jornada de fÍsica teÓrica 2010 - ift.unesp.br · à la heisenberg à la ... resumo resumidÍssimo...
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Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 11
JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA 2010
INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA U.N.E.S.P.
19 a 23-07-2010
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 22
CAMPOS CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE CALIBRE E POR AÍ AFORA …
JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA 2010Instituto de Física Teórica/UNESP
Prof. Dr. Alfredo Takashi Suzuki
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 33
Do I have to explain the relationship and equivalence of general relativity and quantum mechanics again? Didn't you get it the first time?
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 88
Diferentes formas da mecânica quânticaDiferentes formas da mecânica quântica
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
à la Heisenberg
à la Schrödinger
BA
à la Dirac
A
B
à la Feynman
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 99
Elementos formais da mecânica quântica simbólica de Dirac
B A
B
OB O A
Vetor de estadoVetor de estado
Vetor de estado no espaVetor de estado no espaço dualço dual
Amplitude de probabilidade para a Amplitude de probabilidade para a transição do estado A para o estado B transição do estado A para o estado B
Operador (Hermitiano, autoOperador (Hermitiano, auto--adjunto)adjunto)
Elemento de matriz do operador Elemento de matriz do operador OO
A
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RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• ESPAÇO DE HILBERT, H
, , ,H a b c
vetores
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 1111
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• H: Espaço vetorial linear sobre CC, tal que
0 ,
0
a b b a
a b c a b c
a a a
a a
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 1212
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• H: Espaço vetorial linear sobre CC, tal que
, , ,
a b a b
a a a
a a
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 1313
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• PRODUTO ESCALAR DE VETORESPRODUTO ESCALAR DE VETORES
*a b b a
a b c a b a c
a b a b
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 1414
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• OPERADORES LINEARES OPERADORES LINEARES MAPEIAM MAPEIAM HH EM EM H H OU SUBOU SUB HH
se e somente se A a
O a b O a O b
A B B a
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 1515
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• OPERADORES LINEARES EM OPERADORES LINEARES EM H H
1
0 0
a a
a
A B a A a B a
AB a A B a
BA a B A a
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 1616
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• OPERADORES LINEARES EM OPERADORES LINEARES EM H H
,AB BAA B AB BA
Em geral Em geral AA e e BB não comutamnão comutam
COMUTADOR ENTRE COMUTADOR ENTRE AA e e BB
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 1717
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• OPERADORES ADJUNTOS EM OPERADORES ADJUNTOS EM H H
*†
† : adjunto de
a A b b A a
A A
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 1818
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• OPERADORES ADJUNTOS EM OPERADORES ADJUNTOS EM H H
† * †
† † †
† † †
††
A A
A B A B
AB B A
A A
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 1919
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• OPERADORES HERMITIANOS EM OPERADORES HERMITIANOS EM H H
†
* *†
A A
b A b b A b b A b
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 2020
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AUTOVETORES E AUTOVALORESAUTOVETORES E AUTOVALORES
Sejam Sejam AA um operador e | a um operador e | a | 0 | 0 tal quetal que
AA a a = = αα a a com com αα CC
então então | | a a é dito ser um é dito ser um autovetorautovetor de de AA com com autovalorautovalor αα
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RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AUTOVALORES REAISAUTOVALORES REAIS
ParaPara operadoresoperadores hermitianoshermitianos::
Autovalores são Autovalores são reaisreais;;
Se | a Se | a e | b e | b são dois autovetores de um são dois autovetores de um operador hermitiano A = Aoperador hermitiano A = A†† e α e α β β
então então a a b b = 0= 0
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 2222
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AUTOVETORES E BASES EM EM H H
•• Qualquer vetor pode ser expresso em termos de um Qualquer vetor pode ser expresso em termos de um conjunto linearmente independente de vetores de baseconjunto linearmente independente de vetores de base
bb b
1b
b b
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 2323
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AUTOVETORES E BASES EM EM H H
•• Produto escalar então pode ser expressoProduto escalar então pode ser expresso
1b
b b
1b
b b
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 2424
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• OPERADORES UNITOPERADORES UNITÁÁRIOS E RIOS E TRANSFORMATRANSFORMAÇÕÇÕES ES UNITUNITÁRIASÁRIAS
1 †
1 † 1
U U
U U U U
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 2525
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• TRANSFORMATRANSFORMAÇÕÇÕES DE VETORES E ES DE VETORES E OPERADORESOPERADORES
novo antigo
† 1novo antigo antigo
U
A UA U UA U
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 2626
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• PRODUTO ESCALAR E PRODUTO ESCALAR E AUTOVALORES SAUTOVALORES SÃO INVARIANTESÃO INVARIANTES
†novo novo antigo antigo
antigo antigo
U U
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 2727
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• PRODUTO ESCALAR E PRODUTO ESCALAR E AUTOVALORES SAUTOVALORES SÃO INVARIANTESÃO INVARIANTES
†novo antigonovo antigo
antigo antigo
antigo novo
A UA U U
UA
U
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 2828
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
O O estadoestado de um sistema físico corresponde de um sistema físico corresponde ao ao vetorvetor raio de um espaço de Hilbert raio de um espaço de Hilbert H. H. Portanto, tanto Portanto, tanto ψψ quanto µ quanto µ ψψ H H representam o mesmo estado.representam o mesmo estado.
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RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
Os Os observáveis dinâmicosobserváveis dinâmicos de um sistema de um sistema físico correspondem aos físico correspondem aos operadores operadores observáveis em observáveis em H: Operadores observáveis H: Operadores observáveis sãosão hermitianoshermitianos, , i.e., i.e., autovalores reaisautovalores reais, , cujos cujos autovetores autovetores formam uma base em H. formam uma base em H.
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RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
O resultado de qualquer medida de um O resultado de qualquer medida de um observávelobservável pode ser somente um dospode ser somente um dosautovaloresautovalores desse operador observável. O desse operador observável. O estado do sistema físico, é representado estado do sistema físico, é representado pelopelo autovetorautovetor ψψ HH
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RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
Se o Se o estadoestado do sistema físico é do sistema físico é representado pelo representado pelo autovetorautovetor ψψ H H a a probabilidade de uma medida de B probabilidade de uma medida de B resultar num valor resultar num valor β β é dada por:é dada por:
2( , )P B B
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RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
Os Os operadoresoperadores AA e e BB que correspondem às que correspondem às variáveis dinâmicas variáveis dinâmicas clássicasclássicas A A e e BBsatisfazem a relação de comutaçãosatisfazem a relação de comutação
operadores
,
,
A B AB BA
i A B
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RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
operadores,i i i i i
A B A BA Bq p p q
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RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
, 0
, 0 ,
,
i j
i j
i j ij
q q
p p
q p i
,
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 3535
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
0
00
0
( )
( )t t
i H t tt
U t t
e
A evolução temporal dos estados é A evolução temporal dos estados é realizada por um operador unitário;realizada por um operador unitário;
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 3636
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
Considerando uma variação Considerando uma variação infinitesimal do tempo, infinitesimal do tempo, e a variação infinitesimal dos e a variação infinitesimal dos estados e estados e desde quedesde que
0t t dt
0 0t dt t d
1i Hdt i Hdt
e
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 3737
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
00 0
0 0
00
( )1
i H t tt t t
t t t
tt
i Hdt
i Hdt
d i Hdt
e
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 3838
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
Hi t
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 3939
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
Usando a representação de HeisenbergUsando a representação de Heisenberg
0 01 1
H S S St t tU U U
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 4040
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
Usando a representação de HeisenbergUsando a representação de Heisenberg
0 0
1H S
( ) ( )S
( ) t ti iH t t H t t
A t U A U
e A e
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 4141
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
Usando a representação de HeisenbergUsando a representação de Heisenberg
H H H
H
( )
,
i A t A H HAt
A H
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 4242
RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
Classicamente, associamos Classicamente, associamos
CAMPOSCAMPOS com com INTERAÇÕESINTERAÇÕES. .
Ex.: Campo elétrico. Ex.: Campo elétrico.
( , )E t x Função vetorial de três Função vetorial de três
componentes definidos em componentes definidos em cada ponto do espaçocada ponto do espaço--tempotempo
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RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ
• AXIOMAS DA M. Q. AXIOMAS DA M. Q.
Quanticamente, associamos Quanticamente, associamos
CAMPOSCAMPOS com com PARTÍCULASPARTÍCULAS..
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 4444
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
PARTÍCULASPARTÍCULAS: Essência da matéria que se descreve : Essência da matéria que se descreve por meio de funções de onda;por meio de funções de onda;
ONDASONDAS: Funções dependentes do espaço: Funções dependentes do espaço--tempo que tempo que descrevem as partículas!descrevem as partículas!
•• DICIONÁRIO DE “FISIQUÊS” MODERNO:DICIONÁRIO DE “FISIQUÊS” MODERNO:
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2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Na concepção da física atual, partículas e ondas são Na concepção da física atual, partículas e ondas são expressões que se sobrepõem entre si;expressões que se sobrepõem entre si;
A natureza da matéria é vista como de caráter dual A natureza da matéria é vista como de caráter dual –– seja ora partícula, seja ora onda. seja ora partícula, seja ora onda.
•• DICIONÁRIO DE “FISIQUÊS” MODERNO:DICIONÁRIO DE “FISIQUÊS” MODERNO:
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 4646
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Invariância de Lorentz (RR);Invariância de Lorentz (RR);
Interpretação probabilística Interpretação probabilística dos vetores de estado (MQ)dos vetores de estado (MQ)
•• PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 4747
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Para Para cadacada partículapartícula háhá umauma antianti--partículapartículaassociadaassociada, com , com cargacarga elétricaelétrica opostaoposta; ;
As As partículaspartículas obedecemobedecem a a conexãoconexão spinspin--estatísticaestatística: : BósonsBósons (spin (spin inteirosinteiros) e ) e férmionsférmions (semi(semi--inteirosinteiros))
•• PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 4848
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Campo Campo quânticoquântico é o campo é o campo clássicoclássico queque foifoiquantizadoquantizado..
A A quantizaçãoquantização é um é um processoprocesso queque utilizautiliza::a. a. PostuladoPostulado dada quantizaçãoquantização;;b. b. PrincípioPrincípio de de correspondênciacorrespondência..
•• PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 4949
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
a.a. Postulado da quantização:Postulado da quantização:As funções canônicas que satisfazem o parenteses As funções canônicas que satisfazem o parenteses de Poisson obedecem agora os comutadores:de Poisson obedecem agora os comutadores:
•• PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:
qpiqp ,,
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 5050
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
•• PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS:
b. Princípio da correspondência:b. Princípio da correspondência:As variáveis dinâmicas clássicas como energia,As variáveis dinâmicas clássicas como energia,momento, Lagrangiana, etc. são formalmentemomento, Lagrangiana, etc. são formalmenteequivalentes, com expressões apropriadas equivalentes, com expressões apropriadas substituídas por operadores.substituídas por operadores.
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 5151
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Q.E.D. Q.E.D. ÉÉ A MAIS EXATA DAS TEORIAS A MAIS EXATA DAS TEORIAS FFÍÍSICAS CONSTRUSICAS CONSTRUÍÍDAS. DAS.
•• SUCESSO DA TEORIA:SUCESSO DA TEORIA:
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 5252
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
TRATAMENTO PERTURBATIVO APENAS.TRATAMENTO PERTURBATIVO APENAS.
QUANTIZAQUANTIZAÇÃO DO CAMPO GRAVITACIONAL ÇÃO DO CAMPO GRAVITACIONAL
•• DIFICULDADES BDIFICULDADES BÁSICASÁSICAS::
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 5353
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
1.1. Para um dado sistema físico, existe uma função de Para um dado sistema físico, existe uma função de estado que resume tudo o que se pode conhecer a estado que resume tudo o que se pode conhecer a respeito desse sistema;respeito desse sistema;
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 5454
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
1a. A função de estado no espaço de coordenadas 1a. A função de estado no espaço de coordenadas chamachama--se de função de onda, se de função de onda, ψψ(q;s;t), (q;s;t),
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
1 n 1 n( , , ; , ; ; )q q s s t
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 5555
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
1b. Probabilidade de o sistema ter valores 1b. Probabilidade de o sistema ter valores no instante t. no instante t.
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
2i i( , , , , ) 0q s t
i i, , ,q s
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 5656
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
2. Todo observ2. Todo observável físico é representado por um ável físico é representado por um operador linear hermitiano, por exemplo, para o operador linear hermitiano, por exemplo, para o momento canonico:momento canonico:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
kk
p iq
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 5757
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
3. Um sistema físico se encontra no auto3. Um sistema físico se encontra no auto--estado do estado do operador operador ΩΩ sese::
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
n n n
( , , ) ( , , ) ( , , )n n nq s t q s t q s t
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 5858
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
4. Uma função de onda ou função de estado qualquer 4. Uma função de onda ou função de estado qualquer pode ser expandida em termos de um conjunto pode ser expandida em termos de um conjunto ortonormal completo de autofunções ortonormal completo de autofunções ψψnn de um de um conjunto completo de operadores conjunto completo de operadores ΩΩnn. .
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
n n na *
s j n m nm( ) ( , , ) ( , , )dq q s t q s t
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 5959
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
5. O resultado de uma medida de um observável 5. O resultado de uma medida de um observável físico físico é qualquer um de seus autovalores. Medida é qualquer um de seus autovalores. Medida de de ΩΩ resulta em resulta em ωωn n com uma probabilidade acom uma probabilidade ann* * aann
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
n n n
n n na *s j
2n n n
( ) ( , , ) ( , , )
| |
dq q s t q s t
a
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 6060
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
6. A evolução temporal do sistema físico 6. A evolução temporal do sistema físico é governado é governado pela equação de Schrödinger:pela equação de Schrödinger:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
i Ht
H E
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 6161
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Sistema físico mais simples: Partícula livre: Sistema físico mais simples: Partícula livre:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
2H
m
2p
E0 0p i i
c c tx
E
i p
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 6262
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Sistema físico mais simples: Partícula livre: Sistema físico mais simples: Partícula livre:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
22( , ) ( , )
2q ti q tt m
Não covariante
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 6363
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Sistema físico mais simples: Partícula livre: Sistema físico mais simples: Partícula livre:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
0x y z( , ) , , ,p p p p p
c
p E
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 6464
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Sistema físico mais simples: Partícula livre: Sistema físico mais simples: Partícula livre:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
22 2
2
p p p p
m cc
p p E
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 6565
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Sistema físico mais simples: Partícula livre: Sistema físico mais simples: Partícula livre:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
2 2 4H c m c 2p
E
2 2 2 2 4i c m ct
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 6666
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Para a relação relativística de energiaPara a relação relativística de energia--momento:momento:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
2 2 2 2 4c m c p
E
2
2 2 2 2 2 42 c m c
t
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 6767
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Para a relação relativística de energiaPara a relação relativística de energia--momento:momento:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
x x
EquaEquaçãção de Kleino de Klein--GordonGordon
2 4
2 0m c
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 6868
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Soluções da equação de KleinSoluções da equação de Klein--Gordon:Gordon:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
†
3†
1( , )2
1( , ) ( ) ( )2 2
i t i t
i t i t
t a e a eV
dt a e a e
k kk
k k
k x k x
k
k x k x
x
kx k k
discr
cont
22 mc
kk
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 6969
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Soluções da equação de KleinSoluções da equação de Klein--Gordon:Gordon:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
†
3 †
( , )2
1( , ) ( ) ( )2
i t i t
i t i t
t a e a eV
t d a e a e
k k kk
k
k x k x
k
k x k x
x
x k k k
discr
cont
22 mc
kk
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 7070
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Soluções da equação de KleinSoluções da equação de Klein--Gordon:Gordon:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
( , ), ( , ) 0
( , ), ( , ) 0
( , ), ( , ) ( )
t t
t t
t t i
x y
x y
x y x y
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 7171
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Soluções da equação de KleinSoluções da equação de Klein--Gordon:Gordon:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
3†
3 †
1( ) ( ) ( )2 2
1( ) ( ) ( )2
ik x ik x
ik x ik x
dx a e a e
x d a e a e
k k k
k k k
00
k x k x
k x t
k x k x
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 7272
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Soluções da equação de KleinSoluções da equação de Klein--Gordon:Gordon:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
( ), ( ) ( ) onde
( )( )
x y i x y
x
L
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 7373
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Proposta de Dirac:Proposta de Dirac:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
21 2 31 2 3
i Ht
i c mcx x x
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 7474
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Proposta de Dirac:Proposta de Dirac:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
1
4
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 7575
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Proposta de Dirac:Proposta de Dirac:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
2 332 2 22 , 1
33 2 2 4
1
2i j j i
i ji j
i i ii
ct x x
i mc m cx
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 7676
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Proposta de Dirac:Proposta de Dirac:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
2 2
2
0
1
i j j i ij
i i
i
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 7777
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Proposta de Dirac:Proposta de Dirac:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
0
ii
0i mc
x
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 7878
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Proposta de Dirac:Proposta de Dirac:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
p p 0p mc
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 7979
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Proposta de Dirac:Proposta de Dirac:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
0i mc
† 0
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 8080
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Proposta de Dirac:Proposta de Dirac:
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
3 2
3/2
/ † /
( )(2 )
( , ) ( , )e ( , ) ( , )eip x ip x
s
d mcx
b s u s d s v s
p
p p p p
E
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 8181
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Campo eletromagnético (Campo eletromagnético (fotônicofotônico):):
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
0F
F A A
EQUAÇÕESEQUAÇÕESDE MAXWELLDE MAXWELL
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 8282
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Campo eletromagnético (Campo eletromagnético (fotônicofotônico):):
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
21 14 2
F F A L
F A A
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 8383
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Campo eletromagnético (Campo eletromagnético (fotônicofotônico):):
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
3 3 †, ,3 0
( ) ( , )e ( , )e2 2
ik x ik xdA x a a
k kk k k
| | k
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 8484
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
Campo eletromagnético (Campo eletromagnético (fotônicofotônico):):
•• FORMULAFORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA::
3
( , ), ( , ) 0;
( , ), ( , ) 0;
( , ), ( , ) ( ).
A t A t
t t
A t t ig
x y
x y
x y x y
Monday, July 19, 2010Monday, July 19, 2010 8585
2. CAMPOS QU2. CAMPOS QUÂÂNTICOS NTICOS
•• ELETRODINÂMICA QUÂNTICA: ELETRODINÂMICA QUÂNTICA:
QED14
i e A m F F L
F A A
AQUI, INVARIÂNCIA DE “GAUGE” DEVE SER LEVADA EM CONTA!