jornada de fÍsica teÓrica - ift.unesp.br · monday, july 19, 2010 campos clÁssicos 3 • campos:...
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JORNADA DE FJORNADA DE FÍÍSICA SICA TETEÓÓRICARICA
INSTITUTO DE FINSTITUTO DE FÍÍSICA TESICA TEÓÓRICARICAU.N.E.S.P.U.N.E.S.P.
19 a 2319 a 23--0707--20102010
JFT2010
CAMPOS: CLCAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, DE NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORAGAUGE E POR AÍ AFORA
Jornada de FJornada de Fíísica Tesica Teóórica 2010rica 2010Instituto de FInstituto de Fíísica Tesica Teóóricarica/UNESP/UNESP
Prof. Dr. Alfredo Takashi Suzuki
JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 3
•• CAMPOS: O QUE SCAMPOS: O QUE SÃÃO ?O ?
•• REALIDADE INVREALIDADE INVÍÍSIVEL CUJOS SIVEL CUJOS EFEITOS VISEFEITOS VISÍÍVEIS PODEMOS VEIS PODEMOS OBSERVAR, ANALISAR, MEDIR…OBSERVAR, ANALISAR, MEDIR…
JFT2010JFT2010
CAMPOS: CLCAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORADE GAUGE E POR AÍ AFORA
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 4
•• CAMPOS: O QUE SCAMPOS: O QUE SÃÃO ?O ?
•• … E OLHAR?...… E OLHAR?...
JFT2010JFT2010
CAMPOS: CLCAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORADE GAUGE E POR AÍ AFORA
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 5
CAMPOS: CLCAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORADE GAUGE E POR AÍ AFORA
•• CAMPOS: O QUE CAMPOS: O QUE SSÃÃO ?O ?
•• … E APRECIAR …… E APRECIAR …•• … E SENTIR?...… E SENTIR?...
JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 6
CAMPOS: CLCAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORADE GAUGE E POR AÍ AFORA
•• CAMPOS: O QUE CAMPOS: O QUE SSÃÃO ?O ?
•• … E APRECIAR …… E APRECIAR …•• … E SENTIR?...… E SENTIR?...
JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 7
CAMPOS: CLCAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORADE GAUGE E POR AÍ AFORA
•• EXEMPLOS DE EXEMPLOS DE CAMPOS:CAMPOS:
1. Campos Clássicos:1. Campos Clássicos:
JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 8
CAMPOS: CLCAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORADE GAUGE E POR AÍ AFORA
•• EXEMPLOS DE EXEMPLOS DE CAMPOS:CAMPOS:
1. Campos Clássicos:1. Campos Clássicos:
JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 9
•• “CLÁSSICO”:“CLÁSSICO”: SIGNIFICA QUE É ANTERIOR À SIGNIFICA QUE É ANTERIOR À
MECÂNICA QUÂNTICA, MECÂNICA QUÂNTICA, ouou QUE NÃO INCLUA CONCEITOS DA QUE NÃO INCLUA CONCEITOS DA
MECÂNICA QUÂNTICAMECÂNICA QUÂNTICA
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 10
•• EXEMPLOS DE CAMPOS EXEMPLOS DE CAMPOS (CLÁSSICOS):(CLÁSSICOS):
•• GRAVITACIONAL,GRAVITACIONAL,•• ELÉTRICO,ELÉTRICO,•• MAGNÉTICO,MAGNÉTICO,•• ……
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 11
•• NOÇÃO DE CAMPO CLÁSSICO É NOÇÃO DE CAMPO CLÁSSICO É ABSTRAÍDO DO CONCEITO DE ABSTRAÍDO DO CONCEITO DE FORÇA.FORÇA.
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 12
•• COMO TAL, CLASSICAMENTE, COMO TAL, CLASSICAMENTE, CAMPOSCAMPOS** TEM AÇÃO TEM AÇÃO INSTANTÂNEA SOBRE ELEMENTOS INSTANTÂNEA SOBRE ELEMENTOS DE PROVA COLOCADOS SOB SUA DE PROVA COLOCADOS SOB SUA AÇÃO.AÇÃO.
** CLÁSSICOS!CLÁSSICOS!
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1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 13
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 14
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
gravgrav grav2 2
ˆ ˆmM MG Gr m r
F
F r G r
Tomando-se o raio da Terra como distância do centro à superfície, ou regiões próximas à superfície da Terra, obtém-se a aceleração da gravidade local,
gravgrav 2
2Terra
ˆ
ˆ
MGm r
GMR
FG r
g r
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 15
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 16
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 17
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
eletelet elet2 2
ˆ ˆqQ QK Kr q r
FF r E r
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 18
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
eletelet elet2 2
ˆ ˆqQ QK Kr q r
FF r E r
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 19
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 20
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
eletelet elet eletq
FE E F
gravgrav grav gravm
F
G G F
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 21
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
mag F B
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 22
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 23
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 24
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
magqc
F v B
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 25
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
elet elet2 2
2
mag22 2
mag 2 2
mag
ˆ ˆ
ˆˆ1ˆ ˆ
ˆ
qQ QK Kr r
qQ vKqQ vr c Kr c
F r E r
F rF rF r v r
B v r
mag mag2
Q v qKr c c
B F v B
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 26
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
mF a
Vetor
Vetor
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 27
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS• FORMALISMO LAGRANGIANO:
• 2a. Lei de Newton… Força em componentes
( ) 1,2,3,...,3i i i i idF m v m x i Ndt
;
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 28
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS• FORMALISMO LAGRANGIANO:
• Energia cinética:
2 21 1 ( ) 1,2,3,...,32 2
; i i i ii i
K m v m x i N
2 1,2,3,...,32
; j j ij i iji
K m x m x i Nx
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 29
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS• FORMALISMO LAGRANGIANO:
• PORTANTO…
( )i i i
iii i
i
dF m xdt d KFK dt xm x
x
2a. Lei de Newton
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 30
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:
•• Em sistemas Em sistemas conservativosconservativos, a força é o gradiente de um potencial:
( )1,2,3,...,3; i
ii
V xF i N
x
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 31
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:
•• Em sistemas Em sistemas conservativosconservativos…
( )( )
ii i
i iii
i
d KFdt x V xd K
dt x xV xF
x
2a. Lei
de Newton
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 32
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:
•• Sistema cartesiano de referência … Sistema cartesiano de referência …
( )i
i i
V xd Kdt x x
2a. Lei de Newton
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 33
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
1 2 3 3( , , , ..., ; ) ( ; )i i N i jq q x x x x t q x t
•• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:
•• Coordenadas cartesianas Coordenadas cartesianas Generalizadas Generalizadas
Transformação Inversa (não singular)
( ; )j j ix x q t
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 34
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
j j jj i
i i
dx x xx q
dt q t
( ; )j j ix x q t
•• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:
•• Da transformação inversa …Da transformação inversa …
j j
i i
x xq q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 35
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
21 ( )2 j j
jK m x
•• ENERGIA CINÉTICA:ENERGIA CINÉTICA:
jj j
ji i
jj j
j i
xK m xq q
xm x
q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 36
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ENERGIA CINÉTICA:ENERGIA CINÉTICA:
jj j
ji i
j jj j j j
j ji i i
xK m xq q
x xd K dm x m xdt q q dt q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 37
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ENERGIA CINÉTICA:ENERGIA CINÉTICA:
j j jk
ki k i i
j jk
ki k
j j
i i
x x xd qdt q q q t q
x xq
q q t
dx xq dt q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 38
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ENERGIA CINÉTICA:ENERGIA CINÉTICA:
j jj j j j
j ji i i
j jj j j j
j ji i
x xd K dm x m xdt q q dt q
x xm x m x
q q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 39
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ENERGIA CINÉTICA:ENERGIA CINÉTICA:
212
j jj j j j
j ji i i
jj j j j
j ji i
jj
j i i
x xd K m x m xdt q q q
xm x m x
q q
x KFq q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 40
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ENERGIA CINÉTICA:ENERGIA CINÉTICA:
jj
ji i i
j
j j i i
i i i
xd K KFdt q q q
xV Kx q q
K VV Kq q q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 41
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• R E S U M I N D O … :R E S U M I N D O … :
( )
i i
d K K Vdt q q
( ) ( )
i i
i i
d K V K Vdt q q
d L Ldt q q
)( iqVV
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 42
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• R E S U M I N D O … :R E S U M I N D O … :
i i
d L Ldt q qL K V
EQUAÇÕES DE EULER-LAGRANGE
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 43
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS CLÁSSICAS: PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOSSISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS
•• Vamos considerar o seguinte sistema discreto e Vamos considerar o seguinte sistema discreto e estudar seu movimento oscilatório:estudar seu movimento oscilatório:
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 44
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS CLÁSSICAS: PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOSSISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS
•• Segunda lei de Newton, e lei de Hooke:Segunda lei de Newton, e lei de Hooke:
1 1i i i i imq k q q q q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 45
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS CLÁSSICAS: PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOSSISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS
•• Energia Cinética:Energia Cinética:
212 i
iK mq 21
12 i i
iV k q q
Sistema conservativo
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 46
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS CLÁSSICAS: PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOSSISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS
•• Lagrangiana do sistema:Lagrangiana do sistema:
221
12 i i i
iL K V mq k q q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 47
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
2
,
12
jj j
j ji i i
j i j ij
ii
qL m q mqq q q
mq mq
d L mqdt q
•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange:Lagrange:
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 48
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange:Lagrange:
21
11 1
1 , 1 1 ,
1 1
12 j j
ji i
jjj j j j
j i i
j j i j j j i jj
i i i ii
L k q qq q
qqk q q k q q
q q
k q q k q q
L k q q k q qq
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 49
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS CLÁSSICAS: PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOSSISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS
•• Lagrangiana do sistema:Lagrangiana do sistema:
221
12 i i i
iL K V mq k q q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 50
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS CLÁSSICAS: PARTÍCULAS CLÁSSICAS: SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOSSISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS
•• Densidade Lagrangiana (linear) do sistema:Densidade Lagrangiana (linear) do sistema:
22 11 1
2 2i i
i ii i
q qmL a q ka aa a
L
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 51
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS CLÁSSICAS: PARTÍCULAS CLÁSSICAS: INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:•• N N ∞∞
1
N
i
a dx
a dx
1i i
maka Y
q q qa x
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 52
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ONDASONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS: INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:•• N N ∞∞
22
onde
12
L dx
qq Yx
L
L
=
Note que( , )iq q q t x
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 53
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ONDASONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS: PRINCÍPIO DE HAMILTONPRINCÍPIO DE HAMILTON
00
0
AdtL
A dtLdt dx
L
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 54
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ONDASONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS: EQUAÇÃO DE EULEREQUAÇÃO DE EULER--LAGRANGE:LAGRANGE:
0'
d ddt q dx q q
L L L
' dqqdx
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 55
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ONDASONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS: PRINCÍPIO DE HAMILTONPRINCÍPIO DE HAMILTON
221 '2
q Y q L = 0;
;
''
q
Yqq
L
L
L" 0q Yq
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 56
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• ONDASONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS: PRINCÍPIO DE HAMILTONPRINCÍPIO DE HAMILTON
2 2
2 2
'' 0
0
q Yq
d q Y d qdt d x
Equação de onda parapropagação linear em um sólido elástico unidimensional deuma perturbação comvelocidade:
Yv
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 57
JFT2010JFT2010
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• PARTÍCULAS & ONDASPARTÍCULAS & ONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS: R E S U M O A T É A Q U I R E S U M O A T É A Q U I
•• PartículasPartículas que oscilam harmonicamente geram que oscilam harmonicamente geram ondasondas elásticas no meio em que se propagam.elásticas no meio em que se propagam.
•• Conexão é estabelecida quando passamos do caso Conexão é estabelecida quando passamos do caso discreto para o contínuo. discreto para o contínuo.
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 58
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): No caso de sistemas No caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos…
JFT2010JFT2010
jj
ji i i
xd K KFdt q q q
iQ Coriolis, centrCoriolis, centríífuga, etc.fuga, etc.
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 59
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):No caso de sistemas No caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos…Suponha que as componentes da força generalizada sejam da forma
JFT2010JFT2010
ii i
d M MQdt q q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 60
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
??1F e E v Bc
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 61
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
1 AEc t
B A
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 62
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
( , , )( , , )
( , , ) ( , , )( , , )
1( , , )
( , , ) ( , , )
x y zx y z
z x y y z xx y z
AE
x y z c tA A
By z x z x y
JFT2010JFT2010
1 AEc t
B A
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 63
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
( , , ) ( , , ) ( , , )1
x y z x y z x y zF e E v Bc
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 64
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
1 yx x x zx
AA A A AeF e y zx c t c x y z x
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 65
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
1
1 1
yx x x zx
y zx x
AA A A AeF e y zx c t c x y z x
A AF e y z y z Ax c x x c t y z
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 66
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
1 1
1 1
y zx x
yx zx
A AF e y z y z A
x c x x c t y z
AA Ae x y z x y z A
x c x x x c t x y z
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 67
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
1 1
1 1
yx zx x
x
AA AF e x y z x y z A
x c x x x c t x y z
e v A x y z Ax c c t x y z
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 68
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
( , , , )
( , , , )
t x y z
A A t x y z
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 69
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
x x x x x
x
dA A A A Ax y z
dt t x y z
x y z At x y z
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 70
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
x x y zA xA yA zAx
v Ax
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 71
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
x x x x
x
A A A Ad v A x y zdt x t x y z
x y z At x y z
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 72
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
1 10
1
x x x x
x
A A A Ad v A x y zdt x c c t x y z
x y z Ac t x y z
1 10
1
x x x x
x
A A A Ad v A x y zdt x c c t x y z
x y z Ac t x y z
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 73
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
1 1
1
xdF e v A v Adt x c x c
de v Adt x x c
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 74
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
1
1 1
1
x
y ii i
z
dF e v Adt x x c
d dF e v A F e v Adt y y c dt x x c
dF e v Adt z z c
MM
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 75
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
1
ii i
dF Mdt x x
M e v Ac
onde
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 76
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
j ji j
j ji j j i
x xd M MQ Fq dt x x q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 77
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
j ji
j j i j i
j j j
j j i j i j i
x xd M MQdt x q x q
x x xd M M d Mdt x q x dt q x q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 78
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
j j ji
j j i j i j i
x x xd M M MQdt x q x q x q
j j
i i
x xq q
j j
i i
x xddt q q
j j
i i
x xq q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 79
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
ii i
d M MQdt q q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 80
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!): E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos …… Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.
JFT2010JFT2010
0
1
ondei i
d L Ldt q q
L K M K e v Ac
RESUMO PARA SISTEMAS NÃO CONSERVATIVOS: CAMPO E.M.
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 81
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO:Momento generalizadoMomento generalizado
JFT2010JFT2010
0i i
ii
ii
d L Ldt q qd Lpdt q
Lpq
Se a Lagrangiana não depender explicitamente da coordenada generalizada, o momento se conserva.
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 82
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO:Momento generalizadoMomento generalizado
21 12 i
iL K M m q e v A
c
JFT2010JFT2010
i i ii
L ep mq Aq c
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 83
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Por um lado …Por um lado …
JFT2010JFT2010
( , , )i i
i ii i i
L L q q t
dL L L Lq qdt t q q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 84
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Por outro lado …Por outro lado …
JFT2010JFT2010
i i ii i i
i ii i
d L d L Lq q qdt q dt q q
L Lq qq q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 85
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Então, consequentemente …Então, consequentemente …
ii i
ii i
i ii
dL L d L qdt t dt q
d L Lq Ldt q t
d Lp q Ldt t
JFT2010JFT2010
( , , )i i i ii
H p q t p q L
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 86
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Por um lado …Por um lado …
JFT2010JFT2010
( , , )i i
i ii ii i
H H p q tH H HdH dt dp dqt p q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 87
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Por outro lado …Por outro lado …
JFT2010JFT2010
i ii
i i i ii i
H p q L
dH p dq q dp dL
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 88
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO:Mas…Mas…
JFT2010JFT2010
( , , )i i
i ii ii i
i i i ii i
L L q q tL L LdL dt dq dqt q qLdL dt p dq p dqt
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 89
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Então…Então…
JFT2010JFT2010
i i i ii i
i i i i i i i ii i i i
i i i ii i
dH p dq q dp dL
LdH p dq q dp dt p dq p dqt
LdH dt q dp p dqt
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 90
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: ComparandoComparando--se as duas expressões para se as duas expressões para dHdH……
JFT2010JFT2010
i ii ii i
ii
i i i ii i
ii
L HH H H t tdH dt dp dqt p q HqL pdH dt q dp p dqt Hp
q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 91
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: Equações de Hamilton para o movimento…Equações de Hamilton para o movimento…
JFT2010JFT2010
i ii i
H Hq pp q
L Ht t
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 92
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):
JFT2010JFT2010
,,
i ii ii i
i i i i i
q p
dF F F FF p qdt t p q
F F H F Ht q p p qF F Ht
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 93
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):
,, q pFF F Ht
JFT2010JFT2010
,, q p i i i i i
F H F HF Hq p p q
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 94
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO: COLCHETES DE POISSON ESPECIAIS:COLCHETES DE POISSON ESPECIAIS:
JFT2010JFT2010
, , 0;
, ;
i j i j
i j ij
q q p p
q p
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 95
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
JFT2010JFT2010JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 96
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
JFT2010JFT2010JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 97
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: ALÉM DA MECÂNICA NEWTONIANA…ALÉM DA MECÂNICA NEWTONIANA… Da experiência Da experiência
–– Interação instantânea não existe na natureza;Interação instantânea não existe na natureza;–– O tempo é relativo;O tempo é relativo;–– A velocidade da luz é constante e máxima.A velocidade da luz é constante e máxima.
JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 98
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: EVENTO:EVENTO:
Qualquer fenômeno especificado pelas coordenadas do Qualquer fenômeno especificado pelas coordenadas do local e pelo instante de tempo em que ocorre. local e pelo instante de tempo em que ocorre.
JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 99
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: EVENTO 1:EVENTO 1:
* Emitir um sinal de luz em* Emitir um sinal de luz em
EVENTO 2: EVENTO 2: * Chegada do sinal de luz em * Chegada do sinal de luz em
1 1 1 1 1( , , , )P x y z t
JFT2010JFT2010
2 2 2 2 2( , , , )P x y z t
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 100
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: Distância percorrida pelo sinal luminoso:Distância percorrida pelo sinal luminoso:
Intervalo entre dois eventos:Intervalo entre dois eventos:
2 2 22 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )c t t x x y y z z
JFT2010JFT2010
2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0x x y y z z c t t
2 2 2 2 212 2 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )s c t t x x y y z z
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 101
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: Intervalos são invariantes:Intervalos são invariantes:
Intervalo infinitesimal:Intervalo infinitesimal:
2 212 12's s
JFT2010JFT2010
2 2 2 2 2 2ds c dt dx dy dz
2 2'ds ds
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 102
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: Da invariância dos intervalos: Da invariância dos intervalos:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2' ' ' '
ds c dt dx dy dz
c dt dx dy dz
JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 103
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: No referencial K’, relógios fixos:No referencial K’, relógios fixos:
JFT2010JFT2010
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
'
' 1
ds c dt dx dy dz c dt
ds dx dy dzdt dtc c dt
2 2 22 2 2 2
2dx dy dz x y z v
dt
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 104
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: No referencial K’, relógios fixos:No referencial K’, relógios fixos:
JFT2010JFT2010
2' 1dsdt dtc
vc
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 105
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: TRANSFORMATRANSFORMAÇÕES DE LORENTZÇÕES DE LORENTZ
JFT2010JFT2010
2
' ' ; '; ';
' '
x x vt y y z z
vt t xc
1/221
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 106
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: QUADRIVETORES:QUADRIVETORES:
JFT2010JFT2010
0
1
2
3
,
,
,
x ct
x x
x y
x z
0 0 1 2 3, , , ,x x x x x x x
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 107
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: QUADRIVETORES:QUADRIVETORES:
JFT2010JFT2010
0
1
2
3
,,,
x ctx xx yx z
0 0 1 2 3, , , ,x x x x x x x
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 108
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA:: PRODUTO ESCALAR (INVARIANTE):PRODUTO ESCALAR (INVARIANTE):
JFT2010JFT2010
32
0
0 1 2 30 1 2 3
0 2 1 2 2 2 3 2
0 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x
x
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 109
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON:AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON:
2
1
t
tS L dt
JFT2010JFT2010
2
1
2
'
1
b
ab
at
t
S ds
cdt
c dt
21L c
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 110
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON:AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON:
21L c
JFT2010JFT2010
2211
2 2vL c cc
212
L mv
mc
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 111
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON:AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON:
22 2 2
21 1 vL mc mcc
JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 112
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVREMOMENTO LINEAR:MOMENTO LINEAR:
ii
Lpq
L
pv
JFT2010JFT2010
2 22 2
2 2
1/222
2 2
2
2
1 1
1 1 22
1
vL mc mcc c
L mcc c
m
c
v
v vv
vpv
mp v
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 113
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE FORÇA:FORÇA:
mt
pF v
JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 114
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE ENERGIA:ENERGIA:
H pq LL
p v
E
JFT2010JFT2010
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 115
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE ENERGIA:ENERGIA:
2 22
22
2
2 2 2
2 22
2
1
1
1
1
m mcc
c
mcc c
c
v v
v
v v
v
E
JFT2010JFT2010
22
21
mc mc
E
20 mcE
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 116
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE RELAÇÃO ENERGIARELAÇÃO ENERGIA––MOMENTO:MOMENTO:
JFT2010JFT2010
2
2
1
mcE
21 βm
vp
2
22
2
2
1
1
c
βcmc
βm
v
v
vp
E
2cvp
E
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 117
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE RELAÇÃO ENERGIARELAÇÃO ENERGIA––MOMENTO:MOMENTO:
JFT2010JFT2010
βvp
ccE
E 2
2222
2
22
22
2
2
222
2
2
2
2
2
22
22
1
1
cmc
c
c
c
p
pp
pp
p
E
E
E
E
22 11 β
cmβ
m
βvp
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 118
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE RELAÇÃO ENERGIARELAÇÃO ENERGIA––MOMENTO:MOMENTO:
JFT2010JFT2010
2222
2
cmc
pE
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 119
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE QUADRIQUADRI--MOMENTO:MOMENTO:
JFT2010JFT2010
2 2 2
,pc
p m c
pE
22 0 2p p p p p
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 120
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS E CONTÍNUOS:SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS E CONTÍNUOS:•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange:Lagrange:
JFT2010JFT2010
'd ddt q dx q q
L L L
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 121
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• CAMPOS CLÁSSICOS:CAMPOS CLÁSSICOS:•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange em 3Lagrange em 3--D:D:
JFT2010JFT2010
3
1
( , )
/ /i i i
q t x
t t dx x
L L L
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 122
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• CAMPOS CLÁSSICOS:CAMPOS CLÁSSICOS:•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange Lagrange
em notação covariante:em notação covariante:
JFT2010JFT2010
/x x
L L
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 123
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• CAMPOS CLÁSSICOS:CAMPOS CLÁSSICOS:•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange Lagrange
em notação covariante:em notação covariante:
JFT2010JFT2010
( )
x
L L
Equações de EulerEquações de Euler--LagrangeLagrange
são covariantes se a densidadesão covariantes se a densidade
LL for um escalar de Lorentzfor um escalar de Lorentz
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 124
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• CAMPOS CLÁSSICOS:CAMPOS CLÁSSICOS:•• Campo escalar (KleinCampo escalar (Klein--Gordon):Gordon):
JFT2010JFT2010
2 2 2
2
22 2
2 2
0 onde
1c t
L =
Monday, July 19, 2010 CAMPOS CLÁSSICOSCAMPOS CLÁSSICOS 125
1. CAMPOS CLÁSSICOS1. CAMPOS CLÁSSICOS
•• CAMPOS CLÁSSICOS:CAMPOS CLÁSSICOS:•• Campo escalar (KleinCampo escalar (Klein--Gordon):Gordon):
JFT2010JFT2010
*
*
1( , )2
1( , ) ( ) ( )2 2
i t i t
i t i t
t a e a eV
dkt a k e a k e
k kk k
k k
k x k x
k x k x
x
x
discr
cont
2 2 onde
mc
kk