7/23/2019 K006423265.doc

http://slidepdf.com/reader/full/k006423265doc 1/4

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 1

GRUP SIKLIS

Definisi:Suatu grup G disebut siklis, jika untuk sejumlah a∈G, setiap

elemen x∈G berbentuk an (n=bilangan bulat). Elemen a disebut

generator  dari G. Generator dapat lebih dari sebuah. Jika G grupsiklis yang dibangun oleh a, maka ditulis G=(a). Elemen-elemengrup G tersebut dapat ditulis sebagai ...., a-!, a-", a-#, a$=e, a#, a",a!, ....

%ontoh-&ontoh• S='#, -# dengan operasi perkalian adalah grup siklis dengan

generator -#.

• G='#,-#,i,-i dengan operasi perkalian biasa adalah grup siklis.

Generatornya adalah i dan -i. G dapat dinyatakan sebagai 'i,i", i, *! atau '(-i), (-i)", (-i)!, (-i) .

• G='x + xn = # adalah grup siklis. Generatornyae

in

2π .

•   M  =   −− −

− 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

1 0

0 1

1 0

0 1

0 1

1 0

0 1

1 0, , ,   dengan operasi

perkalian matriks merupakan grup siklis dengan generator 0 1

1 0

− 

 

 

   .

•   N  =  − −

− − 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

1 0

0 1

1 0

0 1

1 0

0 1

1 0

0 1, , ,   dengan operasi

perkalian matriks bukan merupakan grup siklis. eriksalah.

• Grup ,/0 merupakan grup siklis dengan generator = #.

Pertemuan 15 

7/23/2019 K006423265.doc

http://slidepdf.com/reader/full/k006423265doc 2/4

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 2 

Sifat-sifat Grup Siklis

Teorema-teorema:• Setiap grup siklis adalah abelian.

• 1rder grup siklis sama dengan order generatornya.

• Generator grup siklis yang berorder n adalah semua elemen ap,

$2p2n, p prima terhadap n.

%ontoh-&ontoh

• G='x +x! = # dengan operasi perkalian biasa. (G,.) adalah grup

siklis order !. %arilah generator-generatornya.• G='a, a", a!, a, a3, a4=e dengan operasi perkalian biasa

adalah grup siklis. 5erapakah ordernya6 %arilah generator-generatornya.

• G='#,",!,,3,4 dengan operasi perkalian modulo 7. G adalah

grup siklis. 5erapakah ordernya6 %arilah generator-generatornya.

• 5uktikah bah8a setiap grup berorder ! adalah siklis.

KOMPLEKS

Definisi:Suatu kompleks adalah subset dari suatu grup.

SUGRUP

Definisi:#. Suatu subset tak kosong 9 dari grup G disebut subgrup, jika

komposisi biner di G berlaku pula di 9, dan 9 adalah grup diba8ah komposisi biner tersebut. :da " subgrup dari G yangtri!ial, yakni G sendiri dan 'e. Suatu subgrup yang tidak tri;ialdisebut su"grup se#ati.

Pertemuan 15 

7/23/2019 K006423265.doc

http://slidepdf.com/reader/full/k006423265doc 3/4

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 3

". Suatu grup yang tidak mempunyai subgrup sejati disebut grup

se$er%ana (simple group).

!. <ompleks belum tentu subgrup, tetapi subgrup pasti kompleks.

• nsur kesatuan subgrup sama dengan unsur kesatuan grup.

• *n;ers tiap elemen subgrup sama seperti in;ers elemen

tersebut dalam grup.

• 1rder tiap elemen subgrup sama seperti order elemen tersebut

dalam grup.

%ontoh-&ontoh

• Grup aditi> bilangan bulat adalah subgrup dari grup aditi> 

bilangan rasional.

• Grup multiplikati> bilangan rasional positi> adalah subgrup dari

grup multiplikati> bilangan riil tak nol.

• Grup multiplikati> '#,-# adalah subgrup dari grup multiplikati> 

'#,-#,i,-i.• S='$,", dengan operasi jumlah modulo 4 adalah subgrup dari

grup '$,#,",!,,3 dengan operasi jumlah modulo 4.

• andang G = grup matriks "x" bilangan riil dengan determinan

≠ $, dengan operasi perkalian matriks. :mbil 9 = himpunan

matriks diagonal "x" bilangan riil dengan determinan ≠  $,

dengan operasi perkalian matriks. 9impunan 9 merupakansubgrup dari G. erhatikan bah8a 9 komutati>, 8alaupun Gtidak komutati>.

%ontoh-&ontoh

• Grup aditi> bilangan asli adalah kompleks dari grup aditi> 

bilangan rasional.

Pertemuan 15 

7/23/2019 K006423265.doc

http://slidepdf.com/reader/full/k006423265doc 4/4

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 4

• Grup multiplikati> bilangan rasional negati> adalah kompleks

dari grup multiplikati> bilangan riil tak nol.

• Grup multiplikati> '-#, # adalah kompleks dari grup multiplikati> '#,-#,i,-i.

• S='$,", dengan operasi jumlah modulo 4 adalah kompleks

dari grup '$,#,",!,,3 dengan operasi jumlah modulo 4.

Teorema-teorema:

• Suatu subset 9 dari G adalah subgrup jika dan hanya jika ab ∈

9, untuk setiap a,b ∈ 9, dan a-# ∈ 9, untuk setiap x ∈ 9.

• Syarat &ukup dan perlu agar subset tak kosong 9 dari grup G

merupakan subgrup adalah a.b-# ∈ 9, untuk setiap a,b ∈ 9.

• *risan dua subgrup dari grup G adalah subgrup dari G juga.

• Gabungan dua subgrup dari grup G adalah subgrup dari G, jika

dan hanya jika yang satu ter&akup dalam yang lain.

• Setiap subgrup dari grup siklis adalah siklis juga.

• Setiap subgrup dari grup siklis tidak berhingga adalah tak

berhingga.5uktikanlah.

Pertemuan 15