kaczvinszky jozsef intrazerialis matematika
TRANSCRIPT
Intrazeriális matematika
Írta:
Kaczvinszky József
Budapest, 1959.TARTALOMJEGYZÉK.
Előszó ………………………………………………………………………… 6
ELSŐ RÉSZ. A magasabbfokú pontosság matematikai rendszere. …………. 7
I. fejezet.
A zérus mint gyűjtőfogalom és mint szám.
1.§. Az egyensúlytörvény a matematikában. ………………………… 8
2.§. A klasszikus matematika zérus-fogalma. ………………………… 9
3.§. A határozott zérus. ………………………………………………... 14
II. fejezet.
Határozott érték a végtelenben.
4.§. A klasszikus matematika felfogásának módosítása. ………………… 17
5.§. A számok mint a végtelennek a függvényei. ………………………… 18
6.§. A øo esetleges értékváltozásainak hatása a øo
függvényeinek az értékére. ………………………………………… 20
7.§. A megnyilvánuló számok relatív rendszere. ………………………… 22
8.§. Az esetlegesen változó végtelen és zérus viszonya. ………………… 23
9.§. A határozott végtelen. ………………………………………………... 24
III. fejezet
A magasabbfokú pontosság.
10.§. Az xø hatvány intrazeriális értéke. ………………………………… 26
11.§. A pontossági fokok. ………………………………………………… 27
12.§. A pontossági fokokhoz alkalmazkodó speciális egységek. ………… 28
13.§. A végtelenül-nagy tagszámú sorok. Számszintek. ………………… 29
14.§. Az intrazeriális határértékek pontossága. ………………………… 32
15.§. Példa az intrazeriális határértékszámításra. ………………………… 35
16.§. A hatványok integrálási szabályainak általánosítása. ………………… 36
IV. fejezet
2
Matematikai számtorzulás.
17.§. Kivételes esetek a közönséges osztási műveletben. ………………… 38
18.§. Különbségekben fellépő zeriálisan kicsiny tagok. ………………… 39
19.§. A számtorzulási tényező. ………………………………………… 43
20.§. Tényleges és nem-tényleges műveletek. ………………………… 46
21.§. A határozott végtelen definíciója. ………………………………… 48
22.§. „A” -típusú határértékek, irracionális exponens esetén. ………… 49
23.§. A L’Hospital-féle tétel korlátos érvényessége. ………………… 51
24.§. A L’Hospital-féle tétel korlátai. ………………………………… 53
25.§. „A” típusú függvények magatartása a mikro-térközön belül. ………… 55
26.§. Példák a mikro-térközbeli függvénygörbének a meghatározására. … 57
27.§. A „0 – 0” jelkép. ………………………………………………… 61
28.§. Példák a számtorzulási tényező alkalmazására. ………………… 63
V. fejezet.
Számok alkalmazkodási törvényei.
29.§. Szorzatok tényleges kivonása. ………………………………………… 70
30.§. Effektív kiemelések. ………………………………………………… 70
31.§. Maguktól végbemenő effektív kiemelések. …………………………. 72
32.§. A L’Hospital-féle formula kiemelési lehetőségei. …………………. 75
33.§. Két szám összegének és különbségének szorzata. …………………. 76
34.§. A negatív egység. ………………………………………………… 78
35.§. A negatív egységnek mint tényleges kivonandónak a
számtorzulási tényezője. ………………………………………… 78
36.§. A negatív számok mint szorzatok. ………………………………… 79
37.§. A negatív szám fogalma. ………………………………………… 80
38.§. Koordinátarendszerek origója és origo-foltja. …………………………. 82
VI. fejezet.
Klasszikus matematikai képletek a magasabbfokú pontosság megvilágításában.
39.§. A lim(1+1/n)n határérték, ha n→∞ . ………………………………… 84
40.§. Az e szám magasfokú pontosságú meghatározása. ………………… 86
41.§. Zeriálisan kicsiny tagok végtelen-fokú hatványai. ………………… 87
42.§. A z =1+Ø ۰ i komplex számnak a logaritmusa. ………………… 88
43.§. Binomiális együtthatók speciális sora. ………………………… 89
44.§. Zeriálisan kicsiny geometriai függvények. ………………………… 90
45.§. Kooperatív koordinátarendszerek. ………………………………… 91
46.§. A határozott zérus logaritmusa. ………………………………… 94
47.§. A meghatározott zérusnak a ln øo fokú gyöke. …………………. 95
48.§. A Øø hatvány. ………………………………………………………… 96
49.§. Az (m ۰ øo+n) összeg logaritmusa. ………………………………… 97
3
50.§. Az ln øo mint irracionális szám. ………………………………… 98
VII. fejezet.
Infinitezimális műveletek.
51.§. Az intrazeriális differenciálhányados fogalma. ………………… 102
52.§. A differenciálás magasfokú pontosságú művelet. ………………… 105
53.§. Zeriálisan kicsiny konstánsok. ………………………………………… 106
54.§. Az xø hatvány differenciálhányadosa. ………………………………… 107
55.§. A differenciálok értéke. ………………………………………… 107
56.§. Implicite megadott függvény differenciálása. ………………………… 110
57.§. Zeriálisan kicsiny értékeket felölelő integrálok. ………………… 112
58.§. Az ∫ ⋅− dx)00( integrál. ………………………………………… 112
59.§. Az ∫ ⋅dxxln integrál egyik meghatározása. …………………………. 113
60.§. Differenciálhányadosok határtalanul hosszú sorára bontott integrál. …. 113
61.§. Határozott és improprius integrálok. …………………………………. 115
62.§. Integrálhatárok átalakítása. ………………………………………… 116
63.§. Az integrál-formulák pontossági foka. …………………………………. 117
VIII. fejezet.
Az intrazeriális matematika számtartománya.
64.§. A 0 – 0 kifejezés sajátságai. …………………………………………. 120
65.§. Az intrazeriális matematika számtartományának a határai. …………. 121
66.§. Hiper-pontosságú matematikai rendszerek. …………………………. 122
67.§. A tökéletesen tiszta számértékek problémája. …………………………. 124
68.§. A geometriai haladvány összegzési képlete. ………………………… 125
69.§. Az mxy −= függvény. ………………………………………………… 127
70.§. Az mxy = függvény értéktartománya. …………………………………128
MÁSODIK RÉSZ. Szférikus analízis.
IX.fejezet.
A számszférák elmélete.
71.§. A végtelenség és a határtalanság fogalma.
72.§. Az mxy −= függvény folytonossága a klasszikus szakadásának a helyén.
73.§. A számszféra fogalma.
74.§. A természetes számkör és annak negyedei.
75.§. A latens vagy lappangó számok fogalma.
76.§. Az abszolút-érték voltaképpeni fogalma.
77.§. A számkörre felvitt sorok.
78.§. A øo egységű számszféra.
4
79.§. Egyéb egységű számszférák.
80.§. A számszféra-elmélet célja.
X. fejezet.
A határtalan geometriai haladvány.
81.§. Az x2y = függvény értékei.
82.§. Az .Ix hatvány.
83.§. A határtalan geometriai haladvány összegzése.
84.§. A határtalan és divergens geometriai haladványok különbsége.
85.§. A határtalan geometriai haladványok összegzésével
nyerhető meghatározások.
86.§: A polinomokkal végzett osztási műveletnek és az összeadás
kommunatív törvényének az összeegyeztetése.
87.§. A határtalannál is hosszabb sorba fejtett hányados.
88.§. Lánctört értékű geometriai haladvány.
XI. fejezet.
A számkör jellegzetes helyeinek sajátságai.
89.§. Ívhossz- és végpont-egyenlőségek a számkörön.
90.§. A W szám törzsszám-voltának egyszerű bizonyítása.
91.§. Negatív távolságok a szférán.
92.§. Az İ szám rendkívüli sajátságai.
93.§. A W szám pozitív fokú hatványai.
94.§. A Q szám pozitív egészfokú hatványai.
95.§. Műveletek az 1/İ törtkifejezéssel.
96.§. A faktoriális számértékek helye a számkörön.
97.§. Négy gyökű másodfokú egyenletek.
98.§. Törtek W -nél nagyobb ívhosszúságú nevezői.
XII. fejezet.
A számkörön végzett szummációk.
99.§. Negatív irányú szummációk.
100.§. negatív irányú szummációk speciális esetei és példái.
101.§. Logaritmusok szummációja a számkörön.
102.§. Fordított integrál mint negatív irányú szummáció.
103.§. Parciális szummációk.
104.§. Negatív egész számok tényező-sora.
105.§. A természetes számsor elemeiből alkotott hatványsorok szummációja.
106.§. A harmonikus sor szummációja.
107.§. A határtalan harmonikus sornak a reális összege.
5
XIII. fejezet.
Speciális meghatározások.
108.§. Az ∫ ⋅− dxx m integrál határtalan sorbafejtése.
109.§. Az ∫ ⋅− dxx 2 integrál határtalan sorbafejtése.
110.§. Példa a határtalan sorba fejtett integrál meghatározására.
111.§. Az eWi hatvány abszolút értéke.
112.§. A π szám többszörösének sinus és cosinus függvényei.
113.§. A határtalan Fourier-sorok.
114.§. Az aW hatvány kifejtése Maclaurin-féle sorba.
115.§. Különböző komplex-számok azonos helye a szférán.
116.§. Töretlen periódussal körbenfutó trigonometriai függvények a számszférán.
117.§. Függvénygörbék lappangó szakaszai.
118.§. Egységes eljárással szerkesztett, különböző fajtájú kúpszeletgörbék.
XIV. fejezet.
Végtelen nagy tagszámú sorok.
119.§. Végtelen határú integrálok.
120.§. Végtelenül-nagy tagszámú sorok összegzése.
121.§. A határozott integrál mint zeriálisan kicsiny értékek szummációja.
122.§. A végtelenül-nagy tagszámú harmonikus sor.
123.§. A nem-abszolútan /feltételesen/ konvergens sorok.
124.§. Példa egy végtelenül-nagy tagszámú sor határértékének
a meghatározására.
XV. fejezet.
Összefoglalás.
125.§. Az intrazeriális rendszer jellemzése.
126.§. A számszférák gömbi sugara.
127.§. A számok osztályozása.
128.§. Kísérlet a számtorzulás indoklására és levezetésére,
a számszféra-elmélet alapján.
HARMADIK RÉSZ. A számszféráról való sorozatos kiemelések fizikai vonatkozásai.
XVI. fejezet.
A relativisztikus fizika formulái.
129.§. A számszféráról való kiemelés és visszahelyezés elve.
130.§. Sorozatos kiemelések és visszahelyezések.
131.§. Az irányítottan végzett kiemelés és annak szabályos sorozata.
132.§. Eredő erőhatások felbontása merőleges erőpárokra.
133.§. A jelenléti- és eltávolodási-valószínűség fogalma.
6
134.§. Jelenléti- és eltávolodási-valószínűségek a kiemelési sorozatokban.
135.§. A relativisztikus fizika alapvető formulái.
XVII. fejezet.
Speciális megállapítások a relativisztikus fizika formuláival kapcsolatban.
136.§. A kinetikai energia relativisztikus képletei.
137.§. A visszamaradási valószínűség fogalma.
138.§. A relativisztikus Doppler-effektus.
139.§. A „nyugalmi tömeg” fogalma.
140.§. Impulzusok.
141.§. Az idő mint diszkrét mennyiség.
XVIII. fejezet.
Elvi következtetések.
142.§. Sebességek összetevődési tétele.
143.§. A maximális eltávolodási sebesség.
144.§. Reális körpályán keringő pontnak a sorozatos kiemelése.
145.§. Ugyanaz, de 00 −=ϑ esetén.
146.§. A relatív idő-differencia.
147.§. A de Eroglie-féle hullámformula.
148.§. A kiemelési munkára vonatkozó hipotézis.
149.§. Irreális tényezők szerepe a fizikában.
150.§. A fénysebességnél nagyobb sebességnek a feltételezése.
151.§. Visszatekintés.
FÜGGELÉK. A számtorzulási tényező meghatározása. ……………………
7
ELŐSZÓ.
Az intrazeriális matematika a magasfokú pontosság rendszere.
Jelentősége egyrészt abban áll, hogy a matematika műveleti törvényeinek az érvényességét a törvények megváltoztatása nélkül kiterjeszti a végtelenül-nagy és a végtelenül-kicsiny abszolút-értékű számok tartományára is, másrészt pedig, hogy olyan felismerésekhez is vezet, olyan törvényszerűségeket is megvilágít, amelyeket a matematika eddig szükségszerűen figyelmen kívül hagyott.
Megkülönböztetésül, a XX. század első feléig kialakult matematikát, vagyis azt a rendszert, amely a végtelent csak határozatlan szimbólummal jelöli meg és ennélfogva nem tud különbséget tenni
∞=∞⋅=∞⋅ ba )ba( ≠
között , klasszikus matematikának nevezzük a továbbiakban.
Az intrazeriális felfogás igen súlyos követelményeket tár elénk. Megkívánja például, hogy az f(x) = 1/x függvénynek a különböző helyekre jutó értékeit, 0 <x → ∞ esetén, még azon a szakaszon belül is pontosan meg lehessen különböztetni egymástól, amely szakaszon át x már elhagyván a véges számértékeket, a végtelen felé tart.
Követelményei sokkal szigorúbbak, mint ahogy azok a klasszikus felfogásban akár csak elképzelhetők is.
Belátható, hogy a klasszikus matematikában nem tehetünk különbséget a ٠ 0 és b ٠ 0 között. Az intrazeriális rendszer viszont még ezekben az összefolyó számtartományokban is lehetővé teszi a pontos számításokat.
Az intrazeriális rendszer voltaképpen nem egyéb, mint természetes továbbfejlesztése a klasszikus matematikának. Annak alapjára épül fel és azt nem dönti meg. Sőt ellenkezőleg, gigantikus méretekben kiterjeszti a matematika érvényességi körét a számok birodalmában. Olyan törvények származását is megmagyarázni képes, amely törvények a klasszikus rendszerben csak a szükségesség alapján váltak elismertté. Pontosan összegezni tud divergens sorokat is. Mindeddig fennálló elvi ellentmondásokat világít meg és küszöböl ki a klasszikus matematikából. És így tovább.
Lehetőségei, fejlődése és jövőbeli eredményei ma még beláthatatlanok.
Jelen munkánk terjedelme nem enged meg többet, mint az intrazeriális matematika egyszerű megalapozását, a rendszer voltaképpeni vázának a felállítását és sajátos irányvonalainak az ismertetését.
8
Felfogása azonban már így is forradalmasítja az évszázadokon át változatlanul fennálló nézeteket a matematika területén.
A rendszer részletes kidolgozása a jövőnek a feladatát képezi, amelyre egyetlen emberélet nem lehet elég.
Budapest, 1959.
K. J.
I. RÉSZ.
A MAGASABBFOKÚ PONTOSSÁG MATEMATIKAI RENDSZERE.
9
I. FEJEZET
A ZÉRUS, MINT GYŰJTŐFOGALOM ÉS MINT SZÁM.
1.§. Az egyensúlytörvény a matematikában.
Minden matematikai törvény egyetlen alaptörvényre vezethető vissza. Ez az alapvető törvény az egyensúlytörvény, amelyet a matematikai egyenlőségnek a szimbóluma juttat kifejezésre.
Ha
/1,1/ qp = ,
vagyis ha a p betűkifejezésnek a tárgya valóban egyenlő a q betűkifejezésnek a tárgyával, akkor az ilymódon felírt képlet primér értelemben tükrözi az egyensúlytörvény lényegét.
Ha mind p, mind q egy és ugyanannak a tárgynak a különböző megnevezése csupán, akkor az /1,1/ egyenlőség a maga eszményi tökéletességében áll fenn, vagyis azt állítja, hogy a p és q betűk által jelölt tárgy: egyenlő önmagával.
Ha p nem ugyanazt a tárgyat képviseli, mint q, akkor az egyenlőség korlátozottabb értelművé válik: csupán azt mondja ki, hogy p „ugyanolyan”, mint q.
10
Ha pedig megállapodásszerűen még azt a szempontot is megnevezzük, amely szerint p és q semmiben sem különbözik egymástól, akkor az egyenlőségnek az értelme még korlátozottabb lesz: mindössze azt fejezi ki, hogy az illető szempontból megítélve p nem különböztethető meg q -tól. Maga az egyensúlytörvény azonban így is változatlanul érvényre jut az egyenlőségnek a szimbólumában.
A matematikai egyenlőség ilyen korlátozott értelmű kifejezés. Megállapodásszerűen csupán annyit állít, hogy mérték, számszerűség, illetőleg érték szempontjából megítélve, a valóságos tárgyuktól elvonatkoztatott p és q mennyiségek egymással megegyeznek: egyenlők.
A matematikai egyenlőség tehát nem több, mint mennyiségek érték-egyezésének képletbe foglalása. Feltételezve természetesen, hogy a mennyiségek „értéke” éppúgy lehet reális, mint irreális értelmezésű fogalom.
Mindezek a korlátozások és kikötések azonban a legkevésbé sem csorbítják az egyensúlytörvény abszolút érvényességét az egyenlőségre nézve.
Az egyensúlytörvény hatása elsősorban abban a vonatkozásban nyilvánul meg, hogy ha p= f(x) és q= φ(x), akkor feltétlenül igaz az
/1.2/ ϕ=f
egyenlőség is, mégha x értéke akármilyen szabadon is változik.
Ha pedig p = F(x,y) és q állandó mennyiség, akkor az
/1.3/ q)y,x(F =
egyenlőségben x -nek minden változása az y érték megfelelő változását követeli meg, feltétlen szigorúsággal, amely törvény alól kivétel nem lehet.
Az F függvény bizonyos műveleti összefüggéseket állapít meg, műveleti kapcsolatokat juttat kifejezésre az x és y mennyiségek között. Akármilyenek is legyenek a fennálló műveleti kapcsolatok: x -nek változása esetén y értéke csakis úgy változhatik meg, amint azt az egyensúlytörvény abszolút érvényessége megkívánja. Az y érték valamennyi változásában bizonyos szabályosságok, szigorú törvényszerűségek nyilvánulnak meg tehát. Ezek a szabályosságok és törvényszerűségek alkotják az u.n. „műveleti törvényeket”, az F függvényben foglalt műveletekre vonatkozóan.
A matematika műveleti törvényeit ennélfogva mindenkor az abszolút egyensúlytörvény determinálja. A műveleti törvényeknek szigorú determináltságában tükröződik szekundér értelemben az egyensúlytörvény lényege.
Ameddig az egyensúlytörvény állandó, addig az általa determinált műveleti–törvények is csak állandóak lehetnek. Kivételeket pedig – éppen a feltétlen determináltságnál fogva – egyetlen műveleti-törvény sem tűrhet meg a maga érvényességi körén belül. Az egyensúlytörvény állandó hatása tökéletesen kizárja a kivételek lehetőségét.
Mindez logikailag, könnyen belátható. Nyilvánvaló tehát, hogy a matematika gyakorlatában felbukkanó bármely kivételes eset azonnal arra a körülményre mutat rá, hogy az illető esettel kapcsolatos műveleti-törvényeket még nem ismerjük eléggé alaposan, vagy nem fogalmaztuk meg eléggé pontosan, az egyensúlytörvénynek megfelelőleg.
Erre a meggondolásra támaszkodik az intrazeriális matematika egész rendszere.
11
2.§. A klasszikus matematika zérus-fogalma.
A számokkal kapcsolatban megvalósítható műveletek determinált törvényeinek a megismerése, illetőleg az ezekre a törvényekre vonatkozó ismeretek gyűjteménye képezi a matematikának - mint tudománynak - egész területét és anyagát.
A klasszikus matematika érvényessége alá tartozó számoknak a tartományát végtelenül-nagynak szokás tekinteni.
A materiális világban azonban végtelenül-nagy értéket mérni nem tudunk. A számunkra megnyilvánuló természetben nincsenek végtelenségek. Mérésekkel nem ellenőrizhetjük tehát a matematikának a végtelenül-nagy számokra vonatkozó érvényességét.
Más úton-módon kell megvilágítanunk ezért a kérdést, vajjon a klasszikus matematika érvényességének a számtartománya valóban felöleli-e az általunk nem mérhető, végtelenbe- veszően nagy számokat is, vagy sem.
A kérdés megvilágítása rendkívül érdekes meglátásokhoz és felismerésekhez vezet.
A végtelennek a reciprok értékét a klasszikus matematika zérusnak nevezi és ezt az értéket a 0 jelképpel jelöli meg. Elegendő tehát ezt a reciprok-értéket vizsgálnunk. Mert ha meg tudunk győződni arról, hogy a klasszikus matematika műveleti törvényei egyöntetűen és hiánytalanul érvényesek a zérusra vonatkozólag is, akkor kimondhatjuk, hogy ugyanúgy érvényesek a zérus reciprok értékére, vagyis a végtelenre, a végtelenül-nagy számokra nézve is.
Erről meggyőződnünk azonban nem lehetséges.
A zérus fogalmát a klasszikus matematika általában úgy határozza meg, hogy a zérust két egymással egyenlő szám különbségének tekinti.
/2,1/ aa0 −= .
Ugyanakkor azonban mégsem azonosítja a zérust az „ideális semminek” a fogalmával, mert a /2.1/ egyenlőség ellenére megtűri rendszerében a
/2.2/ n0
0 =
egyenlőséget is, amelyben n bármilyen reális vagy irreális mennyiség lehet.
Mit fejez ki tehát a zérus jelkép?
A klasszikus felfogás szerint a zérus nem egyéb, mint az algebrai számsor pozitív és negatív szakaszának a közös határa.
Ugyanakkor azonban a klasszikus matematika besorozza a zérust egyrészt az egész-számoknak a sorába, másrészt a páros számok sorába is, más esetekben viszont mégis úgy tekinti, mintha csak idegen elemként szerepelne a zérus a reális és az irreális számoknak a tartományában. Ilyenformán még az sem válhatik világossá tehát, hogy a zérus csakugyan számnak tekinthető-e, vagy sem.
A klasszikus matematika régies írásmódja szerint felírhatjuk, m = ∞ esetén, az
0m
a =
egyenlőséget. Az újabb írásmód szerint felírt
12
0m
alimm
=∞→
formula ugyanezt a megállapítást fejezi ki. Azzal a különbséggel, hogy az utóbbi esetben m -et nem tekintjük a végtelennel egyenlőnek, hanem – a nyílnak az értelmében – mindössze feltesszük róla, hogy egyre jobban, végül pedig már az elképzelhető legnagyobb tökéletességgel megközelíti /értékére nézve / azt az értéket, amelyet a nyílnak a hegye elé írtunk.
Mármost, minél magasabbfokú pontosságú kifejezésnek tekintjük az utóbbi formulát, annál inkább egyértelművé válik az előző egyenlőséggel. A klasszikus matematika felfogása szerinti megközelítés azonban – még a legelőnyösebb esetben is, – csak bizonyos határig történő közeledés lehet valamely megadott érték felé, – de sohasem az illető értéknek a tökéletes elérése.
Fennállanak ilyen értelemben a klasszikus matematikában például az alábbi meghatározások:
/2,3/ xsinlimx2sinlimxx α→α→
≠ ,
/2,4/ xsinlim
x2sinlim
xsin
x2sinlim
x
x
xα→
α→
α→=
mindaddig, amíg 0≠α .
Az 0=α eset nyilvánvalóan kivételt képez, mintha a zérusnak a szerepe egyszeriben megváltoztatná a fenti kifejezéseknek az egyébként általános érvényességét. Mert
xsinlimx2sinlim0x0x →→
= ,
xsinlim
x2sinlim
xsin
x2sinlim
0x
0x
0x→
→
→≠
ez pedig egyértelmű a /2,3/ és a /2,4/ formulában foglalt állításoknak a teljes „felborulásával”, 0=α esetén.
Más módon közelíti meg tehát x a zérust, mint valamely határozott 0≠α értéket?
Vizsgáljuk meg a kérdést közelebbről is.
Tegyük fel, hogy esetünkben α valamely igen kicsiny pozitív törtszámnak az értékével bír. Mármost, ha a tizes számrendszert vesszük alapul, akkor magától értetődik, hogy mialatt az x változó α –t jobbról közelíti meg, azalatt x sorra felveszi az
/2,5/ m10kx −⋅=
=
=
.,...3,2,1m
;1...,7,8,9k
13
értékeket. Világos továbbá, hogy minél tökéletesebben közelíti meg x az α értéket, annál határozottabbá válik a /2,5/ függvényben k -nak és m -nek az a kívánt értéke, amely a megadott
0m0 10k −⋅=α
egyenlőséget kielégíti.
Folytassuk ezekután x -nek a zérushoz való közelítését.
Tegyük fel a továbbiakban, hogy k konstáns. Majd csökkentsük tovább x -et, mégpedig azáltal, hogy m -nek az értékét egyre növeljük. Az x = x(m) függvényértékek rohamosan csökkennek. Ilyenformán tehát okvetlenül el kell jutnunk egy olyan tartományhoz, amelyben az x(m) és x(m+1) értékek egymástól már – sem gyakorlati értelemben, sem pedig aritmetikailag – számunkra többé meg nem különböztethetők. Legalább is a klasszikus matematika felfogásában már nem létezik közöttük számszerűleg is kimutatható különbség. Egyszerűen azért, mert m már odáig növekedett, hogy számszerűleg nem vagyunk képesek felírni! E miatt pedig – mint fel nem becsülhető mennyiségek – az m-1 és m+1 értékek valóban egybeolvadni látszanak m -mel, és teljesen elmosódik közöttük minden különbség a gondolkodó ember szempontjából nézve.
Ebben a nagyon messzi tartományban – a különbségek ki nem mutatható volta következtében – nyilvánvalóan az alábbi helyzetnek kell kialakulnia:
/2,6/ ( ) ( ) ( )tmx...1mxmx +==+= .
Ezt a körülményt a klasszikus matematika, a maga sajátos írásmódja szerint, az
/2,7/ ( ) ( ) 0tmxmx =+=
egyenlőséggel fejezi ki.
Belátható azonban, hogy – gyakorlati értelemben – sokkal hamarább be kell következnie ennek a speciális helyzetnek, mintsem még arról beszélhetnénk, hogy m értéke az úgynevezett végtelenbe nő. Ennélfogva a fent említett távoli tartományban még okvetlenül igaznak kell lennie – még akkor is, ha egyáltalában nem mutatatható ki, – hogy valójában:
tm...1mm +≠≠+≠ .
Ezek az egyenlőtlenségek nem kétségesek és nem vitathatók, míg m < ∞. A /2,6/ alatti helyzet pedig okvetlenül már előbb bekövetkezik a függvényértékek tartományában, még mielőtt m minden határon túl növekednék, vagyis az elképzelt „végtelenség” felé nőne.
Magától értetődik tehát, hogy csupán a kifejezésbeli megkülönböztethetőségnek a gyakorlati lehetetlensége okozza a /2,7/ alatti egyenlőségnek a megtűrését és elfogadását a matematikában.
Mindez pedig kétségtelenül kifejezésre juttatja azt a tényt, hogy a /2,7/ egyenlőségbeli zérus voltaképpen: egymástól már meg nem különböztethető, de valójában egymástól eltérő értékeknek a közös gyűjtőfogalma.
A zérus tehát nem szám, hanem gyűjtőfogalom. Mint ilyen: magában foglal minden olyan számértéket, amely – a felbecsülés bizonytalanságnál fogva, vagyis emberi meghatározó-
14
képességnek a korlátozott és természetszerűleg tökéletlen volta folytán – egyaránt teljesen értéktelennek látszik a pozitív egységhez mért viszonyában. Ennélfogva a zérus – mint gyűjtőfogalom – felöleli a végtelenül-csekély abszolút-értékű számoknak a végtelen sokaságát is.
Tekintettel arra, hogy a /2,6/ alatt említett m, m+1, … m+t tartománynak az elemeit számszerűleg meghatározni és megkülönböztetni nem áll módunkban, már most kimondjuk – mint megállapodást – hogy a /2,7/ alatti x -értékeket ugyanúgy zeriálisan /zérus-szerűen/ kicsiny számoknak nevezzük a továbbiakban, mint ahogy a valóban végtelenül-csekély abszolút-értékű számokat is így nevezzük ezentúl. /A kétféle tartomány között tehát nem teszünk különbséget a zérus fogalmának a szempontjából./
Ennek a megjegyzésnek az előrebocsátása után, a következőképpen definiálhatjuk a klasszikus matematikának a zérus–fogalmát: a zérus olyan gyűjtőfogalom, amely magában foglalja az algebrai számsor pozitív és negatív szakaszának az értéktelenül közös határát, valamint ezenfelül az összes zeriálisan-kicsiny pozitív és negatív értéket, illetve a végtelenül-csekély abszolút-értékű számokat is.
Ennek a definíciónak az értelmében azonnal belátható, hogy például az
0xsinlim1
limlimaa0xx0x
==α
==−→∞→→
egyenlőségek valóban nem állnak ellentmondásban egymással, mindaddig, amíg nem viszonyítjuk ezeket az egyenlőségeket egymáshoz. Az efféle viszonyításnak viszont bizonytalansághoz, és ellentmondásokhoz kell vezetnie, mert egy határozatlan értékű gyűjtőfogalom nem állhat nevezőként egy olyan törtben, amely törtnek számlálója is csak bizonytalan értéket képvisel.
A fenti definícióval valóban tisztáztuk a zérusnak a szerepét a matematikában.
Ugyanakkor azt is be kell látnunk azonban, hogy szükség van egy efféle gyűjtőfogalomra, mégpedig azért van szükség, mert a zeriálisan kicsiny számok – mint mennyiségek – semmi módon sem mérhetők össze a véges egységgel és a meghatározható véges számokkal, akármilyen kicsinynek is vesszük fel az utóbbiakat. A nagyságrendi alapon értelmezett összemérhetetlenségnek a következtében tehát fennáll az a helyzet, hogy bármely zeriálisan kicsiny szám egyformán aránylik bármely véges számértékhez:
/2,8/ 0b
xlim
a
xlim
0x0x
==→→
. ( )ba ≠ .
A /2,8/ egyenlőség ugyanis mindössze azt az egyetlen körülményt fejezi ki, hogy a zeriálisan kicsiny számok nagyságrendileg teljesen összemérhetetlenek a véges számokkal, vagyis más szóval, hogy az összemérési lehetőségük – mint arányítás – ugyancsak zérussal egyenlő.
Ebből következik viszont, /2,8/ szerint, hogy ba ⋅=⋅ 00 . És minthogy a nem egyenlő b -vel, azért a zérus-jelképnek alkalmasnak kell lennie arra, hogy minden zeriálisan-kicsiny nagyságrendű számot helyettesíteni tudjon a fenti egyenlőségben. Ennek a kívánalomnak pedig csakis egy megfelelő „gyűjtőfogalom” tehet eleget, de nem valamely szám.
Így jutunk el első lépésként ahhoz a felismeréshez, hogy a klasszikus matematika zérusát – mint zeriálisan kicsiny értékeknek a gyűjtőfogalmát – valóban nem szabad, de nem is lehet számnak minősítenünk.
15
A zérussal való osztást a matematika szigorúan meg-nem-engedhető műveletnek tekinti. Miután a zérus valamennyi zeriálisan kicsiny számnak a gyűjtőfogalma, azért ez a tilalom tökéletesen indokolt. Mert ha elképzeljük, hogy van is a zérusnak valamely sajátosan kicsiny abszolút-értéke, ez a feltételezett érték csak bizonytalan lehet mindaddig, amíg a zérus – mint gyűjtőfogalom – tetszésszerinti zeriálisan-kicsiny értéket képviselhet. Valamely bizonytalan értékkel, vagyis a zérussal végzett osztás pedig csak határozatlan hányadoshoz vezethet.
Az osztásnak a műveleti törvénye ennélfogva nem alkalmazható a zérusra, ha a zérus osztóként fordul elő.
Az általános műveleti törvények alól kivételt kell, hogy képezzen ezért a zérusnak a reciprok értéke, vagyis a klasszikus matematika ∞ -je is.
Ha a zérus gyűjtőfogalom, akkor a reciprok-értéke, vagyis a végtelen is az kell, hogy legyen:
/2,9/∞==
∞→∞→ n
blim
1
n
alim
1
nn
, ( )ba ≠
A klasszikus matematika ∞ jellel jelölt szimbóluma tehát nem egyéb, mint a végtelenbe-vesző számoknak a határozatlan gyűjtőfogalma. Azzal a különbséggel, hogy +∞ a pozitív, -∞ pedig a negatív efféle számértékeket öleli fel.
Érthetővé válik ennélfogva, hogy a klasszikus matematika nem küszöbölheti ki rendszeréből a zérusra, valamint a végtelen szimbólumára vonatkozó állandó bizonytalanságot, hiszen gyűjtőfogalmaknak nem tulajdoníthat fix értéket.
Nem tagadható azonban ugyanakkor, hogy a klasszikus felfogás a ∞ -nek mégis reális értéktartományt tulajdonít. Mert világosan kimondja az alábbi összefüggéseket:
- ∞ < -1 < 0 < 1 < + ∞ .
Magától értetődik viszont, hogy ez a reálisként felfogott értéktartomány – a sajátos és elképzelhetetlen „nagyságrendje” folytán – nem lehet ábrázolható semmiféle véges–egységű koordinátarendszerben sem, ilyenben tehát nem lehet jelen, másrészt pedig – miután a ∞ -jelkép: gyűjtőfogalom, – értéke még a saját körén belül is mindenkor csak határozatlan lehet.
Mindezek a megállapítások természetesen a zérusra is vonatkoznak, ha úgy fogjuk fel a zérust, mint a ∞ -nek a reciprok értékét. Hiszen valamely véges-egységű koordinátarendszerben a zérusnak csupán a kijelölt helyét tüntethetjük fel, de a zeriálisan kicsiny értékek tartományának a „kiterjedését” már nem nevezhetjük jelenlévőnek a koordinátarendszer tengelyein.
Mind a ∞ -ről, mind a 0 -ról feltehető tehát, hogy mindkettő, a maga sajátos és a véges számértékekkel nagyságrendileg össze nem mérhető tartományában: elképzelhetetlenül, sőt határtalanul sok egymástól különböző, de gyakorlatilag meg nem különböztethető olyan értéket tartalmaz, amely értékeknek mindegyike valójában „fix” érték is lehet. A fentebbi fejtegetések és megállapítások értelmében látnunk kell, hogy ezt a föltevést a klasszikus matematika nem zárja ki.
De törődjünk most csupán a zeriálisan kicsiny értékekkel.
Tegyük fel mindenekelőtt, hogy a zéruson, mint gyűjtőfogalmon belül: valóban léteznek zeriálisan kicsiny, fix értékek. A matematika törvényei szerint magától értetődik, hogy ha csakugyan léteznek ilyen értéktelennek látszó, de mégis fix értékek, akkor ezek viszonyíthatók kell, hogy legyenek egymáshoz. Az efféle viszonyításoknak a hányadosa, mint a logika alapján
16
feltehető, lehet zeriálisan kicsiny értékű, vagy lehet végtelenül-nagy, – kedvező esetekben azonban véges hányadosokra is számíthatunk.
Természetes, hogy a véges számokra felépülő klasszikus rendszer egyetlen zeriálisan- kicsiny ”fix” értéket sem határozhat meg. Zeriálisan kicsiny függvény-értékek hányadosát azonban – kerülő úton – mégis meghatározni képes. A probléma tehát megvilágítható. Így például legyen
8x)x(w 3 −= és 2x)x(y −= .
Nyilvánvaló, hogy az x= 2 helyen mindkét függvénynek az értéke zérus, vagyis w(2) = 0 és y(2) = 0 egyaránt zeriálisan kicsiny értéknek tekinthető. Ezeknek a zeriálisan kicsiny értékeknek a hányadosa azonban:
( )( ) 12
'2x
'8xlim
2x
8xlim
)2(y
)2(w 3
2x
3
2x=
−−=
−−=
→→ ,
az így nyert véges hányados viszont logikusan arra mutat rá, hogy föltevéseink csakugyan jogosultak lehetnek: a zéruson mint gyűjtőfogalmon belül, zeriálisan kicsiny, de egymáshoz viszonyítható fix értékek állhatnak fenn.
A zéruson belüli, vagyis a véges egységhez nagyságrendileg nem viszonyítható /össze nem mérhető/ számokat intrazeriális számoknak nevezzük a továbbiakban. Ezekkel a számokkal – mint egymástól megkülönböztethető határozott értékekkel – foglalkozik az intrazeriális matematika rendszere.
Nehézségek nélkül is azonnal belátható, hogyha valamilyen módon meghatározhatnánk és valamely függvény-definíciónak a segítségével rögzíteni tudnánk csak egyetlen fix és határozott értéket is a zéruson mint gyűjtőfogalmon belül, akkor ehhez az egyedüli fix értékhez már hozzámérhetnénk mind a többi zeriálisan-kicsiny értéket is, tehát ilyenformán valamennyit be tudnánk sorolni egy olyan speciális számsorba, amely – teljes egészében – a zérus tartományán belül helyezkedik el.
Az alapvető akadályok abban állnak, hogy véges számokkal nem mérhető fel egyetlen zeriálisan kicsiny érték sem. A klasszikus matematika pedig egyetlen olyan függvény-kifejezést sem ismer, amellyel egy-egy zeriálisan kicsiny, de fix értéket lehetne meghatározni, mégpedig a többi hasonlóan kicsiny érték-kifejezéstől függetlenül.
Ennek az utóbbi akadálynak az elhárítása képzi rendszerünknek az elsődleges célját.
3.§. A határozott zérus.
Tegyük fel, hogy a klasszikus matematika felfogásában írjuk fel az alábbi formulát:
nn −=ε .
Világos, hogy ez az egyenlőség mindössze úgy értelmezendő, miszerint azt mondja ki, hogy a klasszikus matematika nem képes megkülönböztetni ε -nak az abszolút-értékét az n - n különbségtől. Ennél többet azonban nem állít.
Másrészt az
17
x
1)x(F =
függvénynek azokon a helyein, ahol az x -nek az értéke már túllépi a véges számok tartományát, az F(x) függvénynek a helyi értékei – a klasszikus matematika felfogása szerint – ugyancsak nem különböztethetők meg az n - n különbségtől:
nnx
1limx
−=∞→
.
Könnyen belátható, hogy amikor │x│ a véges számok legfelső határán is túl növekedik, akkor a klasszikus matematika az F(x) függvénynek a helyi értékeit már egymástól sem képes megkülönböztetni többé, annak ellenére, hogy │x│ még egyre növekedhetik a további, legtávolabbi végtelenség felé:
x
1lim
x
1lim
nxx ∞→∞→= , )1n( >
A klasszikus matematika értelmezése szerint, mindhárom felírt egyenlőségünk értéke: zérus. Mintha a legutóbbi két határérték között – számszerűleg – semmiféle különbség sem állna fenn. Annak ellenére, hogy ugyancsak a klasszikus matematika állítja, miszerint:
0x
1lim
x
1lim
nxx==
∞→∞→ ,
ámde
∞=
∞→
∞→
nx
x
x
1lim
x
1lim
, ( )1n > .
Relatív vonatkozásban, valóban óriási bizonytalanság áll előttünk, a 0 és a ∞ gyűjtőfogalmak által képviselt számértékeket illetően.
Belátható, hogy problémánk terén rendet teremteni csakis úgy volna lehetséges, ha ki tudnánk jelölni egy olyan, pontosan definiálható, tehát feltétlenül határozott, zeriálisan-kicsiny értéket a zérusnak, mint gyűjtőfogalomnak a tartományán belül, amely értéket eszményi étalonként kezelhetnénk a számításaink során.
Az intrazeriális matematika rendszere valóban megoldhatóvá teszi ezt a követelményt.
Legyen a kijelölt ideális étalon jele és elnevezése:
Ø = határozott zérus.
18
Precíz definícióját csak később adhatjuk meg.
Egyelőre úgy kell elfogadnunk – megállapodásszerűen – mint olyan határozott és állandó számértéket, amely zeriálisan kicsiny, tehát a természetben meg nem nyilvánuló, és ennélfogva nem mérhető össze semmiféle véges számértékkel sem.
Feltételeink alapján mindössze annyit tudunk róla, hogy a klasszikus zéruson mint gyűjtőfogalmon belüli számtartományba tartozik, vagyis , hogy a klasszikus matematika felfogásában:
Ø = 0 .
Magától értetődik, hogy reciprok értékének ugyancsak határozottnak kell lennie és végtelenül-nagynak. Nevezzük reciprok-értékét a „határozott végtelennek” és jelöljük ez utóbbit a következőképpen:
/3,1/Ø
1 = øo = határozott végtelen.
Feltételezett, eszményi étalonunk segítségével, ezáltal egy meghatározott értéket rögzítettünk a klasszikus matematikának a ∞ gyűjtőfogalmán belül is.
A következő fejezetben ki fogjuk mutatni és be fogjuk bizonyítani, hogy øo határozott értékének kijelölése és rögzítése lehetséges és megengedhető, – annak ellenére, hogy øo mint végtelenül-nagy számérték: nem mérhető össze és nem fejezhető ki semmiféle véges számmal sem.
Ugyancsak megállapodásszerűen kimondjuk e helyütt még azt is, hogy Ø zeriálisan-kicsiny pozitív számérték. Ebből következik, miszerint:
/3.2/ Ø > - Ø ,
valamint
/3.2/ Ø + (-1) · (- Ø) = 2 · Ø = Ø · 2 .
Egyelőre még nincs is szükségünk a határozott zérus, vagyis Ø értékének a szabatosabb meghatározására. Máris felismerhetők a bevezetett eszményi étalonnak az előnyei a matematika fokozott pontosságának a terén.
Mert míg a klasszikus matematika felfogásában:
0na0aa0a0na ⋅+=+==−=⋅− ,
addig az intrazeriális matematika rendszerében:
ØnaØaaØ-aØn-a ⋅+<+<<<⋅ ,
19
amely utóbbi egyenlőtlenség szinte felfoghatatlanul pontosabb értelmezéshez vezet, mint a megelőző klasszikus egyenlőség.
Hasonlóképpen, a klasszikus felfogásban:
n32 0...000 ==== ,
az intrazeriális rendszerben viszont elvitathatatlan, miszerint
n32 Ø...ØØØ >>>> .
A Ø szimbólumnak a bevezetése igen egyszerű megoldás. Belátható, hogy a legtermészetesebb kulcsát képezi annak a problémának, hogyan fokozhatjuk a matematikai pontosságát messze túl az eddig fennálló lehetőségek határain. A Ø értékét azért neveztük étalonnak, mert eszmei alapmértékül szolgál olyan számértékek kifejezéséhez, összehasonlításához és összeméréséhez, amely számérték – a maguk végtelenül-kicsiny, vagy pedig védtelenül-nagy mivoltában – a természetben meg-nem-nyilvánuló mennyiségeket képviselnek.
Ezáltal lehetővé válik az efféle számokkal végzett számításoknak is az egészen egyszerű megoldása.
Mindössze azt kell bebizonyítanunk, hogy Ø értékének – mint határozott állandó értéknek – a feltételezése egyrészt megengedhető, másrészt valóban lehetséges is ezt az értéket a véges számok segítségével, egyértelműen definiálnunk.
II. FEJEZET.
HATÁROZOTT ÉRTÉK A VÉGTELENBEN.
4.§. A klasszikus matematika felfogásának módosítása.
Mint már az első fejezetben kifejtettük, a klasszikus matematika felfogása szerint 0 valójában gyűjtőfogalom, az intrazeriális matematika viszont Ø -nak határozott értéket tulajdonít. És minthogy zérus és a végtelen között ugyanaz a viszony áll fenn, mint valamely szám és annak reciprok értéke között, azért a klasszikus matematika ∞ -t is gyűjtőfogalomnak, az intrazeriális rendszer pedig øo -t is határozott számnak tekinti.
Máris feltehető a kérdés, vajjon összeegyeztethető-e ez a két felfogás?
Mindenekelőtt meg kell gondolnunk, hogy a megnyilvánuló természetben nincsenek végtelenül-nagy méretek. Mert ha léteznek is ilyen méretek, azok nem lehetnek megnyilvánulóak. Az ember által tapasztalható világban, akármilyen nagyok is azok a számok, amelyek meghatároznak valamely sokaságot, valójában minden sokaság véges mennyiséget képez. Be kell látnunk, hogy a mérhetetlen világegyetemek egyik aránylag jelentéktelenül kicsiny égitestén élünk, amelyen sohasem tapasztalhatunk végtelenül-nagy méreteket. Érzékszerveink nem is lehetnek képesek efféle tapasztalásra.
Az anyag atomjai, a fizika megállapításai szerint, ugyancsak véges méretűek. Egy-egy atomnak, illetőleg az atom alkotórészeinek a mérete azonban számunkra már meg-nem-nyilvánuló méret. Még kisebb méretek még kevésbe nyilvánulhatnak meg. Magától értetődik
20
tehát, hogy a végtelenül-kicsiny méretek, vagyis a végtelenül-kicsiny abszolút-értékű számok, számunkra sohasem lehetnek megnyilvánulók.
Mindebből természetszerűleg következik, hogy akármilyen határozott értéke lehet is valamilyen végtelenül-nagy vagy végtelenül-kicsiny számnak, tapasztalati úton semmi esetre sem tudunk különbséget tenni egyrészt a · ∞ és b · ∞, másrészt a · 0 és b · 0 között, mégha a nem is egyenlő b-vel. Érzékelhető világunkban, a végtelenül-nagy és végtelenül-kicsiny mennyiségek valóban nem jellemezhetők számunkra másként, mint általánosító és átfogó „gyűjtőfogalmak” alkalmazásával.
El kell ismernünk, hogy a klasszikus matematika segítségével tanulmányozott tapasztalati tények a klasszikus matematika felfogását támasztják alá, minden tekintetben.
Tény, hogy tapasztalatainkból kell következtetnünk a valóságra, ha nem akarunk eltévelyedni attól.
Még azokban az esetekben is csak a tapasztalásra szabad építenünk, amikor felmerül valamely lehetősége annak, hogy a tapasztalataink esetleg félrevezetők lehetnek. Mert ha ellentmondások merülnek fel a tapasztalásban, akkor az ellentmondásoknak az áthidalása lehet az egyedüli eszköz ahhoz, hogy közelebb jussunk a helyes megismeréshez.
Érzékelt fizikai világunkban úgy tapasztaljuk, hogy a mechanika megállapított törvényei minden esetben helyesek és irányadók. A fizikusok ezért kezdetben úgy vélték, hogy ezeknek a törvényeknek változatlanul érvényesnek kell lenniök a fizikai anyag mikro-részecskéinek a világában is. A tapasztalás azonban mást bizonyított. A már megállapított törvényeket helyesbíteni, módosítani kellett, hogy megfeleljenek az új területre, a mikro-részecskék területére vonatkoztatott tapasztalásnak.
Hasonló problémával állunk szemben a matematika terén is. A végtelenül-kicsiny számok párhuzamba állíthatók a fizikai anyag mikro-részecskéivel. Feltehető tehát, hogy a véges számokra érvényes műveleti törvényeket is helyesbítenünk és módosítanunk kell, amikor ki akarjuk terjeszteni azokat a zéruson belüli számtartományra.
Mint ahogy a fizikában a Heisenberg-féle határozatlansági relációk kimondják annak a ténynek a megállapítását, hogy az érzékelhető fizikai jelenségekből leszűrt mechanikai törvények bizonyos módosítások nélkül a mikro-részecskékre nem alkalmazhatók, – éppúgy az intrazeriális matematikában is találunk olyan összefüggéseket, amelyek megkívánják a klasszikus felfogásnak módosítását, mihelyt a végtelenül-kicsiny számoknak a tartományát vesszük vizsgálat alá.
A klasszikus matematikának az a felfogása, amely szerint a végtelenül-kicsiny és a végtelenül-nagy számok csak bizonytalan gyűjtőfogalmakkal jellemezhetők, mindössze azt a tényt juttatja kifejezésre, miszerint a megnyilvánuló mennyiségek, vagyis a véges számok magatartásából leszűrt matematikai törvények – módosítások nélkül – nem elégségesek a nem-véges számok sajátos magatartásának a pontos leírására és maghatározására.
Véges számok révén a nem-véges számok nem fejezhetők ki.
A klasszikus matematika felfogása tehát nem enged mélyebb betekintést a nem-véges számok tartományába. Ez a felfogás azonban korántsem zárja ki azt a lehetőséget, hogy a nem-véges számok – a saját tartományukon belül – épen olyan határozottak lehetnek, mint amilyenek a tapasztalható világban a véges számok.
Nem fogadhatjuk el azt a feltevést, hogy a végtelenül-kicsiny és a végtelenül-nagy számok az egyensúlytörvénytől függetlenek, vagyis minden törvényen kívül állók. Ha pedig nem fogadjuk el ezt a feltétevést, akkor ki kell mondanunk, hogy az efféle számoknak is, – legalább is a maguk módján, – mindenkor határozott műveleti törvények alá rendelt számoknak kell lenniök.
21
5.§. A számok mint a végtelennek a függvényei.
A /3,1/ egyenlőségek az értelmében:
/5,1/ ⋅Ø øo = 1 .
Magától értetődik, hogy az egység határozott értékű szám.
Elegendő tehát /5,1/ szerint, ha a øo -t tekintjük határozott értékű számnak, ezzel máris kitűnik, hogy következményképpen Ø -nak is határozott értékű számnak kell lennie.
A következőkben eltekintünk a határozott zérus fogalmától, és helyette a végtelenül-nagy számok tartományában kívánjuk bebizonyítani, hogy felvehető és kiválasztható azon belül egy végtelenül-nagy, de mégis határozott érték.
Meg kell gondolnunk mindenekelőtt, hogy a klasszikus matematika felfogása szerint:
/5,2/ a0 =∞⋅ ,
amely egyenlőségben a tetszésszerinti, tehát véges és reális szám is lehet.
Ha gyűjtőfogalmat gyűjtőfogalommal szorzunk, akkor a szorzat sem lehet egyéb, mint gyűjtőfogalom. Ezt a megállapítást szögezi le az /5,2/ egyenlőség.
Pusztán az a tény azonban, hogy az /5,2/ egyenlőségben a klasszikus matematika megállapításai szerint feltehető, hogy a = a0 valamely határozott értékű reális szám valamely adott esetben, - arra mutat rá, miszerint a klasszikus matematika is elismeri annak a lehetőségét, hogy a zérus és a végtelen, egyes esetekben, nemcsak mint gyűjtőfogalom jöhet számításba, hanem a gyűjtőfogalom keretein belül valamely határozott értékű számot is képviselhet. Azonnal nyilvánvalóvá válik ez a körülmény, ha az /5,2/ egyenlőséget az alábbi formában írjuk fel, a = a0
esetére:
/5,3/ 0a'1 =∞⋅∞
,
amikor is kitűnik, hogy a 0 =1/∞ törtben a ∞ -nek más értékű mennyiségnek kell lennie, mint ∞’; a két végtelenül-nagy mennyiségnek a viszonya azonban feltétlenül határozott, mert a0 -val egyenlő. Világos tehát, hogy ∞’ értékének bármely változásához mindenkor valamely határozott értékű ∞ tartozik az egyenlőségben.
Mindezek előbocsátása után, most foglalkozzunk egy másik kérdéssel.
Feltéve, hogy øo -nek valóban állandó és határozott értéke van, fenn kell állnia az alábbi
/5,4/ 1øo
øo =
egyenlőségnek, míg a klasszikus matematika szerint ugyanakkor:
∞=oø .
22
Ebben az esetben könnyen belátható, hogy minden létező és elméleti számot ki tudunk fejezni a øo -nek valamely függvényével, még hozzá olyan függvénnyel, amelyben a független változó helyébe írt øo -en kívül semmiféle más szám nem szerepel. Semmiféle véges szám sem alkalmas arra, hogy annak a függvényeként kifejezhessünk minden létező és elméleti számot.
Állításunkat az alábbi példákkal világíthatjuk meg.
A racionális számok körében:
/5,5/ hax
x)x(f = , akkor 1)oø(f = ,
/5,6/ hax
xx)x(F
+= , akkor 2øo)(F = ,
/5,7/ ha x
xx
x
xxx)x(
+
++=µ , akkor 9øo)( =µ ,
/5,8/ haxx
x)x(
+=ν , akkor
2
1øo)( =ν ,
és így tovább.
A zérusra vonatkozólag:
/5,9/ haxx
x
)x(
=ρ , akkor 0øo)( =ρ .
Az irracionális számok, valamint az imaginárius-egységnek az esetében például:
/5,10/ ha xx
x
x
xx)x(
+
+=ϕ , akkor 2øo)( =ϕ ,
/5.11/ ha x
xx
x
x)x(
+
−=Φ , akkor iøo)( =Φ ,
majd az alábbi transzcendens számokra vonatkozólag:
/5,12/ ha
x
xx
xx
)x(
+=ψ , akkor eøo)( =ψ ,
/5,13/ ha.min
xx
x
x
xnatlog
x
x)x(
−⋅
−=Ψ
+
,
akkor x = øo esetén:
23
( ) ( ) ( ) π⋅+±=π⋅+⋅±=−⋅−±=
−⋅
−
+1n2i1n2i1natlog1
øo
øonatlog
øo
øo øoøo
øo
,
amely kifejezésben n bármilyen egész szám vagy zérus is lehet, minélfogva a szorzat abszolút-értékének a minimuma, vagyis a øo)(Ψ függvény az /5,13/ formula szerint:
/5,13’/ π=Ψ øo)( .
Csaknem valamennyi felsorolt példában a függvények értéke változatlanul ugyanaz a szám marad, ha a független változót nem øo -nel, hanem akármilyen más számmal tesszük is egyenlővé. Kivételt képeznek azonban ebből a szempontból a /5,9/ és az /5,12/ függvények, amelyek csakis x→∞ esetén határozzák meg a zérus, illetőleg az e értékeket.
A felhozott példák világosan rámutatnak tehát arra, hogy valóban minden reális és elméleti szám kifejezhető a øo -nek a függvényeként. Nem létezik viszont olyan véges szám, amelynek a függvényeként ki lehetne fejezni hiánytalanul az összes számokat.
6.§. A øo esetleges érték-változásainak hatása a øo függvényeinek értékére.
Tegyük fel egyelőre, hogy a øo jelképet számként értelmezzük. Később a 9.§. -ban kimutatjuk, hogy valóban számnak tekinthető.
Magától értetődik azonban , hogy øo -nek a számszerű értékét véges eszközökkel felmérni és véges összehasonlítások révén meghatározni sohasem állhat módunkban. A øo a maga elképzelhetetlen nagyságában, számunkra mindig is csak felfoghatatlan számot jelenthet. Legfeljebb feltevéseink, logikus elgondolásaink, következtetéseink lehetnek egy efféle számmal kapcsolatban.
Magától értetődik továbbá, hogy egy felfoghatatlan számot nem ismerhetünk meg közvetlenül. Mit sem tudhatunk meg tehát teljes bizonyossággal arról, hogy az általunk határozott-végtelennek nevezett øo számnak valóban állandó-e az értéke, vagy sem. Éppúgy feltehető ezért, hogy a øo -nek olykor megváltozik az értéke, mint az is elképzelhető, hogy értékében szüntelenül változó mennyiséget képvisel. Voltaképpen még azt a körülményt sem tudjuk tapasztalati úton megítélni, hogy ennek a jelképnek – mint számnak – valóban valamely értéke van.
A /3,1/ egyenlőség szerint Ø ennek a számnak a reciprok értéke. Mindazok tehát, amelyek a øo -re vonatkoznak egyúttal a Ø -t is érintik. Ilyenformán, ha øo csakugyan állandó és határozott számérték, akkor Ø is az. Ellenkező esetben viszont Ø is változó és határozatlan. Ha pedig a határozott végtelennek nincs úgynevezett számértéke, akkor a határozott zérusnak sem lehet értéket tulajdonítani.
A Ø számról pedig, amely a klasszikus matematika zérus-fogalmába tartozik, – meg-nem-nyilvánuló voltánál fogva – éppúgy nem tudjuk tapasztalati úton megállapítani, vajjon állandó-e, vagy változó értékű, mint ahogy øo-nek az esetében sem dönthetjük el ezt a kérdést. Nem lehetséges tehát az sem, hogy Ø -nak a vizsgálata révén világítsunk rá a øo -nek a természetére.
Be kell látnunk azonban, hogy valamely matematikai rendszernek a szempontjából, valójában nem is fontosak ezek a kérdések. Az intrazeriális matematikának az álláspontját az jellemzi, hogy meg sem kísérli a döntést a megoldhatatlan kérdések területén.
24
Az intrazeriális rendszer, felfogásának az igazolása érdekében, egyszerűen arra a tényre támaszkodik, hogy minden lehetséges szám felfogható és kifejezhető øo -nek valamely függvényeként. Ennek az állításnak az igazságáról pedig az 5.§. -ban tárgyaltak alapján már meggyőződtünk. Nincs is szükségünk ennél több bizonyításra.
Meg kell gondolnunk ugyanis a következőket.
Tegyük fel, hogy u, v, és w a klasszikus matematika felfogása szerinti három tetszőleges szám, amelyek közül viszont egyik sem egyenlő a végtelennel vagy a zérussal.
Akkor az u, v és w számokat kifejezhetjük és meghatározhatjuk három megfelelő függvénnyel, például:
/6,1/ øo)(fu = ,øo)(Fv = ,øo)(w ϕ= .
Amikor tehát a klasszikus matematika szellemében , u -ról, v -ről és w -ről beszélünk mint számokról – és valahányszor ezekkel a számokkal műveleteket végzünk, – akkor az intrazeriális matematika felfogása szerint: valójában mindig csak az f(øo), F(øo) és φ(øo) függvények állnak előttünk, és csupán ezekkel az értékekkel.
Belátható továbbá, hogy a øo -nek mindhárom függvényben azonosnak kell lennie, – hiszen ez az alapfeltétele a /6,1/ alatti függvények létezésének. Ha pedig az alapfeltétel teljesül, akkor már valóban igaz, hogy øo -nek az időbeli esetleges értékváltozásai – akár felmerülnek ilyenek, akár nem, – a legkevésbé sem befolyásolhatják a /6,1/ alatti függvényértékeket. Feltéve természetesen, hogy az esetleges értékváltozások ellenére, mindenkor fennáll a megkövetelt øo = ∞ egyenlőség, amely nélkül a øo jelképének nem is lehetne létjogosultsága.
Tökéletesen mellékes tehát az az elvi kérdés, vajjon időben állandó vagy változó értéket fejezünk-e ki ezzel a jelképpel.
Tagadhatatlan tény ugyanis, hogy az u, v és w számokat csupán egymással tudjuk összehasonlítani, vagy más véges számokkal, øo -nek a voltaképpeni mivoltával és értékével azonban sohasem. Belátható ennélfogva, hogyha u mindenkor f(øo) marad, ha a v számot mindenkor az F(øo) függvény képezi, és ha a w szám sem lesz soha más, mint φ(øo), akkor a három számnak, vagyis a három függvénynek az egymáshoz való viszonya nem változik meg egyetlen esetben sem, bármilyen állandó vagy állhattalan jellegű legyen is a függvényekben szerepet játszó øo -nek az értéke.
Valamely esetben fennáll tehát az
/6,2/ w:v:u(øo):F(øo):øo)(f =ϕ
arány-egyenlőség.
És éppígy nem változik meg az u, v és w számoknak a többi véges számhoz való viszonya sem, hiszen azok is csak øo -nek a hasonló természetű függvényei.
De ugyancsak nem változik meg az u, v és w számoknak a végtelen felé fennálló, vagyis øo -nel vonatkozásban álló relatív helyzete sem, amelyet mindenkor az f, F és φ jelképek fejeznek ki és határoznak meg formulákban.
A øo függvényeinek a szempontjából nézve, tökéletesen elhanyagolható tehát az a kérdés, hogy øo -t állandónak vagy változónak kell-e tekintenünk a maga önálló mivoltában. Az összes létező számoknak az egymáshoz való viszonya – és így az egységé is a többi számhoz képest –
25
teljesen független ugyanis attól a körülménytől, hogy øo időben állandó-e vagy változó, ha ez a jelkép bármely t időpillanatban: minden függvényben mindenkor azonos.
7.§. A megnyilvánuló számok relatív rendszere.
Megnyilvánuló számoknak nevezzük a továbbiakban az összes pozitív és negatív előjelű, véges, reális számokat, mert ezek az értékek számunkra megnyilvánuló természetben valóban megtalálhatók és tapasztalhatók. Átvitt értelemben: a megnyilvánuló számok közé sorozzuk az összes pozitív és negatív előjelű, véges, képzetes számokat is, abban az értelmezésben, hogy a természetben ezek mintegy képzetesen megnyilvánulók.
Nem-megnyilvánulók ezzel szemben a végtelenül-kicsiny, valamint a végtelenül-nagy abszolút-értékű mennyiségek, – mert ilyeneket a számunkra megnyilvánuló természet körében nem tapasztalhatunk.
Gondoljuk meg mármost a következőket.
Ha léteznék, ha volna egy olyan tökéletesen abszolút szám a világon, amelyhez a többi megnyilvánuló számot viszonyíthatnánk, akkor azonnal meggyőződést szerezhetnénk øo -nek az esetleges értékváltozásairól, – hiszen értékének még a legcsekélyebb megváltozása azonnal kifejezésre jutna függvényeinek /vagyis a megnyilvánuló számoknak/ és az „abszolút számnak” a viszonyában. Ilyen abszolút szám azonban nincs és nem is lehetséges, hogy legyen, mert minden létező szám – egyöntetűen – a végtelennek a függvényeként is felfogható és értelmezhető. Valamely szám pedig csak akkor lehetne valóban abszolút, ha øo -nek a függvényeként semmiképpen sem volna kifejezhető.
Márpedig, ha nincs ilyen abszolút szám, akkor be kell látnunk, hogy a megnyilvánuló számoknak az egész tartománya: bizonyos relatív rendszert képez csupán.
Az ember mindenkor csakis øo -nek a függvényeit és e függvényeknek az egymásközti, tehát relatív kapcsolatait ismeri és ismerheti meg, a megnyilvánuló számok relatív rendszerén belül.
A øo függvényeinek, vagyis az összes számoknak az egymásközti kapcsolatai és viszonyai – mint a 6.§. -ban kimutattuk – teljesen függetlenek a „határozott végtelennek” nevezett jelkép esetleges értékbeli vagy bármiféle egyéb változásaitól. A megnyilvánuló számoknak az egymásközti kapcsolatai és viszonyai tehát semmiféle körülmények között sem árulhatják el az ember számára, hogy mely időpontban változott és hogy változott-e egyáltalán, függvényein belül, a végtelen.
Változások pedig, amelyek semmiféle körülmények között sem észlelhetők és nem mutathatók ki, – emberi szempontból nézve, – nem–létezőknek tekinthetők csupán.
Ha a megnyilvánuló világban, egy olyan rendszerben élünk, amely rendszer a maga teljes egészében a øo -nek az esetleges változásaival mindenkor együtt változik – és amely rendszer semmiféle abszolút elemmel össze nem hasonlítható, – akkor ennek a rendszernek bármelyik pontjából nézzük is øo -t , illetőleg bárhonnan is próbálunk következtetni rá, minden következtetésünk csakis állandónak és határozottnak mutathatja azt nekünk, a relatív rendszer akármelyik pontjából megítélve. Hiszen nincs mód és nincs lehetőség arra, hogy øo -nek az esetleges értékváltozásait kimutathassuk, – sőt még arra sincs mód és lehetőség, hogy tudomást szerezhessünk az esetleges változásairól, ha vannak ilyenek valóban.
A megnyilvánuló számoknak az egész tartománya: efféle relatív rendszert képez, olyan rendszert, amely øo -nek az esetleges változásaival mindenkor együtt változik. A megnyilvánuló számok: øo -nek a függvényei. A megnyilvánuló számok egész rendszerének a szempontjából nézve fennáll tehát, hogy a függvényekben szerepet játszó végtelen: csakis
26
állandó és határozott jellegűnek tekinthető, – miután soha nem merül fel lehetőség arra, hogy változást mutathassunk ki az értékében.
Az effajta szemléletben, a fennálló relativitás következtében, voltaképpen nem is øo állandóságáról szerzünk meggyőződést, hanem /6,1 / az u számot kifejező helyzeti pontnak a szemszögéből f -nek, a v pont szemszögéből F -nek, a w pont szemszögéből pedig φ -nek az állandóságáról győződünk meg csupán. Ugyanez az állandóság befolyásolja és rögzíti meg a szemléletünket akkor is, ha a megnyilvánuló számok tartományának bármelyik pontjából, mint megfigyelő-pontból, a végtelen felé fordulunk és az általuk határozott-végtelennek nevezett számnak a természetére próbálunk következtetni.
Ha f, F és φ változnék meg a függvényekben, akkor észlelhetnénk változást. Ámde akkor sem a végtelent látnók megváltozottnak, hanem éppen csak arról szereznénk tudomást, hogy az u, v, és w értékek változtak meg egymásközti és a többi véges számmal fennálló kapcsolataikban.
Tény, hogy a øo jelképéről nem mutathatjuk ki, vajjon változik-e értékében, vagy nem. Ennélfogva állandónak és határozottnak kell tekintenünk , állandóságának fennálló látszata szerint. Ezért nevezzük határozott végtelennek.
8.§. Az esetlegesen változó végtelen és zérus fogalma.
A 6.§.-ban csupán azzal a kérdéssel foglalkoztunk, hogy øo -nek a megnyilvánuló számokat kifejező függvényei között fennálló viszony megváltozhatik-e abban az esetben, ha øo nem állandó jellegű. Válaszunk tagadó volt.
Most vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy meg-nem-nyilvánuló számok között is állandó marad-e a viszony øo értékének esetleges megváltozása esetén.
Azonnal belátható, hogy a /3,1/ egyenlőséggel meghatározott reciprocitás, amely szerint
/8.1/ Øøo
1 = és øoØ
1 = ,
zavartalanul, akkor is fennáll, ha feltételezzük øo -nek valamely értékváltozását.
Meg kell gondolnunk továbbá a következőket.
A klasszikus matematika felfogása szerint, ha a, b, c véges számértékek, kimondhatjuk a következő egyenlőséget:
/8,2/ ∞=±∞=⋅∞=⋅∞ cba , ( )ba > .
Az intrazeriális matematikai rendszerben azonban, a határozottnak tekinthető øo fogalmának a bevezetése mellett, sokkal precízebb, mérhetetlenül pontosabb megkülönböztetéseket követelünk meg, – és valóban módunkban áll is az alábbi egyenlőtlenségek felírása:
/8,3/ bøoaøo ⋅>⋅ , ( )ba > ,
/8,4/ cøoøoc-øo +<< , ( )0c < ,
sőt az is nyilvánvaló, hogy megkülönböztetéseink az alábbi relációkra is érvényesek:
27
/8,5/ cøoØøoøoØ-øoc-øo +<+<<< ,
/8,6/ øoØøoØ-øoØn-øo n <−<<⋅ , ( )1n > ,
øoØøoØøoØnøo n >+>+>⋅+ .
Kétségtelen viszont, hogy éppen a /8,1/ alatti összefüggéseknek a következtében, a /8,3/ - /8,6/ egyenlőtlenségek tökéletesen függetlenek attól a problémától, vajjon csakugyan állandó-e a határozottnak minősített øo.
Kimondjuk tehát, hogy ezzel a problémával a továbbiakban már nem is foglalkozunk, mert a kérdés az intrazeriális matematikai rendszer szempontjából teljesen érdektelen.
Elvileg feltételezzük a lehetőségét annak, hogy csak puszta látszatként értelmezzük és fogadjuk el a øo értékének a határozott voltát. A 6.§. -ban tárgyaltak alapján, végeredményben be kell látnunk, hogy még ez a látszat is függvény. Nyilvánvaló, hogy øo érték-állandóságának a látszata: annak az egész függvény-rendszernek a függvénye, amely függvény-rendszer nem egyéb, mint a számok egész birodalma.
Magától értetődik, hogy:
/8,7/ ha x)x( =ω , akkor øoøo)( =ω .
Ha pedig még ezt a függvényt is beállítjuk a végtelen függvényeinek abba a sorába, amelyből az 5.§. -ban tárgyaltunk egyes jellemző példákat, akkor teljessé válik a sor, – és akkor a øo is éppen olyan természetű és éppen olyan határozott szám-értéknek tekinthető máris, mint akármelyik másik szám a sorban.
9.§. A határozott végtelen.
Végtelenül-nagynak nevezhetünk minden olyan számértéket, amely az ember érzékelhető világának, vagyis a megnyilvánuló természetnek a dimenzióit nemcsak méretben /pld. a > 1/, hanem elvileg is meghaladja /pld. a→∞/. Az ilyen számnak a dimenziói kívül esnek a megnyilvánuló természet dimenzióinak a körén. Éppen ezért az efféle számok a világegyetem megnyilvánulásaiban csak hatásaikban juthatnak kifejezésre az ember számára, a maguk igazi mivoltában azonban sohasem.
Értékének sajátos dimenzióit nézve, voltaképpen ismeretlen marad számunkra az a végtelenül-nagy számérték is, amelyet az 5.§. -ban tárgyalt függvényekben az összes számok alap-eleméül választottuk. Mégis, minthogy határozott jelképpel /øo/ tudjuk kifejezni ezt a kiválasztott alap-elemet, azért a matematika számára többé már nem marad idegen elem, hanem jelképét illetőleg éppúgy kezelhető számmá válik, mint ahogyan kezelhetők általában az összes többi számok. Hiszen a matematika mindenkor csak számjelképekkel és nem valóságos számokkal operál.
Ismételten le kell szögeznünk, előző meggondolásaink alapján, hogy ez az összes számok alap-eleméül kiválasztott, végtelenül-nagy szám – a megnyilvánuló számok relatív rendszeréből szemlélve – csakis állandó és határozott értékűnek fogható fel, mégpedig tekintet nélkül arra a körülményre, hogy valójában, vagyis abszolút értelemben, milyen természetű.
28
Ezt az ily módon kiválasztott, végtelenül-nagy számot az intrazeriális matematika határozott végtelennek nevezi.
Az intrazeriális rendszer voltaképpen nem állít többet, csak annyit, hogy:
/9,1/ 1øo
øo = ,
továbbá, hogy ennek az egyenlőségnek a folyományaképpen:
/9,2/Ø
øoøo
øo
=
,
végül pedig:
/9,3/ øo)(Fn n= ,
vagyis hogy minden lehetséges n szám felfogható és kifejezhető olyképpen, mint øo -nek valamely függvénye.
Fenti állításaink megengedhetők és jogosak, mert a tapasztalati tényekkel nem állnak semmiféle ellentmondásban sem.
A /9,1/ - /9,3/ egyenlőségek képezik az intrazeriális matematika három alaptételét.
Ezek az alaptételek pedig, vagyis a fenti három állítás és azok logikus következményei, valóban megadják a jogot ahhoz, hogy az intrazeriális matematika ne csak elméletileg tulajdonítson határozott és állandó értéket a øo -nek és a Ø –nak, hanem hogy mind a megjelzett végtelent, mind a megjelzett zérust: határozott értékű számként kezelhesse is a számítási műveletek során, vagyis a matematika gyakorlatában, – mindenkor a /8,1/ alatti egyenlőségeknek az értelmében.
E helyütt még nem áll módunkban megadni a „határozott végtelennek” a reálisan megfogalmazott, első közelítésben pontos definícióját.
A végleges definícióra nézve lásd a 21.§. -ban foglaltakat.
29
III. FEJEZET.
A MAGASABBFOKÚ PONTOSSÁG.
10.§. Az xø hatvány intrazeriális értéke.
A klasszikus matematikában, Taylor-sorral kifejezve:
( ) ( )...
!3
alnah
!2
alnah
!1
alnahaa
3x32x2xxhx +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=+
ha pedig ebben a formulában – ugyancsak a klasszikus matematika szellemében – h helyett x-et és x helyett 0-t írunk, akkor nyerjük az alábbi Maclaurin-féle sort:
( ) ( ) ( )...
!4
alnx
!3
alnx
!2
alnx
!1
alnx1a
443322x +⋅+⋅+⋅+⋅+=
amely formulának a helyességét a klasszikus matematika már sokszorosan bebizonyította.
Ezt az utóbbi formulát használja fel az intrazeriális matematika is, amikor meghatározni kívánja az xø hatványnak azt az értékét, amelyet ez a hatvány a határozott-zérus bevezetése esetén képvisel.
Ebből a célból az utóbbi egyenlőségben a helyett x -et és x helyébe Ø -t írva, a következő igen jelentős fontosságú formulát nyerjük:
/10,1/( ) ( )
...!3
xlnØ
!2
xlnØ
!1
xlnØ1x
3322ø +⋅+⋅+⋅+= ,
és minthogy az intrazeriális felfogás a /10,1/ alatti sornak az értelmében Ø -nak a különböző fokú hatványait, értékükre nézve, határozottan megkülönbözteti egymástól, azért a xø hatványnak a /10,1/ Maclaurin-féle sorában a zeriális értékű tagok mindenkor határozott értékű tagok.
A /3,2/ képlettel már rámutattunk arra, hogy az intrazeriális matematika mindenkor határozottan megkülönbözteti egymástól a Ø és -Ø értékeket. Magától értetődik tehát, hogy
30
/10,2/ øø xx −≠ ,
mert a /10,1/ formulának az analógiájára kifejezve:
/10,3/ ( ) ( )...
!3
xlnØ
!2
xlnØ
!1
xlnØ1x
3322ø- +⋅−⋅+⋅−= .
Ha pedig mindkét formulában x helyébe a természetes logaritmusrendszer alapszámát helyettesítjük be, akkor az alábbi sorok meghatározásához jutunk el:
/10,4/ ...!5
Ø
!4
Ø
!3
Ø
!2
ØØ1e
5432ø ++++++= ,
/10,5/ ...!5
Ø
!4
Ø
!3
Ø
!2
ØØ1e
5432ø- +−+−+−= .
Nyilvánvaló, hogy az így nyert pontosság elképzelhetetlenül magasabbfokú, mint a klasszikus matematikának a szokásos pontossága.
11.§. A pontossági fokok.
A magasabbfokú pontosság tág fogalom. Mindaddig az is marad, amíg a pontosságot nem osztjuk fel lépcsőzetesen, meghatározván a különböző fokait.
Mármost, ha egyszerűen a klasszikus matematikának abból a felfogásából indulunk ki, hogy ε→0 esetén az εp hatvány az εp-1 értéke mellett már teljesen elhanyagolható, akkor az úgynevezett pontossági fokokat – ennek az elvnek az alapján – legegyszerűbben a határozott végtelennek, illetve a határozott zérusnak az egész fokú hatványai szerint különböztethetjük meg egymástól.
További magyarázat helyett, megkíséreljük mindjárt példákkal megvilágítani a kérdést.
Így például, ha az intrazeriális matematika felfogása szerint a /10,1/ sorból harmadfokú pontossággal fejezzük ki az xø hatványának az értékét, akkor:
( ) ( )6
xlnØ
2
xlnØxlnØ1x
3322ø ⋅−⋅+⋅+= ;
a /10,1/ sorból másodfokú pontossággal kifejezve:
( )2
xlnØxlnØ1x
22ø ⋅+⋅+= ;
a /10,1/ sorból elsőfokú pontossággal kifejezve:
31
/11,1/ xlnØ1x ø ⋅+= ;
végül pedig a /10,1/ sorból zérusfokú pontossággal kifejezve:
/11,2/ 1xø = ,
tekintettel arra, hogy valamely megkívánt pontossági–fok betartása mellett a határozott zérusnak a magasabbfokú hatványait tartalmazó tagok már valóban elhanyagolhatók.
Megjegyezzük, hogy a /11,2/ egyenlőség nem változik meg, ha a határozott zérust a klasszikus zérussal /mint gyűjtőfogalommal/ helyettesítjük benne:
/11,3/ 1x0 = ,
ami azonnal érthető is, ha meggondoljuk, hogy a /11,2/ egyenlőségnek a jobboldalán Ø már nem játszik szerepet.
A /11,3/ egyenlőség megegyezik a klasszikus matematika állításával. Összehasonlítva /11,2/ -t /11,3/ -mal, azonnal meggyőződhetünk tehát arról a körülményről, hogy a klasszikus matematika képleteinek a pontossága mindenkor zérusfokú pontosság csupán.
Fenti példáink alapján kimondhatjuk, hogy ha valamely n -edfokú pontossággal meghatározott f(x) kifejezésből egyszerűen kiemeljük azt az értéket, amelyet az illető kifejezés n-m -edfokú – tehát a megadottnál alacsonyabb fokú – pontosság megkövetelése mellett képvisel, akkor ily módon máris meghatároztuk az illető kifejezésnek az értékét az n-m -edfokú pontosság keretein belül.
Az ilyen módon végrehajtott érték-kiemelést a továbbiakban egyszerűen kiértékelésnek nevezzük. Kiértékelés alatt ezért mindenkor valamely kifejezésnek a megadottnál alacsonyabb, vagyis korlátozott fokú pontossággal történő értékmeghatározását kell értenünk.
Ebből következik, hogy valamely intrazeriális képletet zérusfokú pontossággal kifejezni annyit jelent, mint kiértékelni az illető képletet a klasszikus matematika pontossága és elvei szerint.
Felhozott példáink nem kívánnak bővebb magyarázatot. Tanulmányozásuk során máris közvetlenül meggyőződhetünk arról, milyen horribilis differencia áll fenn a klasszikus matematika és az intrazeriális matematika formuláiban az értékmeghatározásoknak a pontossági lehetőségei között.
Az efféle nagy pontosság – mint a továbbiakban látni fogjuk – nemcsak elvi és elméleti jelentőséggel bír, hanem alkalmazható és hasznosítható a gyakorlat terén is. Másrészt pedig olyan felismerésekhez is vezet, olyan új törvényszerűségeket tár fel, amelyeket a klasszikus matematikának a zérusfokú pontossága mélyen eltakar.
12.§. A pontossági fokhoz alkalmazkodó speciális egységek.
Mielőtt rátérhetnénk az intrazeriális rendszer kapcsán megvilágított, a klasszikus matematikában még ismeretlen törvényszerűségeinek a tárgyalására, előbb még további fogalmakat kell tisztáznunk és újabb megállapodásokat kell létesítenünk.
Elsősorban meg kell gondolnunk a következőket.
32
Könnyen belátható, hogy két vagy több olyan számtartomány esetén, amelyeknek az elemei még elvileg sem mérhetők össze, a reálisan véges számok tartományán kívül a többi tartományban: az illető tartománynak tetszésszerinti elemét jelölhetjük ki az odatartozó számok egységeként. Ismeretes példaként hozhatjuk fel erre a reális és az imaginárius számok egymástól független tartományát; a reális számok egysége természetesen a pozitív egység, – az imaginárius tartományban azonban az i számot már megállapodás alapján jelölte ki egységként a klasszikus matematika. Tekintettel arra, hogy a két tartományba tartozó számok még elvileg sem mérhetők össze egymással, – hiszen nem határozhatjuk meg, hogy i mennyivel nagyobb, vagy mennyivel kisebb a reális egységnél, annak ellenére, hogy egészen bizonyosan nem egyenlő vele, – ez a megállapodás semmiféle zavart nem okozhat a matematika gyakorlatában.
Hasonló a helyzet a véges számértékek és a végtelenül-nagy számok egymástól független tartománya között. Nyilvánvaló, hogy nem tudjuk meghatározni, vajjon a ± øo számérték mennyivel nagyobb vagy mennyivel kisebb az 1-nél. A két tartományba tartozó számok még elvileg sem mérhetők össze.
Akadálytalanul megvalósíthatjuk ennélfogva azt a megállapodást, amely szerint a øo jelkép által képviselt számértéket tekintjük a végtelenül-nagy számok mindenkori egységének.
Tény, hogy a véges számértékek és a zeriálisan kicsiny számok tartománya is független egymástól. Valamely zeriálisan kicsiny mennyiség még elvileg sem mérhető össze a pozitív egységgel. Más a helyzet azonban a végtelenül-nagy számok és zeriálisan kicsiny értékek tartománya között, mert ezeknek az elemei között a reciprocitás törvényszerűsége áll fenn és ennélfogva az utóbbi két tartománynak az elemei egymással már összemérhetők. Ha tehát – megállapodásszerűen – a øo számot jelöltük ki a végtelenül-nagy számok tartományának az egységeként, akkor a zeriálisan kicsiny számok tartományán belül csakis ennek reciprok értékét, vagyis Ø -t tekinthetjük a zeriálisan kicsiny számértékek mindenkori egységének. Ez minden további bizonyítás nélkül belátható.
Meg kell gondolnunk továbbá azt az összefüggést is, amelynek értelmében a másodfokúan végtelenül-nagy számok ugyanúgy viszonyulnak az elsőfokúan végtelenül-nagy számokhoz, mint ahogyan a határozott végtelen viszonylik a pozitív egységhez:
1:øoøo:øo2 = .
Ha tehát øo és 1 két egymástól megkülönböztetett és különálló számtartománynak az egységét képezi a rendszerünkben, akkor – a fenti egyenlőségünknek az értelmében – a másodfokúan végtelenül-nagy számoknak a tartományát is meg kell különböztetnünk az elsőfokúan végtelenül-nagy számoknak a tartományától. A két utóbbi tartományt is egymástól különálló számtartománynak kell tekintenünk. Egységeik azonban már nem lehetnek egymástól függetlenek.
A fenti aránypárnak az alapján ki kell mondanunk, miszerint – ha n valamely pozitív vagy negatív egész szám, – minden n -edfokúan végtelenül-nagy számot a többi számtartománytól megkülönböztetett és különálló, n -indexű tartományba tartozónak kell tekintenünk, – amelyen belül a øon számot nevezzük az illető számtartomány sajátos egységének.
Így például, ha n = -1, akkor a zeriálisan kicsiny számok -1 indexű tartományában az odatartozó számértékek sajátos egysége:
Øøo
1øo 1- == .
33
Meg kell jegyeznünk végül, hogy felvett megállapodásunk teljes összhangban áll a pontossági fokoknak a 11.§. -ban tárgyalt megkülönböztetési rendszerével.
13.§. Végtelenül-nagy tagszámú sorok. Számszintek.
Az előző §. -ban említett számtartományok és a pontossági fokok tanulmányozásának a kapcsán, foglalkoznunk kell még a következő problémával is.
A klasszikus matematika teljesen bizonyos abban, hogy az elgondolható legnagyobb véges számhoz még mindig hozzáadhatunk egy egységet, az így nyert összeghez újra egyet, és így tovább, egészen a végtelenségig folytatva – elvben – az összegnek az egységenkénti növelését. Ebből az állításból pedig a klasszikus matematika azt a következtetést vonja le, hogy ha csakugyan határtalanul folytatjuk az efféle összegzést, akkor az egymáshoz adott számok összege – valamikor és valahol – egyszer majd megközelíti és eléri a végtelent, és az így nyert összeg maga is végtelenül-nagynak lesz minősíthető.
Amilyen igaz azonban a véges számokra vonatkozó első állítás, éppen olyan téves a ráépített következtetés. Mert ugyancsak a klasszikus matematika felfogása szerint, jól tudjuk ugyanakkor, hogy valamely véges számhoz mindig csak véges számokat hozzáadva, az ilymódon nyert összeg sohasem éri el a végtelent.
Az efféle ellentmondás összeférhet a klasszikus matematika zérusfokú pontosságával, az intrazeriális matematikának a magasabbfokú pontosságú rendszeréből azonban okvetlenül ki kell küszöbölnünk.
Kíséreljük meg tehát a fenti ellentmondásnak egy egyszerű hasonlattal való megvilágítását, és egyúttal áthidalását is.
A hasonlat a következő.
Egy földszinti folyosó padlójának a terjedelmét megnövelhetjük akárhány négyzetméternyi újabb padlóterületnek a hozzáadásával, ezáltal a földszinti folyosónak a padlója az első-emeleti folyosónak a padlózatát soha el nem éri és nem is érheti el. Semmi akadálya sincs azonban annak, hogy az emeleti és a földszinti padlóterületeket összegezzük, vagyis hogy kétféle padlóterületnek a mértékszámát – mint összeget – közös képletben foglaljuk egybe. Még abban az esetben is akadálytalanul megtehetjük ezt, ha a földszinten más mértékegységgel számolunk, mint az emeleten.
Hasonlatunk alapján, a klasszikus matematikának az úgynevezett végtelen sorait – helyesebben mondva: azokat a sorokat, amelyekben az összegezendő sortagoknak a száma végtelenül-nagy – úgy kell értelmeznünk tehát, hogy az efféle sorok a véges sorszámú tagoknak a „lehetséges legnagyobb” sokaságán felül, még további, végtelenül-nagy-sorszámú tagokat is tartalmaznak, – a véges sorszámú tagok szakaszához képest egy szinttel magasabban vagy alacsonyabban. A véges sorszámú és a végtelenül-nagy sorszámú tagok között azonban nincs folytonossági kapcsolat, mert a szintkülönbség miatt efféle folytonosság nem is lehetséges. A különböző szintekre tartozó tagok viszont minden akadály nélkül összegezhetők, illetve: közös képletbe foglalhatók.
Ugyanez a helyzet áll fenn az efféle sorokban, mint amelyet a fenti hasonlatunkkal világítottunk meg, a földszinti és emeleti folyosókra nézve.
Nevezzük a különböző szinteket egyelőre számszinteknek.
Ilyen értelemben máris kimondhatjuk, hogy az intrazeriális matematikának a zérusnál magasabbfokú pontosságú képletei: különböző, de egymással mindenkor „szomszédos” számszinteket foglalnak egybe, a számok korlátlan birodalmában. Minden egyes számszintnek megvan a maga sajátos egysége, amely a számszintet jellemzi és meghatározza annak fokát. A
34
véges számok számszintjének egysége az 1. A véges számok fölött elhelyezkedő, egymástól független számszintek egységei øo, øo2, øo3, … stb. Míg ellenkező értelemben, vagyis a véges számok szintje alatt elhelyezkedő számszinteknek a jellemző egységei: Ø, Ø2, Ø3, … és így tovább.
Nyilvánvaló, hogy a feltételezett számszintek azonosak az előző paragrafusokban tárgyalt számtartományokkal.
Nyomatékosan meg kell jegyeznünk azonban már e helyütt is, hogy az intrazeriális matematika rendszerébe, a különböző emeletekre vonatkozó fenti hasonlatunk alapján bevezetett számszint-elmélet – ebben a formájában – csak átmeneti segéd-teória, amelyet később majd módosítanunk kell az intrazeriális értelmezésnek a valódi szellemében.
A számszint-elméletnek, mint segéd-teóriának, - mint könnyen belátható – még súlyos hiányosságai vannak. Nem ad választ például arra kérdésre sem, vajjon valamely úgynevezett végtelen sornak a véges tagsorszámú szakasza meddig érhet? Milyen hosszú lehet ez a sorszakasz, továbbá hogy – és főleg: milyen részösszeggel – ugorhatik át a sornak a más szintre tartozó, másik szakaszába, amelyben a tagoknak a sorszáma már végtelenül-nagy? Számszint-elméletünk csak akkor lehet használható, ha feltesszük, hogy az efféle sorokban a véges tagsorszámú sorszakasz – ott, ahol gyakorlatilag már nem tudjuk követni, – valamilyen törvényszerűség szerint determinált. A sorszakaszok determinált voltának bizonyítása és a szerepet játszó törvényszerűségek leírása azonban a számszint-elméletből még teljesen hiányzik.
Ezeknek a kérdéseknek a megvilágítására és tisztázására csak sokkal később térhetünk ki, a szférikus analízisnek a keretében.
Egyelőre mindössze azt kívánjuk érzékeltetni a felvett segéd-teóriával, hogy a végtelenül-nagy számok a øo -nek az egész fokú hatványai szerint, a zeriálisan kicsiny számok pedig Ø -nak az egész fokú hatványai szerint jellemezhető, egymástól különálló szintekre tartoznak, amely szintek között nincs folytonos átmenet.
A zérusnál magasabbfokú pontosságú intrazeriális képletek pedig a különböző szintekre tartozó számokat foglalják közös kifejezésbe.
Így például az alábbi
/13,1/ NØ1øo =++
egyenlőségnek a bal oldala három egymástól különböző szintnek az egységeit foglalja össze egyetlen képletbe, a jobb oldalon álló N szám viszont a három különböző egységnek az együttes összegét fejezi ki.
A képletben előforduló legnagyobb egységhez, vagyis a øo -hez viszonyítva, a többi egység jelentéktelennek látszik, mert alacsonyabbfokú szintekre tartozik. Ugyanez az egyenlőség tehát zérusfokú pontossággal, vagyis a klasszikus matematika pontosságával kifejezve:
øoN = .
Ha elsőfokú pontossággal fejezzük ki, akkor:
1øoN += .
Maga az eredetileg megadott /13,1/ alatti formula viszont másodfokú pontosságú egyenlőség.
35
Valamely p -edfokú pontosságú intrazeriális képlet ugyanis mindenkor p+1 számú, egymással „szomszédos” számszintet foglal egybe, közös képletbe.
Intrazeriális kifejezések esetén, a formulák pontossági foka általában könnyen meghatározható.
Valamely algebrai összeget kifejező és intrazeriális pontossággal megadott képletnek a pontossági foka ugyanis: a képlet minden egyes tagjában szorzótényezőként szerepet játszó øo -nek a formulában előforduló legmagasabb és legalacsonyabb hatványfoka közötti különbséggel egyenlő, ha tekintetbe vesszük, hogy 1øo0 = és -nn øoØ = .
Így például a
kcØbØaøo 32 =+⋅+⋅+
képletről a megfelelő átalakítás után:
køocøobøoaøo 0-3-12 =⋅+⋅+⋅+ ,
azonnal leolvashatjuk, hogy az ötödfokú pontossággal határozza meg a k értéket. – Mint látjuk, ez a képlet 6 különböző számszintet ölel fel és kapcsol egybe, mégpedig a következő
322 Ø,ØØ,1,øo,,øo
különböző szintbeli-egységek által jellemzett, egymással szomszédos számszinteket, annak a körülménynek ellenére, hogy a példaképpen felvetett k összeg nem tartalmaz olyan tagot, amely a øo és a Ø2 egységű számszintekre tartozik.
A k összegnek minden egyes tagjában más és más egységgel, vagyis különböző mértékkel számolunk, minélfogva az összegben előforduló tagok nem homogén értékűek. Akadálya még sem merül fel annak, hogy ezeket a nem-homogén értékű tagokat egybefoglaljuk és egyetlen k számmal fejezzük ki.
Ugyanúgy, mint ahogy a klasszikus matematikában is lehetséges valamely
biaz +=
egyenlőségben a reális a -t és a képzetes bi szorzatot, mint nem-homogén értékű tagokat, egyetlen z számmá egyesítve kifejeznünk.
Természetesen más a pontossági foknak kritériuma akkor, ha Ø vagy øo az exponensekben fordul elő.
Így például az
Mm Ø1 =+
intrazeriális egyenlőség már nem minősíthető elsőfokú pontosságú kifejezésnek. Belátható ugyanis, hogy
36
ØØ1 mmm ⋅=+ ,
miért is a /10,1/ formulának az értelmében:
( ) ( )...
3!
mlnmØ
2!
mlnmØ
1!
mlnmØmmm
3322ø +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⋅ ,
ez a sor pedig, ha az első p+1 számú tagját vesszük tekintetbe, a megmaradt tagok összegezett értékével az M számot p -edfokú pontossággal határozza meg.
A példaképpen felemlített
Mm Ø1 =+
egyenlőség tehát tetszésszerinti p -edfokú, vagyis – minthogy p -t elvileg akár határtalanul-nagy számnak is tekinthetjük, – határtalan, illetőleg „teljes” intrazeriális pontosságú kifejezés.
A teljes intrazeriális pontosságú meghatározásoknak a gyakorlatilag is érvényesíthető legmagasabb pontossági fokát általában nem szükséges külön megneveznünk.
14.§. Az intrazeriális határértékek pontossága.
A különböző számszinteknek az egybekapcsolására irányuló törekvésünk kívánja meg mindenkor, hogy intrazeriális, vagyis magasabbfokú képletekkel végezzük számításainkat.
Kimondhatjuk tehát, hogy csakis azokban az esetekben szükséges intrazeriális, vagyis magasabbfokú pontosságú képletekkel számolnunk, amikor valamely műveletben vagy kifejezésben a végtelennek /vagy reciprok-értékének / el nem hanyagolható szerepe van.
A magasabbfokú pontosságnak a bevezetéséből következik viszont az a további megállapításunk, hogy mérhetetlenül jobban meg tudjuk világítani és be tudjuk szűkíteni a határérték-fogalmat, mint ahogyan az a klasszikus matematikában lehetséges.
Világítsuk meg mindjárt a kérdést a klasszikus matematika
/14,1/ axlimax
=→
egyenlőségével kapcsolatban.
Legyen v valamely igen nagy értékű pozitív egész-szám.
Akkor rendszerünk írásmódjával kifejezve nyilvánvaló, hogy a /14,1/ egyenlőséget a következőképp írhatjuk fel:
/14,2/n
1n2
1ax
Øv...ØvØvaxlim ⋅±±⋅±⋅±= −→ ,
feltéve természetesen, hogy n -edfokú pontossággal számolunk.
Maradjunk meg egyenlőre az elsőfokú pontosságnak a kereteinél. A /14,2/ formulából akkor is arra kell következtetnünk a /14,1/ alatti x→a közelítéssel kapcsolatban, hogy abban x értéke az
37
ØvaxØva ⋅+<<⋅−
határok között teljesen bizonytalan. Sőt a /14,2/ formula alapján azt is kimondhatjuk, hogy a megközelítésben x -nek az értéke csakis a szélső határokat érheti el, vagyis, hogy Øvax ⋅−= vagy pedig Øvax ⋅+= , ámde ezeken a határokon belül x nem közelítheti meg jobban az a értéket, mert tökéletesebb megközelítésre a /14,1/ egyenlőség nem foglal magába semmiféle utasítást sem.
Az Øva ⋅− és Øva ⋅+ értékeket a klasszikus matematika nem képes megkülönböztetni egymástól. Ez a két érték az x változó abszcissza-tengelyén egy olyan „mikro-térközt” határol be kétoldalról, amely mikro-térközről a klasszikus matematikának nincs és nem is lehet tudomása, a maga zérusfokú pontossága mellett. Az intrazeriális matematika megvilágításában azonban a két szélső érték közötti
( ) Øv2Øv-a-Øva ⋅⋅=⋅⋅+
különbség – relatíve – óriási nagy térközt juttat kifejezésre, tekintettel v -nek az igen magasan felvehető értékére.
Meg kell gondolnunk ezzel szemben, hogy az intrazeriális rendszer módot ad a fentinél sokkalta tökéletesebb megközelítésre is. Mert ha v -edfokú pontossággal számolunk, akkor az intrazeriális határértéknek a definíciója :
/14,3/v
Øaxliminz
v
ax±=
→
határokig történő megközelítést enged meg. Márpedig ha v valóban igen nagy értékű pozitív szám, akkor a v/Øv törtnek az értéke még v-1 fokú pontosságnak az esetében is, tökéletesen elhanyagolható. A v szám pedig csaknem határtalanul nagy lehet.
A /14,3/ alatti egyenlőség tehát voltaképpen azt mondja ki, hogy v-1 -edfokú pontosságnak a keretein belül: x valóban felveszi az a értéket, és nem marad közben olyan mikro-térköz, amelyben az x érték még változó és bizonytalan lehetne.
A kétféle határérték-meghatározás közötti különbség – és annak következményei – meglepő megállapításokhoz vezetnek el. Egyúttal azonban le is egyszerűsítik a határértékszámítás gyakorlati megoldásait.
Vegyük vizsgálat alá például a következő feladatot.
Legyen magoldandó az alábbi példa, az intrazeriális határértékszámításnak az alkalmazásával:
/14,4/ ?1xmliminz m
1
øom=
−⋅
→ .
Eljárásunk azonban abban áll, hogy m -nek az értékét egyszerűen behelyettesítjük a megközelítést jelző nyílnak a hegye elé írt határozott értékkel, azaz øo -nel. Ilyenformán:
38
/14.5/ ( ) xlnøoxlnØ1øoøoxøo1xmliminz øm
1
øom=−⋅+⋅=−⋅=
−⋅
→ ,
ha a /11,1/ képlettel, csupán elsőfokú pontossággal számolunk.
A klasszikus matematika is el tud jutni ugyanehhez a meghatározáshoz, bár csak hosszadalmas és kerülő úton. Mint ismeretes ugyanis:
xm
me
m
x1lim =
+
∞→ ,
ha pedig az ex függvényt nem határértékként fogjuk fel, akkor írhatjuk a következőképpen is:
ε+
+=
mx
m
x1e ,
amikor is ε egy olyan értéket jelöl, amely m→∞ esetén eltűnik. Ennek az egyenlőségnek a közismert levezetés szerint végzett átalakítása során nyerjük, miszerint
( )1emx m x −ε−⋅= .
Másrészt azonban
( )
+⋅ε−⋅+⋅ε−⋅=ε− −− ...e
m1ee1ee xm xm xxm x ,
vagyis
η+⋅=ε−⋅ m xm x emem ,
amely képletből az η érték m→∞ esetén eltűnik.
Ebből következik, hogy a megfelelő helyettesítéssel:
( ) x1em m x =η+−⋅ ,
ha pedig ebben az egyenlőségben ex helyett x -et, és x helyett ln x kifejezést írunk, nyerjük az alábbi egyenlőséget:
xln1xm m
1
=η+
−⋅ ,
majd ennek alapján a keresett határérték:
39
/14,6/ xln1xmlim m
1
øom=
−⋅
→ .
Meggyőződhetünk róla, hogy a klasszikus matematika által nyújtott megoldás /14,6/ teljesen egyezik a /14,5 / alatt meghatározott intrazeriális határértékkel. Az utóbbi levezetés azonban sokkal bonyolultabb volt, mint ahogyan eljutottunk ugyanehhez a megoldáshoz az intrazeriális rendszer gyakorlatával.
A magasabbfokú pontosság keretein belül, rendkívüli módon leegyszerűsíthetjük a határértékszámítási eljárását, elsősorban azzal a lépéssel, hogy a független változónak a helyébe egyszerűen behelyettesítjük annak az elérni-kívánt értékét. Magasabbfokú pontosság mellett ez valóban megengedhető lépés, a /14,3/ egyenlőségnek az értelmében.
Ebből következik például, hogy felírhatjuk az alábbi intrazeriális egyenlőségeket:
/14,7/nx
nx
n
axaaliminzxliminz ==
→→ ,
/14,8/ aeliminzxliminz xln
ax
aln
ex==
→→ ,
és így tovább.
Ugyanakkor meggyőződhetünk továbbá arról is, hogy a klasszikus matematika megfelelő határértékei nem egyenlők. Mert például elsőfokú pontosság mellett, /142/ alapján:
/14,9/ ( ) nn
axØvaxlim ⋅±=
→ ,
/14,10/Øvnx
nxaalim ⋅±
→= ,
amely értékek nemcsak egymással nem egyenlők, hanem a /14,7/ alatti meghatározással sem egyeznek meg, mihelyt csak elsőfokú pontossággal is számolunk.
15.§. Példa az intrazeriális határértékszámításra.
A hatványozás műveleti törvényeinek megfelelően, nyilvánvalóan felírhatjuk az alábbi egyenlőséget:
/15,1/ ( ) ...Øx2
øoØx
1
øo1Øx1 22øo +⋅⋅
+⋅⋅
+=⋅+ .
Azonnal belátható, hogy ha az így nyert sorban külön-külön minden egyes tagot zérusfokú pontosság mellett kiértékelünk, akkor a sor a következő alakot veszi fel:
...!3
x
!2
x
!1
x1
32
++++ .
40
Tudvalévő, hogy ha ezt a sort Taylor-sorként értelmezzük, akkor összegzett értéke az ex
hatvánnyal egyenlő.
Ebből következik tehát, hogy a /15,1/ alatti hatványnak az értéke, zérusfokú pontosság mellett:
/15,2/ ( ) xøo eØx1 =⋅+ .
Kimondhatjuk ennélfogva, hogy a zérusfokú pontosság keretein belül kiértékelve:
/15,3/ ( ) xøom
øomeØx1
m
x1liminz =⋅+=
+
→ .
Fenti meggondolásunk előbocsátása után, határozzuk meg most az alábbi határértéket, az intrazeriális rendszer felfogása szerint:
/15,4/
( ) ?n1liminz k
1
k
n0k0n
=−
λ→
→→
Azonnal belátható, hogy mind az n, mind a k változó egyszerre nem közelítheti meg a konstáns Ø értéket, mert akkor az n/k = 1 ≠ λ eset valósulna meg.
A /15,4/ feladatot tehát kétféleképpen kell megoldanunk.
Tegyük fel először, hogy n→Ø. Akkor k= Ø/λ. Ilyenformán pedig
/15,5/ ( ) ( ) ( ) λλ⋅λ
λ→→
=−=−=− -øoØk
1
Ø/kØn
eØ1Ø1n1liminz ,
ha tekintetbe vesszük a /15,2/ egyenlőséggel meghatározott hatvány-értéket.
Tegyük fel továbbá másodsorban, hogy nem n, hanem k tart a határozott zérus értékhez: k→Ø. Akkor /15,4/ szerint: n = λ · Ø. Így tehát
/15,6/ ( ) ( ) ( ) λ−
→⋅λ→
=⋅λ−=⋅λ−=− eØ1Ø1n1liminz øoØ
1
k
1
ØkØn
,
41
ugyancsak a / 15,2/ egyenlőség alapján.
Mindkét meghatározásunk egyenlő. Kimondhatjuk tehát, hogy a /15,4/ alatti feladatnak a megoldása:
/15.7/
( ) λ−
λ→
→→
=− en1liminz k
1
k
n0k0n
hozzáfűzve természetesen azt a kötelező megjegyzésünket, hogy meghatározásunk csupán zérusfokú pontosságú, – miután mindkét esetben a zérusfokúan pontos /15,2/ egyenlőséggel operáltunk.
16.§. A hatványok integrálási szabályának általánosítása.
Legyen meghatározandó a klasszikus matematika szerint felírt
/16,1/ ∫ ∫ ⋅= − dxxx
dx 1
integrálnak az értéke.
A klasszikus matematika felfogása szerint itt egy kivételes esettel találkozunk. A hatványok integrálására vonatkozó általános érvényű szabály ugyanis, amelynek az értelmében:
C1m
xdxx
1mm +
+=⋅
+
∫ ,
a jelen esetre nem alkalmazható, mert ha mégis alkalmazni kívánjuk, akkor a következő egyenlőséget nyerjük:
/16,2/ C0
xdxx
01 +=⋅∫ − ,
ebben a kifejezésben pedig egy olyan tört fordul elő, amelynek a nevezője zérus értékű. Az osztás tehát tilalmas! A /16,2/ törtnek az értéke ezért bizonytalannak és határozatlan értékűnek tekintendő a klasszikus matematika felfogásában.
Az intrazeriális rendszernek az alkalmazása mellett azonban máris kiküszöbölhetjük a fenti kivételt a szabály alól.
A zérusfokúan pontos /16,1/ kifejezést jogunkban áll átalakítani a magasfokú pontosságú, alábbi integrállá:
42
/16,3/ ∫ ⋅dxx 1-ø .
Alkalmazzuk erre az általánosított integrálási szabályt. Akkor, ha csupán elsőfokú pontossággal számolunk is tovább:
/16,4/ ( ) 111ø
1
ø1-ø CxlnøoCxlnØ1øoCxøoC
Ø
xdxx ++=+⋅+⋅=+⋅=+=⋅∫ ,
a /11,1/ egyenlőség felhasználása mellett. Minthogy pedig az intrazeriális matematikai rendszerben nyilvánvaló, hogy a „határozott végtelen” feltétlenül konstáns számértéknek tekintendő, azért a konstánsok összevonása mellett kimondhatjuk, miszerint
CøoC1 =+ .
A megfelelő helyettesítéssel tehát:
/16,5/ Cxlndxx 1-ø +=⋅∫ .
Zérusfokú pontossággal történő kiértékelés mellett ennélfogva:
/16,6/ ∫ += Cxlnx
dx .
Ehhez az eredményhez pedig a /16,4 / alatti levezetéssel jutottuk el, amelynek során a hatványok általános integrálási szabályát alkalmaztuk, nem fogadva el kivételes esetnek a feltételezését a műveleti szabály alól.
IV. FEJEZET.
MATEMATIKAI SZÁMTORZULÁS.
17.§. Kivételes esetek a közönséges osztási műveletben.
Mielőtt rátérnénk a kivételes esetek kérdésére, mindenekelőtt gondoljuk meg a következőket.
Tegyük fel, hogy magasfokú pontosság mellett fennáll valamely
/17,1/ ( )[ ] } ( ){ xxf...fff k21 ϕ=
egyenlőség. Magától értetődik, hogy a /17,1/ formula, az x független változónak bármely értéke mellett, voltaképpen az
43
/17,2/ ( )[ ] } ( ){ xxf...fff k21 ϕ=
érték-azonosságot juttatja kifejezésre.
Magasfokú pontosság mellett nem lehetséges tehát, hogy x→a esetén az
( )[ ] } ( ){ xliminzxf...fffliminzax
k21ax
ϕ=→→
,
vagyis az alábbi helyettesítés után, az ilyen módon nyert
/17,3/ ( )[ ] } ( ){ aaf...fff k21 ϕ=
egyenlőségnek az egyik oldala határozott, a másik oldala pedig határozatlan /bizonytalan/ legyen.
Efféle kivételes esetnek a feltételezése egyértelmű volna az alapvető egyensúlytörvénynek a teljes megtagadásával. Márpedig a matematikának az egész rendszere /1.§./ éppen az alapvető egyensúlytörvényre és annak kihatásaira épül fel.
Ha tehát ilyen kivételes eset – látszólag – mégis előáll, vagyis előfordul a matematikának a gyakorlatában, akkor nyilván magától értetődik, hogy egy efféle látszatnak az előidéző oka csakis az illető kivételes esetnek a hiányos, tökéletlen értelmezése lehet, és semmi más.
Jelen megállításunknak a leszögezése után, vegyük vizsgálat alá a következő osztást.
Ha feltesszük, hogy n pozitív egész szám, akkor közönséges osztási művelettel meghatározva nyilvánvalóan fennáll, miszerint:
/17,4/ 1n23n2n1nnn
b...babaaba
ba −−−− ++⋅+⋅+=−−
,
amely sorban a tagok száma n.
Mármost, ha magasfokú pontosság mellett meghatározni kívánjuk az intrazeriális
ba
baliminz
nn
ab −−
→
határértéket, akkor – a 14.§. -ban tárgyalt fejtegetésnek az értelmében – egyszerűen úgy járhatunk el, hogy b→a esetén a b változót közvetlenül az a értékkel helyettesítjük, /17,4/.
Ebben az esetben az alábbi
/17,5/ 1nnn
anaa
aa −⋅=−−
alakú egyenlőséget nyerjük, amelynek bal oldalán egy értéktelenné vált számlálójú és nevezőjű törtkifejezés áll, a jobb oldala pedig egy pontosan meghatározott értéket képvisel.
44
Miután b = a értelmében csupán helyettesítést végeztünk, és nem tartottuk meg a határértékéhez közelítő kifejezésnek az explicit függvény-jellegét, azért a klasszikus matematika a /17,5/ alatti törtkifejezést /amely tilalmas osztást foglal magában/ kimondottan határozatlan és bizonytalan értékű törtnek minősíti.
Fentebb a /17,3/ egyenlőséggel kapcsolatban kijelentettük, hogy magasfokú pontosságnak a megkövetelése mellett, ilyen kivételes eset nem állhat fenn.
Máris felmerül tehát a probléma: miként lehet ez a határozatlannak látszó törtkifejezés a /17,5/ egyenlőségnek a jobb oldalán álló szorzattal egyenlő értékű?
A kérdés boncolása messzemenő következtetésekhez vezet el.
A klasszikus matematika nem tulajdonít fontosságot a problémának. Nem ismer olyan eljárást, amellyel meghatározhatná az efféle típusú törtkifejezéseknek az értékét úgy, hogy a meghatározás egyértelmű legyen. Magát a /17,5/ egyenlőséget tehát inkább figyelemre sem méltatja, mert logikai pontatlanságot, sőt logikai abszurdumot lát benne.
A magasfokú pontossággal kalkuláló intrazeriális matematikai felfogás azonban nem térhet ilyen könnyen napirendre a felmerülő probléma felett. Mert ha a fenti b = a szerinti behelyettesítést valóban a /14,3/ egyenlőségnek az értelmében hajtottuk végre, – ez pedig kétségtelen, – akkor a /17,4/ egyenlőség semmiesetre sem billenhetett ki az egyensúlyi helyzetéből, tehát meg kellett maradnia egyenlőségnek a /17,5/ alatti alakjában is. Márpedig minthogy ez utóbbi egyenlőségben a jobb oldalon álló szorzatnak pontosan meghatározott értéke van, azért ugyanilyen értéke kell, hogy legyen benne a bal oldalon kialakult törtkifejezésnek is. Ha nem így volna, akkor máris a matematikai törvények általános érvényességét kellene kétségbe vonnunk, – ezzel a feltevéssel pedig mélyen aláásnánk a matematikának – mint tudománynak – egész fennálló rendszerét.
Mindenáron meg kell kísérelnünk tehát, hogy megtaláljuk annak a kérdésnek a magyarázatát, miként lehet a teljesen értéktelenné vált számlálójú és nevezőjű törtnek olyan valóságos és határozott értéke, amely értéket sem a számlálóban, sem a nevezőben lévő tagok nem határozhatnak meg a maguk fennálló helyzetében.
A felmerülő problémának az egyetlen logikusan elfogadható megoldását tárgyaljuk meg a következő paragrafusban.
18.§. Különbségekben fellépő zeriálisan kicsiny tagok.
Ha abból az egyszerű meggondolásból indulunk ki, hogy zeriálisan kicsiny, vagyis meg-nem-nyilvánuló r és s értékeknek a feltételezése esetén nyilvánvalóan fennáll, miszerint
s
r
svv
ruu =+−+−
,
amely r/s hányados valamely reálisan megnyilvánuló szám is lehet, (miután zeriálisan kicsiny értékeknek az egymáshoz való viszonyítása nem szükségképpen ugyancsak zeriálisan kicsiny értéket adhat hányadosul) akkor önként felmerül máris az a további feltevés, hogy a /17,5/ alatti
1nnn
anaa
aa −⋅=−−
45
egyenlőségnek efféle zeriálisan kicsiny, meg nem nyilvánuló értékeket kell tartalmaznia, az alábbi
/18,1/ 1nnn
ans
r
saa
raa −⋅==+−+−
értelemben, mert különben a /17,5/ egyenlőség valóban értelmetlen formula volna csupán.
Gondoljuk meg, hogy a /17,4/ egyenlőséget a klasszikus matematika műveleti törvényeinek alkalmazásával állítottuk elő. A belőle leszármaztatott /17,5/ egyenlőség tehát ugyancsak a klasszikus matematika pontossága mellett áll fenn, ugyanúgy, mint az az egyenlőség, amelyből származott. Ilyen értelemben pedig, zérusfokú pontossággal végrehajtott kiértékelés esetén /vagyis a klasszikus matematika sajátos pontossága mellett/ a /18,1/ egyenlőség valóban megegyezik a /17,5/ alattival. A /18,1/ formula tehát semmiféle ellentmondásban nem áll a /17,5/ egyenlőséggel. Ennélfogva pedig a /18,1/ képletbeli feltevésünk megengedett feltevés és valóban helytálló lehet.
Azonnal felmerül azonban a következő, újabb probléma. Miként és milyen törvényszerűség alapján jutottak bele a törtbe az r és s meg-nem-nyilvánuló értékek, amelyek – bár ott rejtőzhettek ugyan a /17,4/ alatti törtkifejezésben is, – nyilvánvalóan nem tartoztak hozzá szükségszerűen az eredeti osztási művelet osztandójához és osztójához?
Ha a -t és n -et változónak tekintjük a /18,1/ formulában, akkor 1nan −⋅ szorzat: mindkét változónak a függvényét képezi. Az r és s zeriálisan kicsiny értékeknek az r/s viszonya pedig az
1nan −⋅ függvénnyel egyenlő. Ennélfogva kimondhatjuk, hogy r és s is valamely függvényét kell, hogy képezze az a, n változóknak.
A /18,1/ alatti hipotézisünket mindaddig fenntartjuk, amíg nem kerül ellentmondásba a tapasztalattal. A továbbiakban viszont be fogjuk bizonyítani, hogy azt a tapasztalat minden tekintetben igazolja.
Bizonyosra vehetjük tehát, hogy r éppen úgy, mint s is, olyan számok, amelyek nem kerülhettek be „véletlenül” a /18,1/ alatt felírt egyenlőségbe. Mert abban olyan határozott szerepet töltenek be, amelyet mind r -nek, mind s -nek az értéke ki kell, hogy elégítsen.
Honnan származhattak azonban ezek az értékek és miért?
Első tekintetre úgy ítélhetnők meg a helyzetet, hogy az a számhoz már eredetileg hozzátársult volt valamely zeriálisan kicsiny ε érték, vagyis hogy a helyett az a + ε összeggel kell számolnunk. Ez az elgondolás azonban valójában mit sem ér. Mert, ha /17,5/ alatti törtkifejezésben, a számlálóban és a nevezőben, mind a kisebbítendő tagokban, mind a kivonandó tagokban az a számnak a helyébe a + ε összeget írunk, akkor egy lépéssel sem jutottunk előbbre a probléma megoldása terén. Ahhoz pedig nyilvánvalóan nincs jogunk, hogy mind a számlálóban, mind a nevezőben, csak az egyik a számot helyettesítsük az a + ε összeggel, a másik a számot pedig változatlanul hagyjuk, feltételezve, hogy az utóbbiakhoz semmiféle zeriálisan kicsiny érték sem társult volt hozzá előzetesen.
Belátható, hogy a problémát másként kell megoldanunk. Így jutunk el a következő kérdéshez.
Bizonyos, hogy a egyenlő a -val. Ha tehát azt kérdezzük, hogy mi különbözteti meg egymástól a kisebbítendő an hatványt a kivonandó an hatványtól a tört számlálójában és nevezőjében /ahol n = 1/, akkor a válaszunk egyedül az lehet, hogy semmi egyéb, csak a végrehajtott kivonási-műveletben betöltött szerepük. Ha semmiféle más megkülönböztetési lehetőség nem áll fenn az illető hatványok között, akkor logikusan máris azt kell feltételeznünk, hogy az r és s értékek egyrészt maguknak az illető hatványoknak, másrészt pedig a hatványok által betöltött szerepnek függvényei.
46
Ez a gondolatmenet viszont oda vezet el, hogy fel kell tennünk, miszerint a ténylegesen végrehajtott nn aa − és aa − kivonási műveletek mindkét esetben a kivonandó-tagnak, vagy a kisebbítendő-tagnak, valamely zeriálisan csekély mértékű értéktorzulását eredményezik, mégpedig szükségszerűen és törvényszerűen. Az r és az s értékek pedig ennek az értéktorzulásnak a származékai a törtben.
Feltevésünk a fizika elméletére támaszkodik. Hasonló természetű értéktorzulásokkal ugyanis a relativitás elméletében is találkozunk. Valamely hosszúság-méret vagy időtartam-méret éppen olyan matematikai mennyiség, mint akár az an hatvány. A relativitás elmélete arra mutat rá, hogy az efféle méretek – speciális esetekben – valóban eltorzulhatnak, értékváltozást szenvedhetnek, az eseményekben betöltött szerepük szerint. Miért ne tehetnők fel tehát, hogy elvont matematikai mennyiségeket is érinthet és befolyásolhat a relativitás elvének valamely efféle törvényszerűsége?
Problémánk még így is meglehetősen bonyolult marad. Mert bár feltehetjük, hogy ténylegesen végrehajtott kivonási műveletek bizonyos értéktorzulást eredményeznek a különbségnek a tagjaiban, egyelőre még azt sem tudjuk eldönteni, hogy végeredményben a kisebbítendő, vagy pedig a kivonandó tagnak az értéktorzulásával kell-e számolnunk. Ha azonban meggondoljuk, hogy a kisebbítendő tagnak egy esetleges δ értékkel való megnövekedése tökéletesen egyértelmű a kivonandó tagnak ugyanilyen értékű csökkenésével, akkor ez az utóbbi kérdés már el is veszíti a fontosságát. Az a körülmény tehát, hogy melyik tagnak az értéktorzulását tételezzük fel, pusztán megállapodás kérdése lehet.
Ha viszont abból indulunk ki, hogy a kivonási műveletekben a kisebbítendő szám passzív, a kivonandó szám pedig aktív szerepet tölt be, akkor ésszerűen a kivonandó számnak a torzulását kell elsősorban feltételeznünk. Márcsak azért is, mert – ha a tényleges kivonási műveletnek az operátorát P -vel jelöljük – nyilvánvalóan fennáll, miszerint
/18,2/ )x(xPx Ψ=−= ,
amely állításunk világosan kimondja, hogy a ténylegesen végrehajtott kivonási műveletben kivonandó x érték amúgy is értékváltozást szenved a Ψ függvénynek az értelmében. Miért ne tehetnők fel tehát, hogy ily értelmű értékváltozás bizonyos zeriálisan kicsiny mértékű értéktorzulással is együttjárhat?
Lehetséges, hogy a magasabbfokú pontossággal értelmezett Ψ függvény ezeknek a zeriálisan-csekély értékváltozásoknak a feltételeit is magába foglalja. A múltban ezt a függvényt csak zérusfokú pontosság mellett értelmezte a klasszikus matematika. Magasfokú pontosságú meghatározását pedig még nem ismerjük.
Mindeme meggondolásoknak a tekintetbe vételével, feltesszük tehát, hogy a /17,5/ törtkifejezésnek mindkét kivonandó-tagja egy-egy zeriálisan csekély, olyan értékváltozást szenved a végrehajtott kivonási művelet folyamán, amelyet a klasszikus matematika kimutatni nem képes, de amely értékváltozás implicite ott szerepel a /17,5/ egyenlőségnek a bal oldalán álló törtkifejezésben.
Belátható, hogy a /18,1/ alatt a törtnek a számlálója független a nevezőjétől. Feltevésünk szerint ennélfogva az r érték a tényleges kivonási műveletnek, valamint az a és n változóknak a függvénye: ( )n,a,Prr = ; másrészt viszont az s érték a tényleges kivonási műveletnek és az a változónak a függvénye csupán: ( )a,Pss = . A számlálónak a nevezőtől való teljes függetlensége folytán nincs okunk feltételezni a kétféle függvénynek az egymástól eltérő jellegét. A helyzetet úgy kell tekintenünk tehát, miszerint
47
( )n,a,PFr = ,
( )a,PFs = .
Legyen továbbá
( )nn
aa
r1 ϕ=− ,
( )aa
s1 ϕ=−
amikor is
( ) ( )n
n
a
n,a,PF1a −=ϕ ,
( ) ( )a
a,PF1a −=ϕ .
Feltevésünk alapján, ebben az esetben a /18,1 / egyenlőséget a következő alakra hozhatjuk:
/18,3/ ( )
( )1n
nnn
anaaa
aaa −⋅=ϕ⋅−ϕ⋅−
.
Ebből az egyenlőségből a φ függvény már könnyen meghatározható /levezetését lásd a Függelékben./
Elsőfokú pontosság mellett :
/18,4/ ( ) xln1x ⋅β−=ϕ ,
amely kifejezésben β valamely zeriálisan kicsiny, de egyszer s mindenkorra meghatározott, konstáns értéket kell, hogy képviseljen.
Magasfokú pontosságnak a megkövetelése esetén viszont:
/18,5/ ( ) β−=ϕ xx .
Elégedjünk meg egyenlőre az elsőfokú pontossággal és végezzünk helyettesítést /18,4/ szerint a /18,3/ egyenlőségben. Ebben az esetben
( )( )
( )( )
1nnnnnnnnnn
analna
alnna
alna
alna
aln1aa
aln1aa
aaa
aaa −⋅=⋅⋅β
⋅⋅⋅β=⋅⋅β⋅⋅β=
⋅β−⋅−⋅β−⋅−=
ϕ⋅−ϕ⋅−
,
48
az így nyert hányados tehát valóban kielégíti a /18,1/ alatti egyenlőséget.
Minthogy pedig /18,4/ -ből a klasszikus matematika zérusfokú pontossága mellett
( ) 1x =ϕ ,
azért kimondhatjuk, hogy a fenti megoldásaink alapján meghatározott φ(x) tényezőnek a bevezetése a legcsekélyebb ellentmondásban sem áll a klasszikus matematikának a rendszerével és felfogásával.
19.§. A számtorzulási tényező.
Megjegyezni kívánjuk e helyütt, hogy az
/19,1/)a(f)a(f
)a(F)a(F
)a(f)x(f
)a(F)x(FliminzA
ax −−=
−−=
→
alakú határérték-kifejezéseket a továbbiakban mindenütt, egyszerűen A-típusú határértékeknek fogjuk nevezni. Az alábbi
/19,2/ [ ] )a(F)a(FFa)x(FliminzBax
−=−=→
különbségeket pedig B -típusú különbségeknek mondjuk. Magától értetődik, hagy az A -típusú határértékeket mindenkor két efféle B -típusú különbségnek a viszonya kell, hogy alkossa.
A /14,3/ alatti egyenlőségnek az értelmében, az intrazeriális limeszeket azzal az eljárással képezzük a gyakorlatban, amely szerint a független változónak az elérni-kívánt értékét egyszerűen behelyettesítjük a független változónak a helyébe.
A fenti B -típusú különbségek határértékeinek a meghatározásakor ennélfogva mindig olyan esetekkel állunk szemben, amelyekben a kisebbítendő érték és a kivonandó egymással éppen megegyezik.
Megállapodhatunk abban, hogy a ténylegesen végrehajtott kivonásnak a műveletét egy olyan vízszintes vonallal jelöljük, amelyet a ténylegesen kivonandó szám fölött helyezünk el, mégpedig olymódon, hogy a vonal a műveleti /mínusz/ jel fölé is kiterjed. Világos megkülönböztetésül alkalmazzuk ezt a jelölést, a csupán tényleges-összeadandóként szereplő negatív értékekkel szemben. A továbbiakban mindenütt ezt a megkülönböztető jelölést kívánjuk alkalmazni.
Ennek a jelölésmódnak a bevezetésével tehát írhatjuk, hogy
/19,3/ ( ) ( ) nnnx
nx
nn
axaaaaliminzaxliminz −=−=−
→→ ;
vagyis kifejezésre jutatva azt a körülményt, hogy a különbségben egy ténylegesen végrehajtott kivonás áll előttünk, az így nyert határértéket a 18. §. –ban tárgyalt hipotézisünk alapján vizsgáljuk tovább.
49
Kifejtettük ott azt az elméletünket, amely szerint a ténylegesen kivonandó szám mindenkor bizonyos meghatározott, de zeriálisan kicsiny értéktorzulást szenved, amely torzulásnak a mértékét a kivonandó mellé szorzótényezőként rendelt φ(x) függvény határozza meg, amelyben x a kivonandó számot jelenti.
A /19,3/ egyenlőséggel kapcsolatban, /18,4/ vagy /18,5/ szerint, írhatjuk tehát, hogy elsőfokú pontossággal:
/19,4/ ( ) ( ) alnanaln1aaaaaaa nnnnnnnnn ⋅⋅⋅β=⋅β−⋅−=ϕ⋅−=− ;
magasfokú pontosság mellett pedig
/19,5/ ( ) ( ) β−⋅−=ϕ⋅−=− nnnnnnnn aaaaaaaa .
Amennyiben a 18.§. –ban tárgyalt feltevéseink valóban helytállóak, akkor nyilvánvaló, hogy a /19,3/ alatti intrazeriális limeszek nem lehetnek teljesen értéktelenek, ha zérusnál magasabbfokú pontossággal határozzuk meg a határértékeket.
Vizsgáljunk meg mindjárt egy idevágó példát a gyakorlatban.
Legyen meghatározandó, fenti feltevéseink alapján, a következő határérték:
/19,6/
( )( )
( )( )
( ) ,abalnca
alnbca
aln1aa
aln1aa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aaliminz
c1bb
bc
ccc
bcbcbc
ccc
bcbcbc
cc
bcbc
cx
bcbx
cx
⋅−
→
⋅=⋅⋅⋅β⋅⋅⋅β=
=⋅β−⋅−⋅β−⋅−=
ϕ⋅−ϕ⋅−=
−−=
−−
amely meghatározáshoz úgy jutottunk el, hogy elsőfokú pontosság mellett, a /18,4/ szerinti helyettesítést alkalmaztuk a levezetésben.
Vegyük azután vizsgálat alá ugyanezt a határértéket a klasszikus matematikának a szempontjából, vagyis a megoldást a L’Hospital-féle tétellel megközelítve. Akkor
//19,7/( )( )
( ) c1bx
bx
cxcx
bcbx
cxcx
bcbx
cxab
alna
alnbalim
'aa
'aalim
aa
aalim ⋅−
→→→⋅=
⋅⋅⋅=
−−
=−−
,
amikor is arról győződhetünk meg, hogy ez utóbbi meghatározásunk az intrazeriális számtorzulási-elv szerint nyert /19,6/ alatti határértékkel teljesen megegyezik.
Vizsgáljuk meg továbbá, a következő példában, egészen más természeti függvényeknek valamely, ugyancsak A -típusú határértékét.
Legyen a feladat és annak megoldása az alábbi intrazeriális levezetés:
50
/19,8/
( )( )
( )( )
.tgtglngcot
tglntg
gcotlngcot
tglntg
gcotln1gcotgcot
tgln1tgtg
gcotgcotgcot
tgtgtg
gcotgcot
tgtg
gcotgxcot
tgtgxliminz
2
x
α−=α⋅α⋅β
α⋅α⋅β−=
=α⋅α⋅β
α⋅α⋅β=α⋅β−⋅α−α
α⋅β−⋅α−α=
=αϕ⋅α−α
αϕ⋅α−α=α−α
α−α=α−
α−α→
Majd oldjuk meg ezt a feladatot a klasszikus matematika felfogásában, a L’Hospital-féle tételnek az alkalmazásával az alábbiakban:
/19,9/( )
( ) α−=−=
−
=α−
α−=
α−α−
α→α→α→α→
22
2
x
2
2
xxxtg
xcos
xsinlim
xsin
1xcos
1
lim'gcotgxcot
'tgtgxlim
gcotgxcot
tgtgxlim
.
A kétféle meghatározás ismét megegyezik.
A fenti példákból nyilvánvalóan kitűnik, hogy az intrazeriális elv szerint nyert meghatározás minden esetben egyező eredményhez vezetett.
Kitűnik továbbá az a tény is, hogy a β értéknek egy olyan, zeriálisan kicsiny, meghatározott állandónak kell lennie, amely az A -típusú függvények megoldását mindenkor kielégíti. Ez a szám voltaképpen csak azért merül fel a tényleges kivonások esetében, hogy a /18,4/, illetőleg a /18,5/ alatti φ(x) függvényben – ha azt sorbafejtjük – az első tagnak a kivételével, annak valamennyi többi tagját zeriálisan-kicsiny értékűvé tegye.
A számtorzulás, helyesebben a kivonandó tagnak az értéktorzulása – mint már megállapítottuk az előző paragrafusban – minden tényleges kivonási műveletnek a végrehajtásakor, szükségszerűen és automatikusan végbemegy a művelet folyamán, a /18,3/ formulában foglalt törvényszerűség szerint.
A zeriálisan kicsiny β értékű konstáns tehát ennek az általános érvényű törvényszerűségnek az értelmében, automatikusan kerül bele a B -típusú különbségnek a magasabbfokú pontosságú meghatározásába.
Ez a körülmény nyújt módot és lehetőséget arra, hogy a határozott zérusnak, vagyis Ø –nak a valóságos értékét definiáljuk. A határozott zérusnak az értéke véges számok segítségével nem fejezhető ki. Jogunkban áll azonban a Øøo¸-1 = egységgel jellemzett számszinten olyan értelemben rögzítenünk a Ø egységnek az egyszer s mindenkorra érvényes értékét, ahogyan kívánjuk. Jogunkban áll tehát megállapodásszerűen kimondanunk, hogy a tényleges kivonási műveletnek a végrehajtásakor törvényszerűen és automatikusan felmerülő β értéket tekintjük rendszerünkben a határozott zérus mindenkori állandó értékének:
/19,10/ Ø=β .
A fenti levezetéseinkben alkalmazott φ(x) függvényt pedig számtorzulási tényezőnek fogjuk nevezni a továbbiakban, az egyszerűbb és félreérthetetlen Hx kifejezéssel jelölve azt. Újonnan
51
bevezetett jelölésünk értelmében következik tehát a /18,5/ formulából, miszerint /19,10/ -et tekintetbe véve:
/19,11/ lnxøøx exH ⋅−− ==
határozza meg a számtorzulási tényezőnek a teljes intrazeriális pontossággal kifejezett mindenkori értékét, ha egyenlőségünkben x azt a ténylegesen kivonandó értéket jelenti, amelyhez a Hx számtorzulási tényező törvényszerűen és automatikusan hozzátársul a ténylegesen végrehajtott kivonási műveletnek a folyamán.
Ha P –vel jelöljük a tényleges kivonási műveletnek az operátorát, akkor a számtorzulási tényezőnek a szerepét a következőképpen értelmezzük tehát:
/19,12/ lnxøø1x exxHxxPx ⋅−− ⋅−=−=⋅−=−= .
Ugyanebben az értelemben:
ø1a aaHaaaaPaa −−=⋅−=−=+
egyenlőségünk határozza meg a B -típusú különbségeket.
Ebből logikusan következik máris az alábbi megállapítás:
ø1a abHababPab −−=⋅−=−=+ ,
amely egyenlőség nyilvánvalóan kimondja, miszerint a számtorzulás nemcsak a B -típusú különbségekben, hanem minden ténylegesen végrehajtott kivonási műveletben végbemegy.
Természetes viszont, hogy a b ≠ a esetében, ha zérusfokú pontossággal számolunk, a véges számértékek mellett a számtorzulás folytán fellépő zeriálisan-kicsiny értékek mindig elhanyagolhatók.
20.§. Tényleges és nem-tényleges műveletek.
Valamely elvégzendő matematikai feladatnak az első képletbe foglalását megelőzően: a feladatnak a legszigorúbb realitással megfogalmazott szövegében előforduló és abban szerepet játszó műveleteket nevezzük tényleges műveleteknek.
Nyilvánvaló továbbá, hogy – elvileg – a feladatban foglalt és előírt műveleteket voltaképpen már akkor végrehajtjuk, illetőleg éppen akkor hajtjuk végre, amikor első ízben képletbe foglaljuk azokat. Az így nyert képlet az elvileg már elvégzett műveleteket juttatja kifejezésre. A megszerkesztett /felállított/első képlet tetszés szerint átrendezhető és az egyensúlytörvénynek a megsértése nélkül akárhányszor és akármilyen módon átalakítható. Az első képletet addig rendezhetjük és alakíthatjuk, amíg csak egy olyan formulát nem nyerünk, amely már világosan kifejezi számunkra a feladatnak a keresett megoldását.
Az átrendezéssel és átalakítással azonban a feladatban foglalt és elvileg már végre is hajtott műveleteknek az eredményein, illetőleg az eredményeknek a helyességén, már mit sem
52
változtathatunk. Ezek a további – átrendezési és átalakítási – műveletek tehát másfajta műveletek, mint azok, amelyek az eredeti feladatban foglaltatnak benne.
Az ilyen átrendezési és átalakítási műveleteket nevezzük nem-tényleges műveleteknek.
Minden tényleges kivonási művelet alkalmával, az intrazeriális matematika megállapításai szerint, a kivonandó tagnak értéktorzulást kell szenvednie. Azonnal belátható viszont, hogy ha az átrendezések és átalakítások során eszközölt műveletek ugyanolyan jellegű műveletek volnának, mint amilyeneket a feladat tartalmaz, akkor az első képlet átrendezésének, illetve minden egyes átalakításnak az alkalmával, valahányszor újabb és újabb kivonásokat hajtunk végre közben, mindig új és új értéktorzulásoknak kellene végbemenniök a kivonandó tagokkal kapcsolatban. Ezek a további értékváltozások azonban egyrészt megbontanák az egyenlőségek egyensúlyát, másrészt pedig teljes bizonytalanságot vinnének bele a számításokba.
Fel kell tennünk és ki kell mondanunk tehát, hogy csakis a feladatban foglalt műveleteket szabad és kell tényleges műveleteknek minősítenünk, – ámde az átrendezések műveletei sohasem lehetnek ténylegesek.
Kijelentésünk egyaránt vonatkozik az összeadási, kivonási, szorzási, osztási, hatványozási és integrálási műveletekre.
A gyökvonás sohasem lehet tényleges művelet, mert csupán annak a megfelelő számnak a puszta keresésében áll, amely számnak a gyök-kitevő szerinti hatványa a gyök alatti számmal egyenlő. A logaritmálás és a differenciálás – hasonlóképpen – pusztán keresési műveletek, ennélfogva ezek sem lehetnek ténylegesnek minősíthetők.
Az összeadási művelettel nem kell külön foglalkoznunk, mert – mint fentebb már megállapítottuk – csak a tényleges kivonásnak az esetében merül fel értéktorzulás. A többszörös összeadási, vagyis a szorzási és a hatványozási műveleteket is figyelmen kívül hagyhatjuk tehát, éppúgy, mint az integrálást is.
Vegyük vizsgálat alá ennélfogva mindjárt az a – b formulát.
Belátható, hogy már a feladatnak a megfogalmazásakor is meg kell különböztetnünk két számnak a puszta elvi összemérését egyik számnak a másikból való kivonásától.
Két szám elvi összemérésének a fogalmán mindössze annak a körülménynek a megállapítását értjük, hogy két szám /mennyiség/ közül az egyik mennyivel nagyobb a másiknál, a jelen pillanatban. Az efféle elvi összemérés még inkommenzurábilis mennyiségek között is jelképezhető.
Egyik számnak /mennyiségnek/ a másikból való tényleges kivonása viszont egyértelmű a jelen pillanatot megelőző időben még csonkítatlanul fennálló kisebbítendő számnak a művelet végrehajtása során eszközölt megcsonkításával, vagy megszüntetésével, mindenkor a kivonandó tag értékétől függően.
Adott a és b számnak az elvi összemérését – a klasszikus matematika zérusfokú pontossága mellett – ugyanazzal az a – b formulával szokás kifejezni, mint a b számnak az a –ból történő tényleges kivonását, amely voltaképpen valamely végrehajtott érték-csökkentést, érték-eltávolítást jelent a formulából. Az intrazeriális rendszerben viszont az elvi összemérésnek a műveletét sohasem szabad összetévesztenünk a tényleges kivonással, mert a két művelet nem azonos egymással. Belátható azonban ugyanakkor, hogy a nem-tényleges kivonás és az elvi összemérési művelet között semmiféle különbség sem áll fenn, a matematika gyakorlatának a szempontjából nézve.
Ismételten leszögezzük tehát e helyütt is azt a tételt, hogy számtorzulás csupán a tényleges kivonási műveleteknek az alkalmával lép fel, ott azonban szükségszerűen és okvetlenül fellép.
Vegyük vizsgálat alá ezekután az osztási műveletet.
53
Az a : b vagy a/b formulákkal kifejezett osztási művelet, magától értetődően, csak gyakorlatilag – vagyis csak az átrendezések során végbevitt műveleteket illetően – egyezik meg az ”ismételten végrehajtott kivonásnak” a megvalósításával.
A valóságban – vagyis a feladatban az a : b osztás nem tartalmaz és nem rejt magában tényleges kivonási műveleteket, hanem mindössze azt a q számot /hányadost/ határozza meg, amely kifejezi azt a jelen pillanatban fennálló körülményt, hogy az a szám hányszorta nagyobb a b számnál. Az osztás, vagyis a tört: egyszerű viszonyszámnak a meghatározása csupán.
Még a tényleges osztás sem kapcsolatos tehát a kivonásnak a műveletével a feladatban. A valamely feladat alapján már felírt a : b képletet viszont átrendezhetjük olyképpen, hogy a –ból annyiszor kivonjuk – persze: nem ténylegesen! – a b értéket, ahányszor csak lehetséges az. A nem-ténylegesen végrehajtott kivonások száma adja meg a q hányadost, ha pedig a nem fogy el, nem tűnik el teljesen, akkor m maradékkal is kell számolnunk. Az m/b tört azonban ismét csak egy viszonyszámot juttat kifejezésre, nem pedig tényleges kivonást.
Sem a tényleges, sem a nem-tényleges osztási műveletben nem szerepelhet ennélfogva a számtorzulási tényező, vagyis az osztásban nem léphet fel értéktorzulás.
Mint már mondottuk, a matematikai feladatban, illetőleg a feladat megfogalmazott szövegében szerepet játszó műveletek mindenkor a legszigorúbb realitással, a valóságnak megfelelően értelmezendők.
Ha van közöttük kivonási művelet, akkor a feladatnak a képletbe-foglalásakor, vagyis az első képletnek a megszerkesztésekor, – minthogy a feladatban minden művelet csak tényleges művelet lehet, – minden kivonandó tag mellett fel kell tüntetnünk a természetszerűleg hozzátársuló számtorzulási tényezőt is.
A már megszerkesztett képletnek a további átrendezése és átalakítása folyamán azonban újabb számtorzulási tényezőket bejelölnünk már nem szabad! Az átrendezés során felmerülő és szerepet játszó összes műveletek ugyanis már csak elméleti, vagyis nem-tényleges műveletek lehetnek, amelyek nem érintik magát a feladatot és nem is foglaltatnak annak szövegében. Az egyenlőségbe, vagy egyéb képletbe eredetileg bejelölt számtorzulási tényezőket továbbra is figyelembe kell vennünk, mindenkor a megkívánt pontossági foknak a keretein belül.
Világítsuk meg két egyszerű példával is a kérdést.
1. Feladatunk szerint legyen maghatározandó, hogy ha a értékéből elveszünk b értéket, mekkora értéket kell hozzáadnunk a visszamaradt különbséghez, hogy az így nyert összeg c –vel legyen egyenlő?
Minthogy a feladatban minden művelet csak tényleges lehet, azért az első képletet a következőkeppen kell felírnunk:
cxHba b =+⋅− ,
amiből:
bHbacx ⋅+−= ,
mint magasfokú pontosságú meghatározás.
2. Másik feladatunk szerint legyen meghatározandó, hogy mekkora értéket kell hozzáadnunk a értékhez, ha azt kívánjuk elérni, hogy az így nyert összeg b –vel legyen nagyobb mint c?
54
Feladatunkban ezúttal elvi összemérésről van szó, mint tényleges műveletről. Az elvi összemérés azonban nem kivonás, tehát mentes minden értéktorzulástól. Első képletünket ennélfogva az alábbi módozatban kell felírnunk:
( ) cbxa =−+ ,
amiből, eltérően az előző eredménytől:
bacx +−= .
A klasszikus matematika felfogása szerint a két feladatnak a megoldása pontosan megegyezik egymással, hiszen ebben a felfogásban mindkét meghatározást csak zérusfokú pontosságú egyenlőségnek szabad tekintenünk. Az intrazeriális matematika magasabbfokú pontossága mellett azonban a két megoldás egymástól jelentős mértékben különbözik.
Mindezek után, végül még külön említést kell tennünk a függvényekről is.
Kivétel nélkül, minden függvényben fennáll az a helyzet, hogy bármilyen értéket is vesz fel a független változó, minden egyes változásakor egy-egy újonnan előállt egyenletnek a megoldása határozza meg azt az értéket, amelyet a függő változó kénytelen felvenni, a függvény feltételeinek a következtében. Ha meggondoljuk, könnyen belátható, hogy különböző egyenleteknek a megoldása mindenkor egy-egy külön feladatot képez. A független változónak minden legcsekélyebb változása is egy-egy új feladat elé állít tehát bennünket, a függő változó értékének a meghatározása terén.
A feladatokban foglalt műveletek pedig mindenkor tényleges műveletek.
Rendkívül fontos azonban, hogy a feladatokban eredetileg bennerejlő függvényeket a maguk valóságos – és nem átrendezett, átalakított – formájában foglaljuk első képletbe.
21.§. A határozott végtelen definíciója.
Mint a 18. §. -ban kifejtettük, a számtorzulási törvényt a közönséges osztási műveletből vezettük le, /17.§./. Valamely A -típusú határértéknek az esetében, a számtorzulási törvényszerűség a közönséges osztási műveletnek az általános eredményéből logikusan következik, – külön bizonyításra tehát nem szorul.
Minden tényleges kivonásnak az esetében a /19,11/ alatt definiált számtorzulási tényezőnek a felmerülésével is számolnunk kell, mint feltétlen törvényszerűséggel, a fentiek szerint.
Az elsőfokú pontosságnak a keretein belül, máris megadhatjuk tehát a „határozott végtelen” értékének a pontos definícióját, ha csakis tényleges műveleteket veszünk figyelembe:
/21,1/ øoex
eliminz
ex=
−→ .
Mert /19,11/ -nek a figyelembevételével, elsőfokú pontossággal végezve számításainkat:
( ) øoØ
1
elnØ1ee
e
Hee
e
ee
e
ex
eliminz
eex
==⋅−⋅−
=⋅−
=−
=−→ .
55
Ezzel véglegesen kiegészítettük a 9.§. -ban foglaltakat.
22.§. „A” –típusú határértékek, irracionális exponens esetén.
Legyenek m, r, s, u, v pozitív egész-számok, ezenfelül legyen a>1.
Bebizonyítjuk, hogy a
/22,1/v
uv
u
sr
sr
ba
baQ
−
−=
osztás algebrailag, vagyis közönséges osztási műveleteknek az alkalmazásával, elvégezhető.
Tegyük fel átmenetileg, hogy
sv
1
aA = ,
sv
1
bB = .
Akkor egyszerű behelyettesítéssel:
BA
BA:
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BAQ
susurvrv
susu
rvrv
susu
rvrv
−−
−−=
−−⋅
−−=
−−= ;
az utóbbi két törtkifejezésnek az értékét meg tudjuk határozni – ugyancsak egyszerű osztási művelettel – /17,4/ szerint, miáltal a fenti állításunk bebizonyul:
1su23su2su1su
1rv23rv2rv1rv
B...BABAA
B...BABAAQ −−−−
−−−−
++⋅+⋅+++⋅+⋅+= .
mármost, ha a = b, akkor A = B.
Ennélfogva
/22,2/
surv1su
1rv
1su23su2su1su
1rv23rv2rv1rv
ABvu
vu
sr
sr
ab
Asu
rv
Asu
Arv
B...BABAA
B...BABAAliminz
ba
baliminzQliminz
−−
−
−−−−
−−−−
→→
⋅=⋅⋅=
=++⋅+⋅+++⋅+⋅+=
−
−=
56
mert középső egyenlőségünkben a számlálóbeli tagoknak a száma nyilvánvalóan rv, a nevezőbeli tagoknak a száma pedig su. Megfelelő visszahelyettesítéssel végül:
v
u
s
r
sv
survsurv a
v
us
r
asu
rvA
su
rvQliminz
−−− ⋅
=⋅=⋅= .
Ugyanehhez az eredményhez jutunk el akkor is, ha a /22,2/ határértéket a számtorzulási tényezőnek a bevezetésével határozzuk meg:
v
u
s
r
vu
vu
vu
sr
sr
sr
av
uv
u
as
rs
r
vu
vu
sr
sr
ab
a
v
us
r
alnØ1aa
alnØ1aa
vuHaa
srHaa
ba
baliminz
−
→
⋅
=
=⋅−⋅−
⋅−⋅−=⋅−
⋅−=
−
−
Valamint ugyanehhez a meghatározáshoz jutunk el akkor is, ha a /22,2/ alatti határértéket a klasszikus matematikának a szellemében, a L’Hospital-féle tételnek az alkalmazásával számítjuk ki.
Háromféle módszer is rendelkezésünkre áll tehát ahhoz, hogy meghatározhassuk a /22,2/ határértéket, és mind a három fajta eljárásnak az eredménye megegyezik.
Nyilvánvaló tehát, hogy u = v esetén:
/22,3/1
s
rsr
sr
aba
s
r
ba
baliminz
−
→⋅=
−− .
A továbbiakban, mondjuk ki ismét az vu ≠ egyenlőtlenséget, majd tegyük fel, hogy a > 1, továbbá legyen
/22,4/v
um
s
r << .
Akkor /22,3/ alapján máris kimondhatjuk, hogy
/22,5/1
v
uvu
vu
aba
v
u
ba
baliminz
−
→⋅=
−− .
57
A /22,4/ egyenlőtlenségnek a következtében:
1v
u1m
1s
r
av
uama
s
r −−−⋅<⋅<⋅
ámde ugyanakkor
1v
u
mvu
1s
r
msr
av
uliminza
s
rliminz
−
→
−
→⋅=⋅ ,
tehát a két határértéknek – még a klasszikus matematika felfogásában is – okvetlenül meg kell egyeznie a közbezárt
1mam −⋅
szorzatnak az értékével.
A /22,3/ és /22,5/ egyenlőségekből azonnal következik ennélfogva, miszerint
/22,6/ 1mmm
abam
ba
baliminz −
→⋅=
−− .
Ez az egyenlőség nyilvánvalóan akkor is érvényes, ha m nem teljes négyzet, vagyis ha az A -típusú határértékben szerepet játszó exponens irracionális.
Összes idevágó példáinkból és levezetéseinkből következik tehát, hogy bármilyen pozitív a, m, és n értékek esetén:
/22,7/ ( )
( )( )
.am
n
alnaØ
alnaØ
alnØ1aa
alnØ1aa
Haa
Haa
aa
aa
ba
baliminz
mnmm
nn
mmm
nnn
a
mma
nn
mm
nn
mm
nn
abm
n
−
→
⋅=⋅⋅⋅⋅=
=⋅−⋅−⋅−⋅−=
⋅−⋅−
=−−=
−−
Meggondolván továbbá, hogy a mmnn alnaØ/alnaØ ⋅⋅⋅⋅ törtből az ln a logaritmus-érték kiesik, belátható, hogy a fenti formula negatív a értékek esetén is érvényben marad.
Előrebocsátva megjegyezzük, hogy a /22,7/ alatti határérték tetszésszerinti negatív exponensek esetében is, változatlanul fennáll. Ennek bizonyítására azonban csak később térhetünk ki. /87.§./.
23.§. A L’Hospital-féle tétel korlátos érvényessége.
Egyelőre ismét a klasszikus matematika felfogását tartsuk szem előtt, az alábbi meggondolásainkkal kapcsolatban.
58
Tegyük fel, hogy k és n az egységnél nagyobb pozitív egész számok. Majd mindenekelőtt – a világosabb áttekinthetőség érdekében – végezzük el a következő algebrai osztást:
/23,1/( ) ( ) ( )
( ) .kxha,ba...
...ba...babaaba:bakkxkx
k1jjxxk2x3xkx2xxxkxkx
n1nn
nnnnnn
=⋅+
+⋅++⋅+⋅+=−−−⋅−
−−−−−
−
Nyilvánvaló, hogy feltételeink mellett, a sorbafejtett hányadosban a tagoknak a száma: 1n
max kj −= .
Végezzük mármost a helyettesítést /23,1/ -ben az a = b egyenlőség szerint. Ebben az esetben, mint közönséges osztási műveletnek a hányadosa:
/23,2/( ) ( )
( ) ( )kxha,a...a...
...aaaaa:aakkxkxk1jjxx
k2x3xkx2xxxkxkx
n1nnn
nnnnn
=+++
+++=−−−+−−+−
+−+−−
−
Tekintetbe véve, hogy az utóbbi sornak ugyancsak kn-1 számú tagja van, határozzuk meg a sornak a határértékét x→k esetén. Ha a sort szummáció-kifejezésként írjuk fel, akkor
/23,3/ ( )∑−=
=
−−−+−
→⋅=
1n
nnkj
1j
kk1nk1jjxx
kxakalim .
Magától értetődik tehát – még mindig a klasszikus matematika szellemében, - hogy miután a /23,3/ alatti szummáció a /23,2/ alatti osztásnak a hányadosa, azért ez utóbbinak a limesze: magának az osztásnak is a limesze kell, hogy legyen. Ennélfogva fenn kell, hogy álljon, miszerint
/23,4/ kk1nkx
kx
kx
n
nn
akaa
aalim −−
→⋅=
−−
,
ha a /23,2/ alatti osztást tört-alakban írjuk fel.
Határozzuk meg ezekután – ugyancsak a klasszikus matematika szerint – a /23,4/ alatti törtnek a határértékét a L’Hospital-féle tételnek az alkalmazásával:
/23,5/( )( )
kk1nx
1nx
kxkx
kx
kxkx
kx
kx
n
nnnnn
aknalna
alnxnalim
'aa
'aalim
aa
aalim −−
−
→→→⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
−−=
−−
.
Azonnal meggyőződhetünk róla, hogy ez a meghatározás a /23,4/ alattival nem egyezik meg.
Nyilvánvaló viszont, hogy a /23,2/ alatti osztásnak vagy törtnek a hányadosából – vagyis a törtnek az „egyszerűsített” alakjából – közvetlenül levezetett határérték: feltétlenül megbízható számítási eredményt képvisel.
A L’Hospital-féle tétel tehát – az adott esetben – helytelen és hamis eredményhez vezet.
Mindezt pedig maga a klasszikus matematika mutatja ki, a fenti levezetéseink során.
59
A következő paragrafusokban világosan meg fogjuk magyarázni a L’Hospital-féle eljárás révén nyert számítási eredmény téves voltának az okát. Egyúttal megnevezzük és meghatározzuk azokat a korlátokat is, amelyek megszabják a L’Hospital-féle tétel érvényességének a határait.
Előbb azonban még az intrazeriális matematika szempontjából is meg kell vizsgálnunk a felmerült ellentmondást.
Kritikus esettel állunk szemben, amely a L’Hospital-féle tétel megbízhatatlan voltát bizonyítja. Meg kell győződnünk tehát – éppen ezzel a kritikus esettel kapcsolatban – arról is, vajjon az intrazeriális felfogásban, a számtorzulási tényezők alkalmazása mellett, milyen számítási eredményhez jutunk el?
Térjünk át ezért az intrazeriális rendszerre, majd határozzuk meg újból a /23,4/ alatti törtkifejezésnek az A -típusú határértékét, a tényleges kivonási műveletekben szükségszerűen fellépő számtorzulásnak, illetőleg a felmerülő számtorzulási tényezőknek a szabályszerű figyelembe vétele mellett.
Ebben az esetben, ha csak elsőfokú pontossággal számolunk is és ha a Hx számtorzulási tényezőt – helyszűke miatt – kivételesen a H(x) függvénykifejezéssel jelöljük a számításaink során, az alábbi meghatározáshoz jutunk:
/23,6/ ( )( )
.akalnkaØ
alnkaØ
alnaØ
alnaØ
alnØ1aa
alnØ1aa
Haa
Haa
aa
aa
aa
aaliminz
kk1nk
nk
kk
kk
kkk
kkk
)a(
kk
)a(
kk
kk
kk
kx
kx
kx
n
n
nnnnn
k
nk
nnnnnn
−−
→
⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅=
⋅−⋅−⋅−⋅−=
=⋅−
⋅−=
−−=
−−
Kétségtelenül bizonyos, hogy a /23,2/ alatt elvégzett közönséges osztási művelettel meghatározott hányados, valamint annak /23,3/ alatti egyszerű határértéke: okvetlenül helyes számítási eredményt szolgáltat.
A L’Hospital-féle tétellel /23,5/ alatt levezetett maghatározás ettől jelentősen eltér.
A számtorzulási tényezőknek az alkalmazásával, vagyis az intrazeriális rendszer sajátos elveinek az alapján nyert /25,6/ alatti meghatározás viszont pontosan megegyezik a közönséges osztás /23,3/ alatti hányadosának a határértékével.
Ez a kiragadott példánk is nyilvánvalóan bizonyítja azt a körülményt, hogy – kritikus esetekben – nem a L’Hospital-féle tétel, hanem a számtorzulási tényezőknek a figyelembe vétele vezet el a valóban megbízhat és helyes számítási eredményhez.
Ez a körülmény pedig bizonyítékot szolgáltat egyúttal arra nézve is, hogy a tényleges kivonási műveletekben a kivonandó tagnak az értéktorzulása okvetlenül bekövetkezik, és hogy a végbemenő torzulás pontosan olyan mértékű, mint ahogyan a /19,11/ alatt kifejezett számtorzulási tényező azt minden esetben megkívánja és előidézi.
A L’Hospital-féle tételben a számtorzulási tényezők nem szerepelnek. Belátható tehát, hogy amennyiben a kivonandó tagoknak az értéktorzulása valóban törvényszerű a tényleges kivonási műveletekben, akkor ez olyan matematikai tétel, amely az elmaradhatatlan értéktorzulást teljesen figyelmen kívül hagyja, nem is vezethet kritikus esetekben a helyes eredmény-meghatározáshoz.
Ismét arra nézve nyertünk bizonyítékot tehát a felhozott példánk kapcsán, hogy az intrazeriális rendszer és az annak megfelelő számítási eljárás feltűnő mértékben pontosabb és
60
megbízhatóbb, mint a klasszikus matematikának a zérusfokú pontosság keretein belül felállított és kimondott tételeink az alkalmazása.
24.§. A L’Hospital-féle tétel korlátai.
Az elsőfokú pontosság keretein belül, a /14,2/ és /14,3/ egyenlőségeknek az alapján, azonnal belátható, miszerint a klasszikus matematika szellemében felírt alábbi határérték a
/24,1/ ØvaxliminzØvxlimaxax
⋅±=+⋅±=→→
egyenlőségnek az értelmében egyezik meg a megfelelő intrazeriális határértékkel.
Átmenetileg fel kell tennünk, hogy v valamely igen nagy értékű pozitív véges számot képvisel.
A /24,1/ formulából következik az alábbi kifejezési módnak a lehetősége, ugyancsak az elsőfokú pontosságnak a keretében:
/24,2/ ( ) ØvaØvxliminzxlimaxax
⋅±⋅±=→→ .
Nyilvánvaló, hogy a L’Hospital-féle tétel a klasszikus matematika limesz-meghatározásaira épült fel.
Valamely A -típusú, de klasszikus matematikai határértéket, a fenti meggondolásaink alapján, az elsőfokú pontosság megkövetelése mellett a következő egyenlőséggel fejezhetjük ki:
/24,3/f(a)-Ø)vx(f
F(a)-Ø)vx(Fliminz
)a(f)x(f
)a(F)x(Flim
axax ⋅±⋅±=
−−
→→ .
Vezessük le mármost – az intrazeriális matematika szellemében – a /24,3/ alatti egyenlőségből a L’Hospital-féle tételt.
Meggondolásaink és lépéseink során mindenkor tekintetbe kell vennünk azt a körülményt, hogy a feladatunkban szerepet játszó kivonási műveleteket tényleges műveletekként kell kezelnünk, – ennélfogva a megfelelő számtorzulási-tényezőknek a felmerülésével is számolnunk kell.
Jelöljük a /24,3/ alatti klasszikus-matematikai határértéket U –val. Ebben az esetben egyszerűen kimutathatjuk, miszerint:
/24,4/ [ ][ ]
[ ][ ] ,
f(a)lnØ-1f(a)-Ø)va(f
F(a)lnØ-1f(a)-Ø)va(F
f(a)Hf(a)-Ø)va(f
F(a)HF(a)-Ø)va(F
f(a)-Ø)va(f
F(a)-Ø)va(F
f(a)-Ø)vx(f
F(a)-Ø)vx(FliminzU
ax
⋅⋅⋅±⋅⋅⋅±=
⋅⋅±⋅⋅±=
=⋅±⋅±=
⋅±⋅±=
→
ha a számtorzulási tényezőt ismét függvény alakúnak írjuk, valamint ha elsőfokú pontossággal számolunk.
Fejezzük ki az Ø)vx(F ⋅± függvényt Taylor-sorral, első közelítésben, x→a esetében, akkor
61
/24,5/ (a)F'ØvF(a)Ø)va(F ⋅⋅±=⋅± ,
valamint hasonló formulát nyerünk Ø)va(f ⋅± értékére is.
Végezzünk behelyettesítést e szerint a /24,4/ alatti levezetésnek az utolsó szakaszában. Akkor, vagy + vagy – előjelű v esetén:
/24,6/ .)a(flnf(a))a('fv
)a(FlnF(a))a('Fv
)a(flnf(a)Ø)a('fØv
)a(FlnF(a)Ø)a('FØvU
⋅+⋅⋅+⋅=
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=
Ha a v szám, mint mondottuk, valóban rendkívül nagy értékű, akkor a törtben logaritmusos tagok elhanyagolhatókká válnak a v tényezőjű tagok mellett. Ebben az egyetlen, speciális esetben tehát, a v tényezőnek a kiesése folytán:
/24,7/)a('f
)a('FU
)a(f)x(f
)a(F)x(Flim
ax==
−−
→ ,
amivel máris levezettük a L’Hospital-féle tétel lényegét, az intrazeriális matematika felfogásának a megvilágításában.
(Ha megismételjük a fenti levezetést másodfokú, harmadfokú, stb. pontossággal is, akkor rávilágíthatunk a L’Hospital-féle tételnek azokra az eseteire is, amikor a függvények második, harmadik, stb. deriváltjával kell számolnunk a klasszikus matematikában.)
Ezzel meghatároztuk egyúttal a L’Hospital-féle tétel érvényességének a korlátait is, amelyeket az a körülmény szab meg, hogy az Øva ⋅± összegben v -nek valóban rendkívül nagy pozitív számnak kell lennie.
Nem érvényes tehát a L’Hospital-féle tétel a független változó x -nek azokra az értékeire, amikor
/24,8/ ØvaxØva ⋅+<<⋅− ,
a mellett, hogy v -t valóban gigantikusan nagy értékűnek kell tekintenünk a véges számtartományban.
A /24,8/ alatti mikro-térköz belsejében változó x -nek a különböző függvény értékeire nézve a L’Hospital-féle tétel nem alkalmazható. Nem világíthat rá ennélfogva a L’Hospital-féle tétel az
)a(f)x(f
)a(F)x(F
−−
függvény görbéjének arra a szakaszára sem, amely az említett mikro-térköznek a belsejében helyezkedik el.
Az intrazeriális matematika viszont erről a mikro-térközről is tiszta és világos képet ad.
25.§. „A”-típusú függvények magatartása a mikro-térközön belül.
62
Különböztessük meg mindenekelőtt azokat a speciális eseteket, amelyek az A -típusú függvények görbéjének mikro-térközbeli szakaszára elsősorban jellemzőek.
Ismételten írjuk fel ezért a /24,6/ alatti egyenlőséget, amely voltaképpen a következő összefüggést fejezi ki:
/25,1/)a(fln)a(f)a('fv
)a(Fln)a(F)a('Fv
)a(f)x(f
)a(F)x(Flim
ax ⋅+⋅⋅+⋅=
−−
→
az elsőfokú pontosság keretein belül.
Azonnal belátható, hogy meg kell különböztetnünk a következő fontosabb eseteket:
1. Legyen v valóban valamely gigantikus méretű szám. Akkor – mint már az előző paragrafusban említettük – a derivált tényezőjű tagokhoz képest a logaritmust tartalmazó tagok elhanyagolhatók. Az így fennmaradó törtből viszont kiküszöbölődik maga a v szám is. Ebben az esetben tehát
/25,2/)a('f
)a('F
)a(f)x(f
)a(F)x(Flim
ax=
−−
→ ,
a L’Hospital-féle tételnek megfelelően. /24,7/.
A v szám abszolút-értékének gigantikusan nagy volta esetén azonban a /25,1/ egyenlőség a legcsekélyebb mértékben sem enged betekintést a /24,8/ mikro-térköznek a belső világába.
2. Legyen a második speciális esetünkben
/25,3/)a(fln)a(f
)a(Fln)a(F
)a('f
)a('F
⋅⋅= ,
akkor a /25,3/ alatti baloldali törtnek mind a számlálóját, mind a nevezőjét v –vel megszorozva, majd ezután mindkét törtből a számlálókat és a nevezőket párhuzamosan összeadva, az alábbi
/25,4/)a('f
)a('F
)a(fln)a(f)a('fv
)a(Fln)a(F)a('Fv =⋅+⋅⋅+⋅
egyenlőséget nyerjük.
Ilyen esetekben nyilvánvaló, hogy v –nek bármilyen véges értéke mellett – sőt még abban az esetben is, ha v teljesen értéktelen, – a /25,1/ alatti meghatározás okvetlenül megegyezik a L’Hospital-féle tétel /24,7/ eredményével.
Magától értetődően, ez a körülmény arra vall, hogy a /24,8/ mikro-térköznek a belsejében a /25,1/ függvény-értékek nem változnak. Az efféle kategóriába tartozó A -típusú függvényeknek a görbéje tehát a mikro-térköz belső világában is folytonos, voltaképpen az abszcissza-tengellyel párhozamos egyenes kell, hogy legyen.
3. Legyen a harmadik speciális esetünkben
/25,5/)a(fln)a(f
)a(Fln)a(F
)a('f
)a('F
⋅⋅≠ .
63
Ebben az esetben az intrazeriális és elsőfokúan pontos /25,1/ alatti meghatározás csakis abban az esetben egyezhetik meg a L’Hospital-féle tételnek a /24,7/ eredményével, ha a v számnak az abszolút-értékét olyan nagyra tudjuk felvenni, hogy a )a('Fv ⋅ szorzat mellett az
)a(Fln)a(F ⋅ érték, másrészt pedig a )a('fv ⋅ szorzat mellett az )a(fln)a(f ⋅ érték is, teljesen elhanyagolhatóvá válik.
(Megjegyezzük e helyütt – közbevetőleg, – hogy a /23,5/ alatti téves eredmény annak a körülménynek a következményeként állt elő, hogy a függvényben implicite bennefoglalt v számot /a függvényben foglalt összefüggések sajátos természete folytán/ nem lehetséges olyan nagyra felvenni, hogy a fentebb említett elhanyagolások valóban megvalósíthatók legyenek a függvényben.)
Könnyen belátható, hogy a /25,5/ alatti egyenlőtlenségeknek a fennállása esetén: a L’Hospital-féle tétel révén nyert értékmeghatározás /24,7/ teljesen független az x változónak a mikro-térköz belső világában felvett értékeitől.
Kimondhatjuk azonban, hogy amikor az elsőfokú pontosságnak a keretein belül v teljesen értéktelennek tekinthető, akkor
/25,6/)a(fln)a(f
)a(Fln)a(F
)a(f)x(f
)a(F)x(Flim
ax ⋅⋅=
−−
→ .
Azon a mikro-térközbeli helyen pedig, ahol
/25,7/)a('f
)a(fln)a(fv
⋅−= ,
nyilvánvaló, hogy – amennyiben a /25,1/ alatti függvény a /25,5/ egyenlőtlenséggel összhangban áll, – a függvénygörbén a mikro-térköz belsejében szakadásnak kell mutatkoznia. Ebben az esetben ugyanis a /25,1/ alatti jobboldali törtkifejezésnek a nevezője okvetlenül értéktelenné válik.
A következő paragrafusban egyik kidolgozott példáját mutatjuk be annak a gyakorlati eljárásnak, hogy miként határozható meg egy efféle függvénygörbének a jellege a mikro-térközön belül.
Magától értetődik ugyanis, hogy ha sorozatosan felveszünk különböző pozitív és negatív v értékeket, majd ezeket behelyettesítjük a /25,1/ egyenlőséggel meghatározott törtkifejezésbe, akkor minden egyes v értéknek a függvényeként meg tudjuk határozni a mikro-térköz belsejében vonuló függvénygörbének egy-egy pontját.
26.§. Példák a mikro-térközbeli függvénygörbének a meghatározására.
Az A -típusú határértékekkel kapcsolatban, vegyünk fel néhány jellegzetes példát, amelyekben rámutathatunk a határértéket megközelítő függvénygörbének a mikro-térköz belső világában tanúsított magatartására.
1. példa.
Vizsgáljuk meg a /22,7/ alatti egyenlőséget, amely szerint
64
/26,1/ mnmm
nn
axa
m
n
ax
axliminz −
→⋅=
−−
,
az elsőfokú pontosságnak a keretén belül, a változóknak bármilyen értéke esetén.
Azonnal belátható, hogy olyan függvény áll előttünk, amely a /25,3/ egyenlőséget elégíti ki, a /25,1/ formulának a szellemében. Mert a jelen esetben
( )( )
mn1m
1n
m
n
axa
m
n
am
an
'x
'xliminz
)a('f
)a('F −−
−
→⋅=
⋅⋅== ,
mnm
n
mm
nn
am
n
alnma
alnna
alna
alna
)a(fln)a(f
)a(Fln)a(F −⋅=⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅
Függvényünk tehát a 25.§. –ban tárgyalt 2. kategóriába tartozik.
Kimondhatjuk ennélfogva, hogy bármilyen v értéket is veszünk fel, a függvénynek az értéke állandó marad. A mikro-térköz belső világára vonatkoztatott koordinátarendszerben tehát a függvénygörbe folytonos, vagyis voltaképpen egy m/an mn−⋅ ordinátájú vízszintes egyenest képez.
2. példa.
Vizsgáljuk meg a /19,6/ alatti egyenlőséget, amely szerint
/26,2/ a)1b(ax
babx
axnb
nn
nnliminz −
→⋅=
−−
az elsőfokú pontosság keretein belül.
Ismét belátható, hogy olyan függvénnyel van dolgunk, amely a /25,3/ egyenlőséget elégíti ki, a /25,1/ formulának a jelölései szerint. Mert a jelen esetben is
( )( )
a)1b(aa
baba
a)1b(a
ba
x
bx
ax
nbnlnn
nlnn
)a(fln)a(f
)a(Fln)a(F
nbnlnn
nlnbn
'n
'nliminz
)a('f
)a('F
−
−
→
⋅=⋅⋅=
⋅⋅
⋅=⋅
⋅⋅==
Jelen függvényünk tehát ismét a 25.§. -ban tárgyalt 2. kategóriába tartozik.
Kimondhatjuk ezért, hogy bármilyen v értéket is veszünk fel, ez utóbbi függvényünknek az értéke is állandó marad. A mikro-térköz belső világában tehát a függvénygörbe folytonos, voltaképpen egy a)1b(nb −⋅ ordinátájú egyenes szakasz.
3. példa.
Vizsgáljuk meg ezek után az
/26,3/ Rax
alnxlnliminz
ax=
−−
→
65
határértéket, amelyet az
/26,4/ Ree
eeliminz
alnxln
alnlnxlnln
ax=
−−
→
alakban is felírhatunk.
Belátható, hogy ezúttal olyan függvényt vizsgálunk, amely a /25,5/ egyenlőtlenséget elégíti ki, a /25,1/ formulának a szellemében. Mert ebben az esetben
( )( )
,a
alnln
alne
alnlne
)a(fln)a(f
)a(Fln)a(F
a
1
a
1e
alna
1e
'e
'eliminz
)a('f
)a('F
aln
alnln
aln
alnln
xln
xlnln
ax
=⋅⋅=
=⋅⋅⋅=
⋅
⋅⋅
==→
Jelen függvényünk ennélfogva a 25.§. –ban tárgyalt 3. kategóriába tartozik.
Kimondhatjuk tehát, hogy különböző v értékeknek a felvétele mellett: egymástól eltérő függvény-értékeket nyerünk.
A mikro-térköz belső világában pedig a függvénygörbének meg kell szakadnia, mert /25,7/ szerint a
/26,5/alna
a
1e
alne
)a('f
)a(fln)a(fv
aln
aln
⋅−=⋅
⋅−=⋅−=
helyen a /25,1/ egyenlőség jobboldalán álló törtkifejezésnek a nevezője értéktelenné válik.
Nyilvánvaló viszont, hogy a klasszikus matematika – a L’Hospital-féle tételnek az alkalmazása révén – csakis azt a két határértéket képes meghatározni, amelyek a kétoldalról történő megközelítések folyamán akkor állnak elő, amikor Øvax ⋅−= és Øvax ⋅+= ama kikötés mellett, hogy v -nek valóban rendkívül nagy pozitív számnak kell lennie. A két említett határponton, a /24,7/ egyenlőségnek az értelmében, a függvénynek az értéke természetesen megegyezik. Miután a mikro-térköznek a belső világába a klasszikus matematika betekinteni nem képes, azért a klasszikus felfogás ezt az egyezést úgy értelmezi, hogy a függvénygörbe a két határpont között is csak folytonos lehet, – hiszen a klasszikus rendszerben ez a két határpont látszólag egybeesik, a zérusfokú pontosságból fakadó durva megítélés alapján. A magasabbfokú pontosság mellett eszközölt analízis viszont arra mutat rá, hogy a relatíve egymástól rendkívül messze eső két határpont között a függvény értéke nem állandó, sőt közben szakadásnak is be kell következnie.
A kétféle felfogás tehát – a 3. kategóriába tartozó függvényeknek az esetében – éles ellentmondásba kerül egymással.
Határozzuk meg ezekután a /26,4/ alatti intrazeriális határértéket, a számtorzulási tényezőknek a figyelembe vétele mellett:
66
/26,6/alnaln
alnlnalnln
alnxln
alnlnxlnln
ax ee
ee
ee
eeliminz
−−=
−−
→
és minthogy ez az utóbbi kifejezés – mint hatványoknak a tényleges különbsége – analóg a /22,7/ alatti tényleges hatványkülönbséggel, (a /26,3/ egyenlőséget voltaképpen azért változtattuk /26,4/ alakúra, hogy fennállhasson ez az analógia), azért közvetlenül /22,7/ -nek az alapján kimondhatjuk, miszerint
/26,7/ alnalnlnalnxln
alnlnxlnln
axe
aln
alnln
ee
eeliminz −
→⋅=
−−
ha /22,7/ -ben a helyett e –t írunk, n helyett alnln -t, m helyett pedig ln a logaritmust.
Ha tehát /26,4/ -et /26,3/ -mal helyettesítjük, akkor a fentiek értelmében az intrazeriális matematika elsőfokú pontossága mellett:
/26,8/a
alnlne
aln
alnln
ax
alnxlnliminz alnalnln
ax=⋅=
−− −
→ .
Ezzel meghatároztuk a /26,3/ határértéket, mégpedig az elsőfokú pontosságnak a körén belül teljesen értéktelennek minősíthető v számnak az esetére.
4. példa.
Vegyük vizsgálat alá példaképen az
2x
2lnxlnu
−−=
függvényt, majd határozzuk meg annak értékét az x = 2 helyen, amikor a törtkifejezésben mind a számláló, mind a nevező látszólag értéktelenné válik.
A klasszikus matematika szerint, a L’Hospital-féle tételnek az alkalmazásával:
/26,9/( )
( ) 2
1
x
1lim
'2x
'2lnxlnlim
2x
2lnxlnlim
2x2x2x==
−−=
−−
→→→ .
Az intrazeriális matematika szerint, elsőfokú pontossággal:
/26,10/2
2lnln
2x
2lnxlnliminz
2x=
−−
→ ,
a /26,8/ egyenlőségnek az alapján. Ennélfogva, három tizedesjegyre korlátozott pontosság mellett:
/26,11/ 18302x
2lnxlnliminz
2x
•
→−=
−−
.
67
Fenti megállapításaink értelmében, ez az utóbbi függvényérték akkor áll fenn, amikor v értéktelennek minősíthető. Ha viszont v -nek az abszolút-értéke gigantikusan nagy, akkor – a mikro-térköz két szélső korlátjánál – a függvény az ½ értéket veszi fel, /26,9/ szerint.
A kétféle értékmeghatározás valóban eltér egymástól.
Térjünk rá végül annak a megvilágításra, hogy miképpen változnak az u függvénynek a helyi értékei az x = 2 pontot felölelő mikro-térközön belül.
A /25,1/ formulának az értelmében:
/26,12/77592v2
50810v
2ln4v2
2lnln2ln2v
2ln2v
2lnln2ln2
1v
2x
2lnxlnlim
2x •
•
→ −−=
⋅+⋅⋅+=
⋅+
⋅+⋅=
−−
ha négy tizedesjegyre korlátozott pontossággal végezzük számításainkat.
Tekintsük mármost a véges v számot változónak.
A /26,12/ egyenlőségnek az alapján azonnal meghatározhatjuk a keresett függvényértékeket. A jellemző meghatározásokat táblázatba foglalva, megállapíthatjuk a következőket:
ha v = – 20000 , akkor u = 0 •5000 ,
ha v = – 2000 , akkor u = 0 •5005 ,
ha v = – 200 , akkor u = 0 •5048 ,
ha v = – 20 , akkor u = 0 •5509 ,
ha v = – 2 , akkor u = 2 •0489 ,
ha v = - 1 •9 , akkor u = 2 •3514 ,
ha v = - 1 •7 , akkor u = 3 •5381 ,
ha v = - 1 •5 , akkor u = 8 •9607 ,
……………..
ha v = – 1 •3 , akkor u = - 10 •2791 ,
ha v = – 1 •1 , akkor u = - 2 •7923 ,
ha v = – 1 , akkor u = - 1 •9437 ,
ha v értéktelen , akkor u = - 0 •1830 ,
ha v = 1 , akkor u = 0 •1029 ,
ha v = 2 , akkor u = 0 •2202 ,
ha v = 20 , akkor u = 0 •4557 ,
ha v = 200 , akkor u = 0 •4953 ,
ha v = 2000 , akkor u = 0 •4995 ,
ha v = 20000 , akkor u = 0 •5000 ,
és így tovább.
A függvény szakadásának, a /26,5/ egyenlőség szerint, a
68
/26,13/ 386312ln2v •−=⋅−=
értéknek megfelelő helynél kell bekövetkeznie.
A táblázatszerűen egybefoglalt értékmeghatározásokból azonban kitűnik, hogy a kritikus mikro-térköz két szélső határpontjánál a függvény a valóban megegyező 50• értékkel bír, a /26,9/ egyenlőségnek megfelelőleg. Világosan látható továbbá az is, hogy a mikro-térköznek a belsejében miként hajlik el a függvénygörbe a klasszikus matematika által megállapítható
50u •= határértéktől, miként szakad meg a görbének a folytonossága a /26,13/ képletnek megfelelően a 51v •−= és 31v •−= értékek között, azután miként halad át a görbe /26,11/ szerint az értéktelennek minősített v -hez tartozó 1830u •−= függvény-érték pontján, végül pedig miképpen kanyarodik vissza a klasszikus matematika által megállapítható 50u •= határértékhez, /26,9/.
Ezzel valóban kimerítően jellemeztük a függvénygörbének a mikro-térközbeli magatartását.
27.§. A „0-0” jelkép.
A /26,8/ egyenlőségben implicite szerepet játszó v számot az elsőfokú pontosság keretein belül, mint mondottuk, egyszerűen „értéktelennek” minősítjük.
Nem írhatunk helyette zérust, mert zérusnak az elsőfokú pontosság körében valamely bizonytalan értéke lehet, de Ø –t sem írhatunk helyette, annál kevésbé, mert Ø –nak határozott értéke van.
Szükség van tehát egy olyan jelképre a rendszerünkben, amely a legmagasabbfokú intrazeriális pontosság mellett is, még mindig értéktelennek minősül.
Legyen az ilyen értéktelenségnek a jelképe a 0 – 0 kifejezés.
Gondoljuk meg ezzel kapcsolatban a következőket.
Tényleges kivonási műveletnek az esetében:
øk kkkHkkkk −⋅−=⋅−=− ,
ezzel szemben azonban, mint számtorzulás-mentes, pusztán elvi összemérés, vagy pedig mint nem-tényleges kivonási művelet:
nnkk −=− ,
amely egyenlőségben n bármilyen, tetszésszerinti szám lehet.
Fennáll tehát, miszerint:
ii112233kk −=−=−=−=− ,
és így tovább. Az n szám helyébe viszont határozott vagy határozatlan zérust is írhatunk és ilyenformán:
69
00kk −=− .
Ebben az értelemben, írhatjuk továbbá a következő egyenlőségeket is:
1aaaa
a 00nnkkk
k
==== −−− ,
amelynek alapján kimondhatjuk, hogy az intrazeriális matematikának a legmagasabbfokú pontossága mellett is fennáll, miszerint bármely számnak a 0 – 0 fokú hatványa a pozitív egységgel egyenlő.
Ha pedig a legutóbbi formulában a helyébe a természetes logaritmusrendszernek az alapszámát helyettesítjük be, akkor:
1eeee
e 00nnkkk
k
====−−− ,
ennek az egyenlőségnek a két utolsó tagozatából viszont világosan következik, hogy
/21,7/ 001ln −= ,
Ez teljes intrazeriális pontosságú meghatározás.
A fentiekből következik továbbá, miszerint
0011nn −=−=− ,
ámde ugyanakkor írhatjuk, hogy
)00(n)11(nnn −⋅=−⋅=− ,
a két utóbbi egyenlőségnek az egybevetésével pedig:
/27,2/ 00)00(n −=−⋅ ,
amely szorzatban n az intrazeriális matematika számtartományába tartozó bármilyen számérték lehet, akár még a végtelennek valamely véges fokú hatványa is.
Meg kell jegyeznünk továbbá még a következőket is.
A pozitív egységhez – mint tényleges kivonandóhoz – hozzátársuló számtorzulási tényező /19,11/ és /27,1/ szerint:
/27,3/ 1eeeH 000)-(0-øln1ø1 ==== −⋅⋅− .
Fenn kell állnia tehát az alábbi egyenlőségnek is:
70
/27,4/ 0011H1111 1 −=−=⋅−=− .
Feltételeztük és megköveteltük, hogy a 0 – 0 kifejezést még a legmagasabbfokú intrazeriális pontosság alkalmazása mellett se tudjuk megkülönböztetni a teljes érték-nélküliségtől.
Ebből következik tehát, /27,4/ alapján, hogy a pozitív egység az az egyedüli megnyilvánuló szám, amelynek a tényleges kivonásokban fellépő torzulását az intrazeriális matematika semmi esetre sem képes kimutatni.
A fentiekből pedig nyilvánvaló, hogy még az intrazeriális matematika is alkalmaz egy elkerülhetetlen gyűjtőfogalmat, vagyis a 0 – 0 jelképet mindazoknak a /27,2/ szerinti szorzatoknak mint számoknak a felölelésére és egybefoglalására, amelyeket már semmiképpen sem tud megkülönböztetni a látszólagosan teljes érték-nélküliségtől.
A 0 – 0 kifejezés tehát a megközelítően teljes abszolút érték-nélküliségnek a jelképéül szolgál a rendszerünkben.
Gyakorlati szempontból, meg kell jegyeznünk ezért még kiegészítésül, hogy a Maclaurin-féle sornak a klasszikus matematikában használatos
...)0(''F!2
x)0('F
!1
x)0(F)x(F
2
+⋅+⋅+=
alakja helyett – magától értetődően – csakis az
/27,5/ ...)00(''F!2
x)00('F
!1
x)00(F)x(F
2
+−⋅+−⋅+−=
alakban írt formuláját alkalmazhatjuk helyesen, ha magasabbfokú pontossággal számolunk.
28.§. Példák a számtorzulási tényező alkalmazására.
1. példa.
A feladatokban foglalt műveletek mindig ténylegesek. Ha tehát valamely feladatban két vagy több kivonandó számérték játszik szerepet, akkor mindenekelőtt tisztáznunk kell azt a kérdést, vajjon ezek a számértékek egyidejűleg, vagyis egy-összegben hozhatók-e kivonásba, vagy pedig csak külön-külön, illetőleg egymás után. A tényleges különbség ugyanis eltér egymástól, a kétféle eset szerint.
Mert először, ha a feladatnak az értelmében, a -ból ténylegesen ki kell vonnunk b, c, … t értékeket, a kivonást azonban egyidejűleg hajthatjuk végre, vagyis a kivonandó tagoknak az összevonása mellett, akkor a tényleges különbség:
/28,1/ )t...cb(H)t...cb(a)t...cb(a +++⋅+++−=+++− .
Második esetünkben viszont, ha a feladatnak az előírásai szerint, a -ból előbb ténylegesen ki kell vonnunk b -t, majd c -t, – és így tovább, – végül pedig a t értéket, – tehát valamennyit külön-külön és egymás után, akkor belátható, hogy a tényleges különbség csak
71
/28,2/ ( )[ ] }{ tcb Ht...HcHbat...cbat...cba ⋅−−⋅−⋅−=−−−−=−−−−
lehet.
Nyilvánvaló, hogy a /28,1/ és /28,2/ alatti különbségek csakis zérusfokú pontosságnak a betartása mellett – vagyis a klasszikus matematika felfogásában – egyezhetnek meg egymással, magasabbfokú pontosság esetén azonban eltérőek.
2. példa.
Vizsgáljuk meg a matematikai játékok körébe tartozó, hamis megállapításhoz vezető, közismert levezetést, amely szerint az
/28,3/ )aa(aaa 22 −⋅=−
egyenlőségből, annak átalakításával, az alábbi képtelen konklúzióhoz jutunk el:
)aa(a)aa()aa( −⋅=−⋅+ ,
aaa =+ ,
12 = .
A klasszikus matematika az efféle levezetések meg nem engedhető voltát azzal a tilalommal indokolja, hogy a – a különbséggel, vagyis zérussal osztanunk sohasem szabad, még akkor sem, ha az egyenlőségnek mindkét oldalán végezzük el az osztást, azonosan.
Az intrazeriális matematika ezzel szemben nem a levezetést hibáztatja, hanem az első egyenlőségnek /28,3/ a felírási módját.
Mert kétféle eset lehetséges.
a.) Ha pusztán elvi összemérésnek vagy nem-tényleges különbségnek minősítjük a fentebb megadott 22 aa − és aa − formulákat, akkor /28,3/ helyett az
00)aa(aaa 22 −=−⋅=−
egyenlőséget kell felírnunk helyesen. Ez pedig nem vezet a 2 = 1 képtelenséghez.
b.) Ha viszont mindkét megadott különbséget tényleges kivonási műveletként kell felfognunk, akkor tekintetbe kell vennünk és be kell jelölnünk a megfelelő számtorzulási tényezőket is a legelső képletnek a felírásakor. Ilyenformán azonban egyenlőség helyett egyenlőtlenség áll előttünk. Mert
)aa(aaa 22 −⋅≠− ,
)Haa(aHaa a)a(
222 ⋅−⋅≠⋅− ,
72
amiből /19,11/ alapján, már elsőfokú pontosság mellett is levezethető az
( )[ ]alnØ1aaa)alnØ1(aa 222 ⋅−⋅−⋅≠⋅−⋅− ,
( )alnaØaaln2aØ 2 ⋅⋅⋅>⋅⋅⋅ ,
2 > 1
helytálló és igaz egyenlőtlenség.
3. példa.
Példaképpen vegyünk fel két alábbi típusú függvényt. Legyen
3x
81xu
4
−−= és
3x
27xv
3
−−= .
Mármost abból a célból, hogy megállapíthassuk azt a helyzetet, amelyben az u és v függvények egymással pontosan egyenlő értékűek, kapcsoljuk egybe az egyenlőség jelével a függvényeket meghatározó két törtkifejezést:
/28,4/3x
27x
3x
81x 34
−−=
−−
,
majd oldjuk meg x -re nézve az így képezett egyenletet.
A klasszikus matematika műveleti szabályai szerint a megoldáshoz úgy juthatunk el, hogy az egyenletnek mindkét oldalát megszorozzuk a közös nevezővel, majd az egyenlet mindkét oldalához hozzáadunk 81 -et. Ilyenformán az
/28,4’/ 54xx 34 +=
negyedfokú egyenletet nyerjük, amelyről már megállapítható, hogy annak egyik reális gyöke: x1
= 3 , másik reális gyöke továbbá x2 ≈ -2•5 .
Logikailag ez nyilvánvalóan annyit kellene, hogy jelentsen, miszerint – ha az egyenlet további két gyökétől eltekintünk, – akár x = x1, akár x = x2 esetében, nemcsak a /28,4’/ egyenleten belül, hanem a /28,4/ alatti egyenlőségben is: a két oldalon szembenálló függvénykifejezéseknek egymással egyenlő értékűeknek kell lenniök.
Az x2 gyök valóban kielégíti mindkét egyenletet. Világos azonban, hogy x = x1 = 3 esetén a /28,4/ egyenlőségnek mind a két oldalán egy-egy olyan törtfüggvény áll elő, amelyekben mind a számlálók, mind a nevezők megközelítőleg értéktelenné válnak. Ezért a klasszikus matematika egyszerűen kijelenti, hogy x1 csupán /28,4’/ -ben áll fenn, ugyanakkor viszont nem gyöke a /28,4/ alatti egyenletnek is.
73
Állításában elvileg igaza van. Egyértelműen indokolni azonban nem képes azt, a zérusfokú pontosságnak a keretein belül.
Mert a klasszikus matematika egyrészt arra a körülményre hivatkozik, hogy miután x = x1 = 3 esetén a /28,4/ egyenlőségnek mindkét oldalán egy-egy olyan tört áll, amelynek a nevezőjét zérus értékűnek kell tekintenünk, – és minthogy a zérus nevezőjű törtek mindenkor bizonytalan és határozatlan értékűek, – azért az ilyen törteket magában foglaló egyenlőség is csak bizonytalan lehet.
Másrészt ugyancsak a klasszikus matematika bizonyítja, éppen a L’Hospital-féle tétel alapján, hogy x→x1=3 esetén:
108)'3x(
)'81x(lim
3x
81xlim
44
3x=
−−=
−−
→ ,
27)'3x(
)'27x(lim
3x
27xlim
33
3x=
−−=
−−
→ ,
vagyis, hogy x = x1 = 3 esetében a /28,4/ alatti egyenlőségnek mindkét oldalán egy-egy határozott számérték áll elő.
Mármost, ha bizonyítottnak vehetjük ilyenformán, hogy az adott függvényeknek az x = 3 helyen véges és határozott értékük van, akkor aligha hivatkozhatunk arra a körülményre, hogy az illető függvényeknek ugyanazon a helyen nincs és nem is lehet határozott értékük, hanem csak bizonytalanok maradhatnak.
A logikai ellentmondás nyilvánvaló.
Meg kell gondolnunk továbbá, hogy a zérussal, mint gyűjtőfogalommal végzett szorzást még a klasszikus matematika műveleti szabályai is megengedik. A /28,4/ alatti egyenlőségnek a szabály szerint tehát mindkét oldalát még akkor is meg szabad szoroznunk az x – 3 különbséggel, ha fennáll, hogy x = 3. Az egyenlőségnek az értelme ezáltal nem változhatik meg, a műveleti szabályok általános érvényessége értelmében. Ha azonban elvégezzük azt a szorzást, akkor az
/28,5/ 27x81x 34 −=−
egyenlethez jutunk, amelynek egyik reális gyöke valóban x1=3 értékű. Ez a gyök viszont mégsem gyöke az eredeti /28,4/ egyenletnek. Mert x = 3 esetén – a L’Hospital-féle tétellel fentebb már meghatározott határértékek szerint – nem is egyenlőség, hanem valóságos egyenlőtlenség áll előttünk. Ha tehát x = x1 = 3, akkor egyik függvénynek a görbéje sem metszheti valóban az abszcissza-tengelyt.
A klasszikus matematika az említett ellentmondásokat egyszerűen nem kívánja tudomásul venni. Olyan precíz magyarázattal viszont nem tud szolgálni, amely ezeket az ellentmondásokat ténylegesen kiküszöbölhetné.
Egészen másként fest a helyzet azonban, ha a problémát az intrazeriális matematikának a szempontjából nézzük.
Mert ha a /28,4/ egyenlőségben szerepet játszó különbségeket tényleges kivonási műveletek eredményeként értelmezzük, akkor az ellentmondások azonnal megszűnnek. Tényleges különbségek esetén ugyanis a számtorzulási tényezőket is be kell jelölnünk. Akkor pedig /28,4/ helyett az alábbi egyenlőséggel kell számolnunk:
74
/28,6/3
273
3
814
H3x
H27x
H3x
H81x
⋅−⋅−=
⋅−⋅−
.
Mármost, ha ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát megszorozzuk a közös nevezővel, majd átrendezéssel az egyenletet u.n. kanonikus alakra hozzuk, akkor írhatjuk, miszerint:
00)H81H27(xx 812734 −=⋅−⋅+− ,
amely egyenletnek egyik reális gyökét nyilvánvalóan az ø31 33H3x −⋅=⋅= érték képezi.
Belátható, hogy a klasszikus matematika ehhez a magasfokú pontosságú meghatározáshoz nem képes eljutni. Zérusfokú pontosság mellett ugyanis – magától értetődően – fennáll az
333x ø1 =⋅= −
egyenlőség. Ezért a klasszikus matematika csakis az x1 = 3 értékre tud következtetni a keresett gyökkel kapcsolatban. Annál inkább, mert zérusfokú pontosság mellett a /28,6/ egyenlőség is megegyezik a /28,4/ alattival.
Az intrazeriális felfogás viszont teljesen megvilágítja a helyzetet. Mert 31 H3x ⋅= esetén, – (a Hx számtorzulási tényező hatványozására nézve lásd a /28,15/ formulát), – fennállanak az alábbi határértékek, amelyekre a megközelítő L’Hospital-féle tétel már nem alkalmazható:
00
00
H3x
H81xliminz
3
814
H3x 3 −−=
⋅−⋅−
⋅→ ,
00
00
H3x
H27xliminz
3
273
H3x 3 −−=
⋅−⋅−
⋅→ ,
minnélfogva a magasfokúan pontos 31 H3x ⋅= helyen valóban előáll egy olyan szinguláris helyzet, amelyben a /28,6/ egyenlőség a következő alakot veszi fel:
00
00
00
00
−−=
−−
,
miáltal teljesen határozatlanná válik valóban, lévén a 0 – 0 kifejezés is különböző szorzatoknak a gyűjtőfogalma, /27.§./.
Teljesen világos ezek szerint, hogy 31 H3x ⋅= magasfokúan pontos értéknek az esetében a /28,6/ egyenlőségnek bizonytalanná kell válnia, és ezzel a voltaképpeni értelmét is elveszíti.
Az így határozatlanná váló egyenletnek tehát valóban nem képezheti gyökét az 31 H3x ⋅= érték.
75
Mindezt pedig a zérusfokú pontosságnak a körére vonatkoztatva, állításunkat most már jogosan kiterjeszthetjük a /28,4/ egyenlőségre is, éppen az x1 = 3 értékű gyökkel kapcsolatban.
Belátható az utóbbi állításunknál fogva, hogy a függvényeknek a szakadása voltaképpen nem a magasfokúan pontos x = 3 helyen, hanem a zérusfokú pontosság mellett meghatározott x = 3 értéket magába záró, kritikus mikro-térközben, a mikro-térköznek a belső világában következik be, mégpedig éppen azon a magasfokú pontossággal meghatározott helyen, amelynél
31 H3x ⋅= .
A magasfokúan pontos x = 3 helyen a függvényeknek a görbéje még folytonos. Ezt bizonyítják a fentebb meghatározott L’Hospital-féle limeszekkel megegyező intrazeriális határértékek, ha x→3 esetére ez utóbbiakat is meghatározzuk. Ezek az egymástól eltérő 108 és 27 értékek pedig nyilvánvalóan arra vallanak, hogy a magasfokúan pontos x = 3 helyen még nem közelítettük meg eléggé az egyenletnek a keresett x1 gyökét.
Azon a magasfokúan pontos helyen azonban, ahol a keresett 31 H3x ⋅= gyöknek valóban fenn kellene állnia, mindkét függvénynek a görbéje megszakad. Ezt bizonyítják az intrazeriális limeszek által, fentebb meghatározott 0 – 0 nevezőjű törtek, amelyek mindkét függvénynek az esetében, egy és ugyanazon a magasfokú pontossággal meghatározható 31 H3x ⋅= helyen lépnek fel.
A függvények tehát a mikro-térköznek a szélső határain, valamint azokon belül is, 108 illetőleg 27 értékűek. Tényleges szakadások pedig a mikro-térköznek a belsejében áll elő, egyetlen helyen, ahol 31 H3x ⋅= .
Nyilvánvaló, hogy a kritikus mikro-térköznek a belső világában beálló változásokat csakis az intrazeriális rendszer képes kimutatni. A klasszikus zérusfokú pontosság nem különböztetheti meg egymástól az x = 3 és 03 31 Hx ⋅= értékeket.
Míg tehát a klasszikus matematikának az indoklásai a műveleti szabályokra vonatkozó ellentmondásokba bonyolódnak, addig az intrazeriális rendszer megvilágításában teljesen világos és nyilvánvaló, hogy x1 miért nem képezheti a /28,4/ alatti egyenletnek a gyökét.
4. példa.
Vizsgáljuk meg egyúttal azt a kérdést is, vajjon bonyolultabbá vagy egyszerűbbé teszi-e számításainkat az intrazeriális elvnek az alkalmazása a gyakorlatban.
Tegyük fel példaképpen, hogy legyen meghatározandó
/28,7/22 ax
axaxy
−+−+−+=
függvénynek az értéke az x→a helyen. Föltéve, hogy a valamely reálisan megnyilvánuló pozitív számértéket képvisel.
Határozzuk meg a keresett függvényértéket először a klasszikus matematika felfogása és elvei szerint.
Azonnal belátható, hogy az adott esetben a L’Hospital-féle tételt nem alkalmazhatjuk a feladat megoldásánál.
Feltehetjük azonban, hogy hax += , és ilyen értelemben helyettesíthetjük is x -et a /28,7/ kifejezésnek a különböző tagjaiban. Megállapíthatjuk ilyenformán, hogy
76
/28,8/
,...a8
h
a2
hah...
a8
h
a2
ha
h
h
...a8
h
a2
ha1
a
h1a
aa
h1aahaax
2
3
2
2
2
2
+−⋅⋅=
+−⋅⋅=
=
+−⋅=
−+⋅=
=−
+⋅=−+=−
/28,9/ hahaax =−+=− ,
/28,10/ ( ) ha2hahah2aax 22222 +⋅=−++=− .
Ha pedig a /28,8/ - /28,10/ alatti részlet – meghatározásokat az y függvénynek megfelelő módon újra egyesítjük, akkor a szándékolt h→0 feltételnek az előírása mellett, felírhatjuk az alábbi határérték-egyenlőségeket. Az y törtfüggvény számlálójára nézve:
( )
+
+−⋅⋅=−+−
→→1...
a8
h
a2
hahlimaxaxlim
2
3
0hax ,
a nevezőjére nézve viszont:
ha2hlimaxlim0h
22
ax+⋅=−
→→ .
Végül az utóbbi határérték-egyenlőséggel osztva az előtte lévőt, nyerjük a feladatnak a megoldását:
/28,11/
a2
1
ha2
1...a8
h
a2
ha
limax
axaxlim
2
3
0h22ax=
+
+
+−⋅
=−
−+−→→
.
Ezzel szemben az intrazeriális matematika felfogása szerint, a különbségeket tényleges különbségeknek tekintve a függvényben, vagyis a felmerülő számtorzulási tényezőknek a megfelelő bejelölése mellett, az elsőfokú pontosságnak a keretein belül:
.a2
1
alna2Ø
alnaØ
alna2Ø
alnaØalnaØ
Haa
HaaHaa
ax
axaxliminz
22
)a(
22
aa
22ax2
+⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅
⋅⋅+⋅=
=⋅−
⋅−+⋅−=
−−+−
→
77
Ha pedig ezt az összeget zérusfokú pontosság mellett kiértékeljük abból a célból, hogy összhangba hozzuk az eredményt a klasszikus matematika szerinti meghatározással, - vagyis ha tekintetbe vesszük, hogy Ø elhanyagolható a megnyilvánuló számértékek mellett, – akkor az
a2
1
ax
axaxliminz
22ax=
−−+−
→
zérusfokú pontosságú eredményhez jutunk el, amely valóban megegyezik a /28,11/ alatti meghatározással.
A megoldáshoz vezető lépések sokkal egyszerűbbek, mint a klasszikus matematikában.
5. példa.
A számítások világosabb áttekinthetősége végett, feltüntetjük végül a számtorzulási tényezők szorzataiból és hatványaiból adódó alábbi képleteket is:
/28,12/ ( ) xy-øøø
yx HxyyxHH ==⋅=⋅ −− ,
/28,13/ y)lnx(lnøylnøxlnøyx eeeHH +⋅−⋅−⋅− =⋅=⋅ ,
/28,14/ ( ) nx
nønx HxH == ⋅− ,
/28,15/nx
nøøn
)x(H)x()x(H n === −−
.
Mindez a /19,11/ egyenlőségből azonnal következik.
V. FEJEZET.
SZÁMOK ALKALMAZKODÁSI TÖRVÉNYEI.
29.§. Szorzatok tényleges kivonása.
Tegyük fel, hogy valamely feladatban, annak követelményei szerint, egy megadott ca ⋅ szorzatból többször is ki kell vonnunk ténylegesen az adott b értéket. Belátható, hogy a többszörös kivonás ismételt kivonást jelent, vagyis egymással megegyező kivonási műveleteknek az egymásutánját, a sorozatát értjük alatta. Tegyük fel továbbá, hogy a feladatunkban az így ismételt kivonásoknak a száma: c.
Ilyenformán tehát nem egyidejű, hanem ismételt, sorozatos, egymást követő kivonások állnak előttünk az adott feladatban. Ennélfogva a /28,2/ formulának az alapján kell eljárnunk, amikor feladatunkat képletbe kívánjuk foglalni. Első képletünk pedig a következő meggondolást kell, hogy kifejezésre juttassa:
78
/29,1/)Hba(cHbcaccbacb...bbbac bb
c321
⋅−⋅=⋅⋅−=⋅−=−−−−−∪∪∪∪ .
Az így megfogalmazott képlet teljesen megfelel a fent említett feladat szellemének.
Abban az eltérő esetben viszont, ha egy másik feladatunk az ca ⋅ szorzatból valamely megadott gcb =⋅ értéknek a tényleges kivonását kívánja meg, a kivonási művelet csak egyszeres értelemben játszik szerepet. Ebben a műveletben a g mennyiséget nem szabad b és c tényezőkre bontanunk, mert a feladat az egységes g mennyiségnek a tényleges kivonását írja elő, nem pedig külön a b és külön a c tényezőjét. Ilyen esetben tehát nem a bc szorzatot, hanem közvetlenül a vele azonos g értéket tekintjük az egyedüli kivonandónak, a /28,1/ formulának az értelmében. Feladatunk első képletbe foglalásának pedig az alábbi meggondolást kell tartalmaznia:
/29,2/ gHgacgac)bc(ac ⋅−=−=− .
A /29,1/ és /29,2/ egyenlőségeknek az összehasonlításából azonnal kitűnik, hogy a kétféleképpen kivonandó bc szorzatnak mindenkor a feladatnak az eredeti szelleméhez kell alkalmazkodnia.
30.§. Effektív kiemelések.
A végett, hogy rávilágíthassunk a klasszikus matematikában alkalmazott közönséges osztási műveletnek egyik különösen jellemző sajátságára, mindenekelőtt meg kell különböztetnünk egymástól a polinomokból eszközölt tényező-kiemeléseknek két típusát, illetőleg faját.
Ha valamely A tényezőnek és B polinomnak az eredetileg létrejött és már fennálló AB szorzatából ismét kiemeljük az A tényezőt, az ilyen műveletet effektív kiemelésnek nevezzük a továbbiakban.
Ha viszont valamely C = AB polinomból emeljük ki az A tényezőt, minek következtében az eredeti C polinom a A/C jellegű törtkifejezéssé alakul át, akkor eljárásunk nem-effektív kiemelés.
Így például valóban effektív kiemelés:
)cba(kckbkak ++⋅=++ .
Nem nevezhetjük azonban effektív kiemelésnek – a fenti meghatározásunk értelmében – az alábbi példákban végrehajtott kiemelést:
++⋅=++
a
c
a
b1acba ,
++⋅=++
k
c
k
b
k
akcba .
79
A klasszikus matematika szempontjából nézve, az efféle megkülönböztetésnek semmiféle fontossága, de mégcsak jogosultsága sincs. A magasabbfokú pontosság, vagyis az intrazeriális rendszer viszont megköveteli a kétféle eljárásnak a szigorú megkülönböztetését.
Könnyen belátható, hogy bármely megadott polinomnak az esetében, a benne végrehajtható effektív tényező-kiemeléseknek mindenkor van egy olyan szélső értékük, amelyen túl már csak nem-effektív kiemelések eszközölhetők.
Ha tehát az effektív tényező-kiemeléseknek a polinomban rejlő valamennyi lehetőségét kihasználjuk és végrehajtjuk, ezt maximális vagy teljes effektív kiemelésnek nevezzük.
Így például az alábbi effektív kiemelésben:
)cbacba(cbacbacbacba 23233242345 ⋅⋅++⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅
az cba3 ⋅⋅ szorzat az a maximális tényező-csoport, amely még effektíven kiemelhető az adott polinomból. Példánk tehát a teljes effektív kiemelést mutatja.
A következő
( )mnmnmnn bbbbb −− +⋅=+
példa ugyancsak effektív kiemelést mutat, ha 0→m→n, de nem teljes effektív kiemelést tár elénk, ha m valamely tetszésszerinti szám a jelzett határok között. Abban az esetben azonban, ha feltesszük, hogy m = n, az effektív kiemelés teljessé válik az adott polinomra nézve.
Meg kell jegyeznünk továbbá még a következőket is.
Ha valamely polinomban törtek is előfordulnak, akkor mindenekelőtt közös nevezőre kell hoznunk a polinom tagjait, a teljes effektív kiemelést pedig csak azután hajthatunk végre, mégpedig külön a számlálóban és külön a nevezőben.
Így például az alábbi számtorzulás-mentes egyenlőségben:
uwvu
vzv
uwvu
wvvk
2
2
2
32
−++
++=
teljes effektív kiemelést csak úgy eszközölhetünk, ha a törteket előbb közös nevezőre hozzuk. Ebben az esetben:
2224
22234232
wuvu
uvwzzvuwuvwvuvu2k
−++−+= ,
majd külön a számlálóban és külön a nevezőben megvalósítva a teljes effektív kiemelést:
( )( )2222
2232
wvuu
wzuvzwvwuvuv2uvk
−⋅++−+⋅=
illetőleg:
80
−
++−+⋅=222
2232
wvu
wzuvzwvwuvuv2
u
vk
vagyis kimondhatjuk, hogy a v/u tört az a maximális tényező, amelyet effektíven kiemelhetünk a fenti egyenlőségben megadott polinomból.
Magától értetődik, hogy ha valamely polinomban negatív előjelű exponensek is előfordulnak, akkor az efféle hatványokat mint törtkifejezéseket kell kezelnünk. A teljes effektív kiemelésnek a végrehajtása során ugyanúgy kell eljárnunk tehát, mint a törteket tartalmazó polinomok esetében. Vagyis a kiemelést nem szabad gépiesen, olyként eszközölnünk, hogy a valamennyi tagban előforduló, legmagasabbfokú hatványt emeljük ki a polinom elé, hanem a negatív exponenssel bíró hatványokat előbb törtkifejezésekké kell átalakítanunk, majd a fenti értelemben eljárnunk.
Így például teljes effektív kiemelést mutat az alábbi egyenlőség:
( )dacbaadacaba 725253 ⋅++⋅⋅=⋅+⋅+⋅ −−− ,
míg nem-teljes effektív kiemelést tüntet fel ugyanerre a polinomra nézve a következő formula:
( )dcabaadacaba 752253 +⋅+⋅⋅=⋅+⋅+⋅ −−−− ,
mert ha az adott polinomnak a tagjait közös nevezőre hozzuk, akkor
5
72253
a
dacbadacaba
⋅++⋅=⋅+⋅+⋅ −− ,
ennek a törtnek a számlálójából pedig csak a pozitív egység emelhető ki, nevezőjéből viszont az a5 hatvány, – vagyis effektíven és maximálisan, az egész törtre vonatkozó
55
aa
1 −=
tényező. /Lásd fentebb, a teljes effektív kiemelést feltüntető egyenlőségben./
Felsorolt példáinkból világosan kitűnik egyébként, hogy nemcsak az effektív és a nem-effektív kiemeléseket kell megkülönböztetnünk egymástól, hanem ezenfelül különbséget kell tennünk a teljes effektív és a nem-teljes effektív kiemelések között is.
31.§. Maguktól végbemenő effektív kiemelések.
Tegyük fel, hogy a klasszikus matematika eljárásai szerint, közönséges osztási művelttel meghatározzuk az alábbi – példának felvett – három törtkifejezésnek az értékét. Elvégezve az osztásokat, nyerjük miszerint:
81
/31,1/ 4324252
6336
cabcabacba
caba ++=−⋅
⋅−⋅ ,
/31,2/ 642223342
845
acbcacbabacba
caba +++=−⋅
⋅−⋅ ,
/31,3/ 2562
4527
cabacba
caba +=−⋅
⋅−⋅ .
Belátható, hogy ha a fenti egyenlőségekben a, b és c helyébe olyan értékeket helyettesítünk be, hogy a törtekben a számlálók és a nevezők véges értékűek maradnak, akkor az egyenlőségek nyilvánvalóan helytállóknak és igazaknak tekinthetők. Mihelyt azonban olyan értéket tulajdonítunk az a, b és c számnak, vagyis ha úgy végezzük el a helyettesítést, hogy a számlálók és a nevezők egyaránt megközelíthessék az érték-nélküliséget, akkor a három egyenlőség azonnal ellentmondásba kerül egymással.
Így például, ha egyszerűen helyettesítést végzünk b = a és c = a értelemben, akkor a következő – egymásnak valóban ellentmondó – egyenlőségekhez jutunk:
/31,4/ 722
99
a3aa
aa ⋅=−−
,
/31,5/ 722
99
a4aa
aa ⋅=−−
,
/31,6/ 722
99
a2aa
aa ⋅=−−
.
Ezt az ellentmondást a klasszikus matematika azzal a körülménnyel indokolja, hogy mindhárom utóbbi törtnek a nevezője zérus. A törtek tehát bizonytalan és határozatlan értékűek.
Az intrazeriális felfogás azonban nem nyugodhatik bele ebbe a triviális indoklásba a törtek és hányadosok további vizsgálata nélkül.
Mindenesetre fel kell tételeznünk, hogy a /31,1/ - /31,3/ alatti számlálók és nevezők törvényszerűen alkalmazkodnak valamely olyan szemponthoz, amely a /31,4/ - /31,6/ alatti hányadosoknak a fellépését írja elő, még akkor is, amikor b = c = a.
Vizsgálataink során, csakhamar megtaláljuk ezt a szempontot.
Összehasonlítva az eredeti törteket a legutóbbi hányadosokkal, arról győződhetünk meg ugyanis, hogy maguktól végbemenő teljes effektív kiemelések valósulnak meg az osztási művelet folyamán az eredeti törtkifejezésekben. Ezt a spontán átalakulást feltétlenül tekintetbe kell vennünk, ha b→a és c→a esetén meghatározni kívánjuk a törtfüggvények intrazeriális határértékeit.
Ezt az átalakulást valóban tekintetbe véve, máris kimondhatjuk, miszerint a /31,1/ alatti törtből kiemelést végezve:
82
/31,7/7263
22
663
2
6333
acab
a3a2
6a
aa
aaa
cba
cbaaliminz ⋅=
⋅⋅=
−−⋅=
−⋅−⋅ −
→→
,
a /22,7/ alatt már meghatározott formulának az értelmében.
Ha a /31,2/ törtből önmagától végbemenő kiemelést vesszük tekintetbe, akkor
/31,8/728
22
88
2
844
acab
a4a2
8a
aa
aaa
cba
cbaaliminz ⋅=
⋅⋅=
−−⋅=
−⋅−⋅ −
→→
,
majd ugyanígy a /31,3/ törtre vonatkozólag:
/31,9/7245
22
445
2
4225
acab
a2a2
4a
aa
aaa
cba
cbaaliminz ⋅=
⋅⋅=
−−⋅=
−⋅−⋅ −
→→
,
az így nyert határérték-meghatározások ugyanis teljesen megegyeznek a /31,4/ - /31,6/ alatti hányadosokkal.
A számok törvényszerű alkalmazkodása – vagyis a spontán végbemenő teljes effektív kiemelésnek a megvalósulása a törtekben – a /31,7/ - /31,9/ alatti levezetéseinknek az értelmében, nyilvánvaló.
Mit jelent azonban ez az átalakulás a matematika rendszerében?
Előző fejtegetéseink alapján, már nem ütközik nehézségbe, hogy megadjuk erre a kérdésre a választ.
Azok a teljes effektív kiemelések, amelyeket az intrazeriális határértékeknek a képleteiben tekintetbe vettünk és feltüntettünk: teljes analógiát mutatnak a /29,1/ alatti meggondolással.
A klasszikus matematikának a közönséges osztási művelete ezeknek a spontán végbemenő effektív kiemeléseknek a megvalósulását ab ovo megköveteli. Ezt bizonyítják a /31,1/ - /31,3/ alatt meghatározott hányadosok, amelyeknek az intrazeriális limeszei:
( ) 7432425
acab
a3cabcabaliminz ⋅=++→→ ,
83
( ) 764222334
acab
a4acbcacbabaliminz ⋅=+++→→ ,
( ) 7256
acab
a2cabaliminz ⋅=+→→ ,
törvényszerűen megegyeznek a /31,7/ - /31,9/ alatti határértékekkel.
Minthogy pedig az az analógia, amely az osztási művelet által megkövetelt effektív kiemelések és a /29,1/ alatti levezetés között fennáll, közvetlenül arra mutat rá, hogy a /31,1/ - /
31,3/ törtekben előforduló a3c6, ac8 és a5c4 szorzatok mint kivonandók voltaképpen 6c
63 Hca ⋅⋅ ,
8c
8 Hca ⋅⋅ és 4c
45 Hca ⋅⋅ szorzatokként értelmezendők, – azért kimondhatjuk, hogy a klasszikus
matematikának a közönséges osztási művelete csakis az ismételt /nem egyidejű/ tényleges kivonásokat értelmezi, a /29,2/ szerint végbevitt kivonásokat pedig csak akkor, ha a kivonandókban valamely szorzat helyett csak egyetlen betűkifejezést alkalmazunk.
Ebből következik az alábbi tétel:
Valamely tényleges különbségnek csakis abban az esetben szabad meghatároznunk az intrazeriális határértékét, ha ezt megelőzőleg a különbségből már teljes effektív kiemelést hajtottunk végre.
Így például legyen meghatározandó az A -típusú
2x
16x8u
−−=
függvénynek az értéke az x = 2 helyen. Tételünk szerint, a teljes effektív kiemelésnek a végrehajtása után:
822
228
2x
2x8liminz
2x=
−−⋅=
−−⋅
→ .
Jellegzetes az alábbi példa is. Határozzuk meg a
3x
x3x9v
32
−−=
függvényértéket az x = 3 helyen. Akkor a teljes effektív kiemeléssel:
273x
3xx3liminz 2
3x−=
−−⋅−
→ ,
84
szem előtt tartva azt a körülményt is, hogy az osztó és az osztandó egyaránt rendeztessék valamely betűfejezésnek a fogyó vagy növekvő hatványai szerint.
32.§. A L’Hospital-féle formula kiemelési lehetőségei.
A klasszikus matematikai felfogás nem tesz különbséget effektív és nem-effektív kiemelések között. Ennélfogva a klasszikus matematikának minden formulája egyaránt meg kell, hogy engedje mindkét fajta kiemelésnek a végrehajtását.
A L’Hospital-féle tétel ugyancsak a klasszikus matematikába tartozik és annak zérusfokú pontossága mellett áll fenn. Vizsgáljuk meg tehát azt a kérdést, vajjon a L’Hospital-féle formula is helytálló marad-e tetszésszerinti kiemeléseknek az esetében.
Tegyük fel ezért, hogy F, f, φ és u mind az x változónak valamely függvénye, a pedig valamely konstáns számérték.
Ebben az esetben, ha a klasszikus matematika felfogása szerint fennállnak az
/32,1/ 0)k(f)k(F =− ,
0a)k( =−ϕ
egyenlőségek, – akkor be kell bizonyítanunk, hogy valóban helytálló és igaz a tetszésszerinti kiemelést tartalmazó, alábbi
/32,2/ [ ][ ] [ ] 'a)x(
')x(u
)x(f
)x(u
)x(F
)x(ulim'a)x(
')x(f)x(Flim
a)x(
)x(f)x(Flim
kxkxkx −ϕ
−
⋅=−ϕ
−=−ϕ
−→→→
egyenlőség is, amelyben u bármilyen függvénye lehet az x változónak.
Mert ha a felírt /32,2/ egyenlőségünk csakugyan helytálló, akkor a L’Hospital-féle formula valóban érvényes bármiféle fajta kiemelésnek a végrehajtása mellett.
Könnyen beláthatók a következő összefüggések:
/32,3/'
'f'F
)'a(
)'fF(
ϕ−=
−ϕ−
,
/32,4/ ( )( ) ,
'u
'ufF
'
'f'F
'u
'uf'uF
'
'f'F
'u
'ufu'f'ufu'F
'a
u
'f
u
F
u
ϕ⋅⋅−−
ϕ−=
=ϕ⋅
⋅−⋅−ϕ−=
ϕ⋅⋅+⋅−⋅−⋅=
−ϕ
−
⋅
ebből pedig a /32,3/ egyenlőségnek az alapján azonnal következik, miszerint egyrészt
85
/32,5/[ ]
[ ] )k('
)k('f)k('F
'a)x(
')x(f)x(Flim
kx ϕ−=
−ϕ−
→
másrészt viszont /32,4/ -nek az értelmében:
/32,6/[ ] [ ]
)k('ku
k'u)k(f)k(F
k'
)k('f)k('F
'a)x(
')x(u
)x(f
)x(u
)x(F
)x(ulimkx ϕ⋅⋅
⋅−−ϕ
−=−ϕ
−
⋅→
,
de miután a /32,1/ alatti egyenlőség szerint 0)k(f)k(F =− , azért a klasszikus matematika zérusfokú pontossága mellett, a /32,5/ és /32,6/ alatti képleteknek az összehasonlítása alapján kimondhatjuk, miszerint a /32,2/ egyenlőség valóban fennáll és igaz.
Fenti levezetésünk élesen rávilágít arra a körülményre, hogy a L’Hospital-féle tétel nem tesz
különbséget f(x) és )x(u
)x(f alakú kivonandó tagok között, amikor x→k esetén ez adott
törtfüggvény számlálója és nevezője megközelíti az érték-nélküliséget, mert /32,6/ -ban a differenciálási műveletnek a szükségességét nem terjeszti ki a törtfüggvényből kiemelt u(x) függvényre. Ezáltal pedig elismeri, hogy a kiemelés révén megváltoztatott törtfüggvénynek ugyanolyan szerepet tulajdonít a határérték-meghatározás terén, mint az eredetileg megadott /kiemelés nélküli/ törtfüggvénynek.
Magától értetődik viszont, hogy mindez csakis zérusfokú pontosságnak a megkövetelése mellett állhat fenn, magasabbfokú pontosságnak az esetében azonban már nem lehet igaz.
Ismételten bizonyítva látjuk tehát azt a tényt, hogy a L’Hospital-féle tétel zérusfokúnál magasabbfokú pontosságú tételnek semmi esetre sem tekinthető.
33.§. Két szám összegének és különbségének szorzata.
Vizsgáljuk meg a klasszikus matematikában gyakorta alkalmazott
/33,1/ 22 ba)ba()ba( −=−⋅+
egyenlőséget, abból a szempontból, hogy amennyiben a benne foglalt különbségeket tényleges különbségeknek tekintjük, helytálló marad-e a /33,1/ formula mint magasabbfokú pontosságú egyenlőség, vagy pedig egyenlőtlenséggé változik-e át.
Jelöljük be e végett a számtorzulási tényezőket. Akkor az egyenlőség – tényleges különbségek esetén – a következő alakot nyeri:
/33,2/ )b(
22b 2Hba)Hba()ba( ⋅−=⋅−⋅+ ,
amely egyenlőség zérusfokú pontosság esetén nyilvánvalóan helytálló, mert a /33,1/ formulába olvad át.
Végezzük számításainkat egyelőre csupán elsőfokú pontossággal. Tegyük fel továbbá, hogy b = a. Ebben az esetben, a megfelelő helyettesítéssel:
86
/33,3/ [ ] )alnØ1(aa)alnØ1(aa)a2( 222 ⋅−⋅−=⋅−⋅−⋅
22 alnaØa)lnaØ()a2( ⋅⋅=⋅⋅⋅ ,
alna2Øalna2Ø 22 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,
amiből kitűnik, hogy a /33,2/ egyenlőség még a kritikus körülmények között is helytálló marad az elsőfokú pontosságnak a keretein belül.
Mindez azonban nem bizonyítja a /33,2/ egyenlőségnek a magasfokú pontosságát, mert – miután a /33,3/ alatti legutolsó egyenlőségünknek mindkét oldalán csak egyetlen számszintre tartozó értékek foglalnak helyet – a speciális esetre vonatkozó /33,3/ egyenlőség is csak zérusfokú pontosságú kifejezés. Azt pedig már a klasszikus matematika is megállapította, hogy a /33,1/ alatti egyenlőség zérusfokú pontosság mellett mindig igaz marad, tehát a /33,3/ formulának is igaznak kell lennie.
Ahhoz, hogy a /33,2/ alatti állításnak a magasfokú pontosságáról, vagy annak ellenkezőjéről meggyőződhessünk, el kell végeznünk az alábbi átalakításokat:
)b(
22b 2Hba)Hba()ba( ⋅−=⋅−⋅+ ,
)b(
22b
2b
22HbaHbHababa ⋅−=⋅−⋅−+ ,
)b(
2b
2b HbHbHabab ⋅−⋅=⋅− ,
)H1(HbH1ab bb2
b −⋅⋅=−⋅ ,
b2 Hbab ⋅= ,
ez az egyenlőség azonban – zérusnál magasabbfokú pontosság mellett – nyilvánvalóan hamisnak bizonyul, még b = a esetében is.
Ebből pedig azonnal következik az a megállapítás, hogy a /33,1/ alatti formula nem vonatkozhatik tényleges különbségekre, ha magasfokú pontossággal számolunk.
Levezetéseink nyomán azt látjuk tehát, hogy a klasszikus matematika formulái korántsem alkalmazkodnak mindig a magasabbfokú pontosságnak a követelményeihez, – hanem ellenkezőleg: a magasfokú egyenlőségeknek az alapján állnak fenn csupán, ha kiértékeljük azokat a zérusfokú pontosságnak a keretein belül.
34.§. A negatív egység.
Az intrazeriális rendszer a negatív számokat is másként kell, hogy értelmezze, mint a klasszikus felfogás, mert mindenkor élesen elhatárolt különbséget kell tennie az összeadandóul vett negatív számok és a ténylegesen kivonandó pozitív számok között.
87
Annál fontosabb ez a megkülönböztetés, mert a „mínusz” jel, vagyis a negatív számok előjele, egyúttal a végrehajtandó kivonási műveleteknek a jelképe is.
A megkülönböztetésnek az első feltétele, hogy pontosan meghatározzuk a negatív egységnek a fogalmát.
Tegyük fel e végett, hogy a legmagasabbfokú intrazeriális pontosság mellett is értéktelennek tekinthető 0 – 0 különbségből ténylegesen kivonjuk a pozitív egységnek az értékét. Akkor, a számtorzulási tényezőnek a bejelölése mellett írhatjuk, miszerint:
1H1)00(1)00( ⋅−−=−− .
Minthogy azonban a /27,3/ formulának az értelmében H1=1, a 0 – 0 jelképet pedig egyszerűen elhagyhatjuk, mégpedig a nélkül, hogy az egyenlőség ezáltal változást szenvedne, azért kimondhatjuk, hogy
/34,1/ 11 −=− .
Ezek szerint tehát nyilvánvaló, hogy a ténylegesen kivonandó pozitív egységgel definiálhatjuk a negatív egységnek a fogalmát.
Ez a definíció azonban csak a negatív egységre nézve helytálló, nem alkalmazható viszont a negatív számokra általánosságban.
35.§. A negatív egységnek mint tényleges kivonandónak a számtorzulási tényezője.
A matematikában a negatív egységnek is értéke van.
Ha tehát –1 tényleges kivonandóként szerepel valamely különbségben, akkor éppen úgy értéktorzulást kell szenvednie, mint bármely más számnak.
A –1 értékű tényleges kivonandóhoz hozzátársuló H-1 számtorzulási tényezőnek a képlete tehát, a /19,11/ egyenlőségnek az értelmében:
/35,1/ Ln(-1)Øø1 e)1(H ⋅−−
− =−= ,
amikor is ln (-1) több-értékű képzetes szám, az
i)1n2()1(Ln π⋅+=−
szorzatnak az értelmében, amelyben n tetszésszerinti egész-szám, vagy 0 – 0 is lehet.
Ebből következik, hogy amennyiben a negatív egységet a negatív egységből ténylegesen kivonjuk, akkor a fennálló különbségnek az értéke:
/35,2/ Ln(-1)Ø11 e1H1H)1()1()1()1( ⋅−
−− +−=+−=⋅−−−=−−− .
Így tehát, elsőfokú pontossággal kiértékelve:
88
/35,3/ Ln(-1)Ø)1()1( ⋅−=−−− ,
amely különbség, a negatív egység logaritmusának a következtében, nyilvánvalóan képzetes szám.
Magától értetődően fennáll egyébként, mint tényleges összeadási művelet, amely mindennemű értéktorzulástól mindenkor mentes marad, a következő formula is:
/35,4/ 00)1(1 −=−+ .
Az intrazeriális matematika felfogásában definiált negatív egységet tehát mindössze a végbemenő értéktorzulások terén kell megkülönböztetnünk a klasszikus matematika negatív egységétől.
36.§. A negatív számok mint szorzatok.
Az intrazeriális rendszer az általános értelemben vett negatív számot, vagyis a –a értéket természetszerűen úgy kell, hogy értelmezze, miszerint az a negatív egységnek és a pozitív a értéknek a szorzatából áll:
/36,1/ a)1(a ⋅−=− .
Ezt a meghatározást valójában úgy kell értenünk, mint egymásután a -szor végbevitt, ismételt tényleges kivonását a pozitív egységnek, valamely adott számértékből, vagy a 0 – 0 különbségből, a /29,1/ alatti egyenlőség szerint. Minthogy pedig a ténylegesen kivont pozitív egység /34,1/ éppen egyenlő a negatív egységgel, azért felfogásunknak az értelmében írhatjuk, hogy
/36,2/
aa)1(a1)00(1...111)00(
a321
−=⋅−=⋅−−=−−−−−∪∪∪∪
.
Rendszerünkben a negatívnak tekintett –a értéket másként értelmeznünk nem szabad.
Könnyen beláthatjuk ennek a tilalomnak a szükségszerű voltát. Mert ha 0 – 0 –ból ténylegesen kivonunk valamely a értékű pozitív számot, akkor a törvényszerű értéktorzulást szenvedett különbség:
aHaa00 ⋅−=−− ,
89
Vagy pedig Taylor-sorral kifejezve:
...!3
)a(lnaØ
!2
)a(lnaØ-alnaØaHa
3322
a +−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+−=⋅−
amiből világosan kitűnik, hogy a 0 – 0 -ból ténylegesen kivont pozitív a szám nem egyetlen negatív számot képez, hanem egy olyan algebrai összeget, amelynek valamennyi tagja más és más számszintre tartozik.
Kivétel csupán a pozitív egység, a /34,1/ formulának az alapján, amely egyetlen számszinten határozza meg a negatív egységnek az értékét.
Mindebből nyilvánvaló, hogy a negatívnak tekintett –a értéket, csakis a /36,1/, illetőleg /36,2/ formulák szerint szabad értelmeznünk, nem pedig azonosnak minősítenünk a tényleges kivonandóként szerepet játszó pozitív a értékkel a számításainkban.
Ebből következik továbbá, hogy valamely ténylegesen kivonandó –a értékhez törvényszerűen hozzátársuló számtorzulási tényezőnek a képlete:
/36,3/ 1aa HHH −− ⋅= ,
a /28,12/ egyenlőségünk szerint.
Magától értetődik viszont, hogy tényleges összeadási művelet esetén, amikor is értéktorzulás nem mehet végbe, a következő formula irányadó
/36,4/ 00)a(a −=−+ .
Ha eltekintünk a tényleges kivonási műveletek alkalmával törvényszerűen végbemenő értéktorzulásoktól, kimondhatjuk ennélfogva, hogy egyébként, vagyis gyakorlati szempontból, az intrazeriális matematika is ugyanúgy kezeli a negatív számokat, mint a klasszikus felfogás.
Mindössze arra kell tekintettel lennünk, miszerint
/36,5/ a)1(a ⋅−=− ,
aHaa ⋅−=− ,
1a HHa)a( −⋅⋅=−− ,
amely formulának a gondos alkalmazása elkerülhetetlenül fontos az intrazeriális rendszernek a gyakorlatában.
37.§. A negatív szám fogalma.
Az intrazeriális matematika felfogása szerint, mindenekelőtt meg kell gondolnunk, hogy a negatív számértékek nem valóságos, hanem elméleti számértékek csupán. Negatív
90
számértékekkel ugyanis – ha nem tévesztjük össze a negatív számnak a fogalmát a tényleges kivonandó számnak a fogalmával, – a természetben, a megnyilvánulások világában sohasem találkozunk.
A köznapi életben, a negatív számfogalom elképzelésének a megkönnyítése céljából a hiány fogalmára szokás hivatkozni, olyképpen, hogy a „hiány” szóval szokás érzékeltetni a „negatív” szónak a jelentését, amennyiben az számokra, mennyiségekre vonatkozik. Ez azonban már alapjában véve téves felfogás. Mert még a hiány is csak pozitív hiány lehet a természetben, és sohasem negatív, ha egyáltalában megnyilvánulásokra vezet.
Elvitathatatlan tény, hogy valamely hegyszakadéknak a felső peremétől mért mélységét a szakadék negatív magasságaként is értelmezhetjük; a hegyszakadék alulról mért magasságát viszont a szakadék negatív mélységével vehetjük egyenlőnek. Valamely m értékű adósságot úgy is felfoghatunk, mint –m értékű, vagyis negatív vagyont; valamely m értékű aktivát ezzel szemben, -m értékű, vagyis negatív passzivaként is értelmezhetünk. Valamely mennyiségnek a csökkenését negatív növekedésnek is tekinthetjük; valamely mennyiségnek a növekedését viszont negatív csökkenésnek. És így tovább. Mindössze szempont kérdése lehet az a körülmény, hogy a természetben előforduló méretek közül melyiket kell pozitívnak tekintenünk, mert a vele ellentétes értelemben felfogott méret azonnal negatív jellegűvé válik. A negatív méret azonban nincs a természetben. Másik szempontból nézve, az utóbbi méret is pozitív. A negatív méreteket, a negatív számokat tehát csak az elmélet hozta létre, az ellentétes szempontok megkülönböztetése céljából.
A matematika elmélete megengedi ennélfogva, hogy a fentebb felsorolt és az azokhoz hasonló összes ellentétpárok akármelyik tagjának a mértékét tetszés szerint fejezzük ki akár pozitív, akár negatív számértékkel, ha ugyanannak az ellentétpárnak az ellentétes értelmű tagjára az ellentétes előjelű és értelmű számokat vonatkoztatjuk.
Tény az is, hogy a valóságban nem hajthatunk végre egy adott számértékből egy nála nagyobb értékű számnak a kivonását. A nyert különbség tehát még az ilyen esetben is csak elméleti számérték lehet, – ha számok alatt ténylegesen fennálló mennyiségeket értünk.
Minthogy azonban – a fenti gondolatmenet alapján – az is csak szempont kérdése, hogy két adott számérték közül melyiket kell pozitív értelemben nagyobbnak tekintetnünk a másiknál, azért bármikor előállhatnak olyan esetek, amikor tényleges kivonási műveletet kell végrehajtanunk úgy, hogy egy nagyobb számot vonunk ki egy kisebből.
Az így nyert különbségeket természetesen negatív számokkal kell kifejeznünk.
Ha pedig megváltoztatott szempontból nézzük a természetben előforduló méreteket, bármikor előadódhatnak olyan esetek is, amikor valamely negatívnak értelmezett számot ténylegesen kell kivonnunk valamely pozitív vagy negatív számértékből.
A ténylegesen végrehajtott kivonási műveletek, a magasabbfokú pontosságú matematikai rendszernek a megállapításai szerint, mindenkor a kivonandó tagnak a törvényszerű értéktorzulásával járnak együtt. Ha tehát a kivonandó tag negatív szám, akkor az illető negatív számnak is értéktorzulást kell szenvednie, a tényleges művelet folyamán. Voltaképpen mindig igaz, hogy a kivonandó negatív számérték egy bizonyos szempontból történő megítélés szerint látszik negatívnak csupán, valójában azonban egy olyan méretet juttat kifejezésre, amely a természetben ténylegesen előfordul. Negatív számnak a kivonása is lehet ezért tényleges értelemben végrehajtott kivonás.
Maga a negatív szám viszont mégis csak elméleti számot képez.
Teljesen logikusnak látszik tehát az a további következtetésünk, hogy valamely efféle „elméleti” számnak a végbemenő értéktorzulása nem lehet reális torzulás, hanem csak képzetes. Hiszen maga az a szám sem „valóságban fennálló érték”, amelynek a torzulása végbemegy az ilyen esetben.
91
Ezt a következtetésünket teljes mértékben igazolja a negatív a számhoz hozzátársuló H-a
számtorzulási tényezőnek a /36,3/ alatt meghatározott képlete, amely /35,1/ szerint: valóban képzetes /komplex/ függvényt juttat kifejezésre.
Ennek alapján meggyőződhetünk arról, hogy bármely negatív számnak a tényleges kivonása mindenkor képzetes /komplex/ különbséget eredményez, ha zérusnál magasabbfokú pontossággal számolunk.
Visszatérve végül arra a fentebb kifejtett gondolatmenetre, amely szerint a számoknak – mint méreteknek – a negatív jellege és előjele mindig a felvett megítélési szempontnak a függvénye csupán, meggyőződhetünk egyúttal arról is, hogy ebben a szempontok szerinti függőségben megint a számok törvényszerű alkalmazkodása nyilvánul meg a matematikában.
Könnyen belátható, hogy feltétlenül szükséges megismernünk a különböző alkalmazkodási törvényeket, ha magasabbfokú pontosságot követelünk meg. Alapvető összefüggések és fogalmak tisztázása csakis ily módon válik lehetővé. A magasfokú pontosságú matematikában éles megkülönböztetéseket kell tennünk, gyakran olyan fogalmakon belül is, amelyeket a klasszikus felfogás nem definiál elég mélyrehatóan ahhoz, hogy azok megfeleljenek a zérusnál magasabbfokú pontosság ésszerű kívánalmainak is.
A klasszikus rendszer megelégedhetik azzal, például, hogy egyetlen fogalomnak – úgymint a „negatív számok” fogalmának – a körén belül csoportosítsa mind a –1 tényezővel szorzott pozitív értékeket, mind pedig a tényleges kivonandókat. Az intrazeriális felfogás viszont szigorú megkülönböztetést követel meg ezen a téren. Jelentékeny mértékben szűkítenünk kellett tehát a negatív számoknak a klasszikus fogalmát. És így tovább.
38.§. Koordinátarendszerek origója és origo-foltja.
Szükségessé válik rendszerünkben az origo fogalmának tisztázása is.
Vegyünk fel ebből a célból egy derékszögű koordinátarendszert, amelynek tengelyein a megnyilvánuló véges számoknak az algebrai sorát tüntetjük fel. Nevezzük ezt a rendszert K rendszernek.
Tegyük fel továbbá, hogy n valamely rendkívül nagy pozitív véges számot képvisel, amelynél nagyobbat szinte még elképzelni sem tudunk.
Magától értetődik, hogy az 1/n törtnek a koordinátarendszerbeli helye és a K rendszer origója között, gyakorlati értelemben különbséget tenni már nem tudunk. Jogosan feltehetjük azonban, hogy megfelelően erős nagyítású mikroszkópnak az igénybevétele mellett még kijelölhetjük az origótól bizonyos távolságra az 1/n értéknek a helyét is a tengelyeken.
Szorozzuk meg ezután a K rendszerben feltüntetett összes értékeket a határozott zérussal. Belátható, hogy ezáltal egy olyan K1 rendszert nyerünk, amely nem más, mint a Ø egységű számszintnek a sajátos koordinátarendszere.
Tegyük fel, hogy sokkalta erősebb nagyítású, elképzelt mikroszkópnak a segítségével, bejelöljük ebben a K1 rendszerben, az origótól bizonyos távolságra, a Ø/n törtnek a helyét is. Bár gyakorlatilag keresztülvihetetlen, pusztán elméleti bejelölésről lehet szó csupán, logikailag mégis magától értetődik, hogy az a távolság, amely a Ø/n értéknek megfelelő pontot választja el az origótól, feltétlenül kisebb annál a K rendszerbeli távolságnál, amely ott az 1/n pont és az origo között mutatkozik.
Szorozzuk meg most K1 rendszernek minden egyes értékét a határozott zérussal. Ebben az esetben egy olyan K2 rendszert nyerünk, amely a Ø2 egységű számszintnek a sajátos koordinátarendszere.
92
Jelöljük be hasonlóképpen, ebben a K2 rendszerben, az origótól ismét bizonyos távolságra, a Ø2/n értéknek a helyét is. Könnyen belátható, hogy az itt megállapítható távolság feltétlenül kisebb az előbb említett távolságoknál.
A határozott zérussal való szorzást tetszésszerinti számban megismételhetjük. Így eljuthatunk végül egy olyan Kn rendszerhez, amely nem egyéb, mint a Øn egységű számszintnek a koordinátarendszere.
Még ebben a rendszerben is bejelölhetjük – legalább is elméletileg, – az origótól bizonyos távolságra, a Øn/n számnak a helyét.
Ennél tovább azonban nem mehetünk.
Tegyük fel, hogy létezik egy olyan η érték, akármilyen elképzelhetetlenül csekély is az, amelyre nézve fennáll, hogy
n
Øn
<η .
Feltétlenül bizonyos, hogy még ennek az η értéknek a helye sem eshetik egybe a Kn+k
koordinátarendszerben az origóval, hiszen η -nak az abszolút értéknélküliségtől megkülönböztethető, sajátos értéke kell, hogy legyen a Kn+k rendszeren belül. Az intrazeriális matematika elmélete azonban még a legmagasabbfokú pontosság mellett sem tudja elhatárolni az η -hoz hasonló, fel nem foghatóan kicsiny abszolút-értékű számoknak a helyét a Kn
koordinátarendszernek az origójától, ha n határozatlanul nagy.
Az efféle, fel nem foghatóan kicsiny abszolút-értékű számoknak a gyűjtőfogalmát képezi a 0 - 0 kifejezés az intrazeriális matematikában.
A Kn rendszerben tehát egy origo körüli „foltot” jelképez a 0 – 0 kifejezés. Derékszögű koordinátarendszerek origójánál ezt a hiper-mikro-foltot kör alakúnak képzelhetjük el. A folton belül, természetesen, pozitív és negatív ηn értékek helyezkednek el. Ezeket az értékeket azonban az intrazeriális matematika már nem különböztetheti meg, sem egymástól, sem az origótól. A 0 – 0 kifejezés ennélfogva bizonytalan és határozatlan értékű jelkép, amelyről csak azt állapíthatjuk meg teljes határozottsággal, hogy az alábbi határok között áll:
/38,1/n
Ø00
n
Ø nn
<−<− ,
ha az n számot a fentebb megadott feltételeink szerint értelmezzük.
A /38,1/ egyenlőtlenségnek az alapján, magától értetődik tehát, hogy a koordinátarendszer mindkét tengelyének okvetlenül át kell haladnia a 0 – 0 kifejezéssel jelölt hiper-mikro-számfoltnak a szimmétriai középpontján. Ennélfogva a két tengely ebben a szimmétriai középpontban metszi egymást, vagyis éppen ott, ahol a szimmétria következtében a rendszernek már egyetlen pozitív és egyetlen negatív értékű pontja sem helyezkedhetik el.
A tengelyek egymást-metszésének a helyét nevezzük origónak.
Ki kell mondanunk, hogy az origónak a helye semmiféle értéket sem jelképezhet a koordinátarendszerben.
Az origo-fogalom tehát az abszolút érték-nélküliséget juttatja kifejezésre, mindenkor a 0 – 0 jelű mikro-számfoltnak a közepén.
Abban az esetben pedig, ha feltesszük, hogy mind a két tengelyt egy-egy olyan egydimenziós egyenes alkotja, amely egyenesek – mint vonalak – homogén elemi pontoknak mindenkor a
93
diszkrét sorozatából állnak, akkor egyben azzal a hipotézissel is élhetünk, miszerint az origo mindig úgy alkalmazkodik a felvett rendszerhez, illetőleg abban mindenkor úgy helyezkedik el, hogy okvetlenül két elemi pont közé kerül. Nyilvánvaló ugyanis, hogy két szomszédos elemi pont között csakis űr lehet – és semmi egyéb, – a homogén pontoknak a diszkrét sorában.
Ez a hipotézis módot ad arra, hogy a koordinátarendszernek, kivétel nélkül, minden egyes pontját valamely értékkel ruházzuk fel. Ugyanakkor azonban az origo mégis abszolútan értéktelen marad. Mert ahol nincs pont a rendszerben, ott pontok által képviselt „érték” sem lehet.
VI.FEJEZET
KLASSZIKUS MATEMATIKAI KÉPLETEK A MAGASFOKÚ PONTOSSÁG MEGVILÁGÍTÁSÁBAN.
39.§. A n)n/11lim( + határérték, ha n→∞.
A /10,1/ egyenlőségnek a kapcsán meggyőződhettünk arról a körülményről, hogy a Taylor-sorok magasfokú pontosságnak a megkövetelése esetén is helytállóak.
Jogosan átalakíthatjuk tehát az ismeretes
/39,1/ ...4
h
3
h
2
h
1
h)h1ln(
432
−+−+−=+ ha 1h1 ≤<− ,
Taylor-sort, a feltételeknek megfelelő h = Ø értéknek a behelyettesítésével, a következő
/39,2/ ...4
Ø
3
Ø
2
Ø
1
Ø)Ø1ln(
432
−+−+−=+
magasfokúan pontos Taylor-sorrá.
94
A megadott feltételeket természetesen az az eset is kielégíti, amikor mØxh ⋅= . Ha pedig ezen az alapon végzünk helyettesítést a /39,1/ formulában, akkor az alábbi egyenlőséghez jutunk el:
/39,3/ ...3
Øx
2
Øx
1
Øx)Øx1ln(
3m32m2mm +−⋅+⋅−⋅=⋅+ ,
feltételezve, hogy x valamely véges számérték.
Ennek az egyenlőségnek az alapján már zérusnál magasabbfokú pontossággal is meg tudjuk határozni a
n
n n
x1lim
+
∞→
klasszikus matematikai határértéket.
Mindenesetre a határozott végtelennel kell számolnunk a bizonytalan ∞ helyett, vagyis fel kell tennünk, hogy n→∞. Az egyszerűség kedvéért pedig tegyük fel továbbá, hogy a /39,3/ alatt
1m ≠ ????. Azután induljunk ki abból az általános érvényű egyenlőségből, amely szerint:
/39,4/ ( ) Ø)xln(1øoØ)x1ln(øo eeØx1øo ⋅+⋅⋅+ ==⋅+ .
Ebből következik, hogy az intrazeriális elv alapján:
/39,5/ ( ) Ø)xln(1øoøon
øoneØx1
n
x1liminz ⋅+⋅
→=⋅+=
+ ,
mint magasfokú pontosságú határérték.
Példaképpen végezzünk ezután helyettesítést az e hatványalapnak az exponensében, a másodfokú pontossággal kiértékelt /39,3/ formulának az alapján, ha m = 1. Ebben az esetben azonnal belátható, miszerint
/39,6/ 222
2
x2
Øx
x2
Øxx
2
Øx
1
Øøo
øo eeeeØ)x1(⋅−⋅−
⋅−⋅
⋅===⋅+ ,
majd a tört-kitevőjű hatványt ismét Taylor-sorral kifejezve /10,1/ szerint, – amely sort azonban példánkban csak az elsőfokú pontosságnak a határáig értékelünk ki, – az alábbi egyenlőséghez jutunk el:
/39,7/2
exØe...x
2
Ø1eeeØ)x1(
x2x2x
x2
Øxøo
2
⋅⋅−=
+⋅−⋅=⋅=⋅+
⋅− .
Végül, az így nyert eredményünket egybevetve a /39,5/ alatti egyenlőséggel, máris kimondhatjuk, hogy az elsőfokú pontosságnak a keretein belül:
95
/39,8/2
exØe
n
x1liminz
x2x
n
øon⋅⋅−=
+
→ .
Eljutottunk ezzel feladatunknak a megoldásához.
Vizsgáljuk meg ezek után azt az esetet is, amikor x = 1 . Ez a határérték /39,8/ alapján azonnal felírható.
/39,9/ e2
Øe
n
11liminz
n
øon⋅−=
+
→ ,
ebből pedig nyilvánvalóan kitűnik, hogy a klasszikus matematikai
en
11lim
n
øon=
+
→
határérték-meghatározás valóban csak zérusfokú pontosságú kifejezés.
Hasonlóképpen, a fenti eljárás szerint, könnyen levezethető továbbá, hogy például negyedfokú pontossággal meghatározva:
/39,10/
,348
x
24
x
72
x13
5
xeØ
48
x
6
x
4
xe0
8
x
3
xeØ
2
xeØe
n
x1liminz
8765x4
654x3
43x2
2xx
n
øon
+++⋅⋅+
+
++⋅⋅−
+⋅⋅+
+⋅⋅−=
+
→
Fent levezetett megoldásaink teljes mértékben megvilágítják a felvetett problémát.
40.§. Az e szám magasfokú pontosságú meghatározása.
A klasszikus matematikában a természetes logaritmusrendszernek az alapszámát általában kétféleképpen szokás meghatározni. Az egyik verzió szerint, az
/40,1/ ...!3
)a(lnx
!2
)a(lnx
!1
alnx1a
3322x +⋅+⋅+⋅+=
Maclaurin-féle sornak az alapján, abban helyettesítést végezve a = e és x = 1 szerint, a zérusfokú pontosságnak a keretein belül, az
/40,2/ ...!3
1
!2
1
!1
11e ++++=
96
meghatározást nyerjük.
A másik verzióban pedig, ugyancsak zérusfokú pontosság mellett:
/40,3/n
øon n
11lime
+=
→
Ez a kétféle meghatározás valóban csak zérusfokú pontosságnak a megkövetelése mellett lehet egyenlőnek tekinthető.
Mert ha a /40,3/ határértéket csak elsőfokú pontossággal is határozzuk meg, akkor /39,9/ alapján nyilvánvaló, miszerint
/40,4/
−⋅=
+
→ 2
Ø1e
n
11liminz
n
øon ,
ebből pedig azonnal következik, hogy a /40,3/ nem lehet magasfokúan pontos meghatározása a természetes logaritmusrendszer alapszámának.
Másrészt pedig, a /15,1/ egyenlőséghez fűzött megoldásainkból az a további megállapításunk válik nyilvánvalóvá, hogy a /40,2/ alatti sort sem tekinthetjük magasfokúan pontos meghatározásnak, ha a sor csak olyan hosszú, hogy tagjai megszámlálhatók.
Valamely megállapodásra van szükségünk tehát az e számnak a magasfokúan pontos értékét illetően, ha a természetes logaritmusrendszert valóban fenn akarjuk tartani az intrazeriális matematikában. Ez a megállapodás természetesen nem lehet más, mint a
/40,5/ 1eln =
egyenlőségnek a feltételezése.
Ha viszont helyettesítést végzünk /40,1/ alatt a magasfokúan pontosnak feltételezett /40,5/ egyenlőség szerint, akkor a /40,2/ alatti sor azonnal magasfokúan pontos kifejezéssé válik. Ez pedig a /15,1/ alapján: nem lehetséges, ha a /15,1/ sornak csak megszámlálható számú tagját vesszük tekintetbe. Határtalanul hosszú sort viszont, abban minden egyes tagot külön-külön feltüntetve és összevonva, gyakorlatilag nem írhatunk fel.
Megállapodásunk ennélfogva csupán a /40,5/ egyenlőségre vonatkozik, a magasfokú pontosságnak a keretein belül.
Kimondhatjuk végül tehát, hogy az e szám valóban „transzcendens” szám, amelynek magasfokúan pontos értékét meghatározni nem áll módunkban.
41.§. Zeriálisan kicsiny tagok végtelen-fokú hatványai.
Belátható, hogy zeriálisan kicsiny tagokat is tartalmazó összegeknek a øo fokú hatványát – az eddig rendelkezésre álló eljárások alkalmazásával – csakis akkor határozhatjuk meg, ha a hatványalap a zérusfokú pontosságnak a keretein belül a pozitív egységgel tekinthető egyenlőnek.
Az efféle feladatokat viszont egészen könnyen oldhatjuk meg az intrazeriális matematikának a segítségével.
97
Tegyük fel például, hogy legyen meghatározandó az
/41,1/ An
1xliminz
n
n
1
øon=
+
→
intrazeriális határérték, amelyben a hatványalap zeriálisan kicsiny tagokat is tartalmaz, a pozitív egységen kívül.
Zérusfokú pontosság mellett, azonban az intrazeriális rendszernek a felfogása szerint, az elsőfokúan pontos /11,1/ és a zérusfokú pontosságú /15,3/ alatti formuláknak a felhasználásával, a feladat könnyen megoldható:
/41,1’/( ) ( )[ ] ( )[ ]
,exe
Ø1xln1ØxlnØ1ØxA
1xln
øoøoøoø
==
=⋅++=+⋅+=+=+
mégpedig a klasszikus határértékszámításnak a teljes mellőzése mellett.
2. példa.
Legyen meghatározandó, ugyancsak zérusfokú pontosságnak a megkövetelésével, a következő határérték:
/41,2/ B1yxliminz
n
n
1
n
1
øon=
−+
→ .
Ugyanazzal az eljárással, mint az előző példában:
/41,2’/( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
.xye
Øylnxln11ylnØ1xlnØ11yxB
ylnxln
øoøoøø
==
=⋅++=−⋅++⋅+=−+=+
3. példa.
Ugyancsak zérusfokú pontosságnak a megkívánása mellett, oldjuk meg a z változóra az alábbi egyenletet:
/41,3/ 3zyx øøø =++ .
Ha az egyenletet előbb átrendezzük a
/41,4/ øøø yx3z −−=
alakra, majd mindkét oldalát øo fokú hatványra emeljük, akkor nyerjük, hogy
98
/41,5/ ( )øoøø yx3z −−= .
Az egyenlet megoldásánál az előző két példában követett eljárást alkalmazván:
/41,6/( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ] ,yx
1eØylnxln1
ylnØ1xlnØ13yx3z
ylnxlnøo
øoøoøø
⋅==⋅−−+=
=⋅+−⋅+−=−−=
−−
Erre az utóbbi példára később még visszatérünk. /56.§./
42.§. A iØ1z ⋅+= komplex számnak a logaritmusa.
Tegyük fel, hogy legyen meghatározandó a
iØ1z ⋅+=
két számszintre tartozó komplex számnak a logaritmusa.
Ha a /39,3/ formulában helyettesítést végzünk x = i és m = 1 értelemben, akkor nyerjük, miszerint:
( ) ...6
iØ
5
iØ
4
iØ
3
iØ
2
iØ
1
i0iØ1ln
6655443322
−+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=⋅+
Ez a sor i -nek a hatványai szerint átalakítható az alábbi módon:
( ) ...7
iØ
6
Ø
5
iØ
4
Ø
3
iØ
2
Ø
1
i0iØ1ln
765432
−⋅−+⋅+−⋅−+⋅=⋅+ .
Ezt az utóbbi sort viszont két sornak az összegére bonthatjuk fel a következőképpen:
/42,1/ ( )
+⋅−⋅+⋅−⋅+
+−+−=⋅+ ...
7
iØ
5
iØ
3
iØ
1
iØ...
8
Ø
6
Ø
4
Ø
2
ØiØ1ln
7538642
Meg kell gondolnunk továbbá, hogy tudvalevően
/42,2/ ...7
x
5
x
3
x
1
xxtgarc
753
+−+−= ,
ha pedig a /39,3/ egyenlőségbe behelyettesítjük az x = 1 és m = 2 értékeket, akkor
99
/42,3/ ( ) ...4
Ø
3
Ø
2
Ø
1
ØØ1ln
86422 +−+−=+ .
Mármost, ha a /42,2/ formulában x helyett Ø -t írunk, majd az így nyert egyenlőséget megszorozzuk i -vel, a /42,3/ egyenlőséget viszont 2 -vel osztjuk, akkor az alábbi egyenlőséghez jutunk:
/42,4/ ...7
i0
5
i0
3
i0
1
iØØtgarci
753
+⋅−⋅+⋅−⋅=⋅ ,
/42,5/ ...8
Ø
6
Ø
4
Ø
2
Ø
2
)Ø1ln( 86422
+−+−=+ .
Végül a /42,4/ és /42,5/ formulákat a /42,1/ képletbe helyettesítve, nyerjük feladatunknak a megoldását:
/42,6/ ( ) ( )Øtgarci
2
Ø1lniØ1ln
2
⋅++=⋅+ .
43.§. Binomiális együtthatók speciális sora.
A határozott zérusnak az n -edrendű binomiális együtthatóját – mint tudvalévő – az alábbi formulával határozhatjuk meg:
/43,1/( ) ( ) ( ) ( )
n...4321
1n-Ø...3-Ø2-Ø1-ØØn
Ø
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=
.
A binomiális hatvány képlete szerint pedig:
/43,2/ ( ) ...x3
Øx
2
Øx
1
Ø1x1 32ø +⋅
+⋅
+⋅
+=+ .
Minthogy a /43,2/ formula feltétlenül érvényben van x = 1 esetén, azért helyettesíthetjük benne x -et ilyen értelemben. Ebben az esetben nyerjük, hogy
/43,3/ ...3
Ø
2
Ø
1
Ø12ø +
+
+
+= .
Fejezzük ki a 2ø hatványt a /10,1/ képlet szerint. Az így nyert sort pedig vessük egybe a /43,3/ formulával. Ilyenformán a következő érdekes megállapításhoz jutunk el:
100
/43,4/ ...!3
)2(lnØ
!2
)2(lnØ2lnØ...
4
Ø
3
Ø
2
Ø
1
Ø 3322
+⋅+⋅+⋅=+
+
+
+
.
Ez az intrazeriális egyenlőség főleg azért figyelemreméltó, mert a határozott zérus különböző fokú hatványait tartalmazó sornak a tetszésszerinti tagjánál történő megszakítása: a binomiális együtthatókból képezett sornak a megfelelő fokú pontosságú kiértékelését is jelenti egyúttal, határtalan volta ellenére.
44.§. Zeriálisan kicsiny gniometriai függvények.
A 0 – 0 jelképnek a természeténél fogva, az intrazeriális rendszer legmagasabbfokú pontossága mellett is kimondhatjuk, miszerint:
/44,1/ 0000sin −=− ,
/44,2/ 100cos =− .
Ezzel szemben azonban, ha n valamely megnyilvánuló /véges/ számérték, akkor a megfelelő Taylor-soroknak az értelmében:
/44,3/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...
!9
Øn
!7
Øn
!5
Øn
!3
Øn-ØnØnsin
9753
−⋅+⋅−⋅+⋅⋅=⋅ ,
/44,4/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...
!8
Øn
!6
Øn
!4
Øn
!2
Øn1Øncos
8642
−⋅+⋅−⋅+⋅−=⋅ .
Ebből következik továbbá, hogy például n = 1 esetén:
/44,5/ ...!9
Ø7936
!7
Ø272
!5
Ø16
!3
Ø2ØØtg
9753
+⋅+⋅+⋅+⋅+= ,
/44,6/ ...945
Ø2
45
Ø
3
Ø-øoØgcot
53
−⋅−−= .
Tegyük fel példaképpen, hogy legyen meghatározandó az alábbi
Gx
xtg3
1xsin
3
2x
liminz5Øx
=⋅−⋅−
→
intrazeriális határérték.
Ebben az esetben, egyszerű behelyettesítések kapcsán:
101
,20
1
360
18
Ø!53
Ø18
Ø!53
Ø16
!33
Ø2
3
Ø
!53
Ø2
!33
Ø2
3
Ø2-Ø
Ø
!5
Ø16
!3
Ø2Ø
3
1
!5
Ø
!3
Ø-Ø
3
2-Ø
G
5
5
5
5353
5
5353
−=−=⋅⋅
⋅−=
=⋅⋅−
⋅⋅−−
⋅⋅−
⋅⋅+⋅
=
=
⋅+⋅+⋅−
+⋅
=
az ötödfokú műveletnek megfelelően ötödfokú pontossággal kiértékelt /44,3/ és /44,5/ alatti soroknak az alkalmazásával.
45.§. Kooperatív koordinátarendszerek.
Vegyünk fel egy euklideszi síkban fekvő, derékszögű, xy tengelyű koordinátarendszert, amelynek tengelyein a véges számok sorakoznak fel, origóját pedig – mint a 0 – 0 értékű mikro-számfoltnak a helyét /38.§./ – a 0 – 0 kifejezéssel jelöljük.
Tegyük fel továbbá, hogy ebben a rendszerben az
n
øo
n
vliminz
øov=
→
határértéknek mint számértéknek a helyét kívánjuk meghatározni mindkét tengelyen, valamely véges n számnak a feltételezése mellett.
Azonnal belátható, hogy ez nemcsak gyakorlatilag, hanem elméleti szempontból is lehetetlen. Akármilyen nagy véges-értéket is tulajdonítunk n -nek, a øo/n nagyságrendi számoknak okvetlenül a véges koordinátarendszer legtávolabbi perifériáján túl, – mérhetetlenül távol, sőt végtelenül-nagy messzeségben – kell elhelyezkedniök a tengelyeken. A felvett rendszert semmiesetre, még elvileg sem terjeszthetjük ki olyan mértékben, hogy lehetővé tegye az efféle ábrázolást. Belátható, hogy valóban még elvi értelemben sem beszélhetünk ez euklideszi síknak a végtelenbe való kiterjesztéséről, mert akkor a síkban fekvő összes párhuzamos egyeneseknek ott már érintkezniök kellene. Ennélfogva tehát még abban az esetben sem ábrázolhatnók a øo/n számot a felvett rendszerünkben, ha nem számolnánk azzal a körülménnyel, hogy a øo/n szám másik számszintre tartozik, mint amely számszintre felépítettük a koordinátarendszerünket.
A felvett rendszerben a øo/n jellegű és nagyságrendű számoknak nincs és nem is lehet helyük, mert magasabb szintre tartoznak, mint maga a rendszer, amelynek az egysége a véges 1.
Meg kell gondolnunk azonban, hogy egymással szomszédos számszinteknek közös koordinátarendszerbe való foglalása nemcsak akkor lehetetlenség, ha a növekedő számok irányában vett legközelebbi számszintet próbáljuk egyesíteni egy megadott koordinátarendszerünkkel, hanem akkor is, ha ellenkező irányban, vagyis az ellenkező értelemben legközelebbi számszintet próbáljuk belefoglalni a megadott rendszerünkbe.
Nevezzük egyelőre a felvett és véges-egységű rendszerünket K0 rendszernek, a øo egységű számszintnek pedig a véges számoktól független koordinátarendszerét K1 rendszernek.
102
Ha feltételeznők, hogy a végtelenül-nagy számoknak ebben a K1 rendszerében a közvetlenül alacsonyabb rendű számszintre tartozó, tehát véges értékű a és b számok is benne foglaltatnak, akkor – szigorúan logikai alapon, vagyis a kölcsönösségnek a következtében – máris meg kellene követelnünk, hogy a véges értékek K0 rendszerében a végetlenül-nagy számoknak is határozott helyük legyen. Ez utóbbi követelmény azonban, – mint fentebb már kimutattuk, – teljes lehetetlenség, mind elvi, mind gyakorlati értelemben. Ki kell mondanunk tehát, hogy a K1
rendszerben nincsenek meg és nem is lehetnek jelenlévők a K0 rendszerbe tartozó számok. Ennek a meggondolásnak az analógiájára pedig azonnal kimondhatjuk egyúttal azt is, hogy a Ø egységű számszintnek a K-1 koordinátarendszerébe tartozó zeriálisan kicsiny számok éppen így nincsenek és nem is lehetnek jelen a véges számoknak a K0 rendszerében.
Minden számszintnek megvan tehát a maga sajátos koordináta rendszere, ezek a koordinátarendszerek viszont egymással nem egyesíthetők.
Ez olyan megállapítás, amelynek a helyességét nemcsak logikai érvek alapján, hanem tapasztalati úton szerzett meggyőződésünk szerint is, feltétlenül be kell látnunk és el kell ismernünk.
A véges koordinátarendszerben valóban nincsenek jelen a végtelenül-nagy számok helyei. A øo egységű rendszerből ennélfogva, a puszta kölcsönösségnek a következtében, hiányoznia kell minden véges értékű számnak. Ha pedig mindkét rendszernek az értékeit megszorozzuk a határozott zérussal, akkor a øo egységú rendszerből véges rendszert nyerünk, a véges rendszer pedig Ø egységű rendszerré változik át. Ilyenformán mindössze egy véges rendszer áll előttünk és egy Ø egységű rendszer csatlakozik hozzá. Továbbra is fennáll azonban az a követelmény, hogy a magasabb rendű rendszerben a nála alacsonyabb rendű rendszerbe tartozó számok ne lehessen(ek) jelen, és viszont. A véges koordinátarendszerben tehát nincsenek meg és nem is lehetnek jelenlévők a Ø egységű rendszerbe tartozó értékek.
Mégis beszélhetünk kooperatív koordinátarendszerekről.
Mert nem tagadható, hogy bármilyen egységű koordinátarendszert is veszünk fel, minden esetben fennáll egy olyan látszólagos összefüggés, amely úgy tünteti fel, „mintha” a felvett rendszerben a nála alacsonyabb rendű összes számszinteknek a hasonló elhelyezésű és ugyanolyan értelmű koordinátarendszerei is egyúttal bennefoglaltatnának, egyetlen közös origóval.
Valamely øop egységű számszintre tartozó Kp koordinátarendszer tehát – látszólagosan – mindenkor felöleli a øop-r egységű számszintekre tartozó összes számokat, (r =1,2,3,…). Ez a látszat pedig egyértelmű azzal a feltevéssel, hogy a Kp rendszer és a nála alacsonyabb rendű Kp-r
rendszerek szabályszerűen együttműködnek.
Ugyanakkor azonban a Kp rendszer és a nála magasabb rendű Kp+r rendszerek már nem tekinthetők kooperatív rendszereknek.
Mindezt egyszerű matematikai összefüggésekkel bizonyíthatjuk.
Tegyük fel, hogy egy véges egységű xy koordinátarendszert veszünk fel alapul, amelyet a komplex számok számsíkjaként értelmezünk. Tapasztalati tény, hogy ha ebben a rendszerben a
iyxz ⋅+=
komplex számot kívánjuk kifejezni, akkor a
)sini(cosz ω⋅+ω⋅ϑ=
103
egyenlőséget még abban az esetben is helytállónak ismerhetjük el, ha x -et vagy y -t valamely zeriálisan kicsiny értékben adjuk meg. Annak ellenére, hogy a zeriálisan kicsiny értékek nem tartoznak a véges rendszerünkbe, hanem valamely alacsonyabb rendű számszinten van helyük.
Így például, ha az alábbi komplex számot vizsgáljuk:
iØ1z ⋅+= ,
akkor fennállóknak tekinthetők a következő egyenlőségek:
1x = ,
Øy = ,
222 Ø1yx +=+=ϑ ,
Øtgarcx
ytgarc ==ω ,
minélfogva a véges egységű koordinátarendszerben:
/45,1/ Øtgarci2 eØ1)sini(cosz ⋅⋅+=ω⋅+ω⋅ϑ=
Véges koordinátarendszerünk tehát együttműködött, példánk levezetése során, a Ø egységű rendszerrel, olyanformán, mintha a Ø egységű rendszer valóban benne foglaltatott volna a véges rendszerben.
Állításainknak a helyességéről azonnal meggyőződhetünk ugyanis, ha a /45,1/ egyenlőséget logaritmáljuk. Mert ebben az esetben ugyanaz az egyenlőség áll előttünk, amelyet fentebb – egészen más úton – már meghatároztunk egyszer /42,6/ alatt:
( )Øtgarci
2
Ø1lnzln
2
⋅++= .
Az Ln z kifejezésnek – a i2π modulus szerinti periodicitásából fakadó – több-értékűsége: a legkevésbé sem befolyásolja a fenti megállapításainknak a helyességét.
Az efféle megegyezések bizonyítják, hogy egymástól független számszinteknek a koordinátarendszerei együttműködnek olyképpen, mintha az alacsonyabb rangú rendszerek valóban bennefoglaltatnának a náluk magasabb rangú rendszerekben.
Mindenesetre meg kell gondolnunk, hogy a példánkban felvett iØ1z ⋅+= számnak az abszolút-értéke, vagyis a ϑ érték, valójában nem egyéb az alapul vett véges egységű rendszerben, mint a komplex-számsíkbeli z pontnak a rendszer origójától, vagyis a 0 – 0 mikro-számfolttól mért egyszerű távolsága. Ezt a távolságot egy egyenessel juttathatjuk kifejezésre a véges egységű koordinátarendszerünkben. Fenti érveink alapján, bizonyítottnak vehetjük, hogy a véges egységű rendszerben a Ø, Ø2, Ø4, stb. egységű számszintekre tartozó értékek nincsenek
104
meg és nem is lehetnek jelen. Levezetett példánkban azonban a ϑ értéket mégis úgy értelmezhettük, mintha a
...8
Ø
2
Ø1Ø1
422 +−+=+=ϑ
egyenlőségnek az értelmében, a ϑ távolság voltaképpen különböző és egymástól független számszintekre tartozó összetevő-értékeknek az összegéből állna. A zeriálisan kicsiny értékeket tehát – „mintegy” – ugyanabban a koordinátarendszerben mértük fel elvileg, mint amelyben a megnyilvánuló véges egységet!
Ezzel szemben, azonnal belátható viszont, hogy ha példaképpen felvesszük a
/45,2/ iøo1'z ⋅+=
/ugyancsak két számszintre tartozó/ komplex számot, akkor annak abszolút-értéke:
...8
øo
2
øo1øo1'z
422 +−+=+=
a véges egységű koordinátarendszerben mint távolság fel nem mérhető, sőt elképzelhetetlen. Belátható továbbá, hogy a z’ számnak az argumentuma:
øotgarc'zarc =
nem is határozható meg a véges-egységű számszinten. Mert ha øo -t valóban határozott és konstáns értéknek tekintjük, akkor magasabbfokú pontosság mellett, /71,1/ alapján:
/45,3/2
øotgarcπ≠ .
Nyilvánvaló ezért, hogy egy olyan /45,2/ komplex számnak az esetében, amelynek az egyik összetevője véges, a másik pedig végtelenül-nagy számértéket foglal magában, a véges-egységű komplex számsík már nem felel meg a rendeltetésének.
Két vagy több, különböző számszintre tartozó koordinátarendszernek az együttműködése tehát – ha a szerepet játszó számszintek magasabb rangúak, mint amilyen az alapul felvett koordinátarendszernek a rangja – teljesen kizárt.
A fenti érveinkből levonható következtetések értelmében, kimondhatjuk ennélfogva, hogy bármely adott koordinátarendszert úgy szabad felfognunk, „mintha” az adott rendszer nemcsak a saját számtartományát zárná magába, hanem a nála alacsonyabb rendű összes számszinteket, valamint azok számtartományát is, egységes értelemben felölelné. – Az adottnál magasabb rendű számszintekre vonatkozólag azonban ez a lehetőség már nem áll fenn.
46.§. A határozott zérus logaritmusa.
105
A természetes logaritmusrendszer alapvető törvényeiből következik az az intrazeriális pontosságú megállapítás, miszerint:
/46,1/ ØlneØ = .
Hasonlóképpen
/46,2/ øolneøo = .
A /46,2/ egyenlőségnek az értelmében viszont nyilvánvaló, hogy
/46,3/ øolnøoln
ee
1
øo
1Ø −=== .
Egybevetve ezt a /46,1/ egyenlőséggel:
/46,4/ øolnlnØ eeØ −==
Ebből pedig azonnal következik az alábbi megállapítás:
/46,5/ øo-lnØln = ,
amivel – legalább is elvben – meghatároztuk a határozott zérusnak a logaritmusát.
Továbbra is problematikus marad azonban, hogy valójában milyen fogalmat alkothatunk magunknak a végtelenül-nagy øo értéknek a logaritmusáról.
A természet úgy alkotta meg az emberi elmét, hogy az csak a véges méreteket és így csak a véges számok értékeit tudja felfogni és elképzelni.
De még felfogás és elképzelés között is különbséget kell tennünk. Mert a felfogási-, vagyis a gondolkozó-készség sokkal tágabb hatókörű, mint a tudatosan alkalmazott elképzelő erő. Akármilyen nagy méretű véges számról is legyen szó, az emberi gondolkodás tiszta fogalmat tud alkotni az illető számnak az értékéről, ha a szám valamely aritmetikai képlettel kifejezhető. Így például teljesen világos és tiszta fogalmunk lehet a kvintilliónak mint számnak az értékéről. Ezzel szemben azonban a kvintilliónak a gyakorlati értelemben vett értékét még a legnagyobb igyekezettel és még csak megközelítően sem tudjuk elképzelni.
Az emberi képzelő-erő nemcsak a sokjegyű számok esetében bizonyul elégtelennek, úgyhogy képtelen megbirkózni az adott feladattal, hanem már kétjegyű számok gyakorlati értékének a szándékos elképzelésénél is bizonytalanságba téved. Tény, hogy el tudunk képzelni két egymással marakodó kutyát, vagy hármat, de ha például hetvenkilenc egymással küzdő kutyát akarunk elképzelni, akkor képzeletünk a kutyáknak már csak bizonytalan nagyságú sokaságát vetíti elénk.
Nyilvánvaló ezek szerint, hogy képzeltünk nem lehet alkalmas valamely végtelenül-nagy számértéknek az elképzelésére. De még gondolkodásunk sem alkalmas erre, mert nincsenek tapasztalatok alapján alkotott fogalmaink, amelyekkel összehasonlításokat tehetnénk ezen a téren.
106
Teljes mértékben le kell mondanunk ezért arról, hogy elképzeljük a határozott végtelent, sőt arról is le kell tennünk, hogy akár csak megközelítő fogalmat is alkothassunk magunknak róla. Még kevésbé lehetséges tehát, hogy felfoghassuk és megérthessük, mit jelent, milyen méretekre kiterjedő értéket képvisel ennek a számnak a logaritmusa.
Mindez azonban nem zárja ki azt a tényt, hogy mint jelképpel, számításokat végezhessünk a ln øo kifejezéssel is. A /46,2/ egyenlőséggel pontosan definiáltuk a jelentését. Ez pedig már elegendő arra, hogy határozott és konstáns értéket tulajdonítsunk a ln øo kifejezésnek.
47.§. A határozott zérusnak a ln øo fokú gyöke.
A ln øo jelképnek a gyakorlati alkalmazása terén, példaképpen tegyük fel, hogy meg kell határoznunk a
øoln Ø
gyökkifejezésnek az értékét.
Miután nyilvánvaló, miszerint
( ) ( ) øoln11øoln-1 eeøoØ −− === ,
azért számolnunk kell a
( ) øoln-1eØ =
egyenlőséggel. Ha pedig ebből az egyenlőségből gyököt vonunk, akkor máris feladatunknak a megoldásához jutunk el:
/47,1/ ( )e
1eØ øoln øoln1-øoln == .
A határozott zérusnak az 1/lnøo fokú hatványa tehát reális értéket képvisel, a véges számszinten.
48.§. A Øø hatvány.
A klasszikus matematika felfogása szerint:
1n
1lim
n
1
øon=
→ .
107
Ha valóban magasfokúan pontos volna ez az egyenlőség, akkor meg kellene maradnia egyenlőségnek abban az esetben is, ha mindkét oldalát n fokú hatványra emeljük. Ezzel szemben nyilvánvaló, hogy a hatványozás után, ha n→∞, a következő egyenlőtlenség áll elő:
n
n
n
n
1
n1lim
n
1lim
∞→∞→≠
,
ez a körülmény pedig azonnal rámutat arra, hogy a klasszikus matematika által meghatározott fenti határérték csak zérusfokú pontosságnak a megkövetelése esetében állhat fenn.
Az intrazeriális matematika felfogásában viszont, Taylor-sorral, vagyis magasfokú pontossággal kifejezve:
/48,1/( ) ( )
...!3
lnøoØ
!2
lnøoØ
1!
øolnØ1Ø
32ø +⋅−⋅+⋅−= .
Ez az egyenlőség egyrészt világosan arra vall ismét, hogy a ln øo kifejezésnek határozott és állandó értéket kell tulajdonítanunk valóban, – másrészt pedig határozottan kimondja, hogy abban a határozott zérusnak a ln øo értékkel képezett szorzata nem lehet egyenlő valamely véges értékű k számmal, vagyis hogy
/48,2/ køolnØ ≠⋅ ;
mert ha fennállhatna a køolnØ =⋅ egyenlőség, akkor a /48,1/ alatti Taylor-sornak az összegzett értéke e-k hatvánnyal lenne egyenlő, nem pedig Øø -val. Minthogy pedig zérusfokú pontosság mellett Øø=1, azért ugyancsak a /48,1/ egyenlőségből következik, hogy zérusfokú pontossággal kiértékelve:
/48,3/ 0øolnØ =⋅ .
Helyettesítsünk be Ø = 1/øo szerint. Akkor /48,3/ -ból:
/48,4/ 0øo
øoln = ;
ezt az értékviszonyt – mint nagyságrendi viszonyt – egyébként a klasszikus matematika is bizonyítja, a
/48,5/ 0n
nlnlimn
=∞→
határértékkel. Ebből pedig azonnal következik, hogy ln øo nem lehet valamely végtelenül-nagy szám, amely a øo egységű számszintre tartozik, vagy még annál is feljebb.
108
Ámde ugyancsak a klasszikus matematika bizonyítja, valamely véges értékű k számnak az esetére, a
/48,6/ 0nln
klimn
=∞→
határértéknek a fennállását is. Ez viszont azt az állítást foglalja magában, hogy az ln øo érték mégis a végtelenül-nagy számoknak a régiójába tartozik.
Nyilvánvaló ellentmondással találkozunk tehát a kétféle állítás terén, ha a /48,5/ és /48,6/ alatti határértékeket az intrazeriális felfogásnak az értelmében vesszük szemügyre.
A továbbiakban /50.§./ ki fogjuk mutatni, hogy ez az ellentmondás a ln øo számnak az irreális voltából fakad.
49.§. Az (m ٠øo) + n összeg logaritmusa.
Feltéve, hogy m és n véges számértékek, az nøom +⋅ összegnek a logaritmusát a következőképpen határozhatjuk meg.
Taylor-sorral kifejezve, mint a klasszikus matematikából ismeretes:
/49,1/ ...x4
h
x3
h
x2
h
x
hxln)hxln(
4
4
3
3
2
2
+⋅
−⋅
+⋅
−+=+ ,
illetőleg a sor nem kívánt tagjainak az összevonása esetén:
/49,2/ 2Rx
hxln)hxln( ++=+ .
Mármost, ha helyettesítést végzünk øomx ⋅= és h = n szerint, akkor a /49,2/ formulának az értelmében:
2RØm
nmlnøolnn)øomln( +⋅++=+⋅ ,
minthogy azonban elsőfokú pontosságnak a megkövetelése estén az R2 tag már nem jöhet számításba, azért kimondhatjuk, hogy elsőfokú pontossággal meghatározva:
/49,3/ Øm
nmlnlnøon)øomln( ⋅++=+⋅ .
Így például, a /49,3/ és /46,5/ formuláknak az alkalmazásával, írhatjuk miszerint
[ ]
.bØ)bøoln(øoøo)(-lnøo
b)ln(øoøoØlnøob)(øoØlnøox
bxlnxliminz
øox
=⋅+⋅+⋅=
=+⋅+⋅=+⋅⋅=+⋅→
109
50.§. Az ln øo mint ireális szám.
Követendő gondolatmenetünknek az előzetes megvilágítása céljából, mindenekelőtt vegyünk fel két számtartományt, legyen az egyik A, a másik pedig B tartomány. Tegyük fel továbbá, hogy mindkét tartománynak megvan a maga sajátos egysége, ezek azonban nem egyenlők. Legyen A -nak az egysége a, B -nek az egysége b, a kétféle egység között fennálló viszonyt a
/50,1/ kab ⋅=
egyenlőség fejezze ki.
Azonnal felírhatjuk az alábbi összefüggést:
/50,2/ b:k
bka:ab:a =⋅= .
Vizsgáljuk meg a helyzetet először úgy, hogy szemszögünk legyen az A tartományban, amelyben a az egység, tehát a = 1. Akkor /50,2/ szerint, a megfelelő helyettesítéssel, kimondhatjuk, hogy
/50,3/ k:1b:1 = ,
vagyis az A tartományból nézve b = k.
Vizsgáljuk a helyzetet azután olyképpen, hogy szemszögünk legyen a B tartományban, amelyben b az egység, és így b = 1. Ebben az esetben, ugyancsak /50,2/ szerint, az újabb értelmű helyettesítés után, a következő egyenlőséget nyerjük:
/50,4/ 1:k
11:a = ,
vagyis a B tartományból szemlélve a = 1/k.
Tekintsük ezekután az A tartományt a véges egységű számszintnek, amelyben a = 1, a B tartományt pedig a øo egységű szintnek, amelyben b = øo. Akkor /50,1/ alapján nyilvánvaló, hogy k = øo.
A fenti gondolatmenetünk értelmében máris kimondhatjuk tehát, hogy a véges egységű A tartományból nézve: øob = . Ezzel szemben viszont, a øo egységű B tartományból szemlélve a helyzetet: Øøo/1a == . Ezt bizonyítják az /50,3/ és /50,4/ alatti – különböző szempontú – egyenlőségek.
Emeljük ezekután az /50,2/ egyenlőséget n fokú hatványra:
/50,5/ nn
nnnnnn b:
k
bka:ab:a =⋅= .
110
Belátható, hogy amennyiben az A tartományban a -t tekintjük egységnek, akkor az egységre vonatkozó 1n=1 szabály, illetőleg törvény: az n fokú hatványra emelt /50,3/ egyenlőségben érvényesül:
/50,6/ nn k:1b:1 = ;
ha pedig a B tartományban b -t minősítjük egységnek, akkor ugyanez az egységre vonatkozó törvény – változatlanul! – az /50,4/ alatti egyenlőségben jut érvényre:
/50,7/ 1:k
11:a
nn = .
Nyilvánvaló, hogy az /50,2/ egyenlőséggel kapcsolatban tetszésszerinti műveletet hajthatunk végre. Minden esetben igaz azonban, hogy akár az A, akár a B tartományon belül vizsgálva az ott érvényes egységet: az illető tartományban érvényre jutó egység ott mindenkor egységként viselkedik, és csak a másik tartomány felől szemlélve látjuk az egységtől eltérő számnak.
Vizsgáljuk meg a kérdést most egy másik szempontnak az alapján is.
A véges egységű számszinten, a pozitív egységnek a természetes logaritmusa:
/50,8/ in21Ln π⋅= ,
amely kifejezésben n akármilyen egész-szám vagy 0 – 0 is lehet.
Az /50,8/ alatti kifejezés azonban mindenképpen irreális számot juttat kifejezésre. És miután, mint előbb megállapítottuk, az egységre vonatkozó matematikai törvények minden számszinten változatlanok maradnak, ha az illető számszintnek a sajátos egységével számolunk, azért joggal következtethetünk arra a körülményre, hogy a végtelen egységű számszintnek a øo egységére az /50,8/ -ban foglalt törvény is – legalább lényegében – érvényben marad. Ez pedig annyit jelent, hogy a maga sajátos számszintjén az ln øo kifejezésnek is irreális számnak kell lennie. Megközelítően végtelenül-nagynak viszont csakis a véges-egységű számszintről szemlélve tűnik fel.
Ennek a felfogásunknak az alapján tudjuk kellőleg megindokolni a /48,5/ és /48,6/ alatti ellentmondásokat.
A ln øo kifejezésnek az irreális voltára utal egyébként a következő meggondolás is.
Tekintsük a véges-egységű számszinten felvett derékszögű koordinátarendszert a komplex-számok Gauss-féle számsíkjának. Azonnal belátható, hogy ezen a számsíkon, illetőleg ezen a számszinten, egész számértékű n esetén:
/50,9/ in2ai2A ⋅π+≠⋅π+ , ha 1n ≠ .
Mert egyenlőtlenségünknek a bal oldala olyan számsíkbeli pontot határoz meg, amelynek abszcisszája a, ordinátája 2π. Az egyenlőtlenségnek a jobb oldala viszont egy másik pontot jelöl ki a számsíkon, amely utóbbi pontnak az abszcisszája a -val, ordinátája azonban 2nπ -vel egyenlő. Ez a két pont semmiesetre sem lehet azonos, ha n ≠ 1.
Nyilvánvalóan fennáll ezzel szemben az
111
/50,10/ in2ai2a eeee ⋅π⋅π ⋅=⋅
egyenlőség, amit ha logaritmálunk, akkor az érvényben lévő
/50,11/ in2ai2a ⋅π+=⋅π+ , ( n ≠ 1 )
egyenlőséghez jutunk el, teljes ellentmondásban az /50,9/ alatti állításunkkal.
Egészen bizonyos, hogy az utóbbi egyenlőség a komplex számoknak a Gauss-féle számsíkján nem lehet igaz, ezen a számsíkon tehát nem állhat fenn.
Az /50,10/ egyenlőséget tetszésszerinti, tört-kitevőjű hatványra is emelhetjük. Így határozhatjuk meg a pozitív egységgel egyenlő in2i2 ee ⋅π⋅⋅π = kifejezésnek a különböző hatványait és gyökeit, valamint a hatványoknak és gyököknek a logaritmusát.
A klasszikus matematika az /50,9/ és /50,11/ között mutatkozó ellentmondást azzal hidalja át, hogy a pozitív egység különböző hatványainak és gyökeinek a logaritmusait nem a Gauss-féle számsíkon, hanem egy olyan körvonalnak a megfelelő ív-hosszaival ábrázolja, amely körvonal nem fekszik benne a komplex számoknak a számsíkjában, a síkkal pedig csak a koordinátarendszer origójánál van egyetlen közös pontja a körvonalnak, mint érintési pont.
A pozitív egység különböző hatványainak és gyökeinek a logaritmusai tehát nincsenek és nem is lehetnek a komplex számok számsíkjában, ha n = 0 – 0.
Ha viszont eltekintünk az imaginárius egységnek az elvi értelemben feltételezett szerepétől, akkor a komplex számsíkot a véges egységű számszintnek egyik sajátok koordinátarendszerével, vagyis magával a véges-egységű számszinttel kell azonosítanunk. Ennélfogva pedig máris ki kell mondanunk, hogy a véges egység hatványainak és gyökeinek a logaritmusai nem tartozhatnak a véges egységű számszintre. Sőt – mint ívhosszak – nem tartoznak semmiféle más számszintre sem.
Fentebb már kimutattuk, hogy a mindenkori egységnek a fogalmára vonatkozó elvi törvények nem változnak meg, hanem bármely számtartományban mindig ugyanazok maradnak, akármilyen számot tekintünk is az illető számtartomány sajátos egységének az illető tartományon belül.
Arra kell következtetnünk tehát, hogy a végtelen egységű számszint øo egységének a ln øo jelkép által kifejezett logaritmusa: ugyancsak nem tartozik a végtelen egységű számszintre, sőt semmiféle más számszintre sem.
Az „egységnek” a fogalmára vonatkozó elvi törvény csakis így maradhat változatlan, a øo egységű számszinten.
Végeredményben ahhoz a konklúzióhoz jutunk el ilyenformán, hogy ln øo voltaképpen egy olyan irreális szám, amely egyetlen számszintre sem tartozik a rendszerünkben.
Az „irreális” jelzőt azonban tágabb értelemben értelmezzük, mint szokás. Jelentését nem tekintjük szükségképpen azonosnak az imaginárius, illetőleg a komplex fogalommal.
A véges egységnek a logaritmusa egy olyan i sugarú körnek a kerületével egyenlő, amely kör semmilyen számszintben sem fekszik benne, a véges egységű számszintet pedig csak egyetlen pontban, mégpedig a 0 – 0 pontban érinti.
A véges egységű számszintnél közvetlenül magasabbrangú számszintnek a sajátos egysége: øo.
Az egységnek a fogalmára vonatkozó elvi törvénynek az értelmében kimondhatjuk tehát, hogy a magasabbrendű egységnek, vagyis øo -nek a logaritmusa is egy irreális sugarú, olyan
112
körnek a kerületével kell, hogy egyenlő legyen, amely kör ugyancsak semmiféle számszintnek a síkjában sem fekszik, a végtelen egységű számszintet pedig csak egyetlen pontban, a 0 – 0 pontban érinti.
Ebből következik, hogy a határozott-végtelen természetes logaritmusnak a reális összetevője:
/50,12/ 0-0øolnRE = ,
valamint /46,5/ alapján:
/50,13/ 0-0ØlnRE = ,
az intrazeriális matematika pontosságának a határain belül.
113
VII. FEJEZET.
INFINITEZIMÁLIS MŰVELETEK.
51.§. Az intrazeriális differenciálhányados fogalma.
Tudvalevő, hogy a klasszikus matematika az F(x) függvénynek a differenciálhányadosát a
/51,1/ )x('Fh
)x(F)hx(Flim
øh=−+
→
határértékkel határozza meg, vagyis egy olyan törtkifejezésnek az egyszerű hányadosával definiálja, amelyben a független változónak a h növekménye mindjobban megközelíti a zeriálisan kicsiny, már meg nem nyilvánuló értékeket, amelyeknek a gyűjtőfogalmát a nyíl elé írt határozatlan zérus fejezi ki.
A magasabbfokú pontosságú rendszerben viszont, – mint később részletesen megindokoljuk, –célszerűbb a független változónak a növekedését az 1 + h szorzótényezőnek a beiktatása mellett megkívánnunk, miáltal az alábbi intrazeriális határértékhez jutunk el:
/51,2/[ ]
)x('Fx)h1(x
)x(F)h1(xFliminz
Øh=
−+⋅−+⋅
→ ,
amelyet azonban minden esetben ki kell értékelnünk a zérusfokú pontosságnak a határain belül.
Ennek az utóbbi feltételnek a megkövetelése mellett: az /51,2/ határértéknek az alapján adhatjuk meg az intrazeriális differenciálhányadosnak a voltaképpeni definícióját.
Nyilvánvaló, hogy ebben a felfogásban a független változónak a meghatározás alapjául vett növekményét nem a h konstáns alkotja, hanem hxx)h1(x ⋅=−+⋅ szerint, az
114
/51,3/ dxxØhxliminzØh
=⋅=⋅→
zeriálisan kicsiny értékű függvény képezi.
Ha tehát a 14.§. -ban tárgyalt indoklásnak az alapján, egyszerűen helyettesítést végzünk /51,2/ -ben a h→Ø követelménynek az értelmében, akkor az alábbi intrazeriális egyenlőséget nyerjük:
/51,4/ )x('FxØ
F(x)-x)Øx(F =⋅⋅+
,
megkövetelve ugyanakkor – fenti feltételünknek megfelelően – a hányadosnak zérusfokú pontosságú kiértékelését.
Határozzuk meg mindjárt példaképpen az 2x2a)x(F −= függvénynek a differenciálhányadosát /51,4/ szerint.
Miután magasfokú pontossággal
22222 xØx2Øxx)Øx( ⋅+⋅⋅+=⋅+ ,
azért írhatjuk, hogy
)xØx2Ø(x2-ax)Øx(F 2222 ⋅+⋅⋅+⋅=⋅+ ,
az /51,4/ formulának az értelmében ennélfogva:
,xØ2x4xØ
xØ2xØ4
xØ
)x2a()xØx2Øx(2a)x('F
222
22222
⋅⋅−⋅−=⋅
⋅⋅−⋅⋅−=
=⋅
⋅−−⋅+⋅⋅+⋅−=
ebből pedig a megkövetelt zérusfokú pontosságú kiértékelés után:
x4)x('F −= .
Az egyszerű osztással végzett differenciálási műveletnek azonban nincs gyakorlati fontossága.
Annál inkább fontosnak kell tartanunk ezzel szemben azt az elvi kérdést, amely /51,3/ szerint a xØdx ⋅= differenciálnak – mint x határozott függvényének – a szükséges bevezetésével kapcsolatos a magasabbfokú pontosságú matematikában.
Elsősorban is rá kell világítanunk arra a körülményre, hogy y = x = F(x) esetén a klasszikus matematika /51,1/ alatti törtkifejezésének a számlálóját intrazeriális határértékkel meghatározva – és feltéve a h→Ø megközelítést – az alábbi
[ ] [ ] Øx)hx(liminz)x(F)hx(FliminzdyØhØh
=−+=−+=→→
115
konstáns értékhez jutunk el. Minthogy azonban y = x esetén a dy = dx egyenlőség is fennáll, ki kell mondanunk a
Økonstánsdx =
egyenlőséget is. Mint ismeretes, a klasszikus matematika a független változónak a differenciálját valóban konstánsnak is tekinti.
Ez a felfogás viszont semmiesetre sem tartható fenn, ha áttérünk a magasabbfokú pontosságú matematikára. Mert konstáns dx differenciálnak a feltételezése esetén olyan helyzet áll elő, hogy mindazokon a helyeken, ahol a függvényben a független változónak az abszolút-értéke nagyobb 0 – 0 –nál, de kisebb mint Ø, vagyis ha
Øx00 <<− .
a dx = Ø egyenlőségnek a folyományaképpen bekövetkezik a
xdx >
egyenlőtlenség. Ez pedig annyit jelent, hogy az x független változónak a differenciálja – mindezeken az említett helyeken – nagyobb, sőt jelentékenyen nagyobb is lehet, mint magának az x változónak a helyi abszolút-értéke.
Könnyen belátható, hogy az így kialakuló helyzetek semmiképpen sem egyeztethetők össze a differenciálás elvével, a differenciálási műveletnek a voltaképpeni szellemével, amely megköveteli, hogy a dx differenciál mintegy végtelenszer kisebb legyen az x változónak valamennyi helyi értékénél.
Ez az egyik oka és magyarázata annak, hogy be kellett vezetnünk az intrazeriális rendszerbe az /51,3/ alatti függvényt.
Meg kell gondolnunk továbbá a fentieken kívül azt is, hogy amennyiben valamely f (u,v,w,…,t) függvényben egyszerre több független változó játszik szerepet, akkor a klasszikus matematika /51,1/ formulájának a szellemében meghatározott
hlimtlim...wlimvlimulim0h0t0w0v0u →→∆→∆→∆→∆
=∆==∆=∆=∆
egyenlőségnek a következtében:
konstánsdt...dwdvdu =====
helyzet áll elő. Ez pedig annyit jelent, hogy a felsorolt differenciálok által képviselt zeriálisan kicsiny értékek egymástól meg nem különböztethetők. Ha tehát magasabbfokú pontossággal kívánunk számolni, akkor: egymással egyenlő értékű differenciálok – bármikor felcserélhetők lévén – okvetlenül megzavarnák a számításainkat.
Az efféle bizonytalanságnak a kiküszöbölése ugyancsak megkívánja az /51,3/ alatti függvénynek a bevezetését.
116
Az alábbiakban kimutatjuk, hogy ez a elfogás is teljes összhangban áll a klasszikus matematika differenciálási elvével és szabályaival.
Ha a független x változónak a dx differenciálját a Ø ٠ x függvénnyel tekintjük azonosnak, akkor is fennáll a
1xØ
xØ
dx
dxx
dx
d =⋅⋅==
egyenlőség. Ebből azonnal következik, miszerint
( ) 001dx
d
dx
dx
dx
d −==
,
vagy másként kifejezve ugyanezt
00dx
xd
dx
dx
dx
d2
2
−==
,
ebből pedig máris nyilvánvaló, hogy
/51,5/ 00xd2 −= .
Az /51,5/ egyenlőségnek az alapján viszont fenn kell állnia az alábbi
/51,6/ 00dx
xddx
dx
d)'dx(
2
−===
egyenlőségnek is.
Az /51,5/ és /51,6/ formulák valóban teljes összhangban állnak tehát a klasszikus matematikával, annak ellenére, hogy míg a klasszikus felfogás a dx differenciált konstánsként könyveli el, addig az intrazeriális rendszerben: xØdx ⋅= függvény.
(A fenti egyenlőségekben alkalmazott 0 – 0 kifejezésre vonatkozólag lásd az 53.§. –ban foglaltakat.)
52.§. A differenciálás magasfokú pontosságú művelet.
Az előző paragrafusban említett ama követelmény, hogy az /51,4/ egyenlőséget zérusfokú pontosság mellett kell kiértékelnünk, azt a látszatot kelti, hogy /51,4/ csupán zérusfokú pontosságú formula. A következőkben kimutatjuk ennek az ellenkezőjét.
Legyen v valamely rendkívül nagy értékű pozitív, véges, egész szám.
Tegyük fel továbbá, hogy az /51,3/ alatti feltevés helyett a
117
/52,1/ xØhxliminzdx v
Øh v⋅=⋅=
→
függvénnyel számolunk.
Helyettesítsük be ezt a meghatározást az /51,4/ formulában xØ ⋅ helyébe. Ebben az esetben a következő egyenlőséget nyerjük:
/52,2/ )x('FxØ
)x(F)xØx(Fv
v
=⋅
−⋅+ .
Könnyen belátható, hogy ebben az esetben x -nek a feltételezett növekménye øov-1 -szer kisebb, mint /51,4/ alatt volt.
Fejezzük ki ezután az /52,2/ egyenlőséget Taylor-sorral, hogy megállapíthassuk a pontossági fokát.
Nyilvánvaló, hogy a megfelelő Taylor-sor, a szükséges átalakítások után:
...)x(''F!2
xØ)x('F
xØ
)x(F)xØx(F v
v
v
+⋅⋅+=⋅
−⋅+ .
Ezzel a sorbafejtéssel pedig már el is döntöttük, hogy az /52,2/ egyenlőség még v – 1 fokú pontosságnak a megkövetelése esetén is helytálló és igaz. A v számot viszont szabadon választhatjuk meg, – vagyis bármilyen nagy véges értékkel ruházhatjuk fel, – minélfogva ki kell mondanunk, hogy az /52,2/ alatti egyenlőség a gyakorlati értelemben vett legmagasabbfokú pontosságnak az előírása mellett is fennáll.
Az F(x) függvénynek a differenciálhányadosát az /52,2/ formula tehát az elérhető legmagasabbfokú pontosság mellett határozza meg.
Módunkban áll azonban, hogy az /52,2/ egyenlőséget egybevessük az /51,4/ alattival. Ebben az esetben kimondhatjuk, miszerint
/52,3/ )x('FxØ
F(x)-x)Øx(F
xØ
)x(F)xØx(Fv
v
=⋅⋅+=
⋅−⋅+
.
Ennek az egyenlőségnek az első tagozata, mint fentebb már bebizonyítottuk, v - 1 fokú pontosság mellett határozza meg az F’(x) függvényt. Az egyenlőségnek a második tagozata pedig, mint az 51.§. -ban igazoltuk, csak zérusfokú pontossággal végzett kiértékelés esetén egyenlő az F’(x) függvénnyel. Maga az F’(x) differenciálhányados azonban mindkét esetben azonos. Különbséget mindössze abban láthatunk, hogy az /52,3/ egyenlőségben az első törtkifejezést legfeljebb v - 1 fokú pontossággal, a második törtkifejezést pedig legfeljebb zérusfokú pontossággal kell és szabad kiértékelnünk ahhoz, hogy fennálljon és fennállhasson maga az /52,3/ alatti egyenlőség.
Minthogy azonban az F’(x) hányados mindkét pontosság mellett, vagyis mindkét esetben ugyanaz marad, azért az /52,3/ egyenlőségnek az alapján megállapíthatjuk, hogy az F’(x) differenciálhányados voltaképpen v – 1 fokú pontosságú kifejezésnek is tekinthető.
És minthogy ugyanennek az egyenlőségnek a középső tagozatát az /51,4/ formula szerinti törtkifejezés képezi, azért a fenti következtetés alapján kimondhatjuk mint konklúziót, hogy az
118
F(x) függvény differenciálhányadosának az /51,4/, illetve /51,2/ formula szerinti és zérusfokú pontossággal abból kiértékelt meghatározása: ugyancsak a gyakorlati értelemben elérhető legmagasabbfokú pontosságú meghatározás!
Nincs szükségünk tehát a Øv hatványnak, vagyis az /52,1/ függvénynek az alkalmazására és így az egyszerűbb /51,4/ képletnek az alapján végezhetjük számításainkat a nélkül, hogy engedményt kellene tennünk a magasfokú pontosság terén.
Mindezt azonban csakis az intrazeriális matematikának a megvilágításában tudjuk kimutatni.
53.§. Zeriálisan kicsiny konstánsok.
Az /51,4/ képlet törtkifejezésének a számlálójában nem tényleges kivonási műveletnek, hanem csupán elvi összemérésnek a formulája áll előttünk. Az összemérés, mint a 20.§. -ban kifejtettük, nem jár együtt értéktorzulással. Ennélfogva, ha feltesszük, hogy f(x) = a = konst., – amikor is magától értetődően fennáll az ax)Øx(f =⋅+ egyenlőség, – az /51,4/ képletnek az alapján írhatjuk, miszerint:
/53,1/ 00xØ
aaa
dx
d −=⋅−= .
Kimondhatjuk tehát, hogy bármely konstáns számértéknek a differenciálhányadosa 0 - 0 -val egyenlő.
Az intrazeriális matematikában a határozott értékű zérussal számolunk. Ennélfogva Ø -t mindenkor állandóként kell felfognunk a differenciálási műveletekben:
/53,2/ 0-0Ødx
d = .
Magától értetődik továbbá, hogy a Ø -nak a reciprok értékét, vagyis a határozott végtelent is állandóként kell kezelnünk:
/53,3/ 0-0øodx
d = .
Hasonló értelemben fennáll természetesen, hogy
/53,4/ 00)Haa(dx
da −=⋅− ,
mint konstáns a számértékek tényleges különbségének a deriváltja.
54.§. Az xø hatvány differenciálhányadosa.
A klasszikus matematikának a hatványok differenciálására vonatkozó szabálya változtatás nélkül kiterjeszthető a zeriálisan kicsiny kitevőjű hatványokra is.
119
Ennélfogva:
/54,1/ 1-Øø xØxdx
d ⋅= .
Azonnal bebizonyíthatjuk állításunknak a helyességét, ha a /10,1/ alatti sornak minden egyes tagját külön-külön differenciáljuk. Amikor is
,xØ
...!2
)x(lnØxlnØ1
x
Ø...
!2x
)x(lnØ
x
xlnØ
x
Ø
...!3
)x(lnØ
!2
)x(lnØxlnØ1
dx
dx
dx
d
1-Ø
22232
3322ø
⋅=
=
+⋅+⋅+⋅=+
⋅⋅+⋅+=
=
+⋅+⋅+⋅+=
miután az egyenlőségnek az utolsó előtti tagozatában kibontakozó sor ismét az xø hatványnak a /10,1/ alatti sorával egyenlő.
55.§. A differenciálok értéke.
Meg kell gondolnunk, hogy a klasszikus matematika felfogásában:
)x('Fdx
)x(dF = ,
amiből egyszerű művelet útján következik, miszerint
dx)x('F)x(dF ⋅= .
Mármost, ha ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát differenciáljuk, akkor a szorzatokra vonatkozó differenciálási szabályoknak az értelmében:
/55,1/ dxdx
d)x('F)x('F
dx
ddx)x(dF
dx
d ⋅+⋅= .
A klasszikus matematika a független változónak a differenciálját mindenkor konstánsként értelmezi. A dx = konst. differenciálnak az értéktelenné váló deriváltja következtében tehát az /55,1/ alatti összegnek a második tagja eltűnik.
Az intrazeriális matematika a független változónak a differenciálját dx = Ø ٠ x függvényként fogja fel. Az /51,6/ alatti egyenlőségnek az értelmében azonban az /55,1/ alatti összegnek ugyancsak eltűnik a második tagja.
Ennélfogva mindkét felfogás az alábbi, megegyező eredményhez vezet:
120
/55,2/ )x('Fdx
ddx)x(dF
dx
d ⋅= ,
ha pedig elvben ismét limeszekkel számolunk, akkor /55,2/ -ből:
/55,3/ [ ] 2)dx(dx
)x('dF)x(dFd ⋅=⋅ ,
ebből viszont, a szokásos jelölések alkalmazásával:
/55,4/ 22 dx)x(''F)x(Fd ⋅= .
Ez azonban már az F(x) függvénynek a másodrendű differenciálját meghatározó egyenlőség, – mégpedig mind a klasszikus, mind az intrazeriális matematikában egyöntetűen.
Az F(x) függvény bármely magasabbrandű differenciáljának a meghatározását ugyancsak a fenti elvnek az alkalmazásával hajthatjuk végre.
A magasabbrendű differenciálok tekintetében, alapul vehetjük tehát a klasszikus matematika elvei szerint megállapított
/55,5/ n)n(n dx)x(F)x(Fd ⋅=
formulát, amely az F(x) függvény n -edrendű differenciálját meghatározó egyenlőség.
Azonnal belátható, hogy ha a dx differenciálnak az elsőrendű deriváltja 0 – 0 -val egyenlő /51,6/, akkor a dx differenciál minden magasabbrendű differenciálhányadosa is 0 – 0 kell, hogy legyen. Az /55,5/ egyenlőség ennélfogva okvetlenül kielégíti az intrazeriális matematikának a legmagasabbfokú pontosságát is.
A kétféle matematikai felfogás tehát a magasabbrendű differenciálok meghatározásának a tekintetében semmiféle eltérést sem mutat.
Más a helyzet azonban akkor, ha az n -edrendű differenciáloknak a változó x különböző értékeinek megfelelő függvényeit, vagyis a differenciál-értékeket kívánjuk meghatározni.
Mert az intrazeriális rendszer felfogása szerint, /55,5/ -ből:
/55,6/ )x(FxØdx)x(Fliminz)x(Fd )n(nnn)n(
xØdx
n ⋅⋅=⋅=⋅→ .
Ez az egyenlőség az n -edrendű differenciáloknak a mindenkori értékeit határozza meg, az x változónak a függvényeiként.
Így például differenciál-értékek a következők:
323 xa3Ø3xaxØ)ax(d ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ,
322232 xa6Ø6xaxØ)ax(d ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ,
121
Øx
1xØ)x(lnd =⋅⋅= ,
22
222 0x
1xØ)x(lnd −=
−⋅⋅= ,
44
444 Ø6x
6xØ)x(lnd ⋅−=
−⋅⋅= ,
és így tovább.
Valamely egyváltozós függvény n -edrendű differenciáljának az ismeretes értékéből egyszerű módon visszaállíthatjuk azonban a klasszikus matematikában szokásos differenciál-alakú kifejezést is, ha tekintetbe vesszük, hogy rendszerünkben dx = Ø ٠ x.
Ennélfogva, ha valamely n -edrendű differenciálnak az értékét kifejező függvény: ε(x), akkor a visszaállított differenciál-kifejezés:
/55,7/ nnnn
nn dx
xØ
)x(
dx
dx)x(xfd ⋅
⋅ε=⋅ε= .
Így például, ha egy harmadrendű differenciálnak az ismeretes értéke: 3Ø2)x( ⋅=ε , akkor az /55,7/ formulának az értelmében visszaállított differenciál:
33
333
33 dx
x
2dx
xØ
Ø2)x(fd ⋅=⋅⋅= .
Ebből következik az intrazeriális matematikának az a megállapítása, hogy bármely megadott és megnyilvánuló φ(x) függvény felfogható úgy is, mint a øo egységű számszintnek a koordinátarendszerébe tartozó valamely Φ(x) függvénynek az egyszerű differenciál-értéke.
Mert ha feltesszük, hogy φ(x)=ε(x) valóban differenciál-értéket képvisel, akkor az /55,7/ formulával visszaállított differenciál:
dxx
(x)øodx
xØ
)x(
dx
dx)x()x(d ⋅ϕ⋅=⋅
⋅ϕ=⋅ϕ=Φ ,
amiből integrálás után:
/55,8/ ∫ ⋅ϕ⋅=Φ dxx
(x)øo)x( ,
mint a øo egységű számszinten fennálló függvény.
Magától értetődik továbbá, hogy megadott differenciál-értékeket csak akkor differenciálhatunk vagy integrálhatunk, ha azokat előzőleg visszaállítjuk közönséges differenciál-kifejezésekké, az /55,7/ formula szerint.
122
Ennek a feltételnek a helytállósága márcsak azért is nyilvánvaló, mert a differenciálási eljárásnak az elve ab ovo megköveteli, hogy mindenkor valamely függvényt, de ne valamely függvény-értéket differenciáljuk. Ugyanez vonatkozik az integrálási műveletre is. Megadott függvény-értékek tehát még akkor sem differenciálhatók vagy integrálhatók, ha az értékek ugyancsak függvény alakban vannak kifejezve.
Annál kevésbé szabad figyelmen kívül hagynunk ezt a feltételt, mert – mint az alábbiak szerint könnyen belátható – a df(x) megadott differenciál-érték, mint függvény, kifejezetten már egyáltalában nem határozza meg azt a diszpozíciót, hogy milyen változó szerinti differenciál-kifejezéssé kell visszaalakítanunk az illető differenciál-értéket, amelyből ez származott.
Tetszésszerinti z változóra nézve fennállhat ugyanis a következő egyenlőség:
/55,9/ ZxØ)x('fdx)x('f)x(df =⋅⋅=⋅= ; és
dzz
)z,x(Fdz
z
)x('fx
zØ
dz(x)'fxØ
dz
dz(x)'fxØZ ⋅
∂∂=⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= .
Így például
ØxØx
1dx
x
1dx)'x(ln)x(lnd =⋅⋅=⋅=⋅= ; és
)u(lndu
du
uØ
duØ
du
duØØ ==
⋅⋅=⋅= ,
ha az ln x függvénynek a meghatározott differenciál-értékéből valamely u változó szerinti differenciált kívánunk visszaállítani.
56.§. Implicite megadott függvény differenciálása.
Valamely implicite megadott függvénynek a differenciálását elvileg ugyanúgy végezhetjük el, mint a klasszikus matematikában, még akkor is, ha abban zeriálisan kicsiny értékek is szerepet játszanak. Világítsuk meg a kérdést tehát egy egyszerű példának a levezetése során.
Tegyük fel, hogy az
3zyxliminz n
1
n
1
n
1
øon=
++
→
megadott egyenlőségből, amelyben x és y függetlenek, z pedig függő változó, a dz differenciált kell meghatároznunk.
Mindenekelőtt írjuk fel a határérték-kifejezést az intrazeriális matematika felfogása szerint, a 14.§. -ban foglaltak alapján. Akkor a megadott egyenlőségünk a következő alakot nyeri:
/56,1/ 3zyx øøø =++ .
123
a.) Mint a klasszikus matematikából ismeretes, a z függő változónak a differenciálját az alábbi egyenlőség határozza meg:
/56,2/ dyqdxpdz ⋅+⋅= ,
amelyben
x
zp
∂∂= és
y
zq
∂∂= .
Ha tehát a megadott függvényben előbb x -et, azután y -t tekintjük az egyedüli független változónak, akkor fennáll, miszerint
00z
Fp
z
F −=∂∂⋅+
∂∂
,
00z
Fq
y
F −=∂∂⋅+
∂∂
.
Meghatározván a parciális deriváltakat az /56,1/ képletből:
00zØpxØ 1-Ø1-Ø −=⋅⋅+⋅ ,
00zØqyØ 1-Ø1-Ø −=⋅⋅+⋅ ,
ebből pedig azonnal következik, hogy
ø
ø
zx
zxp
⋅⋅−= ,
ø
ø
zy
zyq
⋅⋅−= ,
majd az így nyert törteket zérusfokú pontossággal kiértékelve:
1xzp −⋅−= ,
1yzq −⋅−= .
Behelyettesítve végül ezeket az /56,2/ formulába, feladatunknak a megoldásához jutunk el:
124
/56,3/ dyyzdxxzdz 11 ⋅⋅−⋅⋅−= −− .
b.) Az /56,1/ egyenlőség megegyezik a /41,3/ alattival. Ezt az utóbbit már megoldottuk mint egyenletet a z változóra nézve, a /41,6/ alatt, amely megoldás szerint:
/56,4/yx
1z
⋅= .
Határozzuk meg ezúttal a dz differenciált az explicite megadott /56,4/ függvényből. Mint azonnal belátható:
dyyx12 21
dxyxdz ⋅⋅−−− −−
⋅⋅−= .
Ha pedig számításaink ellenőrzéseképpen helyettesítést végzünk eben a legutóbbi egyenlőségünkben /56,4/ szerint, akkor az alábbi
dyyzdxxzdz 11 ⋅⋅−⋅⋅−= −−
egyenlőséget nyerjük, amely megegyezik az /56,3/ alattival.
Ez a megegyezés bizonyítékot nyújt egyúttal arra nézve is, hogy az /56,1/ = /41,3/ egyenletet helyesen oldottuk volt meg a 41.§. -ban, a øo -fokú hatvánnyal meghatározott /41,6/ = /56,4/ formulával.
57.§. Zeriálisan kicsiny értékeket felölelő integrálok.
Ha a határozott zérust – valamint annak reciprok-értékét, vagyis a határozott végtelent – mindenkor konstánsnak tekintjük, akkor a zeriálisan kicsiny /vagy végtelenül-nagy/ értékek ellenére: az integrálási szabályok változatlanul ugyanazok maradnak, mint a klasszikus matematikában.
Így például, ha az integrálandó függvény:
xlnxy ø ⋅= ,
akkor parciális integrálást végezve:
∫ ∫ ++
−⋅+
=⋅+
−⋅+
=⋅⋅+++
CØ)1(
xxln
Ø1
xdx
Ø1
xxln
Ø1
xdxxlnx
2
Ø1Ø1ØØ1ø .
Az így nyert meghatározás teljes intrazeriális pontosságú kifejezés.
Ha viszont mind az integrandusban, mind az integrálnak a meghatározott értékében zérusfokú-pontosságú kiértékelést végzünk, akkor példánk a klasszikus matematikai
125
Cxxlnxdxxln +−⋅=⋅∫
egyenlőséggé alakul át.
A szabályok alól kivételt csak a 0 – 0 kifejezés képez.
58.§. Az ∫ ⋅− dx)00( integrál.
A klasszikus matematika szabályai szerint, konstáns a érték esetén:
/58,1/ Cxadxadxa +⋅=⋅=⋅ ∫∫ .
A 0 – 0 kifejezést azonban – mint gyűjtőfogalmat /27.§./ – sem konstánsnak, sem változónak tekintenünk nem szabad. Ebből következik, hogy a 0 – 0 tényező nem emelhető ki az /58,1/ egyenlőségnek az értelmében az integrál-jel elé. Mert
/58,2/ ∫ ∫⋅−≠⋅− dx)00(dx)00( .
Belátható ugyanis, hogy a = 0 – 0 esetén
∫ ∫ =+⋅−=+⋅=⋅=⋅− CCx)00(Cxmdxmdx)00( ,
másrészt azonban
∫ −=+⋅−=⋅− 00)Cx()00(dx)00( .
A kifejezés nélkül és a kiemeléssel végzett integrál-meghatározás ennélfogva nem egyezik meg egymással
59.§. Az ∫ ⋅dxxln integrál egyik meghatározása.
A /14,5/ alatti határértéknek az értelmében, elsőfokú pontosság mellett fennáll a
/59,1/ xlnøoxøo ø =−⋅
egyenlőség.
Integráljuk példaképpen a dx differenciállal szorzott /59,1/ egyenlőséget.
Feladatunknak megfelelően:
∫ ∫ +⋅−⋅⋅+
=+⋅−+
⋅=⋅−⋅=⋅+
Cxøoxx01
øoCxøo
Ø1
xøodxøo)xøo(dxxln ø
Ø1ø .
126
Minthogy pedig elsőfokú pontosságnak az alkalmazása mellett:
...1-øoØ)(1:øo +=+ ,
másrészt viszont, a /11,1/ formula szerint:
xlnØ1x ø ⋅+= ,
azért a megfelelő behelyettesítések után és ugyancsak elsőfokú pontossággal meghatározva:
∫ =+⋅⋅+⋅=+⋅⋅+⋅⋅=⋅ Cxøo-xlnxx-xøoCxøo-x)lnØ(1x1)-øo(dxxln ,Cx-xlnx +⋅=
Az /59,1/ szerinti helyettesítéssel végzett integrál-meghatározásunk, mint meggyőződhettünk róla, valóban megegyezik a klasszikus matematika számításaival.
60.§. Differenciálhányadosok határtalanul hosszú sorára bontott integrál.
Ha feltesszük, hogy Co valamely határozatlan konstáns, akkor – mint a későbbiek során bebizonyítjuk, – az intrazeriális rendszer felfogása szerint mindenkor érvényes az alábbi
/60,1/ C)u(liminzC00u
o =ϕ+−→
egyenlőség, amelyben C ugyancsak határozatlan konstáns marad.
Ennek előrebocsátása után, induljunk ki abból a feltételből, hogy Taylor-sorral kifejezve:
...)x('''!3
h)x(''
!2
h)x('
!1
h)x()hx(
32
+ϕ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅+ϕ=+ϕ ,
így tehát h = - x esetén:
...)x('''!3
x)x(''
!2
x)x('
!1
x)x()00(
32
+ϕ⋅−ϕ⋅+ϕ⋅−ϕ=−ϕ ,
amiből átrendezés után:
/60,2/ ...)x('''!3
x)x(''
!2
x)x('x)00()x(
32
+−ϕ⋅+ϕ⋅−ϕ⋅+−ϕ=ϕ .
Ha feltesszük továbbá, hogy )x(f)x(' =ϕ , akkor ezt a föltett egyenlőséget előbb dx -el megszorozva, majd integrálva nyerjük, miszerint:
127
∫ ∫ +ϕ=⋅=⋅ϕ oC)x(dx)x(fdx)x(' ,
amiből:
∫ +⋅=ϕ oCdx)x(f)x( ,
amikor is Co valamely határozatlan konstáns.
Mármost, ha ennek a legutóbbi egyenlőségnek az alapján helyettesítést végzünk a /60,2/ egyenlőségben, akkor:
∫ ++−⋅+⋅−⋅=⋅ C...)x(''f!3
x)x('f
!2
x)x(fxdx)x(f
32
,
lévén a )00( −ϕ függvényérték – a /60,1/ alatti formulának az értelmében – egyszerűen beleolvasztható Co -val együtt a C konstánsba, amely ugyancsak határozatlan marad.
Ez az utolsó egyenlőség pedig nem egyéb, mint a differenciálhányadosok sorára bontott integrálnak az általános képlete, amelyet a következőképpen is megfogalmazhatunk:
/60,3/
∫ +
+⋅−++⋅−+⋅−−=⋅ −
−
C.Infad...dx
)x(fd
!n
)x(...
dx
)x(df
!2
)x()x(f)x(dx)x(f
1n
1nn2
.
Így például:
∫ =+⋅−⋅+⋅−⋅=⋅ C'')'x(!4
x')'x(
!3
x)'x(
!2
x)x(xdxx 3
43
33
233
.C4
xC
4
xx
2
x3x
444
44 +=+−+−=
Megjegyezzük, hogy a /60,3/ formulát elsősorban a végett határoztuk meg, hogy felhasználhassuk a levezetéseink során, a továbbiakban.
A /60,1/ alatti egyenlőségben foglalt állításainkat pedig a II. részben, a szférikus analízisnek a keretében bizonyítjuk be.
61.§. Határozott és improprius integrálok.
A határozott integrálnak a fogalmát az
/61,1/ ∫ −=⋅r
p
)p(F)r(Fdx)x(f
128
formula fejezi ki. Ez az egyenlőség annak a területnek az elvi értékét juttatja kifejezésre, amely területet az f(x) függvénygörbe, a koordinátarendszer x tengelye, valamint az x = p és az x = r pontokhoz tartozó ordináta-egyenesek határolnak be. Nyilvánvaló, hogy ezt a területet nem kell, de nem is szabad ténylegesen eltávolítanunk valamely nagyobb területből, valamint a /61,1/ területen belül sem engedhető meg, hogy annak egyik részét ténylegesen eltávolítsuk a másik részéből, még akkor sem, ha az egyik területrész az x tengely alatt terül el, minélfogva negatív előjellel bír. A /61,1/ formulában tehát tényleges kivonási művelet nem játszik szerepet. A formula ezért mentes kell, hogy legyen minden velejáró értéktorzulástól.
Ki kell mondanunk ilyenformán, hogy a /61,1/ alatti különbség csak elméleti /nem tényleges/ kivonást, illetőleg elvi összemérést jelent, amellyel kapcsolatban értéktorzulás nem léphet fel.
Ezért, ha p = r, vagyis ha az integrálnak a határai egyenlők, fennáll, miszerint a számtorzulás-mentességnek a következtében:
//61,2/ 00)r(F)r(Fdx)x(fr
r
−=−=⋅∫ .
A klasszikus matematikában gyakorta előfordul, hogy valamelyik integrálhatár a határozott előjelű, de bizonytalan értékű végtelenbe nő. Az efféle improprius integrálokkal az intrazeriális rendszer nem foglalkozik.
A határozott végtelen: határozott szám.
Ennélfogva a határozott végtelennel kifejezett integrálhatárok egyáltalán nem adnak improprius-jelleget az integrálnak, hanem – ellenkezőleg – azt határozott integrállá teszik.
Így például:
/61,3/ ∫∫ ==→
øo
1
n
1øon
øolnx
dx
x
dxliminz .
Ezt az integrált át is alakíthatjuk az x = 1/t egyenlőség szerint. Ebben az esetben a kifejezés negatív előjelet nyer, a határai pedig 1 -re és Ø -ra változnak át, vagyis
/61,4/ øolnt
dt
x
dx Ø
1
øo
1
== ∫∫ .
Ha pedig a /61,3/ és /61,4/ integrálokat összeadjuk, akkor az utóbbi integrálnak a megfordítása után:
/61,5/ ∫ ∫ ∫ ⋅==+1
Ø
øo
1
øo
Ø
øoln2x
dx
x
dx
t
dt .
Azonnal arról is meggyőződhetünk, hogy számításaink valóban helyesek. Mert ha /61,3/ -ban 1 helyett Ø –t írunk, akkor:
129
/61,6/ Øln-øolnx
dxøo
Ø
=∫ .
Egybevetve végül a /61,5/ és /61,6/ egyenlőségeket:
Øln-øolnøoln2 =⋅ ,
ebből viszont azonnal következik a
øo-lnØln =
egyenlőség, amely valóban pontosan megegyezik a /46,5/ alatti meghatározásunkkal.
Mindebből nyilvánvaló, hogy a /61,3/ és /61,6/ alatti formulák csakugyan határozott integrálokként értelmezhetők a rendszerünkben.
62.§. Integrálhatárok átalakítása.
Ha véges határú integrált ismét véges határú integrállá kívánunk átalakítani az
/62,1/ ∫∫ ⋅=⋅T
t
X
x 00
dt)t(Fdx)x(f
egyenlőségnek az értelmében, akkor a lineáris összehasonlítás alapján álló
/62,2/0
0
0
0
tT
tt
xX
xx
−−=
−−
klasszikus matematikai formula a megfelelő megoldáshoz vezet.
Magától értetődik, hogy az intrazeriális rendszerben az X, T, x0 és t0 jelölések zeriálisan kicsiny értékeket is képviselhetnek, valamint a zeriálisan kicsiny számoknak a reciprok értékeit is kifejezhetik.
Ebből következik, hogy a /62,2/ formulát akkor is alkalmaznunk szabad, ha az integrálhatárokat zeriálisan kicsinnyé vagy végtelenül-naggyá kívánjuk átalakítani. Magasabbfokú pontossággal megadott zeriálisan kicsiny vagy végtelenül-nagy integrálhatárok esetén pedig, ugyancsak a /62,2/ formulának az értelmében, az integrálkifejezést véges határú integrállá is alakíthatjuk át.
Tegyük fel például, hogy egy megadott 0 – 0 és Ø határú integrálkifejezést a és b véges határú integrállal kívánunk helyettesíteni. Akkor /62,2/ szerint:
ab
at
0)-(0-Ø
)00(x
−−=−−
,
130
amiből:
a-b
a)-(tØx
⋅= ,
dta-b
Ødx ⋅= .
Kimondhatjuk tehát ilyenformán az
/62,3/ ∫ ∫ ⋅
−⋅⋅=⋅
Ø
0-0
b
a
dt)at(a-b
Øf
a-b
Ødxf(x)
egyenlőséget. Ezzel pedig az adott 0 – 0 és Ø határú integrált valóban véges határú integrállá alakítottuk át.
Így például, a /52,3/ formulának az értelmében:
∫ ∫ =⋅−⋅=⋅Ø
0-0
22
1
2
2
Ødt)1t(Ødxx .
Továbbá példaképpen tegyük fel, hogy valamely magadott –Ø és Ø határú integrált kívánunk helyettesíteni a és b véges határú integrálkifejezésekkel. Ebben az esetben /62,2/ szerint:
ab
at
(-Ø)-Ø
Ø)(x
−−=−−
,
amiből:
ab
b)(aØt
a-b
Ø2x
−+⋅−⋅⋅= ,
dta-b
Ø2dx ⋅⋅= .
A /62,1/ formulának az alapján, számolhatunk tehát az
∫∫ ⋅
−+⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅
b
a
Ø
Ø-
dtab
b)(aØt
a-b
Ø2f
a-b
Ø2dx)x(f
egyenlőséggel, amellyel az adott -Ø és Ø határú integrált ismét véges határú integrállá változtattuk át.
131
Felhozott példáink teljesen világossá teszik az integrálhatároknak zérusnál magasabb fokú pontossággal végzett átalakítását.
63.§. Az integrál-formulák pontossági foka.
Ha a klasszikus matematikában használatos integrál képleteket magasabbfokú pontosságú számításoknál kívánjuk felhasználni, akkor minden egyes esetben meg kell győződnünk először arról, hogy az igénybe veendő képletek nem rejtenek-e magukban olyan elhanyagolásokat, amelyek a magasabbfokú pontosságnak a szempontjából már meg nem engedhetők.
Ezúttal ismét példákkal világítjuk meg a kérdést.
a.) Mint ismeretes, az alábbi integrál minden elhanyagolás nélkül határozható meg:
/63,1/ ∫ −−−− −=−=⋅⋅n
1
anaaxax ee
1
n
edxea .
A klasszikus matematika tehát, n→∞ esetén, a
0elim an
n=−
∞→
elhanyagolással, a következő formulát határozza meg:
/63,2/ a
1
ax edxea −∞
− =⋅⋅∫ , (a pozitív),
amely egyenlőségben azonban az integrál felső határát meghatározó ∞ -t bizonytalan kifejezésnek /gyűjtőfogalomnak/ kell tekintenünk az intrazeriális rendszernek a szempontjából.
Tegyük fel, hogy z valamely megnyilvánuló /véges/ pozitív szám. Számoljunk ezúttal a határozott végtelennel, mégpedig elsőfokú pontosság mellett. Ebben az esetben írhatjuk, hogy
aaxøoz
1
ax- e
1
øoz
edxea −−⋅
=⋅
−=⋅⋅∫ , (a pozitív).
Meggyőződhetünk róla, hogy meghatározásunk megegyezik a klasszikus matematika szerinti /63,2/ alatti meghatározással.
b.) Tegyük fel, hogy b→1. Akkor a b ٠Ø szorzat pozitív számértéket képvisel. Így tehát a fenti korlátozásnak, vagyis az a = pozitív feltételnek eleget téve, behelyettesíthetnénk a /63,2/ egyenlőségben a helyébe b ٠Ø szorzatot. Ámde ebben az esetben /63,1/ szerint:
bØbxØb-øo
1
xØb- ee
1
øo
edxeØb −⋅−⋅⋅⋅⋅ −=−=⋅⋅⋅∫ ,
132
a nyert meghatározás tehát nem azonos azzal, amit a /63,2/ formulába történt behelyettesítés révén nyerhetünk:
Øba ee ⋅−− = ,
hanem attól lényegesen eltér a -e-b taggal.
Egyszerű példáink is világosan rámutatnak arra, hogy a klasszikus matematika integrál-képleteit minden esetben gondosan felül kell vizsgálnunk, mielőtt a magasabbfokú pontosságú rendszerben is felhasználhatnók azokat.
Minden egyes – közhasználatban lévő – integrál-formulát újból kell képeznünk tehát, a legelemibb feltételekből kiindulva, hogy kiépíthessük az intrazeriális rendszer integrál-képlettárát, amely nem egyezik meg teljesen a klasszikus matematikáéval.
133
VIII. FEJEZET:
AZ INTRAZERIÁLIS MATEMATIKA SZÁMTARTOMÁNYA.
64.§. A 0 – 0 kifejezés sajátságai.
Mint már a 27. és 38.§. -ban kifejtettük, a 0 – 0 jelkép a voltaképpeni gyűjtőfogalmát képezi mindazoknak a felfoghatatlanul kicsiny abszolút-értékű számoknak, amelyeket még az intrazeriális matematika legmagasabbfokú pontossága mellett sem tudunk megkülönböztetni egymástól.
A véges értékű és a pozitív egységnél nagyobb m esetén fennálló
...Øm
Ø00
m
ØØ... m
mmm <<−<−<−
egyenlőtlenség világosan feltünteti azt a helyzetet, amelyet a 0 – 0 kifejezés foglal el az intrazeriális matematika számsorában.
Ebből a helyzetből következik, hogy az intrazeriális rendszernek a gyakorlatában a 0 – 0 kifejezés ugyanazt a szerepet tölti be, mint a klasszikus matematikában a közönséges értelemben vett, határozatlan zérus.
Az intrazeriális felfogás alapján, általában ugyanazt mondhatjuk el a 0 – 0 kifejezésről, mint ami a klasszikus matematika zérusával kapcsolatban ismeretes:
a./ ha 0 – 0 –t bármely véges számmal szorozzuk vagy osztjuk, mindig 0 – 0 marad,
b./ ha 0 – 0 –t hozzáadjuk valamely számhoz, vagy akár kivonjuk belőle, az illető számnak az értéke nem változik meg,
134
c./ nem tehetünk különbséget a +(0 – 0) és –(0 – 0) kifejezések között, a kifejezések előjelének és értékének a szempontjából,
d./ bármely számnak a 0 – 0 fokú hatványa mindenkor a pozitív egységgel egyenlő /27.§./,
e./ a (0 – 0)0-0 hatvány ugyancsak a pozitív egységgel tekinthető egyenlőnek /ha 0 – 0 nem kimondottan valamely koordinátarendszerbeli abszolút origót jelképez/; ezzel szemben azonban véges n érték esetén: (0 – 0)n = 0 – 0,
f./ a 0 – 0 jelkép: határozatlan és bizonytalan, meg nem állapítható értékű gyűjtőfogalom, amely csaknem abszolútan értéktelennek minősíthető, – sőt esetleg valóban abszolútan értéktelen is lehet /az origo körüli mikro-számfoltnak a közepén/,
g./ éppen a határozatlan voltánál fogva, a 0 – 0 kifejezés nem lehet osztó, nem lehet valamely törtnek a nevezője, – az efféle osztásból nyert hányados is csak bizonytalan lehetne, – minélfogva a 0 – 0 -val végzendő osztás mindenkor tilalmas művelet,
h./ végül pedig leszögezhetjük, hogy a 0 – 0 kifejezés sajátságai között mindössze egyet találunk, amelyben lényegesen eltér a klasszikus zérustól, ez a sajátsága pedig abban áll, hogy a határozott végtelennek bármely véges-fokú hatványával képzett szorzata ugyancsak 0 – 0 értékű:
/64,1/ 00)00(øo n −=−⋅ .
Figyelembe véve a 0 – 0 kifejezésnek a felsorolt sajátságait, ki kell jelentenünk tehát, hogy az intrazeriális felfogás elveinek és magasfokú pontosságának a bevezetésével korántsem küszöbölhettük ki a klasszikus matematika zérusa körül felmerülő, rendhagyó jelenségeket a matematika rendszeréből.
Az intrazeriális matematikának a bevezetésével mindenesetre elértük azonban, hogy gigantikus mértékben megnöveltük a matematika műveleti törvényeinek az érvényességi körét, kiterjesztvén a törvények érvényességét a megnyilvánuló számokon túl, a zeriálisan kicsiny és a végtelenül-nagy abszolút-értékű számoknak a felfoghatatlanul óriási kiterjedésű tartományaira is.
Hiszen belátható, hogy minden øon egységű számszint – tehát valamennyi számszint egyenként – éppen annyi számot tartalmaz és ennélfogva relatíve éppen olyan nagy kiterjedésű, mint a véges számoknak a szintje, illetőleg tartománya.
65.§. Az intrazeriális matematika számtartományának a határai.
Az intrazeriális matematika pontosságának a 0 – 0 jelkép szab határt.
A 64.§. g. pontjának az értelmében: mindazok a törtkifejezések, amelyeknek nevezőjét a 0 – 0 jelkép képezi, még a legmagasabbfokú intrazeriális pontosság számára is megközelíthetetlenek, meghatározhatatlanok maradnak. Hacsak nem tudjuk kifejezni az efféle törteket valamilyen másféle módon is, olyképpen, hogy ne kelljen a 0 – 0 jelképet alkalmaznunk a nevezőben.
Az intrazeriális matematika gigantikus kiterjedésű teljes számtartományának a határait a /64,1/ formulának az alapján határozhatjuk meg.
A /64,1/ egyenlőségre nézve feltételül kötöttük ki, hogy abban n -nek véges-értékű számnak kell lennie. Ha ez a feltétel valóban teljesül, akkor fennáll, miszerint
/65,1/ 0)-(0øo)00(øon ⋅=−⋅ .
Ha pedig az említett feltétel okvetlenül szükséges feltétele a /64,1/ egyenlőségnek, akkor
135
/65,2/ 00)00(øo nøo −≠−⋅⋅ .
Milyen értéket fejez ki azonban a /65,2/ egyenlőtlenségben feltüntetett szorzat?
Ahhoz, hogy ez az egyenlőtlenség valóban fennállhasson, fel kell tennünk, hogy a Øøo
hatvány egy olyan értéket határoz meg, amely beletartozik a 0 – 0 gyűjtőfogalomba, vagyis hogy az intrazeriális felfogás szerint:
/65,3/ 00Øøo −= .
Ebben az esetben valóban fennállhat, hogy a /65,2/ alatti szorzat:
/65,4/ 1Øøo)00(øo nøonøonøo =⋅=−⋅ ⋅⋅⋅
lehet, akármilyen véges értéket tulajdonítunk is az n számnak.
Mármost, ha feltesszük, hogy m valamely véges, de a pozitív egységnél feltétlenül nagyobb, tetszésszerinti számérték, akkor /65,3/ alapján:
m
1
m
øo
)00(Ø −= ,
és minthogy az intrazeriális matematika felfogása szerint, vagyis a 64.§. e. pontjának az értelmében, okvetlenül fenn kell állnia a
00)00( m
1
−=−
egyenlőségnek, azért írhatjuk, hogy
/65,5/ 00Ø m
øo
−= .
Ebből a meggondolásból következik, hogy ha
/65,6/ m
øo
Øv ≤ ,
akkor az intrazeriális matematika megkülönböztetései lehetőségei mellett:
/65,7/ 00v −= .
A v szám tehát már kívül esik az intrazeriális matematika törvényeinek az abszolút érvényességi körén.
136
Ha pedig a /65,6/ egyenlőtlenséget az m fokú hatványra emeljük, akkor:
/65,8/ øom Øv ≤
Tegyük fel továbbá, hogy v = 1/u. Ebben az esetben, a /65,8/ formulába való behelyettesítés végrehajtása után írhatjuk, miszerint:
/65,9/ øom øou ≥ .
A /65,7/ képlettel kapcsolatban már kimondottuk, hogy a v szám kívül esik az intrazeriális matematika törvényeinek az abszolút érvényességi körén. Amit a v számról állítunk, azt v -nek a reciprok értékéről, vagyis az u számról is állítanunk kell, ugyanebben a vonatkozásban.
A /65,8/ és /65,9/ formulákkal meghatározott u és v számok – az m hatványfoknak a tetszésszerinti megválasztása mellett, föltéve, hogy m a pozitív egységnél nagyobb véges szám, – meghatározzák tehát az intrazeriális matematika törvényrendszerének és így az intrazeriális matematika egész számtartományának is az alsó, illetőleg a felső határát.
Kimondhatjuk ennélfogva, hogy minden olyan k szám, amelyre nézve fennáll a
/65,10/ ukv <<
egyenlőtlenség: az intrazeriális matematika teljes számtartományába tartozik.
Valóban indokolt tehát az a fenti állításunk, hogy ennek a számtartománynak a méretei gigantikusak, sőt beláthatatlanok, és nemcsak gyakorlati értelemben megközelíthetetlenek.
A fenti gondolatmenet és a /65,10/ behatárolásnak az alapján azonnal belátható, hogy az intrazeriális matematikának az egész számtartományához viszonyítva: a klasszikus matematikának a teljes számtartománya /amelyen belül a műveleti törvények egységesek és változatlanok/ mindenestül jelentéktelenné válik.
66.§. Hiper-pontosságú matematikai rendszerek.
Ha a /65,3/ formulának az értelmében feltesszük, hogy
00Øøo −= ,
akkor – minthogy a 0 – 0 kifejezést úgyis a felfoghatatlanul kicsiny abszolút-értékű számok gyűjtőfogalmának kell tekintenünk az intrazeriális matematika rendszerében, – könnyen elképzelhetünk máris egy olyan „hiper-zeriális” matematikai rendszert, amelynek a pontossági foka, vagyis a megkülönböztetési lehetőségei olyan óriásiak, hogy az illető rendszer megvilágításában fennáll, miszerint a koordinátarendszernek a pozitív oldalán:
...n
Ø...
2
Ø...Ø...ØØØ...
n
Ø...
3
Ø
2
ØØ
øonøonøonøo4øo3øo2
øoøoøoøo
⋅⋅⋅⋅⋅⋅ >>>>>>>>> .
137
A koordinátarendszer negatív oldala természetesen ugyanilyen megkülönböztetéseket tesz lehetővé.
A hiper-zeriális matematika elképzelt felfogása szerint ezek a hatványok mind értékek, amelyek a megfelelő egységű koordinátarendszernek a tengelyein helyezkednek el, mindkét oldalon és egymástól megkülönböztethetően, mégpedig a
+±
⋅
n
ØØ
øonøo ( n >> 1 )
összeget meghatározó tengely-pontok és az origo között.
Az intrazeriális matematika felfogásában viszont ezek az értékek mind beletartoznak a 0 – 0 gyűjtőfogalomba.
A feltételezett hiper-zeriális rendszer tehát ugyanúgy viszonylik az intrazeriális rendszerhez, mint ahogy az intrazeriális matematika rendszere viszonylik a klasszikus matematikáéhoz. Hiszen az intrazeriális matematikában még egymástól tisztán megkülönböztethető zeriálisan-kicsiny értékek is egytől-egyig beletartoznak a klasszikus matematika 0 gyűjtőfogalmába.
Belátható azonban ugyanakkor, hogy a feltételezett hiper-zeriális rendszer sem lehet abszolútan tökéletes.
Magától értetődik, hogy ennek a hiper-zeriális rendszernek a legmagasabbfokú pontossága sem lehet elegendő ahhoz, hogy a )ØØ( øoøo − kifejezést, amelyet a 0 – 0 jelképnek az analógiájára alkottunk, még nem tudja megkülönböztetni az origótól.
A hiper-zeriális rendszernek is lesz tehát egy olyan gyűjtőfogalma, vagyis a )ØØ( øoøo − kifejezés, amelyre a 64.§. -nak az a, b, …g. pontjaiban felsorolt megállapítások ugyanúgy vonatkoznak, mint a 0 – 0 kifejezésre az intrazeriális rendszerben, valamint a határozatlan 0 -ra a klasszikus matematikában.
Elképzeléseink terén továbbhaladva egy lépéssel, föltehetjük viszont, hogy létezhetik egy olyan „ultra-hiperzeriális” matematikai rendszer is, amely tisztán meg tudja különböztetni egymástól a )ØØ( øoøo − gyűjtőfogalmon belüli számokat. Az efféle ultra-hiperzeriális rendszerben is találkoznunk kell azonban ismét egy olyan gyűjtőfogalommal, helyesebben a
)ØØ(22 øoøo −
kifejezéssel, amelyre a 64.§. a, b, …g. pontjaiban felsorolt megállapítások ugyanúgy vonatkoznak, mint a határozatlan zérusra a klasszikus matematikában. És így tovább.
Elképzelhető, hogy újabb és újabb lépcsőfokokon át emelkedő lépésekkel, talán a teljes határtalanságig megismételhetően, egyre finomabb és finomabb megkülönböztetésű – pontossági fokú – matematikai rendszerek valósíthatók meg.
Valamennyi rendszernek lesz azonban egy-egy olyan gyűjtőfogalma, amelyre nézve a 64.§. a, b,…g. pontjaiban felsorolt megállapítások egyöntetűen érvényesek.
Maga a matematikai pontosság tehát egyre fokozható, további rendszerek lépcsőzetes kiépítésével, az origo körüli mikro-számfoltot képviselő „gyűjtőfogalom” azonban csak szűkíthető, de semmiféleképpen sem küszöbölhető ki a magasabbfokú rendszerek megvalósítása és alkalmazása révén a matematikából.
138
67.§. A tökéletesen tiszta számértékek problémája.
Valamely egész számot akkor nevezhetünk tökéletesen tisztának, ha az illető egész számnak a saját értékéhez semmiféle σ értéktöbblet sem társul hozzá.
Minden számnak az értéke meghatározható a pozitív egységgel. Elegendő tehát, ha csak a pozitív egység tisztaságának a kérdésével foglalkozunk.
A klasszikus matematika felfogásában a tiszta egységnek az értéke: 1. De ugyanakkor kifejezhető ez az érték az
011 +=
egyenlőséggel is, amelyben zérus a zeriálisan kicsiny számoknak a gyűjtőfogalmát jelenti.
Legyen a továbbiakban n pozitív egész, m pedig tetszésszerinti véges szám.
Belátható, hogy amikor a klasszikus matematikában az egységnek a határozott értékéről beszélünk, akkor semmi sem biztosítja azt a körülményt, hogy az illető értékhez – az nØm ⋅ szorzattal kifejezhető )n,m(ε zeriálisan kicsiny értékek közül – egy sem, vagyis semmiféle ε szám sem társul. Mert ha társul is, erről a zérusfokú pontosság mellett egyszerűen nem vehetünk tudomást.
Az intrazeriális matematika megvilágítja és elkülöníti egymástól a zeriálisan kicsiny értékeket is. Ezért, ha az intrazeriális matematika pontossága szerint határozzuk meg az egységnek az értékét és azt 1 -nek találjuk, akkor bizonyosak lehetünk abban, hogy valóban nem társul hozzá az egységhez egyetlen ε érték sem.
Az intrazeriális matematika legmagasabbfokú pontossága mellett is fennáll azonban az alábbi lehetőség:
)00(11 −+= ,
amely egyenlőségben a 0 – 0 kifejezés ismét gyűjtőfogalmat képvisel, mégpedig /65,3/ szerint az nøo0m ⋅⋅ szorzattal kifejezhető )n,m(η értékeknek a gyűjtőfogalmát jelenti.
Az intrazeriális rendszer legmagasabbfokú pontosságával meghatározott 1 értékről is fel kell tételeznünk tehát, hogy esetleg mégsem tiszta érték, mert valamely η értéktöbblet tartozik hozzá, amely értéktöbbletről nincs és nem lehet tudomásunk a rendszer keretein belül.
A 66.§. -ban tárgyalt hiper-zeriális matematika az efféle η értékeket is megvilágítja és megkülönbözteti egymástól. A hiper-zeriális rendszer legmagasabbfokú pontossága mellett meghatározott 1 értékről ezért teljes bizonyossággal kimondhatjuk, hogy az valóban minden η értéktöbblettől mentes.
A hiper-zeriális rendszer érvényességi körén belül is fennáll azonban az
)ØØ(11 øoøo −+=
egyenlőség, amely ismét egy gyűjtőfogalmat tartalmaz, mégpedig az nøo2
Øm ⋅⋅ szorzattal kifejezhető (m,n) értékeknek a gyűjtőfogalmát. /66.§./.
És így tovább.
Mint az előző paragrafusban kimutattuk, minden matematikai rendszerben helyet kell adnunk egy efféle gyűjtőfogalomnak. Akármilyen mértékben fokozzuk is – újabb és újabb rendszereknek a kiépítésével – a megvalósítható legmagasabb-rendű rendszernek a precizitását,
139
mindenképpen ahhoz a megállapításhoz kell eljutnunk tehát, hogy az egységnek az értékét mindenkor az
σ+=11
egyenlőséggel határozhatjuk meg csupán, amely formában σ az éppen alkalmazott rendszernek az origo körüli mikro-számfoltra vonatkoztatott gyűjtőfogalma.
Akármeddig folytatjuk is egyre magasabb rendű matematikai rendszereknek a kiépítését, sohasem juthatunk el odáig, hogy a σ gyűjtőfogalmat kiküszöbölhessük a legutolsó rendszerből.
Ki kell mondanunk ennélfogva, hogy tökéletesen tiszta számértékekről nem beszélhetünk a matematikában.
Sőt – a rendszer-lehetőségek határtalanul nagy számát véve tekintetbe – jogosan föltehetjük, hogy tökéletesen tiszta számértékek nem is létezhetnek a matematika gyakorlatában, de még az elméletében sem. Minden esetben számolnunk kell ezért a pozitív egységnek valamely σ értékű szennyeződésével.
68.§. A geometriai haladvány összegzési képlete.
Mint tudvalevő, a véges tagszámú geometriai haladványnak az összegzési formulája:
/68,1/1x
xxx...xxx
ghg1hg2g1gg
−−=++++
+−+++ .
Nyilvánvaló, hogy pozitív, véges és reális x értéknek az esetén a /68,1/ alatti
/68,2/1x
xx)x(F
ghg
−−=
+
függvénynek szakadása nem állhat elő, mert a /68,1/ egyenlőségnek a bal oldala mindenkor véges, reális és határozott összeget foglal magában.
Azonnal belátható azonban, hogy a klasszikus matematika felfogása szerint az x = 1 helyen az F(x) függvény teljesen határozatlanná válik mégis, mert
/68,3/11
11)1(F
ghg
−−=
+
valóban értéktelen számlálójú és értéktelen nevezőjű törtkifejezés.
Az intrazeriális matematikának a magasfokú pontosságú rendszerében x→1 esetén hasonlóképpen fennáll az
00
00
1x
xxliminz
ghg
1x −−=
−−+
→
140
határozatlan értékű egyenlőség. Annak ellenére, hogy az Fx függvény az x = 1 helyen egyáltalán nem szakadhat meg és nem válhatik bizonytalanná.
Végül pedig tegyük fel, hogy a /68,2/ alatti törtkifejezésben mindkét különbséget tényleges kivonási műveletek eredményének kell tekintenünk. Akkor is
00
00
H11
H11
1x
xxliminz
1
)1(
ghgghg
1x
g
−−=
⋅−
⋅−=
−−
++
→ ,
miután az intrazeriális rendszer legmagasabbfokú pontossága mellett is /27,3/ szerint: H1=1, valamint /28,15/ alapján: 1H
)1( g = .
A függvényérték tehát mindhárom esetben határozatlan.
Márpedig ez nem lehetséges. Mert a függvénynek az értékét meghatározó /68,1/ egyenlőségnek a bal oldala x = 1 esetén mindenkor éppen h értéket képvisel, amikor is h -nak valamely pozitív egész számot kell jelentenie, a geometriai haladványban betöltött szerepénél fogva.
Ha valóban fennállhatna a fentebb vázolt helyzet, vagyis az a körülmény, hogy az x = 1 esetben a /68,1/ egyenlőségnek a bal oldalán határozott h érték, a jobb oldalán pedig ugyanakkor egy határozatlan függvénykifejezés áll, akkor a matematika máris célját és értelmét veszítené, mert jogosan kétségbe vonhatnók logikai rendszerének azt az általános és kivételeket nem tűrő érvényességét, amely nélkül a matematika megbízhatatlanná válnék és mint tudomány már nem is állhatna fenn tovább.
A 67.§. -ban tárgyaltaknak az alapján viszont könnyen bebizonyíthatjuk, hogy a /68,1/ formula valóban általános érvényességgel bír.
Legyen ugyanis σ = 0 – 0 valamely olyan csekély abszolút-értékű szám, amelyet az intrazeriális rendszerben értéktelennek kell minősítenünk, ámde a hiper-zeriális vagy annál is magasabb rendű rendszerek valamelyikének a szempontjából mégis határozott számértéknek kell tekintenünk.
A 67.§. -ban kimondottuk, hogy szennyeződésektől mentes, vagyis tökéletesen tiszta egység nem létezhetik a matematikában. A fenti x = 1 egyenlőségnek a feltételezésekor elkövettük tehát azt a hibát, hogy az egységnek az okvetlenül fennálló szennyeződését nem vettük tekintetbe, vagyis hogy nem az x = 1+σ egyenlőségnek az alapján végeztük számításainkat. /68,3/.
Az elkövetett hibát feltétlenül helyesbítenünk kell. Ha pedig ezt a helyesbítést végrehajtjuk, akkor /68,2/ alapján:
h1)1(
)1()1()1(F
ghg
=−σ+
σ+−σ+=σ++
,
ha az alkalmazott hiper-zeriális, vagy annál is magasabb rendű rendszernek a sajátos elsőfokú-pontosságával számolunk.
Az így meghatározott függvényérték valóban hibátlanul kielégíti a /68,1/ alatti egyenlőséget. Ennélfogva a geometriai haladvány összegzési képletének az általános érvényességében csakugyan nincs jogunk kételkedni.
Éppen a fenti gondolatmenet bizonyítja azonban annak a teóriának a helyességét is, hogy tökéletesen tiszta számértéket valamely változó sohasem vehet fel. Bizonyítékul szolgál továbbá arra nézve is, hogy teljes mértékben megvan a jogosultsága az intrazeriálisnál is magasabb rendű
141
matematikai rendszerek feltételezésének, mert helyes megoldáshoz bizonyos esetekben csakis az efféle rendszerek valamelyikének a számtartományában és szellemében juthatunk el. Bizonyítja végül még azt a szabályszerűséget is, hogy az egyensúlytörvény által determinált műveleti törvények minden rendű és rangú matematikai rendszerben azonosak, hiszen ha nem volnának azonosak, akkor a fenti F(1+σ) függvényértéket nem határozhattuk volna meg sablonosan, minélfogva a felvetett problémánknak megoldatlanul kellett volna maradnia.
Belátható tehát, hogy a geometriai haladványnak az egyszerű összegzési képlete már egymagában is elegendő bizonyítékot szolgáltat mindahhoz, amit a 66. és 67.§. -ban még csak feltételezett elvként tárgyaltunk és juttattunk kifejezésre.
A klasszikus matematika – a maga zérusfokú pontossága mellett – nem világíthatott rá a nála magasabbrendű intrazeriális rendszernek az általános érvényű műveleti törvényeire. Az intrazeriális rendszerben tárgyalt és feltárt műveleti törvények viszont már valamennyi – az intrazeriálisnál is magasabb rangú – matematikai rendszert egyképpen kielégítik.
69.§. Az y = x-m függvény.
A pozitív egységnél nagyobb és véges m számnak a feltételezése mellett, tegyük vizsgálat tárgyává az
mxy −=
függvényt.
Ha a függvényt valamely koordinátarendszerre vonatkoztatjuk a megnyilvánuló /véges/ számok szintjén, akkor x -nek az origo körüli mikro-értékei – a 45.§. -ban foglaltak értelmében – még úgy tekinthetők, „mintha” ugyanabban a koordinátarendszerben foglaltatnának benne. A függő y változónak a végtelenül-nagy értékei azonban már csak matematikailag fejezhetők ki, az alapul vett koordinátarendszerben nem ábrázolhatók.
Vizsgáljuk meg a függvényt a mikro x -értékek helyeinél.
Az origo helyén, a klasszikus matematika a függvényt az
∞=y
kifejezéssel határozza meg, ha m páros, – másrészt pedig
±∞=y
kifejezéssel írja körül a függvénynek az értékét, ha m páratlan szám.
Ez az utóbbi kifejezés azonban voltaképpen semmit sem jelent.
Nem tételezhető fel ugyanis, hogy a ∞± kifejezésben a kétféle előjel egyszerre érvényesül. Mert mégha gyűjtőfogalomnak tekintjük is a végtelent, mint ahogy a klasszikus matematika értelmezi, akkor sincs értelme annak, hogy ez a gyűjtőfogalom pozitív és negatív is legyen egyidőben.
Ha viszont úgy fogjuk fel, hogy ∞ -t vagy pozitívnak, vagy negatívnak kell tekintenünk, akkor máris ellentmondásba kerülünk azzal a határozott műveleti törvénnyel, amely szerint a páratlan –m fokú hatványnak az értéke mindenkor ugyanolyan előjelű kell, hogy legyen, mint
142
amilyen a hatványlapnak az előjele. Mert még a klasszikus matematika felfogásában is azonnal belátható, hogy az origo helyén az x változónak semmiféle előjele nincs és nem is lehet.
Az efféle meghatározásokban rejlő ellentmondás és bizonytalanság – magától értetődően – a klasszikus matematika zérusfokú pontosságának a következménye.
Ezzel szemben, az intrazeriális rendszer megvilágításában nyilvánvaló, hogy a koordinátarendszer x -tengelyén az origónak a tényleges helyét csak megközelítésekkel határolhatjuk körül /38.§./, az úgynevezett origo-foltig, amelynek a belső világába már nem hatolhatunk be.
Vizsgáljuk meg tehát az efféle megközelítéseket.
Mindenekelőtt meg kell gondolnunk, hogy az y függvénynek a helyi értékei páros m esetén pozitív előjelűek. Mármost, ha arra a problémára kívánunk világosságot deríteni, hogy az y függvénynek az elérhető maximális helyi értéke még mindig az intrazeriális matematika számtartományának a határain belül marad-e, vagy pedig túlhaladja-e ezeket a határokat, akkor elegendő azokat a megközelítő eseteket megvizsgálnunk, amikor x pozitív előjelű, m pedig páros szám.
Az intrazeriális matematika legmagasabbfokú pontossága mellett, azonnal megállapíthatjuk, miszerint páros számértékű m -nek a feltételezése során:
x = Ø esetén y = øom ,
x = Ø2 esetén y = øo2m ,
………….
x = Ø n esetén y = øonm .
A megközelítő meghatározások mind egyértelműek. Nem fordulhat elő tehát olyan eset, amikor a kétoldalról felváltva eszközölt megközelítések során – páratlan m értéknek a feltételezése mellett – a függvény bizonytalan előjelet nyer.
Belátható továbbá, hogy az n számmal kifejezhetjük az elképzelhető legnagyobb véges egész-számnak az értékét is. Az y függvénynek az nØx = helyre vonatkozó értékét még ebben az esetben is a határozott végtelennek valamely véges fokú hatványa határozza meg.
A /65,9/ és /65,10/ formuláknak a tekintetbe vétele mellett, kimondhatjuk tehát, hogy amennyiben x az intrazeriális matematikának a számtartományán belül marad, akkor az mxy −= függvénynek az értékei sem léphetik túl az intrazeriális rendszer számtartományának a határait, bármilyen nagy véges szám is m.
Nyilvánvaló végül az a körülmény is, hogy hiába térnénk át a hiper-zeriális vagy még magasabb rendű matematikai rendszerekre, az abszolút értelemben felfogott origónak a helyét még akkor sem, semmiképpen sem tudnók meghatározni. /38.§./.
Az x = origo helyen az y függvény valóban csak akkor nyerhetne értelmet, ha az y -tengelyt – mindkét irányban – a teljes határtalanságig tudnók kiterjeszteni.
70.§. Az y = m x függvény értéktartománya.
143
Tételezzük fel ismét, hogy m a pozitív egységnél nagyobb véges szám, majd tegyük vizsgálat tárgyává – különleges szempontból – az
/70,1/ xmy ⋅=
egyszerű függvényt.
Kíséreljük meg a következő elgondolásnak a megvalósítását. Annak ellenére, hogy logikai képtelenségnek tűnik fel egy olyan pozitív véges egész-számnak a feltételezése, amely számnál már nem létezhetik nagyobb értékű véges szám, kísérletképpen ruházzuk fel mégis a W számot azzal a sajátsággal, amely szerint W a „lehetséges legnagyobb” véges egész-számmal egyenlő a számok egész birodalmában.
Ezek után, ha feltesszük, hogy x = W, akkor a /70,1/ függvénynek az értéke az x = W helyen, kétségtelenül:
Wmy ⋅= .
A szorzási művelet azonban az egyik tényezőnek az ismételt összeadását jelenti. Véges számok összegzésével csak véges számot nyerhetünk eredményül, mert könnyen belátható, hogy az összeg meg kell, hogy maradjon azon a számszinten, amely számszintre kivétel nélkül valamennyi összeadandó tag tartozik. Ha tehát két véges számot szorzunk össze, akkor a szorzat minden esetben maga is csak véges lehet. Nyilvánvalóan tévedtünk ennélfogva abban az elképzelésünkben, amikor W -t tekintettük a létező legnagyobb véges számnak, mert az Wm ⋅ szorzat még W -nél is nagyobb véges szám kell, hogy legyen, – legalább is a klasszikus matematika felfogása szerint.
Eredeti szándékunkat szem előtt tartva, helyettesítsük most a véges Wm ⋅ szorzatot x -nek a helyébe. Ebben az esetben a /70,1/ függvénynek a helyi értéke:
Wmy 2 ⋅= ,
amely WmmWm2 ⋅⋅=⋅ szorzat – a fentiek értelmében – még mindig véges szám marad. Nyilvánvaló ugyanis, hogy véges számnak véges fokú hatványa mindenkor csak véges szám lehet.
Véges számértéket fejez ki ennélfogva az Wm 1W ⋅− szorzat is. Az y függvénynek a helyi értéke tehát az Wmx 1W ⋅= − helyen:
Wmy W ⋅= .
Követett eljárásunkat tovább is folytathatjuk, az
...,Wm...,Wm,Wmy W22W1W ⋅⋅⋅= ++
függvényértékek felé, sőt azokon túl is. A nyert függvényértékek mindenkor véges számok lehetnek csupán. Magától értetődik, hogy ez nem is lehetséges másként, mert véges
144
számértékeknek a szorzata sohasem érheti el a végtelent, – a számszintek teóriájának az értelmében.
Mindezeket meggondolva, be kell látnunk tehát, hogy követett eljárásunkat akármeddig, akár a teljes határtalanságig is kiterjeszthetjük, mégpedig a nélkül, hogy y -nak az értéktartománya valaha is túl-léphetne a véges számok tartományának a határain
Negatív egész-számú és véges x értékek esetén ugyanezeket a lépéseket ismételhetjük meg, ugyancsak a teljes határtalanságig, ugyanolyan feltételek mellett.
Logikusan felmerül tehát a kérdés: hogyan növelhetők a véges számértékek mind pozitív, mind negatív irányban a teljes határtalanságig a nélkül, hogy valaha is megközelítenék vagy elérhetnék a végtelent?
Más fogalmazásban pedig: milyen nagy kiterjedésű valójában az y =m x függvénynek az értéktartománya, ha m véges szám és ha x változó sem hagyhatja el a véges számok számszintjét?
A feltett kérdések nyilvánvalóan arra a körülményre mutatnak rá, hogy a számszintek eddigi teóriája – abban a fogalmazásban, ahogy azt a 13.§. -ban és azóta értelmeztük – nem tartható fenn tovább.
Már a 13.§. -ban is hangsúlyoztuk azonban, hogy a számszintek elmélete, a megadott formájában, csak segéd-teóriaként játszik szerepet az intrazeriális matematikai rendszer bevezetésében.
Feltett kérdéseinkre a továbbiakban, csakis a szférikus analízis útján adhatunk kielégítő feleletet. A szférikus analízis során olyképpen módosítjuk és egészítjük ki a számszintek elméletét, hogy az megfeleljen nemcsak a logika követelményeinek, hanem a matematika alapvető elvének, vagyis az egyensúlytörvény feltételeinek is.
Szükségünk van erre a módosításra és kiegészítésre márcsak azért is, hogy világosan áttekinthessük végre az intrazeriális matematika totális számtartományát, amelybe a véges számok határtalan szintje is beletartozik.
145