jun o'hara- a note on y-energies of knots
TRANSCRIPT
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 1/11
Æ Ó Ø Ó Ò ¹ Ò Ö × Ó Ã Ò Ó Ø ×
Â Ù Ò Ç ³ À Ê
Ñ Ö ½ ½ ¸ ¾ ¼ ¼
× Ø Ö Ø
Ï × Ø Ù Ý ½ ¹ Ó Ö Ñ Û Ò Ú Ò Ý Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Û Ý º
Ï Ø Ò × Ø Ù Ý Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ð × × × Ó Ø Ø Ó ¹ Ö Ñ Ó Ò Ø
× Ô Ó Ò Ó Ø × Û Ö Ñ Ö Ó Ñ Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ º
½ Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò
Ì × Ø Ù Ý Û × Ñ Ó Ø Ú Ø Ø Ó Ñ Ö Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Û Ó
Á Ò Ç ½ ℄ Û ¬ Ò Ø Ò Ö Ý Ó Ò Ó Ø º Á Ø Ò Ó Ò × Ö × Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ò
Ó Ñ Ó ¬ Ð Ø Ö Ó × Ø Ø Ò Ö Ý Ó Ö Ò Ó Ø º Á Ø Ñ × Ù Ö × Ó Ñ Ø Ö Ó Ñ Ô Ð Ü Ø Ý
Ó Ò Ó Ø × º Ä Ø Ö Ó Ò ¸ Ø Û × Ô Ö Ó Ú Ø Ó Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ´ À Ï ℄ µ º
Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸ Ä Ò Ò Ï Ò Ú Ù Ò Ø Ó Ò Ð × × × Ó Ø Ø Ó Ó Ó Ö Ö Ñ ×
Ó Ò Ø × Ô Ó Ò Ó Ø × Ù × Ò ½ ¹ Ó Ö Ñ Û Ó Ñ × Ö Ó Ñ Ø Ù × × Ò Ø Ö Ð Ó Ö Ñ Ù Ð
Ó Ö Ø Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö ´ Ä Ï ℄ µ º
Ì Ò Ö Ý Ó Ò Ó Ø Ò Ó Ò × Ö × Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò ¹
Ø Û Ò Ô Ö Ó Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Ò Ó Ø º Ä Ø Ù × Ô Ö Ó Ø Ó × Ø Ù Ý Ù Ò Ø Ó Ò Ð × × Ó Ø Ø Ñ Ó Ö
Ø Ò Ø Û Ó Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Ò Ó Ø Ö Ò Ú Ó Ð Ú Ò Ø Ò Ø Ö Ò × º Ó Ö Ø × Ô Ù Ö Ô Ó × ¸ Û × Ø Ù Ý
Ù Ò Ø Ó Ò Ð × × × Ó Ø Ø Ó Ó Ö Ö Ñ Ó Ø × Ô Ó º
Ï ¬ Ö × Ø × Ó Û Ø Ø Ú Ø Ó Ö Ò Ê
¿
Ò Ú ¸ Ò Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Û Ý ¸
Ú Ø Ó Ö ¬ Ð ¸ Ó Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý ¸ ½ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Ó Ø Ô Ó Ò Ø Ö Ó Ñ Û Ø
Ú Ø Ó Ö × Ø Ö Ø × º Ì × Ò Ó Ò Ý Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ø Ó Ò Ó Ø Ú Ø Ó Ö ¸ Û ×
Ò Ö Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ó Ø Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ä Ç ℄ º Ï Ò Ô Ð Ý × Ñ Ð Ö Ñ Ø Ó Ø Ø
Ò Ä Ï ℄ Ý × Ù × Ø Ø Ù Ø Ò Ø × Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ö Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ö Ó Ñ
Ø Ù × × Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö º Ù Ø Ù Ò Ó Ö Ø Ù Ò Ø Ð Ý ¸ Ø Ó × Ò Ó Ø Û Ó Ö Û Ð Ð
Á Ø Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ø Ó Ù Ö Ù Ò Ø Ó Ò Ð × Ö Ø Ö Ò Ø Ð Ð Ý ¼ Ó Ö Ò Ø Ð Ý · ½ Ó Ö Ò Ý
Ò Ó Ø º
Ì × Ö Ø Ð × Ö Ú × × Ò Ö Ö Ø Ø Ó Ø Ù Ø Ó Ö ³ × Ø Ð Ø Ø Å Ë Ë Ô Ö Ò Ï × Ø Ö Ò
Ë Ø Ó Ò Ð Å Ø Ò Ø Ë Ò Ö Ò × Ó Ò Å Ý ¾ ¼ ¼ ¿ º À Ô Ö × Ò Ø Ó Ù Ö Ò × Ó ¹
Ò Ö × Ø Û Ó Ö Ó Ò Ó Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Ò Ø Ó Ø Ö Ø Û Ó Ò Ó Ø º Ù Ø Ø ¬ Ö × Ø Ó Ò Ø Ù Ö Ò ×
Ó Ù Ø Ø Ó ¼ ¸ Ø × Ó Ò Ó Ò Ú Ö × ¸ Ò Ø Ø Ö Ó Ò Û × Ð Ö Ý Ú Ò Ò Ä Ò Ò
Ï Ò ³ × Ô Ô Ö ¸ Ò Ø Ó Ö Ø Ó Ò Ò Ó Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ø Ö Ó Ò Ý Ö Ô Ð Ò Ø
Ò Ø Ö Ò Ý Ø × × Ó Ð Ù Ø Ú Ð Ù º
½
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 2/11
¾ Ì Ö × Ù Ð Ø × Ý Ä Ò Ò Ï Ò
Ä Ø Ù × × Ø Ö Ø Û Ø Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ø × Ø Ù Ý Ý Ä Ò Ò Ï Ò Ä Ï ℄ º
¾ º ½ Ì Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö
Ä Ø Ä Ã
½
Ã
¾
¾ ¹ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ò Ò Ê
¿
Û Ø Ã
½
́ Ë
½
µ Ò Ã
¾
́ Ë
½
µ º È Ù Ø
³ Ê
¿
¢ Ê
¿
Ò ¡ ¿ ́ Ü Ý µ
Ü Ý
Ü Ý
¾ Ë
¾
´ ½ µ
¬ Ò Ñ Ô ³
Ä
Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ù × Ã
½
¢ Ã
¾
Ø Ó Ë
¾
Ý ³
Ä
³
Ã
½
¢ Ã
¾
º Ì Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö
Ä ́ Ã
½
Ã
¾
µ Ó Ã
½
Ò Ã
¾
× Õ Ù Ð Ø Ó Ø Ö Ó ³
Ä
º
Ä Ø
Ë
¾
Ø Ù Ò Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ó Ö Ñ Ó Ë
¾
Ë
¾
½
Ü
½
Ü
¾
Ü
¿
· Ü
¾
Ü
¿
Ü
½
· Ü
¿
Ü
½
Ü
¾
Ü
¿
´ ¾ µ
¬ Ò ¾ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ò Ê
¿
¢ Ê
¿
Ò ¡ Ý ³
£
Ë
¾
º Ì Ò Ø Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö Ò
Ü Ô Ö × × Ý Ø Ù × × Ò Ø Ö Ð
Á ́ µ
Ã
½
¢ Ã
¾
³
Ä
£
Ë
¾
Ã
½
¢ Ã
¾
́ Ü Ý µ
½
Ë
½
¢ Ë
½
Ø ´
¼
́ × µ
¼
́ Ø µ ́ × µ ́ Ø µ µ
́ × µ ́ Ø µ
¿
× Ø ´ ¿ µ
Û Ö ́ × µ ́ Ø µ Ö Ó Ò × Ö × Ó Ð Ù Ñ Ò Ú Ø Ó Ö × Ò ¢ Ò Ó Ø × Ø Ú Ø Ó Ö Ô Ö Ó Ù Ø
Ò Ê
¿
º
¾ º ¾ Á Ò Ø Ö Ø Ó Ò × × Ó Ø Û Ø Ó Ö Ö Ñ ×
Ì Ó Ö Ñ Ù Ð ´ µ Ò ´ ¿ µ Ò Ó Ò × Ö × Ø Ò Ø Ö Ð × Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ó Ò ×
Ø Û Ò Ô Ö Ó Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Ò Ó Ø Ó Ö Ð Ò º Ï Ò Ò Ö Ð Þ Ø Ñ Ý Ø Ò Ò Ø Ó
Ó Ù Ò Ø Ñ Ó Ö Ó Ñ Ô Ð Ü Ó Ñ Ò Ø Ó Ò × Ó Ô Ó Ò Ø × º
Ó Ö Ø × Ô Ù Ö Ô Ó × ¸ Ø × Ò Ø Ù Ö Ð Ø Ó Ù × × Ó ¹ Ð Ð Ó Ö Ö Ñ × Û Ö Ù × Ò
Ø × Ø Ù Ý Ó Ø Ã Ó Ò Ø × Ú Ò Ø Ö Ð Ó Ø Î × × Ð Ú Ò Ú Ö Ò Ø º Ì Ò ´ µ Ò
Ó Ò × Ö Ø Ó × × Ó Ø Û Ø Ø ¹ Ö Ô × Ð Ð Ù × Ø Ö Ø Ò Ù Ö ½ ¸ Ò ´ ¿ µ
Û Ø Ø Ò Ù « × Ö Ô º
¾ º ¿ Ù × × Ò Ø Ö Ð × Ó Ø Û Ø Ó Ö Ö Ñ ×
Á Ø × Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ó Ú Ø Ó Ñ Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ð × × Ó Ø Û Ø Ó Ö Ö Ñ ×
× Ù × Ø Ó Ó Ò ¬ Ù Ö Ø Ó Ò × Ô º Ä Ø Ô
½
¡ ¡ ¡ Ô
Ò
Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Ò Ó Ö Ò Ø Ò Ó Ø º Ï
Û Ö Ø Ô
½
¡ ¡ ¡ Ô
Ò
Ø Ý Ð Ó Ö Ö Ó Ô
½
¡ ¡ ¡ Ô
Ò
Ó Ò × Û Ø Ø Ó Ö Ò Ø Ø Ó Ò Ó
Ø Ò Ó Ø º È Ù Ø
Ó Ò
¿ ½
́ Ã Ê
¿
µ ́ Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
Ü µ Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
¾ Ã Ü ¾ Ê
¿
Ò Ã Ý
Ý
́ µ
©
Í
̈
́ Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
Ü µ ¾ Ó Ò
¿ ½
́ Ã Ê
¿
µ
¬
¬
Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
©
´ µ
¾
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 3/11
Ù Ö ½ Ì ¹ Ö Ô
¬ Ò Ø Ó Ò ¾ º ½ ´ Ä Ï ℄ µ Ä Ø ³
£
Ë
¾
× Ó Ö º ¬ Ò Ø ¹ Ù × × Ò Ø Ö Ð Ò
¹ Ù × × Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ó Ø Ã Ý
Á
́ Ã µ
Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
Ý
́ Ý
½
Ý
¿
µ ́ Ý
¾
Ý
µ ´ µ
Á
́ Ã µ
Í
́ Ü Ý
½
µ ́ Ü Ý
¾
µ ́ Ü Ý
¿
µ ´ µ
Ù Ö ¾ Ì ¹ Ö Ô
Ù Ö ¿ Ì ¹ Ö Ô
Ì Ó Ö Ñ ¾ º ¾ ´ Ì ℄ ¸ Ä Ï ℄ µ Ì Ö Ó Ð ×
½
Á
́ Ã µ
½
¿
Á
́ Ã µ ·
½
¾
Ú
¾
́ Ã µ
Û Ö Ú
¾
́ Ã µ × Ø × Ó Ò Ó Æ Ò Ø Ó Ø Ó Ò Û Ý Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð º
¾ º Ü Ô Ö × × Ó Ò Ò Ø Ö Ñ × Ó ½ ¹ Ó Ö Ñ
Á Ò Ó Ö Ö Ø Ó Ò Ö Ð Þ Á
́ Ã µ Ò Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ó Ñ Ø Ö Û Ý Ò Ë Ù × Ø Ó Ò ¸ Û Ú
Ò Ó Ø Ö Ü Ô Ö × × Ó Ò Ó Á
́ Ã µ º
Ó Ö Ú Ø Ó Ö Ú ¾ Ì
Ý
Ê
¿
Û ¬ Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð
́ Ý Ú µ Ó Ò Ê
¿
Ò Ý Ý
́ Ý Ú µ ́ Ü µ
½
¡
Ü Ý
Ü Ý
¿
¢ Ú
½
Ú ¢ Ö
½
Ü Ý
́ Ü ¾ Ê
¿
Ò Ý µ
¿
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 4/11
Ò ½ ¹ Ó Ö Ñ
́ Ý Ú µ Ó Ò Ê
¿
Ò Ý Ý
́ Ý Ú µ ́ Ù µ Ù ¡
́ Ý Ú µ ́ Ü µ
Ø ´ Ü Ý Ú Ù µ
Ü Ý
¿
́ Ù ¾ Ì
Ü
Ê
¿
µ
Ä Ø Ú
Ý
Ò Ó Ø Ù Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó Ã Ø Ý º Ì Ò Á
́ Ã µ Ò Ü Ô Ö × × Ò
Ø Ö Ñ × Ó Ø × ½ ¹ Ó Ö Ñ ¸ Ó Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý ¸ Ý Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ó Ð Ð Ó Û × ´ Ä Ï ℄ µ
Á
́ Ã µ
Í
Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
́ Ý
½
Ú
Ý
½
µ
́ Ý
¾
Ú
Ý
¾
µ
́ Ý
¿
Ú
Ý
¿
µ
Í
Ø ´
́ Ý
½
Ú
Ý
½
µ ́ Ü µ
́ Ý
¾
Ú
Ý
¾
µ ́ Ü µ
́ Ý
¿
Ú
Ý
¿
µ ́ Ü µ µ Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
Ú Ó Ð
Ü
´ µ
¬ Ò Ø Ó Ò ¾ º ¿ Ä Ø Ã ́ Ë
½
µ Ò Ó Ø º ¬ Ò ½ ¹ Ó Ö Ñ
Ã
Ó Ò Ø Ó Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø
Ó Ø Ò Ó Ø Ã Ý
Ã
́ Ù µ
Ã
́ Ý Ú
Ý
µ ́ Ù µ Ý
½
Ã
Ø ´ Ü Ý Ú
Ý
Ù µ
Ü Ý
¿
Ý
Ó Ö Ù ¾ Ì
Ü
Ê
¿
́ Ü ¾ Ã µ ¸ Û Ö Ú
Ý
Ò Ó Ø × Ø Ù Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó Ã Ø Ý º
Ð Ø Ó Ù
́ Ý Ú
Ý
µ × Ò Ó Ø Ð Ó × ¸
Ä Ñ Ñ ¾ º Ì ½ ¹ Ó Ö Ñ
Ã
× Ð Ó × º
È Ö Ó Ó Ë Ù Ô Ô Ó × Ø Ò Ó Ø Ã × Ú Ò Ý Ã ́ Ë
½
µ º Ì Ò
Ã
́ Ù µ Ù ¡
Ë
½
Ü ́ × µ
Ü ́ × µ
¿
¢
¼
́ × µ ×
Ì Ö Ó Ö ¸ Ø ¾ ¹ Ó Ö Ñ
Ã
Ú Ò × × Ò Ó Ò Ð Ý
Ö ¢
Ë
½
Ü ́ × µ
Ü ́ × µ
¿
¢
¼
́ × µ ×
¼
Û × Ø Ó Ò × Õ Ù Ò Ó
Ö ¢
Ü ́ × µ
Ü ́ × µ
¿
¢
¼
́ × µ
́
¼
́ × µ ¡ Ö µ
Ü ́ × µ
Ü ́ × µ
¿
· Ö
¾
½
Ü ́ × µ
¼
́ × µ
¼
́ × µ
Ü ́ × µ
¿
¿
¼
́ × µ ¡ ́ Ü ́ × µ µ
Ü ́ × µ
́ Ü ́ × µ µ
×
Ü ́ × µ
Ü ́ × µ
¿
¾
Ï Ò Ã
¼
× Ò Ó Ø Ò Ê
¿
Ò Ã Ø Ò
Ã
¼
Ã
½
à ¢ Ã
¼
Ø ´ Ü Ý Ú
Ý
Ú
Ü
µ
Ü Ý
¿
Ü Ý
× Ø Ð Ò Ò Ò Ù Ñ Ö Ó Ã Ò Ã
¼
º
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 5/11
¿ È Ö Ð Ñ Ò Ö × Ö Ó Ñ Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ó Ñ Ø Ö Ý
¬ Ò Ø Ó Ò ¿ º ½ ´ Ó Ý Ð Ò Ë Ö Ñ Ñ µ Ä Ø ́ Ü Ý Ý µ ́ Ü Ý µ Ø Ö Ð Û ×
Ø Ò Ò Ø Ø Ó Ã Ø Ý Ø Ø Ô × × × Ø Ö Ó Ù Ü ¸ Ò Ð Ø Ú
Ü
Ø Ù Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó Ã
Ø Ü º ¬ Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ò Ð
Ã
́ Ü Ý µ ´ ¼
Ã
́ Ü Ý µ µ Ý Ø Ò Ð Ø Û Ò
́ Ü Ý Ý µ Ò Ú
Ü
Ø Ü º
Ä Ñ Ñ ¿ º ¾ ´ Ä Ç ℄ µ Ì Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ò Ð
Ã
́ Ü Ý µ × Ó Ø Ó Ö Ö Ó Ü Ý
¾
Ò Ö Ø
Ó Ò Ð º Ì Ó Ô Ö × ¸
Ã
́ Ü Ý µ
Ô
¼
¾
·
¾
¾
Ü Ý
¾
· Ç ́ Ü Ý
¿
µ
Ò Ö Ø Ó Ò Ð ¸ Û Ö × Ò Ó Ø Ø Ö ¹ Ð Ò Ø ¸ Ù Ö Ú Ø Ù Ö ¸ Ò Ø Ó Ö × Ó Ò Ó Ã
Ö × Ô Ø Ú Ð Ý ¸ Ò
¼
Ñ Ò ×
×
º
¬ Ò Ø Ó Ò ¿ º ¿ Ä Ø Ì Å Ó Ù × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ó Ê
¿
½ º ¬ Ò Ì
¼
́ Ö µ Ó Ö
Ô ¾ Ê
¿
Ý
Ì
¼
́ Ö µ Ø Ì ́ Ô µ
½
Ä Ñ Ñ ¿ º ´ ½ µ Á Á
¼
́ Ô µ × Ò Ò Ú Ö × Ó Ò Ò × Ô Ö Ó Ö Ù × Ö Û Ø Ò Ø Ö Ø
Ó Ö Ò Ø Ò
Á
¼
́ Ô µ
¼
́ Ô µ
Ö
Ô
´ µ
´ ¾ µ Ï Ú
Ì ́ Ô µ Ì ́ Õ µ Ì
¼
́ Ô µ Ì
¼
́ Õ µ Ô Õ ´ µ
Ó Ö Ô Ö Ó Ô Ó Ò Ø × Ô Õ Ò Ê
¿
Ò
Ì
£
Ú Ì
¼
́ Ô µ
¾
Ú ´ ½ ¼ µ
Ó Ö Ú Ø Ó Ö Ú Ò Ì
Ô
Ê
¿
º
Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý ¿ º Ì ¾ ¹ Ó Ö Ñ
Ü Ý
Ü Ý
¾
Ó Ò Ã ¢ Ã Ò ¡ × Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø º Á Ò Ó Ø Ö
Û Ó Ö × ¸ Ì × Å Ó Ù × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ò Ü Ò Ý Ò Ó Ø Ì ́ Ü µ Ò Ì ́ Ý µ Ø Ò
Ì
£
Ü Ý
Ü Ý
¾
Ü Ý
Ü Ý
¾
´ ½ ½ µ
Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ú Ú Ø Ó Ö ¬ Ð
Ï × Ð Ð Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ð Ó Ò Ê
¿
Ò Ý Ó Ö Ú Ø Ó Ö Ò Ì
Ý
Ê
¿
Ò Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý
Ò Ú Ö Ò Ø Ñ Ò Ò Ö º Á Ø Ú × Ó Ò Ó Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ò Ê
¿
Ò Ý º Ï Ò ¬ Ò
Ó Ò Ó Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ð × × × Ó Ø Û Ø Ø ¹ Ö Ô Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø × ½ ¹ Ó Ö Ñ º
Ï Ñ Ù × Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ð × Ø Ú Ò Ú Ø Ó Ö Ò Ì Ê
¿
× Ò Å Ó Ù × Ø Ö Ò × Ó Ö ¹
Ñ Ø Ó Ò Ñ Ô × Ö Ð Ò Ø Ó Ö Ð Ò Ø Ò Ò Ø Ù Ö Ú × Ò Ø Ó Ø Ò Ò Ø Ù Ö Ú × º
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 6/11
Ù Ö Ú Ò Ú
¬ Ò Ø Ó Ò º ½ Ä Ø Ü Ò Ý Ô Ö Ó Ô Ó Ò Ø × ´ Ü Ý µ Ò Ú Ú Ø Ó Ö Ò Ì
Ý
Ê
¿
º
Ä Ø ́ Ý Ú Ü µ Ò Ó Ø Ø Ö Ð Ø Ö Ó Ù Ü Ò Ý Û × Ø Ò Ò Ø Ø Ó Ú Ø Ý Û Ó ×
Ó Ö Ò Ø Ø Ó Ò × Ú Ò Ý Ú º
´ ½ µ Ä Ø Ú ́ Ü µ Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó ́ Ý Ú Ü µ Ø Ü Û Ø Ø × Ñ Ò Ó Ö Ñ × Ú º ×
Ú ́ Ü µ × × Ý Ñ Ñ Ø Ö Ø Ó Ú Ò Ø Ð Ò Ó Ò Ò Ü Ò Ý ¸ Ø × Ú Ò Ý
Ú ́ Ü µ
¾
Ú ¡
Ü Ý
Ü Ý
Ü Ý
Ü Ý
Ú
´ ½ ¾ µ
Ï Ð Ð Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ú Ú ́ Ü µ Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ý Ø Ó Ü
´ Ä Ç ℄ µ º
´ ¾ µ È Ù Ø
Ú ́ Ü µ
Ú ́ Ü µ
Ü Ý
¾
½
Ü Ý
¾
¾
Ú ¡
Ü Ý
Ü Ý
Ü Ý
Ü Ý
Ú
Ó Ö Ü Ý ¾ Ê
¿
́ Ü Ý µ Ò Ú ¾ Ì
Ý
Ê
¿
¸ Ò Ð Ð Ø Ø Ú Ø Ó Ö Ú Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø
Ø Ó Ü º Ï Ð Ð Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò
Ì
Ý
Ê
¿
¿ Ú Ú ́ Ü µ ¾ Ì
Ü
Ê
¿
Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ý Ø Ó Ü º
Ç Ò Ú Ø Ó Ö ¬ Ð × Ú Ò ¸ ½ ¹ Ó Ö Ñ Ò ¬ Ò Ò Ø × Ñ Û Ý × Ó Ö º
¬ Ò Ø Ó Ò º ¾ Ä Ø Ú Ú Ò Ø Ó Ö Ò Ì
Ý
Ê
¿
º ¬ Ò ½ ¹ Ó Ö Ñ ́ Ý Ú µ Ó Ò Ê
¿
Ò Ý
Ý
́ Ù µ Ù ¡ Ú ́ Ü µ ́ Ü ¾ Ê
¿
Ò Ý Ù ¾ Ì
Ü
Ê
¿
µ
Ê Ñ Ö Ì ½ ¹ Ó Ö Ñ ́ Ý Ú µ Ó Ò Ê
¿
Ò Ý ¸ Û Ö Ú × Ù Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ò Ì
Ý
Ê
¿
̧
¬ Ò Ý
́ Ù µ Ù ¡ Ú ́ Ü µ ́ Ü ¾ Ê
¿
Ò Ý Ù ¾ Ì
Ü
Ê
¿
µ
Û × Ù × Ý À Ð Ò Ø Ó × Ó Û Ø × Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ø Ý ´ À ℄ µ º Ì Ò Ø Ú Ø Ó Ö ¬ Ð
Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ò Ü Ô Ö × × Ò Ø Ö Ñ × Ó Ò Ò Ú Ö × Ó Ò Ò ¾ ¹ × Ô Ö º
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 7/11
Ä Ñ Ñ º ¿ Ä Ø Á
Ô
́ Ô ¾ Ê
¿
µ Ò Ó Ø Ò Ò Ú Ö × Ó Ò Ò Ø ¾ ¹ × Ô Ö Û Ø Ò Ø Ö Ô Ò
Ö Ù × ½ º Ä Ø Ú Ú Ø Ó Ö Ò Ì
Ý
Ê
¿
Ò Ü Ô Ó Ò Ø Ò Ê Ò Ý º
´ ½ µ Ú ́ Ü µ Á
Ü
£
́ Ú µ × Ú Ø Ó Ö º
´ ¾ µ
́ Ý Ú µ ́ Ù µ Ú ¡ ́ Á
Ý
£
Ù µ Ó Ö Ù ¾ Ì
Ü
Ê
¿
º
È Ö Ó Ó ´ ½ µ Ë Ò Ú × Ø Ò Ò Ø Ø Ó Ø Ö Ð ́ Ý Ú Ü µ ¸ Ø Ú Ø Ó Ö Á
Ü
£
Ú × Ø Ò Ò Ø Ø Ó
Á
Ü
́ ́ Ý Ú Ü µ µ º Ë Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó ́ Ý Ú Ü µ Ø Ü × Õ Ù Ð Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ñ Ù Ð Ø Ô Ð
Ó Ú ́ Ü µ ̧ Á
Ü
́ ́ Ý Ú Ü µ µ × Ð Ò Û Ó × Ö Ø Ó Ò Ú Ø Ó Ö × Õ Ù Ð Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ñ Ù Ð Ø Ô Ð
Ó Ú ́ Ü µ º Ì Ö Ó Ö ¸ Á
Ü
£
Ú × Ô Ó × Ø Ú Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ú ́ Ü µ º Ì Ò Ø Ó Ò Ð Ù × Ó Ò Ó Ñ ×
Ö Ó Ñ Á
Ü
£
Ú
Ú
Ü Ý
¾
Ú ́ Ü µ Û × Ñ Ô Ð Ý Ä Ñ Ñ ¿ º º
´ ¾ µ Ì Ñ Á
Ý
́ ́ Ý Ú Ü µ µ × Ø Ð Ò Ø Ö Ó Ù Á
Ý
́ Ü µ Û Ó × Ö Ø Ó Ò Ú Ø Ó Ö ×
Õ Ù Ð Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ú º Ë Ò Ú ́ Ü µ × Ø Ò Ò Ø Ø Ó ́ Ý Ú Ü µ ¸ Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø
Á
Ý
£
Ú ́ Ü µ × Ô Ó × Ø Ú Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ú º Ë Ò Á
Ý
£
× Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ñ Ô Ô Ò ¸ Û Ú Ø
Ó Ð Ð Ó Û Ò Õ Ù Ð Ø Ý Ø Û Ò Ò Ð ×
Á
Ý
£
Ù ¡ ́ Ú µ Á
Ý
£
Ù ¡ Á
Ý
£
Ú ́ Ü µ Ù ¡ Ú ́ Ü µ
Ë Ò Á
Ý
£
Ù
Ù
Ü Ý
¾
Ý Ä Ñ Ñ ¿ º ¸ Û Ú
́ Ý Ú µ ́ Ù µ Ù ¡ Ú ́ Ü µ ́ Á
Ý
£
Ù µ ¡ ́ Ú µ
¾
× Ó Ö Ó Ð Ð Ö Ý Û Ú
È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º ¬ Ò Ñ Ô Ê
¿
Ò Ý Ê Ý
́ Ü µ Á
Ý
́ Ü µ ¡ Ú
Ì Ò ́ Ý Ú µ ¸ º º Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ ́ Ý Ú µ × Ü Ø º
È Ö Ó Ó Ë Ù Ô Ô Ó × Ü ¾ Ê Ò Ý Ò Ù ¾ Ì
Ü
Ê
¿
º Ì Ò Ä Ñ Ñ º ¿ ´ ¾ µ Ñ Ô Ð ×
́ Ù µ ́ Á
Ý
£
Ù µ ¡ Ú ́ Ý Ú µ ́ Ù µ
¾
Ï Ö Ñ Ö Ø Ø Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ
́ Ý Ú
Ý
µ × Ò Ó Ø Ò × × Ö Ð Ý Ð Ó × º
È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º Ì ́ Ý Ú µ × Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ¸ º º
́ Ì ́ Ý µ Ì
£
Ú µ ́ Ì
£
Ù µ ́ Ý Ú µ ́ Ù µ
Ó Ö Ò Ý Ù ¾ Ì
Ü
Ê
¿
́ Ü ¾ Ê
¿
Ò Ý µ Ò Å Ó Ù × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ì Ó Ê
¿
½ º
È Ö Ó Ó Ä Ñ Ñ ¿ º Ñ Ô Ð ×
Ì
£
Ù Ì
¼
́ Ü µ
¾
Ù ´ ½ ¿ µ
Ì
£
Ú Ì
¼
́ Ý µ
¾
Ú
¬
¬
¬
Ì
£
Ú ́ Ì ́ Ü µ µ
¬
¬
¬
Ì
£
Ú
Ì ́ Ý µ Ì ́ Ü µ
¾
Ú
Ì
¼
́ Ü µ
¾
Ü Ý
¾
´ ½ µ
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 8/11
Û Ö
Ì
£
Ú ́ Ì ́ Ü µ µ Ò Ó Ø × Ø Ú Ø Ó Ö Ì
£
Ú Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ø Ó Ì ́ Ü µ ´ ¬ Ò Ø Ó Ò
º ½ µ º
Ï Ú
Ì
£
Ù ¡
Ì
£
Ú ́ Ì ́ Ü µ µ Ù ¡ Ú ́ Ü µ ´ ½ µ
Ì × × Ù × Ø Ö Ø Ò × × Õ Ù Ð Ø Ó Ø Ò Ð Ø Û Ò Ù Ò ́ Ý Ú Ü µ Ø
Ü × Ú ́ Ü µ × Ø Ò Ò Ø Ø Ó Ø Ö Ð ́ Ý Ú Ü µ Ø Ü ¸ Û Ö × Ø Ð Ø Ò × × Õ Ù Ð Ø Ó
Ø Ò Ð Ø Û Ò Ì
£
Ù Ò Ì ́ ́ Ý Ú Ü µ µ Ø Ì ́ Ü µ ×
Ì
£
Ú ́ Ì ́ Ü µ µ × Ø Ò Ò Ø Ø Ó Ø Ö Ð
Ì ́ ́ Ý Ú Ü µ µ Ø Ì ́ Ü µ º
È Ù Ø Ø Ò ´ ½ ¿ µ ¸ ´ ½ µ ¸ Ò ´ ½ µ Ø Ó Ø Ö Û Ú
́ Ì ́ Ý µ Ì
£
Ú µ ́ Ì
£
Ù µ ́ Ì
£
Ù µ ¡
Ì
£
Ú ́ Ì ́ Ü µ µ Ù ¡ Ú ́ Ü µ
́ Ý Ú µ ́ Ù µ
¾
Ä Ø Ù × Ô Ð Ý Ø × Ñ Ñ × Ò Ø Ë Ù × Ø Ó Ò ¾ Ý × Ù × Ø Ø Ù Ø Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý
Ò Ú Ö Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ö Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ
Ó Ñ Ò Ö Ó Ñ Ø Ù × × Ó Ö Ñ Ù Ð Ó Ö Ø Ð Ò Ò
Ò Ù Ñ Ö º Ù Ø Ù Ò Ó Ö Ø Ù Ò Ø Ð Ý ¸ Ø Ø Ù Ö Ò × Ó Ù Ø Ø Ø Ø × Ø Ø Ñ Ô Ø × Ò Ó Ø × Ù × × Ù Ð º
× Ñ Ð Ö Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó
Ã
Ö Ó Ñ
́ Ý Ú
Ý
µ Ú × Ø Ö Ú Ð ¾ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ö ́ Ý Ú
Ý
µ º
È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º Ä Ø
Ã
½ ¹ Ó Ö Ñ Ó Ò Ê
¿
Ò Ã ¬ Ò Ý
Ã
́ Ù µ
Ã
́ Ý Ú
Ý
µ ́ Ù µ Ý
Ã
Ù ¡ Ú
Ý
́ Ü µ Ý Ù ¡
Ë
½
℄
¼
́ × µ ́ Ü µ ×
Ó Ö Ù ¾ Ì
Ü
Ê
¿
¸ Û Ö Ú
Ý
× Ø Ù Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ó Ã Ø Ý º Ì Ò
Ã
Ú Ò × × Ó Ö
Ò Ý Ò Ó Ø Ã º
È Ö Ó Ó Ä Ñ Ñ º ¿ Ò Ø × Ø Ø
Ë
½
℄
¼
́ × µ ́ Ü µ ×
Ë
½
Á
Ü
£
́
¼
́ × µ µ ×
Ë
½
×
́ Á
Ü
Æ ́ × µ µ × ¼ ´ ½ µ
¾
Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ¹ Ò Ö Ý
Í × Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ú Ò Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ù × × Ø Ó Ò Û Ò Ó Ò × Ö
Ø × Ñ Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Á
Ö Ó Ñ
Ã
´ µ º Ù Ø Ù Ò Ó Ö Ø Ù Ò Ø Ð Ý ¸ Ø Ú × Ø Ö Ú Ð
Ù Ò Ø Ó Ò Ð º
Ä Ø Ú
Ý
́ ½ ¾ ¿ µ Ù Ò Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ø Ý
Ò Ú
Ý
Ú
Ý
́ Ü µ Ø Ñ Ó
Ú
Ý
Ù Ò Ö Ø Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ö Ò × Ô Ó Ö Ø Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ý
Ø Ó Ü ´ ¬ Ò Ø Ó Ò º ½ µ º Ä Ø
́ Ý Ú µ
Ø ½ ¹ Ó Ö Ñ Ú Ò Ò ¬ Ò Ø Ó Ò º ¾ º Ä Ø Í
Ø Ó Ñ Ò Ò Ã
¿
¢ Ê
¿
Ú Ò Ý ´ µ º
È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º ½ È Ù Ø
Æ
́ Ã µ
Í
Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
́ Ý
½
Ú
Ý
½
µ
́ Ý
¾
Ú
Ý
¾
µ
́ Ý
¿
Ú
Ý
¿
µ
Í
Ø ´ Ú
Ý
½
́ Ü µ Ú
Ý
¾
́ Ü µ Ú
Ý
¿
́ Ü µ µ
Ý
½
Ü
¾
Ý
¾
Ü
¾
Ý
¿
Ü
¾
Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
Ú Ó Ð
Ü ´ ½ µ
Ì Ò
Æ
́ Ã µ ¼ Ó Ö Ò Ý Ò Ó Ø Ã º
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 9/11
Á Ø × Ò Ó Ù Ø Ó × Ó Û Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò º
Ä Ñ Ñ º ¾ Ë Ù Ô Ô Ó × Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
Ý
½
º Ì Ò
Ê
¿
Ò Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
́ Ý
½
Ú
Ý
½
µ ́ Ý
¾
Ú
Ý
¾
µ ́ Ý
¿
Ú
Ý
¿
µ ¼
È Ö Ó Ó ¬ Ò Ñ Ô
Ê
¿
Ò Ý
Ê ́ ½ ¾ ¿ µ Ý
́ Ü µ Á
Ý
́ Ü µ ¡ Ú
Ý
Û Ö Á
Ý
× Ò Ò Ú Ö × Ó Ò Ò × Ô Ö Û Ø Ö Ù × ½ Ò Ò Ø Ö Ý
º È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º
Ñ Ô Ð × Ø Ø
́ Ý
Ú
Ý
µ
Ä Ø ¦
́ ½ ¾ ¿ µ × Ô Ö Û Ø Ö Ù × ́ ½ µ Ò Ò Ø Ö Ý
¸ Ò ¦
¼
× Ô Ö
Û Ø Ö Ù × Ê ́ Ê ½ µ Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ö Ò º Ä Ø ª
Ê
Ø Ó Ñ Ò Ò Ê
¿
Ó Ù Ò
Ý ¦
¼
̧ ¦
½
̧ ¦
¾
¸ Ò ¦
¿
º Ì Ò
Ê
¿
Ò Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
́ Ý
½
Ú
Ý
½
µ ́ Ý
¾
Ú
Ý
¾
µ ́ Ý
¿
Ú
Ý
¿
µ
Ð Ñ
· ¼ Ê · ½
ª
Ê
́
½
¾
¿
µ
Ð Ñ
· ¼ Ê · ½
¦
¼
¦
½
¦
¾
¦
¿
½
¾
¿
´ µ Ç Ò ¦
¼
Û Ú
½
Ç ́
½
Ê
µ Ò
¾
¿
Ç ́
½
Ê
µ Û Ö × Ö ´ ¦
¼
µ
Ç ́ Ê
¾
µ º Ì Ö Ó Ö
Ð Ñ
Ê · ½
¦
¼
½
¾
¿
¼
´ µ Ç Ò ¦
¾
Û Ú
½
· Ç ́ µ Ó Ö × Ó Ñ Ó Ò × Ø Ò Ø º Ì Ö Ó Ö
Ð Ñ
· ¼
¦
¾
½
¾
¿
Ð Ñ
· ¼
¦
¾
¾
¿
Ð Ñ
· ¼
¦
¾
́
¾
¿
µ
¼
Ì × Ñ Ö Ù Ñ Ò Ø Û Ó Ö × Ó Ö ¦
¿
º
´ µ Ç Ò ¦
½
Û Ú
½
Ç ́
½
µ Ò
¾
¿
¼
· Ç ́ µ
Ó Ö × Ó Ñ Ó Ò × Ø Ò Ø ¾ ¹ Ó Ö Ñ
¼
¸ Û Ö × Ö ´ ¦
½
µ Ç ́
¾
µ º Ì Ö Ó Ö
Ð Ñ
· ¼
¦
½
½
¾
¿
¼
¾
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 10/11
È Ö Ó Ô Ó × Ø Ó Ò º ¿ È Ù Ø
Æ
́ Ã µ
Í
Ø ´ Ú
Ý
½
́ Ü µ Ú
Ý
¾
́ Ü µ Ú
Ý
¿
́ Ü µ µ
Ý
½
Ü
¾
Ý
¾
Ü
¾
Ý
¿
Ü
¾
Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
Ú Ó Ð
Ü ´ ½ µ
Ì Ò
Æ
Ú Ö × Ó Ö Ò Ý Ò Ó Ø Ã º
È Ö Ó Ó Ì Ò Ø Ö Ò Ð Ó Û × Ù Ô Ò Ö Ø Ó Ò Ð Ó Ã
¿
¢ Ê
¿
¸ Û × × Ø Ö Ø ¬
Ò Ø Ó × Ø Ö Ø Ó « Ö Ò Ø ´ Ó µ Ñ Ò × Ó Ò × º Ì Ó Ò Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ó Ö Ó Ó Ó
¾
́ Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
Ü µ ¾ Ã
¿
¢ Ê
¿
Ü Ý
½
Ý
¾
Ý
¿
Ñ × Ø Ò Ø Ö Ð Ú Ö º
Ä Ø Ù × ¬ Ü Ý
½
Ò Ý
¿
́ Ý
½
Ý
¿
µ º Ï Ñ Ý × × Ù Ñ Û Ø Ó Ù Ø Ð Ó × × Ó Ò Ö Ð Ø Ý Ø Ø Ø
Ò Ó Ø Ã × Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø Ö ¹ Ð Ò Ø × Ã - ´ ¼ ½ ℄ µ Ò Ø Ø Ý
½
- ´ ¼ µ ¼ º
Ä Ø ª ´ µ Ó Ñ Ò Ú Ò Ý
ª ́ µ
Ò
́ Ý
¾
Ü µ ¾ Ã ¢ Ê
¿
Ý
¾
- ́ × µ Ü Ý
¾
¾
× Ü
Ó
Ë Ò Ú
Ý
¿
́ Ü µ Ú
¼
· Ç ́ µ Ó Ò ª ´ µ Ó Ö × Ó Ñ Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ø Ó Ö Ú
¼
¸ Û Ú Ø × Ñ Ð Ö Ø Ý
Ø Û Ò Ø Ò Ø Ö Ò × Ó Ò ª ´ µ Ò ª ´
¾
µ
¬
¬
Ø ´ Ú
¼
́
Ü
¾
µ Ú
- ́
×
¾
µ
́
Ü
¾
µ Ú
Ý
¿
́
Ü
¾
µ µ
¬
¬
Ü
¾
¾
- ́
×
¾
µ
Ü
¾
¾
Ý
¿
Ü
¾
¾
¾
¬
¬
Ø ´ Ú
¼
́ Ü µ Ú
- ́ × µ
́ Ü µ Ú
Ý
¿
́ Ü µ µ
¬
¬
Ü
¾
- ́ × µ Ü
¾
Ý
¿
Ü
¾
· Ç ́
¿
µ
Ë Ò Ø Ú Ó Ð Ù Ñ Ó ª ´ µ × Ó Ó Ö Ö
Û Ú
ª ́
¾
µ
Ø ´ Ú
¼
́ Ü µ Ú
Ý
¾
́ Ü µ Ú
Ý
¿
́ Ü µ µ
Ü
¾
Ý
¾
Ü
¾
Ý
¿
Ü
¾
Ý
¾
Ú Ó Ð
Ü
ª ́ µ
Ø ´ Ú
¼
́ Ü µ Ú
Ý
¾
́ Ü µ Ú
Ý
¿
́ Ü µ µ
Ü
¾
Ý
¾
Ü
¾
Ý
¿
Ü
¾
Ý
¾
Ú Ó Ð
Ü · Ç ́ µ
Á Ø Ó Ð Ð Ó Û × Ø Ø Ø Ö × Ô Ó × Ø Ú Ó Ò × Ø Ò Ø
¼
× Ù Ø Ø
ª ´ ¾
Ò
µ
Ø ´ Ú
¼
́ Ü µ Ú
Ý
¾
́ Ü µ Ú
Ý
¿
́ Ü µ µ
Ü
¾
Ý
¾
Ü
¾
Ý
¿
Ü
¾
Ý
¾
Ú Ó Ð
Ü
¼
Ó Ö Ð Ð Ò ¾ Æ º Ì Ö Ó Ö
Æ
́ Ã µ
½
Ò ½
ª ´ ¾
Ò
µ
Ø ´ Ú
Ý
½
́ Ü µ Ú
Ý
¾
́ Ü µ Ú
Ý
¿
́ Ü µ µ
Ý
½
Ü
¾
Ý
¾
Ü
¾
Ý
¿
Ü
¾
Ý
¾
Ú Ó Ð
Ü
Ý
½
Ý
¿
½
¾
Ê Ñ Ö Ì Ö × Û Ð Ð ¹ ¬ Ò Ò Ó Ò ¹ Ø Ö Ú Ð Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Ø Ö Ð Ó Ð Ù Ò ¹
Ø Ó Ò Ð Ó Ò Ø × Ô Ó Ò Ó Ø × ´ Ä Ç ¾ ℄ µ º Ð Ø Ó Ù Ø × Ò Ó Ø × × Ó Ø Ø Ó ¹ Ö Ñ ¸
Ø Ò Ø Ö Ò Ò Ú Ó Ð Ú × Ø Ö Ô Ð Ø ´ Ü Ú
Ü
µ ́ Ý Ú
Ý
µ ¸ Ò ´ Þ Ú
Þ
µ º
Ò Ó Û Ð Ñ Ò Ø Ì Ù Ø Ó Ö Ø Ò × Ê Ñ Ä Ò Ú Ò Ô Ð Ý Ó Ö Ñ Ò Ý Ð Ô Ù Ð
× Ù × Ø Ó Ò × º
½ ¼
8/3/2019 Jun O'Hara- A Note on Y-Energies of Knots
http://slidepdf.com/reader/full/jun-ohara-a-note-on-y-energies-of-knots 11/11
Ê Ö Ò ×
Ì ℄ Ê º Ó Ø Ø Ò º Ì Ù × ¸ Ç Ò Ø × Ð ¹ Ð Ò Ò Ó Ò Ó Ø × ¸ Â º Ó Å Ø º È Ý × × ¿
´ ½ µ ¸ ¾ ß ¾ º
À Ï ℄ Å º À º Ö Ñ Ò ¸ ¹ º À Ò º Ï Ò ¸ Å Ó Ù × Ò Ö Ý Ó Ò Ó Ø × Ò Ù Ò Ò Ó Ø × ¸
Ò Ò º Ó Å Ø º ½ ¿ ´ ½ µ ¸ ½ ß ¼ º
À ℄ º À Ð Ò ¸ Á × Ó Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ø × Ò Ð Ö Ø Ó Ò × ¸ È Ö Ó Ö × × Ò È Ö Ø Ð
« Ö Ò Ø Ð Õ Ù Ø Ó Ò × Ø Å Ø Þ × Ù Ö Ú Ý × ¸ Å º Ô Ó Ø Ò Á º Ë Ö Ö º ¸
È Ø Ñ Ò Ê × Ö Æ Ó Ø × Ò Å Ø Ñ Ø × ¸ Ë Ö × ¿ ¸ Ä Ó Ò Ñ Ò ´ ½ µ º
Ä Ç ℄ Ê º Ä Ò Ú Ò Ò Â º Ç ³ À Ö ¸ Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý Ò Ú Ö Ò Ø Ò Ö × Ó Ò Ó Ø × ¸ Â º Á Ò ¹
× Ø Ø Ù Ø Å Ø º Â Ù × × Ù º ´ ¾ ¼ ¼ µ ¸ ¾ ½ ß ¾ ¼ º
Ä Ç ¾ ℄ Ê º Ä Ò Ú Ò Ò Â º Ç ³ À Ö º Ü Ø Ö Ò × Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ù Ö Ú × Ò
Ë Ù Ö × º Ò Ô Ö Ô Ö Ø Ó Ò º
Ä Ï ℄ º ¹ Ë º Ä Ò º Ò º Ï Ò ¸ Á Ò Ø Ö Ð Ó Ñ Ø Ö Ý Ó Ô Ð Ò Ù Ö Ú × Ò Ò Ó Ø Ò Ú Ö ¹
Ò Ø × ¸ Â º « º Ó Ñ º ´ ½ µ ¸ ß º
Ç ½ ℄ Â º Ç ³ À Ö ¸ Ò Ö Ý Ó Ò Ó Ø ¸ Ì Ó Ô Ó Ð Ó Ý ¿ ¼ ´ ½ ½ µ ¸ ¾ ½ ß ¾ º
Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Å Ø Ñ Ø × ¸ Ì Ó Ý Ó Å Ø Ö Ó Ô Ó Ð Ø Ò Í Ò Ú Ö × Ø Ý ¸ ½ ¹ ½ Å Ò Ñ ¹ Ç × Û ¸
À Ó Ù ¹ Ë ¸ Ì Ó Ý Ó ½ ¾ ¹ ¼ ¿ ¸ Â È Æ º
Ó Ö Ó Ñ Ô º Ñ Ø Ö Ó ¹ Ù º º Ô
½ ½