan molekulaacutek koumlzoumltt joumln leacutetre melyekben a
hidrogeacutenatom egy kiemelkedően nagy elektronegativitaacutesuacute atomjaacutehoz kapcsoloacutedik
A hidrogeacutenkoumlteacutes az aacutetlagos dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel erősebb a legerősebb maacutesodrendű koumlteacutes A
hidrogeacutenkoumlteacutes leacutetrejoumltteacutenek felteacutetele hogy a keacutet atom elektronegativitaacutesa koumlzoumltt nagy kuumlloumlnbseacuteg
legyen Aacuteltalaacuteban akkor szaacutemiacutethatunk hidrogeacutenkoumlteacutes kialakulaacutesaacutera ha a hidrogeacutenatom oxigeacutenhez
nitrogeacutenhez vagy fluorhoz kapcsoloacutedik A hidrogeacutenkoumlteacutes rendkiacutevuumll fontos oumlsszetartoacute erő megtalaacutelhatoacute
szaacutemos termeacuteszetes vegyuumlletben
A viacutez az egyik legfontosabb vegyuumllet melynek molekulaacutei koumlzoumltt hidrogeacutenkoumlteacutes talaacutelhatoacute
O
H
H
H O
H
H
O H
()
()
()
()
()
()
()
()
()
3122 aacutebra A hidrogeacutenkoumlteacutes
Dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumllcsoumlnhataacutes egy dipoacutelusmolekula eacutes egy apolaacuteris molekula koumlzoumltt
leacutetrejoumlvő oumlsszetartoacute erő
A dipoacutelusmolekula kismeacuterteacutekű toumllteacutesmegoszlaacutest okoz a koumlzeleacuteben talaacutelhatoacute apolaacuteris molekulaacuteban
ezt indukaacutelt polarizaacutecioacutenak nevezzuumlk A dipoacutelusmolekula eacutes az indukaacutelt polaritaacutessal rendelkező
molekula koumlzoumltt iacutegy elektrosztatikus vonzaacutes joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 89
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
3123 aacutebra A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes gyengeacutebb a dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel mivel az apolaacuteris molekula
csak igen kismeacuterteacutekben tud polarizaacuteloacutedni
3122 animaacutecioacute A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes az apolaacuteris molekulaacutekat oumlsszetartoacute gyenge koumllcsoumlnhataacutes
A diszperzioacutes koumlteacutest szoktaacutek London-koumllcsoumlnhataacutesnak is nevezni
A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes alapja hogy egy molekula (vagy atom) elektronjai folyamatos
veacuteletlenszerű (rezgő) mozgaacutest veacutegeznek iacutegy meacuteg az apolaacuteris molekulaacutekban is leacutetrejoumln kismeacuterteacutekű
polarizaacutecioacute Az iacutegy leacutetrejoumltt pillanatszerű polarizaacuteltsaacuteg a szomszeacutedos apolaacuteris molekulaacutet polarizaacutelja
(hasonloacutean a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez) Tehaacutet oumlnmagaacuteban az apolaacuteris molekulaacutek
eseteacuten is leacutetrejoumlhet pillanatszerű aszimmetrikus toumllteacuteseloszlaacutes indukaacutelt polarizaacutecioacute (megjegyzeacutes az
apolaacuteris jelleg viszont időben kiaacutetlagoloacutedik eacutes iacutegy oumlsszesseacutegeacuteben nem tapasztalunk dipoacutelusjelleget) A
keletkezett gyengeacuten polarizaacutelt molekulaacutek koumlzoumltt elektrosztatikus vonzoacuteerő joumln leacutetre melynek
eredmeacutenye a gyenge diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
3124 aacutebra A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
A maacutesodrendű koumlteacutesek noumlvekvő erősseacuteg szerinti sorrendje
1 Mit mond ki az oktettelv (vagy maacuteskeacutepp oktettszabaacutely)
2 Mi az elsőrendű eacutes a maacutesodrendű keacutemiai koumlteacutes
3 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a homonukleaacuteris eacutes a heteronukleaacuteris keacutemiai koumlteacutes koumlzoumltt
4 Definiaacutelja az ionos koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
5 Definiaacutelja a feacutemes koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
6 Definiaacutelja a kovalens koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
+minus
90 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
7 Mit jelent ha egy kovalens koumlteacutes polaacuteris vagy apolaacuteris
8 Mieacutert nem teljesuumll az oktettszabaacutely a hidrogeacuten eseteacuten
9 A boacuter-trifluoridot (BF3) elektronhiaacutenyos vegyuumlletkeacutent szoktaacutek emlegetni Mieacutert
10 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a kolligaacutecioacutes eacutes a datiacutev kovalens koumlteacutes koumlzoumltt
11 Hogyan jellemezhető a kovalens koumlteacutes erősseacutege
12 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat koumlteacuteshossz koumlteacutesi energia
13 Keacutet elem elektronegativitaacutesa alapjaacuten hogyan becsuumllhető meg hogy ezen elemek atomja koumlzoumltt
milyen tiacutepusuacute (elsőrendű) keacutemiai koumlteacutes joumlhet leacutetre
14 Mi a magaacutenos elektronpaacuter Nevezzen meg neacutehaacuteny molekulaacutet melyben valamely atom
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral
15 Hogyan definiaacutelnaacute a kettős koumlteacutest eacutes a haacutermas koumlteacutest Mi a ζ- eacutes a π-koumlteacutes Soroljon fel neacutehaacuteny
molekulaacutet melyben kettős illetve haacutermas koumlteacutes talaacutelhatoacute
16 Sorolja fel a maacutesodrendű koumlteacutes fajtaacuteit hasonliacutetsa oumlssze őket a fizikai jelenseacuteg illetve a
koumlteacuteserősseacuteg szempontjaacuteboacutel
17 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a dipoacutelus-dipoacutelus a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus eacutes diszperzioacutes koumlteacutesek koumlzoumltt
18 Milyen koumlteacutes joumlhet leacutetre a koumlvetkező vegyuumlletek molekulaacutei koumlzoumltt
a viacutez (H2O)
b kloroform (maacutes neacuteven trikloacutermetaacuten CHCl3)
c metaacuten (CH4)
d joacuted (I2)
e hidrogeacuten-fluorid (HF)
f keacuten-dioxid (SO2)
g argon (Ar)
h hidrogeacuten-jodid (HI)
32 A molekulaacutek alakja
321 A molekulageometria
A molekulaacutek elektronszerkezete eacutes alakja koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes aacutell fenn Tehaacutet mielőtt egy
molekula szerkezeteacutet felrajzolnaacutenk fontos aacutetgondolni hogy a molekulaacuteban milyen koumlteacutesek
talaacutelhatoacuteak Az elektronok negatiacutev toumllteacutesuumlk folytaacuten tasziacutetjaacutek egymaacutest iacutegy a molekula elektronpaacuterjai
egymaacutestoacutel a lehető legtaacutevolabb szeretneacutenek elhelyezkedni
A molekulaacutek szerkezeteacutet a vegyeacuterteacutek-elektronpaacuterok hataacuterozzaacutek meg a koumltő eacutes magaacutenos
elektronpaacuterok uacutegy helyezkednek el hogy taacutevolsaacuteguk maximaacutelis legyen
Fontos megaacutellapiacutetaacutesok
ndash a kettős koumlteacutesek teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacutesekeacute a haacutermas koumlteacutesekeacute pedig nagyobb
mint a kettős koumlteacutesekeacute
ndash a magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban nagyobb mint a koumltő elektronpaacuterokeacute
Ha egy molekula szerkezeteacutet (geometriaacutejaacutet) szeretneacutenk meghataacuterozni az első leacutepeacutes megaacutellapiacutetani
hogy haacuteny koumltő eacutes magaacutenos elektronpaacuterral rendelkeznek az egyes atomok eacutes hogy a koumltő
elektronpaacuterok haacutenyszoros koumlteacutessel kapcsoljaacutek oumlssze az egyes atomokat
A koumlzponti atomot A-val a hozzaacute kapcsoloacutedoacute atomot X-szel a koumlzponti atom magaacutenos
elektronpaacuterjaacutet pedig E-vel szokaacutes jeloumllni
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 91
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A koumlzponti atomhoz kapcsoloacutedoacute atomot vagy atomcsoportot ligandumnak nevezzuumlk
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
Koumlteacutesszoumlg a ligandumok atommagjaacutet eacutes a koumlzponti atom atommagjaacutet oumlsszekoumltő szakaszok aacuteltal
bezaacutert szoumlg (A koumlteacutesszoumlg 180deg-naacutel nem lehet nagyobb eacuterteacutekű) XAXrsquo koumlteacutesszoumlg az aacutebra alapjaacuten
A
X
X
XAX szoumlg
Baacutermely egyszerű biner (keacutet elemből aacutelloacute) molekulaacutet feliacuterhatunk AXnEm alakban (Az X jeloumllhet
aacuteltalaacutenos ligandumot is tehaacutet nem biztos hogy azonos ligandumokroacutel van szoacute A tovaacutebbiakban azon
molekulaacutekkal foglalkozunk melyek koumlzponti atomja koumlruumll azonos ligandumok talaacutelhatoacutek)
A molekula alakjaacuten vagy geometriaacutejaacuten a ligandumok atommagjai aacuteltal meghataacuterozott
geometriai alakzatot eacutertjuumlk
Lineaacuteris molekula egy haacuterom- vagy toumlbbatomos molekula lineaacuteris ha minden atommagja
ugyanarra az egyenesre esik (A keacutetatomos molekulaacutek eseteacuten az atommagok mindig egy egyenesre
esnek itt nincs eacutertelme linearitaacutesroacutel beszeacutelni)
Erre egy peacutelda az acetileacuten- (etin-) molekula
C CH H
Siacutek vagy planaacuteris molekula minden atomja egy siacutekba esik
Peacuteldaacuteul a koraacutebban emliacutetett boacuter-trifluorid siacutekmolekula mivel az oumlsszes atomja egy siacutekban
talaacutelhatoacute az FBF koumlteacutesszoumlgek 120deg-osak eacutes a haacuterom FminusBminusF koumlteacutesszoumlg oumlsszege kiadja a teljesszoumlget
(360deg)
B
F
FF
322 A molekulaacutek polaritaacutesa
Maacuter a keacutemiai koumlteacutesekkel foglalkozoacute fejezet elejeacuten emliacutetettuumlk az apolaacuteris eacutes a dipoacutelusmolekula
fogalmaacutenaacutel hogy a molekula polaritaacutesa szempontjaacuteboacutel nemcsak a koumlteacutesek polaritaacutesa szaacutemiacutet hanem
azok teacuterbeli elrendeződeacutese is
Azon molekula melyben csak apolaacuteris koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak az mindig apolaacuteris A polaacuteris
koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula lehet apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula ha a koumlteacutesek dipoacutelusvektorainak
eredője nullvektor a molekula apolaacuteris ha a dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus vektor a
molekulaacutenak van eredő dipoacutelusa tehaacutet dipoacutelusmolekulaacuteroacutel van szoacute
Ezt szemleacuteltessuumlk is egy-keacutet peacuteldaacuteval
Szeacutenhidrogeacutenek olyan vegyuumlletek melyek csak szeacuten- eacutes hidrogeacutenatomot tartalmaznak Neacutehaacuteny
Az oumlt elektronpaacuterboacutel haacuterom egy siacutekban rendeződik el haacuteromszoumlg alakban a maacutesik keacutet elektronpaacuter
pedig a siacutek alatt illetve foumlloumltt helyezkedik el Az oumlt AminusX koumlteacutesből haacuterom elteacuter a maacutesik kettőtől elteacuterő
koumlrnyezetben talaacutelhatoacute iacutegy ezen koumlteacutesek hossza aacuteltalaacuteban elteacuter a maacutesik keacutet koumlteacutes hosszaacutetoacutel
A haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ligandumok poziacutecioacutejaacutet ekvatoriaacutelisnak miacuteg az erre
merőlegesekeacutet pedig axiaacutelisnak (vagy apikaacutelisnak) nevezzuumlk
Keacutet egymaacutes melletti ekvatoriaacutelis helyzetben leacutevő ligandum koumlzoumltti koumlteacutesszoumlg 120deg miacuteg egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis ligandum koumlzoumltt 90deg-os a koumlteacutesszoumlg
Az iacutegy keletkező szerkezet olyan mintha keacutet haacuteromszoumlg alapuacute piramist egy lapjukon
oumlsszeilleszteneacutenk ezeacutert az ilyen molekulageometria elnevezeacutese haacuteromszoumlg alapuacute bipiramis vagy
trigonaacutelis bipiramis
Az ilyen koumlteacuteselrendeződeacutes eseteacuten a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor a molekula apolaacuteris
Peacutelda PF5 AsCl5
Megjegyzeacutes oumlt ligandum nemcsak haacuteromszoumlg alapuacute piramis alakban rendeződhet el hanem
lehetseacuteges egy maacutesfajta elrendeződeacutes is melynek neve neacutegyzet alapuacute piramis vagy tetragonaacutelis
piramis Ekkor a ligandumok egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela csuacutecsaiban foglalnak helyet
94 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Rendszerint a trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutes energetikailag kedvezőbb mint a tetragonaacutelis
piramisos
n = 6 m = 0 AX6E0
A hat elektronpaacuter teacuterben uacutegy helyezkedik el egymaacutestoacutel legtaacutevolabb ha a koumlzponti atomot egy
oktaeacuteder koumlzepeacutebe a ligandumokat pedig az oktaeacuteder hat csuacutecsaacuteba helyezzuumlk Az oumlsszes AminusX koumlteacutes
hossza azonos Keacutet egymaacutes melletti X eacutes Xrsquo ligandum eseteacuten az XAXrsquo szoumlg 90deg-os
Az ilyen elrendeződeacutest oktaeacutederes geometriaacutenak nevezzuumlk
Ha egy molekula alakja oktaeacuteder akkor nem lehet dipoacutelusmolekula
Peacutelda SF6 PF6minus
n = 7 m = 0 AX7E0
Az alaacutebbiakban csak a legjellegzetesebb geometria kialakulaacutesaacutet ndash elsősorban eacuterdekesseacutegkeacutent ndash
taacutergyaljuk A heacutet elektronpaacuterboacutel oumlt egy siacutekban egy szabaacutelyos oumltszoumlg csuacutecsainak iraacutenyaacuteban helyezkedik
el A koumlzponti atom az oumltszoumlg koumlzeacuteppontjaacuteban talaacutelhatoacute a hozzaacute kapcsoloacutedoacute oumlt ligandum pedig az
oumltszoumlg csuacutecsaiban A fennmaradoacute keacutet ligandum az oumltszoumlg siacutekja feleacute eacutes alaacute keruumll uacutegy hogy ezen keacutet
ligandum eacutes a koumlzponti atom egy egyenesbe esik A molekulaacuteban keacutetfeacutele koumlteacuteshosszt figyelhetuumlnk
meg aacuteltalaacuteban az oumltszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute koumlteacutesek eacutes a maacutesik keacutet koumlteacutes aacuteltalaacuteban nem egyforma
hosszuacutesaacuteguacute
A keletkező molekula geometriaacutejaacutet oumltszoumlg alapuacute bipiramisnak vagy pentagonaacutelis bipiramisnak
nevezzuumlk
A szimmetrikus elrendeződeacutes koumlvetkezteacuteben a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor iacutegy a molekula
apolaacuteris
Peacutelda IF7
n = 8 m = 0 AX8E0
Csak az eacuterdekesseacuteg eacutes teljesseacuteg kedveacuteeacutert emliacutetjuumlk meg ezt az elrendeződeacutest rendkiacutevuumll ritka A
nyolc koumltő elektronpaacuter egy neacutegyzetes antiprizma csuacutecsain helyezkedik el A neacutegyzetes antiprizma
uacutegy aacutelliacutethatoacute elő ha egy neacutegyzet alapuacute egyenes hasaacuteb alapjaacutet eacutes fedőlapjaacutet egymaacuteshoz keacutepest 45deg-ban
elforgatjuk
A molekula apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Peacutelda XeF82minus
Miutaacuten megbirkoacuteztunk az egyszerűbb magaacutenos elektronpaacutert nem tartalmazoacute molekulaacutek
szerkezeteacutevel most vizsgaacuteljunk bonyolultabb eseteket ahol a koumltő elektronpaacuterok mellett magaacutenos
elektronpaacuterok is talaacutelhatoacutek a koumlzponti atom vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
n = 2 m = 1 AX2E1
A molekula koumlzponti atomja koumlruumll haacuterom elektronpaacuter talaacutelhatoacute melyek koumlzuumll kettő koumltő
elektronpaacuter A haacuterom elektronpaacuter eseteacuten az ideaacutelis elrendeződeacutes haacuteromszoumlg alakuacute a haacuteromszoumlg keacutet
csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum
A magaacutenos elektronpaacutert tartalmazoacute haacuteromatomos AX2E molekula geometriaacutejaacutet hajlottnak vagy
V-alakuacutenak nevezzuumlk
Amennyiben az AminusX koumlteacutes polaacuteris a V-alakuacute molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda SO2 NO2minus
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 95
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
n = 2 m = 2 AX2E2
Neacutegy elektronpaacuter (keacutet koumltő keacutet magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll ezek
tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder keacutet csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum a maacutesik keacutet csuacutecs
iraacutenyaacuteba a magaacutenos paacuterok mutatnak
A keacutet magaacutenos elektronpaacuterral rendelkező haacuteromatomos molekulaacutek geometriaacuteja az előző ponthoz
hasonloacutean hajlott vagy V-alakuacute
Az ilyen geometriaacutejuacute molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda H2O H2S
n = 2 m = 3 AX2E3
Oumlsszesen oumlt elektronpaacuter (keacutet koumltő haacuterom magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll
iacutegy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesre szaacutemiacutetunk A magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban
nagyobb mint a ligandumokeacute iacutegy ezek foglaljaacutek el a haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ekvatoriaacutelis
poziacutecioacutekat a keacutet ligandum pedig a siacutek alaacute eacutes foumlleacute keruumll Az XAXrsquo szoumlg iacutegy 180deg-os tehaacutet a molekula
geometriaacuteja lineaacuteris
A molekula apolaacuteris (laacutesd az AX2 esetet)
Peacutelda XeF2 I3minus
Megjegyzeacutes eacuterdemes aacutetgondolni mieacutert is keruumll a nagyobb teacuterigeacutenyű csoport az ekvatoriaacutelis
poziacutecioacuteba Egy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesű modell eseteacuten legyen az axiaacutelis ligandum Xax az
ekvatoriaacutelis ligandum pedig Xekv Mivel az XekvminusAminusXrsquoekv koumlteacutesszoumlg 120deg az XaxminusAminusXekv koumlteacutesszoumlg
pedig csak 90deg keacutet ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacuteg kisebb mint egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltt Ezeacutert a nagyobb teacuterigeacutenyű
csoport ndash hogy a toumlbbi ligandumtoacutel a legtaacutevolabb helyezkedjen el az ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll
n = 3 m = 1 AX3E1
Ebben az esetben neacutegy elektronpaacuter (haacuterom koumltő egy magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti
atomja koumlruumll iacutegy ezek tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder haacuterom csuacutecsaacuten talaacutelhatoacute ligandum iacutegy
ezek egy siacutekba esnek A magaacutenos elektronpaacuter nagyobb teacuterigeacutenye folytaacuten az XAXrsquo aacuteltalaacuteban kisebb a
tetraeacutederben leacutevőneacutel (azaz 1095deg-naacutel)
A molekula geometriaacuteja haacuteromszoumlg alapuacute piramisos vagy trigonaacutelis piramisos
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda NH3 PF3
n = 3 m = 2 AX3E2
Az elektronpaacuterok szaacutema haacuterom koumltő eacutes keacutet magaacutenos oumlsszesen oumlt elektronpaacuter mely trigonaacutelis
bipiramis alakzatot vesz fel A magaacutenos elektronpaacuteroknak nagyobb a teacuterigeacutenyuumlk ezeacutert ezek az
ekvatoriaacutelis poziacutecioacutekba keruumllnek A haacuterom ligandum koumlzuumll kettő axiaacutelis helyzetben van a harmadik
pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula szerkezete T-alakuacute
Amennyiben az AminusX koumlteacutesek polaacuterisak a molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda ClF3
n = 4 m = 1 AX4E1
96 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az oumlt elektronpaacuterboacutel neacutegy koumltő eacutes egy magaacutenos ismeacutet trigonaacutelis bipiramis alakzatot vesz fel A
magaacutenos elektronpaacuter ebben az esetben is ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll A neacutegy ligandum koumlzuumll kettő
axiaacutelis helyzetben van a maacutesik kettő pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula geometriaacutejaacutet meacuterleghinta alakuacutenak nevezzuumlk (ritkaacutebban torzult tetraeacutedernek is
nevezik)
Mivel a dipoacutelusvektorok eredője nem nullvektor a molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda SF4
n = 4 m = 2 AX4E2
A koumlzponti atomhoz oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik neacutegy koumltő eacutes keacutet magaacutenos ezek
oktaeacutederesen rendeződnek el A magaacutenos elektronpaacuterok keacutet egymaacutessal ellenteacutetes poziacutecioacutet foglalnak
el hogy tasziacutetaacutesukat csoumlkkentseacutek A toumlbbi neacutegy ligandum neacutegyzet alakban rendeződik el
Az ilyen molekula geometriaacuteja neacutegyzetes vagy tetragonaacutelis planaacuteris
A molekula apolaacuteris (meacuteg polaacuteris AminusX koumlteacutesek eseteacuten is)
Peacutelda XeF4
n = 5 m = 1 AX5E1
Oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik koumlzponti atomhoz ezek ismeacutet oktaeacutederesen rendeződnek el
Az oktaeacuteder egyik csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula neacutegyzetes piramisos vagy tetragonaacutelis piramisos szerkezetű
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda BrF5
n = 6 m = 1 AX6E1
A koumlzponti atomon heacutet elektronpaacuter talaacutelhatoacute ezek pentagonaacutelis bipiramis alakba rendeződnek
ennek az oumltszoumlg siacutekja alatti (vagy feletti) csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula oumltszoumlg alapuacute piramisos vagy pentagonaacutelis piramisos szerkezetű
A molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda XeF6
Az alaacutebbi taacuteblaacutezatban a kuumlloumlnfeacutele alapmolekulaacutek szerkezeteacutet foglaltuk oumlssze
n m Keacuteplet
Elektronpaacuterok
elrendeződeacutese a
koumlzponti atom
koumlruumll
Molekula
alakja Koumlteacutesszoumlgek
Polaritaacutes
(ha AminusX
koumlteacutes
polaacuteris)
Peacutelda
1 AX A X polaacuteris HCl
2 0 AX2 lineaacuteris lineaacuteris A XX
XAX 180deg apolaacuteris CO2
1 AX2E trigonaacutelis planaacuteris hajlott vagy
V-alakuacute X
A
X
polaacuteris SO2
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 97
Ebben a bevezető jellegű fejezetben az első feacuteleacuteves Keacutemiai alapok eacutes Aacuteltalaacutenos keacutemia gyakorlat
elsajaacutetiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges legfontosabb matematikai eacutes fizikai oumlsszefuumlggeacuteseket vesszuumlk sorra
11 Matematikai alapok
111 A meacutereacutesek eacutes szaacutemiacutetaacutesok pontossaacutega
A meacuterhető mennyiseacutegeknek keacutet nagy csoportjaacutet kuumlloumlnboumlztethetjuumlk meg Az egyik az uacutegynevezett
diszkreacutet vaacuteltozoacuteval leiacuterhatoacute mennyiseacuteg melyeket pontosan szaacutemszerűsiacuteteni tudunk Ilyen peacuteldaacuteul a
darabszaacutem ismeruumlnk olyat hogy egy darab alma vagy neacutegy darab alma de nincs tuacutel sok eacutertelme 254
darab almaacuteroacutel beszeacutelni A maacutesik csoportba olyan mennyiseacutegek tartoznak melyek eacuterteacuteke folytonosan
vaacuteltozhat azaz nem csak adott egeacutesz eacuterteacutekeket vehet fel Ilyen peacuteldaacuteul a toumlmeg a teruumllet az
aacuteramerősseacuteg az anyagmennyiseacuteg eacutes iacutegy tovaacutebb Ezekre jellemző hogy eacuterteacutekuumlk baacutermilyen ndash nem
felteacutetlenuumll egeacutesz ndash eacuterteacuteket felvehet Ennek van egy rendkiacutevuumll fontos koumlvetkezmeacutenye az ilyen
mennyiseacutegek meacutereacutesekor elkoumlvetett hiba befolyaacutesolja a meacutereacutes pontossaacutegaacutet
Vegyuumlnk egy egyszerű peacuteldaacutet Toumlmegmeacutereacutesneacutel egyaacuteltalaacuten nem mindegy milyen bdquofajtardquo meacuterleget
hasznaacutelunk hogy peacuteldaacuteul tehermeacutereacutesre hasznaacutelatos bdquomaacutezsaacutenrdquo szemeacutelymeacuterlegen konyhai meacuterlegen
vagy a laboratoacuterium analitikai meacuterlegeacuten meacuterjuumlk meg egy taacutergy toumlmegeacutet A kuumlloumlnboumlző meacuterlegeket
kuumlloumlnfeacutele meacutereacuteshataacuterokra tervezteacutek eacutes elteacuterő pontossaacuteggal is rendelkeznek Peacuteldaacuteul miacuteg egy maacutezsa
vagy egy szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm addig egy analitikai meacuterleg pontossaacutega
toumlbbnyire 00001 gramm vagy akaacuter meacuteg enneacutel kisebb is lehet Mit is jelent ez a pontossaacuteg kifejezeacutes
Ha egy digitaacutelis szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm eacutes a meacuterleg 764 kilogrammot mutat
akkor a teacutenyleges toumlmegről annyit tudunk hogy igen nagy valoacutesziacutenűseacuteggel a 763 kilogramm eacutes 765
kilogramm koumlzoumltt van Eacutes ebből az is koumlvetkezik hogy 764 kilogrammnak laacutetjuk toumlmeguumlnket akkor
is ha az 76359 kilogramm vagy akaacuter 76432 kilogramm mivel a meacuterleg nem keacutepes pontosabban
kijelezni az eacuterteacuteket
Vegyuumlnk egy maacutesik peacuteldaacutet Egy seprűnyeacutel hosszaacutenak meghataacuterozaacutesaacutet veacutegezzuumlk eacutes keacutetfeacutele
meacuterőszalag aacutell rendelkezeacutesuumlnkre az egyiken centimeacuteter-beosztaacutes van a maacutesikon a millimeacutetereket is
feltuumlntetteacutek az előzőt kisebb pontossaacuteguacutenak az utoacutebbit nagyobb pontossaacuteguacutenak tekintjuumlk A seprűnyeacutel
hosszaacutet egy nagyon pontos meacutereacutessel is megmeacutertuumlk eacutes 168314 centimeacuteternek adoacutedott Ha megmeacuterjuumlk
ezt a taacutergyat a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal millimeacuteter pontossaacuteggal ismerjuumlk a taacutergy hosszaacutet
mely 168 centimeacuteter eacutes 3 millimeacuteter Ha azonban a maacutesik centimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal meacuterjuumlk
meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet csak a centimeacuteteregyseacutegeket tudjuk leolvasni ami esetuumlnkben 168
esetleg szemre tudjuk becsuumllni a harmad centimeacuteternyi taacutevolsaacutegot Ebben az esetben azonban nem
adhatjuk meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet 1683 centimeacuteternek mert a meacuterőszalag beosztaacutesa ezt nem teszi
lehetőveacute A centimeacuteter pontossaacuteguacute meacuterőszalaggal meacuterve a helyesen megadott mennyiseacuteg 168
centimeacuteter
Tegyuumlk fel hogy a fentebb emliacutetett seprűnyelet megmeacuterjuumlk a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalag
segiacutetseacutegeacutevel eacutes hosszaacutet egeacuteszen pontosan 1683 centimeacuteternek olvassuk le azaz szemre nem
eacuterzeacutekeluumlnk elteacutereacutest a millimeacuteteregyseacutegben Ilyenkor azonban nem adhatjuk meg a seprűnyeacutel hosszaacutet az
alaacutebbi alakban 168300 centimeacuteter de meacuteg iacutegy sem 16830 centimeacuteter mivel a meacuterőeszkoumlz
pontossaacutega ezt nem teszi lehetőveacute A helyes megadaacutesi moacuted a koumlvetkező 1683 centimeacuteter
Akaacuter laboratoacuteriumban dolgozunk akaacuter szaacutemiacutetaacutesi feladatot oldunk meg gyakran előfordul hogy
az adatok pontossaacutegaacutet is figyelembe kell vennuumlnk Ha meacutereacutest veacutegzuumlnk aacuteltalaacuteban ismerjuumlk a meacutereacutes
pontossaacutegaacutet eacutes ebből meg tudjuk aacutellapiacutetani milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű megadnunk az eredmeacutenyt
Viszont a szaacutemiacutetaacutesi feladatok is aacuteltalaacuteban kiacuteseacuterleti eredmeacutenyeken alapulnak ezeacutert ott is fontos szem
előtt tartani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacutet A fentiek alapjaacuten jelentős kuumlloumlnbseacuteg van peacuteldaacuteul az 10 dm3
eacutes az 10000 dm3 koumlzoumltt Az első esetben csak az első tizedesjegyben lehetuumlnk biztosak a valoacutesaacutegban
lehet hogy 102 dm3 vagy 098 dm3 az eacuterteacutek A maacutesodik esetben azonban biztosak lehetuumlnk abban
hogy neacutegy tizedesjegy pontossaacuteggal ismerjuumlk az eacuterteacuteket Termeacuteszetesen egy adott teacuterfogatot nem csak
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 7
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
dm3-ben hanem maacutes meacuterteacutekegyseacutegben is megadhatunk azaz 10000 dm3 megegyezik 10000 cm3-rel
Innen laacutethatjuk hogy nem a tizedesjegyek szaacutema szaacutemiacutet
Az eacuterteacutekes jegy fogalmaacutet a pontossaacuteg definiaacutelaacutesaacutera vezetteacutek be Eacuterteacutekes jegynek tekintjuumlk a szaacutem
szaacutemjegyeit kiveacuteve az egyneacutel kisebb szaacutemok elejeacuten talaacutelhatoacute nullaacutet illetve nullaacutekat (azon nullaacutekat
melyek csak a helyi eacuterteacuteket jelzik) Az 10 dm3 feliacuteraacutesban 2 eacuterteacutekes jeggyel adtuk meg a pontossaacutegot
az 10000 dm3 eseteacuten pedig 5 eacuterteacutekes jegyről beszeacuteluumlnk Viszont a 002 dm
3 eseteacuten probleacutemaacuteba
uumltkoumlzuumlnk Ebben az esetben az első keacutet nulla nem szaacutemiacutet eacuterteacutekes jegynek csupaacuten a 2-es szaacutemjegy A
legegyszerűbb moacutedja az eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutenak hogy a mennyiseacuteget aacutetiacuterjuk normaacutel alakba
eacutes megaacutellapiacutetjuk hogy haacuteny szaacutemjegyet tartalmaz a 10 megfelelő hatvaacutenya előtt aacutelloacute szorzoacute teacutenyező
A fenti peacuteldaacuteban 002 dm3 = 2 middot 10ndash2 dm3 azaz 1 eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal ismerjuumlk a teacuterfogatot Az
eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutera az alaacutebbi szabaacutelyokat ismerjuumlk
Az egyneacutel kisebb szaacutemokban az első nem zeacuterus szaacutemjegyet megelőző nullaacutek nem szaacutemiacutetanak
eacuterteacutekes jegynek Peacuteldaacuteul 0000060 g = 60 middot 10ndash5 g azaz keacutet eacuterteacutekes jegyet tartalmaz
Baacutermely maacutes esetben (azaz ha van előtte nem zeacuterus szaacutemjegy) a nulla is eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Peacuteldaacuteul a 10000 dm3-ben 5 eacuterteacutekes jegy talaacutelhatoacute
A nullaacutetoacutel elteacuterő minden szaacutemjegy eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Fontos megjegyezni hogy a meacuterteacutekegyseacutegek aacutetvaacuteltaacutesa nem okozhat vaacuteltozaacutest az eacuterteacutekes jegyek
szaacutemaacuteban azaz sem nem noumlvekedhet sem nem csoumlkkenhet az eacuterteacutekes jegyek szaacutema Iacutegy peacuteldaacuteul
0067060 km = 67060 m = 67060 cm = 67060 mm = 67060 middot 10ndash2 km mint laacutetjuk minden esetben 5
eacuterteacutekes jegy a pontossaacuteg
Ha szaacutemiacutetaacutesi feladatokat oldunk meg szaacutemoloacutegeacutepuumlnkkel aacuteltalaacuteban igen sok tizedes jegy
pontossaacutegra keacutepesek vagyunk meghataacuterozni az eredmeacutenyeket Azonban a sok-sok tizedes jegy
megadaacutesa gyakran teljesen felesleges A koumlvetkezőkben azt vizsgaacuteljuk meg hogy egy szaacutemiacutetaacutesi
feladat megoldaacutesa soraacuten milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű a szaacutemiacutetaacutesokat elveacutegezni eacutes a veacutegeredmeacutenyt
megadni
A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten ceacutelszerű a lehető legpontosabban szaacutemolni mivel iacutegy tudjuk lecsoumlkkenteni a
kerekiacuteteacutesekből adoacutedoacute hibaacutekat Ha rendelkezeacutesre aacutell szaacutemoloacutegeacutep akkor eacuterdemes az adatokat megtartani
a szaacutemoloacutegeacutepben eacutes azokkal szaacutemolni tovaacutebb
Ha a feladat veacutegeacutere eacutertuumlnk a veacutegeredmeacuteny megadaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacutepp ceacutelszerű veacutegezni
vizsgaacuteljuk meg a feladat szoumlvegeacuteben talaacutelhatoacute adatok pontossaacutegaacutet azaz aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny
eacuterteacutekes jegyre van megadva Ezutaacuten meg kell aacutellapiacutetanunk hogy melyik mennyiseacuteg tartalmazza a
legkevesebb eacuterteacutekes jegyet azaz melyik van a legpontatlanabbul megadva A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten csupaacuten
matematikai műveleteket veacutegzuumlnk eacutes iacutegy nem tudunk javiacutetani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacuten Tehaacutet a
veacutegeredmeacuteny pontossaacutegaacutet a legpontatlanabbul megadott kiindulaacutesi adat pontossaacutega szabja meg a
veacutegeredmeacutenyt (legfeljebb) annyi eacuterteacutekes jegy pontossaacutegra adjuk meg mint a legpontatlanabbul
megadott kiindulaacutesi adat eacuterteacutekes jegyeinek szaacutema A szaacutemoloacutegeacutep adatait a megfelelő eacuterteacutekes jegyekre
kell kerekiacutetenuumlnk azaz az 1 2 3 eacutes 4 szaacutemjegyeket lefeleacute az 5 6 7 8 eacutes 9 szaacutemjegyeket pedig felfeleacute
kerekiacutetjuumlk Egy zaacuterthelyi dolgozat eseteacuten termeacuteszetesen a reacuteszeredmeacutenyeket sem ceacutelszerű lejegyezni
az oumlsszes leacutetező tizedesjeggyel ilyenkor is eacuterdemes eacutesszerűen kerekiacutetenuumlnk a megfelelő eacuterteacutekes
jegyre Amennyiben az eredmeacuteny egy nagyon kicsi vagy nagyon nagy szaacutem mindenkeacutepp eacuterdemes
normaacutelalakban megadni az eredmeacutenyt Ennek tovaacutebbi előnye hogy az eacuterteacutekes jegyek szaacutemaacutet is
ellenőrizni tudjuk
11 peacutelda
Egy teacuteglatest eacuteleinek hossza a = 637 cm b = 014570 m eacutes c = 3201 cm Adjuk meg a teacuteglatest
teacuterfogataacutet m3 egyseacutegben
Megoldaacutes
Iacuterjuk aacutet az oumlsszes adatot meacuteter meacuterteacutekegyseacutegre eacutes aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny eacuterteacutekes jegyet
tartalmaz
a = 637 cm = 00637 m 3 eacuterteacutekes jegy
b = 014570 m 5 eacuterteacutekes jegy
c = 3201 cm = 03201 m 4 eacuterteacutekes jegy
8 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A teacuteglatest teacuterfogata
V = a middot b middot c = (00637 m) middot (014570 m) middot (03201 m) = 000029708769 m3
Mivel igen kicsi szaacutemeacuterteacutekről van szoacute ceacutelszerű aacutetiacuternunk normaacutelalakra V = 29708769 middot 10minus4 m3
Mint fentebb ismertettuumlk a veacutegeredmeacutenyt szabaacutelyosan a legpontatlanabbul azaz legkevesebb
eacuterteacutekes jeggyel megadott adat eacuterteacutekes jegyire lehet megadni azaz jelen esetben 3 eacuterteacutekes jegyneacutel
toumlbbet nem eacuterdemes megadunk A veacutegeredmeacuteny helyes pontossaacutegban megadva
V = 297 ∙ 10minus4 m3
112 Alapvető matematikai oumlsszefuumlggeacutesek
Egyenes araacutenyossaacuteg keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn ha az egyik mennyiseacuteget
valahaacutenyszorosaacutera vaacuteltoztatjuk akkor a maacutesik mennyiseacuteg is ugyanannyiszorosaacutera vaacuteltozik
Ha az egyenes araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki iacutegy iacuterhatjuk le y = a middot x ahol y eacutes x a keacutet
keacuterdeacuteses mennyiseacuteg a pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt akkor
beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg araacutenya aacutellandoacute jelen esetben ez megegyezik
a-val Grafikonban aacutebraacutezolva egy origoacuten aacutetmenő egyenest kapunk
1121 aacutebra Az egyenes araacutenyossaacuteg
Az egyenes araacutenyossaacuteg fuumlggveacutenye a lineaacuteris fuumlggveacutenyek egy speciaacutelis esete a tengelymetszet
zeacuterus azaz az egyenesnek az origoacuten kell aacutetmennie
Az egyenes araacutenyossaacutegra szaacutemtalan peacuteldaacutet tudunk a mindennapi eacuteletből eacutes a
termeacuteszettudomaacutenyokboacutel egyaraacutent A fizikai eacutes keacutemiai tartalmuacute peacuteldaacutekkal a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg reacuteszletesen azonban koumlvetkezzen egy igen egyszerű peacutelda Ennek ceacutelja elsősorban
az hogy megismerhessuumlk a kuumlloumlnboumlző megoldaacutesi moacutedszereket hogy ki-ki maga eldoumlnthesse hogy
melyiket alkalmazza koumlnnyebben
12 peacutelda
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forintba keruumll akkor mennyibe keruumll 3 kilogramm reacutezgaacutelic
Megoldaacutes
A) Feliacuteraacutes egyenes araacutenyossaacuteggal szoumlvegesen
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 9
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic x forint
Ezt toumlbbfeacutelekeacuteppen lehet megoldani
Feliacuterhatjuk hogy a mennyiseacutegek araacutenya aacutellandoacute
kg3
forintw
kg2
forint1800
Ebből koumlnnyedeacuten megkapjuk hogy w = 2700 forint
Egy maacutesik megoldaacutes ha az uacutegynevezett keresztbeszorzaacutest alkalmazzuk melyet sok helyen taniacutetanak
koumlzeacutepiskolaacutekban elsősorban keacutemiaoacuteraacuten
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic w forint
Azaz 2 kg middot w forint = 3 kg middot 1800 forint melyből egyszerűen adoacutedik hogy w = 2700 forint
hasonloacutean az előző megoldaacutes eredmeacutenyeacutehez
B) Kiszaacutemiacutethatjuk az araacutenyossaacutegi teacutenyezőt az y = a middot x egyenlet alapjaacuten ez tulajdonkeacuteppen az 1
kilogramm reacutezgaacutelic aacutera
kg
forint900
kg2
forint1800
toumlmeg
aacutera
Iacutegy az egyseacutegaacuterboacutel koumlnnyedeacuten megkaphatjuk a 3 kilogramm reacutezgaacuteliceacutert fizetendő aacuterat w = a middot x =
(900 forint kg) middot (3 kg) = 2700 forint
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg ha az egyik mennyiseacuteget valahaacutenyszorosaacutera noumlveljuumlk a maacutesik mennyiseacuteg
ugyanannyiad reacuteszeacutere csoumlkken
Ha a fordiacutetott araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki a koumlvetkezőkeacutepp iacuterhatjuk fel y = b x ahol
y eacutes x a keacutet keacuterdeacuteses mennyiseacuteg b pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg
koumlzoumltt akkor beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg szorzata aacutellandoacute jelen esetben
ez megegyezik b-vel Grafikonban aacutebraacutezolva egy uacutegynevezett hiperbolaacutet kapunk (amennyiben a
negatiacutev mennyiseacutegekről is van eacutertelme beszeacutelni a hiperbolaacutenak van egy negatiacutev tartomaacutenyban
talaacutelhatoacute szaacutera is)
10 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1122 aacutebra A fordiacutetott araacutenyossaacuteg
Termeacuteszetesen fordiacutetott araacutenyossaacutegra is szaacutemtalan peacuteldaacutet lehet talaacutelni melyekkel a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg Ismeacutet egy igen egyszerű peacutelda
13 peacutelda
Keacutetfeacutele tisztasaacuteguacute reacutezgaacutelicot forgalmaz a vegyszerkereskedő A rosszabb minőseacutegű toumlbb
szennyeződeacutest tartalmazoacute aacutera kilogrammonkeacutent 1800 forint aacutem van egy tisztaacutebb is melynek aacutera 2400
forint kilogrammonkeacutent Haacuteny kilogrammnyit tudunk venni a jobb minőseacutegű reacutezgaacutelic 12
kilogrammjaacutenak aacuteraacuteboacutel ha azt rosszabb minőseacutegű reacutezgaacutelicra koumlltjuumlk
Megoldaacutes
A) Araacutenypaacuterral
Ha 2400 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel 12 kg-ot tudunk venni
akkor az 1800 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel z kg-ot tudunk venni
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg eseteacuten a mennyiseacutegek szorzata aacutellandoacute
(2400 Ftkg) middot (12 kg) = (1800 Ftkg) middot (z kg)
Ebből z = 16 kilogramm
B) Fuumlggveacutennyel
Mivel a fordiacutetott araacutenyossaacuteg feliacuterhatoacute uacutegy hogy y = b x ebből koumlvetkezik hogy b = y middot x tehaacutet
b = (2400 Ftkg) middot (12 kg) = 28 800 Ft azaz ennyi a rendelkezeacutesre aacutelloacute peacutenzoumlsszeg Ebből
kiszaacutemiacutethatoacute hogy az olcsoacutebb reacutezgaacutelicboacutel mennyit tudunk venni
y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 11
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodfokuacute egyenlet megoldaacutesa
A maacutesodfokuacute egyenlet megoldoacutekeacutepleteacutenek alkalmazaacutesaacutehoz az egyenletet az alaacutebbi formaacutera kell hozni
a middot x2 + b middot x + c = 0
Ekkor az a b eacutes c parameacuteterek fuumlggveacutenyeacuteben a maacutesodfokuacute egyenlet keacutet megoldaacutesa
a2
ca4bbx
2
1
eacutes
a2
ca4bbx
2
2
A neacutegyzetgyoumlk alatti kifejezeacutest diszkriminaacutensnak nevezzuumlk D = b2 ndash 4 middot a middot c
A diszkriminaacutens előjeleacuteből koumlvetkeztethetuumlnk arra hogy haacuteny valoacutes megoldaacutesa van a maacutesodfokuacute
egyenletnek Ha a diszkriminaacutens pozitiacutev keacutet valoacutes gyoumlkoumlt kapunk ha a diszkriminaacutens negatiacutev nincsen
valoacutes megoldaacutesa az egyenletnek Abban az esetben ha a diszkriminaacutens eacuterteacuteke nulla x1 eacutes x2 gyoumlkoumlk
megegyeznek azaz a maacutesodfokuacute egyenletnek egyetlen megoldaacutesa van
14 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
(x ndash 2) middot (x + 5) = 8
Megoldaacutes
Elveacutegezve a szorzaacutest
x2 ndash 2 middot x + 5 middot x ndash 10 = 8
Nullaacutera rendezve
x2 + 3 middot x ndash 18 = 0
Tehaacutet a = 1 b = 3 eacutes c = ndash18 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe (itt a fenti keacutet keacuteplet egy koumlzoumls
keacutepletteacute van oumlsszeolvasztva)
2
93
2
813
12
)18(1433
a2
ca4bbx
22
21
azaz 2
93x1
eacutes 6
2
93x 2
15 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
16 middot x2 ndash 104 middot x + 169 = 0
Megoldaacutes
A nullaacutera rendezett formaacuteboacutel a = 16 b = minus104 eacutes c = 169 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe
4
13
32
0104
162
169164104104
a2
ca4bbx
22
21
Mivel az egyenlet diszkriminaacutensa (a neacutegyzetgyoumlk alatt aacutelloacute kifejezeacutes D = b2 minus 4 middot a middot c) zeacuterus az
egyenlet keacutet gyoumlke ugyanaz tehaacutet egy megoldaacutesa van az egyenletnek 4
13x
12 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Oumlsszegek eacutes szorzatok feliacuteraacutesa
Egy oumlsszeg kifejteacutese
n
1i
n21i aaaa
Egy szorzat kifejteacutese m21
m
1i
i bbbb
Legfontosabb hatvaacutenyozaacutesi eacutes gyoumlkvonaacutesi azonossaacutegok
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a ndash b) middot (a + b) = a2 ndash b2
an middot bn = (amiddotb)n
an bn = (a b)n (b ne 0)
an middot am = an + m
an am = an ndash m (a ne 0)
mnnmmn aaa
n
1
n aa (a ge 0 ha n paacuteros)
mely alapjaacuten a fenti hatvaacutenyozaacutesi azonossaacutegok alkalmazhatoacuteak a gyoumlkvonaacutesra is
A logaritmusfuumlggveacutenyt a koumlvetkezőkeacuteppen definiaacutelhatjuk f(x) = loga x ahol bdquoardquo egy pozitiacutev
szaacutem A fuumlggveacuteny csak pozitiacutev x eacuterteacutekekre van definiaacutelva Amennyiben a gt 0 a fuumlggveacuteny monoton
noumlvekvő ha 0 lt a lt 1 a fuumlggveacuteny csoumlkkenő A logaritmusfuumlggveacuteny az x tengelyt mindig az (1 0)
pontban metszi
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 15
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1134 aacutebra Logaritmusfuumlggveacutenyek
114 Log-log diagramok eacutes taacutersaik
A meacuternoumlki-keacutemiai gyakorlatban sok oumlsszefuumlggeacutest hatvaacutenyfuumlggveacutenykeacutent jeleniacutethetuumlnk meg A
logaritmus egyik igen fontos alkalmazaacutesa hogy meg tudjuk vele aacutellapiacutetani egy hatvaacutenyfuumlggveacuteny
ismeretlen kitevőjeacutet
16 peacutelda
Adott keacutet meacuterhető mennyiseacuteg x eacutes y eacutes tudjuk hogy a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes az alaacutebbi
alakuacute y = xn A meacutereacuteseink soraacuten a koumlvetkező eacuterteacutekpaacuterokat kapjuk
x y
17 377
30 1559
37 2633
42 3615
49 5315
57 7757
69 12506
Aacutellapiacutetsuk meg az n hatvaacutenykitevőt
Megoldaacutes
Az eacuterteacutekpaacuterokat dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
16 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1141 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute koumlzti kapcsolat
A fenti aacutebraacuteboacutel igen neheacutez megaacutellapiacutetani a hatvaacutenykitevőt Mivel a keacutet vaacuteltozoacute (x eacutes y) koumlzoumltti
kapcsolat hatvaacutenyfuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le y = xn pozitiacutev x eacutes y eseteacuten loga y = loga xn = n middot loga x Ezeacutert
vegyuumlk az x eacutes y eacuterteacutekek 10-es alapuacute logaritmusaacutet
lg x lg y
02304 05761
04771 11928
05682 14205
06232 15581
06902 17255
07559 18897
08388 20971
A fenti eacuterteacutekpaacuterokat szinteacuten aacutebraacutezolhatjuk dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben
1142 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute logaritmusa koumlzti kapcsolat
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 17
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az eacuterteacutekek logaritmusa koumlzoumltti kapcsolat maacuter egyenes araacutenyossaacuteggal iacuterhatoacute le
koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk az egyenes meredekseacutegeacutet (iraacutenytangenseacutet) is n = 25 (Ezt akaacuter a
grafikonroacutel leolvasva akaacuter a megfelelő logaritmusok haacutenyadosakeacutent megkaphatjuk)
Tehaacutet a keresett fuumlggveacutenykapcsolat y = x25
A meacuternoumlki gyakorlatban elterjedt az uacutegynevezett log-log diagramok hasznaacutelata is Ekkor nem a
logaritmuseacuterteacutekeket aacutebraacutezoljuk a hagyomaacutenyos beosztaacutesuacute tengelyeken hanem a teacutenyleges eacuterteacutekeket
1145 aacutebra Az y = f(x) = a middot 10bmiddotx fuumlggveacuteny
A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineaacuteris leacutepteacutekű miacuteg az y tengely (ordinaacuteta)
logaritmikus leacutepteacutekű Az exponenciaacutelis fuumlggveacuteny parameacutetereit a meredekseacutegből eacutes tengelymetszetből
koumlnnyen leolvashatjuk
y = f(x) = a middot lg x Ekkor egyszerűen y-t aacutebraacutezoljuk lg x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes meghataacuterozhatjuk
az ismeretlen bdquoardquo parameacutetert
1146 aacutebra Az y = f(x) = a middot lg x fuumlggveacuteny
Tehaacutet ebben az esetben az abszcissza (x tengely) leacutepteacuteke logaritmikus miacuteg az ordinaacuteta (y tengely)
leacutepteacuteke lineaacuteris
Ez a moacutedszer akkor is segiacutetseacuteguumlnkre lehet ha nem ismerjuumlk az oumlsszefuumlggeacutest a keacutet mennyiseacuteg (x eacutes
y) koumlzoumltt viszont az aacutebraacutezolaacutesboacutel remeacutenykedhetuumlnk hogy az oumlsszefuumlggeacutes nem tuacutel bonyolult
fuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le Ilyenkor eacuterdemes kiproacutebaacutelni a fenti aacutetalakiacutetaacutesokat eacutes abban a szerencseacutes
esetben ha az iacutegy keletkezett transzformaacutelt vaacuteltozoacutek koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest kapunk meg tudjuk
hataacuterozni a szuumlkseacuteges parameacutetereket
Meacutereacutesi eredmeacutenyeket tartalmazoacute taacuteblaacutezatok hasznaacutelata soraacuten gyakran előfordul hogy egy olyan adatra
van szuumlkseacuteguumlnk melyre eacuteppen nincs meacutereacutesi eredmeacuteny Erre egy egyszerű peacutelda (peacuteldaacuteul y
mennyiseacuteget meacuterjuumlk x fuumlggveacutenyeacuteben)
x y
00 120
50 160
100 200
Tehaacutet ismerjuumlk y eacuterteacutekeacutet x = 00 x = 50 eacutes x = 100 eseteacuten Tegyuumlk fel hogy nekuumlnk toumlrteacutenetesen
szuumlkseacuteguumlnk van x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutere Ekkor toumlbb lehetőseacuteguumlnk van
ndash megmeacuterjuumlk kiacuteseacuterletileg x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutet
ndash aacutebraacutezoljuk y-t x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes grafikusan proacutebaacutelunk koumlvetkeztetni y eacuterteacutekeacutere x = 70 eseteacuten
ndash matematikai uacuteton bdquokiokoskodjukrdquo y eacuterteacutekeacutet az x = 70 helyen
Az első megoldaacutesra gyakran nincs lehetőseacuteg noha valoacutesziacutenűleg az lenne a legpontosabb A
grafikus megoldaacutes aacuteltalaacuteban hosszadalmas eacutes a leolvasaacutes pontatlan ezeacutert aacuteltalaacuteban az uacutegynevezett
lineaacuteris interpolaacutecioacutet alkalmazzuk ilyen esetekben Termeacuteszetesen ehhez az szuumlkseacuteges hogy a keacutet
vizsgaacutelt vaacuteltozoacute koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes aacutelljon fenn A moacutedszer gyakran olyankor is alkalmazhatoacute
ha a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt nem lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes viszont igen joacute koumlzeliacuteteacutessel lineaacuterisnak
tekinthető az adott tartomaacutenyban ezeacutert nem okoz tuacutel nagy hibaacutet az ha lineaacuterisnak vesszuumlk az
oumlsszefuumlggeacutest Ezt termeacuteszetesen az adott probleacutema jellege hataacuterozza meg eacutes csak bizonyos esetekben
hasznaacutelhatoacute Amennyiben keacutet meacutereacutesi pont koumlzoumltti eacuterteacuteket szeretneacutenk meghataacuterozni interpolaacutecioacuteroacutel
beszeacuteluumlnk (laacutesd fent) Ha a meacutereacutesi pontok alapjaacuten egy olyan pontot szeretneacutenk meghataacuterozni mely a
meacutereacutesi tartomaacutenyon kiacutevuumll esik azaz a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten peacuteldaacuteul x = 150 eseteacuten szeretneacutenk
meghataacuterozni y eacuterteacutekeacutet extrapolaacutecioacuteroacutel van szoacute Figyelem Miacuteg az interpolaacutecioacute a linearitaacutes
felteacutetelezeacuteseacutevel helyes eredmeacutenyt ad az extrapolaacutecioacute gyakran vezet olyan eredmeacutenyhez mely nem
felel meg a valoacutesaacutegnak Ennek oka hogy attoacutel hogy egy bizonyos tartomaacutenyban joggal
alkalmazhatunk lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest gyakran maacutes tartomaacutenyokban maacuter nagy hibaacutet okozhat a lineaacuteris
viselkedeacutestől valoacute elteacutereacutes Erre egy szemleacuteletes peacuteldaacutet mutat az alaacutebbi aacutebra
1151 aacutebra Az extrapolaacutecioacute hibaacutei
20 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az x = 40 hellip 50 tartomaacutenyban az oumlsszefuumlggeacutes lineaacuterisnak tekinthető tehaacutet peacuteldaacuteul az
x = 42 vagy x = 46 pontokban viszonylag pontosan becsuumllhetjuumlk y eacuterteacutekeacutet Aacutem ha az x = 40 eacutes x = 50
pontok alapjaacuten proacutebaacutelunk extrapolaacutelni x = 10 eacuterteacutekre a piros sziacutenű egyenes alapjaacuten (lineaacuteris fuumlggveacutenyt
felteacutetelezve) igen nagy hibaacutet koumlvetuumlnk el
A lineaacuteris interpolaacutecioacutet legszemleacuteletesebben egy peacutelda alapjaacuten eacuterthetjuumlk meg
17 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet vizes oldataacutenak a sűrűseacutege eacutes az oldat toumlmeg-os oumlsszeteacutetele koumlzoumltt
gyakorlatilag lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes Az alaacutebbi taacuteblaacutezat kuumlloumlnboumlző toumlmeg-os oumlsszeteacutetelű
magneacutezium-szulfaacutet-oldatok sűrűseacutegeacutet tartalmazza 20 degC hőmeacuterseacutekleten Becsuumlljuumlk meg lineaacuteris
interpolaacutecioacuteval a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutegeacutet
MgSO4-tartalom
(toumlmeg)
sűrűseacuteg
(gcm3)
6 10602
10 11034
14 11484
18 11955
Megoldaacutes
Az első leacutepeacutes megkeresni hogy mely pontok koumlzoumltt ceacutelszerű az interpolaacutecioacutet veacutegezni azaz meg kell
aacutellapiacutetani mely meacutereacutesi pontok koumlzeacute esik a keacuterdeacuteses pont A 11 toumlmeg-os oldat a 10 eacutes a 14 toumlmeg-
os oldat oumlsszeteacutetele koumlzeacute esik tehaacutet ebben az intervallumban ceacutelszerű a lineaacuteris interpolaacutecioacutet
elveacutegezni (Elvileg ugyan maacutes pontok koumlzoumltt is tudnaacutenk veacutegezni interpolaacutecioacutet aacutem a legszűkebb
intervallumot ceacutelszerű kivaacutelasztani mert a linearitaacutes felteacutetelezeacutese itt a leghelytaacutelloacutebb)
Lineaacuteris interpolaacutecioacute eseteacuten az y mennyiseacuteget (a sűrűseacuteget) x mennyiseacuteg (a MgSO4-tartalom
toumlmeg-ban) fuumlggveacutenyeacuteben a koumlvetkező oumlsszefuumlggeacutessel iacuterhatjuk le
y = a middot x + b
Az alaacutebbi diagramon laacutethatoacutek a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 14 toumlmeg-os (x2) oumlsszeteacutetelhez tartozoacute
pontok (a megfelelő sűrűseacutegek rendre y1 eacutes y2) illetve a keacuterdeacuteses sűrűseacuteg (y) a 11 toumlmeg-os pontban
(melyet a viacutezszintes tengelyen x-nek roumlvidiacutetettuumlnk)
1152 aacutebra Az oldat sűrűseacutege a toumlmegszaacutezaleacutek fuumlggveacutenyeacuteben
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 21
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Tehaacutet az (x1 y1) eacutes (x2 y2) pontok koumlzeacute behuacutezott egyenes meredekseacutege
12
12
xx
yy
x
ya
Mivel a noumlvekmeacutenyek (Γy eacutes Γx) koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn az bdquoardquo meredekseacuteg
ugyanakkora a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 11 toumlmeg-os (x) oumlsszeteacutetel eseteacuten is mint ahogyan a
koumlvetkező aacutebraacuten is laacutethatoacute
1153 aacutebra A sűrűseacuteg szaacutemiacutetaacutesa interpolaacutecioacuteval
Azaz feliacuterhatoacute ismeacutet hogy Γy eacutes Γx araacutenya aacutellandoacute meacuteghozzaacute a fenti bdquoardquo eacuterteacutek
1
1
xx
yy
x
ya
Mivel az bdquoardquo meredekseacuteg mindkeacutet esetben ugyanakkora feliacuterhatjuk a koumlvetkező kifejezeacutest
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
x
ya
Ezt a keacutepletet eacuterdemes megjegyezni aacutem ha nem megy olyan koumlnnyedeacuten akkor a fenti
gondolatmenettel baacutermikor igen koumlnnyen eljuthatunk hozzaacute Mivel a fenti egyenletben csupaacuten az y az
ismeretlen koumlnnyen kifejezhető
11
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Behelyettesiacutetve a keacutepletbe x x1 x2 y1 eacutes y2 eacuterteacutekeacutet (meacuterteacutekegyseacutegek neacutelkuumll)
1147111465110341)1011(1014
1034114841y)xx(
xx
yyy 11
12
12
Tehaacutet a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege 11147 gcm3
22 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Megjegyzeacutes ugyanehhez az eredmeacutenyhez eljuthatunk kicsit maacutes uacuteton is Az alaacutebbi aacutebraacuten bejeloumllt
keacutet haacuteromszoumlg hasonloacute egymaacuteshoz iacutegy az oldalaik araacutenya is aacutellandoacute
1154 aacutebra Az interpolaacutecioacute szemleacutelteteacutese hasonloacute haacuteromszoumlgekkel
18 peacutelda
Egy kiacuteseacuterlet soraacuten megmeacutertuumlk egy ismeretlen magneacutezium-szulfaacutet oldat sűrűseacutegeacutet mely 11600 gcm3-
nek adoacutedott Lineaacuteris interpolaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel aacutellapiacutetsuk meg az oldat magneacutezium-szulfaacutet-tartalmaacutet
toumlmeg-ban A feladat megoldaacutesaacutehoz hasznaacuteljuk az előző peacuteldaacuteban megadott taacuteblaacutezatot
Megoldaacutes
A lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes lehetőseacuteget terem arra hogy a sűrűseacuteg (y) ismereteacuteben az ismeretlen toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelt (x) is meghataacuterozhassuk Mivel az 11600 gcm3 sűrűseacuteg-eacuterteacutek a 11484 eacutes 11955 gcm3
eacuterteacutekek koumlzoumltt talaacutelhatoacute a 14 eacutes 18 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelhez tartozoacute pontok koumlzt kell interpolaacutelni Az
előző peacuteldaacuteban megismert oumlsszefuumlggeacutest kell alkalmaznunk
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
Ebből most x-et kell kifejeznuumlnk x1 x2 y1 y2 eacutes y fuumlggveacutenyeacuteben
1
12
121
12
1211 x
yy
xx)yy(x
yy
xx)yy(xx
Behelyettesiacutetve a megfelelő eacuterteacutekeket
159814141484119551
1418)1484116001(x
yy
xx)yy(x 1
12
121
Tehaacutet az 11600 gcm3 sűrűseacutegű magneacutezium-szulfaacutet-oldat koumlruumllbeluumll 15 toumlmeg-os
Mint emliacutetettuumlk az extrapolaacutecioacute soraacuten mindig fokozott figyelemmel kell eljaacuterni mivel gyakran
előfordul hogy az extrapolaacutelt eacuterteacutek nem joacute becsleacutese a valoacutedi eacuterteacuteknek Koumlvetkezzen egy peacutelda az
extrapolaacutecioacutera
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 23
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
19 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet-oldatra bemutatott 6 eacutes 10 toumlmeg-os adatok alapjaacuten extrapolaacuteljunk 0 toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelre
Megoldaacutes
Az előzőekhez hasonloacutean 6 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelneacutel (x1) a sűrűseacuteg 10602 gcm3 (y1) 10 toumlmeg
(x2) eseteacuten pedig 11034 gcm3 (y2) A feladat megbecsuumllni a sűrűseacuteget (y) 0 toumlmeg (x) eseteacuten
Ismeacutetelten ceacutelszerű egy aacutebraacutet keacutesziacuteteni a megoldaacuteshoz
1155 aacutebra Peacutelda a lineaacuteris extrapolaacutecioacutera
Az előző feladatok megoldaacutesaacutehoz hasonloacutean feliacuterhatjuk az egyes pontokat oumlsszekoumltő egyenesek
meredekseacutegeacutet eacutes a keacutet meredekseacutegnek meg kell egyeznie
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
x
ya
Kifejezve y-t x fuumlggveacutenyeacuteben
11
12
1211
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyyy)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Eacuterdemes megfigyelni hogy a kapott kifejezeacutes ugyanaz mint amit az interpolaacutecioacutenaacutel kaptunk
Behelyettesiacutetve az eacuterteacutekeket
9954006021)60(610
0602110341y)xx(
xx
yyy 11
12
12
A desztillaacutelt viacutez sűrűseacutege 4 degC-on 1000 grammcm3 20 degC-on pedig 0998 grammcm
3 iacutegy az
extrapolaacutecioacuteval kapott 09954 grammcm3 eacuterteacutek igen joacutel koumlzeliacuteti a valoacutedi eacuterteacuteket Ebből arra
koumlvetkeztethetuumlnk hogy a magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege eacutes oumlsszeteacutetele koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes igen
Gyakran előfordul hogy egy egyenlet megoldaacutesaacutera nem ismeruumlnk megfelelő bdquokeacutepletetrdquo sőt nem ritka
hogy egy egyenletet csak koumlzeliacutetőleg tudunk megoldani Ebben a reacuteszben bemutatunk egy egyszerű
moacutedszert melynek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megoldhatunk kuumlloumlnfeacutele egyenleteket
110 peacutelda
Oldjuk meg koumlzeliacutetőleg a koumlvetkező egyenletet
0xlgx
Megoldaacutes
Az egyenletet a pozitiacutev szaacutemok halmazaacuten kell megoldanunk
Hozzuk az egyenletet a koumlvetkező formaacutera
x = f(x)
Erre keacutet lehetőseacuteguumlnk van azaz
A) xlgx
x10x xA 10)x(f
B) xlgx
22 )x(lg)xlg(x xlg)x(f 2B
Ezutaacuten proacutebaacuteljuk megoldani az egyenletet az A) illetve B) uacuteton Vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0
eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0 = 05 ezutaacuten x0 eacuterteacutekeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuten aacutelloacute kifejezeacutesbe
melynek eredmeacutenye x1 = f(x0) lesz Ezutaacuten x1-et behelyettesiacutetjuumlk a jobb oldali kifejezeacutesbe eacutes
megkapjuk x2 = f(x1) eacuterteacutekeacutet majd ezt ismeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuteba eacutes iacutegy tovaacutebb
Ha az egyenlet megoldhatoacute ezzel a moacutedszerrel azt kell tapasztalnunk hogy az egymaacutest koumlvető x0
x1 = f(x0) x2 = f(x1) x3 = f(x2) hellip xi+1 = f(xi) hellip eacuterteacutekeknek koumlzeledniuumlk kell a megoldaacuteshoz mely
iacutegy tetszőleges pontossaacuteggal kiszaacutemiacutethatoacute Most neacutezzuumlk ezt meg az adott peacuteldaacuten
A)
x0 = 05 x0 = 05000
x1 = 50000x
1010 0 x1 asymp 01363
x2 = 19630x
1010 1 x2 asymp 03605
x3 = 36050x
1010 2 x3 asymp 02509
x4 = 25090x
1010 3 x4 asymp 03156
x5 = 31560x
1010 4 x5 asymp 02743
x6 = 27430x
1010 5 x6 asymp 02994
x7 = 29940x
1010 6 x7 asymp 02837
x8 = 28370x
1010 7 x8 asymp 02933
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 25
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x9 = 29330x
1010 8 x9 asymp 02873
x10 = 28730x
1010 9 x10 asymp 02910
x11 = 29100x
1010 10 x11 asymp 02887
x12 = 28870x
1010 11 x12 asymp 02902
x13 = 29020x
1010 12 x13 asymp 02893
x14 = 28930x
1010 13 x14 asymp 02898
x15 = 28980x
1010 14 x15 asymp 02895
x16 = 28950x
1010 15 x16 asymp 02897
x17 = 28970x
1010 16 x17 asymp 02896
x18 = 28960x
1010 17 x18 asymp 02896
x19 = 28960x
1010 18 x19 asymp 02896
Mint laacutetjuk az eredmeacutenyek egy adott eacuterteacutekhez koumlzeliacutetenek eacutes ez az eacuterteacutek eacuteppen az egyenlet
megoldaacutesa
1161 aacutebra Az eredmeacutenyek konvergenciaacuteja
Az eredmeacutenyekből szeacutepen laacutetszik hogy mineacutel toumlbbszoumlr veacutegezzuumlk el a behelyettesiacuteteacutest egyre
pontosabban kapjuk meg az egyenlet eredmeacutenyeacutet Ha keacutet tizedesjegy pontossaacuteggal szeretneacutenk
megoldani az egyenletet akkor eleacuteg csak a 8 leacutepeacutesig folytatni ha az eredmeacutenyre haacuterom tizedesjegy
pontossaacutegra vagyunk kiacutevaacutencsiak a 14 leacutepeacutesig kell folytatnunk az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest Az egyenlet
pontos megoldaacutesa heacutet eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal 02896232
Megjegyzendő hogy a moacutedszer gyorsasaacutega termeacuteszetesen fuumlgg a kiindulaacutesi x0 eacuterteacutek kivaacutelasztaacutesaacutetoacutel
Az eljaacuteraacutest grafikusan az alaacutebbi animaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel szemleacuteltethetjuumlk
26 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1161 animaacutecioacute Az iteraacutecioacute
1162 aacutebra Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutes szemleacutelteteacutese
B)
Az előzőekhez hasonloacutean legyen a kiindulaacutesi eacuterteacutek x0 = 05
x0 = 05 x0 asymp 05000
x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906
x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874
x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013
x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837
x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431
x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055
x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090
x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017
x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)
2 x9 asymp 00897
x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965
x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016
x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 27
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972
x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097
x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555
x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697
x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867
x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311
Mint ahogyan a fenti eacuterteacutekeket aacutebraacutezolva laacutethatjuk az eredmeacutenyek nem tartanak egy adott
eacuterteacutekhez
1163 aacutebra A nem megfelelő fuumlggveacutenykapcsolat koumlvetkezmeacutenye
A feladatot iacutegy a B) uacuteton nem tudjuk megoldani a megoldaacutes csak az A) uacuteton lehetseacuteges Annak
magyaraacutezataacutehoz hogy mieacutert csak az egyik uacuteton jutottunk el a veacutegeredmeacutenyhez felsőbb matematikai
eszkoumlzoumlk is szuumlkseacutegesek ezeacutert ezzel a keacuterdeacutessel itt nem foglalkozunk reacuteszletesen Amennyiben egy
aacutetalakiacutetaacutesi moacuted nem vezet megoldaacuteshoz eacuterdemes megproacutebaacutelni az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest a fuumlggveacuteny
inverzeacutevel is
111 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
x3 + 4 middot x2 minus 1 = 0
Megoldaacutes
Egy harmadfokuacute fuumlggveacutenynek egy kettő vagy haacuterom gyoumlke lehetseacuteges A g(x) = x3 + 4 middot x2 minus 1
fuumlggveacutenyt aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
Mint a fenti aacutebraacuteboacutel laacutethatoacute a g(x) fuumlggveacutenynek haacuterom zeacuteruspontja van iacutegy a g(x) = 0
egyenletnek haacuterom megoldaacutesa van A grafikus megoldaacutesboacutel annyit megaacutellapiacutethatunk hogy egy gyoumlk
x = minus4 koumlrnyezeteacuteben egy maacutesik x = minus05 koumlrnyezeteacuteben miacuteg a harmadik x = 05 koumlrnyezeteacuteben
talaacutelhatoacute
Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacuteshoz x = f(x) alakra kell hozni az egyenletet Erre toumlbb lehetőseacuteg is van
A)
3 2x41x
Az előző feladat megoldaacutesaacutenak mintaacutejaacutera vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0 eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0=10
(baacutermely maacutes szaacutem is lehetne) Az iteraacutecioacute első 32 leacutepeacuteseacutenek xn eacuterteacuteke a leacutepeacutesszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben a
Az alaacutebbiakban a legfontosabb siacutekidomok keruumlleteacutenek (K) eacutes teruumlleteacutenek (T) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Haacuteromszoumlg
cbaK
2
sinba
2
maT a
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a haacuteromszoumlg oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo
oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Trapeacutez
dcbaK
30 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
m2
caT
bdquoardquo eacutes bdquocrdquo a trapeacutez paacuterhuzamos oldalai m a keacutet paacuterhuzamos oldal koumlzoumltti taacutevolsaacuteg azaz a trapeacutez
magassaacutega bdquocrdquo eacutes bdquodrdquo a trapeacutez szaacuterai
Paralelogramma
)ba(2K
sinbambmaT ba
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a paralelogramma oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg mb az a oldalhoz
tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Teacuteglalap
)ba(2K
baT
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a teacuteglalap oldalai
Neacutegyzet
a4K
2aT
bdquoardquo a neacutegyzet oldala
Deltoid
)ba(2K
fe2
1T
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a deltoid oldalai bdquoerdquo eacutes bdquofrdquo a deltoid aacutetloacutei
Rombusz
a4K
sinamaT 2a
bdquoardquo a rombusz oldala ma a magassaacutega α pedig a rombusz keacutet egymaacutes melletti oldala aacuteltal bezaacutert
szoumlg
Koumlr
dr2K
22 d4
1rT
bdquorrdquo a koumlr sugara bdquodrdquo a koumlr aacutetmeacuterője
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 31
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Haacuteromszoumlg
cbaK 2
sinba
2
maT a
Trapeacutez
dcbaK m2
caT
Paralelogramma
)ba(2K sinbambmaT ba
Teacuteglalap
)ba(2K baT
Neacutegyzet
a4K 2aT
Deltoid
)ba(2K fe
2
1T
Rombusz
a4K sinamaT 2a
Koumlr
dr2K 22 d4
1rT
118 Testek felsziacutene eacutes teacuterfogata
Az alaacutebbiakban a legfontosabb testek felsziacuteneacutenek (A) eacutes teacuterfogataacutenak (V) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Teacuteglatest
)acbcab(2A
32 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
cbaV
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a teacuteglatest eacutelei
Kocka
2a6A
3aV
bdquoardquo a kocka eacutele
Egyenes koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2
hd4
1hrV 22
bdquorrdquo az alapkoumlr sugara bdquodrdquo az alapkoumlr aacutetmeacuterője bdquohrdquo a henger magassaacutega
Goumlmb
22 dr4A
33 d6
1r
3
4V
bdquorrdquo a goumlmb sugara bdquodrdquo a goumlmb aacutetmeacuterője
Teacuteglatest
)acbcab(2A cbaV
Kocka
2a6A 3aV
Egyenes
koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2 hd4
1hrV 22
Goumlmb
22 dr4A 33 d6
1r
3
4V
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 33
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
12 Fizikai alapismeretek
121 SI-alapmennyiseacutegek meacuterteacutekegyseacutegeik eacutes gyakori jeloumlleacuteseik
Hosszuacutesaacuteg
Jele ℓ (longitudo hosszuacutesaacuteg) s (taacutevolsaacuteg uacutet)
Meacuterteacutekegyseacutege meacuteter ( metrum ndash latin metron ndash goumlroumlg meacuterteacutek) roumlvidiacuteteacutese m
Toumlmeg
Jele m (massa)
Meacuterteacutekegyseacutege kilogramm ( kilo + gramma ndash goumlroumlg kis toumlmeg) roumlvidiacuteteacutese kg
Idő
Jele t (tempus)
Meacuterteacutekegyseacutege maacutesodperc vagy szekundum ( secunda ndash latin kis reacutesz) roumlvidiacuteteacutese s
Aacuteramerősseacuteg
Jele I (intensitas)
Meacuterteacutekegyseacutege amper ( Andreacute-Marie Ampegravere) roumlvidiacuteteacutese A
Hőmeacuterseacuteklet
Jele T (temperare)
Meacuterteacutekegyseacutege kelvin ( William Thomson Kelvin) roumlvidiacuteteacutese K
Energia a munkaveacutegző keacutepesseacuteg Az energia bdquoeltaacuterolt munkardquo mely megfelelő koumlruumllmeacutenyek
koumlzoumltt munkaacutevaacute alakiacutethatoacute Az energia kuumlloumlnfeacutele formaacutekban jelenik meg peacuteldaacuteul beszeacutelhetuumlnk
mechanikai (mozgaacutesi helyzetihellip) termikus elektromos stb Az energia a rendszer egy aacutellapotaacutet iacuterja
le a munka pedig az aacutellapotok koumlzoumltti vaacuteltozaacutest
Jele E ( energy ndash angol)
Meacuterteacutekegyseacutege ugyanaz mint a munkaacutenak J (joule) 1 J = 1 Nmiddotm = 1 kgmiddotm2middotsminus2
Teljesiacutetmeacuteny a munka eacutes az munkaveacutegzeacutes időtartamaacutenak haacutenyadosa egyseacutegnyi idő alatt veacutegzett
munka a munkaveacutegzeacutes sebesseacutege
Jele P ( power ndash angol)
t
WP
Meacuterteacutekegyseacutege W (watt) 1 W = 1 Js = 1 (kgmiddotm2s2)s = 1 kgmiddotm2s3 = 1 kgmiddotm2middotsminus3
s
F
Fs
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 37
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hataacutesfok a hasznos munka eacutes az oumlsszes befektetett munka haacutenyadosa vagy maacuteskeacuteppen a
hasznos teljesiacutetmeacuteny eacutes az oumlsszes befektetett teljesiacutetmeacuteny haacutenyadosa
Jele ε
ouml
h
W
W
ouml
h
P
P
Wh hasznos munka Wouml befektetett munka Ph hasznos teljesiacutetmeacuteny Pouml befektetett teljesiacutetmeacuteny
Dimenzioacutementes szaacutem eacuterteacuteke 0 le ε le 1
124 Elektromossaacutegtan
Toumllteacutes az elemi toumllteacutesnek valahaacutenyszorosa
Jele Q
Meacuterteacutekegyseacutege C (coulomb) 1 C = 1 Amiddots
Az elektron toumllteacutese q = 1602middot10minus19 C Az elektoron toumllteacuteseacutet negatiacutevnak a protoneacutet pedig
pozitiacutevnak tekintjuumlk
Coulomb toumlrveacutenye keacutet pontszerű toumllteacutes koumlzoumltt hatoacute erő egyenesen araacutenyos a toumllteacutesekkel eacutes
fordiacutetottan araacutenyos a toumllteacutesek koumlzoumltti taacutevolsaacuteg neacutegyzeteacutevel Keacutet azonos előjelű toumllteacutes (++ illetve minusminus)
F erő Q1 eacutes Q2 toumllteacutes r a keacutet toumllteacutes koumlzoumltti taacutevolsaacuteg k araacutenyossaacutegi teacutenyező melynek eacuterteacuteke
899 ∙ 109 Nm2C2
1241 aacutebra Coulomb toumlrveacutenye
Aacuteramerősseacuteg az időegyseacuteg alatt aacutethaladt toumllteacutesek mennyiseacutege
Jele I ( intensitas ndash angol)
t
QI
Q aacutethaladt toumllteacutes t idő
Meacuterteacutekegyseacutege A (amper) 1 A = 1 Cs = 1 Cmiddotsminus1
38 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Feszuumlltseacuteg a munka eacutes a toumllteacutes haacutenyadosa A feszuumlltseacuteg megadja hogy mennyi munkaacutet veacutegez a
mező egyseacutegnyi toumllteacutesen miacuteg a toumllteacutes az egyik pontboacutel elmozdul a maacutesikba
Jele U
Q
WU
Q toumllteacutes W a Q toumllteacutes egyik pontboacutel a maacutesikba juttataacutesaacutehoz szuumlkseacuteges munka
Meacuterteacutekegyseacutege V (volt) 1 V = 1 JC = 1 kgmiddotm2s2(Amiddots) = 1 kgmiddotm2(Amiddots3) = 1 kgmiddotm2middotAminus1middotsminus3
Ellenaacutellaacutes egy elektromos koumlrben egy fogyasztoacuten eső feszuumlltseacuteg eacutes a rajta aacutetmenő aacuteramerősseacuteg
Ilyenkor az aacuteramforraacutes terheletlen azaz a teljes feszuumlltseacuteg az aacuteramforraacuteson esik
Azonban ha egy fogyasztoacuteval terheljuumlk az aacuteramforraacutest az aacuteramforraacuteson meacutert feszuumlltseacuteg maacuter nem
egyezik meg az elektromotoros erővel hanem annaacutel kisebb lesz Ezt a feszuumlltseacuteget
kapocsfeszuumlltseacutegnek nevezzuumlk (a terhelt aacuteramforraacutes kapcsain meacutert feszuumlltseacuteg) A jelenseacuteg oka hogy
az aacuteramkoumlrben folyoacute aacuteram az aacuteramforraacuteson is aacutetfolyik A toumllteacutesek mozgaacutesaacuteval szemben azonban az
aacuteramforraacutesnak is van ellenaacutellaacutesa ezt belső ellenaacutellaacutesnak nevezzuumlk
1242 aacutebra A belső ellenaacutellaacutes szemleacutelteteacutese
Az aacuteramkoumlrben meacuterhető aacuteramerősseacuteget (I) a fogyasztoacute bdquokuumllsőrdquo ellenaacutellaacutesa (Rk) eacutes az aacuteramforraacutes
belső ellenaacutellaacutesa (Rb) hataacuterozza meg
)RR(IU bk0 bk
0
RR
UI
A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramforraacutes kapcsain meacuterhető feszuumlltseacuteg azaz
b0kk RIURIU
A kapocsfeszuumlltseacuteget az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben aacutebraacutezolva a koumlvetkező diagramot kapjuk
1243 aacutebra A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben
U0
Uk
Rb
Rk
+minus
I
40 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha egy elhanyagolhatoacute ellenaacutellaacutesuacute vezetődarabbal oumlsszekoumltjuumlk az aacuteramforraacutes kivezeteacuteseit a
kapocsfeszuumlltseacuteg zeacuterus eacutes az ilyenkor meacuterhető aacuteramerősseacuteg a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram
b
00
R
UI
Mint ahogyan a fenti diagramon is laacutethatoacute a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram aacuteramerősseacuteg maximumaacutet adja meg
Egyenaacuteram munkaacuteja az aacuteramerősseacuteg a feszuumlltseacuteg eacutes az idő szorzata aacutem az ellenaacutellaacutes
segiacutetseacutegeacutevel toumlbb maacutes moacutedon is meghataacuterozhatoacute
tUIW
I aacuteramerősseacuteg U feszuumlltseacuteg t az elektromos munkaveacutegzeacutes ideje
Meacuterteacutekegyseacutege ndash a toumlbbi munkaacutehoz hasonloacutean ndash joule
A munka koumlnnyen adoacutedik a feszuumlltseacuteg eacutes a toumllteacutesmennyiseacuteg definiacutecioacutejaacuteboacutel
Q
WU tIUQUW
Az ellenaacutellaacutes segiacutetseacutegeacutevel a koumlvetkező keacutepletek adoacutednak
tR
UtU
R
UtUIW
2
illetve tRIt)RI(ItUIW 2
Elektromos teljesiacutetmeacuteny az elektromos teljesiacutetmeacuteny az aacuteramerősseacuteg eacutes a feszuumlltseacuteg szorzatakeacutent
adoacutedik Az ellenaacutellaacutes bevezeteacuteseacutevel ismeacutet tovaacutebbi oumlsszefuumlggeacuteseket kaphatunk
RIR
UUIW 2
2
Az elektromos teljesiacutetmeacuteny meacuterteacutekegyseacutege a watt A fenti oumlsszefuumlggeacutesek koumlzvetlenuumll adoacutednak az
elektromos munka keacutepleteiből (a teljesiacutetmeacuteny munka eacutes a munkaveacutegzeacutes idejeacutenek haacutenyadosa)
125 Hőtan
Hőmeacuterseacutekleti skaacutelaacutek a hőmeacuterseacuteklet meghataacuterozaacutesaacutera toumlbb kuumlloumlnboumlző skaacutelaacutet hasznaacutelhatunk A skaacutelaacutek
nagy reacuteszeacutet tapasztalati uacuteton alakiacutetottaacutek ki meacuteghozzaacute egy kivaacutelasztott alsoacute eacutes felső hőmeacuterseacutekleti eacuterteacutek
koumlzoumltt meghataacuterozott szaacutemuacute egyenletes skaacutelaosztaacutest alkalmazva Itt csak a gyakorlati szempontboacutel
legfontosabb keacutet skaacutelaacutet taacutergyaljuk
Az atomot alkotoacute elemi reacuteszecskeacutek toumlmege eacutes toumllteacutese
Reacuteszecske neve Toumlmeg Toumllteacutes Relatiacutev
toumlmeg
Relatiacutev
toumllteacutes
Atommag Proton (p+) 1672 middot 10minus27 kg 16021 middot 10minus19 C 18355 +1
Neutron (n0) 1674 middot 10minus27 kg 0 18377 0
Elektronburok Elektron (eminus) 9109 middot 10minus31 kg minus16021 middot 10minus19 C 1 minus1
Mint laacutethatoacute a fenti taacuteblaacutezatboacutel a proton eacutes a neutron toumlmege koumlzeliacutetőleg megegyezik az elektron
toumlmege pedig ezekneacutel nagysaacutegrendekkel kisebb (mintegy 1840-ed reacutesze a proton vagy a neutron
toumlmegeacutenek) A neutron semleges a proton eacutes az elektron toumllteacutese abszoluacutet eacuterteacutekben megegyezik aacutem
előjeluumlk ellenteacutetes
Rendszaacutem az atomban talaacutelhatoacute protonok szaacutema
Jele Z
Toumlmegszaacutem az atommagban talaacutelhatoacute protonok eacutes neutronok szaacutemaacutenak az oumlsszege
Jele A
Neutronszaacutem toumlmegszaacutemboacutel levonva a protonok szaacutemaacutet azaz a toumlmegszaacutem eacutes a rendszaacutem
kuumlloumlnbseacutege
Jele N
N = Z minus A
2 Az atomok szerkezete 45
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
(Keacutemiai) elemeknek nevezzuumlk az azonos rendszaacutemmal rendelkező atomokboacutel feleacutepuumllő
anyagokat Az elemeket vegyjeluumlkkel szoktuk azonosiacutetani A vegyjel előtt a toumlmegszaacutemot eacutes a
rendszaacutemot is feltuumlntethetjuumlk ilyenkor rendszerint a bal felső indexbe a toumlmegszaacutemot a bal alsoacute
indexbe a rendszaacutemot iacuterjuk
EAZ
Nuklid azonos rendszaacutemuacute eacutes toumlmegszaacutemuacute atommagokat tartalmazoacute atomok oumlsszesseacutege
Izotoacutep egy elem izotoacutepjainak nevezzuumlk azonos rendszaacutemmal aacutem kuumlloumlnboumlző toumlmegszaacutemmal
rendelkező atomjait (Egy elem kuumlloumlnboumlző neutronszaacutemuacute nuklidjai)
Relatiacutev atomtoumlmeg megmutatja hogy az adott atom toumlmege haacutenyszorosa egy C126 -atom
toumlmegeacutenek 112-ed reacuteszeacuteneacutel
Anyagmennyiseacuteg 1 moacutel az anyagmennyiseacutege 6022 middot 1023 darab reacuteszecskeacutenek
Avogadro-szaacutem egy moacutel reacuteszecske darabszaacutema Eacuterteacuteke 6022 middot 1023 mol
A relatiacutev atomtoumlmeg megadja 1 moacutel elem toumlmegeacutet az adott elem 6022 middot 1023 darab atomjaacutenak
oumlssztoumlmegeacutet
Egy elemek legnagyobb reacutesze toumlbbfeacutele izotoacutep elegye a termeacuteszetes gyakorisaacutegukboacutel adoacutedik a
relatiacutev atomtoumlmeg A relatiacutev atomtoumlmeg kiszaacutemiacutetaacutesaacutenaacutel az egyes izotoacutepok atomtoumlmegeacutet a termeacuteszetes
gyakorisaacutegukkal suacutelyozzuk
Tiszta elem olyan elem mely (a termeacuteszetben) csak egyetlen stabil izotoacutepjaacuteval fordul elő
A kuumlloumlnboumlző izotoacutepok gyakorlatilag toumlkeacuteletesen azonos keacutemiai tulajdonsaacuteggal rendelkeznek A
legnagyobb kuumlloumlnbseacuteg fizikai tulajdonsaacutegokban a hidrogeacuten haacuterom izotoacutepja koumlzoumltt van (itt egyetlen
proton mellett egy vagy keacutet neutron viszonylag nagyobb elteacutereacutest okoz) 1H proacutecium (9998) 2H deuteacuterium (002) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese D 3H triacutecium (radioaktiacutev) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese T
Radioaktivitaacutes a nem stabil atommagok spontaacuten bomlaacutesa A radioaktiacutev bomlaacutest nagy energiaacutejuacute
sugaacuterzaacutes kiacuteseacuteri
A nem stabil magokat szokaacutes radioaktiacutev magoknak is nevezni
A radioaktivitaacutes keacutemiai moacutedszerekkel ndash tehaacutet az elektronszerkezeten keresztuumll ndash nem
befolyaacutesolhatoacute
48 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
23 Az atomok elektronszerkezete
Az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronszerkezetuumlk hataacuterozza meg a keacutemiai vaacuteltozaacutesok az
atommagra nincsenek hataacutessal Az elektronok szaacutema megegyezik a rendszaacutemmal mely az adott
elemre jellemző iacutegy a kuumlloumlnboumlző elemek vaacuterhatoacutean kuumlloumlnboumlző keacutemiai tulajdonsaacutegokkal rendelkeznek
Az elektronok az atomokban atompaacutelyaacutekon helyezkednek el
Atompaacutelya az a teacuterreacutesz ahol az elektron 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute
Az elektron a teacuter baacutermely teacuterreacuteszeacuteben megtalaacutelhatoacute valamilyen valoacutesziacutenűseacuteggel az atompaacutelya
nem jelent eacuteles hataacutert inkaacutebb valoacutesziacutenűseacutegi jellegű
Az atompaacutelyaacutekat egy szaacutem eacutes egy betű kombinaacutecioacutejaacuteval szoktuk jeloumllni peacuteldaacuteul 1s 2px 3dxy
stbhellip
A paacutelyaacutekat teacuterben aacutebraacutezolhatjuk uacutegy hogy megjeleniacutetjuumlk azt a feluumlletet mellyel hataacuterolt
teacuterreacuteszben az elektron megtalaacutelaacutesaacutenak valoacutesziacutenűseacutege 90-os
A kuumlloumlnfeacutele paacutelyaacutek alakjaacutet megfigyelhetjuumlk az alaacutebbi aacutebraacuten
231 aacutebra Kuumlloumlnboumlző atompaacutelyaacutek alakja
A paacutelyaacutek egyik fontos jellemzője a csomoacutesiacutekok szaacutema Csomoacutesiacuteknak nevezzuumlk azt a siacutekot mely
keresztuumllmegy az atommagon eacutes benne az elektron megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege zeacuterus Mint laacutethatoacute az s-
paacutelyaacutenak nincsen csomoacutesiacutekja a p-paacutelyaacuteknak egy csomoacutesiacutekja van a d-paacutelyaacuteknak keacutet csomoacutesiacutekja van eacutes
iacutegy tovaacutebb
Az elektronburok feleacutepuumlleacutese
Mint a koraacutebbiakban is emliacutetettuumlk az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronburok feleacutepiacuteteacutese az
elektronszerkezet hataacuterozza meg Ezeacutert rendkiacutevuumll fontos az elektronszerkezet feleacutepuumlleacuteseacutet viszonylag
reacuteszletesen taacutergyalnunk Az aacuteltalaacutenos keacutemia ezen reacutesze viszonylag bonyolult viszont a fontos
alapfogalmak elsajaacutetiacutetaacutesa utaacuten eacuterdekes toumlrveacutenyszerűseacutegeket ismeruumlnk majd meg
Vegyuumlnk egy tetszőleges atommagot eacutes koumlzeliacutetsuumlnk hozzaacute egy elektront Az elektron a
legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacutera keruumll eacutes ezt energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri (Megjegyzendő hogy
a felszabaduloacute energia nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket) A legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutet 1s
paacutelyaacutenak nevezzuumlk Egy maacutesodik elektron koumlzeliacutetve az iacutegy keletkezett bdquoegyelektronosrdquo rendszerhez
szinteacuten egy atompaacutelyaacutera keruumllt melyet ismeacutet energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuter A maacutesodik elektron ndash az
elsőhoumlz hasonloacutean ndash az 1s paacutelyaacutera keruumll eacutes az energiafelszabadulaacutes is megegyezik az első elektron
koumltődeacuteseacuteneacutel tapasztalttal Ha ehhez a bdquokeacutetelektronosrdquo rendszerhez egy uacutejabb elektront adunk az maacuter
nem keruumllhet a legalacsonyabb energiaacutejuacute 1s paacutelyaacutera mivel az atompaacutelyaacutekon maximaacutelisan keacutet elektron
foglalhat helyet (Most ezt fogadjuk el teacutenykeacutent ndash a kiegeacutesziacutető anyagkeacutent taacutergyalandoacute ndash aacuteltalaacutenosan
megfogalmazott Pauli-elv koumlvetkezmeacutenye) A harmadik elektron iacutegy a 2s paacutelyaacutera keruumll Egy negyedik
elektront meacuteg mindig el tudunk helyezni a 2s paacutelyaacuten aacutem az oumltoumldik elektronnak maacuter az egyik 2p
paacutelyaacutera kell keruumllnie (mivel paacutelyaacutenkeacutent maximum keacutet elektron foglalhat helyet) Meacuteg mielőtt tuacutelzottan
belebonyoloacutednaacutenk a paacutelyaacutek szaacutemozaacutesaacuteba eacutes sorrendjeacutebe eacuterdemes oumlsszefoglalnunk a fentieket
2 Az atomok szerkezete 49
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
ndash Energiaminimumra toumlrekveacutes az elektron mindig a legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektront lehet elhelyezni
A paacutelyaacutekat az elektronokkal szokaacutes az alaacutebbi cellaacutes jeloumlleacutessel jeloumllni
Paacutelya elektron neacutelkuumll
(uumlres paacutelya)
Paacutelya egy elektronnal
(feacutelig betoumlltoumltt paacutelya)
Paacutelya keacutet elektronnal
(betoumlltoumltt paacutelya)
Alapaacutellapotuacute atom minden elektron a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacuten helyezkedik el
Gerjesztett atom az atommal energiaacutet koumlzoumllve egy vagy toumlbb elektron magasabb energiaacutejuacute
paacutelyaacutera keruumll (Meacuteg mindig koumltődik az atomhoz nem szakad le roacutela)
Az atompaacutelyaacutek alheacutejakat az alheacutejak pedig elektronheacutejakat alkotnak
Az alheacutejat a paacutelya megjeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute betű jeloumlli peacuteldaacuteul lehetseacuteges p-alheacutej d-alheacutej stb Egy
alheacutejon beluumll ugyanolyan tiacutepusuacute eacutes azonos (vagy hasonloacute) meacuteretű paacutelyaacutek talaacutelhatoacuteak aacutem ezeknek a
Egy adott alheacutejon beluumll az elektronok energiaacuteja azonos tehaacutet a 2px 2py eacutes a 2pz paacutelyaacutekon talaacutelhatoacute
elektronoknak ugyanakkora (ugyanolyam meacutely) az energiaacuteja
Az elektronheacutejat pedig a paacutelya jeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute szaacutem mutatja meg az elektronheacutej bdquomeacutereteacutevelrdquo
van kapcsolatban az 1 heacutej van a legkoumlzelebb az atommaghoz a 2 heacutej enneacutel kijjebb talaacutelhatoacute eacutes iacutegy
tovaacutebb Tehaacutet a heacutej sorszaacutema az atommagtoacutel valoacute taacutevolsaacutegot jelenti
A heacutejakon beluumll alheacutejak talaacutelhatoacuteak Peacuteldaacuteul az 1 heacutej egyetlen alheacutejboacutel (1s) aacutell mely csupaacuten egy
paacutelyaacutet tartalmaz (1s) a 2 heacutej keacutet alheacutejboacutel aacutell a 2s-alheacutej eacutes a 2p-alheacutej alkotja A legalacsonyabb
energiaacutejuacute heacutejat K heacutejnak a toumlbbit pedig rendre L M N O hellip heacutejaknak nevezzuumlk
Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk kuumlloumlnboumlző bdquofajtardquo kuumlloumlnboumlző alakuacute paacutelyaacutekat az egyes tiacutepusuacute atompaacutelyaacutek
darabszaacutemaacutet pedig a paacuteratlan egeacutesz szaacutemok adjaacutek meg (1 3 5 7 9 hellip)
ndash s-paacutelya heacutejankeacutent egy s-paacutelya lehetseacuteges ez az egy paacutelya alkotja az s-alheacutejat
ndash p-paacutelya heacutejankeacutent haacuterom p-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a p-alheacutejat
ndash d-paacutelya heacutejankeacutent oumlt d-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a d-alheacutejat
ndash f-paacutelya heacutejankeacutent heacutet f-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek az f-alheacutejat
Mint laacutethatoacute az s-alheacutej kiveacuteteleacutevel egy alheacutejon beluumll toumlbb paacutelya is talaacutelhatoacute a paacutelyaacuteknak toumlbbfeacutele
iraacutenyultsaacutega van a px py eacutes pz paacutelyaacutek egy dereacutekszoumlgű (Descartes-feacutele) teacuterbeli koordinaacutetarendszer
Tehaacutet mindig legelőszoumlr az 1s alheacutej toumlltődik be majd a 2s ezutaacuten a 2p Tovaacutebbi elektront a 3s
alheacutejra tudunk elhelyezni ezutaacuten a 3p alheacutej koumlvetkezik Eddig a sorrend megegyezik azzal mint amire
a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten szaacutemiacutetanaacutenk Aacutem a taacuteblaacutezat szerint koumlvetkező 3d alheacutej energiaacuteja magasabb
mint a 4s alheacutejeacute ezeacutert az elektron inkaacutebb arra keruumll Neheacutez pontos magyaraacutezatot adni arra hogy ez
mieacutert van ezeacutert egyszerűen csak fogadjuk el
Az alheacutejak fentebb bemutatott betoumlltődeacutesi sorrendje az alaacutebbi aacutebraacuten koumlnnyen nyomon koumlvethető
233 aacutebra Az alheacutejak betoumllteacutesi sorrendje
3px 3py 3pz3s
3p-alheacutej3s-alheacutej
3 (M) heacutej
3d-alheacutej
3dxy 3pyz 3pxz 3px minusy 3pz 2 22
1s
2s
3s
4s
5s
2p
3p
4p
5p
3d
4d
5d
4f
6s 6p
1 (K)
2 (L)
3 (M)
4 (N)
5 (O)
6 (P)
52 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Termeacuteszetesen a paacutelyaacutek betoumlltődeacutese addig tart amiacuteg rendelkezeacutesre aacutell elektron Mindig
figyelembe kell vennuumlnk hogy
ndash az s-alheacutejon 1 paacutelya
ndash a p-alheacutejon 3 paacutelya
ndash a d-alheacutejon 5 paacutelya
ndash az f-alheacutejon 7 paacutelya
talaacutelhatoacute eacutes hogy minden paacutelyaacuten maximaacutelisan keacutet elektron helyezkedhet el
Oumlsszefoglalva
ndash az s-alheacutejakra maximaacutelisan 2 elektront
ndash a p-alheacutejakra maximaacutelisan 6 elektront
ndash a d-alheacutejakra maximaacutelisan 10 elektront
ndash az f-alheacutejakra maximaacutelisan 14 elektront
helyezhetuumlnk
Ezeacutert szokaacutes a betoumlltődeacutesi energiasorrendet az alaacutebbi moacutedon is jeloumllni
1s2 rarr 2s
2 rarr 2p6 rarr 3s
2 rarr 3p6 rarr
rarr 4s2 rarr 3d
10 rarr 4p6 rarr 5s
2 rarr 4d10 rarr
rarr 5p6 rarr 6s
2 rarr 4f14
rarr 5d10 rarr 6p
6 hellip
Peacuteldaacuteul ha a fluoratom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak a fluor (9F)
rendszaacutemaacutenak megfelelő 9 elektront kell megfelelően elhelyezni Ehhez az 1s paacutelyaacutera helyezuumlnk 2
elektront majd a 2s paacutelyaacutera szinteacuten 2 elektront Ez oumlsszesen 4 elektron meacuteg tovaacutebbi 5 elektront kell
elhelyeznuumlnk Sorrendben a 2p paacutelya koumlvetkezik melyre legfeljebb 6 elektront tudunk elhelyezni iacutegy
a mind az 5 elektron a 2p paacutelyaacutera keruumll
Az elektronok szaacutemaacutet az alheacutejakon a jobb felső indexbe tett szaacutemmal jeloumlljuumlk
A fenti fluoratom elektronjainak alheacutejak koumlzoumltti megoszlaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen iacuterhatjuk le
roumlviden
F 1s2 2s2 2p5
Azaz az 1s eacutes 2s alheacutejakra (paacutelyaacutekra) 2ndash2 elektron miacuteg a 2p paacutelyaacutera 5 elektron keruumll (2ndash2 egy-egy
p-paacutelyaacutera miacuteg a harmadikra csak 1)
Cellaacutes jeloumlleacutessel
Elektronkonfiguraacutecioacute az elektronok paacutelyaacutek szerinti elrendeződeacutese egy atomban
Most pedig vizsgaacuteljuk meg a nitrogeacutenatom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutet
A nitrogeacuten rendszaacutema 7 iacutegy 7 elektronja van Az előzőekhez hasonloacutean 2ndash2 elektront elhelyezuumlnk
az 1s eacutes 2s paacutelyaacutekon A maradeacutek 3 elektront a 2p paacutelyaacuten tudjuk elhelyezni
N 1s2 2s2 2p3
Itt viszont keacutet lehetőseacuteguumlnk van
A) a haacuterom p-paacutelyaacutera keruumll egyndashegyndashegy elektron
B) a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll egyre keacutet elektron keruumll miacuteg egy maacutesikra csak egy a harmadik p-paacutelya
pedig betoumlltetlen marad
1s 2s 2p
2 Az atomok szerkezete 53
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A cellaacutes jeloumlleacutessel a keacutet lehetőseacuteg
A)
B)
A fenti keacutet lehetőseacuteg koumlzuumll csak az egyik felel meg a valoacutesaacutegnak meacutegpedig az A) Tehaacutet egy
alheacutejon beluumll az elektronok lehetőseacuteg szerint paacuterosiacutetatlanul helyezkednek el [azaz a B) esetben csak
egy paacuterosiacutetatlan elektron van miacuteg az A) esetben haacuterom] Ezt Hund-szabaacutelynak nevezzuumlk
Hund-szabaacutely egy atom alheacutejaacuten az elektronok uacutegy helyezkednek el hogy koumlzuumlluumlk mineacutel toumlbb
legyen paacuterosiacutetatlan
Az alapaacutellapotuacute elektronszerkezet kialakulaacutesakor az alaacutebbi toumlrveacutenyszerűseacutegeknek kell
teljesuumllniuumlk
ndash Energiaminiumra toumlrekveacutes az elektron mindig a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera
keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera legfeljebb keacutet elektron keruumllhet
ndash Alheacutejak eseteacuten lehetőseacuteg szerint a legtoumlbb elektron legyen paacuterosiacutetatlan
21 peacutelda
Aacutellapiacutetsuk meg a germaacuteniumatom alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Vegyuumlk sorra hogy melyik alheacutejon haacuteny elektron lehet A jobb oldali oszlopban a betoumlltődeacutesi sorrend
szerint az oumlsszes elektron szaacutemaacutet is feltuumlntettuumlk melyet az adott alheacutej teliacutetődeacuteseacutevel lehetseacuteges eleacuterni
Alheacutejon Oumlsszesen
(betoumlltődeacutes szerint)
1s 2 2
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36
Mivel a germaacuteniumnak 32 elektronja van a 3d alheacutej betoumlltődeacuteseacutevel oumlsszesen 30 elektront tudunk
elhelyezni ezeacutert a 4p alheacutejra is keruumll elektron meacuteghozzaacute 2
Tehaacutet az alapaacutellapotuacute germaacuteniumatom elektronszerkezete
Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2
1s 2s 2p
1s 2s 2p
54 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ellenőrzeacuteskeacutepp eacuterdemes oumlsszeszaacutemolnunk a felső indexben szereplő szaacutemokat az oumlsszegnek meg
kell egyeznie a germaacuteniumatom elektronjainak szaacutemaacuteval
2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32
Mivel a p-alheacutejon 6 elektront lehet elhelyezni a haacuterom p-paacutelyaacuten a maradeacutek keacutet elektronnak a
Hund-szabaacutely eacutertelmeacuteben paacuterosiacutetatlanul kell elhelyezkednie Csak a 4s eacutes 4p-alheacutejat aacutebraacutezolva (az
Az atomot a keacutemiai reaktivitaacutes szempontjaacuteboacutel keacutet reacuteszre (bdquoreacutetegrerdquo) oszthatjuk a kuumllső
vegyeacuterteacutekelektronok vesznek reacuteszt a koumlteacutesek kialakiacutetaacutesaacuteban iacutegy a keacutemiai reakcioacutekban a belsőbb
elektronokra (eacutes az atommagra) viszont nincs hataacutesuk a keacutemiai vaacuteltozaacutesoknak
Vegyeacuterteacutekelektronok vegyeacuterteacutekelektronoknak nevezzuumlk az atom keacutemiai reakcioacutekban reacuteszt vevő
kuumllső elektronjait
Atomtoumlrzs az atommag eacutes azon elektronok melyek nem vegyeacuterteacutekelektronok
A fenti peacuteldaacuteban a germaacuteniumnak oumlsszesen neacutegy vegyeacuterteacutekelektronja van keacutet s eacutes keacutet p elektronja
van a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten Az első (K) a maacutesodik (L) eacutes a harmadik (M) heacutejat lezaacutertnak tekintjuumlk ezek
alkotjaacutek az atomtoumlrzset
A nemesgaacutezok elektronszerkezete igen stabilis keacutemiai reaktivitaacutesuk igen csekeacutely Ennek oka
hogy az s- eacutes p-alheacutejak a nemesgaacutezok eseteacuten vaacutelnak teliacutetetteacute (kiveacuteve a heacuteliumot ahol csak az 1s alheacutej
teliacutetődik) iacutegy a lezaacutert heacutejak kiemelkedő stabilitaacutest biztosiacutetanak A vegyeacuterteacutekelektronokat szoktaacutek uacutegy
emliacuteteni hogy a legfelső lezaacutert heacutejon kiacutevuumll elhelyezkedő elektronok a vegyeacuterteacutekheacutejat pedig mint a
legkuumllső lezaacuteratlan heacutejat Ez a megfogalmazaacutes bizonyos esetekben feacutelreeacuterteacutest okozhat
Peacuteldaacuteul a kalcium (rendszaacutema 20) alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2
Mint laacutetjuk a 3 heacutej meacuteg nem teliacutetett mivel a 3d-alheacutej elektronjai a 4s alheacutej teliacutetődeacutese utaacuten
neacutepesuumllnek be aacutem csak a 4s alheacutej 2 elektronjaacutet tekintjuumlk vegyeacuterteacutekelektronnak
Az elektronkonfiguraacutecioacute jeloumlleacuteseacutet gyakran leroumlvidiacutetjuumlk a koumlvetkező moacutedon megkeressuumlk azt a
legnagyobb rendszaacutemuacute nemesgaacutezt (1He 10Ne 18Ar 36Kr 54Xe 86Rn) melynek rendszaacutema kisebb az
adott elem rendszaacutemaacutenaacutel eacutes csak az elem eacutes a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteget
tuumlntetjuumlk fel
Peacuteldaacuteul a germaacutenium (rendszaacutema 32) elektronkonfiguraacutecioacuteja eseteacuten a legnagyobb naacutela kisebb
rendszaacutemuacute nemesgaacutez a 18-as rendszaacutemuacute argon (Ar) melynek elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
Iacutegy a germaacutenium elektronkonfiguraacutecioacuteja eacutes az argon elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg
A germaacutenium roumlvidiacutetett elektronkonfiguraacutecioacuteja iacutegy
Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2
4s 4p
Ge 1s2 2s
2 2p
6 3s
2 3p
6 4s
2 3d
10 4p
2
Ar
2 Az atomok szerkezete 55
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Eacuterdemes az elektronok feltoumlltődeacuteseacutet az alaacutebbi taacuteblaacutezatos formaacuteban is oumlsszefoglalni
Alheacutejon Oumlsszesen Nemesgaacutez
1s 2 2 2He
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10 10Ne
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18 18Ar
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36 36Kr
5s 2 36 + 2 = 38
4d 10 38 + 10 = 48
5p 6 48 + 6 = 54 54Xe
6s 2 54 + 2 = 56
4f 14 56 + 14 = 70
5d 10 70 + 10 = 80
6p 6 80 + 6 = 86 86Rn
7s 2 86 + 2 =88
5f 14 88 + 14 = 102
6d 10 102 + 10 = 112
7p 6 112 + 6 = 118 118UUo
22 peacutelda
Iacuterjuk fel a 48-es rendszaacutemuacute kadmium elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Tehaacutet 48 elektront kell elhelyeznuumlnk Iacutegy a teljes elektronkonfiguraacutecioacute
Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10
Most hataacuterozzuk meg az elektronkonfiguraacutecioacutet a roumlvidiacutetett leiacuteraacutessal A kriptonban 36 elektron
talaacutelhatoacute (a xenonnak toumlbb elektronja van mint a kadmiumnak) iacutegy a maradeacutek 48minus36 = 12 elektront
kell csak feltuumlntetnuumlnk ezek az 5s eacutes a 4d alheacutejakra keruumllnek
Cd [Kr] 5s2 4d10
Gyakorloacutefeladatok
Iacuterjuk fel az alaacutebbi elemek alapaacutellapotuacute konfiguraacutecioacutejaacutet
a) 38Sr
b) 13Al
c) 34Se
d) 53I
e) 25Mn
f) 36Kr
g) 67Ho
h) 83Bi
i) 95Am
j) 80Hg
Megoldaacutesok
a) [Kr] 5s2
b) [Ne] 3s2 3p1
56 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
c) [Ar] 4s2 3d10 4p4
d) [Kr] 4d10 5s2 5p5
e) [Ar] 4s2 3d5
f) [Ar] 3d10 4s2 4p6
g) [Xe] 4f11 6s2
h) [Xe] 4f14
5d10
6s2 6p
3
i) [Rn] 5f7 7s2
j) [Xe] 4f14 5d10 6s2
24 A kvantumszaacutemok
Az atompaacutelyaacutek illetve az elektronok betoumlltődeacuteseacutenek sorrendje szoros oumlsszefuumlggeacutesben aacutell a
Schroumldinger-egyenletekkel melyek a kvantumkeacutemia legfontosabb alapegyenletei koumlzeacute tartoznak
Mivel ezen egyenletek megeacuterteacutese felsőbb matematikai ismereteket koumlvetel itt nem ismerkeduumlnk meg
veluumlk (keacutesőbbi egyetemi tanulmaacutenyainkban viszont majd igen) azonban neacutehaacuteny fontosabb
koumlvetkezmeacutenyuumlket bemutatjuk A Schroumldinger-egyenletek megoldaacutesai kvantaacuteltak ami azt jelenti
hogy nem vehetnek fel baacutermilyen tetszőleges eacuterteacuteket hanem csak joacutel meghataacuterozott eacuterteacutekűek lehetnek
Egy szemleacuteletes peacutelda a molekulaacutek rezgőmozgaacutesa a molekula atomjait keacutepzeljuumlk el toumlmegpontoknak
melyeket a keacutemiai koumlteacutesek rugoacutekeacutent koumltnek oumlssze Egy nagyon egyszerű keacutetatomos molekula a
dihidrogeacuten (H2) A molekulaacutek ndash iacutegy a dihidrogeacuten is ndash folyamatos rezgőmozgaacutessal rendelkeznek aacutem
ennek frekvenciaacuteja nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket Ha energiaacutet koumlzluumlnk a molekulaacuteval noumlvelhetjuumlk a
rezgeacutes frekvenciaacutejaacutet aacutem nem tetszőleges meacuterteacutekben a rezgeacutes frekvenciaacuteja kvantaacutelt
Egy adott atomban az elektronok energiaszintjei is kvantaacuteltak nem vehetnek fel baacutermilyen
eacuterteacuteket az egyes energiaszintek energiaacuteja meghataacuterozott Az elektronok nem tartoacutezkodhatnak
energiaszintek koumlzoumltt csak adott energiaszinteken Ha az elektront az egyik energiaszintről egy
maacutesikra szeretneacutenk juttatni (gerjeszteni) meghataacuterozott energiaacutet kell koumlzoumllnuumlnk vele A Schroumldinger-
egyenlet alapjaacuten kiszaacutemiacutethatjuk az elektronszintek energiaacutejaacutet ez tartalmaz egy parameacutetert melynek
eacuterteacuteke 1 2 3 stb eacuterteacutekeket vehet fel Ezt a parameacutetert főkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Az elektron
maacutegneses tulajdonsaacutegokkal is rendelkezik melyek szinteacuten kvantaacuteltak Ezeket a tulajdonsaacutegokat a
melleacutekkvantumszaacutem eacutes a maacutegneses kvantumszaacutem hataacuterozza meg aacutem ezek eacuterteacuteke sem lehet
tetszőleges Az elektron rendelkezik egy spinnek nevezett mennyiseacuteggel mely fuumlggetlen a toumlbbi
kvantumszaacutemtoacutel A spin az elektron egy maacutegneses jellemzője az ehhez tartozoacute kvantumszaacutemot
spinkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Mint majd laacutetni fogjuk a spinkvantumszaacutem keacutet ellenteacutetes előjelű aacutem
azonos abszoluacutet eacuterteacutekű szaacutem (minusfrac12 vagy +frac12) lehet
Tehaacutet az atom baacutermely elektronja neacutegy kvantumszaacutemmal jellemezhető
A főkvantumszaacutem (n) eacuterteacuteke 1 2 3 stb pozitiacutev egeacutesz szaacutem lehet eacutes megadja hogy az elektron
haacutenyadik heacutejon van Mineacutel nagyobb n eacuterteacuteke az elektron annaacutel nagyobb sugaruacute paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Tehaacutet
n = 1 eseteacuten tudjuk hogy az elektron az első heacutejon talaacutelhatoacute n = 2 eseteacuten pedig hogy a maacutesodik
elektronheacutejon Az elektron energiaacuteja is fuumlgg a főkvantumszaacutemtoacutel a legalacsonyabb energia n = 1-hez
tartozik
A melleacutekkvantumszaacutem (ℓ) eacuterteacuteke 0 1 hellip nminus1 lehetseacuteges tehaacutet az adott heacutejon (adott n eseteacuten)
n-feacutele kuumlloumlnboumlző melleacutekkvantumszaacutem lehetseacuteges A melleacutekkvantumszaacutem megadja hogy az elektron
az elektronheacutejon beluumll melyik alheacutejon (s p d f hellip) talaacutelhatoacute
Az első elektronheacutejon (n = 1) csak ℓ = 0 lehetseacuteges azaz csak s-alheacutejon lehet az elektron
A maacutesodik elektronheacutejon (n = 2) ℓ eacuterteacuteke lehet 0 vagy 1 Ha ℓ = 0 az elektron az s-alheacutejon van
ha pedig ℓ = 1 az elektron a p-alheacutejon talaacutelhatoacute
A harmadik heacutejon (n = 3) ℓ eacuterteacuteke haacuterom kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel 0 1 vagy 2 Az ℓ = 0 eacuterteacutek
mindig s-alheacutejat jeloumll ℓ = 1 eseteacuten az elektron p-alheacutejon talaacutelhatoacute ha pedig ℓ eacuterteacuteke 2 akkor az
elektronroacutel megaacutellapiacutethatoacute hogy a d-alheacutejon van
A maacutegneses kvantumszaacutem (m) eacuterteacuteke egeacutesz szaacutem lehet minusℓ-től +ℓ-ig terjedőleg (a 0-t is
beleeacutertve) iacutegy (2middotℓ + 1) kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel A maacutegneses kvantumszaacutem adott alheacutej eseteacuten a
2 Az atomok szerkezete 57
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
paacutelyaacutek iraacutenyaacutet adja meg tehaacutet egy adott alheacutej eseteacuten m eacuterteacuteke alapjaacuten meg tudjuk aacutellapiacutetani hogy az
elektron melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul ha ℓ = 0 csak egyetlen eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem m = 0 Az s-alheacutejon
beluumll egyetlen s-paacutelya talaacutelhatoacute ehhez tartozik az m = 0 maacutegneses kvantumszaacutem
Ha ℓ = 1 a p-alheacutejon talaacutelhatoacute az elektron Viszont haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyuacute p-paacutelyaacutet ismeruumlnk
px- py- eacutes pz-paacutelyaacutekat A maacutegneses kvantumszaacutem ℓ = 1 eseteacuten m = minus1 m = 0 eacutes m = +1 lehet a haacuterom
A d-alheacutej azaz ℓ = 2 eseteacuten maacuter oumltfeacutele eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem minus2 minus1 0 +1
eacutes +2 Az oumlt kuumlloumlnboumlző maacutegneses kvantumszaacutem az oumlt kuumlloumlnboumlző d-paacutelyaacutet jeloumlli a d-alheacutejon beluumll
Az f-alheacutej eseteacuten (ℓ = 3) heacutet kuumlloumlnboumlző eacuterteacutek koumlzuumll vehet fel egyet a maacutegneses kvantumszaacutem minus3
minus2 minus1 0 +1 +2 +3 iacutegy az f-alheacutejon beluumll heacutet paacutelya kuumlloumlnboumlztethető meg
A spinkvantumszaacutem (ms) eacuterteacuteke +frac12 vagy minusfrac12 lehet Egy adott paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron
keruumllhet ezek mindig ellenteacutetes spinkvantumszaacutemmal rendelkeznek Az elektronok cellaacutes jeloumlleacuteseacuteneacutel a
Tehaacutet ha ismerjuumlk egy elektron mind a neacutegy kvantumszaacutemaacutet akkor tudjuk hogy melyik heacutejon (n)
azon beluumll melyik alheacutejon (ℓ) van eacutes azt is ismerjuumlk hogy az alheacutejon beluumll melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
(m) Az adott paacutelyaacuten talaacutelhatoacute keacutet elektront a spinkvantumszaacutem (ms) kuumlloumlnboumlzteti meg
Egy adott atomban azon elektronok melyek csupaacuten spinkvantumszaacutemukban kuumlloumlnboumlznek egy
elektronpaacutert alkotnak
Tehaacutet egy atomban minden egyes elektron bdquobeazonosiacutethatoacuterdquo a neacutegy kvantumszaacutem segiacutetseacutegeacutevel
Egy nagyon fontos megaacutellapiacutetaacutes hogy egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet Ez a Pauli-
elvvel van oumlsszefuumlggeacutesben
Pauli-elv egy atomban nem lehet keacutet (vagy toumlbb) olyan elektron melynek mind a neacutegy
kvantumszaacutema azonos
A kvantumszaacutemok egy oumlsszetett fizikai elmeacutelet igen bonyolult matematikai oumlsszefuumlggeacutesekkel
megkapott eredmeacutenyei melyek segiacutetseacutegeacutevel megmagyaraacutezhatoacute a heacutejakndashalheacutejakndashpaacutelyaacutek rendszere iacutegy
az atom elektronheacutejaacutenak szerkezete Mint hamarosan laacutetjuk az elemek perioacutedusos rendszereacutenek
feleacutepiacuteteacutese is szoros oumlsszhangban van a kvantumszaacutemok rendszereacutevel
25 Az elemek perioacutedusos rendszere
Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Maacuter reacutegen megfigyelteacutek hogy bizonyos elemek hasonloacute keacutemiai (eacutesvagy fizikai) tulajdonsaacutegokkal
rendelkeznek Mengyelejev a XIX szaacutezad veacutegeacuten az addig felfedezett elemeket egy taacuteblaacutezatba
gyűjtoumltte oumlssze Sőt a felfedezett toumlrveacutenyszerűseacutegeket felhasznaacutelva Mengyelejev szaacutemos addig meacuteg
ismeretlen elem tulajdonsaacutegait joacutesolta meg
A perioacutedusos rendszer az elemeknek a noumlvekvő rendszaacutem szerint feleacutepiacutetett taacuteblaacutezata
Eacuterdekes moacutedon ha az egymaacutest koumlvető rendszaacutemuacute (azaz elektronszaacutemuacute) elemeket sorba
rendezzuumlk ez az elektronok beeacutepuumlleacutesi sorrendje szerint toumlrteacutenik
58 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
251 aacutebra Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszer feleacutepuumlleacutese joacutel megfigyelhető az alaacutebbi animaacutecioacuten
251 animaacutecioacute Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Perioacutedusok
A perioacutedusos rendszerben a viacutezszintes sorokat perioacutedusoknak vagy soroknak nevezzuumlk Gyakran
kuumlloumlnbseacuteg van a sor eacutes a perioacutedus megjeloumlleacutes koumlzoumltt az első bdquosorrdquo-nak aacuteltalaacuteban a 2 perioacutedust szokaacutes
tekinteni peacuteldaacuteul a szeacuten vagy a nitrogeacuten bdquoelső sorbelirdquo elem
Mezők
Az egymaacutes alatti sorok az adott elektronheacutej beeacutepuumlleacuteseacutet mutatjaacutek Az elemeket a fenti taacuteblaacutezatba
rendezve kuumlloumlnboumlző uacutegynevezett mezőket figyelhetuumlnk meg egy mezőn beluumll az azonos betoumlltődő
alheacutejjal rendelkező elemek talaacutelhatoacutek Iacutegy megkuumlloumlnboumlztetuumlnk s- p- d- eacutes f-mezőt
1 1s 1s
2 2s 2p
3 3s 3p
4 4s 3d 4p
5 5s 4d 5p
6 6s 5d 6p
7 7s 6d 7p
4f
5f
2 Az atomok szerkezete 59
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
252 aacutebra A perioacutedusos rendszer mezői
Az s-mező eacuterdekes moacutedon keacutet helyen talaacutelhatoacute az egyik a perioacutedusos rendszer bal oldalaacuten a
maacutesik pedig csupaacuten egyetlen elemet tartalmaz a heacuteliumot A heacutelium egyreacuteszt azeacutert keruumllt a perioacutedusos
rendszer jobb oldalaacutera mivel tulajdonsaacutegaiban sokkal inkaacutebb hasonliacutet az ott talaacutelhatoacute elemekhez A
heacutelium bdquoaacutethelyezeacuteserdquo azonban nem oumlnkeacutenyes a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban toumlltődik be az
adott heacutej az 1 (K) heacutej pedig keacutet elektronnal teliacutethető azaz maacuter a heacuteliumnaacutel lezaacuterul a heacutej
Mint fentebb laacutethatjuk az f-mezőt aacuteltalaacuteban ki szoktaacutek venni az uacutegynevezett bdquohosszuacute perioacutedusos
rendszerbőlrdquo mivel egy hosszuacute keskeny taacuteblaacutezat kezeleacutese viszonylag koumlruumllmeacutenyes
A feltoumlltődeacutesi sorrendből adoacutedik hogy az első perioacutedusban csak s-mező talaacutelhatoacute a maacutesodik
perioacutedustoacutel kezdődik a p-mező feltoumlltődeacutese Mivel a 4s alheacutej hamarabb kezd feltoumlltődni mint a 3d a
3d heacutej a 4 perioacutedusban kezd csak feltoumlltődni Hasonloacute a helyzet az f-mezővel a 4f alheacutej csak a 6s
alheacutej betoumlltődeacutese utaacuten kezd el beneacutepesuumllni iacutegy a 6 perioacutedusban talaacutelhatoacute A tudomaacuteny pillanatnyi
aacutellaacutesa szerint nem sikeruumllt meacuteg előaacutelliacutetani olyan elemet mely a 8 perioacutedusban talaacutelhatoacute sőt a 7
perioacutedus nagyobb rendszaacutemuacute (uacutegynevezett keacutesői) elemei is rendkiacutevuumll instabilak aacuteltalaacuteban csupaacuten
nyomnyi mennyiseacutegben sikeruumll őket előaacutelliacutetani (gyakran ez csak neacutehaacutenyszor tiacutez atomot jelent) A
nagyfokuacute instabilitaacutes oka az atommagok radioaktivitaacutesa aacuteltalaacuteban magreakcioacutek segiacutetseacutegeacutevel lehet
ilyen nagy rendszaacutemuacute atommagokat előaacutelliacutetani melyek azonban toumlbbnyire nagyon gyorsan radioaktiacutev
bomlaacutest szenvednek Ebből koumlvetkezik hogy az ilyen rendkiacutevuumll nagy rendszaacutemuacute elemek fizikai eacutes
keacutemiai tulajdonsaacutegairoacutel nem sokat tudunk Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megjegyezhetjuumlk hogy a
perioacutedusos rendszer alsoacutebb perioacutedusaiban ndash a sok kuumllső elektronnak koumlszoumlnhetően ndash noumlvekszik a
feacutemes jelleg eacutes meacuteg a főcsoportokban is elmosoacutedik az egyes elemek keacutemiai tulajdonsaacutegai koumlzoumltt a
hataacuter
1 s
2
3
4
5
6
7
s -
m
e z
ő
d-mező
p-mező
f-mező
60 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
I
A
II
A
III
B
IV
B
V
B
VI
B
VII
B
VIII
B
VIII
B
VIII
B
I
B
II
B
III
A
IV
A
V
A
VI
A
VII
A
VIII
A
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Ta Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
253 aacutebra A perioacutedusos rendszer
Oszlopok
A hasonloacute elektronszerkezetű elemek fuumlggőleges elrendeződeacutesben helyezkednek le egymaacutes alatti
helyet foglalnak el a perioacutedusos rendszerben ezek egy oszlopot alkotnak
Az s-mező eacutes a p-mező oszlopait oumlsszefoglaloacutean főcsoportoknak miacuteg a d-mező oszlopait
melleacutekcsoportoknak szokaacutes nevezni A keacutesőbbiekben megismerkeduumlnk az egyes oszlopok
elnevezeacuteseivel is
Az oszlopok szaacutemozaacutesaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen szokaacutes veacutegezni
ndash a reacutegiesebb szaacutemozaacutes szerint kuumlloumln taacutergyaljuk a főcsoportokat illetve a melleacutekcsoportokat aacutem
mindkettőt roacutemai szaacutemokkal jeloumlljuumlk Ilyenkor a főcsoportok eseteacuten a megfelelő roacutemai szaacutem
melleacute A betűt iacuterunk miacuteg a melleacutekcsoportokat B betűvel jeloumlljuumlk A fő- eacutes melleacutekcsoportok
(Pd) ezuumlst (Ag) ozmium (Os) iridium (Ir) platina (Pt) eacutes az arany (Au)
Lantanidaacutek eacutes aktinidaacutek
Az f-mező 6 perioacutedusaacuteba tartozoacute feacutemeit lantanidaacuteknak (a 7 perioacutedusaacuteba tartozoacutekat pedig
aktinidaacuteknak szoktuk nevezni)
Ritka foumlldfeacutemek
A lantanidaacutekat a szkandiummal (Sc) eacutes az ittriummal (Y) egyuumltt ritkafeacutemeknek nevezzuumlk
62 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Nemfeacutemek Alkaacutelfeacutemek
Feacutelfeacutemek Alkaacutelifoumlldfeacutemek
Maacutesodfajuacute feacutemek Lantanidaacutek
Aacutetmeneti feacutemek Aktinidaacutek
Nemesfeacutemek
254 aacutebra A perioacutedusos rendszer felosztaacutesa az atomok feacutemes jellege szerint
26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszerben bizonyos tulajdonsaacutegok folytonosan maacutes tulajdonsaacutegok pedig perioacutedusosan
vaacuteltoznak
261 Toumlmegszaacutem neutronszaacutem eacutes relatiacutev atomtoumlmeg vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A proacutecium ( H11 ) kiveacuteteleacutevel minden izotoacutep tartalmaz neutronokat mivel maacuter keacutet proton melleacute is
szuumlkseacuteges neutron hogy az atommag stabil legyen
A kis rendszaacutemuacute elemek legstabilabb izotoacutepjai eseteacuten (perioacutedusos rendszer eleje) a protonok eacutes a
neutronok szaacutema gyakran megegyezik (azaz a neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya egy koumlruumlli ndash
N Z asymp 1) tehaacutet a toumlmegszaacutem gyakran a rendszaacutem keacutetszerese A kalcium 40-es toumlmegszaacutemuacute izotoacutepja (
Ca4020 ) a legnagyobb rendszaacutemuacute izotoacutep melyben a protonok eacutes neutronok szaacutema megegyezik
Nagyobb rendszaacutemuacute elemek izotoacutepjai eseteacuten a neutronok szaacutema meghaladja a protonokeacutet tehaacutet a
toumlmegszaacutem nagyobb mint a rendszaacutem keacutetszerese Ennek oka hogy egyre toumlbb neutronra van szuumlkseacuteg
a pozitiacutev toumllteacutesű protonok elektrosztatikus tasziacutetaacutesaacutenak leaacuternyeacutekolaacutesaacutera A perioacutedusos rendszer utolsoacute
perioacutedusaacuteban a neutronok eacutes protonok szaacutemaacutenak araacutenya (N Z) rendszerint nagyobb mint 15
2 Az atomok szerkezete 63
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az alaacutebbi aacutebraacuten a leacutetező oumlsszes stabil izotoacutep neutronszaacutem protonszaacutem araacutenya (N Z) van
feltuumlntetve a rendszaacutem (Z protonszaacutem) fuumlggveacutenyeacuteben A piros vonal az N Z = 1 esetet jeleniacuteti meg
2611 aacutebra A neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya a toumlmegszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel noumlvekszik ez aloacutel neacutehaacuteny elempaacuter a kiveacutetel
Az alaacutebbi aacutebraacuten az elemek relatiacutev atomtoumlmegeacutet (Ar) aacutebraacutezoltuk a rendszaacutem (Z) fuumlggveacutenyeacuteben
(keacutek koumlroumlk) A fekete egyenes az Ar = Z a zoumlld egyenes az Ar = 2 middot Z a piros egyenes pedig az
Ar = 3 middot Z fuumlggveacutenyeket jelenti
2612 aacutebra A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
64 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute a relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel egyre meredekebben noumlvekszik Miacuteg
a kis rendszaacutemok eseteacuten Ar asymp 2 middot Z (a neutronok szaacutema nagyjaacuteboacutel megegyezik a protonok szaacutemaacuteval ndash a
rendszaacutemmal) addig a nagy rendszaacutemok eseteacuten az Ar Z araacuteny 2-neacutel joacuteval nagyobb
262 Az atomok meacutereteacutenek vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Az atomokat goumlmbszerűnek felteacutetelezzuumlk iacutegy az atomok meacutereteacutet az atomsugaacuterral (idegen szoacuteval
atomraacutediusszal) szoktuk jellemezni (Csak megemliacutetjuumlk hogy az atomsugaacuter fuumlgg az atom aacutellapotaacutetoacutel
azaz attoacutel is hogy milyen koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacuteban vesz reacutesz Ezaacuteltal toumlbbfeacutele moacutedon definiaacutelhatjuk az
atomsugarat aacutem ennek reacuteszleteivel itt nem foglalkozunk) Az atomsugaacuter (eacutes iacutegy az atomteacuterfogat)
vaacuteltozaacutesa szaacutemos maacutes tulajdonsaacuteg vaacuteltozaacutesaacutera hataacutessal van (peacuteldaacuteul sűrűseacuteg halmazaacutellapot)
Az atomsugaacuter periodikusan vaacuteltozik a perioacutedusos rendszeren beluumll
Egy adott perioacuteduson beluumll az atomsugaacuter balroacutel jobbra csoumlkken Ennek a magyaraacutezata a
koumlvetkező egy perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra haladva noumlvekszik az atommag toumllteacutese mivel egyre
toumlbb proton talaacutelhatoacute benne Az atommag toumllteacuteseacutet az elektronok leaacuternyeacutekoljaacutek A lezaacutert belső heacutejak
elektronjainak negatiacutev toumllteacutese egy perioacuteduson beluumll gyakorlatilag azonosnak tekinthető Balroacutel jobbra
haladva egy perioacutedusban az elektronok ugyanarra a kuumllső heacutejra leacutepnek be ezek aacuternyeacutekoloacute hataacutesa
sokkal kisebb mint az alatta levő heacutejak elektronjaieacute iacutegy az atommag (balroacutel jobbra noumlvekedő) toumllteacutese
egyre erősebben vonzza a vegyeacuterteacutekelektronokat ennek koumlvetkezteacuteben az atomsugaacuter csoumlkken
Az atomsugaacuter egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik Magyaraacutezat a paacutelyaacutek meacuterete
2621 aacutebra Az atomsugaacuter vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Itt eacuterdemes megemliacuteteni a sűrűseacuteg vaacuteltozaacutesaacutet is A sűrűseacuteg termeacuteszetesen nemcsak az
atomteacuterfogattoacutel (atomsugaacutertoacutel) fuumlgg hanem a halmazaacutellapottoacutel az atomok elrendeződeacuteseacutetől a
kristaacutelyszerkezettől is iacutegy igen neheacutez aacuteltalaacutenosan tendenciaacutekat talaacutelni Viszont azt mindenkeacuteppen
eacuterdemes megjegyezni hogy a sűrűseacuteg egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik
1
2
3
4
5
6
7
ATOMSUGAacuteR
2 Az atomok szerkezete 65
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
263 Az elemek halmazaacutellapota
A halmazaacutellapot a reacuteszecskeacuteket oumlsszetartoacute koumllcsoumlnhataacutesoktoacutel fuumlgg A kuumlloumlnfeacutele koumllcsoumlnhataacutesok eacutes a
halmazaacutellapot oumlsszefuumlggeacuteseit majd a keacutesőbbiekben reacuteszletesen taacutergyaljuk itt ndash a teljesseacuteg kedveacuteeacutert ndash
azonban megmutatjuk a perioacutedusos rendszer mely reacuteszeacuteben milyen halmazaacutellapot jellemző
Normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson (101325 kPa) eacutes 25 degC hőmeacuterseacutekleten az elemek tuacutelnyomoacute toumlbbseacutege
szilaacuterd azonban talaacutelhatunk koumlzoumlttuumlk szeacutep szaacutemban gaacutezokat is A legritkaacutebb halmazaacutellapot a folyadeacutek
csupaacuten keacutet elem folyeacutekony 25 degC-on a broacutem (Br) eacutes a higany (Hg) Tovaacutebbi keacutet elemnek igen
alacsony az olvadaacutespontja a galliumeacute (Ga 30 degC) eacutes a ceacuteziumeacute (Cs 28 degC) is szobahőmeacuterseacuteklet
koumlzeleacuteben van enyhe melegiacuteteacutes hataacutesaacutera megolvadnak
A vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema az első 12 oszlopban megegyezik az oszlop szaacutemaacuteval A p-
mezőben pedig a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacutet megkapjuk ha az oszlop szaacutemaacuteboacutel levonunk 10-et a
66 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
lezaacutert d-alheacutejat (a tiacutez elektronjaacuteval) maacuter nem szokaacutes a p-mező vegyeacuterteacutekelektronjaihoz szaacutemiacutetani (itt az
n-dik heacutej teliacutetődik viszont az (nminus1)-dik heacutej maacuter lezaacuterult a 12 oszlopban) Egyetlen kiveacutetel a heacutelium
(18 oszlop) melynek csupaacuten 2 vegyeacuterteacutekelektronja van
(A reacutegi szaacutemozaacutesi moacuted szerint a főcsoportokban az oszlop szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Ez a melleacutekcsoportok eseteacuten is igaz viszont a VIIIB keacutet oszlopaacutera
nem igaz ndash kobalt nikkel eacutes az alattuk talaacutelhatoacute elemek)
Vegyeacuterteacutek az atom aacuteltal leacutetesiacutethető keacutemiai koumlteacutesek szaacutema A kuumlloumlnboumlző elemek gyakran toumlbbfeacutele
Ennek magyaraacutezata a koumlvetkező Maacuter koraacutebban megismertuumlk hogy a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema
a perioacutedusos rendszer főcsoportjaiban balroacutel jobbra noumlvekszik A keveacutes vegyeacuterteacutekelektronnal
rendelkező feacutemek viszonylag koumlnnyen le tudjaacutek adni elektronjaikat iacutegy igen stabilis nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionokkaacute alakulnak miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező nemfeacutemek
eseteacuten a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute elektronfelveacutetellel koumlnnyebben kialakul Ellenkező esetben a
nemesgaacutez elektronszerkezet eleacutereacuteseacutehez a kevesebb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező feacutemeknek
viszonylag sok elektront kellene felvenniuumlk miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező
nemfeacutemeknek igen sok elektront kellene leadniuk mely energetikailag igen kedvezőtlen
Iacutegy peacuteldaacuteul a kaacuteliumatomboacutel egy vegyeacuterteacutekelektronjaacutenak eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval egyszeresen pozitiacutev
toumllteacutesű kaacuteliumion miacuteg a heacutet vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező fluoratom egy elektront felveacuteve
fluoridanionnaacute tud alakulni Mind a kaacuteliumionnak mind a fluoridionnak nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacuteja van
A nemfeacutemek aacuteltal maximaacutelisan felvehető elektronok szaacutemaacutet nagyon egyszerűen meg tudjuk
aacutellapiacutetani a nemesgaacutezoknak ndash a heacutelium kiveacuteteleacutevel ndash mindig keacutet s eacutes hat p elektronja van azaz a
vegyeacuterteacutekheacutejukon 8 elektronjuk van Legyen a nemfeacutemnek n vegyeacuterteacutekelektronja ekkor pontosan
8 minus n elektron szuumlkseacuteges ahhoz hogy 8 elektronja legyen a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
Mint az előzőekben maacuter taacutergyaltuk a perioacutedusos rendszer oszlopaacutenak sorszaacutema eacutes az adott elem
vegyeacuterteacutekelektronjainak szaacutema koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes van Az oszlopok aktuaacutelis szaacutemozaacutesa szerint
tehaacutet az m-edik oszlopban talaacutelhatoacute nemfeacutem 18 minus m elektront tud felvenni Peacuteldaacuteul a 15 oszlopban
talaacutelhatoacute foszforatom 18 minus 15 = 3 elektront tud maximaacutelisan felvenni a 16 csoportban talaacutelhatoacute
keacutenatom pedig maximaacutelisan 18 minus 16 = 2 elektron felveacuteteleacutevel keacutepes anionnaacute alakulni
A főcsoportokban a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Peacuteldaacuteul egy alumiacuteniumatomroacutel (mely haacuterom vegyeacuterteacutekelektronnal
d) Az arzeacuten (As) a 15 csoportban talaacutelhatoacute vegyeacuterteacutekelektron-konfiguraacutecioacuteja 4s2 4p3 Az arzeacuten
uacutegy tud nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionnaacute alakulni ha lead 5 elektront vagy pedig ha
felvesz 3 elektront
As rarr As5+ + 5eminus
As + 3eminusrarr As3minus
e) A hidrogeacuten egy kicsit kuumlloumlnoumls eset mivel a hozzaacute legkoumlzelebbi nemesgaacutez a heacutelium melynek 2
(vegyeacuterteacutek)elektronja van Iacutegy a hidrogeacutenatom egy elektron eladaacutesaacuteval hidrogeacutenkationnaacute
(tulajdonkeacuteppen protonnaacute 1H+ equiv p+) miacuteg egy elektron felveacuteteleacutevel anionnaacute keacutepes alakulni A
hidrogeacutenből keacutepződő aniont hidridionnak nevezzuumlk (az 1Hminus eseteacuten egy proton keacutet elektronnal)
H rarr H+ + eminus
H + eminusrarr Hminus
Eacuterdemes megjegyezni hogy az atomboacutel elektronfelveacutetellel keacutepződő ion elnevezeacuteseacutenek veacutegeacuten
mindig -id veacutegződeacutes talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul
O2minus oxid
As3minus arzenid
Hminus hidrid
70 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A melleacutekcsoportok eseteacuten nem jellemző hogy az elemek elektronfelveacutetellel anionnaacute alakuljanak
eacutes a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema is kicsit komplikaacuteltabb A 3 oszloptoacutel a 8 oszlopig
az elemekből baacutermely vegyeacuterteacutekelektront el lehet taacutevoliacutetani iacutegy az eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutemaacutenak
maximuma az oszlop sorszaacutemaacuteval azonos Viszont a 9 oszloptoacutel kezdődően a helyzet hasonloacutevaacute vaacutelik
ahhoz mint amit a nemfeacutemekneacutel tapasztaltunk nagyszaacutemuacute elektron eltaacutevoliacutetaacutesa maacuter nem lehetseacuteges
tehaacutet nem lehetseacuteges peacuteldaacuteul 9-szeresen pozitiacutev ion keacutepzeacutese Aniont keacutepezve azonban az aktuaacutelis heacutej
lezaacuteraacutesaacutehoz a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute eleacutereacuteseacutehez az oumlsszes p-elektront is fel kellene toumlltenuumlnk
melyhez igen sok energia szuumlkseacuteges A 9 eacutes 10 oszlopban iacutegy nehezen lehet megjoacutesolni a
maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronszaacutemot A 11 oszlopban toumlbbnyire 1 vagy 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacutera
van lehetőseacuteg miacuteg a 12 oszlopban 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval keacutepezhető kation
A melleacutekcsoportokroacutel aacuteltalaacutenossaacutegban elmondhatoacute hogy itt a főcsoportokhoz keacutepest sokkal toumlbb
Első ionizaacutecioacutes energia vagy első ionizaacutecioacutes potenciaacutel első ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt
az energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy atomboacutel egyszeresen pozitiacutev iont (kationt) hozzunk
leacutetre
Az ionizaacutecioacutes energia az alaacutebbi folyamat energiaszuumlkseacutegleteacutet jelenti
X rarr X+ + eminus
Mindig a leggyengeacutebben koumltoumltt elektront tudjuk legkoumlnnyebben eltaacutevoliacutetani eacutes eacutertelemszerűen
mineacutel erősebben koumltődik egy elektron az atomhoz annaacutel nehezebb eltaacutevoliacutetani azaz annaacutel toumlbb
energiaacutet kell befektetnuumlnk hogy el tudjuk taacutevoliacutetani
A legstabilabb elektronszerkezettel a nemesgaacutezok rendelkeznek (18 oszlop) mivel itt zaacuterul le a
betoumlltődő elektronheacutej A lezaacutert elektronheacutej mindig kiemelkedően stabil ezeacutert a nemesgaacutezok első
ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb egy perioacuteduson beluumll Mivel az alkaacutelifeacutemek ionizaacutelaacutesaacuteval nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute egyszeresen pozitiacutev ion keletkezik ez igen nagy stabilitaacutessal rendelkezik eacutes
az alkaacutelifeacutematom koumlnnyen leadja az egyetlen s vegyeacuterteacutekelektronjaacutet Tehaacutet egy perioacuteduson beluumll az
alkaacutelifeacutemek első ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legkisebb
Az első ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Egy adott perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra noumlvekszik (az alkaacutelifeacutemektől a nemesgaacutezok iraacutenyaacuteba)
az első ionizaacutecioacutes energia eacuterteacuteke
Mineacutel nagyobb egy atom a taacutevolsaacuteg koumlvetkezteacuteben a negatiacutev toumllteacutesű kuumllső elektronjaira annaacutel
keveacutesbeacute hat a pozitiacutev toumllteacutesű atommag vonzaacutesa iacutegy annaacutel koumlnnyebben taacutevoliacutethatoacute el
Iacutegy egy oszlopon beluumll fentről lefeleacute csoumlkken az első ionizaacutecioacutes energia
2651 aacutebra Az ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
1
2
3
4
5
6
7
1 IONIZAacuteCIOacuteS ENERGIA
72 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt az
energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy egyszeresen pozitiacutev ionboacutel keacutetszeresen pozitiacutev iont
hozzunk leacutetre
A maacutesodik ionizaacutecioacutes energia mindig nagyobb mint az első ionizaacutecioacutes energia mivel egy
kationroacutel kell leszakiacutetanunk egy negatiacutev toumllteacutesű elektront mely meacutelyebb energiaacutejuacute paacutelyaacuten van mint az
első eltaacutevoliacutetott elektron
Egy perioacuteduson beluumll az alkaacutelifeacutemek maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb (igen stabil
nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ion elektronszerkezeteacutet bontjuk meg) miacuteg az alkaacutelifoumlldfeacutemekeacute a
legkisebb (a vegyeacuterteacutekheacutejukon maacuter csak egy elektron talaacutelhatoacute ez viszonylag koumlnnyen eltaacutevoliacutethatoacute)
Azaz egy perioacuteduson beluumll a 2 oszloptoacutel a 18 oszlopig nő az ionizaacutecioacutes potenciaacutel aacutem az 1
oszlopban meacuteg enneacutel is nagyobb
Egy oszlopon beluumll a maacutesodik ionizaacutecioacutes potenciaacutel fentről lefeleacute csoumlkken
k-dik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel az energia mely egy elektronnak egy (kminus1)-szeresen
3111 animaacutecioacute Az ionos koumlteacutes kialakulaacutesa
Az ionos koumlteacutes leacutetrejoumlhet egyszerű eacutes oumlsszetett ionok koumlzoumltt
Az egyszerű ionok atomokboacutel keacutepződnek elektron(ok) leadaacutesaacuteval (kationok) vagy elektron(ok)
felveacuteteleacutevel (anionok)
76 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Egyszerű kationok K+ Mg2+ Al3+ Fe3+ Ce4+ stb
Egyszerű anionok Clminus O2minus N3minus Iminus Hminus stb
Az oumlsszetett ionok toumlbb atomboacutel eacutepuumllnek fel eacutes toumllteacutessel rendelkeznek
Oumlsszetett kationok legfontosabb az ammoacuteniumion NH4+
Oumlsszetett anionok NO3minus CO3
2minus PO4
3minus SO4
2minus stb
A tisztaacuten ionos koumlteacutesű vegyuumlletek rendszerint igen elteacuterő elektronegativitaacutesuacute elemekből joumlnnek
leacutetre Toumlbbnyire alkaacutelifeacutem vagy alkaacutelifoumlldfeacutem kationt tartalmaznak eacutes anionjuk aacuteltalaacuteban vagy
oumlsszetett ion vagy a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban talaacutelhatoacute elemek egyszerű anionja
(elsősorban 16 eacutes 17 oszlop)
II) Feacutemes koumlteacutes
Feacutematomok eseteacuten a vegyeacuterteacutekheacutej elektronjai viszonylag gyengeacuten koumltoumlttek A feacutematomokboacutel
pozitiacutev toumllteacutesű ionok keletkeznek a vegyeacuterteacutekelektronok pedig az atomtoumlrzsek koumlzoumltti teacuterben
delokalizaacuteloacutednak
Feacutemes koumlteacutes az egeacutesz kristaacutelyra kiterjedő koumlzoumls elektronfelhő aacuteltal leacutetrehozott keacutemiai kapcsolatot
feacutemes koumlteacutesnek nevezzuumlk
A feacutemes koumlteacutes (nem meglepő moacutedon) feacutematomok koumlzoumltt joumlhet leacutetre A feacutemek elektronegativitaacutesa
rendszerint nem tuacutel nagy ezeacutert a tisztaacuten feacutemes koumlteacutes akkor joumlhet leacutetre ha kicsi az elemek
elektronegativitaacutesa
3112 animaacutecioacute A feacutemes koumlteacutes kialakulaacutesa
III) Kovalens koumlteacutes
Keacutemiai koumlteacutes uacutegy is leacutetrejoumlhet ha az egymaacutes melletti atomok koumlzoumls (uacutegynevezett koumltő)
elektronpaacuteron (vagy elektronpaacuterokon) keresztuumll kapcsoloacutednak oumlssze
Ezt legegyszerűbben egy peacuteldaacuten keresztuumll eacuterthetjuumlk meg Vegyuumlnk keacutet kloacuteratomot Mindkettőnek
az elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ne] 3s2 3p5 ha feacutemes koumlteacutest szeretneacutenk kialakiacutetani koumlzoumlttuumlk 7ndash7 elektront
kellene leadnia mindkettőnek Ez energetikailag rendkiacutevuumll kedvezőtlen Ezeacutert a lezaacutert elektronheacutejat
elektronfelveacutetel uacutetjaacuten lenne ceacutelszerű eleacuterni Termeacuteszetesen a keacutet kloacuteratom elektronegativitaacutesa
ugyanakkora nem joumlhet leacutetre koumlzoumlttuumlk ionos koumlteacutes
A keacutet kloacuteratom koumlzoumltt koumltő elektronpaacuter leacutetesiacuteteacuteseacutevel alakul ki a keacutemiai koumlteacutes a koumltő elektronpaacuter a
keacutet kloacuteratom egyndashegy elektronjaacuteboacutel joumln leacutetre viszont mindkeacutet atomhoz egyaraacutent tartozik Iacutegy mindkeacutet
kloacuteratom koumlruumll 8ndash8 elektron talaacutelhatoacute tehaacutet mindkeacutet kloacuteratom nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacutevaacute
vaacutelik teljesuumll az oktettszabaacutely A folyamatot energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri
Kovalens koumlteacutes A koumlzoumls elektronpaacuterral leacutetesiacutetett koumlteacutest kovalens koumlteacutesnek nevezzuumlk (Az angol
A heteronukleaacuteris koumlteacutes lehet apolaacuteris vagy polaacuteris
Egy koumlteacutes apolaacuterisnak tekinthető ha a keacutet atom elektronegativitaacutesa azonos
Az azonos atomok koumlzoumltti koumlteacutesek apolaacuterisak (Megjegyzeacutes peacuteldaacuteul a szeacutenndashhidrogeacuten-koumlteacutest is
tekinthetjuumlk koumlzel apolaacuterisnak mivel a szeacuten eacutes a hidrogeacuten elektronegativitaacutesa hasonloacute [EN(C) = 25
EN(H) = 21])
A kovalens koumlteacutes polaacuteris ha keacutet olyan atomot koumlt oumlssze melyek elektronegativitaacutesa koumlzoumltt
kuumlloumlnbseacuteg van A polaacuteris kovalens koumlteacutes viszonylag jelentős ionos jelleggel rendelkezik
Peacuteldaacuteul a hidrogeacutenndashkloacuter-koumlteacutes igen polaacuterisnak tekinthető a keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltt jelentős
kuumlloumlnbseacuteg van EN(Cl) = 30 EN(H) = 21
A polaacuteris kovalens koumlteacutesben a nagyobb elektronegativitaacutesuacute atom reacuteszleges negatiacutev toumllteacutesű
(pontosabban negatiacutevan polarizaacutelt) a kisebb elektronegativitaacutesuacute pedig reacuteszben pozitiacutev toumllteacutesű
(pozitiacutevan polarizaacutelt) Egy keacutetatomos molekulaacuteban a keacutet atomra jutoacute uacutegynevezett parciaacutelis toumllteacutes
(reacuteszleges toumllteacutes) nagysaacutega azonos de előjele ellenteacutetes Ezt a koumlvetkezőkeacutepp szoktuk eacuterzeacutekeltetni a
molekula keacutepleteacuteben
H Cl() ()
A hidrogeacuten-klorid molekulaacuteban a toumllteacutesek nem egyenletesen oszlanak el Az ilyen molekulaacutekat
dipoacutelusmolekulaacuteknak nevezzuumlk
A koumlteacutes polarizaacuteltsaacutega vektormennyiseacuteg nyiacutellal szoktuk jeloumllni A dipoacutelusvektor a pozitiacutev
toumllteacutesből mutat a negatiacutev toumllteacutes feleacute Azt hogy egy molekula dipoacutelusmolekula-e a dipoacutelusvektorok
eredője hataacuterozza meg
Dipoacutelusmolekula olyan molekula melyben vannak polaacuteris koumlteacutesek eacutes a koumlteacutesek
dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus
Apolaacuteris molekula csak apolaacuteris koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula vagy olyan molekula melyben
a polaacuteris koumlteacutesek uacutegy helyezkednek el hogy dipoacutelusvektorainak oumlsszege zeacuterus legyen
78 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A keacutetatomos molekula akkor dipoacutelusos hogyha a koumlteacutes polaacuteris Toumlbbatomos molekulaacutek eseteacuten a
molekula szerkezete is fontos szerepet jaacutetszik annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy a molekula dipoacutelusmolekula-
e Ezzel a molekulaacutek szerkezete kapcsaacuten reacuteszletesen foglalkozunk majd (ennek a fejezetnek a veacutegeacuten)
Az előzőekben megismerkedtuumlnk a haacuterom legfontosabb koumlteacutestiacutepussal Ezen koumlteacutesek igen erősek
ezeacutert szokaacutes elsőrendű koumlteacuteseknek nevezni őket
Az elsőrendű koumlteacutesek
ndash ionos koumlteacutes
ndash feacutemes koumlteacutes
ndash kovalens koumlteacutes
Az elektronegativitaacutes eacutes a koumlteacutesjelleg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes
A haacuterom alaptiacutepus taacutergyalaacutesaacutenaacutel megemliacutetettuumlk hogy az adott koumlteacutestiacutepus rendszerint milyen
elemek koumlzoumltt joumln leacutetre Ezeket oumlsszefoglalva
ndash tisztaacuten ionos koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha az elemek elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg nagy
ndash tisztaacuten feacutemes koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesa hasonloacute (kicsi az elektronegativitaacutesok
kuumlloumlnbseacutege) eacutes mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa kis eacuterteacutekű
ndash tisztaacuten kovalens koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesai nem tuacutelzottan kuumlloumlnboumlzőek eacutes
mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa nagy
A perioacutedusos rendszerből tetszőleges keacutet elemet kivaacutelasztva a koumlzoumlttuumlk leacutetesuumllő koumlteacutest gyakran
nem tudjuk besorolni a fentiek alapjaacuten egyik koumlteacutestiacutepusba sem Fontos hangsuacutelyozni hogy az aacutetmenet
gyakorlatilag folytonos baacutermelyik keacutet elsőrendű koumlteacutes koumlzoumltt Iacutegy gyakran előfordul hogy keacutet
atom koumlzoumltti koumlteacutest nem lehet tisztaacuten ionos feacutemes vagy kovalens koumlteacuteskeacutent leiacuterni A fent taacutergyalt
polaacuteris kovalens koumlteacutes peacuteldaacuteul aacutetmenet a kovalens eacutes az ionos koumlteacutes koumlzoumltt
Legyen A eacutes B keacutet tetszőleges elem A keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg eacutes a keacutet
atom elektronegativitaacutesaacutenak oumlsszege segiacutethet annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy milyen tiacutepusuacute elsőrendű koumlteacutes
joumlhet leacutetre a keacutet elem atomjai koumlzoumltt
A koumlvetkező oumlkoumllszabaacutelyokat alkalmazhatjuk
Ha ∆EN(AB) nagy eacuterteacutek (jellemzően 20 foumlloumltt) a koumlteacutes ionos jellege nagy
Ha ∆EN(AB) kicsi eacuterteacutek (jellemzően 15 alatt) akkor a koumlteacutes lehet kovalens vagy feacutemes
Ha sumEN(AB) nagy (jellemzően 40 felett) akkor a koumlteacutes kovalensnek tekinthető
Ha sumEN(AB) kicsi (jellemzően 30 alatt) akkor a koumlteacutes feacutemes jellegűnek tekinthető
Pauling szerint ∆EN(AB) = 15hellip2 eseteacuten az A eacutes B atomok koumlzoumltti koumlteacutes nagyjaacuteboacutel fele-fele
meacuterteacutekben ionos eacutes kovalens jellegű
A stabilan előaacutelliacutethatoacute elemek koumlzuumll a ceacutezium elektronegativitaacutesa a legkisebb 08 (enneacutel csupaacuten a
csak radioaktiacutev izotoacutepokkal rendelkező francium elektronegativitaacutesa kisebb 07) a fluor
elektronegativitaacutesa pedig a legnagyobb (40) Ezen elemekből megalkothatjuk a toumlkeacuteletes ionos feacutemes
eacutes kovalens koumlteacuteseket
∆EN(AB) Cs F sumEN(AB) Cs F
Cs 00 32 Cs 16 48
F 32 00 F 48 80
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 79
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha aacutebraacutezoljuk a ∆EN(AB) fuumlggveacutenyeacuteben sumEN(AB) eacuterteacutekeit egy haacuteromszoumlg haacuterom csuacutecsaacutet
kapjuk
311 aacutebra A koumlteacutes jellege eacutes az elektronegativitaacutes
Baacutermely maacutes elem elektronegativitaacutesa a ceacutezium eacutes a fluor koumlzeacute esik iacutegy a fenti aacutebraacuten baacutermely keacutet
elem koumlzoumltti koumlteacutest feltuumlntethetjuumlk az elektronegativitaacutesaik ismereteacuteben
3112 aacutebra Peacuteldaacutek aacutetmeneti jellegű koumlteacutesekre
80 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint a fenti aacutebraacuten laacutethatoacute neacutehaacuteny vegyuumlletet igen neheacutez a haacuterom elsőrendű koumlteacutes valamelyikeacutebe
besorolni Ilyen peacuteldaacuteul a vas(II)-szulfid (FeS) sziliacutecium-dioxid (SiO2) vagy az ezuumlst-klorid (AgCl) A
keacutemiai koumlteacutesek ezen vegyuumlletekben nem tekinthetők ionosnak jelentős a kovalens jelleguumlk
A fenti aacutebra alapjaacuten a kovalens koumlteacutes az elemi oxigeacutenben (O2) eacutes a keacutenmolekulaacuteban (S8) apolaacuteris
miacuteg a nitrogeacuten-monoxidban (NO) eacutes a keacutet kuumlloumlnboumlző halogeacutenatomot tartalmazoacute broacutem-fluoridban
(BrF) polaacuteris
A reacutez-cink oumltvoumlzetben (CuZn) eacutes a magneacutezium-szilicidben (Mg2Si egy oumltvoumlzeacutesre hasznaacutelt
vegyuumllet) a koumlteacutes feacutemesnek tekinthető Termeacuteszetesen a feacutem alumiacuteniumban is feacutemes a koumlteacutes
A liacutetium-fluorid (LiF) a kalcium-oxid (CaO) eacutes az alumiacutenium-oxid (Al2O3) ionos koumlteacutesű
vegyuumlletek az utoacutebbiban viszonylag jelentős kovalens jelleg is megaacutellapiacutethatoacute
A fentiek alapjaacuten belaacutethatoacute hogy a keacutemiai koumlteacutes ionos feacutemes illetve kovalens jellege elsősorban
az koumlteacutest leacutetesiacutető elemek elektronegativitaacutesaacutetoacutel fuumlgg Fontos megjegyezni hogy a keacutemiai koumlteacutes
gyakran nem iacuterthatoacute le egyfeacutele koumlteacutestiacutepussal hanem toumlbb tiacutepus tulajdonsaacutegait oumltvoumlzi
Sokatomos molekulaacutek
Az oktett szabaacutelyt termeacuteszetesen a kettőneacutel toumlbb atomos molekulaacutek is koumlvetik aacuteltalaacuteban
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a metaacutenmolekulaacutet A metaacuten keacuteplete CH4 azaz egy molekulaacutejaacuteban neacutegy
hidrogeacutenatom eacutes egy szeacutenatom talaacutelhatoacute A szeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p2 tehaacutet neacutegy
vegyeacuterteacutekelektronja van miacuteg a hidrogeacutenek egyndashegy elektronnal rendelkeznek A szeacutenatom
elektronoktettet (8 elektron a kuumllső heacutejon) szeretne leacutetrehozni a hidrogeacuteneknek pedig a heacuteliumhoz
hasonloacute 2 elektronos elektronszerkezet a kedvező
Ha a szeacuten koumlreacute rendeződik a neacutegy hidrogeacutenatom neacutegy kovalens koumlteacutes alakul ki Minden hidrogeacuten
koumlrnyezeteacuteben iacutegy 2ndash2 elektron talaacutelhatoacute (piros koumlroumlkkel jeloumllve) miacuteg a neacutegy (koumlzoumls) elektronpaacuter a
szeacuten szaacutemaacutera biztosiacutetja a nyolc vegyeacuterteacutekelektront (piros neacutegyzettel jeloumllve)
3113 aacutebra Az oktettszabaacutely
Most pedig vizsgaacuteljuk meg hogyan neacutez ki a metaacutenhoz hasonloacute nitrogeacutenvegyuumlletet
elektronszerkezete
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p3 azaz 5 vegyeacuterteacutekelektronja van A nitrogeacuten 8
elektronos vegyeacuterteacutekheacutej eleacutereacuteseacutere toumlrekszik (oktettszabaacutely) ehhez 3 elektronra van meacuteg szuumlkseacutege A
haacuterom elektront haacuterom hidrogeacuten szolgaacuteltatja iacutegy a keletkező molekula keacuteplete NH3 Iacutegy a nitrogeacuten eacutes
a hidrogeacutenek is eleacuterteacutek a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet Haacuterom koumltő elektronpaacuter joumln leacutetre azaz a
nitrogeacuten oumlsszesen 3 elektronjaacutet adja a koumlteacutesekbe a maradeacutek 2 elektronja pedig csak a nitrogeacutenhez
kapcsoloacutedik Az ilyen elektronpaacutert magaacutenos (vagy nemkoumltő) elektronpaacuternak nevezzuumlk A koraacutebban
taacutergyalt kloacutermolekula eseteacuteben mindkeacutet kloacuteratom 3ndash3 magaacutenos elektronpaacuterral rendelkezik
Magaacutenos elektronpaacuter olyan vegyeacuterteacutek-elektronpaacuter mely a kovalens koumlteacutest alkotoacute keacutet atom
koumlzuumll csak az egyikhez tartozik Egy atomon akaacuter toumlbb magaacutenos elektronpaacuter is lehetseacuteges
A kovalens koumlteacutes jellemzői
Koumlteacutesi energia egy koumlteacutes felszakiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges energia az az energia melyet be kell
fektetni hogy a koumlteacutest leacutetesiacutető atomokat veacutegtelen taacutevolsaacutegba taacutevoliacutetsuk (Eacutertelemszerűen ugyanekkora
energia szabadul fel mikor a keacutet atom veacutegtelen taacutevolsaacutegboacutel kiindulva leacutetrehozza a koumlteacutest) Aacuteltalaacuteban
CH H
H
H
CH H
H
H
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 81
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Jmol (kJmol) meacuterteacutekegyseacutegben adjuk meg eacuterteacutekeacutet aacutem gyakran hasznaacutelt ndash nem SI ndash meacuterteacutekegyseacuteg a
kcalmol 1 kcalmol = 418 kJmol
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
A koumlteacutestaacutevolsaacutegok rendszerint neacutehaacutenyszor 10minus10 meacuteter nagysaacutegrendűek termeacuteszetesen a koumlteacutest
leacutetesiacutető atomok rendszaacutemaacutetoacutel fuumlggően Gyakran hasznaacuteljuk az angstroumlm vagy aringngstroumlm
meacuterteacutekegyseacuteget (roumlvidiacutetve Aring) melynek eacuterteacuteke 10minus10 meacuteter
(Megjegyzeacutes az atomtaacutevolsaacuteg baacutermely keacutet atom taacutevolsaacutegaacutet jelentheti ha a koumlteacutestaacutevolsaacuteg
kifejezeacutest hasznaacuteljuk akkor a keacutet atom koumlzoumltt keacutemiai koumlteacutes talaacutelhatoacute)
A koumlteacuteshossz fuumlgg az atomok meacutereteacutetől eacutes az őket oumlsszetartoacute koumlteacutes erősseacutegeacutetől Peacuteldaacuteul a kovalens
koumlteacutes a fluormolekulaacuteban (FminusF) roumlvidebb mint egy kloacutermolekulaacuteban (ClminusCl) mivel a kloacuteratomok
joacuteval nagyobbak a fluoratomoknaacutel Ennek megfelelően a halogeacutenmolekulaacutek koumlzoumltt a fluormolekula
koumlteacuteshossza a legroumlvidebb enneacutel nagyobb a kloacutermolekulaacuteeacute majd sorrendben a broacutemmolekula (BrminusBr)
eacutes joacutedmolekula (IminusI) koumlvetkezik oumlsszhangban a halogeacutenatomok meacutereteacutevel
Adott keacutet atom (peacuteldaacuteul keacutet szeacutenatom) melyek koumlzoumltt mineacutel roumlvidebb a koumlteacuteshossz annaacutel
erősebbnek tekinthető a koumlteacutes Tehaacutet a koumlteacutes erősseacutegeacutere a koumlteacuteshosszboacutel is nyerhetuumlnk informaacutecioacutet
Fontos azonban hogy mindig azonos fajta koumlteacuteseket hasonliacutetsunk oumlssze peacuteldaacuteul egy CminusC eacutes egy CminusH
koumlteacutes hosszaacutet oumlsszehasonliacutetva azok erősseacutegeacutet nem lehet pontosan megbecsuumllni mivel a koumlteacutest alkotoacute
atomok atomsugaraacutenak is hataacutesa van a koumlteacuteshosszra
Toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek
Bizonyos esetekben az elektronoktett kialakiacutetaacutesaacutehoz nem elegendő egyetlen koumltő elektronpaacuter
Ezt ismeacutet egy peacuteldaacuten keresztuumll ceacutelszerű megvizsgaacutelni
Az elemi nitrogeacuten molekulaacuteris formaacuteban fordul elő a termeacuteszetben A nitrogeacuten
elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p
3 a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema 5 Keacutet nitrogeacutenatomboacutel egy
nitrogeacutenmolekula keletkezik melynek oumlsszesen 2 middot 5 = 10 elektronja van a lezaacutert heacutejakon kiacutevuumll Mint
fentebb laacutettuk a kloacutermolekula eseteacuten 14 elektronboacutel tudtuk kialakiacutetani a keacutet elektronoktettet Viszont a
nitrogeacuten eseteacuten nem aacutell rendelkezeacutesre ennyi elektron
Mi toumlrteacutenik ha a keacutet nitrogeacutenatom nem egyndashegy hanem keacutetndashkeacutet elektronjaacuteval leacutetesiacutet koumlteacutest
Ekkor mindkeacutet nitrogeacutenatom koumlruumll 5 + 2 = 7 vegyeacuterteacutekelektron van (eleve volt 5 a maacutesik nitrogeacutentől
pedig 2-t kapott) iacutegy nem teljesuumll az oktettelv
Most vizsgaacuteljuk meg hogy mi vaacuteltozik ha mindkeacutet nitrogeacuten haacuteromndashhaacuterom elektront szolgaacuteltat a
koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacutehoz Ekkorra mindkeacutet nitrogeacuten koumlruumll eacuteppen 8 elektron talaacutelhatoacute azaz megfelel az
oktettszabaacutelynak Ha mindkeacutet nitrogeacuten 3ndash3 elektronnal leacutetesiacutet koumlteacutest oumlsszesen 6 elektron talaacutelhatoacute a
keacutet nitrogeacutenatom koumlzoumltt A 6 elektronboacutel 3 elektronpaacutert tudunk leacutetrehozni a nitrogeacutenek keacutetndashkeacutet
elektronja pedig egyndashegy magaacutenos elektronpaacutert alkot Mivel az elektronpaacutert egy vonallal szokaacutes
jeloumllni a nitrogeacutenmolekula szerkezeteacutet az alaacutebbi formaacuteban szoktuk feliacuterni
| N equiv N |
Az iacutegy keletkezett koumlteacutest haacutermas koumlteacutesnek nevezzuumlk Termeacuteszetesen ennek mintaacutejaacutera leacutetezik
kettős koumlteacutes is
Kettős koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely keacutet koumltő elektronpaacuteron keresztuumll koumlti oumlssze a keacutet
atomot
Haacutermas koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely haacuterom koumltő elektronpaacuteron keresztuumll leacutetesiacutet kapcsolatot
a keacutet atom koumlzoumltt
Az elmeacuteleti szaacutemiacutetaacutesok eacutes kiacuteseacuterletek alapjaacuten a kettős koumlteacutes joacuteval erősebb mint az egyes koumlteacutes aacutem
a kettős koumlteacutes koumlteacutesi energiaacuteja aacuteltalaacuteban nem keacutetszerese az egyes koumlteacuteseacutenek hanem kisebb annaacutel
82 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hasonloacutean a haacutermas koumlteacutes is rendszerint erősebb mint egy egyes vagy kettős koumlteacutes aacutem nem
haacuteromszor olyan erős mint egy egyes koumlteacutes
Mivel a koumlteacutesek erősseacutegeacutet a koumlteacutesenergiaacuteval szoktuk jellemezni neacutezzuumlk meg az CminusC C=C eacutes
A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja 610 kJmol minus 347 kJmol = 263 kJmol miacuteg
a szeacutenndashszeacuten haacutermas koumlteacutes bdquoharmadik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja a haacutermas eacutes kettős koumlteacutes koumlteacutesi
energiaacutejaacutenak a kuumlloumlnbseacutegekeacutent adoacutedik 836 kJmol minus 610 kJmol = 226 kJmol
Ennek magyaraacutezataacutehoz meg kell ismerkednuumlnk a molekulapaacutelya fogalmaacuteval
Molekulapaacutelya az a teacuterreacutesz melyen beluumll 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute az elektron Az
atompaacutelyaacutehoz hasonloacutean egy molekulapaacutelyaacutera is maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet A koumltő
elektronpaacuterokat tehaacutet molekulapaacutelyaacutekkal jeleniacutethetjuumlk meg
Teacuterjuumlnk vissza tehaacutet az egyes kettős eacutes haacutermas koumlteacutesek elteacuterő erősseacutege kuumlloumlnbseacutegeacutenek
eacutertelmezeacuteseacutehez Az egyes koumlteacutesnek megfelelő elektronok a keacutet atom koumlzoumltt tengelyiraacutenyban
helyezkednek el egy hengerszimmetrikus molekulapaacutelyaacuten A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodikrdquo elektronpaacuterja maacuter
nem keruumllhet ugyanebbe a teacuterreacuteszbe hanem bdquopiskoacuteta alakbanrdquo az etileacutenmolekula siacutekja alatt eacutes foumlloumltt
helyezkedik el Mivel ezek az elektronok maacuter nem a keacutet atomot oumlsszekoumltő tengely menteacuten
helyezkednek el a koumlteacutes gyengeacutebb mint az egyszeres koumlteacutes
A σ-koumlteacutes eacutes π-koumlteacutes
Az egyszeres koumlteacutest ζ (szigma) koumlteacutesnek hiacutevjuk a maacutesodik eacutes harmadik koumlteacuteseket pedig π (piacute)
koumlteacuteseknek nevezzuumlk
Most vizsgaacuteljuk meg hogyan alakulhat ki ζ-koumlteacutes illetve π-koumlteacutes
A hidrogeacutenatomnak egyetlen elektronja van mely a goumlmbszimmetrikus 1s paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Keacutet
hidrogeacutenatomot koumlzeliacutetve egymaacuteshoz a keacutet atompaacutelyaacuteboacutel keacutet molekulapaacutelya joumln leacutetre Az egyikre keacutet
elektron keruumll miacuteg a maacutesik betoumlltetlen marad (az elsőt szokaacutes koumltőpaacutelyaacutenak a maacutesikat pedig
laziacutetoacutepaacutelyaacutenak nevezni) A keacutetszeresen betoumlltoumltt paacutelya hengerszimmetrikus az ilyet nevezzuumlk ζ-
koumlteacutesnek
3114 aacutebra A σ-koumlteacutes
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a hidrogeacuten-klorid-molekula kialakulaacutesaacutet A kloacuteratomnak 7
vegyeacuterteacutekelektronja van 3s2 3p5 azaz a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll kettő keacutetszeresen betoumlltoumltt miacuteg a
harmadik csak egyszeresen Iacutegy a hidrogeacuten 1s-paacutelyaacutejaacuteboacutel eacutes a kloacuter egyik 3p-paacutelyaacutejaacuteboacutel joumlnnek leacutetre a
molekulapaacutelyaacutek
Ismeacutet egy hengerszimmetrikus ζ-paacutelya joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 83
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A fent megismert ζ-koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak peacuteldaacuteul a teliacutetett szeacutenhidrogeacutenekben is melyeknek igen
fontos jellemzőjuumlk hogy a hengerszimmetrikus koumlteacutesek tengelye menteacuten a csoportok el tudnak
fordulni egymaacuteshoz keacutepest viszonylag kis energiabefekteteacutes hataacutesaacutera iacutegy az ilyen vegyuumlletekben a ζ-
koumlteacutestengely koumlruumlli forgaacutes (rotaacutecioacute) igen koumlnnyen veacutegbemegy
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek kialakulaacutesaacutet Vegyuumlk peacuteldaacuteul a
nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesaacutet
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja 2s2 2p3 A haacuterom p-elektron a haacuterom kuumlloumlnboumlző teacuteraacutellaacutesuacute p-
3115 aacutebra A nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesa
A keacutet px-paacutelyaacuteboacutel leacutetrejoumln a ζ-koumlteacutes
3116 aacutebra A nitrogeacutenmolekula σ-koumlteacutese
Viszont ha a px-paacutelyaacutekboacutel kialakul a ζ-koumlteacutes a py- eacutes pz-paacutelyaacutekboacutel maacuter nem joumlhet leacutetre ζ-koumlteacutes
Ezzel ellenben π-koumlteacutesek joumlnnek leacutetre
3117 aacutebra A nitrogeacutenmolekula π-koumlteacutesei
A keacutet π-koumlteacutesnek van egy-egy csomoacutesiacutekja (ahol az elektronok megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege 0) ez a
keacutet csomoacutesiacutek egymaacutesra merőleges A nitrogeacuten eseteacuteben a keacutet π-koumlteacutes teljesen egyforma meacuteretű eacutes
A koumltő elektronpaacuter keacutetfeacutelekeacuteppen joumlhet leacutetre vagy mindkeacutet atom ad egy-egy (vagy toumlbb)
elektront vagy csak az egyik atomtoacutel szaacutermazik a koumltő elektronpaacuter
Kolligaacutecioacutes koumlteacutes mindkeacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom hozzaacutejaacuterul elektronnal (elektronokkal) a koumlteacuteshez
A fentebb taacutergyalt koumlteacutesek mindegyike kolligaacutecioacutes koumlteacutes akaacuter a kloacutermolekula akaacuter a
nitrogeacutenmolekula leacutetrejoumltteacuteről van szoacute
Datiacutev vagy koordinaacutecioacutes koumlteacutes a keacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom koumlzuumll az egyik atom egy teljes
elektronpaacuterral jaacuterul hozzaacute a koumlteacuteshez (ez az elektronpaacuter donor atom) miacuteg a maacutesik atom nem
szolgaacuteltat elektront a koumlteacuteshez (ezt elektronpaacuter-akceptor atomnak nevezzuumlk)
(datiacutev a dativus latin szoacuteboacutel melynek jelenteacutese adaacutes)
A datiacutev koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez szuumlkseacuteges hogy az egyik atomnak legye magaacutenos (nemkoumltő)
elektronpaacuterja a maacutesik atom pedig legyen bdquoelektronhiaacutenyosrdquo Az elektronhiaacuteny akkor leacutep fel ha nem
teljesuumll az oktettszabaacutely
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a boacuter-trifluorid (BF3) molekulaacutet A haacuterom fluoratom egy-egy elektront ad a
kovalens koumlteacutesbe a boacuter ([He] 2s2 2p1) pedig 3 elektronnal tud koumlteacutest leacutetesiacuteteni iacutegy a boacuter koumlruumll haacuterom
koumltő elektronpaacuter helyezkedik el azaz a boacuter vegyeacuterteacutekheacutejaacuten csak hat elektron talaacutelhatoacute A boacuter-trifluorid
molekula siacutek szerkezetű mind a neacutegy atom egy siacutekban van eacutes a boacuteratomnak van egy uumlres p-paacutelyaacuteja
Az uumlres paacutelyaacutek elektronpaacuter-akceptorkeacutent viselkedhetnek
Most keressuumlnk egy elektronpaacuterdonor molekulaacutet Peacuteldaacuteul a fentebb megismert ammoacuteniamolekula
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral iacutegy elektronpaacuterdonornak tekinthető
Mi toumlrteacutenik ha koumlzeledik egymaacuteshoz egy ammoacutenia- eacutes egy boacuter-trifluorid molekula Az
ammoacuteniamolekula nitrogeacutenatomja a magaacutenos paacuterjaacutet bdquokoumllcsoumlnadjardquo a boacuternak iacutegy annak leacutetrejoumln az
elektronoktettje A nitrogeacuten a magaacutenos paacuterjaacutet nem adja aacutet teljesen a boacuternak hanem az a keacutet atom
koumlzoumltt elhelyezkedő elektronpaacuterraacute alakul Iacutegy a nitrogeacutennek is megmarad az elektronoktettje Az iacutegy
leacutetrejoumlvő datiacutev koumlteacutes olyan mint egy hagyomaacutenyos kovalens koumlteacutes a kuumlloumlnbseacuteg csak abban van hogy
a datiacutev koumlteacutes eseteacuten mindkeacutet elektront ugyanaz az atom adja A kialakuloacute datiacutev koumlteacutes kialakulaacutesaacutenak az
a hajtoacuteereje hogy a boacuteratom elektronhiaacutenya csoumlkkenjen (iacutegy teljesuumll az oktettszabaacutely)
A datiacutev koumlteacutest aacuteltalaacuteban vonal helyett nyiacutellal szoktuk jeloumllni A nyiacutel az elektronpaacuterdonor atomtoacutel
mutat az elektronpaacuter-akceptor atom feleacute
N B
H
HH F
FF
Termeacuteszetesen nemcsak az ammoacutenia nitrogeacutenje lehet elektronpaacuter-donor akaacuter ionok is adhatnak
elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesbe Peacuteldaacuteul a fluoridionnak (Fminus) is van 4 magaacutenos elektronpaacuterja
Mi toumlrteacutenik ha egy boacuter-trifluorid molekulaacutet eacutes egy fluoridiont koumlzeliacutetuumlnk egymaacuteshoz A
fluoridion egyik magaacutenos paacuterja datiacutev koumlteacutest leacutetesiacutet a boacutertrifluorid boacuteratomjaacuteval Egy anion keletkezik
melyben a neacutegy fluor egy boacuteratomot vesz koumlruumll
B
F
FF
F
A keletkező igen nagy stabilitaacutesuacute ion neve tetrafluoroboraacutet-anion Benne a neacutegy fluor-boacuter koumlteacutes
teljesen egyenranguacute nem lehet megkuumlloumlnboumlztetni a kolligaacutecioacutes elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesből
szaacutermazoacutetoacutel Mind a neacutegy fluoratom mind a boacuteratom eseteacuten teljesuumll az oktettszabaacutely (mindegyik atom
koumlruumll neacutegy elektronpaacuter talaacutelhatoacute) A negatiacutev toumllteacutes megoszlik a neacutegy fluoratomon egyiknek sincs
kituumlntetett szerepe
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 85
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Datiacutev koumlteacutes nemcsak keacutet kuumlloumlnaacutelloacute molekula vagy ion koumlzoumltt joumlhet leacutetre erre peacutelda a szeacuten-
monoxid molekula
A szeacuten-monoxidot feliacuterhatjuk uacutegy hogy kettős koumlteacutest iacuterunk a szeacuten- eacutes oxigeacutenatom koumlzeacute
C O
Mint laacutethatoacute az oxigeacutenatom koumlruumll neacutegy elektronpaacuter van iacutegy ez megfelel az oktettszabaacutelynak
Viszont a szeacutenatom koumlruumll csak hat elektron (3 elektronpaacuter) talaacutelhatoacute iacutegy elektronhiaacutenyos Az oxigeacuten a
keacutet elektronpaacuterja koumlzuumll az egyikkel datiacutev koumlteacutest tud leacutetesiacuteteni iacutegy haacutermas koumlteacutes alakul ki
C O
Az oxigeacuten az elektronpaacuterdonor a szeacuten pedig az elektronpaacuter-akceptor Ha oumlsszeszaacutemoljuk az
elektronokat a szeacuten eacutes az oxigeacuten koumlruumll azt tapasztaljuk hogy mindkeacutet elem eseteacuten teljesuumll az oktettelv
Eacuterdemes megjegyezni hogy a szeacuten-monoxidban a koumlteacutes gyakorlatilag apolaacuteris ami meglepő ha
belegondolunk hogy a szeacuten eacutes az oxigeacuten elektronegativitaacutesa koumlzoumltt mintegy egyseacutegnyi a kuumlloumlnbseacuteg
[EN(O) = 34 EN(C) = 25] Tehaacutet a koumlteacutesnek polaacuterisnak kellene lennie az elektronegativitaacutesok
alapjaacuten az oxigeacutenen kellene lennie az elektrontoumlbbletnek Mivel az oxigeacuten elektront (negatiacutev toumllteacutes) ad
be a datiacutev koumlteacutesbe a koumlteacutes polaritaacutesa csoumlkken Ebből nyilvaacutenvaloacutevaacute vaacutelik az is hogy az
elektronegativitaacutesok alapjaacuten nem mindig lehet egyeacutertelműen eldoumlnteni hogy egy koumlteacutes mennyire
polaacuteris
Delokalizaacutelt elektronok
Delokalizaacutecioacute ha egy elektron nem rendelhető egyeacutertelműen egy adott atomhoz vagy keacutemiai
koumlteacuteshez az elektront delokalizaacuteltnak tekintjuumlk
A latin eredetű szoacute jelenteacutese nem helyhez koumltoumltt A lokalizaacutelt (bdquohelyhez koumltoumlttrdquo) koumlteacutes joacutel
meghataacuterozottan keacutet atom koumlzoumltt helyezkedik el
Akkor joumln leacutetre delokalizaacutecioacute ha egy molekulapaacutelya kettőneacutel toumlbb atomra terjed ki
Koumlvetkezzen egy peacutelda delokalizaacutelt elektronszerkezetre
A benzol keacuteplete C6H6 siacutek szerkezetű molekulaacutejaacuteban a szeacutenatomok egy szabaacutelyos hatszoumlg
csuacutecsaiban talaacutelhatoacutek Az oktettelv teljesuumlleacutese ceacuteljaacuteboacutel a szeacutenatomok koumlzeacute vaacuteltakozva egyes eacutes kettős
koumlteacuteseket kellene berajzolnunk (oumlsszesen hat ζ- eacutes haacuterom π-koumlteacutes)
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
Mint koraacutebban emliacutetettuumlk a kettős koumlteacutes hossza roumlvidebb az egyes koumlteacuteseacuteneacutel iacutegy a benzol eseteacuten
is vaacuteltakozoacute hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket kellene kapnunk A kiacuteseacuterleti vizsgaacutelatok azonban ndash ezek alapjaacuten
kisseacute meglepő moacutedon ndash a szeacutenatomok koumlzoumltt azonos hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket aacutellapiacutetottak meg Ez azt
sejteti hogy a szeacutenatomok koumlzoumltti koumlteacutes nem tekinthető sem egyes sem kettős koumlteacutesnek hanem
valahol a kettő koumlzoumltt van A benzol 3 middot 2 = 6 π-elektronja delokalizaacuteloacutedik a hat szeacutenatom foumlloumltt Ennek
megjeleniacuteteacuteseacutere gyakran alkalmazzuk az alaacutebbi keacutepletjeloumlleacutest (a karika a hat delokalizaacuteloacutedott elektront
jeleniacuteti meg)
86 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
31 peacutelda
Iacuterjuk fel a koumlvetkező molekulaacutek elektronszerkezeteacutet
a) hidrogeacuten-klorid (HCl)
b) viacutez (H2O)
c) etileacuten (H2CCH2)
d) acetileacuten (HCCH)
e) szeacuten-dioxid (CO2)
f) keacuten-dioxid (SO2)
g) keacuten-trioxid (SO3)
h) ammoacuteniumion (NH4+)
Megoldaacutes
a) A hidrogeacuten-kloridban egy koumltő elektronpaacuteron keresztuumll joumln leacutetre a kovalens koumlteacutes a
kloacuteratomnak pedig van haacuterom magaacutenos elektronpaacuterja
H Cl
Mivel a hidrogeacuten eacutes a kloacuter elektronegativitaacutesa jelentősen elteacuterő [EN(H) = 21 EN(C) = 31] a
koumlteacutes polaacuteris kovalens koumlteacutesnek tekinthető
b) A viacutezmolekulaacuteban az oxigeacuten hat vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel kettőt bead a keacutet egyes koumlteacutesbe iacutegy a
dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha a megfelelő toumllteacutesek uacutegy rendeződnek hogy koumlzoumlttuumlk a
legnagyobb stabilizaacutecioacute joumlhessen leacutetre Ezt orientaacutecioacutes hataacutesnak (effektusnak) nevezzuumlk
3121 aacutebra A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesaacutet megfigyelhetjuumlk a koumlvetkező animaacutecioacuten
3121 animaacutecioacute A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Hidrogeacutenkoumlteacutes (vagy hidrogeacutenhiacutedkoumlteacutes) olyan molekulaacutek koumlzoumltt joumln leacutetre melyekben a
hidrogeacutenatom egy kiemelkedően nagy elektronegativitaacutesuacute atomjaacutehoz kapcsoloacutedik
A hidrogeacutenkoumlteacutes az aacutetlagos dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel erősebb a legerősebb maacutesodrendű koumlteacutes A
hidrogeacutenkoumlteacutes leacutetrejoumltteacutenek felteacutetele hogy a keacutet atom elektronegativitaacutesa koumlzoumltt nagy kuumlloumlnbseacuteg
legyen Aacuteltalaacuteban akkor szaacutemiacutethatunk hidrogeacutenkoumlteacutes kialakulaacutesaacutera ha a hidrogeacutenatom oxigeacutenhez
nitrogeacutenhez vagy fluorhoz kapcsoloacutedik A hidrogeacutenkoumlteacutes rendkiacutevuumll fontos oumlsszetartoacute erő megtalaacutelhatoacute
szaacutemos termeacuteszetes vegyuumlletben
A viacutez az egyik legfontosabb vegyuumllet melynek molekulaacutei koumlzoumltt hidrogeacutenkoumlteacutes talaacutelhatoacute
O
H
H
H O
H
H
O H
()
()
()
()
()
()
()
()
()
3122 aacutebra A hidrogeacutenkoumlteacutes
Dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumllcsoumlnhataacutes egy dipoacutelusmolekula eacutes egy apolaacuteris molekula koumlzoumltt
leacutetrejoumlvő oumlsszetartoacute erő
A dipoacutelusmolekula kismeacuterteacutekű toumllteacutesmegoszlaacutest okoz a koumlzeleacuteben talaacutelhatoacute apolaacuteris molekulaacuteban
ezt indukaacutelt polarizaacutecioacutenak nevezzuumlk A dipoacutelusmolekula eacutes az indukaacutelt polaritaacutessal rendelkező
molekula koumlzoumltt iacutegy elektrosztatikus vonzaacutes joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 89
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
3123 aacutebra A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes gyengeacutebb a dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel mivel az apolaacuteris molekula
csak igen kismeacuterteacutekben tud polarizaacuteloacutedni
3122 animaacutecioacute A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes az apolaacuteris molekulaacutekat oumlsszetartoacute gyenge koumllcsoumlnhataacutes
A diszperzioacutes koumlteacutest szoktaacutek London-koumllcsoumlnhataacutesnak is nevezni
A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes alapja hogy egy molekula (vagy atom) elektronjai folyamatos
veacuteletlenszerű (rezgő) mozgaacutest veacutegeznek iacutegy meacuteg az apolaacuteris molekulaacutekban is leacutetrejoumln kismeacuterteacutekű
polarizaacutecioacute Az iacutegy leacutetrejoumltt pillanatszerű polarizaacuteltsaacuteg a szomszeacutedos apolaacuteris molekulaacutet polarizaacutelja
(hasonloacutean a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez) Tehaacutet oumlnmagaacuteban az apolaacuteris molekulaacutek
eseteacuten is leacutetrejoumlhet pillanatszerű aszimmetrikus toumllteacuteseloszlaacutes indukaacutelt polarizaacutecioacute (megjegyzeacutes az
apolaacuteris jelleg viszont időben kiaacutetlagoloacutedik eacutes iacutegy oumlsszesseacutegeacuteben nem tapasztalunk dipoacutelusjelleget) A
keletkezett gyengeacuten polarizaacutelt molekulaacutek koumlzoumltt elektrosztatikus vonzoacuteerő joumln leacutetre melynek
eredmeacutenye a gyenge diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
3124 aacutebra A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
A maacutesodrendű koumlteacutesek noumlvekvő erősseacuteg szerinti sorrendje
1 Mit mond ki az oktettelv (vagy maacuteskeacutepp oktettszabaacutely)
2 Mi az elsőrendű eacutes a maacutesodrendű keacutemiai koumlteacutes
3 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a homonukleaacuteris eacutes a heteronukleaacuteris keacutemiai koumlteacutes koumlzoumltt
4 Definiaacutelja az ionos koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
5 Definiaacutelja a feacutemes koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
6 Definiaacutelja a kovalens koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
+minus
90 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
7 Mit jelent ha egy kovalens koumlteacutes polaacuteris vagy apolaacuteris
8 Mieacutert nem teljesuumll az oktettszabaacutely a hidrogeacuten eseteacuten
9 A boacuter-trifluoridot (BF3) elektronhiaacutenyos vegyuumlletkeacutent szoktaacutek emlegetni Mieacutert
10 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a kolligaacutecioacutes eacutes a datiacutev kovalens koumlteacutes koumlzoumltt
11 Hogyan jellemezhető a kovalens koumlteacutes erősseacutege
12 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat koumlteacuteshossz koumlteacutesi energia
13 Keacutet elem elektronegativitaacutesa alapjaacuten hogyan becsuumllhető meg hogy ezen elemek atomja koumlzoumltt
milyen tiacutepusuacute (elsőrendű) keacutemiai koumlteacutes joumlhet leacutetre
14 Mi a magaacutenos elektronpaacuter Nevezzen meg neacutehaacuteny molekulaacutet melyben valamely atom
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral
15 Hogyan definiaacutelnaacute a kettős koumlteacutest eacutes a haacutermas koumlteacutest Mi a ζ- eacutes a π-koumlteacutes Soroljon fel neacutehaacuteny
molekulaacutet melyben kettős illetve haacutermas koumlteacutes talaacutelhatoacute
16 Sorolja fel a maacutesodrendű koumlteacutes fajtaacuteit hasonliacutetsa oumlssze őket a fizikai jelenseacuteg illetve a
koumlteacuteserősseacuteg szempontjaacuteboacutel
17 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a dipoacutelus-dipoacutelus a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus eacutes diszperzioacutes koumlteacutesek koumlzoumltt
18 Milyen koumlteacutes joumlhet leacutetre a koumlvetkező vegyuumlletek molekulaacutei koumlzoumltt
a viacutez (H2O)
b kloroform (maacutes neacuteven trikloacutermetaacuten CHCl3)
c metaacuten (CH4)
d joacuted (I2)
e hidrogeacuten-fluorid (HF)
f keacuten-dioxid (SO2)
g argon (Ar)
h hidrogeacuten-jodid (HI)
32 A molekulaacutek alakja
321 A molekulageometria
A molekulaacutek elektronszerkezete eacutes alakja koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes aacutell fenn Tehaacutet mielőtt egy
molekula szerkezeteacutet felrajzolnaacutenk fontos aacutetgondolni hogy a molekulaacuteban milyen koumlteacutesek
talaacutelhatoacuteak Az elektronok negatiacutev toumllteacutesuumlk folytaacuten tasziacutetjaacutek egymaacutest iacutegy a molekula elektronpaacuterjai
egymaacutestoacutel a lehető legtaacutevolabb szeretneacutenek elhelyezkedni
A molekulaacutek szerkezeteacutet a vegyeacuterteacutek-elektronpaacuterok hataacuterozzaacutek meg a koumltő eacutes magaacutenos
elektronpaacuterok uacutegy helyezkednek el hogy taacutevolsaacuteguk maximaacutelis legyen
Fontos megaacutellapiacutetaacutesok
ndash a kettős koumlteacutesek teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacutesekeacute a haacutermas koumlteacutesekeacute pedig nagyobb
mint a kettős koumlteacutesekeacute
ndash a magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban nagyobb mint a koumltő elektronpaacuterokeacute
Ha egy molekula szerkezeteacutet (geometriaacutejaacutet) szeretneacutenk meghataacuterozni az első leacutepeacutes megaacutellapiacutetani
hogy haacuteny koumltő eacutes magaacutenos elektronpaacuterral rendelkeznek az egyes atomok eacutes hogy a koumltő
elektronpaacuterok haacutenyszoros koumlteacutessel kapcsoljaacutek oumlssze az egyes atomokat
A koumlzponti atomot A-val a hozzaacute kapcsoloacutedoacute atomot X-szel a koumlzponti atom magaacutenos
elektronpaacuterjaacutet pedig E-vel szokaacutes jeloumllni
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 91
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A koumlzponti atomhoz kapcsoloacutedoacute atomot vagy atomcsoportot ligandumnak nevezzuumlk
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
Koumlteacutesszoumlg a ligandumok atommagjaacutet eacutes a koumlzponti atom atommagjaacutet oumlsszekoumltő szakaszok aacuteltal
bezaacutert szoumlg (A koumlteacutesszoumlg 180deg-naacutel nem lehet nagyobb eacuterteacutekű) XAXrsquo koumlteacutesszoumlg az aacutebra alapjaacuten
A
X
X
XAX szoumlg
Baacutermely egyszerű biner (keacutet elemből aacutelloacute) molekulaacutet feliacuterhatunk AXnEm alakban (Az X jeloumllhet
aacuteltalaacutenos ligandumot is tehaacutet nem biztos hogy azonos ligandumokroacutel van szoacute A tovaacutebbiakban azon
molekulaacutekkal foglalkozunk melyek koumlzponti atomja koumlruumll azonos ligandumok talaacutelhatoacutek)
A molekula alakjaacuten vagy geometriaacutejaacuten a ligandumok atommagjai aacuteltal meghataacuterozott
geometriai alakzatot eacutertjuumlk
Lineaacuteris molekula egy haacuterom- vagy toumlbbatomos molekula lineaacuteris ha minden atommagja
ugyanarra az egyenesre esik (A keacutetatomos molekulaacutek eseteacuten az atommagok mindig egy egyenesre
esnek itt nincs eacutertelme linearitaacutesroacutel beszeacutelni)
Erre egy peacutelda az acetileacuten- (etin-) molekula
C CH H
Siacutek vagy planaacuteris molekula minden atomja egy siacutekba esik
Peacuteldaacuteul a koraacutebban emliacutetett boacuter-trifluorid siacutekmolekula mivel az oumlsszes atomja egy siacutekban
talaacutelhatoacute az FBF koumlteacutesszoumlgek 120deg-osak eacutes a haacuterom FminusBminusF koumlteacutesszoumlg oumlsszege kiadja a teljesszoumlget
(360deg)
B
F
FF
322 A molekulaacutek polaritaacutesa
Maacuter a keacutemiai koumlteacutesekkel foglalkozoacute fejezet elejeacuten emliacutetettuumlk az apolaacuteris eacutes a dipoacutelusmolekula
fogalmaacutenaacutel hogy a molekula polaritaacutesa szempontjaacuteboacutel nemcsak a koumlteacutesek polaritaacutesa szaacutemiacutet hanem
azok teacuterbeli elrendeződeacutese is
Azon molekula melyben csak apolaacuteris koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak az mindig apolaacuteris A polaacuteris
koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula lehet apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula ha a koumlteacutesek dipoacutelusvektorainak
eredője nullvektor a molekula apolaacuteris ha a dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus vektor a
molekulaacutenak van eredő dipoacutelusa tehaacutet dipoacutelusmolekulaacuteroacutel van szoacute
Ezt szemleacuteltessuumlk is egy-keacutet peacuteldaacuteval
Szeacutenhidrogeacutenek olyan vegyuumlletek melyek csak szeacuten- eacutes hidrogeacutenatomot tartalmaznak Neacutehaacuteny
Az oumlt elektronpaacuterboacutel haacuterom egy siacutekban rendeződik el haacuteromszoumlg alakban a maacutesik keacutet elektronpaacuter
pedig a siacutek alatt illetve foumlloumltt helyezkedik el Az oumlt AminusX koumlteacutesből haacuterom elteacuter a maacutesik kettőtől elteacuterő
koumlrnyezetben talaacutelhatoacute iacutegy ezen koumlteacutesek hossza aacuteltalaacuteban elteacuter a maacutesik keacutet koumlteacutes hosszaacutetoacutel
A haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ligandumok poziacutecioacutejaacutet ekvatoriaacutelisnak miacuteg az erre
merőlegesekeacutet pedig axiaacutelisnak (vagy apikaacutelisnak) nevezzuumlk
Keacutet egymaacutes melletti ekvatoriaacutelis helyzetben leacutevő ligandum koumlzoumltti koumlteacutesszoumlg 120deg miacuteg egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis ligandum koumlzoumltt 90deg-os a koumlteacutesszoumlg
Az iacutegy keletkező szerkezet olyan mintha keacutet haacuteromszoumlg alapuacute piramist egy lapjukon
oumlsszeilleszteneacutenk ezeacutert az ilyen molekulageometria elnevezeacutese haacuteromszoumlg alapuacute bipiramis vagy
trigonaacutelis bipiramis
Az ilyen koumlteacuteselrendeződeacutes eseteacuten a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor a molekula apolaacuteris
Peacutelda PF5 AsCl5
Megjegyzeacutes oumlt ligandum nemcsak haacuteromszoumlg alapuacute piramis alakban rendeződhet el hanem
lehetseacuteges egy maacutesfajta elrendeződeacutes is melynek neve neacutegyzet alapuacute piramis vagy tetragonaacutelis
piramis Ekkor a ligandumok egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela csuacutecsaiban foglalnak helyet
94 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Rendszerint a trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutes energetikailag kedvezőbb mint a tetragonaacutelis
piramisos
n = 6 m = 0 AX6E0
A hat elektronpaacuter teacuterben uacutegy helyezkedik el egymaacutestoacutel legtaacutevolabb ha a koumlzponti atomot egy
oktaeacuteder koumlzepeacutebe a ligandumokat pedig az oktaeacuteder hat csuacutecsaacuteba helyezzuumlk Az oumlsszes AminusX koumlteacutes
hossza azonos Keacutet egymaacutes melletti X eacutes Xrsquo ligandum eseteacuten az XAXrsquo szoumlg 90deg-os
Az ilyen elrendeződeacutest oktaeacutederes geometriaacutenak nevezzuumlk
Ha egy molekula alakja oktaeacuteder akkor nem lehet dipoacutelusmolekula
Peacutelda SF6 PF6minus
n = 7 m = 0 AX7E0
Az alaacutebbiakban csak a legjellegzetesebb geometria kialakulaacutesaacutet ndash elsősorban eacuterdekesseacutegkeacutent ndash
taacutergyaljuk A heacutet elektronpaacuterboacutel oumlt egy siacutekban egy szabaacutelyos oumltszoumlg csuacutecsainak iraacutenyaacuteban helyezkedik
el A koumlzponti atom az oumltszoumlg koumlzeacuteppontjaacuteban talaacutelhatoacute a hozzaacute kapcsoloacutedoacute oumlt ligandum pedig az
oumltszoumlg csuacutecsaiban A fennmaradoacute keacutet ligandum az oumltszoumlg siacutekja feleacute eacutes alaacute keruumll uacutegy hogy ezen keacutet
ligandum eacutes a koumlzponti atom egy egyenesbe esik A molekulaacuteban keacutetfeacutele koumlteacuteshosszt figyelhetuumlnk
meg aacuteltalaacuteban az oumltszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute koumlteacutesek eacutes a maacutesik keacutet koumlteacutes aacuteltalaacuteban nem egyforma
hosszuacutesaacuteguacute
A keletkező molekula geometriaacutejaacutet oumltszoumlg alapuacute bipiramisnak vagy pentagonaacutelis bipiramisnak
nevezzuumlk
A szimmetrikus elrendeződeacutes koumlvetkezteacuteben a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor iacutegy a molekula
apolaacuteris
Peacutelda IF7
n = 8 m = 0 AX8E0
Csak az eacuterdekesseacuteg eacutes teljesseacuteg kedveacuteeacutert emliacutetjuumlk meg ezt az elrendeződeacutest rendkiacutevuumll ritka A
nyolc koumltő elektronpaacuter egy neacutegyzetes antiprizma csuacutecsain helyezkedik el A neacutegyzetes antiprizma
uacutegy aacutelliacutethatoacute elő ha egy neacutegyzet alapuacute egyenes hasaacuteb alapjaacutet eacutes fedőlapjaacutet egymaacuteshoz keacutepest 45deg-ban
elforgatjuk
A molekula apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Peacutelda XeF82minus
Miutaacuten megbirkoacuteztunk az egyszerűbb magaacutenos elektronpaacutert nem tartalmazoacute molekulaacutek
szerkezeteacutevel most vizsgaacuteljunk bonyolultabb eseteket ahol a koumltő elektronpaacuterok mellett magaacutenos
elektronpaacuterok is talaacutelhatoacutek a koumlzponti atom vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
n = 2 m = 1 AX2E1
A molekula koumlzponti atomja koumlruumll haacuterom elektronpaacuter talaacutelhatoacute melyek koumlzuumll kettő koumltő
elektronpaacuter A haacuterom elektronpaacuter eseteacuten az ideaacutelis elrendeződeacutes haacuteromszoumlg alakuacute a haacuteromszoumlg keacutet
csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum
A magaacutenos elektronpaacutert tartalmazoacute haacuteromatomos AX2E molekula geometriaacutejaacutet hajlottnak vagy
V-alakuacutenak nevezzuumlk
Amennyiben az AminusX koumlteacutes polaacuteris a V-alakuacute molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda SO2 NO2minus
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 95
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
n = 2 m = 2 AX2E2
Neacutegy elektronpaacuter (keacutet koumltő keacutet magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll ezek
tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder keacutet csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum a maacutesik keacutet csuacutecs
iraacutenyaacuteba a magaacutenos paacuterok mutatnak
A keacutet magaacutenos elektronpaacuterral rendelkező haacuteromatomos molekulaacutek geometriaacuteja az előző ponthoz
hasonloacutean hajlott vagy V-alakuacute
Az ilyen geometriaacutejuacute molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda H2O H2S
n = 2 m = 3 AX2E3
Oumlsszesen oumlt elektronpaacuter (keacutet koumltő haacuterom magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll
iacutegy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesre szaacutemiacutetunk A magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban
nagyobb mint a ligandumokeacute iacutegy ezek foglaljaacutek el a haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ekvatoriaacutelis
poziacutecioacutekat a keacutet ligandum pedig a siacutek alaacute eacutes foumlleacute keruumll Az XAXrsquo szoumlg iacutegy 180deg-os tehaacutet a molekula
geometriaacuteja lineaacuteris
A molekula apolaacuteris (laacutesd az AX2 esetet)
Peacutelda XeF2 I3minus
Megjegyzeacutes eacuterdemes aacutetgondolni mieacutert is keruumll a nagyobb teacuterigeacutenyű csoport az ekvatoriaacutelis
poziacutecioacuteba Egy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesű modell eseteacuten legyen az axiaacutelis ligandum Xax az
ekvatoriaacutelis ligandum pedig Xekv Mivel az XekvminusAminusXrsquoekv koumlteacutesszoumlg 120deg az XaxminusAminusXekv koumlteacutesszoumlg
pedig csak 90deg keacutet ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacuteg kisebb mint egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltt Ezeacutert a nagyobb teacuterigeacutenyű
csoport ndash hogy a toumlbbi ligandumtoacutel a legtaacutevolabb helyezkedjen el az ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll
n = 3 m = 1 AX3E1
Ebben az esetben neacutegy elektronpaacuter (haacuterom koumltő egy magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti
atomja koumlruumll iacutegy ezek tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder haacuterom csuacutecsaacuten talaacutelhatoacute ligandum iacutegy
ezek egy siacutekba esnek A magaacutenos elektronpaacuter nagyobb teacuterigeacutenye folytaacuten az XAXrsquo aacuteltalaacuteban kisebb a
tetraeacutederben leacutevőneacutel (azaz 1095deg-naacutel)
A molekula geometriaacuteja haacuteromszoumlg alapuacute piramisos vagy trigonaacutelis piramisos
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda NH3 PF3
n = 3 m = 2 AX3E2
Az elektronpaacuterok szaacutema haacuterom koumltő eacutes keacutet magaacutenos oumlsszesen oumlt elektronpaacuter mely trigonaacutelis
bipiramis alakzatot vesz fel A magaacutenos elektronpaacuteroknak nagyobb a teacuterigeacutenyuumlk ezeacutert ezek az
ekvatoriaacutelis poziacutecioacutekba keruumllnek A haacuterom ligandum koumlzuumll kettő axiaacutelis helyzetben van a harmadik
pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula szerkezete T-alakuacute
Amennyiben az AminusX koumlteacutesek polaacuterisak a molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda ClF3
n = 4 m = 1 AX4E1
96 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az oumlt elektronpaacuterboacutel neacutegy koumltő eacutes egy magaacutenos ismeacutet trigonaacutelis bipiramis alakzatot vesz fel A
magaacutenos elektronpaacuter ebben az esetben is ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll A neacutegy ligandum koumlzuumll kettő
axiaacutelis helyzetben van a maacutesik kettő pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula geometriaacutejaacutet meacuterleghinta alakuacutenak nevezzuumlk (ritkaacutebban torzult tetraeacutedernek is
nevezik)
Mivel a dipoacutelusvektorok eredője nem nullvektor a molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda SF4
n = 4 m = 2 AX4E2
A koumlzponti atomhoz oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik neacutegy koumltő eacutes keacutet magaacutenos ezek
oktaeacutederesen rendeződnek el A magaacutenos elektronpaacuterok keacutet egymaacutessal ellenteacutetes poziacutecioacutet foglalnak
el hogy tasziacutetaacutesukat csoumlkkentseacutek A toumlbbi neacutegy ligandum neacutegyzet alakban rendeződik el
Az ilyen molekula geometriaacuteja neacutegyzetes vagy tetragonaacutelis planaacuteris
A molekula apolaacuteris (meacuteg polaacuteris AminusX koumlteacutesek eseteacuten is)
Peacutelda XeF4
n = 5 m = 1 AX5E1
Oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik koumlzponti atomhoz ezek ismeacutet oktaeacutederesen rendeződnek el
Az oktaeacuteder egyik csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula neacutegyzetes piramisos vagy tetragonaacutelis piramisos szerkezetű
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda BrF5
n = 6 m = 1 AX6E1
A koumlzponti atomon heacutet elektronpaacuter talaacutelhatoacute ezek pentagonaacutelis bipiramis alakba rendeződnek
ennek az oumltszoumlg siacutekja alatti (vagy feletti) csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula oumltszoumlg alapuacute piramisos vagy pentagonaacutelis piramisos szerkezetű
A molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda XeF6
Az alaacutebbi taacuteblaacutezatban a kuumlloumlnfeacutele alapmolekulaacutek szerkezeteacutet foglaltuk oumlssze
n m Keacuteplet
Elektronpaacuterok
elrendeződeacutese a
koumlzponti atom
koumlruumll
Molekula
alakja Koumlteacutesszoumlgek
Polaritaacutes
(ha AminusX
koumlteacutes
polaacuteris)
Peacutelda
1 AX A X polaacuteris HCl
2 0 AX2 lineaacuteris lineaacuteris A XX
XAX 180deg apolaacuteris CO2
1 AX2E trigonaacutelis planaacuteris hajlott vagy
V-alakuacute X
A
X
polaacuteris SO2
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 97
Ebben a bevezető jellegű fejezetben az első feacuteleacuteves Keacutemiai alapok eacutes Aacuteltalaacutenos keacutemia gyakorlat
elsajaacutetiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges legfontosabb matematikai eacutes fizikai oumlsszefuumlggeacuteseket vesszuumlk sorra
11 Matematikai alapok
111 A meacutereacutesek eacutes szaacutemiacutetaacutesok pontossaacutega
A meacuterhető mennyiseacutegeknek keacutet nagy csoportjaacutet kuumlloumlnboumlztethetjuumlk meg Az egyik az uacutegynevezett
diszkreacutet vaacuteltozoacuteval leiacuterhatoacute mennyiseacuteg melyeket pontosan szaacutemszerűsiacuteteni tudunk Ilyen peacuteldaacuteul a
darabszaacutem ismeruumlnk olyat hogy egy darab alma vagy neacutegy darab alma de nincs tuacutel sok eacutertelme 254
darab almaacuteroacutel beszeacutelni A maacutesik csoportba olyan mennyiseacutegek tartoznak melyek eacuterteacuteke folytonosan
vaacuteltozhat azaz nem csak adott egeacutesz eacuterteacutekeket vehet fel Ilyen peacuteldaacuteul a toumlmeg a teruumllet az
aacuteramerősseacuteg az anyagmennyiseacuteg eacutes iacutegy tovaacutebb Ezekre jellemző hogy eacuterteacutekuumlk baacutermilyen ndash nem
felteacutetlenuumll egeacutesz ndash eacuterteacuteket felvehet Ennek van egy rendkiacutevuumll fontos koumlvetkezmeacutenye az ilyen
mennyiseacutegek meacutereacutesekor elkoumlvetett hiba befolyaacutesolja a meacutereacutes pontossaacutegaacutet
Vegyuumlnk egy egyszerű peacuteldaacutet Toumlmegmeacutereacutesneacutel egyaacuteltalaacuten nem mindegy milyen bdquofajtardquo meacuterleget
hasznaacutelunk hogy peacuteldaacuteul tehermeacutereacutesre hasznaacutelatos bdquomaacutezsaacutenrdquo szemeacutelymeacuterlegen konyhai meacuterlegen
vagy a laboratoacuterium analitikai meacuterlegeacuten meacuterjuumlk meg egy taacutergy toumlmegeacutet A kuumlloumlnboumlző meacuterlegeket
kuumlloumlnfeacutele meacutereacuteshataacuterokra tervezteacutek eacutes elteacuterő pontossaacuteggal is rendelkeznek Peacuteldaacuteul miacuteg egy maacutezsa
vagy egy szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm addig egy analitikai meacuterleg pontossaacutega
toumlbbnyire 00001 gramm vagy akaacuter meacuteg enneacutel kisebb is lehet Mit is jelent ez a pontossaacuteg kifejezeacutes
Ha egy digitaacutelis szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm eacutes a meacuterleg 764 kilogrammot mutat
akkor a teacutenyleges toumlmegről annyit tudunk hogy igen nagy valoacutesziacutenűseacuteggel a 763 kilogramm eacutes 765
kilogramm koumlzoumltt van Eacutes ebből az is koumlvetkezik hogy 764 kilogrammnak laacutetjuk toumlmeguumlnket akkor
is ha az 76359 kilogramm vagy akaacuter 76432 kilogramm mivel a meacuterleg nem keacutepes pontosabban
kijelezni az eacuterteacuteket
Vegyuumlnk egy maacutesik peacuteldaacutet Egy seprűnyeacutel hosszaacutenak meghataacuterozaacutesaacutet veacutegezzuumlk eacutes keacutetfeacutele
meacuterőszalag aacutell rendelkezeacutesuumlnkre az egyiken centimeacuteter-beosztaacutes van a maacutesikon a millimeacutetereket is
feltuumlntetteacutek az előzőt kisebb pontossaacuteguacutenak az utoacutebbit nagyobb pontossaacuteguacutenak tekintjuumlk A seprűnyeacutel
hosszaacutet egy nagyon pontos meacutereacutessel is megmeacutertuumlk eacutes 168314 centimeacuteternek adoacutedott Ha megmeacuterjuumlk
ezt a taacutergyat a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal millimeacuteter pontossaacuteggal ismerjuumlk a taacutergy hosszaacutet
mely 168 centimeacuteter eacutes 3 millimeacuteter Ha azonban a maacutesik centimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal meacuterjuumlk
meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet csak a centimeacuteteregyseacutegeket tudjuk leolvasni ami esetuumlnkben 168
esetleg szemre tudjuk becsuumllni a harmad centimeacuteternyi taacutevolsaacutegot Ebben az esetben azonban nem
adhatjuk meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet 1683 centimeacuteternek mert a meacuterőszalag beosztaacutesa ezt nem teszi
lehetőveacute A centimeacuteter pontossaacuteguacute meacuterőszalaggal meacuterve a helyesen megadott mennyiseacuteg 168
centimeacuteter
Tegyuumlk fel hogy a fentebb emliacutetett seprűnyelet megmeacuterjuumlk a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalag
segiacutetseacutegeacutevel eacutes hosszaacutet egeacuteszen pontosan 1683 centimeacuteternek olvassuk le azaz szemre nem
eacuterzeacutekeluumlnk elteacutereacutest a millimeacuteteregyseacutegben Ilyenkor azonban nem adhatjuk meg a seprűnyeacutel hosszaacutet az
alaacutebbi alakban 168300 centimeacuteter de meacuteg iacutegy sem 16830 centimeacuteter mivel a meacuterőeszkoumlz
pontossaacutega ezt nem teszi lehetőveacute A helyes megadaacutesi moacuted a koumlvetkező 1683 centimeacuteter
Akaacuter laboratoacuteriumban dolgozunk akaacuter szaacutemiacutetaacutesi feladatot oldunk meg gyakran előfordul hogy
az adatok pontossaacutegaacutet is figyelembe kell vennuumlnk Ha meacutereacutest veacutegzuumlnk aacuteltalaacuteban ismerjuumlk a meacutereacutes
pontossaacutegaacutet eacutes ebből meg tudjuk aacutellapiacutetani milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű megadnunk az eredmeacutenyt
Viszont a szaacutemiacutetaacutesi feladatok is aacuteltalaacuteban kiacuteseacuterleti eredmeacutenyeken alapulnak ezeacutert ott is fontos szem
előtt tartani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacutet A fentiek alapjaacuten jelentős kuumlloumlnbseacuteg van peacuteldaacuteul az 10 dm3
eacutes az 10000 dm3 koumlzoumltt Az első esetben csak az első tizedesjegyben lehetuumlnk biztosak a valoacutesaacutegban
lehet hogy 102 dm3 vagy 098 dm3 az eacuterteacutek A maacutesodik esetben azonban biztosak lehetuumlnk abban
hogy neacutegy tizedesjegy pontossaacuteggal ismerjuumlk az eacuterteacuteket Termeacuteszetesen egy adott teacuterfogatot nem csak
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 7
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
dm3-ben hanem maacutes meacuterteacutekegyseacutegben is megadhatunk azaz 10000 dm3 megegyezik 10000 cm3-rel
Innen laacutethatjuk hogy nem a tizedesjegyek szaacutema szaacutemiacutet
Az eacuterteacutekes jegy fogalmaacutet a pontossaacuteg definiaacutelaacutesaacutera vezetteacutek be Eacuterteacutekes jegynek tekintjuumlk a szaacutem
szaacutemjegyeit kiveacuteve az egyneacutel kisebb szaacutemok elejeacuten talaacutelhatoacute nullaacutet illetve nullaacutekat (azon nullaacutekat
melyek csak a helyi eacuterteacuteket jelzik) Az 10 dm3 feliacuteraacutesban 2 eacuterteacutekes jeggyel adtuk meg a pontossaacutegot
az 10000 dm3 eseteacuten pedig 5 eacuterteacutekes jegyről beszeacuteluumlnk Viszont a 002 dm
3 eseteacuten probleacutemaacuteba
uumltkoumlzuumlnk Ebben az esetben az első keacutet nulla nem szaacutemiacutet eacuterteacutekes jegynek csupaacuten a 2-es szaacutemjegy A
legegyszerűbb moacutedja az eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutenak hogy a mennyiseacuteget aacutetiacuterjuk normaacutel alakba
eacutes megaacutellapiacutetjuk hogy haacuteny szaacutemjegyet tartalmaz a 10 megfelelő hatvaacutenya előtt aacutelloacute szorzoacute teacutenyező
A fenti peacuteldaacuteban 002 dm3 = 2 middot 10ndash2 dm3 azaz 1 eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal ismerjuumlk a teacuterfogatot Az
eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutera az alaacutebbi szabaacutelyokat ismerjuumlk
Az egyneacutel kisebb szaacutemokban az első nem zeacuterus szaacutemjegyet megelőző nullaacutek nem szaacutemiacutetanak
eacuterteacutekes jegynek Peacuteldaacuteul 0000060 g = 60 middot 10ndash5 g azaz keacutet eacuterteacutekes jegyet tartalmaz
Baacutermely maacutes esetben (azaz ha van előtte nem zeacuterus szaacutemjegy) a nulla is eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Peacuteldaacuteul a 10000 dm3-ben 5 eacuterteacutekes jegy talaacutelhatoacute
A nullaacutetoacutel elteacuterő minden szaacutemjegy eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Fontos megjegyezni hogy a meacuterteacutekegyseacutegek aacutetvaacuteltaacutesa nem okozhat vaacuteltozaacutest az eacuterteacutekes jegyek
szaacutemaacuteban azaz sem nem noumlvekedhet sem nem csoumlkkenhet az eacuterteacutekes jegyek szaacutema Iacutegy peacuteldaacuteul
0067060 km = 67060 m = 67060 cm = 67060 mm = 67060 middot 10ndash2 km mint laacutetjuk minden esetben 5
eacuterteacutekes jegy a pontossaacuteg
Ha szaacutemiacutetaacutesi feladatokat oldunk meg szaacutemoloacutegeacutepuumlnkkel aacuteltalaacuteban igen sok tizedes jegy
pontossaacutegra keacutepesek vagyunk meghataacuterozni az eredmeacutenyeket Azonban a sok-sok tizedes jegy
megadaacutesa gyakran teljesen felesleges A koumlvetkezőkben azt vizsgaacuteljuk meg hogy egy szaacutemiacutetaacutesi
feladat megoldaacutesa soraacuten milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű a szaacutemiacutetaacutesokat elveacutegezni eacutes a veacutegeredmeacutenyt
megadni
A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten ceacutelszerű a lehető legpontosabban szaacutemolni mivel iacutegy tudjuk lecsoumlkkenteni a
kerekiacuteteacutesekből adoacutedoacute hibaacutekat Ha rendelkezeacutesre aacutell szaacutemoloacutegeacutep akkor eacuterdemes az adatokat megtartani
a szaacutemoloacutegeacutepben eacutes azokkal szaacutemolni tovaacutebb
Ha a feladat veacutegeacutere eacutertuumlnk a veacutegeredmeacuteny megadaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacutepp ceacutelszerű veacutegezni
vizsgaacuteljuk meg a feladat szoumlvegeacuteben talaacutelhatoacute adatok pontossaacutegaacutet azaz aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny
eacuterteacutekes jegyre van megadva Ezutaacuten meg kell aacutellapiacutetanunk hogy melyik mennyiseacuteg tartalmazza a
legkevesebb eacuterteacutekes jegyet azaz melyik van a legpontatlanabbul megadva A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten csupaacuten
matematikai műveleteket veacutegzuumlnk eacutes iacutegy nem tudunk javiacutetani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacuten Tehaacutet a
veacutegeredmeacuteny pontossaacutegaacutet a legpontatlanabbul megadott kiindulaacutesi adat pontossaacutega szabja meg a
veacutegeredmeacutenyt (legfeljebb) annyi eacuterteacutekes jegy pontossaacutegra adjuk meg mint a legpontatlanabbul
megadott kiindulaacutesi adat eacuterteacutekes jegyeinek szaacutema A szaacutemoloacutegeacutep adatait a megfelelő eacuterteacutekes jegyekre
kell kerekiacutetenuumlnk azaz az 1 2 3 eacutes 4 szaacutemjegyeket lefeleacute az 5 6 7 8 eacutes 9 szaacutemjegyeket pedig felfeleacute
kerekiacutetjuumlk Egy zaacuterthelyi dolgozat eseteacuten termeacuteszetesen a reacuteszeredmeacutenyeket sem ceacutelszerű lejegyezni
az oumlsszes leacutetező tizedesjeggyel ilyenkor is eacuterdemes eacutesszerűen kerekiacutetenuumlnk a megfelelő eacuterteacutekes
jegyre Amennyiben az eredmeacuteny egy nagyon kicsi vagy nagyon nagy szaacutem mindenkeacutepp eacuterdemes
normaacutelalakban megadni az eredmeacutenyt Ennek tovaacutebbi előnye hogy az eacuterteacutekes jegyek szaacutemaacutet is
ellenőrizni tudjuk
11 peacutelda
Egy teacuteglatest eacuteleinek hossza a = 637 cm b = 014570 m eacutes c = 3201 cm Adjuk meg a teacuteglatest
teacuterfogataacutet m3 egyseacutegben
Megoldaacutes
Iacuterjuk aacutet az oumlsszes adatot meacuteter meacuterteacutekegyseacutegre eacutes aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny eacuterteacutekes jegyet
tartalmaz
a = 637 cm = 00637 m 3 eacuterteacutekes jegy
b = 014570 m 5 eacuterteacutekes jegy
c = 3201 cm = 03201 m 4 eacuterteacutekes jegy
8 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A teacuteglatest teacuterfogata
V = a middot b middot c = (00637 m) middot (014570 m) middot (03201 m) = 000029708769 m3
Mivel igen kicsi szaacutemeacuterteacutekről van szoacute ceacutelszerű aacutetiacuternunk normaacutelalakra V = 29708769 middot 10minus4 m3
Mint fentebb ismertettuumlk a veacutegeredmeacutenyt szabaacutelyosan a legpontatlanabbul azaz legkevesebb
eacuterteacutekes jeggyel megadott adat eacuterteacutekes jegyire lehet megadni azaz jelen esetben 3 eacuterteacutekes jegyneacutel
toumlbbet nem eacuterdemes megadunk A veacutegeredmeacuteny helyes pontossaacutegban megadva
V = 297 ∙ 10minus4 m3
112 Alapvető matematikai oumlsszefuumlggeacutesek
Egyenes araacutenyossaacuteg keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn ha az egyik mennyiseacuteget
valahaacutenyszorosaacutera vaacuteltoztatjuk akkor a maacutesik mennyiseacuteg is ugyanannyiszorosaacutera vaacuteltozik
Ha az egyenes araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki iacutegy iacuterhatjuk le y = a middot x ahol y eacutes x a keacutet
keacuterdeacuteses mennyiseacuteg a pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt akkor
beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg araacutenya aacutellandoacute jelen esetben ez megegyezik
a-val Grafikonban aacutebraacutezolva egy origoacuten aacutetmenő egyenest kapunk
1121 aacutebra Az egyenes araacutenyossaacuteg
Az egyenes araacutenyossaacuteg fuumlggveacutenye a lineaacuteris fuumlggveacutenyek egy speciaacutelis esete a tengelymetszet
zeacuterus azaz az egyenesnek az origoacuten kell aacutetmennie
Az egyenes araacutenyossaacutegra szaacutemtalan peacuteldaacutet tudunk a mindennapi eacuteletből eacutes a
termeacuteszettudomaacutenyokboacutel egyaraacutent A fizikai eacutes keacutemiai tartalmuacute peacuteldaacutekkal a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg reacuteszletesen azonban koumlvetkezzen egy igen egyszerű peacutelda Ennek ceacutelja elsősorban
az hogy megismerhessuumlk a kuumlloumlnboumlző megoldaacutesi moacutedszereket hogy ki-ki maga eldoumlnthesse hogy
melyiket alkalmazza koumlnnyebben
12 peacutelda
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forintba keruumll akkor mennyibe keruumll 3 kilogramm reacutezgaacutelic
Megoldaacutes
A) Feliacuteraacutes egyenes araacutenyossaacuteggal szoumlvegesen
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 9
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic x forint
Ezt toumlbbfeacutelekeacuteppen lehet megoldani
Feliacuterhatjuk hogy a mennyiseacutegek araacutenya aacutellandoacute
kg3
forintw
kg2
forint1800
Ebből koumlnnyedeacuten megkapjuk hogy w = 2700 forint
Egy maacutesik megoldaacutes ha az uacutegynevezett keresztbeszorzaacutest alkalmazzuk melyet sok helyen taniacutetanak
koumlzeacutepiskolaacutekban elsősorban keacutemiaoacuteraacuten
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic w forint
Azaz 2 kg middot w forint = 3 kg middot 1800 forint melyből egyszerűen adoacutedik hogy w = 2700 forint
hasonloacutean az előző megoldaacutes eredmeacutenyeacutehez
B) Kiszaacutemiacutethatjuk az araacutenyossaacutegi teacutenyezőt az y = a middot x egyenlet alapjaacuten ez tulajdonkeacuteppen az 1
kilogramm reacutezgaacutelic aacutera
kg
forint900
kg2
forint1800
toumlmeg
aacutera
Iacutegy az egyseacutegaacuterboacutel koumlnnyedeacuten megkaphatjuk a 3 kilogramm reacutezgaacuteliceacutert fizetendő aacuterat w = a middot x =
(900 forint kg) middot (3 kg) = 2700 forint
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg ha az egyik mennyiseacuteget valahaacutenyszorosaacutera noumlveljuumlk a maacutesik mennyiseacuteg
ugyanannyiad reacuteszeacutere csoumlkken
Ha a fordiacutetott araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki a koumlvetkezőkeacutepp iacuterhatjuk fel y = b x ahol
y eacutes x a keacutet keacuterdeacuteses mennyiseacuteg b pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg
koumlzoumltt akkor beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg szorzata aacutellandoacute jelen esetben
ez megegyezik b-vel Grafikonban aacutebraacutezolva egy uacutegynevezett hiperbolaacutet kapunk (amennyiben a
negatiacutev mennyiseacutegekről is van eacutertelme beszeacutelni a hiperbolaacutenak van egy negatiacutev tartomaacutenyban
talaacutelhatoacute szaacutera is)
10 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1122 aacutebra A fordiacutetott araacutenyossaacuteg
Termeacuteszetesen fordiacutetott araacutenyossaacutegra is szaacutemtalan peacuteldaacutet lehet talaacutelni melyekkel a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg Ismeacutet egy igen egyszerű peacutelda
13 peacutelda
Keacutetfeacutele tisztasaacuteguacute reacutezgaacutelicot forgalmaz a vegyszerkereskedő A rosszabb minőseacutegű toumlbb
szennyeződeacutest tartalmazoacute aacutera kilogrammonkeacutent 1800 forint aacutem van egy tisztaacutebb is melynek aacutera 2400
forint kilogrammonkeacutent Haacuteny kilogrammnyit tudunk venni a jobb minőseacutegű reacutezgaacutelic 12
kilogrammjaacutenak aacuteraacuteboacutel ha azt rosszabb minőseacutegű reacutezgaacutelicra koumlltjuumlk
Megoldaacutes
A) Araacutenypaacuterral
Ha 2400 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel 12 kg-ot tudunk venni
akkor az 1800 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel z kg-ot tudunk venni
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg eseteacuten a mennyiseacutegek szorzata aacutellandoacute
(2400 Ftkg) middot (12 kg) = (1800 Ftkg) middot (z kg)
Ebből z = 16 kilogramm
B) Fuumlggveacutennyel
Mivel a fordiacutetott araacutenyossaacuteg feliacuterhatoacute uacutegy hogy y = b x ebből koumlvetkezik hogy b = y middot x tehaacutet
b = (2400 Ftkg) middot (12 kg) = 28 800 Ft azaz ennyi a rendelkezeacutesre aacutelloacute peacutenzoumlsszeg Ebből
kiszaacutemiacutethatoacute hogy az olcsoacutebb reacutezgaacutelicboacutel mennyit tudunk venni
y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 11
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodfokuacute egyenlet megoldaacutesa
A maacutesodfokuacute egyenlet megoldoacutekeacutepleteacutenek alkalmazaacutesaacutehoz az egyenletet az alaacutebbi formaacutera kell hozni
a middot x2 + b middot x + c = 0
Ekkor az a b eacutes c parameacuteterek fuumlggveacutenyeacuteben a maacutesodfokuacute egyenlet keacutet megoldaacutesa
a2
ca4bbx
2
1
eacutes
a2
ca4bbx
2
2
A neacutegyzetgyoumlk alatti kifejezeacutest diszkriminaacutensnak nevezzuumlk D = b2 ndash 4 middot a middot c
A diszkriminaacutens előjeleacuteből koumlvetkeztethetuumlnk arra hogy haacuteny valoacutes megoldaacutesa van a maacutesodfokuacute
egyenletnek Ha a diszkriminaacutens pozitiacutev keacutet valoacutes gyoumlkoumlt kapunk ha a diszkriminaacutens negatiacutev nincsen
valoacutes megoldaacutesa az egyenletnek Abban az esetben ha a diszkriminaacutens eacuterteacuteke nulla x1 eacutes x2 gyoumlkoumlk
megegyeznek azaz a maacutesodfokuacute egyenletnek egyetlen megoldaacutesa van
14 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
(x ndash 2) middot (x + 5) = 8
Megoldaacutes
Elveacutegezve a szorzaacutest
x2 ndash 2 middot x + 5 middot x ndash 10 = 8
Nullaacutera rendezve
x2 + 3 middot x ndash 18 = 0
Tehaacutet a = 1 b = 3 eacutes c = ndash18 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe (itt a fenti keacutet keacuteplet egy koumlzoumls
keacutepletteacute van oumlsszeolvasztva)
2
93
2
813
12
)18(1433
a2
ca4bbx
22
21
azaz 2
93x1
eacutes 6
2
93x 2
15 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
16 middot x2 ndash 104 middot x + 169 = 0
Megoldaacutes
A nullaacutera rendezett formaacuteboacutel a = 16 b = minus104 eacutes c = 169 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe
4
13
32
0104
162
169164104104
a2
ca4bbx
22
21
Mivel az egyenlet diszkriminaacutensa (a neacutegyzetgyoumlk alatt aacutelloacute kifejezeacutes D = b2 minus 4 middot a middot c) zeacuterus az
egyenlet keacutet gyoumlke ugyanaz tehaacutet egy megoldaacutesa van az egyenletnek 4
13x
12 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Oumlsszegek eacutes szorzatok feliacuteraacutesa
Egy oumlsszeg kifejteacutese
n
1i
n21i aaaa
Egy szorzat kifejteacutese m21
m
1i
i bbbb
Legfontosabb hatvaacutenyozaacutesi eacutes gyoumlkvonaacutesi azonossaacutegok
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a ndash b) middot (a + b) = a2 ndash b2
an middot bn = (amiddotb)n
an bn = (a b)n (b ne 0)
an middot am = an + m
an am = an ndash m (a ne 0)
mnnmmn aaa
n
1
n aa (a ge 0 ha n paacuteros)
mely alapjaacuten a fenti hatvaacutenyozaacutesi azonossaacutegok alkalmazhatoacuteak a gyoumlkvonaacutesra is
A logaritmusfuumlggveacutenyt a koumlvetkezőkeacuteppen definiaacutelhatjuk f(x) = loga x ahol bdquoardquo egy pozitiacutev
szaacutem A fuumlggveacuteny csak pozitiacutev x eacuterteacutekekre van definiaacutelva Amennyiben a gt 0 a fuumlggveacuteny monoton
noumlvekvő ha 0 lt a lt 1 a fuumlggveacuteny csoumlkkenő A logaritmusfuumlggveacuteny az x tengelyt mindig az (1 0)
pontban metszi
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 15
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1134 aacutebra Logaritmusfuumlggveacutenyek
114 Log-log diagramok eacutes taacutersaik
A meacuternoumlki-keacutemiai gyakorlatban sok oumlsszefuumlggeacutest hatvaacutenyfuumlggveacutenykeacutent jeleniacutethetuumlnk meg A
logaritmus egyik igen fontos alkalmazaacutesa hogy meg tudjuk vele aacutellapiacutetani egy hatvaacutenyfuumlggveacuteny
ismeretlen kitevőjeacutet
16 peacutelda
Adott keacutet meacuterhető mennyiseacuteg x eacutes y eacutes tudjuk hogy a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes az alaacutebbi
alakuacute y = xn A meacutereacuteseink soraacuten a koumlvetkező eacuterteacutekpaacuterokat kapjuk
x y
17 377
30 1559
37 2633
42 3615
49 5315
57 7757
69 12506
Aacutellapiacutetsuk meg az n hatvaacutenykitevőt
Megoldaacutes
Az eacuterteacutekpaacuterokat dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
16 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1141 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute koumlzti kapcsolat
A fenti aacutebraacuteboacutel igen neheacutez megaacutellapiacutetani a hatvaacutenykitevőt Mivel a keacutet vaacuteltozoacute (x eacutes y) koumlzoumltti
kapcsolat hatvaacutenyfuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le y = xn pozitiacutev x eacutes y eseteacuten loga y = loga xn = n middot loga x Ezeacutert
vegyuumlk az x eacutes y eacuterteacutekek 10-es alapuacute logaritmusaacutet
lg x lg y
02304 05761
04771 11928
05682 14205
06232 15581
06902 17255
07559 18897
08388 20971
A fenti eacuterteacutekpaacuterokat szinteacuten aacutebraacutezolhatjuk dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben
1142 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute logaritmusa koumlzti kapcsolat
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 17
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az eacuterteacutekek logaritmusa koumlzoumltti kapcsolat maacuter egyenes araacutenyossaacuteggal iacuterhatoacute le
koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk az egyenes meredekseacutegeacutet (iraacutenytangenseacutet) is n = 25 (Ezt akaacuter a
grafikonroacutel leolvasva akaacuter a megfelelő logaritmusok haacutenyadosakeacutent megkaphatjuk)
Tehaacutet a keresett fuumlggveacutenykapcsolat y = x25
A meacuternoumlki gyakorlatban elterjedt az uacutegynevezett log-log diagramok hasznaacutelata is Ekkor nem a
logaritmuseacuterteacutekeket aacutebraacutezoljuk a hagyomaacutenyos beosztaacutesuacute tengelyeken hanem a teacutenyleges eacuterteacutekeket
1145 aacutebra Az y = f(x) = a middot 10bmiddotx fuumlggveacuteny
A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineaacuteris leacutepteacutekű miacuteg az y tengely (ordinaacuteta)
logaritmikus leacutepteacutekű Az exponenciaacutelis fuumlggveacuteny parameacutetereit a meredekseacutegből eacutes tengelymetszetből
koumlnnyen leolvashatjuk
y = f(x) = a middot lg x Ekkor egyszerűen y-t aacutebraacutezoljuk lg x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes meghataacuterozhatjuk
az ismeretlen bdquoardquo parameacutetert
1146 aacutebra Az y = f(x) = a middot lg x fuumlggveacuteny
Tehaacutet ebben az esetben az abszcissza (x tengely) leacutepteacuteke logaritmikus miacuteg az ordinaacuteta (y tengely)
leacutepteacuteke lineaacuteris
Ez a moacutedszer akkor is segiacutetseacuteguumlnkre lehet ha nem ismerjuumlk az oumlsszefuumlggeacutest a keacutet mennyiseacuteg (x eacutes
y) koumlzoumltt viszont az aacutebraacutezolaacutesboacutel remeacutenykedhetuumlnk hogy az oumlsszefuumlggeacutes nem tuacutel bonyolult
fuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le Ilyenkor eacuterdemes kiproacutebaacutelni a fenti aacutetalakiacutetaacutesokat eacutes abban a szerencseacutes
esetben ha az iacutegy keletkezett transzformaacutelt vaacuteltozoacutek koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest kapunk meg tudjuk
hataacuterozni a szuumlkseacuteges parameacutetereket
Meacutereacutesi eredmeacutenyeket tartalmazoacute taacuteblaacutezatok hasznaacutelata soraacuten gyakran előfordul hogy egy olyan adatra
van szuumlkseacuteguumlnk melyre eacuteppen nincs meacutereacutesi eredmeacuteny Erre egy egyszerű peacutelda (peacuteldaacuteul y
mennyiseacuteget meacuterjuumlk x fuumlggveacutenyeacuteben)
x y
00 120
50 160
100 200
Tehaacutet ismerjuumlk y eacuterteacutekeacutet x = 00 x = 50 eacutes x = 100 eseteacuten Tegyuumlk fel hogy nekuumlnk toumlrteacutenetesen
szuumlkseacuteguumlnk van x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutere Ekkor toumlbb lehetőseacuteguumlnk van
ndash megmeacuterjuumlk kiacuteseacuterletileg x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutet
ndash aacutebraacutezoljuk y-t x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes grafikusan proacutebaacutelunk koumlvetkeztetni y eacuterteacutekeacutere x = 70 eseteacuten
ndash matematikai uacuteton bdquokiokoskodjukrdquo y eacuterteacutekeacutet az x = 70 helyen
Az első megoldaacutesra gyakran nincs lehetőseacuteg noha valoacutesziacutenűleg az lenne a legpontosabb A
grafikus megoldaacutes aacuteltalaacuteban hosszadalmas eacutes a leolvasaacutes pontatlan ezeacutert aacuteltalaacuteban az uacutegynevezett
lineaacuteris interpolaacutecioacutet alkalmazzuk ilyen esetekben Termeacuteszetesen ehhez az szuumlkseacuteges hogy a keacutet
vizsgaacutelt vaacuteltozoacute koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes aacutelljon fenn A moacutedszer gyakran olyankor is alkalmazhatoacute
ha a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt nem lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes viszont igen joacute koumlzeliacuteteacutessel lineaacuterisnak
tekinthető az adott tartomaacutenyban ezeacutert nem okoz tuacutel nagy hibaacutet az ha lineaacuterisnak vesszuumlk az
oumlsszefuumlggeacutest Ezt termeacuteszetesen az adott probleacutema jellege hataacuterozza meg eacutes csak bizonyos esetekben
hasznaacutelhatoacute Amennyiben keacutet meacutereacutesi pont koumlzoumltti eacuterteacuteket szeretneacutenk meghataacuterozni interpolaacutecioacuteroacutel
beszeacuteluumlnk (laacutesd fent) Ha a meacutereacutesi pontok alapjaacuten egy olyan pontot szeretneacutenk meghataacuterozni mely a
meacutereacutesi tartomaacutenyon kiacutevuumll esik azaz a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten peacuteldaacuteul x = 150 eseteacuten szeretneacutenk
meghataacuterozni y eacuterteacutekeacutet extrapolaacutecioacuteroacutel van szoacute Figyelem Miacuteg az interpolaacutecioacute a linearitaacutes
felteacutetelezeacuteseacutevel helyes eredmeacutenyt ad az extrapolaacutecioacute gyakran vezet olyan eredmeacutenyhez mely nem
felel meg a valoacutesaacutegnak Ennek oka hogy attoacutel hogy egy bizonyos tartomaacutenyban joggal
alkalmazhatunk lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest gyakran maacutes tartomaacutenyokban maacuter nagy hibaacutet okozhat a lineaacuteris
viselkedeacutestől valoacute elteacutereacutes Erre egy szemleacuteletes peacuteldaacutet mutat az alaacutebbi aacutebra
1151 aacutebra Az extrapolaacutecioacute hibaacutei
20 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az x = 40 hellip 50 tartomaacutenyban az oumlsszefuumlggeacutes lineaacuterisnak tekinthető tehaacutet peacuteldaacuteul az
x = 42 vagy x = 46 pontokban viszonylag pontosan becsuumllhetjuumlk y eacuterteacutekeacutet Aacutem ha az x = 40 eacutes x = 50
pontok alapjaacuten proacutebaacutelunk extrapolaacutelni x = 10 eacuterteacutekre a piros sziacutenű egyenes alapjaacuten (lineaacuteris fuumlggveacutenyt
felteacutetelezve) igen nagy hibaacutet koumlvetuumlnk el
A lineaacuteris interpolaacutecioacutet legszemleacuteletesebben egy peacutelda alapjaacuten eacuterthetjuumlk meg
17 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet vizes oldataacutenak a sűrűseacutege eacutes az oldat toumlmeg-os oumlsszeteacutetele koumlzoumltt
gyakorlatilag lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes Az alaacutebbi taacuteblaacutezat kuumlloumlnboumlző toumlmeg-os oumlsszeteacutetelű
magneacutezium-szulfaacutet-oldatok sűrűseacutegeacutet tartalmazza 20 degC hőmeacuterseacutekleten Becsuumlljuumlk meg lineaacuteris
interpolaacutecioacuteval a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutegeacutet
MgSO4-tartalom
(toumlmeg)
sűrűseacuteg
(gcm3)
6 10602
10 11034
14 11484
18 11955
Megoldaacutes
Az első leacutepeacutes megkeresni hogy mely pontok koumlzoumltt ceacutelszerű az interpolaacutecioacutet veacutegezni azaz meg kell
aacutellapiacutetani mely meacutereacutesi pontok koumlzeacute esik a keacuterdeacuteses pont A 11 toumlmeg-os oldat a 10 eacutes a 14 toumlmeg-
os oldat oumlsszeteacutetele koumlzeacute esik tehaacutet ebben az intervallumban ceacutelszerű a lineaacuteris interpolaacutecioacutet
elveacutegezni (Elvileg ugyan maacutes pontok koumlzoumltt is tudnaacutenk veacutegezni interpolaacutecioacutet aacutem a legszűkebb
intervallumot ceacutelszerű kivaacutelasztani mert a linearitaacutes felteacutetelezeacutese itt a leghelytaacutelloacutebb)
Lineaacuteris interpolaacutecioacute eseteacuten az y mennyiseacuteget (a sűrűseacuteget) x mennyiseacuteg (a MgSO4-tartalom
toumlmeg-ban) fuumlggveacutenyeacuteben a koumlvetkező oumlsszefuumlggeacutessel iacuterhatjuk le
y = a middot x + b
Az alaacutebbi diagramon laacutethatoacutek a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 14 toumlmeg-os (x2) oumlsszeteacutetelhez tartozoacute
pontok (a megfelelő sűrűseacutegek rendre y1 eacutes y2) illetve a keacuterdeacuteses sűrűseacuteg (y) a 11 toumlmeg-os pontban
(melyet a viacutezszintes tengelyen x-nek roumlvidiacutetettuumlnk)
1152 aacutebra Az oldat sűrűseacutege a toumlmegszaacutezaleacutek fuumlggveacutenyeacuteben
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 21
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Tehaacutet az (x1 y1) eacutes (x2 y2) pontok koumlzeacute behuacutezott egyenes meredekseacutege
12
12
xx
yy
x
ya
Mivel a noumlvekmeacutenyek (Γy eacutes Γx) koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn az bdquoardquo meredekseacuteg
ugyanakkora a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 11 toumlmeg-os (x) oumlsszeteacutetel eseteacuten is mint ahogyan a
koumlvetkező aacutebraacuten is laacutethatoacute
1153 aacutebra A sűrűseacuteg szaacutemiacutetaacutesa interpolaacutecioacuteval
Azaz feliacuterhatoacute ismeacutet hogy Γy eacutes Γx araacutenya aacutellandoacute meacuteghozzaacute a fenti bdquoardquo eacuterteacutek
1
1
xx
yy
x
ya
Mivel az bdquoardquo meredekseacuteg mindkeacutet esetben ugyanakkora feliacuterhatjuk a koumlvetkező kifejezeacutest
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
x
ya
Ezt a keacutepletet eacuterdemes megjegyezni aacutem ha nem megy olyan koumlnnyedeacuten akkor a fenti
gondolatmenettel baacutermikor igen koumlnnyen eljuthatunk hozzaacute Mivel a fenti egyenletben csupaacuten az y az
ismeretlen koumlnnyen kifejezhető
11
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Behelyettesiacutetve a keacutepletbe x x1 x2 y1 eacutes y2 eacuterteacutekeacutet (meacuterteacutekegyseacutegek neacutelkuumll)
1147111465110341)1011(1014
1034114841y)xx(
xx
yyy 11
12
12
Tehaacutet a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege 11147 gcm3
22 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Megjegyzeacutes ugyanehhez az eredmeacutenyhez eljuthatunk kicsit maacutes uacuteton is Az alaacutebbi aacutebraacuten bejeloumllt
keacutet haacuteromszoumlg hasonloacute egymaacuteshoz iacutegy az oldalaik araacutenya is aacutellandoacute
1154 aacutebra Az interpolaacutecioacute szemleacutelteteacutese hasonloacute haacuteromszoumlgekkel
18 peacutelda
Egy kiacuteseacuterlet soraacuten megmeacutertuumlk egy ismeretlen magneacutezium-szulfaacutet oldat sűrűseacutegeacutet mely 11600 gcm3-
nek adoacutedott Lineaacuteris interpolaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel aacutellapiacutetsuk meg az oldat magneacutezium-szulfaacutet-tartalmaacutet
toumlmeg-ban A feladat megoldaacutesaacutehoz hasznaacuteljuk az előző peacuteldaacuteban megadott taacuteblaacutezatot
Megoldaacutes
A lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes lehetőseacuteget terem arra hogy a sűrűseacuteg (y) ismereteacuteben az ismeretlen toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelt (x) is meghataacuterozhassuk Mivel az 11600 gcm3 sűrűseacuteg-eacuterteacutek a 11484 eacutes 11955 gcm3
eacuterteacutekek koumlzoumltt talaacutelhatoacute a 14 eacutes 18 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelhez tartozoacute pontok koumlzt kell interpolaacutelni Az
előző peacuteldaacuteban megismert oumlsszefuumlggeacutest kell alkalmaznunk
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
Ebből most x-et kell kifejeznuumlnk x1 x2 y1 y2 eacutes y fuumlggveacutenyeacuteben
1
12
121
12
1211 x
yy
xx)yy(x
yy
xx)yy(xx
Behelyettesiacutetve a megfelelő eacuterteacutekeket
159814141484119551
1418)1484116001(x
yy
xx)yy(x 1
12
121
Tehaacutet az 11600 gcm3 sűrűseacutegű magneacutezium-szulfaacutet-oldat koumlruumllbeluumll 15 toumlmeg-os
Mint emliacutetettuumlk az extrapolaacutecioacute soraacuten mindig fokozott figyelemmel kell eljaacuterni mivel gyakran
előfordul hogy az extrapolaacutelt eacuterteacutek nem joacute becsleacutese a valoacutedi eacuterteacuteknek Koumlvetkezzen egy peacutelda az
extrapolaacutecioacutera
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 23
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
19 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet-oldatra bemutatott 6 eacutes 10 toumlmeg-os adatok alapjaacuten extrapolaacuteljunk 0 toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelre
Megoldaacutes
Az előzőekhez hasonloacutean 6 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelneacutel (x1) a sűrűseacuteg 10602 gcm3 (y1) 10 toumlmeg
(x2) eseteacuten pedig 11034 gcm3 (y2) A feladat megbecsuumllni a sűrűseacuteget (y) 0 toumlmeg (x) eseteacuten
Ismeacutetelten ceacutelszerű egy aacutebraacutet keacutesziacuteteni a megoldaacuteshoz
1155 aacutebra Peacutelda a lineaacuteris extrapolaacutecioacutera
Az előző feladatok megoldaacutesaacutehoz hasonloacutean feliacuterhatjuk az egyes pontokat oumlsszekoumltő egyenesek
meredekseacutegeacutet eacutes a keacutet meredekseacutegnek meg kell egyeznie
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
x
ya
Kifejezve y-t x fuumlggveacutenyeacuteben
11
12
1211
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyyy)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Eacuterdemes megfigyelni hogy a kapott kifejezeacutes ugyanaz mint amit az interpolaacutecioacutenaacutel kaptunk
Behelyettesiacutetve az eacuterteacutekeket
9954006021)60(610
0602110341y)xx(
xx
yyy 11
12
12
A desztillaacutelt viacutez sűrűseacutege 4 degC-on 1000 grammcm3 20 degC-on pedig 0998 grammcm
3 iacutegy az
extrapolaacutecioacuteval kapott 09954 grammcm3 eacuterteacutek igen joacutel koumlzeliacuteti a valoacutedi eacuterteacuteket Ebből arra
koumlvetkeztethetuumlnk hogy a magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege eacutes oumlsszeteacutetele koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes igen
Gyakran előfordul hogy egy egyenlet megoldaacutesaacutera nem ismeruumlnk megfelelő bdquokeacutepletetrdquo sőt nem ritka
hogy egy egyenletet csak koumlzeliacutetőleg tudunk megoldani Ebben a reacuteszben bemutatunk egy egyszerű
moacutedszert melynek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megoldhatunk kuumlloumlnfeacutele egyenleteket
110 peacutelda
Oldjuk meg koumlzeliacutetőleg a koumlvetkező egyenletet
0xlgx
Megoldaacutes
Az egyenletet a pozitiacutev szaacutemok halmazaacuten kell megoldanunk
Hozzuk az egyenletet a koumlvetkező formaacutera
x = f(x)
Erre keacutet lehetőseacuteguumlnk van azaz
A) xlgx
x10x xA 10)x(f
B) xlgx
22 )x(lg)xlg(x xlg)x(f 2B
Ezutaacuten proacutebaacuteljuk megoldani az egyenletet az A) illetve B) uacuteton Vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0
eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0 = 05 ezutaacuten x0 eacuterteacutekeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuten aacutelloacute kifejezeacutesbe
melynek eredmeacutenye x1 = f(x0) lesz Ezutaacuten x1-et behelyettesiacutetjuumlk a jobb oldali kifejezeacutesbe eacutes
megkapjuk x2 = f(x1) eacuterteacutekeacutet majd ezt ismeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuteba eacutes iacutegy tovaacutebb
Ha az egyenlet megoldhatoacute ezzel a moacutedszerrel azt kell tapasztalnunk hogy az egymaacutest koumlvető x0
x1 = f(x0) x2 = f(x1) x3 = f(x2) hellip xi+1 = f(xi) hellip eacuterteacutekeknek koumlzeledniuumlk kell a megoldaacuteshoz mely
iacutegy tetszőleges pontossaacuteggal kiszaacutemiacutethatoacute Most neacutezzuumlk ezt meg az adott peacuteldaacuten
A)
x0 = 05 x0 = 05000
x1 = 50000x
1010 0 x1 asymp 01363
x2 = 19630x
1010 1 x2 asymp 03605
x3 = 36050x
1010 2 x3 asymp 02509
x4 = 25090x
1010 3 x4 asymp 03156
x5 = 31560x
1010 4 x5 asymp 02743
x6 = 27430x
1010 5 x6 asymp 02994
x7 = 29940x
1010 6 x7 asymp 02837
x8 = 28370x
1010 7 x8 asymp 02933
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 25
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x9 = 29330x
1010 8 x9 asymp 02873
x10 = 28730x
1010 9 x10 asymp 02910
x11 = 29100x
1010 10 x11 asymp 02887
x12 = 28870x
1010 11 x12 asymp 02902
x13 = 29020x
1010 12 x13 asymp 02893
x14 = 28930x
1010 13 x14 asymp 02898
x15 = 28980x
1010 14 x15 asymp 02895
x16 = 28950x
1010 15 x16 asymp 02897
x17 = 28970x
1010 16 x17 asymp 02896
x18 = 28960x
1010 17 x18 asymp 02896
x19 = 28960x
1010 18 x19 asymp 02896
Mint laacutetjuk az eredmeacutenyek egy adott eacuterteacutekhez koumlzeliacutetenek eacutes ez az eacuterteacutek eacuteppen az egyenlet
megoldaacutesa
1161 aacutebra Az eredmeacutenyek konvergenciaacuteja
Az eredmeacutenyekből szeacutepen laacutetszik hogy mineacutel toumlbbszoumlr veacutegezzuumlk el a behelyettesiacuteteacutest egyre
pontosabban kapjuk meg az egyenlet eredmeacutenyeacutet Ha keacutet tizedesjegy pontossaacuteggal szeretneacutenk
megoldani az egyenletet akkor eleacuteg csak a 8 leacutepeacutesig folytatni ha az eredmeacutenyre haacuterom tizedesjegy
pontossaacutegra vagyunk kiacutevaacutencsiak a 14 leacutepeacutesig kell folytatnunk az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest Az egyenlet
pontos megoldaacutesa heacutet eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal 02896232
Megjegyzendő hogy a moacutedszer gyorsasaacutega termeacuteszetesen fuumlgg a kiindulaacutesi x0 eacuterteacutek kivaacutelasztaacutesaacutetoacutel
Az eljaacuteraacutest grafikusan az alaacutebbi animaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel szemleacuteltethetjuumlk
26 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1161 animaacutecioacute Az iteraacutecioacute
1162 aacutebra Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutes szemleacutelteteacutese
B)
Az előzőekhez hasonloacutean legyen a kiindulaacutesi eacuterteacutek x0 = 05
x0 = 05 x0 asymp 05000
x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906
x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874
x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013
x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837
x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431
x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055
x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090
x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017
x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)
2 x9 asymp 00897
x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965
x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016
x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 27
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972
x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097
x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555
x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697
x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867
x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311
Mint ahogyan a fenti eacuterteacutekeket aacutebraacutezolva laacutethatjuk az eredmeacutenyek nem tartanak egy adott
eacuterteacutekhez
1163 aacutebra A nem megfelelő fuumlggveacutenykapcsolat koumlvetkezmeacutenye
A feladatot iacutegy a B) uacuteton nem tudjuk megoldani a megoldaacutes csak az A) uacuteton lehetseacuteges Annak
magyaraacutezataacutehoz hogy mieacutert csak az egyik uacuteton jutottunk el a veacutegeredmeacutenyhez felsőbb matematikai
eszkoumlzoumlk is szuumlkseacutegesek ezeacutert ezzel a keacuterdeacutessel itt nem foglalkozunk reacuteszletesen Amennyiben egy
aacutetalakiacutetaacutesi moacuted nem vezet megoldaacuteshoz eacuterdemes megproacutebaacutelni az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest a fuumlggveacuteny
inverzeacutevel is
111 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
x3 + 4 middot x2 minus 1 = 0
Megoldaacutes
Egy harmadfokuacute fuumlggveacutenynek egy kettő vagy haacuterom gyoumlke lehetseacuteges A g(x) = x3 + 4 middot x2 minus 1
fuumlggveacutenyt aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
Mint a fenti aacutebraacuteboacutel laacutethatoacute a g(x) fuumlggveacutenynek haacuterom zeacuteruspontja van iacutegy a g(x) = 0
egyenletnek haacuterom megoldaacutesa van A grafikus megoldaacutesboacutel annyit megaacutellapiacutethatunk hogy egy gyoumlk
x = minus4 koumlrnyezeteacuteben egy maacutesik x = minus05 koumlrnyezeteacuteben miacuteg a harmadik x = 05 koumlrnyezeteacuteben
talaacutelhatoacute
Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacuteshoz x = f(x) alakra kell hozni az egyenletet Erre toumlbb lehetőseacuteg is van
A)
3 2x41x
Az előző feladat megoldaacutesaacutenak mintaacutejaacutera vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0 eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0=10
(baacutermely maacutes szaacutem is lehetne) Az iteraacutecioacute első 32 leacutepeacuteseacutenek xn eacuterteacuteke a leacutepeacutesszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben a
Az alaacutebbiakban a legfontosabb siacutekidomok keruumlleteacutenek (K) eacutes teruumlleteacutenek (T) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Haacuteromszoumlg
cbaK
2
sinba
2
maT a
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a haacuteromszoumlg oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo
oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Trapeacutez
dcbaK
30 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
m2
caT
bdquoardquo eacutes bdquocrdquo a trapeacutez paacuterhuzamos oldalai m a keacutet paacuterhuzamos oldal koumlzoumltti taacutevolsaacuteg azaz a trapeacutez
magassaacutega bdquocrdquo eacutes bdquodrdquo a trapeacutez szaacuterai
Paralelogramma
)ba(2K
sinbambmaT ba
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a paralelogramma oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg mb az a oldalhoz
tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Teacuteglalap
)ba(2K
baT
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a teacuteglalap oldalai
Neacutegyzet
a4K
2aT
bdquoardquo a neacutegyzet oldala
Deltoid
)ba(2K
fe2
1T
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a deltoid oldalai bdquoerdquo eacutes bdquofrdquo a deltoid aacutetloacutei
Rombusz
a4K
sinamaT 2a
bdquoardquo a rombusz oldala ma a magassaacutega α pedig a rombusz keacutet egymaacutes melletti oldala aacuteltal bezaacutert
szoumlg
Koumlr
dr2K
22 d4
1rT
bdquorrdquo a koumlr sugara bdquodrdquo a koumlr aacutetmeacuterője
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 31
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Haacuteromszoumlg
cbaK 2
sinba
2
maT a
Trapeacutez
dcbaK m2
caT
Paralelogramma
)ba(2K sinbambmaT ba
Teacuteglalap
)ba(2K baT
Neacutegyzet
a4K 2aT
Deltoid
)ba(2K fe
2
1T
Rombusz
a4K sinamaT 2a
Koumlr
dr2K 22 d4
1rT
118 Testek felsziacutene eacutes teacuterfogata
Az alaacutebbiakban a legfontosabb testek felsziacuteneacutenek (A) eacutes teacuterfogataacutenak (V) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Teacuteglatest
)acbcab(2A
32 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
cbaV
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a teacuteglatest eacutelei
Kocka
2a6A
3aV
bdquoardquo a kocka eacutele
Egyenes koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2
hd4
1hrV 22
bdquorrdquo az alapkoumlr sugara bdquodrdquo az alapkoumlr aacutetmeacuterője bdquohrdquo a henger magassaacutega
Goumlmb
22 dr4A
33 d6
1r
3
4V
bdquorrdquo a goumlmb sugara bdquodrdquo a goumlmb aacutetmeacuterője
Teacuteglatest
)acbcab(2A cbaV
Kocka
2a6A 3aV
Egyenes
koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2 hd4
1hrV 22
Goumlmb
22 dr4A 33 d6
1r
3
4V
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 33
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
12 Fizikai alapismeretek
121 SI-alapmennyiseacutegek meacuterteacutekegyseacutegeik eacutes gyakori jeloumlleacuteseik
Hosszuacutesaacuteg
Jele ℓ (longitudo hosszuacutesaacuteg) s (taacutevolsaacuteg uacutet)
Meacuterteacutekegyseacutege meacuteter ( metrum ndash latin metron ndash goumlroumlg meacuterteacutek) roumlvidiacuteteacutese m
Toumlmeg
Jele m (massa)
Meacuterteacutekegyseacutege kilogramm ( kilo + gramma ndash goumlroumlg kis toumlmeg) roumlvidiacuteteacutese kg
Idő
Jele t (tempus)
Meacuterteacutekegyseacutege maacutesodperc vagy szekundum ( secunda ndash latin kis reacutesz) roumlvidiacuteteacutese s
Aacuteramerősseacuteg
Jele I (intensitas)
Meacuterteacutekegyseacutege amper ( Andreacute-Marie Ampegravere) roumlvidiacuteteacutese A
Hőmeacuterseacuteklet
Jele T (temperare)
Meacuterteacutekegyseacutege kelvin ( William Thomson Kelvin) roumlvidiacuteteacutese K
Energia a munkaveacutegző keacutepesseacuteg Az energia bdquoeltaacuterolt munkardquo mely megfelelő koumlruumllmeacutenyek
koumlzoumltt munkaacutevaacute alakiacutethatoacute Az energia kuumlloumlnfeacutele formaacutekban jelenik meg peacuteldaacuteul beszeacutelhetuumlnk
mechanikai (mozgaacutesi helyzetihellip) termikus elektromos stb Az energia a rendszer egy aacutellapotaacutet iacuterja
le a munka pedig az aacutellapotok koumlzoumltti vaacuteltozaacutest
Jele E ( energy ndash angol)
Meacuterteacutekegyseacutege ugyanaz mint a munkaacutenak J (joule) 1 J = 1 Nmiddotm = 1 kgmiddotm2middotsminus2
Teljesiacutetmeacuteny a munka eacutes az munkaveacutegzeacutes időtartamaacutenak haacutenyadosa egyseacutegnyi idő alatt veacutegzett
munka a munkaveacutegzeacutes sebesseacutege
Jele P ( power ndash angol)
t
WP
Meacuterteacutekegyseacutege W (watt) 1 W = 1 Js = 1 (kgmiddotm2s2)s = 1 kgmiddotm2s3 = 1 kgmiddotm2middotsminus3
s
F
Fs
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 37
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hataacutesfok a hasznos munka eacutes az oumlsszes befektetett munka haacutenyadosa vagy maacuteskeacuteppen a
hasznos teljesiacutetmeacuteny eacutes az oumlsszes befektetett teljesiacutetmeacuteny haacutenyadosa
Jele ε
ouml
h
W
W
ouml
h
P
P
Wh hasznos munka Wouml befektetett munka Ph hasznos teljesiacutetmeacuteny Pouml befektetett teljesiacutetmeacuteny
Dimenzioacutementes szaacutem eacuterteacuteke 0 le ε le 1
124 Elektromossaacutegtan
Toumllteacutes az elemi toumllteacutesnek valahaacutenyszorosa
Jele Q
Meacuterteacutekegyseacutege C (coulomb) 1 C = 1 Amiddots
Az elektron toumllteacutese q = 1602middot10minus19 C Az elektoron toumllteacuteseacutet negatiacutevnak a protoneacutet pedig
pozitiacutevnak tekintjuumlk
Coulomb toumlrveacutenye keacutet pontszerű toumllteacutes koumlzoumltt hatoacute erő egyenesen araacutenyos a toumllteacutesekkel eacutes
fordiacutetottan araacutenyos a toumllteacutesek koumlzoumltti taacutevolsaacuteg neacutegyzeteacutevel Keacutet azonos előjelű toumllteacutes (++ illetve minusminus)
F erő Q1 eacutes Q2 toumllteacutes r a keacutet toumllteacutes koumlzoumltti taacutevolsaacuteg k araacutenyossaacutegi teacutenyező melynek eacuterteacuteke
899 ∙ 109 Nm2C2
1241 aacutebra Coulomb toumlrveacutenye
Aacuteramerősseacuteg az időegyseacuteg alatt aacutethaladt toumllteacutesek mennyiseacutege
Jele I ( intensitas ndash angol)
t
QI
Q aacutethaladt toumllteacutes t idő
Meacuterteacutekegyseacutege A (amper) 1 A = 1 Cs = 1 Cmiddotsminus1
38 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Feszuumlltseacuteg a munka eacutes a toumllteacutes haacutenyadosa A feszuumlltseacuteg megadja hogy mennyi munkaacutet veacutegez a
mező egyseacutegnyi toumllteacutesen miacuteg a toumllteacutes az egyik pontboacutel elmozdul a maacutesikba
Jele U
Q
WU
Q toumllteacutes W a Q toumllteacutes egyik pontboacutel a maacutesikba juttataacutesaacutehoz szuumlkseacuteges munka
Meacuterteacutekegyseacutege V (volt) 1 V = 1 JC = 1 kgmiddotm2s2(Amiddots) = 1 kgmiddotm2(Amiddots3) = 1 kgmiddotm2middotAminus1middotsminus3
Ellenaacutellaacutes egy elektromos koumlrben egy fogyasztoacuten eső feszuumlltseacuteg eacutes a rajta aacutetmenő aacuteramerősseacuteg
Ilyenkor az aacuteramforraacutes terheletlen azaz a teljes feszuumlltseacuteg az aacuteramforraacuteson esik
Azonban ha egy fogyasztoacuteval terheljuumlk az aacuteramforraacutest az aacuteramforraacuteson meacutert feszuumlltseacuteg maacuter nem
egyezik meg az elektromotoros erővel hanem annaacutel kisebb lesz Ezt a feszuumlltseacuteget
kapocsfeszuumlltseacutegnek nevezzuumlk (a terhelt aacuteramforraacutes kapcsain meacutert feszuumlltseacuteg) A jelenseacuteg oka hogy
az aacuteramkoumlrben folyoacute aacuteram az aacuteramforraacuteson is aacutetfolyik A toumllteacutesek mozgaacutesaacuteval szemben azonban az
aacuteramforraacutesnak is van ellenaacutellaacutesa ezt belső ellenaacutellaacutesnak nevezzuumlk
1242 aacutebra A belső ellenaacutellaacutes szemleacutelteteacutese
Az aacuteramkoumlrben meacuterhető aacuteramerősseacuteget (I) a fogyasztoacute bdquokuumllsőrdquo ellenaacutellaacutesa (Rk) eacutes az aacuteramforraacutes
belső ellenaacutellaacutesa (Rb) hataacuterozza meg
)RR(IU bk0 bk
0
RR
UI
A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramforraacutes kapcsain meacuterhető feszuumlltseacuteg azaz
b0kk RIURIU
A kapocsfeszuumlltseacuteget az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben aacutebraacutezolva a koumlvetkező diagramot kapjuk
1243 aacutebra A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben
U0
Uk
Rb
Rk
+minus
I
40 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha egy elhanyagolhatoacute ellenaacutellaacutesuacute vezetődarabbal oumlsszekoumltjuumlk az aacuteramforraacutes kivezeteacuteseit a
kapocsfeszuumlltseacuteg zeacuterus eacutes az ilyenkor meacuterhető aacuteramerősseacuteg a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram
b
00
R
UI
Mint ahogyan a fenti diagramon is laacutethatoacute a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram aacuteramerősseacuteg maximumaacutet adja meg
Egyenaacuteram munkaacuteja az aacuteramerősseacuteg a feszuumlltseacuteg eacutes az idő szorzata aacutem az ellenaacutellaacutes
segiacutetseacutegeacutevel toumlbb maacutes moacutedon is meghataacuterozhatoacute
tUIW
I aacuteramerősseacuteg U feszuumlltseacuteg t az elektromos munkaveacutegzeacutes ideje
Meacuterteacutekegyseacutege ndash a toumlbbi munkaacutehoz hasonloacutean ndash joule
A munka koumlnnyen adoacutedik a feszuumlltseacuteg eacutes a toumllteacutesmennyiseacuteg definiacutecioacutejaacuteboacutel
Q
WU tIUQUW
Az ellenaacutellaacutes segiacutetseacutegeacutevel a koumlvetkező keacutepletek adoacutednak
tR
UtU
R
UtUIW
2
illetve tRIt)RI(ItUIW 2
Elektromos teljesiacutetmeacuteny az elektromos teljesiacutetmeacuteny az aacuteramerősseacuteg eacutes a feszuumlltseacuteg szorzatakeacutent
adoacutedik Az ellenaacutellaacutes bevezeteacuteseacutevel ismeacutet tovaacutebbi oumlsszefuumlggeacuteseket kaphatunk
RIR
UUIW 2
2
Az elektromos teljesiacutetmeacuteny meacuterteacutekegyseacutege a watt A fenti oumlsszefuumlggeacutesek koumlzvetlenuumll adoacutednak az
elektromos munka keacutepleteiből (a teljesiacutetmeacuteny munka eacutes a munkaveacutegzeacutes idejeacutenek haacutenyadosa)
125 Hőtan
Hőmeacuterseacutekleti skaacutelaacutek a hőmeacuterseacuteklet meghataacuterozaacutesaacutera toumlbb kuumlloumlnboumlző skaacutelaacutet hasznaacutelhatunk A skaacutelaacutek
nagy reacuteszeacutet tapasztalati uacuteton alakiacutetottaacutek ki meacuteghozzaacute egy kivaacutelasztott alsoacute eacutes felső hőmeacuterseacutekleti eacuterteacutek
koumlzoumltt meghataacuterozott szaacutemuacute egyenletes skaacutelaosztaacutest alkalmazva Itt csak a gyakorlati szempontboacutel
legfontosabb keacutet skaacutelaacutet taacutergyaljuk
Az atomot alkotoacute elemi reacuteszecskeacutek toumlmege eacutes toumllteacutese
Reacuteszecske neve Toumlmeg Toumllteacutes Relatiacutev
toumlmeg
Relatiacutev
toumllteacutes
Atommag Proton (p+) 1672 middot 10minus27 kg 16021 middot 10minus19 C 18355 +1
Neutron (n0) 1674 middot 10minus27 kg 0 18377 0
Elektronburok Elektron (eminus) 9109 middot 10minus31 kg minus16021 middot 10minus19 C 1 minus1
Mint laacutethatoacute a fenti taacuteblaacutezatboacutel a proton eacutes a neutron toumlmege koumlzeliacutetőleg megegyezik az elektron
toumlmege pedig ezekneacutel nagysaacutegrendekkel kisebb (mintegy 1840-ed reacutesze a proton vagy a neutron
toumlmegeacutenek) A neutron semleges a proton eacutes az elektron toumllteacutese abszoluacutet eacuterteacutekben megegyezik aacutem
előjeluumlk ellenteacutetes
Rendszaacutem az atomban talaacutelhatoacute protonok szaacutema
Jele Z
Toumlmegszaacutem az atommagban talaacutelhatoacute protonok eacutes neutronok szaacutemaacutenak az oumlsszege
Jele A
Neutronszaacutem toumlmegszaacutemboacutel levonva a protonok szaacutemaacutet azaz a toumlmegszaacutem eacutes a rendszaacutem
kuumlloumlnbseacutege
Jele N
N = Z minus A
2 Az atomok szerkezete 45
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
(Keacutemiai) elemeknek nevezzuumlk az azonos rendszaacutemmal rendelkező atomokboacutel feleacutepuumllő
anyagokat Az elemeket vegyjeluumlkkel szoktuk azonosiacutetani A vegyjel előtt a toumlmegszaacutemot eacutes a
rendszaacutemot is feltuumlntethetjuumlk ilyenkor rendszerint a bal felső indexbe a toumlmegszaacutemot a bal alsoacute
indexbe a rendszaacutemot iacuterjuk
EAZ
Nuklid azonos rendszaacutemuacute eacutes toumlmegszaacutemuacute atommagokat tartalmazoacute atomok oumlsszesseacutege
Izotoacutep egy elem izotoacutepjainak nevezzuumlk azonos rendszaacutemmal aacutem kuumlloumlnboumlző toumlmegszaacutemmal
rendelkező atomjait (Egy elem kuumlloumlnboumlző neutronszaacutemuacute nuklidjai)
Relatiacutev atomtoumlmeg megmutatja hogy az adott atom toumlmege haacutenyszorosa egy C126 -atom
toumlmegeacutenek 112-ed reacuteszeacuteneacutel
Anyagmennyiseacuteg 1 moacutel az anyagmennyiseacutege 6022 middot 1023 darab reacuteszecskeacutenek
Avogadro-szaacutem egy moacutel reacuteszecske darabszaacutema Eacuterteacuteke 6022 middot 1023 mol
A relatiacutev atomtoumlmeg megadja 1 moacutel elem toumlmegeacutet az adott elem 6022 middot 1023 darab atomjaacutenak
oumlssztoumlmegeacutet
Egy elemek legnagyobb reacutesze toumlbbfeacutele izotoacutep elegye a termeacuteszetes gyakorisaacutegukboacutel adoacutedik a
relatiacutev atomtoumlmeg A relatiacutev atomtoumlmeg kiszaacutemiacutetaacutesaacutenaacutel az egyes izotoacutepok atomtoumlmegeacutet a termeacuteszetes
gyakorisaacutegukkal suacutelyozzuk
Tiszta elem olyan elem mely (a termeacuteszetben) csak egyetlen stabil izotoacutepjaacuteval fordul elő
A kuumlloumlnboumlző izotoacutepok gyakorlatilag toumlkeacuteletesen azonos keacutemiai tulajdonsaacuteggal rendelkeznek A
legnagyobb kuumlloumlnbseacuteg fizikai tulajdonsaacutegokban a hidrogeacuten haacuterom izotoacutepja koumlzoumltt van (itt egyetlen
proton mellett egy vagy keacutet neutron viszonylag nagyobb elteacutereacutest okoz) 1H proacutecium (9998) 2H deuteacuterium (002) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese D 3H triacutecium (radioaktiacutev) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese T
Radioaktivitaacutes a nem stabil atommagok spontaacuten bomlaacutesa A radioaktiacutev bomlaacutest nagy energiaacutejuacute
sugaacuterzaacutes kiacuteseacuteri
A nem stabil magokat szokaacutes radioaktiacutev magoknak is nevezni
A radioaktivitaacutes keacutemiai moacutedszerekkel ndash tehaacutet az elektronszerkezeten keresztuumll ndash nem
befolyaacutesolhatoacute
48 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
23 Az atomok elektronszerkezete
Az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronszerkezetuumlk hataacuterozza meg a keacutemiai vaacuteltozaacutesok az
atommagra nincsenek hataacutessal Az elektronok szaacutema megegyezik a rendszaacutemmal mely az adott
elemre jellemző iacutegy a kuumlloumlnboumlző elemek vaacuterhatoacutean kuumlloumlnboumlző keacutemiai tulajdonsaacutegokkal rendelkeznek
Az elektronok az atomokban atompaacutelyaacutekon helyezkednek el
Atompaacutelya az a teacuterreacutesz ahol az elektron 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute
Az elektron a teacuter baacutermely teacuterreacuteszeacuteben megtalaacutelhatoacute valamilyen valoacutesziacutenűseacuteggel az atompaacutelya
nem jelent eacuteles hataacutert inkaacutebb valoacutesziacutenűseacutegi jellegű
Az atompaacutelyaacutekat egy szaacutem eacutes egy betű kombinaacutecioacutejaacuteval szoktuk jeloumllni peacuteldaacuteul 1s 2px 3dxy
stbhellip
A paacutelyaacutekat teacuterben aacutebraacutezolhatjuk uacutegy hogy megjeleniacutetjuumlk azt a feluumlletet mellyel hataacuterolt
teacuterreacuteszben az elektron megtalaacutelaacutesaacutenak valoacutesziacutenűseacutege 90-os
A kuumlloumlnfeacutele paacutelyaacutek alakjaacutet megfigyelhetjuumlk az alaacutebbi aacutebraacuten
231 aacutebra Kuumlloumlnboumlző atompaacutelyaacutek alakja
A paacutelyaacutek egyik fontos jellemzője a csomoacutesiacutekok szaacutema Csomoacutesiacuteknak nevezzuumlk azt a siacutekot mely
keresztuumllmegy az atommagon eacutes benne az elektron megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege zeacuterus Mint laacutethatoacute az s-
paacutelyaacutenak nincsen csomoacutesiacutekja a p-paacutelyaacuteknak egy csomoacutesiacutekja van a d-paacutelyaacuteknak keacutet csomoacutesiacutekja van eacutes
iacutegy tovaacutebb
Az elektronburok feleacutepuumlleacutese
Mint a koraacutebbiakban is emliacutetettuumlk az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronburok feleacutepiacuteteacutese az
elektronszerkezet hataacuterozza meg Ezeacutert rendkiacutevuumll fontos az elektronszerkezet feleacutepuumlleacuteseacutet viszonylag
reacuteszletesen taacutergyalnunk Az aacuteltalaacutenos keacutemia ezen reacutesze viszonylag bonyolult viszont a fontos
alapfogalmak elsajaacutetiacutetaacutesa utaacuten eacuterdekes toumlrveacutenyszerűseacutegeket ismeruumlnk majd meg
Vegyuumlnk egy tetszőleges atommagot eacutes koumlzeliacutetsuumlnk hozzaacute egy elektront Az elektron a
legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacutera keruumll eacutes ezt energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri (Megjegyzendő hogy
a felszabaduloacute energia nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket) A legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutet 1s
paacutelyaacutenak nevezzuumlk Egy maacutesodik elektron koumlzeliacutetve az iacutegy keletkezett bdquoegyelektronosrdquo rendszerhez
szinteacuten egy atompaacutelyaacutera keruumllt melyet ismeacutet energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuter A maacutesodik elektron ndash az
elsőhoumlz hasonloacutean ndash az 1s paacutelyaacutera keruumll eacutes az energiafelszabadulaacutes is megegyezik az első elektron
koumltődeacuteseacuteneacutel tapasztalttal Ha ehhez a bdquokeacutetelektronosrdquo rendszerhez egy uacutejabb elektront adunk az maacuter
nem keruumllhet a legalacsonyabb energiaacutejuacute 1s paacutelyaacutera mivel az atompaacutelyaacutekon maximaacutelisan keacutet elektron
foglalhat helyet (Most ezt fogadjuk el teacutenykeacutent ndash a kiegeacutesziacutető anyagkeacutent taacutergyalandoacute ndash aacuteltalaacutenosan
megfogalmazott Pauli-elv koumlvetkezmeacutenye) A harmadik elektron iacutegy a 2s paacutelyaacutera keruumll Egy negyedik
elektront meacuteg mindig el tudunk helyezni a 2s paacutelyaacuten aacutem az oumltoumldik elektronnak maacuter az egyik 2p
paacutelyaacutera kell keruumllnie (mivel paacutelyaacutenkeacutent maximum keacutet elektron foglalhat helyet) Meacuteg mielőtt tuacutelzottan
belebonyoloacutednaacutenk a paacutelyaacutek szaacutemozaacutesaacuteba eacutes sorrendjeacutebe eacuterdemes oumlsszefoglalnunk a fentieket
2 Az atomok szerkezete 49
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
ndash Energiaminimumra toumlrekveacutes az elektron mindig a legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektront lehet elhelyezni
A paacutelyaacutekat az elektronokkal szokaacutes az alaacutebbi cellaacutes jeloumlleacutessel jeloumllni
Paacutelya elektron neacutelkuumll
(uumlres paacutelya)
Paacutelya egy elektronnal
(feacutelig betoumlltoumltt paacutelya)
Paacutelya keacutet elektronnal
(betoumlltoumltt paacutelya)
Alapaacutellapotuacute atom minden elektron a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacuten helyezkedik el
Gerjesztett atom az atommal energiaacutet koumlzoumllve egy vagy toumlbb elektron magasabb energiaacutejuacute
paacutelyaacutera keruumll (Meacuteg mindig koumltődik az atomhoz nem szakad le roacutela)
Az atompaacutelyaacutek alheacutejakat az alheacutejak pedig elektronheacutejakat alkotnak
Az alheacutejat a paacutelya megjeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute betű jeloumlli peacuteldaacuteul lehetseacuteges p-alheacutej d-alheacutej stb Egy
alheacutejon beluumll ugyanolyan tiacutepusuacute eacutes azonos (vagy hasonloacute) meacuteretű paacutelyaacutek talaacutelhatoacuteak aacutem ezeknek a
Egy adott alheacutejon beluumll az elektronok energiaacuteja azonos tehaacutet a 2px 2py eacutes a 2pz paacutelyaacutekon talaacutelhatoacute
elektronoknak ugyanakkora (ugyanolyam meacutely) az energiaacuteja
Az elektronheacutejat pedig a paacutelya jeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute szaacutem mutatja meg az elektronheacutej bdquomeacutereteacutevelrdquo
van kapcsolatban az 1 heacutej van a legkoumlzelebb az atommaghoz a 2 heacutej enneacutel kijjebb talaacutelhatoacute eacutes iacutegy
tovaacutebb Tehaacutet a heacutej sorszaacutema az atommagtoacutel valoacute taacutevolsaacutegot jelenti
A heacutejakon beluumll alheacutejak talaacutelhatoacuteak Peacuteldaacuteul az 1 heacutej egyetlen alheacutejboacutel (1s) aacutell mely csupaacuten egy
paacutelyaacutet tartalmaz (1s) a 2 heacutej keacutet alheacutejboacutel aacutell a 2s-alheacutej eacutes a 2p-alheacutej alkotja A legalacsonyabb
energiaacutejuacute heacutejat K heacutejnak a toumlbbit pedig rendre L M N O hellip heacutejaknak nevezzuumlk
Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk kuumlloumlnboumlző bdquofajtardquo kuumlloumlnboumlző alakuacute paacutelyaacutekat az egyes tiacutepusuacute atompaacutelyaacutek
darabszaacutemaacutet pedig a paacuteratlan egeacutesz szaacutemok adjaacutek meg (1 3 5 7 9 hellip)
ndash s-paacutelya heacutejankeacutent egy s-paacutelya lehetseacuteges ez az egy paacutelya alkotja az s-alheacutejat
ndash p-paacutelya heacutejankeacutent haacuterom p-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a p-alheacutejat
ndash d-paacutelya heacutejankeacutent oumlt d-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a d-alheacutejat
ndash f-paacutelya heacutejankeacutent heacutet f-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek az f-alheacutejat
Mint laacutethatoacute az s-alheacutej kiveacuteteleacutevel egy alheacutejon beluumll toumlbb paacutelya is talaacutelhatoacute a paacutelyaacuteknak toumlbbfeacutele
iraacutenyultsaacutega van a px py eacutes pz paacutelyaacutek egy dereacutekszoumlgű (Descartes-feacutele) teacuterbeli koordinaacutetarendszer
Tehaacutet mindig legelőszoumlr az 1s alheacutej toumlltődik be majd a 2s ezutaacuten a 2p Tovaacutebbi elektront a 3s
alheacutejra tudunk elhelyezni ezutaacuten a 3p alheacutej koumlvetkezik Eddig a sorrend megegyezik azzal mint amire
a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten szaacutemiacutetanaacutenk Aacutem a taacuteblaacutezat szerint koumlvetkező 3d alheacutej energiaacuteja magasabb
mint a 4s alheacutejeacute ezeacutert az elektron inkaacutebb arra keruumll Neheacutez pontos magyaraacutezatot adni arra hogy ez
mieacutert van ezeacutert egyszerűen csak fogadjuk el
Az alheacutejak fentebb bemutatott betoumlltődeacutesi sorrendje az alaacutebbi aacutebraacuten koumlnnyen nyomon koumlvethető
233 aacutebra Az alheacutejak betoumllteacutesi sorrendje
3px 3py 3pz3s
3p-alheacutej3s-alheacutej
3 (M) heacutej
3d-alheacutej
3dxy 3pyz 3pxz 3px minusy 3pz 2 22
1s
2s
3s
4s
5s
2p
3p
4p
5p
3d
4d
5d
4f
6s 6p
1 (K)
2 (L)
3 (M)
4 (N)
5 (O)
6 (P)
52 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Termeacuteszetesen a paacutelyaacutek betoumlltődeacutese addig tart amiacuteg rendelkezeacutesre aacutell elektron Mindig
figyelembe kell vennuumlnk hogy
ndash az s-alheacutejon 1 paacutelya
ndash a p-alheacutejon 3 paacutelya
ndash a d-alheacutejon 5 paacutelya
ndash az f-alheacutejon 7 paacutelya
talaacutelhatoacute eacutes hogy minden paacutelyaacuten maximaacutelisan keacutet elektron helyezkedhet el
Oumlsszefoglalva
ndash az s-alheacutejakra maximaacutelisan 2 elektront
ndash a p-alheacutejakra maximaacutelisan 6 elektront
ndash a d-alheacutejakra maximaacutelisan 10 elektront
ndash az f-alheacutejakra maximaacutelisan 14 elektront
helyezhetuumlnk
Ezeacutert szokaacutes a betoumlltődeacutesi energiasorrendet az alaacutebbi moacutedon is jeloumllni
1s2 rarr 2s
2 rarr 2p6 rarr 3s
2 rarr 3p6 rarr
rarr 4s2 rarr 3d
10 rarr 4p6 rarr 5s
2 rarr 4d10 rarr
rarr 5p6 rarr 6s
2 rarr 4f14
rarr 5d10 rarr 6p
6 hellip
Peacuteldaacuteul ha a fluoratom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak a fluor (9F)
rendszaacutemaacutenak megfelelő 9 elektront kell megfelelően elhelyezni Ehhez az 1s paacutelyaacutera helyezuumlnk 2
elektront majd a 2s paacutelyaacutera szinteacuten 2 elektront Ez oumlsszesen 4 elektron meacuteg tovaacutebbi 5 elektront kell
elhelyeznuumlnk Sorrendben a 2p paacutelya koumlvetkezik melyre legfeljebb 6 elektront tudunk elhelyezni iacutegy
a mind az 5 elektron a 2p paacutelyaacutera keruumll
Az elektronok szaacutemaacutet az alheacutejakon a jobb felső indexbe tett szaacutemmal jeloumlljuumlk
A fenti fluoratom elektronjainak alheacutejak koumlzoumltti megoszlaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen iacuterhatjuk le
roumlviden
F 1s2 2s2 2p5
Azaz az 1s eacutes 2s alheacutejakra (paacutelyaacutekra) 2ndash2 elektron miacuteg a 2p paacutelyaacutera 5 elektron keruumll (2ndash2 egy-egy
p-paacutelyaacutera miacuteg a harmadikra csak 1)
Cellaacutes jeloumlleacutessel
Elektronkonfiguraacutecioacute az elektronok paacutelyaacutek szerinti elrendeződeacutese egy atomban
Most pedig vizsgaacuteljuk meg a nitrogeacutenatom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutet
A nitrogeacuten rendszaacutema 7 iacutegy 7 elektronja van Az előzőekhez hasonloacutean 2ndash2 elektront elhelyezuumlnk
az 1s eacutes 2s paacutelyaacutekon A maradeacutek 3 elektront a 2p paacutelyaacuten tudjuk elhelyezni
N 1s2 2s2 2p3
Itt viszont keacutet lehetőseacuteguumlnk van
A) a haacuterom p-paacutelyaacutera keruumll egyndashegyndashegy elektron
B) a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll egyre keacutet elektron keruumll miacuteg egy maacutesikra csak egy a harmadik p-paacutelya
pedig betoumlltetlen marad
1s 2s 2p
2 Az atomok szerkezete 53
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A cellaacutes jeloumlleacutessel a keacutet lehetőseacuteg
A)
B)
A fenti keacutet lehetőseacuteg koumlzuumll csak az egyik felel meg a valoacutesaacutegnak meacutegpedig az A) Tehaacutet egy
alheacutejon beluumll az elektronok lehetőseacuteg szerint paacuterosiacutetatlanul helyezkednek el [azaz a B) esetben csak
egy paacuterosiacutetatlan elektron van miacuteg az A) esetben haacuterom] Ezt Hund-szabaacutelynak nevezzuumlk
Hund-szabaacutely egy atom alheacutejaacuten az elektronok uacutegy helyezkednek el hogy koumlzuumlluumlk mineacutel toumlbb
legyen paacuterosiacutetatlan
Az alapaacutellapotuacute elektronszerkezet kialakulaacutesakor az alaacutebbi toumlrveacutenyszerűseacutegeknek kell
teljesuumllniuumlk
ndash Energiaminiumra toumlrekveacutes az elektron mindig a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera
keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera legfeljebb keacutet elektron keruumllhet
ndash Alheacutejak eseteacuten lehetőseacuteg szerint a legtoumlbb elektron legyen paacuterosiacutetatlan
21 peacutelda
Aacutellapiacutetsuk meg a germaacuteniumatom alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Vegyuumlk sorra hogy melyik alheacutejon haacuteny elektron lehet A jobb oldali oszlopban a betoumlltődeacutesi sorrend
szerint az oumlsszes elektron szaacutemaacutet is feltuumlntettuumlk melyet az adott alheacutej teliacutetődeacuteseacutevel lehetseacuteges eleacuterni
Alheacutejon Oumlsszesen
(betoumlltődeacutes szerint)
1s 2 2
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36
Mivel a germaacuteniumnak 32 elektronja van a 3d alheacutej betoumlltődeacuteseacutevel oumlsszesen 30 elektront tudunk
elhelyezni ezeacutert a 4p alheacutejra is keruumll elektron meacuteghozzaacute 2
Tehaacutet az alapaacutellapotuacute germaacuteniumatom elektronszerkezete
Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2
1s 2s 2p
1s 2s 2p
54 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ellenőrzeacuteskeacutepp eacuterdemes oumlsszeszaacutemolnunk a felső indexben szereplő szaacutemokat az oumlsszegnek meg
kell egyeznie a germaacuteniumatom elektronjainak szaacutemaacuteval
2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32
Mivel a p-alheacutejon 6 elektront lehet elhelyezni a haacuterom p-paacutelyaacuten a maradeacutek keacutet elektronnak a
Hund-szabaacutely eacutertelmeacuteben paacuterosiacutetatlanul kell elhelyezkednie Csak a 4s eacutes 4p-alheacutejat aacutebraacutezolva (az
Az atomot a keacutemiai reaktivitaacutes szempontjaacuteboacutel keacutet reacuteszre (bdquoreacutetegrerdquo) oszthatjuk a kuumllső
vegyeacuterteacutekelektronok vesznek reacuteszt a koumlteacutesek kialakiacutetaacutesaacuteban iacutegy a keacutemiai reakcioacutekban a belsőbb
elektronokra (eacutes az atommagra) viszont nincs hataacutesuk a keacutemiai vaacuteltozaacutesoknak
Vegyeacuterteacutekelektronok vegyeacuterteacutekelektronoknak nevezzuumlk az atom keacutemiai reakcioacutekban reacuteszt vevő
kuumllső elektronjait
Atomtoumlrzs az atommag eacutes azon elektronok melyek nem vegyeacuterteacutekelektronok
A fenti peacuteldaacuteban a germaacuteniumnak oumlsszesen neacutegy vegyeacuterteacutekelektronja van keacutet s eacutes keacutet p elektronja
van a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten Az első (K) a maacutesodik (L) eacutes a harmadik (M) heacutejat lezaacutertnak tekintjuumlk ezek
alkotjaacutek az atomtoumlrzset
A nemesgaacutezok elektronszerkezete igen stabilis keacutemiai reaktivitaacutesuk igen csekeacutely Ennek oka
hogy az s- eacutes p-alheacutejak a nemesgaacutezok eseteacuten vaacutelnak teliacutetetteacute (kiveacuteve a heacuteliumot ahol csak az 1s alheacutej
teliacutetődik) iacutegy a lezaacutert heacutejak kiemelkedő stabilitaacutest biztosiacutetanak A vegyeacuterteacutekelektronokat szoktaacutek uacutegy
emliacuteteni hogy a legfelső lezaacutert heacutejon kiacutevuumll elhelyezkedő elektronok a vegyeacuterteacutekheacutejat pedig mint a
legkuumllső lezaacuteratlan heacutejat Ez a megfogalmazaacutes bizonyos esetekben feacutelreeacuterteacutest okozhat
Peacuteldaacuteul a kalcium (rendszaacutema 20) alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2
Mint laacutetjuk a 3 heacutej meacuteg nem teliacutetett mivel a 3d-alheacutej elektronjai a 4s alheacutej teliacutetődeacutese utaacuten
neacutepesuumllnek be aacutem csak a 4s alheacutej 2 elektronjaacutet tekintjuumlk vegyeacuterteacutekelektronnak
Az elektronkonfiguraacutecioacute jeloumlleacuteseacutet gyakran leroumlvidiacutetjuumlk a koumlvetkező moacutedon megkeressuumlk azt a
legnagyobb rendszaacutemuacute nemesgaacutezt (1He 10Ne 18Ar 36Kr 54Xe 86Rn) melynek rendszaacutema kisebb az
adott elem rendszaacutemaacutenaacutel eacutes csak az elem eacutes a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteget
tuumlntetjuumlk fel
Peacuteldaacuteul a germaacutenium (rendszaacutema 32) elektronkonfiguraacutecioacuteja eseteacuten a legnagyobb naacutela kisebb
rendszaacutemuacute nemesgaacutez a 18-as rendszaacutemuacute argon (Ar) melynek elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
Iacutegy a germaacutenium elektronkonfiguraacutecioacuteja eacutes az argon elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg
A germaacutenium roumlvidiacutetett elektronkonfiguraacutecioacuteja iacutegy
Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2
4s 4p
Ge 1s2 2s
2 2p
6 3s
2 3p
6 4s
2 3d
10 4p
2
Ar
2 Az atomok szerkezete 55
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Eacuterdemes az elektronok feltoumlltődeacuteseacutet az alaacutebbi taacuteblaacutezatos formaacuteban is oumlsszefoglalni
Alheacutejon Oumlsszesen Nemesgaacutez
1s 2 2 2He
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10 10Ne
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18 18Ar
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36 36Kr
5s 2 36 + 2 = 38
4d 10 38 + 10 = 48
5p 6 48 + 6 = 54 54Xe
6s 2 54 + 2 = 56
4f 14 56 + 14 = 70
5d 10 70 + 10 = 80
6p 6 80 + 6 = 86 86Rn
7s 2 86 + 2 =88
5f 14 88 + 14 = 102
6d 10 102 + 10 = 112
7p 6 112 + 6 = 118 118UUo
22 peacutelda
Iacuterjuk fel a 48-es rendszaacutemuacute kadmium elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Tehaacutet 48 elektront kell elhelyeznuumlnk Iacutegy a teljes elektronkonfiguraacutecioacute
Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10
Most hataacuterozzuk meg az elektronkonfiguraacutecioacutet a roumlvidiacutetett leiacuteraacutessal A kriptonban 36 elektron
talaacutelhatoacute (a xenonnak toumlbb elektronja van mint a kadmiumnak) iacutegy a maradeacutek 48minus36 = 12 elektront
kell csak feltuumlntetnuumlnk ezek az 5s eacutes a 4d alheacutejakra keruumllnek
Cd [Kr] 5s2 4d10
Gyakorloacutefeladatok
Iacuterjuk fel az alaacutebbi elemek alapaacutellapotuacute konfiguraacutecioacutejaacutet
a) 38Sr
b) 13Al
c) 34Se
d) 53I
e) 25Mn
f) 36Kr
g) 67Ho
h) 83Bi
i) 95Am
j) 80Hg
Megoldaacutesok
a) [Kr] 5s2
b) [Ne] 3s2 3p1
56 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
c) [Ar] 4s2 3d10 4p4
d) [Kr] 4d10 5s2 5p5
e) [Ar] 4s2 3d5
f) [Ar] 3d10 4s2 4p6
g) [Xe] 4f11 6s2
h) [Xe] 4f14
5d10
6s2 6p
3
i) [Rn] 5f7 7s2
j) [Xe] 4f14 5d10 6s2
24 A kvantumszaacutemok
Az atompaacutelyaacutek illetve az elektronok betoumlltődeacuteseacutenek sorrendje szoros oumlsszefuumlggeacutesben aacutell a
Schroumldinger-egyenletekkel melyek a kvantumkeacutemia legfontosabb alapegyenletei koumlzeacute tartoznak
Mivel ezen egyenletek megeacuterteacutese felsőbb matematikai ismereteket koumlvetel itt nem ismerkeduumlnk meg
veluumlk (keacutesőbbi egyetemi tanulmaacutenyainkban viszont majd igen) azonban neacutehaacuteny fontosabb
koumlvetkezmeacutenyuumlket bemutatjuk A Schroumldinger-egyenletek megoldaacutesai kvantaacuteltak ami azt jelenti
hogy nem vehetnek fel baacutermilyen tetszőleges eacuterteacuteket hanem csak joacutel meghataacuterozott eacuterteacutekűek lehetnek
Egy szemleacuteletes peacutelda a molekulaacutek rezgőmozgaacutesa a molekula atomjait keacutepzeljuumlk el toumlmegpontoknak
melyeket a keacutemiai koumlteacutesek rugoacutekeacutent koumltnek oumlssze Egy nagyon egyszerű keacutetatomos molekula a
dihidrogeacuten (H2) A molekulaacutek ndash iacutegy a dihidrogeacuten is ndash folyamatos rezgőmozgaacutessal rendelkeznek aacutem
ennek frekvenciaacuteja nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket Ha energiaacutet koumlzluumlnk a molekulaacuteval noumlvelhetjuumlk a
rezgeacutes frekvenciaacutejaacutet aacutem nem tetszőleges meacuterteacutekben a rezgeacutes frekvenciaacuteja kvantaacutelt
Egy adott atomban az elektronok energiaszintjei is kvantaacuteltak nem vehetnek fel baacutermilyen
eacuterteacuteket az egyes energiaszintek energiaacuteja meghataacuterozott Az elektronok nem tartoacutezkodhatnak
energiaszintek koumlzoumltt csak adott energiaszinteken Ha az elektront az egyik energiaszintről egy
maacutesikra szeretneacutenk juttatni (gerjeszteni) meghataacuterozott energiaacutet kell koumlzoumllnuumlnk vele A Schroumldinger-
egyenlet alapjaacuten kiszaacutemiacutethatjuk az elektronszintek energiaacutejaacutet ez tartalmaz egy parameacutetert melynek
eacuterteacuteke 1 2 3 stb eacuterteacutekeket vehet fel Ezt a parameacutetert főkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Az elektron
maacutegneses tulajdonsaacutegokkal is rendelkezik melyek szinteacuten kvantaacuteltak Ezeket a tulajdonsaacutegokat a
melleacutekkvantumszaacutem eacutes a maacutegneses kvantumszaacutem hataacuterozza meg aacutem ezek eacuterteacuteke sem lehet
tetszőleges Az elektron rendelkezik egy spinnek nevezett mennyiseacuteggel mely fuumlggetlen a toumlbbi
kvantumszaacutemtoacutel A spin az elektron egy maacutegneses jellemzője az ehhez tartozoacute kvantumszaacutemot
spinkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Mint majd laacutetni fogjuk a spinkvantumszaacutem keacutet ellenteacutetes előjelű aacutem
azonos abszoluacutet eacuterteacutekű szaacutem (minusfrac12 vagy +frac12) lehet
Tehaacutet az atom baacutermely elektronja neacutegy kvantumszaacutemmal jellemezhető
A főkvantumszaacutem (n) eacuterteacuteke 1 2 3 stb pozitiacutev egeacutesz szaacutem lehet eacutes megadja hogy az elektron
haacutenyadik heacutejon van Mineacutel nagyobb n eacuterteacuteke az elektron annaacutel nagyobb sugaruacute paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Tehaacutet
n = 1 eseteacuten tudjuk hogy az elektron az első heacutejon talaacutelhatoacute n = 2 eseteacuten pedig hogy a maacutesodik
elektronheacutejon Az elektron energiaacuteja is fuumlgg a főkvantumszaacutemtoacutel a legalacsonyabb energia n = 1-hez
tartozik
A melleacutekkvantumszaacutem (ℓ) eacuterteacuteke 0 1 hellip nminus1 lehetseacuteges tehaacutet az adott heacutejon (adott n eseteacuten)
n-feacutele kuumlloumlnboumlző melleacutekkvantumszaacutem lehetseacuteges A melleacutekkvantumszaacutem megadja hogy az elektron
az elektronheacutejon beluumll melyik alheacutejon (s p d f hellip) talaacutelhatoacute
Az első elektronheacutejon (n = 1) csak ℓ = 0 lehetseacuteges azaz csak s-alheacutejon lehet az elektron
A maacutesodik elektronheacutejon (n = 2) ℓ eacuterteacuteke lehet 0 vagy 1 Ha ℓ = 0 az elektron az s-alheacutejon van
ha pedig ℓ = 1 az elektron a p-alheacutejon talaacutelhatoacute
A harmadik heacutejon (n = 3) ℓ eacuterteacuteke haacuterom kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel 0 1 vagy 2 Az ℓ = 0 eacuterteacutek
mindig s-alheacutejat jeloumll ℓ = 1 eseteacuten az elektron p-alheacutejon talaacutelhatoacute ha pedig ℓ eacuterteacuteke 2 akkor az
elektronroacutel megaacutellapiacutethatoacute hogy a d-alheacutejon van
A maacutegneses kvantumszaacutem (m) eacuterteacuteke egeacutesz szaacutem lehet minusℓ-től +ℓ-ig terjedőleg (a 0-t is
beleeacutertve) iacutegy (2middotℓ + 1) kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel A maacutegneses kvantumszaacutem adott alheacutej eseteacuten a
2 Az atomok szerkezete 57
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
paacutelyaacutek iraacutenyaacutet adja meg tehaacutet egy adott alheacutej eseteacuten m eacuterteacuteke alapjaacuten meg tudjuk aacutellapiacutetani hogy az
elektron melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul ha ℓ = 0 csak egyetlen eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem m = 0 Az s-alheacutejon
beluumll egyetlen s-paacutelya talaacutelhatoacute ehhez tartozik az m = 0 maacutegneses kvantumszaacutem
Ha ℓ = 1 a p-alheacutejon talaacutelhatoacute az elektron Viszont haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyuacute p-paacutelyaacutet ismeruumlnk
px- py- eacutes pz-paacutelyaacutekat A maacutegneses kvantumszaacutem ℓ = 1 eseteacuten m = minus1 m = 0 eacutes m = +1 lehet a haacuterom
A d-alheacutej azaz ℓ = 2 eseteacuten maacuter oumltfeacutele eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem minus2 minus1 0 +1
eacutes +2 Az oumlt kuumlloumlnboumlző maacutegneses kvantumszaacutem az oumlt kuumlloumlnboumlző d-paacutelyaacutet jeloumlli a d-alheacutejon beluumll
Az f-alheacutej eseteacuten (ℓ = 3) heacutet kuumlloumlnboumlző eacuterteacutek koumlzuumll vehet fel egyet a maacutegneses kvantumszaacutem minus3
minus2 minus1 0 +1 +2 +3 iacutegy az f-alheacutejon beluumll heacutet paacutelya kuumlloumlnboumlztethető meg
A spinkvantumszaacutem (ms) eacuterteacuteke +frac12 vagy minusfrac12 lehet Egy adott paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron
keruumllhet ezek mindig ellenteacutetes spinkvantumszaacutemmal rendelkeznek Az elektronok cellaacutes jeloumlleacuteseacuteneacutel a
Tehaacutet ha ismerjuumlk egy elektron mind a neacutegy kvantumszaacutemaacutet akkor tudjuk hogy melyik heacutejon (n)
azon beluumll melyik alheacutejon (ℓ) van eacutes azt is ismerjuumlk hogy az alheacutejon beluumll melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
(m) Az adott paacutelyaacuten talaacutelhatoacute keacutet elektront a spinkvantumszaacutem (ms) kuumlloumlnboumlzteti meg
Egy adott atomban azon elektronok melyek csupaacuten spinkvantumszaacutemukban kuumlloumlnboumlznek egy
elektronpaacutert alkotnak
Tehaacutet egy atomban minden egyes elektron bdquobeazonosiacutethatoacuterdquo a neacutegy kvantumszaacutem segiacutetseacutegeacutevel
Egy nagyon fontos megaacutellapiacutetaacutes hogy egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet Ez a Pauli-
elvvel van oumlsszefuumlggeacutesben
Pauli-elv egy atomban nem lehet keacutet (vagy toumlbb) olyan elektron melynek mind a neacutegy
kvantumszaacutema azonos
A kvantumszaacutemok egy oumlsszetett fizikai elmeacutelet igen bonyolult matematikai oumlsszefuumlggeacutesekkel
megkapott eredmeacutenyei melyek segiacutetseacutegeacutevel megmagyaraacutezhatoacute a heacutejakndashalheacutejakndashpaacutelyaacutek rendszere iacutegy
az atom elektronheacutejaacutenak szerkezete Mint hamarosan laacutetjuk az elemek perioacutedusos rendszereacutenek
feleacutepiacuteteacutese is szoros oumlsszhangban van a kvantumszaacutemok rendszereacutevel
25 Az elemek perioacutedusos rendszere
Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Maacuter reacutegen megfigyelteacutek hogy bizonyos elemek hasonloacute keacutemiai (eacutesvagy fizikai) tulajdonsaacutegokkal
rendelkeznek Mengyelejev a XIX szaacutezad veacutegeacuten az addig felfedezett elemeket egy taacuteblaacutezatba
gyűjtoumltte oumlssze Sőt a felfedezett toumlrveacutenyszerűseacutegeket felhasznaacutelva Mengyelejev szaacutemos addig meacuteg
ismeretlen elem tulajdonsaacutegait joacutesolta meg
A perioacutedusos rendszer az elemeknek a noumlvekvő rendszaacutem szerint feleacutepiacutetett taacuteblaacutezata
Eacuterdekes moacutedon ha az egymaacutest koumlvető rendszaacutemuacute (azaz elektronszaacutemuacute) elemeket sorba
rendezzuumlk ez az elektronok beeacutepuumlleacutesi sorrendje szerint toumlrteacutenik
58 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
251 aacutebra Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszer feleacutepuumlleacutese joacutel megfigyelhető az alaacutebbi animaacutecioacuten
251 animaacutecioacute Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Perioacutedusok
A perioacutedusos rendszerben a viacutezszintes sorokat perioacutedusoknak vagy soroknak nevezzuumlk Gyakran
kuumlloumlnbseacuteg van a sor eacutes a perioacutedus megjeloumlleacutes koumlzoumltt az első bdquosorrdquo-nak aacuteltalaacuteban a 2 perioacutedust szokaacutes
tekinteni peacuteldaacuteul a szeacuten vagy a nitrogeacuten bdquoelső sorbelirdquo elem
Mezők
Az egymaacutes alatti sorok az adott elektronheacutej beeacutepuumlleacuteseacutet mutatjaacutek Az elemeket a fenti taacuteblaacutezatba
rendezve kuumlloumlnboumlző uacutegynevezett mezőket figyelhetuumlnk meg egy mezőn beluumll az azonos betoumlltődő
alheacutejjal rendelkező elemek talaacutelhatoacutek Iacutegy megkuumlloumlnboumlztetuumlnk s- p- d- eacutes f-mezőt
1 1s 1s
2 2s 2p
3 3s 3p
4 4s 3d 4p
5 5s 4d 5p
6 6s 5d 6p
7 7s 6d 7p
4f
5f
2 Az atomok szerkezete 59
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
252 aacutebra A perioacutedusos rendszer mezői
Az s-mező eacuterdekes moacutedon keacutet helyen talaacutelhatoacute az egyik a perioacutedusos rendszer bal oldalaacuten a
maacutesik pedig csupaacuten egyetlen elemet tartalmaz a heacuteliumot A heacutelium egyreacuteszt azeacutert keruumllt a perioacutedusos
rendszer jobb oldalaacutera mivel tulajdonsaacutegaiban sokkal inkaacutebb hasonliacutet az ott talaacutelhatoacute elemekhez A
heacutelium bdquoaacutethelyezeacuteserdquo azonban nem oumlnkeacutenyes a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban toumlltődik be az
adott heacutej az 1 (K) heacutej pedig keacutet elektronnal teliacutethető azaz maacuter a heacuteliumnaacutel lezaacuterul a heacutej
Mint fentebb laacutethatjuk az f-mezőt aacuteltalaacuteban ki szoktaacutek venni az uacutegynevezett bdquohosszuacute perioacutedusos
rendszerbőlrdquo mivel egy hosszuacute keskeny taacuteblaacutezat kezeleacutese viszonylag koumlruumllmeacutenyes
A feltoumlltődeacutesi sorrendből adoacutedik hogy az első perioacutedusban csak s-mező talaacutelhatoacute a maacutesodik
perioacutedustoacutel kezdődik a p-mező feltoumlltődeacutese Mivel a 4s alheacutej hamarabb kezd feltoumlltődni mint a 3d a
3d heacutej a 4 perioacutedusban kezd csak feltoumlltődni Hasonloacute a helyzet az f-mezővel a 4f alheacutej csak a 6s
alheacutej betoumlltődeacutese utaacuten kezd el beneacutepesuumllni iacutegy a 6 perioacutedusban talaacutelhatoacute A tudomaacuteny pillanatnyi
aacutellaacutesa szerint nem sikeruumllt meacuteg előaacutelliacutetani olyan elemet mely a 8 perioacutedusban talaacutelhatoacute sőt a 7
perioacutedus nagyobb rendszaacutemuacute (uacutegynevezett keacutesői) elemei is rendkiacutevuumll instabilak aacuteltalaacuteban csupaacuten
nyomnyi mennyiseacutegben sikeruumll őket előaacutelliacutetani (gyakran ez csak neacutehaacutenyszor tiacutez atomot jelent) A
nagyfokuacute instabilitaacutes oka az atommagok radioaktivitaacutesa aacuteltalaacuteban magreakcioacutek segiacutetseacutegeacutevel lehet
ilyen nagy rendszaacutemuacute atommagokat előaacutelliacutetani melyek azonban toumlbbnyire nagyon gyorsan radioaktiacutev
bomlaacutest szenvednek Ebből koumlvetkezik hogy az ilyen rendkiacutevuumll nagy rendszaacutemuacute elemek fizikai eacutes
keacutemiai tulajdonsaacutegairoacutel nem sokat tudunk Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megjegyezhetjuumlk hogy a
perioacutedusos rendszer alsoacutebb perioacutedusaiban ndash a sok kuumllső elektronnak koumlszoumlnhetően ndash noumlvekszik a
feacutemes jelleg eacutes meacuteg a főcsoportokban is elmosoacutedik az egyes elemek keacutemiai tulajdonsaacutegai koumlzoumltt a
hataacuter
1 s
2
3
4
5
6
7
s -
m
e z
ő
d-mező
p-mező
f-mező
60 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
I
A
II
A
III
B
IV
B
V
B
VI
B
VII
B
VIII
B
VIII
B
VIII
B
I
B
II
B
III
A
IV
A
V
A
VI
A
VII
A
VIII
A
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Ta Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
253 aacutebra A perioacutedusos rendszer
Oszlopok
A hasonloacute elektronszerkezetű elemek fuumlggőleges elrendeződeacutesben helyezkednek le egymaacutes alatti
helyet foglalnak el a perioacutedusos rendszerben ezek egy oszlopot alkotnak
Az s-mező eacutes a p-mező oszlopait oumlsszefoglaloacutean főcsoportoknak miacuteg a d-mező oszlopait
melleacutekcsoportoknak szokaacutes nevezni A keacutesőbbiekben megismerkeduumlnk az egyes oszlopok
elnevezeacuteseivel is
Az oszlopok szaacutemozaacutesaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen szokaacutes veacutegezni
ndash a reacutegiesebb szaacutemozaacutes szerint kuumlloumln taacutergyaljuk a főcsoportokat illetve a melleacutekcsoportokat aacutem
mindkettőt roacutemai szaacutemokkal jeloumlljuumlk Ilyenkor a főcsoportok eseteacuten a megfelelő roacutemai szaacutem
melleacute A betűt iacuterunk miacuteg a melleacutekcsoportokat B betűvel jeloumlljuumlk A fő- eacutes melleacutekcsoportok
(Pd) ezuumlst (Ag) ozmium (Os) iridium (Ir) platina (Pt) eacutes az arany (Au)
Lantanidaacutek eacutes aktinidaacutek
Az f-mező 6 perioacutedusaacuteba tartozoacute feacutemeit lantanidaacuteknak (a 7 perioacutedusaacuteba tartozoacutekat pedig
aktinidaacuteknak szoktuk nevezni)
Ritka foumlldfeacutemek
A lantanidaacutekat a szkandiummal (Sc) eacutes az ittriummal (Y) egyuumltt ritkafeacutemeknek nevezzuumlk
62 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Nemfeacutemek Alkaacutelfeacutemek
Feacutelfeacutemek Alkaacutelifoumlldfeacutemek
Maacutesodfajuacute feacutemek Lantanidaacutek
Aacutetmeneti feacutemek Aktinidaacutek
Nemesfeacutemek
254 aacutebra A perioacutedusos rendszer felosztaacutesa az atomok feacutemes jellege szerint
26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszerben bizonyos tulajdonsaacutegok folytonosan maacutes tulajdonsaacutegok pedig perioacutedusosan
vaacuteltoznak
261 Toumlmegszaacutem neutronszaacutem eacutes relatiacutev atomtoumlmeg vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A proacutecium ( H11 ) kiveacuteteleacutevel minden izotoacutep tartalmaz neutronokat mivel maacuter keacutet proton melleacute is
szuumlkseacuteges neutron hogy az atommag stabil legyen
A kis rendszaacutemuacute elemek legstabilabb izotoacutepjai eseteacuten (perioacutedusos rendszer eleje) a protonok eacutes a
neutronok szaacutema gyakran megegyezik (azaz a neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya egy koumlruumlli ndash
N Z asymp 1) tehaacutet a toumlmegszaacutem gyakran a rendszaacutem keacutetszerese A kalcium 40-es toumlmegszaacutemuacute izotoacutepja (
Ca4020 ) a legnagyobb rendszaacutemuacute izotoacutep melyben a protonok eacutes neutronok szaacutema megegyezik
Nagyobb rendszaacutemuacute elemek izotoacutepjai eseteacuten a neutronok szaacutema meghaladja a protonokeacutet tehaacutet a
toumlmegszaacutem nagyobb mint a rendszaacutem keacutetszerese Ennek oka hogy egyre toumlbb neutronra van szuumlkseacuteg
a pozitiacutev toumllteacutesű protonok elektrosztatikus tasziacutetaacutesaacutenak leaacuternyeacutekolaacutesaacutera A perioacutedusos rendszer utolsoacute
perioacutedusaacuteban a neutronok eacutes protonok szaacutemaacutenak araacutenya (N Z) rendszerint nagyobb mint 15
2 Az atomok szerkezete 63
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az alaacutebbi aacutebraacuten a leacutetező oumlsszes stabil izotoacutep neutronszaacutem protonszaacutem araacutenya (N Z) van
feltuumlntetve a rendszaacutem (Z protonszaacutem) fuumlggveacutenyeacuteben A piros vonal az N Z = 1 esetet jeleniacuteti meg
2611 aacutebra A neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya a toumlmegszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel noumlvekszik ez aloacutel neacutehaacuteny elempaacuter a kiveacutetel
Az alaacutebbi aacutebraacuten az elemek relatiacutev atomtoumlmegeacutet (Ar) aacutebraacutezoltuk a rendszaacutem (Z) fuumlggveacutenyeacuteben
(keacutek koumlroumlk) A fekete egyenes az Ar = Z a zoumlld egyenes az Ar = 2 middot Z a piros egyenes pedig az
Ar = 3 middot Z fuumlggveacutenyeket jelenti
2612 aacutebra A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
64 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute a relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel egyre meredekebben noumlvekszik Miacuteg
a kis rendszaacutemok eseteacuten Ar asymp 2 middot Z (a neutronok szaacutema nagyjaacuteboacutel megegyezik a protonok szaacutemaacuteval ndash a
rendszaacutemmal) addig a nagy rendszaacutemok eseteacuten az Ar Z araacuteny 2-neacutel joacuteval nagyobb
262 Az atomok meacutereteacutenek vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Az atomokat goumlmbszerűnek felteacutetelezzuumlk iacutegy az atomok meacutereteacutet az atomsugaacuterral (idegen szoacuteval
atomraacutediusszal) szoktuk jellemezni (Csak megemliacutetjuumlk hogy az atomsugaacuter fuumlgg az atom aacutellapotaacutetoacutel
azaz attoacutel is hogy milyen koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacuteban vesz reacutesz Ezaacuteltal toumlbbfeacutele moacutedon definiaacutelhatjuk az
atomsugarat aacutem ennek reacuteszleteivel itt nem foglalkozunk) Az atomsugaacuter (eacutes iacutegy az atomteacuterfogat)
vaacuteltozaacutesa szaacutemos maacutes tulajdonsaacuteg vaacuteltozaacutesaacutera hataacutessal van (peacuteldaacuteul sűrűseacuteg halmazaacutellapot)
Az atomsugaacuter periodikusan vaacuteltozik a perioacutedusos rendszeren beluumll
Egy adott perioacuteduson beluumll az atomsugaacuter balroacutel jobbra csoumlkken Ennek a magyaraacutezata a
koumlvetkező egy perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra haladva noumlvekszik az atommag toumllteacutese mivel egyre
toumlbb proton talaacutelhatoacute benne Az atommag toumllteacuteseacutet az elektronok leaacuternyeacutekoljaacutek A lezaacutert belső heacutejak
elektronjainak negatiacutev toumllteacutese egy perioacuteduson beluumll gyakorlatilag azonosnak tekinthető Balroacutel jobbra
haladva egy perioacutedusban az elektronok ugyanarra a kuumllső heacutejra leacutepnek be ezek aacuternyeacutekoloacute hataacutesa
sokkal kisebb mint az alatta levő heacutejak elektronjaieacute iacutegy az atommag (balroacutel jobbra noumlvekedő) toumllteacutese
egyre erősebben vonzza a vegyeacuterteacutekelektronokat ennek koumlvetkezteacuteben az atomsugaacuter csoumlkken
Az atomsugaacuter egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik Magyaraacutezat a paacutelyaacutek meacuterete
2621 aacutebra Az atomsugaacuter vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Itt eacuterdemes megemliacuteteni a sűrűseacuteg vaacuteltozaacutesaacutet is A sűrűseacuteg termeacuteszetesen nemcsak az
atomteacuterfogattoacutel (atomsugaacutertoacutel) fuumlgg hanem a halmazaacutellapottoacutel az atomok elrendeződeacuteseacutetől a
kristaacutelyszerkezettől is iacutegy igen neheacutez aacuteltalaacutenosan tendenciaacutekat talaacutelni Viszont azt mindenkeacuteppen
eacuterdemes megjegyezni hogy a sűrűseacuteg egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik
1
2
3
4
5
6
7
ATOMSUGAacuteR
2 Az atomok szerkezete 65
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
263 Az elemek halmazaacutellapota
A halmazaacutellapot a reacuteszecskeacuteket oumlsszetartoacute koumllcsoumlnhataacutesoktoacutel fuumlgg A kuumlloumlnfeacutele koumllcsoumlnhataacutesok eacutes a
halmazaacutellapot oumlsszefuumlggeacuteseit majd a keacutesőbbiekben reacuteszletesen taacutergyaljuk itt ndash a teljesseacuteg kedveacuteeacutert ndash
azonban megmutatjuk a perioacutedusos rendszer mely reacuteszeacuteben milyen halmazaacutellapot jellemző
Normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson (101325 kPa) eacutes 25 degC hőmeacuterseacutekleten az elemek tuacutelnyomoacute toumlbbseacutege
szilaacuterd azonban talaacutelhatunk koumlzoumlttuumlk szeacutep szaacutemban gaacutezokat is A legritkaacutebb halmazaacutellapot a folyadeacutek
csupaacuten keacutet elem folyeacutekony 25 degC-on a broacutem (Br) eacutes a higany (Hg) Tovaacutebbi keacutet elemnek igen
alacsony az olvadaacutespontja a galliumeacute (Ga 30 degC) eacutes a ceacuteziumeacute (Cs 28 degC) is szobahőmeacuterseacuteklet
koumlzeleacuteben van enyhe melegiacuteteacutes hataacutesaacutera megolvadnak
A vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema az első 12 oszlopban megegyezik az oszlop szaacutemaacuteval A p-
mezőben pedig a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacutet megkapjuk ha az oszlop szaacutemaacuteboacutel levonunk 10-et a
66 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
lezaacutert d-alheacutejat (a tiacutez elektronjaacuteval) maacuter nem szokaacutes a p-mező vegyeacuterteacutekelektronjaihoz szaacutemiacutetani (itt az
n-dik heacutej teliacutetődik viszont az (nminus1)-dik heacutej maacuter lezaacuterult a 12 oszlopban) Egyetlen kiveacutetel a heacutelium
(18 oszlop) melynek csupaacuten 2 vegyeacuterteacutekelektronja van
(A reacutegi szaacutemozaacutesi moacuted szerint a főcsoportokban az oszlop szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Ez a melleacutekcsoportok eseteacuten is igaz viszont a VIIIB keacutet oszlopaacutera
nem igaz ndash kobalt nikkel eacutes az alattuk talaacutelhatoacute elemek)
Vegyeacuterteacutek az atom aacuteltal leacutetesiacutethető keacutemiai koumlteacutesek szaacutema A kuumlloumlnboumlző elemek gyakran toumlbbfeacutele
Ennek magyaraacutezata a koumlvetkező Maacuter koraacutebban megismertuumlk hogy a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema
a perioacutedusos rendszer főcsoportjaiban balroacutel jobbra noumlvekszik A keveacutes vegyeacuterteacutekelektronnal
rendelkező feacutemek viszonylag koumlnnyen le tudjaacutek adni elektronjaikat iacutegy igen stabilis nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionokkaacute alakulnak miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező nemfeacutemek
eseteacuten a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute elektronfelveacutetellel koumlnnyebben kialakul Ellenkező esetben a
nemesgaacutez elektronszerkezet eleacutereacuteseacutehez a kevesebb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező feacutemeknek
viszonylag sok elektront kellene felvenniuumlk miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező
nemfeacutemeknek igen sok elektront kellene leadniuk mely energetikailag igen kedvezőtlen
Iacutegy peacuteldaacuteul a kaacuteliumatomboacutel egy vegyeacuterteacutekelektronjaacutenak eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval egyszeresen pozitiacutev
toumllteacutesű kaacuteliumion miacuteg a heacutet vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező fluoratom egy elektront felveacuteve
fluoridanionnaacute tud alakulni Mind a kaacuteliumionnak mind a fluoridionnak nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacuteja van
A nemfeacutemek aacuteltal maximaacutelisan felvehető elektronok szaacutemaacutet nagyon egyszerűen meg tudjuk
aacutellapiacutetani a nemesgaacutezoknak ndash a heacutelium kiveacuteteleacutevel ndash mindig keacutet s eacutes hat p elektronja van azaz a
vegyeacuterteacutekheacutejukon 8 elektronjuk van Legyen a nemfeacutemnek n vegyeacuterteacutekelektronja ekkor pontosan
8 minus n elektron szuumlkseacuteges ahhoz hogy 8 elektronja legyen a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
Mint az előzőekben maacuter taacutergyaltuk a perioacutedusos rendszer oszlopaacutenak sorszaacutema eacutes az adott elem
vegyeacuterteacutekelektronjainak szaacutema koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes van Az oszlopok aktuaacutelis szaacutemozaacutesa szerint
tehaacutet az m-edik oszlopban talaacutelhatoacute nemfeacutem 18 minus m elektront tud felvenni Peacuteldaacuteul a 15 oszlopban
talaacutelhatoacute foszforatom 18 minus 15 = 3 elektront tud maximaacutelisan felvenni a 16 csoportban talaacutelhatoacute
keacutenatom pedig maximaacutelisan 18 minus 16 = 2 elektron felveacuteteleacutevel keacutepes anionnaacute alakulni
A főcsoportokban a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Peacuteldaacuteul egy alumiacuteniumatomroacutel (mely haacuterom vegyeacuterteacutekelektronnal
d) Az arzeacuten (As) a 15 csoportban talaacutelhatoacute vegyeacuterteacutekelektron-konfiguraacutecioacuteja 4s2 4p3 Az arzeacuten
uacutegy tud nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionnaacute alakulni ha lead 5 elektront vagy pedig ha
felvesz 3 elektront
As rarr As5+ + 5eminus
As + 3eminusrarr As3minus
e) A hidrogeacuten egy kicsit kuumlloumlnoumls eset mivel a hozzaacute legkoumlzelebbi nemesgaacutez a heacutelium melynek 2
(vegyeacuterteacutek)elektronja van Iacutegy a hidrogeacutenatom egy elektron eladaacutesaacuteval hidrogeacutenkationnaacute
(tulajdonkeacuteppen protonnaacute 1H+ equiv p+) miacuteg egy elektron felveacuteteleacutevel anionnaacute keacutepes alakulni A
hidrogeacutenből keacutepződő aniont hidridionnak nevezzuumlk (az 1Hminus eseteacuten egy proton keacutet elektronnal)
H rarr H+ + eminus
H + eminusrarr Hminus
Eacuterdemes megjegyezni hogy az atomboacutel elektronfelveacutetellel keacutepződő ion elnevezeacuteseacutenek veacutegeacuten
mindig -id veacutegződeacutes talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul
O2minus oxid
As3minus arzenid
Hminus hidrid
70 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A melleacutekcsoportok eseteacuten nem jellemző hogy az elemek elektronfelveacutetellel anionnaacute alakuljanak
eacutes a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema is kicsit komplikaacuteltabb A 3 oszloptoacutel a 8 oszlopig
az elemekből baacutermely vegyeacuterteacutekelektront el lehet taacutevoliacutetani iacutegy az eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutemaacutenak
maximuma az oszlop sorszaacutemaacuteval azonos Viszont a 9 oszloptoacutel kezdődően a helyzet hasonloacutevaacute vaacutelik
ahhoz mint amit a nemfeacutemekneacutel tapasztaltunk nagyszaacutemuacute elektron eltaacutevoliacutetaacutesa maacuter nem lehetseacuteges
tehaacutet nem lehetseacuteges peacuteldaacuteul 9-szeresen pozitiacutev ion keacutepzeacutese Aniont keacutepezve azonban az aktuaacutelis heacutej
lezaacuteraacutesaacutehoz a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute eleacutereacuteseacutehez az oumlsszes p-elektront is fel kellene toumlltenuumlnk
melyhez igen sok energia szuumlkseacuteges A 9 eacutes 10 oszlopban iacutegy nehezen lehet megjoacutesolni a
maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronszaacutemot A 11 oszlopban toumlbbnyire 1 vagy 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacutera
van lehetőseacuteg miacuteg a 12 oszlopban 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval keacutepezhető kation
A melleacutekcsoportokroacutel aacuteltalaacutenossaacutegban elmondhatoacute hogy itt a főcsoportokhoz keacutepest sokkal toumlbb
Első ionizaacutecioacutes energia vagy első ionizaacutecioacutes potenciaacutel első ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt
az energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy atomboacutel egyszeresen pozitiacutev iont (kationt) hozzunk
leacutetre
Az ionizaacutecioacutes energia az alaacutebbi folyamat energiaszuumlkseacutegleteacutet jelenti
X rarr X+ + eminus
Mindig a leggyengeacutebben koumltoumltt elektront tudjuk legkoumlnnyebben eltaacutevoliacutetani eacutes eacutertelemszerűen
mineacutel erősebben koumltődik egy elektron az atomhoz annaacutel nehezebb eltaacutevoliacutetani azaz annaacutel toumlbb
energiaacutet kell befektetnuumlnk hogy el tudjuk taacutevoliacutetani
A legstabilabb elektronszerkezettel a nemesgaacutezok rendelkeznek (18 oszlop) mivel itt zaacuterul le a
betoumlltődő elektronheacutej A lezaacutert elektronheacutej mindig kiemelkedően stabil ezeacutert a nemesgaacutezok első
ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb egy perioacuteduson beluumll Mivel az alkaacutelifeacutemek ionizaacutelaacutesaacuteval nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute egyszeresen pozitiacutev ion keletkezik ez igen nagy stabilitaacutessal rendelkezik eacutes
az alkaacutelifeacutematom koumlnnyen leadja az egyetlen s vegyeacuterteacutekelektronjaacutet Tehaacutet egy perioacuteduson beluumll az
alkaacutelifeacutemek első ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legkisebb
Az első ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Egy adott perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra noumlvekszik (az alkaacutelifeacutemektől a nemesgaacutezok iraacutenyaacuteba)
az első ionizaacutecioacutes energia eacuterteacuteke
Mineacutel nagyobb egy atom a taacutevolsaacuteg koumlvetkezteacuteben a negatiacutev toumllteacutesű kuumllső elektronjaira annaacutel
keveacutesbeacute hat a pozitiacutev toumllteacutesű atommag vonzaacutesa iacutegy annaacutel koumlnnyebben taacutevoliacutethatoacute el
Iacutegy egy oszlopon beluumll fentről lefeleacute csoumlkken az első ionizaacutecioacutes energia
2651 aacutebra Az ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
1
2
3
4
5
6
7
1 IONIZAacuteCIOacuteS ENERGIA
72 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt az
energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy egyszeresen pozitiacutev ionboacutel keacutetszeresen pozitiacutev iont
hozzunk leacutetre
A maacutesodik ionizaacutecioacutes energia mindig nagyobb mint az első ionizaacutecioacutes energia mivel egy
kationroacutel kell leszakiacutetanunk egy negatiacutev toumllteacutesű elektront mely meacutelyebb energiaacutejuacute paacutelyaacuten van mint az
első eltaacutevoliacutetott elektron
Egy perioacuteduson beluumll az alkaacutelifeacutemek maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb (igen stabil
nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ion elektronszerkezeteacutet bontjuk meg) miacuteg az alkaacutelifoumlldfeacutemekeacute a
legkisebb (a vegyeacuterteacutekheacutejukon maacuter csak egy elektron talaacutelhatoacute ez viszonylag koumlnnyen eltaacutevoliacutethatoacute)
Azaz egy perioacuteduson beluumll a 2 oszloptoacutel a 18 oszlopig nő az ionizaacutecioacutes potenciaacutel aacutem az 1
oszlopban meacuteg enneacutel is nagyobb
Egy oszlopon beluumll a maacutesodik ionizaacutecioacutes potenciaacutel fentről lefeleacute csoumlkken
k-dik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel az energia mely egy elektronnak egy (kminus1)-szeresen
3111 animaacutecioacute Az ionos koumlteacutes kialakulaacutesa
Az ionos koumlteacutes leacutetrejoumlhet egyszerű eacutes oumlsszetett ionok koumlzoumltt
Az egyszerű ionok atomokboacutel keacutepződnek elektron(ok) leadaacutesaacuteval (kationok) vagy elektron(ok)
felveacuteteleacutevel (anionok)
76 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Egyszerű kationok K+ Mg2+ Al3+ Fe3+ Ce4+ stb
Egyszerű anionok Clminus O2minus N3minus Iminus Hminus stb
Az oumlsszetett ionok toumlbb atomboacutel eacutepuumllnek fel eacutes toumllteacutessel rendelkeznek
Oumlsszetett kationok legfontosabb az ammoacuteniumion NH4+
Oumlsszetett anionok NO3minus CO3
2minus PO4
3minus SO4
2minus stb
A tisztaacuten ionos koumlteacutesű vegyuumlletek rendszerint igen elteacuterő elektronegativitaacutesuacute elemekből joumlnnek
leacutetre Toumlbbnyire alkaacutelifeacutem vagy alkaacutelifoumlldfeacutem kationt tartalmaznak eacutes anionjuk aacuteltalaacuteban vagy
oumlsszetett ion vagy a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban talaacutelhatoacute elemek egyszerű anionja
(elsősorban 16 eacutes 17 oszlop)
II) Feacutemes koumlteacutes
Feacutematomok eseteacuten a vegyeacuterteacutekheacutej elektronjai viszonylag gyengeacuten koumltoumlttek A feacutematomokboacutel
pozitiacutev toumllteacutesű ionok keletkeznek a vegyeacuterteacutekelektronok pedig az atomtoumlrzsek koumlzoumltti teacuterben
delokalizaacuteloacutednak
Feacutemes koumlteacutes az egeacutesz kristaacutelyra kiterjedő koumlzoumls elektronfelhő aacuteltal leacutetrehozott keacutemiai kapcsolatot
feacutemes koumlteacutesnek nevezzuumlk
A feacutemes koumlteacutes (nem meglepő moacutedon) feacutematomok koumlzoumltt joumlhet leacutetre A feacutemek elektronegativitaacutesa
rendszerint nem tuacutel nagy ezeacutert a tisztaacuten feacutemes koumlteacutes akkor joumlhet leacutetre ha kicsi az elemek
elektronegativitaacutesa
3112 animaacutecioacute A feacutemes koumlteacutes kialakulaacutesa
III) Kovalens koumlteacutes
Keacutemiai koumlteacutes uacutegy is leacutetrejoumlhet ha az egymaacutes melletti atomok koumlzoumls (uacutegynevezett koumltő)
elektronpaacuteron (vagy elektronpaacuterokon) keresztuumll kapcsoloacutednak oumlssze
Ezt legegyszerűbben egy peacuteldaacuten keresztuumll eacuterthetjuumlk meg Vegyuumlnk keacutet kloacuteratomot Mindkettőnek
az elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ne] 3s2 3p5 ha feacutemes koumlteacutest szeretneacutenk kialakiacutetani koumlzoumlttuumlk 7ndash7 elektront
kellene leadnia mindkettőnek Ez energetikailag rendkiacutevuumll kedvezőtlen Ezeacutert a lezaacutert elektronheacutejat
elektronfelveacutetel uacutetjaacuten lenne ceacutelszerű eleacuterni Termeacuteszetesen a keacutet kloacuteratom elektronegativitaacutesa
ugyanakkora nem joumlhet leacutetre koumlzoumlttuumlk ionos koumlteacutes
A keacutet kloacuteratom koumlzoumltt koumltő elektronpaacuter leacutetesiacuteteacuteseacutevel alakul ki a keacutemiai koumlteacutes a koumltő elektronpaacuter a
keacutet kloacuteratom egyndashegy elektronjaacuteboacutel joumln leacutetre viszont mindkeacutet atomhoz egyaraacutent tartozik Iacutegy mindkeacutet
kloacuteratom koumlruumll 8ndash8 elektron talaacutelhatoacute tehaacutet mindkeacutet kloacuteratom nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacutevaacute
vaacutelik teljesuumll az oktettszabaacutely A folyamatot energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri
Kovalens koumlteacutes A koumlzoumls elektronpaacuterral leacutetesiacutetett koumlteacutest kovalens koumlteacutesnek nevezzuumlk (Az angol
A heteronukleaacuteris koumlteacutes lehet apolaacuteris vagy polaacuteris
Egy koumlteacutes apolaacuterisnak tekinthető ha a keacutet atom elektronegativitaacutesa azonos
Az azonos atomok koumlzoumltti koumlteacutesek apolaacuterisak (Megjegyzeacutes peacuteldaacuteul a szeacutenndashhidrogeacuten-koumlteacutest is
tekinthetjuumlk koumlzel apolaacuterisnak mivel a szeacuten eacutes a hidrogeacuten elektronegativitaacutesa hasonloacute [EN(C) = 25
EN(H) = 21])
A kovalens koumlteacutes polaacuteris ha keacutet olyan atomot koumlt oumlssze melyek elektronegativitaacutesa koumlzoumltt
kuumlloumlnbseacuteg van A polaacuteris kovalens koumlteacutes viszonylag jelentős ionos jelleggel rendelkezik
Peacuteldaacuteul a hidrogeacutenndashkloacuter-koumlteacutes igen polaacuterisnak tekinthető a keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltt jelentős
kuumlloumlnbseacuteg van EN(Cl) = 30 EN(H) = 21
A polaacuteris kovalens koumlteacutesben a nagyobb elektronegativitaacutesuacute atom reacuteszleges negatiacutev toumllteacutesű
(pontosabban negatiacutevan polarizaacutelt) a kisebb elektronegativitaacutesuacute pedig reacuteszben pozitiacutev toumllteacutesű
(pozitiacutevan polarizaacutelt) Egy keacutetatomos molekulaacuteban a keacutet atomra jutoacute uacutegynevezett parciaacutelis toumllteacutes
(reacuteszleges toumllteacutes) nagysaacutega azonos de előjele ellenteacutetes Ezt a koumlvetkezőkeacutepp szoktuk eacuterzeacutekeltetni a
molekula keacutepleteacuteben
H Cl() ()
A hidrogeacuten-klorid molekulaacuteban a toumllteacutesek nem egyenletesen oszlanak el Az ilyen molekulaacutekat
dipoacutelusmolekulaacuteknak nevezzuumlk
A koumlteacutes polarizaacuteltsaacutega vektormennyiseacuteg nyiacutellal szoktuk jeloumllni A dipoacutelusvektor a pozitiacutev
toumllteacutesből mutat a negatiacutev toumllteacutes feleacute Azt hogy egy molekula dipoacutelusmolekula-e a dipoacutelusvektorok
eredője hataacuterozza meg
Dipoacutelusmolekula olyan molekula melyben vannak polaacuteris koumlteacutesek eacutes a koumlteacutesek
dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus
Apolaacuteris molekula csak apolaacuteris koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula vagy olyan molekula melyben
a polaacuteris koumlteacutesek uacutegy helyezkednek el hogy dipoacutelusvektorainak oumlsszege zeacuterus legyen
78 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A keacutetatomos molekula akkor dipoacutelusos hogyha a koumlteacutes polaacuteris Toumlbbatomos molekulaacutek eseteacuten a
molekula szerkezete is fontos szerepet jaacutetszik annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy a molekula dipoacutelusmolekula-
e Ezzel a molekulaacutek szerkezete kapcsaacuten reacuteszletesen foglalkozunk majd (ennek a fejezetnek a veacutegeacuten)
Az előzőekben megismerkedtuumlnk a haacuterom legfontosabb koumlteacutestiacutepussal Ezen koumlteacutesek igen erősek
ezeacutert szokaacutes elsőrendű koumlteacuteseknek nevezni őket
Az elsőrendű koumlteacutesek
ndash ionos koumlteacutes
ndash feacutemes koumlteacutes
ndash kovalens koumlteacutes
Az elektronegativitaacutes eacutes a koumlteacutesjelleg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes
A haacuterom alaptiacutepus taacutergyalaacutesaacutenaacutel megemliacutetettuumlk hogy az adott koumlteacutestiacutepus rendszerint milyen
elemek koumlzoumltt joumln leacutetre Ezeket oumlsszefoglalva
ndash tisztaacuten ionos koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha az elemek elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg nagy
ndash tisztaacuten feacutemes koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesa hasonloacute (kicsi az elektronegativitaacutesok
kuumlloumlnbseacutege) eacutes mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa kis eacuterteacutekű
ndash tisztaacuten kovalens koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesai nem tuacutelzottan kuumlloumlnboumlzőek eacutes
mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa nagy
A perioacutedusos rendszerből tetszőleges keacutet elemet kivaacutelasztva a koumlzoumlttuumlk leacutetesuumllő koumlteacutest gyakran
nem tudjuk besorolni a fentiek alapjaacuten egyik koumlteacutestiacutepusba sem Fontos hangsuacutelyozni hogy az aacutetmenet
gyakorlatilag folytonos baacutermelyik keacutet elsőrendű koumlteacutes koumlzoumltt Iacutegy gyakran előfordul hogy keacutet
atom koumlzoumltti koumlteacutest nem lehet tisztaacuten ionos feacutemes vagy kovalens koumlteacuteskeacutent leiacuterni A fent taacutergyalt
polaacuteris kovalens koumlteacutes peacuteldaacuteul aacutetmenet a kovalens eacutes az ionos koumlteacutes koumlzoumltt
Legyen A eacutes B keacutet tetszőleges elem A keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg eacutes a keacutet
atom elektronegativitaacutesaacutenak oumlsszege segiacutethet annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy milyen tiacutepusuacute elsőrendű koumlteacutes
joumlhet leacutetre a keacutet elem atomjai koumlzoumltt
A koumlvetkező oumlkoumllszabaacutelyokat alkalmazhatjuk
Ha ∆EN(AB) nagy eacuterteacutek (jellemzően 20 foumlloumltt) a koumlteacutes ionos jellege nagy
Ha ∆EN(AB) kicsi eacuterteacutek (jellemzően 15 alatt) akkor a koumlteacutes lehet kovalens vagy feacutemes
Ha sumEN(AB) nagy (jellemzően 40 felett) akkor a koumlteacutes kovalensnek tekinthető
Ha sumEN(AB) kicsi (jellemzően 30 alatt) akkor a koumlteacutes feacutemes jellegűnek tekinthető
Pauling szerint ∆EN(AB) = 15hellip2 eseteacuten az A eacutes B atomok koumlzoumltti koumlteacutes nagyjaacuteboacutel fele-fele
meacuterteacutekben ionos eacutes kovalens jellegű
A stabilan előaacutelliacutethatoacute elemek koumlzuumll a ceacutezium elektronegativitaacutesa a legkisebb 08 (enneacutel csupaacuten a
csak radioaktiacutev izotoacutepokkal rendelkező francium elektronegativitaacutesa kisebb 07) a fluor
elektronegativitaacutesa pedig a legnagyobb (40) Ezen elemekből megalkothatjuk a toumlkeacuteletes ionos feacutemes
eacutes kovalens koumlteacuteseket
∆EN(AB) Cs F sumEN(AB) Cs F
Cs 00 32 Cs 16 48
F 32 00 F 48 80
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 79
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha aacutebraacutezoljuk a ∆EN(AB) fuumlggveacutenyeacuteben sumEN(AB) eacuterteacutekeit egy haacuteromszoumlg haacuterom csuacutecsaacutet
kapjuk
311 aacutebra A koumlteacutes jellege eacutes az elektronegativitaacutes
Baacutermely maacutes elem elektronegativitaacutesa a ceacutezium eacutes a fluor koumlzeacute esik iacutegy a fenti aacutebraacuten baacutermely keacutet
elem koumlzoumltti koumlteacutest feltuumlntethetjuumlk az elektronegativitaacutesaik ismereteacuteben
3112 aacutebra Peacuteldaacutek aacutetmeneti jellegű koumlteacutesekre
80 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint a fenti aacutebraacuten laacutethatoacute neacutehaacuteny vegyuumlletet igen neheacutez a haacuterom elsőrendű koumlteacutes valamelyikeacutebe
besorolni Ilyen peacuteldaacuteul a vas(II)-szulfid (FeS) sziliacutecium-dioxid (SiO2) vagy az ezuumlst-klorid (AgCl) A
keacutemiai koumlteacutesek ezen vegyuumlletekben nem tekinthetők ionosnak jelentős a kovalens jelleguumlk
A fenti aacutebra alapjaacuten a kovalens koumlteacutes az elemi oxigeacutenben (O2) eacutes a keacutenmolekulaacuteban (S8) apolaacuteris
miacuteg a nitrogeacuten-monoxidban (NO) eacutes a keacutet kuumlloumlnboumlző halogeacutenatomot tartalmazoacute broacutem-fluoridban
(BrF) polaacuteris
A reacutez-cink oumltvoumlzetben (CuZn) eacutes a magneacutezium-szilicidben (Mg2Si egy oumltvoumlzeacutesre hasznaacutelt
vegyuumllet) a koumlteacutes feacutemesnek tekinthető Termeacuteszetesen a feacutem alumiacuteniumban is feacutemes a koumlteacutes
A liacutetium-fluorid (LiF) a kalcium-oxid (CaO) eacutes az alumiacutenium-oxid (Al2O3) ionos koumlteacutesű
vegyuumlletek az utoacutebbiban viszonylag jelentős kovalens jelleg is megaacutellapiacutethatoacute
A fentiek alapjaacuten belaacutethatoacute hogy a keacutemiai koumlteacutes ionos feacutemes illetve kovalens jellege elsősorban
az koumlteacutest leacutetesiacutető elemek elektronegativitaacutesaacutetoacutel fuumlgg Fontos megjegyezni hogy a keacutemiai koumlteacutes
gyakran nem iacuterthatoacute le egyfeacutele koumlteacutestiacutepussal hanem toumlbb tiacutepus tulajdonsaacutegait oumltvoumlzi
Sokatomos molekulaacutek
Az oktett szabaacutelyt termeacuteszetesen a kettőneacutel toumlbb atomos molekulaacutek is koumlvetik aacuteltalaacuteban
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a metaacutenmolekulaacutet A metaacuten keacuteplete CH4 azaz egy molekulaacutejaacuteban neacutegy
hidrogeacutenatom eacutes egy szeacutenatom talaacutelhatoacute A szeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p2 tehaacutet neacutegy
vegyeacuterteacutekelektronja van miacuteg a hidrogeacutenek egyndashegy elektronnal rendelkeznek A szeacutenatom
elektronoktettet (8 elektron a kuumllső heacutejon) szeretne leacutetrehozni a hidrogeacuteneknek pedig a heacuteliumhoz
hasonloacute 2 elektronos elektronszerkezet a kedvező
Ha a szeacuten koumlreacute rendeződik a neacutegy hidrogeacutenatom neacutegy kovalens koumlteacutes alakul ki Minden hidrogeacuten
koumlrnyezeteacuteben iacutegy 2ndash2 elektron talaacutelhatoacute (piros koumlroumlkkel jeloumllve) miacuteg a neacutegy (koumlzoumls) elektronpaacuter a
szeacuten szaacutemaacutera biztosiacutetja a nyolc vegyeacuterteacutekelektront (piros neacutegyzettel jeloumllve)
3113 aacutebra Az oktettszabaacutely
Most pedig vizsgaacuteljuk meg hogyan neacutez ki a metaacutenhoz hasonloacute nitrogeacutenvegyuumlletet
elektronszerkezete
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p3 azaz 5 vegyeacuterteacutekelektronja van A nitrogeacuten 8
elektronos vegyeacuterteacutekheacutej eleacutereacuteseacutere toumlrekszik (oktettszabaacutely) ehhez 3 elektronra van meacuteg szuumlkseacutege A
haacuterom elektront haacuterom hidrogeacuten szolgaacuteltatja iacutegy a keletkező molekula keacuteplete NH3 Iacutegy a nitrogeacuten eacutes
a hidrogeacutenek is eleacuterteacutek a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet Haacuterom koumltő elektronpaacuter joumln leacutetre azaz a
nitrogeacuten oumlsszesen 3 elektronjaacutet adja a koumlteacutesekbe a maradeacutek 2 elektronja pedig csak a nitrogeacutenhez
kapcsoloacutedik Az ilyen elektronpaacutert magaacutenos (vagy nemkoumltő) elektronpaacuternak nevezzuumlk A koraacutebban
taacutergyalt kloacutermolekula eseteacuteben mindkeacutet kloacuteratom 3ndash3 magaacutenos elektronpaacuterral rendelkezik
Magaacutenos elektronpaacuter olyan vegyeacuterteacutek-elektronpaacuter mely a kovalens koumlteacutest alkotoacute keacutet atom
koumlzuumll csak az egyikhez tartozik Egy atomon akaacuter toumlbb magaacutenos elektronpaacuter is lehetseacuteges
A kovalens koumlteacutes jellemzői
Koumlteacutesi energia egy koumlteacutes felszakiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges energia az az energia melyet be kell
fektetni hogy a koumlteacutest leacutetesiacutető atomokat veacutegtelen taacutevolsaacutegba taacutevoliacutetsuk (Eacutertelemszerűen ugyanekkora
energia szabadul fel mikor a keacutet atom veacutegtelen taacutevolsaacutegboacutel kiindulva leacutetrehozza a koumlteacutest) Aacuteltalaacuteban
CH H
H
H
CH H
H
H
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 81
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Jmol (kJmol) meacuterteacutekegyseacutegben adjuk meg eacuterteacutekeacutet aacutem gyakran hasznaacutelt ndash nem SI ndash meacuterteacutekegyseacuteg a
kcalmol 1 kcalmol = 418 kJmol
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
A koumlteacutestaacutevolsaacutegok rendszerint neacutehaacutenyszor 10minus10 meacuteter nagysaacutegrendűek termeacuteszetesen a koumlteacutest
leacutetesiacutető atomok rendszaacutemaacutetoacutel fuumlggően Gyakran hasznaacuteljuk az angstroumlm vagy aringngstroumlm
meacuterteacutekegyseacuteget (roumlvidiacutetve Aring) melynek eacuterteacuteke 10minus10 meacuteter
(Megjegyzeacutes az atomtaacutevolsaacuteg baacutermely keacutet atom taacutevolsaacutegaacutet jelentheti ha a koumlteacutestaacutevolsaacuteg
kifejezeacutest hasznaacuteljuk akkor a keacutet atom koumlzoumltt keacutemiai koumlteacutes talaacutelhatoacute)
A koumlteacuteshossz fuumlgg az atomok meacutereteacutetől eacutes az őket oumlsszetartoacute koumlteacutes erősseacutegeacutetől Peacuteldaacuteul a kovalens
koumlteacutes a fluormolekulaacuteban (FminusF) roumlvidebb mint egy kloacutermolekulaacuteban (ClminusCl) mivel a kloacuteratomok
joacuteval nagyobbak a fluoratomoknaacutel Ennek megfelelően a halogeacutenmolekulaacutek koumlzoumltt a fluormolekula
koumlteacuteshossza a legroumlvidebb enneacutel nagyobb a kloacutermolekulaacuteeacute majd sorrendben a broacutemmolekula (BrminusBr)
eacutes joacutedmolekula (IminusI) koumlvetkezik oumlsszhangban a halogeacutenatomok meacutereteacutevel
Adott keacutet atom (peacuteldaacuteul keacutet szeacutenatom) melyek koumlzoumltt mineacutel roumlvidebb a koumlteacuteshossz annaacutel
erősebbnek tekinthető a koumlteacutes Tehaacutet a koumlteacutes erősseacutegeacutere a koumlteacuteshosszboacutel is nyerhetuumlnk informaacutecioacutet
Fontos azonban hogy mindig azonos fajta koumlteacuteseket hasonliacutetsunk oumlssze peacuteldaacuteul egy CminusC eacutes egy CminusH
koumlteacutes hosszaacutet oumlsszehasonliacutetva azok erősseacutegeacutet nem lehet pontosan megbecsuumllni mivel a koumlteacutest alkotoacute
atomok atomsugaraacutenak is hataacutesa van a koumlteacuteshosszra
Toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek
Bizonyos esetekben az elektronoktett kialakiacutetaacutesaacutehoz nem elegendő egyetlen koumltő elektronpaacuter
Ezt ismeacutet egy peacuteldaacuten keresztuumll ceacutelszerű megvizsgaacutelni
Az elemi nitrogeacuten molekulaacuteris formaacuteban fordul elő a termeacuteszetben A nitrogeacuten
elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p
3 a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema 5 Keacutet nitrogeacutenatomboacutel egy
nitrogeacutenmolekula keletkezik melynek oumlsszesen 2 middot 5 = 10 elektronja van a lezaacutert heacutejakon kiacutevuumll Mint
fentebb laacutettuk a kloacutermolekula eseteacuten 14 elektronboacutel tudtuk kialakiacutetani a keacutet elektronoktettet Viszont a
nitrogeacuten eseteacuten nem aacutell rendelkezeacutesre ennyi elektron
Mi toumlrteacutenik ha a keacutet nitrogeacutenatom nem egyndashegy hanem keacutetndashkeacutet elektronjaacuteval leacutetesiacutet koumlteacutest
Ekkor mindkeacutet nitrogeacutenatom koumlruumll 5 + 2 = 7 vegyeacuterteacutekelektron van (eleve volt 5 a maacutesik nitrogeacutentől
pedig 2-t kapott) iacutegy nem teljesuumll az oktettelv
Most vizsgaacuteljuk meg hogy mi vaacuteltozik ha mindkeacutet nitrogeacuten haacuteromndashhaacuterom elektront szolgaacuteltat a
koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacutehoz Ekkorra mindkeacutet nitrogeacuten koumlruumll eacuteppen 8 elektron talaacutelhatoacute azaz megfelel az
oktettszabaacutelynak Ha mindkeacutet nitrogeacuten 3ndash3 elektronnal leacutetesiacutet koumlteacutest oumlsszesen 6 elektron talaacutelhatoacute a
keacutet nitrogeacutenatom koumlzoumltt A 6 elektronboacutel 3 elektronpaacutert tudunk leacutetrehozni a nitrogeacutenek keacutetndashkeacutet
elektronja pedig egyndashegy magaacutenos elektronpaacutert alkot Mivel az elektronpaacutert egy vonallal szokaacutes
jeloumllni a nitrogeacutenmolekula szerkezeteacutet az alaacutebbi formaacuteban szoktuk feliacuterni
| N equiv N |
Az iacutegy keletkezett koumlteacutest haacutermas koumlteacutesnek nevezzuumlk Termeacuteszetesen ennek mintaacutejaacutera leacutetezik
kettős koumlteacutes is
Kettős koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely keacutet koumltő elektronpaacuteron keresztuumll koumlti oumlssze a keacutet
atomot
Haacutermas koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely haacuterom koumltő elektronpaacuteron keresztuumll leacutetesiacutet kapcsolatot
a keacutet atom koumlzoumltt
Az elmeacuteleti szaacutemiacutetaacutesok eacutes kiacuteseacuterletek alapjaacuten a kettős koumlteacutes joacuteval erősebb mint az egyes koumlteacutes aacutem
a kettős koumlteacutes koumlteacutesi energiaacuteja aacuteltalaacuteban nem keacutetszerese az egyes koumlteacuteseacutenek hanem kisebb annaacutel
82 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hasonloacutean a haacutermas koumlteacutes is rendszerint erősebb mint egy egyes vagy kettős koumlteacutes aacutem nem
haacuteromszor olyan erős mint egy egyes koumlteacutes
Mivel a koumlteacutesek erősseacutegeacutet a koumlteacutesenergiaacuteval szoktuk jellemezni neacutezzuumlk meg az CminusC C=C eacutes
A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja 610 kJmol minus 347 kJmol = 263 kJmol miacuteg
a szeacutenndashszeacuten haacutermas koumlteacutes bdquoharmadik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja a haacutermas eacutes kettős koumlteacutes koumlteacutesi
energiaacutejaacutenak a kuumlloumlnbseacutegekeacutent adoacutedik 836 kJmol minus 610 kJmol = 226 kJmol
Ennek magyaraacutezataacutehoz meg kell ismerkednuumlnk a molekulapaacutelya fogalmaacuteval
Molekulapaacutelya az a teacuterreacutesz melyen beluumll 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute az elektron Az
atompaacutelyaacutehoz hasonloacutean egy molekulapaacutelyaacutera is maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet A koumltő
elektronpaacuterokat tehaacutet molekulapaacutelyaacutekkal jeleniacutethetjuumlk meg
Teacuterjuumlnk vissza tehaacutet az egyes kettős eacutes haacutermas koumlteacutesek elteacuterő erősseacutege kuumlloumlnbseacutegeacutenek
eacutertelmezeacuteseacutehez Az egyes koumlteacutesnek megfelelő elektronok a keacutet atom koumlzoumltt tengelyiraacutenyban
helyezkednek el egy hengerszimmetrikus molekulapaacutelyaacuten A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodikrdquo elektronpaacuterja maacuter
nem keruumllhet ugyanebbe a teacuterreacuteszbe hanem bdquopiskoacuteta alakbanrdquo az etileacutenmolekula siacutekja alatt eacutes foumlloumltt
helyezkedik el Mivel ezek az elektronok maacuter nem a keacutet atomot oumlsszekoumltő tengely menteacuten
helyezkednek el a koumlteacutes gyengeacutebb mint az egyszeres koumlteacutes
A σ-koumlteacutes eacutes π-koumlteacutes
Az egyszeres koumlteacutest ζ (szigma) koumlteacutesnek hiacutevjuk a maacutesodik eacutes harmadik koumlteacuteseket pedig π (piacute)
koumlteacuteseknek nevezzuumlk
Most vizsgaacuteljuk meg hogyan alakulhat ki ζ-koumlteacutes illetve π-koumlteacutes
A hidrogeacutenatomnak egyetlen elektronja van mely a goumlmbszimmetrikus 1s paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Keacutet
hidrogeacutenatomot koumlzeliacutetve egymaacuteshoz a keacutet atompaacutelyaacuteboacutel keacutet molekulapaacutelya joumln leacutetre Az egyikre keacutet
elektron keruumll miacuteg a maacutesik betoumlltetlen marad (az elsőt szokaacutes koumltőpaacutelyaacutenak a maacutesikat pedig
laziacutetoacutepaacutelyaacutenak nevezni) A keacutetszeresen betoumlltoumltt paacutelya hengerszimmetrikus az ilyet nevezzuumlk ζ-
koumlteacutesnek
3114 aacutebra A σ-koumlteacutes
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a hidrogeacuten-klorid-molekula kialakulaacutesaacutet A kloacuteratomnak 7
vegyeacuterteacutekelektronja van 3s2 3p5 azaz a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll kettő keacutetszeresen betoumlltoumltt miacuteg a
harmadik csak egyszeresen Iacutegy a hidrogeacuten 1s-paacutelyaacutejaacuteboacutel eacutes a kloacuter egyik 3p-paacutelyaacutejaacuteboacutel joumlnnek leacutetre a
molekulapaacutelyaacutek
Ismeacutet egy hengerszimmetrikus ζ-paacutelya joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 83
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A fent megismert ζ-koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak peacuteldaacuteul a teliacutetett szeacutenhidrogeacutenekben is melyeknek igen
fontos jellemzőjuumlk hogy a hengerszimmetrikus koumlteacutesek tengelye menteacuten a csoportok el tudnak
fordulni egymaacuteshoz keacutepest viszonylag kis energiabefekteteacutes hataacutesaacutera iacutegy az ilyen vegyuumlletekben a ζ-
koumlteacutestengely koumlruumlli forgaacutes (rotaacutecioacute) igen koumlnnyen veacutegbemegy
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek kialakulaacutesaacutet Vegyuumlk peacuteldaacuteul a
nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesaacutet
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja 2s2 2p3 A haacuterom p-elektron a haacuterom kuumlloumlnboumlző teacuteraacutellaacutesuacute p-
3115 aacutebra A nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesa
A keacutet px-paacutelyaacuteboacutel leacutetrejoumln a ζ-koumlteacutes
3116 aacutebra A nitrogeacutenmolekula σ-koumlteacutese
Viszont ha a px-paacutelyaacutekboacutel kialakul a ζ-koumlteacutes a py- eacutes pz-paacutelyaacutekboacutel maacuter nem joumlhet leacutetre ζ-koumlteacutes
Ezzel ellenben π-koumlteacutesek joumlnnek leacutetre
3117 aacutebra A nitrogeacutenmolekula π-koumlteacutesei
A keacutet π-koumlteacutesnek van egy-egy csomoacutesiacutekja (ahol az elektronok megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege 0) ez a
keacutet csomoacutesiacutek egymaacutesra merőleges A nitrogeacuten eseteacuteben a keacutet π-koumlteacutes teljesen egyforma meacuteretű eacutes
A koumltő elektronpaacuter keacutetfeacutelekeacuteppen joumlhet leacutetre vagy mindkeacutet atom ad egy-egy (vagy toumlbb)
elektront vagy csak az egyik atomtoacutel szaacutermazik a koumltő elektronpaacuter
Kolligaacutecioacutes koumlteacutes mindkeacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom hozzaacutejaacuterul elektronnal (elektronokkal) a koumlteacuteshez
A fentebb taacutergyalt koumlteacutesek mindegyike kolligaacutecioacutes koumlteacutes akaacuter a kloacutermolekula akaacuter a
nitrogeacutenmolekula leacutetrejoumltteacuteről van szoacute
Datiacutev vagy koordinaacutecioacutes koumlteacutes a keacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom koumlzuumll az egyik atom egy teljes
elektronpaacuterral jaacuterul hozzaacute a koumlteacuteshez (ez az elektronpaacuter donor atom) miacuteg a maacutesik atom nem
szolgaacuteltat elektront a koumlteacuteshez (ezt elektronpaacuter-akceptor atomnak nevezzuumlk)
(datiacutev a dativus latin szoacuteboacutel melynek jelenteacutese adaacutes)
A datiacutev koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez szuumlkseacuteges hogy az egyik atomnak legye magaacutenos (nemkoumltő)
elektronpaacuterja a maacutesik atom pedig legyen bdquoelektronhiaacutenyosrdquo Az elektronhiaacuteny akkor leacutep fel ha nem
teljesuumll az oktettszabaacutely
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a boacuter-trifluorid (BF3) molekulaacutet A haacuterom fluoratom egy-egy elektront ad a
kovalens koumlteacutesbe a boacuter ([He] 2s2 2p1) pedig 3 elektronnal tud koumlteacutest leacutetesiacuteteni iacutegy a boacuter koumlruumll haacuterom
koumltő elektronpaacuter helyezkedik el azaz a boacuter vegyeacuterteacutekheacutejaacuten csak hat elektron talaacutelhatoacute A boacuter-trifluorid
molekula siacutek szerkezetű mind a neacutegy atom egy siacutekban van eacutes a boacuteratomnak van egy uumlres p-paacutelyaacuteja
Az uumlres paacutelyaacutek elektronpaacuter-akceptorkeacutent viselkedhetnek
Most keressuumlnk egy elektronpaacuterdonor molekulaacutet Peacuteldaacuteul a fentebb megismert ammoacuteniamolekula
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral iacutegy elektronpaacuterdonornak tekinthető
Mi toumlrteacutenik ha koumlzeledik egymaacuteshoz egy ammoacutenia- eacutes egy boacuter-trifluorid molekula Az
ammoacuteniamolekula nitrogeacutenatomja a magaacutenos paacuterjaacutet bdquokoumllcsoumlnadjardquo a boacuternak iacutegy annak leacutetrejoumln az
elektronoktettje A nitrogeacuten a magaacutenos paacuterjaacutet nem adja aacutet teljesen a boacuternak hanem az a keacutet atom
koumlzoumltt elhelyezkedő elektronpaacuterraacute alakul Iacutegy a nitrogeacutennek is megmarad az elektronoktettje Az iacutegy
leacutetrejoumlvő datiacutev koumlteacutes olyan mint egy hagyomaacutenyos kovalens koumlteacutes a kuumlloumlnbseacuteg csak abban van hogy
a datiacutev koumlteacutes eseteacuten mindkeacutet elektront ugyanaz az atom adja A kialakuloacute datiacutev koumlteacutes kialakulaacutesaacutenak az
a hajtoacuteereje hogy a boacuteratom elektronhiaacutenya csoumlkkenjen (iacutegy teljesuumll az oktettszabaacutely)
A datiacutev koumlteacutest aacuteltalaacuteban vonal helyett nyiacutellal szoktuk jeloumllni A nyiacutel az elektronpaacuterdonor atomtoacutel
mutat az elektronpaacuter-akceptor atom feleacute
N B
H
HH F
FF
Termeacuteszetesen nemcsak az ammoacutenia nitrogeacutenje lehet elektronpaacuter-donor akaacuter ionok is adhatnak
elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesbe Peacuteldaacuteul a fluoridionnak (Fminus) is van 4 magaacutenos elektronpaacuterja
Mi toumlrteacutenik ha egy boacuter-trifluorid molekulaacutet eacutes egy fluoridiont koumlzeliacutetuumlnk egymaacuteshoz A
fluoridion egyik magaacutenos paacuterja datiacutev koumlteacutest leacutetesiacutet a boacutertrifluorid boacuteratomjaacuteval Egy anion keletkezik
melyben a neacutegy fluor egy boacuteratomot vesz koumlruumll
B
F
FF
F
A keletkező igen nagy stabilitaacutesuacute ion neve tetrafluoroboraacutet-anion Benne a neacutegy fluor-boacuter koumlteacutes
teljesen egyenranguacute nem lehet megkuumlloumlnboumlztetni a kolligaacutecioacutes elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesből
szaacutermazoacutetoacutel Mind a neacutegy fluoratom mind a boacuteratom eseteacuten teljesuumll az oktettszabaacutely (mindegyik atom
koumlruumll neacutegy elektronpaacuter talaacutelhatoacute) A negatiacutev toumllteacutes megoszlik a neacutegy fluoratomon egyiknek sincs
kituumlntetett szerepe
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 85
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Datiacutev koumlteacutes nemcsak keacutet kuumlloumlnaacutelloacute molekula vagy ion koumlzoumltt joumlhet leacutetre erre peacutelda a szeacuten-
monoxid molekula
A szeacuten-monoxidot feliacuterhatjuk uacutegy hogy kettős koumlteacutest iacuterunk a szeacuten- eacutes oxigeacutenatom koumlzeacute
C O
Mint laacutethatoacute az oxigeacutenatom koumlruumll neacutegy elektronpaacuter van iacutegy ez megfelel az oktettszabaacutelynak
Viszont a szeacutenatom koumlruumll csak hat elektron (3 elektronpaacuter) talaacutelhatoacute iacutegy elektronhiaacutenyos Az oxigeacuten a
keacutet elektronpaacuterja koumlzuumll az egyikkel datiacutev koumlteacutest tud leacutetesiacuteteni iacutegy haacutermas koumlteacutes alakul ki
C O
Az oxigeacuten az elektronpaacuterdonor a szeacuten pedig az elektronpaacuter-akceptor Ha oumlsszeszaacutemoljuk az
elektronokat a szeacuten eacutes az oxigeacuten koumlruumll azt tapasztaljuk hogy mindkeacutet elem eseteacuten teljesuumll az oktettelv
Eacuterdemes megjegyezni hogy a szeacuten-monoxidban a koumlteacutes gyakorlatilag apolaacuteris ami meglepő ha
belegondolunk hogy a szeacuten eacutes az oxigeacuten elektronegativitaacutesa koumlzoumltt mintegy egyseacutegnyi a kuumlloumlnbseacuteg
[EN(O) = 34 EN(C) = 25] Tehaacutet a koumlteacutesnek polaacuterisnak kellene lennie az elektronegativitaacutesok
alapjaacuten az oxigeacutenen kellene lennie az elektrontoumlbbletnek Mivel az oxigeacuten elektront (negatiacutev toumllteacutes) ad
be a datiacutev koumlteacutesbe a koumlteacutes polaritaacutesa csoumlkken Ebből nyilvaacutenvaloacutevaacute vaacutelik az is hogy az
elektronegativitaacutesok alapjaacuten nem mindig lehet egyeacutertelműen eldoumlnteni hogy egy koumlteacutes mennyire
polaacuteris
Delokalizaacutelt elektronok
Delokalizaacutecioacute ha egy elektron nem rendelhető egyeacutertelműen egy adott atomhoz vagy keacutemiai
koumlteacuteshez az elektront delokalizaacuteltnak tekintjuumlk
A latin eredetű szoacute jelenteacutese nem helyhez koumltoumltt A lokalizaacutelt (bdquohelyhez koumltoumlttrdquo) koumlteacutes joacutel
meghataacuterozottan keacutet atom koumlzoumltt helyezkedik el
Akkor joumln leacutetre delokalizaacutecioacute ha egy molekulapaacutelya kettőneacutel toumlbb atomra terjed ki
Koumlvetkezzen egy peacutelda delokalizaacutelt elektronszerkezetre
A benzol keacuteplete C6H6 siacutek szerkezetű molekulaacutejaacuteban a szeacutenatomok egy szabaacutelyos hatszoumlg
csuacutecsaiban talaacutelhatoacutek Az oktettelv teljesuumlleacutese ceacuteljaacuteboacutel a szeacutenatomok koumlzeacute vaacuteltakozva egyes eacutes kettős
koumlteacuteseket kellene berajzolnunk (oumlsszesen hat ζ- eacutes haacuterom π-koumlteacutes)
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
Mint koraacutebban emliacutetettuumlk a kettős koumlteacutes hossza roumlvidebb az egyes koumlteacuteseacuteneacutel iacutegy a benzol eseteacuten
is vaacuteltakozoacute hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket kellene kapnunk A kiacuteseacuterleti vizsgaacutelatok azonban ndash ezek alapjaacuten
kisseacute meglepő moacutedon ndash a szeacutenatomok koumlzoumltt azonos hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket aacutellapiacutetottak meg Ez azt
sejteti hogy a szeacutenatomok koumlzoumltti koumlteacutes nem tekinthető sem egyes sem kettős koumlteacutesnek hanem
valahol a kettő koumlzoumltt van A benzol 3 middot 2 = 6 π-elektronja delokalizaacuteloacutedik a hat szeacutenatom foumlloumltt Ennek
megjeleniacuteteacuteseacutere gyakran alkalmazzuk az alaacutebbi keacutepletjeloumlleacutest (a karika a hat delokalizaacuteloacutedott elektront
jeleniacuteti meg)
86 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
31 peacutelda
Iacuterjuk fel a koumlvetkező molekulaacutek elektronszerkezeteacutet
a) hidrogeacuten-klorid (HCl)
b) viacutez (H2O)
c) etileacuten (H2CCH2)
d) acetileacuten (HCCH)
e) szeacuten-dioxid (CO2)
f) keacuten-dioxid (SO2)
g) keacuten-trioxid (SO3)
h) ammoacuteniumion (NH4+)
Megoldaacutes
a) A hidrogeacuten-kloridban egy koumltő elektronpaacuteron keresztuumll joumln leacutetre a kovalens koumlteacutes a
kloacuteratomnak pedig van haacuterom magaacutenos elektronpaacuterja
H Cl
Mivel a hidrogeacuten eacutes a kloacuter elektronegativitaacutesa jelentősen elteacuterő [EN(H) = 21 EN(C) = 31] a
koumlteacutes polaacuteris kovalens koumlteacutesnek tekinthető
b) A viacutezmolekulaacuteban az oxigeacuten hat vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel kettőt bead a keacutet egyes koumlteacutesbe iacutegy a
dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha a megfelelő toumllteacutesek uacutegy rendeződnek hogy koumlzoumlttuumlk a
legnagyobb stabilizaacutecioacute joumlhessen leacutetre Ezt orientaacutecioacutes hataacutesnak (effektusnak) nevezzuumlk
3121 aacutebra A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesaacutet megfigyelhetjuumlk a koumlvetkező animaacutecioacuten
3121 animaacutecioacute A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Hidrogeacutenkoumlteacutes (vagy hidrogeacutenhiacutedkoumlteacutes) olyan molekulaacutek koumlzoumltt joumln leacutetre melyekben a
hidrogeacutenatom egy kiemelkedően nagy elektronegativitaacutesuacute atomjaacutehoz kapcsoloacutedik
A hidrogeacutenkoumlteacutes az aacutetlagos dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel erősebb a legerősebb maacutesodrendű koumlteacutes A
hidrogeacutenkoumlteacutes leacutetrejoumltteacutenek felteacutetele hogy a keacutet atom elektronegativitaacutesa koumlzoumltt nagy kuumlloumlnbseacuteg
legyen Aacuteltalaacuteban akkor szaacutemiacutethatunk hidrogeacutenkoumlteacutes kialakulaacutesaacutera ha a hidrogeacutenatom oxigeacutenhez
nitrogeacutenhez vagy fluorhoz kapcsoloacutedik A hidrogeacutenkoumlteacutes rendkiacutevuumll fontos oumlsszetartoacute erő megtalaacutelhatoacute
szaacutemos termeacuteszetes vegyuumlletben
A viacutez az egyik legfontosabb vegyuumllet melynek molekulaacutei koumlzoumltt hidrogeacutenkoumlteacutes talaacutelhatoacute
O
H
H
H O
H
H
O H
()
()
()
()
()
()
()
()
()
3122 aacutebra A hidrogeacutenkoumlteacutes
Dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumllcsoumlnhataacutes egy dipoacutelusmolekula eacutes egy apolaacuteris molekula koumlzoumltt
leacutetrejoumlvő oumlsszetartoacute erő
A dipoacutelusmolekula kismeacuterteacutekű toumllteacutesmegoszlaacutest okoz a koumlzeleacuteben talaacutelhatoacute apolaacuteris molekulaacuteban
ezt indukaacutelt polarizaacutecioacutenak nevezzuumlk A dipoacutelusmolekula eacutes az indukaacutelt polaritaacutessal rendelkező
molekula koumlzoumltt iacutegy elektrosztatikus vonzaacutes joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 89
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
3123 aacutebra A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes gyengeacutebb a dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel mivel az apolaacuteris molekula
csak igen kismeacuterteacutekben tud polarizaacuteloacutedni
3122 animaacutecioacute A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes az apolaacuteris molekulaacutekat oumlsszetartoacute gyenge koumllcsoumlnhataacutes
A diszperzioacutes koumlteacutest szoktaacutek London-koumllcsoumlnhataacutesnak is nevezni
A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes alapja hogy egy molekula (vagy atom) elektronjai folyamatos
veacuteletlenszerű (rezgő) mozgaacutest veacutegeznek iacutegy meacuteg az apolaacuteris molekulaacutekban is leacutetrejoumln kismeacuterteacutekű
polarizaacutecioacute Az iacutegy leacutetrejoumltt pillanatszerű polarizaacuteltsaacuteg a szomszeacutedos apolaacuteris molekulaacutet polarizaacutelja
(hasonloacutean a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez) Tehaacutet oumlnmagaacuteban az apolaacuteris molekulaacutek
eseteacuten is leacutetrejoumlhet pillanatszerű aszimmetrikus toumllteacuteseloszlaacutes indukaacutelt polarizaacutecioacute (megjegyzeacutes az
apolaacuteris jelleg viszont időben kiaacutetlagoloacutedik eacutes iacutegy oumlsszesseacutegeacuteben nem tapasztalunk dipoacutelusjelleget) A
keletkezett gyengeacuten polarizaacutelt molekulaacutek koumlzoumltt elektrosztatikus vonzoacuteerő joumln leacutetre melynek
eredmeacutenye a gyenge diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
3124 aacutebra A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
A maacutesodrendű koumlteacutesek noumlvekvő erősseacuteg szerinti sorrendje
1 Mit mond ki az oktettelv (vagy maacuteskeacutepp oktettszabaacutely)
2 Mi az elsőrendű eacutes a maacutesodrendű keacutemiai koumlteacutes
3 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a homonukleaacuteris eacutes a heteronukleaacuteris keacutemiai koumlteacutes koumlzoumltt
4 Definiaacutelja az ionos koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
5 Definiaacutelja a feacutemes koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
6 Definiaacutelja a kovalens koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
+minus
90 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
7 Mit jelent ha egy kovalens koumlteacutes polaacuteris vagy apolaacuteris
8 Mieacutert nem teljesuumll az oktettszabaacutely a hidrogeacuten eseteacuten
9 A boacuter-trifluoridot (BF3) elektronhiaacutenyos vegyuumlletkeacutent szoktaacutek emlegetni Mieacutert
10 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a kolligaacutecioacutes eacutes a datiacutev kovalens koumlteacutes koumlzoumltt
11 Hogyan jellemezhető a kovalens koumlteacutes erősseacutege
12 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat koumlteacuteshossz koumlteacutesi energia
13 Keacutet elem elektronegativitaacutesa alapjaacuten hogyan becsuumllhető meg hogy ezen elemek atomja koumlzoumltt
milyen tiacutepusuacute (elsőrendű) keacutemiai koumlteacutes joumlhet leacutetre
14 Mi a magaacutenos elektronpaacuter Nevezzen meg neacutehaacuteny molekulaacutet melyben valamely atom
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral
15 Hogyan definiaacutelnaacute a kettős koumlteacutest eacutes a haacutermas koumlteacutest Mi a ζ- eacutes a π-koumlteacutes Soroljon fel neacutehaacuteny
molekulaacutet melyben kettős illetve haacutermas koumlteacutes talaacutelhatoacute
16 Sorolja fel a maacutesodrendű koumlteacutes fajtaacuteit hasonliacutetsa oumlssze őket a fizikai jelenseacuteg illetve a
koumlteacuteserősseacuteg szempontjaacuteboacutel
17 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a dipoacutelus-dipoacutelus a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus eacutes diszperzioacutes koumlteacutesek koumlzoumltt
18 Milyen koumlteacutes joumlhet leacutetre a koumlvetkező vegyuumlletek molekulaacutei koumlzoumltt
a viacutez (H2O)
b kloroform (maacutes neacuteven trikloacutermetaacuten CHCl3)
c metaacuten (CH4)
d joacuted (I2)
e hidrogeacuten-fluorid (HF)
f keacuten-dioxid (SO2)
g argon (Ar)
h hidrogeacuten-jodid (HI)
32 A molekulaacutek alakja
321 A molekulageometria
A molekulaacutek elektronszerkezete eacutes alakja koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes aacutell fenn Tehaacutet mielőtt egy
molekula szerkezeteacutet felrajzolnaacutenk fontos aacutetgondolni hogy a molekulaacuteban milyen koumlteacutesek
talaacutelhatoacuteak Az elektronok negatiacutev toumllteacutesuumlk folytaacuten tasziacutetjaacutek egymaacutest iacutegy a molekula elektronpaacuterjai
egymaacutestoacutel a lehető legtaacutevolabb szeretneacutenek elhelyezkedni
A molekulaacutek szerkezeteacutet a vegyeacuterteacutek-elektronpaacuterok hataacuterozzaacutek meg a koumltő eacutes magaacutenos
elektronpaacuterok uacutegy helyezkednek el hogy taacutevolsaacuteguk maximaacutelis legyen
Fontos megaacutellapiacutetaacutesok
ndash a kettős koumlteacutesek teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacutesekeacute a haacutermas koumlteacutesekeacute pedig nagyobb
mint a kettős koumlteacutesekeacute
ndash a magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban nagyobb mint a koumltő elektronpaacuterokeacute
Ha egy molekula szerkezeteacutet (geometriaacutejaacutet) szeretneacutenk meghataacuterozni az első leacutepeacutes megaacutellapiacutetani
hogy haacuteny koumltő eacutes magaacutenos elektronpaacuterral rendelkeznek az egyes atomok eacutes hogy a koumltő
elektronpaacuterok haacutenyszoros koumlteacutessel kapcsoljaacutek oumlssze az egyes atomokat
A koumlzponti atomot A-val a hozzaacute kapcsoloacutedoacute atomot X-szel a koumlzponti atom magaacutenos
elektronpaacuterjaacutet pedig E-vel szokaacutes jeloumllni
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 91
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A koumlzponti atomhoz kapcsoloacutedoacute atomot vagy atomcsoportot ligandumnak nevezzuumlk
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
Koumlteacutesszoumlg a ligandumok atommagjaacutet eacutes a koumlzponti atom atommagjaacutet oumlsszekoumltő szakaszok aacuteltal
bezaacutert szoumlg (A koumlteacutesszoumlg 180deg-naacutel nem lehet nagyobb eacuterteacutekű) XAXrsquo koumlteacutesszoumlg az aacutebra alapjaacuten
A
X
X
XAX szoumlg
Baacutermely egyszerű biner (keacutet elemből aacutelloacute) molekulaacutet feliacuterhatunk AXnEm alakban (Az X jeloumllhet
aacuteltalaacutenos ligandumot is tehaacutet nem biztos hogy azonos ligandumokroacutel van szoacute A tovaacutebbiakban azon
molekulaacutekkal foglalkozunk melyek koumlzponti atomja koumlruumll azonos ligandumok talaacutelhatoacutek)
A molekula alakjaacuten vagy geometriaacutejaacuten a ligandumok atommagjai aacuteltal meghataacuterozott
geometriai alakzatot eacutertjuumlk
Lineaacuteris molekula egy haacuterom- vagy toumlbbatomos molekula lineaacuteris ha minden atommagja
ugyanarra az egyenesre esik (A keacutetatomos molekulaacutek eseteacuten az atommagok mindig egy egyenesre
esnek itt nincs eacutertelme linearitaacutesroacutel beszeacutelni)
Erre egy peacutelda az acetileacuten- (etin-) molekula
C CH H
Siacutek vagy planaacuteris molekula minden atomja egy siacutekba esik
Peacuteldaacuteul a koraacutebban emliacutetett boacuter-trifluorid siacutekmolekula mivel az oumlsszes atomja egy siacutekban
talaacutelhatoacute az FBF koumlteacutesszoumlgek 120deg-osak eacutes a haacuterom FminusBminusF koumlteacutesszoumlg oumlsszege kiadja a teljesszoumlget
(360deg)
B
F
FF
322 A molekulaacutek polaritaacutesa
Maacuter a keacutemiai koumlteacutesekkel foglalkozoacute fejezet elejeacuten emliacutetettuumlk az apolaacuteris eacutes a dipoacutelusmolekula
fogalmaacutenaacutel hogy a molekula polaritaacutesa szempontjaacuteboacutel nemcsak a koumlteacutesek polaritaacutesa szaacutemiacutet hanem
azok teacuterbeli elrendeződeacutese is
Azon molekula melyben csak apolaacuteris koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak az mindig apolaacuteris A polaacuteris
koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula lehet apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula ha a koumlteacutesek dipoacutelusvektorainak
eredője nullvektor a molekula apolaacuteris ha a dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus vektor a
molekulaacutenak van eredő dipoacutelusa tehaacutet dipoacutelusmolekulaacuteroacutel van szoacute
Ezt szemleacuteltessuumlk is egy-keacutet peacuteldaacuteval
Szeacutenhidrogeacutenek olyan vegyuumlletek melyek csak szeacuten- eacutes hidrogeacutenatomot tartalmaznak Neacutehaacuteny
Az oumlt elektronpaacuterboacutel haacuterom egy siacutekban rendeződik el haacuteromszoumlg alakban a maacutesik keacutet elektronpaacuter
pedig a siacutek alatt illetve foumlloumltt helyezkedik el Az oumlt AminusX koumlteacutesből haacuterom elteacuter a maacutesik kettőtől elteacuterő
koumlrnyezetben talaacutelhatoacute iacutegy ezen koumlteacutesek hossza aacuteltalaacuteban elteacuter a maacutesik keacutet koumlteacutes hosszaacutetoacutel
A haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ligandumok poziacutecioacutejaacutet ekvatoriaacutelisnak miacuteg az erre
merőlegesekeacutet pedig axiaacutelisnak (vagy apikaacutelisnak) nevezzuumlk
Keacutet egymaacutes melletti ekvatoriaacutelis helyzetben leacutevő ligandum koumlzoumltti koumlteacutesszoumlg 120deg miacuteg egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis ligandum koumlzoumltt 90deg-os a koumlteacutesszoumlg
Az iacutegy keletkező szerkezet olyan mintha keacutet haacuteromszoumlg alapuacute piramist egy lapjukon
oumlsszeilleszteneacutenk ezeacutert az ilyen molekulageometria elnevezeacutese haacuteromszoumlg alapuacute bipiramis vagy
trigonaacutelis bipiramis
Az ilyen koumlteacuteselrendeződeacutes eseteacuten a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor a molekula apolaacuteris
Peacutelda PF5 AsCl5
Megjegyzeacutes oumlt ligandum nemcsak haacuteromszoumlg alapuacute piramis alakban rendeződhet el hanem
lehetseacuteges egy maacutesfajta elrendeződeacutes is melynek neve neacutegyzet alapuacute piramis vagy tetragonaacutelis
piramis Ekkor a ligandumok egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela csuacutecsaiban foglalnak helyet
94 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Rendszerint a trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutes energetikailag kedvezőbb mint a tetragonaacutelis
piramisos
n = 6 m = 0 AX6E0
A hat elektronpaacuter teacuterben uacutegy helyezkedik el egymaacutestoacutel legtaacutevolabb ha a koumlzponti atomot egy
oktaeacuteder koumlzepeacutebe a ligandumokat pedig az oktaeacuteder hat csuacutecsaacuteba helyezzuumlk Az oumlsszes AminusX koumlteacutes
hossza azonos Keacutet egymaacutes melletti X eacutes Xrsquo ligandum eseteacuten az XAXrsquo szoumlg 90deg-os
Az ilyen elrendeződeacutest oktaeacutederes geometriaacutenak nevezzuumlk
Ha egy molekula alakja oktaeacuteder akkor nem lehet dipoacutelusmolekula
Peacutelda SF6 PF6minus
n = 7 m = 0 AX7E0
Az alaacutebbiakban csak a legjellegzetesebb geometria kialakulaacutesaacutet ndash elsősorban eacuterdekesseacutegkeacutent ndash
taacutergyaljuk A heacutet elektronpaacuterboacutel oumlt egy siacutekban egy szabaacutelyos oumltszoumlg csuacutecsainak iraacutenyaacuteban helyezkedik
el A koumlzponti atom az oumltszoumlg koumlzeacuteppontjaacuteban talaacutelhatoacute a hozzaacute kapcsoloacutedoacute oumlt ligandum pedig az
oumltszoumlg csuacutecsaiban A fennmaradoacute keacutet ligandum az oumltszoumlg siacutekja feleacute eacutes alaacute keruumll uacutegy hogy ezen keacutet
ligandum eacutes a koumlzponti atom egy egyenesbe esik A molekulaacuteban keacutetfeacutele koumlteacuteshosszt figyelhetuumlnk
meg aacuteltalaacuteban az oumltszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute koumlteacutesek eacutes a maacutesik keacutet koumlteacutes aacuteltalaacuteban nem egyforma
hosszuacutesaacuteguacute
A keletkező molekula geometriaacutejaacutet oumltszoumlg alapuacute bipiramisnak vagy pentagonaacutelis bipiramisnak
nevezzuumlk
A szimmetrikus elrendeződeacutes koumlvetkezteacuteben a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor iacutegy a molekula
apolaacuteris
Peacutelda IF7
n = 8 m = 0 AX8E0
Csak az eacuterdekesseacuteg eacutes teljesseacuteg kedveacuteeacutert emliacutetjuumlk meg ezt az elrendeződeacutest rendkiacutevuumll ritka A
nyolc koumltő elektronpaacuter egy neacutegyzetes antiprizma csuacutecsain helyezkedik el A neacutegyzetes antiprizma
uacutegy aacutelliacutethatoacute elő ha egy neacutegyzet alapuacute egyenes hasaacuteb alapjaacutet eacutes fedőlapjaacutet egymaacuteshoz keacutepest 45deg-ban
elforgatjuk
A molekula apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Peacutelda XeF82minus
Miutaacuten megbirkoacuteztunk az egyszerűbb magaacutenos elektronpaacutert nem tartalmazoacute molekulaacutek
szerkezeteacutevel most vizsgaacuteljunk bonyolultabb eseteket ahol a koumltő elektronpaacuterok mellett magaacutenos
elektronpaacuterok is talaacutelhatoacutek a koumlzponti atom vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
n = 2 m = 1 AX2E1
A molekula koumlzponti atomja koumlruumll haacuterom elektronpaacuter talaacutelhatoacute melyek koumlzuumll kettő koumltő
elektronpaacuter A haacuterom elektronpaacuter eseteacuten az ideaacutelis elrendeződeacutes haacuteromszoumlg alakuacute a haacuteromszoumlg keacutet
csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum
A magaacutenos elektronpaacutert tartalmazoacute haacuteromatomos AX2E molekula geometriaacutejaacutet hajlottnak vagy
V-alakuacutenak nevezzuumlk
Amennyiben az AminusX koumlteacutes polaacuteris a V-alakuacute molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda SO2 NO2minus
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 95
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
n = 2 m = 2 AX2E2
Neacutegy elektronpaacuter (keacutet koumltő keacutet magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll ezek
tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder keacutet csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum a maacutesik keacutet csuacutecs
iraacutenyaacuteba a magaacutenos paacuterok mutatnak
A keacutet magaacutenos elektronpaacuterral rendelkező haacuteromatomos molekulaacutek geometriaacuteja az előző ponthoz
hasonloacutean hajlott vagy V-alakuacute
Az ilyen geometriaacutejuacute molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda H2O H2S
n = 2 m = 3 AX2E3
Oumlsszesen oumlt elektronpaacuter (keacutet koumltő haacuterom magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll
iacutegy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesre szaacutemiacutetunk A magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban
nagyobb mint a ligandumokeacute iacutegy ezek foglaljaacutek el a haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ekvatoriaacutelis
poziacutecioacutekat a keacutet ligandum pedig a siacutek alaacute eacutes foumlleacute keruumll Az XAXrsquo szoumlg iacutegy 180deg-os tehaacutet a molekula
geometriaacuteja lineaacuteris
A molekula apolaacuteris (laacutesd az AX2 esetet)
Peacutelda XeF2 I3minus
Megjegyzeacutes eacuterdemes aacutetgondolni mieacutert is keruumll a nagyobb teacuterigeacutenyű csoport az ekvatoriaacutelis
poziacutecioacuteba Egy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesű modell eseteacuten legyen az axiaacutelis ligandum Xax az
ekvatoriaacutelis ligandum pedig Xekv Mivel az XekvminusAminusXrsquoekv koumlteacutesszoumlg 120deg az XaxminusAminusXekv koumlteacutesszoumlg
pedig csak 90deg keacutet ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacuteg kisebb mint egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltt Ezeacutert a nagyobb teacuterigeacutenyű
csoport ndash hogy a toumlbbi ligandumtoacutel a legtaacutevolabb helyezkedjen el az ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll
n = 3 m = 1 AX3E1
Ebben az esetben neacutegy elektronpaacuter (haacuterom koumltő egy magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti
atomja koumlruumll iacutegy ezek tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder haacuterom csuacutecsaacuten talaacutelhatoacute ligandum iacutegy
ezek egy siacutekba esnek A magaacutenos elektronpaacuter nagyobb teacuterigeacutenye folytaacuten az XAXrsquo aacuteltalaacuteban kisebb a
tetraeacutederben leacutevőneacutel (azaz 1095deg-naacutel)
A molekula geometriaacuteja haacuteromszoumlg alapuacute piramisos vagy trigonaacutelis piramisos
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda NH3 PF3
n = 3 m = 2 AX3E2
Az elektronpaacuterok szaacutema haacuterom koumltő eacutes keacutet magaacutenos oumlsszesen oumlt elektronpaacuter mely trigonaacutelis
bipiramis alakzatot vesz fel A magaacutenos elektronpaacuteroknak nagyobb a teacuterigeacutenyuumlk ezeacutert ezek az
ekvatoriaacutelis poziacutecioacutekba keruumllnek A haacuterom ligandum koumlzuumll kettő axiaacutelis helyzetben van a harmadik
pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula szerkezete T-alakuacute
Amennyiben az AminusX koumlteacutesek polaacuterisak a molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda ClF3
n = 4 m = 1 AX4E1
96 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az oumlt elektronpaacuterboacutel neacutegy koumltő eacutes egy magaacutenos ismeacutet trigonaacutelis bipiramis alakzatot vesz fel A
magaacutenos elektronpaacuter ebben az esetben is ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll A neacutegy ligandum koumlzuumll kettő
axiaacutelis helyzetben van a maacutesik kettő pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula geometriaacutejaacutet meacuterleghinta alakuacutenak nevezzuumlk (ritkaacutebban torzult tetraeacutedernek is
nevezik)
Mivel a dipoacutelusvektorok eredője nem nullvektor a molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda SF4
n = 4 m = 2 AX4E2
A koumlzponti atomhoz oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik neacutegy koumltő eacutes keacutet magaacutenos ezek
oktaeacutederesen rendeződnek el A magaacutenos elektronpaacuterok keacutet egymaacutessal ellenteacutetes poziacutecioacutet foglalnak
el hogy tasziacutetaacutesukat csoumlkkentseacutek A toumlbbi neacutegy ligandum neacutegyzet alakban rendeződik el
Az ilyen molekula geometriaacuteja neacutegyzetes vagy tetragonaacutelis planaacuteris
A molekula apolaacuteris (meacuteg polaacuteris AminusX koumlteacutesek eseteacuten is)
Peacutelda XeF4
n = 5 m = 1 AX5E1
Oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik koumlzponti atomhoz ezek ismeacutet oktaeacutederesen rendeződnek el
Az oktaeacuteder egyik csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula neacutegyzetes piramisos vagy tetragonaacutelis piramisos szerkezetű
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda BrF5
n = 6 m = 1 AX6E1
A koumlzponti atomon heacutet elektronpaacuter talaacutelhatoacute ezek pentagonaacutelis bipiramis alakba rendeződnek
ennek az oumltszoumlg siacutekja alatti (vagy feletti) csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula oumltszoumlg alapuacute piramisos vagy pentagonaacutelis piramisos szerkezetű
A molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda XeF6
Az alaacutebbi taacuteblaacutezatban a kuumlloumlnfeacutele alapmolekulaacutek szerkezeteacutet foglaltuk oumlssze
n m Keacuteplet
Elektronpaacuterok
elrendeződeacutese a
koumlzponti atom
koumlruumll
Molekula
alakja Koumlteacutesszoumlgek
Polaritaacutes
(ha AminusX
koumlteacutes
polaacuteris)
Peacutelda
1 AX A X polaacuteris HCl
2 0 AX2 lineaacuteris lineaacuteris A XX
XAX 180deg apolaacuteris CO2
1 AX2E trigonaacutelis planaacuteris hajlott vagy
V-alakuacute X
A
X
polaacuteris SO2
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 97
Az etileacuten keacuteplete C2H4 A keacutet szeacutenatom koumlzoumltt kettős koumlteacutes van a szeacutenatomok koumlruumll haacuterom
ligandum helyezkedik el (egy szeacuten eacutes keacutet hidrogeacuten) ezek haacuteromszoumlg alakban rendeződnek Mivel a
kettős koumlteacutes teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacuteseacute a HCH-koumlteacutesszoumlg kisebb mint a HCC-
koumlteacutesszoumlg
C C
H
H H
H
Az etileacutenmolekula apolaacuteris mivel minden koumlteacutese apolaacuteris Megjegyezzuumlk ha az oumlsszes hidrogeacutent
lecsereacuteljuumlk neacutegy olyan azonos atomra hogy a koumlteacutes polaacuterissaacute vaacuteljon (peacuteldaacuteul fluor) az iacutegy keletkező
molekula is apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Acetileacuten (etin)
Keacuteplete C2H2 a szeacutenatomok koumlzoumltt haacutermas koumlteacutes helyezkedik el A szeacutenatom koumlruumll keacutet ligandum
van (egy szeacuten eacutes egy hidrogeacuten) lineaacuteris geometria
C CH H
Az acetileacuten ndash a toumlbbi szeacutenhidrogeacutenhez hasonloacutean ndash apolaacuteris molekulaacutejuacute
Dikloacuter-metaacuten
1
1
90deg arsquo
6 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 MATEMATIKAI EacuteS FIZIKAI ALAPOK
Ebben a bevezető jellegű fejezetben az első feacuteleacuteves Keacutemiai alapok eacutes Aacuteltalaacutenos keacutemia gyakorlat
elsajaacutetiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges legfontosabb matematikai eacutes fizikai oumlsszefuumlggeacuteseket vesszuumlk sorra
11 Matematikai alapok
111 A meacutereacutesek eacutes szaacutemiacutetaacutesok pontossaacutega
A meacuterhető mennyiseacutegeknek keacutet nagy csoportjaacutet kuumlloumlnboumlztethetjuumlk meg Az egyik az uacutegynevezett
diszkreacutet vaacuteltozoacuteval leiacuterhatoacute mennyiseacuteg melyeket pontosan szaacutemszerűsiacuteteni tudunk Ilyen peacuteldaacuteul a
darabszaacutem ismeruumlnk olyat hogy egy darab alma vagy neacutegy darab alma de nincs tuacutel sok eacutertelme 254
darab almaacuteroacutel beszeacutelni A maacutesik csoportba olyan mennyiseacutegek tartoznak melyek eacuterteacuteke folytonosan
vaacuteltozhat azaz nem csak adott egeacutesz eacuterteacutekeket vehet fel Ilyen peacuteldaacuteul a toumlmeg a teruumllet az
aacuteramerősseacuteg az anyagmennyiseacuteg eacutes iacutegy tovaacutebb Ezekre jellemző hogy eacuterteacutekuumlk baacutermilyen ndash nem
felteacutetlenuumll egeacutesz ndash eacuterteacuteket felvehet Ennek van egy rendkiacutevuumll fontos koumlvetkezmeacutenye az ilyen
mennyiseacutegek meacutereacutesekor elkoumlvetett hiba befolyaacutesolja a meacutereacutes pontossaacutegaacutet
Vegyuumlnk egy egyszerű peacuteldaacutet Toumlmegmeacutereacutesneacutel egyaacuteltalaacuten nem mindegy milyen bdquofajtardquo meacuterleget
hasznaacutelunk hogy peacuteldaacuteul tehermeacutereacutesre hasznaacutelatos bdquomaacutezsaacutenrdquo szemeacutelymeacuterlegen konyhai meacuterlegen
vagy a laboratoacuterium analitikai meacuterlegeacuten meacuterjuumlk meg egy taacutergy toumlmegeacutet A kuumlloumlnboumlző meacuterlegeket
kuumlloumlnfeacutele meacutereacuteshataacuterokra tervezteacutek eacutes elteacuterő pontossaacuteggal is rendelkeznek Peacuteldaacuteul miacuteg egy maacutezsa
vagy egy szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm addig egy analitikai meacuterleg pontossaacutega
toumlbbnyire 00001 gramm vagy akaacuter meacuteg enneacutel kisebb is lehet Mit is jelent ez a pontossaacuteg kifejezeacutes
Ha egy digitaacutelis szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm eacutes a meacuterleg 764 kilogrammot mutat
akkor a teacutenyleges toumlmegről annyit tudunk hogy igen nagy valoacutesziacutenűseacuteggel a 763 kilogramm eacutes 765
kilogramm koumlzoumltt van Eacutes ebből az is koumlvetkezik hogy 764 kilogrammnak laacutetjuk toumlmeguumlnket akkor
is ha az 76359 kilogramm vagy akaacuter 76432 kilogramm mivel a meacuterleg nem keacutepes pontosabban
kijelezni az eacuterteacuteket
Vegyuumlnk egy maacutesik peacuteldaacutet Egy seprűnyeacutel hosszaacutenak meghataacuterozaacutesaacutet veacutegezzuumlk eacutes keacutetfeacutele
meacuterőszalag aacutell rendelkezeacutesuumlnkre az egyiken centimeacuteter-beosztaacutes van a maacutesikon a millimeacutetereket is
feltuumlntetteacutek az előzőt kisebb pontossaacuteguacutenak az utoacutebbit nagyobb pontossaacuteguacutenak tekintjuumlk A seprűnyeacutel
hosszaacutet egy nagyon pontos meacutereacutessel is megmeacutertuumlk eacutes 168314 centimeacuteternek adoacutedott Ha megmeacuterjuumlk
ezt a taacutergyat a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal millimeacuteter pontossaacuteggal ismerjuumlk a taacutergy hosszaacutet
mely 168 centimeacuteter eacutes 3 millimeacuteter Ha azonban a maacutesik centimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal meacuterjuumlk
meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet csak a centimeacuteteregyseacutegeket tudjuk leolvasni ami esetuumlnkben 168
esetleg szemre tudjuk becsuumllni a harmad centimeacuteternyi taacutevolsaacutegot Ebben az esetben azonban nem
adhatjuk meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet 1683 centimeacuteternek mert a meacuterőszalag beosztaacutesa ezt nem teszi
lehetőveacute A centimeacuteter pontossaacuteguacute meacuterőszalaggal meacuterve a helyesen megadott mennyiseacuteg 168
centimeacuteter
Tegyuumlk fel hogy a fentebb emliacutetett seprűnyelet megmeacuterjuumlk a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalag
segiacutetseacutegeacutevel eacutes hosszaacutet egeacuteszen pontosan 1683 centimeacuteternek olvassuk le azaz szemre nem
eacuterzeacutekeluumlnk elteacutereacutest a millimeacuteteregyseacutegben Ilyenkor azonban nem adhatjuk meg a seprűnyeacutel hosszaacutet az
alaacutebbi alakban 168300 centimeacuteter de meacuteg iacutegy sem 16830 centimeacuteter mivel a meacuterőeszkoumlz
pontossaacutega ezt nem teszi lehetőveacute A helyes megadaacutesi moacuted a koumlvetkező 1683 centimeacuteter
Akaacuter laboratoacuteriumban dolgozunk akaacuter szaacutemiacutetaacutesi feladatot oldunk meg gyakran előfordul hogy
az adatok pontossaacutegaacutet is figyelembe kell vennuumlnk Ha meacutereacutest veacutegzuumlnk aacuteltalaacuteban ismerjuumlk a meacutereacutes
pontossaacutegaacutet eacutes ebből meg tudjuk aacutellapiacutetani milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű megadnunk az eredmeacutenyt
Viszont a szaacutemiacutetaacutesi feladatok is aacuteltalaacuteban kiacuteseacuterleti eredmeacutenyeken alapulnak ezeacutert ott is fontos szem
előtt tartani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacutet A fentiek alapjaacuten jelentős kuumlloumlnbseacuteg van peacuteldaacuteul az 10 dm3
eacutes az 10000 dm3 koumlzoumltt Az első esetben csak az első tizedesjegyben lehetuumlnk biztosak a valoacutesaacutegban
lehet hogy 102 dm3 vagy 098 dm3 az eacuterteacutek A maacutesodik esetben azonban biztosak lehetuumlnk abban
hogy neacutegy tizedesjegy pontossaacuteggal ismerjuumlk az eacuterteacuteket Termeacuteszetesen egy adott teacuterfogatot nem csak
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 7
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
dm3-ben hanem maacutes meacuterteacutekegyseacutegben is megadhatunk azaz 10000 dm3 megegyezik 10000 cm3-rel
Innen laacutethatjuk hogy nem a tizedesjegyek szaacutema szaacutemiacutet
Az eacuterteacutekes jegy fogalmaacutet a pontossaacuteg definiaacutelaacutesaacutera vezetteacutek be Eacuterteacutekes jegynek tekintjuumlk a szaacutem
szaacutemjegyeit kiveacuteve az egyneacutel kisebb szaacutemok elejeacuten talaacutelhatoacute nullaacutet illetve nullaacutekat (azon nullaacutekat
melyek csak a helyi eacuterteacuteket jelzik) Az 10 dm3 feliacuteraacutesban 2 eacuterteacutekes jeggyel adtuk meg a pontossaacutegot
az 10000 dm3 eseteacuten pedig 5 eacuterteacutekes jegyről beszeacuteluumlnk Viszont a 002 dm
3 eseteacuten probleacutemaacuteba
uumltkoumlzuumlnk Ebben az esetben az első keacutet nulla nem szaacutemiacutet eacuterteacutekes jegynek csupaacuten a 2-es szaacutemjegy A
legegyszerűbb moacutedja az eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutenak hogy a mennyiseacuteget aacutetiacuterjuk normaacutel alakba
eacutes megaacutellapiacutetjuk hogy haacuteny szaacutemjegyet tartalmaz a 10 megfelelő hatvaacutenya előtt aacutelloacute szorzoacute teacutenyező
A fenti peacuteldaacuteban 002 dm3 = 2 middot 10ndash2 dm3 azaz 1 eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal ismerjuumlk a teacuterfogatot Az
eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutera az alaacutebbi szabaacutelyokat ismerjuumlk
Az egyneacutel kisebb szaacutemokban az első nem zeacuterus szaacutemjegyet megelőző nullaacutek nem szaacutemiacutetanak
eacuterteacutekes jegynek Peacuteldaacuteul 0000060 g = 60 middot 10ndash5 g azaz keacutet eacuterteacutekes jegyet tartalmaz
Baacutermely maacutes esetben (azaz ha van előtte nem zeacuterus szaacutemjegy) a nulla is eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Peacuteldaacuteul a 10000 dm3-ben 5 eacuterteacutekes jegy talaacutelhatoacute
A nullaacutetoacutel elteacuterő minden szaacutemjegy eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Fontos megjegyezni hogy a meacuterteacutekegyseacutegek aacutetvaacuteltaacutesa nem okozhat vaacuteltozaacutest az eacuterteacutekes jegyek
szaacutemaacuteban azaz sem nem noumlvekedhet sem nem csoumlkkenhet az eacuterteacutekes jegyek szaacutema Iacutegy peacuteldaacuteul
0067060 km = 67060 m = 67060 cm = 67060 mm = 67060 middot 10ndash2 km mint laacutetjuk minden esetben 5
eacuterteacutekes jegy a pontossaacuteg
Ha szaacutemiacutetaacutesi feladatokat oldunk meg szaacutemoloacutegeacutepuumlnkkel aacuteltalaacuteban igen sok tizedes jegy
pontossaacutegra keacutepesek vagyunk meghataacuterozni az eredmeacutenyeket Azonban a sok-sok tizedes jegy
megadaacutesa gyakran teljesen felesleges A koumlvetkezőkben azt vizsgaacuteljuk meg hogy egy szaacutemiacutetaacutesi
feladat megoldaacutesa soraacuten milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű a szaacutemiacutetaacutesokat elveacutegezni eacutes a veacutegeredmeacutenyt
megadni
A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten ceacutelszerű a lehető legpontosabban szaacutemolni mivel iacutegy tudjuk lecsoumlkkenteni a
kerekiacuteteacutesekből adoacutedoacute hibaacutekat Ha rendelkezeacutesre aacutell szaacutemoloacutegeacutep akkor eacuterdemes az adatokat megtartani
a szaacutemoloacutegeacutepben eacutes azokkal szaacutemolni tovaacutebb
Ha a feladat veacutegeacutere eacutertuumlnk a veacutegeredmeacuteny megadaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacutepp ceacutelszerű veacutegezni
vizsgaacuteljuk meg a feladat szoumlvegeacuteben talaacutelhatoacute adatok pontossaacutegaacutet azaz aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny
eacuterteacutekes jegyre van megadva Ezutaacuten meg kell aacutellapiacutetanunk hogy melyik mennyiseacuteg tartalmazza a
legkevesebb eacuterteacutekes jegyet azaz melyik van a legpontatlanabbul megadva A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten csupaacuten
matematikai műveleteket veacutegzuumlnk eacutes iacutegy nem tudunk javiacutetani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacuten Tehaacutet a
veacutegeredmeacuteny pontossaacutegaacutet a legpontatlanabbul megadott kiindulaacutesi adat pontossaacutega szabja meg a
veacutegeredmeacutenyt (legfeljebb) annyi eacuterteacutekes jegy pontossaacutegra adjuk meg mint a legpontatlanabbul
megadott kiindulaacutesi adat eacuterteacutekes jegyeinek szaacutema A szaacutemoloacutegeacutep adatait a megfelelő eacuterteacutekes jegyekre
kell kerekiacutetenuumlnk azaz az 1 2 3 eacutes 4 szaacutemjegyeket lefeleacute az 5 6 7 8 eacutes 9 szaacutemjegyeket pedig felfeleacute
kerekiacutetjuumlk Egy zaacuterthelyi dolgozat eseteacuten termeacuteszetesen a reacuteszeredmeacutenyeket sem ceacutelszerű lejegyezni
az oumlsszes leacutetező tizedesjeggyel ilyenkor is eacuterdemes eacutesszerűen kerekiacutetenuumlnk a megfelelő eacuterteacutekes
jegyre Amennyiben az eredmeacuteny egy nagyon kicsi vagy nagyon nagy szaacutem mindenkeacutepp eacuterdemes
normaacutelalakban megadni az eredmeacutenyt Ennek tovaacutebbi előnye hogy az eacuterteacutekes jegyek szaacutemaacutet is
ellenőrizni tudjuk
11 peacutelda
Egy teacuteglatest eacuteleinek hossza a = 637 cm b = 014570 m eacutes c = 3201 cm Adjuk meg a teacuteglatest
teacuterfogataacutet m3 egyseacutegben
Megoldaacutes
Iacuterjuk aacutet az oumlsszes adatot meacuteter meacuterteacutekegyseacutegre eacutes aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny eacuterteacutekes jegyet
tartalmaz
a = 637 cm = 00637 m 3 eacuterteacutekes jegy
b = 014570 m 5 eacuterteacutekes jegy
c = 3201 cm = 03201 m 4 eacuterteacutekes jegy
8 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A teacuteglatest teacuterfogata
V = a middot b middot c = (00637 m) middot (014570 m) middot (03201 m) = 000029708769 m3
Mivel igen kicsi szaacutemeacuterteacutekről van szoacute ceacutelszerű aacutetiacuternunk normaacutelalakra V = 29708769 middot 10minus4 m3
Mint fentebb ismertettuumlk a veacutegeredmeacutenyt szabaacutelyosan a legpontatlanabbul azaz legkevesebb
eacuterteacutekes jeggyel megadott adat eacuterteacutekes jegyire lehet megadni azaz jelen esetben 3 eacuterteacutekes jegyneacutel
toumlbbet nem eacuterdemes megadunk A veacutegeredmeacuteny helyes pontossaacutegban megadva
V = 297 ∙ 10minus4 m3
112 Alapvető matematikai oumlsszefuumlggeacutesek
Egyenes araacutenyossaacuteg keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn ha az egyik mennyiseacuteget
valahaacutenyszorosaacutera vaacuteltoztatjuk akkor a maacutesik mennyiseacuteg is ugyanannyiszorosaacutera vaacuteltozik
Ha az egyenes araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki iacutegy iacuterhatjuk le y = a middot x ahol y eacutes x a keacutet
keacuterdeacuteses mennyiseacuteg a pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt akkor
beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg araacutenya aacutellandoacute jelen esetben ez megegyezik
a-val Grafikonban aacutebraacutezolva egy origoacuten aacutetmenő egyenest kapunk
1121 aacutebra Az egyenes araacutenyossaacuteg
Az egyenes araacutenyossaacuteg fuumlggveacutenye a lineaacuteris fuumlggveacutenyek egy speciaacutelis esete a tengelymetszet
zeacuterus azaz az egyenesnek az origoacuten kell aacutetmennie
Az egyenes araacutenyossaacutegra szaacutemtalan peacuteldaacutet tudunk a mindennapi eacuteletből eacutes a
termeacuteszettudomaacutenyokboacutel egyaraacutent A fizikai eacutes keacutemiai tartalmuacute peacuteldaacutekkal a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg reacuteszletesen azonban koumlvetkezzen egy igen egyszerű peacutelda Ennek ceacutelja elsősorban
az hogy megismerhessuumlk a kuumlloumlnboumlző megoldaacutesi moacutedszereket hogy ki-ki maga eldoumlnthesse hogy
melyiket alkalmazza koumlnnyebben
12 peacutelda
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forintba keruumll akkor mennyibe keruumll 3 kilogramm reacutezgaacutelic
Megoldaacutes
A) Feliacuteraacutes egyenes araacutenyossaacuteggal szoumlvegesen
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 9
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic x forint
Ezt toumlbbfeacutelekeacuteppen lehet megoldani
Feliacuterhatjuk hogy a mennyiseacutegek araacutenya aacutellandoacute
kg3
forintw
kg2
forint1800
Ebből koumlnnyedeacuten megkapjuk hogy w = 2700 forint
Egy maacutesik megoldaacutes ha az uacutegynevezett keresztbeszorzaacutest alkalmazzuk melyet sok helyen taniacutetanak
koumlzeacutepiskolaacutekban elsősorban keacutemiaoacuteraacuten
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic w forint
Azaz 2 kg middot w forint = 3 kg middot 1800 forint melyből egyszerűen adoacutedik hogy w = 2700 forint
hasonloacutean az előző megoldaacutes eredmeacutenyeacutehez
B) Kiszaacutemiacutethatjuk az araacutenyossaacutegi teacutenyezőt az y = a middot x egyenlet alapjaacuten ez tulajdonkeacuteppen az 1
kilogramm reacutezgaacutelic aacutera
kg
forint900
kg2
forint1800
toumlmeg
aacutera
Iacutegy az egyseacutegaacuterboacutel koumlnnyedeacuten megkaphatjuk a 3 kilogramm reacutezgaacuteliceacutert fizetendő aacuterat w = a middot x =
(900 forint kg) middot (3 kg) = 2700 forint
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg ha az egyik mennyiseacuteget valahaacutenyszorosaacutera noumlveljuumlk a maacutesik mennyiseacuteg
ugyanannyiad reacuteszeacutere csoumlkken
Ha a fordiacutetott araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki a koumlvetkezőkeacutepp iacuterhatjuk fel y = b x ahol
y eacutes x a keacutet keacuterdeacuteses mennyiseacuteg b pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg
koumlzoumltt akkor beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg szorzata aacutellandoacute jelen esetben
ez megegyezik b-vel Grafikonban aacutebraacutezolva egy uacutegynevezett hiperbolaacutet kapunk (amennyiben a
negatiacutev mennyiseacutegekről is van eacutertelme beszeacutelni a hiperbolaacutenak van egy negatiacutev tartomaacutenyban
talaacutelhatoacute szaacutera is)
10 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1122 aacutebra A fordiacutetott araacutenyossaacuteg
Termeacuteszetesen fordiacutetott araacutenyossaacutegra is szaacutemtalan peacuteldaacutet lehet talaacutelni melyekkel a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg Ismeacutet egy igen egyszerű peacutelda
13 peacutelda
Keacutetfeacutele tisztasaacuteguacute reacutezgaacutelicot forgalmaz a vegyszerkereskedő A rosszabb minőseacutegű toumlbb
szennyeződeacutest tartalmazoacute aacutera kilogrammonkeacutent 1800 forint aacutem van egy tisztaacutebb is melynek aacutera 2400
forint kilogrammonkeacutent Haacuteny kilogrammnyit tudunk venni a jobb minőseacutegű reacutezgaacutelic 12
kilogrammjaacutenak aacuteraacuteboacutel ha azt rosszabb minőseacutegű reacutezgaacutelicra koumlltjuumlk
Megoldaacutes
A) Araacutenypaacuterral
Ha 2400 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel 12 kg-ot tudunk venni
akkor az 1800 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel z kg-ot tudunk venni
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg eseteacuten a mennyiseacutegek szorzata aacutellandoacute
(2400 Ftkg) middot (12 kg) = (1800 Ftkg) middot (z kg)
Ebből z = 16 kilogramm
B) Fuumlggveacutennyel
Mivel a fordiacutetott araacutenyossaacuteg feliacuterhatoacute uacutegy hogy y = b x ebből koumlvetkezik hogy b = y middot x tehaacutet
b = (2400 Ftkg) middot (12 kg) = 28 800 Ft azaz ennyi a rendelkezeacutesre aacutelloacute peacutenzoumlsszeg Ebből
kiszaacutemiacutethatoacute hogy az olcsoacutebb reacutezgaacutelicboacutel mennyit tudunk venni
y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 11
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodfokuacute egyenlet megoldaacutesa
A maacutesodfokuacute egyenlet megoldoacutekeacutepleteacutenek alkalmazaacutesaacutehoz az egyenletet az alaacutebbi formaacutera kell hozni
a middot x2 + b middot x + c = 0
Ekkor az a b eacutes c parameacuteterek fuumlggveacutenyeacuteben a maacutesodfokuacute egyenlet keacutet megoldaacutesa
a2
ca4bbx
2
1
eacutes
a2
ca4bbx
2
2
A neacutegyzetgyoumlk alatti kifejezeacutest diszkriminaacutensnak nevezzuumlk D = b2 ndash 4 middot a middot c
A diszkriminaacutens előjeleacuteből koumlvetkeztethetuumlnk arra hogy haacuteny valoacutes megoldaacutesa van a maacutesodfokuacute
egyenletnek Ha a diszkriminaacutens pozitiacutev keacutet valoacutes gyoumlkoumlt kapunk ha a diszkriminaacutens negatiacutev nincsen
valoacutes megoldaacutesa az egyenletnek Abban az esetben ha a diszkriminaacutens eacuterteacuteke nulla x1 eacutes x2 gyoumlkoumlk
megegyeznek azaz a maacutesodfokuacute egyenletnek egyetlen megoldaacutesa van
14 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
(x ndash 2) middot (x + 5) = 8
Megoldaacutes
Elveacutegezve a szorzaacutest
x2 ndash 2 middot x + 5 middot x ndash 10 = 8
Nullaacutera rendezve
x2 + 3 middot x ndash 18 = 0
Tehaacutet a = 1 b = 3 eacutes c = ndash18 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe (itt a fenti keacutet keacuteplet egy koumlzoumls
keacutepletteacute van oumlsszeolvasztva)
2
93
2
813
12
)18(1433
a2
ca4bbx
22
21
azaz 2
93x1
eacutes 6
2
93x 2
15 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
16 middot x2 ndash 104 middot x + 169 = 0
Megoldaacutes
A nullaacutera rendezett formaacuteboacutel a = 16 b = minus104 eacutes c = 169 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe
4
13
32
0104
162
169164104104
a2
ca4bbx
22
21
Mivel az egyenlet diszkriminaacutensa (a neacutegyzetgyoumlk alatt aacutelloacute kifejezeacutes D = b2 minus 4 middot a middot c) zeacuterus az
egyenlet keacutet gyoumlke ugyanaz tehaacutet egy megoldaacutesa van az egyenletnek 4
13x
12 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Oumlsszegek eacutes szorzatok feliacuteraacutesa
Egy oumlsszeg kifejteacutese
n
1i
n21i aaaa
Egy szorzat kifejteacutese m21
m
1i
i bbbb
Legfontosabb hatvaacutenyozaacutesi eacutes gyoumlkvonaacutesi azonossaacutegok
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a ndash b) middot (a + b) = a2 ndash b2
an middot bn = (amiddotb)n
an bn = (a b)n (b ne 0)
an middot am = an + m
an am = an ndash m (a ne 0)
mnnmmn aaa
n
1
n aa (a ge 0 ha n paacuteros)
mely alapjaacuten a fenti hatvaacutenyozaacutesi azonossaacutegok alkalmazhatoacuteak a gyoumlkvonaacutesra is
A logaritmusfuumlggveacutenyt a koumlvetkezőkeacuteppen definiaacutelhatjuk f(x) = loga x ahol bdquoardquo egy pozitiacutev
szaacutem A fuumlggveacuteny csak pozitiacutev x eacuterteacutekekre van definiaacutelva Amennyiben a gt 0 a fuumlggveacuteny monoton
noumlvekvő ha 0 lt a lt 1 a fuumlggveacuteny csoumlkkenő A logaritmusfuumlggveacuteny az x tengelyt mindig az (1 0)
pontban metszi
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 15
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1134 aacutebra Logaritmusfuumlggveacutenyek
114 Log-log diagramok eacutes taacutersaik
A meacuternoumlki-keacutemiai gyakorlatban sok oumlsszefuumlggeacutest hatvaacutenyfuumlggveacutenykeacutent jeleniacutethetuumlnk meg A
logaritmus egyik igen fontos alkalmazaacutesa hogy meg tudjuk vele aacutellapiacutetani egy hatvaacutenyfuumlggveacuteny
ismeretlen kitevőjeacutet
16 peacutelda
Adott keacutet meacuterhető mennyiseacuteg x eacutes y eacutes tudjuk hogy a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes az alaacutebbi
alakuacute y = xn A meacutereacuteseink soraacuten a koumlvetkező eacuterteacutekpaacuterokat kapjuk
x y
17 377
30 1559
37 2633
42 3615
49 5315
57 7757
69 12506
Aacutellapiacutetsuk meg az n hatvaacutenykitevőt
Megoldaacutes
Az eacuterteacutekpaacuterokat dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
16 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1141 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute koumlzti kapcsolat
A fenti aacutebraacuteboacutel igen neheacutez megaacutellapiacutetani a hatvaacutenykitevőt Mivel a keacutet vaacuteltozoacute (x eacutes y) koumlzoumltti
kapcsolat hatvaacutenyfuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le y = xn pozitiacutev x eacutes y eseteacuten loga y = loga xn = n middot loga x Ezeacutert
vegyuumlk az x eacutes y eacuterteacutekek 10-es alapuacute logaritmusaacutet
lg x lg y
02304 05761
04771 11928
05682 14205
06232 15581
06902 17255
07559 18897
08388 20971
A fenti eacuterteacutekpaacuterokat szinteacuten aacutebraacutezolhatjuk dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben
1142 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute logaritmusa koumlzti kapcsolat
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 17
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az eacuterteacutekek logaritmusa koumlzoumltti kapcsolat maacuter egyenes araacutenyossaacuteggal iacuterhatoacute le
koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk az egyenes meredekseacutegeacutet (iraacutenytangenseacutet) is n = 25 (Ezt akaacuter a
grafikonroacutel leolvasva akaacuter a megfelelő logaritmusok haacutenyadosakeacutent megkaphatjuk)
Tehaacutet a keresett fuumlggveacutenykapcsolat y = x25
A meacuternoumlki gyakorlatban elterjedt az uacutegynevezett log-log diagramok hasznaacutelata is Ekkor nem a
logaritmuseacuterteacutekeket aacutebraacutezoljuk a hagyomaacutenyos beosztaacutesuacute tengelyeken hanem a teacutenyleges eacuterteacutekeket
1145 aacutebra Az y = f(x) = a middot 10bmiddotx fuumlggveacuteny
A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineaacuteris leacutepteacutekű miacuteg az y tengely (ordinaacuteta)
logaritmikus leacutepteacutekű Az exponenciaacutelis fuumlggveacuteny parameacutetereit a meredekseacutegből eacutes tengelymetszetből
koumlnnyen leolvashatjuk
y = f(x) = a middot lg x Ekkor egyszerűen y-t aacutebraacutezoljuk lg x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes meghataacuterozhatjuk
az ismeretlen bdquoardquo parameacutetert
1146 aacutebra Az y = f(x) = a middot lg x fuumlggveacuteny
Tehaacutet ebben az esetben az abszcissza (x tengely) leacutepteacuteke logaritmikus miacuteg az ordinaacuteta (y tengely)
leacutepteacuteke lineaacuteris
Ez a moacutedszer akkor is segiacutetseacuteguumlnkre lehet ha nem ismerjuumlk az oumlsszefuumlggeacutest a keacutet mennyiseacuteg (x eacutes
y) koumlzoumltt viszont az aacutebraacutezolaacutesboacutel remeacutenykedhetuumlnk hogy az oumlsszefuumlggeacutes nem tuacutel bonyolult
fuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le Ilyenkor eacuterdemes kiproacutebaacutelni a fenti aacutetalakiacutetaacutesokat eacutes abban a szerencseacutes
esetben ha az iacutegy keletkezett transzformaacutelt vaacuteltozoacutek koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest kapunk meg tudjuk
hataacuterozni a szuumlkseacuteges parameacutetereket
Meacutereacutesi eredmeacutenyeket tartalmazoacute taacuteblaacutezatok hasznaacutelata soraacuten gyakran előfordul hogy egy olyan adatra
van szuumlkseacuteguumlnk melyre eacuteppen nincs meacutereacutesi eredmeacuteny Erre egy egyszerű peacutelda (peacuteldaacuteul y
mennyiseacuteget meacuterjuumlk x fuumlggveacutenyeacuteben)
x y
00 120
50 160
100 200
Tehaacutet ismerjuumlk y eacuterteacutekeacutet x = 00 x = 50 eacutes x = 100 eseteacuten Tegyuumlk fel hogy nekuumlnk toumlrteacutenetesen
szuumlkseacuteguumlnk van x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutere Ekkor toumlbb lehetőseacuteguumlnk van
ndash megmeacuterjuumlk kiacuteseacuterletileg x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutet
ndash aacutebraacutezoljuk y-t x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes grafikusan proacutebaacutelunk koumlvetkeztetni y eacuterteacutekeacutere x = 70 eseteacuten
ndash matematikai uacuteton bdquokiokoskodjukrdquo y eacuterteacutekeacutet az x = 70 helyen
Az első megoldaacutesra gyakran nincs lehetőseacuteg noha valoacutesziacutenűleg az lenne a legpontosabb A
grafikus megoldaacutes aacuteltalaacuteban hosszadalmas eacutes a leolvasaacutes pontatlan ezeacutert aacuteltalaacuteban az uacutegynevezett
lineaacuteris interpolaacutecioacutet alkalmazzuk ilyen esetekben Termeacuteszetesen ehhez az szuumlkseacuteges hogy a keacutet
vizsgaacutelt vaacuteltozoacute koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes aacutelljon fenn A moacutedszer gyakran olyankor is alkalmazhatoacute
ha a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt nem lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes viszont igen joacute koumlzeliacuteteacutessel lineaacuterisnak
tekinthető az adott tartomaacutenyban ezeacutert nem okoz tuacutel nagy hibaacutet az ha lineaacuterisnak vesszuumlk az
oumlsszefuumlggeacutest Ezt termeacuteszetesen az adott probleacutema jellege hataacuterozza meg eacutes csak bizonyos esetekben
hasznaacutelhatoacute Amennyiben keacutet meacutereacutesi pont koumlzoumltti eacuterteacuteket szeretneacutenk meghataacuterozni interpolaacutecioacuteroacutel
beszeacuteluumlnk (laacutesd fent) Ha a meacutereacutesi pontok alapjaacuten egy olyan pontot szeretneacutenk meghataacuterozni mely a
meacutereacutesi tartomaacutenyon kiacutevuumll esik azaz a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten peacuteldaacuteul x = 150 eseteacuten szeretneacutenk
meghataacuterozni y eacuterteacutekeacutet extrapolaacutecioacuteroacutel van szoacute Figyelem Miacuteg az interpolaacutecioacute a linearitaacutes
felteacutetelezeacuteseacutevel helyes eredmeacutenyt ad az extrapolaacutecioacute gyakran vezet olyan eredmeacutenyhez mely nem
felel meg a valoacutesaacutegnak Ennek oka hogy attoacutel hogy egy bizonyos tartomaacutenyban joggal
alkalmazhatunk lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest gyakran maacutes tartomaacutenyokban maacuter nagy hibaacutet okozhat a lineaacuteris
viselkedeacutestől valoacute elteacutereacutes Erre egy szemleacuteletes peacuteldaacutet mutat az alaacutebbi aacutebra
1151 aacutebra Az extrapolaacutecioacute hibaacutei
20 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az x = 40 hellip 50 tartomaacutenyban az oumlsszefuumlggeacutes lineaacuterisnak tekinthető tehaacutet peacuteldaacuteul az
x = 42 vagy x = 46 pontokban viszonylag pontosan becsuumllhetjuumlk y eacuterteacutekeacutet Aacutem ha az x = 40 eacutes x = 50
pontok alapjaacuten proacutebaacutelunk extrapolaacutelni x = 10 eacuterteacutekre a piros sziacutenű egyenes alapjaacuten (lineaacuteris fuumlggveacutenyt
felteacutetelezve) igen nagy hibaacutet koumlvetuumlnk el
A lineaacuteris interpolaacutecioacutet legszemleacuteletesebben egy peacutelda alapjaacuten eacuterthetjuumlk meg
17 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet vizes oldataacutenak a sűrűseacutege eacutes az oldat toumlmeg-os oumlsszeteacutetele koumlzoumltt
gyakorlatilag lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes Az alaacutebbi taacuteblaacutezat kuumlloumlnboumlző toumlmeg-os oumlsszeteacutetelű
magneacutezium-szulfaacutet-oldatok sűrűseacutegeacutet tartalmazza 20 degC hőmeacuterseacutekleten Becsuumlljuumlk meg lineaacuteris
interpolaacutecioacuteval a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutegeacutet
MgSO4-tartalom
(toumlmeg)
sűrűseacuteg
(gcm3)
6 10602
10 11034
14 11484
18 11955
Megoldaacutes
Az első leacutepeacutes megkeresni hogy mely pontok koumlzoumltt ceacutelszerű az interpolaacutecioacutet veacutegezni azaz meg kell
aacutellapiacutetani mely meacutereacutesi pontok koumlzeacute esik a keacuterdeacuteses pont A 11 toumlmeg-os oldat a 10 eacutes a 14 toumlmeg-
os oldat oumlsszeteacutetele koumlzeacute esik tehaacutet ebben az intervallumban ceacutelszerű a lineaacuteris interpolaacutecioacutet
elveacutegezni (Elvileg ugyan maacutes pontok koumlzoumltt is tudnaacutenk veacutegezni interpolaacutecioacutet aacutem a legszűkebb
intervallumot ceacutelszerű kivaacutelasztani mert a linearitaacutes felteacutetelezeacutese itt a leghelytaacutelloacutebb)
Lineaacuteris interpolaacutecioacute eseteacuten az y mennyiseacuteget (a sűrűseacuteget) x mennyiseacuteg (a MgSO4-tartalom
toumlmeg-ban) fuumlggveacutenyeacuteben a koumlvetkező oumlsszefuumlggeacutessel iacuterhatjuk le
y = a middot x + b
Az alaacutebbi diagramon laacutethatoacutek a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 14 toumlmeg-os (x2) oumlsszeteacutetelhez tartozoacute
pontok (a megfelelő sűrűseacutegek rendre y1 eacutes y2) illetve a keacuterdeacuteses sűrűseacuteg (y) a 11 toumlmeg-os pontban
(melyet a viacutezszintes tengelyen x-nek roumlvidiacutetettuumlnk)
1152 aacutebra Az oldat sűrűseacutege a toumlmegszaacutezaleacutek fuumlggveacutenyeacuteben
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 21
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Tehaacutet az (x1 y1) eacutes (x2 y2) pontok koumlzeacute behuacutezott egyenes meredekseacutege
12
12
xx
yy
x
ya
Mivel a noumlvekmeacutenyek (Γy eacutes Γx) koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn az bdquoardquo meredekseacuteg
ugyanakkora a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 11 toumlmeg-os (x) oumlsszeteacutetel eseteacuten is mint ahogyan a
koumlvetkező aacutebraacuten is laacutethatoacute
1153 aacutebra A sűrűseacuteg szaacutemiacutetaacutesa interpolaacutecioacuteval
Azaz feliacuterhatoacute ismeacutet hogy Γy eacutes Γx araacutenya aacutellandoacute meacuteghozzaacute a fenti bdquoardquo eacuterteacutek
1
1
xx
yy
x
ya
Mivel az bdquoardquo meredekseacuteg mindkeacutet esetben ugyanakkora feliacuterhatjuk a koumlvetkező kifejezeacutest
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
x
ya
Ezt a keacutepletet eacuterdemes megjegyezni aacutem ha nem megy olyan koumlnnyedeacuten akkor a fenti
gondolatmenettel baacutermikor igen koumlnnyen eljuthatunk hozzaacute Mivel a fenti egyenletben csupaacuten az y az
ismeretlen koumlnnyen kifejezhető
11
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Behelyettesiacutetve a keacutepletbe x x1 x2 y1 eacutes y2 eacuterteacutekeacutet (meacuterteacutekegyseacutegek neacutelkuumll)
1147111465110341)1011(1014
1034114841y)xx(
xx
yyy 11
12
12
Tehaacutet a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege 11147 gcm3
22 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Megjegyzeacutes ugyanehhez az eredmeacutenyhez eljuthatunk kicsit maacutes uacuteton is Az alaacutebbi aacutebraacuten bejeloumllt
keacutet haacuteromszoumlg hasonloacute egymaacuteshoz iacutegy az oldalaik araacutenya is aacutellandoacute
1154 aacutebra Az interpolaacutecioacute szemleacutelteteacutese hasonloacute haacuteromszoumlgekkel
18 peacutelda
Egy kiacuteseacuterlet soraacuten megmeacutertuumlk egy ismeretlen magneacutezium-szulfaacutet oldat sűrűseacutegeacutet mely 11600 gcm3-
nek adoacutedott Lineaacuteris interpolaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel aacutellapiacutetsuk meg az oldat magneacutezium-szulfaacutet-tartalmaacutet
toumlmeg-ban A feladat megoldaacutesaacutehoz hasznaacuteljuk az előző peacuteldaacuteban megadott taacuteblaacutezatot
Megoldaacutes
A lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes lehetőseacuteget terem arra hogy a sűrűseacuteg (y) ismereteacuteben az ismeretlen toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelt (x) is meghataacuterozhassuk Mivel az 11600 gcm3 sűrűseacuteg-eacuterteacutek a 11484 eacutes 11955 gcm3
eacuterteacutekek koumlzoumltt talaacutelhatoacute a 14 eacutes 18 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelhez tartozoacute pontok koumlzt kell interpolaacutelni Az
előző peacuteldaacuteban megismert oumlsszefuumlggeacutest kell alkalmaznunk
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
Ebből most x-et kell kifejeznuumlnk x1 x2 y1 y2 eacutes y fuumlggveacutenyeacuteben
1
12
121
12
1211 x
yy
xx)yy(x
yy
xx)yy(xx
Behelyettesiacutetve a megfelelő eacuterteacutekeket
159814141484119551
1418)1484116001(x
yy
xx)yy(x 1
12
121
Tehaacutet az 11600 gcm3 sűrűseacutegű magneacutezium-szulfaacutet-oldat koumlruumllbeluumll 15 toumlmeg-os
Mint emliacutetettuumlk az extrapolaacutecioacute soraacuten mindig fokozott figyelemmel kell eljaacuterni mivel gyakran
előfordul hogy az extrapolaacutelt eacuterteacutek nem joacute becsleacutese a valoacutedi eacuterteacuteknek Koumlvetkezzen egy peacutelda az
extrapolaacutecioacutera
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 23
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
19 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet-oldatra bemutatott 6 eacutes 10 toumlmeg-os adatok alapjaacuten extrapolaacuteljunk 0 toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelre
Megoldaacutes
Az előzőekhez hasonloacutean 6 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelneacutel (x1) a sűrűseacuteg 10602 gcm3 (y1) 10 toumlmeg
(x2) eseteacuten pedig 11034 gcm3 (y2) A feladat megbecsuumllni a sűrűseacuteget (y) 0 toumlmeg (x) eseteacuten
Ismeacutetelten ceacutelszerű egy aacutebraacutet keacutesziacuteteni a megoldaacuteshoz
1155 aacutebra Peacutelda a lineaacuteris extrapolaacutecioacutera
Az előző feladatok megoldaacutesaacutehoz hasonloacutean feliacuterhatjuk az egyes pontokat oumlsszekoumltő egyenesek
meredekseacutegeacutet eacutes a keacutet meredekseacutegnek meg kell egyeznie
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
x
ya
Kifejezve y-t x fuumlggveacutenyeacuteben
11
12
1211
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyyy)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Eacuterdemes megfigyelni hogy a kapott kifejezeacutes ugyanaz mint amit az interpolaacutecioacutenaacutel kaptunk
Behelyettesiacutetve az eacuterteacutekeket
9954006021)60(610
0602110341y)xx(
xx
yyy 11
12
12
A desztillaacutelt viacutez sűrűseacutege 4 degC-on 1000 grammcm3 20 degC-on pedig 0998 grammcm
3 iacutegy az
extrapolaacutecioacuteval kapott 09954 grammcm3 eacuterteacutek igen joacutel koumlzeliacuteti a valoacutedi eacuterteacuteket Ebből arra
koumlvetkeztethetuumlnk hogy a magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege eacutes oumlsszeteacutetele koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes igen
Gyakran előfordul hogy egy egyenlet megoldaacutesaacutera nem ismeruumlnk megfelelő bdquokeacutepletetrdquo sőt nem ritka
hogy egy egyenletet csak koumlzeliacutetőleg tudunk megoldani Ebben a reacuteszben bemutatunk egy egyszerű
moacutedszert melynek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megoldhatunk kuumlloumlnfeacutele egyenleteket
110 peacutelda
Oldjuk meg koumlzeliacutetőleg a koumlvetkező egyenletet
0xlgx
Megoldaacutes
Az egyenletet a pozitiacutev szaacutemok halmazaacuten kell megoldanunk
Hozzuk az egyenletet a koumlvetkező formaacutera
x = f(x)
Erre keacutet lehetőseacuteguumlnk van azaz
A) xlgx
x10x xA 10)x(f
B) xlgx
22 )x(lg)xlg(x xlg)x(f 2B
Ezutaacuten proacutebaacuteljuk megoldani az egyenletet az A) illetve B) uacuteton Vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0
eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0 = 05 ezutaacuten x0 eacuterteacutekeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuten aacutelloacute kifejezeacutesbe
melynek eredmeacutenye x1 = f(x0) lesz Ezutaacuten x1-et behelyettesiacutetjuumlk a jobb oldali kifejezeacutesbe eacutes
megkapjuk x2 = f(x1) eacuterteacutekeacutet majd ezt ismeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuteba eacutes iacutegy tovaacutebb
Ha az egyenlet megoldhatoacute ezzel a moacutedszerrel azt kell tapasztalnunk hogy az egymaacutest koumlvető x0
x1 = f(x0) x2 = f(x1) x3 = f(x2) hellip xi+1 = f(xi) hellip eacuterteacutekeknek koumlzeledniuumlk kell a megoldaacuteshoz mely
iacutegy tetszőleges pontossaacuteggal kiszaacutemiacutethatoacute Most neacutezzuumlk ezt meg az adott peacuteldaacuten
A)
x0 = 05 x0 = 05000
x1 = 50000x
1010 0 x1 asymp 01363
x2 = 19630x
1010 1 x2 asymp 03605
x3 = 36050x
1010 2 x3 asymp 02509
x4 = 25090x
1010 3 x4 asymp 03156
x5 = 31560x
1010 4 x5 asymp 02743
x6 = 27430x
1010 5 x6 asymp 02994
x7 = 29940x
1010 6 x7 asymp 02837
x8 = 28370x
1010 7 x8 asymp 02933
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 25
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x9 = 29330x
1010 8 x9 asymp 02873
x10 = 28730x
1010 9 x10 asymp 02910
x11 = 29100x
1010 10 x11 asymp 02887
x12 = 28870x
1010 11 x12 asymp 02902
x13 = 29020x
1010 12 x13 asymp 02893
x14 = 28930x
1010 13 x14 asymp 02898
x15 = 28980x
1010 14 x15 asymp 02895
x16 = 28950x
1010 15 x16 asymp 02897
x17 = 28970x
1010 16 x17 asymp 02896
x18 = 28960x
1010 17 x18 asymp 02896
x19 = 28960x
1010 18 x19 asymp 02896
Mint laacutetjuk az eredmeacutenyek egy adott eacuterteacutekhez koumlzeliacutetenek eacutes ez az eacuterteacutek eacuteppen az egyenlet
megoldaacutesa
1161 aacutebra Az eredmeacutenyek konvergenciaacuteja
Az eredmeacutenyekből szeacutepen laacutetszik hogy mineacutel toumlbbszoumlr veacutegezzuumlk el a behelyettesiacuteteacutest egyre
pontosabban kapjuk meg az egyenlet eredmeacutenyeacutet Ha keacutet tizedesjegy pontossaacuteggal szeretneacutenk
megoldani az egyenletet akkor eleacuteg csak a 8 leacutepeacutesig folytatni ha az eredmeacutenyre haacuterom tizedesjegy
pontossaacutegra vagyunk kiacutevaacutencsiak a 14 leacutepeacutesig kell folytatnunk az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest Az egyenlet
pontos megoldaacutesa heacutet eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal 02896232
Megjegyzendő hogy a moacutedszer gyorsasaacutega termeacuteszetesen fuumlgg a kiindulaacutesi x0 eacuterteacutek kivaacutelasztaacutesaacutetoacutel
Az eljaacuteraacutest grafikusan az alaacutebbi animaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel szemleacuteltethetjuumlk
26 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1161 animaacutecioacute Az iteraacutecioacute
1162 aacutebra Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutes szemleacutelteteacutese
B)
Az előzőekhez hasonloacutean legyen a kiindulaacutesi eacuterteacutek x0 = 05
x0 = 05 x0 asymp 05000
x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906
x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874
x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013
x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837
x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431
x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055
x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090
x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017
x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)
2 x9 asymp 00897
x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965
x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016
x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 27
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972
x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097
x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555
x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697
x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867
x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311
Mint ahogyan a fenti eacuterteacutekeket aacutebraacutezolva laacutethatjuk az eredmeacutenyek nem tartanak egy adott
eacuterteacutekhez
1163 aacutebra A nem megfelelő fuumlggveacutenykapcsolat koumlvetkezmeacutenye
A feladatot iacutegy a B) uacuteton nem tudjuk megoldani a megoldaacutes csak az A) uacuteton lehetseacuteges Annak
magyaraacutezataacutehoz hogy mieacutert csak az egyik uacuteton jutottunk el a veacutegeredmeacutenyhez felsőbb matematikai
eszkoumlzoumlk is szuumlkseacutegesek ezeacutert ezzel a keacuterdeacutessel itt nem foglalkozunk reacuteszletesen Amennyiben egy
aacutetalakiacutetaacutesi moacuted nem vezet megoldaacuteshoz eacuterdemes megproacutebaacutelni az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest a fuumlggveacuteny
inverzeacutevel is
111 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
x3 + 4 middot x2 minus 1 = 0
Megoldaacutes
Egy harmadfokuacute fuumlggveacutenynek egy kettő vagy haacuterom gyoumlke lehetseacuteges A g(x) = x3 + 4 middot x2 minus 1
fuumlggveacutenyt aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
Mint a fenti aacutebraacuteboacutel laacutethatoacute a g(x) fuumlggveacutenynek haacuterom zeacuteruspontja van iacutegy a g(x) = 0
egyenletnek haacuterom megoldaacutesa van A grafikus megoldaacutesboacutel annyit megaacutellapiacutethatunk hogy egy gyoumlk
x = minus4 koumlrnyezeteacuteben egy maacutesik x = minus05 koumlrnyezeteacuteben miacuteg a harmadik x = 05 koumlrnyezeteacuteben
talaacutelhatoacute
Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacuteshoz x = f(x) alakra kell hozni az egyenletet Erre toumlbb lehetőseacuteg is van
A)
3 2x41x
Az előző feladat megoldaacutesaacutenak mintaacutejaacutera vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0 eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0=10
(baacutermely maacutes szaacutem is lehetne) Az iteraacutecioacute első 32 leacutepeacuteseacutenek xn eacuterteacuteke a leacutepeacutesszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben a
Az alaacutebbiakban a legfontosabb siacutekidomok keruumlleteacutenek (K) eacutes teruumlleteacutenek (T) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Haacuteromszoumlg
cbaK
2
sinba
2
maT a
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a haacuteromszoumlg oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo
oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Trapeacutez
dcbaK
30 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
m2
caT
bdquoardquo eacutes bdquocrdquo a trapeacutez paacuterhuzamos oldalai m a keacutet paacuterhuzamos oldal koumlzoumltti taacutevolsaacuteg azaz a trapeacutez
magassaacutega bdquocrdquo eacutes bdquodrdquo a trapeacutez szaacuterai
Paralelogramma
)ba(2K
sinbambmaT ba
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a paralelogramma oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg mb az a oldalhoz
tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Teacuteglalap
)ba(2K
baT
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a teacuteglalap oldalai
Neacutegyzet
a4K
2aT
bdquoardquo a neacutegyzet oldala
Deltoid
)ba(2K
fe2
1T
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a deltoid oldalai bdquoerdquo eacutes bdquofrdquo a deltoid aacutetloacutei
Rombusz
a4K
sinamaT 2a
bdquoardquo a rombusz oldala ma a magassaacutega α pedig a rombusz keacutet egymaacutes melletti oldala aacuteltal bezaacutert
szoumlg
Koumlr
dr2K
22 d4
1rT
bdquorrdquo a koumlr sugara bdquodrdquo a koumlr aacutetmeacuterője
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 31
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Haacuteromszoumlg
cbaK 2
sinba
2
maT a
Trapeacutez
dcbaK m2
caT
Paralelogramma
)ba(2K sinbambmaT ba
Teacuteglalap
)ba(2K baT
Neacutegyzet
a4K 2aT
Deltoid
)ba(2K fe
2
1T
Rombusz
a4K sinamaT 2a
Koumlr
dr2K 22 d4
1rT
118 Testek felsziacutene eacutes teacuterfogata
Az alaacutebbiakban a legfontosabb testek felsziacuteneacutenek (A) eacutes teacuterfogataacutenak (V) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Teacuteglatest
)acbcab(2A
32 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
cbaV
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a teacuteglatest eacutelei
Kocka
2a6A
3aV
bdquoardquo a kocka eacutele
Egyenes koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2
hd4
1hrV 22
bdquorrdquo az alapkoumlr sugara bdquodrdquo az alapkoumlr aacutetmeacuterője bdquohrdquo a henger magassaacutega
Goumlmb
22 dr4A
33 d6
1r
3
4V
bdquorrdquo a goumlmb sugara bdquodrdquo a goumlmb aacutetmeacuterője
Teacuteglatest
)acbcab(2A cbaV
Kocka
2a6A 3aV
Egyenes
koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2 hd4
1hrV 22
Goumlmb
22 dr4A 33 d6
1r
3
4V
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 33
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
12 Fizikai alapismeretek
121 SI-alapmennyiseacutegek meacuterteacutekegyseacutegeik eacutes gyakori jeloumlleacuteseik
Hosszuacutesaacuteg
Jele ℓ (longitudo hosszuacutesaacuteg) s (taacutevolsaacuteg uacutet)
Meacuterteacutekegyseacutege meacuteter ( metrum ndash latin metron ndash goumlroumlg meacuterteacutek) roumlvidiacuteteacutese m
Toumlmeg
Jele m (massa)
Meacuterteacutekegyseacutege kilogramm ( kilo + gramma ndash goumlroumlg kis toumlmeg) roumlvidiacuteteacutese kg
Idő
Jele t (tempus)
Meacuterteacutekegyseacutege maacutesodperc vagy szekundum ( secunda ndash latin kis reacutesz) roumlvidiacuteteacutese s
Aacuteramerősseacuteg
Jele I (intensitas)
Meacuterteacutekegyseacutege amper ( Andreacute-Marie Ampegravere) roumlvidiacuteteacutese A
Hőmeacuterseacuteklet
Jele T (temperare)
Meacuterteacutekegyseacutege kelvin ( William Thomson Kelvin) roumlvidiacuteteacutese K
Energia a munkaveacutegző keacutepesseacuteg Az energia bdquoeltaacuterolt munkardquo mely megfelelő koumlruumllmeacutenyek
koumlzoumltt munkaacutevaacute alakiacutethatoacute Az energia kuumlloumlnfeacutele formaacutekban jelenik meg peacuteldaacuteul beszeacutelhetuumlnk
mechanikai (mozgaacutesi helyzetihellip) termikus elektromos stb Az energia a rendszer egy aacutellapotaacutet iacuterja
le a munka pedig az aacutellapotok koumlzoumltti vaacuteltozaacutest
Jele E ( energy ndash angol)
Meacuterteacutekegyseacutege ugyanaz mint a munkaacutenak J (joule) 1 J = 1 Nmiddotm = 1 kgmiddotm2middotsminus2
Teljesiacutetmeacuteny a munka eacutes az munkaveacutegzeacutes időtartamaacutenak haacutenyadosa egyseacutegnyi idő alatt veacutegzett
munka a munkaveacutegzeacutes sebesseacutege
Jele P ( power ndash angol)
t
WP
Meacuterteacutekegyseacutege W (watt) 1 W = 1 Js = 1 (kgmiddotm2s2)s = 1 kgmiddotm2s3 = 1 kgmiddotm2middotsminus3
s
F
Fs
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 37
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hataacutesfok a hasznos munka eacutes az oumlsszes befektetett munka haacutenyadosa vagy maacuteskeacuteppen a
hasznos teljesiacutetmeacuteny eacutes az oumlsszes befektetett teljesiacutetmeacuteny haacutenyadosa
Jele ε
ouml
h
W
W
ouml
h
P
P
Wh hasznos munka Wouml befektetett munka Ph hasznos teljesiacutetmeacuteny Pouml befektetett teljesiacutetmeacuteny
Dimenzioacutementes szaacutem eacuterteacuteke 0 le ε le 1
124 Elektromossaacutegtan
Toumllteacutes az elemi toumllteacutesnek valahaacutenyszorosa
Jele Q
Meacuterteacutekegyseacutege C (coulomb) 1 C = 1 Amiddots
Az elektron toumllteacutese q = 1602middot10minus19 C Az elektoron toumllteacuteseacutet negatiacutevnak a protoneacutet pedig
pozitiacutevnak tekintjuumlk
Coulomb toumlrveacutenye keacutet pontszerű toumllteacutes koumlzoumltt hatoacute erő egyenesen araacutenyos a toumllteacutesekkel eacutes
fordiacutetottan araacutenyos a toumllteacutesek koumlzoumltti taacutevolsaacuteg neacutegyzeteacutevel Keacutet azonos előjelű toumllteacutes (++ illetve minusminus)
F erő Q1 eacutes Q2 toumllteacutes r a keacutet toumllteacutes koumlzoumltti taacutevolsaacuteg k araacutenyossaacutegi teacutenyező melynek eacuterteacuteke
899 ∙ 109 Nm2C2
1241 aacutebra Coulomb toumlrveacutenye
Aacuteramerősseacuteg az időegyseacuteg alatt aacutethaladt toumllteacutesek mennyiseacutege
Jele I ( intensitas ndash angol)
t
QI
Q aacutethaladt toumllteacutes t idő
Meacuterteacutekegyseacutege A (amper) 1 A = 1 Cs = 1 Cmiddotsminus1
38 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Feszuumlltseacuteg a munka eacutes a toumllteacutes haacutenyadosa A feszuumlltseacuteg megadja hogy mennyi munkaacutet veacutegez a
mező egyseacutegnyi toumllteacutesen miacuteg a toumllteacutes az egyik pontboacutel elmozdul a maacutesikba
Jele U
Q
WU
Q toumllteacutes W a Q toumllteacutes egyik pontboacutel a maacutesikba juttataacutesaacutehoz szuumlkseacuteges munka
Meacuterteacutekegyseacutege V (volt) 1 V = 1 JC = 1 kgmiddotm2s2(Amiddots) = 1 kgmiddotm2(Amiddots3) = 1 kgmiddotm2middotAminus1middotsminus3
Ellenaacutellaacutes egy elektromos koumlrben egy fogyasztoacuten eső feszuumlltseacuteg eacutes a rajta aacutetmenő aacuteramerősseacuteg
Ilyenkor az aacuteramforraacutes terheletlen azaz a teljes feszuumlltseacuteg az aacuteramforraacuteson esik
Azonban ha egy fogyasztoacuteval terheljuumlk az aacuteramforraacutest az aacuteramforraacuteson meacutert feszuumlltseacuteg maacuter nem
egyezik meg az elektromotoros erővel hanem annaacutel kisebb lesz Ezt a feszuumlltseacuteget
kapocsfeszuumlltseacutegnek nevezzuumlk (a terhelt aacuteramforraacutes kapcsain meacutert feszuumlltseacuteg) A jelenseacuteg oka hogy
az aacuteramkoumlrben folyoacute aacuteram az aacuteramforraacuteson is aacutetfolyik A toumllteacutesek mozgaacutesaacuteval szemben azonban az
aacuteramforraacutesnak is van ellenaacutellaacutesa ezt belső ellenaacutellaacutesnak nevezzuumlk
1242 aacutebra A belső ellenaacutellaacutes szemleacutelteteacutese
Az aacuteramkoumlrben meacuterhető aacuteramerősseacuteget (I) a fogyasztoacute bdquokuumllsőrdquo ellenaacutellaacutesa (Rk) eacutes az aacuteramforraacutes
belső ellenaacutellaacutesa (Rb) hataacuterozza meg
)RR(IU bk0 bk
0
RR
UI
A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramforraacutes kapcsain meacuterhető feszuumlltseacuteg azaz
b0kk RIURIU
A kapocsfeszuumlltseacuteget az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben aacutebraacutezolva a koumlvetkező diagramot kapjuk
1243 aacutebra A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben
U0
Uk
Rb
Rk
+minus
I
40 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha egy elhanyagolhatoacute ellenaacutellaacutesuacute vezetődarabbal oumlsszekoumltjuumlk az aacuteramforraacutes kivezeteacuteseit a
kapocsfeszuumlltseacuteg zeacuterus eacutes az ilyenkor meacuterhető aacuteramerősseacuteg a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram
b
00
R
UI
Mint ahogyan a fenti diagramon is laacutethatoacute a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram aacuteramerősseacuteg maximumaacutet adja meg
Egyenaacuteram munkaacuteja az aacuteramerősseacuteg a feszuumlltseacuteg eacutes az idő szorzata aacutem az ellenaacutellaacutes
segiacutetseacutegeacutevel toumlbb maacutes moacutedon is meghataacuterozhatoacute
tUIW
I aacuteramerősseacuteg U feszuumlltseacuteg t az elektromos munkaveacutegzeacutes ideje
Meacuterteacutekegyseacutege ndash a toumlbbi munkaacutehoz hasonloacutean ndash joule
A munka koumlnnyen adoacutedik a feszuumlltseacuteg eacutes a toumllteacutesmennyiseacuteg definiacutecioacutejaacuteboacutel
Q
WU tIUQUW
Az ellenaacutellaacutes segiacutetseacutegeacutevel a koumlvetkező keacutepletek adoacutednak
tR
UtU
R
UtUIW
2
illetve tRIt)RI(ItUIW 2
Elektromos teljesiacutetmeacuteny az elektromos teljesiacutetmeacuteny az aacuteramerősseacuteg eacutes a feszuumlltseacuteg szorzatakeacutent
adoacutedik Az ellenaacutellaacutes bevezeteacuteseacutevel ismeacutet tovaacutebbi oumlsszefuumlggeacuteseket kaphatunk
RIR
UUIW 2
2
Az elektromos teljesiacutetmeacuteny meacuterteacutekegyseacutege a watt A fenti oumlsszefuumlggeacutesek koumlzvetlenuumll adoacutednak az
elektromos munka keacutepleteiből (a teljesiacutetmeacuteny munka eacutes a munkaveacutegzeacutes idejeacutenek haacutenyadosa)
125 Hőtan
Hőmeacuterseacutekleti skaacutelaacutek a hőmeacuterseacuteklet meghataacuterozaacutesaacutera toumlbb kuumlloumlnboumlző skaacutelaacutet hasznaacutelhatunk A skaacutelaacutek
nagy reacuteszeacutet tapasztalati uacuteton alakiacutetottaacutek ki meacuteghozzaacute egy kivaacutelasztott alsoacute eacutes felső hőmeacuterseacutekleti eacuterteacutek
koumlzoumltt meghataacuterozott szaacutemuacute egyenletes skaacutelaosztaacutest alkalmazva Itt csak a gyakorlati szempontboacutel
legfontosabb keacutet skaacutelaacutet taacutergyaljuk
Az atomot alkotoacute elemi reacuteszecskeacutek toumlmege eacutes toumllteacutese
Reacuteszecske neve Toumlmeg Toumllteacutes Relatiacutev
toumlmeg
Relatiacutev
toumllteacutes
Atommag Proton (p+) 1672 middot 10minus27 kg 16021 middot 10minus19 C 18355 +1
Neutron (n0) 1674 middot 10minus27 kg 0 18377 0
Elektronburok Elektron (eminus) 9109 middot 10minus31 kg minus16021 middot 10minus19 C 1 minus1
Mint laacutethatoacute a fenti taacuteblaacutezatboacutel a proton eacutes a neutron toumlmege koumlzeliacutetőleg megegyezik az elektron
toumlmege pedig ezekneacutel nagysaacutegrendekkel kisebb (mintegy 1840-ed reacutesze a proton vagy a neutron
toumlmegeacutenek) A neutron semleges a proton eacutes az elektron toumllteacutese abszoluacutet eacuterteacutekben megegyezik aacutem
előjeluumlk ellenteacutetes
Rendszaacutem az atomban talaacutelhatoacute protonok szaacutema
Jele Z
Toumlmegszaacutem az atommagban talaacutelhatoacute protonok eacutes neutronok szaacutemaacutenak az oumlsszege
Jele A
Neutronszaacutem toumlmegszaacutemboacutel levonva a protonok szaacutemaacutet azaz a toumlmegszaacutem eacutes a rendszaacutem
kuumlloumlnbseacutege
Jele N
N = Z minus A
2 Az atomok szerkezete 45
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
(Keacutemiai) elemeknek nevezzuumlk az azonos rendszaacutemmal rendelkező atomokboacutel feleacutepuumllő
anyagokat Az elemeket vegyjeluumlkkel szoktuk azonosiacutetani A vegyjel előtt a toumlmegszaacutemot eacutes a
rendszaacutemot is feltuumlntethetjuumlk ilyenkor rendszerint a bal felső indexbe a toumlmegszaacutemot a bal alsoacute
indexbe a rendszaacutemot iacuterjuk
EAZ
Nuklid azonos rendszaacutemuacute eacutes toumlmegszaacutemuacute atommagokat tartalmazoacute atomok oumlsszesseacutege
Izotoacutep egy elem izotoacutepjainak nevezzuumlk azonos rendszaacutemmal aacutem kuumlloumlnboumlző toumlmegszaacutemmal
rendelkező atomjait (Egy elem kuumlloumlnboumlző neutronszaacutemuacute nuklidjai)
Relatiacutev atomtoumlmeg megmutatja hogy az adott atom toumlmege haacutenyszorosa egy C126 -atom
toumlmegeacutenek 112-ed reacuteszeacuteneacutel
Anyagmennyiseacuteg 1 moacutel az anyagmennyiseacutege 6022 middot 1023 darab reacuteszecskeacutenek
Avogadro-szaacutem egy moacutel reacuteszecske darabszaacutema Eacuterteacuteke 6022 middot 1023 mol
A relatiacutev atomtoumlmeg megadja 1 moacutel elem toumlmegeacutet az adott elem 6022 middot 1023 darab atomjaacutenak
oumlssztoumlmegeacutet
Egy elemek legnagyobb reacutesze toumlbbfeacutele izotoacutep elegye a termeacuteszetes gyakorisaacutegukboacutel adoacutedik a
relatiacutev atomtoumlmeg A relatiacutev atomtoumlmeg kiszaacutemiacutetaacutesaacutenaacutel az egyes izotoacutepok atomtoumlmegeacutet a termeacuteszetes
gyakorisaacutegukkal suacutelyozzuk
Tiszta elem olyan elem mely (a termeacuteszetben) csak egyetlen stabil izotoacutepjaacuteval fordul elő
A kuumlloumlnboumlző izotoacutepok gyakorlatilag toumlkeacuteletesen azonos keacutemiai tulajdonsaacuteggal rendelkeznek A
legnagyobb kuumlloumlnbseacuteg fizikai tulajdonsaacutegokban a hidrogeacuten haacuterom izotoacutepja koumlzoumltt van (itt egyetlen
proton mellett egy vagy keacutet neutron viszonylag nagyobb elteacutereacutest okoz) 1H proacutecium (9998) 2H deuteacuterium (002) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese D 3H triacutecium (radioaktiacutev) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese T
Radioaktivitaacutes a nem stabil atommagok spontaacuten bomlaacutesa A radioaktiacutev bomlaacutest nagy energiaacutejuacute
sugaacuterzaacutes kiacuteseacuteri
A nem stabil magokat szokaacutes radioaktiacutev magoknak is nevezni
A radioaktivitaacutes keacutemiai moacutedszerekkel ndash tehaacutet az elektronszerkezeten keresztuumll ndash nem
befolyaacutesolhatoacute
48 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
23 Az atomok elektronszerkezete
Az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronszerkezetuumlk hataacuterozza meg a keacutemiai vaacuteltozaacutesok az
atommagra nincsenek hataacutessal Az elektronok szaacutema megegyezik a rendszaacutemmal mely az adott
elemre jellemző iacutegy a kuumlloumlnboumlző elemek vaacuterhatoacutean kuumlloumlnboumlző keacutemiai tulajdonsaacutegokkal rendelkeznek
Az elektronok az atomokban atompaacutelyaacutekon helyezkednek el
Atompaacutelya az a teacuterreacutesz ahol az elektron 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute
Az elektron a teacuter baacutermely teacuterreacuteszeacuteben megtalaacutelhatoacute valamilyen valoacutesziacutenűseacuteggel az atompaacutelya
nem jelent eacuteles hataacutert inkaacutebb valoacutesziacutenűseacutegi jellegű
Az atompaacutelyaacutekat egy szaacutem eacutes egy betű kombinaacutecioacutejaacuteval szoktuk jeloumllni peacuteldaacuteul 1s 2px 3dxy
stbhellip
A paacutelyaacutekat teacuterben aacutebraacutezolhatjuk uacutegy hogy megjeleniacutetjuumlk azt a feluumlletet mellyel hataacuterolt
teacuterreacuteszben az elektron megtalaacutelaacutesaacutenak valoacutesziacutenűseacutege 90-os
A kuumlloumlnfeacutele paacutelyaacutek alakjaacutet megfigyelhetjuumlk az alaacutebbi aacutebraacuten
231 aacutebra Kuumlloumlnboumlző atompaacutelyaacutek alakja
A paacutelyaacutek egyik fontos jellemzője a csomoacutesiacutekok szaacutema Csomoacutesiacuteknak nevezzuumlk azt a siacutekot mely
keresztuumllmegy az atommagon eacutes benne az elektron megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege zeacuterus Mint laacutethatoacute az s-
paacutelyaacutenak nincsen csomoacutesiacutekja a p-paacutelyaacuteknak egy csomoacutesiacutekja van a d-paacutelyaacuteknak keacutet csomoacutesiacutekja van eacutes
iacutegy tovaacutebb
Az elektronburok feleacutepuumlleacutese
Mint a koraacutebbiakban is emliacutetettuumlk az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronburok feleacutepiacuteteacutese az
elektronszerkezet hataacuterozza meg Ezeacutert rendkiacutevuumll fontos az elektronszerkezet feleacutepuumlleacuteseacutet viszonylag
reacuteszletesen taacutergyalnunk Az aacuteltalaacutenos keacutemia ezen reacutesze viszonylag bonyolult viszont a fontos
alapfogalmak elsajaacutetiacutetaacutesa utaacuten eacuterdekes toumlrveacutenyszerűseacutegeket ismeruumlnk majd meg
Vegyuumlnk egy tetszőleges atommagot eacutes koumlzeliacutetsuumlnk hozzaacute egy elektront Az elektron a
legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacutera keruumll eacutes ezt energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri (Megjegyzendő hogy
a felszabaduloacute energia nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket) A legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutet 1s
paacutelyaacutenak nevezzuumlk Egy maacutesodik elektron koumlzeliacutetve az iacutegy keletkezett bdquoegyelektronosrdquo rendszerhez
szinteacuten egy atompaacutelyaacutera keruumllt melyet ismeacutet energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuter A maacutesodik elektron ndash az
elsőhoumlz hasonloacutean ndash az 1s paacutelyaacutera keruumll eacutes az energiafelszabadulaacutes is megegyezik az első elektron
koumltődeacuteseacuteneacutel tapasztalttal Ha ehhez a bdquokeacutetelektronosrdquo rendszerhez egy uacutejabb elektront adunk az maacuter
nem keruumllhet a legalacsonyabb energiaacutejuacute 1s paacutelyaacutera mivel az atompaacutelyaacutekon maximaacutelisan keacutet elektron
foglalhat helyet (Most ezt fogadjuk el teacutenykeacutent ndash a kiegeacutesziacutető anyagkeacutent taacutergyalandoacute ndash aacuteltalaacutenosan
megfogalmazott Pauli-elv koumlvetkezmeacutenye) A harmadik elektron iacutegy a 2s paacutelyaacutera keruumll Egy negyedik
elektront meacuteg mindig el tudunk helyezni a 2s paacutelyaacuten aacutem az oumltoumldik elektronnak maacuter az egyik 2p
paacutelyaacutera kell keruumllnie (mivel paacutelyaacutenkeacutent maximum keacutet elektron foglalhat helyet) Meacuteg mielőtt tuacutelzottan
belebonyoloacutednaacutenk a paacutelyaacutek szaacutemozaacutesaacuteba eacutes sorrendjeacutebe eacuterdemes oumlsszefoglalnunk a fentieket
2 Az atomok szerkezete 49
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
ndash Energiaminimumra toumlrekveacutes az elektron mindig a legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektront lehet elhelyezni
A paacutelyaacutekat az elektronokkal szokaacutes az alaacutebbi cellaacutes jeloumlleacutessel jeloumllni
Paacutelya elektron neacutelkuumll
(uumlres paacutelya)
Paacutelya egy elektronnal
(feacutelig betoumlltoumltt paacutelya)
Paacutelya keacutet elektronnal
(betoumlltoumltt paacutelya)
Alapaacutellapotuacute atom minden elektron a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacuten helyezkedik el
Gerjesztett atom az atommal energiaacutet koumlzoumllve egy vagy toumlbb elektron magasabb energiaacutejuacute
paacutelyaacutera keruumll (Meacuteg mindig koumltődik az atomhoz nem szakad le roacutela)
Az atompaacutelyaacutek alheacutejakat az alheacutejak pedig elektronheacutejakat alkotnak
Az alheacutejat a paacutelya megjeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute betű jeloumlli peacuteldaacuteul lehetseacuteges p-alheacutej d-alheacutej stb Egy
alheacutejon beluumll ugyanolyan tiacutepusuacute eacutes azonos (vagy hasonloacute) meacuteretű paacutelyaacutek talaacutelhatoacuteak aacutem ezeknek a
Egy adott alheacutejon beluumll az elektronok energiaacuteja azonos tehaacutet a 2px 2py eacutes a 2pz paacutelyaacutekon talaacutelhatoacute
elektronoknak ugyanakkora (ugyanolyam meacutely) az energiaacuteja
Az elektronheacutejat pedig a paacutelya jeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute szaacutem mutatja meg az elektronheacutej bdquomeacutereteacutevelrdquo
van kapcsolatban az 1 heacutej van a legkoumlzelebb az atommaghoz a 2 heacutej enneacutel kijjebb talaacutelhatoacute eacutes iacutegy
tovaacutebb Tehaacutet a heacutej sorszaacutema az atommagtoacutel valoacute taacutevolsaacutegot jelenti
A heacutejakon beluumll alheacutejak talaacutelhatoacuteak Peacuteldaacuteul az 1 heacutej egyetlen alheacutejboacutel (1s) aacutell mely csupaacuten egy
paacutelyaacutet tartalmaz (1s) a 2 heacutej keacutet alheacutejboacutel aacutell a 2s-alheacutej eacutes a 2p-alheacutej alkotja A legalacsonyabb
energiaacutejuacute heacutejat K heacutejnak a toumlbbit pedig rendre L M N O hellip heacutejaknak nevezzuumlk
Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk kuumlloumlnboumlző bdquofajtardquo kuumlloumlnboumlző alakuacute paacutelyaacutekat az egyes tiacutepusuacute atompaacutelyaacutek
darabszaacutemaacutet pedig a paacuteratlan egeacutesz szaacutemok adjaacutek meg (1 3 5 7 9 hellip)
ndash s-paacutelya heacutejankeacutent egy s-paacutelya lehetseacuteges ez az egy paacutelya alkotja az s-alheacutejat
ndash p-paacutelya heacutejankeacutent haacuterom p-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a p-alheacutejat
ndash d-paacutelya heacutejankeacutent oumlt d-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a d-alheacutejat
ndash f-paacutelya heacutejankeacutent heacutet f-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek az f-alheacutejat
Mint laacutethatoacute az s-alheacutej kiveacuteteleacutevel egy alheacutejon beluumll toumlbb paacutelya is talaacutelhatoacute a paacutelyaacuteknak toumlbbfeacutele
iraacutenyultsaacutega van a px py eacutes pz paacutelyaacutek egy dereacutekszoumlgű (Descartes-feacutele) teacuterbeli koordinaacutetarendszer
Tehaacutet mindig legelőszoumlr az 1s alheacutej toumlltődik be majd a 2s ezutaacuten a 2p Tovaacutebbi elektront a 3s
alheacutejra tudunk elhelyezni ezutaacuten a 3p alheacutej koumlvetkezik Eddig a sorrend megegyezik azzal mint amire
a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten szaacutemiacutetanaacutenk Aacutem a taacuteblaacutezat szerint koumlvetkező 3d alheacutej energiaacuteja magasabb
mint a 4s alheacutejeacute ezeacutert az elektron inkaacutebb arra keruumll Neheacutez pontos magyaraacutezatot adni arra hogy ez
mieacutert van ezeacutert egyszerűen csak fogadjuk el
Az alheacutejak fentebb bemutatott betoumlltődeacutesi sorrendje az alaacutebbi aacutebraacuten koumlnnyen nyomon koumlvethető
233 aacutebra Az alheacutejak betoumllteacutesi sorrendje
3px 3py 3pz3s
3p-alheacutej3s-alheacutej
3 (M) heacutej
3d-alheacutej
3dxy 3pyz 3pxz 3px minusy 3pz 2 22
1s
2s
3s
4s
5s
2p
3p
4p
5p
3d
4d
5d
4f
6s 6p
1 (K)
2 (L)
3 (M)
4 (N)
5 (O)
6 (P)
52 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Termeacuteszetesen a paacutelyaacutek betoumlltődeacutese addig tart amiacuteg rendelkezeacutesre aacutell elektron Mindig
figyelembe kell vennuumlnk hogy
ndash az s-alheacutejon 1 paacutelya
ndash a p-alheacutejon 3 paacutelya
ndash a d-alheacutejon 5 paacutelya
ndash az f-alheacutejon 7 paacutelya
talaacutelhatoacute eacutes hogy minden paacutelyaacuten maximaacutelisan keacutet elektron helyezkedhet el
Oumlsszefoglalva
ndash az s-alheacutejakra maximaacutelisan 2 elektront
ndash a p-alheacutejakra maximaacutelisan 6 elektront
ndash a d-alheacutejakra maximaacutelisan 10 elektront
ndash az f-alheacutejakra maximaacutelisan 14 elektront
helyezhetuumlnk
Ezeacutert szokaacutes a betoumlltődeacutesi energiasorrendet az alaacutebbi moacutedon is jeloumllni
1s2 rarr 2s
2 rarr 2p6 rarr 3s
2 rarr 3p6 rarr
rarr 4s2 rarr 3d
10 rarr 4p6 rarr 5s
2 rarr 4d10 rarr
rarr 5p6 rarr 6s
2 rarr 4f14
rarr 5d10 rarr 6p
6 hellip
Peacuteldaacuteul ha a fluoratom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak a fluor (9F)
rendszaacutemaacutenak megfelelő 9 elektront kell megfelelően elhelyezni Ehhez az 1s paacutelyaacutera helyezuumlnk 2
elektront majd a 2s paacutelyaacutera szinteacuten 2 elektront Ez oumlsszesen 4 elektron meacuteg tovaacutebbi 5 elektront kell
elhelyeznuumlnk Sorrendben a 2p paacutelya koumlvetkezik melyre legfeljebb 6 elektront tudunk elhelyezni iacutegy
a mind az 5 elektron a 2p paacutelyaacutera keruumll
Az elektronok szaacutemaacutet az alheacutejakon a jobb felső indexbe tett szaacutemmal jeloumlljuumlk
A fenti fluoratom elektronjainak alheacutejak koumlzoumltti megoszlaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen iacuterhatjuk le
roumlviden
F 1s2 2s2 2p5
Azaz az 1s eacutes 2s alheacutejakra (paacutelyaacutekra) 2ndash2 elektron miacuteg a 2p paacutelyaacutera 5 elektron keruumll (2ndash2 egy-egy
p-paacutelyaacutera miacuteg a harmadikra csak 1)
Cellaacutes jeloumlleacutessel
Elektronkonfiguraacutecioacute az elektronok paacutelyaacutek szerinti elrendeződeacutese egy atomban
Most pedig vizsgaacuteljuk meg a nitrogeacutenatom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutet
A nitrogeacuten rendszaacutema 7 iacutegy 7 elektronja van Az előzőekhez hasonloacutean 2ndash2 elektront elhelyezuumlnk
az 1s eacutes 2s paacutelyaacutekon A maradeacutek 3 elektront a 2p paacutelyaacuten tudjuk elhelyezni
N 1s2 2s2 2p3
Itt viszont keacutet lehetőseacuteguumlnk van
A) a haacuterom p-paacutelyaacutera keruumll egyndashegyndashegy elektron
B) a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll egyre keacutet elektron keruumll miacuteg egy maacutesikra csak egy a harmadik p-paacutelya
pedig betoumlltetlen marad
1s 2s 2p
2 Az atomok szerkezete 53
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A cellaacutes jeloumlleacutessel a keacutet lehetőseacuteg
A)
B)
A fenti keacutet lehetőseacuteg koumlzuumll csak az egyik felel meg a valoacutesaacutegnak meacutegpedig az A) Tehaacutet egy
alheacutejon beluumll az elektronok lehetőseacuteg szerint paacuterosiacutetatlanul helyezkednek el [azaz a B) esetben csak
egy paacuterosiacutetatlan elektron van miacuteg az A) esetben haacuterom] Ezt Hund-szabaacutelynak nevezzuumlk
Hund-szabaacutely egy atom alheacutejaacuten az elektronok uacutegy helyezkednek el hogy koumlzuumlluumlk mineacutel toumlbb
legyen paacuterosiacutetatlan
Az alapaacutellapotuacute elektronszerkezet kialakulaacutesakor az alaacutebbi toumlrveacutenyszerűseacutegeknek kell
teljesuumllniuumlk
ndash Energiaminiumra toumlrekveacutes az elektron mindig a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera
keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera legfeljebb keacutet elektron keruumllhet
ndash Alheacutejak eseteacuten lehetőseacuteg szerint a legtoumlbb elektron legyen paacuterosiacutetatlan
21 peacutelda
Aacutellapiacutetsuk meg a germaacuteniumatom alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Vegyuumlk sorra hogy melyik alheacutejon haacuteny elektron lehet A jobb oldali oszlopban a betoumlltődeacutesi sorrend
szerint az oumlsszes elektron szaacutemaacutet is feltuumlntettuumlk melyet az adott alheacutej teliacutetődeacuteseacutevel lehetseacuteges eleacuterni
Alheacutejon Oumlsszesen
(betoumlltődeacutes szerint)
1s 2 2
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36
Mivel a germaacuteniumnak 32 elektronja van a 3d alheacutej betoumlltődeacuteseacutevel oumlsszesen 30 elektront tudunk
elhelyezni ezeacutert a 4p alheacutejra is keruumll elektron meacuteghozzaacute 2
Tehaacutet az alapaacutellapotuacute germaacuteniumatom elektronszerkezete
Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2
1s 2s 2p
1s 2s 2p
54 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ellenőrzeacuteskeacutepp eacuterdemes oumlsszeszaacutemolnunk a felső indexben szereplő szaacutemokat az oumlsszegnek meg
kell egyeznie a germaacuteniumatom elektronjainak szaacutemaacuteval
2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32
Mivel a p-alheacutejon 6 elektront lehet elhelyezni a haacuterom p-paacutelyaacuten a maradeacutek keacutet elektronnak a
Hund-szabaacutely eacutertelmeacuteben paacuterosiacutetatlanul kell elhelyezkednie Csak a 4s eacutes 4p-alheacutejat aacutebraacutezolva (az
Az atomot a keacutemiai reaktivitaacutes szempontjaacuteboacutel keacutet reacuteszre (bdquoreacutetegrerdquo) oszthatjuk a kuumllső
vegyeacuterteacutekelektronok vesznek reacuteszt a koumlteacutesek kialakiacutetaacutesaacuteban iacutegy a keacutemiai reakcioacutekban a belsőbb
elektronokra (eacutes az atommagra) viszont nincs hataacutesuk a keacutemiai vaacuteltozaacutesoknak
Vegyeacuterteacutekelektronok vegyeacuterteacutekelektronoknak nevezzuumlk az atom keacutemiai reakcioacutekban reacuteszt vevő
kuumllső elektronjait
Atomtoumlrzs az atommag eacutes azon elektronok melyek nem vegyeacuterteacutekelektronok
A fenti peacuteldaacuteban a germaacuteniumnak oumlsszesen neacutegy vegyeacuterteacutekelektronja van keacutet s eacutes keacutet p elektronja
van a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten Az első (K) a maacutesodik (L) eacutes a harmadik (M) heacutejat lezaacutertnak tekintjuumlk ezek
alkotjaacutek az atomtoumlrzset
A nemesgaacutezok elektronszerkezete igen stabilis keacutemiai reaktivitaacutesuk igen csekeacutely Ennek oka
hogy az s- eacutes p-alheacutejak a nemesgaacutezok eseteacuten vaacutelnak teliacutetetteacute (kiveacuteve a heacuteliumot ahol csak az 1s alheacutej
teliacutetődik) iacutegy a lezaacutert heacutejak kiemelkedő stabilitaacutest biztosiacutetanak A vegyeacuterteacutekelektronokat szoktaacutek uacutegy
emliacuteteni hogy a legfelső lezaacutert heacutejon kiacutevuumll elhelyezkedő elektronok a vegyeacuterteacutekheacutejat pedig mint a
legkuumllső lezaacuteratlan heacutejat Ez a megfogalmazaacutes bizonyos esetekben feacutelreeacuterteacutest okozhat
Peacuteldaacuteul a kalcium (rendszaacutema 20) alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2
Mint laacutetjuk a 3 heacutej meacuteg nem teliacutetett mivel a 3d-alheacutej elektronjai a 4s alheacutej teliacutetődeacutese utaacuten
neacutepesuumllnek be aacutem csak a 4s alheacutej 2 elektronjaacutet tekintjuumlk vegyeacuterteacutekelektronnak
Az elektronkonfiguraacutecioacute jeloumlleacuteseacutet gyakran leroumlvidiacutetjuumlk a koumlvetkező moacutedon megkeressuumlk azt a
legnagyobb rendszaacutemuacute nemesgaacutezt (1He 10Ne 18Ar 36Kr 54Xe 86Rn) melynek rendszaacutema kisebb az
adott elem rendszaacutemaacutenaacutel eacutes csak az elem eacutes a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteget
tuumlntetjuumlk fel
Peacuteldaacuteul a germaacutenium (rendszaacutema 32) elektronkonfiguraacutecioacuteja eseteacuten a legnagyobb naacutela kisebb
rendszaacutemuacute nemesgaacutez a 18-as rendszaacutemuacute argon (Ar) melynek elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
Iacutegy a germaacutenium elektronkonfiguraacutecioacuteja eacutes az argon elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg
A germaacutenium roumlvidiacutetett elektronkonfiguraacutecioacuteja iacutegy
Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2
4s 4p
Ge 1s2 2s
2 2p
6 3s
2 3p
6 4s
2 3d
10 4p
2
Ar
2 Az atomok szerkezete 55
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Eacuterdemes az elektronok feltoumlltődeacuteseacutet az alaacutebbi taacuteblaacutezatos formaacuteban is oumlsszefoglalni
Alheacutejon Oumlsszesen Nemesgaacutez
1s 2 2 2He
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10 10Ne
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18 18Ar
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36 36Kr
5s 2 36 + 2 = 38
4d 10 38 + 10 = 48
5p 6 48 + 6 = 54 54Xe
6s 2 54 + 2 = 56
4f 14 56 + 14 = 70
5d 10 70 + 10 = 80
6p 6 80 + 6 = 86 86Rn
7s 2 86 + 2 =88
5f 14 88 + 14 = 102
6d 10 102 + 10 = 112
7p 6 112 + 6 = 118 118UUo
22 peacutelda
Iacuterjuk fel a 48-es rendszaacutemuacute kadmium elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Tehaacutet 48 elektront kell elhelyeznuumlnk Iacutegy a teljes elektronkonfiguraacutecioacute
Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10
Most hataacuterozzuk meg az elektronkonfiguraacutecioacutet a roumlvidiacutetett leiacuteraacutessal A kriptonban 36 elektron
talaacutelhatoacute (a xenonnak toumlbb elektronja van mint a kadmiumnak) iacutegy a maradeacutek 48minus36 = 12 elektront
kell csak feltuumlntetnuumlnk ezek az 5s eacutes a 4d alheacutejakra keruumllnek
Cd [Kr] 5s2 4d10
Gyakorloacutefeladatok
Iacuterjuk fel az alaacutebbi elemek alapaacutellapotuacute konfiguraacutecioacutejaacutet
a) 38Sr
b) 13Al
c) 34Se
d) 53I
e) 25Mn
f) 36Kr
g) 67Ho
h) 83Bi
i) 95Am
j) 80Hg
Megoldaacutesok
a) [Kr] 5s2
b) [Ne] 3s2 3p1
56 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
c) [Ar] 4s2 3d10 4p4
d) [Kr] 4d10 5s2 5p5
e) [Ar] 4s2 3d5
f) [Ar] 3d10 4s2 4p6
g) [Xe] 4f11 6s2
h) [Xe] 4f14
5d10
6s2 6p
3
i) [Rn] 5f7 7s2
j) [Xe] 4f14 5d10 6s2
24 A kvantumszaacutemok
Az atompaacutelyaacutek illetve az elektronok betoumlltődeacuteseacutenek sorrendje szoros oumlsszefuumlggeacutesben aacutell a
Schroumldinger-egyenletekkel melyek a kvantumkeacutemia legfontosabb alapegyenletei koumlzeacute tartoznak
Mivel ezen egyenletek megeacuterteacutese felsőbb matematikai ismereteket koumlvetel itt nem ismerkeduumlnk meg
veluumlk (keacutesőbbi egyetemi tanulmaacutenyainkban viszont majd igen) azonban neacutehaacuteny fontosabb
koumlvetkezmeacutenyuumlket bemutatjuk A Schroumldinger-egyenletek megoldaacutesai kvantaacuteltak ami azt jelenti
hogy nem vehetnek fel baacutermilyen tetszőleges eacuterteacuteket hanem csak joacutel meghataacuterozott eacuterteacutekűek lehetnek
Egy szemleacuteletes peacutelda a molekulaacutek rezgőmozgaacutesa a molekula atomjait keacutepzeljuumlk el toumlmegpontoknak
melyeket a keacutemiai koumlteacutesek rugoacutekeacutent koumltnek oumlssze Egy nagyon egyszerű keacutetatomos molekula a
dihidrogeacuten (H2) A molekulaacutek ndash iacutegy a dihidrogeacuten is ndash folyamatos rezgőmozgaacutessal rendelkeznek aacutem
ennek frekvenciaacuteja nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket Ha energiaacutet koumlzluumlnk a molekulaacuteval noumlvelhetjuumlk a
rezgeacutes frekvenciaacutejaacutet aacutem nem tetszőleges meacuterteacutekben a rezgeacutes frekvenciaacuteja kvantaacutelt
Egy adott atomban az elektronok energiaszintjei is kvantaacuteltak nem vehetnek fel baacutermilyen
eacuterteacuteket az egyes energiaszintek energiaacuteja meghataacuterozott Az elektronok nem tartoacutezkodhatnak
energiaszintek koumlzoumltt csak adott energiaszinteken Ha az elektront az egyik energiaszintről egy
maacutesikra szeretneacutenk juttatni (gerjeszteni) meghataacuterozott energiaacutet kell koumlzoumllnuumlnk vele A Schroumldinger-
egyenlet alapjaacuten kiszaacutemiacutethatjuk az elektronszintek energiaacutejaacutet ez tartalmaz egy parameacutetert melynek
eacuterteacuteke 1 2 3 stb eacuterteacutekeket vehet fel Ezt a parameacutetert főkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Az elektron
maacutegneses tulajdonsaacutegokkal is rendelkezik melyek szinteacuten kvantaacuteltak Ezeket a tulajdonsaacutegokat a
melleacutekkvantumszaacutem eacutes a maacutegneses kvantumszaacutem hataacuterozza meg aacutem ezek eacuterteacuteke sem lehet
tetszőleges Az elektron rendelkezik egy spinnek nevezett mennyiseacuteggel mely fuumlggetlen a toumlbbi
kvantumszaacutemtoacutel A spin az elektron egy maacutegneses jellemzője az ehhez tartozoacute kvantumszaacutemot
spinkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Mint majd laacutetni fogjuk a spinkvantumszaacutem keacutet ellenteacutetes előjelű aacutem
azonos abszoluacutet eacuterteacutekű szaacutem (minusfrac12 vagy +frac12) lehet
Tehaacutet az atom baacutermely elektronja neacutegy kvantumszaacutemmal jellemezhető
A főkvantumszaacutem (n) eacuterteacuteke 1 2 3 stb pozitiacutev egeacutesz szaacutem lehet eacutes megadja hogy az elektron
haacutenyadik heacutejon van Mineacutel nagyobb n eacuterteacuteke az elektron annaacutel nagyobb sugaruacute paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Tehaacutet
n = 1 eseteacuten tudjuk hogy az elektron az első heacutejon talaacutelhatoacute n = 2 eseteacuten pedig hogy a maacutesodik
elektronheacutejon Az elektron energiaacuteja is fuumlgg a főkvantumszaacutemtoacutel a legalacsonyabb energia n = 1-hez
tartozik
A melleacutekkvantumszaacutem (ℓ) eacuterteacuteke 0 1 hellip nminus1 lehetseacuteges tehaacutet az adott heacutejon (adott n eseteacuten)
n-feacutele kuumlloumlnboumlző melleacutekkvantumszaacutem lehetseacuteges A melleacutekkvantumszaacutem megadja hogy az elektron
az elektronheacutejon beluumll melyik alheacutejon (s p d f hellip) talaacutelhatoacute
Az első elektronheacutejon (n = 1) csak ℓ = 0 lehetseacuteges azaz csak s-alheacutejon lehet az elektron
A maacutesodik elektronheacutejon (n = 2) ℓ eacuterteacuteke lehet 0 vagy 1 Ha ℓ = 0 az elektron az s-alheacutejon van
ha pedig ℓ = 1 az elektron a p-alheacutejon talaacutelhatoacute
A harmadik heacutejon (n = 3) ℓ eacuterteacuteke haacuterom kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel 0 1 vagy 2 Az ℓ = 0 eacuterteacutek
mindig s-alheacutejat jeloumll ℓ = 1 eseteacuten az elektron p-alheacutejon talaacutelhatoacute ha pedig ℓ eacuterteacuteke 2 akkor az
elektronroacutel megaacutellapiacutethatoacute hogy a d-alheacutejon van
A maacutegneses kvantumszaacutem (m) eacuterteacuteke egeacutesz szaacutem lehet minusℓ-től +ℓ-ig terjedőleg (a 0-t is
beleeacutertve) iacutegy (2middotℓ + 1) kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel A maacutegneses kvantumszaacutem adott alheacutej eseteacuten a
2 Az atomok szerkezete 57
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
paacutelyaacutek iraacutenyaacutet adja meg tehaacutet egy adott alheacutej eseteacuten m eacuterteacuteke alapjaacuten meg tudjuk aacutellapiacutetani hogy az
elektron melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul ha ℓ = 0 csak egyetlen eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem m = 0 Az s-alheacutejon
beluumll egyetlen s-paacutelya talaacutelhatoacute ehhez tartozik az m = 0 maacutegneses kvantumszaacutem
Ha ℓ = 1 a p-alheacutejon talaacutelhatoacute az elektron Viszont haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyuacute p-paacutelyaacutet ismeruumlnk
px- py- eacutes pz-paacutelyaacutekat A maacutegneses kvantumszaacutem ℓ = 1 eseteacuten m = minus1 m = 0 eacutes m = +1 lehet a haacuterom
A d-alheacutej azaz ℓ = 2 eseteacuten maacuter oumltfeacutele eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem minus2 minus1 0 +1
eacutes +2 Az oumlt kuumlloumlnboumlző maacutegneses kvantumszaacutem az oumlt kuumlloumlnboumlző d-paacutelyaacutet jeloumlli a d-alheacutejon beluumll
Az f-alheacutej eseteacuten (ℓ = 3) heacutet kuumlloumlnboumlző eacuterteacutek koumlzuumll vehet fel egyet a maacutegneses kvantumszaacutem minus3
minus2 minus1 0 +1 +2 +3 iacutegy az f-alheacutejon beluumll heacutet paacutelya kuumlloumlnboumlztethető meg
A spinkvantumszaacutem (ms) eacuterteacuteke +frac12 vagy minusfrac12 lehet Egy adott paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron
keruumllhet ezek mindig ellenteacutetes spinkvantumszaacutemmal rendelkeznek Az elektronok cellaacutes jeloumlleacuteseacuteneacutel a
Tehaacutet ha ismerjuumlk egy elektron mind a neacutegy kvantumszaacutemaacutet akkor tudjuk hogy melyik heacutejon (n)
azon beluumll melyik alheacutejon (ℓ) van eacutes azt is ismerjuumlk hogy az alheacutejon beluumll melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
(m) Az adott paacutelyaacuten talaacutelhatoacute keacutet elektront a spinkvantumszaacutem (ms) kuumlloumlnboumlzteti meg
Egy adott atomban azon elektronok melyek csupaacuten spinkvantumszaacutemukban kuumlloumlnboumlznek egy
elektronpaacutert alkotnak
Tehaacutet egy atomban minden egyes elektron bdquobeazonosiacutethatoacuterdquo a neacutegy kvantumszaacutem segiacutetseacutegeacutevel
Egy nagyon fontos megaacutellapiacutetaacutes hogy egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet Ez a Pauli-
elvvel van oumlsszefuumlggeacutesben
Pauli-elv egy atomban nem lehet keacutet (vagy toumlbb) olyan elektron melynek mind a neacutegy
kvantumszaacutema azonos
A kvantumszaacutemok egy oumlsszetett fizikai elmeacutelet igen bonyolult matematikai oumlsszefuumlggeacutesekkel
megkapott eredmeacutenyei melyek segiacutetseacutegeacutevel megmagyaraacutezhatoacute a heacutejakndashalheacutejakndashpaacutelyaacutek rendszere iacutegy
az atom elektronheacutejaacutenak szerkezete Mint hamarosan laacutetjuk az elemek perioacutedusos rendszereacutenek
feleacutepiacuteteacutese is szoros oumlsszhangban van a kvantumszaacutemok rendszereacutevel
25 Az elemek perioacutedusos rendszere
Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Maacuter reacutegen megfigyelteacutek hogy bizonyos elemek hasonloacute keacutemiai (eacutesvagy fizikai) tulajdonsaacutegokkal
rendelkeznek Mengyelejev a XIX szaacutezad veacutegeacuten az addig felfedezett elemeket egy taacuteblaacutezatba
gyűjtoumltte oumlssze Sőt a felfedezett toumlrveacutenyszerűseacutegeket felhasznaacutelva Mengyelejev szaacutemos addig meacuteg
ismeretlen elem tulajdonsaacutegait joacutesolta meg
A perioacutedusos rendszer az elemeknek a noumlvekvő rendszaacutem szerint feleacutepiacutetett taacuteblaacutezata
Eacuterdekes moacutedon ha az egymaacutest koumlvető rendszaacutemuacute (azaz elektronszaacutemuacute) elemeket sorba
rendezzuumlk ez az elektronok beeacutepuumlleacutesi sorrendje szerint toumlrteacutenik
58 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
251 aacutebra Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszer feleacutepuumlleacutese joacutel megfigyelhető az alaacutebbi animaacutecioacuten
251 animaacutecioacute Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Perioacutedusok
A perioacutedusos rendszerben a viacutezszintes sorokat perioacutedusoknak vagy soroknak nevezzuumlk Gyakran
kuumlloumlnbseacuteg van a sor eacutes a perioacutedus megjeloumlleacutes koumlzoumltt az első bdquosorrdquo-nak aacuteltalaacuteban a 2 perioacutedust szokaacutes
tekinteni peacuteldaacuteul a szeacuten vagy a nitrogeacuten bdquoelső sorbelirdquo elem
Mezők
Az egymaacutes alatti sorok az adott elektronheacutej beeacutepuumlleacuteseacutet mutatjaacutek Az elemeket a fenti taacuteblaacutezatba
rendezve kuumlloumlnboumlző uacutegynevezett mezőket figyelhetuumlnk meg egy mezőn beluumll az azonos betoumlltődő
alheacutejjal rendelkező elemek talaacutelhatoacutek Iacutegy megkuumlloumlnboumlztetuumlnk s- p- d- eacutes f-mezőt
1 1s 1s
2 2s 2p
3 3s 3p
4 4s 3d 4p
5 5s 4d 5p
6 6s 5d 6p
7 7s 6d 7p
4f
5f
2 Az atomok szerkezete 59
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
252 aacutebra A perioacutedusos rendszer mezői
Az s-mező eacuterdekes moacutedon keacutet helyen talaacutelhatoacute az egyik a perioacutedusos rendszer bal oldalaacuten a
maacutesik pedig csupaacuten egyetlen elemet tartalmaz a heacuteliumot A heacutelium egyreacuteszt azeacutert keruumllt a perioacutedusos
rendszer jobb oldalaacutera mivel tulajdonsaacutegaiban sokkal inkaacutebb hasonliacutet az ott talaacutelhatoacute elemekhez A
heacutelium bdquoaacutethelyezeacuteserdquo azonban nem oumlnkeacutenyes a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban toumlltődik be az
adott heacutej az 1 (K) heacutej pedig keacutet elektronnal teliacutethető azaz maacuter a heacuteliumnaacutel lezaacuterul a heacutej
Mint fentebb laacutethatjuk az f-mezőt aacuteltalaacuteban ki szoktaacutek venni az uacutegynevezett bdquohosszuacute perioacutedusos
rendszerbőlrdquo mivel egy hosszuacute keskeny taacuteblaacutezat kezeleacutese viszonylag koumlruumllmeacutenyes
A feltoumlltődeacutesi sorrendből adoacutedik hogy az első perioacutedusban csak s-mező talaacutelhatoacute a maacutesodik
perioacutedustoacutel kezdődik a p-mező feltoumlltődeacutese Mivel a 4s alheacutej hamarabb kezd feltoumlltődni mint a 3d a
3d heacutej a 4 perioacutedusban kezd csak feltoumlltődni Hasonloacute a helyzet az f-mezővel a 4f alheacutej csak a 6s
alheacutej betoumlltődeacutese utaacuten kezd el beneacutepesuumllni iacutegy a 6 perioacutedusban talaacutelhatoacute A tudomaacuteny pillanatnyi
aacutellaacutesa szerint nem sikeruumllt meacuteg előaacutelliacutetani olyan elemet mely a 8 perioacutedusban talaacutelhatoacute sőt a 7
perioacutedus nagyobb rendszaacutemuacute (uacutegynevezett keacutesői) elemei is rendkiacutevuumll instabilak aacuteltalaacuteban csupaacuten
nyomnyi mennyiseacutegben sikeruumll őket előaacutelliacutetani (gyakran ez csak neacutehaacutenyszor tiacutez atomot jelent) A
nagyfokuacute instabilitaacutes oka az atommagok radioaktivitaacutesa aacuteltalaacuteban magreakcioacutek segiacutetseacutegeacutevel lehet
ilyen nagy rendszaacutemuacute atommagokat előaacutelliacutetani melyek azonban toumlbbnyire nagyon gyorsan radioaktiacutev
bomlaacutest szenvednek Ebből koumlvetkezik hogy az ilyen rendkiacutevuumll nagy rendszaacutemuacute elemek fizikai eacutes
keacutemiai tulajdonsaacutegairoacutel nem sokat tudunk Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megjegyezhetjuumlk hogy a
perioacutedusos rendszer alsoacutebb perioacutedusaiban ndash a sok kuumllső elektronnak koumlszoumlnhetően ndash noumlvekszik a
feacutemes jelleg eacutes meacuteg a főcsoportokban is elmosoacutedik az egyes elemek keacutemiai tulajdonsaacutegai koumlzoumltt a
hataacuter
1 s
2
3
4
5
6
7
s -
m
e z
ő
d-mező
p-mező
f-mező
60 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
I
A
II
A
III
B
IV
B
V
B
VI
B
VII
B
VIII
B
VIII
B
VIII
B
I
B
II
B
III
A
IV
A
V
A
VI
A
VII
A
VIII
A
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Ta Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
253 aacutebra A perioacutedusos rendszer
Oszlopok
A hasonloacute elektronszerkezetű elemek fuumlggőleges elrendeződeacutesben helyezkednek le egymaacutes alatti
helyet foglalnak el a perioacutedusos rendszerben ezek egy oszlopot alkotnak
Az s-mező eacutes a p-mező oszlopait oumlsszefoglaloacutean főcsoportoknak miacuteg a d-mező oszlopait
melleacutekcsoportoknak szokaacutes nevezni A keacutesőbbiekben megismerkeduumlnk az egyes oszlopok
elnevezeacuteseivel is
Az oszlopok szaacutemozaacutesaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen szokaacutes veacutegezni
ndash a reacutegiesebb szaacutemozaacutes szerint kuumlloumln taacutergyaljuk a főcsoportokat illetve a melleacutekcsoportokat aacutem
mindkettőt roacutemai szaacutemokkal jeloumlljuumlk Ilyenkor a főcsoportok eseteacuten a megfelelő roacutemai szaacutem
melleacute A betűt iacuterunk miacuteg a melleacutekcsoportokat B betűvel jeloumlljuumlk A fő- eacutes melleacutekcsoportok
(Pd) ezuumlst (Ag) ozmium (Os) iridium (Ir) platina (Pt) eacutes az arany (Au)
Lantanidaacutek eacutes aktinidaacutek
Az f-mező 6 perioacutedusaacuteba tartozoacute feacutemeit lantanidaacuteknak (a 7 perioacutedusaacuteba tartozoacutekat pedig
aktinidaacuteknak szoktuk nevezni)
Ritka foumlldfeacutemek
A lantanidaacutekat a szkandiummal (Sc) eacutes az ittriummal (Y) egyuumltt ritkafeacutemeknek nevezzuumlk
62 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Nemfeacutemek Alkaacutelfeacutemek
Feacutelfeacutemek Alkaacutelifoumlldfeacutemek
Maacutesodfajuacute feacutemek Lantanidaacutek
Aacutetmeneti feacutemek Aktinidaacutek
Nemesfeacutemek
254 aacutebra A perioacutedusos rendszer felosztaacutesa az atomok feacutemes jellege szerint
26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszerben bizonyos tulajdonsaacutegok folytonosan maacutes tulajdonsaacutegok pedig perioacutedusosan
vaacuteltoznak
261 Toumlmegszaacutem neutronszaacutem eacutes relatiacutev atomtoumlmeg vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A proacutecium ( H11 ) kiveacuteteleacutevel minden izotoacutep tartalmaz neutronokat mivel maacuter keacutet proton melleacute is
szuumlkseacuteges neutron hogy az atommag stabil legyen
A kis rendszaacutemuacute elemek legstabilabb izotoacutepjai eseteacuten (perioacutedusos rendszer eleje) a protonok eacutes a
neutronok szaacutema gyakran megegyezik (azaz a neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya egy koumlruumlli ndash
N Z asymp 1) tehaacutet a toumlmegszaacutem gyakran a rendszaacutem keacutetszerese A kalcium 40-es toumlmegszaacutemuacute izotoacutepja (
Ca4020 ) a legnagyobb rendszaacutemuacute izotoacutep melyben a protonok eacutes neutronok szaacutema megegyezik
Nagyobb rendszaacutemuacute elemek izotoacutepjai eseteacuten a neutronok szaacutema meghaladja a protonokeacutet tehaacutet a
toumlmegszaacutem nagyobb mint a rendszaacutem keacutetszerese Ennek oka hogy egyre toumlbb neutronra van szuumlkseacuteg
a pozitiacutev toumllteacutesű protonok elektrosztatikus tasziacutetaacutesaacutenak leaacuternyeacutekolaacutesaacutera A perioacutedusos rendszer utolsoacute
perioacutedusaacuteban a neutronok eacutes protonok szaacutemaacutenak araacutenya (N Z) rendszerint nagyobb mint 15
2 Az atomok szerkezete 63
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az alaacutebbi aacutebraacuten a leacutetező oumlsszes stabil izotoacutep neutronszaacutem protonszaacutem araacutenya (N Z) van
feltuumlntetve a rendszaacutem (Z protonszaacutem) fuumlggveacutenyeacuteben A piros vonal az N Z = 1 esetet jeleniacuteti meg
2611 aacutebra A neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya a toumlmegszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel noumlvekszik ez aloacutel neacutehaacuteny elempaacuter a kiveacutetel
Az alaacutebbi aacutebraacuten az elemek relatiacutev atomtoumlmegeacutet (Ar) aacutebraacutezoltuk a rendszaacutem (Z) fuumlggveacutenyeacuteben
(keacutek koumlroumlk) A fekete egyenes az Ar = Z a zoumlld egyenes az Ar = 2 middot Z a piros egyenes pedig az
Ar = 3 middot Z fuumlggveacutenyeket jelenti
2612 aacutebra A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
64 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute a relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel egyre meredekebben noumlvekszik Miacuteg
a kis rendszaacutemok eseteacuten Ar asymp 2 middot Z (a neutronok szaacutema nagyjaacuteboacutel megegyezik a protonok szaacutemaacuteval ndash a
rendszaacutemmal) addig a nagy rendszaacutemok eseteacuten az Ar Z araacuteny 2-neacutel joacuteval nagyobb
262 Az atomok meacutereteacutenek vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Az atomokat goumlmbszerűnek felteacutetelezzuumlk iacutegy az atomok meacutereteacutet az atomsugaacuterral (idegen szoacuteval
atomraacutediusszal) szoktuk jellemezni (Csak megemliacutetjuumlk hogy az atomsugaacuter fuumlgg az atom aacutellapotaacutetoacutel
azaz attoacutel is hogy milyen koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacuteban vesz reacutesz Ezaacuteltal toumlbbfeacutele moacutedon definiaacutelhatjuk az
atomsugarat aacutem ennek reacuteszleteivel itt nem foglalkozunk) Az atomsugaacuter (eacutes iacutegy az atomteacuterfogat)
vaacuteltozaacutesa szaacutemos maacutes tulajdonsaacuteg vaacuteltozaacutesaacutera hataacutessal van (peacuteldaacuteul sűrűseacuteg halmazaacutellapot)
Az atomsugaacuter periodikusan vaacuteltozik a perioacutedusos rendszeren beluumll
Egy adott perioacuteduson beluumll az atomsugaacuter balroacutel jobbra csoumlkken Ennek a magyaraacutezata a
koumlvetkező egy perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra haladva noumlvekszik az atommag toumllteacutese mivel egyre
toumlbb proton talaacutelhatoacute benne Az atommag toumllteacuteseacutet az elektronok leaacuternyeacutekoljaacutek A lezaacutert belső heacutejak
elektronjainak negatiacutev toumllteacutese egy perioacuteduson beluumll gyakorlatilag azonosnak tekinthető Balroacutel jobbra
haladva egy perioacutedusban az elektronok ugyanarra a kuumllső heacutejra leacutepnek be ezek aacuternyeacutekoloacute hataacutesa
sokkal kisebb mint az alatta levő heacutejak elektronjaieacute iacutegy az atommag (balroacutel jobbra noumlvekedő) toumllteacutese
egyre erősebben vonzza a vegyeacuterteacutekelektronokat ennek koumlvetkezteacuteben az atomsugaacuter csoumlkken
Az atomsugaacuter egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik Magyaraacutezat a paacutelyaacutek meacuterete
2621 aacutebra Az atomsugaacuter vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Itt eacuterdemes megemliacuteteni a sűrűseacuteg vaacuteltozaacutesaacutet is A sűrűseacuteg termeacuteszetesen nemcsak az
atomteacuterfogattoacutel (atomsugaacutertoacutel) fuumlgg hanem a halmazaacutellapottoacutel az atomok elrendeződeacuteseacutetől a
kristaacutelyszerkezettől is iacutegy igen neheacutez aacuteltalaacutenosan tendenciaacutekat talaacutelni Viszont azt mindenkeacuteppen
eacuterdemes megjegyezni hogy a sűrűseacuteg egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik
1
2
3
4
5
6
7
ATOMSUGAacuteR
2 Az atomok szerkezete 65
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
263 Az elemek halmazaacutellapota
A halmazaacutellapot a reacuteszecskeacuteket oumlsszetartoacute koumllcsoumlnhataacutesoktoacutel fuumlgg A kuumlloumlnfeacutele koumllcsoumlnhataacutesok eacutes a
halmazaacutellapot oumlsszefuumlggeacuteseit majd a keacutesőbbiekben reacuteszletesen taacutergyaljuk itt ndash a teljesseacuteg kedveacuteeacutert ndash
azonban megmutatjuk a perioacutedusos rendszer mely reacuteszeacuteben milyen halmazaacutellapot jellemző
Normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson (101325 kPa) eacutes 25 degC hőmeacuterseacutekleten az elemek tuacutelnyomoacute toumlbbseacutege
szilaacuterd azonban talaacutelhatunk koumlzoumlttuumlk szeacutep szaacutemban gaacutezokat is A legritkaacutebb halmazaacutellapot a folyadeacutek
csupaacuten keacutet elem folyeacutekony 25 degC-on a broacutem (Br) eacutes a higany (Hg) Tovaacutebbi keacutet elemnek igen
alacsony az olvadaacutespontja a galliumeacute (Ga 30 degC) eacutes a ceacuteziumeacute (Cs 28 degC) is szobahőmeacuterseacuteklet
koumlzeleacuteben van enyhe melegiacuteteacutes hataacutesaacutera megolvadnak
A vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema az első 12 oszlopban megegyezik az oszlop szaacutemaacuteval A p-
mezőben pedig a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacutet megkapjuk ha az oszlop szaacutemaacuteboacutel levonunk 10-et a
66 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
lezaacutert d-alheacutejat (a tiacutez elektronjaacuteval) maacuter nem szokaacutes a p-mező vegyeacuterteacutekelektronjaihoz szaacutemiacutetani (itt az
n-dik heacutej teliacutetődik viszont az (nminus1)-dik heacutej maacuter lezaacuterult a 12 oszlopban) Egyetlen kiveacutetel a heacutelium
(18 oszlop) melynek csupaacuten 2 vegyeacuterteacutekelektronja van
(A reacutegi szaacutemozaacutesi moacuted szerint a főcsoportokban az oszlop szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Ez a melleacutekcsoportok eseteacuten is igaz viszont a VIIIB keacutet oszlopaacutera
nem igaz ndash kobalt nikkel eacutes az alattuk talaacutelhatoacute elemek)
Vegyeacuterteacutek az atom aacuteltal leacutetesiacutethető keacutemiai koumlteacutesek szaacutema A kuumlloumlnboumlző elemek gyakran toumlbbfeacutele
Ennek magyaraacutezata a koumlvetkező Maacuter koraacutebban megismertuumlk hogy a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema
a perioacutedusos rendszer főcsoportjaiban balroacutel jobbra noumlvekszik A keveacutes vegyeacuterteacutekelektronnal
rendelkező feacutemek viszonylag koumlnnyen le tudjaacutek adni elektronjaikat iacutegy igen stabilis nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionokkaacute alakulnak miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező nemfeacutemek
eseteacuten a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute elektronfelveacutetellel koumlnnyebben kialakul Ellenkező esetben a
nemesgaacutez elektronszerkezet eleacutereacuteseacutehez a kevesebb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező feacutemeknek
viszonylag sok elektront kellene felvenniuumlk miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező
nemfeacutemeknek igen sok elektront kellene leadniuk mely energetikailag igen kedvezőtlen
Iacutegy peacuteldaacuteul a kaacuteliumatomboacutel egy vegyeacuterteacutekelektronjaacutenak eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval egyszeresen pozitiacutev
toumllteacutesű kaacuteliumion miacuteg a heacutet vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező fluoratom egy elektront felveacuteve
fluoridanionnaacute tud alakulni Mind a kaacuteliumionnak mind a fluoridionnak nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacuteja van
A nemfeacutemek aacuteltal maximaacutelisan felvehető elektronok szaacutemaacutet nagyon egyszerűen meg tudjuk
aacutellapiacutetani a nemesgaacutezoknak ndash a heacutelium kiveacuteteleacutevel ndash mindig keacutet s eacutes hat p elektronja van azaz a
vegyeacuterteacutekheacutejukon 8 elektronjuk van Legyen a nemfeacutemnek n vegyeacuterteacutekelektronja ekkor pontosan
8 minus n elektron szuumlkseacuteges ahhoz hogy 8 elektronja legyen a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
Mint az előzőekben maacuter taacutergyaltuk a perioacutedusos rendszer oszlopaacutenak sorszaacutema eacutes az adott elem
vegyeacuterteacutekelektronjainak szaacutema koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes van Az oszlopok aktuaacutelis szaacutemozaacutesa szerint
tehaacutet az m-edik oszlopban talaacutelhatoacute nemfeacutem 18 minus m elektront tud felvenni Peacuteldaacuteul a 15 oszlopban
talaacutelhatoacute foszforatom 18 minus 15 = 3 elektront tud maximaacutelisan felvenni a 16 csoportban talaacutelhatoacute
keacutenatom pedig maximaacutelisan 18 minus 16 = 2 elektron felveacuteteleacutevel keacutepes anionnaacute alakulni
A főcsoportokban a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Peacuteldaacuteul egy alumiacuteniumatomroacutel (mely haacuterom vegyeacuterteacutekelektronnal
d) Az arzeacuten (As) a 15 csoportban talaacutelhatoacute vegyeacuterteacutekelektron-konfiguraacutecioacuteja 4s2 4p3 Az arzeacuten
uacutegy tud nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionnaacute alakulni ha lead 5 elektront vagy pedig ha
felvesz 3 elektront
As rarr As5+ + 5eminus
As + 3eminusrarr As3minus
e) A hidrogeacuten egy kicsit kuumlloumlnoumls eset mivel a hozzaacute legkoumlzelebbi nemesgaacutez a heacutelium melynek 2
(vegyeacuterteacutek)elektronja van Iacutegy a hidrogeacutenatom egy elektron eladaacutesaacuteval hidrogeacutenkationnaacute
(tulajdonkeacuteppen protonnaacute 1H+ equiv p+) miacuteg egy elektron felveacuteteleacutevel anionnaacute keacutepes alakulni A
hidrogeacutenből keacutepződő aniont hidridionnak nevezzuumlk (az 1Hminus eseteacuten egy proton keacutet elektronnal)
H rarr H+ + eminus
H + eminusrarr Hminus
Eacuterdemes megjegyezni hogy az atomboacutel elektronfelveacutetellel keacutepződő ion elnevezeacuteseacutenek veacutegeacuten
mindig -id veacutegződeacutes talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul
O2minus oxid
As3minus arzenid
Hminus hidrid
70 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A melleacutekcsoportok eseteacuten nem jellemző hogy az elemek elektronfelveacutetellel anionnaacute alakuljanak
eacutes a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema is kicsit komplikaacuteltabb A 3 oszloptoacutel a 8 oszlopig
az elemekből baacutermely vegyeacuterteacutekelektront el lehet taacutevoliacutetani iacutegy az eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutemaacutenak
maximuma az oszlop sorszaacutemaacuteval azonos Viszont a 9 oszloptoacutel kezdődően a helyzet hasonloacutevaacute vaacutelik
ahhoz mint amit a nemfeacutemekneacutel tapasztaltunk nagyszaacutemuacute elektron eltaacutevoliacutetaacutesa maacuter nem lehetseacuteges
tehaacutet nem lehetseacuteges peacuteldaacuteul 9-szeresen pozitiacutev ion keacutepzeacutese Aniont keacutepezve azonban az aktuaacutelis heacutej
lezaacuteraacutesaacutehoz a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute eleacutereacuteseacutehez az oumlsszes p-elektront is fel kellene toumlltenuumlnk
melyhez igen sok energia szuumlkseacuteges A 9 eacutes 10 oszlopban iacutegy nehezen lehet megjoacutesolni a
maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronszaacutemot A 11 oszlopban toumlbbnyire 1 vagy 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacutera
van lehetőseacuteg miacuteg a 12 oszlopban 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval keacutepezhető kation
A melleacutekcsoportokroacutel aacuteltalaacutenossaacutegban elmondhatoacute hogy itt a főcsoportokhoz keacutepest sokkal toumlbb
Első ionizaacutecioacutes energia vagy első ionizaacutecioacutes potenciaacutel első ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt
az energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy atomboacutel egyszeresen pozitiacutev iont (kationt) hozzunk
leacutetre
Az ionizaacutecioacutes energia az alaacutebbi folyamat energiaszuumlkseacutegleteacutet jelenti
X rarr X+ + eminus
Mindig a leggyengeacutebben koumltoumltt elektront tudjuk legkoumlnnyebben eltaacutevoliacutetani eacutes eacutertelemszerűen
mineacutel erősebben koumltődik egy elektron az atomhoz annaacutel nehezebb eltaacutevoliacutetani azaz annaacutel toumlbb
energiaacutet kell befektetnuumlnk hogy el tudjuk taacutevoliacutetani
A legstabilabb elektronszerkezettel a nemesgaacutezok rendelkeznek (18 oszlop) mivel itt zaacuterul le a
betoumlltődő elektronheacutej A lezaacutert elektronheacutej mindig kiemelkedően stabil ezeacutert a nemesgaacutezok első
ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb egy perioacuteduson beluumll Mivel az alkaacutelifeacutemek ionizaacutelaacutesaacuteval nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute egyszeresen pozitiacutev ion keletkezik ez igen nagy stabilitaacutessal rendelkezik eacutes
az alkaacutelifeacutematom koumlnnyen leadja az egyetlen s vegyeacuterteacutekelektronjaacutet Tehaacutet egy perioacuteduson beluumll az
alkaacutelifeacutemek első ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legkisebb
Az első ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Egy adott perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra noumlvekszik (az alkaacutelifeacutemektől a nemesgaacutezok iraacutenyaacuteba)
az első ionizaacutecioacutes energia eacuterteacuteke
Mineacutel nagyobb egy atom a taacutevolsaacuteg koumlvetkezteacuteben a negatiacutev toumllteacutesű kuumllső elektronjaira annaacutel
keveacutesbeacute hat a pozitiacutev toumllteacutesű atommag vonzaacutesa iacutegy annaacutel koumlnnyebben taacutevoliacutethatoacute el
Iacutegy egy oszlopon beluumll fentről lefeleacute csoumlkken az első ionizaacutecioacutes energia
2651 aacutebra Az ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
1
2
3
4
5
6
7
1 IONIZAacuteCIOacuteS ENERGIA
72 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt az
energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy egyszeresen pozitiacutev ionboacutel keacutetszeresen pozitiacutev iont
hozzunk leacutetre
A maacutesodik ionizaacutecioacutes energia mindig nagyobb mint az első ionizaacutecioacutes energia mivel egy
kationroacutel kell leszakiacutetanunk egy negatiacutev toumllteacutesű elektront mely meacutelyebb energiaacutejuacute paacutelyaacuten van mint az
első eltaacutevoliacutetott elektron
Egy perioacuteduson beluumll az alkaacutelifeacutemek maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb (igen stabil
nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ion elektronszerkezeteacutet bontjuk meg) miacuteg az alkaacutelifoumlldfeacutemekeacute a
legkisebb (a vegyeacuterteacutekheacutejukon maacuter csak egy elektron talaacutelhatoacute ez viszonylag koumlnnyen eltaacutevoliacutethatoacute)
Azaz egy perioacuteduson beluumll a 2 oszloptoacutel a 18 oszlopig nő az ionizaacutecioacutes potenciaacutel aacutem az 1
oszlopban meacuteg enneacutel is nagyobb
Egy oszlopon beluumll a maacutesodik ionizaacutecioacutes potenciaacutel fentről lefeleacute csoumlkken
k-dik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel az energia mely egy elektronnak egy (kminus1)-szeresen
3111 animaacutecioacute Az ionos koumlteacutes kialakulaacutesa
Az ionos koumlteacutes leacutetrejoumlhet egyszerű eacutes oumlsszetett ionok koumlzoumltt
Az egyszerű ionok atomokboacutel keacutepződnek elektron(ok) leadaacutesaacuteval (kationok) vagy elektron(ok)
felveacuteteleacutevel (anionok)
76 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Egyszerű kationok K+ Mg2+ Al3+ Fe3+ Ce4+ stb
Egyszerű anionok Clminus O2minus N3minus Iminus Hminus stb
Az oumlsszetett ionok toumlbb atomboacutel eacutepuumllnek fel eacutes toumllteacutessel rendelkeznek
Oumlsszetett kationok legfontosabb az ammoacuteniumion NH4+
Oumlsszetett anionok NO3minus CO3
2minus PO4
3minus SO4
2minus stb
A tisztaacuten ionos koumlteacutesű vegyuumlletek rendszerint igen elteacuterő elektronegativitaacutesuacute elemekből joumlnnek
leacutetre Toumlbbnyire alkaacutelifeacutem vagy alkaacutelifoumlldfeacutem kationt tartalmaznak eacutes anionjuk aacuteltalaacuteban vagy
oumlsszetett ion vagy a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban talaacutelhatoacute elemek egyszerű anionja
(elsősorban 16 eacutes 17 oszlop)
II) Feacutemes koumlteacutes
Feacutematomok eseteacuten a vegyeacuterteacutekheacutej elektronjai viszonylag gyengeacuten koumltoumlttek A feacutematomokboacutel
pozitiacutev toumllteacutesű ionok keletkeznek a vegyeacuterteacutekelektronok pedig az atomtoumlrzsek koumlzoumltti teacuterben
delokalizaacuteloacutednak
Feacutemes koumlteacutes az egeacutesz kristaacutelyra kiterjedő koumlzoumls elektronfelhő aacuteltal leacutetrehozott keacutemiai kapcsolatot
feacutemes koumlteacutesnek nevezzuumlk
A feacutemes koumlteacutes (nem meglepő moacutedon) feacutematomok koumlzoumltt joumlhet leacutetre A feacutemek elektronegativitaacutesa
rendszerint nem tuacutel nagy ezeacutert a tisztaacuten feacutemes koumlteacutes akkor joumlhet leacutetre ha kicsi az elemek
elektronegativitaacutesa
3112 animaacutecioacute A feacutemes koumlteacutes kialakulaacutesa
III) Kovalens koumlteacutes
Keacutemiai koumlteacutes uacutegy is leacutetrejoumlhet ha az egymaacutes melletti atomok koumlzoumls (uacutegynevezett koumltő)
elektronpaacuteron (vagy elektronpaacuterokon) keresztuumll kapcsoloacutednak oumlssze
Ezt legegyszerűbben egy peacuteldaacuten keresztuumll eacuterthetjuumlk meg Vegyuumlnk keacutet kloacuteratomot Mindkettőnek
az elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ne] 3s2 3p5 ha feacutemes koumlteacutest szeretneacutenk kialakiacutetani koumlzoumlttuumlk 7ndash7 elektront
kellene leadnia mindkettőnek Ez energetikailag rendkiacutevuumll kedvezőtlen Ezeacutert a lezaacutert elektronheacutejat
elektronfelveacutetel uacutetjaacuten lenne ceacutelszerű eleacuterni Termeacuteszetesen a keacutet kloacuteratom elektronegativitaacutesa
ugyanakkora nem joumlhet leacutetre koumlzoumlttuumlk ionos koumlteacutes
A keacutet kloacuteratom koumlzoumltt koumltő elektronpaacuter leacutetesiacuteteacuteseacutevel alakul ki a keacutemiai koumlteacutes a koumltő elektronpaacuter a
keacutet kloacuteratom egyndashegy elektronjaacuteboacutel joumln leacutetre viszont mindkeacutet atomhoz egyaraacutent tartozik Iacutegy mindkeacutet
kloacuteratom koumlruumll 8ndash8 elektron talaacutelhatoacute tehaacutet mindkeacutet kloacuteratom nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacutevaacute
vaacutelik teljesuumll az oktettszabaacutely A folyamatot energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri
Kovalens koumlteacutes A koumlzoumls elektronpaacuterral leacutetesiacutetett koumlteacutest kovalens koumlteacutesnek nevezzuumlk (Az angol
A heteronukleaacuteris koumlteacutes lehet apolaacuteris vagy polaacuteris
Egy koumlteacutes apolaacuterisnak tekinthető ha a keacutet atom elektronegativitaacutesa azonos
Az azonos atomok koumlzoumltti koumlteacutesek apolaacuterisak (Megjegyzeacutes peacuteldaacuteul a szeacutenndashhidrogeacuten-koumlteacutest is
tekinthetjuumlk koumlzel apolaacuterisnak mivel a szeacuten eacutes a hidrogeacuten elektronegativitaacutesa hasonloacute [EN(C) = 25
EN(H) = 21])
A kovalens koumlteacutes polaacuteris ha keacutet olyan atomot koumlt oumlssze melyek elektronegativitaacutesa koumlzoumltt
kuumlloumlnbseacuteg van A polaacuteris kovalens koumlteacutes viszonylag jelentős ionos jelleggel rendelkezik
Peacuteldaacuteul a hidrogeacutenndashkloacuter-koumlteacutes igen polaacuterisnak tekinthető a keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltt jelentős
kuumlloumlnbseacuteg van EN(Cl) = 30 EN(H) = 21
A polaacuteris kovalens koumlteacutesben a nagyobb elektronegativitaacutesuacute atom reacuteszleges negatiacutev toumllteacutesű
(pontosabban negatiacutevan polarizaacutelt) a kisebb elektronegativitaacutesuacute pedig reacuteszben pozitiacutev toumllteacutesű
(pozitiacutevan polarizaacutelt) Egy keacutetatomos molekulaacuteban a keacutet atomra jutoacute uacutegynevezett parciaacutelis toumllteacutes
(reacuteszleges toumllteacutes) nagysaacutega azonos de előjele ellenteacutetes Ezt a koumlvetkezőkeacutepp szoktuk eacuterzeacutekeltetni a
molekula keacutepleteacuteben
H Cl() ()
A hidrogeacuten-klorid molekulaacuteban a toumllteacutesek nem egyenletesen oszlanak el Az ilyen molekulaacutekat
dipoacutelusmolekulaacuteknak nevezzuumlk
A koumlteacutes polarizaacuteltsaacutega vektormennyiseacuteg nyiacutellal szoktuk jeloumllni A dipoacutelusvektor a pozitiacutev
toumllteacutesből mutat a negatiacutev toumllteacutes feleacute Azt hogy egy molekula dipoacutelusmolekula-e a dipoacutelusvektorok
eredője hataacuterozza meg
Dipoacutelusmolekula olyan molekula melyben vannak polaacuteris koumlteacutesek eacutes a koumlteacutesek
dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus
Apolaacuteris molekula csak apolaacuteris koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula vagy olyan molekula melyben
a polaacuteris koumlteacutesek uacutegy helyezkednek el hogy dipoacutelusvektorainak oumlsszege zeacuterus legyen
78 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A keacutetatomos molekula akkor dipoacutelusos hogyha a koumlteacutes polaacuteris Toumlbbatomos molekulaacutek eseteacuten a
molekula szerkezete is fontos szerepet jaacutetszik annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy a molekula dipoacutelusmolekula-
e Ezzel a molekulaacutek szerkezete kapcsaacuten reacuteszletesen foglalkozunk majd (ennek a fejezetnek a veacutegeacuten)
Az előzőekben megismerkedtuumlnk a haacuterom legfontosabb koumlteacutestiacutepussal Ezen koumlteacutesek igen erősek
ezeacutert szokaacutes elsőrendű koumlteacuteseknek nevezni őket
Az elsőrendű koumlteacutesek
ndash ionos koumlteacutes
ndash feacutemes koumlteacutes
ndash kovalens koumlteacutes
Az elektronegativitaacutes eacutes a koumlteacutesjelleg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes
A haacuterom alaptiacutepus taacutergyalaacutesaacutenaacutel megemliacutetettuumlk hogy az adott koumlteacutestiacutepus rendszerint milyen
elemek koumlzoumltt joumln leacutetre Ezeket oumlsszefoglalva
ndash tisztaacuten ionos koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha az elemek elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg nagy
ndash tisztaacuten feacutemes koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesa hasonloacute (kicsi az elektronegativitaacutesok
kuumlloumlnbseacutege) eacutes mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa kis eacuterteacutekű
ndash tisztaacuten kovalens koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesai nem tuacutelzottan kuumlloumlnboumlzőek eacutes
mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa nagy
A perioacutedusos rendszerből tetszőleges keacutet elemet kivaacutelasztva a koumlzoumlttuumlk leacutetesuumllő koumlteacutest gyakran
nem tudjuk besorolni a fentiek alapjaacuten egyik koumlteacutestiacutepusba sem Fontos hangsuacutelyozni hogy az aacutetmenet
gyakorlatilag folytonos baacutermelyik keacutet elsőrendű koumlteacutes koumlzoumltt Iacutegy gyakran előfordul hogy keacutet
atom koumlzoumltti koumlteacutest nem lehet tisztaacuten ionos feacutemes vagy kovalens koumlteacuteskeacutent leiacuterni A fent taacutergyalt
polaacuteris kovalens koumlteacutes peacuteldaacuteul aacutetmenet a kovalens eacutes az ionos koumlteacutes koumlzoumltt
Legyen A eacutes B keacutet tetszőleges elem A keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg eacutes a keacutet
atom elektronegativitaacutesaacutenak oumlsszege segiacutethet annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy milyen tiacutepusuacute elsőrendű koumlteacutes
joumlhet leacutetre a keacutet elem atomjai koumlzoumltt
A koumlvetkező oumlkoumllszabaacutelyokat alkalmazhatjuk
Ha ∆EN(AB) nagy eacuterteacutek (jellemzően 20 foumlloumltt) a koumlteacutes ionos jellege nagy
Ha ∆EN(AB) kicsi eacuterteacutek (jellemzően 15 alatt) akkor a koumlteacutes lehet kovalens vagy feacutemes
Ha sumEN(AB) nagy (jellemzően 40 felett) akkor a koumlteacutes kovalensnek tekinthető
Ha sumEN(AB) kicsi (jellemzően 30 alatt) akkor a koumlteacutes feacutemes jellegűnek tekinthető
Pauling szerint ∆EN(AB) = 15hellip2 eseteacuten az A eacutes B atomok koumlzoumltti koumlteacutes nagyjaacuteboacutel fele-fele
meacuterteacutekben ionos eacutes kovalens jellegű
A stabilan előaacutelliacutethatoacute elemek koumlzuumll a ceacutezium elektronegativitaacutesa a legkisebb 08 (enneacutel csupaacuten a
csak radioaktiacutev izotoacutepokkal rendelkező francium elektronegativitaacutesa kisebb 07) a fluor
elektronegativitaacutesa pedig a legnagyobb (40) Ezen elemekből megalkothatjuk a toumlkeacuteletes ionos feacutemes
eacutes kovalens koumlteacuteseket
∆EN(AB) Cs F sumEN(AB) Cs F
Cs 00 32 Cs 16 48
F 32 00 F 48 80
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 79
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha aacutebraacutezoljuk a ∆EN(AB) fuumlggveacutenyeacuteben sumEN(AB) eacuterteacutekeit egy haacuteromszoumlg haacuterom csuacutecsaacutet
kapjuk
311 aacutebra A koumlteacutes jellege eacutes az elektronegativitaacutes
Baacutermely maacutes elem elektronegativitaacutesa a ceacutezium eacutes a fluor koumlzeacute esik iacutegy a fenti aacutebraacuten baacutermely keacutet
elem koumlzoumltti koumlteacutest feltuumlntethetjuumlk az elektronegativitaacutesaik ismereteacuteben
3112 aacutebra Peacuteldaacutek aacutetmeneti jellegű koumlteacutesekre
80 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint a fenti aacutebraacuten laacutethatoacute neacutehaacuteny vegyuumlletet igen neheacutez a haacuterom elsőrendű koumlteacutes valamelyikeacutebe
besorolni Ilyen peacuteldaacuteul a vas(II)-szulfid (FeS) sziliacutecium-dioxid (SiO2) vagy az ezuumlst-klorid (AgCl) A
keacutemiai koumlteacutesek ezen vegyuumlletekben nem tekinthetők ionosnak jelentős a kovalens jelleguumlk
A fenti aacutebra alapjaacuten a kovalens koumlteacutes az elemi oxigeacutenben (O2) eacutes a keacutenmolekulaacuteban (S8) apolaacuteris
miacuteg a nitrogeacuten-monoxidban (NO) eacutes a keacutet kuumlloumlnboumlző halogeacutenatomot tartalmazoacute broacutem-fluoridban
(BrF) polaacuteris
A reacutez-cink oumltvoumlzetben (CuZn) eacutes a magneacutezium-szilicidben (Mg2Si egy oumltvoumlzeacutesre hasznaacutelt
vegyuumllet) a koumlteacutes feacutemesnek tekinthető Termeacuteszetesen a feacutem alumiacuteniumban is feacutemes a koumlteacutes
A liacutetium-fluorid (LiF) a kalcium-oxid (CaO) eacutes az alumiacutenium-oxid (Al2O3) ionos koumlteacutesű
vegyuumlletek az utoacutebbiban viszonylag jelentős kovalens jelleg is megaacutellapiacutethatoacute
A fentiek alapjaacuten belaacutethatoacute hogy a keacutemiai koumlteacutes ionos feacutemes illetve kovalens jellege elsősorban
az koumlteacutest leacutetesiacutető elemek elektronegativitaacutesaacutetoacutel fuumlgg Fontos megjegyezni hogy a keacutemiai koumlteacutes
gyakran nem iacuterthatoacute le egyfeacutele koumlteacutestiacutepussal hanem toumlbb tiacutepus tulajdonsaacutegait oumltvoumlzi
Sokatomos molekulaacutek
Az oktett szabaacutelyt termeacuteszetesen a kettőneacutel toumlbb atomos molekulaacutek is koumlvetik aacuteltalaacuteban
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a metaacutenmolekulaacutet A metaacuten keacuteplete CH4 azaz egy molekulaacutejaacuteban neacutegy
hidrogeacutenatom eacutes egy szeacutenatom talaacutelhatoacute A szeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p2 tehaacutet neacutegy
vegyeacuterteacutekelektronja van miacuteg a hidrogeacutenek egyndashegy elektronnal rendelkeznek A szeacutenatom
elektronoktettet (8 elektron a kuumllső heacutejon) szeretne leacutetrehozni a hidrogeacuteneknek pedig a heacuteliumhoz
hasonloacute 2 elektronos elektronszerkezet a kedvező
Ha a szeacuten koumlreacute rendeződik a neacutegy hidrogeacutenatom neacutegy kovalens koumlteacutes alakul ki Minden hidrogeacuten
koumlrnyezeteacuteben iacutegy 2ndash2 elektron talaacutelhatoacute (piros koumlroumlkkel jeloumllve) miacuteg a neacutegy (koumlzoumls) elektronpaacuter a
szeacuten szaacutemaacutera biztosiacutetja a nyolc vegyeacuterteacutekelektront (piros neacutegyzettel jeloumllve)
3113 aacutebra Az oktettszabaacutely
Most pedig vizsgaacuteljuk meg hogyan neacutez ki a metaacutenhoz hasonloacute nitrogeacutenvegyuumlletet
elektronszerkezete
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p3 azaz 5 vegyeacuterteacutekelektronja van A nitrogeacuten 8
elektronos vegyeacuterteacutekheacutej eleacutereacuteseacutere toumlrekszik (oktettszabaacutely) ehhez 3 elektronra van meacuteg szuumlkseacutege A
haacuterom elektront haacuterom hidrogeacuten szolgaacuteltatja iacutegy a keletkező molekula keacuteplete NH3 Iacutegy a nitrogeacuten eacutes
a hidrogeacutenek is eleacuterteacutek a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet Haacuterom koumltő elektronpaacuter joumln leacutetre azaz a
nitrogeacuten oumlsszesen 3 elektronjaacutet adja a koumlteacutesekbe a maradeacutek 2 elektronja pedig csak a nitrogeacutenhez
kapcsoloacutedik Az ilyen elektronpaacutert magaacutenos (vagy nemkoumltő) elektronpaacuternak nevezzuumlk A koraacutebban
taacutergyalt kloacutermolekula eseteacuteben mindkeacutet kloacuteratom 3ndash3 magaacutenos elektronpaacuterral rendelkezik
Magaacutenos elektronpaacuter olyan vegyeacuterteacutek-elektronpaacuter mely a kovalens koumlteacutest alkotoacute keacutet atom
koumlzuumll csak az egyikhez tartozik Egy atomon akaacuter toumlbb magaacutenos elektronpaacuter is lehetseacuteges
A kovalens koumlteacutes jellemzői
Koumlteacutesi energia egy koumlteacutes felszakiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges energia az az energia melyet be kell
fektetni hogy a koumlteacutest leacutetesiacutető atomokat veacutegtelen taacutevolsaacutegba taacutevoliacutetsuk (Eacutertelemszerűen ugyanekkora
energia szabadul fel mikor a keacutet atom veacutegtelen taacutevolsaacutegboacutel kiindulva leacutetrehozza a koumlteacutest) Aacuteltalaacuteban
CH H
H
H
CH H
H
H
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 81
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Jmol (kJmol) meacuterteacutekegyseacutegben adjuk meg eacuterteacutekeacutet aacutem gyakran hasznaacutelt ndash nem SI ndash meacuterteacutekegyseacuteg a
kcalmol 1 kcalmol = 418 kJmol
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
A koumlteacutestaacutevolsaacutegok rendszerint neacutehaacutenyszor 10minus10 meacuteter nagysaacutegrendűek termeacuteszetesen a koumlteacutest
leacutetesiacutető atomok rendszaacutemaacutetoacutel fuumlggően Gyakran hasznaacuteljuk az angstroumlm vagy aringngstroumlm
meacuterteacutekegyseacuteget (roumlvidiacutetve Aring) melynek eacuterteacuteke 10minus10 meacuteter
(Megjegyzeacutes az atomtaacutevolsaacuteg baacutermely keacutet atom taacutevolsaacutegaacutet jelentheti ha a koumlteacutestaacutevolsaacuteg
kifejezeacutest hasznaacuteljuk akkor a keacutet atom koumlzoumltt keacutemiai koumlteacutes talaacutelhatoacute)
A koumlteacuteshossz fuumlgg az atomok meacutereteacutetől eacutes az őket oumlsszetartoacute koumlteacutes erősseacutegeacutetől Peacuteldaacuteul a kovalens
koumlteacutes a fluormolekulaacuteban (FminusF) roumlvidebb mint egy kloacutermolekulaacuteban (ClminusCl) mivel a kloacuteratomok
joacuteval nagyobbak a fluoratomoknaacutel Ennek megfelelően a halogeacutenmolekulaacutek koumlzoumltt a fluormolekula
koumlteacuteshossza a legroumlvidebb enneacutel nagyobb a kloacutermolekulaacuteeacute majd sorrendben a broacutemmolekula (BrminusBr)
eacutes joacutedmolekula (IminusI) koumlvetkezik oumlsszhangban a halogeacutenatomok meacutereteacutevel
Adott keacutet atom (peacuteldaacuteul keacutet szeacutenatom) melyek koumlzoumltt mineacutel roumlvidebb a koumlteacuteshossz annaacutel
erősebbnek tekinthető a koumlteacutes Tehaacutet a koumlteacutes erősseacutegeacutere a koumlteacuteshosszboacutel is nyerhetuumlnk informaacutecioacutet
Fontos azonban hogy mindig azonos fajta koumlteacuteseket hasonliacutetsunk oumlssze peacuteldaacuteul egy CminusC eacutes egy CminusH
koumlteacutes hosszaacutet oumlsszehasonliacutetva azok erősseacutegeacutet nem lehet pontosan megbecsuumllni mivel a koumlteacutest alkotoacute
atomok atomsugaraacutenak is hataacutesa van a koumlteacuteshosszra
Toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek
Bizonyos esetekben az elektronoktett kialakiacutetaacutesaacutehoz nem elegendő egyetlen koumltő elektronpaacuter
Ezt ismeacutet egy peacuteldaacuten keresztuumll ceacutelszerű megvizsgaacutelni
Az elemi nitrogeacuten molekulaacuteris formaacuteban fordul elő a termeacuteszetben A nitrogeacuten
elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p
3 a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema 5 Keacutet nitrogeacutenatomboacutel egy
nitrogeacutenmolekula keletkezik melynek oumlsszesen 2 middot 5 = 10 elektronja van a lezaacutert heacutejakon kiacutevuumll Mint
fentebb laacutettuk a kloacutermolekula eseteacuten 14 elektronboacutel tudtuk kialakiacutetani a keacutet elektronoktettet Viszont a
nitrogeacuten eseteacuten nem aacutell rendelkezeacutesre ennyi elektron
Mi toumlrteacutenik ha a keacutet nitrogeacutenatom nem egyndashegy hanem keacutetndashkeacutet elektronjaacuteval leacutetesiacutet koumlteacutest
Ekkor mindkeacutet nitrogeacutenatom koumlruumll 5 + 2 = 7 vegyeacuterteacutekelektron van (eleve volt 5 a maacutesik nitrogeacutentől
pedig 2-t kapott) iacutegy nem teljesuumll az oktettelv
Most vizsgaacuteljuk meg hogy mi vaacuteltozik ha mindkeacutet nitrogeacuten haacuteromndashhaacuterom elektront szolgaacuteltat a
koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacutehoz Ekkorra mindkeacutet nitrogeacuten koumlruumll eacuteppen 8 elektron talaacutelhatoacute azaz megfelel az
oktettszabaacutelynak Ha mindkeacutet nitrogeacuten 3ndash3 elektronnal leacutetesiacutet koumlteacutest oumlsszesen 6 elektron talaacutelhatoacute a
keacutet nitrogeacutenatom koumlzoumltt A 6 elektronboacutel 3 elektronpaacutert tudunk leacutetrehozni a nitrogeacutenek keacutetndashkeacutet
elektronja pedig egyndashegy magaacutenos elektronpaacutert alkot Mivel az elektronpaacutert egy vonallal szokaacutes
jeloumllni a nitrogeacutenmolekula szerkezeteacutet az alaacutebbi formaacuteban szoktuk feliacuterni
| N equiv N |
Az iacutegy keletkezett koumlteacutest haacutermas koumlteacutesnek nevezzuumlk Termeacuteszetesen ennek mintaacutejaacutera leacutetezik
kettős koumlteacutes is
Kettős koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely keacutet koumltő elektronpaacuteron keresztuumll koumlti oumlssze a keacutet
atomot
Haacutermas koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely haacuterom koumltő elektronpaacuteron keresztuumll leacutetesiacutet kapcsolatot
a keacutet atom koumlzoumltt
Az elmeacuteleti szaacutemiacutetaacutesok eacutes kiacuteseacuterletek alapjaacuten a kettős koumlteacutes joacuteval erősebb mint az egyes koumlteacutes aacutem
a kettős koumlteacutes koumlteacutesi energiaacuteja aacuteltalaacuteban nem keacutetszerese az egyes koumlteacuteseacutenek hanem kisebb annaacutel
82 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hasonloacutean a haacutermas koumlteacutes is rendszerint erősebb mint egy egyes vagy kettős koumlteacutes aacutem nem
haacuteromszor olyan erős mint egy egyes koumlteacutes
Mivel a koumlteacutesek erősseacutegeacutet a koumlteacutesenergiaacuteval szoktuk jellemezni neacutezzuumlk meg az CminusC C=C eacutes
A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja 610 kJmol minus 347 kJmol = 263 kJmol miacuteg
a szeacutenndashszeacuten haacutermas koumlteacutes bdquoharmadik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja a haacutermas eacutes kettős koumlteacutes koumlteacutesi
energiaacutejaacutenak a kuumlloumlnbseacutegekeacutent adoacutedik 836 kJmol minus 610 kJmol = 226 kJmol
Ennek magyaraacutezataacutehoz meg kell ismerkednuumlnk a molekulapaacutelya fogalmaacuteval
Molekulapaacutelya az a teacuterreacutesz melyen beluumll 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute az elektron Az
atompaacutelyaacutehoz hasonloacutean egy molekulapaacutelyaacutera is maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet A koumltő
elektronpaacuterokat tehaacutet molekulapaacutelyaacutekkal jeleniacutethetjuumlk meg
Teacuterjuumlnk vissza tehaacutet az egyes kettős eacutes haacutermas koumlteacutesek elteacuterő erősseacutege kuumlloumlnbseacutegeacutenek
eacutertelmezeacuteseacutehez Az egyes koumlteacutesnek megfelelő elektronok a keacutet atom koumlzoumltt tengelyiraacutenyban
helyezkednek el egy hengerszimmetrikus molekulapaacutelyaacuten A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodikrdquo elektronpaacuterja maacuter
nem keruumllhet ugyanebbe a teacuterreacuteszbe hanem bdquopiskoacuteta alakbanrdquo az etileacutenmolekula siacutekja alatt eacutes foumlloumltt
helyezkedik el Mivel ezek az elektronok maacuter nem a keacutet atomot oumlsszekoumltő tengely menteacuten
helyezkednek el a koumlteacutes gyengeacutebb mint az egyszeres koumlteacutes
A σ-koumlteacutes eacutes π-koumlteacutes
Az egyszeres koumlteacutest ζ (szigma) koumlteacutesnek hiacutevjuk a maacutesodik eacutes harmadik koumlteacuteseket pedig π (piacute)
koumlteacuteseknek nevezzuumlk
Most vizsgaacuteljuk meg hogyan alakulhat ki ζ-koumlteacutes illetve π-koumlteacutes
A hidrogeacutenatomnak egyetlen elektronja van mely a goumlmbszimmetrikus 1s paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Keacutet
hidrogeacutenatomot koumlzeliacutetve egymaacuteshoz a keacutet atompaacutelyaacuteboacutel keacutet molekulapaacutelya joumln leacutetre Az egyikre keacutet
elektron keruumll miacuteg a maacutesik betoumlltetlen marad (az elsőt szokaacutes koumltőpaacutelyaacutenak a maacutesikat pedig
laziacutetoacutepaacutelyaacutenak nevezni) A keacutetszeresen betoumlltoumltt paacutelya hengerszimmetrikus az ilyet nevezzuumlk ζ-
koumlteacutesnek
3114 aacutebra A σ-koumlteacutes
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a hidrogeacuten-klorid-molekula kialakulaacutesaacutet A kloacuteratomnak 7
vegyeacuterteacutekelektronja van 3s2 3p5 azaz a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll kettő keacutetszeresen betoumlltoumltt miacuteg a
harmadik csak egyszeresen Iacutegy a hidrogeacuten 1s-paacutelyaacutejaacuteboacutel eacutes a kloacuter egyik 3p-paacutelyaacutejaacuteboacutel joumlnnek leacutetre a
molekulapaacutelyaacutek
Ismeacutet egy hengerszimmetrikus ζ-paacutelya joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 83
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A fent megismert ζ-koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak peacuteldaacuteul a teliacutetett szeacutenhidrogeacutenekben is melyeknek igen
fontos jellemzőjuumlk hogy a hengerszimmetrikus koumlteacutesek tengelye menteacuten a csoportok el tudnak
fordulni egymaacuteshoz keacutepest viszonylag kis energiabefekteteacutes hataacutesaacutera iacutegy az ilyen vegyuumlletekben a ζ-
koumlteacutestengely koumlruumlli forgaacutes (rotaacutecioacute) igen koumlnnyen veacutegbemegy
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek kialakulaacutesaacutet Vegyuumlk peacuteldaacuteul a
nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesaacutet
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja 2s2 2p3 A haacuterom p-elektron a haacuterom kuumlloumlnboumlző teacuteraacutellaacutesuacute p-
3115 aacutebra A nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesa
A keacutet px-paacutelyaacuteboacutel leacutetrejoumln a ζ-koumlteacutes
3116 aacutebra A nitrogeacutenmolekula σ-koumlteacutese
Viszont ha a px-paacutelyaacutekboacutel kialakul a ζ-koumlteacutes a py- eacutes pz-paacutelyaacutekboacutel maacuter nem joumlhet leacutetre ζ-koumlteacutes
Ezzel ellenben π-koumlteacutesek joumlnnek leacutetre
3117 aacutebra A nitrogeacutenmolekula π-koumlteacutesei
A keacutet π-koumlteacutesnek van egy-egy csomoacutesiacutekja (ahol az elektronok megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege 0) ez a
keacutet csomoacutesiacutek egymaacutesra merőleges A nitrogeacuten eseteacuteben a keacutet π-koumlteacutes teljesen egyforma meacuteretű eacutes
A koumltő elektronpaacuter keacutetfeacutelekeacuteppen joumlhet leacutetre vagy mindkeacutet atom ad egy-egy (vagy toumlbb)
elektront vagy csak az egyik atomtoacutel szaacutermazik a koumltő elektronpaacuter
Kolligaacutecioacutes koumlteacutes mindkeacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom hozzaacutejaacuterul elektronnal (elektronokkal) a koumlteacuteshez
A fentebb taacutergyalt koumlteacutesek mindegyike kolligaacutecioacutes koumlteacutes akaacuter a kloacutermolekula akaacuter a
nitrogeacutenmolekula leacutetrejoumltteacuteről van szoacute
Datiacutev vagy koordinaacutecioacutes koumlteacutes a keacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom koumlzuumll az egyik atom egy teljes
elektronpaacuterral jaacuterul hozzaacute a koumlteacuteshez (ez az elektronpaacuter donor atom) miacuteg a maacutesik atom nem
szolgaacuteltat elektront a koumlteacuteshez (ezt elektronpaacuter-akceptor atomnak nevezzuumlk)
(datiacutev a dativus latin szoacuteboacutel melynek jelenteacutese adaacutes)
A datiacutev koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez szuumlkseacuteges hogy az egyik atomnak legye magaacutenos (nemkoumltő)
elektronpaacuterja a maacutesik atom pedig legyen bdquoelektronhiaacutenyosrdquo Az elektronhiaacuteny akkor leacutep fel ha nem
teljesuumll az oktettszabaacutely
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a boacuter-trifluorid (BF3) molekulaacutet A haacuterom fluoratom egy-egy elektront ad a
kovalens koumlteacutesbe a boacuter ([He] 2s2 2p1) pedig 3 elektronnal tud koumlteacutest leacutetesiacuteteni iacutegy a boacuter koumlruumll haacuterom
koumltő elektronpaacuter helyezkedik el azaz a boacuter vegyeacuterteacutekheacutejaacuten csak hat elektron talaacutelhatoacute A boacuter-trifluorid
molekula siacutek szerkezetű mind a neacutegy atom egy siacutekban van eacutes a boacuteratomnak van egy uumlres p-paacutelyaacuteja
Az uumlres paacutelyaacutek elektronpaacuter-akceptorkeacutent viselkedhetnek
Most keressuumlnk egy elektronpaacuterdonor molekulaacutet Peacuteldaacuteul a fentebb megismert ammoacuteniamolekula
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral iacutegy elektronpaacuterdonornak tekinthető
Mi toumlrteacutenik ha koumlzeledik egymaacuteshoz egy ammoacutenia- eacutes egy boacuter-trifluorid molekula Az
ammoacuteniamolekula nitrogeacutenatomja a magaacutenos paacuterjaacutet bdquokoumllcsoumlnadjardquo a boacuternak iacutegy annak leacutetrejoumln az
elektronoktettje A nitrogeacuten a magaacutenos paacuterjaacutet nem adja aacutet teljesen a boacuternak hanem az a keacutet atom
koumlzoumltt elhelyezkedő elektronpaacuterraacute alakul Iacutegy a nitrogeacutennek is megmarad az elektronoktettje Az iacutegy
leacutetrejoumlvő datiacutev koumlteacutes olyan mint egy hagyomaacutenyos kovalens koumlteacutes a kuumlloumlnbseacuteg csak abban van hogy
a datiacutev koumlteacutes eseteacuten mindkeacutet elektront ugyanaz az atom adja A kialakuloacute datiacutev koumlteacutes kialakulaacutesaacutenak az
a hajtoacuteereje hogy a boacuteratom elektronhiaacutenya csoumlkkenjen (iacutegy teljesuumll az oktettszabaacutely)
A datiacutev koumlteacutest aacuteltalaacuteban vonal helyett nyiacutellal szoktuk jeloumllni A nyiacutel az elektronpaacuterdonor atomtoacutel
mutat az elektronpaacuter-akceptor atom feleacute
N B
H
HH F
FF
Termeacuteszetesen nemcsak az ammoacutenia nitrogeacutenje lehet elektronpaacuter-donor akaacuter ionok is adhatnak
elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesbe Peacuteldaacuteul a fluoridionnak (Fminus) is van 4 magaacutenos elektronpaacuterja
Mi toumlrteacutenik ha egy boacuter-trifluorid molekulaacutet eacutes egy fluoridiont koumlzeliacutetuumlnk egymaacuteshoz A
fluoridion egyik magaacutenos paacuterja datiacutev koumlteacutest leacutetesiacutet a boacutertrifluorid boacuteratomjaacuteval Egy anion keletkezik
melyben a neacutegy fluor egy boacuteratomot vesz koumlruumll
B
F
FF
F
A keletkező igen nagy stabilitaacutesuacute ion neve tetrafluoroboraacutet-anion Benne a neacutegy fluor-boacuter koumlteacutes
teljesen egyenranguacute nem lehet megkuumlloumlnboumlztetni a kolligaacutecioacutes elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesből
szaacutermazoacutetoacutel Mind a neacutegy fluoratom mind a boacuteratom eseteacuten teljesuumll az oktettszabaacutely (mindegyik atom
koumlruumll neacutegy elektronpaacuter talaacutelhatoacute) A negatiacutev toumllteacutes megoszlik a neacutegy fluoratomon egyiknek sincs
kituumlntetett szerepe
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 85
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Datiacutev koumlteacutes nemcsak keacutet kuumlloumlnaacutelloacute molekula vagy ion koumlzoumltt joumlhet leacutetre erre peacutelda a szeacuten-
monoxid molekula
A szeacuten-monoxidot feliacuterhatjuk uacutegy hogy kettős koumlteacutest iacuterunk a szeacuten- eacutes oxigeacutenatom koumlzeacute
C O
Mint laacutethatoacute az oxigeacutenatom koumlruumll neacutegy elektronpaacuter van iacutegy ez megfelel az oktettszabaacutelynak
Viszont a szeacutenatom koumlruumll csak hat elektron (3 elektronpaacuter) talaacutelhatoacute iacutegy elektronhiaacutenyos Az oxigeacuten a
keacutet elektronpaacuterja koumlzuumll az egyikkel datiacutev koumlteacutest tud leacutetesiacuteteni iacutegy haacutermas koumlteacutes alakul ki
C O
Az oxigeacuten az elektronpaacuterdonor a szeacuten pedig az elektronpaacuter-akceptor Ha oumlsszeszaacutemoljuk az
elektronokat a szeacuten eacutes az oxigeacuten koumlruumll azt tapasztaljuk hogy mindkeacutet elem eseteacuten teljesuumll az oktettelv
Eacuterdemes megjegyezni hogy a szeacuten-monoxidban a koumlteacutes gyakorlatilag apolaacuteris ami meglepő ha
belegondolunk hogy a szeacuten eacutes az oxigeacuten elektronegativitaacutesa koumlzoumltt mintegy egyseacutegnyi a kuumlloumlnbseacuteg
[EN(O) = 34 EN(C) = 25] Tehaacutet a koumlteacutesnek polaacuterisnak kellene lennie az elektronegativitaacutesok
alapjaacuten az oxigeacutenen kellene lennie az elektrontoumlbbletnek Mivel az oxigeacuten elektront (negatiacutev toumllteacutes) ad
be a datiacutev koumlteacutesbe a koumlteacutes polaritaacutesa csoumlkken Ebből nyilvaacutenvaloacutevaacute vaacutelik az is hogy az
elektronegativitaacutesok alapjaacuten nem mindig lehet egyeacutertelműen eldoumlnteni hogy egy koumlteacutes mennyire
polaacuteris
Delokalizaacutelt elektronok
Delokalizaacutecioacute ha egy elektron nem rendelhető egyeacutertelműen egy adott atomhoz vagy keacutemiai
koumlteacuteshez az elektront delokalizaacuteltnak tekintjuumlk
A latin eredetű szoacute jelenteacutese nem helyhez koumltoumltt A lokalizaacutelt (bdquohelyhez koumltoumlttrdquo) koumlteacutes joacutel
meghataacuterozottan keacutet atom koumlzoumltt helyezkedik el
Akkor joumln leacutetre delokalizaacutecioacute ha egy molekulapaacutelya kettőneacutel toumlbb atomra terjed ki
Koumlvetkezzen egy peacutelda delokalizaacutelt elektronszerkezetre
A benzol keacuteplete C6H6 siacutek szerkezetű molekulaacutejaacuteban a szeacutenatomok egy szabaacutelyos hatszoumlg
csuacutecsaiban talaacutelhatoacutek Az oktettelv teljesuumlleacutese ceacuteljaacuteboacutel a szeacutenatomok koumlzeacute vaacuteltakozva egyes eacutes kettős
koumlteacuteseket kellene berajzolnunk (oumlsszesen hat ζ- eacutes haacuterom π-koumlteacutes)
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
Mint koraacutebban emliacutetettuumlk a kettős koumlteacutes hossza roumlvidebb az egyes koumlteacuteseacuteneacutel iacutegy a benzol eseteacuten
is vaacuteltakozoacute hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket kellene kapnunk A kiacuteseacuterleti vizsgaacutelatok azonban ndash ezek alapjaacuten
kisseacute meglepő moacutedon ndash a szeacutenatomok koumlzoumltt azonos hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket aacutellapiacutetottak meg Ez azt
sejteti hogy a szeacutenatomok koumlzoumltti koumlteacutes nem tekinthető sem egyes sem kettős koumlteacutesnek hanem
valahol a kettő koumlzoumltt van A benzol 3 middot 2 = 6 π-elektronja delokalizaacuteloacutedik a hat szeacutenatom foumlloumltt Ennek
megjeleniacuteteacuteseacutere gyakran alkalmazzuk az alaacutebbi keacutepletjeloumlleacutest (a karika a hat delokalizaacuteloacutedott elektront
jeleniacuteti meg)
86 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
31 peacutelda
Iacuterjuk fel a koumlvetkező molekulaacutek elektronszerkezeteacutet
a) hidrogeacuten-klorid (HCl)
b) viacutez (H2O)
c) etileacuten (H2CCH2)
d) acetileacuten (HCCH)
e) szeacuten-dioxid (CO2)
f) keacuten-dioxid (SO2)
g) keacuten-trioxid (SO3)
h) ammoacuteniumion (NH4+)
Megoldaacutes
a) A hidrogeacuten-kloridban egy koumltő elektronpaacuteron keresztuumll joumln leacutetre a kovalens koumlteacutes a
kloacuteratomnak pedig van haacuterom magaacutenos elektronpaacuterja
H Cl
Mivel a hidrogeacuten eacutes a kloacuter elektronegativitaacutesa jelentősen elteacuterő [EN(H) = 21 EN(C) = 31] a
koumlteacutes polaacuteris kovalens koumlteacutesnek tekinthető
b) A viacutezmolekulaacuteban az oxigeacuten hat vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel kettőt bead a keacutet egyes koumlteacutesbe iacutegy a
dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha a megfelelő toumllteacutesek uacutegy rendeződnek hogy koumlzoumlttuumlk a
legnagyobb stabilizaacutecioacute joumlhessen leacutetre Ezt orientaacutecioacutes hataacutesnak (effektusnak) nevezzuumlk
3121 aacutebra A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesaacutet megfigyelhetjuumlk a koumlvetkező animaacutecioacuten
3121 animaacutecioacute A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Hidrogeacutenkoumlteacutes (vagy hidrogeacutenhiacutedkoumlteacutes) olyan molekulaacutek koumlzoumltt joumln leacutetre melyekben a
hidrogeacutenatom egy kiemelkedően nagy elektronegativitaacutesuacute atomjaacutehoz kapcsoloacutedik
A hidrogeacutenkoumlteacutes az aacutetlagos dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel erősebb a legerősebb maacutesodrendű koumlteacutes A
hidrogeacutenkoumlteacutes leacutetrejoumltteacutenek felteacutetele hogy a keacutet atom elektronegativitaacutesa koumlzoumltt nagy kuumlloumlnbseacuteg
legyen Aacuteltalaacuteban akkor szaacutemiacutethatunk hidrogeacutenkoumlteacutes kialakulaacutesaacutera ha a hidrogeacutenatom oxigeacutenhez
nitrogeacutenhez vagy fluorhoz kapcsoloacutedik A hidrogeacutenkoumlteacutes rendkiacutevuumll fontos oumlsszetartoacute erő megtalaacutelhatoacute
szaacutemos termeacuteszetes vegyuumlletben
A viacutez az egyik legfontosabb vegyuumllet melynek molekulaacutei koumlzoumltt hidrogeacutenkoumlteacutes talaacutelhatoacute
O
H
H
H O
H
H
O H
()
()
()
()
()
()
()
()
()
3122 aacutebra A hidrogeacutenkoumlteacutes
Dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumllcsoumlnhataacutes egy dipoacutelusmolekula eacutes egy apolaacuteris molekula koumlzoumltt
leacutetrejoumlvő oumlsszetartoacute erő
A dipoacutelusmolekula kismeacuterteacutekű toumllteacutesmegoszlaacutest okoz a koumlzeleacuteben talaacutelhatoacute apolaacuteris molekulaacuteban
ezt indukaacutelt polarizaacutecioacutenak nevezzuumlk A dipoacutelusmolekula eacutes az indukaacutelt polaritaacutessal rendelkező
molekula koumlzoumltt iacutegy elektrosztatikus vonzaacutes joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 89
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
3123 aacutebra A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes gyengeacutebb a dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel mivel az apolaacuteris molekula
csak igen kismeacuterteacutekben tud polarizaacuteloacutedni
3122 animaacutecioacute A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes az apolaacuteris molekulaacutekat oumlsszetartoacute gyenge koumllcsoumlnhataacutes
A diszperzioacutes koumlteacutest szoktaacutek London-koumllcsoumlnhataacutesnak is nevezni
A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes alapja hogy egy molekula (vagy atom) elektronjai folyamatos
veacuteletlenszerű (rezgő) mozgaacutest veacutegeznek iacutegy meacuteg az apolaacuteris molekulaacutekban is leacutetrejoumln kismeacuterteacutekű
polarizaacutecioacute Az iacutegy leacutetrejoumltt pillanatszerű polarizaacuteltsaacuteg a szomszeacutedos apolaacuteris molekulaacutet polarizaacutelja
(hasonloacutean a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez) Tehaacutet oumlnmagaacuteban az apolaacuteris molekulaacutek
eseteacuten is leacutetrejoumlhet pillanatszerű aszimmetrikus toumllteacuteseloszlaacutes indukaacutelt polarizaacutecioacute (megjegyzeacutes az
apolaacuteris jelleg viszont időben kiaacutetlagoloacutedik eacutes iacutegy oumlsszesseacutegeacuteben nem tapasztalunk dipoacutelusjelleget) A
keletkezett gyengeacuten polarizaacutelt molekulaacutek koumlzoumltt elektrosztatikus vonzoacuteerő joumln leacutetre melynek
eredmeacutenye a gyenge diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
3124 aacutebra A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
A maacutesodrendű koumlteacutesek noumlvekvő erősseacuteg szerinti sorrendje
1 Mit mond ki az oktettelv (vagy maacuteskeacutepp oktettszabaacutely)
2 Mi az elsőrendű eacutes a maacutesodrendű keacutemiai koumlteacutes
3 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a homonukleaacuteris eacutes a heteronukleaacuteris keacutemiai koumlteacutes koumlzoumltt
4 Definiaacutelja az ionos koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
5 Definiaacutelja a feacutemes koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
6 Definiaacutelja a kovalens koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
+minus
90 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
7 Mit jelent ha egy kovalens koumlteacutes polaacuteris vagy apolaacuteris
8 Mieacutert nem teljesuumll az oktettszabaacutely a hidrogeacuten eseteacuten
9 A boacuter-trifluoridot (BF3) elektronhiaacutenyos vegyuumlletkeacutent szoktaacutek emlegetni Mieacutert
10 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a kolligaacutecioacutes eacutes a datiacutev kovalens koumlteacutes koumlzoumltt
11 Hogyan jellemezhető a kovalens koumlteacutes erősseacutege
12 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat koumlteacuteshossz koumlteacutesi energia
13 Keacutet elem elektronegativitaacutesa alapjaacuten hogyan becsuumllhető meg hogy ezen elemek atomja koumlzoumltt
milyen tiacutepusuacute (elsőrendű) keacutemiai koumlteacutes joumlhet leacutetre
14 Mi a magaacutenos elektronpaacuter Nevezzen meg neacutehaacuteny molekulaacutet melyben valamely atom
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral
15 Hogyan definiaacutelnaacute a kettős koumlteacutest eacutes a haacutermas koumlteacutest Mi a ζ- eacutes a π-koumlteacutes Soroljon fel neacutehaacuteny
molekulaacutet melyben kettős illetve haacutermas koumlteacutes talaacutelhatoacute
16 Sorolja fel a maacutesodrendű koumlteacutes fajtaacuteit hasonliacutetsa oumlssze őket a fizikai jelenseacuteg illetve a
koumlteacuteserősseacuteg szempontjaacuteboacutel
17 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a dipoacutelus-dipoacutelus a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus eacutes diszperzioacutes koumlteacutesek koumlzoumltt
18 Milyen koumlteacutes joumlhet leacutetre a koumlvetkező vegyuumlletek molekulaacutei koumlzoumltt
a viacutez (H2O)
b kloroform (maacutes neacuteven trikloacutermetaacuten CHCl3)
c metaacuten (CH4)
d joacuted (I2)
e hidrogeacuten-fluorid (HF)
f keacuten-dioxid (SO2)
g argon (Ar)
h hidrogeacuten-jodid (HI)
32 A molekulaacutek alakja
321 A molekulageometria
A molekulaacutek elektronszerkezete eacutes alakja koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes aacutell fenn Tehaacutet mielőtt egy
molekula szerkezeteacutet felrajzolnaacutenk fontos aacutetgondolni hogy a molekulaacuteban milyen koumlteacutesek
talaacutelhatoacuteak Az elektronok negatiacutev toumllteacutesuumlk folytaacuten tasziacutetjaacutek egymaacutest iacutegy a molekula elektronpaacuterjai
egymaacutestoacutel a lehető legtaacutevolabb szeretneacutenek elhelyezkedni
A molekulaacutek szerkezeteacutet a vegyeacuterteacutek-elektronpaacuterok hataacuterozzaacutek meg a koumltő eacutes magaacutenos
elektronpaacuterok uacutegy helyezkednek el hogy taacutevolsaacuteguk maximaacutelis legyen
Fontos megaacutellapiacutetaacutesok
ndash a kettős koumlteacutesek teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacutesekeacute a haacutermas koumlteacutesekeacute pedig nagyobb
mint a kettős koumlteacutesekeacute
ndash a magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban nagyobb mint a koumltő elektronpaacuterokeacute
Ha egy molekula szerkezeteacutet (geometriaacutejaacutet) szeretneacutenk meghataacuterozni az első leacutepeacutes megaacutellapiacutetani
hogy haacuteny koumltő eacutes magaacutenos elektronpaacuterral rendelkeznek az egyes atomok eacutes hogy a koumltő
elektronpaacuterok haacutenyszoros koumlteacutessel kapcsoljaacutek oumlssze az egyes atomokat
A koumlzponti atomot A-val a hozzaacute kapcsoloacutedoacute atomot X-szel a koumlzponti atom magaacutenos
elektronpaacuterjaacutet pedig E-vel szokaacutes jeloumllni
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 91
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A koumlzponti atomhoz kapcsoloacutedoacute atomot vagy atomcsoportot ligandumnak nevezzuumlk
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
Koumlteacutesszoumlg a ligandumok atommagjaacutet eacutes a koumlzponti atom atommagjaacutet oumlsszekoumltő szakaszok aacuteltal
bezaacutert szoumlg (A koumlteacutesszoumlg 180deg-naacutel nem lehet nagyobb eacuterteacutekű) XAXrsquo koumlteacutesszoumlg az aacutebra alapjaacuten
A
X
X
XAX szoumlg
Baacutermely egyszerű biner (keacutet elemből aacutelloacute) molekulaacutet feliacuterhatunk AXnEm alakban (Az X jeloumllhet
aacuteltalaacutenos ligandumot is tehaacutet nem biztos hogy azonos ligandumokroacutel van szoacute A tovaacutebbiakban azon
molekulaacutekkal foglalkozunk melyek koumlzponti atomja koumlruumll azonos ligandumok talaacutelhatoacutek)
A molekula alakjaacuten vagy geometriaacutejaacuten a ligandumok atommagjai aacuteltal meghataacuterozott
geometriai alakzatot eacutertjuumlk
Lineaacuteris molekula egy haacuterom- vagy toumlbbatomos molekula lineaacuteris ha minden atommagja
ugyanarra az egyenesre esik (A keacutetatomos molekulaacutek eseteacuten az atommagok mindig egy egyenesre
esnek itt nincs eacutertelme linearitaacutesroacutel beszeacutelni)
Erre egy peacutelda az acetileacuten- (etin-) molekula
C CH H
Siacutek vagy planaacuteris molekula minden atomja egy siacutekba esik
Peacuteldaacuteul a koraacutebban emliacutetett boacuter-trifluorid siacutekmolekula mivel az oumlsszes atomja egy siacutekban
talaacutelhatoacute az FBF koumlteacutesszoumlgek 120deg-osak eacutes a haacuterom FminusBminusF koumlteacutesszoumlg oumlsszege kiadja a teljesszoumlget
(360deg)
B
F
FF
322 A molekulaacutek polaritaacutesa
Maacuter a keacutemiai koumlteacutesekkel foglalkozoacute fejezet elejeacuten emliacutetettuumlk az apolaacuteris eacutes a dipoacutelusmolekula
fogalmaacutenaacutel hogy a molekula polaritaacutesa szempontjaacuteboacutel nemcsak a koumlteacutesek polaritaacutesa szaacutemiacutet hanem
azok teacuterbeli elrendeződeacutese is
Azon molekula melyben csak apolaacuteris koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak az mindig apolaacuteris A polaacuteris
koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula lehet apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula ha a koumlteacutesek dipoacutelusvektorainak
eredője nullvektor a molekula apolaacuteris ha a dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus vektor a
molekulaacutenak van eredő dipoacutelusa tehaacutet dipoacutelusmolekulaacuteroacutel van szoacute
Ezt szemleacuteltessuumlk is egy-keacutet peacuteldaacuteval
Szeacutenhidrogeacutenek olyan vegyuumlletek melyek csak szeacuten- eacutes hidrogeacutenatomot tartalmaznak Neacutehaacuteny
Az oumlt elektronpaacuterboacutel haacuterom egy siacutekban rendeződik el haacuteromszoumlg alakban a maacutesik keacutet elektronpaacuter
pedig a siacutek alatt illetve foumlloumltt helyezkedik el Az oumlt AminusX koumlteacutesből haacuterom elteacuter a maacutesik kettőtől elteacuterő
koumlrnyezetben talaacutelhatoacute iacutegy ezen koumlteacutesek hossza aacuteltalaacuteban elteacuter a maacutesik keacutet koumlteacutes hosszaacutetoacutel
A haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ligandumok poziacutecioacutejaacutet ekvatoriaacutelisnak miacuteg az erre
merőlegesekeacutet pedig axiaacutelisnak (vagy apikaacutelisnak) nevezzuumlk
Keacutet egymaacutes melletti ekvatoriaacutelis helyzetben leacutevő ligandum koumlzoumltti koumlteacutesszoumlg 120deg miacuteg egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis ligandum koumlzoumltt 90deg-os a koumlteacutesszoumlg
Az iacutegy keletkező szerkezet olyan mintha keacutet haacuteromszoumlg alapuacute piramist egy lapjukon
oumlsszeilleszteneacutenk ezeacutert az ilyen molekulageometria elnevezeacutese haacuteromszoumlg alapuacute bipiramis vagy
trigonaacutelis bipiramis
Az ilyen koumlteacuteselrendeződeacutes eseteacuten a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor a molekula apolaacuteris
Peacutelda PF5 AsCl5
Megjegyzeacutes oumlt ligandum nemcsak haacuteromszoumlg alapuacute piramis alakban rendeződhet el hanem
lehetseacuteges egy maacutesfajta elrendeződeacutes is melynek neve neacutegyzet alapuacute piramis vagy tetragonaacutelis
piramis Ekkor a ligandumok egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela csuacutecsaiban foglalnak helyet
94 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Rendszerint a trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutes energetikailag kedvezőbb mint a tetragonaacutelis
piramisos
n = 6 m = 0 AX6E0
A hat elektronpaacuter teacuterben uacutegy helyezkedik el egymaacutestoacutel legtaacutevolabb ha a koumlzponti atomot egy
oktaeacuteder koumlzepeacutebe a ligandumokat pedig az oktaeacuteder hat csuacutecsaacuteba helyezzuumlk Az oumlsszes AminusX koumlteacutes
hossza azonos Keacutet egymaacutes melletti X eacutes Xrsquo ligandum eseteacuten az XAXrsquo szoumlg 90deg-os
Az ilyen elrendeződeacutest oktaeacutederes geometriaacutenak nevezzuumlk
Ha egy molekula alakja oktaeacuteder akkor nem lehet dipoacutelusmolekula
Peacutelda SF6 PF6minus
n = 7 m = 0 AX7E0
Az alaacutebbiakban csak a legjellegzetesebb geometria kialakulaacutesaacutet ndash elsősorban eacuterdekesseacutegkeacutent ndash
taacutergyaljuk A heacutet elektronpaacuterboacutel oumlt egy siacutekban egy szabaacutelyos oumltszoumlg csuacutecsainak iraacutenyaacuteban helyezkedik
el A koumlzponti atom az oumltszoumlg koumlzeacuteppontjaacuteban talaacutelhatoacute a hozzaacute kapcsoloacutedoacute oumlt ligandum pedig az
oumltszoumlg csuacutecsaiban A fennmaradoacute keacutet ligandum az oumltszoumlg siacutekja feleacute eacutes alaacute keruumll uacutegy hogy ezen keacutet
ligandum eacutes a koumlzponti atom egy egyenesbe esik A molekulaacuteban keacutetfeacutele koumlteacuteshosszt figyelhetuumlnk
meg aacuteltalaacuteban az oumltszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute koumlteacutesek eacutes a maacutesik keacutet koumlteacutes aacuteltalaacuteban nem egyforma
hosszuacutesaacuteguacute
A keletkező molekula geometriaacutejaacutet oumltszoumlg alapuacute bipiramisnak vagy pentagonaacutelis bipiramisnak
nevezzuumlk
A szimmetrikus elrendeződeacutes koumlvetkezteacuteben a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor iacutegy a molekula
apolaacuteris
Peacutelda IF7
n = 8 m = 0 AX8E0
Csak az eacuterdekesseacuteg eacutes teljesseacuteg kedveacuteeacutert emliacutetjuumlk meg ezt az elrendeződeacutest rendkiacutevuumll ritka A
nyolc koumltő elektronpaacuter egy neacutegyzetes antiprizma csuacutecsain helyezkedik el A neacutegyzetes antiprizma
uacutegy aacutelliacutethatoacute elő ha egy neacutegyzet alapuacute egyenes hasaacuteb alapjaacutet eacutes fedőlapjaacutet egymaacuteshoz keacutepest 45deg-ban
elforgatjuk
A molekula apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Peacutelda XeF82minus
Miutaacuten megbirkoacuteztunk az egyszerűbb magaacutenos elektronpaacutert nem tartalmazoacute molekulaacutek
szerkezeteacutevel most vizsgaacuteljunk bonyolultabb eseteket ahol a koumltő elektronpaacuterok mellett magaacutenos
elektronpaacuterok is talaacutelhatoacutek a koumlzponti atom vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
n = 2 m = 1 AX2E1
A molekula koumlzponti atomja koumlruumll haacuterom elektronpaacuter talaacutelhatoacute melyek koumlzuumll kettő koumltő
elektronpaacuter A haacuterom elektronpaacuter eseteacuten az ideaacutelis elrendeződeacutes haacuteromszoumlg alakuacute a haacuteromszoumlg keacutet
csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum
A magaacutenos elektronpaacutert tartalmazoacute haacuteromatomos AX2E molekula geometriaacutejaacutet hajlottnak vagy
V-alakuacutenak nevezzuumlk
Amennyiben az AminusX koumlteacutes polaacuteris a V-alakuacute molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda SO2 NO2minus
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 95
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
n = 2 m = 2 AX2E2
Neacutegy elektronpaacuter (keacutet koumltő keacutet magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll ezek
tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder keacutet csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum a maacutesik keacutet csuacutecs
iraacutenyaacuteba a magaacutenos paacuterok mutatnak
A keacutet magaacutenos elektronpaacuterral rendelkező haacuteromatomos molekulaacutek geometriaacuteja az előző ponthoz
hasonloacutean hajlott vagy V-alakuacute
Az ilyen geometriaacutejuacute molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda H2O H2S
n = 2 m = 3 AX2E3
Oumlsszesen oumlt elektronpaacuter (keacutet koumltő haacuterom magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll
iacutegy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesre szaacutemiacutetunk A magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban
nagyobb mint a ligandumokeacute iacutegy ezek foglaljaacutek el a haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ekvatoriaacutelis
poziacutecioacutekat a keacutet ligandum pedig a siacutek alaacute eacutes foumlleacute keruumll Az XAXrsquo szoumlg iacutegy 180deg-os tehaacutet a molekula
geometriaacuteja lineaacuteris
A molekula apolaacuteris (laacutesd az AX2 esetet)
Peacutelda XeF2 I3minus
Megjegyzeacutes eacuterdemes aacutetgondolni mieacutert is keruumll a nagyobb teacuterigeacutenyű csoport az ekvatoriaacutelis
poziacutecioacuteba Egy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesű modell eseteacuten legyen az axiaacutelis ligandum Xax az
ekvatoriaacutelis ligandum pedig Xekv Mivel az XekvminusAminusXrsquoekv koumlteacutesszoumlg 120deg az XaxminusAminusXekv koumlteacutesszoumlg
pedig csak 90deg keacutet ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacuteg kisebb mint egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltt Ezeacutert a nagyobb teacuterigeacutenyű
csoport ndash hogy a toumlbbi ligandumtoacutel a legtaacutevolabb helyezkedjen el az ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll
n = 3 m = 1 AX3E1
Ebben az esetben neacutegy elektronpaacuter (haacuterom koumltő egy magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti
atomja koumlruumll iacutegy ezek tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder haacuterom csuacutecsaacuten talaacutelhatoacute ligandum iacutegy
ezek egy siacutekba esnek A magaacutenos elektronpaacuter nagyobb teacuterigeacutenye folytaacuten az XAXrsquo aacuteltalaacuteban kisebb a
tetraeacutederben leacutevőneacutel (azaz 1095deg-naacutel)
A molekula geometriaacuteja haacuteromszoumlg alapuacute piramisos vagy trigonaacutelis piramisos
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda NH3 PF3
n = 3 m = 2 AX3E2
Az elektronpaacuterok szaacutema haacuterom koumltő eacutes keacutet magaacutenos oumlsszesen oumlt elektronpaacuter mely trigonaacutelis
bipiramis alakzatot vesz fel A magaacutenos elektronpaacuteroknak nagyobb a teacuterigeacutenyuumlk ezeacutert ezek az
ekvatoriaacutelis poziacutecioacutekba keruumllnek A haacuterom ligandum koumlzuumll kettő axiaacutelis helyzetben van a harmadik
pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula szerkezete T-alakuacute
Amennyiben az AminusX koumlteacutesek polaacuterisak a molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda ClF3
n = 4 m = 1 AX4E1
96 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az oumlt elektronpaacuterboacutel neacutegy koumltő eacutes egy magaacutenos ismeacutet trigonaacutelis bipiramis alakzatot vesz fel A
magaacutenos elektronpaacuter ebben az esetben is ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll A neacutegy ligandum koumlzuumll kettő
axiaacutelis helyzetben van a maacutesik kettő pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula geometriaacutejaacutet meacuterleghinta alakuacutenak nevezzuumlk (ritkaacutebban torzult tetraeacutedernek is
nevezik)
Mivel a dipoacutelusvektorok eredője nem nullvektor a molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda SF4
n = 4 m = 2 AX4E2
A koumlzponti atomhoz oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik neacutegy koumltő eacutes keacutet magaacutenos ezek
oktaeacutederesen rendeződnek el A magaacutenos elektronpaacuterok keacutet egymaacutessal ellenteacutetes poziacutecioacutet foglalnak
el hogy tasziacutetaacutesukat csoumlkkentseacutek A toumlbbi neacutegy ligandum neacutegyzet alakban rendeződik el
Az ilyen molekula geometriaacuteja neacutegyzetes vagy tetragonaacutelis planaacuteris
A molekula apolaacuteris (meacuteg polaacuteris AminusX koumlteacutesek eseteacuten is)
Peacutelda XeF4
n = 5 m = 1 AX5E1
Oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik koumlzponti atomhoz ezek ismeacutet oktaeacutederesen rendeződnek el
Az oktaeacuteder egyik csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula neacutegyzetes piramisos vagy tetragonaacutelis piramisos szerkezetű
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda BrF5
n = 6 m = 1 AX6E1
A koumlzponti atomon heacutet elektronpaacuter talaacutelhatoacute ezek pentagonaacutelis bipiramis alakba rendeződnek
ennek az oumltszoumlg siacutekja alatti (vagy feletti) csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula oumltszoumlg alapuacute piramisos vagy pentagonaacutelis piramisos szerkezetű
A molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda XeF6
Az alaacutebbi taacuteblaacutezatban a kuumlloumlnfeacutele alapmolekulaacutek szerkezeteacutet foglaltuk oumlssze
n m Keacuteplet
Elektronpaacuterok
elrendeződeacutese a
koumlzponti atom
koumlruumll
Molekula
alakja Koumlteacutesszoumlgek
Polaritaacutes
(ha AminusX
koumlteacutes
polaacuteris)
Peacutelda
1 AX A X polaacuteris HCl
2 0 AX2 lineaacuteris lineaacuteris A XX
XAX 180deg apolaacuteris CO2
1 AX2E trigonaacutelis planaacuteris hajlott vagy
V-alakuacute X
A
X
polaacuteris SO2
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 97
Az etileacuten keacuteplete C2H4 A keacutet szeacutenatom koumlzoumltt kettős koumlteacutes van a szeacutenatomok koumlruumll haacuterom
ligandum helyezkedik el (egy szeacuten eacutes keacutet hidrogeacuten) ezek haacuteromszoumlg alakban rendeződnek Mivel a
kettős koumlteacutes teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacuteseacute a HCH-koumlteacutesszoumlg kisebb mint a HCC-
koumlteacutesszoumlg
C C
H
H H
H
Az etileacutenmolekula apolaacuteris mivel minden koumlteacutese apolaacuteris Megjegyezzuumlk ha az oumlsszes hidrogeacutent
lecsereacuteljuumlk neacutegy olyan azonos atomra hogy a koumlteacutes polaacuterissaacute vaacuteljon (peacuteldaacuteul fluor) az iacutegy keletkező
molekula is apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Acetileacuten (etin)
Keacuteplete C2H2 a szeacutenatomok koumlzoumltt haacutermas koumlteacutes helyezkedik el A szeacutenatom koumlruumll keacutet ligandum
van (egy szeacuten eacutes egy hidrogeacuten) lineaacuteris geometria
C CH H
Az acetileacuten ndash a toumlbbi szeacutenhidrogeacutenhez hasonloacutean ndash apolaacuteris molekulaacutejuacute
Dikloacuter-metaacuten
1
1
90deg arsquo
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 7
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
dm3-ben hanem maacutes meacuterteacutekegyseacutegben is megadhatunk azaz 10000 dm3 megegyezik 10000 cm3-rel
Innen laacutethatjuk hogy nem a tizedesjegyek szaacutema szaacutemiacutet
Az eacuterteacutekes jegy fogalmaacutet a pontossaacuteg definiaacutelaacutesaacutera vezetteacutek be Eacuterteacutekes jegynek tekintjuumlk a szaacutem
szaacutemjegyeit kiveacuteve az egyneacutel kisebb szaacutemok elejeacuten talaacutelhatoacute nullaacutet illetve nullaacutekat (azon nullaacutekat
melyek csak a helyi eacuterteacuteket jelzik) Az 10 dm3 feliacuteraacutesban 2 eacuterteacutekes jeggyel adtuk meg a pontossaacutegot
az 10000 dm3 eseteacuten pedig 5 eacuterteacutekes jegyről beszeacuteluumlnk Viszont a 002 dm
3 eseteacuten probleacutemaacuteba
uumltkoumlzuumlnk Ebben az esetben az első keacutet nulla nem szaacutemiacutet eacuterteacutekes jegynek csupaacuten a 2-es szaacutemjegy A
legegyszerűbb moacutedja az eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutenak hogy a mennyiseacuteget aacutetiacuterjuk normaacutel alakba
eacutes megaacutellapiacutetjuk hogy haacuteny szaacutemjegyet tartalmaz a 10 megfelelő hatvaacutenya előtt aacutelloacute szorzoacute teacutenyező
A fenti peacuteldaacuteban 002 dm3 = 2 middot 10ndash2 dm3 azaz 1 eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal ismerjuumlk a teacuterfogatot Az
eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutera az alaacutebbi szabaacutelyokat ismerjuumlk
Az egyneacutel kisebb szaacutemokban az első nem zeacuterus szaacutemjegyet megelőző nullaacutek nem szaacutemiacutetanak
eacuterteacutekes jegynek Peacuteldaacuteul 0000060 g = 60 middot 10ndash5 g azaz keacutet eacuterteacutekes jegyet tartalmaz
Baacutermely maacutes esetben (azaz ha van előtte nem zeacuterus szaacutemjegy) a nulla is eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Peacuteldaacuteul a 10000 dm3-ben 5 eacuterteacutekes jegy talaacutelhatoacute
A nullaacutetoacutel elteacuterő minden szaacutemjegy eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet
Fontos megjegyezni hogy a meacuterteacutekegyseacutegek aacutetvaacuteltaacutesa nem okozhat vaacuteltozaacutest az eacuterteacutekes jegyek
szaacutemaacuteban azaz sem nem noumlvekedhet sem nem csoumlkkenhet az eacuterteacutekes jegyek szaacutema Iacutegy peacuteldaacuteul
0067060 km = 67060 m = 67060 cm = 67060 mm = 67060 middot 10ndash2 km mint laacutetjuk minden esetben 5
eacuterteacutekes jegy a pontossaacuteg
Ha szaacutemiacutetaacutesi feladatokat oldunk meg szaacutemoloacutegeacutepuumlnkkel aacuteltalaacuteban igen sok tizedes jegy
pontossaacutegra keacutepesek vagyunk meghataacuterozni az eredmeacutenyeket Azonban a sok-sok tizedes jegy
megadaacutesa gyakran teljesen felesleges A koumlvetkezőkben azt vizsgaacuteljuk meg hogy egy szaacutemiacutetaacutesi
feladat megoldaacutesa soraacuten milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű a szaacutemiacutetaacutesokat elveacutegezni eacutes a veacutegeredmeacutenyt
megadni
A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten ceacutelszerű a lehető legpontosabban szaacutemolni mivel iacutegy tudjuk lecsoumlkkenteni a
kerekiacuteteacutesekből adoacutedoacute hibaacutekat Ha rendelkezeacutesre aacutell szaacutemoloacutegeacutep akkor eacuterdemes az adatokat megtartani
a szaacutemoloacutegeacutepben eacutes azokkal szaacutemolni tovaacutebb
Ha a feladat veacutegeacutere eacutertuumlnk a veacutegeredmeacuteny megadaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacutepp ceacutelszerű veacutegezni
vizsgaacuteljuk meg a feladat szoumlvegeacuteben talaacutelhatoacute adatok pontossaacutegaacutet azaz aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny
eacuterteacutekes jegyre van megadva Ezutaacuten meg kell aacutellapiacutetanunk hogy melyik mennyiseacuteg tartalmazza a
legkevesebb eacuterteacutekes jegyet azaz melyik van a legpontatlanabbul megadva A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten csupaacuten
matematikai műveleteket veacutegzuumlnk eacutes iacutegy nem tudunk javiacutetani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacuten Tehaacutet a
veacutegeredmeacuteny pontossaacutegaacutet a legpontatlanabbul megadott kiindulaacutesi adat pontossaacutega szabja meg a
veacutegeredmeacutenyt (legfeljebb) annyi eacuterteacutekes jegy pontossaacutegra adjuk meg mint a legpontatlanabbul
megadott kiindulaacutesi adat eacuterteacutekes jegyeinek szaacutema A szaacutemoloacutegeacutep adatait a megfelelő eacuterteacutekes jegyekre
kell kerekiacutetenuumlnk azaz az 1 2 3 eacutes 4 szaacutemjegyeket lefeleacute az 5 6 7 8 eacutes 9 szaacutemjegyeket pedig felfeleacute
kerekiacutetjuumlk Egy zaacuterthelyi dolgozat eseteacuten termeacuteszetesen a reacuteszeredmeacutenyeket sem ceacutelszerű lejegyezni
az oumlsszes leacutetező tizedesjeggyel ilyenkor is eacuterdemes eacutesszerűen kerekiacutetenuumlnk a megfelelő eacuterteacutekes
jegyre Amennyiben az eredmeacuteny egy nagyon kicsi vagy nagyon nagy szaacutem mindenkeacutepp eacuterdemes
normaacutelalakban megadni az eredmeacutenyt Ennek tovaacutebbi előnye hogy az eacuterteacutekes jegyek szaacutemaacutet is
ellenőrizni tudjuk
11 peacutelda
Egy teacuteglatest eacuteleinek hossza a = 637 cm b = 014570 m eacutes c = 3201 cm Adjuk meg a teacuteglatest
teacuterfogataacutet m3 egyseacutegben
Megoldaacutes
Iacuterjuk aacutet az oumlsszes adatot meacuteter meacuterteacutekegyseacutegre eacutes aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny eacuterteacutekes jegyet
tartalmaz
a = 637 cm = 00637 m 3 eacuterteacutekes jegy
b = 014570 m 5 eacuterteacutekes jegy
c = 3201 cm = 03201 m 4 eacuterteacutekes jegy
8 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A teacuteglatest teacuterfogata
V = a middot b middot c = (00637 m) middot (014570 m) middot (03201 m) = 000029708769 m3
Mivel igen kicsi szaacutemeacuterteacutekről van szoacute ceacutelszerű aacutetiacuternunk normaacutelalakra V = 29708769 middot 10minus4 m3
Mint fentebb ismertettuumlk a veacutegeredmeacutenyt szabaacutelyosan a legpontatlanabbul azaz legkevesebb
eacuterteacutekes jeggyel megadott adat eacuterteacutekes jegyire lehet megadni azaz jelen esetben 3 eacuterteacutekes jegyneacutel
toumlbbet nem eacuterdemes megadunk A veacutegeredmeacuteny helyes pontossaacutegban megadva
V = 297 ∙ 10minus4 m3
112 Alapvető matematikai oumlsszefuumlggeacutesek
Egyenes araacutenyossaacuteg keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn ha az egyik mennyiseacuteget
valahaacutenyszorosaacutera vaacuteltoztatjuk akkor a maacutesik mennyiseacuteg is ugyanannyiszorosaacutera vaacuteltozik
Ha az egyenes araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki iacutegy iacuterhatjuk le y = a middot x ahol y eacutes x a keacutet
keacuterdeacuteses mennyiseacuteg a pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt akkor
beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg araacutenya aacutellandoacute jelen esetben ez megegyezik
a-val Grafikonban aacutebraacutezolva egy origoacuten aacutetmenő egyenest kapunk
1121 aacutebra Az egyenes araacutenyossaacuteg
Az egyenes araacutenyossaacuteg fuumlggveacutenye a lineaacuteris fuumlggveacutenyek egy speciaacutelis esete a tengelymetszet
zeacuterus azaz az egyenesnek az origoacuten kell aacutetmennie
Az egyenes araacutenyossaacutegra szaacutemtalan peacuteldaacutet tudunk a mindennapi eacuteletből eacutes a
termeacuteszettudomaacutenyokboacutel egyaraacutent A fizikai eacutes keacutemiai tartalmuacute peacuteldaacutekkal a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg reacuteszletesen azonban koumlvetkezzen egy igen egyszerű peacutelda Ennek ceacutelja elsősorban
az hogy megismerhessuumlk a kuumlloumlnboumlző megoldaacutesi moacutedszereket hogy ki-ki maga eldoumlnthesse hogy
melyiket alkalmazza koumlnnyebben
12 peacutelda
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forintba keruumll akkor mennyibe keruumll 3 kilogramm reacutezgaacutelic
Megoldaacutes
A) Feliacuteraacutes egyenes araacutenyossaacuteggal szoumlvegesen
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 9
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic x forint
Ezt toumlbbfeacutelekeacuteppen lehet megoldani
Feliacuterhatjuk hogy a mennyiseacutegek araacutenya aacutellandoacute
kg3
forintw
kg2
forint1800
Ebből koumlnnyedeacuten megkapjuk hogy w = 2700 forint
Egy maacutesik megoldaacutes ha az uacutegynevezett keresztbeszorzaacutest alkalmazzuk melyet sok helyen taniacutetanak
koumlzeacutepiskolaacutekban elsősorban keacutemiaoacuteraacuten
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic w forint
Azaz 2 kg middot w forint = 3 kg middot 1800 forint melyből egyszerűen adoacutedik hogy w = 2700 forint
hasonloacutean az előző megoldaacutes eredmeacutenyeacutehez
B) Kiszaacutemiacutethatjuk az araacutenyossaacutegi teacutenyezőt az y = a middot x egyenlet alapjaacuten ez tulajdonkeacuteppen az 1
kilogramm reacutezgaacutelic aacutera
kg
forint900
kg2
forint1800
toumlmeg
aacutera
Iacutegy az egyseacutegaacuterboacutel koumlnnyedeacuten megkaphatjuk a 3 kilogramm reacutezgaacuteliceacutert fizetendő aacuterat w = a middot x =
(900 forint kg) middot (3 kg) = 2700 forint
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg ha az egyik mennyiseacuteget valahaacutenyszorosaacutera noumlveljuumlk a maacutesik mennyiseacuteg
ugyanannyiad reacuteszeacutere csoumlkken
Ha a fordiacutetott araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki a koumlvetkezőkeacutepp iacuterhatjuk fel y = b x ahol
y eacutes x a keacutet keacuterdeacuteses mennyiseacuteg b pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg
koumlzoumltt akkor beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg szorzata aacutellandoacute jelen esetben
ez megegyezik b-vel Grafikonban aacutebraacutezolva egy uacutegynevezett hiperbolaacutet kapunk (amennyiben a
negatiacutev mennyiseacutegekről is van eacutertelme beszeacutelni a hiperbolaacutenak van egy negatiacutev tartomaacutenyban
talaacutelhatoacute szaacutera is)
10 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1122 aacutebra A fordiacutetott araacutenyossaacuteg
Termeacuteszetesen fordiacutetott araacutenyossaacutegra is szaacutemtalan peacuteldaacutet lehet talaacutelni melyekkel a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg Ismeacutet egy igen egyszerű peacutelda
13 peacutelda
Keacutetfeacutele tisztasaacuteguacute reacutezgaacutelicot forgalmaz a vegyszerkereskedő A rosszabb minőseacutegű toumlbb
szennyeződeacutest tartalmazoacute aacutera kilogrammonkeacutent 1800 forint aacutem van egy tisztaacutebb is melynek aacutera 2400
forint kilogrammonkeacutent Haacuteny kilogrammnyit tudunk venni a jobb minőseacutegű reacutezgaacutelic 12
kilogrammjaacutenak aacuteraacuteboacutel ha azt rosszabb minőseacutegű reacutezgaacutelicra koumlltjuumlk
Megoldaacutes
A) Araacutenypaacuterral
Ha 2400 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel 12 kg-ot tudunk venni
akkor az 1800 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel z kg-ot tudunk venni
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg eseteacuten a mennyiseacutegek szorzata aacutellandoacute
(2400 Ftkg) middot (12 kg) = (1800 Ftkg) middot (z kg)
Ebből z = 16 kilogramm
B) Fuumlggveacutennyel
Mivel a fordiacutetott araacutenyossaacuteg feliacuterhatoacute uacutegy hogy y = b x ebből koumlvetkezik hogy b = y middot x tehaacutet
b = (2400 Ftkg) middot (12 kg) = 28 800 Ft azaz ennyi a rendelkezeacutesre aacutelloacute peacutenzoumlsszeg Ebből
kiszaacutemiacutethatoacute hogy az olcsoacutebb reacutezgaacutelicboacutel mennyit tudunk venni
y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 11
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodfokuacute egyenlet megoldaacutesa
A maacutesodfokuacute egyenlet megoldoacutekeacutepleteacutenek alkalmazaacutesaacutehoz az egyenletet az alaacutebbi formaacutera kell hozni
a middot x2 + b middot x + c = 0
Ekkor az a b eacutes c parameacuteterek fuumlggveacutenyeacuteben a maacutesodfokuacute egyenlet keacutet megoldaacutesa
a2
ca4bbx
2
1
eacutes
a2
ca4bbx
2
2
A neacutegyzetgyoumlk alatti kifejezeacutest diszkriminaacutensnak nevezzuumlk D = b2 ndash 4 middot a middot c
A diszkriminaacutens előjeleacuteből koumlvetkeztethetuumlnk arra hogy haacuteny valoacutes megoldaacutesa van a maacutesodfokuacute
egyenletnek Ha a diszkriminaacutens pozitiacutev keacutet valoacutes gyoumlkoumlt kapunk ha a diszkriminaacutens negatiacutev nincsen
valoacutes megoldaacutesa az egyenletnek Abban az esetben ha a diszkriminaacutens eacuterteacuteke nulla x1 eacutes x2 gyoumlkoumlk
megegyeznek azaz a maacutesodfokuacute egyenletnek egyetlen megoldaacutesa van
14 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
(x ndash 2) middot (x + 5) = 8
Megoldaacutes
Elveacutegezve a szorzaacutest
x2 ndash 2 middot x + 5 middot x ndash 10 = 8
Nullaacutera rendezve
x2 + 3 middot x ndash 18 = 0
Tehaacutet a = 1 b = 3 eacutes c = ndash18 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe (itt a fenti keacutet keacuteplet egy koumlzoumls
keacutepletteacute van oumlsszeolvasztva)
2
93
2
813
12
)18(1433
a2
ca4bbx
22
21
azaz 2
93x1
eacutes 6
2
93x 2
15 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
16 middot x2 ndash 104 middot x + 169 = 0
Megoldaacutes
A nullaacutera rendezett formaacuteboacutel a = 16 b = minus104 eacutes c = 169 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe
4
13
32
0104
162
169164104104
a2
ca4bbx
22
21
Mivel az egyenlet diszkriminaacutensa (a neacutegyzetgyoumlk alatt aacutelloacute kifejezeacutes D = b2 minus 4 middot a middot c) zeacuterus az
egyenlet keacutet gyoumlke ugyanaz tehaacutet egy megoldaacutesa van az egyenletnek 4
13x
12 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Oumlsszegek eacutes szorzatok feliacuteraacutesa
Egy oumlsszeg kifejteacutese
n
1i
n21i aaaa
Egy szorzat kifejteacutese m21
m
1i
i bbbb
Legfontosabb hatvaacutenyozaacutesi eacutes gyoumlkvonaacutesi azonossaacutegok
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a ndash b) middot (a + b) = a2 ndash b2
an middot bn = (amiddotb)n
an bn = (a b)n (b ne 0)
an middot am = an + m
an am = an ndash m (a ne 0)
mnnmmn aaa
n
1
n aa (a ge 0 ha n paacuteros)
mely alapjaacuten a fenti hatvaacutenyozaacutesi azonossaacutegok alkalmazhatoacuteak a gyoumlkvonaacutesra is
A logaritmusfuumlggveacutenyt a koumlvetkezőkeacuteppen definiaacutelhatjuk f(x) = loga x ahol bdquoardquo egy pozitiacutev
szaacutem A fuumlggveacuteny csak pozitiacutev x eacuterteacutekekre van definiaacutelva Amennyiben a gt 0 a fuumlggveacuteny monoton
noumlvekvő ha 0 lt a lt 1 a fuumlggveacuteny csoumlkkenő A logaritmusfuumlggveacuteny az x tengelyt mindig az (1 0)
pontban metszi
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 15
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1134 aacutebra Logaritmusfuumlggveacutenyek
114 Log-log diagramok eacutes taacutersaik
A meacuternoumlki-keacutemiai gyakorlatban sok oumlsszefuumlggeacutest hatvaacutenyfuumlggveacutenykeacutent jeleniacutethetuumlnk meg A
logaritmus egyik igen fontos alkalmazaacutesa hogy meg tudjuk vele aacutellapiacutetani egy hatvaacutenyfuumlggveacuteny
ismeretlen kitevőjeacutet
16 peacutelda
Adott keacutet meacuterhető mennyiseacuteg x eacutes y eacutes tudjuk hogy a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes az alaacutebbi
alakuacute y = xn A meacutereacuteseink soraacuten a koumlvetkező eacuterteacutekpaacuterokat kapjuk
x y
17 377
30 1559
37 2633
42 3615
49 5315
57 7757
69 12506
Aacutellapiacutetsuk meg az n hatvaacutenykitevőt
Megoldaacutes
Az eacuterteacutekpaacuterokat dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
16 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1141 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute koumlzti kapcsolat
A fenti aacutebraacuteboacutel igen neheacutez megaacutellapiacutetani a hatvaacutenykitevőt Mivel a keacutet vaacuteltozoacute (x eacutes y) koumlzoumltti
kapcsolat hatvaacutenyfuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le y = xn pozitiacutev x eacutes y eseteacuten loga y = loga xn = n middot loga x Ezeacutert
vegyuumlk az x eacutes y eacuterteacutekek 10-es alapuacute logaritmusaacutet
lg x lg y
02304 05761
04771 11928
05682 14205
06232 15581
06902 17255
07559 18897
08388 20971
A fenti eacuterteacutekpaacuterokat szinteacuten aacutebraacutezolhatjuk dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben
1142 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute logaritmusa koumlzti kapcsolat
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 17
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az eacuterteacutekek logaritmusa koumlzoumltti kapcsolat maacuter egyenes araacutenyossaacuteggal iacuterhatoacute le
koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk az egyenes meredekseacutegeacutet (iraacutenytangenseacutet) is n = 25 (Ezt akaacuter a
grafikonroacutel leolvasva akaacuter a megfelelő logaritmusok haacutenyadosakeacutent megkaphatjuk)
Tehaacutet a keresett fuumlggveacutenykapcsolat y = x25
A meacuternoumlki gyakorlatban elterjedt az uacutegynevezett log-log diagramok hasznaacutelata is Ekkor nem a
logaritmuseacuterteacutekeket aacutebraacutezoljuk a hagyomaacutenyos beosztaacutesuacute tengelyeken hanem a teacutenyleges eacuterteacutekeket
1145 aacutebra Az y = f(x) = a middot 10bmiddotx fuumlggveacuteny
A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineaacuteris leacutepteacutekű miacuteg az y tengely (ordinaacuteta)
logaritmikus leacutepteacutekű Az exponenciaacutelis fuumlggveacuteny parameacutetereit a meredekseacutegből eacutes tengelymetszetből
koumlnnyen leolvashatjuk
y = f(x) = a middot lg x Ekkor egyszerűen y-t aacutebraacutezoljuk lg x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes meghataacuterozhatjuk
az ismeretlen bdquoardquo parameacutetert
1146 aacutebra Az y = f(x) = a middot lg x fuumlggveacuteny
Tehaacutet ebben az esetben az abszcissza (x tengely) leacutepteacuteke logaritmikus miacuteg az ordinaacuteta (y tengely)
leacutepteacuteke lineaacuteris
Ez a moacutedszer akkor is segiacutetseacuteguumlnkre lehet ha nem ismerjuumlk az oumlsszefuumlggeacutest a keacutet mennyiseacuteg (x eacutes
y) koumlzoumltt viszont az aacutebraacutezolaacutesboacutel remeacutenykedhetuumlnk hogy az oumlsszefuumlggeacutes nem tuacutel bonyolult
fuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le Ilyenkor eacuterdemes kiproacutebaacutelni a fenti aacutetalakiacutetaacutesokat eacutes abban a szerencseacutes
esetben ha az iacutegy keletkezett transzformaacutelt vaacuteltozoacutek koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest kapunk meg tudjuk
hataacuterozni a szuumlkseacuteges parameacutetereket
Meacutereacutesi eredmeacutenyeket tartalmazoacute taacuteblaacutezatok hasznaacutelata soraacuten gyakran előfordul hogy egy olyan adatra
van szuumlkseacuteguumlnk melyre eacuteppen nincs meacutereacutesi eredmeacuteny Erre egy egyszerű peacutelda (peacuteldaacuteul y
mennyiseacuteget meacuterjuumlk x fuumlggveacutenyeacuteben)
x y
00 120
50 160
100 200
Tehaacutet ismerjuumlk y eacuterteacutekeacutet x = 00 x = 50 eacutes x = 100 eseteacuten Tegyuumlk fel hogy nekuumlnk toumlrteacutenetesen
szuumlkseacuteguumlnk van x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutere Ekkor toumlbb lehetőseacuteguumlnk van
ndash megmeacuterjuumlk kiacuteseacuterletileg x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutet
ndash aacutebraacutezoljuk y-t x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes grafikusan proacutebaacutelunk koumlvetkeztetni y eacuterteacutekeacutere x = 70 eseteacuten
ndash matematikai uacuteton bdquokiokoskodjukrdquo y eacuterteacutekeacutet az x = 70 helyen
Az első megoldaacutesra gyakran nincs lehetőseacuteg noha valoacutesziacutenűleg az lenne a legpontosabb A
grafikus megoldaacutes aacuteltalaacuteban hosszadalmas eacutes a leolvasaacutes pontatlan ezeacutert aacuteltalaacuteban az uacutegynevezett
lineaacuteris interpolaacutecioacutet alkalmazzuk ilyen esetekben Termeacuteszetesen ehhez az szuumlkseacuteges hogy a keacutet
vizsgaacutelt vaacuteltozoacute koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes aacutelljon fenn A moacutedszer gyakran olyankor is alkalmazhatoacute
ha a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt nem lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes viszont igen joacute koumlzeliacuteteacutessel lineaacuterisnak
tekinthető az adott tartomaacutenyban ezeacutert nem okoz tuacutel nagy hibaacutet az ha lineaacuterisnak vesszuumlk az
oumlsszefuumlggeacutest Ezt termeacuteszetesen az adott probleacutema jellege hataacuterozza meg eacutes csak bizonyos esetekben
hasznaacutelhatoacute Amennyiben keacutet meacutereacutesi pont koumlzoumltti eacuterteacuteket szeretneacutenk meghataacuterozni interpolaacutecioacuteroacutel
beszeacuteluumlnk (laacutesd fent) Ha a meacutereacutesi pontok alapjaacuten egy olyan pontot szeretneacutenk meghataacuterozni mely a
meacutereacutesi tartomaacutenyon kiacutevuumll esik azaz a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten peacuteldaacuteul x = 150 eseteacuten szeretneacutenk
meghataacuterozni y eacuterteacutekeacutet extrapolaacutecioacuteroacutel van szoacute Figyelem Miacuteg az interpolaacutecioacute a linearitaacutes
felteacutetelezeacuteseacutevel helyes eredmeacutenyt ad az extrapolaacutecioacute gyakran vezet olyan eredmeacutenyhez mely nem
felel meg a valoacutesaacutegnak Ennek oka hogy attoacutel hogy egy bizonyos tartomaacutenyban joggal
alkalmazhatunk lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest gyakran maacutes tartomaacutenyokban maacuter nagy hibaacutet okozhat a lineaacuteris
viselkedeacutestől valoacute elteacutereacutes Erre egy szemleacuteletes peacuteldaacutet mutat az alaacutebbi aacutebra
1151 aacutebra Az extrapolaacutecioacute hibaacutei
20 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az x = 40 hellip 50 tartomaacutenyban az oumlsszefuumlggeacutes lineaacuterisnak tekinthető tehaacutet peacuteldaacuteul az
x = 42 vagy x = 46 pontokban viszonylag pontosan becsuumllhetjuumlk y eacuterteacutekeacutet Aacutem ha az x = 40 eacutes x = 50
pontok alapjaacuten proacutebaacutelunk extrapolaacutelni x = 10 eacuterteacutekre a piros sziacutenű egyenes alapjaacuten (lineaacuteris fuumlggveacutenyt
felteacutetelezve) igen nagy hibaacutet koumlvetuumlnk el
A lineaacuteris interpolaacutecioacutet legszemleacuteletesebben egy peacutelda alapjaacuten eacuterthetjuumlk meg
17 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet vizes oldataacutenak a sűrűseacutege eacutes az oldat toumlmeg-os oumlsszeteacutetele koumlzoumltt
gyakorlatilag lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes Az alaacutebbi taacuteblaacutezat kuumlloumlnboumlző toumlmeg-os oumlsszeteacutetelű
magneacutezium-szulfaacutet-oldatok sűrűseacutegeacutet tartalmazza 20 degC hőmeacuterseacutekleten Becsuumlljuumlk meg lineaacuteris
interpolaacutecioacuteval a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutegeacutet
MgSO4-tartalom
(toumlmeg)
sűrűseacuteg
(gcm3)
6 10602
10 11034
14 11484
18 11955
Megoldaacutes
Az első leacutepeacutes megkeresni hogy mely pontok koumlzoumltt ceacutelszerű az interpolaacutecioacutet veacutegezni azaz meg kell
aacutellapiacutetani mely meacutereacutesi pontok koumlzeacute esik a keacuterdeacuteses pont A 11 toumlmeg-os oldat a 10 eacutes a 14 toumlmeg-
os oldat oumlsszeteacutetele koumlzeacute esik tehaacutet ebben az intervallumban ceacutelszerű a lineaacuteris interpolaacutecioacutet
elveacutegezni (Elvileg ugyan maacutes pontok koumlzoumltt is tudnaacutenk veacutegezni interpolaacutecioacutet aacutem a legszűkebb
intervallumot ceacutelszerű kivaacutelasztani mert a linearitaacutes felteacutetelezeacutese itt a leghelytaacutelloacutebb)
Lineaacuteris interpolaacutecioacute eseteacuten az y mennyiseacuteget (a sűrűseacuteget) x mennyiseacuteg (a MgSO4-tartalom
toumlmeg-ban) fuumlggveacutenyeacuteben a koumlvetkező oumlsszefuumlggeacutessel iacuterhatjuk le
y = a middot x + b
Az alaacutebbi diagramon laacutethatoacutek a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 14 toumlmeg-os (x2) oumlsszeteacutetelhez tartozoacute
pontok (a megfelelő sűrűseacutegek rendre y1 eacutes y2) illetve a keacuterdeacuteses sűrűseacuteg (y) a 11 toumlmeg-os pontban
(melyet a viacutezszintes tengelyen x-nek roumlvidiacutetettuumlnk)
1152 aacutebra Az oldat sűrűseacutege a toumlmegszaacutezaleacutek fuumlggveacutenyeacuteben
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 21
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Tehaacutet az (x1 y1) eacutes (x2 y2) pontok koumlzeacute behuacutezott egyenes meredekseacutege
12
12
xx
yy
x
ya
Mivel a noumlvekmeacutenyek (Γy eacutes Γx) koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn az bdquoardquo meredekseacuteg
ugyanakkora a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 11 toumlmeg-os (x) oumlsszeteacutetel eseteacuten is mint ahogyan a
koumlvetkező aacutebraacuten is laacutethatoacute
1153 aacutebra A sűrűseacuteg szaacutemiacutetaacutesa interpolaacutecioacuteval
Azaz feliacuterhatoacute ismeacutet hogy Γy eacutes Γx araacutenya aacutellandoacute meacuteghozzaacute a fenti bdquoardquo eacuterteacutek
1
1
xx
yy
x
ya
Mivel az bdquoardquo meredekseacuteg mindkeacutet esetben ugyanakkora feliacuterhatjuk a koumlvetkező kifejezeacutest
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
x
ya
Ezt a keacutepletet eacuterdemes megjegyezni aacutem ha nem megy olyan koumlnnyedeacuten akkor a fenti
gondolatmenettel baacutermikor igen koumlnnyen eljuthatunk hozzaacute Mivel a fenti egyenletben csupaacuten az y az
ismeretlen koumlnnyen kifejezhető
11
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Behelyettesiacutetve a keacutepletbe x x1 x2 y1 eacutes y2 eacuterteacutekeacutet (meacuterteacutekegyseacutegek neacutelkuumll)
1147111465110341)1011(1014
1034114841y)xx(
xx
yyy 11
12
12
Tehaacutet a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege 11147 gcm3
22 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Megjegyzeacutes ugyanehhez az eredmeacutenyhez eljuthatunk kicsit maacutes uacuteton is Az alaacutebbi aacutebraacuten bejeloumllt
keacutet haacuteromszoumlg hasonloacute egymaacuteshoz iacutegy az oldalaik araacutenya is aacutellandoacute
1154 aacutebra Az interpolaacutecioacute szemleacutelteteacutese hasonloacute haacuteromszoumlgekkel
18 peacutelda
Egy kiacuteseacuterlet soraacuten megmeacutertuumlk egy ismeretlen magneacutezium-szulfaacutet oldat sűrűseacutegeacutet mely 11600 gcm3-
nek adoacutedott Lineaacuteris interpolaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel aacutellapiacutetsuk meg az oldat magneacutezium-szulfaacutet-tartalmaacutet
toumlmeg-ban A feladat megoldaacutesaacutehoz hasznaacuteljuk az előző peacuteldaacuteban megadott taacuteblaacutezatot
Megoldaacutes
A lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes lehetőseacuteget terem arra hogy a sűrűseacuteg (y) ismereteacuteben az ismeretlen toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelt (x) is meghataacuterozhassuk Mivel az 11600 gcm3 sűrűseacuteg-eacuterteacutek a 11484 eacutes 11955 gcm3
eacuterteacutekek koumlzoumltt talaacutelhatoacute a 14 eacutes 18 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelhez tartozoacute pontok koumlzt kell interpolaacutelni Az
előző peacuteldaacuteban megismert oumlsszefuumlggeacutest kell alkalmaznunk
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
Ebből most x-et kell kifejeznuumlnk x1 x2 y1 y2 eacutes y fuumlggveacutenyeacuteben
1
12
121
12
1211 x
yy
xx)yy(x
yy
xx)yy(xx
Behelyettesiacutetve a megfelelő eacuterteacutekeket
159814141484119551
1418)1484116001(x
yy
xx)yy(x 1
12
121
Tehaacutet az 11600 gcm3 sűrűseacutegű magneacutezium-szulfaacutet-oldat koumlruumllbeluumll 15 toumlmeg-os
Mint emliacutetettuumlk az extrapolaacutecioacute soraacuten mindig fokozott figyelemmel kell eljaacuterni mivel gyakran
előfordul hogy az extrapolaacutelt eacuterteacutek nem joacute becsleacutese a valoacutedi eacuterteacuteknek Koumlvetkezzen egy peacutelda az
extrapolaacutecioacutera
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 23
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
19 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet-oldatra bemutatott 6 eacutes 10 toumlmeg-os adatok alapjaacuten extrapolaacuteljunk 0 toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelre
Megoldaacutes
Az előzőekhez hasonloacutean 6 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelneacutel (x1) a sűrűseacuteg 10602 gcm3 (y1) 10 toumlmeg
(x2) eseteacuten pedig 11034 gcm3 (y2) A feladat megbecsuumllni a sűrűseacuteget (y) 0 toumlmeg (x) eseteacuten
Ismeacutetelten ceacutelszerű egy aacutebraacutet keacutesziacuteteni a megoldaacuteshoz
1155 aacutebra Peacutelda a lineaacuteris extrapolaacutecioacutera
Az előző feladatok megoldaacutesaacutehoz hasonloacutean feliacuterhatjuk az egyes pontokat oumlsszekoumltő egyenesek
meredekseacutegeacutet eacutes a keacutet meredekseacutegnek meg kell egyeznie
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
x
ya
Kifejezve y-t x fuumlggveacutenyeacuteben
11
12
1211
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyyy)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Eacuterdemes megfigyelni hogy a kapott kifejezeacutes ugyanaz mint amit az interpolaacutecioacutenaacutel kaptunk
Behelyettesiacutetve az eacuterteacutekeket
9954006021)60(610
0602110341y)xx(
xx
yyy 11
12
12
A desztillaacutelt viacutez sűrűseacutege 4 degC-on 1000 grammcm3 20 degC-on pedig 0998 grammcm
3 iacutegy az
extrapolaacutecioacuteval kapott 09954 grammcm3 eacuterteacutek igen joacutel koumlzeliacuteti a valoacutedi eacuterteacuteket Ebből arra
koumlvetkeztethetuumlnk hogy a magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege eacutes oumlsszeteacutetele koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes igen
Gyakran előfordul hogy egy egyenlet megoldaacutesaacutera nem ismeruumlnk megfelelő bdquokeacutepletetrdquo sőt nem ritka
hogy egy egyenletet csak koumlzeliacutetőleg tudunk megoldani Ebben a reacuteszben bemutatunk egy egyszerű
moacutedszert melynek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megoldhatunk kuumlloumlnfeacutele egyenleteket
110 peacutelda
Oldjuk meg koumlzeliacutetőleg a koumlvetkező egyenletet
0xlgx
Megoldaacutes
Az egyenletet a pozitiacutev szaacutemok halmazaacuten kell megoldanunk
Hozzuk az egyenletet a koumlvetkező formaacutera
x = f(x)
Erre keacutet lehetőseacuteguumlnk van azaz
A) xlgx
x10x xA 10)x(f
B) xlgx
22 )x(lg)xlg(x xlg)x(f 2B
Ezutaacuten proacutebaacuteljuk megoldani az egyenletet az A) illetve B) uacuteton Vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0
eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0 = 05 ezutaacuten x0 eacuterteacutekeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuten aacutelloacute kifejezeacutesbe
melynek eredmeacutenye x1 = f(x0) lesz Ezutaacuten x1-et behelyettesiacutetjuumlk a jobb oldali kifejezeacutesbe eacutes
megkapjuk x2 = f(x1) eacuterteacutekeacutet majd ezt ismeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuteba eacutes iacutegy tovaacutebb
Ha az egyenlet megoldhatoacute ezzel a moacutedszerrel azt kell tapasztalnunk hogy az egymaacutest koumlvető x0
x1 = f(x0) x2 = f(x1) x3 = f(x2) hellip xi+1 = f(xi) hellip eacuterteacutekeknek koumlzeledniuumlk kell a megoldaacuteshoz mely
iacutegy tetszőleges pontossaacuteggal kiszaacutemiacutethatoacute Most neacutezzuumlk ezt meg az adott peacuteldaacuten
A)
x0 = 05 x0 = 05000
x1 = 50000x
1010 0 x1 asymp 01363
x2 = 19630x
1010 1 x2 asymp 03605
x3 = 36050x
1010 2 x3 asymp 02509
x4 = 25090x
1010 3 x4 asymp 03156
x5 = 31560x
1010 4 x5 asymp 02743
x6 = 27430x
1010 5 x6 asymp 02994
x7 = 29940x
1010 6 x7 asymp 02837
x8 = 28370x
1010 7 x8 asymp 02933
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 25
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x9 = 29330x
1010 8 x9 asymp 02873
x10 = 28730x
1010 9 x10 asymp 02910
x11 = 29100x
1010 10 x11 asymp 02887
x12 = 28870x
1010 11 x12 asymp 02902
x13 = 29020x
1010 12 x13 asymp 02893
x14 = 28930x
1010 13 x14 asymp 02898
x15 = 28980x
1010 14 x15 asymp 02895
x16 = 28950x
1010 15 x16 asymp 02897
x17 = 28970x
1010 16 x17 asymp 02896
x18 = 28960x
1010 17 x18 asymp 02896
x19 = 28960x
1010 18 x19 asymp 02896
Mint laacutetjuk az eredmeacutenyek egy adott eacuterteacutekhez koumlzeliacutetenek eacutes ez az eacuterteacutek eacuteppen az egyenlet
megoldaacutesa
1161 aacutebra Az eredmeacutenyek konvergenciaacuteja
Az eredmeacutenyekből szeacutepen laacutetszik hogy mineacutel toumlbbszoumlr veacutegezzuumlk el a behelyettesiacuteteacutest egyre
pontosabban kapjuk meg az egyenlet eredmeacutenyeacutet Ha keacutet tizedesjegy pontossaacuteggal szeretneacutenk
megoldani az egyenletet akkor eleacuteg csak a 8 leacutepeacutesig folytatni ha az eredmeacutenyre haacuterom tizedesjegy
pontossaacutegra vagyunk kiacutevaacutencsiak a 14 leacutepeacutesig kell folytatnunk az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest Az egyenlet
pontos megoldaacutesa heacutet eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal 02896232
Megjegyzendő hogy a moacutedszer gyorsasaacutega termeacuteszetesen fuumlgg a kiindulaacutesi x0 eacuterteacutek kivaacutelasztaacutesaacutetoacutel
Az eljaacuteraacutest grafikusan az alaacutebbi animaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel szemleacuteltethetjuumlk
26 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1161 animaacutecioacute Az iteraacutecioacute
1162 aacutebra Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutes szemleacutelteteacutese
B)
Az előzőekhez hasonloacutean legyen a kiindulaacutesi eacuterteacutek x0 = 05
x0 = 05 x0 asymp 05000
x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906
x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874
x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013
x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837
x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431
x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055
x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090
x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017
x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)
2 x9 asymp 00897
x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965
x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016
x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 27
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972
x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097
x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555
x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697
x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867
x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311
Mint ahogyan a fenti eacuterteacutekeket aacutebraacutezolva laacutethatjuk az eredmeacutenyek nem tartanak egy adott
eacuterteacutekhez
1163 aacutebra A nem megfelelő fuumlggveacutenykapcsolat koumlvetkezmeacutenye
A feladatot iacutegy a B) uacuteton nem tudjuk megoldani a megoldaacutes csak az A) uacuteton lehetseacuteges Annak
magyaraacutezataacutehoz hogy mieacutert csak az egyik uacuteton jutottunk el a veacutegeredmeacutenyhez felsőbb matematikai
eszkoumlzoumlk is szuumlkseacutegesek ezeacutert ezzel a keacuterdeacutessel itt nem foglalkozunk reacuteszletesen Amennyiben egy
aacutetalakiacutetaacutesi moacuted nem vezet megoldaacuteshoz eacuterdemes megproacutebaacutelni az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest a fuumlggveacuteny
inverzeacutevel is
111 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
x3 + 4 middot x2 minus 1 = 0
Megoldaacutes
Egy harmadfokuacute fuumlggveacutenynek egy kettő vagy haacuterom gyoumlke lehetseacuteges A g(x) = x3 + 4 middot x2 minus 1
fuumlggveacutenyt aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
Mint a fenti aacutebraacuteboacutel laacutethatoacute a g(x) fuumlggveacutenynek haacuterom zeacuteruspontja van iacutegy a g(x) = 0
egyenletnek haacuterom megoldaacutesa van A grafikus megoldaacutesboacutel annyit megaacutellapiacutethatunk hogy egy gyoumlk
x = minus4 koumlrnyezeteacuteben egy maacutesik x = minus05 koumlrnyezeteacuteben miacuteg a harmadik x = 05 koumlrnyezeteacuteben
talaacutelhatoacute
Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacuteshoz x = f(x) alakra kell hozni az egyenletet Erre toumlbb lehetőseacuteg is van
A)
3 2x41x
Az előző feladat megoldaacutesaacutenak mintaacutejaacutera vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0 eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0=10
(baacutermely maacutes szaacutem is lehetne) Az iteraacutecioacute első 32 leacutepeacuteseacutenek xn eacuterteacuteke a leacutepeacutesszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben a
Az alaacutebbiakban a legfontosabb siacutekidomok keruumlleteacutenek (K) eacutes teruumlleteacutenek (T) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Haacuteromszoumlg
cbaK
2
sinba
2
maT a
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a haacuteromszoumlg oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo
oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Trapeacutez
dcbaK
30 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
m2
caT
bdquoardquo eacutes bdquocrdquo a trapeacutez paacuterhuzamos oldalai m a keacutet paacuterhuzamos oldal koumlzoumltti taacutevolsaacuteg azaz a trapeacutez
magassaacutega bdquocrdquo eacutes bdquodrdquo a trapeacutez szaacuterai
Paralelogramma
)ba(2K
sinbambmaT ba
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a paralelogramma oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg mb az a oldalhoz
tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Teacuteglalap
)ba(2K
baT
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a teacuteglalap oldalai
Neacutegyzet
a4K
2aT
bdquoardquo a neacutegyzet oldala
Deltoid
)ba(2K
fe2
1T
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a deltoid oldalai bdquoerdquo eacutes bdquofrdquo a deltoid aacutetloacutei
Rombusz
a4K
sinamaT 2a
bdquoardquo a rombusz oldala ma a magassaacutega α pedig a rombusz keacutet egymaacutes melletti oldala aacuteltal bezaacutert
szoumlg
Koumlr
dr2K
22 d4
1rT
bdquorrdquo a koumlr sugara bdquodrdquo a koumlr aacutetmeacuterője
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 31
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Haacuteromszoumlg
cbaK 2
sinba
2
maT a
Trapeacutez
dcbaK m2
caT
Paralelogramma
)ba(2K sinbambmaT ba
Teacuteglalap
)ba(2K baT
Neacutegyzet
a4K 2aT
Deltoid
)ba(2K fe
2
1T
Rombusz
a4K sinamaT 2a
Koumlr
dr2K 22 d4
1rT
118 Testek felsziacutene eacutes teacuterfogata
Az alaacutebbiakban a legfontosabb testek felsziacuteneacutenek (A) eacutes teacuterfogataacutenak (V) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Teacuteglatest
)acbcab(2A
32 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
cbaV
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a teacuteglatest eacutelei
Kocka
2a6A
3aV
bdquoardquo a kocka eacutele
Egyenes koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2
hd4
1hrV 22
bdquorrdquo az alapkoumlr sugara bdquodrdquo az alapkoumlr aacutetmeacuterője bdquohrdquo a henger magassaacutega
Goumlmb
22 dr4A
33 d6
1r
3
4V
bdquorrdquo a goumlmb sugara bdquodrdquo a goumlmb aacutetmeacuterője
Teacuteglatest
)acbcab(2A cbaV
Kocka
2a6A 3aV
Egyenes
koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2 hd4
1hrV 22
Goumlmb
22 dr4A 33 d6
1r
3
4V
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 33
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
12 Fizikai alapismeretek
121 SI-alapmennyiseacutegek meacuterteacutekegyseacutegeik eacutes gyakori jeloumlleacuteseik
Hosszuacutesaacuteg
Jele ℓ (longitudo hosszuacutesaacuteg) s (taacutevolsaacuteg uacutet)
Meacuterteacutekegyseacutege meacuteter ( metrum ndash latin metron ndash goumlroumlg meacuterteacutek) roumlvidiacuteteacutese m
Toumlmeg
Jele m (massa)
Meacuterteacutekegyseacutege kilogramm ( kilo + gramma ndash goumlroumlg kis toumlmeg) roumlvidiacuteteacutese kg
Idő
Jele t (tempus)
Meacuterteacutekegyseacutege maacutesodperc vagy szekundum ( secunda ndash latin kis reacutesz) roumlvidiacuteteacutese s
Aacuteramerősseacuteg
Jele I (intensitas)
Meacuterteacutekegyseacutege amper ( Andreacute-Marie Ampegravere) roumlvidiacuteteacutese A
Hőmeacuterseacuteklet
Jele T (temperare)
Meacuterteacutekegyseacutege kelvin ( William Thomson Kelvin) roumlvidiacuteteacutese K
Energia a munkaveacutegző keacutepesseacuteg Az energia bdquoeltaacuterolt munkardquo mely megfelelő koumlruumllmeacutenyek
koumlzoumltt munkaacutevaacute alakiacutethatoacute Az energia kuumlloumlnfeacutele formaacutekban jelenik meg peacuteldaacuteul beszeacutelhetuumlnk
mechanikai (mozgaacutesi helyzetihellip) termikus elektromos stb Az energia a rendszer egy aacutellapotaacutet iacuterja
le a munka pedig az aacutellapotok koumlzoumltti vaacuteltozaacutest
Jele E ( energy ndash angol)
Meacuterteacutekegyseacutege ugyanaz mint a munkaacutenak J (joule) 1 J = 1 Nmiddotm = 1 kgmiddotm2middotsminus2
Teljesiacutetmeacuteny a munka eacutes az munkaveacutegzeacutes időtartamaacutenak haacutenyadosa egyseacutegnyi idő alatt veacutegzett
munka a munkaveacutegzeacutes sebesseacutege
Jele P ( power ndash angol)
t
WP
Meacuterteacutekegyseacutege W (watt) 1 W = 1 Js = 1 (kgmiddotm2s2)s = 1 kgmiddotm2s3 = 1 kgmiddotm2middotsminus3
s
F
Fs
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 37
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hataacutesfok a hasznos munka eacutes az oumlsszes befektetett munka haacutenyadosa vagy maacuteskeacuteppen a
hasznos teljesiacutetmeacuteny eacutes az oumlsszes befektetett teljesiacutetmeacuteny haacutenyadosa
Jele ε
ouml
h
W
W
ouml
h
P
P
Wh hasznos munka Wouml befektetett munka Ph hasznos teljesiacutetmeacuteny Pouml befektetett teljesiacutetmeacuteny
Dimenzioacutementes szaacutem eacuterteacuteke 0 le ε le 1
124 Elektromossaacutegtan
Toumllteacutes az elemi toumllteacutesnek valahaacutenyszorosa
Jele Q
Meacuterteacutekegyseacutege C (coulomb) 1 C = 1 Amiddots
Az elektron toumllteacutese q = 1602middot10minus19 C Az elektoron toumllteacuteseacutet negatiacutevnak a protoneacutet pedig
pozitiacutevnak tekintjuumlk
Coulomb toumlrveacutenye keacutet pontszerű toumllteacutes koumlzoumltt hatoacute erő egyenesen araacutenyos a toumllteacutesekkel eacutes
fordiacutetottan araacutenyos a toumllteacutesek koumlzoumltti taacutevolsaacuteg neacutegyzeteacutevel Keacutet azonos előjelű toumllteacutes (++ illetve minusminus)
F erő Q1 eacutes Q2 toumllteacutes r a keacutet toumllteacutes koumlzoumltti taacutevolsaacuteg k araacutenyossaacutegi teacutenyező melynek eacuterteacuteke
899 ∙ 109 Nm2C2
1241 aacutebra Coulomb toumlrveacutenye
Aacuteramerősseacuteg az időegyseacuteg alatt aacutethaladt toumllteacutesek mennyiseacutege
Jele I ( intensitas ndash angol)
t
QI
Q aacutethaladt toumllteacutes t idő
Meacuterteacutekegyseacutege A (amper) 1 A = 1 Cs = 1 Cmiddotsminus1
38 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Feszuumlltseacuteg a munka eacutes a toumllteacutes haacutenyadosa A feszuumlltseacuteg megadja hogy mennyi munkaacutet veacutegez a
mező egyseacutegnyi toumllteacutesen miacuteg a toumllteacutes az egyik pontboacutel elmozdul a maacutesikba
Jele U
Q
WU
Q toumllteacutes W a Q toumllteacutes egyik pontboacutel a maacutesikba juttataacutesaacutehoz szuumlkseacuteges munka
Meacuterteacutekegyseacutege V (volt) 1 V = 1 JC = 1 kgmiddotm2s2(Amiddots) = 1 kgmiddotm2(Amiddots3) = 1 kgmiddotm2middotAminus1middotsminus3
Ellenaacutellaacutes egy elektromos koumlrben egy fogyasztoacuten eső feszuumlltseacuteg eacutes a rajta aacutetmenő aacuteramerősseacuteg
Ilyenkor az aacuteramforraacutes terheletlen azaz a teljes feszuumlltseacuteg az aacuteramforraacuteson esik
Azonban ha egy fogyasztoacuteval terheljuumlk az aacuteramforraacutest az aacuteramforraacuteson meacutert feszuumlltseacuteg maacuter nem
egyezik meg az elektromotoros erővel hanem annaacutel kisebb lesz Ezt a feszuumlltseacuteget
kapocsfeszuumlltseacutegnek nevezzuumlk (a terhelt aacuteramforraacutes kapcsain meacutert feszuumlltseacuteg) A jelenseacuteg oka hogy
az aacuteramkoumlrben folyoacute aacuteram az aacuteramforraacuteson is aacutetfolyik A toumllteacutesek mozgaacutesaacuteval szemben azonban az
aacuteramforraacutesnak is van ellenaacutellaacutesa ezt belső ellenaacutellaacutesnak nevezzuumlk
1242 aacutebra A belső ellenaacutellaacutes szemleacutelteteacutese
Az aacuteramkoumlrben meacuterhető aacuteramerősseacuteget (I) a fogyasztoacute bdquokuumllsőrdquo ellenaacutellaacutesa (Rk) eacutes az aacuteramforraacutes
belső ellenaacutellaacutesa (Rb) hataacuterozza meg
)RR(IU bk0 bk
0
RR
UI
A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramforraacutes kapcsain meacuterhető feszuumlltseacuteg azaz
b0kk RIURIU
A kapocsfeszuumlltseacuteget az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben aacutebraacutezolva a koumlvetkező diagramot kapjuk
1243 aacutebra A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben
U0
Uk
Rb
Rk
+minus
I
40 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha egy elhanyagolhatoacute ellenaacutellaacutesuacute vezetődarabbal oumlsszekoumltjuumlk az aacuteramforraacutes kivezeteacuteseit a
kapocsfeszuumlltseacuteg zeacuterus eacutes az ilyenkor meacuterhető aacuteramerősseacuteg a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram
b
00
R
UI
Mint ahogyan a fenti diagramon is laacutethatoacute a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram aacuteramerősseacuteg maximumaacutet adja meg
Egyenaacuteram munkaacuteja az aacuteramerősseacuteg a feszuumlltseacuteg eacutes az idő szorzata aacutem az ellenaacutellaacutes
segiacutetseacutegeacutevel toumlbb maacutes moacutedon is meghataacuterozhatoacute
tUIW
I aacuteramerősseacuteg U feszuumlltseacuteg t az elektromos munkaveacutegzeacutes ideje
Meacuterteacutekegyseacutege ndash a toumlbbi munkaacutehoz hasonloacutean ndash joule
A munka koumlnnyen adoacutedik a feszuumlltseacuteg eacutes a toumllteacutesmennyiseacuteg definiacutecioacutejaacuteboacutel
Q
WU tIUQUW
Az ellenaacutellaacutes segiacutetseacutegeacutevel a koumlvetkező keacutepletek adoacutednak
tR
UtU
R
UtUIW
2
illetve tRIt)RI(ItUIW 2
Elektromos teljesiacutetmeacuteny az elektromos teljesiacutetmeacuteny az aacuteramerősseacuteg eacutes a feszuumlltseacuteg szorzatakeacutent
adoacutedik Az ellenaacutellaacutes bevezeteacuteseacutevel ismeacutet tovaacutebbi oumlsszefuumlggeacuteseket kaphatunk
RIR
UUIW 2
2
Az elektromos teljesiacutetmeacuteny meacuterteacutekegyseacutege a watt A fenti oumlsszefuumlggeacutesek koumlzvetlenuumll adoacutednak az
elektromos munka keacutepleteiből (a teljesiacutetmeacuteny munka eacutes a munkaveacutegzeacutes idejeacutenek haacutenyadosa)
125 Hőtan
Hőmeacuterseacutekleti skaacutelaacutek a hőmeacuterseacuteklet meghataacuterozaacutesaacutera toumlbb kuumlloumlnboumlző skaacutelaacutet hasznaacutelhatunk A skaacutelaacutek
nagy reacuteszeacutet tapasztalati uacuteton alakiacutetottaacutek ki meacuteghozzaacute egy kivaacutelasztott alsoacute eacutes felső hőmeacuterseacutekleti eacuterteacutek
koumlzoumltt meghataacuterozott szaacutemuacute egyenletes skaacutelaosztaacutest alkalmazva Itt csak a gyakorlati szempontboacutel
legfontosabb keacutet skaacutelaacutet taacutergyaljuk
Az atomot alkotoacute elemi reacuteszecskeacutek toumlmege eacutes toumllteacutese
Reacuteszecske neve Toumlmeg Toumllteacutes Relatiacutev
toumlmeg
Relatiacutev
toumllteacutes
Atommag Proton (p+) 1672 middot 10minus27 kg 16021 middot 10minus19 C 18355 +1
Neutron (n0) 1674 middot 10minus27 kg 0 18377 0
Elektronburok Elektron (eminus) 9109 middot 10minus31 kg minus16021 middot 10minus19 C 1 minus1
Mint laacutethatoacute a fenti taacuteblaacutezatboacutel a proton eacutes a neutron toumlmege koumlzeliacutetőleg megegyezik az elektron
toumlmege pedig ezekneacutel nagysaacutegrendekkel kisebb (mintegy 1840-ed reacutesze a proton vagy a neutron
toumlmegeacutenek) A neutron semleges a proton eacutes az elektron toumllteacutese abszoluacutet eacuterteacutekben megegyezik aacutem
előjeluumlk ellenteacutetes
Rendszaacutem az atomban talaacutelhatoacute protonok szaacutema
Jele Z
Toumlmegszaacutem az atommagban talaacutelhatoacute protonok eacutes neutronok szaacutemaacutenak az oumlsszege
Jele A
Neutronszaacutem toumlmegszaacutemboacutel levonva a protonok szaacutemaacutet azaz a toumlmegszaacutem eacutes a rendszaacutem
kuumlloumlnbseacutege
Jele N
N = Z minus A
2 Az atomok szerkezete 45
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
(Keacutemiai) elemeknek nevezzuumlk az azonos rendszaacutemmal rendelkező atomokboacutel feleacutepuumllő
anyagokat Az elemeket vegyjeluumlkkel szoktuk azonosiacutetani A vegyjel előtt a toumlmegszaacutemot eacutes a
rendszaacutemot is feltuumlntethetjuumlk ilyenkor rendszerint a bal felső indexbe a toumlmegszaacutemot a bal alsoacute
indexbe a rendszaacutemot iacuterjuk
EAZ
Nuklid azonos rendszaacutemuacute eacutes toumlmegszaacutemuacute atommagokat tartalmazoacute atomok oumlsszesseacutege
Izotoacutep egy elem izotoacutepjainak nevezzuumlk azonos rendszaacutemmal aacutem kuumlloumlnboumlző toumlmegszaacutemmal
rendelkező atomjait (Egy elem kuumlloumlnboumlző neutronszaacutemuacute nuklidjai)
Relatiacutev atomtoumlmeg megmutatja hogy az adott atom toumlmege haacutenyszorosa egy C126 -atom
toumlmegeacutenek 112-ed reacuteszeacuteneacutel
Anyagmennyiseacuteg 1 moacutel az anyagmennyiseacutege 6022 middot 1023 darab reacuteszecskeacutenek
Avogadro-szaacutem egy moacutel reacuteszecske darabszaacutema Eacuterteacuteke 6022 middot 1023 mol
A relatiacutev atomtoumlmeg megadja 1 moacutel elem toumlmegeacutet az adott elem 6022 middot 1023 darab atomjaacutenak
oumlssztoumlmegeacutet
Egy elemek legnagyobb reacutesze toumlbbfeacutele izotoacutep elegye a termeacuteszetes gyakorisaacutegukboacutel adoacutedik a
relatiacutev atomtoumlmeg A relatiacutev atomtoumlmeg kiszaacutemiacutetaacutesaacutenaacutel az egyes izotoacutepok atomtoumlmegeacutet a termeacuteszetes
gyakorisaacutegukkal suacutelyozzuk
Tiszta elem olyan elem mely (a termeacuteszetben) csak egyetlen stabil izotoacutepjaacuteval fordul elő
A kuumlloumlnboumlző izotoacutepok gyakorlatilag toumlkeacuteletesen azonos keacutemiai tulajdonsaacuteggal rendelkeznek A
legnagyobb kuumlloumlnbseacuteg fizikai tulajdonsaacutegokban a hidrogeacuten haacuterom izotoacutepja koumlzoumltt van (itt egyetlen
proton mellett egy vagy keacutet neutron viszonylag nagyobb elteacutereacutest okoz) 1H proacutecium (9998) 2H deuteacuterium (002) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese D 3H triacutecium (radioaktiacutev) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese T
Radioaktivitaacutes a nem stabil atommagok spontaacuten bomlaacutesa A radioaktiacutev bomlaacutest nagy energiaacutejuacute
sugaacuterzaacutes kiacuteseacuteri
A nem stabil magokat szokaacutes radioaktiacutev magoknak is nevezni
A radioaktivitaacutes keacutemiai moacutedszerekkel ndash tehaacutet az elektronszerkezeten keresztuumll ndash nem
befolyaacutesolhatoacute
48 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
23 Az atomok elektronszerkezete
Az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronszerkezetuumlk hataacuterozza meg a keacutemiai vaacuteltozaacutesok az
atommagra nincsenek hataacutessal Az elektronok szaacutema megegyezik a rendszaacutemmal mely az adott
elemre jellemző iacutegy a kuumlloumlnboumlző elemek vaacuterhatoacutean kuumlloumlnboumlző keacutemiai tulajdonsaacutegokkal rendelkeznek
Az elektronok az atomokban atompaacutelyaacutekon helyezkednek el
Atompaacutelya az a teacuterreacutesz ahol az elektron 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute
Az elektron a teacuter baacutermely teacuterreacuteszeacuteben megtalaacutelhatoacute valamilyen valoacutesziacutenűseacuteggel az atompaacutelya
nem jelent eacuteles hataacutert inkaacutebb valoacutesziacutenűseacutegi jellegű
Az atompaacutelyaacutekat egy szaacutem eacutes egy betű kombinaacutecioacutejaacuteval szoktuk jeloumllni peacuteldaacuteul 1s 2px 3dxy
stbhellip
A paacutelyaacutekat teacuterben aacutebraacutezolhatjuk uacutegy hogy megjeleniacutetjuumlk azt a feluumlletet mellyel hataacuterolt
teacuterreacuteszben az elektron megtalaacutelaacutesaacutenak valoacutesziacutenűseacutege 90-os
A kuumlloumlnfeacutele paacutelyaacutek alakjaacutet megfigyelhetjuumlk az alaacutebbi aacutebraacuten
231 aacutebra Kuumlloumlnboumlző atompaacutelyaacutek alakja
A paacutelyaacutek egyik fontos jellemzője a csomoacutesiacutekok szaacutema Csomoacutesiacuteknak nevezzuumlk azt a siacutekot mely
keresztuumllmegy az atommagon eacutes benne az elektron megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege zeacuterus Mint laacutethatoacute az s-
paacutelyaacutenak nincsen csomoacutesiacutekja a p-paacutelyaacuteknak egy csomoacutesiacutekja van a d-paacutelyaacuteknak keacutet csomoacutesiacutekja van eacutes
iacutegy tovaacutebb
Az elektronburok feleacutepuumlleacutese
Mint a koraacutebbiakban is emliacutetettuumlk az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronburok feleacutepiacuteteacutese az
elektronszerkezet hataacuterozza meg Ezeacutert rendkiacutevuumll fontos az elektronszerkezet feleacutepuumlleacuteseacutet viszonylag
reacuteszletesen taacutergyalnunk Az aacuteltalaacutenos keacutemia ezen reacutesze viszonylag bonyolult viszont a fontos
alapfogalmak elsajaacutetiacutetaacutesa utaacuten eacuterdekes toumlrveacutenyszerűseacutegeket ismeruumlnk majd meg
Vegyuumlnk egy tetszőleges atommagot eacutes koumlzeliacutetsuumlnk hozzaacute egy elektront Az elektron a
legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacutera keruumll eacutes ezt energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri (Megjegyzendő hogy
a felszabaduloacute energia nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket) A legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutet 1s
paacutelyaacutenak nevezzuumlk Egy maacutesodik elektron koumlzeliacutetve az iacutegy keletkezett bdquoegyelektronosrdquo rendszerhez
szinteacuten egy atompaacutelyaacutera keruumllt melyet ismeacutet energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuter A maacutesodik elektron ndash az
elsőhoumlz hasonloacutean ndash az 1s paacutelyaacutera keruumll eacutes az energiafelszabadulaacutes is megegyezik az első elektron
koumltődeacuteseacuteneacutel tapasztalttal Ha ehhez a bdquokeacutetelektronosrdquo rendszerhez egy uacutejabb elektront adunk az maacuter
nem keruumllhet a legalacsonyabb energiaacutejuacute 1s paacutelyaacutera mivel az atompaacutelyaacutekon maximaacutelisan keacutet elektron
foglalhat helyet (Most ezt fogadjuk el teacutenykeacutent ndash a kiegeacutesziacutető anyagkeacutent taacutergyalandoacute ndash aacuteltalaacutenosan
megfogalmazott Pauli-elv koumlvetkezmeacutenye) A harmadik elektron iacutegy a 2s paacutelyaacutera keruumll Egy negyedik
elektront meacuteg mindig el tudunk helyezni a 2s paacutelyaacuten aacutem az oumltoumldik elektronnak maacuter az egyik 2p
paacutelyaacutera kell keruumllnie (mivel paacutelyaacutenkeacutent maximum keacutet elektron foglalhat helyet) Meacuteg mielőtt tuacutelzottan
belebonyoloacutednaacutenk a paacutelyaacutek szaacutemozaacutesaacuteba eacutes sorrendjeacutebe eacuterdemes oumlsszefoglalnunk a fentieket
2 Az atomok szerkezete 49
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
ndash Energiaminimumra toumlrekveacutes az elektron mindig a legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektront lehet elhelyezni
A paacutelyaacutekat az elektronokkal szokaacutes az alaacutebbi cellaacutes jeloumlleacutessel jeloumllni
Paacutelya elektron neacutelkuumll
(uumlres paacutelya)
Paacutelya egy elektronnal
(feacutelig betoumlltoumltt paacutelya)
Paacutelya keacutet elektronnal
(betoumlltoumltt paacutelya)
Alapaacutellapotuacute atom minden elektron a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacuten helyezkedik el
Gerjesztett atom az atommal energiaacutet koumlzoumllve egy vagy toumlbb elektron magasabb energiaacutejuacute
paacutelyaacutera keruumll (Meacuteg mindig koumltődik az atomhoz nem szakad le roacutela)
Az atompaacutelyaacutek alheacutejakat az alheacutejak pedig elektronheacutejakat alkotnak
Az alheacutejat a paacutelya megjeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute betű jeloumlli peacuteldaacuteul lehetseacuteges p-alheacutej d-alheacutej stb Egy
alheacutejon beluumll ugyanolyan tiacutepusuacute eacutes azonos (vagy hasonloacute) meacuteretű paacutelyaacutek talaacutelhatoacuteak aacutem ezeknek a
Egy adott alheacutejon beluumll az elektronok energiaacuteja azonos tehaacutet a 2px 2py eacutes a 2pz paacutelyaacutekon talaacutelhatoacute
elektronoknak ugyanakkora (ugyanolyam meacutely) az energiaacuteja
Az elektronheacutejat pedig a paacutelya jeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute szaacutem mutatja meg az elektronheacutej bdquomeacutereteacutevelrdquo
van kapcsolatban az 1 heacutej van a legkoumlzelebb az atommaghoz a 2 heacutej enneacutel kijjebb talaacutelhatoacute eacutes iacutegy
tovaacutebb Tehaacutet a heacutej sorszaacutema az atommagtoacutel valoacute taacutevolsaacutegot jelenti
A heacutejakon beluumll alheacutejak talaacutelhatoacuteak Peacuteldaacuteul az 1 heacutej egyetlen alheacutejboacutel (1s) aacutell mely csupaacuten egy
paacutelyaacutet tartalmaz (1s) a 2 heacutej keacutet alheacutejboacutel aacutell a 2s-alheacutej eacutes a 2p-alheacutej alkotja A legalacsonyabb
energiaacutejuacute heacutejat K heacutejnak a toumlbbit pedig rendre L M N O hellip heacutejaknak nevezzuumlk
Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk kuumlloumlnboumlző bdquofajtardquo kuumlloumlnboumlző alakuacute paacutelyaacutekat az egyes tiacutepusuacute atompaacutelyaacutek
darabszaacutemaacutet pedig a paacuteratlan egeacutesz szaacutemok adjaacutek meg (1 3 5 7 9 hellip)
ndash s-paacutelya heacutejankeacutent egy s-paacutelya lehetseacuteges ez az egy paacutelya alkotja az s-alheacutejat
ndash p-paacutelya heacutejankeacutent haacuterom p-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a p-alheacutejat
ndash d-paacutelya heacutejankeacutent oumlt d-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a d-alheacutejat
ndash f-paacutelya heacutejankeacutent heacutet f-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek az f-alheacutejat
Mint laacutethatoacute az s-alheacutej kiveacuteteleacutevel egy alheacutejon beluumll toumlbb paacutelya is talaacutelhatoacute a paacutelyaacuteknak toumlbbfeacutele
iraacutenyultsaacutega van a px py eacutes pz paacutelyaacutek egy dereacutekszoumlgű (Descartes-feacutele) teacuterbeli koordinaacutetarendszer
Tehaacutet mindig legelőszoumlr az 1s alheacutej toumlltődik be majd a 2s ezutaacuten a 2p Tovaacutebbi elektront a 3s
alheacutejra tudunk elhelyezni ezutaacuten a 3p alheacutej koumlvetkezik Eddig a sorrend megegyezik azzal mint amire
a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten szaacutemiacutetanaacutenk Aacutem a taacuteblaacutezat szerint koumlvetkező 3d alheacutej energiaacuteja magasabb
mint a 4s alheacutejeacute ezeacutert az elektron inkaacutebb arra keruumll Neheacutez pontos magyaraacutezatot adni arra hogy ez
mieacutert van ezeacutert egyszerűen csak fogadjuk el
Az alheacutejak fentebb bemutatott betoumlltődeacutesi sorrendje az alaacutebbi aacutebraacuten koumlnnyen nyomon koumlvethető
233 aacutebra Az alheacutejak betoumllteacutesi sorrendje
3px 3py 3pz3s
3p-alheacutej3s-alheacutej
3 (M) heacutej
3d-alheacutej
3dxy 3pyz 3pxz 3px minusy 3pz 2 22
1s
2s
3s
4s
5s
2p
3p
4p
5p
3d
4d
5d
4f
6s 6p
1 (K)
2 (L)
3 (M)
4 (N)
5 (O)
6 (P)
52 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Termeacuteszetesen a paacutelyaacutek betoumlltődeacutese addig tart amiacuteg rendelkezeacutesre aacutell elektron Mindig
figyelembe kell vennuumlnk hogy
ndash az s-alheacutejon 1 paacutelya
ndash a p-alheacutejon 3 paacutelya
ndash a d-alheacutejon 5 paacutelya
ndash az f-alheacutejon 7 paacutelya
talaacutelhatoacute eacutes hogy minden paacutelyaacuten maximaacutelisan keacutet elektron helyezkedhet el
Oumlsszefoglalva
ndash az s-alheacutejakra maximaacutelisan 2 elektront
ndash a p-alheacutejakra maximaacutelisan 6 elektront
ndash a d-alheacutejakra maximaacutelisan 10 elektront
ndash az f-alheacutejakra maximaacutelisan 14 elektront
helyezhetuumlnk
Ezeacutert szokaacutes a betoumlltődeacutesi energiasorrendet az alaacutebbi moacutedon is jeloumllni
1s2 rarr 2s
2 rarr 2p6 rarr 3s
2 rarr 3p6 rarr
rarr 4s2 rarr 3d
10 rarr 4p6 rarr 5s
2 rarr 4d10 rarr
rarr 5p6 rarr 6s
2 rarr 4f14
rarr 5d10 rarr 6p
6 hellip
Peacuteldaacuteul ha a fluoratom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak a fluor (9F)
rendszaacutemaacutenak megfelelő 9 elektront kell megfelelően elhelyezni Ehhez az 1s paacutelyaacutera helyezuumlnk 2
elektront majd a 2s paacutelyaacutera szinteacuten 2 elektront Ez oumlsszesen 4 elektron meacuteg tovaacutebbi 5 elektront kell
elhelyeznuumlnk Sorrendben a 2p paacutelya koumlvetkezik melyre legfeljebb 6 elektront tudunk elhelyezni iacutegy
a mind az 5 elektron a 2p paacutelyaacutera keruumll
Az elektronok szaacutemaacutet az alheacutejakon a jobb felső indexbe tett szaacutemmal jeloumlljuumlk
A fenti fluoratom elektronjainak alheacutejak koumlzoumltti megoszlaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen iacuterhatjuk le
roumlviden
F 1s2 2s2 2p5
Azaz az 1s eacutes 2s alheacutejakra (paacutelyaacutekra) 2ndash2 elektron miacuteg a 2p paacutelyaacutera 5 elektron keruumll (2ndash2 egy-egy
p-paacutelyaacutera miacuteg a harmadikra csak 1)
Cellaacutes jeloumlleacutessel
Elektronkonfiguraacutecioacute az elektronok paacutelyaacutek szerinti elrendeződeacutese egy atomban
Most pedig vizsgaacuteljuk meg a nitrogeacutenatom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutet
A nitrogeacuten rendszaacutema 7 iacutegy 7 elektronja van Az előzőekhez hasonloacutean 2ndash2 elektront elhelyezuumlnk
az 1s eacutes 2s paacutelyaacutekon A maradeacutek 3 elektront a 2p paacutelyaacuten tudjuk elhelyezni
N 1s2 2s2 2p3
Itt viszont keacutet lehetőseacuteguumlnk van
A) a haacuterom p-paacutelyaacutera keruumll egyndashegyndashegy elektron
B) a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll egyre keacutet elektron keruumll miacuteg egy maacutesikra csak egy a harmadik p-paacutelya
pedig betoumlltetlen marad
1s 2s 2p
2 Az atomok szerkezete 53
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A cellaacutes jeloumlleacutessel a keacutet lehetőseacuteg
A)
B)
A fenti keacutet lehetőseacuteg koumlzuumll csak az egyik felel meg a valoacutesaacutegnak meacutegpedig az A) Tehaacutet egy
alheacutejon beluumll az elektronok lehetőseacuteg szerint paacuterosiacutetatlanul helyezkednek el [azaz a B) esetben csak
egy paacuterosiacutetatlan elektron van miacuteg az A) esetben haacuterom] Ezt Hund-szabaacutelynak nevezzuumlk
Hund-szabaacutely egy atom alheacutejaacuten az elektronok uacutegy helyezkednek el hogy koumlzuumlluumlk mineacutel toumlbb
legyen paacuterosiacutetatlan
Az alapaacutellapotuacute elektronszerkezet kialakulaacutesakor az alaacutebbi toumlrveacutenyszerűseacutegeknek kell
teljesuumllniuumlk
ndash Energiaminiumra toumlrekveacutes az elektron mindig a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera
keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera legfeljebb keacutet elektron keruumllhet
ndash Alheacutejak eseteacuten lehetőseacuteg szerint a legtoumlbb elektron legyen paacuterosiacutetatlan
21 peacutelda
Aacutellapiacutetsuk meg a germaacuteniumatom alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Vegyuumlk sorra hogy melyik alheacutejon haacuteny elektron lehet A jobb oldali oszlopban a betoumlltődeacutesi sorrend
szerint az oumlsszes elektron szaacutemaacutet is feltuumlntettuumlk melyet az adott alheacutej teliacutetődeacuteseacutevel lehetseacuteges eleacuterni
Alheacutejon Oumlsszesen
(betoumlltődeacutes szerint)
1s 2 2
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36
Mivel a germaacuteniumnak 32 elektronja van a 3d alheacutej betoumlltődeacuteseacutevel oumlsszesen 30 elektront tudunk
elhelyezni ezeacutert a 4p alheacutejra is keruumll elektron meacuteghozzaacute 2
Tehaacutet az alapaacutellapotuacute germaacuteniumatom elektronszerkezete
Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2
1s 2s 2p
1s 2s 2p
54 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ellenőrzeacuteskeacutepp eacuterdemes oumlsszeszaacutemolnunk a felső indexben szereplő szaacutemokat az oumlsszegnek meg
kell egyeznie a germaacuteniumatom elektronjainak szaacutemaacuteval
2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32
Mivel a p-alheacutejon 6 elektront lehet elhelyezni a haacuterom p-paacutelyaacuten a maradeacutek keacutet elektronnak a
Hund-szabaacutely eacutertelmeacuteben paacuterosiacutetatlanul kell elhelyezkednie Csak a 4s eacutes 4p-alheacutejat aacutebraacutezolva (az
Az atomot a keacutemiai reaktivitaacutes szempontjaacuteboacutel keacutet reacuteszre (bdquoreacutetegrerdquo) oszthatjuk a kuumllső
vegyeacuterteacutekelektronok vesznek reacuteszt a koumlteacutesek kialakiacutetaacutesaacuteban iacutegy a keacutemiai reakcioacutekban a belsőbb
elektronokra (eacutes az atommagra) viszont nincs hataacutesuk a keacutemiai vaacuteltozaacutesoknak
Vegyeacuterteacutekelektronok vegyeacuterteacutekelektronoknak nevezzuumlk az atom keacutemiai reakcioacutekban reacuteszt vevő
kuumllső elektronjait
Atomtoumlrzs az atommag eacutes azon elektronok melyek nem vegyeacuterteacutekelektronok
A fenti peacuteldaacuteban a germaacuteniumnak oumlsszesen neacutegy vegyeacuterteacutekelektronja van keacutet s eacutes keacutet p elektronja
van a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten Az első (K) a maacutesodik (L) eacutes a harmadik (M) heacutejat lezaacutertnak tekintjuumlk ezek
alkotjaacutek az atomtoumlrzset
A nemesgaacutezok elektronszerkezete igen stabilis keacutemiai reaktivitaacutesuk igen csekeacutely Ennek oka
hogy az s- eacutes p-alheacutejak a nemesgaacutezok eseteacuten vaacutelnak teliacutetetteacute (kiveacuteve a heacuteliumot ahol csak az 1s alheacutej
teliacutetődik) iacutegy a lezaacutert heacutejak kiemelkedő stabilitaacutest biztosiacutetanak A vegyeacuterteacutekelektronokat szoktaacutek uacutegy
emliacuteteni hogy a legfelső lezaacutert heacutejon kiacutevuumll elhelyezkedő elektronok a vegyeacuterteacutekheacutejat pedig mint a
legkuumllső lezaacuteratlan heacutejat Ez a megfogalmazaacutes bizonyos esetekben feacutelreeacuterteacutest okozhat
Peacuteldaacuteul a kalcium (rendszaacutema 20) alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2
Mint laacutetjuk a 3 heacutej meacuteg nem teliacutetett mivel a 3d-alheacutej elektronjai a 4s alheacutej teliacutetődeacutese utaacuten
neacutepesuumllnek be aacutem csak a 4s alheacutej 2 elektronjaacutet tekintjuumlk vegyeacuterteacutekelektronnak
Az elektronkonfiguraacutecioacute jeloumlleacuteseacutet gyakran leroumlvidiacutetjuumlk a koumlvetkező moacutedon megkeressuumlk azt a
legnagyobb rendszaacutemuacute nemesgaacutezt (1He 10Ne 18Ar 36Kr 54Xe 86Rn) melynek rendszaacutema kisebb az
adott elem rendszaacutemaacutenaacutel eacutes csak az elem eacutes a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteget
tuumlntetjuumlk fel
Peacuteldaacuteul a germaacutenium (rendszaacutema 32) elektronkonfiguraacutecioacuteja eseteacuten a legnagyobb naacutela kisebb
rendszaacutemuacute nemesgaacutez a 18-as rendszaacutemuacute argon (Ar) melynek elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
Iacutegy a germaacutenium elektronkonfiguraacutecioacuteja eacutes az argon elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg
A germaacutenium roumlvidiacutetett elektronkonfiguraacutecioacuteja iacutegy
Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2
4s 4p
Ge 1s2 2s
2 2p
6 3s
2 3p
6 4s
2 3d
10 4p
2
Ar
2 Az atomok szerkezete 55
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Eacuterdemes az elektronok feltoumlltődeacuteseacutet az alaacutebbi taacuteblaacutezatos formaacuteban is oumlsszefoglalni
Alheacutejon Oumlsszesen Nemesgaacutez
1s 2 2 2He
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10 10Ne
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18 18Ar
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36 36Kr
5s 2 36 + 2 = 38
4d 10 38 + 10 = 48
5p 6 48 + 6 = 54 54Xe
6s 2 54 + 2 = 56
4f 14 56 + 14 = 70
5d 10 70 + 10 = 80
6p 6 80 + 6 = 86 86Rn
7s 2 86 + 2 =88
5f 14 88 + 14 = 102
6d 10 102 + 10 = 112
7p 6 112 + 6 = 118 118UUo
22 peacutelda
Iacuterjuk fel a 48-es rendszaacutemuacute kadmium elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Tehaacutet 48 elektront kell elhelyeznuumlnk Iacutegy a teljes elektronkonfiguraacutecioacute
Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10
Most hataacuterozzuk meg az elektronkonfiguraacutecioacutet a roumlvidiacutetett leiacuteraacutessal A kriptonban 36 elektron
talaacutelhatoacute (a xenonnak toumlbb elektronja van mint a kadmiumnak) iacutegy a maradeacutek 48minus36 = 12 elektront
kell csak feltuumlntetnuumlnk ezek az 5s eacutes a 4d alheacutejakra keruumllnek
Cd [Kr] 5s2 4d10
Gyakorloacutefeladatok
Iacuterjuk fel az alaacutebbi elemek alapaacutellapotuacute konfiguraacutecioacutejaacutet
a) 38Sr
b) 13Al
c) 34Se
d) 53I
e) 25Mn
f) 36Kr
g) 67Ho
h) 83Bi
i) 95Am
j) 80Hg
Megoldaacutesok
a) [Kr] 5s2
b) [Ne] 3s2 3p1
56 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
c) [Ar] 4s2 3d10 4p4
d) [Kr] 4d10 5s2 5p5
e) [Ar] 4s2 3d5
f) [Ar] 3d10 4s2 4p6
g) [Xe] 4f11 6s2
h) [Xe] 4f14
5d10
6s2 6p
3
i) [Rn] 5f7 7s2
j) [Xe] 4f14 5d10 6s2
24 A kvantumszaacutemok
Az atompaacutelyaacutek illetve az elektronok betoumlltődeacuteseacutenek sorrendje szoros oumlsszefuumlggeacutesben aacutell a
Schroumldinger-egyenletekkel melyek a kvantumkeacutemia legfontosabb alapegyenletei koumlzeacute tartoznak
Mivel ezen egyenletek megeacuterteacutese felsőbb matematikai ismereteket koumlvetel itt nem ismerkeduumlnk meg
veluumlk (keacutesőbbi egyetemi tanulmaacutenyainkban viszont majd igen) azonban neacutehaacuteny fontosabb
koumlvetkezmeacutenyuumlket bemutatjuk A Schroumldinger-egyenletek megoldaacutesai kvantaacuteltak ami azt jelenti
hogy nem vehetnek fel baacutermilyen tetszőleges eacuterteacuteket hanem csak joacutel meghataacuterozott eacuterteacutekűek lehetnek
Egy szemleacuteletes peacutelda a molekulaacutek rezgőmozgaacutesa a molekula atomjait keacutepzeljuumlk el toumlmegpontoknak
melyeket a keacutemiai koumlteacutesek rugoacutekeacutent koumltnek oumlssze Egy nagyon egyszerű keacutetatomos molekula a
dihidrogeacuten (H2) A molekulaacutek ndash iacutegy a dihidrogeacuten is ndash folyamatos rezgőmozgaacutessal rendelkeznek aacutem
ennek frekvenciaacuteja nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket Ha energiaacutet koumlzluumlnk a molekulaacuteval noumlvelhetjuumlk a
rezgeacutes frekvenciaacutejaacutet aacutem nem tetszőleges meacuterteacutekben a rezgeacutes frekvenciaacuteja kvantaacutelt
Egy adott atomban az elektronok energiaszintjei is kvantaacuteltak nem vehetnek fel baacutermilyen
eacuterteacuteket az egyes energiaszintek energiaacuteja meghataacuterozott Az elektronok nem tartoacutezkodhatnak
energiaszintek koumlzoumltt csak adott energiaszinteken Ha az elektront az egyik energiaszintről egy
maacutesikra szeretneacutenk juttatni (gerjeszteni) meghataacuterozott energiaacutet kell koumlzoumllnuumlnk vele A Schroumldinger-
egyenlet alapjaacuten kiszaacutemiacutethatjuk az elektronszintek energiaacutejaacutet ez tartalmaz egy parameacutetert melynek
eacuterteacuteke 1 2 3 stb eacuterteacutekeket vehet fel Ezt a parameacutetert főkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Az elektron
maacutegneses tulajdonsaacutegokkal is rendelkezik melyek szinteacuten kvantaacuteltak Ezeket a tulajdonsaacutegokat a
melleacutekkvantumszaacutem eacutes a maacutegneses kvantumszaacutem hataacuterozza meg aacutem ezek eacuterteacuteke sem lehet
tetszőleges Az elektron rendelkezik egy spinnek nevezett mennyiseacuteggel mely fuumlggetlen a toumlbbi
kvantumszaacutemtoacutel A spin az elektron egy maacutegneses jellemzője az ehhez tartozoacute kvantumszaacutemot
spinkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Mint majd laacutetni fogjuk a spinkvantumszaacutem keacutet ellenteacutetes előjelű aacutem
azonos abszoluacutet eacuterteacutekű szaacutem (minusfrac12 vagy +frac12) lehet
Tehaacutet az atom baacutermely elektronja neacutegy kvantumszaacutemmal jellemezhető
A főkvantumszaacutem (n) eacuterteacuteke 1 2 3 stb pozitiacutev egeacutesz szaacutem lehet eacutes megadja hogy az elektron
haacutenyadik heacutejon van Mineacutel nagyobb n eacuterteacuteke az elektron annaacutel nagyobb sugaruacute paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Tehaacutet
n = 1 eseteacuten tudjuk hogy az elektron az első heacutejon talaacutelhatoacute n = 2 eseteacuten pedig hogy a maacutesodik
elektronheacutejon Az elektron energiaacuteja is fuumlgg a főkvantumszaacutemtoacutel a legalacsonyabb energia n = 1-hez
tartozik
A melleacutekkvantumszaacutem (ℓ) eacuterteacuteke 0 1 hellip nminus1 lehetseacuteges tehaacutet az adott heacutejon (adott n eseteacuten)
n-feacutele kuumlloumlnboumlző melleacutekkvantumszaacutem lehetseacuteges A melleacutekkvantumszaacutem megadja hogy az elektron
az elektronheacutejon beluumll melyik alheacutejon (s p d f hellip) talaacutelhatoacute
Az első elektronheacutejon (n = 1) csak ℓ = 0 lehetseacuteges azaz csak s-alheacutejon lehet az elektron
A maacutesodik elektronheacutejon (n = 2) ℓ eacuterteacuteke lehet 0 vagy 1 Ha ℓ = 0 az elektron az s-alheacutejon van
ha pedig ℓ = 1 az elektron a p-alheacutejon talaacutelhatoacute
A harmadik heacutejon (n = 3) ℓ eacuterteacuteke haacuterom kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel 0 1 vagy 2 Az ℓ = 0 eacuterteacutek
mindig s-alheacutejat jeloumll ℓ = 1 eseteacuten az elektron p-alheacutejon talaacutelhatoacute ha pedig ℓ eacuterteacuteke 2 akkor az
elektronroacutel megaacutellapiacutethatoacute hogy a d-alheacutejon van
A maacutegneses kvantumszaacutem (m) eacuterteacuteke egeacutesz szaacutem lehet minusℓ-től +ℓ-ig terjedőleg (a 0-t is
beleeacutertve) iacutegy (2middotℓ + 1) kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel A maacutegneses kvantumszaacutem adott alheacutej eseteacuten a
2 Az atomok szerkezete 57
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
paacutelyaacutek iraacutenyaacutet adja meg tehaacutet egy adott alheacutej eseteacuten m eacuterteacuteke alapjaacuten meg tudjuk aacutellapiacutetani hogy az
elektron melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul ha ℓ = 0 csak egyetlen eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem m = 0 Az s-alheacutejon
beluumll egyetlen s-paacutelya talaacutelhatoacute ehhez tartozik az m = 0 maacutegneses kvantumszaacutem
Ha ℓ = 1 a p-alheacutejon talaacutelhatoacute az elektron Viszont haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyuacute p-paacutelyaacutet ismeruumlnk
px- py- eacutes pz-paacutelyaacutekat A maacutegneses kvantumszaacutem ℓ = 1 eseteacuten m = minus1 m = 0 eacutes m = +1 lehet a haacuterom
A d-alheacutej azaz ℓ = 2 eseteacuten maacuter oumltfeacutele eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem minus2 minus1 0 +1
eacutes +2 Az oumlt kuumlloumlnboumlző maacutegneses kvantumszaacutem az oumlt kuumlloumlnboumlző d-paacutelyaacutet jeloumlli a d-alheacutejon beluumll
Az f-alheacutej eseteacuten (ℓ = 3) heacutet kuumlloumlnboumlző eacuterteacutek koumlzuumll vehet fel egyet a maacutegneses kvantumszaacutem minus3
minus2 minus1 0 +1 +2 +3 iacutegy az f-alheacutejon beluumll heacutet paacutelya kuumlloumlnboumlztethető meg
A spinkvantumszaacutem (ms) eacuterteacuteke +frac12 vagy minusfrac12 lehet Egy adott paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron
keruumllhet ezek mindig ellenteacutetes spinkvantumszaacutemmal rendelkeznek Az elektronok cellaacutes jeloumlleacuteseacuteneacutel a
Tehaacutet ha ismerjuumlk egy elektron mind a neacutegy kvantumszaacutemaacutet akkor tudjuk hogy melyik heacutejon (n)
azon beluumll melyik alheacutejon (ℓ) van eacutes azt is ismerjuumlk hogy az alheacutejon beluumll melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
(m) Az adott paacutelyaacuten talaacutelhatoacute keacutet elektront a spinkvantumszaacutem (ms) kuumlloumlnboumlzteti meg
Egy adott atomban azon elektronok melyek csupaacuten spinkvantumszaacutemukban kuumlloumlnboumlznek egy
elektronpaacutert alkotnak
Tehaacutet egy atomban minden egyes elektron bdquobeazonosiacutethatoacuterdquo a neacutegy kvantumszaacutem segiacutetseacutegeacutevel
Egy nagyon fontos megaacutellapiacutetaacutes hogy egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet Ez a Pauli-
elvvel van oumlsszefuumlggeacutesben
Pauli-elv egy atomban nem lehet keacutet (vagy toumlbb) olyan elektron melynek mind a neacutegy
kvantumszaacutema azonos
A kvantumszaacutemok egy oumlsszetett fizikai elmeacutelet igen bonyolult matematikai oumlsszefuumlggeacutesekkel
megkapott eredmeacutenyei melyek segiacutetseacutegeacutevel megmagyaraacutezhatoacute a heacutejakndashalheacutejakndashpaacutelyaacutek rendszere iacutegy
az atom elektronheacutejaacutenak szerkezete Mint hamarosan laacutetjuk az elemek perioacutedusos rendszereacutenek
feleacutepiacuteteacutese is szoros oumlsszhangban van a kvantumszaacutemok rendszereacutevel
25 Az elemek perioacutedusos rendszere
Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Maacuter reacutegen megfigyelteacutek hogy bizonyos elemek hasonloacute keacutemiai (eacutesvagy fizikai) tulajdonsaacutegokkal
rendelkeznek Mengyelejev a XIX szaacutezad veacutegeacuten az addig felfedezett elemeket egy taacuteblaacutezatba
gyűjtoumltte oumlssze Sőt a felfedezett toumlrveacutenyszerűseacutegeket felhasznaacutelva Mengyelejev szaacutemos addig meacuteg
ismeretlen elem tulajdonsaacutegait joacutesolta meg
A perioacutedusos rendszer az elemeknek a noumlvekvő rendszaacutem szerint feleacutepiacutetett taacuteblaacutezata
Eacuterdekes moacutedon ha az egymaacutest koumlvető rendszaacutemuacute (azaz elektronszaacutemuacute) elemeket sorba
rendezzuumlk ez az elektronok beeacutepuumlleacutesi sorrendje szerint toumlrteacutenik
58 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
251 aacutebra Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszer feleacutepuumlleacutese joacutel megfigyelhető az alaacutebbi animaacutecioacuten
251 animaacutecioacute Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Perioacutedusok
A perioacutedusos rendszerben a viacutezszintes sorokat perioacutedusoknak vagy soroknak nevezzuumlk Gyakran
kuumlloumlnbseacuteg van a sor eacutes a perioacutedus megjeloumlleacutes koumlzoumltt az első bdquosorrdquo-nak aacuteltalaacuteban a 2 perioacutedust szokaacutes
tekinteni peacuteldaacuteul a szeacuten vagy a nitrogeacuten bdquoelső sorbelirdquo elem
Mezők
Az egymaacutes alatti sorok az adott elektronheacutej beeacutepuumlleacuteseacutet mutatjaacutek Az elemeket a fenti taacuteblaacutezatba
rendezve kuumlloumlnboumlző uacutegynevezett mezőket figyelhetuumlnk meg egy mezőn beluumll az azonos betoumlltődő
alheacutejjal rendelkező elemek talaacutelhatoacutek Iacutegy megkuumlloumlnboumlztetuumlnk s- p- d- eacutes f-mezőt
1 1s 1s
2 2s 2p
3 3s 3p
4 4s 3d 4p
5 5s 4d 5p
6 6s 5d 6p
7 7s 6d 7p
4f
5f
2 Az atomok szerkezete 59
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
252 aacutebra A perioacutedusos rendszer mezői
Az s-mező eacuterdekes moacutedon keacutet helyen talaacutelhatoacute az egyik a perioacutedusos rendszer bal oldalaacuten a
maacutesik pedig csupaacuten egyetlen elemet tartalmaz a heacuteliumot A heacutelium egyreacuteszt azeacutert keruumllt a perioacutedusos
rendszer jobb oldalaacutera mivel tulajdonsaacutegaiban sokkal inkaacutebb hasonliacutet az ott talaacutelhatoacute elemekhez A
heacutelium bdquoaacutethelyezeacuteserdquo azonban nem oumlnkeacutenyes a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban toumlltődik be az
adott heacutej az 1 (K) heacutej pedig keacutet elektronnal teliacutethető azaz maacuter a heacuteliumnaacutel lezaacuterul a heacutej
Mint fentebb laacutethatjuk az f-mezőt aacuteltalaacuteban ki szoktaacutek venni az uacutegynevezett bdquohosszuacute perioacutedusos
rendszerbőlrdquo mivel egy hosszuacute keskeny taacuteblaacutezat kezeleacutese viszonylag koumlruumllmeacutenyes
A feltoumlltődeacutesi sorrendből adoacutedik hogy az első perioacutedusban csak s-mező talaacutelhatoacute a maacutesodik
perioacutedustoacutel kezdődik a p-mező feltoumlltődeacutese Mivel a 4s alheacutej hamarabb kezd feltoumlltődni mint a 3d a
3d heacutej a 4 perioacutedusban kezd csak feltoumlltődni Hasonloacute a helyzet az f-mezővel a 4f alheacutej csak a 6s
alheacutej betoumlltődeacutese utaacuten kezd el beneacutepesuumllni iacutegy a 6 perioacutedusban talaacutelhatoacute A tudomaacuteny pillanatnyi
aacutellaacutesa szerint nem sikeruumllt meacuteg előaacutelliacutetani olyan elemet mely a 8 perioacutedusban talaacutelhatoacute sőt a 7
perioacutedus nagyobb rendszaacutemuacute (uacutegynevezett keacutesői) elemei is rendkiacutevuumll instabilak aacuteltalaacuteban csupaacuten
nyomnyi mennyiseacutegben sikeruumll őket előaacutelliacutetani (gyakran ez csak neacutehaacutenyszor tiacutez atomot jelent) A
nagyfokuacute instabilitaacutes oka az atommagok radioaktivitaacutesa aacuteltalaacuteban magreakcioacutek segiacutetseacutegeacutevel lehet
ilyen nagy rendszaacutemuacute atommagokat előaacutelliacutetani melyek azonban toumlbbnyire nagyon gyorsan radioaktiacutev
bomlaacutest szenvednek Ebből koumlvetkezik hogy az ilyen rendkiacutevuumll nagy rendszaacutemuacute elemek fizikai eacutes
keacutemiai tulajdonsaacutegairoacutel nem sokat tudunk Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megjegyezhetjuumlk hogy a
perioacutedusos rendszer alsoacutebb perioacutedusaiban ndash a sok kuumllső elektronnak koumlszoumlnhetően ndash noumlvekszik a
feacutemes jelleg eacutes meacuteg a főcsoportokban is elmosoacutedik az egyes elemek keacutemiai tulajdonsaacutegai koumlzoumltt a
hataacuter
1 s
2
3
4
5
6
7
s -
m
e z
ő
d-mező
p-mező
f-mező
60 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
I
A
II
A
III
B
IV
B
V
B
VI
B
VII
B
VIII
B
VIII
B
VIII
B
I
B
II
B
III
A
IV
A
V
A
VI
A
VII
A
VIII
A
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Ta Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
253 aacutebra A perioacutedusos rendszer
Oszlopok
A hasonloacute elektronszerkezetű elemek fuumlggőleges elrendeződeacutesben helyezkednek le egymaacutes alatti
helyet foglalnak el a perioacutedusos rendszerben ezek egy oszlopot alkotnak
Az s-mező eacutes a p-mező oszlopait oumlsszefoglaloacutean főcsoportoknak miacuteg a d-mező oszlopait
melleacutekcsoportoknak szokaacutes nevezni A keacutesőbbiekben megismerkeduumlnk az egyes oszlopok
elnevezeacuteseivel is
Az oszlopok szaacutemozaacutesaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen szokaacutes veacutegezni
ndash a reacutegiesebb szaacutemozaacutes szerint kuumlloumln taacutergyaljuk a főcsoportokat illetve a melleacutekcsoportokat aacutem
mindkettőt roacutemai szaacutemokkal jeloumlljuumlk Ilyenkor a főcsoportok eseteacuten a megfelelő roacutemai szaacutem
melleacute A betűt iacuterunk miacuteg a melleacutekcsoportokat B betűvel jeloumlljuumlk A fő- eacutes melleacutekcsoportok
(Pd) ezuumlst (Ag) ozmium (Os) iridium (Ir) platina (Pt) eacutes az arany (Au)
Lantanidaacutek eacutes aktinidaacutek
Az f-mező 6 perioacutedusaacuteba tartozoacute feacutemeit lantanidaacuteknak (a 7 perioacutedusaacuteba tartozoacutekat pedig
aktinidaacuteknak szoktuk nevezni)
Ritka foumlldfeacutemek
A lantanidaacutekat a szkandiummal (Sc) eacutes az ittriummal (Y) egyuumltt ritkafeacutemeknek nevezzuumlk
62 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Nemfeacutemek Alkaacutelfeacutemek
Feacutelfeacutemek Alkaacutelifoumlldfeacutemek
Maacutesodfajuacute feacutemek Lantanidaacutek
Aacutetmeneti feacutemek Aktinidaacutek
Nemesfeacutemek
254 aacutebra A perioacutedusos rendszer felosztaacutesa az atomok feacutemes jellege szerint
26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszerben bizonyos tulajdonsaacutegok folytonosan maacutes tulajdonsaacutegok pedig perioacutedusosan
vaacuteltoznak
261 Toumlmegszaacutem neutronszaacutem eacutes relatiacutev atomtoumlmeg vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A proacutecium ( H11 ) kiveacuteteleacutevel minden izotoacutep tartalmaz neutronokat mivel maacuter keacutet proton melleacute is
szuumlkseacuteges neutron hogy az atommag stabil legyen
A kis rendszaacutemuacute elemek legstabilabb izotoacutepjai eseteacuten (perioacutedusos rendszer eleje) a protonok eacutes a
neutronok szaacutema gyakran megegyezik (azaz a neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya egy koumlruumlli ndash
N Z asymp 1) tehaacutet a toumlmegszaacutem gyakran a rendszaacutem keacutetszerese A kalcium 40-es toumlmegszaacutemuacute izotoacutepja (
Ca4020 ) a legnagyobb rendszaacutemuacute izotoacutep melyben a protonok eacutes neutronok szaacutema megegyezik
Nagyobb rendszaacutemuacute elemek izotoacutepjai eseteacuten a neutronok szaacutema meghaladja a protonokeacutet tehaacutet a
toumlmegszaacutem nagyobb mint a rendszaacutem keacutetszerese Ennek oka hogy egyre toumlbb neutronra van szuumlkseacuteg
a pozitiacutev toumllteacutesű protonok elektrosztatikus tasziacutetaacutesaacutenak leaacuternyeacutekolaacutesaacutera A perioacutedusos rendszer utolsoacute
perioacutedusaacuteban a neutronok eacutes protonok szaacutemaacutenak araacutenya (N Z) rendszerint nagyobb mint 15
2 Az atomok szerkezete 63
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az alaacutebbi aacutebraacuten a leacutetező oumlsszes stabil izotoacutep neutronszaacutem protonszaacutem araacutenya (N Z) van
feltuumlntetve a rendszaacutem (Z protonszaacutem) fuumlggveacutenyeacuteben A piros vonal az N Z = 1 esetet jeleniacuteti meg
2611 aacutebra A neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya a toumlmegszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel noumlvekszik ez aloacutel neacutehaacuteny elempaacuter a kiveacutetel
Az alaacutebbi aacutebraacuten az elemek relatiacutev atomtoumlmegeacutet (Ar) aacutebraacutezoltuk a rendszaacutem (Z) fuumlggveacutenyeacuteben
(keacutek koumlroumlk) A fekete egyenes az Ar = Z a zoumlld egyenes az Ar = 2 middot Z a piros egyenes pedig az
Ar = 3 middot Z fuumlggveacutenyeket jelenti
2612 aacutebra A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
64 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute a relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel egyre meredekebben noumlvekszik Miacuteg
a kis rendszaacutemok eseteacuten Ar asymp 2 middot Z (a neutronok szaacutema nagyjaacuteboacutel megegyezik a protonok szaacutemaacuteval ndash a
rendszaacutemmal) addig a nagy rendszaacutemok eseteacuten az Ar Z araacuteny 2-neacutel joacuteval nagyobb
262 Az atomok meacutereteacutenek vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Az atomokat goumlmbszerűnek felteacutetelezzuumlk iacutegy az atomok meacutereteacutet az atomsugaacuterral (idegen szoacuteval
atomraacutediusszal) szoktuk jellemezni (Csak megemliacutetjuumlk hogy az atomsugaacuter fuumlgg az atom aacutellapotaacutetoacutel
azaz attoacutel is hogy milyen koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacuteban vesz reacutesz Ezaacuteltal toumlbbfeacutele moacutedon definiaacutelhatjuk az
atomsugarat aacutem ennek reacuteszleteivel itt nem foglalkozunk) Az atomsugaacuter (eacutes iacutegy az atomteacuterfogat)
vaacuteltozaacutesa szaacutemos maacutes tulajdonsaacuteg vaacuteltozaacutesaacutera hataacutessal van (peacuteldaacuteul sűrűseacuteg halmazaacutellapot)
Az atomsugaacuter periodikusan vaacuteltozik a perioacutedusos rendszeren beluumll
Egy adott perioacuteduson beluumll az atomsugaacuter balroacutel jobbra csoumlkken Ennek a magyaraacutezata a
koumlvetkező egy perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra haladva noumlvekszik az atommag toumllteacutese mivel egyre
toumlbb proton talaacutelhatoacute benne Az atommag toumllteacuteseacutet az elektronok leaacuternyeacutekoljaacutek A lezaacutert belső heacutejak
elektronjainak negatiacutev toumllteacutese egy perioacuteduson beluumll gyakorlatilag azonosnak tekinthető Balroacutel jobbra
haladva egy perioacutedusban az elektronok ugyanarra a kuumllső heacutejra leacutepnek be ezek aacuternyeacutekoloacute hataacutesa
sokkal kisebb mint az alatta levő heacutejak elektronjaieacute iacutegy az atommag (balroacutel jobbra noumlvekedő) toumllteacutese
egyre erősebben vonzza a vegyeacuterteacutekelektronokat ennek koumlvetkezteacuteben az atomsugaacuter csoumlkken
Az atomsugaacuter egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik Magyaraacutezat a paacutelyaacutek meacuterete
2621 aacutebra Az atomsugaacuter vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Itt eacuterdemes megemliacuteteni a sűrűseacuteg vaacuteltozaacutesaacutet is A sűrűseacuteg termeacuteszetesen nemcsak az
atomteacuterfogattoacutel (atomsugaacutertoacutel) fuumlgg hanem a halmazaacutellapottoacutel az atomok elrendeződeacuteseacutetől a
kristaacutelyszerkezettől is iacutegy igen neheacutez aacuteltalaacutenosan tendenciaacutekat talaacutelni Viszont azt mindenkeacuteppen
eacuterdemes megjegyezni hogy a sűrűseacuteg egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik
1
2
3
4
5
6
7
ATOMSUGAacuteR
2 Az atomok szerkezete 65
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
263 Az elemek halmazaacutellapota
A halmazaacutellapot a reacuteszecskeacuteket oumlsszetartoacute koumllcsoumlnhataacutesoktoacutel fuumlgg A kuumlloumlnfeacutele koumllcsoumlnhataacutesok eacutes a
halmazaacutellapot oumlsszefuumlggeacuteseit majd a keacutesőbbiekben reacuteszletesen taacutergyaljuk itt ndash a teljesseacuteg kedveacuteeacutert ndash
azonban megmutatjuk a perioacutedusos rendszer mely reacuteszeacuteben milyen halmazaacutellapot jellemző
Normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson (101325 kPa) eacutes 25 degC hőmeacuterseacutekleten az elemek tuacutelnyomoacute toumlbbseacutege
szilaacuterd azonban talaacutelhatunk koumlzoumlttuumlk szeacutep szaacutemban gaacutezokat is A legritkaacutebb halmazaacutellapot a folyadeacutek
csupaacuten keacutet elem folyeacutekony 25 degC-on a broacutem (Br) eacutes a higany (Hg) Tovaacutebbi keacutet elemnek igen
alacsony az olvadaacutespontja a galliumeacute (Ga 30 degC) eacutes a ceacuteziumeacute (Cs 28 degC) is szobahőmeacuterseacuteklet
koumlzeleacuteben van enyhe melegiacuteteacutes hataacutesaacutera megolvadnak
A vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema az első 12 oszlopban megegyezik az oszlop szaacutemaacuteval A p-
mezőben pedig a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacutet megkapjuk ha az oszlop szaacutemaacuteboacutel levonunk 10-et a
66 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
lezaacutert d-alheacutejat (a tiacutez elektronjaacuteval) maacuter nem szokaacutes a p-mező vegyeacuterteacutekelektronjaihoz szaacutemiacutetani (itt az
n-dik heacutej teliacutetődik viszont az (nminus1)-dik heacutej maacuter lezaacuterult a 12 oszlopban) Egyetlen kiveacutetel a heacutelium
(18 oszlop) melynek csupaacuten 2 vegyeacuterteacutekelektronja van
(A reacutegi szaacutemozaacutesi moacuted szerint a főcsoportokban az oszlop szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Ez a melleacutekcsoportok eseteacuten is igaz viszont a VIIIB keacutet oszlopaacutera
nem igaz ndash kobalt nikkel eacutes az alattuk talaacutelhatoacute elemek)
Vegyeacuterteacutek az atom aacuteltal leacutetesiacutethető keacutemiai koumlteacutesek szaacutema A kuumlloumlnboumlző elemek gyakran toumlbbfeacutele
Ennek magyaraacutezata a koumlvetkező Maacuter koraacutebban megismertuumlk hogy a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema
a perioacutedusos rendszer főcsoportjaiban balroacutel jobbra noumlvekszik A keveacutes vegyeacuterteacutekelektronnal
rendelkező feacutemek viszonylag koumlnnyen le tudjaacutek adni elektronjaikat iacutegy igen stabilis nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionokkaacute alakulnak miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező nemfeacutemek
eseteacuten a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute elektronfelveacutetellel koumlnnyebben kialakul Ellenkező esetben a
nemesgaacutez elektronszerkezet eleacutereacuteseacutehez a kevesebb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező feacutemeknek
viszonylag sok elektront kellene felvenniuumlk miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező
nemfeacutemeknek igen sok elektront kellene leadniuk mely energetikailag igen kedvezőtlen
Iacutegy peacuteldaacuteul a kaacuteliumatomboacutel egy vegyeacuterteacutekelektronjaacutenak eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval egyszeresen pozitiacutev
toumllteacutesű kaacuteliumion miacuteg a heacutet vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező fluoratom egy elektront felveacuteve
fluoridanionnaacute tud alakulni Mind a kaacuteliumionnak mind a fluoridionnak nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacuteja van
A nemfeacutemek aacuteltal maximaacutelisan felvehető elektronok szaacutemaacutet nagyon egyszerűen meg tudjuk
aacutellapiacutetani a nemesgaacutezoknak ndash a heacutelium kiveacuteteleacutevel ndash mindig keacutet s eacutes hat p elektronja van azaz a
vegyeacuterteacutekheacutejukon 8 elektronjuk van Legyen a nemfeacutemnek n vegyeacuterteacutekelektronja ekkor pontosan
8 minus n elektron szuumlkseacuteges ahhoz hogy 8 elektronja legyen a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
Mint az előzőekben maacuter taacutergyaltuk a perioacutedusos rendszer oszlopaacutenak sorszaacutema eacutes az adott elem
vegyeacuterteacutekelektronjainak szaacutema koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes van Az oszlopok aktuaacutelis szaacutemozaacutesa szerint
tehaacutet az m-edik oszlopban talaacutelhatoacute nemfeacutem 18 minus m elektront tud felvenni Peacuteldaacuteul a 15 oszlopban
talaacutelhatoacute foszforatom 18 minus 15 = 3 elektront tud maximaacutelisan felvenni a 16 csoportban talaacutelhatoacute
keacutenatom pedig maximaacutelisan 18 minus 16 = 2 elektron felveacuteteleacutevel keacutepes anionnaacute alakulni
A főcsoportokban a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Peacuteldaacuteul egy alumiacuteniumatomroacutel (mely haacuterom vegyeacuterteacutekelektronnal
d) Az arzeacuten (As) a 15 csoportban talaacutelhatoacute vegyeacuterteacutekelektron-konfiguraacutecioacuteja 4s2 4p3 Az arzeacuten
uacutegy tud nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionnaacute alakulni ha lead 5 elektront vagy pedig ha
felvesz 3 elektront
As rarr As5+ + 5eminus
As + 3eminusrarr As3minus
e) A hidrogeacuten egy kicsit kuumlloumlnoumls eset mivel a hozzaacute legkoumlzelebbi nemesgaacutez a heacutelium melynek 2
(vegyeacuterteacutek)elektronja van Iacutegy a hidrogeacutenatom egy elektron eladaacutesaacuteval hidrogeacutenkationnaacute
(tulajdonkeacuteppen protonnaacute 1H+ equiv p+) miacuteg egy elektron felveacuteteleacutevel anionnaacute keacutepes alakulni A
hidrogeacutenből keacutepződő aniont hidridionnak nevezzuumlk (az 1Hminus eseteacuten egy proton keacutet elektronnal)
H rarr H+ + eminus
H + eminusrarr Hminus
Eacuterdemes megjegyezni hogy az atomboacutel elektronfelveacutetellel keacutepződő ion elnevezeacuteseacutenek veacutegeacuten
mindig -id veacutegződeacutes talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul
O2minus oxid
As3minus arzenid
Hminus hidrid
70 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A melleacutekcsoportok eseteacuten nem jellemző hogy az elemek elektronfelveacutetellel anionnaacute alakuljanak
eacutes a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema is kicsit komplikaacuteltabb A 3 oszloptoacutel a 8 oszlopig
az elemekből baacutermely vegyeacuterteacutekelektront el lehet taacutevoliacutetani iacutegy az eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutemaacutenak
maximuma az oszlop sorszaacutemaacuteval azonos Viszont a 9 oszloptoacutel kezdődően a helyzet hasonloacutevaacute vaacutelik
ahhoz mint amit a nemfeacutemekneacutel tapasztaltunk nagyszaacutemuacute elektron eltaacutevoliacutetaacutesa maacuter nem lehetseacuteges
tehaacutet nem lehetseacuteges peacuteldaacuteul 9-szeresen pozitiacutev ion keacutepzeacutese Aniont keacutepezve azonban az aktuaacutelis heacutej
lezaacuteraacutesaacutehoz a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute eleacutereacuteseacutehez az oumlsszes p-elektront is fel kellene toumlltenuumlnk
melyhez igen sok energia szuumlkseacuteges A 9 eacutes 10 oszlopban iacutegy nehezen lehet megjoacutesolni a
maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronszaacutemot A 11 oszlopban toumlbbnyire 1 vagy 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacutera
van lehetőseacuteg miacuteg a 12 oszlopban 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval keacutepezhető kation
A melleacutekcsoportokroacutel aacuteltalaacutenossaacutegban elmondhatoacute hogy itt a főcsoportokhoz keacutepest sokkal toumlbb
Első ionizaacutecioacutes energia vagy első ionizaacutecioacutes potenciaacutel első ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt
az energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy atomboacutel egyszeresen pozitiacutev iont (kationt) hozzunk
leacutetre
Az ionizaacutecioacutes energia az alaacutebbi folyamat energiaszuumlkseacutegleteacutet jelenti
X rarr X+ + eminus
Mindig a leggyengeacutebben koumltoumltt elektront tudjuk legkoumlnnyebben eltaacutevoliacutetani eacutes eacutertelemszerűen
mineacutel erősebben koumltődik egy elektron az atomhoz annaacutel nehezebb eltaacutevoliacutetani azaz annaacutel toumlbb
energiaacutet kell befektetnuumlnk hogy el tudjuk taacutevoliacutetani
A legstabilabb elektronszerkezettel a nemesgaacutezok rendelkeznek (18 oszlop) mivel itt zaacuterul le a
betoumlltődő elektronheacutej A lezaacutert elektronheacutej mindig kiemelkedően stabil ezeacutert a nemesgaacutezok első
ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb egy perioacuteduson beluumll Mivel az alkaacutelifeacutemek ionizaacutelaacutesaacuteval nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute egyszeresen pozitiacutev ion keletkezik ez igen nagy stabilitaacutessal rendelkezik eacutes
az alkaacutelifeacutematom koumlnnyen leadja az egyetlen s vegyeacuterteacutekelektronjaacutet Tehaacutet egy perioacuteduson beluumll az
alkaacutelifeacutemek első ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legkisebb
Az első ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Egy adott perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra noumlvekszik (az alkaacutelifeacutemektől a nemesgaacutezok iraacutenyaacuteba)
az első ionizaacutecioacutes energia eacuterteacuteke
Mineacutel nagyobb egy atom a taacutevolsaacuteg koumlvetkezteacuteben a negatiacutev toumllteacutesű kuumllső elektronjaira annaacutel
keveacutesbeacute hat a pozitiacutev toumllteacutesű atommag vonzaacutesa iacutegy annaacutel koumlnnyebben taacutevoliacutethatoacute el
Iacutegy egy oszlopon beluumll fentről lefeleacute csoumlkken az első ionizaacutecioacutes energia
2651 aacutebra Az ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
1
2
3
4
5
6
7
1 IONIZAacuteCIOacuteS ENERGIA
72 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt az
energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy egyszeresen pozitiacutev ionboacutel keacutetszeresen pozitiacutev iont
hozzunk leacutetre
A maacutesodik ionizaacutecioacutes energia mindig nagyobb mint az első ionizaacutecioacutes energia mivel egy
kationroacutel kell leszakiacutetanunk egy negatiacutev toumllteacutesű elektront mely meacutelyebb energiaacutejuacute paacutelyaacuten van mint az
első eltaacutevoliacutetott elektron
Egy perioacuteduson beluumll az alkaacutelifeacutemek maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb (igen stabil
nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ion elektronszerkezeteacutet bontjuk meg) miacuteg az alkaacutelifoumlldfeacutemekeacute a
legkisebb (a vegyeacuterteacutekheacutejukon maacuter csak egy elektron talaacutelhatoacute ez viszonylag koumlnnyen eltaacutevoliacutethatoacute)
Azaz egy perioacuteduson beluumll a 2 oszloptoacutel a 18 oszlopig nő az ionizaacutecioacutes potenciaacutel aacutem az 1
oszlopban meacuteg enneacutel is nagyobb
Egy oszlopon beluumll a maacutesodik ionizaacutecioacutes potenciaacutel fentről lefeleacute csoumlkken
k-dik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel az energia mely egy elektronnak egy (kminus1)-szeresen
3111 animaacutecioacute Az ionos koumlteacutes kialakulaacutesa
Az ionos koumlteacutes leacutetrejoumlhet egyszerű eacutes oumlsszetett ionok koumlzoumltt
Az egyszerű ionok atomokboacutel keacutepződnek elektron(ok) leadaacutesaacuteval (kationok) vagy elektron(ok)
felveacuteteleacutevel (anionok)
76 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Egyszerű kationok K+ Mg2+ Al3+ Fe3+ Ce4+ stb
Egyszerű anionok Clminus O2minus N3minus Iminus Hminus stb
Az oumlsszetett ionok toumlbb atomboacutel eacutepuumllnek fel eacutes toumllteacutessel rendelkeznek
Oumlsszetett kationok legfontosabb az ammoacuteniumion NH4+
Oumlsszetett anionok NO3minus CO3
2minus PO4
3minus SO4
2minus stb
A tisztaacuten ionos koumlteacutesű vegyuumlletek rendszerint igen elteacuterő elektronegativitaacutesuacute elemekből joumlnnek
leacutetre Toumlbbnyire alkaacutelifeacutem vagy alkaacutelifoumlldfeacutem kationt tartalmaznak eacutes anionjuk aacuteltalaacuteban vagy
oumlsszetett ion vagy a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban talaacutelhatoacute elemek egyszerű anionja
(elsősorban 16 eacutes 17 oszlop)
II) Feacutemes koumlteacutes
Feacutematomok eseteacuten a vegyeacuterteacutekheacutej elektronjai viszonylag gyengeacuten koumltoumlttek A feacutematomokboacutel
pozitiacutev toumllteacutesű ionok keletkeznek a vegyeacuterteacutekelektronok pedig az atomtoumlrzsek koumlzoumltti teacuterben
delokalizaacuteloacutednak
Feacutemes koumlteacutes az egeacutesz kristaacutelyra kiterjedő koumlzoumls elektronfelhő aacuteltal leacutetrehozott keacutemiai kapcsolatot
feacutemes koumlteacutesnek nevezzuumlk
A feacutemes koumlteacutes (nem meglepő moacutedon) feacutematomok koumlzoumltt joumlhet leacutetre A feacutemek elektronegativitaacutesa
rendszerint nem tuacutel nagy ezeacutert a tisztaacuten feacutemes koumlteacutes akkor joumlhet leacutetre ha kicsi az elemek
elektronegativitaacutesa
3112 animaacutecioacute A feacutemes koumlteacutes kialakulaacutesa
III) Kovalens koumlteacutes
Keacutemiai koumlteacutes uacutegy is leacutetrejoumlhet ha az egymaacutes melletti atomok koumlzoumls (uacutegynevezett koumltő)
elektronpaacuteron (vagy elektronpaacuterokon) keresztuumll kapcsoloacutednak oumlssze
Ezt legegyszerűbben egy peacuteldaacuten keresztuumll eacuterthetjuumlk meg Vegyuumlnk keacutet kloacuteratomot Mindkettőnek
az elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ne] 3s2 3p5 ha feacutemes koumlteacutest szeretneacutenk kialakiacutetani koumlzoumlttuumlk 7ndash7 elektront
kellene leadnia mindkettőnek Ez energetikailag rendkiacutevuumll kedvezőtlen Ezeacutert a lezaacutert elektronheacutejat
elektronfelveacutetel uacutetjaacuten lenne ceacutelszerű eleacuterni Termeacuteszetesen a keacutet kloacuteratom elektronegativitaacutesa
ugyanakkora nem joumlhet leacutetre koumlzoumlttuumlk ionos koumlteacutes
A keacutet kloacuteratom koumlzoumltt koumltő elektronpaacuter leacutetesiacuteteacuteseacutevel alakul ki a keacutemiai koumlteacutes a koumltő elektronpaacuter a
keacutet kloacuteratom egyndashegy elektronjaacuteboacutel joumln leacutetre viszont mindkeacutet atomhoz egyaraacutent tartozik Iacutegy mindkeacutet
kloacuteratom koumlruumll 8ndash8 elektron talaacutelhatoacute tehaacutet mindkeacutet kloacuteratom nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacutevaacute
vaacutelik teljesuumll az oktettszabaacutely A folyamatot energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri
Kovalens koumlteacutes A koumlzoumls elektronpaacuterral leacutetesiacutetett koumlteacutest kovalens koumlteacutesnek nevezzuumlk (Az angol
A heteronukleaacuteris koumlteacutes lehet apolaacuteris vagy polaacuteris
Egy koumlteacutes apolaacuterisnak tekinthető ha a keacutet atom elektronegativitaacutesa azonos
Az azonos atomok koumlzoumltti koumlteacutesek apolaacuterisak (Megjegyzeacutes peacuteldaacuteul a szeacutenndashhidrogeacuten-koumlteacutest is
tekinthetjuumlk koumlzel apolaacuterisnak mivel a szeacuten eacutes a hidrogeacuten elektronegativitaacutesa hasonloacute [EN(C) = 25
EN(H) = 21])
A kovalens koumlteacutes polaacuteris ha keacutet olyan atomot koumlt oumlssze melyek elektronegativitaacutesa koumlzoumltt
kuumlloumlnbseacuteg van A polaacuteris kovalens koumlteacutes viszonylag jelentős ionos jelleggel rendelkezik
Peacuteldaacuteul a hidrogeacutenndashkloacuter-koumlteacutes igen polaacuterisnak tekinthető a keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltt jelentős
kuumlloumlnbseacuteg van EN(Cl) = 30 EN(H) = 21
A polaacuteris kovalens koumlteacutesben a nagyobb elektronegativitaacutesuacute atom reacuteszleges negatiacutev toumllteacutesű
(pontosabban negatiacutevan polarizaacutelt) a kisebb elektronegativitaacutesuacute pedig reacuteszben pozitiacutev toumllteacutesű
(pozitiacutevan polarizaacutelt) Egy keacutetatomos molekulaacuteban a keacutet atomra jutoacute uacutegynevezett parciaacutelis toumllteacutes
(reacuteszleges toumllteacutes) nagysaacutega azonos de előjele ellenteacutetes Ezt a koumlvetkezőkeacutepp szoktuk eacuterzeacutekeltetni a
molekula keacutepleteacuteben
H Cl() ()
A hidrogeacuten-klorid molekulaacuteban a toumllteacutesek nem egyenletesen oszlanak el Az ilyen molekulaacutekat
dipoacutelusmolekulaacuteknak nevezzuumlk
A koumlteacutes polarizaacuteltsaacutega vektormennyiseacuteg nyiacutellal szoktuk jeloumllni A dipoacutelusvektor a pozitiacutev
toumllteacutesből mutat a negatiacutev toumllteacutes feleacute Azt hogy egy molekula dipoacutelusmolekula-e a dipoacutelusvektorok
eredője hataacuterozza meg
Dipoacutelusmolekula olyan molekula melyben vannak polaacuteris koumlteacutesek eacutes a koumlteacutesek
dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus
Apolaacuteris molekula csak apolaacuteris koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula vagy olyan molekula melyben
a polaacuteris koumlteacutesek uacutegy helyezkednek el hogy dipoacutelusvektorainak oumlsszege zeacuterus legyen
78 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A keacutetatomos molekula akkor dipoacutelusos hogyha a koumlteacutes polaacuteris Toumlbbatomos molekulaacutek eseteacuten a
molekula szerkezete is fontos szerepet jaacutetszik annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy a molekula dipoacutelusmolekula-
e Ezzel a molekulaacutek szerkezete kapcsaacuten reacuteszletesen foglalkozunk majd (ennek a fejezetnek a veacutegeacuten)
Az előzőekben megismerkedtuumlnk a haacuterom legfontosabb koumlteacutestiacutepussal Ezen koumlteacutesek igen erősek
ezeacutert szokaacutes elsőrendű koumlteacuteseknek nevezni őket
Az elsőrendű koumlteacutesek
ndash ionos koumlteacutes
ndash feacutemes koumlteacutes
ndash kovalens koumlteacutes
Az elektronegativitaacutes eacutes a koumlteacutesjelleg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes
A haacuterom alaptiacutepus taacutergyalaacutesaacutenaacutel megemliacutetettuumlk hogy az adott koumlteacutestiacutepus rendszerint milyen
elemek koumlzoumltt joumln leacutetre Ezeket oumlsszefoglalva
ndash tisztaacuten ionos koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha az elemek elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg nagy
ndash tisztaacuten feacutemes koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesa hasonloacute (kicsi az elektronegativitaacutesok
kuumlloumlnbseacutege) eacutes mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa kis eacuterteacutekű
ndash tisztaacuten kovalens koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesai nem tuacutelzottan kuumlloumlnboumlzőek eacutes
mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa nagy
A perioacutedusos rendszerből tetszőleges keacutet elemet kivaacutelasztva a koumlzoumlttuumlk leacutetesuumllő koumlteacutest gyakran
nem tudjuk besorolni a fentiek alapjaacuten egyik koumlteacutestiacutepusba sem Fontos hangsuacutelyozni hogy az aacutetmenet
gyakorlatilag folytonos baacutermelyik keacutet elsőrendű koumlteacutes koumlzoumltt Iacutegy gyakran előfordul hogy keacutet
atom koumlzoumltti koumlteacutest nem lehet tisztaacuten ionos feacutemes vagy kovalens koumlteacuteskeacutent leiacuterni A fent taacutergyalt
polaacuteris kovalens koumlteacutes peacuteldaacuteul aacutetmenet a kovalens eacutes az ionos koumlteacutes koumlzoumltt
Legyen A eacutes B keacutet tetszőleges elem A keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg eacutes a keacutet
atom elektronegativitaacutesaacutenak oumlsszege segiacutethet annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy milyen tiacutepusuacute elsőrendű koumlteacutes
joumlhet leacutetre a keacutet elem atomjai koumlzoumltt
A koumlvetkező oumlkoumllszabaacutelyokat alkalmazhatjuk
Ha ∆EN(AB) nagy eacuterteacutek (jellemzően 20 foumlloumltt) a koumlteacutes ionos jellege nagy
Ha ∆EN(AB) kicsi eacuterteacutek (jellemzően 15 alatt) akkor a koumlteacutes lehet kovalens vagy feacutemes
Ha sumEN(AB) nagy (jellemzően 40 felett) akkor a koumlteacutes kovalensnek tekinthető
Ha sumEN(AB) kicsi (jellemzően 30 alatt) akkor a koumlteacutes feacutemes jellegűnek tekinthető
Pauling szerint ∆EN(AB) = 15hellip2 eseteacuten az A eacutes B atomok koumlzoumltti koumlteacutes nagyjaacuteboacutel fele-fele
meacuterteacutekben ionos eacutes kovalens jellegű
A stabilan előaacutelliacutethatoacute elemek koumlzuumll a ceacutezium elektronegativitaacutesa a legkisebb 08 (enneacutel csupaacuten a
csak radioaktiacutev izotoacutepokkal rendelkező francium elektronegativitaacutesa kisebb 07) a fluor
elektronegativitaacutesa pedig a legnagyobb (40) Ezen elemekből megalkothatjuk a toumlkeacuteletes ionos feacutemes
eacutes kovalens koumlteacuteseket
∆EN(AB) Cs F sumEN(AB) Cs F
Cs 00 32 Cs 16 48
F 32 00 F 48 80
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 79
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha aacutebraacutezoljuk a ∆EN(AB) fuumlggveacutenyeacuteben sumEN(AB) eacuterteacutekeit egy haacuteromszoumlg haacuterom csuacutecsaacutet
kapjuk
311 aacutebra A koumlteacutes jellege eacutes az elektronegativitaacutes
Baacutermely maacutes elem elektronegativitaacutesa a ceacutezium eacutes a fluor koumlzeacute esik iacutegy a fenti aacutebraacuten baacutermely keacutet
elem koumlzoumltti koumlteacutest feltuumlntethetjuumlk az elektronegativitaacutesaik ismereteacuteben
3112 aacutebra Peacuteldaacutek aacutetmeneti jellegű koumlteacutesekre
80 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint a fenti aacutebraacuten laacutethatoacute neacutehaacuteny vegyuumlletet igen neheacutez a haacuterom elsőrendű koumlteacutes valamelyikeacutebe
besorolni Ilyen peacuteldaacuteul a vas(II)-szulfid (FeS) sziliacutecium-dioxid (SiO2) vagy az ezuumlst-klorid (AgCl) A
keacutemiai koumlteacutesek ezen vegyuumlletekben nem tekinthetők ionosnak jelentős a kovalens jelleguumlk
A fenti aacutebra alapjaacuten a kovalens koumlteacutes az elemi oxigeacutenben (O2) eacutes a keacutenmolekulaacuteban (S8) apolaacuteris
miacuteg a nitrogeacuten-monoxidban (NO) eacutes a keacutet kuumlloumlnboumlző halogeacutenatomot tartalmazoacute broacutem-fluoridban
(BrF) polaacuteris
A reacutez-cink oumltvoumlzetben (CuZn) eacutes a magneacutezium-szilicidben (Mg2Si egy oumltvoumlzeacutesre hasznaacutelt
vegyuumllet) a koumlteacutes feacutemesnek tekinthető Termeacuteszetesen a feacutem alumiacuteniumban is feacutemes a koumlteacutes
A liacutetium-fluorid (LiF) a kalcium-oxid (CaO) eacutes az alumiacutenium-oxid (Al2O3) ionos koumlteacutesű
vegyuumlletek az utoacutebbiban viszonylag jelentős kovalens jelleg is megaacutellapiacutethatoacute
A fentiek alapjaacuten belaacutethatoacute hogy a keacutemiai koumlteacutes ionos feacutemes illetve kovalens jellege elsősorban
az koumlteacutest leacutetesiacutető elemek elektronegativitaacutesaacutetoacutel fuumlgg Fontos megjegyezni hogy a keacutemiai koumlteacutes
gyakran nem iacuterthatoacute le egyfeacutele koumlteacutestiacutepussal hanem toumlbb tiacutepus tulajdonsaacutegait oumltvoumlzi
Sokatomos molekulaacutek
Az oktett szabaacutelyt termeacuteszetesen a kettőneacutel toumlbb atomos molekulaacutek is koumlvetik aacuteltalaacuteban
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a metaacutenmolekulaacutet A metaacuten keacuteplete CH4 azaz egy molekulaacutejaacuteban neacutegy
hidrogeacutenatom eacutes egy szeacutenatom talaacutelhatoacute A szeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p2 tehaacutet neacutegy
vegyeacuterteacutekelektronja van miacuteg a hidrogeacutenek egyndashegy elektronnal rendelkeznek A szeacutenatom
elektronoktettet (8 elektron a kuumllső heacutejon) szeretne leacutetrehozni a hidrogeacuteneknek pedig a heacuteliumhoz
hasonloacute 2 elektronos elektronszerkezet a kedvező
Ha a szeacuten koumlreacute rendeződik a neacutegy hidrogeacutenatom neacutegy kovalens koumlteacutes alakul ki Minden hidrogeacuten
koumlrnyezeteacuteben iacutegy 2ndash2 elektron talaacutelhatoacute (piros koumlroumlkkel jeloumllve) miacuteg a neacutegy (koumlzoumls) elektronpaacuter a
szeacuten szaacutemaacutera biztosiacutetja a nyolc vegyeacuterteacutekelektront (piros neacutegyzettel jeloumllve)
3113 aacutebra Az oktettszabaacutely
Most pedig vizsgaacuteljuk meg hogyan neacutez ki a metaacutenhoz hasonloacute nitrogeacutenvegyuumlletet
elektronszerkezete
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p3 azaz 5 vegyeacuterteacutekelektronja van A nitrogeacuten 8
elektronos vegyeacuterteacutekheacutej eleacutereacuteseacutere toumlrekszik (oktettszabaacutely) ehhez 3 elektronra van meacuteg szuumlkseacutege A
haacuterom elektront haacuterom hidrogeacuten szolgaacuteltatja iacutegy a keletkező molekula keacuteplete NH3 Iacutegy a nitrogeacuten eacutes
a hidrogeacutenek is eleacuterteacutek a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet Haacuterom koumltő elektronpaacuter joumln leacutetre azaz a
nitrogeacuten oumlsszesen 3 elektronjaacutet adja a koumlteacutesekbe a maradeacutek 2 elektronja pedig csak a nitrogeacutenhez
kapcsoloacutedik Az ilyen elektronpaacutert magaacutenos (vagy nemkoumltő) elektronpaacuternak nevezzuumlk A koraacutebban
taacutergyalt kloacutermolekula eseteacuteben mindkeacutet kloacuteratom 3ndash3 magaacutenos elektronpaacuterral rendelkezik
Magaacutenos elektronpaacuter olyan vegyeacuterteacutek-elektronpaacuter mely a kovalens koumlteacutest alkotoacute keacutet atom
koumlzuumll csak az egyikhez tartozik Egy atomon akaacuter toumlbb magaacutenos elektronpaacuter is lehetseacuteges
A kovalens koumlteacutes jellemzői
Koumlteacutesi energia egy koumlteacutes felszakiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges energia az az energia melyet be kell
fektetni hogy a koumlteacutest leacutetesiacutető atomokat veacutegtelen taacutevolsaacutegba taacutevoliacutetsuk (Eacutertelemszerűen ugyanekkora
energia szabadul fel mikor a keacutet atom veacutegtelen taacutevolsaacutegboacutel kiindulva leacutetrehozza a koumlteacutest) Aacuteltalaacuteban
CH H
H
H
CH H
H
H
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 81
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Jmol (kJmol) meacuterteacutekegyseacutegben adjuk meg eacuterteacutekeacutet aacutem gyakran hasznaacutelt ndash nem SI ndash meacuterteacutekegyseacuteg a
kcalmol 1 kcalmol = 418 kJmol
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
A koumlteacutestaacutevolsaacutegok rendszerint neacutehaacutenyszor 10minus10 meacuteter nagysaacutegrendűek termeacuteszetesen a koumlteacutest
leacutetesiacutető atomok rendszaacutemaacutetoacutel fuumlggően Gyakran hasznaacuteljuk az angstroumlm vagy aringngstroumlm
meacuterteacutekegyseacuteget (roumlvidiacutetve Aring) melynek eacuterteacuteke 10minus10 meacuteter
(Megjegyzeacutes az atomtaacutevolsaacuteg baacutermely keacutet atom taacutevolsaacutegaacutet jelentheti ha a koumlteacutestaacutevolsaacuteg
kifejezeacutest hasznaacuteljuk akkor a keacutet atom koumlzoumltt keacutemiai koumlteacutes talaacutelhatoacute)
A koumlteacuteshossz fuumlgg az atomok meacutereteacutetől eacutes az őket oumlsszetartoacute koumlteacutes erősseacutegeacutetől Peacuteldaacuteul a kovalens
koumlteacutes a fluormolekulaacuteban (FminusF) roumlvidebb mint egy kloacutermolekulaacuteban (ClminusCl) mivel a kloacuteratomok
joacuteval nagyobbak a fluoratomoknaacutel Ennek megfelelően a halogeacutenmolekulaacutek koumlzoumltt a fluormolekula
koumlteacuteshossza a legroumlvidebb enneacutel nagyobb a kloacutermolekulaacuteeacute majd sorrendben a broacutemmolekula (BrminusBr)
eacutes joacutedmolekula (IminusI) koumlvetkezik oumlsszhangban a halogeacutenatomok meacutereteacutevel
Adott keacutet atom (peacuteldaacuteul keacutet szeacutenatom) melyek koumlzoumltt mineacutel roumlvidebb a koumlteacuteshossz annaacutel
erősebbnek tekinthető a koumlteacutes Tehaacutet a koumlteacutes erősseacutegeacutere a koumlteacuteshosszboacutel is nyerhetuumlnk informaacutecioacutet
Fontos azonban hogy mindig azonos fajta koumlteacuteseket hasonliacutetsunk oumlssze peacuteldaacuteul egy CminusC eacutes egy CminusH
koumlteacutes hosszaacutet oumlsszehasonliacutetva azok erősseacutegeacutet nem lehet pontosan megbecsuumllni mivel a koumlteacutest alkotoacute
atomok atomsugaraacutenak is hataacutesa van a koumlteacuteshosszra
Toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek
Bizonyos esetekben az elektronoktett kialakiacutetaacutesaacutehoz nem elegendő egyetlen koumltő elektronpaacuter
Ezt ismeacutet egy peacuteldaacuten keresztuumll ceacutelszerű megvizsgaacutelni
Az elemi nitrogeacuten molekulaacuteris formaacuteban fordul elő a termeacuteszetben A nitrogeacuten
elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p
3 a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema 5 Keacutet nitrogeacutenatomboacutel egy
nitrogeacutenmolekula keletkezik melynek oumlsszesen 2 middot 5 = 10 elektronja van a lezaacutert heacutejakon kiacutevuumll Mint
fentebb laacutettuk a kloacutermolekula eseteacuten 14 elektronboacutel tudtuk kialakiacutetani a keacutet elektronoktettet Viszont a
nitrogeacuten eseteacuten nem aacutell rendelkezeacutesre ennyi elektron
Mi toumlrteacutenik ha a keacutet nitrogeacutenatom nem egyndashegy hanem keacutetndashkeacutet elektronjaacuteval leacutetesiacutet koumlteacutest
Ekkor mindkeacutet nitrogeacutenatom koumlruumll 5 + 2 = 7 vegyeacuterteacutekelektron van (eleve volt 5 a maacutesik nitrogeacutentől
pedig 2-t kapott) iacutegy nem teljesuumll az oktettelv
Most vizsgaacuteljuk meg hogy mi vaacuteltozik ha mindkeacutet nitrogeacuten haacuteromndashhaacuterom elektront szolgaacuteltat a
koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacutehoz Ekkorra mindkeacutet nitrogeacuten koumlruumll eacuteppen 8 elektron talaacutelhatoacute azaz megfelel az
oktettszabaacutelynak Ha mindkeacutet nitrogeacuten 3ndash3 elektronnal leacutetesiacutet koumlteacutest oumlsszesen 6 elektron talaacutelhatoacute a
keacutet nitrogeacutenatom koumlzoumltt A 6 elektronboacutel 3 elektronpaacutert tudunk leacutetrehozni a nitrogeacutenek keacutetndashkeacutet
elektronja pedig egyndashegy magaacutenos elektronpaacutert alkot Mivel az elektronpaacutert egy vonallal szokaacutes
jeloumllni a nitrogeacutenmolekula szerkezeteacutet az alaacutebbi formaacuteban szoktuk feliacuterni
| N equiv N |
Az iacutegy keletkezett koumlteacutest haacutermas koumlteacutesnek nevezzuumlk Termeacuteszetesen ennek mintaacutejaacutera leacutetezik
kettős koumlteacutes is
Kettős koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely keacutet koumltő elektronpaacuteron keresztuumll koumlti oumlssze a keacutet
atomot
Haacutermas koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely haacuterom koumltő elektronpaacuteron keresztuumll leacutetesiacutet kapcsolatot
a keacutet atom koumlzoumltt
Az elmeacuteleti szaacutemiacutetaacutesok eacutes kiacuteseacuterletek alapjaacuten a kettős koumlteacutes joacuteval erősebb mint az egyes koumlteacutes aacutem
a kettős koumlteacutes koumlteacutesi energiaacuteja aacuteltalaacuteban nem keacutetszerese az egyes koumlteacuteseacutenek hanem kisebb annaacutel
82 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hasonloacutean a haacutermas koumlteacutes is rendszerint erősebb mint egy egyes vagy kettős koumlteacutes aacutem nem
haacuteromszor olyan erős mint egy egyes koumlteacutes
Mivel a koumlteacutesek erősseacutegeacutet a koumlteacutesenergiaacuteval szoktuk jellemezni neacutezzuumlk meg az CminusC C=C eacutes
A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja 610 kJmol minus 347 kJmol = 263 kJmol miacuteg
a szeacutenndashszeacuten haacutermas koumlteacutes bdquoharmadik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja a haacutermas eacutes kettős koumlteacutes koumlteacutesi
energiaacutejaacutenak a kuumlloumlnbseacutegekeacutent adoacutedik 836 kJmol minus 610 kJmol = 226 kJmol
Ennek magyaraacutezataacutehoz meg kell ismerkednuumlnk a molekulapaacutelya fogalmaacuteval
Molekulapaacutelya az a teacuterreacutesz melyen beluumll 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute az elektron Az
atompaacutelyaacutehoz hasonloacutean egy molekulapaacutelyaacutera is maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet A koumltő
elektronpaacuterokat tehaacutet molekulapaacutelyaacutekkal jeleniacutethetjuumlk meg
Teacuterjuumlnk vissza tehaacutet az egyes kettős eacutes haacutermas koumlteacutesek elteacuterő erősseacutege kuumlloumlnbseacutegeacutenek
eacutertelmezeacuteseacutehez Az egyes koumlteacutesnek megfelelő elektronok a keacutet atom koumlzoumltt tengelyiraacutenyban
helyezkednek el egy hengerszimmetrikus molekulapaacutelyaacuten A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodikrdquo elektronpaacuterja maacuter
nem keruumllhet ugyanebbe a teacuterreacuteszbe hanem bdquopiskoacuteta alakbanrdquo az etileacutenmolekula siacutekja alatt eacutes foumlloumltt
helyezkedik el Mivel ezek az elektronok maacuter nem a keacutet atomot oumlsszekoumltő tengely menteacuten
helyezkednek el a koumlteacutes gyengeacutebb mint az egyszeres koumlteacutes
A σ-koumlteacutes eacutes π-koumlteacutes
Az egyszeres koumlteacutest ζ (szigma) koumlteacutesnek hiacutevjuk a maacutesodik eacutes harmadik koumlteacuteseket pedig π (piacute)
koumlteacuteseknek nevezzuumlk
Most vizsgaacuteljuk meg hogyan alakulhat ki ζ-koumlteacutes illetve π-koumlteacutes
A hidrogeacutenatomnak egyetlen elektronja van mely a goumlmbszimmetrikus 1s paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Keacutet
hidrogeacutenatomot koumlzeliacutetve egymaacuteshoz a keacutet atompaacutelyaacuteboacutel keacutet molekulapaacutelya joumln leacutetre Az egyikre keacutet
elektron keruumll miacuteg a maacutesik betoumlltetlen marad (az elsőt szokaacutes koumltőpaacutelyaacutenak a maacutesikat pedig
laziacutetoacutepaacutelyaacutenak nevezni) A keacutetszeresen betoumlltoumltt paacutelya hengerszimmetrikus az ilyet nevezzuumlk ζ-
koumlteacutesnek
3114 aacutebra A σ-koumlteacutes
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a hidrogeacuten-klorid-molekula kialakulaacutesaacutet A kloacuteratomnak 7
vegyeacuterteacutekelektronja van 3s2 3p5 azaz a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll kettő keacutetszeresen betoumlltoumltt miacuteg a
harmadik csak egyszeresen Iacutegy a hidrogeacuten 1s-paacutelyaacutejaacuteboacutel eacutes a kloacuter egyik 3p-paacutelyaacutejaacuteboacutel joumlnnek leacutetre a
molekulapaacutelyaacutek
Ismeacutet egy hengerszimmetrikus ζ-paacutelya joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 83
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A fent megismert ζ-koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak peacuteldaacuteul a teliacutetett szeacutenhidrogeacutenekben is melyeknek igen
fontos jellemzőjuumlk hogy a hengerszimmetrikus koumlteacutesek tengelye menteacuten a csoportok el tudnak
fordulni egymaacuteshoz keacutepest viszonylag kis energiabefekteteacutes hataacutesaacutera iacutegy az ilyen vegyuumlletekben a ζ-
koumlteacutestengely koumlruumlli forgaacutes (rotaacutecioacute) igen koumlnnyen veacutegbemegy
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek kialakulaacutesaacutet Vegyuumlk peacuteldaacuteul a
nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesaacutet
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja 2s2 2p3 A haacuterom p-elektron a haacuterom kuumlloumlnboumlző teacuteraacutellaacutesuacute p-
3115 aacutebra A nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesa
A keacutet px-paacutelyaacuteboacutel leacutetrejoumln a ζ-koumlteacutes
3116 aacutebra A nitrogeacutenmolekula σ-koumlteacutese
Viszont ha a px-paacutelyaacutekboacutel kialakul a ζ-koumlteacutes a py- eacutes pz-paacutelyaacutekboacutel maacuter nem joumlhet leacutetre ζ-koumlteacutes
Ezzel ellenben π-koumlteacutesek joumlnnek leacutetre
3117 aacutebra A nitrogeacutenmolekula π-koumlteacutesei
A keacutet π-koumlteacutesnek van egy-egy csomoacutesiacutekja (ahol az elektronok megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege 0) ez a
keacutet csomoacutesiacutek egymaacutesra merőleges A nitrogeacuten eseteacuteben a keacutet π-koumlteacutes teljesen egyforma meacuteretű eacutes
A koumltő elektronpaacuter keacutetfeacutelekeacuteppen joumlhet leacutetre vagy mindkeacutet atom ad egy-egy (vagy toumlbb)
elektront vagy csak az egyik atomtoacutel szaacutermazik a koumltő elektronpaacuter
Kolligaacutecioacutes koumlteacutes mindkeacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom hozzaacutejaacuterul elektronnal (elektronokkal) a koumlteacuteshez
A fentebb taacutergyalt koumlteacutesek mindegyike kolligaacutecioacutes koumlteacutes akaacuter a kloacutermolekula akaacuter a
nitrogeacutenmolekula leacutetrejoumltteacuteről van szoacute
Datiacutev vagy koordinaacutecioacutes koumlteacutes a keacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom koumlzuumll az egyik atom egy teljes
elektronpaacuterral jaacuterul hozzaacute a koumlteacuteshez (ez az elektronpaacuter donor atom) miacuteg a maacutesik atom nem
szolgaacuteltat elektront a koumlteacuteshez (ezt elektronpaacuter-akceptor atomnak nevezzuumlk)
(datiacutev a dativus latin szoacuteboacutel melynek jelenteacutese adaacutes)
A datiacutev koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez szuumlkseacuteges hogy az egyik atomnak legye magaacutenos (nemkoumltő)
elektronpaacuterja a maacutesik atom pedig legyen bdquoelektronhiaacutenyosrdquo Az elektronhiaacuteny akkor leacutep fel ha nem
teljesuumll az oktettszabaacutely
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a boacuter-trifluorid (BF3) molekulaacutet A haacuterom fluoratom egy-egy elektront ad a
kovalens koumlteacutesbe a boacuter ([He] 2s2 2p1) pedig 3 elektronnal tud koumlteacutest leacutetesiacuteteni iacutegy a boacuter koumlruumll haacuterom
koumltő elektronpaacuter helyezkedik el azaz a boacuter vegyeacuterteacutekheacutejaacuten csak hat elektron talaacutelhatoacute A boacuter-trifluorid
molekula siacutek szerkezetű mind a neacutegy atom egy siacutekban van eacutes a boacuteratomnak van egy uumlres p-paacutelyaacuteja
Az uumlres paacutelyaacutek elektronpaacuter-akceptorkeacutent viselkedhetnek
Most keressuumlnk egy elektronpaacuterdonor molekulaacutet Peacuteldaacuteul a fentebb megismert ammoacuteniamolekula
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral iacutegy elektronpaacuterdonornak tekinthető
Mi toumlrteacutenik ha koumlzeledik egymaacuteshoz egy ammoacutenia- eacutes egy boacuter-trifluorid molekula Az
ammoacuteniamolekula nitrogeacutenatomja a magaacutenos paacuterjaacutet bdquokoumllcsoumlnadjardquo a boacuternak iacutegy annak leacutetrejoumln az
elektronoktettje A nitrogeacuten a magaacutenos paacuterjaacutet nem adja aacutet teljesen a boacuternak hanem az a keacutet atom
koumlzoumltt elhelyezkedő elektronpaacuterraacute alakul Iacutegy a nitrogeacutennek is megmarad az elektronoktettje Az iacutegy
leacutetrejoumlvő datiacutev koumlteacutes olyan mint egy hagyomaacutenyos kovalens koumlteacutes a kuumlloumlnbseacuteg csak abban van hogy
a datiacutev koumlteacutes eseteacuten mindkeacutet elektront ugyanaz az atom adja A kialakuloacute datiacutev koumlteacutes kialakulaacutesaacutenak az
a hajtoacuteereje hogy a boacuteratom elektronhiaacutenya csoumlkkenjen (iacutegy teljesuumll az oktettszabaacutely)
A datiacutev koumlteacutest aacuteltalaacuteban vonal helyett nyiacutellal szoktuk jeloumllni A nyiacutel az elektronpaacuterdonor atomtoacutel
mutat az elektronpaacuter-akceptor atom feleacute
N B
H
HH F
FF
Termeacuteszetesen nemcsak az ammoacutenia nitrogeacutenje lehet elektronpaacuter-donor akaacuter ionok is adhatnak
elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesbe Peacuteldaacuteul a fluoridionnak (Fminus) is van 4 magaacutenos elektronpaacuterja
Mi toumlrteacutenik ha egy boacuter-trifluorid molekulaacutet eacutes egy fluoridiont koumlzeliacutetuumlnk egymaacuteshoz A
fluoridion egyik magaacutenos paacuterja datiacutev koumlteacutest leacutetesiacutet a boacutertrifluorid boacuteratomjaacuteval Egy anion keletkezik
melyben a neacutegy fluor egy boacuteratomot vesz koumlruumll
B
F
FF
F
A keletkező igen nagy stabilitaacutesuacute ion neve tetrafluoroboraacutet-anion Benne a neacutegy fluor-boacuter koumlteacutes
teljesen egyenranguacute nem lehet megkuumlloumlnboumlztetni a kolligaacutecioacutes elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesből
szaacutermazoacutetoacutel Mind a neacutegy fluoratom mind a boacuteratom eseteacuten teljesuumll az oktettszabaacutely (mindegyik atom
koumlruumll neacutegy elektronpaacuter talaacutelhatoacute) A negatiacutev toumllteacutes megoszlik a neacutegy fluoratomon egyiknek sincs
kituumlntetett szerepe
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 85
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Datiacutev koumlteacutes nemcsak keacutet kuumlloumlnaacutelloacute molekula vagy ion koumlzoumltt joumlhet leacutetre erre peacutelda a szeacuten-
monoxid molekula
A szeacuten-monoxidot feliacuterhatjuk uacutegy hogy kettős koumlteacutest iacuterunk a szeacuten- eacutes oxigeacutenatom koumlzeacute
C O
Mint laacutethatoacute az oxigeacutenatom koumlruumll neacutegy elektronpaacuter van iacutegy ez megfelel az oktettszabaacutelynak
Viszont a szeacutenatom koumlruumll csak hat elektron (3 elektronpaacuter) talaacutelhatoacute iacutegy elektronhiaacutenyos Az oxigeacuten a
keacutet elektronpaacuterja koumlzuumll az egyikkel datiacutev koumlteacutest tud leacutetesiacuteteni iacutegy haacutermas koumlteacutes alakul ki
C O
Az oxigeacuten az elektronpaacuterdonor a szeacuten pedig az elektronpaacuter-akceptor Ha oumlsszeszaacutemoljuk az
elektronokat a szeacuten eacutes az oxigeacuten koumlruumll azt tapasztaljuk hogy mindkeacutet elem eseteacuten teljesuumll az oktettelv
Eacuterdemes megjegyezni hogy a szeacuten-monoxidban a koumlteacutes gyakorlatilag apolaacuteris ami meglepő ha
belegondolunk hogy a szeacuten eacutes az oxigeacuten elektronegativitaacutesa koumlzoumltt mintegy egyseacutegnyi a kuumlloumlnbseacuteg
[EN(O) = 34 EN(C) = 25] Tehaacutet a koumlteacutesnek polaacuterisnak kellene lennie az elektronegativitaacutesok
alapjaacuten az oxigeacutenen kellene lennie az elektrontoumlbbletnek Mivel az oxigeacuten elektront (negatiacutev toumllteacutes) ad
be a datiacutev koumlteacutesbe a koumlteacutes polaritaacutesa csoumlkken Ebből nyilvaacutenvaloacutevaacute vaacutelik az is hogy az
elektronegativitaacutesok alapjaacuten nem mindig lehet egyeacutertelműen eldoumlnteni hogy egy koumlteacutes mennyire
polaacuteris
Delokalizaacutelt elektronok
Delokalizaacutecioacute ha egy elektron nem rendelhető egyeacutertelműen egy adott atomhoz vagy keacutemiai
koumlteacuteshez az elektront delokalizaacuteltnak tekintjuumlk
A latin eredetű szoacute jelenteacutese nem helyhez koumltoumltt A lokalizaacutelt (bdquohelyhez koumltoumlttrdquo) koumlteacutes joacutel
meghataacuterozottan keacutet atom koumlzoumltt helyezkedik el
Akkor joumln leacutetre delokalizaacutecioacute ha egy molekulapaacutelya kettőneacutel toumlbb atomra terjed ki
Koumlvetkezzen egy peacutelda delokalizaacutelt elektronszerkezetre
A benzol keacuteplete C6H6 siacutek szerkezetű molekulaacutejaacuteban a szeacutenatomok egy szabaacutelyos hatszoumlg
csuacutecsaiban talaacutelhatoacutek Az oktettelv teljesuumlleacutese ceacuteljaacuteboacutel a szeacutenatomok koumlzeacute vaacuteltakozva egyes eacutes kettős
koumlteacuteseket kellene berajzolnunk (oumlsszesen hat ζ- eacutes haacuterom π-koumlteacutes)
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
Mint koraacutebban emliacutetettuumlk a kettős koumlteacutes hossza roumlvidebb az egyes koumlteacuteseacuteneacutel iacutegy a benzol eseteacuten
is vaacuteltakozoacute hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket kellene kapnunk A kiacuteseacuterleti vizsgaacutelatok azonban ndash ezek alapjaacuten
kisseacute meglepő moacutedon ndash a szeacutenatomok koumlzoumltt azonos hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket aacutellapiacutetottak meg Ez azt
sejteti hogy a szeacutenatomok koumlzoumltti koumlteacutes nem tekinthető sem egyes sem kettős koumlteacutesnek hanem
valahol a kettő koumlzoumltt van A benzol 3 middot 2 = 6 π-elektronja delokalizaacuteloacutedik a hat szeacutenatom foumlloumltt Ennek
megjeleniacuteteacuteseacutere gyakran alkalmazzuk az alaacutebbi keacutepletjeloumlleacutest (a karika a hat delokalizaacuteloacutedott elektront
jeleniacuteti meg)
86 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
31 peacutelda
Iacuterjuk fel a koumlvetkező molekulaacutek elektronszerkezeteacutet
a) hidrogeacuten-klorid (HCl)
b) viacutez (H2O)
c) etileacuten (H2CCH2)
d) acetileacuten (HCCH)
e) szeacuten-dioxid (CO2)
f) keacuten-dioxid (SO2)
g) keacuten-trioxid (SO3)
h) ammoacuteniumion (NH4+)
Megoldaacutes
a) A hidrogeacuten-kloridban egy koumltő elektronpaacuteron keresztuumll joumln leacutetre a kovalens koumlteacutes a
kloacuteratomnak pedig van haacuterom magaacutenos elektronpaacuterja
H Cl
Mivel a hidrogeacuten eacutes a kloacuter elektronegativitaacutesa jelentősen elteacuterő [EN(H) = 21 EN(C) = 31] a
koumlteacutes polaacuteris kovalens koumlteacutesnek tekinthető
b) A viacutezmolekulaacuteban az oxigeacuten hat vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel kettőt bead a keacutet egyes koumlteacutesbe iacutegy a
dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha a megfelelő toumllteacutesek uacutegy rendeződnek hogy koumlzoumlttuumlk a
legnagyobb stabilizaacutecioacute joumlhessen leacutetre Ezt orientaacutecioacutes hataacutesnak (effektusnak) nevezzuumlk
3121 aacutebra A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesaacutet megfigyelhetjuumlk a koumlvetkező animaacutecioacuten
3121 animaacutecioacute A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Hidrogeacutenkoumlteacutes (vagy hidrogeacutenhiacutedkoumlteacutes) olyan molekulaacutek koumlzoumltt joumln leacutetre melyekben a
hidrogeacutenatom egy kiemelkedően nagy elektronegativitaacutesuacute atomjaacutehoz kapcsoloacutedik
A hidrogeacutenkoumlteacutes az aacutetlagos dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel erősebb a legerősebb maacutesodrendű koumlteacutes A
hidrogeacutenkoumlteacutes leacutetrejoumltteacutenek felteacutetele hogy a keacutet atom elektronegativitaacutesa koumlzoumltt nagy kuumlloumlnbseacuteg
legyen Aacuteltalaacuteban akkor szaacutemiacutethatunk hidrogeacutenkoumlteacutes kialakulaacutesaacutera ha a hidrogeacutenatom oxigeacutenhez
nitrogeacutenhez vagy fluorhoz kapcsoloacutedik A hidrogeacutenkoumlteacutes rendkiacutevuumll fontos oumlsszetartoacute erő megtalaacutelhatoacute
szaacutemos termeacuteszetes vegyuumlletben
A viacutez az egyik legfontosabb vegyuumllet melynek molekulaacutei koumlzoumltt hidrogeacutenkoumlteacutes talaacutelhatoacute
O
H
H
H O
H
H
O H
()
()
()
()
()
()
()
()
()
3122 aacutebra A hidrogeacutenkoumlteacutes
Dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumllcsoumlnhataacutes egy dipoacutelusmolekula eacutes egy apolaacuteris molekula koumlzoumltt
leacutetrejoumlvő oumlsszetartoacute erő
A dipoacutelusmolekula kismeacuterteacutekű toumllteacutesmegoszlaacutest okoz a koumlzeleacuteben talaacutelhatoacute apolaacuteris molekulaacuteban
ezt indukaacutelt polarizaacutecioacutenak nevezzuumlk A dipoacutelusmolekula eacutes az indukaacutelt polaritaacutessal rendelkező
molekula koumlzoumltt iacutegy elektrosztatikus vonzaacutes joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 89
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
3123 aacutebra A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes gyengeacutebb a dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel mivel az apolaacuteris molekula
csak igen kismeacuterteacutekben tud polarizaacuteloacutedni
3122 animaacutecioacute A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes az apolaacuteris molekulaacutekat oumlsszetartoacute gyenge koumllcsoumlnhataacutes
A diszperzioacutes koumlteacutest szoktaacutek London-koumllcsoumlnhataacutesnak is nevezni
A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes alapja hogy egy molekula (vagy atom) elektronjai folyamatos
veacuteletlenszerű (rezgő) mozgaacutest veacutegeznek iacutegy meacuteg az apolaacuteris molekulaacutekban is leacutetrejoumln kismeacuterteacutekű
polarizaacutecioacute Az iacutegy leacutetrejoumltt pillanatszerű polarizaacuteltsaacuteg a szomszeacutedos apolaacuteris molekulaacutet polarizaacutelja
(hasonloacutean a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez) Tehaacutet oumlnmagaacuteban az apolaacuteris molekulaacutek
eseteacuten is leacutetrejoumlhet pillanatszerű aszimmetrikus toumllteacuteseloszlaacutes indukaacutelt polarizaacutecioacute (megjegyzeacutes az
apolaacuteris jelleg viszont időben kiaacutetlagoloacutedik eacutes iacutegy oumlsszesseacutegeacuteben nem tapasztalunk dipoacutelusjelleget) A
keletkezett gyengeacuten polarizaacutelt molekulaacutek koumlzoumltt elektrosztatikus vonzoacuteerő joumln leacutetre melynek
eredmeacutenye a gyenge diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
3124 aacutebra A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
A maacutesodrendű koumlteacutesek noumlvekvő erősseacuteg szerinti sorrendje
1 Mit mond ki az oktettelv (vagy maacuteskeacutepp oktettszabaacutely)
2 Mi az elsőrendű eacutes a maacutesodrendű keacutemiai koumlteacutes
3 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a homonukleaacuteris eacutes a heteronukleaacuteris keacutemiai koumlteacutes koumlzoumltt
4 Definiaacutelja az ionos koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
5 Definiaacutelja a feacutemes koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
6 Definiaacutelja a kovalens koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
+minus
90 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
7 Mit jelent ha egy kovalens koumlteacutes polaacuteris vagy apolaacuteris
8 Mieacutert nem teljesuumll az oktettszabaacutely a hidrogeacuten eseteacuten
9 A boacuter-trifluoridot (BF3) elektronhiaacutenyos vegyuumlletkeacutent szoktaacutek emlegetni Mieacutert
10 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a kolligaacutecioacutes eacutes a datiacutev kovalens koumlteacutes koumlzoumltt
11 Hogyan jellemezhető a kovalens koumlteacutes erősseacutege
12 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat koumlteacuteshossz koumlteacutesi energia
13 Keacutet elem elektronegativitaacutesa alapjaacuten hogyan becsuumllhető meg hogy ezen elemek atomja koumlzoumltt
milyen tiacutepusuacute (elsőrendű) keacutemiai koumlteacutes joumlhet leacutetre
14 Mi a magaacutenos elektronpaacuter Nevezzen meg neacutehaacuteny molekulaacutet melyben valamely atom
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral
15 Hogyan definiaacutelnaacute a kettős koumlteacutest eacutes a haacutermas koumlteacutest Mi a ζ- eacutes a π-koumlteacutes Soroljon fel neacutehaacuteny
molekulaacutet melyben kettős illetve haacutermas koumlteacutes talaacutelhatoacute
16 Sorolja fel a maacutesodrendű koumlteacutes fajtaacuteit hasonliacutetsa oumlssze őket a fizikai jelenseacuteg illetve a
koumlteacuteserősseacuteg szempontjaacuteboacutel
17 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a dipoacutelus-dipoacutelus a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus eacutes diszperzioacutes koumlteacutesek koumlzoumltt
18 Milyen koumlteacutes joumlhet leacutetre a koumlvetkező vegyuumlletek molekulaacutei koumlzoumltt
a viacutez (H2O)
b kloroform (maacutes neacuteven trikloacutermetaacuten CHCl3)
c metaacuten (CH4)
d joacuted (I2)
e hidrogeacuten-fluorid (HF)
f keacuten-dioxid (SO2)
g argon (Ar)
h hidrogeacuten-jodid (HI)
32 A molekulaacutek alakja
321 A molekulageometria
A molekulaacutek elektronszerkezete eacutes alakja koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes aacutell fenn Tehaacutet mielőtt egy
molekula szerkezeteacutet felrajzolnaacutenk fontos aacutetgondolni hogy a molekulaacuteban milyen koumlteacutesek
talaacutelhatoacuteak Az elektronok negatiacutev toumllteacutesuumlk folytaacuten tasziacutetjaacutek egymaacutest iacutegy a molekula elektronpaacuterjai
egymaacutestoacutel a lehető legtaacutevolabb szeretneacutenek elhelyezkedni
A molekulaacutek szerkezeteacutet a vegyeacuterteacutek-elektronpaacuterok hataacuterozzaacutek meg a koumltő eacutes magaacutenos
elektronpaacuterok uacutegy helyezkednek el hogy taacutevolsaacuteguk maximaacutelis legyen
Fontos megaacutellapiacutetaacutesok
ndash a kettős koumlteacutesek teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacutesekeacute a haacutermas koumlteacutesekeacute pedig nagyobb
mint a kettős koumlteacutesekeacute
ndash a magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban nagyobb mint a koumltő elektronpaacuterokeacute
Ha egy molekula szerkezeteacutet (geometriaacutejaacutet) szeretneacutenk meghataacuterozni az első leacutepeacutes megaacutellapiacutetani
hogy haacuteny koumltő eacutes magaacutenos elektronpaacuterral rendelkeznek az egyes atomok eacutes hogy a koumltő
elektronpaacuterok haacutenyszoros koumlteacutessel kapcsoljaacutek oumlssze az egyes atomokat
A koumlzponti atomot A-val a hozzaacute kapcsoloacutedoacute atomot X-szel a koumlzponti atom magaacutenos
elektronpaacuterjaacutet pedig E-vel szokaacutes jeloumllni
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 91
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A koumlzponti atomhoz kapcsoloacutedoacute atomot vagy atomcsoportot ligandumnak nevezzuumlk
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
Koumlteacutesszoumlg a ligandumok atommagjaacutet eacutes a koumlzponti atom atommagjaacutet oumlsszekoumltő szakaszok aacuteltal
bezaacutert szoumlg (A koumlteacutesszoumlg 180deg-naacutel nem lehet nagyobb eacuterteacutekű) XAXrsquo koumlteacutesszoumlg az aacutebra alapjaacuten
A
X
X
XAX szoumlg
Baacutermely egyszerű biner (keacutet elemből aacutelloacute) molekulaacutet feliacuterhatunk AXnEm alakban (Az X jeloumllhet
aacuteltalaacutenos ligandumot is tehaacutet nem biztos hogy azonos ligandumokroacutel van szoacute A tovaacutebbiakban azon
molekulaacutekkal foglalkozunk melyek koumlzponti atomja koumlruumll azonos ligandumok talaacutelhatoacutek)
A molekula alakjaacuten vagy geometriaacutejaacuten a ligandumok atommagjai aacuteltal meghataacuterozott
geometriai alakzatot eacutertjuumlk
Lineaacuteris molekula egy haacuterom- vagy toumlbbatomos molekula lineaacuteris ha minden atommagja
ugyanarra az egyenesre esik (A keacutetatomos molekulaacutek eseteacuten az atommagok mindig egy egyenesre
esnek itt nincs eacutertelme linearitaacutesroacutel beszeacutelni)
Erre egy peacutelda az acetileacuten- (etin-) molekula
C CH H
Siacutek vagy planaacuteris molekula minden atomja egy siacutekba esik
Peacuteldaacuteul a koraacutebban emliacutetett boacuter-trifluorid siacutekmolekula mivel az oumlsszes atomja egy siacutekban
talaacutelhatoacute az FBF koumlteacutesszoumlgek 120deg-osak eacutes a haacuterom FminusBminusF koumlteacutesszoumlg oumlsszege kiadja a teljesszoumlget
(360deg)
B
F
FF
322 A molekulaacutek polaritaacutesa
Maacuter a keacutemiai koumlteacutesekkel foglalkozoacute fejezet elejeacuten emliacutetettuumlk az apolaacuteris eacutes a dipoacutelusmolekula
fogalmaacutenaacutel hogy a molekula polaritaacutesa szempontjaacuteboacutel nemcsak a koumlteacutesek polaritaacutesa szaacutemiacutet hanem
azok teacuterbeli elrendeződeacutese is
Azon molekula melyben csak apolaacuteris koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak az mindig apolaacuteris A polaacuteris
koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula lehet apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula ha a koumlteacutesek dipoacutelusvektorainak
eredője nullvektor a molekula apolaacuteris ha a dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus vektor a
molekulaacutenak van eredő dipoacutelusa tehaacutet dipoacutelusmolekulaacuteroacutel van szoacute
Ezt szemleacuteltessuumlk is egy-keacutet peacuteldaacuteval
Szeacutenhidrogeacutenek olyan vegyuumlletek melyek csak szeacuten- eacutes hidrogeacutenatomot tartalmaznak Neacutehaacuteny
Az oumlt elektronpaacuterboacutel haacuterom egy siacutekban rendeződik el haacuteromszoumlg alakban a maacutesik keacutet elektronpaacuter
pedig a siacutek alatt illetve foumlloumltt helyezkedik el Az oumlt AminusX koumlteacutesből haacuterom elteacuter a maacutesik kettőtől elteacuterő
koumlrnyezetben talaacutelhatoacute iacutegy ezen koumlteacutesek hossza aacuteltalaacuteban elteacuter a maacutesik keacutet koumlteacutes hosszaacutetoacutel
A haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ligandumok poziacutecioacutejaacutet ekvatoriaacutelisnak miacuteg az erre
merőlegesekeacutet pedig axiaacutelisnak (vagy apikaacutelisnak) nevezzuumlk
Keacutet egymaacutes melletti ekvatoriaacutelis helyzetben leacutevő ligandum koumlzoumltti koumlteacutesszoumlg 120deg miacuteg egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis ligandum koumlzoumltt 90deg-os a koumlteacutesszoumlg
Az iacutegy keletkező szerkezet olyan mintha keacutet haacuteromszoumlg alapuacute piramist egy lapjukon
oumlsszeilleszteneacutenk ezeacutert az ilyen molekulageometria elnevezeacutese haacuteromszoumlg alapuacute bipiramis vagy
trigonaacutelis bipiramis
Az ilyen koumlteacuteselrendeződeacutes eseteacuten a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor a molekula apolaacuteris
Peacutelda PF5 AsCl5
Megjegyzeacutes oumlt ligandum nemcsak haacuteromszoumlg alapuacute piramis alakban rendeződhet el hanem
lehetseacuteges egy maacutesfajta elrendeződeacutes is melynek neve neacutegyzet alapuacute piramis vagy tetragonaacutelis
piramis Ekkor a ligandumok egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela csuacutecsaiban foglalnak helyet
94 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Rendszerint a trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutes energetikailag kedvezőbb mint a tetragonaacutelis
piramisos
n = 6 m = 0 AX6E0
A hat elektronpaacuter teacuterben uacutegy helyezkedik el egymaacutestoacutel legtaacutevolabb ha a koumlzponti atomot egy
oktaeacuteder koumlzepeacutebe a ligandumokat pedig az oktaeacuteder hat csuacutecsaacuteba helyezzuumlk Az oumlsszes AminusX koumlteacutes
hossza azonos Keacutet egymaacutes melletti X eacutes Xrsquo ligandum eseteacuten az XAXrsquo szoumlg 90deg-os
Az ilyen elrendeződeacutest oktaeacutederes geometriaacutenak nevezzuumlk
Ha egy molekula alakja oktaeacuteder akkor nem lehet dipoacutelusmolekula
Peacutelda SF6 PF6minus
n = 7 m = 0 AX7E0
Az alaacutebbiakban csak a legjellegzetesebb geometria kialakulaacutesaacutet ndash elsősorban eacuterdekesseacutegkeacutent ndash
taacutergyaljuk A heacutet elektronpaacuterboacutel oumlt egy siacutekban egy szabaacutelyos oumltszoumlg csuacutecsainak iraacutenyaacuteban helyezkedik
el A koumlzponti atom az oumltszoumlg koumlzeacuteppontjaacuteban talaacutelhatoacute a hozzaacute kapcsoloacutedoacute oumlt ligandum pedig az
oumltszoumlg csuacutecsaiban A fennmaradoacute keacutet ligandum az oumltszoumlg siacutekja feleacute eacutes alaacute keruumll uacutegy hogy ezen keacutet
ligandum eacutes a koumlzponti atom egy egyenesbe esik A molekulaacuteban keacutetfeacutele koumlteacuteshosszt figyelhetuumlnk
meg aacuteltalaacuteban az oumltszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute koumlteacutesek eacutes a maacutesik keacutet koumlteacutes aacuteltalaacuteban nem egyforma
hosszuacutesaacuteguacute
A keletkező molekula geometriaacutejaacutet oumltszoumlg alapuacute bipiramisnak vagy pentagonaacutelis bipiramisnak
nevezzuumlk
A szimmetrikus elrendeződeacutes koumlvetkezteacuteben a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor iacutegy a molekula
apolaacuteris
Peacutelda IF7
n = 8 m = 0 AX8E0
Csak az eacuterdekesseacuteg eacutes teljesseacuteg kedveacuteeacutert emliacutetjuumlk meg ezt az elrendeződeacutest rendkiacutevuumll ritka A
nyolc koumltő elektronpaacuter egy neacutegyzetes antiprizma csuacutecsain helyezkedik el A neacutegyzetes antiprizma
uacutegy aacutelliacutethatoacute elő ha egy neacutegyzet alapuacute egyenes hasaacuteb alapjaacutet eacutes fedőlapjaacutet egymaacuteshoz keacutepest 45deg-ban
elforgatjuk
A molekula apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Peacutelda XeF82minus
Miutaacuten megbirkoacuteztunk az egyszerűbb magaacutenos elektronpaacutert nem tartalmazoacute molekulaacutek
szerkezeteacutevel most vizsgaacuteljunk bonyolultabb eseteket ahol a koumltő elektronpaacuterok mellett magaacutenos
elektronpaacuterok is talaacutelhatoacutek a koumlzponti atom vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
n = 2 m = 1 AX2E1
A molekula koumlzponti atomja koumlruumll haacuterom elektronpaacuter talaacutelhatoacute melyek koumlzuumll kettő koumltő
elektronpaacuter A haacuterom elektronpaacuter eseteacuten az ideaacutelis elrendeződeacutes haacuteromszoumlg alakuacute a haacuteromszoumlg keacutet
csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum
A magaacutenos elektronpaacutert tartalmazoacute haacuteromatomos AX2E molekula geometriaacutejaacutet hajlottnak vagy
V-alakuacutenak nevezzuumlk
Amennyiben az AminusX koumlteacutes polaacuteris a V-alakuacute molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda SO2 NO2minus
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 95
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
n = 2 m = 2 AX2E2
Neacutegy elektronpaacuter (keacutet koumltő keacutet magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll ezek
tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder keacutet csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum a maacutesik keacutet csuacutecs
iraacutenyaacuteba a magaacutenos paacuterok mutatnak
A keacutet magaacutenos elektronpaacuterral rendelkező haacuteromatomos molekulaacutek geometriaacuteja az előző ponthoz
hasonloacutean hajlott vagy V-alakuacute
Az ilyen geometriaacutejuacute molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda H2O H2S
n = 2 m = 3 AX2E3
Oumlsszesen oumlt elektronpaacuter (keacutet koumltő haacuterom magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll
iacutegy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesre szaacutemiacutetunk A magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban
nagyobb mint a ligandumokeacute iacutegy ezek foglaljaacutek el a haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ekvatoriaacutelis
poziacutecioacutekat a keacutet ligandum pedig a siacutek alaacute eacutes foumlleacute keruumll Az XAXrsquo szoumlg iacutegy 180deg-os tehaacutet a molekula
geometriaacuteja lineaacuteris
A molekula apolaacuteris (laacutesd az AX2 esetet)
Peacutelda XeF2 I3minus
Megjegyzeacutes eacuterdemes aacutetgondolni mieacutert is keruumll a nagyobb teacuterigeacutenyű csoport az ekvatoriaacutelis
poziacutecioacuteba Egy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesű modell eseteacuten legyen az axiaacutelis ligandum Xax az
ekvatoriaacutelis ligandum pedig Xekv Mivel az XekvminusAminusXrsquoekv koumlteacutesszoumlg 120deg az XaxminusAminusXekv koumlteacutesszoumlg
pedig csak 90deg keacutet ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacuteg kisebb mint egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltt Ezeacutert a nagyobb teacuterigeacutenyű
csoport ndash hogy a toumlbbi ligandumtoacutel a legtaacutevolabb helyezkedjen el az ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll
n = 3 m = 1 AX3E1
Ebben az esetben neacutegy elektronpaacuter (haacuterom koumltő egy magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti
atomja koumlruumll iacutegy ezek tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder haacuterom csuacutecsaacuten talaacutelhatoacute ligandum iacutegy
ezek egy siacutekba esnek A magaacutenos elektronpaacuter nagyobb teacuterigeacutenye folytaacuten az XAXrsquo aacuteltalaacuteban kisebb a
tetraeacutederben leacutevőneacutel (azaz 1095deg-naacutel)
A molekula geometriaacuteja haacuteromszoumlg alapuacute piramisos vagy trigonaacutelis piramisos
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda NH3 PF3
n = 3 m = 2 AX3E2
Az elektronpaacuterok szaacutema haacuterom koumltő eacutes keacutet magaacutenos oumlsszesen oumlt elektronpaacuter mely trigonaacutelis
bipiramis alakzatot vesz fel A magaacutenos elektronpaacuteroknak nagyobb a teacuterigeacutenyuumlk ezeacutert ezek az
ekvatoriaacutelis poziacutecioacutekba keruumllnek A haacuterom ligandum koumlzuumll kettő axiaacutelis helyzetben van a harmadik
pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula szerkezete T-alakuacute
Amennyiben az AminusX koumlteacutesek polaacuterisak a molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda ClF3
n = 4 m = 1 AX4E1
96 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az oumlt elektronpaacuterboacutel neacutegy koumltő eacutes egy magaacutenos ismeacutet trigonaacutelis bipiramis alakzatot vesz fel A
magaacutenos elektronpaacuter ebben az esetben is ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll A neacutegy ligandum koumlzuumll kettő
axiaacutelis helyzetben van a maacutesik kettő pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula geometriaacutejaacutet meacuterleghinta alakuacutenak nevezzuumlk (ritkaacutebban torzult tetraeacutedernek is
nevezik)
Mivel a dipoacutelusvektorok eredője nem nullvektor a molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda SF4
n = 4 m = 2 AX4E2
A koumlzponti atomhoz oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik neacutegy koumltő eacutes keacutet magaacutenos ezek
oktaeacutederesen rendeződnek el A magaacutenos elektronpaacuterok keacutet egymaacutessal ellenteacutetes poziacutecioacutet foglalnak
el hogy tasziacutetaacutesukat csoumlkkentseacutek A toumlbbi neacutegy ligandum neacutegyzet alakban rendeződik el
Az ilyen molekula geometriaacuteja neacutegyzetes vagy tetragonaacutelis planaacuteris
A molekula apolaacuteris (meacuteg polaacuteris AminusX koumlteacutesek eseteacuten is)
Peacutelda XeF4
n = 5 m = 1 AX5E1
Oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik koumlzponti atomhoz ezek ismeacutet oktaeacutederesen rendeződnek el
Az oktaeacuteder egyik csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula neacutegyzetes piramisos vagy tetragonaacutelis piramisos szerkezetű
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda BrF5
n = 6 m = 1 AX6E1
A koumlzponti atomon heacutet elektronpaacuter talaacutelhatoacute ezek pentagonaacutelis bipiramis alakba rendeződnek
ennek az oumltszoumlg siacutekja alatti (vagy feletti) csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula oumltszoumlg alapuacute piramisos vagy pentagonaacutelis piramisos szerkezetű
A molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda XeF6
Az alaacutebbi taacuteblaacutezatban a kuumlloumlnfeacutele alapmolekulaacutek szerkezeteacutet foglaltuk oumlssze
n m Keacuteplet
Elektronpaacuterok
elrendeződeacutese a
koumlzponti atom
koumlruumll
Molekula
alakja Koumlteacutesszoumlgek
Polaritaacutes
(ha AminusX
koumlteacutes
polaacuteris)
Peacutelda
1 AX A X polaacuteris HCl
2 0 AX2 lineaacuteris lineaacuteris A XX
XAX 180deg apolaacuteris CO2
1 AX2E trigonaacutelis planaacuteris hajlott vagy
V-alakuacute X
A
X
polaacuteris SO2
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 97
Az etileacuten keacuteplete C2H4 A keacutet szeacutenatom koumlzoumltt kettős koumlteacutes van a szeacutenatomok koumlruumll haacuterom
ligandum helyezkedik el (egy szeacuten eacutes keacutet hidrogeacuten) ezek haacuteromszoumlg alakban rendeződnek Mivel a
kettős koumlteacutes teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacuteseacute a HCH-koumlteacutesszoumlg kisebb mint a HCC-
koumlteacutesszoumlg
C C
H
H H
H
Az etileacutenmolekula apolaacuteris mivel minden koumlteacutese apolaacuteris Megjegyezzuumlk ha az oumlsszes hidrogeacutent
lecsereacuteljuumlk neacutegy olyan azonos atomra hogy a koumlteacutes polaacuterissaacute vaacuteljon (peacuteldaacuteul fluor) az iacutegy keletkező
molekula is apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Acetileacuten (etin)
Keacuteplete C2H2 a szeacutenatomok koumlzoumltt haacutermas koumlteacutes helyezkedik el A szeacutenatom koumlruumll keacutet ligandum
van (egy szeacuten eacutes egy hidrogeacuten) lineaacuteris geometria
C CH H
Az acetileacuten ndash a toumlbbi szeacutenhidrogeacutenhez hasonloacutean ndash apolaacuteris molekulaacutejuacute
Dikloacuter-metaacuten
1
1
90deg arsquo
8 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A teacuteglatest teacuterfogata
V = a middot b middot c = (00637 m) middot (014570 m) middot (03201 m) = 000029708769 m3
Mivel igen kicsi szaacutemeacuterteacutekről van szoacute ceacutelszerű aacutetiacuternunk normaacutelalakra V = 29708769 middot 10minus4 m3
Mint fentebb ismertettuumlk a veacutegeredmeacutenyt szabaacutelyosan a legpontatlanabbul azaz legkevesebb
eacuterteacutekes jeggyel megadott adat eacuterteacutekes jegyire lehet megadni azaz jelen esetben 3 eacuterteacutekes jegyneacutel
toumlbbet nem eacuterdemes megadunk A veacutegeredmeacuteny helyes pontossaacutegban megadva
V = 297 ∙ 10minus4 m3
112 Alapvető matematikai oumlsszefuumlggeacutesek
Egyenes araacutenyossaacuteg keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn ha az egyik mennyiseacuteget
valahaacutenyszorosaacutera vaacuteltoztatjuk akkor a maacutesik mennyiseacuteg is ugyanannyiszorosaacutera vaacuteltozik
Ha az egyenes araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki iacutegy iacuterhatjuk le y = a middot x ahol y eacutes x a keacutet
keacuterdeacuteses mennyiseacuteg a pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt akkor
beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg araacutenya aacutellandoacute jelen esetben ez megegyezik
a-val Grafikonban aacutebraacutezolva egy origoacuten aacutetmenő egyenest kapunk
1121 aacutebra Az egyenes araacutenyossaacuteg
Az egyenes araacutenyossaacuteg fuumlggveacutenye a lineaacuteris fuumlggveacutenyek egy speciaacutelis esete a tengelymetszet
zeacuterus azaz az egyenesnek az origoacuten kell aacutetmennie
Az egyenes araacutenyossaacutegra szaacutemtalan peacuteldaacutet tudunk a mindennapi eacuteletből eacutes a
termeacuteszettudomaacutenyokboacutel egyaraacutent A fizikai eacutes keacutemiai tartalmuacute peacuteldaacutekkal a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg reacuteszletesen azonban koumlvetkezzen egy igen egyszerű peacutelda Ennek ceacutelja elsősorban
az hogy megismerhessuumlk a kuumlloumlnboumlző megoldaacutesi moacutedszereket hogy ki-ki maga eldoumlnthesse hogy
melyiket alkalmazza koumlnnyebben
12 peacutelda
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forintba keruumll akkor mennyibe keruumll 3 kilogramm reacutezgaacutelic
Megoldaacutes
A) Feliacuteraacutes egyenes araacutenyossaacuteggal szoumlvegesen
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 9
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic x forint
Ezt toumlbbfeacutelekeacuteppen lehet megoldani
Feliacuterhatjuk hogy a mennyiseacutegek araacutenya aacutellandoacute
kg3
forintw
kg2
forint1800
Ebből koumlnnyedeacuten megkapjuk hogy w = 2700 forint
Egy maacutesik megoldaacutes ha az uacutegynevezett keresztbeszorzaacutest alkalmazzuk melyet sok helyen taniacutetanak
koumlzeacutepiskolaacutekban elsősorban keacutemiaoacuteraacuten
Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint
akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic w forint
Azaz 2 kg middot w forint = 3 kg middot 1800 forint melyből egyszerűen adoacutedik hogy w = 2700 forint
hasonloacutean az előző megoldaacutes eredmeacutenyeacutehez
B) Kiszaacutemiacutethatjuk az araacutenyossaacutegi teacutenyezőt az y = a middot x egyenlet alapjaacuten ez tulajdonkeacuteppen az 1
kilogramm reacutezgaacutelic aacutera
kg
forint900
kg2
forint1800
toumlmeg
aacutera
Iacutegy az egyseacutegaacuterboacutel koumlnnyedeacuten megkaphatjuk a 3 kilogramm reacutezgaacuteliceacutert fizetendő aacuterat w = a middot x =
(900 forint kg) middot (3 kg) = 2700 forint
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg ha az egyik mennyiseacuteget valahaacutenyszorosaacutera noumlveljuumlk a maacutesik mennyiseacuteg
ugyanannyiad reacuteszeacutere csoumlkken
Ha a fordiacutetott araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki a koumlvetkezőkeacutepp iacuterhatjuk fel y = b x ahol
y eacutes x a keacutet keacuterdeacuteses mennyiseacuteg b pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg
koumlzoumltt akkor beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg szorzata aacutellandoacute jelen esetben
ez megegyezik b-vel Grafikonban aacutebraacutezolva egy uacutegynevezett hiperbolaacutet kapunk (amennyiben a
negatiacutev mennyiseacutegekről is van eacutertelme beszeacutelni a hiperbolaacutenak van egy negatiacutev tartomaacutenyban
talaacutelhatoacute szaacutera is)
10 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1122 aacutebra A fordiacutetott araacutenyossaacuteg
Termeacuteszetesen fordiacutetott araacutenyossaacutegra is szaacutemtalan peacuteldaacutet lehet talaacutelni melyekkel a keacutesőbbiekben
ismerkeduumlnk meg Ismeacutet egy igen egyszerű peacutelda
13 peacutelda
Keacutetfeacutele tisztasaacuteguacute reacutezgaacutelicot forgalmaz a vegyszerkereskedő A rosszabb minőseacutegű toumlbb
szennyeződeacutest tartalmazoacute aacutera kilogrammonkeacutent 1800 forint aacutem van egy tisztaacutebb is melynek aacutera 2400
forint kilogrammonkeacutent Haacuteny kilogrammnyit tudunk venni a jobb minőseacutegű reacutezgaacutelic 12
kilogrammjaacutenak aacuteraacuteboacutel ha azt rosszabb minőseacutegű reacutezgaacutelicra koumlltjuumlk
Megoldaacutes
A) Araacutenypaacuterral
Ha 2400 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel 12 kg-ot tudunk venni
akkor az 1800 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel z kg-ot tudunk venni
Fordiacutetott araacutenyossaacuteg eseteacuten a mennyiseacutegek szorzata aacutellandoacute
(2400 Ftkg) middot (12 kg) = (1800 Ftkg) middot (z kg)
Ebből z = 16 kilogramm
B) Fuumlggveacutennyel
Mivel a fordiacutetott araacutenyossaacuteg feliacuterhatoacute uacutegy hogy y = b x ebből koumlvetkezik hogy b = y middot x tehaacutet
b = (2400 Ftkg) middot (12 kg) = 28 800 Ft azaz ennyi a rendelkezeacutesre aacutelloacute peacutenzoumlsszeg Ebből
kiszaacutemiacutethatoacute hogy az olcsoacutebb reacutezgaacutelicboacutel mennyit tudunk venni
y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 11
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodfokuacute egyenlet megoldaacutesa
A maacutesodfokuacute egyenlet megoldoacutekeacutepleteacutenek alkalmazaacutesaacutehoz az egyenletet az alaacutebbi formaacutera kell hozni
a middot x2 + b middot x + c = 0
Ekkor az a b eacutes c parameacuteterek fuumlggveacutenyeacuteben a maacutesodfokuacute egyenlet keacutet megoldaacutesa
a2
ca4bbx
2
1
eacutes
a2
ca4bbx
2
2
A neacutegyzetgyoumlk alatti kifejezeacutest diszkriminaacutensnak nevezzuumlk D = b2 ndash 4 middot a middot c
A diszkriminaacutens előjeleacuteből koumlvetkeztethetuumlnk arra hogy haacuteny valoacutes megoldaacutesa van a maacutesodfokuacute
egyenletnek Ha a diszkriminaacutens pozitiacutev keacutet valoacutes gyoumlkoumlt kapunk ha a diszkriminaacutens negatiacutev nincsen
valoacutes megoldaacutesa az egyenletnek Abban az esetben ha a diszkriminaacutens eacuterteacuteke nulla x1 eacutes x2 gyoumlkoumlk
megegyeznek azaz a maacutesodfokuacute egyenletnek egyetlen megoldaacutesa van
14 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
(x ndash 2) middot (x + 5) = 8
Megoldaacutes
Elveacutegezve a szorzaacutest
x2 ndash 2 middot x + 5 middot x ndash 10 = 8
Nullaacutera rendezve
x2 + 3 middot x ndash 18 = 0
Tehaacutet a = 1 b = 3 eacutes c = ndash18 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe (itt a fenti keacutet keacuteplet egy koumlzoumls
keacutepletteacute van oumlsszeolvasztva)
2
93
2
813
12
)18(1433
a2
ca4bbx
22
21
azaz 2
93x1
eacutes 6
2
93x 2
15 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
16 middot x2 ndash 104 middot x + 169 = 0
Megoldaacutes
A nullaacutera rendezett formaacuteboacutel a = 16 b = minus104 eacutes c = 169 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe
4
13
32
0104
162
169164104104
a2
ca4bbx
22
21
Mivel az egyenlet diszkriminaacutensa (a neacutegyzetgyoumlk alatt aacutelloacute kifejezeacutes D = b2 minus 4 middot a middot c) zeacuterus az
egyenlet keacutet gyoumlke ugyanaz tehaacutet egy megoldaacutesa van az egyenletnek 4
13x
12 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Oumlsszegek eacutes szorzatok feliacuteraacutesa
Egy oumlsszeg kifejteacutese
n
1i
n21i aaaa
Egy szorzat kifejteacutese m21
m
1i
i bbbb
Legfontosabb hatvaacutenyozaacutesi eacutes gyoumlkvonaacutesi azonossaacutegok
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a ndash b) middot (a + b) = a2 ndash b2
an middot bn = (amiddotb)n
an bn = (a b)n (b ne 0)
an middot am = an + m
an am = an ndash m (a ne 0)
mnnmmn aaa
n
1
n aa (a ge 0 ha n paacuteros)
mely alapjaacuten a fenti hatvaacutenyozaacutesi azonossaacutegok alkalmazhatoacuteak a gyoumlkvonaacutesra is
A logaritmusfuumlggveacutenyt a koumlvetkezőkeacuteppen definiaacutelhatjuk f(x) = loga x ahol bdquoardquo egy pozitiacutev
szaacutem A fuumlggveacuteny csak pozitiacutev x eacuterteacutekekre van definiaacutelva Amennyiben a gt 0 a fuumlggveacuteny monoton
noumlvekvő ha 0 lt a lt 1 a fuumlggveacuteny csoumlkkenő A logaritmusfuumlggveacuteny az x tengelyt mindig az (1 0)
pontban metszi
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 15
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1134 aacutebra Logaritmusfuumlggveacutenyek
114 Log-log diagramok eacutes taacutersaik
A meacuternoumlki-keacutemiai gyakorlatban sok oumlsszefuumlggeacutest hatvaacutenyfuumlggveacutenykeacutent jeleniacutethetuumlnk meg A
logaritmus egyik igen fontos alkalmazaacutesa hogy meg tudjuk vele aacutellapiacutetani egy hatvaacutenyfuumlggveacuteny
ismeretlen kitevőjeacutet
16 peacutelda
Adott keacutet meacuterhető mennyiseacuteg x eacutes y eacutes tudjuk hogy a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes az alaacutebbi
alakuacute y = xn A meacutereacuteseink soraacuten a koumlvetkező eacuterteacutekpaacuterokat kapjuk
x y
17 377
30 1559
37 2633
42 3615
49 5315
57 7757
69 12506
Aacutellapiacutetsuk meg az n hatvaacutenykitevőt
Megoldaacutes
Az eacuterteacutekpaacuterokat dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
16 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1141 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute koumlzti kapcsolat
A fenti aacutebraacuteboacutel igen neheacutez megaacutellapiacutetani a hatvaacutenykitevőt Mivel a keacutet vaacuteltozoacute (x eacutes y) koumlzoumltti
kapcsolat hatvaacutenyfuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le y = xn pozitiacutev x eacutes y eseteacuten loga y = loga xn = n middot loga x Ezeacutert
vegyuumlk az x eacutes y eacuterteacutekek 10-es alapuacute logaritmusaacutet
lg x lg y
02304 05761
04771 11928
05682 14205
06232 15581
06902 17255
07559 18897
08388 20971
A fenti eacuterteacutekpaacuterokat szinteacuten aacutebraacutezolhatjuk dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben
1142 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute logaritmusa koumlzti kapcsolat
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 17
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az eacuterteacutekek logaritmusa koumlzoumltti kapcsolat maacuter egyenes araacutenyossaacuteggal iacuterhatoacute le
koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk az egyenes meredekseacutegeacutet (iraacutenytangenseacutet) is n = 25 (Ezt akaacuter a
grafikonroacutel leolvasva akaacuter a megfelelő logaritmusok haacutenyadosakeacutent megkaphatjuk)
Tehaacutet a keresett fuumlggveacutenykapcsolat y = x25
A meacuternoumlki gyakorlatban elterjedt az uacutegynevezett log-log diagramok hasznaacutelata is Ekkor nem a
logaritmuseacuterteacutekeket aacutebraacutezoljuk a hagyomaacutenyos beosztaacutesuacute tengelyeken hanem a teacutenyleges eacuterteacutekeket
1145 aacutebra Az y = f(x) = a middot 10bmiddotx fuumlggveacuteny
A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineaacuteris leacutepteacutekű miacuteg az y tengely (ordinaacuteta)
logaritmikus leacutepteacutekű Az exponenciaacutelis fuumlggveacuteny parameacutetereit a meredekseacutegből eacutes tengelymetszetből
koumlnnyen leolvashatjuk
y = f(x) = a middot lg x Ekkor egyszerűen y-t aacutebraacutezoljuk lg x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes meghataacuterozhatjuk
az ismeretlen bdquoardquo parameacutetert
1146 aacutebra Az y = f(x) = a middot lg x fuumlggveacuteny
Tehaacutet ebben az esetben az abszcissza (x tengely) leacutepteacuteke logaritmikus miacuteg az ordinaacuteta (y tengely)
leacutepteacuteke lineaacuteris
Ez a moacutedszer akkor is segiacutetseacuteguumlnkre lehet ha nem ismerjuumlk az oumlsszefuumlggeacutest a keacutet mennyiseacuteg (x eacutes
y) koumlzoumltt viszont az aacutebraacutezolaacutesboacutel remeacutenykedhetuumlnk hogy az oumlsszefuumlggeacutes nem tuacutel bonyolult
fuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le Ilyenkor eacuterdemes kiproacutebaacutelni a fenti aacutetalakiacutetaacutesokat eacutes abban a szerencseacutes
esetben ha az iacutegy keletkezett transzformaacutelt vaacuteltozoacutek koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest kapunk meg tudjuk
hataacuterozni a szuumlkseacuteges parameacutetereket
Meacutereacutesi eredmeacutenyeket tartalmazoacute taacuteblaacutezatok hasznaacutelata soraacuten gyakran előfordul hogy egy olyan adatra
van szuumlkseacuteguumlnk melyre eacuteppen nincs meacutereacutesi eredmeacuteny Erre egy egyszerű peacutelda (peacuteldaacuteul y
mennyiseacuteget meacuterjuumlk x fuumlggveacutenyeacuteben)
x y
00 120
50 160
100 200
Tehaacutet ismerjuumlk y eacuterteacutekeacutet x = 00 x = 50 eacutes x = 100 eseteacuten Tegyuumlk fel hogy nekuumlnk toumlrteacutenetesen
szuumlkseacuteguumlnk van x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutere Ekkor toumlbb lehetőseacuteguumlnk van
ndash megmeacuterjuumlk kiacuteseacuterletileg x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutet
ndash aacutebraacutezoljuk y-t x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes grafikusan proacutebaacutelunk koumlvetkeztetni y eacuterteacutekeacutere x = 70 eseteacuten
ndash matematikai uacuteton bdquokiokoskodjukrdquo y eacuterteacutekeacutet az x = 70 helyen
Az első megoldaacutesra gyakran nincs lehetőseacuteg noha valoacutesziacutenűleg az lenne a legpontosabb A
grafikus megoldaacutes aacuteltalaacuteban hosszadalmas eacutes a leolvasaacutes pontatlan ezeacutert aacuteltalaacuteban az uacutegynevezett
lineaacuteris interpolaacutecioacutet alkalmazzuk ilyen esetekben Termeacuteszetesen ehhez az szuumlkseacuteges hogy a keacutet
vizsgaacutelt vaacuteltozoacute koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes aacutelljon fenn A moacutedszer gyakran olyankor is alkalmazhatoacute
ha a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt nem lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes viszont igen joacute koumlzeliacuteteacutessel lineaacuterisnak
tekinthető az adott tartomaacutenyban ezeacutert nem okoz tuacutel nagy hibaacutet az ha lineaacuterisnak vesszuumlk az
oumlsszefuumlggeacutest Ezt termeacuteszetesen az adott probleacutema jellege hataacuterozza meg eacutes csak bizonyos esetekben
hasznaacutelhatoacute Amennyiben keacutet meacutereacutesi pont koumlzoumltti eacuterteacuteket szeretneacutenk meghataacuterozni interpolaacutecioacuteroacutel
beszeacuteluumlnk (laacutesd fent) Ha a meacutereacutesi pontok alapjaacuten egy olyan pontot szeretneacutenk meghataacuterozni mely a
meacutereacutesi tartomaacutenyon kiacutevuumll esik azaz a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten peacuteldaacuteul x = 150 eseteacuten szeretneacutenk
meghataacuterozni y eacuterteacutekeacutet extrapolaacutecioacuteroacutel van szoacute Figyelem Miacuteg az interpolaacutecioacute a linearitaacutes
felteacutetelezeacuteseacutevel helyes eredmeacutenyt ad az extrapolaacutecioacute gyakran vezet olyan eredmeacutenyhez mely nem
felel meg a valoacutesaacutegnak Ennek oka hogy attoacutel hogy egy bizonyos tartomaacutenyban joggal
alkalmazhatunk lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest gyakran maacutes tartomaacutenyokban maacuter nagy hibaacutet okozhat a lineaacuteris
viselkedeacutestől valoacute elteacutereacutes Erre egy szemleacuteletes peacuteldaacutet mutat az alaacutebbi aacutebra
1151 aacutebra Az extrapolaacutecioacute hibaacutei
20 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute az x = 40 hellip 50 tartomaacutenyban az oumlsszefuumlggeacutes lineaacuterisnak tekinthető tehaacutet peacuteldaacuteul az
x = 42 vagy x = 46 pontokban viszonylag pontosan becsuumllhetjuumlk y eacuterteacutekeacutet Aacutem ha az x = 40 eacutes x = 50
pontok alapjaacuten proacutebaacutelunk extrapolaacutelni x = 10 eacuterteacutekre a piros sziacutenű egyenes alapjaacuten (lineaacuteris fuumlggveacutenyt
felteacutetelezve) igen nagy hibaacutet koumlvetuumlnk el
A lineaacuteris interpolaacutecioacutet legszemleacuteletesebben egy peacutelda alapjaacuten eacuterthetjuumlk meg
17 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet vizes oldataacutenak a sűrűseacutege eacutes az oldat toumlmeg-os oumlsszeteacutetele koumlzoumltt
gyakorlatilag lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes Az alaacutebbi taacuteblaacutezat kuumlloumlnboumlző toumlmeg-os oumlsszeteacutetelű
magneacutezium-szulfaacutet-oldatok sűrűseacutegeacutet tartalmazza 20 degC hőmeacuterseacutekleten Becsuumlljuumlk meg lineaacuteris
interpolaacutecioacuteval a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutegeacutet
MgSO4-tartalom
(toumlmeg)
sűrűseacuteg
(gcm3)
6 10602
10 11034
14 11484
18 11955
Megoldaacutes
Az első leacutepeacutes megkeresni hogy mely pontok koumlzoumltt ceacutelszerű az interpolaacutecioacutet veacutegezni azaz meg kell
aacutellapiacutetani mely meacutereacutesi pontok koumlzeacute esik a keacuterdeacuteses pont A 11 toumlmeg-os oldat a 10 eacutes a 14 toumlmeg-
os oldat oumlsszeteacutetele koumlzeacute esik tehaacutet ebben az intervallumban ceacutelszerű a lineaacuteris interpolaacutecioacutet
elveacutegezni (Elvileg ugyan maacutes pontok koumlzoumltt is tudnaacutenk veacutegezni interpolaacutecioacutet aacutem a legszűkebb
intervallumot ceacutelszerű kivaacutelasztani mert a linearitaacutes felteacutetelezeacutese itt a leghelytaacutelloacutebb)
Lineaacuteris interpolaacutecioacute eseteacuten az y mennyiseacuteget (a sűrűseacuteget) x mennyiseacuteg (a MgSO4-tartalom
toumlmeg-ban) fuumlggveacutenyeacuteben a koumlvetkező oumlsszefuumlggeacutessel iacuterhatjuk le
y = a middot x + b
Az alaacutebbi diagramon laacutethatoacutek a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 14 toumlmeg-os (x2) oumlsszeteacutetelhez tartozoacute
pontok (a megfelelő sűrűseacutegek rendre y1 eacutes y2) illetve a keacuterdeacuteses sűrűseacuteg (y) a 11 toumlmeg-os pontban
(melyet a viacutezszintes tengelyen x-nek roumlvidiacutetettuumlnk)
1152 aacutebra Az oldat sűrűseacutege a toumlmegszaacutezaleacutek fuumlggveacutenyeacuteben
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 21
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Tehaacutet az (x1 y1) eacutes (x2 y2) pontok koumlzeacute behuacutezott egyenes meredekseacutege
12
12
xx
yy
x
ya
Mivel a noumlvekmeacutenyek (Γy eacutes Γx) koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn az bdquoardquo meredekseacuteg
ugyanakkora a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 11 toumlmeg-os (x) oumlsszeteacutetel eseteacuten is mint ahogyan a
koumlvetkező aacutebraacuten is laacutethatoacute
1153 aacutebra A sűrűseacuteg szaacutemiacutetaacutesa interpolaacutecioacuteval
Azaz feliacuterhatoacute ismeacutet hogy Γy eacutes Γx araacutenya aacutellandoacute meacuteghozzaacute a fenti bdquoardquo eacuterteacutek
1
1
xx
yy
x
ya
Mivel az bdquoardquo meredekseacuteg mindkeacutet esetben ugyanakkora feliacuterhatjuk a koumlvetkező kifejezeacutest
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
x
ya
Ezt a keacutepletet eacuterdemes megjegyezni aacutem ha nem megy olyan koumlnnyedeacuten akkor a fenti
gondolatmenettel baacutermikor igen koumlnnyen eljuthatunk hozzaacute Mivel a fenti egyenletben csupaacuten az y az
ismeretlen koumlnnyen kifejezhető
11
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Behelyettesiacutetve a keacutepletbe x x1 x2 y1 eacutes y2 eacuterteacutekeacutet (meacuterteacutekegyseacutegek neacutelkuumll)
1147111465110341)1011(1014
1034114841y)xx(
xx
yyy 11
12
12
Tehaacutet a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege 11147 gcm3
22 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Megjegyzeacutes ugyanehhez az eredmeacutenyhez eljuthatunk kicsit maacutes uacuteton is Az alaacutebbi aacutebraacuten bejeloumllt
keacutet haacuteromszoumlg hasonloacute egymaacuteshoz iacutegy az oldalaik araacutenya is aacutellandoacute
1154 aacutebra Az interpolaacutecioacute szemleacutelteteacutese hasonloacute haacuteromszoumlgekkel
18 peacutelda
Egy kiacuteseacuterlet soraacuten megmeacutertuumlk egy ismeretlen magneacutezium-szulfaacutet oldat sűrűseacutegeacutet mely 11600 gcm3-
nek adoacutedott Lineaacuteris interpolaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel aacutellapiacutetsuk meg az oldat magneacutezium-szulfaacutet-tartalmaacutet
toumlmeg-ban A feladat megoldaacutesaacutehoz hasznaacuteljuk az előző peacuteldaacuteban megadott taacuteblaacutezatot
Megoldaacutes
A lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes lehetőseacuteget terem arra hogy a sűrűseacuteg (y) ismereteacuteben az ismeretlen toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelt (x) is meghataacuterozhassuk Mivel az 11600 gcm3 sűrűseacuteg-eacuterteacutek a 11484 eacutes 11955 gcm3
eacuterteacutekek koumlzoumltt talaacutelhatoacute a 14 eacutes 18 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelhez tartozoacute pontok koumlzt kell interpolaacutelni Az
előző peacuteldaacuteban megismert oumlsszefuumlggeacutest kell alkalmaznunk
1
1
12
12
xx
yy
xx
yy
Ebből most x-et kell kifejeznuumlnk x1 x2 y1 y2 eacutes y fuumlggveacutenyeacuteben
1
12
121
12
1211 x
yy
xx)yy(x
yy
xx)yy(xx
Behelyettesiacutetve a megfelelő eacuterteacutekeket
159814141484119551
1418)1484116001(x
yy
xx)yy(x 1
12
121
Tehaacutet az 11600 gcm3 sűrűseacutegű magneacutezium-szulfaacutet-oldat koumlruumllbeluumll 15 toumlmeg-os
Mint emliacutetettuumlk az extrapolaacutecioacute soraacuten mindig fokozott figyelemmel kell eljaacuterni mivel gyakran
előfordul hogy az extrapolaacutelt eacuterteacutek nem joacute becsleacutese a valoacutedi eacuterteacuteknek Koumlvetkezzen egy peacutelda az
extrapolaacutecioacutera
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 23
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
19 peacutelda
A magneacutezium-szulfaacutet-oldatra bemutatott 6 eacutes 10 toumlmeg-os adatok alapjaacuten extrapolaacuteljunk 0 toumlmeg-
os oumlsszeteacutetelre
Megoldaacutes
Az előzőekhez hasonloacutean 6 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelneacutel (x1) a sűrűseacuteg 10602 gcm3 (y1) 10 toumlmeg
(x2) eseteacuten pedig 11034 gcm3 (y2) A feladat megbecsuumllni a sűrűseacuteget (y) 0 toumlmeg (x) eseteacuten
Ismeacutetelten ceacutelszerű egy aacutebraacutet keacutesziacuteteni a megoldaacuteshoz
1155 aacutebra Peacutelda a lineaacuteris extrapolaacutecioacutera
Az előző feladatok megoldaacutesaacutehoz hasonloacutean feliacuterhatjuk az egyes pontokat oumlsszekoumltő egyenesek
meredekseacutegeacutet eacutes a keacutet meredekseacutegnek meg kell egyeznie
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
x
ya
Kifejezve y-t x fuumlggveacutenyeacuteben
11
12
1211
12
121
12
121 y)xx(
xx
yyyy)xx(
xx
yyy)xx(
xx
yyyy
Eacuterdemes megfigyelni hogy a kapott kifejezeacutes ugyanaz mint amit az interpolaacutecioacutenaacutel kaptunk
Behelyettesiacutetve az eacuterteacutekeket
9954006021)60(610
0602110341y)xx(
xx
yyy 11
12
12
A desztillaacutelt viacutez sűrűseacutege 4 degC-on 1000 grammcm3 20 degC-on pedig 0998 grammcm
3 iacutegy az
extrapolaacutecioacuteval kapott 09954 grammcm3 eacuterteacutek igen joacutel koumlzeliacuteti a valoacutedi eacuterteacuteket Ebből arra
koumlvetkeztethetuumlnk hogy a magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege eacutes oumlsszeteacutetele koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes igen
Gyakran előfordul hogy egy egyenlet megoldaacutesaacutera nem ismeruumlnk megfelelő bdquokeacutepletetrdquo sőt nem ritka
hogy egy egyenletet csak koumlzeliacutetőleg tudunk megoldani Ebben a reacuteszben bemutatunk egy egyszerű
moacutedszert melynek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megoldhatunk kuumlloumlnfeacutele egyenleteket
110 peacutelda
Oldjuk meg koumlzeliacutetőleg a koumlvetkező egyenletet
0xlgx
Megoldaacutes
Az egyenletet a pozitiacutev szaacutemok halmazaacuten kell megoldanunk
Hozzuk az egyenletet a koumlvetkező formaacutera
x = f(x)
Erre keacutet lehetőseacuteguumlnk van azaz
A) xlgx
x10x xA 10)x(f
B) xlgx
22 )x(lg)xlg(x xlg)x(f 2B
Ezutaacuten proacutebaacuteljuk megoldani az egyenletet az A) illetve B) uacuteton Vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0
eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0 = 05 ezutaacuten x0 eacuterteacutekeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuten aacutelloacute kifejezeacutesbe
melynek eredmeacutenye x1 = f(x0) lesz Ezutaacuten x1-et behelyettesiacutetjuumlk a jobb oldali kifejezeacutesbe eacutes
megkapjuk x2 = f(x1) eacuterteacutekeacutet majd ezt ismeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuteba eacutes iacutegy tovaacutebb
Ha az egyenlet megoldhatoacute ezzel a moacutedszerrel azt kell tapasztalnunk hogy az egymaacutest koumlvető x0
x1 = f(x0) x2 = f(x1) x3 = f(x2) hellip xi+1 = f(xi) hellip eacuterteacutekeknek koumlzeledniuumlk kell a megoldaacuteshoz mely
iacutegy tetszőleges pontossaacuteggal kiszaacutemiacutethatoacute Most neacutezzuumlk ezt meg az adott peacuteldaacuten
A)
x0 = 05 x0 = 05000
x1 = 50000x
1010 0 x1 asymp 01363
x2 = 19630x
1010 1 x2 asymp 03605
x3 = 36050x
1010 2 x3 asymp 02509
x4 = 25090x
1010 3 x4 asymp 03156
x5 = 31560x
1010 4 x5 asymp 02743
x6 = 27430x
1010 5 x6 asymp 02994
x7 = 29940x
1010 6 x7 asymp 02837
x8 = 28370x
1010 7 x8 asymp 02933
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 25
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x9 = 29330x
1010 8 x9 asymp 02873
x10 = 28730x
1010 9 x10 asymp 02910
x11 = 29100x
1010 10 x11 asymp 02887
x12 = 28870x
1010 11 x12 asymp 02902
x13 = 29020x
1010 12 x13 asymp 02893
x14 = 28930x
1010 13 x14 asymp 02898
x15 = 28980x
1010 14 x15 asymp 02895
x16 = 28950x
1010 15 x16 asymp 02897
x17 = 28970x
1010 16 x17 asymp 02896
x18 = 28960x
1010 17 x18 asymp 02896
x19 = 28960x
1010 18 x19 asymp 02896
Mint laacutetjuk az eredmeacutenyek egy adott eacuterteacutekhez koumlzeliacutetenek eacutes ez az eacuterteacutek eacuteppen az egyenlet
megoldaacutesa
1161 aacutebra Az eredmeacutenyek konvergenciaacuteja
Az eredmeacutenyekből szeacutepen laacutetszik hogy mineacutel toumlbbszoumlr veacutegezzuumlk el a behelyettesiacuteteacutest egyre
pontosabban kapjuk meg az egyenlet eredmeacutenyeacutet Ha keacutet tizedesjegy pontossaacuteggal szeretneacutenk
megoldani az egyenletet akkor eleacuteg csak a 8 leacutepeacutesig folytatni ha az eredmeacutenyre haacuterom tizedesjegy
pontossaacutegra vagyunk kiacutevaacutencsiak a 14 leacutepeacutesig kell folytatnunk az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest Az egyenlet
pontos megoldaacutesa heacutet eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal 02896232
Megjegyzendő hogy a moacutedszer gyorsasaacutega termeacuteszetesen fuumlgg a kiindulaacutesi x0 eacuterteacutek kivaacutelasztaacutesaacutetoacutel
Az eljaacuteraacutest grafikusan az alaacutebbi animaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel szemleacuteltethetjuumlk
26 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1161 animaacutecioacute Az iteraacutecioacute
1162 aacutebra Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutes szemleacutelteteacutese
B)
Az előzőekhez hasonloacutean legyen a kiindulaacutesi eacuterteacutek x0 = 05
x0 = 05 x0 asymp 05000
x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906
x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874
x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013
x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837
x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431
x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055
x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090
x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017
x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)
2 x9 asymp 00897
x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965
x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016
x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 27
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972
x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097
x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555
x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697
x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867
x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311
Mint ahogyan a fenti eacuterteacutekeket aacutebraacutezolva laacutethatjuk az eredmeacutenyek nem tartanak egy adott
eacuterteacutekhez
1163 aacutebra A nem megfelelő fuumlggveacutenykapcsolat koumlvetkezmeacutenye
A feladatot iacutegy a B) uacuteton nem tudjuk megoldani a megoldaacutes csak az A) uacuteton lehetseacuteges Annak
magyaraacutezataacutehoz hogy mieacutert csak az egyik uacuteton jutottunk el a veacutegeredmeacutenyhez felsőbb matematikai
eszkoumlzoumlk is szuumlkseacutegesek ezeacutert ezzel a keacuterdeacutessel itt nem foglalkozunk reacuteszletesen Amennyiben egy
aacutetalakiacutetaacutesi moacuted nem vezet megoldaacuteshoz eacuterdemes megproacutebaacutelni az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest a fuumlggveacuteny
inverzeacutevel is
111 peacutelda
Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet
x3 + 4 middot x2 minus 1 = 0
Megoldaacutes
Egy harmadfokuacute fuumlggveacutenynek egy kettő vagy haacuterom gyoumlke lehetseacuteges A g(x) = x3 + 4 middot x2 minus 1
fuumlggveacutenyt aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk
Mint a fenti aacutebraacuteboacutel laacutethatoacute a g(x) fuumlggveacutenynek haacuterom zeacuteruspontja van iacutegy a g(x) = 0
egyenletnek haacuterom megoldaacutesa van A grafikus megoldaacutesboacutel annyit megaacutellapiacutethatunk hogy egy gyoumlk
x = minus4 koumlrnyezeteacuteben egy maacutesik x = minus05 koumlrnyezeteacuteben miacuteg a harmadik x = 05 koumlrnyezeteacuteben
talaacutelhatoacute
Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacuteshoz x = f(x) alakra kell hozni az egyenletet Erre toumlbb lehetőseacuteg is van
A)
3 2x41x
Az előző feladat megoldaacutesaacutenak mintaacutejaacutera vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0 eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0=10
(baacutermely maacutes szaacutem is lehetne) Az iteraacutecioacute első 32 leacutepeacuteseacutenek xn eacuterteacuteke a leacutepeacutesszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben a
Az alaacutebbiakban a legfontosabb siacutekidomok keruumlleteacutenek (K) eacutes teruumlleteacutenek (T) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Haacuteromszoumlg
cbaK
2
sinba
2
maT a
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a haacuteromszoumlg oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo
oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Trapeacutez
dcbaK
30 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
m2
caT
bdquoardquo eacutes bdquocrdquo a trapeacutez paacuterhuzamos oldalai m a keacutet paacuterhuzamos oldal koumlzoumltti taacutevolsaacuteg azaz a trapeacutez
magassaacutega bdquocrdquo eacutes bdquodrdquo a trapeacutez szaacuterai
Paralelogramma
)ba(2K
sinbambmaT ba
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a paralelogramma oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg mb az a oldalhoz
tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg
Teacuteglalap
)ba(2K
baT
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a teacuteglalap oldalai
Neacutegyzet
a4K
2aT
bdquoardquo a neacutegyzet oldala
Deltoid
)ba(2K
fe2
1T
bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a deltoid oldalai bdquoerdquo eacutes bdquofrdquo a deltoid aacutetloacutei
Rombusz
a4K
sinamaT 2a
bdquoardquo a rombusz oldala ma a magassaacutega α pedig a rombusz keacutet egymaacutes melletti oldala aacuteltal bezaacutert
szoumlg
Koumlr
dr2K
22 d4
1rT
bdquorrdquo a koumlr sugara bdquodrdquo a koumlr aacutetmeacuterője
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 31
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Haacuteromszoumlg
cbaK 2
sinba
2
maT a
Trapeacutez
dcbaK m2
caT
Paralelogramma
)ba(2K sinbambmaT ba
Teacuteglalap
)ba(2K baT
Neacutegyzet
a4K 2aT
Deltoid
)ba(2K fe
2
1T
Rombusz
a4K sinamaT 2a
Koumlr
dr2K 22 d4
1rT
118 Testek felsziacutene eacutes teacuterfogata
Az alaacutebbiakban a legfontosabb testek felsziacuteneacutenek (A) eacutes teacuterfogataacutenak (V) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas
oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be
Teacuteglatest
)acbcab(2A
32 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
cbaV
bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a teacuteglatest eacutelei
Kocka
2a6A
3aV
bdquoardquo a kocka eacutele
Egyenes koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2
hd4
1hrV 22
bdquorrdquo az alapkoumlr sugara bdquodrdquo az alapkoumlr aacutetmeacuterője bdquohrdquo a henger magassaacutega
Goumlmb
22 dr4A
33 d6
1r
3
4V
bdquorrdquo a goumlmb sugara bdquodrdquo a goumlmb aacutetmeacuterője
Teacuteglatest
)acbcab(2A cbaV
Kocka
2a6A 3aV
Egyenes
koumlrhenger
)hr(r2hr2r2A 2 hd4
1hrV 22
Goumlmb
22 dr4A 33 d6
1r
3
4V
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 33
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
12 Fizikai alapismeretek
121 SI-alapmennyiseacutegek meacuterteacutekegyseacutegeik eacutes gyakori jeloumlleacuteseik
Hosszuacutesaacuteg
Jele ℓ (longitudo hosszuacutesaacuteg) s (taacutevolsaacuteg uacutet)
Meacuterteacutekegyseacutege meacuteter ( metrum ndash latin metron ndash goumlroumlg meacuterteacutek) roumlvidiacuteteacutese m
Toumlmeg
Jele m (massa)
Meacuterteacutekegyseacutege kilogramm ( kilo + gramma ndash goumlroumlg kis toumlmeg) roumlvidiacuteteacutese kg
Idő
Jele t (tempus)
Meacuterteacutekegyseacutege maacutesodperc vagy szekundum ( secunda ndash latin kis reacutesz) roumlvidiacuteteacutese s
Aacuteramerősseacuteg
Jele I (intensitas)
Meacuterteacutekegyseacutege amper ( Andreacute-Marie Ampegravere) roumlvidiacuteteacutese A
Hőmeacuterseacuteklet
Jele T (temperare)
Meacuterteacutekegyseacutege kelvin ( William Thomson Kelvin) roumlvidiacuteteacutese K
Energia a munkaveacutegző keacutepesseacuteg Az energia bdquoeltaacuterolt munkardquo mely megfelelő koumlruumllmeacutenyek
koumlzoumltt munkaacutevaacute alakiacutethatoacute Az energia kuumlloumlnfeacutele formaacutekban jelenik meg peacuteldaacuteul beszeacutelhetuumlnk
mechanikai (mozgaacutesi helyzetihellip) termikus elektromos stb Az energia a rendszer egy aacutellapotaacutet iacuterja
le a munka pedig az aacutellapotok koumlzoumltti vaacuteltozaacutest
Jele E ( energy ndash angol)
Meacuterteacutekegyseacutege ugyanaz mint a munkaacutenak J (joule) 1 J = 1 Nmiddotm = 1 kgmiddotm2middotsminus2
Teljesiacutetmeacuteny a munka eacutes az munkaveacutegzeacutes időtartamaacutenak haacutenyadosa egyseacutegnyi idő alatt veacutegzett
munka a munkaveacutegzeacutes sebesseacutege
Jele P ( power ndash angol)
t
WP
Meacuterteacutekegyseacutege W (watt) 1 W = 1 Js = 1 (kgmiddotm2s2)s = 1 kgmiddotm2s3 = 1 kgmiddotm2middotsminus3
s
F
Fs
1 Matematikai eacutes fizikai alapok 37
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hataacutesfok a hasznos munka eacutes az oumlsszes befektetett munka haacutenyadosa vagy maacuteskeacuteppen a
hasznos teljesiacutetmeacuteny eacutes az oumlsszes befektetett teljesiacutetmeacuteny haacutenyadosa
Jele ε
ouml
h
W
W
ouml
h
P
P
Wh hasznos munka Wouml befektetett munka Ph hasznos teljesiacutetmeacuteny Pouml befektetett teljesiacutetmeacuteny
Dimenzioacutementes szaacutem eacuterteacuteke 0 le ε le 1
124 Elektromossaacutegtan
Toumllteacutes az elemi toumllteacutesnek valahaacutenyszorosa
Jele Q
Meacuterteacutekegyseacutege C (coulomb) 1 C = 1 Amiddots
Az elektron toumllteacutese q = 1602middot10minus19 C Az elektoron toumllteacuteseacutet negatiacutevnak a protoneacutet pedig
pozitiacutevnak tekintjuumlk
Coulomb toumlrveacutenye keacutet pontszerű toumllteacutes koumlzoumltt hatoacute erő egyenesen araacutenyos a toumllteacutesekkel eacutes
fordiacutetottan araacutenyos a toumllteacutesek koumlzoumltti taacutevolsaacuteg neacutegyzeteacutevel Keacutet azonos előjelű toumllteacutes (++ illetve minusminus)
F erő Q1 eacutes Q2 toumllteacutes r a keacutet toumllteacutes koumlzoumltti taacutevolsaacuteg k araacutenyossaacutegi teacutenyező melynek eacuterteacuteke
899 ∙ 109 Nm2C2
1241 aacutebra Coulomb toumlrveacutenye
Aacuteramerősseacuteg az időegyseacuteg alatt aacutethaladt toumllteacutesek mennyiseacutege
Jele I ( intensitas ndash angol)
t
QI
Q aacutethaladt toumllteacutes t idő
Meacuterteacutekegyseacutege A (amper) 1 A = 1 Cs = 1 Cmiddotsminus1
38 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Feszuumlltseacuteg a munka eacutes a toumllteacutes haacutenyadosa A feszuumlltseacuteg megadja hogy mennyi munkaacutet veacutegez a
mező egyseacutegnyi toumllteacutesen miacuteg a toumllteacutes az egyik pontboacutel elmozdul a maacutesikba
Jele U
Q
WU
Q toumllteacutes W a Q toumllteacutes egyik pontboacutel a maacutesikba juttataacutesaacutehoz szuumlkseacuteges munka
Meacuterteacutekegyseacutege V (volt) 1 V = 1 JC = 1 kgmiddotm2s2(Amiddots) = 1 kgmiddotm2(Amiddots3) = 1 kgmiddotm2middotAminus1middotsminus3
Ellenaacutellaacutes egy elektromos koumlrben egy fogyasztoacuten eső feszuumlltseacuteg eacutes a rajta aacutetmenő aacuteramerősseacuteg
Ilyenkor az aacuteramforraacutes terheletlen azaz a teljes feszuumlltseacuteg az aacuteramforraacuteson esik
Azonban ha egy fogyasztoacuteval terheljuumlk az aacuteramforraacutest az aacuteramforraacuteson meacutert feszuumlltseacuteg maacuter nem
egyezik meg az elektromotoros erővel hanem annaacutel kisebb lesz Ezt a feszuumlltseacuteget
kapocsfeszuumlltseacutegnek nevezzuumlk (a terhelt aacuteramforraacutes kapcsain meacutert feszuumlltseacuteg) A jelenseacuteg oka hogy
az aacuteramkoumlrben folyoacute aacuteram az aacuteramforraacuteson is aacutetfolyik A toumllteacutesek mozgaacutesaacuteval szemben azonban az
aacuteramforraacutesnak is van ellenaacutellaacutesa ezt belső ellenaacutellaacutesnak nevezzuumlk
1242 aacutebra A belső ellenaacutellaacutes szemleacutelteteacutese
Az aacuteramkoumlrben meacuterhető aacuteramerősseacuteget (I) a fogyasztoacute bdquokuumllsőrdquo ellenaacutellaacutesa (Rk) eacutes az aacuteramforraacutes
belső ellenaacutellaacutesa (Rb) hataacuterozza meg
)RR(IU bk0 bk
0
RR
UI
A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramforraacutes kapcsain meacuterhető feszuumlltseacuteg azaz
b0kk RIURIU
A kapocsfeszuumlltseacuteget az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben aacutebraacutezolva a koumlvetkező diagramot kapjuk
1243 aacutebra A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben
U0
Uk
Rb
Rk
+minus
I
40 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha egy elhanyagolhatoacute ellenaacutellaacutesuacute vezetődarabbal oumlsszekoumltjuumlk az aacuteramforraacutes kivezeteacuteseit a
kapocsfeszuumlltseacuteg zeacuterus eacutes az ilyenkor meacuterhető aacuteramerősseacuteg a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram
b
00
R
UI
Mint ahogyan a fenti diagramon is laacutethatoacute a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram aacuteramerősseacuteg maximumaacutet adja meg
Egyenaacuteram munkaacuteja az aacuteramerősseacuteg a feszuumlltseacuteg eacutes az idő szorzata aacutem az ellenaacutellaacutes
segiacutetseacutegeacutevel toumlbb maacutes moacutedon is meghataacuterozhatoacute
tUIW
I aacuteramerősseacuteg U feszuumlltseacuteg t az elektromos munkaveacutegzeacutes ideje
Meacuterteacutekegyseacutege ndash a toumlbbi munkaacutehoz hasonloacutean ndash joule
A munka koumlnnyen adoacutedik a feszuumlltseacuteg eacutes a toumllteacutesmennyiseacuteg definiacutecioacutejaacuteboacutel
Q
WU tIUQUW
Az ellenaacutellaacutes segiacutetseacutegeacutevel a koumlvetkező keacutepletek adoacutednak
tR
UtU
R
UtUIW
2
illetve tRIt)RI(ItUIW 2
Elektromos teljesiacutetmeacuteny az elektromos teljesiacutetmeacuteny az aacuteramerősseacuteg eacutes a feszuumlltseacuteg szorzatakeacutent
adoacutedik Az ellenaacutellaacutes bevezeteacuteseacutevel ismeacutet tovaacutebbi oumlsszefuumlggeacuteseket kaphatunk
RIR
UUIW 2
2
Az elektromos teljesiacutetmeacuteny meacuterteacutekegyseacutege a watt A fenti oumlsszefuumlggeacutesek koumlzvetlenuumll adoacutednak az
elektromos munka keacutepleteiből (a teljesiacutetmeacuteny munka eacutes a munkaveacutegzeacutes idejeacutenek haacutenyadosa)
125 Hőtan
Hőmeacuterseacutekleti skaacutelaacutek a hőmeacuterseacuteklet meghataacuterozaacutesaacutera toumlbb kuumlloumlnboumlző skaacutelaacutet hasznaacutelhatunk A skaacutelaacutek
nagy reacuteszeacutet tapasztalati uacuteton alakiacutetottaacutek ki meacuteghozzaacute egy kivaacutelasztott alsoacute eacutes felső hőmeacuterseacutekleti eacuterteacutek
koumlzoumltt meghataacuterozott szaacutemuacute egyenletes skaacutelaosztaacutest alkalmazva Itt csak a gyakorlati szempontboacutel
legfontosabb keacutet skaacutelaacutet taacutergyaljuk
Az atomot alkotoacute elemi reacuteszecskeacutek toumlmege eacutes toumllteacutese
Reacuteszecske neve Toumlmeg Toumllteacutes Relatiacutev
toumlmeg
Relatiacutev
toumllteacutes
Atommag Proton (p+) 1672 middot 10minus27 kg 16021 middot 10minus19 C 18355 +1
Neutron (n0) 1674 middot 10minus27 kg 0 18377 0
Elektronburok Elektron (eminus) 9109 middot 10minus31 kg minus16021 middot 10minus19 C 1 minus1
Mint laacutethatoacute a fenti taacuteblaacutezatboacutel a proton eacutes a neutron toumlmege koumlzeliacutetőleg megegyezik az elektron
toumlmege pedig ezekneacutel nagysaacutegrendekkel kisebb (mintegy 1840-ed reacutesze a proton vagy a neutron
toumlmegeacutenek) A neutron semleges a proton eacutes az elektron toumllteacutese abszoluacutet eacuterteacutekben megegyezik aacutem
előjeluumlk ellenteacutetes
Rendszaacutem az atomban talaacutelhatoacute protonok szaacutema
Jele Z
Toumlmegszaacutem az atommagban talaacutelhatoacute protonok eacutes neutronok szaacutemaacutenak az oumlsszege
Jele A
Neutronszaacutem toumlmegszaacutemboacutel levonva a protonok szaacutemaacutet azaz a toumlmegszaacutem eacutes a rendszaacutem
kuumlloumlnbseacutege
Jele N
N = Z minus A
2 Az atomok szerkezete 45
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
(Keacutemiai) elemeknek nevezzuumlk az azonos rendszaacutemmal rendelkező atomokboacutel feleacutepuumllő
anyagokat Az elemeket vegyjeluumlkkel szoktuk azonosiacutetani A vegyjel előtt a toumlmegszaacutemot eacutes a
rendszaacutemot is feltuumlntethetjuumlk ilyenkor rendszerint a bal felső indexbe a toumlmegszaacutemot a bal alsoacute
indexbe a rendszaacutemot iacuterjuk
EAZ
Nuklid azonos rendszaacutemuacute eacutes toumlmegszaacutemuacute atommagokat tartalmazoacute atomok oumlsszesseacutege
Izotoacutep egy elem izotoacutepjainak nevezzuumlk azonos rendszaacutemmal aacutem kuumlloumlnboumlző toumlmegszaacutemmal
rendelkező atomjait (Egy elem kuumlloumlnboumlző neutronszaacutemuacute nuklidjai)
Relatiacutev atomtoumlmeg megmutatja hogy az adott atom toumlmege haacutenyszorosa egy C126 -atom
toumlmegeacutenek 112-ed reacuteszeacuteneacutel
Anyagmennyiseacuteg 1 moacutel az anyagmennyiseacutege 6022 middot 1023 darab reacuteszecskeacutenek
Avogadro-szaacutem egy moacutel reacuteszecske darabszaacutema Eacuterteacuteke 6022 middot 1023 mol
A relatiacutev atomtoumlmeg megadja 1 moacutel elem toumlmegeacutet az adott elem 6022 middot 1023 darab atomjaacutenak
oumlssztoumlmegeacutet
Egy elemek legnagyobb reacutesze toumlbbfeacutele izotoacutep elegye a termeacuteszetes gyakorisaacutegukboacutel adoacutedik a
relatiacutev atomtoumlmeg A relatiacutev atomtoumlmeg kiszaacutemiacutetaacutesaacutenaacutel az egyes izotoacutepok atomtoumlmegeacutet a termeacuteszetes
gyakorisaacutegukkal suacutelyozzuk
Tiszta elem olyan elem mely (a termeacuteszetben) csak egyetlen stabil izotoacutepjaacuteval fordul elő
A kuumlloumlnboumlző izotoacutepok gyakorlatilag toumlkeacuteletesen azonos keacutemiai tulajdonsaacuteggal rendelkeznek A
legnagyobb kuumlloumlnbseacuteg fizikai tulajdonsaacutegokban a hidrogeacuten haacuterom izotoacutepja koumlzoumltt van (itt egyetlen
proton mellett egy vagy keacutet neutron viszonylag nagyobb elteacutereacutest okoz) 1H proacutecium (9998) 2H deuteacuterium (002) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese D 3H triacutecium (radioaktiacutev) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese T
Radioaktivitaacutes a nem stabil atommagok spontaacuten bomlaacutesa A radioaktiacutev bomlaacutest nagy energiaacutejuacute
sugaacuterzaacutes kiacuteseacuteri
A nem stabil magokat szokaacutes radioaktiacutev magoknak is nevezni
A radioaktivitaacutes keacutemiai moacutedszerekkel ndash tehaacutet az elektronszerkezeten keresztuumll ndash nem
befolyaacutesolhatoacute
48 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
23 Az atomok elektronszerkezete
Az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronszerkezetuumlk hataacuterozza meg a keacutemiai vaacuteltozaacutesok az
atommagra nincsenek hataacutessal Az elektronok szaacutema megegyezik a rendszaacutemmal mely az adott
elemre jellemző iacutegy a kuumlloumlnboumlző elemek vaacuterhatoacutean kuumlloumlnboumlző keacutemiai tulajdonsaacutegokkal rendelkeznek
Az elektronok az atomokban atompaacutelyaacutekon helyezkednek el
Atompaacutelya az a teacuterreacutesz ahol az elektron 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute
Az elektron a teacuter baacutermely teacuterreacuteszeacuteben megtalaacutelhatoacute valamilyen valoacutesziacutenűseacuteggel az atompaacutelya
nem jelent eacuteles hataacutert inkaacutebb valoacutesziacutenűseacutegi jellegű
Az atompaacutelyaacutekat egy szaacutem eacutes egy betű kombinaacutecioacutejaacuteval szoktuk jeloumllni peacuteldaacuteul 1s 2px 3dxy
stbhellip
A paacutelyaacutekat teacuterben aacutebraacutezolhatjuk uacutegy hogy megjeleniacutetjuumlk azt a feluumlletet mellyel hataacuterolt
teacuterreacuteszben az elektron megtalaacutelaacutesaacutenak valoacutesziacutenűseacutege 90-os
A kuumlloumlnfeacutele paacutelyaacutek alakjaacutet megfigyelhetjuumlk az alaacutebbi aacutebraacuten
231 aacutebra Kuumlloumlnboumlző atompaacutelyaacutek alakja
A paacutelyaacutek egyik fontos jellemzője a csomoacutesiacutekok szaacutema Csomoacutesiacuteknak nevezzuumlk azt a siacutekot mely
keresztuumllmegy az atommagon eacutes benne az elektron megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege zeacuterus Mint laacutethatoacute az s-
paacutelyaacutenak nincsen csomoacutesiacutekja a p-paacutelyaacuteknak egy csomoacutesiacutekja van a d-paacutelyaacuteknak keacutet csomoacutesiacutekja van eacutes
iacutegy tovaacutebb
Az elektronburok feleacutepuumlleacutese
Mint a koraacutebbiakban is emliacutetettuumlk az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronburok feleacutepiacuteteacutese az
elektronszerkezet hataacuterozza meg Ezeacutert rendkiacutevuumll fontos az elektronszerkezet feleacutepuumlleacuteseacutet viszonylag
reacuteszletesen taacutergyalnunk Az aacuteltalaacutenos keacutemia ezen reacutesze viszonylag bonyolult viszont a fontos
alapfogalmak elsajaacutetiacutetaacutesa utaacuten eacuterdekes toumlrveacutenyszerűseacutegeket ismeruumlnk majd meg
Vegyuumlnk egy tetszőleges atommagot eacutes koumlzeliacutetsuumlnk hozzaacute egy elektront Az elektron a
legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacutera keruumll eacutes ezt energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri (Megjegyzendő hogy
a felszabaduloacute energia nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket) A legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutet 1s
paacutelyaacutenak nevezzuumlk Egy maacutesodik elektron koumlzeliacutetve az iacutegy keletkezett bdquoegyelektronosrdquo rendszerhez
szinteacuten egy atompaacutelyaacutera keruumllt melyet ismeacutet energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuter A maacutesodik elektron ndash az
elsőhoumlz hasonloacutean ndash az 1s paacutelyaacutera keruumll eacutes az energiafelszabadulaacutes is megegyezik az első elektron
koumltődeacuteseacuteneacutel tapasztalttal Ha ehhez a bdquokeacutetelektronosrdquo rendszerhez egy uacutejabb elektront adunk az maacuter
nem keruumllhet a legalacsonyabb energiaacutejuacute 1s paacutelyaacutera mivel az atompaacutelyaacutekon maximaacutelisan keacutet elektron
foglalhat helyet (Most ezt fogadjuk el teacutenykeacutent ndash a kiegeacutesziacutető anyagkeacutent taacutergyalandoacute ndash aacuteltalaacutenosan
megfogalmazott Pauli-elv koumlvetkezmeacutenye) A harmadik elektron iacutegy a 2s paacutelyaacutera keruumll Egy negyedik
elektront meacuteg mindig el tudunk helyezni a 2s paacutelyaacuten aacutem az oumltoumldik elektronnak maacuter az egyik 2p
paacutelyaacutera kell keruumllnie (mivel paacutelyaacutenkeacutent maximum keacutet elektron foglalhat helyet) Meacuteg mielőtt tuacutelzottan
belebonyoloacutednaacutenk a paacutelyaacutek szaacutemozaacutesaacuteba eacutes sorrendjeacutebe eacuterdemes oumlsszefoglalnunk a fentieket
2 Az atomok szerkezete 49
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
ndash Energiaminimumra toumlrekveacutes az elektron mindig a legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektront lehet elhelyezni
A paacutelyaacutekat az elektronokkal szokaacutes az alaacutebbi cellaacutes jeloumlleacutessel jeloumllni
Paacutelya elektron neacutelkuumll
(uumlres paacutelya)
Paacutelya egy elektronnal
(feacutelig betoumlltoumltt paacutelya)
Paacutelya keacutet elektronnal
(betoumlltoumltt paacutelya)
Alapaacutellapotuacute atom minden elektron a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacuten helyezkedik el
Gerjesztett atom az atommal energiaacutet koumlzoumllve egy vagy toumlbb elektron magasabb energiaacutejuacute
paacutelyaacutera keruumll (Meacuteg mindig koumltődik az atomhoz nem szakad le roacutela)
Az atompaacutelyaacutek alheacutejakat az alheacutejak pedig elektronheacutejakat alkotnak
Az alheacutejat a paacutelya megjeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute betű jeloumlli peacuteldaacuteul lehetseacuteges p-alheacutej d-alheacutej stb Egy
alheacutejon beluumll ugyanolyan tiacutepusuacute eacutes azonos (vagy hasonloacute) meacuteretű paacutelyaacutek talaacutelhatoacuteak aacutem ezeknek a
Egy adott alheacutejon beluumll az elektronok energiaacuteja azonos tehaacutet a 2px 2py eacutes a 2pz paacutelyaacutekon talaacutelhatoacute
elektronoknak ugyanakkora (ugyanolyam meacutely) az energiaacuteja
Az elektronheacutejat pedig a paacutelya jeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute szaacutem mutatja meg az elektronheacutej bdquomeacutereteacutevelrdquo
van kapcsolatban az 1 heacutej van a legkoumlzelebb az atommaghoz a 2 heacutej enneacutel kijjebb talaacutelhatoacute eacutes iacutegy
tovaacutebb Tehaacutet a heacutej sorszaacutema az atommagtoacutel valoacute taacutevolsaacutegot jelenti
A heacutejakon beluumll alheacutejak talaacutelhatoacuteak Peacuteldaacuteul az 1 heacutej egyetlen alheacutejboacutel (1s) aacutell mely csupaacuten egy
paacutelyaacutet tartalmaz (1s) a 2 heacutej keacutet alheacutejboacutel aacutell a 2s-alheacutej eacutes a 2p-alheacutej alkotja A legalacsonyabb
energiaacutejuacute heacutejat K heacutejnak a toumlbbit pedig rendre L M N O hellip heacutejaknak nevezzuumlk
Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk kuumlloumlnboumlző bdquofajtardquo kuumlloumlnboumlző alakuacute paacutelyaacutekat az egyes tiacutepusuacute atompaacutelyaacutek
darabszaacutemaacutet pedig a paacuteratlan egeacutesz szaacutemok adjaacutek meg (1 3 5 7 9 hellip)
ndash s-paacutelya heacutejankeacutent egy s-paacutelya lehetseacuteges ez az egy paacutelya alkotja az s-alheacutejat
ndash p-paacutelya heacutejankeacutent haacuterom p-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a p-alheacutejat
ndash d-paacutelya heacutejankeacutent oumlt d-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a d-alheacutejat
ndash f-paacutelya heacutejankeacutent heacutet f-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek az f-alheacutejat
Mint laacutethatoacute az s-alheacutej kiveacuteteleacutevel egy alheacutejon beluumll toumlbb paacutelya is talaacutelhatoacute a paacutelyaacuteknak toumlbbfeacutele
iraacutenyultsaacutega van a px py eacutes pz paacutelyaacutek egy dereacutekszoumlgű (Descartes-feacutele) teacuterbeli koordinaacutetarendszer
Tehaacutet mindig legelőszoumlr az 1s alheacutej toumlltődik be majd a 2s ezutaacuten a 2p Tovaacutebbi elektront a 3s
alheacutejra tudunk elhelyezni ezutaacuten a 3p alheacutej koumlvetkezik Eddig a sorrend megegyezik azzal mint amire
a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten szaacutemiacutetanaacutenk Aacutem a taacuteblaacutezat szerint koumlvetkező 3d alheacutej energiaacuteja magasabb
mint a 4s alheacutejeacute ezeacutert az elektron inkaacutebb arra keruumll Neheacutez pontos magyaraacutezatot adni arra hogy ez
mieacutert van ezeacutert egyszerűen csak fogadjuk el
Az alheacutejak fentebb bemutatott betoumlltődeacutesi sorrendje az alaacutebbi aacutebraacuten koumlnnyen nyomon koumlvethető
233 aacutebra Az alheacutejak betoumllteacutesi sorrendje
3px 3py 3pz3s
3p-alheacutej3s-alheacutej
3 (M) heacutej
3d-alheacutej
3dxy 3pyz 3pxz 3px minusy 3pz 2 22
1s
2s
3s
4s
5s
2p
3p
4p
5p
3d
4d
5d
4f
6s 6p
1 (K)
2 (L)
3 (M)
4 (N)
5 (O)
6 (P)
52 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Termeacuteszetesen a paacutelyaacutek betoumlltődeacutese addig tart amiacuteg rendelkezeacutesre aacutell elektron Mindig
figyelembe kell vennuumlnk hogy
ndash az s-alheacutejon 1 paacutelya
ndash a p-alheacutejon 3 paacutelya
ndash a d-alheacutejon 5 paacutelya
ndash az f-alheacutejon 7 paacutelya
talaacutelhatoacute eacutes hogy minden paacutelyaacuten maximaacutelisan keacutet elektron helyezkedhet el
Oumlsszefoglalva
ndash az s-alheacutejakra maximaacutelisan 2 elektront
ndash a p-alheacutejakra maximaacutelisan 6 elektront
ndash a d-alheacutejakra maximaacutelisan 10 elektront
ndash az f-alheacutejakra maximaacutelisan 14 elektront
helyezhetuumlnk
Ezeacutert szokaacutes a betoumlltődeacutesi energiasorrendet az alaacutebbi moacutedon is jeloumllni
1s2 rarr 2s
2 rarr 2p6 rarr 3s
2 rarr 3p6 rarr
rarr 4s2 rarr 3d
10 rarr 4p6 rarr 5s
2 rarr 4d10 rarr
rarr 5p6 rarr 6s
2 rarr 4f14
rarr 5d10 rarr 6p
6 hellip
Peacuteldaacuteul ha a fluoratom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak a fluor (9F)
rendszaacutemaacutenak megfelelő 9 elektront kell megfelelően elhelyezni Ehhez az 1s paacutelyaacutera helyezuumlnk 2
elektront majd a 2s paacutelyaacutera szinteacuten 2 elektront Ez oumlsszesen 4 elektron meacuteg tovaacutebbi 5 elektront kell
elhelyeznuumlnk Sorrendben a 2p paacutelya koumlvetkezik melyre legfeljebb 6 elektront tudunk elhelyezni iacutegy
a mind az 5 elektron a 2p paacutelyaacutera keruumll
Az elektronok szaacutemaacutet az alheacutejakon a jobb felső indexbe tett szaacutemmal jeloumlljuumlk
A fenti fluoratom elektronjainak alheacutejak koumlzoumltti megoszlaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen iacuterhatjuk le
roumlviden
F 1s2 2s2 2p5
Azaz az 1s eacutes 2s alheacutejakra (paacutelyaacutekra) 2ndash2 elektron miacuteg a 2p paacutelyaacutera 5 elektron keruumll (2ndash2 egy-egy
p-paacutelyaacutera miacuteg a harmadikra csak 1)
Cellaacutes jeloumlleacutessel
Elektronkonfiguraacutecioacute az elektronok paacutelyaacutek szerinti elrendeződeacutese egy atomban
Most pedig vizsgaacuteljuk meg a nitrogeacutenatom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutet
A nitrogeacuten rendszaacutema 7 iacutegy 7 elektronja van Az előzőekhez hasonloacutean 2ndash2 elektront elhelyezuumlnk
az 1s eacutes 2s paacutelyaacutekon A maradeacutek 3 elektront a 2p paacutelyaacuten tudjuk elhelyezni
N 1s2 2s2 2p3
Itt viszont keacutet lehetőseacuteguumlnk van
A) a haacuterom p-paacutelyaacutera keruumll egyndashegyndashegy elektron
B) a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll egyre keacutet elektron keruumll miacuteg egy maacutesikra csak egy a harmadik p-paacutelya
pedig betoumlltetlen marad
1s 2s 2p
2 Az atomok szerkezete 53
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A cellaacutes jeloumlleacutessel a keacutet lehetőseacuteg
A)
B)
A fenti keacutet lehetőseacuteg koumlzuumll csak az egyik felel meg a valoacutesaacutegnak meacutegpedig az A) Tehaacutet egy
alheacutejon beluumll az elektronok lehetőseacuteg szerint paacuterosiacutetatlanul helyezkednek el [azaz a B) esetben csak
egy paacuterosiacutetatlan elektron van miacuteg az A) esetben haacuterom] Ezt Hund-szabaacutelynak nevezzuumlk
Hund-szabaacutely egy atom alheacutejaacuten az elektronok uacutegy helyezkednek el hogy koumlzuumlluumlk mineacutel toumlbb
legyen paacuterosiacutetatlan
Az alapaacutellapotuacute elektronszerkezet kialakulaacutesakor az alaacutebbi toumlrveacutenyszerűseacutegeknek kell
teljesuumllniuumlk
ndash Energiaminiumra toumlrekveacutes az elektron mindig a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera
keruumll
ndash Egy paacutelyaacutera legfeljebb keacutet elektron keruumllhet
ndash Alheacutejak eseteacuten lehetőseacuteg szerint a legtoumlbb elektron legyen paacuterosiacutetatlan
21 peacutelda
Aacutellapiacutetsuk meg a germaacuteniumatom alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Vegyuumlk sorra hogy melyik alheacutejon haacuteny elektron lehet A jobb oldali oszlopban a betoumlltődeacutesi sorrend
szerint az oumlsszes elektron szaacutemaacutet is feltuumlntettuumlk melyet az adott alheacutej teliacutetődeacuteseacutevel lehetseacuteges eleacuterni
Alheacutejon Oumlsszesen
(betoumlltődeacutes szerint)
1s 2 2
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36
Mivel a germaacuteniumnak 32 elektronja van a 3d alheacutej betoumlltődeacuteseacutevel oumlsszesen 30 elektront tudunk
elhelyezni ezeacutert a 4p alheacutejra is keruumll elektron meacuteghozzaacute 2
Tehaacutet az alapaacutellapotuacute germaacuteniumatom elektronszerkezete
Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2
1s 2s 2p
1s 2s 2p
54 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ellenőrzeacuteskeacutepp eacuterdemes oumlsszeszaacutemolnunk a felső indexben szereplő szaacutemokat az oumlsszegnek meg
kell egyeznie a germaacuteniumatom elektronjainak szaacutemaacuteval
2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32
Mivel a p-alheacutejon 6 elektront lehet elhelyezni a haacuterom p-paacutelyaacuten a maradeacutek keacutet elektronnak a
Hund-szabaacutely eacutertelmeacuteben paacuterosiacutetatlanul kell elhelyezkednie Csak a 4s eacutes 4p-alheacutejat aacutebraacutezolva (az
Az atomot a keacutemiai reaktivitaacutes szempontjaacuteboacutel keacutet reacuteszre (bdquoreacutetegrerdquo) oszthatjuk a kuumllső
vegyeacuterteacutekelektronok vesznek reacuteszt a koumlteacutesek kialakiacutetaacutesaacuteban iacutegy a keacutemiai reakcioacutekban a belsőbb
elektronokra (eacutes az atommagra) viszont nincs hataacutesuk a keacutemiai vaacuteltozaacutesoknak
Vegyeacuterteacutekelektronok vegyeacuterteacutekelektronoknak nevezzuumlk az atom keacutemiai reakcioacutekban reacuteszt vevő
kuumllső elektronjait
Atomtoumlrzs az atommag eacutes azon elektronok melyek nem vegyeacuterteacutekelektronok
A fenti peacuteldaacuteban a germaacuteniumnak oumlsszesen neacutegy vegyeacuterteacutekelektronja van keacutet s eacutes keacutet p elektronja
van a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten Az első (K) a maacutesodik (L) eacutes a harmadik (M) heacutejat lezaacutertnak tekintjuumlk ezek
alkotjaacutek az atomtoumlrzset
A nemesgaacutezok elektronszerkezete igen stabilis keacutemiai reaktivitaacutesuk igen csekeacutely Ennek oka
hogy az s- eacutes p-alheacutejak a nemesgaacutezok eseteacuten vaacutelnak teliacutetetteacute (kiveacuteve a heacuteliumot ahol csak az 1s alheacutej
teliacutetődik) iacutegy a lezaacutert heacutejak kiemelkedő stabilitaacutest biztosiacutetanak A vegyeacuterteacutekelektronokat szoktaacutek uacutegy
emliacuteteni hogy a legfelső lezaacutert heacutejon kiacutevuumll elhelyezkedő elektronok a vegyeacuterteacutekheacutejat pedig mint a
legkuumllső lezaacuteratlan heacutejat Ez a megfogalmazaacutes bizonyos esetekben feacutelreeacuterteacutest okozhat
Peacuteldaacuteul a kalcium (rendszaacutema 20) alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2
Mint laacutetjuk a 3 heacutej meacuteg nem teliacutetett mivel a 3d-alheacutej elektronjai a 4s alheacutej teliacutetődeacutese utaacuten
neacutepesuumllnek be aacutem csak a 4s alheacutej 2 elektronjaacutet tekintjuumlk vegyeacuterteacutekelektronnak
Az elektronkonfiguraacutecioacute jeloumlleacuteseacutet gyakran leroumlvidiacutetjuumlk a koumlvetkező moacutedon megkeressuumlk azt a
legnagyobb rendszaacutemuacute nemesgaacutezt (1He 10Ne 18Ar 36Kr 54Xe 86Rn) melynek rendszaacutema kisebb az
adott elem rendszaacutemaacutenaacutel eacutes csak az elem eacutes a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteget
tuumlntetjuumlk fel
Peacuteldaacuteul a germaacutenium (rendszaacutema 32) elektronkonfiguraacutecioacuteja eseteacuten a legnagyobb naacutela kisebb
rendszaacutemuacute nemesgaacutez a 18-as rendszaacutemuacute argon (Ar) melynek elektronkonfiguraacutecioacuteja
Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
Iacutegy a germaacutenium elektronkonfiguraacutecioacuteja eacutes az argon elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg
A germaacutenium roumlvidiacutetett elektronkonfiguraacutecioacuteja iacutegy
Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2
4s 4p
Ge 1s2 2s
2 2p
6 3s
2 3p
6 4s
2 3d
10 4p
2
Ar
2 Az atomok szerkezete 55
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Eacuterdemes az elektronok feltoumlltődeacuteseacutet az alaacutebbi taacuteblaacutezatos formaacuteban is oumlsszefoglalni
Alheacutejon Oumlsszesen Nemesgaacutez
1s 2 2 2He
2s 2 2 + 2 = 4
2p 6 4 + 6 = 10 10Ne
3s 2 10 + 2 = 12
3p 6 12 + 6 = 18 18Ar
4s 2 18 + 2 = 20
3d 10 20 + 10 = 30
4p 6 30 + 6 = 36 36Kr
5s 2 36 + 2 = 38
4d 10 38 + 10 = 48
5p 6 48 + 6 = 54 54Xe
6s 2 54 + 2 = 56
4f 14 56 + 14 = 70
5d 10 70 + 10 = 80
6p 6 80 + 6 = 86 86Rn
7s 2 86 + 2 =88
5f 14 88 + 14 = 102
6d 10 102 + 10 = 112
7p 6 112 + 6 = 118 118UUo
22 peacutelda
Iacuterjuk fel a 48-es rendszaacutemuacute kadmium elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet
Megoldaacutes
Tehaacutet 48 elektront kell elhelyeznuumlnk Iacutegy a teljes elektronkonfiguraacutecioacute
Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10
Most hataacuterozzuk meg az elektronkonfiguraacutecioacutet a roumlvidiacutetett leiacuteraacutessal A kriptonban 36 elektron
talaacutelhatoacute (a xenonnak toumlbb elektronja van mint a kadmiumnak) iacutegy a maradeacutek 48minus36 = 12 elektront
kell csak feltuumlntetnuumlnk ezek az 5s eacutes a 4d alheacutejakra keruumllnek
Cd [Kr] 5s2 4d10
Gyakorloacutefeladatok
Iacuterjuk fel az alaacutebbi elemek alapaacutellapotuacute konfiguraacutecioacutejaacutet
a) 38Sr
b) 13Al
c) 34Se
d) 53I
e) 25Mn
f) 36Kr
g) 67Ho
h) 83Bi
i) 95Am
j) 80Hg
Megoldaacutesok
a) [Kr] 5s2
b) [Ne] 3s2 3p1
56 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
c) [Ar] 4s2 3d10 4p4
d) [Kr] 4d10 5s2 5p5
e) [Ar] 4s2 3d5
f) [Ar] 3d10 4s2 4p6
g) [Xe] 4f11 6s2
h) [Xe] 4f14
5d10
6s2 6p
3
i) [Rn] 5f7 7s2
j) [Xe] 4f14 5d10 6s2
24 A kvantumszaacutemok
Az atompaacutelyaacutek illetve az elektronok betoumlltődeacuteseacutenek sorrendje szoros oumlsszefuumlggeacutesben aacutell a
Schroumldinger-egyenletekkel melyek a kvantumkeacutemia legfontosabb alapegyenletei koumlzeacute tartoznak
Mivel ezen egyenletek megeacuterteacutese felsőbb matematikai ismereteket koumlvetel itt nem ismerkeduumlnk meg
veluumlk (keacutesőbbi egyetemi tanulmaacutenyainkban viszont majd igen) azonban neacutehaacuteny fontosabb
koumlvetkezmeacutenyuumlket bemutatjuk A Schroumldinger-egyenletek megoldaacutesai kvantaacuteltak ami azt jelenti
hogy nem vehetnek fel baacutermilyen tetszőleges eacuterteacuteket hanem csak joacutel meghataacuterozott eacuterteacutekűek lehetnek
Egy szemleacuteletes peacutelda a molekulaacutek rezgőmozgaacutesa a molekula atomjait keacutepzeljuumlk el toumlmegpontoknak
melyeket a keacutemiai koumlteacutesek rugoacutekeacutent koumltnek oumlssze Egy nagyon egyszerű keacutetatomos molekula a
dihidrogeacuten (H2) A molekulaacutek ndash iacutegy a dihidrogeacuten is ndash folyamatos rezgőmozgaacutessal rendelkeznek aacutem
ennek frekvenciaacuteja nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket Ha energiaacutet koumlzluumlnk a molekulaacuteval noumlvelhetjuumlk a
rezgeacutes frekvenciaacutejaacutet aacutem nem tetszőleges meacuterteacutekben a rezgeacutes frekvenciaacuteja kvantaacutelt
Egy adott atomban az elektronok energiaszintjei is kvantaacuteltak nem vehetnek fel baacutermilyen
eacuterteacuteket az egyes energiaszintek energiaacuteja meghataacuterozott Az elektronok nem tartoacutezkodhatnak
energiaszintek koumlzoumltt csak adott energiaszinteken Ha az elektront az egyik energiaszintről egy
maacutesikra szeretneacutenk juttatni (gerjeszteni) meghataacuterozott energiaacutet kell koumlzoumllnuumlnk vele A Schroumldinger-
egyenlet alapjaacuten kiszaacutemiacutethatjuk az elektronszintek energiaacutejaacutet ez tartalmaz egy parameacutetert melynek
eacuterteacuteke 1 2 3 stb eacuterteacutekeket vehet fel Ezt a parameacutetert főkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Az elektron
maacutegneses tulajdonsaacutegokkal is rendelkezik melyek szinteacuten kvantaacuteltak Ezeket a tulajdonsaacutegokat a
melleacutekkvantumszaacutem eacutes a maacutegneses kvantumszaacutem hataacuterozza meg aacutem ezek eacuterteacuteke sem lehet
tetszőleges Az elektron rendelkezik egy spinnek nevezett mennyiseacuteggel mely fuumlggetlen a toumlbbi
kvantumszaacutemtoacutel A spin az elektron egy maacutegneses jellemzője az ehhez tartozoacute kvantumszaacutemot
spinkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Mint majd laacutetni fogjuk a spinkvantumszaacutem keacutet ellenteacutetes előjelű aacutem
azonos abszoluacutet eacuterteacutekű szaacutem (minusfrac12 vagy +frac12) lehet
Tehaacutet az atom baacutermely elektronja neacutegy kvantumszaacutemmal jellemezhető
A főkvantumszaacutem (n) eacuterteacuteke 1 2 3 stb pozitiacutev egeacutesz szaacutem lehet eacutes megadja hogy az elektron
haacutenyadik heacutejon van Mineacutel nagyobb n eacuterteacuteke az elektron annaacutel nagyobb sugaruacute paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Tehaacutet
n = 1 eseteacuten tudjuk hogy az elektron az első heacutejon talaacutelhatoacute n = 2 eseteacuten pedig hogy a maacutesodik
elektronheacutejon Az elektron energiaacuteja is fuumlgg a főkvantumszaacutemtoacutel a legalacsonyabb energia n = 1-hez
tartozik
A melleacutekkvantumszaacutem (ℓ) eacuterteacuteke 0 1 hellip nminus1 lehetseacuteges tehaacutet az adott heacutejon (adott n eseteacuten)
n-feacutele kuumlloumlnboumlző melleacutekkvantumszaacutem lehetseacuteges A melleacutekkvantumszaacutem megadja hogy az elektron
az elektronheacutejon beluumll melyik alheacutejon (s p d f hellip) talaacutelhatoacute
Az első elektronheacutejon (n = 1) csak ℓ = 0 lehetseacuteges azaz csak s-alheacutejon lehet az elektron
A maacutesodik elektronheacutejon (n = 2) ℓ eacuterteacuteke lehet 0 vagy 1 Ha ℓ = 0 az elektron az s-alheacutejon van
ha pedig ℓ = 1 az elektron a p-alheacutejon talaacutelhatoacute
A harmadik heacutejon (n = 3) ℓ eacuterteacuteke haacuterom kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel 0 1 vagy 2 Az ℓ = 0 eacuterteacutek
mindig s-alheacutejat jeloumll ℓ = 1 eseteacuten az elektron p-alheacutejon talaacutelhatoacute ha pedig ℓ eacuterteacuteke 2 akkor az
elektronroacutel megaacutellapiacutethatoacute hogy a d-alheacutejon van
A maacutegneses kvantumszaacutem (m) eacuterteacuteke egeacutesz szaacutem lehet minusℓ-től +ℓ-ig terjedőleg (a 0-t is
beleeacutertve) iacutegy (2middotℓ + 1) kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel A maacutegneses kvantumszaacutem adott alheacutej eseteacuten a
2 Az atomok szerkezete 57
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
paacutelyaacutek iraacutenyaacutet adja meg tehaacutet egy adott alheacutej eseteacuten m eacuterteacuteke alapjaacuten meg tudjuk aacutellapiacutetani hogy az
elektron melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul ha ℓ = 0 csak egyetlen eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem m = 0 Az s-alheacutejon
beluumll egyetlen s-paacutelya talaacutelhatoacute ehhez tartozik az m = 0 maacutegneses kvantumszaacutem
Ha ℓ = 1 a p-alheacutejon talaacutelhatoacute az elektron Viszont haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyuacute p-paacutelyaacutet ismeruumlnk
px- py- eacutes pz-paacutelyaacutekat A maacutegneses kvantumszaacutem ℓ = 1 eseteacuten m = minus1 m = 0 eacutes m = +1 lehet a haacuterom
A d-alheacutej azaz ℓ = 2 eseteacuten maacuter oumltfeacutele eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem minus2 minus1 0 +1
eacutes +2 Az oumlt kuumlloumlnboumlző maacutegneses kvantumszaacutem az oumlt kuumlloumlnboumlző d-paacutelyaacutet jeloumlli a d-alheacutejon beluumll
Az f-alheacutej eseteacuten (ℓ = 3) heacutet kuumlloumlnboumlző eacuterteacutek koumlzuumll vehet fel egyet a maacutegneses kvantumszaacutem minus3
minus2 minus1 0 +1 +2 +3 iacutegy az f-alheacutejon beluumll heacutet paacutelya kuumlloumlnboumlztethető meg
A spinkvantumszaacutem (ms) eacuterteacuteke +frac12 vagy minusfrac12 lehet Egy adott paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron
keruumllhet ezek mindig ellenteacutetes spinkvantumszaacutemmal rendelkeznek Az elektronok cellaacutes jeloumlleacuteseacuteneacutel a
Tehaacutet ha ismerjuumlk egy elektron mind a neacutegy kvantumszaacutemaacutet akkor tudjuk hogy melyik heacutejon (n)
azon beluumll melyik alheacutejon (ℓ) van eacutes azt is ismerjuumlk hogy az alheacutejon beluumll melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute
(m) Az adott paacutelyaacuten talaacutelhatoacute keacutet elektront a spinkvantumszaacutem (ms) kuumlloumlnboumlzteti meg
Egy adott atomban azon elektronok melyek csupaacuten spinkvantumszaacutemukban kuumlloumlnboumlznek egy
elektronpaacutert alkotnak
Tehaacutet egy atomban minden egyes elektron bdquobeazonosiacutethatoacuterdquo a neacutegy kvantumszaacutem segiacutetseacutegeacutevel
Egy nagyon fontos megaacutellapiacutetaacutes hogy egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet Ez a Pauli-
elvvel van oumlsszefuumlggeacutesben
Pauli-elv egy atomban nem lehet keacutet (vagy toumlbb) olyan elektron melynek mind a neacutegy
kvantumszaacutema azonos
A kvantumszaacutemok egy oumlsszetett fizikai elmeacutelet igen bonyolult matematikai oumlsszefuumlggeacutesekkel
megkapott eredmeacutenyei melyek segiacutetseacutegeacutevel megmagyaraacutezhatoacute a heacutejakndashalheacutejakndashpaacutelyaacutek rendszere iacutegy
az atom elektronheacutejaacutenak szerkezete Mint hamarosan laacutetjuk az elemek perioacutedusos rendszereacutenek
feleacutepiacuteteacutese is szoros oumlsszhangban van a kvantumszaacutemok rendszereacutevel
25 Az elemek perioacutedusos rendszere
Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Maacuter reacutegen megfigyelteacutek hogy bizonyos elemek hasonloacute keacutemiai (eacutesvagy fizikai) tulajdonsaacutegokkal
rendelkeznek Mengyelejev a XIX szaacutezad veacutegeacuten az addig felfedezett elemeket egy taacuteblaacutezatba
gyűjtoumltte oumlssze Sőt a felfedezett toumlrveacutenyszerűseacutegeket felhasznaacutelva Mengyelejev szaacutemos addig meacuteg
ismeretlen elem tulajdonsaacutegait joacutesolta meg
A perioacutedusos rendszer az elemeknek a noumlvekvő rendszaacutem szerint feleacutepiacutetett taacuteblaacutezata
Eacuterdekes moacutedon ha az egymaacutest koumlvető rendszaacutemuacute (azaz elektronszaacutemuacute) elemeket sorba
rendezzuumlk ez az elektronok beeacutepuumlleacutesi sorrendje szerint toumlrteacutenik
58 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
251 aacutebra Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszer feleacutepuumlleacutese joacutel megfigyelhető az alaacutebbi animaacutecioacuten
251 animaacutecioacute Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer
Perioacutedusok
A perioacutedusos rendszerben a viacutezszintes sorokat perioacutedusoknak vagy soroknak nevezzuumlk Gyakran
kuumlloumlnbseacuteg van a sor eacutes a perioacutedus megjeloumlleacutes koumlzoumltt az első bdquosorrdquo-nak aacuteltalaacuteban a 2 perioacutedust szokaacutes
tekinteni peacuteldaacuteul a szeacuten vagy a nitrogeacuten bdquoelső sorbelirdquo elem
Mezők
Az egymaacutes alatti sorok az adott elektronheacutej beeacutepuumlleacuteseacutet mutatjaacutek Az elemeket a fenti taacuteblaacutezatba
rendezve kuumlloumlnboumlző uacutegynevezett mezőket figyelhetuumlnk meg egy mezőn beluumll az azonos betoumlltődő
alheacutejjal rendelkező elemek talaacutelhatoacutek Iacutegy megkuumlloumlnboumlztetuumlnk s- p- d- eacutes f-mezőt
1 1s 1s
2 2s 2p
3 3s 3p
4 4s 3d 4p
5 5s 4d 5p
6 6s 5d 6p
7 7s 6d 7p
4f
5f
2 Az atomok szerkezete 59
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
252 aacutebra A perioacutedusos rendszer mezői
Az s-mező eacuterdekes moacutedon keacutet helyen talaacutelhatoacute az egyik a perioacutedusos rendszer bal oldalaacuten a
maacutesik pedig csupaacuten egyetlen elemet tartalmaz a heacuteliumot A heacutelium egyreacuteszt azeacutert keruumllt a perioacutedusos
rendszer jobb oldalaacutera mivel tulajdonsaacutegaiban sokkal inkaacutebb hasonliacutet az ott talaacutelhatoacute elemekhez A
heacutelium bdquoaacutethelyezeacuteserdquo azonban nem oumlnkeacutenyes a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban toumlltődik be az
adott heacutej az 1 (K) heacutej pedig keacutet elektronnal teliacutethető azaz maacuter a heacuteliumnaacutel lezaacuterul a heacutej
Mint fentebb laacutethatjuk az f-mezőt aacuteltalaacuteban ki szoktaacutek venni az uacutegynevezett bdquohosszuacute perioacutedusos
rendszerbőlrdquo mivel egy hosszuacute keskeny taacuteblaacutezat kezeleacutese viszonylag koumlruumllmeacutenyes
A feltoumlltődeacutesi sorrendből adoacutedik hogy az első perioacutedusban csak s-mező talaacutelhatoacute a maacutesodik
perioacutedustoacutel kezdődik a p-mező feltoumlltődeacutese Mivel a 4s alheacutej hamarabb kezd feltoumlltődni mint a 3d a
3d heacutej a 4 perioacutedusban kezd csak feltoumlltődni Hasonloacute a helyzet az f-mezővel a 4f alheacutej csak a 6s
alheacutej betoumlltődeacutese utaacuten kezd el beneacutepesuumllni iacutegy a 6 perioacutedusban talaacutelhatoacute A tudomaacuteny pillanatnyi
aacutellaacutesa szerint nem sikeruumllt meacuteg előaacutelliacutetani olyan elemet mely a 8 perioacutedusban talaacutelhatoacute sőt a 7
perioacutedus nagyobb rendszaacutemuacute (uacutegynevezett keacutesői) elemei is rendkiacutevuumll instabilak aacuteltalaacuteban csupaacuten
nyomnyi mennyiseacutegben sikeruumll őket előaacutelliacutetani (gyakran ez csak neacutehaacutenyszor tiacutez atomot jelent) A
nagyfokuacute instabilitaacutes oka az atommagok radioaktivitaacutesa aacuteltalaacuteban magreakcioacutek segiacutetseacutegeacutevel lehet
ilyen nagy rendszaacutemuacute atommagokat előaacutelliacutetani melyek azonban toumlbbnyire nagyon gyorsan radioaktiacutev
bomlaacutest szenvednek Ebből koumlvetkezik hogy az ilyen rendkiacutevuumll nagy rendszaacutemuacute elemek fizikai eacutes
keacutemiai tulajdonsaacutegairoacutel nem sokat tudunk Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megjegyezhetjuumlk hogy a
perioacutedusos rendszer alsoacutebb perioacutedusaiban ndash a sok kuumllső elektronnak koumlszoumlnhetően ndash noumlvekszik a
feacutemes jelleg eacutes meacuteg a főcsoportokban is elmosoacutedik az egyes elemek keacutemiai tulajdonsaacutegai koumlzoumltt a
hataacuter
1 s
2
3
4
5
6
7
s -
m
e z
ő
d-mező
p-mező
f-mező
60 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
I
A
II
A
III
B
IV
B
V
B
VI
B
VII
B
VIII
B
VIII
B
VIII
B
I
B
II
B
III
A
IV
A
V
A
VI
A
VII
A
VIII
A
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Ta Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
253 aacutebra A perioacutedusos rendszer
Oszlopok
A hasonloacute elektronszerkezetű elemek fuumlggőleges elrendeződeacutesben helyezkednek le egymaacutes alatti
helyet foglalnak el a perioacutedusos rendszerben ezek egy oszlopot alkotnak
Az s-mező eacutes a p-mező oszlopait oumlsszefoglaloacutean főcsoportoknak miacuteg a d-mező oszlopait
melleacutekcsoportoknak szokaacutes nevezni A keacutesőbbiekben megismerkeduumlnk az egyes oszlopok
elnevezeacuteseivel is
Az oszlopok szaacutemozaacutesaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen szokaacutes veacutegezni
ndash a reacutegiesebb szaacutemozaacutes szerint kuumlloumln taacutergyaljuk a főcsoportokat illetve a melleacutekcsoportokat aacutem
mindkettőt roacutemai szaacutemokkal jeloumlljuumlk Ilyenkor a főcsoportok eseteacuten a megfelelő roacutemai szaacutem
melleacute A betűt iacuterunk miacuteg a melleacutekcsoportokat B betűvel jeloumlljuumlk A fő- eacutes melleacutekcsoportok
(Pd) ezuumlst (Ag) ozmium (Os) iridium (Ir) platina (Pt) eacutes az arany (Au)
Lantanidaacutek eacutes aktinidaacutek
Az f-mező 6 perioacutedusaacuteba tartozoacute feacutemeit lantanidaacuteknak (a 7 perioacutedusaacuteba tartozoacutekat pedig
aktinidaacuteknak szoktuk nevezni)
Ritka foumlldfeacutemek
A lantanidaacutekat a szkandiummal (Sc) eacutes az ittriummal (Y) egyuumltt ritkafeacutemeknek nevezzuumlk
62 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 H He
2 Li Be B C N O F Ne
3 Na Mg Al Si P S Cl Ar
4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn
7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118
La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
Nemfeacutemek Alkaacutelfeacutemek
Feacutelfeacutemek Alkaacutelifoumlldfeacutemek
Maacutesodfajuacute feacutemek Lantanidaacutek
Aacutetmeneti feacutemek Aktinidaacutek
Nemesfeacutemek
254 aacutebra A perioacutedusos rendszer felosztaacutesa az atomok feacutemes jellege szerint
26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A perioacutedusos rendszerben bizonyos tulajdonsaacutegok folytonosan maacutes tulajdonsaacutegok pedig perioacutedusosan
vaacuteltoznak
261 Toumlmegszaacutem neutronszaacutem eacutes relatiacutev atomtoumlmeg vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
A proacutecium ( H11 ) kiveacuteteleacutevel minden izotoacutep tartalmaz neutronokat mivel maacuter keacutet proton melleacute is
szuumlkseacuteges neutron hogy az atommag stabil legyen
A kis rendszaacutemuacute elemek legstabilabb izotoacutepjai eseteacuten (perioacutedusos rendszer eleje) a protonok eacutes a
neutronok szaacutema gyakran megegyezik (azaz a neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya egy koumlruumlli ndash
N Z asymp 1) tehaacutet a toumlmegszaacutem gyakran a rendszaacutem keacutetszerese A kalcium 40-es toumlmegszaacutemuacute izotoacutepja (
Ca4020 ) a legnagyobb rendszaacutemuacute izotoacutep melyben a protonok eacutes neutronok szaacutema megegyezik
Nagyobb rendszaacutemuacute elemek izotoacutepjai eseteacuten a neutronok szaacutema meghaladja a protonokeacutet tehaacutet a
toumlmegszaacutem nagyobb mint a rendszaacutem keacutetszerese Ennek oka hogy egyre toumlbb neutronra van szuumlkseacuteg
a pozitiacutev toumllteacutesű protonok elektrosztatikus tasziacutetaacutesaacutenak leaacuternyeacutekolaacutesaacutera A perioacutedusos rendszer utolsoacute
perioacutedusaacuteban a neutronok eacutes protonok szaacutemaacutenak araacutenya (N Z) rendszerint nagyobb mint 15
2 Az atomok szerkezete 63
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az alaacutebbi aacutebraacuten a leacutetező oumlsszes stabil izotoacutep neutronszaacutem protonszaacutem araacutenya (N Z) van
feltuumlntetve a rendszaacutem (Z protonszaacutem) fuumlggveacutenyeacuteben A piros vonal az N Z = 1 esetet jeleniacuteti meg
2611 aacutebra A neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya a toumlmegszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel noumlvekszik ez aloacutel neacutehaacuteny elempaacuter a kiveacutetel
Az alaacutebbi aacutebraacuten az elemek relatiacutev atomtoumlmegeacutet (Ar) aacutebraacutezoltuk a rendszaacutem (Z) fuumlggveacutenyeacuteben
(keacutek koumlroumlk) A fekete egyenes az Ar = Z a zoumlld egyenes az Ar = 2 middot Z a piros egyenes pedig az
Ar = 3 middot Z fuumlggveacutenyeket jelenti
2612 aacutebra A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben
64 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint laacutethatoacute a relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel egyre meredekebben noumlvekszik Miacuteg
a kis rendszaacutemok eseteacuten Ar asymp 2 middot Z (a neutronok szaacutema nagyjaacuteboacutel megegyezik a protonok szaacutemaacuteval ndash a
rendszaacutemmal) addig a nagy rendszaacutemok eseteacuten az Ar Z araacuteny 2-neacutel joacuteval nagyobb
262 Az atomok meacutereteacutenek vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Az atomokat goumlmbszerűnek felteacutetelezzuumlk iacutegy az atomok meacutereteacutet az atomsugaacuterral (idegen szoacuteval
atomraacutediusszal) szoktuk jellemezni (Csak megemliacutetjuumlk hogy az atomsugaacuter fuumlgg az atom aacutellapotaacutetoacutel
azaz attoacutel is hogy milyen koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacuteban vesz reacutesz Ezaacuteltal toumlbbfeacutele moacutedon definiaacutelhatjuk az
atomsugarat aacutem ennek reacuteszleteivel itt nem foglalkozunk) Az atomsugaacuter (eacutes iacutegy az atomteacuterfogat)
vaacuteltozaacutesa szaacutemos maacutes tulajdonsaacuteg vaacuteltozaacutesaacutera hataacutessal van (peacuteldaacuteul sűrűseacuteg halmazaacutellapot)
Az atomsugaacuter periodikusan vaacuteltozik a perioacutedusos rendszeren beluumll
Egy adott perioacuteduson beluumll az atomsugaacuter balroacutel jobbra csoumlkken Ennek a magyaraacutezata a
koumlvetkező egy perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra haladva noumlvekszik az atommag toumllteacutese mivel egyre
toumlbb proton talaacutelhatoacute benne Az atommag toumllteacuteseacutet az elektronok leaacuternyeacutekoljaacutek A lezaacutert belső heacutejak
elektronjainak negatiacutev toumllteacutese egy perioacuteduson beluumll gyakorlatilag azonosnak tekinthető Balroacutel jobbra
haladva egy perioacutedusban az elektronok ugyanarra a kuumllső heacutejra leacutepnek be ezek aacuternyeacutekoloacute hataacutesa
sokkal kisebb mint az alatta levő heacutejak elektronjaieacute iacutegy az atommag (balroacutel jobbra noumlvekedő) toumllteacutese
egyre erősebben vonzza a vegyeacuterteacutekelektronokat ennek koumlvetkezteacuteben az atomsugaacuter csoumlkken
Az atomsugaacuter egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik Magyaraacutezat a paacutelyaacutek meacuterete
2621 aacutebra Az atomsugaacuter vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Itt eacuterdemes megemliacuteteni a sűrűseacuteg vaacuteltozaacutesaacutet is A sűrűseacuteg termeacuteszetesen nemcsak az
atomteacuterfogattoacutel (atomsugaacutertoacutel) fuumlgg hanem a halmazaacutellapottoacutel az atomok elrendeződeacuteseacutetől a
kristaacutelyszerkezettől is iacutegy igen neheacutez aacuteltalaacutenosan tendenciaacutekat talaacutelni Viszont azt mindenkeacuteppen
eacuterdemes megjegyezni hogy a sűrűseacuteg egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik
1
2
3
4
5
6
7
ATOMSUGAacuteR
2 Az atomok szerkezete 65
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
263 Az elemek halmazaacutellapota
A halmazaacutellapot a reacuteszecskeacuteket oumlsszetartoacute koumllcsoumlnhataacutesoktoacutel fuumlgg A kuumlloumlnfeacutele koumllcsoumlnhataacutesok eacutes a
halmazaacutellapot oumlsszefuumlggeacuteseit majd a keacutesőbbiekben reacuteszletesen taacutergyaljuk itt ndash a teljesseacuteg kedveacuteeacutert ndash
azonban megmutatjuk a perioacutedusos rendszer mely reacuteszeacuteben milyen halmazaacutellapot jellemző
Normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson (101325 kPa) eacutes 25 degC hőmeacuterseacutekleten az elemek tuacutelnyomoacute toumlbbseacutege
szilaacuterd azonban talaacutelhatunk koumlzoumlttuumlk szeacutep szaacutemban gaacutezokat is A legritkaacutebb halmazaacutellapot a folyadeacutek
csupaacuten keacutet elem folyeacutekony 25 degC-on a broacutem (Br) eacutes a higany (Hg) Tovaacutebbi keacutet elemnek igen
alacsony az olvadaacutespontja a galliumeacute (Ga 30 degC) eacutes a ceacuteziumeacute (Cs 28 degC) is szobahőmeacuterseacuteklet
koumlzeleacuteben van enyhe melegiacuteteacutes hataacutesaacutera megolvadnak
A vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema az első 12 oszlopban megegyezik az oszlop szaacutemaacuteval A p-
mezőben pedig a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacutet megkapjuk ha az oszlop szaacutemaacuteboacutel levonunk 10-et a
66 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
lezaacutert d-alheacutejat (a tiacutez elektronjaacuteval) maacuter nem szokaacutes a p-mező vegyeacuterteacutekelektronjaihoz szaacutemiacutetani (itt az
n-dik heacutej teliacutetődik viszont az (nminus1)-dik heacutej maacuter lezaacuterult a 12 oszlopban) Egyetlen kiveacutetel a heacutelium
(18 oszlop) melynek csupaacuten 2 vegyeacuterteacutekelektronja van
(A reacutegi szaacutemozaacutesi moacuted szerint a főcsoportokban az oszlop szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Ez a melleacutekcsoportok eseteacuten is igaz viszont a VIIIB keacutet oszlopaacutera
nem igaz ndash kobalt nikkel eacutes az alattuk talaacutelhatoacute elemek)
Vegyeacuterteacutek az atom aacuteltal leacutetesiacutethető keacutemiai koumlteacutesek szaacutema A kuumlloumlnboumlző elemek gyakran toumlbbfeacutele
Ennek magyaraacutezata a koumlvetkező Maacuter koraacutebban megismertuumlk hogy a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema
a perioacutedusos rendszer főcsoportjaiban balroacutel jobbra noumlvekszik A keveacutes vegyeacuterteacutekelektronnal
rendelkező feacutemek viszonylag koumlnnyen le tudjaacutek adni elektronjaikat iacutegy igen stabilis nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionokkaacute alakulnak miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező nemfeacutemek
eseteacuten a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute elektronfelveacutetellel koumlnnyebben kialakul Ellenkező esetben a
nemesgaacutez elektronszerkezet eleacutereacuteseacutehez a kevesebb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező feacutemeknek
viszonylag sok elektront kellene felvenniuumlk miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező
nemfeacutemeknek igen sok elektront kellene leadniuk mely energetikailag igen kedvezőtlen
Iacutegy peacuteldaacuteul a kaacuteliumatomboacutel egy vegyeacuterteacutekelektronjaacutenak eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval egyszeresen pozitiacutev
toumllteacutesű kaacuteliumion miacuteg a heacutet vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező fluoratom egy elektront felveacuteve
fluoridanionnaacute tud alakulni Mind a kaacuteliumionnak mind a fluoridionnak nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacuteja van
A nemfeacutemek aacuteltal maximaacutelisan felvehető elektronok szaacutemaacutet nagyon egyszerűen meg tudjuk
aacutellapiacutetani a nemesgaacutezoknak ndash a heacutelium kiveacuteteleacutevel ndash mindig keacutet s eacutes hat p elektronja van azaz a
vegyeacuterteacutekheacutejukon 8 elektronjuk van Legyen a nemfeacutemnek n vegyeacuterteacutekelektronja ekkor pontosan
8 minus n elektron szuumlkseacuteges ahhoz hogy 8 elektronja legyen a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
Mint az előzőekben maacuter taacutergyaltuk a perioacutedusos rendszer oszlopaacutenak sorszaacutema eacutes az adott elem
vegyeacuterteacutekelektronjainak szaacutema koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes van Az oszlopok aktuaacutelis szaacutemozaacutesa szerint
tehaacutet az m-edik oszlopban talaacutelhatoacute nemfeacutem 18 minus m elektront tud felvenni Peacuteldaacuteul a 15 oszlopban
talaacutelhatoacute foszforatom 18 minus 15 = 3 elektront tud maximaacutelisan felvenni a 16 csoportban talaacutelhatoacute
keacutenatom pedig maximaacutelisan 18 minus 16 = 2 elektron felveacuteteleacutevel keacutepes anionnaacute alakulni
A főcsoportokban a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema megegyezik a
vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Peacuteldaacuteul egy alumiacuteniumatomroacutel (mely haacuterom vegyeacuterteacutekelektronnal
d) Az arzeacuten (As) a 15 csoportban talaacutelhatoacute vegyeacuterteacutekelektron-konfiguraacutecioacuteja 4s2 4p3 Az arzeacuten
uacutegy tud nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionnaacute alakulni ha lead 5 elektront vagy pedig ha
felvesz 3 elektront
As rarr As5+ + 5eminus
As + 3eminusrarr As3minus
e) A hidrogeacuten egy kicsit kuumlloumlnoumls eset mivel a hozzaacute legkoumlzelebbi nemesgaacutez a heacutelium melynek 2
(vegyeacuterteacutek)elektronja van Iacutegy a hidrogeacutenatom egy elektron eladaacutesaacuteval hidrogeacutenkationnaacute
(tulajdonkeacuteppen protonnaacute 1H+ equiv p+) miacuteg egy elektron felveacuteteleacutevel anionnaacute keacutepes alakulni A
hidrogeacutenből keacutepződő aniont hidridionnak nevezzuumlk (az 1Hminus eseteacuten egy proton keacutet elektronnal)
H rarr H+ + eminus
H + eminusrarr Hminus
Eacuterdemes megjegyezni hogy az atomboacutel elektronfelveacutetellel keacutepződő ion elnevezeacuteseacutenek veacutegeacuten
mindig -id veacutegződeacutes talaacutelhatoacute
Peacuteldaacuteul
O2minus oxid
As3minus arzenid
Hminus hidrid
70 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A melleacutekcsoportok eseteacuten nem jellemző hogy az elemek elektronfelveacutetellel anionnaacute alakuljanak
eacutes a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema is kicsit komplikaacuteltabb A 3 oszloptoacutel a 8 oszlopig
az elemekből baacutermely vegyeacuterteacutekelektront el lehet taacutevoliacutetani iacutegy az eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutemaacutenak
maximuma az oszlop sorszaacutemaacuteval azonos Viszont a 9 oszloptoacutel kezdődően a helyzet hasonloacutevaacute vaacutelik
ahhoz mint amit a nemfeacutemekneacutel tapasztaltunk nagyszaacutemuacute elektron eltaacutevoliacutetaacutesa maacuter nem lehetseacuteges
tehaacutet nem lehetseacuteges peacuteldaacuteul 9-szeresen pozitiacutev ion keacutepzeacutese Aniont keacutepezve azonban az aktuaacutelis heacutej
lezaacuteraacutesaacutehoz a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute eleacutereacuteseacutehez az oumlsszes p-elektront is fel kellene toumlltenuumlnk
melyhez igen sok energia szuumlkseacuteges A 9 eacutes 10 oszlopban iacutegy nehezen lehet megjoacutesolni a
maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronszaacutemot A 11 oszlopban toumlbbnyire 1 vagy 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacutera
van lehetőseacuteg miacuteg a 12 oszlopban 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval keacutepezhető kation
A melleacutekcsoportokroacutel aacuteltalaacutenossaacutegban elmondhatoacute hogy itt a főcsoportokhoz keacutepest sokkal toumlbb
Első ionizaacutecioacutes energia vagy első ionizaacutecioacutes potenciaacutel első ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt
az energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy atomboacutel egyszeresen pozitiacutev iont (kationt) hozzunk
leacutetre
Az ionizaacutecioacutes energia az alaacutebbi folyamat energiaszuumlkseacutegleteacutet jelenti
X rarr X+ + eminus
Mindig a leggyengeacutebben koumltoumltt elektront tudjuk legkoumlnnyebben eltaacutevoliacutetani eacutes eacutertelemszerűen
mineacutel erősebben koumltődik egy elektron az atomhoz annaacutel nehezebb eltaacutevoliacutetani azaz annaacutel toumlbb
energiaacutet kell befektetnuumlnk hogy el tudjuk taacutevoliacutetani
A legstabilabb elektronszerkezettel a nemesgaacutezok rendelkeznek (18 oszlop) mivel itt zaacuterul le a
betoumlltődő elektronheacutej A lezaacutert elektronheacutej mindig kiemelkedően stabil ezeacutert a nemesgaacutezok első
ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb egy perioacuteduson beluumll Mivel az alkaacutelifeacutemek ionizaacutelaacutesaacuteval nemesgaacutez
elektronkonfiguraacutecioacutejuacute egyszeresen pozitiacutev ion keletkezik ez igen nagy stabilitaacutessal rendelkezik eacutes
az alkaacutelifeacutematom koumlnnyen leadja az egyetlen s vegyeacuterteacutekelektronjaacutet Tehaacutet egy perioacuteduson beluumll az
alkaacutelifeacutemek első ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legkisebb
Az első ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
Egy adott perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra noumlvekszik (az alkaacutelifeacutemektől a nemesgaacutezok iraacutenyaacuteba)
az első ionizaacutecioacutes energia eacuterteacuteke
Mineacutel nagyobb egy atom a taacutevolsaacuteg koumlvetkezteacuteben a negatiacutev toumllteacutesű kuumllső elektronjaira annaacutel
keveacutesbeacute hat a pozitiacutev toumllteacutesű atommag vonzaacutesa iacutegy annaacutel koumlnnyebben taacutevoliacutethatoacute el
Iacutegy egy oszlopon beluumll fentről lefeleacute csoumlkken az első ionizaacutecioacutes energia
2651 aacutebra Az ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben
1
2
3
4
5
6
7
1 IONIZAacuteCIOacuteS ENERGIA
72 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Maacutesodik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt az
energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy egyszeresen pozitiacutev ionboacutel keacutetszeresen pozitiacutev iont
hozzunk leacutetre
A maacutesodik ionizaacutecioacutes energia mindig nagyobb mint az első ionizaacutecioacutes energia mivel egy
kationroacutel kell leszakiacutetanunk egy negatiacutev toumllteacutesű elektront mely meacutelyebb energiaacutejuacute paacutelyaacuten van mint az
első eltaacutevoliacutetott elektron
Egy perioacuteduson beluumll az alkaacutelifeacutemek maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb (igen stabil
nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ion elektronszerkezeteacutet bontjuk meg) miacuteg az alkaacutelifoumlldfeacutemekeacute a
legkisebb (a vegyeacuterteacutekheacutejukon maacuter csak egy elektron talaacutelhatoacute ez viszonylag koumlnnyen eltaacutevoliacutethatoacute)
Azaz egy perioacuteduson beluumll a 2 oszloptoacutel a 18 oszlopig nő az ionizaacutecioacutes potenciaacutel aacutem az 1
oszlopban meacuteg enneacutel is nagyobb
Egy oszlopon beluumll a maacutesodik ionizaacutecioacutes potenciaacutel fentről lefeleacute csoumlkken
k-dik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel az energia mely egy elektronnak egy (kminus1)-szeresen
3111 animaacutecioacute Az ionos koumlteacutes kialakulaacutesa
Az ionos koumlteacutes leacutetrejoumlhet egyszerű eacutes oumlsszetett ionok koumlzoumltt
Az egyszerű ionok atomokboacutel keacutepződnek elektron(ok) leadaacutesaacuteval (kationok) vagy elektron(ok)
felveacuteteleacutevel (anionok)
76 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Egyszerű kationok K+ Mg2+ Al3+ Fe3+ Ce4+ stb
Egyszerű anionok Clminus O2minus N3minus Iminus Hminus stb
Az oumlsszetett ionok toumlbb atomboacutel eacutepuumllnek fel eacutes toumllteacutessel rendelkeznek
Oumlsszetett kationok legfontosabb az ammoacuteniumion NH4+
Oumlsszetett anionok NO3minus CO3
2minus PO4
3minus SO4
2minus stb
A tisztaacuten ionos koumlteacutesű vegyuumlletek rendszerint igen elteacuterő elektronegativitaacutesuacute elemekből joumlnnek
leacutetre Toumlbbnyire alkaacutelifeacutem vagy alkaacutelifoumlldfeacutem kationt tartalmaznak eacutes anionjuk aacuteltalaacuteban vagy
oumlsszetett ion vagy a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban talaacutelhatoacute elemek egyszerű anionja
(elsősorban 16 eacutes 17 oszlop)
II) Feacutemes koumlteacutes
Feacutematomok eseteacuten a vegyeacuterteacutekheacutej elektronjai viszonylag gyengeacuten koumltoumlttek A feacutematomokboacutel
pozitiacutev toumllteacutesű ionok keletkeznek a vegyeacuterteacutekelektronok pedig az atomtoumlrzsek koumlzoumltti teacuterben
delokalizaacuteloacutednak
Feacutemes koumlteacutes az egeacutesz kristaacutelyra kiterjedő koumlzoumls elektronfelhő aacuteltal leacutetrehozott keacutemiai kapcsolatot
feacutemes koumlteacutesnek nevezzuumlk
A feacutemes koumlteacutes (nem meglepő moacutedon) feacutematomok koumlzoumltt joumlhet leacutetre A feacutemek elektronegativitaacutesa
rendszerint nem tuacutel nagy ezeacutert a tisztaacuten feacutemes koumlteacutes akkor joumlhet leacutetre ha kicsi az elemek
elektronegativitaacutesa
3112 animaacutecioacute A feacutemes koumlteacutes kialakulaacutesa
III) Kovalens koumlteacutes
Keacutemiai koumlteacutes uacutegy is leacutetrejoumlhet ha az egymaacutes melletti atomok koumlzoumls (uacutegynevezett koumltő)
elektronpaacuteron (vagy elektronpaacuterokon) keresztuumll kapcsoloacutednak oumlssze
Ezt legegyszerűbben egy peacuteldaacuten keresztuumll eacuterthetjuumlk meg Vegyuumlnk keacutet kloacuteratomot Mindkettőnek
az elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ne] 3s2 3p5 ha feacutemes koumlteacutest szeretneacutenk kialakiacutetani koumlzoumlttuumlk 7ndash7 elektront
kellene leadnia mindkettőnek Ez energetikailag rendkiacutevuumll kedvezőtlen Ezeacutert a lezaacutert elektronheacutejat
elektronfelveacutetel uacutetjaacuten lenne ceacutelszerű eleacuterni Termeacuteszetesen a keacutet kloacuteratom elektronegativitaacutesa
ugyanakkora nem joumlhet leacutetre koumlzoumlttuumlk ionos koumlteacutes
A keacutet kloacuteratom koumlzoumltt koumltő elektronpaacuter leacutetesiacuteteacuteseacutevel alakul ki a keacutemiai koumlteacutes a koumltő elektronpaacuter a
keacutet kloacuteratom egyndashegy elektronjaacuteboacutel joumln leacutetre viszont mindkeacutet atomhoz egyaraacutent tartozik Iacutegy mindkeacutet
kloacuteratom koumlruumll 8ndash8 elektron talaacutelhatoacute tehaacutet mindkeacutet kloacuteratom nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacutevaacute
vaacutelik teljesuumll az oktettszabaacutely A folyamatot energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri
Kovalens koumlteacutes A koumlzoumls elektronpaacuterral leacutetesiacutetett koumlteacutest kovalens koumlteacutesnek nevezzuumlk (Az angol
A heteronukleaacuteris koumlteacutes lehet apolaacuteris vagy polaacuteris
Egy koumlteacutes apolaacuterisnak tekinthető ha a keacutet atom elektronegativitaacutesa azonos
Az azonos atomok koumlzoumltti koumlteacutesek apolaacuterisak (Megjegyzeacutes peacuteldaacuteul a szeacutenndashhidrogeacuten-koumlteacutest is
tekinthetjuumlk koumlzel apolaacuterisnak mivel a szeacuten eacutes a hidrogeacuten elektronegativitaacutesa hasonloacute [EN(C) = 25
EN(H) = 21])
A kovalens koumlteacutes polaacuteris ha keacutet olyan atomot koumlt oumlssze melyek elektronegativitaacutesa koumlzoumltt
kuumlloumlnbseacuteg van A polaacuteris kovalens koumlteacutes viszonylag jelentős ionos jelleggel rendelkezik
Peacuteldaacuteul a hidrogeacutenndashkloacuter-koumlteacutes igen polaacuterisnak tekinthető a keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltt jelentős
kuumlloumlnbseacuteg van EN(Cl) = 30 EN(H) = 21
A polaacuteris kovalens koumlteacutesben a nagyobb elektronegativitaacutesuacute atom reacuteszleges negatiacutev toumllteacutesű
(pontosabban negatiacutevan polarizaacutelt) a kisebb elektronegativitaacutesuacute pedig reacuteszben pozitiacutev toumllteacutesű
(pozitiacutevan polarizaacutelt) Egy keacutetatomos molekulaacuteban a keacutet atomra jutoacute uacutegynevezett parciaacutelis toumllteacutes
(reacuteszleges toumllteacutes) nagysaacutega azonos de előjele ellenteacutetes Ezt a koumlvetkezőkeacutepp szoktuk eacuterzeacutekeltetni a
molekula keacutepleteacuteben
H Cl() ()
A hidrogeacuten-klorid molekulaacuteban a toumllteacutesek nem egyenletesen oszlanak el Az ilyen molekulaacutekat
dipoacutelusmolekulaacuteknak nevezzuumlk
A koumlteacutes polarizaacuteltsaacutega vektormennyiseacuteg nyiacutellal szoktuk jeloumllni A dipoacutelusvektor a pozitiacutev
toumllteacutesből mutat a negatiacutev toumllteacutes feleacute Azt hogy egy molekula dipoacutelusmolekula-e a dipoacutelusvektorok
eredője hataacuterozza meg
Dipoacutelusmolekula olyan molekula melyben vannak polaacuteris koumlteacutesek eacutes a koumlteacutesek
dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus
Apolaacuteris molekula csak apolaacuteris koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula vagy olyan molekula melyben
a polaacuteris koumlteacutesek uacutegy helyezkednek el hogy dipoacutelusvektorainak oumlsszege zeacuterus legyen
78 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A keacutetatomos molekula akkor dipoacutelusos hogyha a koumlteacutes polaacuteris Toumlbbatomos molekulaacutek eseteacuten a
molekula szerkezete is fontos szerepet jaacutetszik annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy a molekula dipoacutelusmolekula-
e Ezzel a molekulaacutek szerkezete kapcsaacuten reacuteszletesen foglalkozunk majd (ennek a fejezetnek a veacutegeacuten)
Az előzőekben megismerkedtuumlnk a haacuterom legfontosabb koumlteacutestiacutepussal Ezen koumlteacutesek igen erősek
ezeacutert szokaacutes elsőrendű koumlteacuteseknek nevezni őket
Az elsőrendű koumlteacutesek
ndash ionos koumlteacutes
ndash feacutemes koumlteacutes
ndash kovalens koumlteacutes
Az elektronegativitaacutes eacutes a koumlteacutesjelleg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes
A haacuterom alaptiacutepus taacutergyalaacutesaacutenaacutel megemliacutetettuumlk hogy az adott koumlteacutestiacutepus rendszerint milyen
elemek koumlzoumltt joumln leacutetre Ezeket oumlsszefoglalva
ndash tisztaacuten ionos koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha az elemek elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg nagy
ndash tisztaacuten feacutemes koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesa hasonloacute (kicsi az elektronegativitaacutesok
kuumlloumlnbseacutege) eacutes mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa kis eacuterteacutekű
ndash tisztaacuten kovalens koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesai nem tuacutelzottan kuumlloumlnboumlzőek eacutes
mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa nagy
A perioacutedusos rendszerből tetszőleges keacutet elemet kivaacutelasztva a koumlzoumlttuumlk leacutetesuumllő koumlteacutest gyakran
nem tudjuk besorolni a fentiek alapjaacuten egyik koumlteacutestiacutepusba sem Fontos hangsuacutelyozni hogy az aacutetmenet
gyakorlatilag folytonos baacutermelyik keacutet elsőrendű koumlteacutes koumlzoumltt Iacutegy gyakran előfordul hogy keacutet
atom koumlzoumltti koumlteacutest nem lehet tisztaacuten ionos feacutemes vagy kovalens koumlteacuteskeacutent leiacuterni A fent taacutergyalt
polaacuteris kovalens koumlteacutes peacuteldaacuteul aacutetmenet a kovalens eacutes az ionos koumlteacutes koumlzoumltt
Legyen A eacutes B keacutet tetszőleges elem A keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg eacutes a keacutet
atom elektronegativitaacutesaacutenak oumlsszege segiacutethet annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy milyen tiacutepusuacute elsőrendű koumlteacutes
joumlhet leacutetre a keacutet elem atomjai koumlzoumltt
A koumlvetkező oumlkoumllszabaacutelyokat alkalmazhatjuk
Ha ∆EN(AB) nagy eacuterteacutek (jellemzően 20 foumlloumltt) a koumlteacutes ionos jellege nagy
Ha ∆EN(AB) kicsi eacuterteacutek (jellemzően 15 alatt) akkor a koumlteacutes lehet kovalens vagy feacutemes
Ha sumEN(AB) nagy (jellemzően 40 felett) akkor a koumlteacutes kovalensnek tekinthető
Ha sumEN(AB) kicsi (jellemzően 30 alatt) akkor a koumlteacutes feacutemes jellegűnek tekinthető
Pauling szerint ∆EN(AB) = 15hellip2 eseteacuten az A eacutes B atomok koumlzoumltti koumlteacutes nagyjaacuteboacutel fele-fele
meacuterteacutekben ionos eacutes kovalens jellegű
A stabilan előaacutelliacutethatoacute elemek koumlzuumll a ceacutezium elektronegativitaacutesa a legkisebb 08 (enneacutel csupaacuten a
csak radioaktiacutev izotoacutepokkal rendelkező francium elektronegativitaacutesa kisebb 07) a fluor
elektronegativitaacutesa pedig a legnagyobb (40) Ezen elemekből megalkothatjuk a toumlkeacuteletes ionos feacutemes
eacutes kovalens koumlteacuteseket
∆EN(AB) Cs F sumEN(AB) Cs F
Cs 00 32 Cs 16 48
F 32 00 F 48 80
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 79
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Ha aacutebraacutezoljuk a ∆EN(AB) fuumlggveacutenyeacuteben sumEN(AB) eacuterteacutekeit egy haacuteromszoumlg haacuterom csuacutecsaacutet
kapjuk
311 aacutebra A koumlteacutes jellege eacutes az elektronegativitaacutes
Baacutermely maacutes elem elektronegativitaacutesa a ceacutezium eacutes a fluor koumlzeacute esik iacutegy a fenti aacutebraacuten baacutermely keacutet
elem koumlzoumltti koumlteacutest feltuumlntethetjuumlk az elektronegativitaacutesaik ismereteacuteben
3112 aacutebra Peacuteldaacutek aacutetmeneti jellegű koumlteacutesekre
80 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Mint a fenti aacutebraacuten laacutethatoacute neacutehaacuteny vegyuumlletet igen neheacutez a haacuterom elsőrendű koumlteacutes valamelyikeacutebe
besorolni Ilyen peacuteldaacuteul a vas(II)-szulfid (FeS) sziliacutecium-dioxid (SiO2) vagy az ezuumlst-klorid (AgCl) A
keacutemiai koumlteacutesek ezen vegyuumlletekben nem tekinthetők ionosnak jelentős a kovalens jelleguumlk
A fenti aacutebra alapjaacuten a kovalens koumlteacutes az elemi oxigeacutenben (O2) eacutes a keacutenmolekulaacuteban (S8) apolaacuteris
miacuteg a nitrogeacuten-monoxidban (NO) eacutes a keacutet kuumlloumlnboumlző halogeacutenatomot tartalmazoacute broacutem-fluoridban
(BrF) polaacuteris
A reacutez-cink oumltvoumlzetben (CuZn) eacutes a magneacutezium-szilicidben (Mg2Si egy oumltvoumlzeacutesre hasznaacutelt
vegyuumllet) a koumlteacutes feacutemesnek tekinthető Termeacuteszetesen a feacutem alumiacuteniumban is feacutemes a koumlteacutes
A liacutetium-fluorid (LiF) a kalcium-oxid (CaO) eacutes az alumiacutenium-oxid (Al2O3) ionos koumlteacutesű
vegyuumlletek az utoacutebbiban viszonylag jelentős kovalens jelleg is megaacutellapiacutethatoacute
A fentiek alapjaacuten belaacutethatoacute hogy a keacutemiai koumlteacutes ionos feacutemes illetve kovalens jellege elsősorban
az koumlteacutest leacutetesiacutető elemek elektronegativitaacutesaacutetoacutel fuumlgg Fontos megjegyezni hogy a keacutemiai koumlteacutes
gyakran nem iacuterthatoacute le egyfeacutele koumlteacutestiacutepussal hanem toumlbb tiacutepus tulajdonsaacutegait oumltvoumlzi
Sokatomos molekulaacutek
Az oktett szabaacutelyt termeacuteszetesen a kettőneacutel toumlbb atomos molekulaacutek is koumlvetik aacuteltalaacuteban
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a metaacutenmolekulaacutet A metaacuten keacuteplete CH4 azaz egy molekulaacutejaacuteban neacutegy
hidrogeacutenatom eacutes egy szeacutenatom talaacutelhatoacute A szeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p2 tehaacutet neacutegy
vegyeacuterteacutekelektronja van miacuteg a hidrogeacutenek egyndashegy elektronnal rendelkeznek A szeacutenatom
elektronoktettet (8 elektron a kuumllső heacutejon) szeretne leacutetrehozni a hidrogeacuteneknek pedig a heacuteliumhoz
hasonloacute 2 elektronos elektronszerkezet a kedvező
Ha a szeacuten koumlreacute rendeződik a neacutegy hidrogeacutenatom neacutegy kovalens koumlteacutes alakul ki Minden hidrogeacuten
koumlrnyezeteacuteben iacutegy 2ndash2 elektron talaacutelhatoacute (piros koumlroumlkkel jeloumllve) miacuteg a neacutegy (koumlzoumls) elektronpaacuter a
szeacuten szaacutemaacutera biztosiacutetja a nyolc vegyeacuterteacutekelektront (piros neacutegyzettel jeloumllve)
3113 aacutebra Az oktettszabaacutely
Most pedig vizsgaacuteljuk meg hogyan neacutez ki a metaacutenhoz hasonloacute nitrogeacutenvegyuumlletet
elektronszerkezete
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p3 azaz 5 vegyeacuterteacutekelektronja van A nitrogeacuten 8
elektronos vegyeacuterteacutekheacutej eleacutereacuteseacutere toumlrekszik (oktettszabaacutely) ehhez 3 elektronra van meacuteg szuumlkseacutege A
haacuterom elektront haacuterom hidrogeacuten szolgaacuteltatja iacutegy a keletkező molekula keacuteplete NH3 Iacutegy a nitrogeacuten eacutes
a hidrogeacutenek is eleacuterteacutek a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet Haacuterom koumltő elektronpaacuter joumln leacutetre azaz a
nitrogeacuten oumlsszesen 3 elektronjaacutet adja a koumlteacutesekbe a maradeacutek 2 elektronja pedig csak a nitrogeacutenhez
kapcsoloacutedik Az ilyen elektronpaacutert magaacutenos (vagy nemkoumltő) elektronpaacuternak nevezzuumlk A koraacutebban
taacutergyalt kloacutermolekula eseteacuteben mindkeacutet kloacuteratom 3ndash3 magaacutenos elektronpaacuterral rendelkezik
Magaacutenos elektronpaacuter olyan vegyeacuterteacutek-elektronpaacuter mely a kovalens koumlteacutest alkotoacute keacutet atom
koumlzuumll csak az egyikhez tartozik Egy atomon akaacuter toumlbb magaacutenos elektronpaacuter is lehetseacuteges
A kovalens koumlteacutes jellemzői
Koumlteacutesi energia egy koumlteacutes felszakiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges energia az az energia melyet be kell
fektetni hogy a koumlteacutest leacutetesiacutető atomokat veacutegtelen taacutevolsaacutegba taacutevoliacutetsuk (Eacutertelemszerűen ugyanekkora
energia szabadul fel mikor a keacutet atom veacutegtelen taacutevolsaacutegboacutel kiindulva leacutetrehozza a koumlteacutest) Aacuteltalaacuteban
CH H
H
H
CH H
H
H
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 81
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Jmol (kJmol) meacuterteacutekegyseacutegben adjuk meg eacuterteacutekeacutet aacutem gyakran hasznaacutelt ndash nem SI ndash meacuterteacutekegyseacuteg a
kcalmol 1 kcalmol = 418 kJmol
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
A koumlteacutestaacutevolsaacutegok rendszerint neacutehaacutenyszor 10minus10 meacuteter nagysaacutegrendűek termeacuteszetesen a koumlteacutest
leacutetesiacutető atomok rendszaacutemaacutetoacutel fuumlggően Gyakran hasznaacuteljuk az angstroumlm vagy aringngstroumlm
meacuterteacutekegyseacuteget (roumlvidiacutetve Aring) melynek eacuterteacuteke 10minus10 meacuteter
(Megjegyzeacutes az atomtaacutevolsaacuteg baacutermely keacutet atom taacutevolsaacutegaacutet jelentheti ha a koumlteacutestaacutevolsaacuteg
kifejezeacutest hasznaacuteljuk akkor a keacutet atom koumlzoumltt keacutemiai koumlteacutes talaacutelhatoacute)
A koumlteacuteshossz fuumlgg az atomok meacutereteacutetől eacutes az őket oumlsszetartoacute koumlteacutes erősseacutegeacutetől Peacuteldaacuteul a kovalens
koumlteacutes a fluormolekulaacuteban (FminusF) roumlvidebb mint egy kloacutermolekulaacuteban (ClminusCl) mivel a kloacuteratomok
joacuteval nagyobbak a fluoratomoknaacutel Ennek megfelelően a halogeacutenmolekulaacutek koumlzoumltt a fluormolekula
koumlteacuteshossza a legroumlvidebb enneacutel nagyobb a kloacutermolekulaacuteeacute majd sorrendben a broacutemmolekula (BrminusBr)
eacutes joacutedmolekula (IminusI) koumlvetkezik oumlsszhangban a halogeacutenatomok meacutereteacutevel
Adott keacutet atom (peacuteldaacuteul keacutet szeacutenatom) melyek koumlzoumltt mineacutel roumlvidebb a koumlteacuteshossz annaacutel
erősebbnek tekinthető a koumlteacutes Tehaacutet a koumlteacutes erősseacutegeacutere a koumlteacuteshosszboacutel is nyerhetuumlnk informaacutecioacutet
Fontos azonban hogy mindig azonos fajta koumlteacuteseket hasonliacutetsunk oumlssze peacuteldaacuteul egy CminusC eacutes egy CminusH
koumlteacutes hosszaacutet oumlsszehasonliacutetva azok erősseacutegeacutet nem lehet pontosan megbecsuumllni mivel a koumlteacutest alkotoacute
atomok atomsugaraacutenak is hataacutesa van a koumlteacuteshosszra
Toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek
Bizonyos esetekben az elektronoktett kialakiacutetaacutesaacutehoz nem elegendő egyetlen koumltő elektronpaacuter
Ezt ismeacutet egy peacuteldaacuten keresztuumll ceacutelszerű megvizsgaacutelni
Az elemi nitrogeacuten molekulaacuteris formaacuteban fordul elő a termeacuteszetben A nitrogeacuten
elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p
3 a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema 5 Keacutet nitrogeacutenatomboacutel egy
nitrogeacutenmolekula keletkezik melynek oumlsszesen 2 middot 5 = 10 elektronja van a lezaacutert heacutejakon kiacutevuumll Mint
fentebb laacutettuk a kloacutermolekula eseteacuten 14 elektronboacutel tudtuk kialakiacutetani a keacutet elektronoktettet Viszont a
nitrogeacuten eseteacuten nem aacutell rendelkezeacutesre ennyi elektron
Mi toumlrteacutenik ha a keacutet nitrogeacutenatom nem egyndashegy hanem keacutetndashkeacutet elektronjaacuteval leacutetesiacutet koumlteacutest
Ekkor mindkeacutet nitrogeacutenatom koumlruumll 5 + 2 = 7 vegyeacuterteacutekelektron van (eleve volt 5 a maacutesik nitrogeacutentől
pedig 2-t kapott) iacutegy nem teljesuumll az oktettelv
Most vizsgaacuteljuk meg hogy mi vaacuteltozik ha mindkeacutet nitrogeacuten haacuteromndashhaacuterom elektront szolgaacuteltat a
koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacutehoz Ekkorra mindkeacutet nitrogeacuten koumlruumll eacuteppen 8 elektron talaacutelhatoacute azaz megfelel az
oktettszabaacutelynak Ha mindkeacutet nitrogeacuten 3ndash3 elektronnal leacutetesiacutet koumlteacutest oumlsszesen 6 elektron talaacutelhatoacute a
keacutet nitrogeacutenatom koumlzoumltt A 6 elektronboacutel 3 elektronpaacutert tudunk leacutetrehozni a nitrogeacutenek keacutetndashkeacutet
elektronja pedig egyndashegy magaacutenos elektronpaacutert alkot Mivel az elektronpaacutert egy vonallal szokaacutes
jeloumllni a nitrogeacutenmolekula szerkezeteacutet az alaacutebbi formaacuteban szoktuk feliacuterni
| N equiv N |
Az iacutegy keletkezett koumlteacutest haacutermas koumlteacutesnek nevezzuumlk Termeacuteszetesen ennek mintaacutejaacutera leacutetezik
kettős koumlteacutes is
Kettős koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely keacutet koumltő elektronpaacuteron keresztuumll koumlti oumlssze a keacutet
atomot
Haacutermas koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely haacuterom koumltő elektronpaacuteron keresztuumll leacutetesiacutet kapcsolatot
a keacutet atom koumlzoumltt
Az elmeacuteleti szaacutemiacutetaacutesok eacutes kiacuteseacuterletek alapjaacuten a kettős koumlteacutes joacuteval erősebb mint az egyes koumlteacutes aacutem
a kettős koumlteacutes koumlteacutesi energiaacuteja aacuteltalaacuteban nem keacutetszerese az egyes koumlteacuteseacutenek hanem kisebb annaacutel
82 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Hasonloacutean a haacutermas koumlteacutes is rendszerint erősebb mint egy egyes vagy kettős koumlteacutes aacutem nem
haacuteromszor olyan erős mint egy egyes koumlteacutes
Mivel a koumlteacutesek erősseacutegeacutet a koumlteacutesenergiaacuteval szoktuk jellemezni neacutezzuumlk meg az CminusC C=C eacutes
A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja 610 kJmol minus 347 kJmol = 263 kJmol miacuteg
a szeacutenndashszeacuten haacutermas koumlteacutes bdquoharmadik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja a haacutermas eacutes kettős koumlteacutes koumlteacutesi
energiaacutejaacutenak a kuumlloumlnbseacutegekeacutent adoacutedik 836 kJmol minus 610 kJmol = 226 kJmol
Ennek magyaraacutezataacutehoz meg kell ismerkednuumlnk a molekulapaacutelya fogalmaacuteval
Molekulapaacutelya az a teacuterreacutesz melyen beluumll 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute az elektron Az
atompaacutelyaacutehoz hasonloacutean egy molekulapaacutelyaacutera is maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet A koumltő
elektronpaacuterokat tehaacutet molekulapaacutelyaacutekkal jeleniacutethetjuumlk meg
Teacuterjuumlnk vissza tehaacutet az egyes kettős eacutes haacutermas koumlteacutesek elteacuterő erősseacutege kuumlloumlnbseacutegeacutenek
eacutertelmezeacuteseacutehez Az egyes koumlteacutesnek megfelelő elektronok a keacutet atom koumlzoumltt tengelyiraacutenyban
helyezkednek el egy hengerszimmetrikus molekulapaacutelyaacuten A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodikrdquo elektronpaacuterja maacuter
nem keruumllhet ugyanebbe a teacuterreacuteszbe hanem bdquopiskoacuteta alakbanrdquo az etileacutenmolekula siacutekja alatt eacutes foumlloumltt
helyezkedik el Mivel ezek az elektronok maacuter nem a keacutet atomot oumlsszekoumltő tengely menteacuten
helyezkednek el a koumlteacutes gyengeacutebb mint az egyszeres koumlteacutes
A σ-koumlteacutes eacutes π-koumlteacutes
Az egyszeres koumlteacutest ζ (szigma) koumlteacutesnek hiacutevjuk a maacutesodik eacutes harmadik koumlteacuteseket pedig π (piacute)
koumlteacuteseknek nevezzuumlk
Most vizsgaacuteljuk meg hogyan alakulhat ki ζ-koumlteacutes illetve π-koumlteacutes
A hidrogeacutenatomnak egyetlen elektronja van mely a goumlmbszimmetrikus 1s paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Keacutet
hidrogeacutenatomot koumlzeliacutetve egymaacuteshoz a keacutet atompaacutelyaacuteboacutel keacutet molekulapaacutelya joumln leacutetre Az egyikre keacutet
elektron keruumll miacuteg a maacutesik betoumlltetlen marad (az elsőt szokaacutes koumltőpaacutelyaacutenak a maacutesikat pedig
laziacutetoacutepaacutelyaacutenak nevezni) A keacutetszeresen betoumlltoumltt paacutelya hengerszimmetrikus az ilyet nevezzuumlk ζ-
koumlteacutesnek
3114 aacutebra A σ-koumlteacutes
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a hidrogeacuten-klorid-molekula kialakulaacutesaacutet A kloacuteratomnak 7
vegyeacuterteacutekelektronja van 3s2 3p5 azaz a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll kettő keacutetszeresen betoumlltoumltt miacuteg a
harmadik csak egyszeresen Iacutegy a hidrogeacuten 1s-paacutelyaacutejaacuteboacutel eacutes a kloacuter egyik 3p-paacutelyaacutejaacuteboacutel joumlnnek leacutetre a
molekulapaacutelyaacutek
Ismeacutet egy hengerszimmetrikus ζ-paacutelya joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 83
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A fent megismert ζ-koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak peacuteldaacuteul a teliacutetett szeacutenhidrogeacutenekben is melyeknek igen
fontos jellemzőjuumlk hogy a hengerszimmetrikus koumlteacutesek tengelye menteacuten a csoportok el tudnak
fordulni egymaacuteshoz keacutepest viszonylag kis energiabefekteteacutes hataacutesaacutera iacutegy az ilyen vegyuumlletekben a ζ-
koumlteacutestengely koumlruumlli forgaacutes (rotaacutecioacute) igen koumlnnyen veacutegbemegy
A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek kialakulaacutesaacutet Vegyuumlk peacuteldaacuteul a
nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesaacutet
A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja 2s2 2p3 A haacuterom p-elektron a haacuterom kuumlloumlnboumlző teacuteraacutellaacutesuacute p-
3115 aacutebra A nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesa
A keacutet px-paacutelyaacuteboacutel leacutetrejoumln a ζ-koumlteacutes
3116 aacutebra A nitrogeacutenmolekula σ-koumlteacutese
Viszont ha a px-paacutelyaacutekboacutel kialakul a ζ-koumlteacutes a py- eacutes pz-paacutelyaacutekboacutel maacuter nem joumlhet leacutetre ζ-koumlteacutes
Ezzel ellenben π-koumlteacutesek joumlnnek leacutetre
3117 aacutebra A nitrogeacutenmolekula π-koumlteacutesei
A keacutet π-koumlteacutesnek van egy-egy csomoacutesiacutekja (ahol az elektronok megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege 0) ez a
keacutet csomoacutesiacutek egymaacutesra merőleges A nitrogeacuten eseteacuteben a keacutet π-koumlteacutes teljesen egyforma meacuteretű eacutes
A koumltő elektronpaacuter keacutetfeacutelekeacuteppen joumlhet leacutetre vagy mindkeacutet atom ad egy-egy (vagy toumlbb)
elektront vagy csak az egyik atomtoacutel szaacutermazik a koumltő elektronpaacuter
Kolligaacutecioacutes koumlteacutes mindkeacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom hozzaacutejaacuterul elektronnal (elektronokkal) a koumlteacuteshez
A fentebb taacutergyalt koumlteacutesek mindegyike kolligaacutecioacutes koumlteacutes akaacuter a kloacutermolekula akaacuter a
nitrogeacutenmolekula leacutetrejoumltteacuteről van szoacute
Datiacutev vagy koordinaacutecioacutes koumlteacutes a keacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom koumlzuumll az egyik atom egy teljes
elektronpaacuterral jaacuterul hozzaacute a koumlteacuteshez (ez az elektronpaacuter donor atom) miacuteg a maacutesik atom nem
szolgaacuteltat elektront a koumlteacuteshez (ezt elektronpaacuter-akceptor atomnak nevezzuumlk)
(datiacutev a dativus latin szoacuteboacutel melynek jelenteacutese adaacutes)
A datiacutev koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez szuumlkseacuteges hogy az egyik atomnak legye magaacutenos (nemkoumltő)
elektronpaacuterja a maacutesik atom pedig legyen bdquoelektronhiaacutenyosrdquo Az elektronhiaacuteny akkor leacutep fel ha nem
teljesuumll az oktettszabaacutely
Vegyuumlk peacuteldaacuteul a boacuter-trifluorid (BF3) molekulaacutet A haacuterom fluoratom egy-egy elektront ad a
kovalens koumlteacutesbe a boacuter ([He] 2s2 2p1) pedig 3 elektronnal tud koumlteacutest leacutetesiacuteteni iacutegy a boacuter koumlruumll haacuterom
koumltő elektronpaacuter helyezkedik el azaz a boacuter vegyeacuterteacutekheacutejaacuten csak hat elektron talaacutelhatoacute A boacuter-trifluorid
molekula siacutek szerkezetű mind a neacutegy atom egy siacutekban van eacutes a boacuteratomnak van egy uumlres p-paacutelyaacuteja
Az uumlres paacutelyaacutek elektronpaacuter-akceptorkeacutent viselkedhetnek
Most keressuumlnk egy elektronpaacuterdonor molekulaacutet Peacuteldaacuteul a fentebb megismert ammoacuteniamolekula
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral iacutegy elektronpaacuterdonornak tekinthető
Mi toumlrteacutenik ha koumlzeledik egymaacuteshoz egy ammoacutenia- eacutes egy boacuter-trifluorid molekula Az
ammoacuteniamolekula nitrogeacutenatomja a magaacutenos paacuterjaacutet bdquokoumllcsoumlnadjardquo a boacuternak iacutegy annak leacutetrejoumln az
elektronoktettje A nitrogeacuten a magaacutenos paacuterjaacutet nem adja aacutet teljesen a boacuternak hanem az a keacutet atom
koumlzoumltt elhelyezkedő elektronpaacuterraacute alakul Iacutegy a nitrogeacutennek is megmarad az elektronoktettje Az iacutegy
leacutetrejoumlvő datiacutev koumlteacutes olyan mint egy hagyomaacutenyos kovalens koumlteacutes a kuumlloumlnbseacuteg csak abban van hogy
a datiacutev koumlteacutes eseteacuten mindkeacutet elektront ugyanaz az atom adja A kialakuloacute datiacutev koumlteacutes kialakulaacutesaacutenak az
a hajtoacuteereje hogy a boacuteratom elektronhiaacutenya csoumlkkenjen (iacutegy teljesuumll az oktettszabaacutely)
A datiacutev koumlteacutest aacuteltalaacuteban vonal helyett nyiacutellal szoktuk jeloumllni A nyiacutel az elektronpaacuterdonor atomtoacutel
mutat az elektronpaacuter-akceptor atom feleacute
N B
H
HH F
FF
Termeacuteszetesen nemcsak az ammoacutenia nitrogeacutenje lehet elektronpaacuter-donor akaacuter ionok is adhatnak
elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesbe Peacuteldaacuteul a fluoridionnak (Fminus) is van 4 magaacutenos elektronpaacuterja
Mi toumlrteacutenik ha egy boacuter-trifluorid molekulaacutet eacutes egy fluoridiont koumlzeliacutetuumlnk egymaacuteshoz A
fluoridion egyik magaacutenos paacuterja datiacutev koumlteacutest leacutetesiacutet a boacutertrifluorid boacuteratomjaacuteval Egy anion keletkezik
melyben a neacutegy fluor egy boacuteratomot vesz koumlruumll
B
F
FF
F
A keletkező igen nagy stabilitaacutesuacute ion neve tetrafluoroboraacutet-anion Benne a neacutegy fluor-boacuter koumlteacutes
teljesen egyenranguacute nem lehet megkuumlloumlnboumlztetni a kolligaacutecioacutes elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesből
szaacutermazoacutetoacutel Mind a neacutegy fluoratom mind a boacuteratom eseteacuten teljesuumll az oktettszabaacutely (mindegyik atom
koumlruumll neacutegy elektronpaacuter talaacutelhatoacute) A negatiacutev toumllteacutes megoszlik a neacutegy fluoratomon egyiknek sincs
kituumlntetett szerepe
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 85
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Datiacutev koumlteacutes nemcsak keacutet kuumlloumlnaacutelloacute molekula vagy ion koumlzoumltt joumlhet leacutetre erre peacutelda a szeacuten-
monoxid molekula
A szeacuten-monoxidot feliacuterhatjuk uacutegy hogy kettős koumlteacutest iacuterunk a szeacuten- eacutes oxigeacutenatom koumlzeacute
C O
Mint laacutethatoacute az oxigeacutenatom koumlruumll neacutegy elektronpaacuter van iacutegy ez megfelel az oktettszabaacutelynak
Viszont a szeacutenatom koumlruumll csak hat elektron (3 elektronpaacuter) talaacutelhatoacute iacutegy elektronhiaacutenyos Az oxigeacuten a
keacutet elektronpaacuterja koumlzuumll az egyikkel datiacutev koumlteacutest tud leacutetesiacuteteni iacutegy haacutermas koumlteacutes alakul ki
C O
Az oxigeacuten az elektronpaacuterdonor a szeacuten pedig az elektronpaacuter-akceptor Ha oumlsszeszaacutemoljuk az
elektronokat a szeacuten eacutes az oxigeacuten koumlruumll azt tapasztaljuk hogy mindkeacutet elem eseteacuten teljesuumll az oktettelv
Eacuterdemes megjegyezni hogy a szeacuten-monoxidban a koumlteacutes gyakorlatilag apolaacuteris ami meglepő ha
belegondolunk hogy a szeacuten eacutes az oxigeacuten elektronegativitaacutesa koumlzoumltt mintegy egyseacutegnyi a kuumlloumlnbseacuteg
[EN(O) = 34 EN(C) = 25] Tehaacutet a koumlteacutesnek polaacuterisnak kellene lennie az elektronegativitaacutesok
alapjaacuten az oxigeacutenen kellene lennie az elektrontoumlbbletnek Mivel az oxigeacuten elektront (negatiacutev toumllteacutes) ad
be a datiacutev koumlteacutesbe a koumlteacutes polaritaacutesa csoumlkken Ebből nyilvaacutenvaloacutevaacute vaacutelik az is hogy az
elektronegativitaacutesok alapjaacuten nem mindig lehet egyeacutertelműen eldoumlnteni hogy egy koumlteacutes mennyire
polaacuteris
Delokalizaacutelt elektronok
Delokalizaacutecioacute ha egy elektron nem rendelhető egyeacutertelműen egy adott atomhoz vagy keacutemiai
koumlteacuteshez az elektront delokalizaacuteltnak tekintjuumlk
A latin eredetű szoacute jelenteacutese nem helyhez koumltoumltt A lokalizaacutelt (bdquohelyhez koumltoumlttrdquo) koumlteacutes joacutel
meghataacuterozottan keacutet atom koumlzoumltt helyezkedik el
Akkor joumln leacutetre delokalizaacutecioacute ha egy molekulapaacutelya kettőneacutel toumlbb atomra terjed ki
Koumlvetkezzen egy peacutelda delokalizaacutelt elektronszerkezetre
A benzol keacuteplete C6H6 siacutek szerkezetű molekulaacutejaacuteban a szeacutenatomok egy szabaacutelyos hatszoumlg
csuacutecsaiban talaacutelhatoacutek Az oktettelv teljesuumlleacutese ceacuteljaacuteboacutel a szeacutenatomok koumlzeacute vaacuteltakozva egyes eacutes kettős
koumlteacuteseket kellene berajzolnunk (oumlsszesen hat ζ- eacutes haacuterom π-koumlteacutes)
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
Mint koraacutebban emliacutetettuumlk a kettős koumlteacutes hossza roumlvidebb az egyes koumlteacuteseacuteneacutel iacutegy a benzol eseteacuten
is vaacuteltakozoacute hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket kellene kapnunk A kiacuteseacuterleti vizsgaacutelatok azonban ndash ezek alapjaacuten
kisseacute meglepő moacutedon ndash a szeacutenatomok koumlzoumltt azonos hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket aacutellapiacutetottak meg Ez azt
sejteti hogy a szeacutenatomok koumlzoumltti koumlteacutes nem tekinthető sem egyes sem kettős koumlteacutesnek hanem
valahol a kettő koumlzoumltt van A benzol 3 middot 2 = 6 π-elektronja delokalizaacuteloacutedik a hat szeacutenatom foumlloumltt Ennek
megjeleniacuteteacuteseacutere gyakran alkalmazzuk az alaacutebbi keacutepletjeloumlleacutest (a karika a hat delokalizaacuteloacutedott elektront
jeleniacuteti meg)
86 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
C
CC
C
CC H
H
H
H
H
H
31 peacutelda
Iacuterjuk fel a koumlvetkező molekulaacutek elektronszerkezeteacutet
a) hidrogeacuten-klorid (HCl)
b) viacutez (H2O)
c) etileacuten (H2CCH2)
d) acetileacuten (HCCH)
e) szeacuten-dioxid (CO2)
f) keacuten-dioxid (SO2)
g) keacuten-trioxid (SO3)
h) ammoacuteniumion (NH4+)
Megoldaacutes
a) A hidrogeacuten-kloridban egy koumltő elektronpaacuteron keresztuumll joumln leacutetre a kovalens koumlteacutes a
kloacuteratomnak pedig van haacuterom magaacutenos elektronpaacuterja
H Cl
Mivel a hidrogeacuten eacutes a kloacuter elektronegativitaacutesa jelentősen elteacuterő [EN(H) = 21 EN(C) = 31] a
koumlteacutes polaacuteris kovalens koumlteacutesnek tekinthető
b) A viacutezmolekulaacuteban az oxigeacuten hat vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel kettőt bead a keacutet egyes koumlteacutesbe iacutegy a
dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha a megfelelő toumllteacutesek uacutegy rendeződnek hogy koumlzoumlttuumlk a
legnagyobb stabilizaacutecioacute joumlhessen leacutetre Ezt orientaacutecioacutes hataacutesnak (effektusnak) nevezzuumlk
3121 aacutebra A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesaacutet megfigyelhetjuumlk a koumlvetkező animaacutecioacuten
3121 animaacutecioacute A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Hidrogeacutenkoumlteacutes (vagy hidrogeacutenhiacutedkoumlteacutes) olyan molekulaacutek koumlzoumltt joumln leacutetre melyekben a
hidrogeacutenatom egy kiemelkedően nagy elektronegativitaacutesuacute atomjaacutehoz kapcsoloacutedik
A hidrogeacutenkoumlteacutes az aacutetlagos dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel erősebb a legerősebb maacutesodrendű koumlteacutes A
hidrogeacutenkoumlteacutes leacutetrejoumltteacutenek felteacutetele hogy a keacutet atom elektronegativitaacutesa koumlzoumltt nagy kuumlloumlnbseacuteg
legyen Aacuteltalaacuteban akkor szaacutemiacutethatunk hidrogeacutenkoumlteacutes kialakulaacutesaacutera ha a hidrogeacutenatom oxigeacutenhez
nitrogeacutenhez vagy fluorhoz kapcsoloacutedik A hidrogeacutenkoumlteacutes rendkiacutevuumll fontos oumlsszetartoacute erő megtalaacutelhatoacute
szaacutemos termeacuteszetes vegyuumlletben
A viacutez az egyik legfontosabb vegyuumllet melynek molekulaacutei koumlzoumltt hidrogeacutenkoumlteacutes talaacutelhatoacute
O
H
H
H O
H
H
O H
()
()
()
()
()
()
()
()
()
3122 aacutebra A hidrogeacutenkoumlteacutes
Dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumllcsoumlnhataacutes egy dipoacutelusmolekula eacutes egy apolaacuteris molekula koumlzoumltt
leacutetrejoumlvő oumlsszetartoacute erő
A dipoacutelusmolekula kismeacuterteacutekű toumllteacutesmegoszlaacutest okoz a koumlzeleacuteben talaacutelhatoacute apolaacuteris molekulaacuteban
ezt indukaacutelt polarizaacutecioacutenak nevezzuumlk A dipoacutelusmolekula eacutes az indukaacutelt polaritaacutessal rendelkező
molekula koumlzoumltt iacutegy elektrosztatikus vonzaacutes joumln leacutetre
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 89
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
3123 aacutebra A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes
A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes gyengeacutebb a dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel mivel az apolaacuteris molekula
csak igen kismeacuterteacutekben tud polarizaacuteloacutedni
3122 animaacutecioacute A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa
Diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes az apolaacuteris molekulaacutekat oumlsszetartoacute gyenge koumllcsoumlnhataacutes
A diszperzioacutes koumlteacutest szoktaacutek London-koumllcsoumlnhataacutesnak is nevezni
A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes alapja hogy egy molekula (vagy atom) elektronjai folyamatos
veacuteletlenszerű (rezgő) mozgaacutest veacutegeznek iacutegy meacuteg az apolaacuteris molekulaacutekban is leacutetrejoumln kismeacuterteacutekű
polarizaacutecioacute Az iacutegy leacutetrejoumltt pillanatszerű polarizaacuteltsaacuteg a szomszeacutedos apolaacuteris molekulaacutet polarizaacutelja
(hasonloacutean a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez) Tehaacutet oumlnmagaacuteban az apolaacuteris molekulaacutek
eseteacuten is leacutetrejoumlhet pillanatszerű aszimmetrikus toumllteacuteseloszlaacutes indukaacutelt polarizaacutecioacute (megjegyzeacutes az
apolaacuteris jelleg viszont időben kiaacutetlagoloacutedik eacutes iacutegy oumlsszesseacutegeacuteben nem tapasztalunk dipoacutelusjelleget) A
keletkezett gyengeacuten polarizaacutelt molekulaacutek koumlzoumltt elektrosztatikus vonzoacuteerő joumln leacutetre melynek
eredmeacutenye a gyenge diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
3124 aacutebra A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes
A maacutesodrendű koumlteacutesek noumlvekvő erősseacuteg szerinti sorrendje
1 Mit mond ki az oktettelv (vagy maacuteskeacutepp oktettszabaacutely)
2 Mi az elsőrendű eacutes a maacutesodrendű keacutemiai koumlteacutes
3 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a homonukleaacuteris eacutes a heteronukleaacuteris keacutemiai koumlteacutes koumlzoumltt
4 Definiaacutelja az ionos koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
5 Definiaacutelja a feacutemes koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
6 Definiaacutelja a kovalens koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma
+minus
90 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
7 Mit jelent ha egy kovalens koumlteacutes polaacuteris vagy apolaacuteris
8 Mieacutert nem teljesuumll az oktettszabaacutely a hidrogeacuten eseteacuten
9 A boacuter-trifluoridot (BF3) elektronhiaacutenyos vegyuumlletkeacutent szoktaacutek emlegetni Mieacutert
10 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a kolligaacutecioacutes eacutes a datiacutev kovalens koumlteacutes koumlzoumltt
11 Hogyan jellemezhető a kovalens koumlteacutes erősseacutege
12 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat koumlteacuteshossz koumlteacutesi energia
13 Keacutet elem elektronegativitaacutesa alapjaacuten hogyan becsuumllhető meg hogy ezen elemek atomja koumlzoumltt
milyen tiacutepusuacute (elsőrendű) keacutemiai koumlteacutes joumlhet leacutetre
14 Mi a magaacutenos elektronpaacuter Nevezzen meg neacutehaacuteny molekulaacutet melyben valamely atom
rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral
15 Hogyan definiaacutelnaacute a kettős koumlteacutest eacutes a haacutermas koumlteacutest Mi a ζ- eacutes a π-koumlteacutes Soroljon fel neacutehaacuteny
molekulaacutet melyben kettős illetve haacutermas koumlteacutes talaacutelhatoacute
16 Sorolja fel a maacutesodrendű koumlteacutes fajtaacuteit hasonliacutetsa oumlssze őket a fizikai jelenseacuteg illetve a
koumlteacuteserősseacuteg szempontjaacuteboacutel
17 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a dipoacutelus-dipoacutelus a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus eacutes diszperzioacutes koumlteacutesek koumlzoumltt
18 Milyen koumlteacutes joumlhet leacutetre a koumlvetkező vegyuumlletek molekulaacutei koumlzoumltt
a viacutez (H2O)
b kloroform (maacutes neacuteven trikloacutermetaacuten CHCl3)
c metaacuten (CH4)
d joacuted (I2)
e hidrogeacuten-fluorid (HF)
f keacuten-dioxid (SO2)
g argon (Ar)
h hidrogeacuten-jodid (HI)
32 A molekulaacutek alakja
321 A molekulageometria
A molekulaacutek elektronszerkezete eacutes alakja koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes aacutell fenn Tehaacutet mielőtt egy
molekula szerkezeteacutet felrajzolnaacutenk fontos aacutetgondolni hogy a molekulaacuteban milyen koumlteacutesek
talaacutelhatoacuteak Az elektronok negatiacutev toumllteacutesuumlk folytaacuten tasziacutetjaacutek egymaacutest iacutegy a molekula elektronpaacuterjai
egymaacutestoacutel a lehető legtaacutevolabb szeretneacutenek elhelyezkedni
A molekulaacutek szerkezeteacutet a vegyeacuterteacutek-elektronpaacuterok hataacuterozzaacutek meg a koumltő eacutes magaacutenos
elektronpaacuterok uacutegy helyezkednek el hogy taacutevolsaacuteguk maximaacutelis legyen
Fontos megaacutellapiacutetaacutesok
ndash a kettős koumlteacutesek teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacutesekeacute a haacutermas koumlteacutesekeacute pedig nagyobb
mint a kettős koumlteacutesekeacute
ndash a magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban nagyobb mint a koumltő elektronpaacuterokeacute
Ha egy molekula szerkezeteacutet (geometriaacutejaacutet) szeretneacutenk meghataacuterozni az első leacutepeacutes megaacutellapiacutetani
hogy haacuteny koumltő eacutes magaacutenos elektronpaacuterral rendelkeznek az egyes atomok eacutes hogy a koumltő
elektronpaacuterok haacutenyszoros koumlteacutessel kapcsoljaacutek oumlssze az egyes atomokat
A koumlzponti atomot A-val a hozzaacute kapcsoloacutedoacute atomot X-szel a koumlzponti atom magaacutenos
elektronpaacuterjaacutet pedig E-vel szokaacutes jeloumllni
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 91
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
A koumlzponti atomhoz kapcsoloacutedoacute atomot vagy atomcsoportot ligandumnak nevezzuumlk
Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg
Koumlteacutesszoumlg a ligandumok atommagjaacutet eacutes a koumlzponti atom atommagjaacutet oumlsszekoumltő szakaszok aacuteltal
bezaacutert szoumlg (A koumlteacutesszoumlg 180deg-naacutel nem lehet nagyobb eacuterteacutekű) XAXrsquo koumlteacutesszoumlg az aacutebra alapjaacuten
A
X
X
XAX szoumlg
Baacutermely egyszerű biner (keacutet elemből aacutelloacute) molekulaacutet feliacuterhatunk AXnEm alakban (Az X jeloumllhet
aacuteltalaacutenos ligandumot is tehaacutet nem biztos hogy azonos ligandumokroacutel van szoacute A tovaacutebbiakban azon
molekulaacutekkal foglalkozunk melyek koumlzponti atomja koumlruumll azonos ligandumok talaacutelhatoacutek)
A molekula alakjaacuten vagy geometriaacutejaacuten a ligandumok atommagjai aacuteltal meghataacuterozott
geometriai alakzatot eacutertjuumlk
Lineaacuteris molekula egy haacuterom- vagy toumlbbatomos molekula lineaacuteris ha minden atommagja
ugyanarra az egyenesre esik (A keacutetatomos molekulaacutek eseteacuten az atommagok mindig egy egyenesre
esnek itt nincs eacutertelme linearitaacutesroacutel beszeacutelni)
Erre egy peacutelda az acetileacuten- (etin-) molekula
C CH H
Siacutek vagy planaacuteris molekula minden atomja egy siacutekba esik
Peacuteldaacuteul a koraacutebban emliacutetett boacuter-trifluorid siacutekmolekula mivel az oumlsszes atomja egy siacutekban
talaacutelhatoacute az FBF koumlteacutesszoumlgek 120deg-osak eacutes a haacuterom FminusBminusF koumlteacutesszoumlg oumlsszege kiadja a teljesszoumlget
(360deg)
B
F
FF
322 A molekulaacutek polaritaacutesa
Maacuter a keacutemiai koumlteacutesekkel foglalkozoacute fejezet elejeacuten emliacutetettuumlk az apolaacuteris eacutes a dipoacutelusmolekula
fogalmaacutenaacutel hogy a molekula polaritaacutesa szempontjaacuteboacutel nemcsak a koumlteacutesek polaritaacutesa szaacutemiacutet hanem
azok teacuterbeli elrendeződeacutese is
Azon molekula melyben csak apolaacuteris koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak az mindig apolaacuteris A polaacuteris
koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula lehet apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula ha a koumlteacutesek dipoacutelusvektorainak
eredője nullvektor a molekula apolaacuteris ha a dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus vektor a
molekulaacutenak van eredő dipoacutelusa tehaacutet dipoacutelusmolekulaacuteroacutel van szoacute
Ezt szemleacuteltessuumlk is egy-keacutet peacuteldaacuteval
Szeacutenhidrogeacutenek olyan vegyuumlletek melyek csak szeacuten- eacutes hidrogeacutenatomot tartalmaznak Neacutehaacuteny
Az oumlt elektronpaacuterboacutel haacuterom egy siacutekban rendeződik el haacuteromszoumlg alakban a maacutesik keacutet elektronpaacuter
pedig a siacutek alatt illetve foumlloumltt helyezkedik el Az oumlt AminusX koumlteacutesből haacuterom elteacuter a maacutesik kettőtől elteacuterő
koumlrnyezetben talaacutelhatoacute iacutegy ezen koumlteacutesek hossza aacuteltalaacuteban elteacuter a maacutesik keacutet koumlteacutes hosszaacutetoacutel
A haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ligandumok poziacutecioacutejaacutet ekvatoriaacutelisnak miacuteg az erre
merőlegesekeacutet pedig axiaacutelisnak (vagy apikaacutelisnak) nevezzuumlk
Keacutet egymaacutes melletti ekvatoriaacutelis helyzetben leacutevő ligandum koumlzoumltti koumlteacutesszoumlg 120deg miacuteg egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis ligandum koumlzoumltt 90deg-os a koumlteacutesszoumlg
Az iacutegy keletkező szerkezet olyan mintha keacutet haacuteromszoumlg alapuacute piramist egy lapjukon
oumlsszeilleszteneacutenk ezeacutert az ilyen molekulageometria elnevezeacutese haacuteromszoumlg alapuacute bipiramis vagy
trigonaacutelis bipiramis
Az ilyen koumlteacuteselrendeződeacutes eseteacuten a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor a molekula apolaacuteris
Peacutelda PF5 AsCl5
Megjegyzeacutes oumlt ligandum nemcsak haacuteromszoumlg alapuacute piramis alakban rendeződhet el hanem
lehetseacuteges egy maacutesfajta elrendeződeacutes is melynek neve neacutegyzet alapuacute piramis vagy tetragonaacutelis
piramis Ekkor a ligandumok egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela csuacutecsaiban foglalnak helyet
94 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Rendszerint a trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutes energetikailag kedvezőbb mint a tetragonaacutelis
piramisos
n = 6 m = 0 AX6E0
A hat elektronpaacuter teacuterben uacutegy helyezkedik el egymaacutestoacutel legtaacutevolabb ha a koumlzponti atomot egy
oktaeacuteder koumlzepeacutebe a ligandumokat pedig az oktaeacuteder hat csuacutecsaacuteba helyezzuumlk Az oumlsszes AminusX koumlteacutes
hossza azonos Keacutet egymaacutes melletti X eacutes Xrsquo ligandum eseteacuten az XAXrsquo szoumlg 90deg-os
Az ilyen elrendeződeacutest oktaeacutederes geometriaacutenak nevezzuumlk
Ha egy molekula alakja oktaeacuteder akkor nem lehet dipoacutelusmolekula
Peacutelda SF6 PF6minus
n = 7 m = 0 AX7E0
Az alaacutebbiakban csak a legjellegzetesebb geometria kialakulaacutesaacutet ndash elsősorban eacuterdekesseacutegkeacutent ndash
taacutergyaljuk A heacutet elektronpaacuterboacutel oumlt egy siacutekban egy szabaacutelyos oumltszoumlg csuacutecsainak iraacutenyaacuteban helyezkedik
el A koumlzponti atom az oumltszoumlg koumlzeacuteppontjaacuteban talaacutelhatoacute a hozzaacute kapcsoloacutedoacute oumlt ligandum pedig az
oumltszoumlg csuacutecsaiban A fennmaradoacute keacutet ligandum az oumltszoumlg siacutekja feleacute eacutes alaacute keruumll uacutegy hogy ezen keacutet
ligandum eacutes a koumlzponti atom egy egyenesbe esik A molekulaacuteban keacutetfeacutele koumlteacuteshosszt figyelhetuumlnk
meg aacuteltalaacuteban az oumltszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute koumlteacutesek eacutes a maacutesik keacutet koumlteacutes aacuteltalaacuteban nem egyforma
hosszuacutesaacuteguacute
A keletkező molekula geometriaacutejaacutet oumltszoumlg alapuacute bipiramisnak vagy pentagonaacutelis bipiramisnak
nevezzuumlk
A szimmetrikus elrendeződeacutes koumlvetkezteacuteben a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor iacutegy a molekula
apolaacuteris
Peacutelda IF7
n = 8 m = 0 AX8E0
Csak az eacuterdekesseacuteg eacutes teljesseacuteg kedveacuteeacutert emliacutetjuumlk meg ezt az elrendeződeacutest rendkiacutevuumll ritka A
nyolc koumltő elektronpaacuter egy neacutegyzetes antiprizma csuacutecsain helyezkedik el A neacutegyzetes antiprizma
uacutegy aacutelliacutethatoacute elő ha egy neacutegyzet alapuacute egyenes hasaacuteb alapjaacutet eacutes fedőlapjaacutet egymaacuteshoz keacutepest 45deg-ban
elforgatjuk
A molekula apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor
Peacutelda XeF82minus
Miutaacuten megbirkoacuteztunk az egyszerűbb magaacutenos elektronpaacutert nem tartalmazoacute molekulaacutek
szerkezeteacutevel most vizsgaacuteljunk bonyolultabb eseteket ahol a koumltő elektronpaacuterok mellett magaacutenos
elektronpaacuterok is talaacutelhatoacutek a koumlzponti atom vegyeacuterteacutekheacutejaacuten
n = 2 m = 1 AX2E1
A molekula koumlzponti atomja koumlruumll haacuterom elektronpaacuter talaacutelhatoacute melyek koumlzuumll kettő koumltő
elektronpaacuter A haacuterom elektronpaacuter eseteacuten az ideaacutelis elrendeződeacutes haacuteromszoumlg alakuacute a haacuteromszoumlg keacutet
csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum
A magaacutenos elektronpaacutert tartalmazoacute haacuteromatomos AX2E molekula geometriaacutejaacutet hajlottnak vagy
V-alakuacutenak nevezzuumlk
Amennyiben az AminusX koumlteacutes polaacuteris a V-alakuacute molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda SO2 NO2minus
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 95
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
n = 2 m = 2 AX2E2
Neacutegy elektronpaacuter (keacutet koumltő keacutet magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll ezek
tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder keacutet csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum a maacutesik keacutet csuacutecs
iraacutenyaacuteba a magaacutenos paacuterok mutatnak
A keacutet magaacutenos elektronpaacuterral rendelkező haacuteromatomos molekulaacutek geometriaacuteja az előző ponthoz
hasonloacutean hajlott vagy V-alakuacute
Az ilyen geometriaacutejuacute molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda H2O H2S
n = 2 m = 3 AX2E3
Oumlsszesen oumlt elektronpaacuter (keacutet koumltő haacuterom magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll
iacutegy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesre szaacutemiacutetunk A magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban
nagyobb mint a ligandumokeacute iacutegy ezek foglaljaacutek el a haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ekvatoriaacutelis
poziacutecioacutekat a keacutet ligandum pedig a siacutek alaacute eacutes foumlleacute keruumll Az XAXrsquo szoumlg iacutegy 180deg-os tehaacutet a molekula
geometriaacuteja lineaacuteris
A molekula apolaacuteris (laacutesd az AX2 esetet)
Peacutelda XeF2 I3minus
Megjegyzeacutes eacuterdemes aacutetgondolni mieacutert is keruumll a nagyobb teacuterigeacutenyű csoport az ekvatoriaacutelis
poziacutecioacuteba Egy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesű modell eseteacuten legyen az axiaacutelis ligandum Xax az
ekvatoriaacutelis ligandum pedig Xekv Mivel az XekvminusAminusXrsquoekv koumlteacutesszoumlg 120deg az XaxminusAminusXekv koumlteacutesszoumlg
pedig csak 90deg keacutet ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacuteg kisebb mint egy
axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltt Ezeacutert a nagyobb teacuterigeacutenyű
csoport ndash hogy a toumlbbi ligandumtoacutel a legtaacutevolabb helyezkedjen el az ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll
n = 3 m = 1 AX3E1
Ebben az esetben neacutegy elektronpaacuter (haacuterom koumltő egy magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti
atomja koumlruumll iacutegy ezek tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder haacuterom csuacutecsaacuten talaacutelhatoacute ligandum iacutegy
ezek egy siacutekba esnek A magaacutenos elektronpaacuter nagyobb teacuterigeacutenye folytaacuten az XAXrsquo aacuteltalaacuteban kisebb a
tetraeacutederben leacutevőneacutel (azaz 1095deg-naacutel)
A molekula geometriaacuteja haacuteromszoumlg alapuacute piramisos vagy trigonaacutelis piramisos
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda NH3 PF3
n = 3 m = 2 AX3E2
Az elektronpaacuterok szaacutema haacuterom koumltő eacutes keacutet magaacutenos oumlsszesen oumlt elektronpaacuter mely trigonaacutelis
bipiramis alakzatot vesz fel A magaacutenos elektronpaacuteroknak nagyobb a teacuterigeacutenyuumlk ezeacutert ezek az
ekvatoriaacutelis poziacutecioacutekba keruumllnek A haacuterom ligandum koumlzuumll kettő axiaacutelis helyzetben van a harmadik
pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula szerkezete T-alakuacute
Amennyiben az AminusX koumlteacutesek polaacuterisak a molekula dipoacutelusmolekula
Peacutelda ClF3
n = 4 m = 1 AX4E1
96 Keacutemiai alapok
copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu
Az oumlt elektronpaacuterboacutel neacutegy koumltő eacutes egy magaacutenos ismeacutet trigonaacutelis bipiramis alakzatot vesz fel A
magaacutenos elektronpaacuter ebben az esetben is ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll A neacutegy ligandum koumlzuumll kettő
axiaacutelis helyzetben van a maacutesik kettő pedig ekvatoriaacutelisban
A molekula geometriaacutejaacutet meacuterleghinta alakuacutenak nevezzuumlk (ritkaacutebban torzult tetraeacutedernek is
nevezik)
Mivel a dipoacutelusvektorok eredője nem nullvektor a molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda SF4
n = 4 m = 2 AX4E2
A koumlzponti atomhoz oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik neacutegy koumltő eacutes keacutet magaacutenos ezek
oktaeacutederesen rendeződnek el A magaacutenos elektronpaacuterok keacutet egymaacutessal ellenteacutetes poziacutecioacutet foglalnak
el hogy tasziacutetaacutesukat csoumlkkentseacutek A toumlbbi neacutegy ligandum neacutegyzet alakban rendeződik el
Az ilyen molekula geometriaacuteja neacutegyzetes vagy tetragonaacutelis planaacuteris
A molekula apolaacuteris (meacuteg polaacuteris AminusX koumlteacutesek eseteacuten is)
Peacutelda XeF4
n = 5 m = 1 AX5E1
Oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik koumlzponti atomhoz ezek ismeacutet oktaeacutederesen rendeződnek el
Az oktaeacuteder egyik csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula neacutegyzetes piramisos vagy tetragonaacutelis piramisos szerkezetű
Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris
Peacutelda BrF5
n = 6 m = 1 AX6E1
A koumlzponti atomon heacutet elektronpaacuter talaacutelhatoacute ezek pentagonaacutelis bipiramis alakba rendeződnek
ennek az oumltszoumlg siacutekja alatti (vagy feletti) csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter
A molekula oumltszoumlg alapuacute piramisos vagy pentagonaacutelis piramisos szerkezetű
A molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris
Peacutelda XeF6
Az alaacutebbi taacuteblaacutezatban a kuumlloumlnfeacutele alapmolekulaacutek szerkezeteacutet foglaltuk oumlssze
n m Keacuteplet
Elektronpaacuterok
elrendeződeacutese a
koumlzponti atom
koumlruumll
Molekula
alakja Koumlteacutesszoumlgek
Polaritaacutes
(ha AminusX
koumlteacutes
polaacuteris)
Peacutelda
1 AX A X polaacuteris HCl
2 0 AX2 lineaacuteris lineaacuteris A XX
XAX 180deg apolaacuteris CO2
1 AX2E trigonaacutelis planaacuteris hajlott vagy
V-alakuacute X
A
X
polaacuteris SO2
3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 97