kapitel 4 sandsynlighed og statistiske modellertil fordelingsfunktionen, der er en slags kummuleret...
TRANSCRIPT
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Kapitel 4Sandsynlighed og statistiske modeller
Peter Tibert [email protected]
Elementær statistikF2011
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
1 Indledning
2 Sandsynlighed i binomialfordelingen
3 Normalfordelingen
4 Modelkontrol med normalfordelingen
5 Normalfordeling med Excel
6 Opsamling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
1 Indledning
2 Sandsynlighed i binomialfordelingen
3 Normalfordelingen
4 Modelkontrol med normalfordelingen
5 Normalfordeling med Excel
6 Opsamling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Generalisering fra stikprøve til population
Ide: Opstil en model for populationen og estimer modellensparametre pa baggrund af stikprøven
Kontroller at stikprøven ikke er i modstrid med modellen
Eksempel: 95% konfidensinterval for middelværdien i ennormalfordeling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Generalisering fra stikprøve til population
Ide: Opstil en model for populationen og estimer modellensparametre pa baggrund af stikprøven
Kontroller at stikprøven ikke er i modstrid med modellen
Eksempel: 95% konfidensinterval for middelværdien i ennormalfordeling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
1 Indledning
2 Sandsynlighed i binomialfordelingen
3 Normalfordelingen
4 Modelkontrol med normalfordelingen
5 Normalfordeling med Excel
6 Opsamling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Binomialfordelingen - uformelt
Lyttetest: En person har i tre ud af tre sætninger korrekt hørtforskel pa bas og pas - kan det være tilfældigt?
Vi gentager et eksperiment tre gange, hvor der hver gang er50% sandsynlighed for at fa succes ved en tilfældighed (fx. fakrone)
Hvad er sandsynligheden for at fa krone tre gange i træk?
Og hvorfor er det interessant?
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Uformelt. . . fortsat
Der er otte mulige udfald ved tre kast: KKK, KKP, KPK,PKK, KPP, PKP, PPK, PPP
Alle otte udfald er lige sandsynlige og netop et udfald svarertil tre gange krone
Laplaces lov: Sandsynlighed er antal gunstige divideret medantal mulige
Sandsynligheden for netop tre gange krone er saledes 1/8 =0,125 = 12,5%
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Uformelt. . . fortsat
Tilbage til lyttetest: Der er altsa en sandsynlighed (risiko) pa12,5% for, at personen ikke kan høre forskel pa bas og passelvom der blev svaret rigtigt i 3 ud af 3 tilfælde.
Er dette acceptabelt og hvis ikke: Hvordan kan man sa laveeksperimentet bedre?
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Binomialfordelingen — formelt
n Bernoulli-forsøg med sandsynligheden p for sandt (ogfølgeligt sandsynligheden 1− p for falsk)
Punktsandsynligheder er givet ved
f (x) =
(n
x
)pn(1− p)n−1 , x = 0, 1, . . . , n
hvor K(n,x) er binomialkoefficienten(n
x
)=
n · (n − 1) · . . . · (n − x + 1)
x · (x − 1) · . . . · 1=
n!
x!(n − x)!
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Binomialfordelingen — formelt og grafisk
0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
X ~ Bin(3,0.5)
x
f(x)
= P
(X=
x)
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Opgave 3
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
1 Indledning
2 Sandsynlighed i binomialfordelingen
3 Normalfordelingen
4 Modelkontrol med normalfordelingen
5 Normalfordeling med Excel
6 Opsamling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Normalfordelingen
Normalfordelingen er en kontinuert fordeling mensbinomialfordelingen er en diskret fordeling
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Tæthedsfunktion
x
ϕϕ((x))
Histogrammet for en binomialfordeling med p = 0, 5 og megethøjt n ligner tæthedsfunktionen for en normalfordeling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Normalfordelingen
Normalfordelingen er en kontinuert fordeling mensbinomialfordelingen er en diskret fordeling
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Tæthedsfunktion
x
ϕϕ((x))
Histogrammet for en binomialfordeling med p = 0, 5 og megethøjt n ligner tæthedsfunktionen for en normalfordeling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Normalfordelingen som grænsefordeling forbinomialfordelingen med p = 0, 5
0 1 2 3 4 5
0.05
0.15
0.25
n=5
x
P(x
)
0 2 4 6 8 10
0.00
0.10
0.20
n=10
x
P(x
)
0 5 10 15 20
0.00
0.05
0.10
0.15
n=20
x
P(x
)
0 10 20 30 40 50
0.00
0.04
0.08
n=50
x
P(x
)
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Normalfordelingen
Der findes uendeligt mange normalfordelinger, der hver især erkarakteriseret ved deres middelværdi µ og deres spredning σ
Middelværdi µ og spredning σ er parametre inormalfordelingen, og vi skriver N(µ, σ2)
Tæthedsfunktionen er en klokkeformet kurve:
f (x ;µ, σ) =1
σ√
2πexp
(−(x − µ)2
2σ2
)(vi bruger heldigvis næsten altid tabeller)
Kurven har toppunkt for x = µ
Større spredning giver fladere tæthedsfunktion
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Tæthedsfunktion for 3 forskellige normalfordelinger
−10 0 10 20 30
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
x
f(x)
N((10,, 22))N((10,, 42))N((20,, 22))
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Fordelingsfunktion og standardnormalfordeling
Ved bestemt integration af tæthedsfunktionen kommer vi fremtil fordelingsfunktionen, der er en slags kummuleretfrekvensfordeling
Fraktiler i en normalfordeling er nyttige ifm udsagn af typen:
50% af eleverne kan forventes at score mellem 22 og 87 i denforelagte prøve5% af eleverne forventes at score mindre end 12
Fordelingsfunktionen gar gennem (µ, 0.5)
Lavere spredning giver stejlere fordelingsfunktion
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Fordelingsfunktion for 3 forskellige normalfordelinger
−10 0 10 20 30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
F(x
)
N((10,, 22))N((10,, 42))N((20,, 22))
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Standardnormalfordelingen
Der findes uendeligt mange normalfordelinger, men vi kan ipraksis klare os med en, nemlig standardnormalfordelingenN(0, 1)
Fordelingsfunktionen Φ(x) fremkommer ved integration aftæthedsfunktionen ϕ(x)
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Tæthedsfunktion
x
ϕϕ((x))
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fordelingsfunktion
x
ΦΦ((x
))
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Eksempel pa brug af Φ
Antag at vi har lavet en undersøgelse, hvor gennemsnittet afscorene er 17 og standardafvigelsen er 3. Vi antager desuden,at scorene følger en normalfordeling.
Vi vil nu gerne kende sandsynligheden for, at en tilfældig scoreer mindre end 14.
Vi normaliserer ved at beregne den sakaldte z-værdi:
z =x − X
s=
14− 17
3= −1
Ved opslag i Tabel A kan vi nu se at
p = P(x ≤ 14) = Φ(−1) = 0, 159
Sandsynligheden for at en tilfældig score er mindre en 14 eraltsa cirka 16%
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Eksempel pa brug af Φ
Antag at vi har lavet en undersøgelse, hvor gennemsnittet afscorene er 17 og standardafvigelsen er 3. Vi antager desuden,at scorene følger en normalfordeling.
Vi vil nu gerne kende sandsynligheden for, at en tilfældig scoreer mindre end 14.
Vi normaliserer ved at beregne den sakaldte z-værdi:
z =x − X
s=
14− 17
3= −1
Ved opslag i Tabel A kan vi nu se at
p = P(x ≤ 14) = Φ(−1) = 0, 159
Sandsynligheden for at en tilfældig score er mindre en 14 eraltsa cirka 16%
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Eksempel pa brug af Φ
Antag at vi har lavet en undersøgelse, hvor gennemsnittet afscorene er 17 og standardafvigelsen er 3. Vi antager desuden,at scorene følger en normalfordeling.
Vi vil nu gerne kende sandsynligheden for, at en tilfældig scoreer mindre end 14.
Vi normaliserer ved at beregne den sakaldte z-værdi:
z =x − X
s=
14− 17
3= −1
Ved opslag i Tabel A kan vi nu se at
p = P(x ≤ 14) = Φ(−1) = 0, 159
Sandsynligheden for at en tilfældig score er mindre en 14 eraltsa cirka 16%
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Eksempel pa brug af Φ
Antag at vi har lavet en undersøgelse, hvor gennemsnittet afscorene er 17 og standardafvigelsen er 3. Vi antager desuden,at scorene følger en normalfordeling.
Vi vil nu gerne kende sandsynligheden for, at en tilfældig scoreer mindre end 14.
Vi normaliserer ved at beregne den sakaldte z-værdi:
z =x − X
s=
14− 17
3= −1
Ved opslag i Tabel A kan vi nu se at
p = P(x ≤ 14) = Φ(−1) = 0, 159
Sandsynligheden for at en tilfældig score er mindre en 14 eraltsa cirka 16%
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Eksempel pa brug af Φ
Antag at vi har lavet en undersøgelse, hvor gennemsnittet afscorene er 17 og standardafvigelsen er 3. Vi antager desuden,at scorene følger en normalfordeling.
Vi vil nu gerne kende sandsynligheden for, at en tilfældig scoreer mindre end 14.
Vi normaliserer ved at beregne den sakaldte z-værdi:
z =x − X
s=
14− 17
3= −1
Ved opslag i Tabel A kan vi nu se at
p = P(x ≤ 14) = Φ(−1) = 0, 159
Sandsynligheden for at en tilfældig score er mindre en 14 eraltsa cirka 16%
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
1 Indledning
2 Sandsynlighed i binomialfordelingen
3 Normalfordelingen
4 Modelkontrol med normalfordelingen
5 Normalfordeling med Excel
6 Opsamling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Modelkontrol
Vi er ofte interesserede i at se, hvor godt vores stikprøveegentlig stemmer overens med normalfordelingsantagelsen
For Tabel 2.5 (vokalvarighed i ms) beregner vi det forventedeantal observationer i et bestemt interval under antagelsen omnormalitet og sammenligner med det observerede
Vi beregner x = 208, 9 og s = 9, 79
For klassen afgrænset ved (204, 5; 209, 5] beregnes toz-værdier til -0,45 og 0,06
Via Tabel A findes tilhørende sandsynligheder p som 0,326 og0,524
Sandsynligheden for at være i intervallet er derfor 0,524 -0,326 = 0,198
Da stikprøven omfatter 40 enheder forventer vi at finde40 · 0, 198 = 7, 92 enheder i intervallet
Der var faktisk 9. . .
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Modelkontrol
Vi er ofte interesserede i at se, hvor godt vores stikprøveegentlig stemmer overens med normalfordelingsantagelsen
For Tabel 2.5 (vokalvarighed i ms) beregner vi det forventedeantal observationer i et bestemt interval under antagelsen omnormalitet og sammenligner med det observerede
Vi beregner x = 208, 9 og s = 9, 79
For klassen afgrænset ved (204, 5; 209, 5] beregnes toz-værdier til -0,45 og 0,06
Via Tabel A findes tilhørende sandsynligheder p som 0,326 og0,524
Sandsynligheden for at være i intervallet er derfor 0,524 -0,326 = 0,198
Da stikprøven omfatter 40 enheder forventer vi at finde40 · 0, 198 = 7, 92 enheder i intervallet
Der var faktisk 9. . .
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Modelkontrol
Vi er ofte interesserede i at se, hvor godt vores stikprøveegentlig stemmer overens med normalfordelingsantagelsen
For Tabel 2.5 (vokalvarighed i ms) beregner vi det forventedeantal observationer i et bestemt interval under antagelsen omnormalitet og sammenligner med det observerede
Vi beregner x = 208, 9 og s = 9, 79
For klassen afgrænset ved (204, 5; 209, 5] beregnes toz-værdier til -0,45 og 0,06
Via Tabel A findes tilhørende sandsynligheder p som 0,326 og0,524
Sandsynligheden for at være i intervallet er derfor 0,524 -0,326 = 0,198
Da stikprøven omfatter 40 enheder forventer vi at finde40 · 0, 198 = 7, 92 enheder i intervallet
Der var faktisk 9. . .
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Modelkontrol
Vi er ofte interesserede i at se, hvor godt vores stikprøveegentlig stemmer overens med normalfordelingsantagelsen
For Tabel 2.5 (vokalvarighed i ms) beregner vi det forventedeantal observationer i et bestemt interval under antagelsen omnormalitet og sammenligner med det observerede
Vi beregner x = 208, 9 og s = 9, 79
For klassen afgrænset ved (204, 5; 209, 5] beregnes toz-værdier til -0,45 og 0,06
Via Tabel A findes tilhørende sandsynligheder p som 0,326 og0,524
Sandsynligheden for at være i intervallet er derfor 0,524 -0,326 = 0,198
Da stikprøven omfatter 40 enheder forventer vi at finde40 · 0, 198 = 7, 92 enheder i intervallet
Der var faktisk 9. . .
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Modelkontrol
Vi er ofte interesserede i at se, hvor godt vores stikprøveegentlig stemmer overens med normalfordelingsantagelsen
For Tabel 2.5 (vokalvarighed i ms) beregner vi det forventedeantal observationer i et bestemt interval under antagelsen omnormalitet og sammenligner med det observerede
Vi beregner x = 208, 9 og s = 9, 79
For klassen afgrænset ved (204, 5; 209, 5] beregnes toz-værdier til -0,45 og 0,06
Via Tabel A findes tilhørende sandsynligheder p som 0,326 og0,524
Sandsynligheden for at være i intervallet er derfor 0,524 -0,326 = 0,198
Da stikprøven omfatter 40 enheder forventer vi at finde40 · 0, 198 = 7, 92 enheder i intervallet
Der var faktisk 9. . .
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Modelkontrol
Vi er ofte interesserede i at se, hvor godt vores stikprøveegentlig stemmer overens med normalfordelingsantagelsen
For Tabel 2.5 (vokalvarighed i ms) beregner vi det forventedeantal observationer i et bestemt interval under antagelsen omnormalitet og sammenligner med det observerede
Vi beregner x = 208, 9 og s = 9, 79
For klassen afgrænset ved (204, 5; 209, 5] beregnes toz-værdier til -0,45 og 0,06
Via Tabel A findes tilhørende sandsynligheder p som 0,326 og0,524
Sandsynligheden for at være i intervallet er derfor 0,524 -0,326 = 0,198
Da stikprøven omfatter 40 enheder forventer vi at finde40 · 0, 198 = 7, 92 enheder i intervallet
Der var faktisk 9. . .
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Modelkontrol
Vi er ofte interesserede i at se, hvor godt vores stikprøveegentlig stemmer overens med normalfordelingsantagelsen
For Tabel 2.5 (vokalvarighed i ms) beregner vi det forventedeantal observationer i et bestemt interval under antagelsen omnormalitet og sammenligner med det observerede
Vi beregner x = 208, 9 og s = 9, 79
For klassen afgrænset ved (204, 5; 209, 5] beregnes toz-værdier til -0,45 og 0,06
Via Tabel A findes tilhørende sandsynligheder p som 0,326 og0,524
Sandsynligheden for at være i intervallet er derfor 0,524 -0,326 = 0,198
Da stikprøven omfatter 40 enheder forventer vi at finde40 · 0, 198 = 7, 92 enheder i intervallet
Der var faktisk 9. . .
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Modelkontrol
Vi er ofte interesserede i at se, hvor godt vores stikprøveegentlig stemmer overens med normalfordelingsantagelsen
For Tabel 2.5 (vokalvarighed i ms) beregner vi det forventedeantal observationer i et bestemt interval under antagelsen omnormalitet og sammenligner med det observerede
Vi beregner x = 208, 9 og s = 9, 79
For klassen afgrænset ved (204, 5; 209, 5] beregnes toz-værdier til -0,45 og 0,06
Via Tabel A findes tilhørende sandsynligheder p som 0,326 og0,524
Sandsynligheden for at være i intervallet er derfor 0,524 -0,326 = 0,198
Da stikprøven omfatter 40 enheder forventer vi at finde40 · 0, 198 = 7, 92 enheder i intervallet
Der var faktisk 9. . .
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Grafisk modelkontrol
(184.5; 189.5]
(189.5; 194.5]
(194.5; 199.5]
(199.5; 204.5]
(204.5; 209.5]
(209.5; 214.5]
(214.5; 219.5]
(219.5; 224.5]
(224.5; 229.5]
(229.5; 234.5]
Vokalvarighed [ms]
Vokalvarighed [ms]
Ant
al
02
46
810
ObserveretForventet
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Grafisk modelkontrol
Observeret Forventet
Vokalvarighed [ms]
Ant
al
02
46
810
(184.5; 189.5](189.5; 194.5](194.5; 199.5](199.5; 204.5](204.5; 209.5](209.5; 214.5](214.5; 219.5](219.5; 224.5](224.5; 229.5](229.5; 234.5]
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
1 Indledning
2 Sandsynlighed i binomialfordelingen
3 Normalfordelingen
4 Modelkontrol med normalfordelingen
5 Normalfordeling med Excel
6 Opsamling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Normalfordeling i Excel
Der kan beregnes værdier for bade f (x) og F (x) for vilkarligenormalfordelinger med funktionen normfordeling(...), dertager fire argumenter:
værdi af xmiddelværdi µspredning σkumulativ: 0 betyder nej (der regnes med f ) og 1 betyder ja(der regnes med F )
Der kan findes fraktiler for vilkarlige normalfordelinger medfunktionen norminv(...), der tager tre argumenter:
sandsynlighed pmiddelværdi µspredning σ
Dette svarer til at finde xp i ligningenF (xp) = p ⇒ xp = F−1(p)
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Normalfordeling i Excel
Der kan beregnes værdier for bade f (x) og F (x) for vilkarligenormalfordelinger med funktionen normfordeling(...), dertager fire argumenter:
værdi af xmiddelværdi µspredning σkumulativ: 0 betyder nej (der regnes med f ) og 1 betyder ja(der regnes med F )
Der kan findes fraktiler for vilkarlige normalfordelinger medfunktionen norminv(...), der tager tre argumenter:
sandsynlighed pmiddelværdi µspredning σ
Dette svarer til at finde xp i ligningenF (xp) = p ⇒ xp = F−1(p)
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Normalfordeling i Excel
Ønsker man at finde værdier i standardnormalfordelingen kanman benytte funtionerne standardnormfordeling(...) ogstandardnorminv(...), der tager et argument hver
. . . men det er nok lige sa nemt at angive µ = 0 og σ = 1 i degenerelle funktioner
I praksis bruger vi stort set kun tæthedsfunktionen nar vi skaltegne pæne klokkeformede kurver — det er næsten altidfordelingsfunktionen, der er den interessante
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Normalfordeling i Excel
Ønsker man at finde værdier i standardnormalfordelingen kanman benytte funtionerne standardnormfordeling(...) ogstandardnorminv(...), der tager et argument hver
. . . men det er nok lige sa nemt at angive µ = 0 og σ = 1 i degenerelle funktioner
I praksis bruger vi stort set kun tæthedsfunktionen nar vi skaltegne pæne klokkeformede kurver — det er næsten altidfordelingsfunktionen, der er den interessante
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Normalfordeling i Excel
Ønsker man at finde værdier i standardnormalfordelingen kanman benytte funtionerne standardnormfordeling(...) ogstandardnorminv(...), der tager et argument hver
. . . men det er nok lige sa nemt at angive µ = 0 og σ = 1 i degenerelle funktioner
I praksis bruger vi stort set kun tæthedsfunktionen nar vi skaltegne pæne klokkeformede kurver — det er næsten altidfordelingsfunktionen, der er den interessante
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
1 Indledning
2 Sandsynlighed i binomialfordelingen
3 Normalfordelingen
4 Modelkontrol med normalfordelingen
5 Normalfordeling med Excel
6 Opsamling
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Opsamling
Normalfordelingen er en ofte benyttet model for delvistobserverede populationer, idet fordelingens parametre kanestimeres fra en stikprøve
Normalfordelingen har to parametre, middelværdi µ ogspredning σ, og vi skriver N(µ, σ2)
Standardnormalfordelingen N(0, 1) kan benyttes tilberegninger i andre normalfordelinger via en z-værdi
z =x − µσ
Saledes beregnes sandsynligheden P(X < x), hvorX ∼ N(µ0, σ
20) ved
p = Φ
(x − µ0σ0
)hvor Φ er fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen.
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Opsamling
Normalfordelingen er en ofte benyttet model for delvistobserverede populationer, idet fordelingens parametre kanestimeres fra en stikprøve
Normalfordelingen har to parametre, middelværdi µ ogspredning σ, og vi skriver N(µ, σ2)
Standardnormalfordelingen N(0, 1) kan benyttes tilberegninger i andre normalfordelinger via en z-værdi
z =x − µσ
Saledes beregnes sandsynligheden P(X < x), hvorX ∼ N(µ0, σ
20) ved
p = Φ
(x − µ0σ0
)hvor Φ er fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen.
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Opsamling
Normalfordelingen er en ofte benyttet model for delvistobserverede populationer, idet fordelingens parametre kanestimeres fra en stikprøve
Normalfordelingen har to parametre, middelværdi µ ogspredning σ, og vi skriver N(µ, σ2)
Standardnormalfordelingen N(0, 1) kan benyttes tilberegninger i andre normalfordelinger via en z-værdi
z =x − µσ
Saledes beregnes sandsynligheden P(X < x), hvorX ∼ N(µ0, σ
20) ved
p = Φ
(x − µ0σ0
)hvor Φ er fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen.
Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling
Opsamling
Normalfordelingen er en ofte benyttet model for delvistobserverede populationer, idet fordelingens parametre kanestimeres fra en stikprøve
Normalfordelingen har to parametre, middelværdi µ ogspredning σ, og vi skriver N(µ, σ2)
Standardnormalfordelingen N(0, 1) kan benyttes tilberegninger i andre normalfordelinger via en z-værdi
z =x − µσ
Saledes beregnes sandsynligheden P(X < x), hvorX ∼ N(µ0, σ
20) ved
p = Φ
(x − µ0σ0
)hvor Φ er fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen.