kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód
DESCRIPTION
Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód. Joanna Sawicka Wydział Nauk Ekonomicznych, Uniwersytet Warszawski. Plan prezentacji. Podstawowe założenia i oznaczenia Postać optymalnych predyktorów Porównanie MSE predyktorów Przypadki szczególne predyktorów - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/1.jpg)
Kalkulacja składki zaufania na podstawie
łącznej wartości i liczby szkód
Joanna SawickaWydział Nauk Ekonomicznych,
Uniwersytet Warszawski
![Page 2: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Plan prezentacji Podstawowe założenia i oznaczenia
Postać optymalnych predyktorów
Porównanie MSE predyktorów
Przypadki szczególne predyktorów
Przykład numeryczny
![Page 3: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Podstawowe założenia i oznaczenia Mamy zbiór danych zawierający informacje o
liczbie i wartości szkód wygenerowanych przez M ubezpieczonych (kontraktów) obserwowanych przez T okresów.
Przyjmujemy, że: - liczba szkód j-tego ubezpieczonego w t-
tym okresie
- wartość k-tej szkody j-tego ubezpieczonego w t-tym okresie
- łączna wartość szkód j-tego ubezpieczonego w t-tym okresie
,j tN
, ,j t kY
,
, , ,1
j tN
j t j t kkX Y
![Page 4: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Podstawowe założenia i oznaczenia Rozkład łącznej wartości szkód j-tego
ubezpieczonego zależy od dwóch niezależnych parametrów ryzyka: - parametr ryzyka rozkładu liczby szkód - parametr ryzyka rozkładu wartości
pojedynczej szkody
Parametry ryzyka oraz dla M ubezpieczonych są niezależne i mają takie same rozkłady
jj
1 2, ,..., M 1 2, ,..., M
![Page 5: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Podstawowe założenia i oznaczenia Przy znanej liczby szkód dla j-tego
ubezpieczonego w kolejnych okresach są warunkowo niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu.
Przy znanej wartości kolejnych szkód j-tego ubezpieczonego w kolejnych okresach są warunkowo niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu.
j
j
![Page 6: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Podstawowe założenia i oznaczenia Przy ustalonej wartości i łączne wartości
szkód j-tego ubezpieczonego w kolejnych okresach są warunkowo niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu.
Przy ustalonej wartości i warunkowo niezależne są także liczba szkód i łączna wartość szkód dla j-tego ubezpieczonego dla różnych okresów oraz wartość pojedynczej szkody i łączna wartość szkód dla j-tego ubezpieczonego dla różnych okresów.
Łączna wartość szkód, liczba szkód i wartości pojedynczych szkód są niezależne dla różnych ubezpieczonych we wszystkich okresach.
j
j
j
j
![Page 7: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Podstawowe założenia i oznaczenia Oznaczenia momentów:
- oraz
- oraz
- oraz
- oraz
, |j t j jE N , , |j t k j jE Y
2, |j t j NE Var N s 2
, , |j t k j YE Var Y s
,j tE N , ,j t kE Y
2jVar a 2
jVar a
![Page 8: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Postać optymalnych predyktorówProblemy predykcji łącznej wartości szkód wokresie T+1 dla j-tego ubezpieczonego:1. gdzie
2. gdzie
3. ,
,0 ,
, 1 1 ,0 ,,..,| , | arg min ,..,
j j Tj T j j j j j Tb b
BLP E X S b b X
2
1 ,0 , , 1 ,0 , ,1
,.., | ,T
j j T j T j j j j t j tt
S b b E E X b b X
,0 ,
, 1 2 ,0 ,,...,| , | arg min ,...,
j j Tj T j j j j j Tc c
BLP E X S c c N
2
2 ,0 , , 1 ,0 , ,1
,..., | ,T
j j T j T j j j j t j tt
S c c E E X c c N
,0 ,
, 1 3 ,0 , ,1 ,,...,
| , | , arg min ,..., , ,...,j j T
j T j j j j j j T j j Td e
BLP E X S d d e e X N
2
3 ,0 , ,1 , , 1 ,0 , , , ,1 1
,..., , ,..., | ,T T
j j T j j T j T j j j j t j t j t j tt t
S d d e e E E X d d X e N
![Page 9: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Postać optymalnych predyktorówOtrzymane optymalne predyktory:
1. 2. 3.
, 1 | , | 1j T j j j X X jBLP E X z z X X
, 1 | , | 1j T j j j N N jBLP E X z z N N
, , , ,, 1 | , | , 1 X N X N X N X Nj T j j j j X N X j N jBLP E X z z z X z N X N
,, 1 | , | X Nj T j j j X j jBLP E X z X N N
![Page 10: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Postać optymalnych predyktorówgdzie: oraz
1.
2.
3. oraz
,1
1 T
j j tt
X XT
,1
1 T
j j tt
N NT
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2X
Y N
Ta a Ta Taz
Ta a Ta Ta s s a
2
2 2NN
Taz
Ta s
2 2 2 2,
2 2 2 2 2 2 2X NX
Y N
Ta a Taz
Ta a Ta s s a
2 2 2 2 2
, ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2
X N X NY NN N X
N Y N
Ta s Ta sz z z
Ta s Ta a Ta s s a
![Page 11: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Porównanie MSE predyktorów Wielkości MSE predyktorów:1.
2.
3.
2 2 2 2 2 2, 1 | , | 1j T j j j XMSE BLP E X z a a a a X
,1 | ,X j t j jz Var E X
2 2 2 2 2 2, 1 | , | 1j T j j j NMSE BLP E X a a z a a N
2
, , , ,| , |j t j j N j t j j t kVar E X z Var E N E Y
, 1 | , | ,j T j j j jMSE BLP E X X N
, 2 2 2 2 2 2 , 2 21 X N X NX Nz a a a a z a
2, ,
, , , ,1 | , |X N X NX j t j j N j t j j t kz Var E X z Var E N E Y
![Page 12: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Porównanie MSE predyktorów Ponieważ:
więc zachodzi:
2 2 2 2 2 2 2 2Na a a a z a
2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2X NX Na a a a z a a a z a
, 1 | , |j T j j jMSE BLP E X N
, 1 | , | ,j T j j j jMSE BLP E X X N
![Page 13: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Porównanie MSE predyktorów Nierówność:
daje się zapisać jako:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2Xa a a a z a a a a
2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 , 2 2X N X NX Na a a a z a a a a z a
, 0X NN N Xz z z
![Page 14: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Porównanie MSE predyktorów Można pokazać, że wtedy gdy czyli jest zawsze spełnione.
Wobec tego:
Uwaga: warunek dodatniości ma postać (ozn. *):
lub
, 0X NNz N Xz z
, 0X NN N Xz z z
, 1 | , |j T j j jMSE BLP E X X
, 1 | , | ,j T j j j jMSE BLP E X X N
2 2
2 2N
Y
a s
a s
,X NNz
, , ,
, , ,
| |
| |
j t j j t k j
j t j j t k j
Var E N Var E Y
E Var N E Var Y
![Page 15: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Porównanie MSE predyktorów Kiedy zachodzi:
?
Musi zachodzić nierówność (ozn. (**)):
, 1 | , |j T j j jMSE BLP E X N
, 1 | , |j T j j jMSE BLP E X X
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2Na a a a a a a Ta s
2 2 2 2 2 2Y Na a s a s
![Page 16: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Porównanie MSE predyktorów Zatem dla odpowiednio długiej historii
ubezpieczonego lepiej posługiwać się predyktorem opartym na łącznej wartości szkód.
Nierówność (**) jest ponadto na pewno spełniona, gdy zachodzi:
czyli gdy lub .
2 2
2 2N
Y
s a
s a
, 0X NNz N Xz z
![Page 17: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Porównanie MSE predyktorów Można także zauważyć, że , gdy:
Wobec tego zachodzenie oznacza, że MSE predyktora opartego na liczbie szkód jest większe niż MSE predyktora opartego na łącznej wartości szkód. W drugą stronę zależność nie zachodzi.
, ,X N X NX Nz z
, ,X N X NX Nz z
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2N Y Na a a Ta s a s a s
![Page 18: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Porównanie MSE predyktorów Można także pokazać, że nierówność (**)
zachodzi, gdy:
, 1
, 1
| , ,
| ,
j T j j j
j T j j j
Cov E X X
Var E X Var X
, 1
, 1
| , ,
| ,
j T j j j
j T j j j
Cov E X N
Var E X Var N
![Page 19: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Przypadki szczególne predyktorów1. Rozkład pojedynczej wartości szkody jest
taki sam dla wszystkich ubezpieczonych, czyli:
- ,
- ,
- oraz
, , , ,|j t k j j t kE Y E Y
2, , , ,|j t k j j t k YVar Y Var Y s
, ,j t k jE Y E 0jVar
![Page 20: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Przypadki szczególne predyktorów Wtedy:
ponieważ:- ,
-
, 0X NXz
2,
2 2X NN N
N
Taz z
Ta s
, 1 | , | ,j T j j j jBLP E X X N
, , , ,1 X N X N X N X NX N X j N jz z z X z N
, ,1 X N X NN N jz z N
, 1 | , |j T j j jBLP E X N
![Page 21: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Przypadki szczególne predyktorów Predyktor oparty na łącznej wartości szkód
nadal ma postać:
ze zmodyfikowaną wartością wagi:
, 1 | , | 1j T j j j X X jBLP E X z z X X
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2/XY N N Y
Ta Taz
Ta s s Ta s s
![Page 22: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Przypadki szczególne predyktorów Przy założeniach 1. predyktor oparty na
liczbie szkód jest lepszy pod względem MSE niż predyktor oparty na łącznej wartości szkód.
Warunek zachodzenia nierówności (**) przy obecnych założeniach ma teraz postać:
2 2 0Ya s
![Page 23: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Przypadki szczególne predyktorów2. Rozkład liczby szkód jest taki sam dla
wszystkich ubezpieczonych, czyli:
- ,
- ,
- oraz
, ,|j t j j tE N E N
2, ,|j t j j t NVar N Var N s
,j t jE N E 0jVar
![Page 24: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Przypadki szczególne predyktorów Predyktor oparty na liczbie szkód może
być zapisany w postaci:
z wagą , czyli upraszcza się do:
i ma największe MSE.
, 1 | , | 1j T j j j N N jBLP E X z z N N
0Nz
, 1 | , |j T j j jBLP E X N
![Page 25: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Przypadki szczególne predyktorów Predyktor dwuczynnikowy będzie równy:
z wagami:
co oznacza, że można go także zapisać
, 1 | , | ,j T j j j jBLP E X X N
, , , ,1 X N X N X N X NX N X j N jz z z X z N
2 2, ,
2 2 2 2 2X N X NX N
Y N
Taz z
Ta s s a
![Page 26: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Przypadki szczególne predyktorów
w postaci:
Predyktor ten ma nadal najmniejsze MSE.
, 1 | , | ,j T j j j jBLP E X X N
,X NX j jz X N
,, 1 | , | X Nj T j j j X j jBLP E X z X N N
![Page 27: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Przypadki szczególne predyktorów Predyktor oparty na łącznej wartości szkód
nadal ma postać:
ze zmodyfikowaną wartością wagi:
, 1 | , | 1j T j j j X X jBLP E X z z X X
2 2
2 2 2 2 2 2X
Y N
Taz
Ta s s a
![Page 28: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Przykład numeryczny Przyjmijmy, że:
- ,
- ,
- ,
- .
Obliczmy wagi oraz MSE predyktorów dla rosnącej liczby okresów – T=1,…,50.
2 2 0,6Ns a
1724,14
2 106166,13a
2 3078817,7Ys
![Page 29: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Przykład numeryczny
Rys. 1. Wartości wag stosowanych w predyktorze dwuczynnikowym, predyktorze opartym na liczbie szkód oraz predyktorze opartym na
wartości szkód dla rosnącej liczby okresów
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Liczba okresów
Wag
i
BLP(X|X,N) - X BLP(X|X,N) - N BLP(X|X) BLP(X|N)
![Page 30: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Przykład numeryczny Przy tak dobranych parametrach
rozkładów zachodzi warunek (*), czyli oraz .
Dla t=17 waga zaczyna być większaod . Oznacza to, że od tego okresu MSE predyktora opartego na łącznej wartości szkód będzie na pewno mniejsze niż predyktora opartego na liczbie szkód.
, 0X NNz N Xz z
,X NXz
,X NNz
![Page 31: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Przykład numeryczny
Rys. 2. Wartości MSE dla predyktora dwuczynnikowego, predyktora opartego na liczbie szkód oraz predyktora opartego na wartości szkód dla rosnącej
liczby okresów
50000
250000
450000
650000
850000
1050000
1250000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Liczba okresów
MSE
BLP(X|X,N) BLP(X|X) BLP(X|N)
![Page 32: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Przykład numeryczny Dla przyjętych parametrów rozkładów MSE
predyktora opartego na liczbie szkód jest początkowo mniejsze niż MSE predyktora opartego na łącznej wartości szkód.
Dla t=16 predyktor oparty na łącznej wartości szkód zaczyna być lepszy od predyktora opartego na liczbie szkód.
![Page 33: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Przykład numeryczny
Przez cały okres predyktor oparty na zarówno na liczbie jak i na łącznej wartości szkód jest lepszy od predyktorów jednoczynnikowych.
![Page 34: Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062517/5681360f550346895d9d846c/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Dziękuję za uwagę