Download - K006423265.doc
7/23/2019 K006423265.doc
http://slidepdf.com/reader/full/k006423265doc 1/4
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 1
GRUP SIKLIS
Definisi:Suatu grup G disebut siklis, jika untuk sejumlah a∈G, setiap
elemen x∈G berbentuk an (n=bilangan bulat). Elemen a disebut
generator dari G. Generator dapat lebih dari sebuah. Jika G grupsiklis yang dibangun oleh a, maka ditulis G=(a). Elemen-elemengrup G tersebut dapat ditulis sebagai ...., a-!, a-", a-#, a$=e, a#, a",a!, ....
%ontoh-&ontoh• S='#, -# dengan operasi perkalian adalah grup siklis dengan
generator -#.
• G='#,-#,i,-i dengan operasi perkalian biasa adalah grup siklis.
Generatornya adalah i dan -i. G dapat dinyatakan sebagai 'i,i", i, *! atau '(-i), (-i)", (-i)!, (-i) .
• G='x + xn = # adalah grup siklis. Generatornyae
in
2π .
• M = −− −
−
1 0
0 1
1 0
0 1
0 1
1 0
0 1
1 0, , , dengan operasi
perkalian matriks merupakan grup siklis dengan generator 0 1
1 0
−
.
• N = − −
− −
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1, , , dengan operasi
perkalian matriks bukan merupakan grup siklis. eriksalah.
• Grup ,/0 merupakan grup siklis dengan generator = #.
Pertemuan 15
7/23/2019 K006423265.doc
http://slidepdf.com/reader/full/k006423265doc 2/4
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 2
Sifat-sifat Grup Siklis
Teorema-teorema:• Setiap grup siklis adalah abelian.
• 1rder grup siklis sama dengan order generatornya.
• Generator grup siklis yang berorder n adalah semua elemen ap,
$2p2n, p prima terhadap n.
%ontoh-&ontoh
• G='x +x! = # dengan operasi perkalian biasa. (G,.) adalah grup
siklis order !. %arilah generator-generatornya.• G='a, a", a!, a, a3, a4=e dengan operasi perkalian biasa
adalah grup siklis. 5erapakah ordernya6 %arilah generator-generatornya.
• G='#,",!,,3,4 dengan operasi perkalian modulo 7. G adalah
grup siklis. 5erapakah ordernya6 %arilah generator-generatornya.
• 5uktikah bah8a setiap grup berorder ! adalah siklis.
KOMPLEKS
Definisi:Suatu kompleks adalah subset dari suatu grup.
SUGRUP
Definisi:#. Suatu subset tak kosong 9 dari grup G disebut subgrup, jika
komposisi biner di G berlaku pula di 9, dan 9 adalah grup diba8ah komposisi biner tersebut. :da " subgrup dari G yangtri!ial, yakni G sendiri dan 'e. Suatu subgrup yang tidak tri;ialdisebut su"grup se#ati.
Pertemuan 15
7/23/2019 K006423265.doc
http://slidepdf.com/reader/full/k006423265doc 3/4
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 3
". Suatu grup yang tidak mempunyai subgrup sejati disebut grup
se$er%ana (simple group).
!. <ompleks belum tentu subgrup, tetapi subgrup pasti kompleks.
• nsur kesatuan subgrup sama dengan unsur kesatuan grup.
• *n;ers tiap elemen subgrup sama seperti in;ers elemen
tersebut dalam grup.
• 1rder tiap elemen subgrup sama seperti order elemen tersebut
dalam grup.
%ontoh-&ontoh
• Grup aditi> bilangan bulat adalah subgrup dari grup aditi>
bilangan rasional.
• Grup multiplikati> bilangan rasional positi> adalah subgrup dari
grup multiplikati> bilangan riil tak nol.
• Grup multiplikati> '#,-# adalah subgrup dari grup multiplikati>
'#,-#,i,-i.• S='$,", dengan operasi jumlah modulo 4 adalah subgrup dari
grup '$,#,",!,,3 dengan operasi jumlah modulo 4.
• andang G = grup matriks "x" bilangan riil dengan determinan
≠ $, dengan operasi perkalian matriks. :mbil 9 = himpunan
matriks diagonal "x" bilangan riil dengan determinan ≠ $,
dengan operasi perkalian matriks. 9impunan 9 merupakansubgrup dari G. erhatikan bah8a 9 komutati>, 8alaupun Gtidak komutati>.
%ontoh-&ontoh
• Grup aditi> bilangan asli adalah kompleks dari grup aditi>
bilangan rasional.
Pertemuan 15
7/23/2019 K006423265.doc
http://slidepdf.com/reader/full/k006423265doc 4/4
Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 4
• Grup multiplikati> bilangan rasional negati> adalah kompleks
dari grup multiplikati> bilangan riil tak nol.
• Grup multiplikati> '-#, # adalah kompleks dari grup multiplikati> '#,-#,i,-i.
• S='$,", dengan operasi jumlah modulo 4 adalah kompleks
dari grup '$,#,",!,,3 dengan operasi jumlah modulo 4.
Teorema-teorema:
• Suatu subset 9 dari G adalah subgrup jika dan hanya jika ab ∈
9, untuk setiap a,b ∈ 9, dan a-# ∈ 9, untuk setiap x ∈ 9.
• Syarat &ukup dan perlu agar subset tak kosong 9 dari grup G
merupakan subgrup adalah a.b-# ∈ 9, untuk setiap a,b ∈ 9.
• *risan dua subgrup dari grup G adalah subgrup dari G juga.
• Gabungan dua subgrup dari grup G adalah subgrup dari G, jika
dan hanya jika yang satu ter&akup dalam yang lain.
• Setiap subgrup dari grup siklis adalah siklis juga.
• Setiap subgrup dari grup siklis tidak berhingga adalah tak
berhingga.5uktikanlah.
Pertemuan 15