ki n th c cÓ liÊn quan o hÀm c a hÀm s - boxmath.vn

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào

KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA 1) Ñònh nghóa ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi moät ñieåm: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø 0x (a;b)∈ . Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x0, kyù hieäu laø f'(x0) hay y'(x0) laø giôùi haïn höõu haïn (neáu coù)

cuûa →

−

−

0

x x0 0

f(x) f(x )lim

x x

00 x x0 0

f(x) f(x )f '(x ) limx x→

−=

−

2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm:

• Cho haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 laø f'(x0) . (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá 0 0 0M (x ;f(x )) (C)∈ vaø ∆ laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M

a) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm:

• Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x0 laø heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm 0 0 0M (x ;f(x ))

0k f '(x )= (k tan= α với ( )ox;α = ∆ )

b) Phöông trình tieáp tuyeán: • Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 thì phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm

M0(x0;f(x0)) laø:

0 0 0y f '(x )(x x ) f(x )= − +

hay: ( )0 0y y k x x− = − trong đó : 0 0

0

y f(x )

k f '(x )

=

=

(C): y=f(x)

0xx

0f(x )

y

0M ∆


3. Caùc quy taéc tính ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa toång hieäu tích thöông caùc haøm soá

a. Ñaïo haøm cuûa toång ( hieäu ): ( ) vuvu ′±′=′

± b. Ñaïo haøm cuûa tích:

( ) v.uv.uv.u ′+′=′ Ñaëc bieät ( )C.u C.u′

′= Vôùi C laø haèng soá.

c. Ñaïo haøm cuûa thöông:

2v

v.uv.u

v

u ′−′=

′

Ñaëc bieät 2

1 1v v

′−

=

và

′

= −

2

C C.v 'v v

d. Ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp: Cho hai haøm soá ( )ufy = vaø ( )xgu = khi ñoù ( )[ ]xgfy = ñöôïc goïi laø haøm hôïp cuûa hai

haøm soá treân, khi ñoù: xux u.yy ′′=′ 4. Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá cô baûn:

( ) 0=′

C ( C laø haèng soá ) ( )x ' 1= ( )C.x ' C=

Với u là một hàm số

( )n n 1x n.x −′

= ( )n N,n 2∈ ≥ ( )n n 1u n.u .u−′

′=

2

1 1

x x

′

= −

(x 0)≠ 2

1 u

u u

′′

= −

( )x

x2

1=

′ ( )x 0> ( )

u

uu

2′

=′

( ) xcosxsin =′ ( ) ucosuusin ′=

′

( ) xsinxcos −=′ ( ) usinuucos ′−=

′

( ) 2

2

1tan x 1 tan x

cos x

′= = + ( ) 2

2

utan u (1 tan u).u

cos u

′′′= = +

( ) ( )2

2

1cot x 1 cot x

sin x

′= − = − + ( ) ( )2

2

ucot u 1 cot u .u

sin u

′′′= − = − +

( )2dcx

b.cd.a

dcx

bax

+

−=

′

+

+ ( )2

11

1112

1

11

2 2bxa

cabbxbaxaa

bxa

cbxax

+

−++=

′

+

++ ....


TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG CONG

CÁC DẠNG TOÁN TIẾP TUYẾN CƠ BẢN 1. Daïng 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y = f(x) taïi ñieåm 0 0 0M (x ;y ) (C)∈

Phöông phaùp:

Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x0;y0) coù daïng: 0 0 0y f '(x )(x x ) f(x )= − + hay y - y0 = k ( x - x0 ) Trong ñoù : x0 : hoaønh ñoä tieáp ñieåm y0: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y0 = f(x0) k : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : k = f'(x0) 2. Daïng 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho tröôùc

Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau Böôùc 1: Goïi 0 0( ; ) ( )M x y C∈ laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C)

Böôùc 2: Tìm x0 baèng caùch giaûi phöông trình : '0( )f x k= , töø ñoù suy ra 0 0( )y f x= =?

Böôùc 3: Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.

(C): y=f(x)

0xx

0y

y

0M ∆

(C): y=f(x)

0xx

0y

y

0M ∆


Chuù yù : Ñoái vôùi daïng 2 ngöôøi ta coù theå cho heä soá goùc k döôùi daïng giaùn tieáp nhö : tieáp tuyeán song song, tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc . Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau: Ñònh lyù 1: Neáu ñöôøng thaúng ( ∆ ) coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa ( ∆ ) laø: k a∆ = Ñònh lyù 2: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng 1 2( ) vaø ( )∆ ∆ . Khi ñoù:

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2

/ / k k ( )

k .k 1∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆ ⇔ = ∆ ≠ ∆

∆ ⊥ ∆ ⇔ = −

3. Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(xA;yA) Phöông phaùp : Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau

Böôùc 1: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm M0(x0;y0) ( )C∈

0 0 0( ) : '( )( ) ( )d y f x x x f x= − + (*) Böôùc 2: Ñònh x0 ñeå (d) đi qua điểm A(xA;yA). Ta coù: (d) đi qua điểm A(xA;yA) 0 0 0'( )( ) ( )

A Ay f x x x f x⇔ = − + (1)

Böôùc 3: Giaûi pt (1) tìm x0. Thay x0 tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.

x

y

AAAA yxxkyxxkyy +−=⇔−=−∆ )()(:

O

);( AA yxA

)(:)( xfyC =

(C): y=f(x)

∆

x

y

ak /1−=

O

baxy +=∆ :2

(C): y=f(x)

x

y

ak =

baxy +=

1∆

2∆


Ngoài cách giải trên ta có dựa vào định lý sau để giải

ĐỊNH LÝ: Đường thẳng y ax b= + là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

'( )

( )

a f x

ax b f x

=

+ = hay

( )

'( )

f x ax b

f x a

= +

=

Phöông phaùp: Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau

Böôùc 1: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ( ∆ ) qua A vaø coù heä soá goùc laø k bôûi coâng thöùc: ( ) ( )A A A Ay y k x x y k x x y− = − ⇔ = − + (*)

Böôùc 2: Ñònh k ñeå ( ∆ ) tieáp xuùc vôùi (C). Ta coù:

A'

f(x)=k(x-x ) tieáp xuùc (C) heä coù nghieäm (1)

f ( )Ay

x k

+∆ ⇔

=

Böôùc 3: Giaûi heä (1) tìm k. Thay k tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm.


RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

41 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Dành cho học sinh các lớp 11 chuyên) Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:


Bài 9:

Bài 10:

Bài 11:

Bài 12:

Bài 13:

Bài 14:

Bài 15:

Bài 16:


Bài 17:

Bài 18:

Bài 19:

Bài 20:

Bài 21:

Bài 22:

Bài 23:

Bài 24:


Bài 25:

Bài 26:

Bài 27:

Bài 28:

Bài 29:

Bài 30:

Bài 31:

Bài 32:


Bài 33:

Bài 34:

Bài 35:

Bài 36:

Bài 37:

Bài 38:

Bài 39:


Bài 40:

Bài 41:

============Hết============

ki n th c cÓ liÊn quan o hÀm c a hÀm s - boxmath.vn

Documents