instituto heisenberg anuario 2004

Instituto Heisenberg

Anuario 2004

UNIVERSIDAD DE COLIMADr. Carlos Salazar Silva, Rector / Dr. Miguel Angel Aguayo Lopez, Secretario Ge-neral / Lic. Juan Diego Suarez Davila, Coordinador General de Extension Cultural/ Licda. Guillermina Araiza Torres, Directora General de Publicaciones

instituto ~ eisenberg

ANUARIO 2004

Alfredo Aranda FernandezEditor

iv

c© 2004 Derechos ReservadosUNIVERSIDAD DE COLIMAAvenida Universidad 333Colima, Col., CP 28040

ISBN:

Impreso y hecho en Mexico/Printed and made in Mexico

Indice general

Introduccion XIII

1. Biografıa de Werner Heisenberg 11.1. Los primeros anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. La familia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Los anos estudiantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. La Universidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. La triste historia del doctorado de Heisenberg . . . . . . . . 5

1.3. Mecanica Cuantica: 1925-1927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1. La nueva Mecanica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2. El principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Los anos difıciles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1. Profesor en Leipzig, 1927-1942 . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2. Investigacion en Fision 1939-1945 . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. La era de la Post-Guerra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1. Reviviendo a la ciencia alemana . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Breve Cronologıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. ¿Por que generacion Henri Poincare? 172.1. Jules Henri Poincare (1854-1912) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. Topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2. Mecanica Celeste y Teorıa de Caos . . . . . . . . . . . . . . 202.1.3. Geometrıa Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Curso de Fısica 233.1. Newton y la Fısica Clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1. Historia de la Fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2. Galileo y los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3. Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.4. Mas fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.5. Maxwell y las matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.6. Siglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

v

vi

3.1.7. La fısica de hoy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.8. Newton y la dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.9. Posicion, velocidad y aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.10. Newton y sus leyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.11. Caıda libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.12. Un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.13. Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.14. Orbitando un planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.15. Escapando de un planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.16. Manteniendose en la rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.17. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Curso de Matematicas 454.1. Construcciones con regla y compas

y su relacion con algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Platicas de Fısica 495.1. Folklore en la Fısica.

De los Quarks al Cosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.2. Ideas que perduran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.1.3. Las primeras partıculas fundamentales . . . . . . . . . . . . 535.1.4. Las interacciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . 545.1.5. No esta mal, pero... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.6. Viendo hacia el cielo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.7. Vida y muerte de una estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.8. Viendo lo que no vemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.9. La historia del universo hasta ahora . . . . . . . . . . . . . 585.1.10. El trabajo de los fısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1.11. Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2. Optica: Una Breve Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.2. La humanidad y los fenomenos opticos . . . . . . . . . . . . 605.2.3. La optica en la antiguedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.4. La optica y los antiguos griegos . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.5. La optica en la Edad Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.6. La optica y la Revolucion Renacentista . . . . . . . . . . . 635.2.7. El siglo XIX y las ondas de luz . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.8. Nace el foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.9. La optica y la relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.10. Luz y materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.11. Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3. El radiotelescopio de UTEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Instituto Heisenberg, Anuario 2004 vii

5.3.2. El funcionamiento de los radio telescopios . . . . . . . . . . 765.3.3. Emision de ondas de radio por hidrogeno

intergalactico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3.4. El radiotelescopio de UTEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.3.5. Obtencion de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3.7. Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4. Doblamiento de proteınas: Un proyecto interdisciplinario . . . . . . 83

6. Platicas de Matematicas 876.1. Calculando el termino n de la Sucesion de Fibonacci . . . . . . . . 89

6.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.1.2. Leonardo de Pisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2. La Conjetura de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3. Dimension rima con medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4. Modelos poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.2. Modelo Thomas Malthus (1798) . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.3. Modelo logıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4.4. Modelo logıstico de una epidemia . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.5. Algoritmos geneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.5.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.5.2. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5.3. Problematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5.4. Ventajas y desventajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.5.5. Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.5.6. ¿Como saber si es posible usar un algoritmo genetico . . . . 1126.5.7. Marco de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.5.8. Comparacion con otros metodos de optimizacion . . . . . . 114

7. Participantes 119

Indice de figuras

3.1. Representacion grafica de la velocidad promedio discutida en el texto. 31

3.2. Representacion de una segunda trayectoria (B). . . . . . . . . . . . 31

3.3. Igual que la figura 3.1.9 pero con mas divisiones en el tiempo. . . . 32

3.4. Representacion con las dos trayectorias. . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5. Grafica de la posicion en funcion de wt. Hemos dado el valor deA = 1 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6. Grafica de la velocidad en funcion de wt para el mismo caso de lafigura 3.1.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7. Grafica de la aceleracion en funcion de wt para el mismo problema. 38

3.8. Tres trayectorias con diferentes velocidades iniciales. La velocidadinicial de la trayectoria 3 fue suficiente para lograr orbitar el planeta. 40

3.9. Rampa circular de radio R. Queremos determinar la altura mınimahmin tal que la pelotita pase la rampa circular sin caerse. . . . . . 42

5.1. Telescopio usado por Jansky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2. Imagenes de la Vıa Lactea en ondas de radio (superior izquierda),infrarrojo (superior derecha), rayos X (inferior derecha)y visible(inferior izquierda). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3. Emision de un foton en el alineamiento de los momentos magneticosen un atomo de hidrogeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4. Luis Basurto con una de las dos antenas del The Very Small Arrayde UTEP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5. Diagrama de conexiones del radiotelescopio. . . . . . . . . . . . . . 79

5.6. Camino recorrido por la senal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.7. Ejemplo del area de observacion del radio telescopio. . . . . . . . . 81

5.8. Ejemplo de presentacion de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.9. Segundo tipo de presentacion de resultados. . . . . . . . . . . . . . 82

6.1. Deformacion de un lazo en un punto: posible en el caso (a), noposible en el caso (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2. Lazos en un toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.3. Efera, toro, superficie con dos perforaciones, etcetera. . . . . . . . 98

ix

x

6.4. En una recta, uno se puede mover en una sola direccion, aunque endos sentidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.5. En un cuadrado, es posible moverse en dos direcciones. . . . . . . . 996.6. La longitud de un segmento se mide aproximadamente comparando

una unidad con el segmento a ser medido. Mejores aproximacionesse obtienen al usar reglas mas pequenas. . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.7. El area de una region en el plano se aproxima al comparar unaunidad dada, en este caso un cuadrado de lado ε, con la region amedir. La aproximacion es entonces ∼ ε2N(ε). . . . . . . . . . . . 101

6.8. Las primeras tres iteraciones en la construccion de la curva de Koch.1026.9. La construccion del conjunto de Cantor hasta la quinta iteracion. . 1036.10. Las primeras iteraciones en la construccion del triangulo de Sierpinski.1046.11. Condiciones basicas necesarias para la implementacion efectiva de

un sistema experto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Indice de cuadros

3.1. Situacion actual de las teorıas en su relacion con la mecanica cuanti-ca y la relatividad especial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1. Clasificacion de algunas estrellas de acuerdo a su temperatura su-perficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2. Tipos de radiacion electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1. Algunos valores de n y Xn para r = 3·1, K = 1 y X1 = 1/4 . . . . 1076.2. Puntos de bifurcacion con perıodo duplicado. . . . . . . . . . . . . 107

Introduccion

xiii

Instituto Heisenberg, Anuario 2004 xv

El Instituto Heisenberg nace en febrero de 2003 con la mision fundamental deencontrar talentos entre los jovenes colimenses y de divulgar la actividad cientıficaen la comunidad.

La actividad fundamental del Instituto durante sus primeras dos generaciones(2003, 2004), consistio en seleccionar a aquellos estudiantes del nivel medio superiordestacados e interesados en la ciencia, particularmente en las areas de fısica ymatematicas. Una vez seleccionados fueron invitados a participar desde marzohasta junio en sesiones sabatinas en la Facultad de Ciencias, en las cuales fueronexpuestos a clases formales en estas areas y a una serie de exposiciones por partede investigadores locales y visitantes (nacionales y extranjeros).

Este Anuario contiene la informacion presentada y discutida durante la ge-neracion 2004, generacion que fue dedicada al matematico frances Henri Poncare.Esperamos que la informacion aquı contenida sea de utilidad tanto para profesorescomo estudiantes del nivel medio superior.

En total hubo 14 sesiones sabatinas en las cuales se realizaron nueve exposicionespor parte de investigadores. Carlos Moises Hernandez Suarez de la Universidad deColima (U de C) hablo sobre Branching Processes - Algoritmos geneticos y la apli-cacion de las matematicas en temas de biologıa. Con un topico similar, ChristopherKribs (University of Texas at Arlington) expuso sobre Modelos Poblacionales. Pao-lo Amore (U de C) hablo sobre la Computacion y la Fısica. Santiago Arceo Dıaz(estudiante de fısica de la Facultad de Ciencias de la U de C) persento una charlasobre Agujeros Negros. Andres Pedroza (Tufts University y a partir de agosto del2004 U de C) presento una conferencia sobre La Conjetura de Poincare, en sintonıacon nuestra generacion. Jorge Lopez (University of Texas at El Paso) hablo so-bre Radioastronomıa en UTEP y comento como en Colima se puede construir unradiotelescopio relativamente facil y con poco dinero. Alfredo Raya (U de C) dioun taller de Optica y presento una charla sobre El Folklore en la fısica. ChristophHofmann (U de C) participo con una exposicion sobre la fısica de las proteinas,y finalmente Alfredo Aranda (U de C) presento una charla titulada ¿En cuantasdimensiones vivimos?

El Anuario presenta primero una resena biografica de Werner Heisenberg, fısicoaleman en el que nos hemos inspirado para nombrar nuestro Instituto, y continualuego con una breve descripcion de la vida y trabajo de Henri Poincare. La parteacademica del Anuario comienza en el capıtulo 3, el cual contiene una descripcionde los temas tratados durante el curso de fısica que se impatio a los estudiantes. Elcapıtulo 4 contiene una lista de los temas vistos en el curso de matematicas. Unadescripcion detallada de estos temas se incluira en el Anuario 2005. Los capıtulos 5y 6 contienen una serie de artıculos de fısica y matematicas, respectivamente. Estosartıculos corresponden a las diferentes exposiciones realizadas durante el InstitutoHeisenberg y han sido creados especıficamente para este Anuario. Al final, en elcapıtulo 7, se presenta una lista de los estudiantes participantes.

Concluımos esta introduccion agradeciendo a todas las personas involucradasen los procesos tanto de los cursos como de la publicacion de este Anuario. Agra-decemos inmensamente a los investigadores que han colaborado con nosotros y nos

xvi

han dedicado un poco de su tiempo para participar en esta labor. Por ultimo es-peramos que este trabajo represente una herramienta mas para difundir y ensenarla ciencia en nuestra comunidad.1

1Anuario disponible en: http://cgic.ucol.mx/∼fefo/ih.html

Capıtulo 1

Biografıa de WernerHeisenberg

1

Instituto Heisenberg, Anuario 2004 3

Biografıa de Werner Heisenberg1

Carlos A. Camargo y Myriam Cruz Calvario

Facultad de Ciencias, Universidad de Colima

Av. Bernal Dıaz del Castillo #340

Colima, Colima, Mexico, 28045

1.1. Los primeros anos

1.1.1. La familia

Werner Karl Heisenberg nacio el 5 de diciembre de 1902 en Wurzburg, ciudadubicada en la region sur del estado aleman de Bavaria. El segundo de los hijos delDr. August Heisenberg, profesor de griego moderno en la Universidad de Munich,y Annie Heisenberg, hija del director de un Gymnasium y autoridad en tragediagriega.

1.2. Los anos estudiantiles

El 1911 Heisenberg empezo sus estudios en el Maximilian Gymnasium de Mu-nich, siendo director su abuelo materno, Dr. Nikolaus Wecklein, aunque solo estuvocon ese cargo durante los primeros tres anos de Heisenberg en ese lugar. Los prin-cipales temas de estudio eran las lenguas clasicas, latın y griego, pero Heisenbergobtuvo las calificaciones mas altas en materias como: fısica, matematicas y reli-gion, y las mas bajas en aleman y atletismo, sin embargo se graduo como el mejorde su clase. Al mismo tiempo Heisenberg estudio musica, piano clasico, con unode los grandes maestros de Munich, incluso fue presentado en conciertos escolaresa la edad de 12 anos. Dicha aficion la mantuvo a lo largo de toda su vida.

Desde estudiante, Heisenberg se vio especialmente fascinado con la teorıa denumeros y las matematicas de los sistemas numericos, tal y como el lo senalaba: “Esclaro, todo lo es cuando puedes entenderlo desde el fondo”. Su padre y un profesorde matematicas fueron quienes, en parte, despertaron su interes. Su maestro porquerepartıa publicaciones de investigacion entre la clase y su padre porque al descubrirla habilidad de su hijo con el latın, le llevo algunos viejos tratados de matematicasen latın. Que por cierto, uno de esos tratados fue la disertacion doctoral del famosoteorico de numeros Leopold Kronecker.

Despues de haber estudiado un libro avanzado de teorıa de numeros, Heisenberg,como Kronecker y muchos otros, estuvo tratando de probar el famoso y ultimo

1Parte de esta biografıa fue tomada de la mas completa escrita hasta este momento, publicadabajo el tıtulo “Uncertainty, the life and science of Werner Heisenberg” de David C. Cassidy (W.H. Freeman and Company, New York). 1992. Se puede consultar en la direccion electronica:http://www.aip.org/history/heisenberg/p01.html

4

teorema de Fermat, y aunque el intento fallo, como para cualquier otro hasta muyrecientemente, esto no desanimo a Heisenberg.

1.2.1. La Universidad

Heisenberg ingreso a la Universidad de Munich el otono de 1920. Su plan eraestudiar matematicas puras, pero despues de una desconcertante entrevista conuno de los profesores de matematicas, se decidio por la fısica teorica. Arnold Som-merfeld, profesor en esta area, inmediatamente reconocio el talento de Heisenbergy lo admitio en su clase de seminario avanzado, donde muy pronto produjo untrabajo publicable de la vieja teorıa cuantica del atomo.

Heisenberg recibio su doctorado en un tiempo record de tres anos (1923). En1924 recibio la habilitacion o certificacion para impartir clases a nivel universi-tario, y ese mismo ano recibio apoyo de la Rockefeller Foundation para pasar elano escolar en el Instituto Bohr en Copenhague, Dinamarca. En 1925 regreso aGottingen donde produjo su primera contribucion a la mecanica cuantica. Durantesus estudios en Gottingen estuvo como asistente personal de Max Born hasta laprimavera de 1926.

A partir de ese ano la mecanica evoluciono en una forma mas completa, porlo que Heisenberg comenzo a buscar una posicion como profesor universitario.Siendo uno de los pocos visitantes internacionales del Instituto Bohr, aprovecho laoportunidad de aprender fısica junto a Bohr y en poco tiempo su trabajo intensodio frutos con el Principio de incertidumbre, la Interpretacion de Copenhaguen de1927 y los cimientos de los fundamentos de la mecanica cuantica legados por el yotros, en los anos veinte. En 1927 fue propuesto para profesor de fısica teorica enLeipzig, convirtiendose a sus 25 anos en el profesor aleman de tiempo completomas joven.

Resumiendo que desde su ingreso a la Universidad de Munich hasta su eleccioncomo profesor en Leipzig, Heisenberg estudio y practico en tres de los centroslıderes a nivel mundial en fısica atomica: Munich, Gottingen y Copenhaguen, yjunto a tres de los lıderes mundiales en fısica teorica atomica: Sommerfeld, MaxBorn y Niels Bohr; ası como la amistad vitalicia que durante esta trayectorialogro con el brillante fısico Wolfgang Pauli.

Sin lugar a dudas que el haber conocido a esos profesores durante los anos veintele ayudaron a Heisenberg a convertirse en uno de los fısicos lıderes de aquella epoca;no obstante, la fortuna de haber trabajado la fısica atomica justo en el momentode los mayores avances tambien tuvo su peso.

En esa epoca, el primer reclutamiento de una revolucionaria teorıa del atomo-la vieja teorıa cuantica- empezaba a tambalearse. En casos simples esta teorıa, es-tablecida por Bohr y Sommerfeld trabajaba bien, pero cuando Heisenberg entro enescena, la relacion entre el estudio experimental y el teorico revelo muchos proble-mas, incluso algunos fısicos empezaban a hablar de una crisis en la teorıa cuantica.

Una vez que Heisenberg aprendio la fısica basica con Sommerfeld -en Munich-, en Gottingen aprendio a seguir los principios fısicos mas detenidamente y a


aplicar sofisticados metodos matematicos para calcular las orbitas hipoteticas delos electrones en los atomos, de acuerdo a la vieja teorıa cuantica. No obstantelas propiedades de los atomos que Heisenberg y Born habıan anunciado de suscalculos no habıan coincidido con los datos experimentales existentes, por lo quela veja teorıa cuantica les habıa fallado, pero esta vez Heisenberg y sus colegasencontraron donde fallaba exactamente y obtuvieron pistas para repararla.

1.2.2. La triste historia del doctorado de Heisenberg

En mayo de 1923, Heisenberg regreso a Munich para terminar su ultimo se-mestre y escribir su disertacion doctoral. Conociendo la habilidad de Heisenbergpara resolver problemas controversiales de la teorıa cuantica, su mentor, ArnoldSommerfeld, le sugirio escribiera su disertacion en un problema tradicional en elcampo de la hidrodinamica, para lo que Heisenberg tuvo que tomar un curso decuatro horas de laboratorio en fısica experimental, ofrecido por el profesor WilhelmWien.

Wien insistıa que cualquier fısico, incluso el brillante teorico Sommerfeld de-berıa estar completamente preparado en fısica experimental. Wien y Sommerfeldcoincidieron en el examen oral final de Heisenberg y ambos estuvieron de acuerdoen dar un grado unico en fısica.

El problema que Heisenberg se planteo consistıa en determinar la transicion deun flujo de incidentes (flujo laminar) a un flujo turbulento. Esto fue un problemamatematico extremadamente difıcil. De hecho, era tan difıcil que Heisenberg ofre-cio solo una solucion aproximada. “Yo no propondrıa un topico de esta dificultadcomo disertacion a ningun otro de mis pupilos”, escribio Sommerfeld. La facultadacepto la tesis y Wien la acepto para publicarla en la revista de fısica que editaba:Annalen der Physik.

El problema comenzo con la aceptacion de la disertacion del candidato a losexamenes orales. El comite examinador estaba intregado por Sommerfeld y Wienen el area de fısica y los representantes de las materias adicionales, Matematicasy astronomıa. Estaba establecido ademas, que los unicos grados que un candidatopodıa recibir por sus estudios estuvieran basados en la disertacion y en el examenoral: un grado por cada materia y solo uno como el promedio de ambas. Con 21anos de edad, Heisenberg se presento ante los cuatro profesores, el 23 de julio de1923, pudo responder facilmente a todas las preguntas de Sommerfeld y a las quecorrespondıan al area de matematicas, pero empezo a tambalearse en astronomıay cayo en las de fısica experimental.

Durante su trabajo en el laboratorio, Heisenberg manejo un interferometro,Fabry-Perot, para observar las interferencias de las ondas luz, y que en su clasehabıa estudiado extensivamente, sin embargo y para sorpresa de Wien, Heisenbergno tenıa idea de como derivar la potencia de la resolucion del interferometro yeste le habıa pedido que derivara la resolucion de instrumentos comunes como eltelescopio o el microscopio. Wien molesto le pregunto como trabajan las baterıas,pero para ese momento Heisenberg ya estaba completamente perdido.

6

Wien vio la razon suficiente para no pasar a Heisenberg, senalando que no im-portaba que tan importante pudiera ser en otras ramas de la fısica. Un argumentosurgio entre Sommerfeld y Wien sobre la relativa importancia de la fısica teoricaen relacion con la fısica experimental. El resultado fue un III para Heisenberg; esdecir, el promedio estuvo entre la I impuesta por Sommerfeld y la V que Wien ledaba (la calificacion mas alta y la mas baja, respectivamente).

Sommerfeld estaba conmocionado y Heisenberg mortificado, sobre todo por-que siempre estuvo acostumbrado a estar en lo mas alto de sus clases, ası que lecosto trabajo aceptar un grado mediocre para su doctorado.

Sommerfeld preparo una pequena fiesta en su casa para festejar al nuevo doctor,pero Heisenberg se excuso rapidamente de asistir, empaco sus cosas y tomo el trende la media noche rumbo a Gottingen, presentandose a la manana siguiente en laoficina de Max Born, quien lo habıa contratado como su asistente para el siguienteano escolar.

Heisenberg, despues de haberle informado a Born de su fracaso en los examenesorales se concreto a preguntar: “¿Me gustarıa saber si aun me quiere a su lado?”Born no le contesto hasta que aclaro las preguntas en las que habıa fallado, yconvencido de que esas preguntas habıan sido un truco sucio, mantuvo su ofertade empleo.

En marzo de 1924, Heisenberg visita el Instituto de Fısica Teorica de Copen-hagen, dirigido por Niels Bohr, donde conoce a Albert Einstein. Posteriormenteretorna a Gottingen y, el 28 de julio de 1924, obtiene su calificacion como docentepara impartir clases en las universidades alemanas.

1.3. Mecanica Cuantica: 1925-1927

1.3.1. La nueva Mecanica Cuantica

Cuando Heisenberg ingreso a la Universidad de Munich (1920), la teorıa atomi-ca valida era la teorıa cuantica de Bohr, Sommerfeld y colaboradores, sin importarque fuera correcta solo en ciertas situaciones, por lo que era inadecuada y nece-sitaba ser reemplazada. De hecho los fısicos estaban de acuerdo en que debıa serreemplazada por una nueva mecanica cuantica. Durante su trabajo en Munich,Gottingen y Copenhaguen, Heisenberg se metio de lleno al estudio teorico y sepuso a sı mismo la tarea de hallar la nueva mecanica cuantica. Inspirado por Bohry su asistente, H.A. Kramers en Copenhaguen, Pauli en Hamburgo y Bohr enGottingen, Heisenberg trabajo intensamente los meses siguientes para alcanzar sumeta.

Debido a que las orbitas de los electrones en los atomos no pueden ser obser-vadas, Heisenberg trato de desarrollar una mecanica cuantica sin ellas, y por juliode 1995 hallo una respuesta. Pero las matematicas no eran del todo usuales porlo que no estaba seguro si lo que habıa desarrollado tenıa sentido; ası que envio eltrabajo con la derivacion a su mentor Max Born. Despues de haber analizado la


derivacion, Born reconocio que aquellas matematicas inusuales estaban relaciona-das con arreglos matematicos de numeros llamados matrices y envio el trabajode Heisenberg para ser publicado. Este fue el surgimiento de la nueva mecanicacuantica.

Born, junto a su asistente Pascual Jordan, desarrollo la mecanica cuantica ba-sada en la matematica abstracta de las matrices y unido a Heisenberg obtuvieronel famoso three-man paper estableciendo juntos los detalles de una nueva mecani-ca cuantica basada en matrices: la mecanica de matrices. Con la introduccion deconceptos adicionales (spin del electron, el principio de exclusion de Pauli), Hei-senberg, Born, Jordan, Pauli y otros, mostraron que la nueva mecanica cuanticapodıa describir muchas de las propiedades de los atomos y de los eventos atomicos.

1.3.2. El principio de incertidumbre

Mientras mas precisamente se determina la posicion en un instante, la precisionen el momento es menor, y viceversa. –Heisenberg, uncertainty paper, 1927–

Esta es la base que establece la relacion de incertidumbre entre la posicion yel momentum de una partıcula subatomica como un electron. Esta relacion tieneprofundas implicaciones para la determinacion del comportamiento futuro de unapartıcula atomica.

Debido a las implicaciones cientıficas y filosoficas que encerraban las relacionesde incertidumbre, los fısicos hablaban de un principio de incertidumbre, mejorconocido como el principio de indeterminacion.

Los orıgenes de la incertidumbre parecen un capıtulo mas personal que fısico,pues genero un debate que inicion en 1926 entre Heisenberg junto con sus mascercanos colaboradores, quienes estaban de acuerdo con la forma matricial de lamecanica cuantica, y Erwin Schrodinger y colegas, quienes defendıan la nuevamecanica ondulatoria.

“Por supuesto que conozco la teorıa, pero me siento decepcionado, no solo por losmetodos del algebra trascendental que se me dificultan, ademas por su poca

visualizacion” –Schrodinger, 1926–

Muchos fısicos poco a poco fueron aceptando la mecanica matricial debido asu naturaleza abstracta y a su matematica inusual. Y gustosamente recibieronla alternativa de la mecanica ondulatoria de Schodringer cuando aparecio, en elmismo 1926, dado que abarca conceptos y ecuaciones mas familiares y podıa dejarde lado los saltos cuanticos y las discontinuidades encontradas en la mecanicamatricial.

El fısico frances Louis de Broglie, sugirio que no solo la luz sino tambien lamateria se comporta como una onda. Trabajando esta idea, que el mismo Einsteinapoyaba, Schrodinger atribuyo la energıa cuantica de los orbitales electronicos dela vieja teorıa cuantica a las frecuencias de vibracion de un electron “ondas de ma-teria” alrededor del nucleo atomico. Justo como la cuerda de un piano, que tiene

8

un tono fijo, un electron-onda deberıa tener una energıa cuantica fija. Esto hizolos calculos mas sencillos y mas familiares a la visualizacion de los eventos atomi-cos que con la mecanica matricial de Heisenberg, donde la energıa se encontrabadespues de calculos muy elaborados.

En mayo de 1926, Schrodinger publico la prueba de que la matematica matricialy la ondulatoria arrojaban resultados equivalentes: matematicamente se trataba dela misma teorıa. Pero no solo esto sino que tambien argumento la superioridad dela mecanica ondulatoria sobre la mecanica matricial. Esto provoco una reaccion deenojo, principalmente de Heisenberg quien insistıa en la existencia de discontinuossaltos cuanticos como en el de una teorıa basada en ondas continuas.

“Por mas que pienso en la parte fısica de la teorıa de Schrodinger, mas repulsivala hallo. Que Schrodinger escriba acerca de la visualizacion de su teorıa no esprobablemente lo correcto, en otras palabras es basura” –Heisenberg, carta a

Pauli, 1926–

Despues de que Schrodinger mostro la equivalencia de las versiones matricia-les y ondulatorias de la mecanica cuantica, y Born presento una interpretacionestadıstica de la funcion de onda, Jordan en Gottingen y Paul Dirac en Cam-bridge, Inglaterra, crearon unas ecuaciones unificadas conocidas como “Teorıa detransformacion”. Estas forman las bases de lo que hoy conocemos como mecanicacuantica.

La tarea ahora consistıa en hallar el significado fısico de estas ecuaciones ensituaciones actuales que mostraran la naturaleza de objetos fısicos en terminos deondas, partıculas o ambos. Como Bohr posteriormente lo explicarıa, los eventos enlos pequenos atomos estan sujetos a la mecanica cuantica, pero la gente trabajacon grades objetos en el laboratorio, donde la fısica clasica de Newton prevalece.Lo que se necesita es una interpretacion de las ecuaciones cuanticas de Dirac-Jordan que permita a los fısicos relacionar las observaciones de todos los dıas enel laboratorio, con los eventos y procesos en el mundo cuantico del atomo.

Al estudiar a Dirac y Jordan, mientras mantenıa una correspondencia frecuentecon Pauli, Heisenberg descubrio un problema en la manera en que se podrıanmedir las variables fısicas basicas que aparecıan en las ecuaciones. Su analisisdemostro que las incertidumbres o impresiciones siempre daban vuelta en torno a lamedicion de la posicion y el ımpetu de una partıcula a un mismo tiempo (similaresincertidumbres ocurrieron al medir la energıa y las variables del tiempo de lapartıcula simultaneamente). Estas incertidumbres o impresiciones en las medidasno eran una falla del experimentador, dijo Heisenberg, sino que eran inherentes ala mecanica cuantica.

Heisenberg presento a Pauli su descubrimiento y sus consecuencias en una cartade 14 paginas, en febrero de 1927. Posteriormente la carta se desarrollo en unartıculo, en el cual Heisenberg presento al mundo, por primera vez, lo que seconocerıa como el Principio de Incertidumbre.


1.4. Los anos difıciles

1.4.1. Profesor en Leipzig, 1927-1942

Con solo 25 anos de edad, Heisenberg acepto el cargo de profesor de fısica teoricaen la Universidad de Leipzig, Alemania. Friefrich Hund, colega de el en Gottingen,pronto se le unio, siendo el segundo profesor en fısica teorica de Leipzig. Heisenbergdirigıa el Instituto de Fısica Teorica, que era una subseccion del Instituto de FısicaUniversitario dirigido por el experimentalista Peter Debye (hasta 1936). Cada unode los tres profesores tenıan sus propios estudiantes, asistentes, posdoctorados ytecnicos laboratoristas.

Como fundador de la mecanica cuantica y cabeza del programa de fısica teorica,Heisenberg atrajo a Leipzig numerosos estudiantes de amplia calidad, y visitantesde Alemania y del resto del mundo. Durante la siguiente mitad de la decada,Heisenberg y sus colaboradores produjeron las mejores nuevas teorıas cuanticasdel estado solido, la estructura de las moleculas, la dispersion de la radiacion porel nucleo y el primer modelo del proton.

La tarea ahora consistıa en ajustar la cuantica al resto de las teorıas fısicas. ConPauli y sus colaboradores en Zurich, Heisenberg y sus colaboradores dieron enormespasos hacia la unificacion de la mecanica cuantica y la teorıa de la relatividadespecial, en una teorıa de campos relativistas. Junto con Dirac y otros, sentaronlos fundamentos de la investigacion en fısica de altas energıas. Para ese entonces loslaboratorios no contaban con altas energıas, ası que su trabajo se concentro en laspropiedades de los rayos cosmicos, partıculas de altas energıas que chocan contrala atmosfera de la Tierra desde el espacio exterior.

En enero de 1933, Hitler obtuvo el poder y en diciembre de ese mismo anoHeisenberg fue galardonado con el Premio Nobel de Fısica (por el ano de 1932).Protegido en cierta forma por el premio, Heisenberg se volvio un lıder difusor dela fısica moderna en Alemania y se mantuvo allı. Las razones para permaneceren alemania aun son tema de estudio y debate. El no era un nazi, pero era unpatriota de la cultura alemana y aparentemente sentıa que debıa quedarse paradespues de la guerra ayudar a ordenar y preservar los remanentes de la cienciaalemana decentes. Nunca se imagino que este hecho se volverıa una autodefensa.

El regimen comenzo a despedir judıos y oponentes polıticos, que incluıan lasposiciones academicas de todos los niveles. Durante ese mismo periodo, los fısicosnazis, como el premio Nobel Johannes Stark, comenzaron a atacar a la moder-na fısica teorica, incluyendo la teorıa de la relatividad y la mecanica cuantica,llamandola “fısica judıa”. Heisenberg y otros lıderes fısicos procuraron oponerse aestas acusaciones, pero no tuvieron exito.

“El campo de concentracion es obviamente el mejor lugar para situar a HerrHeisenberg”–Un funcionario nazi–

En 1937 Heisenberg se vio atacado. Fue vilmente llamado traidor en un artıculotitulado “Judıos blancos en la ciencia”, que aparecio en un periodico de la SS.

10

Fue internado en un campo de concentracion. El ataque ocurrio justo despues deque Arnold Sommerfeld decidio retirarse, esperando que se eligiera a su pupiloHeisenberg como sucesor de su puesto en Munich. Gracias a las buenas relacionesque la familia de Heisenberg tenıa, pudo apelar directamente al director de la SS,Heinrich Himmler, para ser exonerado. Despues de un largo ano de investigacion,el SS retiro las acusaciones contra Heisenberg, quien se mantuvo en Alemania sinobtener nunca el puesto de Sommerfeld.

“Heisenberg es solo un ejemplo de muchos otros... Todos ellos representan eljudaısmo en la vida espiritual alemana, que debe ser eliminada justo como a los

judıos mismos”–SS newspaper, 1937–

1.4.2. Investigacion en Fision 1939-1945

Cuando Alemania invadio Polonia en 1939, Heisenberg estaba enrolado en launidad de reserva de la infanteria. Con el brote de la guerra el y otros fısicosrecibian ordenes militares, no del frente sino de la oficina de armas del ejercito(Heereswaffenamt) en Berlin. Allı fueron incitados a explorar los prospectos parala aplicacion de la utilizacion practica de un nuevo descubrimiento: la fision nu-clear. La fision nuclear involucra el partir el nucleo con la liberacion de enormescantidades de energıa.

Bajo circunstancias apropiadas, el proceso de fision de uranio puede ser contro-lado, obteniendose una produccion de calor que puede ser empleada para la pro-duccion de electricidad. Por otro lado, si la reaccion se sale de control, la energıaes liberada en forma extremadamente rapida produciendo una enorme explosion:una bomba atomica.

“En el presente, yo creo que la guerra terminara antes de que se construya la

primera bomba atomica. –Heisenberg, 1939”

Heisenberg tomo la iniciativa en la investigacion alemana en fision, enviando ala oficina de armas despues de tres meses un reporte secreto sobre sus prospectos.Hasta 1942, el encabezaba un pequeno grupo de investigacion en Leipzig y acon-sejaba a un segundo gran grupo en Berlin, repartiendo sus semanas igualmenteentre Leipzig y Berlin. Con su cargo en 1942 en el Kaiser Wilhelm Institute forPhysics, el grupo principal de investigacion del reactor, y la Universidad de Berlin,Heisenberg vivio al estilo soltero en la ciudad capital. Su esposa, su madre, unacriada y sus seis hijos, todos buscaban proteccion para pasar el verano en su casaen Bavaria, mientras duraba la guerra.

Heisenberg seguıa siendo una figura principal en el proyecto aleman de la fisionnuclear, manteniendo lazos administrativos al final de la guerra. La espantosaposibilidad que este esfuerzo aleman pudiera tener exito al proveer a Hitler con unarma nuclear era una de las fuerzas impulsoras del proyecto de Manhattan en losEstados Unidos, mismos que produjeron las armas nucleares utilizadas en Japonen agosto de 1945.


El papel principal de Heisenberg en la investigacion nuclear alemana durantela guerra ha sido un tema de intensa controversia. Parte de esta controversia secentra en por que Heisenberg estuvo implicado con este potencialmente peligrosoproyecto, y otra se relaciona con el por que los resultados alemanes eran tanmınimos en relacion con lo que habrıan podido lograr.

Despues de todo, la fision nuclear era un descubrimiento aleman. Ademas, enel brote de la guerra, Alemania tenıa el unico lugar en investigacion militar; ylas conquistas del ejercito aleman habıan rendido las fuentes mas ricas del mundoen uranio, agua pesada y otros materiales y equipos. Sin embargo, con todo esto,Alemania nunca estuvo cerca de lograr una bomba e incluso no habıa alcanzadouna reaccion en cadena.

Las conclusiones con respecto a estas ediciones complicadas y emocionalesvarıan extensamente en la literatura historica. Una de ellas (que en la opinionde la mayorıa de los investigadores no esta bien apoyada) es que Heisenberg par-ticipo en el proyecto para sabotearlo, y por esa razon el logro de Alemania fuetan pobre. Otra teorıa es que Heisenberg, como teorico y sin mucho interes ocapacidad en trabajo experimental, era impropio para este proyecto practico. Elcometio muchos errores en su trabajo inicial sobre fision, y debido a su sentido desuperioridad, de su carencia de vision y de su preparacion en fısica teorica, nuncalos reconocio y nunca vio que el proyecto pudiera progresar mas eficientemente.

Otro punto de vista, menos crıtico de Heisenberg como fısico, es que la inves-tigacion nuclear alemana fue condenada a la insignificancia por las circunstanciasde la guerra. Aunque es verdad que Heisenberg no pudo calcular como construiruna bomba nuclear con solamente algunos kilogramos de uranio-235 puro (puespenso que necesitaria toneladas), el calculo correcto estaba lejos de ser obvio.

Ningun cientıfico aleman dio mucha atencion a esto, despues de todo, conseguirincluso algunos kilogramos habrıa requerido un proyecto titanco de larga duracion.Era difıcil imaginarse pedir a su gobierno apoyo para emprender eso en medio deuna dura guerra. El destino del trabajo nuclear fue sellado por la decision eventualde los militares de no darle ayuda abundante, y concentrarlo todo en cohetes yaviones jet.

Heisenberg tambien se ha criticado porque durante la guerra viajo a los paısesocupados por Alemania como representante cultural del Reich aleman. Le criticanpor haber hecho declaraciones insensibles e incluso declaraciones en favor de Ale-mania mientras que visitaba estos paıses presos. Por otra parte, Heisenberg y otroshan senalado al mejoramiento de las condiciones de trabajo para algunos fısicosen estos paıses y su ayuda a algunos de ellos en dificultades personales.

Al final de la guerra, una unidad de inteligencia aliada capturo a Heisenberg y aotros cientıficos nucleares alemanes, junto con la mayorıa de sus papeles y equipo.Despues de extensos interrogatorios los mantuvieron presos durante seis meses enun condado ingles, Farm Hall, cerca de Cambridge, en donde sus conversacionesprivadas fueron secretamente registradas, transcritas, traducidas y publicadas. Es-pecialmente giraban en torno a las noticias del bombardeo atomico de Japon, porlo que estas publicaciones no solo proporcionaron nuevas pistas para las investiga-

12

ciones, sino que tambien agregaron combustible adicional a las controversias querodean a Heisenberg y a la investigacion alemana de la fision durante la segundaguerra mundial.

1.5. La era de la Post-Guerra

1.5.1. Reviviendo a la ciencia alemana

Despues de haber sido liberado del cautiverio britanico, en enero 1946, Heisen-berg y varios de sus colegas mas cercanos se instalaron en una ciudad al norte dela Universidad de Gottingen, en donde se le nombro director del Kaiser WilhelmInstitute for Physics. Ahı se dedico princpalmente a dos grandes tareas: la recons-truccion de su instituto como centro de investigacion en fısica y el renacimientode la investigacion en la naciente Republica Federal Alemana.

Trabajando con autoridades occidentales y lıderes polıticos alemanes, Heisen-berg busco un vınculo directo del gobierno federal en la formacion de una polıticanacional para la ciencia y la tecnologıa, ası como de consejeros de ciencia con elnuevo canciller federal, Konrad Adenauer.

Estas solicitudes encontraron eco con la creacion del Consejo de InvestigacionAleman (Deutscher Forschungsrat), fundado en 1949 e integrado por 15 cientıficosprincipales, con Heisenberg como presidente. El nuevo consejo represento a la cien-cia alemana en asuntos internacionales y directamente en la oficina del canciller.

El nuevo consejo de investigacion contradijo la larga tradicion alemana de quela ciencia estuviera bajo la autoridad de los ministros culturales de cada estado.El consejo fue desafiado fuertemente por los ministros culturales, quienes apoya-ban su propia organizacion y la asociacion de emergencia de la ciencia alemana(der Deutschen Wissenschaft de Notgemeinschaft), que rivalizo al consejo de Hei-senberg. Los ministros culturales eventualmente prevalecieron, muy a pesar deHeisenberg.

Los dos cuerpos se combinaron en 1951 en la actual Sociedad Alemana de la In-vestigacion (Deutsche Forschungsgemeinschaft), uno de los partidarios principalesde la investigacion academica en Alemania. Heisenberg fue elegido al comite pre-sidencial de la nueva asociacion y dirigio a su Comision para la fısica atomica, quecoordino toda la investigacion nuclear, con excepcion de la investigacion en fision.Las autoridades de la ocupacion prohibieron cualquier investigacion de la fisionen Alemania. Heisenberg apelo incansable por el levantamiento de la prohibiciony trabajo para que comenzara la construccion del reactor tan pronto como fueraposible. El vio a la energıa nuclear como una fuente futura de energıa electrica queayudarıa a reestablecer la economıa alemana y como industria de exportacion degran importancia.

Los aliados occidentales, conducidos por los Estados Unidos, finalmente levan-taron todas las restricciones en 1955, concediendo soberanıa a la Republica FederalAlemana. Heisenberg impulso con exito la creacion de un ministerio de la energıa


nuclear al nivel del gabinete y sirvio como miembro principal de las varias comisio-nes atomicas federales y del estado. Despues de una decada, la Republica FederalAlemana era exportadora principal de tecnologıa nuclear.

Mientras que Heisenberg apoyo el desarrollo economico de la energıa nuclear,el y otros cientıficos opuestos a la decision del canciller Adenauer de aceptar losplanes de la OTAN a equipar al ejercito de la R. F. Alemana con armas nuclearestacticas, publicaron “El manifiesto de Gottingen”. Aunque el gobierno de la R.F. Alemana se esforzo en obtener cabezas nucleares, su ejercito seguıa siendo nonuclear.

Heisenberg tambien trabajo incansablemente para restablecer las relaciones in-ternacionales. Emprendio un viaje dando conferencias en Inglaterra y Escocia en1947, Copenhaguen y Estados Unidos en 1950, y posteriomente a traves del mun-do. Cuando surgio, en 1952, el Consejo de Europa para la investigacion nuclear,Heisenberg dirigio la delegacion alemana que participo en la decision para ubicarel acelerador europeo para la fısica de altas energıas, el CERN, cerca de Ginebra,Suiza. Dirigio al comite cientıfico polıtico del CERN por muchos anos. En otroesfuerzo por restablecer relaciones internacionales, Heisenberg acepto alegrementela cita de Adenauer como presidente del Alexander von Humboldt Foundation,con el proposito de permitir a eruditos y a cientıficos jovenes alrededor del mundocolaborar con sus colegas alemanes mientras eran huespedes a largo plazo en losinstitutos de investigacion alemanes.

Heisenberg tambien trabajo para ampliar su instituto, renombrado como el Max

Planck Institute for Physics en 1948. Su foco de investigacion incluyo el estudiode la astrofısica, y especialmente de la fısica de altas energıas, experimental yteorica. Su propio trabajo continuo centrandose en la busqueda de una teorıacuantica unificada de las partıculas elementales. Estos esfuerzos armonizaron conlas visiones filosoficas, algo idealistas, que presento en aquella epoca a una variedadde audiencias publicas. El dio quizas la mas amplia serie de conferencias conocidaen la Universidad de St. Andrews en Escocia, durante el invierno de 1955-1956, ypublico una monografıa en ingles llamada “la fısica y filosofıa”, y en aleman como“Physik und Philosophie”.

La busqueda de una teorıa unificada de partıculas elementales condujo a Heisen-berg a una renovada e intensa colaboracion con su colega de largo tiempo WolfgangPauli. Esto rindio en 1958 la perspectiva de una nueva teorıa cuantica tan revo-lucionaria como lo fue la mecanica cuantica que ellos habıan desarrollado decadasatras (el “Weltformel”). Pero al final la nueva teorıa probo ser un fracaso. Pauli seabstuvo de endosar esta teorıa y murio ese mismo ano. La investigacion continuahasta este dıa entre los sucesores de Heisenberg y otros.

En 1958, Heisenberg movio el Max Planck Institute for Physics a Munich, endonde se transformo en el Max Planck Institute for Physics and Astrophysics.Tambien llego a estar mas involucrado en las actividades e investigacion del CERN.

Heisenberg continuo su busqueda de la teorıa unificada de partıculas elementalesdurante los anos sesenta. Continuo siendo director del instituto hasta su dimisionen 1970 y seis anos mas tarde, el 1 de febrero de 1976, murio en su case en Munich,

14

dejando una familia compuesta por su viuda y siete hijos.Heisenberg recibio, ademas del Premio Nobel de Fısica, muchısimos honores por

sus notables contribuciones a la ciencia. Fue designado Fellow of the Royal Societyof London, y miembro de las academias de Gottingen, de Baviara, de Sajonia,de Prussia, de Suecia, de Rumania, de Noruega, de Espana, de los Paıses Bajos,de Roma, de Naturforscher Leopoldina, de Lincei, y de la American Academy ofSciences. Tambien fue galardonado con el premio Nicolas Copernico.


1.6. Breve Cronologıa.

Dic. 05, 1901. Werner Karl Heisenberg nacio en Wurzburg, Alemania.

Sept. 1906. Ingreso a la educacion primaria en Wurzburg.

Sept. 1911. Heisenberg comienza el curso de nueve anos de estudio en elHumanistic Max-Gymnasum en Munich, donde su abuelo es director hasta1914.

Ago. 01, 1914. Inicio de la Primera Guerra Mundial.

Oct. 1920. Entra a la Universidad de Munich como estudiante de Sommerfeld.

Dic. 17, 1921. Envıa su primer artıculo para publicacion.

1922 - 1923. Estudia al lado de Max Born en Gottingen.

Jul. 1923. Cumple con los requisitos para el doctorado.

Jun. 07, 1924. Se reune con Einstein por primera vez.

Jun. 28. Se le concede la habilitacion para dar conferencias (derecho a en-senar).

Jun. 29, 1925. Se recibe el artıculo de Heisenberg que abre la brecha en lamecanica cuantica (Zs. f. Phys., 33, 879-893).

May. 01, 1926. Comienza a participar como conferencista en el Instituto deBohr.

Mar. 23, 1927. Se recibe el documento de Heisenberg sobre el Principio deIncertidumbre (Zs. f. Phys., 43, 172-198).

Sept. 1927. Asiste a la conferencia de Como (Italia) donde Bohr presenta“La complementariedad”.

Oct. 1927. Es designado Profesor de fısica teorica en Leipzig.

Jun. 07, 1932. Se recibe su primer documento sobre el modelo nuclear delneutron-proton (Zs. f. Phys., 77, 1-11).

Ene. 30, 1933. Hitler toma el poder en Alemania.

Dic. 11, 1933. Heisenberg recibe el Premio Nobel en Fısica (de 1932).

Ene. 29, 1936. Heisenberg y la fısica teorica son atacados en un periodico delpartido Nazi.

Ene. 1938. Nacimiento de sus hijos gemelos, los primeros de siete ninos.

16

Dic. 1938. Descubrimiento de la fision nuclear en Berlın.

1941. La pila de uranio de Leipzig demuestra la primera multiplicacion deneutrones.

Sept. 15-22 1941. Visita Copenhaguen ocupada por Alemania y discute lafision con un Bohr alarmado.

Feb. 26. 1942. Presenta una conferencia a los funcionarios del Reich sobre laadquisicion de energıa a partir de fision nuclear despues de que el ejercitoretiro la mayorıa de su financiamiento.

Jul. 01 1942. Acepto ser director interino del laboratorio principal de inves-tigacion del reactor en Berlın.

Sept. 08 1942. Se recibe la primera parte de su teorıa sobre las S-matricesen la fısica elemental de la partıcula (Zs. f. Phys., 120, 513-538, 1943).

Feb. 1943. Es designado profesor en fısica teorica en Berlın.

May. 03, 1945. Las fuerzas de EU arrestan a Heisenberg en su hogar enUrfeld, Bavaria.

Jul. 1945. Es nombrado director del Kaiser Wilhelm Institute for Physics

(posteriormente Max Planck).

Mar. 09, 1949. Es nombrado presidente del consejo de investigacion aleman.

Feb. 23, 1950. Propone la teorıa unificada de las partıculas elementales queimplican un campo no lineal del spinor.

Ago. 1951. El consejo de investigacion se fusiona con la asociacion de laemergencia para formar la Asociacion de Investigacion Alemana (DFG porsus siglas en aleman). Heisenberg en Presidium.

Mar. 1952. Encabeza la Delegacion alemana ante el Consejo de Europa parala investigacion nuclear, contemplando la fundacion del CERN.

Abr. 12 1957. Envia la declaracion junto con otros 17 cientıficos de la R. F.Alemana donde se oponıan a la proposicion de Adenauer de aceptar armasnucleares tacticas proporcionadas por la OTAN.

Feb. 27, 1958. Preimpresion de la edicion junto con Pauli de una teorıade campo unificada de partıculas elementales, incluyendo el “Weltformel”,renunciada mas tarde por Pauli.

Dic. 31, 1970. Dimite como director del Max Planck Institute.

Feb. 01, 1976. Werner Heisenberg muere de cancer en su hogar en Munich.

Capıtulo 2

¿Por que generacion HenriPoincare?

17


2.1. Jules Henri Poincare (1854-1912)

Ricardo A. Saenz 1

Instituto Heisenberg y Facultad de Ciencias, Universidad de Colima



Jules Henri Poincare nacio el 29 de abril de 1854 en Nancy, Lorraine, al noroestede Francia. En 1862 ingreso al Liceo en Nancy (que luego tomarıa el nombre HenriPoincare en su honor), y en 1873 a la Ecole Polytechnique, graduandose dos anosmas tarde.

Poincare continuo sus estudios en la Ecole des Mines y despues, mientras traba-jaba como ingenierio minero, realizo trabajo doctoral bajo la direccion de CharlesHermite, uno de los matematicos franceses mas importantes de la epoca. Reci-bio su doctorado en 1879 en la Universidad de Parıs, con una tesis en ecuacionesdiferenciales.

Despues de recibir su doctorado, Poincare fue contratado durante dos anos comoprofesor de matematicas en la Universidad de Caen. Luego le fue otorgada unacatedra, en 1881, en la Facultad de Ciencias en Parıs. En 1886 le fue otorgadala Catedra de Fısica-Matematica y Probabilidad en la Sorbona, y mas adelanteuna catedra en la Ecole Polytechnique. Poincare mantuvo estas catedras hasta sumuerte, en Parıs, el 17 de julio de 1912.

[email protected]

20

El trabajo de Poincare abarco todas las areas de las matematicas de su epoca,ademas de haber sido el creador de disciplinas nuevas. Estudio tambien fısicamatematica, haciendo contribuciones a la mecanica celeste, a la mecanica de fluıdosy la teorıa especial de la relatividad, ası como tambien a la filosofıa de la ciencia.

2.1.1. Topologıa

En 1895 publico la obra “Analysis situs”, en la cual ofrecio el primer tratadosistematico de la topologıa. Se puede decir que el fue el creador de lo que ahorallamamos topologıa algebraica, disciplina en la que conceptos algebraicos (grupos,principalmente) son utilizados en problemas topologicos.

Entre las ideas presentadas por Poincare se encuentra el grupo fundamentalde un espacio topologico, el cual es utilizado para estudiar espacios topologicosa traves de deformaciones de curvas sobre el (a este estudio se le conoce comoteorıa de homotopıa). Con dicho grupo es posible clasificar las superficies (objetostopologicos de dimension 2) en distintas clases. Por ejemplo, Poincare demostro quesi una superficie cerrada tiene un grupo fundamental trivial, lo cual significa quetodas las curvas en la superficie pueden ser deformadas en un punto, entoncesdicha superficie pertenece a la clase topologica de una esfera.

Anos mas tarde, Poincare conjeturo que el unico espacio tridimensional congrupo fundamental trivial serıa la esfera de dimension. 32 Dicha conjetura fueel motivo de gran parte de la topologıa durante el siglo XX, y sigue siendo unproblema sin resolver hasta nuestros dıas.3 De hecho, el Instituto Clay de los EUha ofrecido un millon de dolares a quien resuelva este problema.

Dentro de la topologıa, tambien logro generalizar la ecuacion caracterıstica delos polihedros4 tanto a dimensiones mayores como a polihedros agujeros, introdu-ciendo ası la ahora conocida formula de Poincare.

2.1.2. Mecanica Celeste y Teorıa de Caos

En 1887, el rey Oscar II de Suecia y Noruega convoco un concurso para celebraren 1889, su sexagesimo aniversario. El ganador del concurso fue Poincare, presen-tando un trabajo sobre el problema de los tres cuerpos en mecanica celeste.5 En

2No confundir con la bola de dimension 3, cuya frontera es la esfera de dimension de 2. Conla esfera de dimension 3 nos referimos a la frontera de un bola tetradimensional.

3El trabajo de Grisha Perleman, presentado a finales del ano 2002 y aun en revision, espromisorio para la solucion de este problema.

4Esta ecuacion establece que si un polihedro simplemente conexo, es decir, sin agujeros, tieneV vertices, L lados y C caras, entonces

V − L + C = 2.

5El problema de los tres cuerpos consiste en estudiar la trayectoria de tres cuerpos en elespacio bajo la accion de las fuerzas gravitatorias entre ellos, de acuerdo a las leyes de Newton.


dicho trabajo Poincare introdujo conceptos nuevos dentro de la teorıa de sistemasdinamicos, como la idea de puntos homoclınicos,6 entre otros.

Curiosamente, despues de haber sido entregado el premio y en el proceso depublicar la monografıa ganadora de Poincare, se descubrio un error. Los esfuerzosde Poincare para corregirlo son considerados ahora como el nacimiendo de la teorıade caos.

2.1.3. Geometrıa Algebraica

Su tesis doctoral en el estudio de ecuaciones diferenciales lo llevo al descubri-miento de las funciones automorfas, que generalizan las funciones elıpticas (estu-diadas 60 anos antes por Abel y Jacobi), las cuales a su vez generalizan las funcionestrigonometricas. Descubrio ademas que la relacion entre funciones automorfas consimetrıas equivalentes puede ser descrita a traves de ecuaciones algebraicas y, demanera inversa, logro describir los puntos de una curva algebraica en terminos defunciones automorfas, contribuyendo ası de manera importante al desarrollo de lageometrıa algebraica.

· · ·Henri Poincare es llamado el ultimo de los matematicos universales. En home-

naje a su impresionante trabajo y gran capacidad intuitiva y creadora, el InstitutoHeisenberg ha declarado llamar a su grupo en el ano 2004 “Generacion HenriPoncare”.

6Un punto homoclınico es un punto donde una trayectoria estable y una inestable se intersecan.Poincare mostro que si existe uno de dichos puntos, entonces existen infinitos de ellos.

Capıtulo 3

Curso de Fısica

23


3.1. Newton y la Fısica Clasica

Alfredo Aranda Fernandez 1




3.1.1. Historia de la Fısica

Una posible manera de introducir la fısica es por medio de la historia. Nuestroenfoque en este caso consiste en dar una amplia exposicion de lo ocurrido en elmundo de la fısica, comenzando desde Galileo y terminando con temas contem-poraneos. Podemos presentar el quehacer de la fısica a manera de novela, con unostemas centrales y con ciertos desenlaces importantes. El foco de atencion debe ser,mas que familiarizar al estudiante con datos y nombres, con las ideas y con lanocion de lo que es la fısica.

Desde luego que no se podra cubrir cada uno de los episodios importantes, ni atodos los posibles protagonistas, pero eso vendra despues. El enfoque aquı radicaen generar un interes y una idea algo concreta del desarrollo del conocimientoacerca de la naturaleza.

A continuacion describimos una posible ruta a seguir. Las partes mas impor-tantes y a las que se puede resumir nuestra historieta estan en negritas.

3.1.2. Galileo y los experimentos

Casi todos hemos escuchado algo sobre Galileo. Es posible que incluso nues-tros estudiantes sepan algunas de las aportaciones que Galileo hizo a la ciencia.Podemos platicar que fue el quien nos enseno que cuerpos de diferente peso caencon la misma velocidad, por ejemplo. En esta historieta sin embargo, nos vamos aconcentrar en lo siguiente: Galileo descubrio que para tratar de entender ala naturaleza hay que realizar experimentos.

En los tiempos antes de Galileo existieron muchas personas que trataban de en-tender a la naturaleza y que formularon ideas y teorıas que intentaban describirla;sin embargo, todas estas eran de una naturaleza muy cualitativa. Galileo enten-dio que esto no era suficiente y dejo que la unica guıa fuera la naturaleza misma.Descubrio que era posible preguntarle directamente a la naturaleza a traves deexperimentos, ¡ese fue el paso crucial!

¿Que queremos decir con cualitativo? Un ejemplo trivial de lo que queremosmanifestar es el siguiente: Mediante la observacion es posible deducir que lo quesube tiene que caer. No es muy difıcil llegar a esta conclusion cuando observamosa la naturaleza en nuestro entorno inmediato. Podemos entonces sugerir ideasacerca del por que de esta indomable realidad. Antes de Galileo, existıan profundas

[email protected]

26

especulaciones acerca del origen de fenomenos como este, sin embargo, ningunade ellas podıa de manera cuantitativa deducir el tiempo, ni la velocidad con quealgun objeto caıa. Esto es simplemente un ejemplo, el punto es la diferenciacionentre tener ideas y el de tener un entendimiento de los fenomenos. Este ultimo sepuede obtener solo a traves de la experimentacion.

Una vez que se empezo a experimentar de manera sistematica, nacio la necesidadde explicar lo observado. Galileo nos dijo que los objetos caıan en tiempos iguales,pero no nos dijo por que lo hacıan. Para eso era necesario otro paso importante,el de las teorıas, pero teorıas que pudieran darnos explicaciones cuantitativas.La razon de desear predicciones cuantitativas es porque podemos verificar lasteorıas por medio de experimentos. Un paso interesante en esta direccionfue el de Kepler, quien pudo determinar utilizando datos observacionales (los masprecisos de su tiempo), que la orbita del planeta Marte era elıptica, y que unplaneta, en su camino alrededor del sol, cubre areas iguales en tiempos iguales. Eldescubrio estos fenomenos, pero aun siguio sin explicar por que.

3.1.3. Newton

Isaac Newton fue el primero en dar una teorıa en el sentido moderno. El logro ex-plicar el por que de algunos fenomenos, como los antes mencionados. Newton in-troduce de una manera cuantitativa y bien definida el concepto de fuer-za. Newton nos enseno que las fuerzas eran las responsables de toda la dinamicadel universo. ¿Cuales y cuantas fuerzas? El trabajo principalmente con la fuerzade gravedad, pero nos dio las herramientas necesarias para que dada una fuerza,de la naturaleza que sea, podamos deducir sus efectos en objetos y asi predecircuantitativamente lo que sucedera. Asi pues, por ahora, lo que nos interesa deNewton es que invento la primer teorıa verdaderamente util: la teorıa de la gra-vedad, la cual explica entre otras cosas por que los objetos caen con la mismavelocidad y por que los planetas describen trayectorias elıpticas.

3.1.4. Mas fuerzas

Una vez establecido el mecanismo descubierto por Newton, solo era necesariodeterminar la fuerza actuando sobre un objeto para poder describir su movimien-to. Newton utilizo sus ideas para atacar la gran mayorıa de los problemas rela-cionados con la fuerza de gravedad en la superficie terrestre (caıda de objetos,pendulos, resortes, etcetera) y el movimiento de los objetos celestes. Esto tambienpermitio que los experimentos empezaran a enfocarse en otros fenomenos de la na-turaleza y ası empezaron a descubrirse y analizarse situaciones en las quela gravedad no parecıa tener ningun efecto.

Se descubrio que existıan cargas electricas en todos lo materiales y que habıa dedos tipos, positivas y negativas. Ademas se descubrio que “habıa una fuerza entreellas”. A esta fuerza se le denomino fuerza electrica. Casi al mismo tiempo, y


en la misma clase de experimentos, se descubre otra fuerza, la fuerza responsablede que un iman atraiga metales: la fuerza magnetica.

A mediados del siglo XIX se conocıan tres fuerzas y se podıa explicar todo loobservado experimentalmente con ellas, la fuerza de gravedad, la electrica y lamagnetica.

3.1.5. Maxwell y las matematicas

Analizando las teorıas basadas en las fuerzas electricas y magneticas, J.C. Max-well descubre que existe una manera muy simple y bella (matematicamente bella)de combinar estas dos fuerzas. El efectivamente descubrio que la fuerza electricay la magnetica son en realidad diferentes manifestaciones de una sola fuerza, lafuerza electromagnetica. Ası pues, el logro la unificacion de dos fuerzas enuna y entonces quedaban solo dos fuerzas.

Hacia finales del siglo XIX, estas teorıas eran capaces de explicar cuantitativay precisamente las observaciones y experimentos de la epoca. La mayorıa de losfısicos pensaban que ya casi habıan logrado explicar todo lo fundamental de lanaturaleza. Sin embargo, nuevos experimentos y tambien el escrutinio matematicode las teorıas muy pronto pondrıan en jaque a toda la fısica.

3.1.6. Siglo XX

El siglo XX vio una revolucion en casi todo, y en particular en el conocimientocientıfico. En el caso de la fısica existieron dos brechas que culminaron en cambiosprofundos de nuestro entendimiento sobre la naturaleza. Una de ellas consistio enanalizar experimentalmente, el mundo de lo muy pequeno, los atomos. La otraconsiste en la asombrosa tarea de verificar los conceptos mas basicos de la fısica:el espacio y el tiempo.

En lo microscopico se descubrio, para sorpresa de todos, que las leyes fısicas des-cubiertas en los siglos anteriores fracasaban rotundamente al tratar de describir losresultados experimentales obtenidos. Los errores no eran menores, las teorıas sim-plemente predecıan cosas completamente diferentes a las observadas. Ası nacio lamecanica cuantica, teorıa desarrollada por varios fısicos, principalmente ErwinSchrodinger y Werner Heisenberg, que lograron desentranar el mundo subatomico.En el camino de entender a la naturaleza subatomica, se descubrieron otras dosfuerzas: la fuerza nuclear debil y la fuerza nuclear fuerte. Desde entoncestodas las teorıas de la naturaleza, para ser validas, necesitan ser consistentes conla mecanica cuantica.

Por otro lado, Albert Einstein descubrio que las ideas del espacio y el tiempoutilizadas en las teorıas del siglo XIX no eran correctas y demostro cual era laforma correcta con su relatividad especial. Ası, de un solo golpe, demostro quetodas las teorıas tenıan que ser compatibles con la relatividad. Einstein tambiendemostro que la teorıa de la gravedad de Newton era incompleta y postulo supropia teorıa de la gravedad, la relatividad general.

28

Cuadro 3.1: Situacion actual de las teorıas en su relacion con la mecanica cuanticay la relatividad especial.

Fuerza Mecanica cuantica Relatividad especialGravedad No compatible Compatible

Electrodebil Compatible ConpatibleNuclear Fuerte Compatible Compatible

Entre estos dos golpes, no quedo mas que revisar las teorıas viejas y reformu-larlas. Los fısicos, a partir de los anos treinta del siglo XX, se han dedicado a estatarea.

Podemos resumir la situacion de la siguiente manera: Se conocıan cuatro fuer-zas (gravedad, electromagnetica, nuclear debil y nuclear fuerte) y requerıan teorıasque fueran compatibles con la relatividad especial y la mecanica cuantica. En lossesentas y setentas se logro realizar lo siguiente: se unificaron las fuerzas electro-magnetica y nuclear debil: la fuerza electrodebil. Se logro hacer compatible conla relatividad y con la macanica cuantica a las fuerzas electrodebil y nuclear fuertey la teorıa resultante, llamada el modelo estandar, es compatible con todos losexperimentos.

La situacion actual se puede ver en el cuadro 3.1.

3.1.7. La fısica de hoy

Una de las lıneas de investigacion actuales consiste en la posible unificacionde la fuerza electrodebil con la nuclear fuerte. Esto se ha buscado desde hace yavarias decadas y hasta ahora se han generado muchas ideas interesantes, comola prediccion de que existen muchas mas partıculas de las que hemos verificadoexperimentalmente. A esta lınea se le conoce como el estudio de las teorıas deLa gran unificacion. Otra lınea intenta modificar a la gravedad para finalmentehacerla compatible con la mecanica cuantica. Este problema ha demostrado sermuy imponente y la mayorıa de las soluciones propuestas han sido descartadas.Recientemente se invento la teorıa de las supercuerdas, que aparenta ser uncandidato fuerte. Entre las predicciones por demostrar experimentalmente esta:que el universo en el que vivimos es de 10 dimensiones.

Existen muchos problemas interesantes asociados con estas ideas, y algunas delas preguntas que los fısicos actuales tratan de responder son:

¿Como son las partıculas que forman todo el universo?

¿Cuantas fuerzas existen y por que?

¿En cuantas dimensiones vivimos?

¿Que podemos decir acerca del origen del universo?


Debe de mencionarse que estas son solo algunas de las preguntas y areas deestudio de la fısica. En nuestra historieta nos hemos concentrado en una ideacentral, la de las fuerzas, sin embargo hemos dejado a un lado una enorme gamade brechas y descubrimientos en la fısica. Hemos decidido seguir esta lınea porquerepresenta de alguna manera una de las mas fundamentales, en el sentido de quelas otras lıneas estan tambien relacionadas con las fuerzas y algunas de las ideasmodernas, pero de ninguna manera debe pensarse que la fısica solo abarca loaquı mencionado.

3.1.8. Newton y la dinamica

Una vez introducidos los conceptos de posicion, velocidad y aceleracion, estare-mos listos para analizar muchas situaciones fısicas de interes. Recordemos que lasideas aquı planteadas representan un complemento y por lo tanto hay aspectosque no mencionaremos. El proposito es dar informacion un poco mas profunda delo estrictamente necesario en un curso de nivel medio superior.

3.1.9. Posicion, velocidad y aceleracion

En el curso analizaremos basicamente el movimiento. Para ser muy concretos,siempre pensaremos en un objeto (una pelota, un planeta, un pendulo, etcetera) ycomo cambia de posicion. ¿Que es la posicion? Para contestar esto podemos em-pezar por considerar un objeto que se encuentre a nuestra vista. Por ejemplo, enel aula de clases encontraremos irremediablemente una butaca. Su posicion con-siste en el numero de datos necesarios que debemos transmitir para que cualquierpersona sepa donde esta. Es muy claro ver que para lograr esto tendremos queadoptar un marco de referencia. Por ejemplo, si tomamos como nuestro marcode referencia al salon, podemos decir que se encuentra en el suelo del salon declases, a tres metros de la pared que contiene el pizarron y a dos metros de lapared derecha (viendo al pizarron). De esta manera, cualquier persona que en-tre al salon podra saber la posicion de esa butaca. De una manera un poco masorganizada, decimos que escogemos un orıgen y un sistema de coordenadas,y expresamos las coordenadas del objeto con respecto a ese sistema. Nosotrosvivimos en un universo que tiene cuatro dimensiones: tres espaciales (ancho, alto,y largo) y una temporal (el tiempo), por lo tanto, para determinar la posicion deun objeto debemos especificar cuatro puntos. En esta clase consideraremos en casitodos los problemas una sola dimension y ademas consideraremos al tiempo de unamanera separada (esta es la forma en que se hacıa en la fısica clasica). Entonces,la posicion de un objeto es su coordenada en x con respecto a un origen.

¿Y la velocidad? El movimiento lo vamos a identificar como el hecho de que unobjeto cambie de posicion. Por el momento no nos preocupemos de como logro ha-cerlo y solo analizemos el hecho de que su posicion cambio. Algo que parece trivialpero que es sumamente importante es que al realizarse un cambio de posicion,este ocurrio durante una cierta cantidad de tiempo. Utilizando esta informa-

30

cion, podemos entonces definir a la rapidez promedio como el ritmo con el quecambio la posicion en una cierta cantidad de tiempo, y la velocidad promedio(v) es lo mismo que la rapidez, con la diferencia que tenemos tambien que decir enque direccion ocurre el cambio, por ejemplo, hacia la direccion de las x positivaso negativas (matematicamente esto equivale a decir que la velocidad es un vectory la rapidez un escalar). Ya que trabajaremos en una sola dimension, de ahoraen adelante hablaremos solo de la velocidad (pero siempre recordando que es unvector). Ası pues, decimos que si un automovil A estaba en Colima a cierta horay tres horas despues estaba en Guadalajara, y un automovil B estaba a ciertahora en Colima y tres horas y media despues estaba en Guadalajara, entonces lavelocidad promedio de A fue mayor a la de B, es decir vA > vB .

Aun cuando estas definiciones nos dan algo de informacion acerca del movi-miento, serıa mas util tener una manera de determinar la velocidad de un objetoen cada instante. ¿Como podemos lograr esto? Analizemos otra vez la velocidadpromedio. Para determinarla, lo que necesitamos es que nos digan la posicion ini-cial (x0), la posicion final (xF ), el tiempo inicial (t0) y el tiempo final (tF ). Deesta manera obtenemos la velocidad promedio

v =xF − x0

tF − t0, (3.1)

en donde el numerador nos da el desplazamiento y el denominador el intervalode tiempo transcurrido durante el desplazamiento. Graficamente podemos repre-sentar a esta como en la figura 3.1.9. El eje horizontal muestra el tiempo, el ejevertical la posicion y hemos dibujado una trayectoria representada por la letraA. Tambien hemos marcado las coordenadas correspondientes a la ecuacion 3.1.Ahora consideremos la figura 3.1.9 en donde hemos dibujado una segunda trayec-toria denominada B. Es claro que ambas trayectorias tienen los mismos puntosiniciales y finales, y por lo tanto utilizando la ecuacion 3.1 obtendremos el mismoresultado para las dos. Sin embargo, la grafica nos permite ver que en el transcursointermedio las velocidades fueron distintas. Son estas velocidades las que queremospoder determinar de una manera mas precisa.

Una manera en la que podemos ir determinando la velocidad mas precisamentees la de dividir el tiempo total en intervalos mas pequenos y determinar las velo-cidades promedio en cada uno de los intervalos. Esto lo podemos ver graficamenteen la figura 3.1.9. Ahora la trayectoria A ha sido dividida en cinco zonas (I , II ,III , IV , y V ) y por lo tanto podemos determinar cinco velocidades promedio. Sihacemos lo mismo ahora con la trayectoria B veremos que las cinco velocidadespromedio ahora si seran diferentes entre las dos trayectorias

La velocidad instantanea la obtenemos de la siguiente manera: Seguimos di-vidiendo al tiempo transcurrido en intervalos cada vez mas pequenos hasta quellegamos a intervalos infinitesimales. Si llamamos ∆t a la magnitud del inter-valo en el tiempo, y ∆x al pequeno desplazamiento en posicion obtenido durante


t 0 tf

xf

x0

t

x

A

Figura 3.1: Representacion grafica de la velocidad promedio discutidaen el texto.

t 0 tf

xf

x0

t

x

A

B

Figura 3.2: Representacion de una segunda trayectoria (B).

32

tf

xf

x0

t 0 t 1 t 2 t 3t 4

t

x

A

I II III IV V

Figura 3.3: Igual que la figura 3.1.9 pero con mas divisiones en el tiempo.

tf

xf

x0

t 0 t 1 t 2 t 3t 4

t

x

A

I II III IV V

B

Figura 3.4: Representacion con las dos trayectorias.


∆t, entonces definimos a la velocidad instantanea como

v = lım∆→0

∆x

∆t=

dx

dt. (3.2)

Obtenemos entonces que la velocidad instantanea es simplemente la derivada dela posicion con respecto al tiempo. De ahora en adelante cuando mencionemosvelocidad nos estaremos refiriendo a la velocidad instantanea.

Entonces, recapitulando, la velocidad es una medida del ritmo de variacion dela posicion con respecto al tiempo. De igual manera, uno puede preguntarse comocambia el ritmo de variacion de la velocidad con respecto al tiempo. Es decir, esposible que la velocidad misma no sea constante y que cambie con el tiempo. Elanalisis es muy similar al anterior, y entonces lo que hacemos es dividir el tiempoen intervalos infinitesimales y registramos los pequenos cambios en la velocidad(∆v). Entonces de esta manera definimos la aceleracion como la derivada de lavelocidad con respecto al tiempo:

a = lım∆t→0

∆v

∆t=

dv

dt. (3.3)

Con estas definiciones ya estamos listos para describir el movimiento. Hay tresposibles rutas:

Si conocemos la posicion en funcion del tiempo, podemos determinar la ve-locidad y la aceleracion utilizando las ecuaciones (3.2) y (3.3), ejemplo: Su-pongamos que la posicion esta dada por x(t) = bt + ct2, entonces obtenemos

v(t) =dx(t)

dt= b + 2ct

a(t) =dv(t)

dt= 2c .

Si conocemos la aceleracion en funcion del tiempo, entonces integramos lasecuaciones y podemos determinar la velocidad y la aceleracion. Ejemplo:Tomemos la expresion para la aceleracion del caso anterior, a(t) = 2c yescojamos el tiempo inicial como cero, t0 = 0 y la velocidad inicial como b,v0 = b, entonces

a(t) =dv(t)

dt→ dv(t) = a(t)dt →

∫ v(t)

b

dv(t) =

∫ t

0

a(t)dt .

La primera integral nos da v(t) − b y la segunda nos da 2ct y ası obtenemosque v(t) = b + 2ct. De la misma manera obtenemos la posicion:

v(t) =dx(t)

dt→ dx(t) = v(t)dt →

∫ x(t)

0

dx(t) =

∫ t

0

v(t)dt

→ x(t) = bt + ct2 .

34

y por ultimo, si conocemos la velocidad en funcion del tiempo, podemosobtener la aceleracion derivando y la posicion integrando o combinando losdos resultados anteriores.

Es muy importante notar que para poder utilizar estas ecuaciones, es necesariotener expresiones en funcion del tiempo. Es entonces fundamental poder deter-minar algunas de estas. ¿Como podemos determinarlas? Esta es un a preguntainteresante ya que la respuesta nos llevara directamente a Newton. Una posibili-dad que se nos puede ocurrir es la de ir registrando el movimiento e ir tabulandoposiciones y tiempos, sin embargo, en cuanto pongamos esta en la practica nosdaremos cuenta de que no es demasiado efectivo. El problema se resolvera de lasiguiente manera: Lo que debemos tratar de hacer es lograr determinar, experi-mentalmente, la expresion para las fuerzas que actuan sobre los objetos.

3.1.10. Newton y sus leyes

Si la posicion de un objeto es constante, no tendremos mucho problema endeterminar la dinamica: cero velocidad, cero aceleracion. Si la velocidad es cons-tante, lo cual es facil de determinar experimental u observacionalmente, entoncesla dinamica tambien es facil: cero aceleracion. Pero ¿que pasa cuando la aceleracionno es cero?

Este problema lo podemos resolver gracias a que Newton descubrio que la ace-leracion de un cuerpo es el resultado de la aplicacion de fuerzas sobre el.Ası pues, si determinamos las fuerzas medimos la aceleracion. Matematicamentetenemos que

F = ma = mdv(t)

dt=

d2x(t)

dt, (3.4)

en donde hemos utilizado las expresiones de la seccion anterior para expresar laaceleracion en terminos de la velocidad y de la posicion. Ahora solo necesitamosdeterminar cuales son las fuerzas en un objeto para determinar su dinamica, y estoes mucho mas facil de hacer experimentalmente.

A continuacion veremos algunas aplicaciones de lo que hemos discutido.

3.1.11. Caıda libre

Entre las aportaciones de Newton contamos con la fuerza de gravedad. Todoobjeto con masa ejerce una fuerza en cualquier otro objeto con masa de la siguientemanera

FG =−Gm1m2

r2, (3.5)

en donde G es una constante universal, m1 y m2 son las masas del objeto 1 y 2respectivamente, y r es la distancia que separa a los dos cuerpos. El signo negativo


es para determinar que la fuerza es de atraccion. En el caso de un objeto cayendoen la superficie de la tierra, por ejemplo una manzana que cae desde un arbol,la expresion incluye la masa de la tierra (MT ), la masa de la manzana (m), y ladistancia entre el centro de la tierra y la manzana, que dadas las alturas pequenasde los arboles podemos aproximar perfectamente como el radio de la tierra (RT ).Ası pues, la fuerza que la tierra ejerce sobre la manzana es

FG =−GMT m

R2T

=

(−GMT

R3T

)

m , (3.6)

donde hemos separado todos los terminos relacionados con la tierra y G adentrodel parentesis. Si nos olvidamos que estamos hablando de una manzana, y conside-ramos cualquier objeto cercano a la superficie de la tierra, vemos que la expresiones exactamente la misma, con m representando la masa del objeto de interes. Elfactor constante entre parentesis es siempre el mismo. Entonces, lo que hacemoses que para problemas de gravedad cercanos a la superficie de la tierra, decimosque la fuerza es FG = mg, en donde

g =

(−GMT

R3T

)

. (3.7)

Entonces consideremos el caso de un objeto en la superficie sujeto a esta fuerza.De acuerdo con Newton, la fuerza esta relacionada con la aceleracon de acuerdocon la ecuacion (3.4). Veamos como esta ecuacion y la expresion para la fuerza degravedad nos puede decir algo sobre el movimiento en la superficie de la tierra. Laecuacion (3.4) nos dice que F = ma, y nosotros ya sabemos que en la superficiede la tierra la fuerza esta dada por FG = mg, entonces tenemos que

ma = mg → a = g . (3.8)

En la superficie de la tierra la aceleracion es g y es por lo tanto constante. Ahoraque ya obtuvimos la aceleracion, podemos obtener la velocidad:

dv(t)

dt= a = g

→∫ v(t)

v0

dv(t) =

∫ t

0

gdt

→ v(t) − v0 = gt

→ v(t) = v0 + gt . (3.9)

En esta ecuacion, v0 es la velocidad inicial y el tiempo inicial se ha tomado como

36

cero. De la misma manera obtenemos para la posicion:

dx(t)

dt= v(t) = v0 + gt

→∫ x(t)

x0

dx(t) =

∫ t

0

(v0 + gt)dt

→ x(t) − x0 = v0t +1

2gt2

→ x(t) = x0 + v0t +1

2gt2 . (3.10)

Con estos resultados podemos ahora describir toda la dinamica de un partıcula enel campo gravitacional de la tierra que se encuentra cerca de la superficie terrestre,pero no solo eso, estas expresiones son validas para cualquier sistema en el que laaceleracion es constante, solo hay que reemplazar la g por el valor constante de laaceleracion. Ejemplos son la caıda libre y el tiro vertical. El lanzamiento parabolicoes una generalizacion de este mismo caso pero en dos dimensiones.

3.1.12. Un resorte

Es relativamente facil obtener una expresion para la fuerza que un resorte aplicasobre un cuerpo. El experimento se puede realizar en clase, por ejemplo. Solonecesitamos conseguir algunos resortes distintos y varios cuerpos de los cualessepamos sus masas. Lo que tenemos que hacer es colgar los cuerpos y registrar eldesplazamiento que diferentes masas producen en el resorte. Lo que observaremoses que para todos los resortes, existe un rango de desplazamientos y masas tal quela fuerza siempre es proporcional al desplazamiento y en sentido opuesto, es decir,si ponemos una masa m y el resorte se desplaza de su posicion de equilibrio unadistancia x, cuando ponemos el doble de la masa, o sea 2m, el desplazamientosera 2x. Ası pues deducimos que la fuerza de un resorte la podemos escribir como

F = −kx , (3.11)

en donde hemos llamado k a la constante de proporcionalidad (la cual varıa paracada resorte) y hemos puesto un signo negativo para indicar que la fuerza escontraria al desplazamiento, es decir, si lo estiramos, el resorte intentara contraersey viceversa.

Bueno, si ya tenemos la fuerza, entonces podemos utilizar la ecuacion (3.4) paraobtener la dinamica

F = ma = −kx

→ a = − k

mx .

Recordemos ahora que la aceleracion la podemos escribir como la segunda derivada


Figura 3.5: Grafica de la posicion en funcion de wt. Hemos dado el valorde A = 1 m.

de la posicion con respecto al tiempo. Entonces la ecuacion se convierte en

d2x(t)

dt= − k

mx .

Para resolver esta ecuacion diferencial tenemos que encontrar la funcion x(t) quela satisfaga. Observemos que la funcion al ser derivada dos veces con respecto altiempo nos dara un signo negativo, una constante y la misma funcion de nue-vo. Consideremos la siguiente posibilidad x(t) = A cos(wt), en donde A y w sonconstantes. Si sustituımos esta expresion en la ecuacion anterior obtenemos

d2x(t)

dt= −w2A cos(wt) = −w2x(t) , (3.12)

la cual es de la forma deseada siempre y cuando w2 = k/m. Ası pues decimos que lasolucion es x(t) = A cos(wt) con w =

√

k/m. A w se le conoce como la frecuenciade oscilacion, ya que viendo la expresion para x(t) observamos que la posicionestara oscilando como el cos(wt). ¿Quien es A? A representa el desplazamientomaximo del resorte. Las figuras 3.1.12, 3.1.12 y 3.1.12 muestran graficamente lasexpresiones para la posicion, la velocidad y la aceleracion.

3.1.13. Gravedad

La teorıa de la gravedad de Newton permite describir muchos de los fenomenosde la naturaleza. En particular aquellos asociados con el moviemiento de los astros

38

Figura 3.6: Grafica de la velocidad en funcion de wt para el mismo casode la figura 3.1.12.

Figura 3.7: Grafica de la aceleracion en funcion de wt para el mismoproblema.


y el de los objetos en la superficie de la tierra, como ya hemos visto. En esta seccion,utilizando la ley de la gravitacion, analizaremos algunos ejemplos interesantes.Vamos a determinar cual es la velocidad necesaria para que un objeto sea atrapadopor otro en una orbita circular, determinaremos tambien la velocidad requeridapor un objeto situado en la superficie de un planeta para poder escapar del mismoy luego utilizaremos ese resultado para definir lo que es un agujero negro desdeel punto de vista clasico. Al final, utilizaremos el concepto de gravedad junto conel de la conservacion de energıa para resolver el problema de una rampa circular.

3.1.14. Orbitando un planeta

Cuando vemos en la television a un astronauta dando vueltas a la tierra en untransbordador espacial, es muy interesante observar que flota junto con todos losobjetos presentes en la nave. La razon por la cual esto sucede es que el astronautajunto con los objetos y la nave estan en caıda libre alrededor de la tierra, y comoGalileo nos enseno, todos los objetos caen con la misma velocidad. Una maneragrafica de ver este fenomeno esta representada en la figura 3.1.14. Al lanzar unobjeto desde la cima de la montana con una velocidad inicial, el objeto alcanza unadistancia antes de caer. En la figura hemos representado tres trayectorias denomi-nadas 1, 2 y 3. Conforme aumentamos la velocidad inicial, la distancia tambienaumenta, ası, la trayectoria 1 tiene la velocidad inicial menor. Si continuamos deesta manera, llegaremos a la trayectoria final 3, que representa precisamente unaorbita alrededor del planeta. La meta de esta seccion es determinar cual es lavelocidad necesaria para lograr esto.

El analisis consiste en obtener todas las fuerzas que actuan sobre el cuerpo enorbita. Sabemos que en cualquier punto de su orbita hay una fuerza dirigida haciael centro del planeta, la fuerza de gravedad. Si la masa del objeto en orbita es m, lamasa del planeta M y el radio de la orbita es R (que en el caso del transbordadorespacial podemos tomar como el radio del planeta ya que su altura es en realidadmuy pequena), entonces la magnitud de la fuerza de gravedad que el planeta ejercesobre el objeto en orbita es

FG =GMm

R2, (3.13)

en donde no hemos incluıdo el signo negativo ya que solo estamos interesadosen la magnitud. Si esta fuese la unica fuerza sobre el objeto, este no orbitarıa ysimplemente se dirigirıa hacia el centro del planeta, chocando irremediablementeen la superficie. Por lo tanto, debe de existir otra fuerza actuando sobre el. Estaes la fuerza centrıfuga dada por

FC =mv2

R. (3.14)

Esta fuerza contraresta a la de gravedad y trata de alejar al cuerpo del planeta.Entonces, si lo que queremos es que el objeto permanezca en una orbita alrededor

40

1 2 3

Figura 3.8: Tres trayectorias con diferentes velocidades iniciales. La ve-locidad inicial de la trayectoria 3 fue suficiente para lograr orbitar elplaneta.

del planeta, lo que necesitamos es que los dos fuerzas tengan la misma magnitudy asi se cancelen la una a la otra, dejando al cuerpo libre, es decir

GMm

R2=

mv2

R→ v =

√

GM

R. (3.15)

Es importante notar que la expresion que acabamos de obtener para la velocidadinicial necesaria depende solamente de las caracterısticas del planeta, es decir, noimporta la forma ni la masa del objeto que queremos poner en orbita, la velocidadsolo depende del planeta.

3.1.15. Escapando de un planeta

Imaginemos la siguiente situacion: Nos encontramos en la superficie de un pla-neta y queremos lanzar un objeto hacia arriba de tal manera ¡que nunca regrese!Lo que deseamos encontrar es la velocidad mınima necesaria para que esto suceda(es facil convencernos de que si lanzamos algo con una velocidad muy pequenaaquı en la tierra, el objeto regresara).

Para resolver este problema utilizaremos la ley de la conservacion de la energıa.Para un objeto en el campo gravitacional de un planeta existen dos tipos deenergıa, la potencial y la cinetica. La expresion de la energıa potencial es nor-malmente mgh, en donde h representa la altura con respecto a la superficie. Unacosa que sabemos es que nosotros tenemos la libertad de escoger el punto en dondela energıa potencial es cero, por ejemplo, al escribirla como mgh hemos decidido


que la energıa potencial es cero en la superficie. Para este problema haremos algodistinto, utilizaremos la expresion de la energıa potencial que sale directamente dela expresion de Newton para la fuerza de gravedad (solo la magnitud) multiplicadapor la distancia a la que se encuentra el objeto. De esta manera, para un objetoen la superficie del planeta, la energıa potencial es

EP =GMm

R2R =

GMm

R. (3.16)

Ahora, la energıa potencial la podemos ver como un pozo en el que la partıcula seencuentra y queremos darle la energıa cinetica necesaria (o sea la velocidad) parasalir de el. Igualando entonces ambas energıas obtenemos

GMm

R=

1

2mv2 → v =

√

2GM

R, (3.17)

en donde hemos despejado la velocidad. Esta velocidad entonces es la deseada y ledamos el nombre de velocidad de escape. Otra vez, al igual que en el caso anterior,la velocidad de escape solo depende de las caracterısticas fısicas del planeta y nodel objeto.

¿Que es lo que nos dice la ecuacion (3.17)? Nos dice que dado un objeto (planeta,estrella, etcetera) de masa M y radio R, la velocidad que necesitaremos para salirde su atraccion gravitacional esta dada por v.

Este resultado nos permite analizar un objeto muy famoso dentro de la fısica,nos referimos a los agujero negros. Clasicamente podemos definir a un agujeronegro como un objeto cuya masa y radio son tales que la velocidad necesaria paraescapar de el, o sea su velocidad de escape, sea mayor a la velocidad de la luz.Ya que de acuerdo con la teorıa especial de la relatividad de Einstein, la mayorvelocidad posible es precisamente la de la luz, entonces nada, ni la luz misma,podra salir de nuestro objeto, y por eso el nombre.

Entonces, si la velocidad de escape es mayor a la velocidad de la luz, c, tenemosde la ecuacion ( 3.17)

c < v =

√

2GM

R

→ M >Rc2

2G,

y ası obtenemos la masa necesaria (dado un radio) para obtener un agujero negro.

3.1.16. Manteniendose en la rampa

El ultimo problema que analizaremos es el de una rampa circular. Queremosdeterminar la altura mınima necesaria hmin a la que se debe soltar un cuerpo enuna rampa circular tal que pueda dar la vuelta sin caerse. La figura 3.1.16 muestrala situacion.

42

��

hR

min

A

B

C

Figura 3.9: Rampa circular de radio R. Queremos determinar la alturamınima hmin tal que la pelotita pase la rampa circular sin caerse.

Primero utilizamos conservacion de energıa para determinar la velocidad en elpunto mas bajo de la rampa. Si la pelotita partio del reposo en el punto A, entoncessu energıa total E es igual a la energıa potencial inicial, es decir E = mghmin.Entonces, cuando la pelota llega al punto B de la rampa que es donde comienzael cırculo, su energıa potencial es cero y por lo tanto toda la energıa es cinetica,ası obtenemos

1

2mv2

B = mghmin → vB =√

2gh , (3.18)

en donde vB es la velocidad en el punto B. Ası pues al saber la altura h ya sabemoscon que velocidad llega a B. Ahora calculemos la energıa en el punto C. La energıatotal sera la suma de la potencial y la cinetica. La energıa potencial en C es mg2R.Entonces la cinetica tiene que ser

EKC = E − mg2R = mgh− 2mgR (3.19)

→ 1

2mv2

C = mg(h − 2R) → vC =√

2g(h − 2R) .

Dada ahora una altura h podemos saber exactamente la velocidad en el puntoC. Lo que necesitamos saber para resolver nuestro problema es: ¿Que velocidadnecesitamos para que la pelota no caiga? La respuesta esta dada otra vez por lacomparacion de fuerzas. Por un lado tenemos la atraccion gravitacional que jalahacia abajo y por otro la fuerza centrıfuga que empuja hacia arriba. Si queremosque no caiga, necesitamos una velocidad tal que la fuerza centrıfuga sea al menostan fuerte como la gravitacional:

FC = FG → mv2C

R= mg → vC =

√

gR . (3.20)

Ahora bien, sustituyendo este valor de la velocidad necesaria en C en (3.19) y


despejando para h obtenemos que la altura mınima necesaria es:

√

gR =√

2g(hmin − 2R) → hmin =5

2R . (3.21)

Debemos mencionar que esta solucion es valida solo para el caso en el que nohay friccion y la rampa es circular.

3.1.17. Conclusiones

Hemos discutido brevemente acerca de la historia de la fısica, desde Galileohasta hoy en dıa, con el proposito de motivar el estudio de la misma. Despuesnos enfocamos en una descripcion mas detallada de la dinamica de Newton yresolvimos algunos problemas basicos e interesantes.

Capıtulo 4

Curso de Matematicas

45


4.1. Construcciones con regla y compasy su relacion con algebra

Ricardo A. Saenz 1


Av. Bernal Dıaz del Castillo # 340


A continuacion enlistamos los temas que se presentaron en el curso de matematicasdel Instituto Heisenberg.

1. Construcciones y operaciones con regla y compas

a) Operaciones basicas: suma, resta, multiplicacion, division

b) Raız cuadrada

c) Polıgonos regulares

d) Numeros construıbles

2. Relacion con algebra

a) Ecuaciones de la recta y la circunferencia

b) Intersecciones y raıces de ecuaciones cuadraticas

3. Raıces de polinomios

a) Polinomios y operaciones

b) Factorizacion y divisibilidad

c) Polinomios irreducibles

4. Teorıa de campos

a) Campos de numeros

b) Numeros racionales

c) Numeros de la forma a + b√

2

d) Extensiones algebraicas

e) Indice de una extension

5. Campos y constructibilidad

a) Numeros construıbles y raıces de polinomios

b) Indice de un numero construıble

[email protected]

48

c) Constructibilidad y extensiones

6. Aplicaciones y ejemplos

a) Duplicacion de un cubo

b) Triseccion de un angulo

c) Polıgonos regulares y numeros primos de Fermat

Capıtulo 5

Platicas de Fısica

49


5.1. Folklore en la Fısica.De los Quarks al Cosmos

Alfredo Raya Montano1




5.1.1. Introduccion

En el principio habıa vacıo, nada, ni luz, ni sonido, ni... ¡Mentira! No tenemosni la mas remota idea de como empezo el universo. A lo mas tenemos una vagaidea de lo que sucedio unos instantes despues de que el universo se creo. La nadaexploto –quiza por capricho del creador– y se creo el espacio y el tiempo. Enton-ces surgio la energıa y luego la materia. Las partıculas chocaron unas con otras yde ahı nacieron otras partıculas. El espacio y el tiempo empezaron a hervir, porlo que brotaban y se evaporaban burbujas de agujeros negros, galaxias y todo.A medida que el universo se expandıa, se iba enfriando y se hizo menos denso.Se formaron los protones y los neutrones, luego los nucleos y de ellos inmensasnubes de polvo que continuaron expandiendose y condensandose para formar unaestrella por aquı, una galaxia por alla y un planeta aculla. Sobre uno de estos pla-netas, absolutamente nada extraordinario, orbitando una estrella como hay tantasen una brazo de las tan comunes galaxias espirales, entre los oceanos y los conti-nentes que emergıan, un monton de moleculas organicas empezaron a reaccionary construir proteınas y empezo la vida. Las plantas y los animales surgieron apartir de organismos mas simples, y eventualmente surgio el hombre. Los sereshumanos eran diferentes porque fueron la unica especie que sentıa curiosidad porsu entorno. Al paso del tiempo se dieron mutaciones, y un conjunto extrano dehumanos comenzo a andar por ahı. Eran arrogantes. No se contentaban con dis-frutar de la majestuosidad del universo. Siempre se preguntaron ¿Como? ¿Comose creo el universo? ¿Como el universo es responsable de la increible variedad deobjetos que hay en el: estrellas, planetas, conejos, corales . . . el cerebro humano?Los mutantes se hicieron una pregunta que fue respondida solo despues de mileniosde busqueda y por la dedicacion transmitida de maestro a estudiante por cientosde generaciones. Claro que esta pregunta tambien condujo a respuestas embara-zosamente erroneas. Afortunadamente los mutantes nacieron sin el sentido de laverguenza. Se llamaban fısicos. Ahora, tras reexaminar esta pregunta por mas dedos mil anos –apenas una pesteneada en la historia del universo– es que podemoshechar un vistazo a la historia completa de la creacion. En nuestros telescopios ymicroscopios, en nuestros observatorios y laboratorios (apuntes y computadoras)podemos apenas ver la belleza y extraordinaria simetrıa que goberno los prime-

[email protected]

52

ros instantes de nuestro universo. Casi podemos verlo, aunque la imagen aun noes clara, por lo que tenemos la sensacion de que algo oscurece nuestra vision –ellado oscuro de la fuerza que empana, esconde, ofusca la simplicidad intrınseca denuestro mundo.(1)

Nuestro trabajo puede parecer arduo y poco accesible para el ciudadano comun,pero nosotros mismos no sacrificamos nuestro sentido del humor y de lo cotidianoen aras del conocimiento. Por el contrario, siempre estamos buscando la maneramas sencilla de explicar todo (con peras y manzanas si es posible), y si podemos enel inter hacer algun chiste o comentario jocoso, mejor. Es por eso que he decididopresentar un poco del folklore de los fısicos, esto es, la manera en que nosotroscreemos que se formo el universo y como se mantiene tal como lo conocemos, a losmiembros del Instituto Heisenberg 2004. Comenzaremos haciendo un recuento dela busqueda de los bloques fundamentales de los que esta hecho nuestro universo,para despues hechar un vistazo a lo que sucede fuera de nuestro planeta Tierra.

5.1.2. Ideas que perduran

A todos nos interesa saber que es el universo. Para respondernos esta preguntatenemos que desde que el hombre es hombre ha tratado de conocer cuales son losingredientes de los que esta hecho y como logra mantenerse unido. Algunas ideashan sido verdaderamente estupidas y de corta duracion (afortunadamente). Otras,por su simplicidad y belleza perduran hasta nuestros dıas.

Un claro ejemplo es el atomo, creado por el filosofo griego Democrito. El atomode Democrito literalmente significa indivisible, y la idea es que todas las cosas estanhechas de ellos, es decir, de entidades indivisibles. Obviamente el atomo griego esmucho mas simple que el atomo que actualmente conocemos. Era simplemene unapelotita de materia.

Pero para poder llegar a la idea del atomo actual, tuvieron que pasar miles deanos, la evolucion de esta idea tuvo algunas etapas intermedias. Recordemos porejemplo la aportacion de Dalton que decıa que los atomo eran esferitas de carganeutra y que poseıa todas las propiedades quımicas de los diferentes elementos,pero que todos ellos eran multiplos enteros del atomo de hidrogeno. Anos mastarde, Mendeleev pudo clasificar estos elementos quımicos en una tabla, la famosatabla periodica de los elementos, por sus propiedades quımicas: sus masas, susvalencias, sus enlaces y todo. El gran triunfo de Mendeleev fue que pudo predecirla existencia de elementos desconocidos, que poco a poco fueron ocupando sulugar en la tabla. En la actualidad se conocen mas de cien de estos elementos,y cien parece un numero exageradamente grande de diferentes constituyentes deluniverso.

Afortunadamente, a finales del siglo XIX, ya que la tabla periodica habıa proba-do su eficiencia y los fısicos empezaron a jugar con rayos, imanes y tubos, Thomp-son establecio que el atomo en realidad era una entidad con una masa definida,de carga electrica neutra pero distribuıda como un pudın con pasas, es decir, unacarga positiva que ocupaba casi todo el volumen del atomo y unas pasas de carga


electrica negativa, que tiempo despues se les llamo electrones. Rutherford pudodeterminar despues que en realidad el atomo consta de un nucleo muy pequeno enel cual se concentra casi toda la masa del atomo y era orbitado por los electrones.Esto lo pudo determinar de una manera simple y violenta: haciendo chocar atomosy estudiando los fragmentos (partıculas) que resultaban de estas colisiones.

Esta es otra idea simple que en la actualidad se sigue empleando. Si queremossaber si alguna partıcula es fundamental, hay que hacerla colisionar a muy altasenergıas y si se rompe no lo es.

5.1.3. Las primeras partıculas fundamentales

Con los experimentos de Rutherford, se pudo determinar que el nucleo atomicoesta compuesto por dos tipos de partıculas, los protones, de carga positiva y unas2, 000 veces mas pesados que el electron, y los neutrones, electricamente neutros yun poco mas pesados que el proton. Tenıamos pues que el universo estaba hecho deprotones, neutrones y electrones. Pero un dıa, a alguien se le ocurrio hacer chocara los protones entre sı.

Como resultados de esas colisiones, se fue descubriendo poco a poco todo unzoologico de partıculas, ademas de los protones y neutrones. Piones, Lambdas,Sigmas, Etas y demas. Algunas tenıan una masa intermedia entre la del electrony la del proton, por lo que se les llamo mesones. Otros eran mas pesados que losneutrones. A estos se les llamo bariones. Lo cierto era que todas estas partıculasinteractuaban entre sı fuertemente, es decir, la fuerza entre ellas era mayor quela atraccion o repulsion que sentıan entre sı por su carga electrica. Por esto se lesllamo hadrones (hadros en griego quiere decir fuerte).

Fue una epoca de desencanto y desilusion para muchos, pues ya iban mas de 200partıculas diferentes conocidas. Entonces, a alguien se le ocurrio que todos los ha-drones podıan estar hechos de unas partıculas llamadas quarks. Ası se emprendio labusqueda de estos objetos.

Paralelamente, en los rayos cosmicos que se producıan en la alta atmosfera, sefueron descubriendo unas partıculas mas ligeras que los mesones. A estos se lesllamo leptones, y a diferencia de los hadrones, ellos interactuan entre sı y con losquarks debilmente.

Los fısicos empezaron entonces a buscar los quarks y los leptones. El lepton masfamoso es el electron, que ya tiene mas de 100 anos de haber sido descubierto. Leacompanan el muon y mas recientemente el tauon. A cada uno de ellos les acom-pana un neutrino, un neutroncito cuya masa es muy pero muy pequena, millonesde veces mas pequena que la del electron. Ası que hay seis leptones conocidos,agrupados en tres familias diferentes. Los quarks comenzaron a aparecer en losanos sesenta. Aparecieron primero el u, cuyo nombre es la inicial de up (arriba), lesiguio el d, de down (abajo). Luego aparecio el quark extrano s (del ingles strange)y el encanto c (charm). Mas recientemente aparecio el b, (bottom o fondo) y elultimo de ellos que se descubrio apenas en 1995 es el t o top (cima). Tambien hayseis quarks, y tambien se agrupan en tres familias.

54

Los quarks no se descubrieron solitos, de hecho, es imposible ver un solo quark.Siempre aparecen de dos (mesones) o tres (bariones) o incluso, como recientementese descubrio, de cinco (pentaquarks).

5.1.4. Las interacciones fundamentales

Ya conocimos las partıculas, pero entender como se mantienen unidas es equi-valente a estudiar como interaccionan entre sı. Se conocen en la naturaleza cuatrointeracciones fundamentales. Dos de ellas nos son familiares en el mundo ma-croscopico, la Gravitacional y la Electromagnetica, y las otras dos hacen sentir supresencia solo dentro del nucleo atomico y son llamadas Debil y Fuerte, respecti-vamente. Cada partıcula interactua con las demas intercambiando mediadores dela interaccion.

La interaccion gravitacional es la atraccion que sienten dos partıculas por sumasa. La teorıa que describe esta interaccion se llama gravitacion cuantica, y sesupone que existe un solo mediador, el graviton, que aun no ha sido descubiertopero que se supone no tiene masa. Esto significa que el alcance de la interacciones infinito. La intensidad con la que dos partıculas como el proton interactuangravitacionalmente es de unos 10−40, tan pequena que es casi imperceptible.

La interaccion electromagnetica es responsable de la atraccion o repulsion delas partıculas por su carga electrica. La teorıa que la describe es la electrodinamicacuantica o QED por sus siglas en ingles y tambien tiene un solo mediador: el foton,que fue descubierto tambien hace unos cien anos y que se sabe no tiene masa, porlo que la interaccion electromagnetica tambien es de rango infinito. Un electron yun proton interactuan electromagneticamente con una intensidad de 1

137 , que espequena pero considerable.

Muy debil es la interaccion responsable del decaimiento radiactivo, de ahı sunombre. Sus mediadores son las partıculas W +, W− y Z0. La masa de cada una deellas es aproximadamente 90 veces mas grande que la del proton. Esto se traduce enque la interaccion debil es de corto alcance (∼ 10−18m). La teorıa que la describees la Dinamica Cuantica Debil o QWD por sus siglas en ingles, y la intensidad conla que dos partıculas interactuan debilmente es 10−5, de ahı su nombre.

Por ultimo, la interaccion fuerte (tambien llamada de color) es la responsa-ble de que los quarks esten confinados adentro del nucleo. Es mas fuerte que laelectromagnetica, de lo contrario las cargas iguales se repelerıan. La teorıa quela describe es la cromodinamica cuantica o QCD. Existen ocho mediadores paraesta interaccion, llamados gluones, cada uno sin masa. Esta interaccion es muycuriosa, sucede que si dos quarks estan muy juntos uno del otro, su interaccion escasi nula; es decir, no interactuan, pero a medida que se alejan, la intensidad dela interaccion crece (hasta uno o mas) por lo que obliga a los quarks a no alejarse(como si estuvieran atados por un resorte).


5.1.5. No esta mal, pero...

Tenemos entonces que, hasta donde sabemos, el universo esta compuesto deleptones y quarks, seis y seis, es decir, doce bloques fundamentales son los queforman al universo. Ya no podemos romper estos bloques, aunque los hagamoscolisionar con las energıas mas altas que podemos producir en los laboratorios.Estas partıculas interactuan entre sı de cuatro maneras distintas, que resultan delintercambio de trece diferentes mediadores.

Sin embargo, lo que vemos es que por cada una de estas partıculas fundamen-tales, existe una antipartıcula. O sea que la materia siempre va acompanada dela antimateria. Esto eleva a veinticuatro el numero de bloques fundamentales deluniverso.

Aun mas, hay por ahı algunos fantasmas. Estos son, algunas partıculas que nopodemos ver, pero que existen. Ejemplo de ellos es la partıcula de Higgs, que sesupone es la responsable de darle las masas a cada partıcula. Para entender eljuego de este fantasma, imagina que eres una partıcula fundamental. La oposicionque presenta el aire cuando caminas, que es casi nula, hace que te sientas muyligero(a), como si no tuvieras masa. Si intentas hacer lo mismo en una alberca,experimentas oposicion del agua; ahora si te sientes pesado(a). El fantasma deHiggs actua como la alberca. Cuando una partıcula pasa por esta alberca, adquieresu masa. La partıcula de Higgs es la mas buscada en los laboratorios en estos dıas.

Entonces, veintucuatro partıculas, trece mediadores y un fantasma (que tambiense considera mediador), no esta mal, pero hay problemas. Uno de ellos es estetico,¿Como es posible que haya mas partıculas que mediadores? ¿Que tal si el universotuviera igual numero de unos que de otros? Esto se llama Supersimetrıa o SUSY.

En esta teorıa, suponemos que cada partıcula, sea bloque o mediador, materiao antimateria, tiene asociado un companero supersimetrico. El nombre de cadacompanero se obtiene simplemente anteponiendo una “s” al nombre de la partıculaque acompana, por ejemplo, al electron lo acompana el selectron, a los quarks, lossquarks, etcetera.2 Desafortunadamente no se ha descubierto ninguna partıculasupersimetrica, aunque en la lista de las mas buscadas ocupan la segunda posicion.

Con la idea de supersimetrıa, hay entonces setenta y seis diferentes partıculasque forman al universo y lo mantienen unido. Pero no es la idea mas descabella-da (o senzata, dependiendo del enfoque) que ha surgido. Algunos fısicos nos pidenque imaginemos que las partıculas, supersimetricas y no supersimetricas, no fueranpuntuales sino ondas estacionarias en ciertas cuerdas o membranas. Entonces, enlugar de partıculas colisionando, tendrıamos cuerdas anudandose. Bueno, esta es laidea fundamental de la Teorıa de Supercuerdas, o la Teorıa del Todo que esta tande moda entre los investigadores. El unico problema que tiene esta teorıa es quedeberan pasar muchos (quizas demasiados) anos antes de que se pueda tener algunaevidencia experimental de la existencia de esas supercuerdas.

Cuerdas o partıculas, supersimetricas o nada simetricas, lo que sabemos de los

2A manera de broma, dicen algunos fısicos que que bueno que no hay una partıcula llamadahit.

56

bloques fundamentales del universo es que forman y mantienen unido todo lo quenos rodea, incluso nosotros mismos. Esto tambien ha sido responsable de grandesavances y retrocesos en cuanto al conocimiento que tenemos del mundo fuera ydentro de nuestro planeta. Vale la pena echar un vistazo al exterior y maravillarnoscon lo que vemos.

5.1.6. Viendo hacia el cielo

Ver hacia el cielo ha sido otra de las grandes pasiones del hombre, desde laantiguedad hasta nuestros dıas. Hemos observado una increible variedad de objetosdiferentes tanto en nuestra vecindad como en distancias que son casi inconcebiblesy que estan a nuestro alcance.

Los primeros objetos que pudimos investigar, aparte del sol y la luna, fueron unacoleccion de rocas que orbitan alrededor del Astro Rey, algunas mas grandes, otrasmas chicas que la tercera –la Tierra– en donde habitamos y que llamamos planetas.A estos les dimos nombres de dioses griegos o romanos, Mercurio, Venus, Marte,Jupiter, Saturno,Urano, Neptuno, Pluton y Persefone. Algunos de ellos tambientienen una o muchas lunas, otros se distinguen por su color, por sus anillos o porsus manchas. A este conjunto de objetos le llamamos Sistema Solar, y nos dimoscuenta que en el hay ademas del sol, sus planetas y sus lunas, asteroides y cometas.Estos objetos son algunas veces venerados, otras reconocidos como portadores demalas noticias, pero en todos los casos, son eventos que no dejan de fascinarnos,por mas veces que los hayamos visto.

Observamos que nuestro planeta es parte de un conjunto de millones y millonesde estrellas que forman nuestra galaxia, la Vıa Lactea, y que nuestra galaxia esvecina de muchas otras galaxias, en nuestro cumulo local, y que este cumulo esparte de un Supercumulo de galaxias. No nos habıamos dado cuanta hasta hacepoco que nuestro universo era tan grande.

5.1.7. Vida y muerte de una estrella

Aunque en un principio creıamos que todos los objetos celestes habıan estadoahı por siempre, nos empezamos a dar cuenta de que al igual que nosotros, lasestrellas nacen y se mueren. Nacen por la atraccion gravitacional del polvo cosmico,en lo que se llama una protoestrella, que forma despues un nucleo activo de laestrella. Al interior de este nucleo, por combustion, emana energıa en forma deradiacion. Todas las estrellas consumen el material que pudieron juntar en su etapaprimordial y en su etapa final aumentan su tamano hasta que en una explosionliberan toda la energıa que les queda.

Si la protoestrella solo pudo colectar poco material cosmico, la estrella que seforma es una Enana Cafe, un pequeno objeto casi sin masa que pasa su ciclo casiinalterada, solo aumenta su tamano. Si pudo conseguir un poco mas de material,se convierte en una Enana Roja, que luego de aumentar su tamano, colapsa enuna Enana Blanca, un pequeno objeto con una densidad muy alta de masa. Las


estrellas como nuestro sol se formaron de una protoestrella que podo colectar unpoco mas de masa que una Enana Roja. En la etapa crıtica de nuestro sol, cuandoya casi agote su material de combustion crecera hasta formar una Gigante Roja,que luego evolucionara en una Nebulosa Planetaria y colapsara en una EnanaBlanca. Unas cuantas veces mayor la masa de la protoestrella y lo que se forma esuna Supergigante Azul. Esta evoluciona hacia una Gigante Roja con un nucleo masactivo, que puede volverse nuevamente una Supergigante Azul y luego colapsar auna Supernova, o pasar directamente a Supernova para encontrar su fin en unaEstrella de Neutrones. Si todavıa tiene mas masa inicial, la Supergigante Azulrapidamente se vuelve Supernova y explota, convirtiendose en un Agujero Negro.La ultima posibilidad es que la Supergigante que se forme sea tan masiva, que alpoco tiempo colapse en un Agujero Negro directamente.

Si bien el conocer el tamano o color de una estrella nos permite tambien cla-sificarla en alguna de las categorıas antes comentadas, es mas util clasificarlas deacuerdo a su temperatura superficial. Ası tenemos como se muestra en el cua-dro 5.1, la siguiente clasificacion.

Cuadro 5.1: Clasificacion de algunas estrellas de acuerdo a su temperatura super-ficial

Tipo Temperatura ◦K EjemploO > 25000 LacertraB 11000− 25000 RigelA 7500− 11000 VegaF 6000− 7500 CanopusG 5000− 6000 SolK 3500− 5000 AldebaranM < 3500 Antares

Para recordar esta clasificacion, inventamos una nemotecnia muy sencilla yjocosa. Basta recordar “Oh Be a Fine Girl, Kiss Me!” para saber si una estrellaes de las mas calientes o de las mas frıas en su superficie.

Toda la luz proveniente de las estrellas nos da una clara vision de lo que esnuestro universo, de cuan grande es y cuanta masa contiene. Pero si juntamostoda la masa de los objetos visibles con nuestros telescopios, nos encontraremoscon que hay mucha materia que no vemos, que de hecho es mucha mas de la quevemos. Esta se llama Materia Oscura.

5.1.8. Viendo lo que no vemos

Las imagenes que los grandes telescopios nos ofrecen nos permiten maravillar-nos una y otra vez con fenomenos tan comunes como los eclipses, del mismo modocomo eventos tan extraordinarios como el nacimiento o muerte de una estrella.

58

Con las observaciones que hacen, nos podemos dar cuenta de la estructura deluniverso a gran escala. Con estos resultados tambien podemos detectar indiciosde la Gran Explosion que dio origen a nuestro mundo. Detectamos por ejemplola llamada Radiacion de Fondo, que es la luz primera que salio desprendida entodas direcciones luego de la explosion. Con ella podemos determinar lo vasto ymajestuoso que es nuestro universo. Sin embargo, con toda la informacion de loque vemos, no podemos entender lo que sucede a nuestro alrededor. Algo falta.

Los telescopios no solo buscan imagenes de lo que hay alla afuera, tambienbuscan lo que no se ve. Buscan materia oscura. Suponemos que el universo en sumayor parte esta compuesto de materia oscura. Esta puede ser WIMPS (WeakInteracting Massive Particles o Partıculas Masivas que Interactuan Debilmente)como neutrinos o partıculas supersimetricas.

Como los WIMPS interactuan muy debilmente, no hemos podido observarlos.El reciente descubrimiento de que el neutrino tiene masa, aunque sea muy pe-quena, nos da la esperanza de que esta masa que no habıamos contabilizado searesponsable de la materia que hace falta en la imagen completa del universo. Pe-ro aun ası cabe la esperanza de que la materia que hace falta sea precisamentela materia supersimetrica. Como no la vemos, no nos hemos dado cuenta de suexistencia, pero a lo mejor esta ahı.

Tambien puede ser que la materia oscura este conformada por MACHOS (Mas-sive Compact Halo Objects u Objetos Masivos en el Halo de nuestra Galaxia),como restos de estrellas muertas, es decir Estrellas de Neutrones, Enenas Blancas,Enanas Cafes, Agujeros Negros, Agujeros de Gusano y tantos y tantos nombres quehan dado lugar a la especulacion y a la ciencia ficcion. Los MACHOS son objetoscuyas dimensiones pueden ser de unos kilometros. Estando tan lejos de nosotros,resulta casi imposible detectarlos. Lo que sı podemos detectar es su presencia,pues sabemos, por la teorıa de la relatividad general de Einstein, que los objetosmasivos curvan el espacio a su alrededor. Si podemos detectar luz que se desvıade su trayectoria, estaremos detectando la presencia de uno de estos objetos.

Saber como cuando y en que condiciones se pueden formar estos objetos es aunalgo que debemos entender. Al hacerlo, estaremos comprendiendo un poco massobre la historia misma del universo.

5.1.9. La historia del universo hasta ahora

Como dijimos, nunca sabremos exactamente cuando se formo el universo. Nosabemos cuando ocurrio la explosion. Sabemos lo que sucedio apenas unos instan-tes despues de que esta sucedio. Despues de 10−43 segundos es cuando comienzanuestro recorrido por la historia. En esta etapa es cuando posiblemente vivieronlas supercuerdas. Luego no sabemos exactamente que paso. De hecho, no sabemosnada. Nos imaginamos una sopa primordial donde estaban mezcladas partıculas detodos tipos, pero sin distinguirse unas de las otras. Donde todas las interaccioneseran una sola. A los 10−12 segundos de la gran explosion es cuando suponemosactuo el fantasma de Higgs. Una millonesima de segundo de vida tenıa el univer-


so cuando los quarks se combinaron entre sı y empezaron a formar hadrones. Alsegundo de vida, los neutrinos decidieron escapar y seguir interactuando debil-mente por todo el universo. Iban tres minutos cuando los hadrones comenzaron arecombinarse entre sı y se formaron los primeros nucleos atomicos. cien mil anosdespues de la gran explosion se empezaron a formar los atomos. Los fotones de laRadiacion de Fondo empiezan a permear el universo. y poco a poco se empezarona formar galaxias, estrellas...y hoy, 1010 anos despues nos estamos preguntandocomo paso todo esto.(2)

Para responderlo, un grupo de seres humanos trabaja arduamente: Somos loscientıficos, fundamentalmente fısicos.

5.1.10. El trabajo de los fısicos

Los fısicos nos dedicamos a preguntarnos como funcionan las cosas en la natura-leza. En ocasiones trabajamos por nuestra cuenta. A veces en pequenos grupos detrabajo de dos o tres miembros. A medida que las exigencias se hicieron cada vezmas y mas grandes, las colaboraciones entre fısicos se hicieron mas y mas numero-sas. Tambien comenzo el trabajo interdisciplinario. Prueba de ello son los grendesaceleradores de partıculas como el Fermilab y CERN. En estos pequenos pueblitosse mantienen trabajando cientos de personas en busqueda de los constituyentesfundamentales del universo. Otro ejemplo y muy famoso es la NASA, la agencianorteamericana encargada de poner por vez primera al hombre en la luna. Losgrandes telescopios como el Hubble nos han maravillado con las imgenes que nosproporcionan del universo. Tambien nos maravilla el hecho de que el microscopiomas grande del mundo mida unos diez pisos de alto, el CDF en Fermilab.

Ya sea solos o en colaboraciones. Famosos u olvidados. Pobres o ricos. En pe-quenas aulas o en grandes universidades. Con los equipos mas modernos y super-computadoras, o solo con lapiz y papel, los fısicos nos dedicamos a una cosa: tratarde entender nuestro universo, de los quarks al cosmos.

5.1.11. Bibliografıa

(1) L. M. Lederman y C. Hill, The God Particle. Ed. Delta. EE. UU. (1994).

(2) L. M. Lederman y D. N. Schramm, From quarks to the cosmos. Tools ofdiscovery. Ed. Scientific American Library. EU (1995).

60

5.2. Optica: Una Breve Historia

Alfredo Raya Montano1




5.2.1. Introduccion

Las propiedades de la luz quedan convenientemente descritas cuando recorda-mos los experimentos por medio de los cuales fueron y siguen siendo establecidas.La optica es la rama de la fısica encargada del estudio de la luz. Se divide en opticageometrica, optica fısica y optica cuantica, dependiendo de las propiedades de laluz que se desean estudiar. La primera de ellas estudia la propagacion rectilıneade la luz, su velocidad finita de propagacion, su reflexion en las superficies y surefraccion al pasar por dos medios distintos. La optica fısica estudia la naturalezaondulatoria de la luz en fenomenos como la difraccion, la interferencia y la polari-zacion. Finalmente, la parte cuantica explora la naturaleza dual onda-partıcula dela luz, es decir, estudia aquellas propiedades ondulatorias y corpusculares de la luzdesde el punto de vista de la mecanica cuantica. Mediante una resena historica(1)

conoceremos como se fueron develando las propiedades de la luz y quienes cola-boraron para ello. Comenzaremos con un breve comentario sobre el por que de lafascinacion del hombre por los fenomenos opticos, y seguiremos, etapa por etapade la historia humana, el desarrollo que tuvo la optica y sus impulsores, desde lasprimeras civilizaciones, pasando por los antiguos griegos, el medioevo, durante elrenacimiento –la epoca dorada de la optica– la revolucion que sufrio en los siglosXVII y XVIII, su pleno establecimiento como un fenomeno de oscilaciones electro-magneticas en el siglo XIX y los impulsos tecnologicos y cientıficos que propiciaronhasta el siglo XX y lo que ha transcurrido del XXI.

5.2.2. La humanidad y los fenomenos opticos

La optica ha sido una de las primeras ramas de estudio de la fısica. Desde epo-cas muy remotas el hombre ha sentido atraccion y fascinacion por los fenomenosluminosos. Siempre hemos observado las estrellas, las luciernagas, los relampagosy rayos. Mas recientemente los metales al rojo vivo, e incluso algunas bacteriasy hongos luminosos. Todos estos son ejemplos de fuentes luminosas existentes enla naturaleza. Tambien hemos sido capaces de inventar algunas fuentes lumino-sas como las velas, lamparas, faroles, aparatos electrodomesticos, tintas, pinturas,etcetera. Estas son fuentes luminosas artificiales.

Hemos sido capaces de distinguir las propiedades por las que los objetos emitenluz, la fosforecencia, la fluorescencia e incluso la bioluminescencia.

[email protected]


Hemos entendido que todos los fenomenos luminosos se producen por la interac-cion de la luz con la materia. Claro esta que la interaccion entre luz y materia nosolo afecta a la luz; la materia tambien puede resultar afectada de diversas formas.

Segun la forma en que se comportan al ser iluminados por un rayo de luz, loscuerpos sin luz propia pueden ser opacos, cuado no permiten el paso de la luz;transparentes, cuando permiten el paso total de la luz; y traslucidos, que permitenel paso de la luz solo en forma parcial.

La propagacion rectilınea de la luz determina que cuando los cuerpos opacos seinterponen en su trayectoria se produce su sombra, es decir, se produce una zonaabsolutamente privada de luz situada detras del cuerpo opaco. Cuando la fuenteluminosa es de gran tamano, tambien aparece una zona de penumbra en la cualexiste una iluminacion parcial.2

5.2.3. La optica en la antiguedad

Entre los vestigios de las antiguas civilizaciones hemos encontrado objetos queponen de manifiesto el interes del hombre por los fenomenos opticos. Por ejemplo,en las ruinas de Nınive, antigua capital Asiria, fue encontrada una pieza de cristalde roca pulida en forma de lente convergente. En Creta se encontraron dos lentesque datan de 1200 a.C. y que se cree fueron usadas para aumentar el tamano deimagenes vistas a traves de ellas.

Mas antiguos aun son los trozos de espejos metalicos encontrados entre los restosde tumbas egipcias. Al principio se creıa que eran adornos, pero ya que no se hanencontrado senal alguna de que los artistas de la tumbas de los faraones hayanusado fuego para iluminarse y decorar las camaras funerarias, se piensa que estosespejos se usaban para desviar la luz del sol hacia el interior de estas.

La influencia de los griegos se hizo sentir en el Egipto antiguo, que en esteperıodo de influencia almaceno el conocimiento de la epoca en grandes bibliotecas.En una de ellas se encontro un documento de autorıa griega que habla de algunasilusiones opticas, como el aparente agrandamiento de tamano del sol y la lunacuando se acercan al horizonte.

En el siglo V. a.C. el escritor Aristofanes (∼456-380 a.C.) hablaba en sus co-medias de piedras transparentes que sirven para encender fuego. Resulta sorpren-dentemente extrano que los griegos, precursores de la cultura occidental, no hayanutilizado el conocimiento que tenıan sobre las lentes y los espejos para ampliarimagenes y que solo las hayan utilizado como encendedores.

5.2.4. La optica y los antiguos griegos

Los griegos comenzaron el estudio sistematico del conocimiento de la epoca, enparticular de la luz. Entre ellos, al estudiar la luz generalmente se confundıa alfenomeno luminoso con la sensacion de la vision. Para Pitagoras (∼569-475 a.C.) y

2Este efecto se observa especialmente en los eclipses cuando la tierra o la luna se interponenfrente al sol, poroduciendose un cono de sombra y un cono de penumbra.

62

sus seguidores, nosotros vemos los objetos por la proyeccion de imagenes lanzadasdesde ellos hacia nuestros ojos. Euclides (∼325-265 a.C.) y Platon (427-347 a.C.),en contraparte, afirmaban que en nuestros ojos se produce la sensacion de ver porlos rayos de luz que salen de ellos e inciden sobre los objetos.

Aristoteles (384-322 a.C.) rechazaba estas dos teorıas. Para el, el papel que juegael medio que hay entre los objetos y nuestros ojos es fundamental. Decıa que cuandoalgun medio, como el aire o el agua esta en reposo, hay oscuridad; y que se vuelveactivo cuando se excita por el fuego3 de los objetos, volviendose transparente. Loscolores de los objetos pueden viajar de esta manera hacia nuestros ojos, y cadauno de ellos es una medida del estado de actividad del medio.

Los matematicos griegos fueron los primeros en preocuparse por dar una descrip-cion geometrica de los fenomenos opticos. Respondıan sencillamente, por ejemplo,a la pregunta de por que los objetos se vuelven invisibles a la distancia. Ellos expli-caban que como los rayos visuales que salen del ojo son divergentes, es decir, cuantomas lejos, mas separados estan uno de otro, estos nunca se juntan, y por lo tantonunca forman la imagen de objetos distantes. Euclides, el famoso geometra, pudoconcluir de sus observaciones que la luz viaja en lınea recta. Determino tambienla manera en la que se refleja la luz en los espejos.

La historia mas famosa del dominio de la luz que tenıan los griegos es la deArquımides (287-212 a.C.) y el ejercito de Siracusa, quienes emplearon espejosconcavos para incendiar las velas de los barcos invasores romanos. Aunque el genialplan de defensa de los siracusanos fallo y Arquımides fue muerto erroneamentepor un centurion, sus ideas impactaron hasta los dos primeros siglos de nuestraera. Heron (∼10-75 d.C.), por ejemplo, estudio los espejos en todas sus formas:planos, concavos y convexos, y logro formular la ley de refexion especular. Tambienencontro que el rayo, sea o no reflejado, sigue siempre el camino mas corto entreel ojo y el objeto.

Los griegos, particularmente Claudio Ptolomeo (∼85-165 d.C.), tambien sintie-ron interes por la refraccion de la luz. Este celebre astronomo construyo el primeraparato para medir con exactitud los angulos de incidencia y refraccion, aunque nopudo formular la ley que gobierna este fenomeno. Las investigaciones de Ptolomeodan clara explicacion al porque la luna y el sol aparentemente aumentan su ta-mano al acercarse al horizonte: La refraccion producida por la atmosfera aumentacuado estos cuerpos se alejan del cenit.

5.2.5. La optica en la Edad Media

Durante el oscurantismo occidental, es decir, en la epoca del Imperio romano yla mayor parte de la Edad Media, practicamente pasaron los anos sin gran progresoen la historia de la fısica. Las contribuciones mas significativas a la optica medievalse deben sin duda al celebre cientıfico arabe Ibn al-Haytham, conocido en Europacomo Alhazan o Al-Hazen (965-1040).

3Recuerdese que para los griegos, los elementos eran Aire, Agua Fuego y Tierra.


Los arabes se habıan dado a la tarea de examinar y mejorar las obras de losgriegos, y Alhazan fue uno de los mas destacados partıcipes. El llamado Padre dela Optica Moderna logro establecer una distincion clara entre la luz como fenomenofısico y el ojo humano como detector. Hizo importantes adelantos en la optica delentes y espejos y fue el primero en analizar correctamente los principios de lacamara oscura. Ademas, anticipo que la luz viaja con una velocidad finita. De suobra hemos heredado algunas de las palabras usadas para identificar las partes delojo: retina, cornea, humor acuoso, humor vitreo, etcetera.

En Europa, y solo hasta tres siglos despues, Roger Bacon (1214-1292) estudio afondo la obra de la escuela arabe. Se dice que fue el inventor de los anteojos,aunque hay que recordar que por aquella epoca, en el norte de Italia, los artesanosvenecianos eran habiles en la manufactura y pulido de cristales, y es posible quealgun heroe anonimo haya desarrollado este invento antes que Bacon. Las ideasde este monje franciscano eran innovadoras, particularmente en su llamado a laciencia experimental, pero estas no encontrarıan eco sino hasta el Renacimiento.

5.2.6. La optica y la Revolucion Renacentista

Durante el Renacimiento (siglos XVI y XVII) la optica participo en la revo-lucion que se dio en las artes y en las ciencias. Los cientıficos abandonaron lafilosofıa meramente especulativa para el desarrollo cientıfico y se pusieron a hacerexperimentos. En esta epoca, la optica adquiere un gran desarrollo tanto en elplano experimental como en el teorico. La mas importante contribucion de larevolucion renacentista al desarrollo de la optica fue la invencion de instrumentosde observacion. De ellos, sin duda, los mas importantes son el telescopio y elmicroscopio.

El gran genio renacentista Leonardo da Vinci (1452-1519) formulo una teorıade la vision en la que compara al ojo con una camara oscura. De hecho, hizoun muy buen uso de este dispositivo para realizar sus famosos croquis e incorpo-rar los principios de la perspectiva en sus pinturas, al igual que muchos de suscontemporaneos colegas.

Otro grande de todos los tiempos, Galileo Galilei (1564-1642): el padre de lafısica experimental, desarrollo en 1610 el primer dispositivo “para espiar, que haceque los objetos distantes se vean cercanos”,(2) luego de haber escuchado rumoresde que un colega holandes habıa desarrollado uno semejante. Con telescopio enmano, Galileo observo en firmamento e hizo grandes aportaciones a la astronomıa,como el descubrimiento de cuatro de las lunas de Jupiter y todo esto sin la ley derefraccion, que hasta 1621 fue desarrollada por Willebrord Snell (1580-1626).

Debemos recordar la persecucion de la que era objeto Galileo. Algunos perso-najes de su epoca refutaban sus observaciones de las lunas de Jupiter diciendo queeran meras ilusiones opticas. Pero otros, como el celebre astronomo Johanes Kepler(1571-1630), a quien Galileo obsequio uno de sus telescopios, estaban maravilladoscon este invento. De hecho, Kepler perfecciono el telescopio y lo utilizo durantesus tan famosas observaciones sobre los movimientos de los cuerpos celestes, de

64

las cuales se desprendieron las leyes que ahora llevan su nombre. El trabajo deKepler(3) sirvio como libro de texto para los estudiosos de la optica por muchosanos.

La obra de Galileo fue un best-seller de su epoca. Los fabricantes de lentesse encargaron de armar telescopios mas y mas grandes. Entre ellos destaca elacaudalado y famoso fısico holandes Christian Huygens (1629-1695), habil cons-tructor y tallador de lentes, quien mas tarde jugarıa un papel excepcional en eldesarrollo de la optica. Entre sus multiples ocupaciones, Huygens se dio tiempode jugar con sus amigos a descubrir los anillos de Saturno.

En 1650, Pierre de Fermat (1601-1665) descubrio una forma de explicar tanto lareflexion como la refraccion de la luz a partir de un solo principio, que ahora llevasu nombre. El Principio de Fermat sostiene que de todas las posibles trayectoriasque la luz puede tomar –ya sea reflejandose en un espejo o refractandose al pasarpor dos medios distintos–, elige solo aquella que puede recorrer en el menor tiempoposible.

El astronomo danes Olaf Romer (1644-1710) se habıa dedicado a observar losperıodos de rotacion de las lunas de Jupiter. En 1676 descubrio que cuando algunade estas lunas se encontraba atras del gigante de colores, su luz tarda mas tiempoen llegar a la tierra que cuando esta al frente. O sea, que cuando estaba mas lejos,la luz de esa luna tardaba mas tiempo en llegar a la Tierra. Llego ası a la conclusionde que la luz no es un fenomeno instantaneo, como incluso Galileo habıa afirmadosino que debe viajar a una velocidad finita.

Este y otros descubrimientos de la epoca sirvieron a Christian Huygens paraafirmar que “La luz es una vibracion que se propaga, al igual que el sonido”.Con base en esta hipotesis logro explicar simultaneamente, en 1678(4), la mayorıade los fenomenos opticos con una gran simplicidad. Su obra representa el primerintento de desarrollo de la Teorıa Ondulatoria de la Luz, aunque antes, RobertHooke (1635-1703), el mas famoso fısico experimental ingles del siglo XVII, yahabıa dado algunas ideas al respecto.

Recordemos que las valiosas observaciones que hizo Hooke con el microscopiocompuesto, junto con los estudios de Antony van Leeuwenhoek (1632-1723) con elmicroscopio simple, marcaron el inicio de una nueva etapa para la biologıa. Conestos microscopios se observaron por primera vez los globulos rojos, las bacteriasy muchos otros seres pequenos, y celulas de organismos mas grandes.

Sin embargo, las ideas de Huygens sobre la naturaleza ondulatoria de la luzno fueron aceptadas por la mayorıa de sus contemporaneos. Ya Rene Descartes(1596-1650), el primer filosofo moderno, habıa afirmado que la luz se componede corpusculos acelerados.4 Sir Isaac Newton (1642-1727) adopto esta idea y ladesarrollo en su Teorıa Corpuscular de la Luz. Newton descartaba la hipotesis on-dulatoria de Huygens porque no podıa explicar con ondas la propagacion rectilıneade la luz, que ya desde la epoca de los griegos estaba establecida.

En su adolescencia, Newton hizo una serie de estudios importantes en optica.

4Aunque suponıa que viajaban con velocidad infinita.(5)


Por ejemplo, fabrico un telescopio con espejos en lugar de lentes para evitar laaberracion cromatica,5 haciendo que los telescopios reflectores se convirtieran enun importantısimo instrumento de la astronomıa.

Pero a Newton le intrigaba el origen de estos colores, por lo que emprendio unaserie de estudios con prismas y luz blanca, que le permitieron obtener su espectro.Observo que el prisma no altera la luz sino que separa fısicamente los corpusculosque la componen de acuerdo a su refractabilidad, y de esta separacion surge todala gama de colores que percibimos.

Con las ideas de Newton se puede explicar facilmente la formacion del arcoiris.Este, que es uno de los fenomenos opticos naturales mas preciosos, se observacuando el sol se encuentra en un lado del firmamento y llueve del lado opuesto. Elobservador situado en el medio observara este arco con los colores rojo, anaranjado,amarillo, verde, azul y violeta, que se produce por la doble refraccion que sufrenlos rayos del sol dentro las gotas de agua de la lluvia y que rebotan hacia los ojosdel observador.

Newton tambien hizo otras observaciones que se resumen en la transversalidadde los rayos luminosos, su difraccion y su interferencia. En particular explico losfamosos anillos que llevan su nombre. La obra de Newton tuvo tal repercusion,que durante un siglo fue usada como referencia clasica, y pocos eran los que seanimaban a cuestionar su contenido o ir mas alla en el estudio de los fenomenosopticos.

De entre esos pocos destacan el poeta y escritor Johann Wolfgang von Goethe(1749-1832), quien en 1786, motivado por la influencia renacentista, formulo unateorıa de los colores que a la fecha sigue siendo objeto de estudio y fascinacion.(6)

Tambien vale la pena mencionar la contribucion de Jose Antonio Alzate (1738-1799), el ilustre cientıfico de la Nueva Espana, que en 1758 reporta el uso de unexcelente anteojo cromatico para estudiar la geografıa de los volcanes del Valle deMexico. Es notoria esta contribucion pues Newton habıa afirmado que la aberra-cion cromatica no puede ser eliminada de los lentes.

5.2.7. El siglo XIX y las ondas de luz

El siglo XIX se inicio con una serie de pruebas que sugerıan que la luz es denaturaleza ondulatoria. Los mas importantes fueron los experimentos realizadospor Thomas Young (1773-1829) entre 1801 y 1804. Estos experimentos mostraronla existencia de la interferencia de la luz, un fenomeno tıpico de ondas y no decorpusculos. Young explico que los anillos de Newton se forman por la superposi-cion de ondas luminosas. Llego incluso a determinar la longitud de onda de la luz(del orden de λ = 0·00005 cm, media micra).

Su descubrimiento es de gran importancia, pues asegura que hay una relaciondirecta entre la sensacion del color que se produce en nuestros ojos y un parametro

5La aberracion cromatica es una distorsion de las imagenes producidas por las lentes en laque aparecen franjas de colores alrededor de los objetos.

66

fısico, en este caso la longitud de onda de la luz. Ası, cada color esta determinadopor una longitud de onda y van desde el violeta, que es el color con menor longitudde onda, hasta el rojo, con la mayor.

Young fue tambien capaz de explicar la propagacion rectilınea de la luz, demos-trando que la luz es una onda transversal, como una onda en la superficie del agua.Sus trabajos sobre la interferencia de la luz son considerados hoy dıa la obra mastrascendente en optica fısica despues de los de Newton, aunque, como parece seruna costumbre, en su epoca no fueron bien recibidos.

Fue hasta 1815 cuando la teorıa ondulatoria fue revivida por Augustin Fresnel(1788-1827) –quien desconocıa el trabajo de Young–, a traves de sus estudios dela difraccion y la interferencia. Poco a poco la teorıa ondulatoria fue explicandouno por uno los fenomenos asociados con la luz y sus propiedades.

Los exitos de la teorıa ondulatoria revivieron el interes por determinar conprecision la velocidad con la que se propaga la luz. Galileo ya habıa fracasado ensu intento de medir cuantos latidos del corazon pasaban para que la luz fuera deuna colina a otra en Pisa. Obviamente no pasaba ni uno. La tecnologıa de mediadosdel siglo XIX tampoco permitıa llevar a cabo esta tarea facilmente.

Hubo una observacion clave: segun Newton, la luz debıa viajar mas rapido en unmedio opticamente denso que en el aire; segun la teorıa ondulatoria debıa sucederlo contrario. Las mediciones realizadas por Armand Fizeau (1819-1896) en 1849concluyeron que la luz disminuye su velocidad al entrar en un medio opticamentedenso, como el agua. Este fue un duro golpe para la teorıa corpuscular de Newtony un triunfo para la teorıa ondulatoria de la luz.

Los experimentos posteriores a los de Fizeau se fueron perfeccionando cadavez mas. Fue en 1927 que el norteamericano Albert Michelson (1852-1931) mi-dio muy precisamente la velocidad de la luz. El valor que encontro fue de c =299, 798 km/seg,6 con una precision de 0.001%.

La velocidad de la luz c es una de las constantes fısicas mas importantes (juntocon la constante de gravitacion universal de Newton, la constante de Boltzmannde la termodinamica y la de Planck de la mecanica cuantica), y ocupa un lugarprotagonico en las teorıas del electromagnetismo y de la relatividad especial.

La primera prueba de que la luz esta relacionada con fenomenos electricos ymagneticos la obtuvo Michael Faraday (1791-1867) en 1845, quien logro iluminaruna curva magnetica y magnetizar un rayo de luz. Faraday se referıa al exito quetuvo al medir el cambio de polarizacion que sufre la luz al pasar por un tubo devidrio colocado en un campo magnetico. Sus experimentos y los de algunos con-temporaneos suyos sirvieron de base para la teorıa electromagnetica, desarrolladay expresada en lenguaje matematico por James Clerk Maxwell (1831-1879).

La teorıa de Maxwell describe fenomenos electricos y magneticos de forma uni-ficada. Desde los griegos y hasta antes de Maxwell se creıa que la electricidad y elmagnetismo eran dos fenomenos diferentes, pero Maxwell demostro que eran dos

6A la velocidad de la luz le ha asignado una letra propia: c, y para fines practicos se tomac = 3 × 108m/s.


caras de un solo fenomeno electromagnetico. Las ecuaciones de Maxwell conduje-ron a muchas predicciones nuevas para la epoca. Una de las mas importantes fueque pueden existir ondas electromagneticas que viajan a la velocidad de la luz, yque la luz es radiacion portadora de energıa.

En 1888 Heinrich Hertz (1857-1894) verifico las predicciones de Maxwell al pro-ducir ondas por medio de cargas oscilantes y detectarlas por medio de antenas.Su aparato consistıa en un alambre conectado a una bobina de induccion paraproducir las ondas y una espira pequena de alambre con un espacio para chispasque servıa de detector. Cuando indujo corrientes en la espira detectora se pro-dujeron chispas en el espacio dejado para este fin. Con experimentos posterioresque involucraban espejos, prismas, rejillas de metal, Hertz demostro que sus ondaselectromagneticas tienen propiedades analogas a la luz. Sus experimentos son lapiedra angular para el desarrollo de la radio y de toda la comunicacion inalambrica.

Pero las ondas de radio no fueron las primeras ondas invisibles descubiertas.En 1800 William Herschel (1738-1822) observo el calentamiento producido por losdistintos colores de la luz solar, y concluyo que mas alla del rojo hay una radiacionque no se ve, pero que calienta (radiacion infrarroja). En la misma epoca, WilhelmRitter (1776-1810) descubrio una radiacion oscura que tiene efectos quımicos, la luzultravioleta. Cuando Wilhelm Conrad Rontgen (1845-1923) en 1895 descubrio losrayos X , no sabıa que se trataba de ondas electromagneticas. Esto vino a serconfirmado apenas en 1912, cuando Max von Laue (1879-1960) mostro que estosrayos se difractan.

Con la observacion de que la longitud de onda de la radiacion infraroja es menorque un milımetro, la ultravioleta mas pequena que la luz visible, la de las ondas deHertz, tamano de metros, la de la luz ultravioleta menor que la de la luz visible yla de los rayos X aun menor que la ultravioleta, se fue poco a poco descubriendo elespectro completo de la radiacion electromagnetica. Actualmente conocemos desdelas ondas de radio con longitudes de onda de λ = 10km hasta los rayos γ (gama)con λ = 0·00000000001 cm.

El trabajo de Maxwell, Hertz y muchos otros dio un gran impulso tambien aldesarrollo tecnologico. Asimismo, en el campo de la iluminacion se dieron grandesavances, tanto por el uso masivo de la electricidad como por la invencion y co-mercializacion del foco o bombillo electrico por Joseph Wilson Swan (1828-1914),y Thomas Alva Edison (1847-1931), en 1879.

Este siglo tambien vio el nacimiento de la fotografıa. Luego de que las primerasimagenes de personas y paisajes deslumbraron a los hombres y mujeres de la epoca,la fotografıa tuvo un impacto particular en el dasarrollo cientıfico. Gracias a lasobservaciones del espectro electromagnetico que hizo Joseph von Fraunhofer (1787-1826) y luego de que el desarrollo fotografico permitio que se pudiera capturar laimagen de un espectro de luz, se inicio la era de la espectroscopıa. La espectroscopıaes una tecnica empleada actualmente para conocer la composicion quımica de lasestrellas. Historicamente, la espectroscopıa fue una de las primeras pruebas sobrela naturaleza cuantica de la materia, y en particular de la luz.

68

5.2.8. Nace el foton

Para principios del siglo XX se tenıan acumuladas muchas observaciones sobre elcomportamiento de la luz y de la materia que con las leyes de la mecanica, la optica,el electromagnetismo y la termodinamica no se podıan responder adecuadamente.Las respuestas que daban esas teorıas simplemente contradecıan lo que se obtenıaen los experimentos.

La observacion que mas dolores de cabeza dio a los fısicos de finales del siglo XIXy principios del XX fue la siguiente: Se sabe que al calentar un objeto, su radiaciontermica va cambiando de color, pasando desde el infrarrojo, al rojo y pasando portodas las longitudes de onda de la luz visible, pero no es cierto que si se siguecalentando la radiacion llega al ultravioleta (y por lo tanto, ya no serıa visible)sino que mas bien cubre todo el espectro electromagnetico y como resultado seoberva que el objeto emite una luz esencialmente blanca. Segun la fısica clasica, laradiacion ultravioleta deberıa dominar porque es la mas intensa de las radiaciones,lo que francamente contradice a la experiencia. 7

Para resolver esta catastrofe ultravioleta, Max Planck (1858-1947) en 1900 pos-tulo que:

“El cuerpo no emite radiacion termica en forma de ondas de maneracontinua como dicta la fısica clasica, sino en paquetes o cuantos deenergıa, y cada uno de estos cuantos posee una cantidad de energıainversamente proporcional longitud de onda.”

Con esta idea, los cuantos de luz azul resultan mas energeticos que los de la luzroja, y la intensidad de radiaciones proporcional al numero de cuantos emitidos.La constante de proporcionalidad se denota por h y se llama constante de Planck.8

Con ayuda de este postulado Planck logro explicar correctamente la forma en lacual un objeto emite radiacion termica cuado es calentado: el objeto emite luz entodas las frecuencias, solo que lo hace con cada vez menor intensidad a medida quela radiacion se vuelve muy energetica. Los cuantos de Planck dieron origen a unarevolucion en la fısica: la Mecanica Cuantica, aunque, para variar, se consideraronuna excentricidad en su tiempo.9

Por otra parte, Hertz habıa descubierto en 1887 el efecto fotoelectrico, el cualse observa cuando al irradiar una superficie metalica con luz de longitud de ondacorta se desprenden electrones de la placa. Esto no era tan extrano, pues ya sesabıa que la luz era un fenomeno electromagnetico. Lo que no lograba explicar lafısica clasica era el por que el metal emite electrones solo para ciertas longitudes deonda de la luz, ya que cuando se aumentaba la longitud de onda de la luz incidente,cesaba la emision de electrones del metal, independientemente de la intensidad de

7O sea, clasicamente el rojo vivo serıa mas bien un violeta invisible.8La constante de Planck h = 6,626176×10−34 J seg juega un papel protagonico en la mecanica

cuantica, tal como la velocidad de la luz “c” lo hace en la relatividad especial.9Todavıa hay algunos conservadores que no aceptan las ideas de la mecanica cuantica, pese a

los muchos logros que ha tenido y sigue teniendo.


la luz o de cuanto tiempo se irradiaba el metal. Tampoco era muy claro por que lavelocidad de los electrones desprendidos no dependıa de la intensidad de la luz,pero sı de su longitud de onda, ya que a menor longitud de onda, los electronesdesprendidos viajaban mas rapido.

Este hecho condujo a Albert Einstein (1879-1955) en 1905 a proponer10 quela luz que incide sobre el metal esta concentrada en forma de corpusculos cuyaenergıa es proporcional a su frecuencia, y la constante de proporcionalidad es h.El electron, al absorber uno de estos corpusculos, se queda con toda su energıa y lausa para escaparse del metal. Si la energıa absorbida por el electron es mayor quela que requiere para escapar del metal, saldra disparado con un exceso de energıacinetica; en cambio si es menor, no saldra del metal. O sea, Planck por una partehabıa dicho que la luz se emite en paquetes discretos; Eisntein ahora afirmaba quela luz tambien se absorbe de esta manera. Con estas ideas empezo la era de lacuantizacion.

La idea de la cuantizacion de la luz no fue facilmente aceptada por la mayorıade los fısicos de hace cien anos, quienes estaban acostumbrados a las ideas de-terministas de la mecanica de Newton, pero con el tiempo fue ganando adeptos,particularmente cuando aumento el numero de experimentos que evidenciaban lanaturaleza cuantica de la luz y sus cuantos: los fotones.11

Uno de los experimentos cruciales para evidenciar la existencia del foton fue elrealizado por el norteamericano Arthur Compton (1892-1962). Este consistio enirradiar un bloque de parafina con luz monocromatica de alta frecuencia. Comptonobservo que el haz de luz dispersado tenıa una frecuencia que es menor que laoriginal y dependıa del angulo de dispersion.12 El mismo demostro que este efectosolo puede ser explicado con base en la existencia de los fotones o cuantos de luz.

Otro famoso, Niels Henrik David Bohr (1885-1962), en 1913 dio una explica-cion sobre los espectros atomicos. Su idea se basa en que cuando el atomo absorbeun foton, se queda con toda su energıa. Con esta idea, Bohr pudo determinar lasorbitas de los electrones alrededor de los nucleos. El modelo de Bohr constituyeuno de los pilares de la teorıa cuantica de la materia. Claro que el atomo tal comolo conocemos ahora es mucho mas complicado, pero sus ideas son la base paraentender los fenomenos que suceden a distancias tan pequenas dentro los atomos.Actualmente, las interacciones de los fotones con la materia se describen en termi-nos muy abstractos en una teorıa llamada Electrodinamica Cuantica, desarrolladaentre 1940 y 1950 por Richard Feynman (1918-1988), Julian Schwinger (1918-1994)y Sin-Itiro Tomonaga (1906-1979).

Entonces, de acuerdo a la mecanica cuantica, la luz posee una naturaleza dual,es decir, tiene unas propiedades de onda y otras de partıcula. Se comporta comoonda cuando se propaga, y lo hace como partıcula cuando interactua con los atomos

10Y ganar el Premio Nobel. Curioso, aunque Einstein odiaba la Mecanica Cuantica su Nobelfue por sus contribuciones a esta disciplina.

11El nombre foton fue introducido por Gilbert Newton Lewis (1875-1946) en 1926.12Es decir, que el foton que se suponıa era una onda, chocaba contra el electron como si fuera

una partıcula.

70

de la materia. Ası pues, el viejo debate entre la teorıa corpuscular y la ondulatoriasobre la luz queda finalmente reconciliado. Cuando la luz se propaga sin obstaculoscomo rendijas u orificios pequenos (del tamano de su longitud de onda), podemosconsiderar que se compone de rayos que viajan en lıneas rectas. Las trayectorias deestos rayos son las que nos permiten maravillarnos con las imagenes que nos rodeany que percibimos a simple vista. No debemos de pensar que con la introducciondel foton desaparece la naturaleza ondulatoria de la luz. Al contrario, debemossiempre recordar que la luz, y toda la radiacion electromagnetica en general, es unfenomeno ondulatorio.

5.2.9. La optica y la relatividad

La optica de los cuerpos en movimiento se fue desarrollando paralelamente ala teorıa cuantica de la luz y de la materia. Desde 1842, Christian Doppler (1803-1853) habıa observado que la frecuencia de una onda de cualquier tipo aumentacuando el receptor se acerca a la fuente de emision, y disminuye cuando se alejan eluno del otro (efecto Doppler)13 Uno esperarıa que al observar la luz que provienede objetos en movimiento se produjera un corrimiento de los colores, hacia el azulcuando la fuente se acercara a nosotros y hacia el rojo en caso contrario.

Pero encontrar la formula correcta para el efecto Doppler optico no fue tansencillo. A fines del siglo pasado se creıa que la luz, al ser una onda, requerıa unmedio de propagacion, el cual fue llamado eter. Lo raro es que no se habıa detectadoningun efecto de la presencia de este eter. En 1887 Albert Michelson y EdwardMorley (1838-1923) realizaron un experimento para medir cuanto cambiaba lavelocidad de la luz debido al movimiento de la Tierra a traves del eter. La idea sebasaba en la analogıa con la velocidad de un bote de remos en un rıo: La velocidaddel bote aumenta si se rema en la direccion de la corriente, y disminuye si se cambiaesta direccion. Michelson y Morley encontraron que la velocidad de la luz medidadesde la Tierra es la misma en todas las direcciones, a pesar de que esta se mueve(como el bote) en el eter (el rıo).

Cada quien intentaba dar una explicacion a los resultados de este experimento.Algunos decıan que esto no significaba mas que la Tierra no se mueve en el eter.Alternativamente, Einstein interpreto los resultados del experimento diciendo que“la velocidad de la luz −y de cualquier tipo de radiacion electromagnetica essiempre la misma; no depende ni de la velocidad de la fuente que la emite, ni delmovimiento del observador que la recibe (siempre y cuando la fuente de ondas y elobservador se muevan con velocidad relativa uniforme)”. Con esta hipotesis nacio lateorıa de la relatividad especial. Esta es una teorıa mas general que la dinamicade Newton, puesto que es valida para los objetos que se mueven con velocidadescercanas a la de la luz, pero las formulas de Newton dan buenos resultados solocuando la velocidad de los objetos es mucho menor que c.

13En el caso de las ondas sonoras este fenomeno nos es muy familiar: lo percibimos cada vezque oımos pasar una ambulancia.


Por los postulados de la relatividad especial, sabemos que ningun objeto conmasa puede ser acelerado mas alla de la velocidad de la luz, ni siquiera puedealcanzar dicha velocidad pues para ello se requerirıa darle a dicho objeto unaenergıa infinita. Solamente partıculas sin masa como el foton pueden viajar a lavelocidad de la luz y no pueden ser desacelerados o acelerados como las partıculascon masa.

Una consecuencia de lo anterior es que no hay manera de enviar informacioncon velocidad mayor que la de la luz. Si fuera posible, ocurrirıa toda una serie defenomenos extranos; por ejemplo, imaginemos dos astronautas en distintos plane-tas, separados en anos luz. Si uno de ellos enviara una senal con velocidad mayora c, esta serıa detectada por el otro ¡antes de que fuera enviada! Hay algunos fısi-cos que especulan sobre la existencia de partıculas que se mueven con velocidadesmayores a la de la luz, llamados taquiones, pero si existieran, no podemos hacerningun experimento u observacion para detectarlos.

Diez anos mas tarde, el mismo Einstein generalizo su teorıa a la relatividadcuando las fuentes luminosas y los observadores realizaban todos los movimientosrelativos entre sı. La teorıa de la relatividad general mostro tener implicacionesnovedosas e insospechadas en el terreno de la optica, como su prediccion sobrela desviacion de la trayectoria rectilınea que sigue un rayo de luz al atravesarun campo gravitacional producido en la cercanıa de un cuerpo masivo. Esto sedebe a que el espacio se curva por la presencia de cuerpos masivos,14 y en esteespacio curvo la luz sigue describiendo la trayectoria mas corta entre dos puntos,15

llamada geodesica. Este efecto ha sido detectado una y otra vez desde 1919 durantela observacion de eclipses solares. En estos fenomenos es posible observar estrellasque se encuentran detras del sol.

Otra consecuencia de la teorıa de la relatividad general es que el espectro de luzproveniente de objetos distantes sufre un corrimiento al rojo de naturaleza gravita-cional (como un efecto Doppler). Con esta observacion, Edwin Hubble (1889-1953)pudo determinar que el Universo se esta expandiendo, y que mientras mas distantesde nosotros estan los objetos, se alejan mas rapido.

5.2.10. Luz y materia

Todos los fenomenos luminosos que hemos discutido hasta ahora tienen su ori-gen en la interaccion de la luz con la materia. Es la materia la que refleja, refracta,dispersa, difracta, desvıa y absorbe a la luz. No podemos detectar la luz de ningunamanera a menos que la hagamos interaccionar con la materia. En esta interaccion,obviamente no solo la luz se modifica, la materia puede verse afectada tambieny de distintas maneras. Por ejemplo, en el efecto fotoelectrico, cuando el metales irradiado, absorbe parte de la luz en forma de fotones. Cada atomo del metal

14Para visualizar esta curvatura del espacio, imagina que este fuera la sabana de tu cama.Si colocas en esta sabana un objeto masivo (una pelota, un libro, etcetera), la sabana se curvaalrededor de este objeto. Igual ocurre en el espacio.

15Por el principio de Fermat.

72

aniquila los fotones que absorbe quedandose con toda su energıa, y en este procesose desprende de electrones, uno por cada foton absorbido. Uno de estos electronesliberados puede enviarse a otra placa metalica y producir una cascada de elec-trones, que a su vez generan una corriente electrica. Esta corriente puede activaralgun circuito electronico para abrir una puerta, por ejemplo.

La liberacion de electrones por la luz sucede en cualquier tipo de material, enestado solido, lıquido o gaseoso. Pero en general, los electrones del material nopueden escaparse facilemte al ser empujados por un foton. Tanto el atomo como elfoton salen rebotados despues del choque, y no hay desprendimiento de electrones.Con el rebote, lo que hace el atomo es chocar con sus vecinos, aumentando ası latemperatura del material. Por eso es que un material que absorbe mas luz secalienta mas.

En algunos materiales que son aislantes,16 cuando son iluminados puede sucederque los electrones atomicos sean expulsados de su respectivo atomo por un foton,pero no escapan del material que cambia entonces sus propiedades y se vuelveconductor por iluminacion o fotoconductor.

Hay materiales cuyos electrones, para deshacerse de la energıa que ganaronabsorbiendo un foton, emiten otro en un lapso de millonesimas de segundo, yel material brilla. La luz emitida por este proceso se llama fluorescencia y seproduce por muy breves instantes de tiempo. Ciertos otros materiales, llamadosfosforescentes, pueden quedarse con la energıa del foton absorbido durante horasy dıas.

La luz absorbida por la materia puede tambien producir cambios quımicos.Ası es como se induce el fenomeno de la vision en las celulas de la retina, alpropagarse por impulsos electroquımicos las senales luminosas que son recibidas yprocesadas en nuestro cerebro. Otro ejemplo es el complejo proceso de la fotosınte-sis en las hojas de las plantas verdes. Las emulsiones fotograficas tambien sufrencambios quımicos al absorber la luz.

A todos los materiales que son afectados por la luz absorbida se les llama foto-sensibles, y a los cambios que sufren: reacciones fotoquımicas.

En conclusion, la absorcion de la luz puede tener multiples efectos sobre lamateria. Ahora bien, podemos preguntarnos si la luz que no es absorbida sinoreflejada, tiene tambien algun efecto sobre la materia.

Cuando aventamos una pelota en una pared, la pelota recibe un impulso de lapared que la hace rebotar (tercera ley de Newton); pero tambien la pared recibeun impulso de la pelota, de la misma magnitud y en sentido contrario. No notamosque la pared se mueva porque es muy rıgida y su masa es muchısimo mayor que lade la pelota. Con esta analogıa, la superficie de un solido iluminado es como unapared que recibe muchos pelotazos (fotones) y los refleja, pero que siente presionpor efecto de los empujones. Esta presion que para nosotros es imperceptible, agran escala tiene efectos visibles: es la responsable de la cola de los cometas.

Finalmente, cuando la luz no es reflejada ni absorbida por un material, esto es,

16Es decir, que no conducen electricidad.


cuando la luz penetra en el material, se refracta. Aparte del cambio de direccionde la trayectoria, hay un cambio en la velocidad con la que se propaga la luz enlos diferentes medios, los cuales caracterizamos por un ındice de refraccion. Esteındice de refraccion es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacıo entre lavelocidad de la luz en el medio en consideracion. Por ello, dicho ındice es siempremayor que uno, aunque existen algunos materiales para los cuales n < 1. Claroesta que el ındice de refraccion depende tambien de la longitud de onda de laluz, si esto no fuera ası, cuando la luz blanca incide sobre un prisma, esta no sedescompondrıa en el espectro de colores, sino que solo se desviarıa y seguirıa siendoblanca. En conclusion, cuando decimos que la velocidad de la luz es c, en realidadhablamos de la velocidad de propagacion de la luz en el vacıo.

Cada vez que la luz pasa de un medio a otro con mayor ındice de refraccion n,cambia su velocidad, pero nunca se detiene. Este cambio se debe a la interaccionde la luz con las partıculas del medio. Una cosa curiosa es que una vez que la luzya ha penetrado en un determinado medio, no se sigue frenando, de modo que sinuevamente penetra en un medio con menor ındice de refraccion, su velocidad sevuelve a incrementar. Tambien es importante senalar que cuando la longitud deonda de la luz es muy corta, como con los rayos X , la mayorıa de los materialesse vuelven transparentes y presentan un ındice de refraccion menor que uno.

Dicho esto, resulta que la velocidad de la radiacion en el interior de algunmaterial puede ser mayor o menor que c. Esto no representa una contradiccioncon los postulados de la relatividad especial. Lo que sucede es que las ondas tienencomportamientos a veces muy caprichosos. La onda que penetra en el material,viene del vacıo con una velocidad c y pone en movimiento a los electrones delmaterial. Como resultado de este movimiento, los atomos del material emiten asu vez otras ondas, las cuales tambien se propagan en el vacio que hay al interiorde los atomos con velocidad c. Entonces, la superposicion o suma de todas estasondas con que incidieron inicialmente las que viajan en grupo con una velocidadque puede ser mayor o menor que c por la siguiente razon: todas las ondas se estanmoviendo dentro de un paquete, y la suma de todas las velocidades puede sermayor o menor que c. Sin embargo, lo que vemos nosotros como onda refractada,es el paquete completo, cuya velocidad en el vacıo siempre es menor o igual a c.

En 1934 el fısico sovietico Pavel Alekseyevich Cherenkov (1904-1990) descu-brio que al bombardear un material opticamente denso (con n > 1) con electronescuya velocidad es mayor que la de la luz en el medio, se produce una onda electro-magnetica de choque de color entre el amarillo y el violeta. Esta onda es analoga ala onda de choque de presion que se produce cuando un avion rebasa la velocidadde propagacion del sonido en el aire, o cuando una lancha rebasa la velocidad depropagacion de las ondas en el agua. La radiacion Cherenkov es luz que puede serdetectada, y por lo tanto, es buscada en los grandes aceleradores para registrarpartıculas muy rapidas e incluso medir su velocidad, y tambien en la observa-cion de rayos cosmicos de altısima energıa que se producen en la parte alta de laatmosfera.

74

Epılogo

La luz es uno de los fenomenos fısicos que ha sido estudiado por el hombre desdelos tiempos mas remotos. Cientıficos y aficionados, poetas y hombres de negocios,genios y artistas, todos hemos sentido alguna vez curiosidad por desentranar lossecretos de este regalo de la naturaleza. Cuanto mas entendemos de ella, masnos fascina. Hemos logrado entender su comportamiento dual onda-partıcula y alhacerlo, hemos tambien comprendido algunas propiedades de la materia al nivelmas fundamental. La luz se transforma al interactuar con la materia, pero tambienla materia cambia cuando interacciona con la luz. Su estudio ha causado grandesrevoluciones cientıficas y tecnologicas. Cada vez que parecıa que no encontrarıamossolucion a los problemas, la luz nos enseno que hacer. Pero mas alla de todo esto,la luz nos cautiva por las sensaciones que produce en nuestros sentidos. Todos noshemos entretenido observando muchos fenomenos opticos, desde el esplendor delarcoiris, hasta lo ingenioso de las ilusiones opticas. La luz nos permite ver lo queno podemos ver, como las ondas de radio, television y microondas. Nos permitea la vez conocer una parte primordial de nuestro universo y de nosotros mismos.Por ello, si alguien me preguntara que es lo que nos hace falta para entender almundo, sin duda alguna mi respuesta es ¡Mas luz!

5.2.11. Bibliografıa

(1) A. M. Cetto, La Luz en la Naturaleza y en el Laboratorio. Ed. Fondo deCultura Econıomca, Mexico, (1996).

(2) G. Galilei, Siderius Nuntius. Publicado en 1610.

(3) J. Kepler, Dioptrice Publicado en 1611.

(4) C. Huygens, Traite de la lumiere publicado en 1678.

(5) E. E. Bricio Barrios, Dualidad. Exposicion sobre la dualidad onda-partıculade la mecanica cuantica. Colima, Colima, Mexico, (2003).

(6) La obra cientıfica de Goethe se encuentra en la recopilacion de los editoresG. Schmidt, W. Troll, L. Wolf, D. Kuhn y W. von Engelhardt Die Schriftenzur Naturwissenschaft.

(7) H. E. White, Fısica Moderna. Ed. Limusa, Mexico, (1996).

(8) C. Gutierrez Aranzeta, Electromagnetismo y Optica. SEP, CONALEP y Li-musa editores. Mexico, (1999).

(9) F. J. Bueche, Fısica General. McGraw-Hill editores. Segunda edicion en es-panol. Mexico, (1984).

(10) Liceo Digital. http://www.liceodigital.com/segundo/fisica2/la luz2.html


5.3. El radiotelescopio de UTEP

Jorge A. Lopez Gallardo1 y Luis Basurto

Physics Departament, University of Texas at El Paso

500 W. University Ave, El Paso, Texas 79968, EUA

Resumen: La Universidad de Texas en El Paso (UTEP) ha iniciado un proyectopara construir un radio telescopio usando antenas satelitales comerciales. El arreglousa dos antenas conectadas a un espectrometro y logra detectar ondas de radioproducidas por hidrogeno intergalactico, y puede ser usado para construir mapasde la Vıa Lactea.

5.3.1. Introduccion

La astronomıa observacional cambio radicalmente en 1933 cuando Jansky, alestudiar la interferencia que producen las tormentas electricas en las transmisionesde radio, detecto ondas de radio extraterrestres. Debido a que una minuscula senalseguıa un patron que se repetıa cada 23:56 horas, Jansky concluyo que el origende esa senal era de fuera del sistema solar. La figura 5.3.1 muestra el telescopiousado por Jansky.

Figura 5.1: Telescopio usado por Jansky.

[email protected]

76

En 1937 Reber se intereso en el tema y construyo una antena mas apropiadapara el estudio de las ondas detectadas por Jansky. Ademas de descubrir una fuerteemision en λ = 1·87 m, se dio cuenta que la Vıa Lactea era una fuente de ondas deradio. Despues de la segunda guerra mundial, los radiotelescopios se multiplicaroniniciando una nueva rama de la astronomıa moderna. La figura 5.3.1 muestra unacomparacion de imagenes de la Vıa Lactea en ondas de radio, infrarrojo, rayos Xy visible.

Figura 5.2: Imagenes de la Vıa Lactea en ondas de radio (superior iz-quierda), infrarrojo (superior derecha), rayos X (inferior derecha)y vi-sible (inferior izquierda).

5.3.2. El funcionamiento de los radio telescopios

Los radiotelescopios son simples antenas que detectan ondas electromagneti-cas. Estas ondas, que pueden ser producidas por movimiento de cargas libres oatomicas, se mueven a la velocidad de la luz (3 × 108 m/s) y pueden tener di-versas longitudes de onda, λ (medidas en metros) o diversas frecuencias, ν = c/λ(medidas en Hertz).

Las ondas electromagneticas se pueden clasificar de acuerdo a la magnitud de λo ν. De menor a mayor λ (o de mayor a menor ν), las ondas electromagneticas seconocen como rayos γ, rayos X , ultravioleta, luz visible, infrarroja, microondas, yondas de radio. El cuadro 5.3.2 muestra los valores de λ en estas regiones, ası comoel origen de las fuentes y sus temperaturas.


Cuadro 5.2: Tipos de radiacion electromagneticaRadiacion λ (m) T (K) Origen

Rayos γ 10−16 − 10−12 108 Choques de hoyos negrosRayos X 10−11 − 10−8 106 − 108 Supernova, Corona solar

Ultravioleta 10−8 105 − 106 Estrellas calientesVisible 4− 7× 10−7 103 − 105 Estrellas

Infrarrojo 103 − 10−6 103 Planetas, NebulosasRadio 1 − 104 < 10 Polvo intergalactico

5.3.3. Emision de ondas de radio por hidrogenointergalactico

En el espacio intergalactico existen atomos de hidrogeno libres. Debido a que elhidrogeno esta compuesto por un electron que, de alguna manera, orbita alrededorde un proton, el momento magnetico del electron interactua con el del protonalineandose de manera paralela o antiparalela. Como la alineacion antiparalela esmas favorable energeticamente, es decir reduce la energıa total del atomo, aquelloshidrogenos con momentos magnetico paralelos decaeran al estado antiparalelo. Alhacerlo, el exceso de energıa sera liberado en forma de un foton, es decir, de unaunidad de radiacion electromagnetica. Este proceso es ilustrado en la figura 5.3.3.

Figura 5.3: Emision de un foton en el alineamiento de los momentosmagneticos en un atomo de hidrogeno.

La diferencia de energıa entre los estados es de 9·41170618× 10−25 Joules. Estaenergıa es emitida en un foton de λ = 0,211061141 metros, correspondiente a unafrecuencia de ν = 1·420405751800 GHz. Aunque la vida media de este decaimientoes de 107 anos, la abundante poblacion de atomos de hidrogeno hace posible que

78

exista una emision lo suficientemente intensa para que sea detectable.Por su longitud de onda, esta radiacion cae en el rango de ondas de radio. Para

detectarlas se necesitan antenas de tamano apropiado, tales como las comercialesque se usan para la recepcion de ondas de television por satelite.

5.3.4. El radiotelescopio de UTEP

El arreglo que esta siendo construido en la Universidad de Texas en El Paso, TheVery Small Array, esta compuesto por dos antenas de 10 pies (cf. figura 5.3.4), lascuales tienen un receptor cilındrico de banda L que recibe entre 950 y 1, 550 MHz,pero ajustado para una recepcion optima a 1, 420 MHz; es decir, exactamente a lafrecuencia de emision del hidrogeno.

Figura 5.4: Luis Basurto con una de las dos antenas del The Very SmallArray de UTEP.

Una vez recibida la senal, es filtrada por un espectrometro Spectra Cyber de1, 420 MHz. Debido a la baja intensidad de la radiacion recibida, es necesario usaruna serie de amplificadores de bajo ruido con una ganancia de 28 dB a 1, 420MHz. Estos amplificadores se instalan en los cables coaxiales de transmision entrelas antenas y el espectrometro a distancias de 50 pies entre cada amplificador.Antes de entrar al espectrometro, las senales de las dos antenas se combinan en


fase con un mezclador electronico. Las figuras 5.3.4 y 5.3.4 muestran los elementosprincipales de este arreglo, ası como su interconexion.

Figura 5.5: Diagrama de conexiones del radiotelescopio.

A diferencia de los telescopios opticos, este radiotelescopio no se apunta sobreuna fuente en particular, sino que se fija a cierto angulo sobre el horizonte y se usapara hacer observaciones sobre un intervalo de tiempo. De esta manera, al girar latierra es posible capturar radiacion proveniente de una banda de aproximadamente5o de todo el universo (figura 5.3.4). Debido a limitaciones mecanicas, las antenaspueden ser fijadas entre 32o sobre el horizonte del norte hasta 13o sobre el horizontedel sur. Mapas completos de estas partes de los hemisferios norte y sur pueden serobtenidos aproximadamente en un mes si se aumenta el angulo 5o cada dıa.

5.3.5. Obtencion de datos

El telescopio opera en incrementos de 24 horas. La senal electrica recibida delespectrometro es descompuesta en frecuencias alrededor de la banda de 1, 420MHz ±600 kHz cada 90 segundos. En cada rastreo se determina la intensidadde frecuencias entre 1, 420 MHz ±600 kHz a intervalos de 5 kHz; esto produce600× 2/5 = 240 datos cada minuto y medio. Puesto que el proceso se repite cada90 segundos, se obtienen 960 mediciones con 240 datos cada una (cabe recordarque los radio telescopios funcionan las 24 horas del dıa).

Con los datos digitales, el analisis consiste en calcular los valores maximos ymınimos, promedios, desviaciones estandar y diferencias promedio. La representa-

80

Figura 5.6: Camino recorrido por la senal.

cion visual de estos datos es por medio de graficas de frecuencia de la senal recibidaversus el tiempo de recepcion. Para esta representacion grafica se usa un codigo decolores que indica la intensidad de las senales recibidas: con el negro, la intensidadmenor y seguido por el azul, verde, cyan, rojo, magenta, amarillo y blanco, en eseorden. Comunmente las senales caen en el rango de negro a rojo. Un ejemplo deesto se ilustra en la figura 5.3.5.

Como se ilustra en la figura 5.3.5, otra forma de presentar los datos consiste engraficar la diferencia respecto a la frecuencia promedio en funcion del tiempo. Deesta manera, se sabe que frecuencias con corrimiento hacia el rojo (i.e. menoresque 1, 420 MHz) provienen de fuentes que se alejan del centro de la Vıa Lactea,que es la que establece el promedio, mientras que frecuencias mayores al promedioprovienen de fuentes que se mueven hacia el centro de la galaxia.

5.3.6. Conclusiones

El arreglo de dos platos receptores de ondas de radio de la UTEP es capaz dedetectar las ondas producidas por hidrogeno intergalactico de λ = 21 cm. Haciendomapeos continuos de un mes de duracion es posible construir mapas de la VıaLactea ası como detectar el movimiento de fuentes respecto al centro de la galaxia.Dado que el arreglo consiste simplemente de dos discos, un espectrometro, varios


Figura 5.7: Ejemplo del area de observacion del radio telescopio.

amplificadores, algunos metros de cable coaxial, y una computadora, su costo esmenor a $5, 000 USD, lo que lo hace un proyecto excelente para estudiantes delicenciatura de fısica.

5.3.7. Agradecimientos

Jorge A. Lopez Gallardo agradece la hospitalidad de la Universidad de Colima.

82

Figura 5.8: Ejemplo de presentacion de resultados.

Figura 5.9: Segundo tipo de presentacion de resultados.


5.4. Doblamiento de proteınas: Un proyecto in-terdisciplinario

Christoph Hofmann1




A menudo, cuando queremos resolver problemas cientıficos, resulta que el pro-blema es muy complejo. Para resolverlo necesitamos los conocimientos de variasareas o disciplinas de las ciencias naturales, entonces, se trata de un problemainterdisciplinario. En este artıculo quiero hablar sobre un proyecto que verdade-ramente es interdisciplinario ya que involucra tanto la quımica, la fısica teorica,como la biologıa y la medicina: se trata del doblamiento de proteınas.

Como introduccion voy a platicar de la bioquımica y la biofısica de proteınas.Las proteınas son polımeros, es decir, moleculas muy largas que son compues-tos de moleculas mas pequenas: esos componentes se llaman aminoacidos. En losorganismos biologicos se encuantran veinte aminoacidos diferentes.

La secuencia de los aminoacidos en una proteına representa la estructura pri-maria. Existen varias estructuras mas complejas, porque la cadena de proteına, laestructura primaria, se puede doblar. Por ejemplo, en la naturaleza se observandos estructuras diferentes que se refieren a la estructura secundaria: el α-helix yel β-sheet. Ademas, en las proteınas que encontramos en una celula biologica, porejemplo en la hemoglobina de la celula roja de la sangre, hay tantas partes helicalescomo partes β-sheet; a esa estructura complicada se le llama estructura tercera.

Sorprendentemente, la estructura tercera –es decir, la estructura biologica yactiva de las proteınas– tiene una estructura muy bien definida: cada proteınatiene su forma tri-dimensional unica y caracterıstica: un cambio de un aminoacidosolo puede modificar la estructura de la proteına de manera que la proteına va aser inactiva, su funcion biologica va a ser destruida.

Preguntas esenciales sobre el doblamiento de proteınas son las siguientes: ¿Comola proteına puede encontrar su estructura final, es decir, su estructura unica para suactividad biologica? ¿Es posible pronosticar su estructura biologica si conocemosla secuencia de los aminoacidos?

Un experimento bioquımico sobre la naturaleza del doblamiento fue el de Chris-tian Anfinson, hecho con la proteına ribonuclease que se compone de 124 aminoaci-dos. En ese experimento Anfinson mostro que la estructura primaria, es decir, lasecuencia de los aminoacidos, es suficiente para determinar la estructura biologicade la proteına.

¿Pero como lo hace la proteına? ¿Cuales son las fuerzas y las interacciones in-tramoleculares en la proteına responsables del doblamiento, para que la proteına

[email protected]

84

encuentre su estructura final? Ademas, si conocemos el mecanismo del doblamien-to, ¿serıa posible que podamos crear o disenar proteınas con estructuras nuevas ymuy particulares?

Resulta que la resolucion de esos problemas no es nada trivial, de hecho todaviano hay soluciones completas o definitivas.

En lo que concierne al mecanismo del doblamiento de proteınas, un concep-to importante es la frustracion mınima del paisaje de la energıa libre (minimalfrustration of the free energy landscape). ¿Que quiere decir eso?

Un punto que es cierto es que la proteına no encuentra su estructura finalprobando y probando varias estructuras –una tras otra– hasta que encuentra, porcasualidad, su estructura final. Como he expuesto en la platica, una proteına concien aminoacidos necesitarıa alrededor de 1090 segundos para encontrar su formabiologica, es decir, muchısimo mas tiempo que la edad del universo.

Entonces, la proteına mas bien encuentra su estructura unica y biologica deotra manera. La idea es que la evolucion bioquımica ha seleccionado secuenciasmuy particulares de proteınas, que son muy eficaces en lo que concierne al dobla-miento. Estas secuencias particulares (minimal folders) se encuentran en todas lasproteınas: en plantas, animales y humanos, y gracias a ellas el doblamiento pasamuy rapido, alrededor de unos milisegundos en la celula biologica.

Para describir el proceso del doblamiento se necesita un metodo universal quese usa en varias areas de las ciencias: el metodo variacional. Pero como las pro-teınas son sistemas muy complejos, la descripcion teorica de proteınas es bastantecomplicada.

Un concepto central en esa teorıa para describir las interacciones diferentesen la proteına es el concepto del Hamiltoniano. Ese concepto es universal y seusa en varias partes de la fısica, tanto en la teorıa de las partıculas elementalescomo en la teorıa de la materia condensada. Por eso, la resolucion del problema deldoblamiento de proteınas tiene analogıas con otros problemas de la fısica y metodosque ya existen, por ejemplo en la teorıa de ferromagnetos y antiferromagnetos, esosmetodos ahorita se pueden aplicar a la teorıa de proteınas.

Sin embargo, las proteınas son sistemas tan complejos que no se puede resolverel problema del doblamiento de manera analıtica y se necesita una computadorapara hacerlo de manera numerica.

Unos resultados tıpicos del metodo que estoy usando se refieren a la emergenciadel orden en las proteınas: ¿Cuales son las partes en la proteına que se formanprimero y cuales son las partes que se forman mas tarde en el proceso del do-blamientio? ¿Existen varios caminos para llegar a la estructura biologica de laproteına o hay un camino unico? ¿Cuales son las estructuras de la proteına entrela estructura no-doblada y la estructura final?

Una razon para el estudio de esos problemas se refiere a la complejidad de lossistemas: es un reto muy difıcil de resolver, un problema complejo. Ademas, apartede esa pregunta fundamental, hay varias aplicaciones importantes, por ejemploen medicina: el tratamiento de enfermedades. Existen varias enfermedades queson causadas por proteınas mal dobladas, proteınas que no se encuentran en su


estructura normal. Por ejemplo la enfermadad de la vaca loca es causada porproteınas mal-dobladas. Entonces, ¿Por que esas proteınas no pueden encontrarsu estructura biologica? ¿Por que no se forma la estructura normal? Ademas,si conocieramos la causa, ¿serıa posible tratar esas enfermedades? ¿Serıa posiblecurarlas en el nivel molecular?

Personalmente, el doblamiento de proteınas me fascina por tratarse de un pro-yecto interdisciplinario. Primero, la pregunta del doblamiento es un problema dela bioquımica: la quımica en los organismos biologicos, y para resolverlo se ne-cesitan metodos y conceptos de la fısica teorica y de las matematicas y para laresolucion numerica se necesita la computadora y el diseno de programas. Ademas,el conocimiento del doblamiento de proteınas tiene aplicaciones muy importantesen la medicina. Esperamos que en el futuro el mecanismo biomolecular de unasenfermedades se pueda entender y la enfermedad curar.

Capıtulo 6

Platicas de Matematicas

87


6.1. Calculando el termino n de la Sucesion deFibonacci

Oscar H. Estrada Estrada1

Department of Mathematics, University of Texas at El Paso

El Paso, TX 79960, USA

6.1.1. Introduccion

Siempre que se menciona la Sucesion de Fibonacci se habla sobre muchas de suspropiedades u ocurrencias en la naturaleza, pero pocas veces se responde a unapregunta que podrıa surgir de manera natural al momento de ver la definicion:¿Se puede calcular el valor del n-esimo termino de la sucesion de Fibonacci sinconocer el valor de los dos anteriores? o dicho de otra forma, ¿existira algunaformula que nos permita calcular el n-esimo termino de la sucecion de maneradirecta, sin calcular los terminos anteriores? En esta breve platica responderemosa esto utilizando metodos del algebra lineal y del algebra matricial.

6.1.2. Leonardo de Pisa

Yo no voy a hablar sobre la vida de Fibonacci porque sufuciente se ha escritosobre el. Lo unico que les dire sobre su vida personal sera que su verdadero nombreera Leonardo de Pisa.

El dia de hoy les voy a hablar sobre la llamada Sucesion de Fibonacci, perono mencionare nada sobre las multiples ocurrencias en la naturaleza. El dia dehoy tratare de responder a una pregunta mas interesante desde el punto de vistacomputacional.

Primero, ¿que demonios es una sucesion? Dicho de manera muy informal, unasucesion es una secuencia infinta ordenada de numeros que se rigen por cier-tas reglas. Una sucesion queda completamente determinada cuando se indica deque manera obtener cada termino de esta. Por ejemplo, 1,4,9,16,25,. . . ,n2, . . . esuna sucesion. Algunos otros ejemplos de sucesiones son:

1, 3, 5, 7, . . . , 2n− 1, . . . ,

1, 2, 3, 4, . . . , n, . . . ,

1,1

2,1

3,1

4, . . . ,

1

n, . . . ,

1, 1, 3, 7, 17, . . . , 2an−1 + an−2, . . . . (6.1)

La sucesion de Fibonacci esta definida por:

f0 = 1, f1 = 1, f2 = 2, f3 = 3, f4 = 5, f5 = 8, f6 = 13, . . . , fn = fn−1 + fn−2, . . .(6.2)

[email protected]

90

Ahora bien, al ver la definicion (6.2) y los ejemplos anteriores, es natural pre-guntarse si hay alguna otra manera de calcular el termino general de esta sucesionsin necesidad de calcular terminos anteriores. La respuesta a esta pregunta, paranuestra fortuna, es afirmativa.

Antes de comenzar a resolver nuestro problema, debo mostrarles las herra-mientas que seran necesarias para lograr nuestro fin. Estudiaremos el concepto dematriz.

Una matriz A de m×n, denotada por A = (aij)m×n, es simplemente un arreglode numeros dispuestos en m renglones y n columnas. Donde aij representa elnumero que se encuentra en el renglon i y columna j. Asi, por ejemplo, una matriz

de 3 × 2 se escribe A =

1 34 56 1

, y a22 = 5. Una matriz de 2 × 2 se escribe

B =

(

2 42 1

)

, y b11 = 2. Una matriz de 2 × 1 se escribe C =

(

32

)

y c21 = 2.

Una vez definidas las matrices, el siguiente paso es establecer algunas relacionesentre ellas. Para esto definiremos algunas operaciones de manera analoga a laforma en que se hace con los numeros reales.

Definicion 6.1.1. Sean A = (aij)m×n, B = (bij)m×n, C = (cij)n×p y λ ∈ R.Definimos componente a componente

i) La matriz suma (A + B)ij = aij + bij

ii) La matriz producto (AC)ij =∑n

k=1 aikckj

iii) El producto por un escalar (λA)ij = λaij .

Para dejar claras estas definiciones veamos algunos ejemplos. Sean

A =

(

2 11 3

)

, B =

(

3 11 2

)

, T =

(

35 − 1

5− 1

525

)

,

I =

(

1 00 1

)

, D =

(

3 00 2

)

, E =

(

12

)

,

F =

(

1 4 13 2 0

)

, G =

( 21+

√5

1

)

, λ =5 +

√5

2.

Ası,

A + B =

(

2 11 3

)

+

(

3 11 2

)

=

(

5 22 5

)

AB =

(

2 11 3

)(

3 11 2

)

=

(

23 + 11 21 + 1213 + 31 11 + 32

)

=

(

7 46 7

)

AF =

(

2 11 3

)(

1 4 13 2 0

)

=

(

21 + 13 24 + 12 21 + 1011 + 33 14 + 32 11 + 30

)

=

(

5 10 210 10 1

)

.


Y de manera analoga obtenemos,

AT =

(

2 11 3

)(

35 − 1

5− 1

525

)

=

(

1 00 1

)

BA =

(

3 11 2

)(

2 11 3

)

=

(

7 64 7

)

BI =

(

3 11 2

)(

1 00 1

)

=

(

3 11 2

)

IB =

(

1 00 1

)(

3 11 2

)

=

(

3 11 2

)

D2 = DD =

(

3 00 2

)(

3 00 2

)

=

(

32 00 22

)

AG =

(

2 11 3

)( 2√5+1

1

)

=

(

5+√

51+

√5

5+3√

51+

√5

)

λG =5 +

√5

2

( 21+

√5

1

)

=

(

5+√

51+

√5

5+√

52

)

.

En los ejemplos anteriores se pueden observar algunas cosas interesantes. Por ejem-plo, observen el resultado del producto AB y BA; Note que a pesar de que lasmatrices que se utilizan en la multiplacion son las mismas, el producto es distinto.Esto se debe a que en general, la multiplicacion de matrices no es conmutativa, estoes, no se puede intercambiar el orden en que se multiplican las matrices porque(casi siempre) el producto sera distinto.

Observe el producto de A y T . ¿Que pasa ahora si multiplicamos TA ?

TA =

(

35 − 1

5− 1

525

)(

2 11 3

)

=

(

1 00 1

)

.

Observamos que en este caso AT = TA = I . En este caso decimos que T es lamatriz inversa de A, y escribimos T = A−1. Asi tenemos que AA−1 = A−1A = I .I se llama la matriz identidad (ya que tiene la propiedad de que AI = IA = A,para toda matriz A).

Observemos ahora el producto de AG y λG. ¿Que pueden decirme sobre el? Lesdare un poco de ayuda; notese que

5 + 3√

5

1 +√

5=

5 + 3√

5

1 +√

5

1 −√

5

1 −√

5=

5 − 5√

5 + 3√

5 − 15

−4=

5 +√

5

2

¿Y ahora. . .? ¿que me pueden decir? Correcto, AG = λG. Parece como si, almultiplicar A por G, se pudiera intercambiar la matriz A por una constante. Estasituacion curiosa no es una coincidencia y tiene consecuencias importantes en lamatematica.

92

Definicion 6.1.2. Decimos que λ es un eigenvalor o valor propio de la matrız A,si Ax = λx para algun x (x es una matriz de 2× 1 o vector columna). El vector xse llama el eigenvector asociado al eigenvalor λ.

Ahora bien, ¿como se encuentran λ y x . . .?

Facil, si A =

(

a bc d

)

, entonces λ es la solucion a la ecuacion λ2 − (a + b)λ +

(ad − cb) = 0 y x es la solucion a la ecuacion matricial (A − λI)x = 0, donde

I =

(

1 00 1

)

.

Volviendo a las operaciones con matrices, considere la matriz de 2 × 2 A =(

1 12 1

)

. ¿Cual es el valor de A2. . .? ¿el de A3?,. . . ¿y en general el de An?

En general, la potencia de una matriz es dificil de calcular. Pero afortunada-mente nos podemos valer de un pequeno truco. ¿Que pasarıa si la matriz A sepudiera expresar como A = PDP−1? en donde D es una matriz diagonal (i.e.,tiene ceros en todas sus entradas excepto posiblemente en la diagonal principal).Tratemos de calcular algunas potencias de A:

A2 = AA = PDP−1PDP−1 = PDIDP−1 = PD2P−1

A3 = A2A = PD2P−1PDP−1 = PD2IDP−1 = PD3P−1

A4 = A3A = PD3P−1PDP−1 = PD3IDP−1 = PD4P−1 .

De aqui es facil intuir que An = PDnP−1. Ahora, podemos preguntarnos sise ha simplificado el problema. La pregunta se responde de manera afirmativao negativa dependiendo de quien sea la matriz D. Si D es una matriz diagonal,

entonces el problema se simplifica ya que si, por ejemplo, D =

(

a 00 b

)

, entonces

Dn =

(

an 00 bn

)

.

Entonces, el problema de encontrar An se reduce al problema de encontrar tresmatrices P, D y P−1 de manera que D sea una matriz diagonal y que PP−1 = I .¿Cuando es posible hacer esto?

Para nuestra fortuna, existe un teoreoma que no solo nos dice en que casos esposible encontrar dichas matrices, sino que ademas nos dice como encontrarlas.

Teorema 6.1.3. Sea A una matriz n × n. Si A tiene n eigenvalores distintos decero y distintos entre sı, entonces A puede expresarse como A = PDP −1, dondeD es la matriz diagonal con los eigenvalores de A en las entradas diagonales, yP es la matriz cuyas columnas son los respectivos eigenvectores asociados a loseigenvalores de A.

¡Muy bien! ya casi somos todos unos expertos en la teorıa de matrices y eigenva-lores, pero creo que nos estamos olvidando un poco de nuestro problema original:¿Como calculo el n-esimo termino de la sucesion de Fibonacci sin conocer los dos


anteriores? Bueno, la respuesta sera clara al considerar las potencias de la matriz

A =

(

1 11 0

)

.

Veamos,

A2 =

(

1 11 0

)(

1 11 0

)

=

(

2 11 1

)

A3 = A2A =

(

2 11 1

)(

1 11 0

)

=

(

3 22 1

)

A4 = A3A =

(

3 22 1

)(

1 11 0

)

=

(

5 33 2

)

A5 = A4A =

(

5 33 2

)(

1 11 0

)

=

(

8 55 3

)

.

¿Pueden ver la relacion con la sucesion de Fibonacci?Correcto, se puede ver que:

An =

(

fn fn−1

fn−1 fn−2

)

. (6.3)

Ası, nuestro problema quedarıa resuelto si pudieramos calcular la matriz An. Es-to nos regresa al teorema previamente enunciado. Veamos si se cumple la hipotesisdel teorema. Para esto calculemos los eigenvalores de A.

Como sabemos, los eigenvalores de A son las soluciones a la ecuacion λ2−λ−1 =

0, esto es, λ1 = 1+√

52 y λ2 = 1−

√5

2 . Vemos que, como podiamos esperar, lahipotesis del teorema se satisface. Asi que, la matriz A si se puede expresar conel producto de tres matrices especiales. Siguiendo con el teorema, tenemos que

D =

(

1+√

52 0

0 1−√

52

)

.

Ahora, calculemos la matriz P . De acuerdo con el teorema, para poder saberquien es P , debemos saber quienes son los eigenvectores asociados a los eigenvaloresde A. Como ya habiamos mencionado, los eigenvectores asociados al eigevalor λ1,son las soluciones a la ecuacion matricial (A− λ1I)x = 0 que en nuestro caso, sonlas soluciones a

(

1 − 1+√

52 1

1 − 1+√

52

)

(

x1

x2

)

= 0, donde x =

(

x1

x2

)

O escrito como sistema de ecuaciones,

1 −√

5

2x1 + x2 = 0 (6.4)

x1 −1 +

√5

2x2 = 0 (6.5)

94

De donde, despejando x1 de la ecuacion (6.5) y sustituyendo en la ecuacion(6.4) obtenemos que 0x2 = 0, es decir, x2 puede tomar cualquier valor en losnumeros reales. Por lo tanto, uno de los eigenvectores asociados al eigenvalor λ1

es x1 =

( − 21−

√5

1

)

. De manera analoga, obtenemos que un eigenvector asociado

al eigenvalor λ2 es x2 =

( − 21+

√5

1

)

.

Ası, la matriz P que necesitamos para resolver nuestro problema es

P =

( − 21−

√5

− 21+

√5

1 1

)

. (6.6)

Ahora solo nos falta encontrar la inversa de P , es decir P−1. ¿Como podemosencontrar la inversa de una matriz de 2 × 2? Por fortuna, tenemos una formulaque nos permite calcular de manera directa dicha inversa. Si

A =

(

a bc d

)

→ A−1 =1

ad − cb

(

d −b−c a

)

. (6.7)

Ası, en nuestro caso tenemos que

P−1 =

(

1√5

5−√

510

− 1√5

5+√

510

)

. (6.8)

Segun nuestro teorema, podemos expresar a A como:

A = PDP−1 , (6.9)

y por fin, nuestro problema esta resuelto ya que solo tenemos que encontrar elproducto An = PDnP−1 y mirar a la primer componente de la matriz resultante,la cual sera el valor deseado.

An = PDnP−1

=

( −21−

√5

−21+

√5

1 1

)

(

1+√

52 0

0 1−√

52

)n( 1√5

5−√

510

− 1√5

5+√

510

)

=

( −21−

√5

−21+

√5

1 1

)

(

( 1+√

52 )n 0

0 ( 1−√

52 )n

)(

1√5

5−√

510

− 1√5

5+√

510

)

=

(

( 1+√

52

)n+1−( 1−√

52

)n+1

√5

No nos importa

No nos importa No nos importa

)

, (6.10)

... ası, obtenemos que

fn =( 1+

√5

2 )n+1 − ( 1−√

52 )n+1

√5

. (6.11)


Como comentario final, quiero mencionar que la tecnica empleada aquı no solose puede aplicar a este problema o a problemas similares (como por ejemplo,encontrar el n-esimo termino de la sucesion definida por gn = gn−1 + 2gn−2). Enalgunas aplicaciones a problemas de la vida real es util encontrar la potencia deuna matriz, por ejemplo: en el caso de la dinamica de poblaciones, la teoria degrafos o ecuaciones diferenciales.

96

6.2. La Conjetura de Poincare

Andres Pedroza1




En el ano de 1904, el celebre matematico frances Henri Poincare, intento carac-terizar la esfera de dimension tres, por medio de lazos. Esta caracterizacion se leconoce como la Conjetura de Poincare. Desde entonces, un sinnumero de brillan-tes matematicos han intentado resolver esta conjetura, pero han fracasado. Granavance se ha hecho desde entonces en entender estos objetos tridimensionales, pe-ro aun no se ha logrado resolver la conjetura. El ano pasado, el matematico rusoGregory Perlman sacudio a la comunidad matematica internacional por sus avan-ces en resolver la conjetura de Poincare. En esta nota explicaremos brevemente elcontenido de esta conjetura.

Empecemos estudiando la esfera. La esfera posee una caracterıstica muy pe-culiar: en cualquier punto de la esfera existe una vecindad muy pequena tal queesta vecindad se parece al plano. Si pensamos en la Tierra como una esfera, estapeculiaridad la notamos en nuestro andar cotidiano.

Nos interesa estudiar los objetos geometricos que satisfacen esta caracterıstica.Diremos que X es una variedad topologica de dimension n, si para cada punto de Xexiste una vecindad de puntos que se parece al espacio Euclideano de dimension n–por ejemplo, la recta y el cırculo son variedades topologicas de dimension uno– Elplano, la esfera y la elipsoide son ejemplos de varidades topologicas de dimensiondos. De ahora en adelante nos referiremos a una variedad topologica por variedad.

(a) (b)

Figura 6.1: Deformacion de un lazo en un punto: posible en el caso (a),no posible en el caso (b).

[email protected]


En nuestro estudio de variedades es necesario relajar el concepto de cuando dosvariedades son iguales. Diremos que dos variedades X y Y son iguales si es posibledeformar X por medio de transformaciones que manden puntos cercanos a puntoscercanos en Y y viceversa. Bajo este nuevo concepto, se tiene que la esfera es iguala la elipsoide. Mas aun, la esfera, el cubo y el tetraedro son iguales.

Consideremos una variedad X y llamemos α a un lazo en X . Deseamos sabercuando se puede deformar el lazo α, dentro de la variedad en un punto. Por ejemplo,si X es el plano, todo lazo se pude deformar en un punto (vease el caso (a) en lafigura 6.2). En cambio, si la variedad es el plano menos el origen y β es un lazoque encierra al origen, entonces β no se pude deformar en un punto (vease el caso(b) en la figura 6.2).

Definicion. Una variedad topologica X es simplemente conexa si todo lazo en Xse puede contraer en un punto.

Este sencillo analisis geometrico tiene enormes consecuencias en distinguir va-riedades; es un invariante topologico. Esto es, si dos variedades X y Y son igualesy X es simplemente conexa, entonces Y es simplemente conexa. De aquı se sigueque si X es simplemete conexa y Y no es simplemente conexa, entonces X no esigual a Y .

La recta, el plano y la esfera son ejemplos de variedades simplemente conexas.El plano menos el origen no es simplemente conexo. Otro ejemplo de una variedadque no es simplemente conexa es el toro. El toro es la superficie de una dona.Como se muestra en la figura 6.2, los lazos α y β en el toro no se pueden contraeren un punto.

Figura 6.2: Lazos en un toro.

Uno de los objetivos del estudio de las variedades es clasificarlas. Por ejemplo,el cırculo es la unica variedad compacta de dimension uno. Bajo ciertas condicio-nes mınimas, una variedad de dimension dos corresponde a una de las siguientes:la esfera, el toro, la superficie con dos perforaciones (como se muestra en la figu-ra 6.2) y ası sucesivamente. Esto es, una variedad de dimension dos esta totalmentecaracterizada por el numero de perforaciones que tiene.

Notemos que de esta lista, unicamente la esfera es simplemente conexa. El restode las variedades tiene al menos un lazo que no se puede contraer en un punto.

98

Figura 6.3: Efera, toro, superficie con dos perforaciones, etcetera.

La Conjetura de Poincare trata sobre la esfera de dimension tres. Si bien, esdifıcil imaginar la esfera de dimension tres, es posible describirla analıticamente.Recordemos que de manera analıtica la esfera se puede describir como el conjuntode puntos (x, y, z), en el espacio Euclideano de dimension tres, que satisfacenla ecuacion x2 + y2 + z2 = 1. De igual manera, la esfera de dimension tres sepuede describir como el conjunto de puntos (x, y, z, w) en el espacio Euclideanode dimension cuatro que satisfacen la ecuacion x2 + y2 + z2 + w2 = 1. La esferade dimension tres es una variedad de dimension tres y, al igual que la esfera, essimplemente conexa.

De la clasificacion de las variedades de dimension dos, se tiene que la esfera esla unica de la lista que es simplemente conexa. Ahora bien, es posible caracterizara la esfera de dimension tres de esta manera.

Conjetura de Poincare. Sea X una variedad topologica de dimension tres, com-pacta y simplemente conexa. ¿Es X igual a la esfera de dimension tres?


6.3. Dimension rima con medicion

Ricardo A. Saenz 1




¿Como sabemos la dimension del espacio donde vivimos? Tenemos la idea deque el espacio donde existimos tienes tres dimensiones, a las que denominamoscomunmente largo, ancho y altura. Estas tres dimensiones representan, de ciertaforma, las direcciones en que nos podemos mover en el espacio: tres.

De la misma forma, podemos establecer que la dimension de una recta, porejemplo, es uno, ya que solo nos podemos mover en una direccion a traves de ella(aunque en dos sentidos, desde luego). Vease, por ejemplo, la figura 6.3.

Figura 6.4: En una recta, uno se puede mover en una sola direccion,aunque en dos sentidos.

De la misma forma, vemos que un cuadrado en el plano tiene dos dimensio-nes, ya que nos podemos mover a traves de el en dos direcciones, y en cualquiercombinacion de ellas (figura 6.5.).

Figura 6.5: En un cuadrado, es posible moverse en dos direcciones.

Sin embargo, esta forma de contar las dimensiones de un objeto es poco pre-cisa, y nos puede dar problemas si el objeto a estudiar es mas complicado, comouna curva o una superficie arrugada en el espacio. Existe una forma de definir la

[email protected]

100

dimension de un objeto, y es a traves de medirlo. Aquı discutiremos como se llevaa cabo esto.

Empecemos con el siguiente ejemplo: ¿como calculamos la longitud de un seg-mento de recta? Lo primero que tenemos que hacer es establecer una unidad delongitud, y luego comparamos esta unidad con el segmento que se desea medir,como en la figura 6.3. Es posible que la comparacion no sea exacta, es decir, que la

1

1 1

1/2

1/2 1/2 1/2

1/8

1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

l ~ 2

l ~ 3/2

l ~ 11/8

Figura 6.6: La longitud de un segmento se mide aproximadamente com-parando una unidad con el segmento a ser medido. Mejores aproxima-ciones se obtienen al usar reglas mas pequenas.

longitud del segmento no corresponda a un numero entero de veces la longitud dela unidad, por lo que solo obtendremos una aproximacıon a la longitud; sin embar-go, podemos obtener mejores aproximaciones si utilizamos reglas mas pequenas.En fin, de seguir ası, decimos que la longitud es la aproximacion que obtenemosen el lımite cuando la longitud de la unidad utilizada tiende a cero, es decir

l = lımε→0

εN(ε), (6.1)

donde ε es la longitud de la unidad utilizada, y N(ε) es el numero de unidad quetenemos que utilizar para cubrir el segmento que se desea medir.

De manera similar, el area de un cırculo, por ejemplo, se calcula aproximandolacon una unidad de area, que en esta ocasion correspondera a un cuadrado dado,como en la figura 6.3. Si el cuadrado tiene lado ε, entonces su area esta dada porε2, y por lo tanto, si, como antes, N(ε) es el numero de cuadrados que se necesitanpara cubrir el cırculo, entonces su area estara aproximada por ε2 × N(ε). Ası, su


εε

Figura 6.7: El area de una region en el plano se aproxima al compararuna unidad dada, en este caso un cuadrado de lado ε, con la region amedir. La aproximacion es entonces ∼ ε2N(ε).

area se define como el lımite que se obtiene al utilizar cuadrados cada vez maspequenos, es decir,

A = lımε→0

ε2N(ε). (6.2)

La unica diferencia entre las ecuaciones (6.1) y (6.2) es el exponente con el queaparece ε, es decir, el exponente que calcula la medida de la unidad utilizada. En laprimera, el exponente es uno, mientras que en la segunda es dos. Decimos entoncesque la dimension del segmento de recta es uno, y la dimension del cırculo es dos.Podemos ahora dar una definicion precisa del termino dimension. Por simplicidad,nos restringiremos a objetos en el plano.

Definicion. Decimos que un objeto en el plano tiene medida positiva si existe unnumero n tal que el lımite

lım εnN(ε) (6.3)

existe y es un numero positivo. N(ε) denota el numero de cuadrados que se re-quieren para cubrir el objeto a ser medido. El numero n es llamado la dimensiondel objeto.

Hasta ahora hemos visto ejemplos de objetos con dimension 1 y 2. ¿Existenotras posibilidades? Es facil ver que el caso n = 0 se obtiene en el caso de que elobjeto es un punto (N(ε) = 1 para cualquier ε > 0). Consideremos el siguienteejemplo.

102

La curva de Koch es un objeto construıdo de la siguiente forma: Dividimos unsegmento dado en tres partes iguales y remplezamos el segmento central por dossegmentos de la misma longitud, formando dos lados de un triangulo equilatero,como en la figura 6.3. Realizamos la misma operacion con cada unos de los cuatro

Figura 6.8: Las primeras tres iteraciones en la construccion de la curvade Koch.

nuevos segmentos, y continuamos de esa manera. En el lımite, obtenemos un objetoque se asemeja a una curva, aunque con un numero infinito de picos. ¿Cual es ladimension de este objeto?

Nuestra intuicion nos dice que su dimension debe ser uno. Sin embargo, alintentar calcular el lımite: lımε→0 εN(ε), tenemos que dicho lımite no existe; dehecho, εN(ε) tiende a infinito, lo cual siginificarıa que la curva de Koch tiene unalongitud infinita. Esto se puede ver tomando ε = 1/3, 1/9, . . . , 3−k, . . ., ya que,para dichos valores de ε, N(3−k) = 4k, y (4/3)k → ∞ cuando k → ∞ (es decir,ε → 0).

La solucion es permitir que la dimension n de la formula (6.3) tome valores nonecesariamente enteros. En el caso de la curva de Koch, si tomamos

n =log 4

log 3,

entonces tenemos que, si ε = 3−k,

εn · N(ε) = 3−klog 4

log 3 · 4k = 1,


y no es muy difıcil demostrar que, de hecho,

lımε→0

εlog 4log 3 N(ε) = 1.

Por lo tanto, concluımos que la dimension de la curva de Koch no es un numeroentero, sino que es

log 4

log 3≈ 1·2619.

Podemos encontrar otros ejemplos de objetos con dimension fraccionaria. Di-chos objetos son conocidos como fractales, termino acunado por el matematicopolaco Benoit Mandelbrot en los anos setenta. El termino fractal proviene de frac-cionario o quebrado, y se refiere tanto a la forma aparente de los objetos como asu dimension.

Veamos otros ejemplos. Iniciemos con el conjunto de Cantor, construıdo de lasiguiente forma: empezamos con el intervalo cerrado [0, 1], y le sustraemos en terciocentral, es decir, el intervalo (1/3, 2/3). De tal forma, obtenemos el conjunto unionde los intervalos [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. De nuevo, sustraemos el tercio central de cadauno de estos intervalos, y ası sucesivamente (vease figura 6.3.).

0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1

Figura 6.9: La construccion del conjunto de Cantor hasta la quintaiteracion.

El conjunto de Cantor tiene dimension (log 2)/(log 3) ≈ 0·6309, lo cual se puedever tomando ε = 3−k y observando que para dichos ε tenemos

N(3−k) = 2k.

Otro ejemplo de un conjunto fractal es el triangulo de Sierpinski. Este se cons-truye de la siguiente forma: Empezamos con un triangulo equilatero en el plano,lo dividimos en cuatro triangulos iguales bisecando cada uno de sus lados, y sus-traemos el triangulo central. Realizamos la misma operacion en cada uno de lostres triangulos restantes, y ası sucesivamente (vease figura 6.3.).

Lo que obtenemos es un triangulo sin area, es decir,

lımε→0

ε2N(ε) = 0.

Esto se debe a que, por ejemplo, si tomamos ε = 2−k, entonces N(ε) = 3k, y4−k ·3k → 0 cuando k → ∞. Sin embargo, si tomamos n = (log 3)/(log 2), entonces

εlog 3

log 2 N(ε) = 1.

104

Figura 6.10: Las primeras iteraciones en la construccion del triangulode Sierpinski.

Por lo tanto, la dimension del triangulo de Sierpinski es

(log 3)/(log 2) ≈ 1·585.

En conclusion, el concepto de dimension como el numero de direcciones libresque posee un objeto es incompleto. Sin embargo, al definir la medida por medio dela ecuacion (6.3), esta nos lleva de manera natural a un concepto de dimension masgeneral, que ademas permite la existencia de objetos con dimensiones fraccionarias,llamados fractales.


6.4. Modelos poblacionales

Christopher M. Kribs Zaleta 1

Department of Mathematics, University of Texas at Arlington

Arlington, TX. US.

y

Cynthia Hixahuary Sanchez Tapia 2


Av. Bernal Dıaz del Castillo # 340

Colima, Col., Mexico. C.P. 28045

6.4.1. Introduccion

Teorıa determinıstica: Los modelos determinısticos de poblacion existen endos formas:

Usando una variable de tiempo y una escala de edad continuas (Ecuacionesdiferenciales).

Usando una variable de tiempo y una escala de edad discretas (Ecuacionesen diferencias).

Ambas formas tienen sus ventajas, pero sera la formulacion en tiempo discreto(Ecuaciones en diferencias) la que abordaremos en este artıculo. Desarrollaremosel analisis de tres modelos: El modelo de Thomas Malthus, el modelo logıstico yel modelo de epidemia logıstica.

6.4.2. Modelo Thomas Malthus (1798)

Supon que estas interesado en saber la cantidad de peces que habitan en unalaguna, pero que ademas es importante conocer el numero de peces que habitaranla laguna para el siguiente ano, el modelo de Malthus asegura que “la taza dereproduccion depende del tamano actual de la poblacion”, y lo podemos escribircomo sigue:

Xn+1 = rXn , (6.1)

donde:

Xn+1 es el tamano de la poblacion de peces al tiempo n + 1

r es la constante reproductiva

[email protected]@ucol.mx

106

Desarrollando para las primeras n, veremos que, en general:

Xn = X0rn , (6.2)

donde X0 es la poblacion inicial.De la ecuacion (2) observamos dos cosas importantes:

1. Si |r| > 1 la poblacion crece a infinito. Aunque biologicamente no tengasentido decir que una poblacion crece a menos infinito, este resultado se in-terpretara como que la poblacion crece indefinidamente, al igual que cuandocrece a mas infinito.

2. Si |r| < 1 la poblacion tiende a extinguirse, que serıa el equilibrio trivial delecosistema, el equilibrio sin peces en la laguna.

Despues de dichas observaciones, podemos ver las limitaciones de este modelo,pues en la naturaleza no existen poblaciones donde el numero de individuos va-ya a infinito. El error de este modelo radica en que no considera la variable demortalidad de la poblacion, o la capacidad del medio ambiente para sostener a lapoblacion, entre otras. Es claro que la laguna sera capaz de producir alimento solopara una cierta cantidad de peces, el modelo logıstico considera esta capacidad delecosistema para sostener a una poblacion.

6.4.3. Modelo logıstico

Un simple modelo poblacional en el que el crecimiento per capita es una funciondecreciente del tamano de la poblacion:

Xn+1 = r(1 − Xn

K)Xn , (6.3)

que es menor o igual que la ecuacion 6.1.En la ecuacion 6.3 se consideran positivas o iguales a cero a sus elementos, la

nueva incognita es K que representa la capacidad del ambiente para mantener ala poblacion.

Analizando la ecuacion 6.3 obtenemos que:

1. Si 0 < r < 1 entonces conforme n crece, Xn se aproxima a cero.

2. Si r ≥ 1, entonces podemos considerar lo que llamamos Puntos Fijos (X∞)

Xn+1 = Xn , (6.4)

y obtenemos X∞ = K(1 − 1r) siempre que 1 ≤ r < 3.

¿Que sucede si r > 3? La respuesta es CaosSi por ejemplo tomaramos r = 3·1, K = 1 y X1 = 1/4 y resolvemos para

distintas n, obtenemos los resultados mostrados en los cuadros 6.1 y 6.2.


Cuadro 6.1: Algunos valores de n y Xn para r = 3·1, K = 1 y X1 = 1/4

n Xn n Xn

1 0.250 11 0.7632 0.581 12 0.5613 0.754 13 0.7644 0.574 14 0.5605 0.758 15 0.7646 0.569 16 0.5597 0.760 17 0.7648 0.565 18 0.5599 0.762 19 0.76410 0.562 20 0.558

Cuadro 6.2: Puntos de bifurcacion con perıodo duplicado.

r1 3 perıodo-2r2 3.4495 perıodo-4r3 3.5441 perıodo-8r4 3.5644 perıodo-16r5 3.5487 perıodo-32. . . . . . . . .r∞ 3.569946

Analizando los puntos fijos (equilibrios) de un perıodo duplicado (doubling pe-riod):

Xn+2 = r

(

1 − r(1 − Xn

K)Xn

K

)

(r(1 − Xn

K)Xn) , (6.5)

donde los equilibrios son: X∞ = 0, X∞ = K(1− 1r) o X∞ = K

(r+1)±√

(r+1)(r−3)

2r.

En terminos ecologicos caos significa que una pequena modificacion que alterala poblacion drasticamente (y este cambio puede ser positivo o negativo para lapoblacion). Es decir, la poblacion se vuelve mas diversa pero tambien mas fragil,una poblacion con comportamiento caotico tiene un ciclo de vida mas complejo.

6.4.4. Modelo logıstico de una epidemia

Supon una enfemedad contagiosa que afecta a una poblacion constante, dondeel tamano de la poblacion es N , y esta se divide en susceptibles (S = N − I),

108

individuos sanos que estan en riesgo de contraer la enfermedad e infectados (I),individuos contagiados con dicha enfermedad. Existe una taza per capita de sa-nacion (γ), es decir, personas que estuvieron enfermas y se han recuperado, porultimo una tasa per capita de infeccion (β). El modelo se representa como sigue:

In+1 = (1 − γ)In + βIn(N − In

N) . (6.6)

Haciendo la sustitucion Xn = In

Nen la ecuacion 6.6 obtenemos:

Xn+1 = (1 + β − γ)Xn

(

1 − Xn

1+β−γβ

)

, (6.7)

que es la ecuacion logıstica.Ası que rapidamente podemos deducir que:

β < γ sı y solo si 0 < 1 + β − γ < 1 entonces la enfermedad desaparece(Xn → 0)

γ < β < γ + 2 sı y solo si 1 < 1 + β − γ < 3 entonces Xn → (1 − γβ)

β > γ + 2 sı y solo si 1 + β − γ > 3 entonces las soluciones son del tipocaotico.

El problema de resultados del tipo caotico es que no podemos tener controlada ala enfermedad, pues en este comportamiento el porcentaje de poblacion infectadapuede ser mınimo y hacernos creer que la enfermedad ya esta erradicada, cuandoeso no es verdad. El brote puede ser diverso, es decir, que es difıcil de erradicarloen varios lugares simultaneamente. Cuando decimos que es fragil se puede eradicaren ciertos lugares.

6.4.5. Conclusiones

En cada modelo hay cierta cantidad umbral que cambia de forma cualitativa elcomportamiento del modelo. Este efecto ha sido observado experimentalmente ycorresponde a un fenomeno matematico que se llama: bifurcacion. En el modelo deMalthus y el modelo logıstico la clave es r, mientras que en el modelo de epidemialogıstica es R0 = β

γ, que se interpreta como el numero de reproduccion de la

enfermedad.


6.5. Algoritmos geneticos

Carlos Moises Hernandez Suarez1




6.5.1. Antecedentes

El algoritmo genetico es una tecnica de busqueda basada en la teorıa de laevolucion de Darwin, que ha cobrado tremenda popularidad en todo el mundodurante los ultimos anos. Se presentaran aquı los conceptos basicos que se requierenpara abordarla, ası como unos sencillos ejemplos que permiten comprender comoaplicarla al problema de su eleccion.

En los ultimos anos, la comunidad cientıfica internacional ha mostrado un cre-ciente interes en una nueva tecnica de busqueda basada en la teorıa de la evoluciony que se conoce como el algoritmo genetico. Esta tecnica se basa en los mecanismosde seleccion que utiliza la naturaleza, de acuerdo a los cuales los individuos masaptos de una poblacion son los que sobreviven, al adaptarse mas facilmente a loscambios que se producen en su entorno. Hoy en dıa se sabe que estos cambios seefectuan en los genes de un individuo (unidad basica de codificacion de cada unode los atributos de un ser vivo), y que sus atributos mas deseables (i.e., los que lepermiten adaptarse mejor a su entorno) se transmiten a sus descendientes cuandoeste se reproduce sexualmente.

Un investigador de la Universidad de Michigan llamado John Holland, era cons-ciente de la importancia de la seleccion natural, y a fines de los sesenta desa-rrollo una tecnica que permitio incorporarla a un programa. Su objetivo era lograrque las computadoras aprendieran por sı mismas. A la tecnica que invento Hollandse le llamo originalmente planes reproductivos, pero se hizo popular bajo el nombrealgoritmo genetico tras la publicacion de su libro en 1975.

Una definicion bastante completa de un algoritmo genetico es la propuesta porJohn Koza: “Es un algoritmo matematico altamente paralelo que transforma unconjunto de objetos matematicos individuales con respecto al tiempo, usando ope-raciones modeladas de acuerdo al principio Darwiniano de reproduccion y super-vivencia del mas apto, y tras haberse presentado de forma natural una serie deoperaciones geneticas de entre las que destaca la recombinacion sexual. Cada unode estos objetos matematicos suelen ser una cadena de caracteres (letras o nume-ros) de longitud fija que se ajusta al modelo de las cadenas de cromosomas, y seles asocia con una cierta funcion matematica que refleja su aptitud.”

[email protected]

110

6.5.2. Definicion

Los Algoritmos Geneticos (AG) son metodos adaptativos que pueden usarsepara resolver problemas de busqueda y optimizacion. Estan basados en el procesogenetico de los organismos vivos. A lo largo de las generaciones, las poblacionesevolucionan en la naturaleza de acorde con los principios de la seleccion natural yla supervivencia de los mas fuertes, postulados por Darwin. Por imitacion de esteproceso, los AG son capaces de ir creando soluciones para problemas del mundoreal. La evolucion de dichas soluciones hacia valores optimos del problema dependeen buena medida de una adecuada codificacion de las mismas.

Un algoritmo genetico consiste en una funcion matematica o una rutina desoftware que toma como entradas a los ejemplares y retorna como salidas cualesde ellos deben generar descendencia para la nueva generacion.

Versiones mas complejas de algoritmos geneticos generan un ciclo iterativo quedirectamente toma a la especie (el total de los ejemplares) y crea una nueva genera-cion que reemplaza a la antigua una cantidad de veces determinada por su propiodiseno. Una de sus caracterısticas principales es la de ir perfeccionando su propiaheurıstica en el proceso de ejecucion, por lo que no requiere largos perıodos deentrenamiento especializado por parte del ser humano, principal defecto de otrosmetodos para solucionar problemas, como los Sistemas Expertos.

6.5.3. Problematica

Los principios basicos de los Algoritmos Geneticos fueron establecidos por Ho-lland, y se encuentran bien descritos en varios textos: Goldberg, Davis, Michale-wicz, Reeves.

En la naturaleza, los individuos de una poblacion compiten entre sı en la busque-da de recursos tales como comida, agua y refugio. Incluso los miembros de unamisma especie compiten a menudo en la busqueda de un companero. Aquellosindividuos que tienen mas exito en sobrevivir y en atraer companeros tienen ma-yor probabilidad de generar un gran numero de descendientes. Por el contrario,individuos poco dotados produciran un menor numero de descendientes. Esto sig-nifica que los genes de los individuos mejor adaptados se propagaran en sucesivasgeneraciones hacia un numero de individuos creciente. La combinacion de bue-nas caracterısticas provenientes de diferentes ancestros, puede a veces producirdescendientes superindividuos, cuya adaptacion es mucho mayor que la de cual-quiera de sus ancestros. De esta manera, las especies evolucionan logrando unascaracterısticas cada vez mejor adaptadas al entorno en el que viven.

Los AG usan una analogıa directa con el comportamiento natural. Trabajancon una poblacion de individuos, cada uno de los cuales representa una solucionfactible a un problema dado. A cada individuo se le asigna un valor o puntuacion,relacionado con la bondad de dicha solucion. En la naturaleza esto equivaldrıaal grado de efectividad de un organismo para competir por unos determinadosrecursos. Cuanto mayor sea la adaptacion de un individuo al problema, mayor


sera la probabilidad de que el mismo sea seleccionado para reproducirse, cruzandosu material genetico con otro individuo seleccionado de igual forma. Este cruceproducira nuevos individuos –descendientes de los anteriores– los cuales compartenalgunas de las caracterısticas de sus padres. Cuanto menor sea la adaptacion de unindividuo, menor sera la probabilidad de que dicho individuo sea seleccionado parala reproduccion, y por tanto de que su material genetico se propague en sucesivasgeneraciones.

De esta manera se produce una nueva poblacion de posibles soluciones, la cualreemplaza a la anterior y verifica la interesante propiedad de que contiene unamayor proporcion de buenas caracterısticas en comparacion con la poblacion an-terior. Ası, a lo largo de las generaciones, las buenas caracterısticas se propagan atraves de la poblacion. Favoreciendo el cruce de los individuos mejor adaptados,van siendo exploradas las areas mas prometedoras del espacio de busqueda. Si elAG ha sido bien disenado, la poblacion convergera hacia una solucion optima delproblema.

6.5.4. Ventajas y desventajas

No necesitan conocimientos especıficos sobre el problema que intentan resol-ver.

Operan de forma simultanea con varias soluciones, en vez de trabajar deforma secuencial como las tecnicas tradicionales.

Cuando se usan para problemas de optimizacion, maximizar una funcionobjetivo, resultan menos afectados por los maximos locales (falsas soluciones)que las tecnicas tradicionales.

Resulta sumamente facil ejecutarlos en las modernas arquitecturas masiva-mente paralelas.

Usan operadores probabilısticos y no los tıpicos operadores determinısticosde las otras tecnicas.

Pueden tardar mucho en converger o no converger en absoluto, dependiendoen cierta medida de los parametros que se utilicen: tamano de la poblacion,numero de generaciones, etcetera.

Pueden converger prematuramente debido a una serie de problemas de di-versa ındole.

6.5.5. Limitaciones

El poder de los AG proviene del hecho de que se trata de una tecnica robusta, ypueden tratar con exito una gran variedad de problemas provenientes de diferentesareas, incluyendo aquellos en los que otros metodos encuentran dificultades. Si

112

bien no se garantiza que el AG encuentre la solucion optima del problema, existeevidencia empırica de que se encuentran soluciones de un nivel aceptable, en untiempo competitivo con el resto de algoritmos de optimizacion combinatoria. En elcaso de que existan tecnicas especializadas para resolver un determinado problema,lo mas probable es que superen al AG, tanto en rapidez como en eficacia. El grancampo de aplicacion de los AG se relaciona con aquellos problemas para los cualesno existen tecnicas especializadas. Incluso en el caso en que dichas tecnicas existan,y funcionen bien, pueden efectuarse mejoras de las mismas hibridandolas con losAG.

6.5.6. ¿Como saber si es posible usar un algoritmo genetico

La aplicacion mas comun de los AG ha sido la solucion de problemas de opti-mizacion, en donde han mostrado ser muy eficientes y confiables. Sin embargo, notodos los problemas pudieran ser apropiados para la tecnica, y se recomienda engeneral tomar en cuenta las siguientes caracterısticas del mismo antes de intentarusarla:

Su espacio de busqueda (i.e., sus posibles soluciones) debe estar delimitadodentro de un cierto rango.

Debe poderse definir una funcion de aptitud que nos indique que tan buenao mala es una respuesta.

Las soluciones deben codificarse de una forma que resulte relativamente facilde implementar en la computadora.

El primer punto es muy importante, y lo mas recomendable es intentar resol-ver problemas que tengan espacios de busqueda discretos aunque estos sean muygrandes. Sin embargo, tambien podra intentarse usar la tecnica con espacios debusqueda continuos, pero preferentemente cuando exista un rango de solucionesrelativamente pequeno.

La funcion de aptitud no es mas que la funcion objetivo de nuestro problema deoptimizacion. El algoritmo genetico unicamente maximiza, pero la minimizacionpuede realizarse facilmente utilizando el recıproco de la funcion maximizante (debecuidarse, por supuesto, que el recıproco de la funcion no genere una division porcero). Una caracterıstica que debe tener esta funcion es que tiene que ser capazde castigar a las malas soluciones, y de premiar a las buenas, de forma que seanestas ultimas las que se propaguen con mayor rapidez.

La codificacion mas comun de las soluciones es a traves de cadenas binarias,aunque se han utilizado tambien numeros reales y letras. El primero de estos esque-mas ha gozado de mucha popularidad debido a que es el que propuso originalmenteHolland, y ademas porque resulta muy sencillo de implementar.


6.5.7. Marco de desarrollo

Antes de continuar ahondando en la tecnica de los AG serıa interesante dejarlasituada dentro de un marco mas amplio. Nos referimos a la rama de la InteligenciaArtificial que se ha denominado Computacion Evolutiva.

El termino Computacion Evolutiva se refiere al estudio de los fundamentos yaplicaciones de ciertas tecnicas heurısticas de busqueda, basadas en los princi-pios naturales de la evolucion. Una gran variedad de algoritmos evolutivos hansido propuestos pero principalmente pueden clasificarse en: Algoritmos Geneticos,Programacion Evolutiva, Estrategias Evolutivas, Sistemas Clasificadores y Pro-gramacion Genetica. Esta clasificacion se basa sobre todo en detalles de desarrollohistorico mas que en el hecho de un funcionamiento realmente diferente, de hecholas bases biologicas en las que se apoyan son esencialmente las mismas. Las dife-rencias entre ellos se centra en los operadores que se usan en cada caso y en generalen la forma de implementar la seleccion, reproduccion y sustitucion de individuosen una poblacion.

Aunque los detalles de la evolucion no han sido completamente comprendidos,incluso hoy en dıa, existen algunos puntos en los que se fundamentan:

La evolucion es un proceso que opera a nivel de cromosomas, y no a nivel deindividuos. Cada individuo es codificado como un conjunto de cromosomas.

La seleccion natural es el mecanismo mediante el cual los individuos mejoradaptados son los que tienen mayores posibilidades de reproducirse.

El proceso evolutivo tiene lugar en la etapa de la reproduccion. Es en estaetapa donde se producen la mutacion, que es la causante de que los cromo-somas de los hijos puedan ser diferentes a los de los padres, y el cruce, quecombina los cromosomas de los padres para que los hijos tengan cromosomasdiferentes.

De forma breve, pasamos a comentar cada uno de los algoritmos menciona-dos anteriormente, para que el lector pueda tener una idea de las similitudes ydiferencias entre ellos.

Los AG resuelven los problemas generando poblaciones sucesivas a las que seaplican los operadores de mutacion y cruce. Cada individuo representa una solucional problema, y se trata de encontrar al individuo que represente a la mejor solucion.

La Programacion Genetica funciona igual que la tecnica anterior pero se centraen el estudio de problemas cuya solucion es un programa. De manera que losindividuos de la poblacion son programas que se acercan mas o menos a realizaruna tarea que es la solucion.

La Programacion Evolutiva es otro enfoque de los algoritmos geneticos, en estecaso el estudio se centra en conseguir operadores geneticos que imiten lo mejorposible a la naturaleza, en cada caso, mas que en la relacion de los padres con sudescendencia. En este caso no se utiliza el operador de cruce, tomando la maximaimportancia el operador de mutacion.

114

Estrategias Evolutivas se centran en el estudio de problemas de optimizacion eincluyen una vision del aprendizaje en dos niveles: a nivel de genotipo y a nivel defenotipo. Y por ultimo los Sistemas Clasificadores engloban el estudio de problemasen los que la solucion buscada se corresponde con toda una poblacion.

Para finalizar, se muestra un esquema en el que se situan las tecnicas mencio-nadas con respecto a otros procedimientos de busqueda conocidos.

6.5.8. Comparacion con otros metodos de optimizacion

Algoritmos Geneticos y Matematicos: Existen problemas de optimizacion quepueden ser resueltos por la implementacion de un algoritmo tradicional. En estecaso lo mas conveniente es utilizarlo.

Por ejemplo: Si tenemos la funcion Es el doble de, esta puede ser interpretadacomo:

f(x, y) = ∃x, ∃ y |x + 2y , . (6.1)

Esto tambien es valido para funciones booleanas (retornan un valor de Ver-dadero o Falso). Por ejemplo la funcion Es mayor que , puede ser interpretadacomo

f(x, y) = ∃x, ∃ y |x > y . (6.2)

Para resolver un problema que requiera como solucion saber solamente cualnumero es mas grande, resulta mas eficaz utilizar el algoritmo matematico direc-tamente.

Sin embargo, estos no son aplicables a problemas que posean algunas de estascaracterısticas:

La funcion representativa del problema no es continua. En este caso el mismono es computable. Los algoritmos geneticos pueden trabajar con todo tipo defunciones ya que encontraran un mınimo aceptable si no es posible encontrarel optimo.

La funcion representativa es dinamica: La relacion entre las variables cambiadependiendo de los valores que tomen las mismas. Esta relacion puede seradvertida o no. Las reglas del tipo

“X es igual a Y si el valor de X es chico.X es 1.5 de Y si el valor de X es grande.No se sabe que pasa para valores medios de X”.No pueden ser convertidas en un algoritmo algebraico ya que existen valoresque se desconocen. A diferencia de un algoritmo tradicional, un algoritmogenetico puede ser disenado para trabajar bajo estas condiciones.


Algoritmos Geneticos y Metodos Enumerativos: Existe la posibilidad teorica deencontrar soluciones a problemas de optimizacion enumerando todas las solucio-nes posibles para todos los casos, y posteriormente buscando la misma en la basede datos resultante. Los problemas se limitan entonces a un sistema de busquedaeficiente del caso concreto. Por ejemplo, los libros con tablas de logaritmos tradi-cionales constan de una larga serie de calculos para todos los valores usuales. Lasolucion consiste simplemente en buscar en la lista el numero decimal y retornarel logaritmo dado.

La memorizacion de las tablas de multiplicar que se ensenan a los ninos es otroejemplo usual. Se espera que ante la pregunta ¿Cuanto es siete por cinco? Los ninosrespondan instantaneamente “35” sin tener que estar calculando mentalmente lamultiplicacion.

Este metodo es factible siempre que el numero de valores sea manejable. Deotra manera el simple calculo de los mismos se vuelve imposible. Ejemplo: generaruna tabla que contenga todas las movidas de todos los partidos posibles de unjuego de damas resultarıa imposible de hacer en la practica.

La memorizacion de una serie de datos no es otra cosa que la construccion enla memoria del equivalente a una base de datos en donde se busca la pregunta yse encuentra automaticamente la respuesta.

Los algoritmos geneticos usan heurıstica para la resolucion de problemas, locual limita drasticamente el numero de datos a utilizar.

Algoritmos Geneticos y Sistemas Expertos: Un Sistema Experto es un programade computadora que encuentra soluciones a problemas del tipo condicional con laestructura:

Si ocurren los hechos A, B, C, D, ¿cual serıa el valor del suceso E?

Ejemplo: Si un analisis medico detecta los sıntomas A, B, C y D en un paciente,¿Cual sera la enfermedad del sujeto?

Ejemplo: Si el analisis geologico de una capa de suelo detecta la presencia de loscompuestos quımicos A, B, C y D. ¿Es factible que exista petroleo en la misma?

Si bien existen en la literatura ejemplos de la utilidad de esta tecnica, las reglasdeben ser provistas por un especialista (o varios) en el tema. Por ende, se requiereque los conocimientos esten disponibles, que sean estructurados o factibles de serestructurados (convertidos a reglas heurısticas) y que los hechos de la realidadsean relativamente estaticos; es decir, que las causas para arribar a una determi-nada conclusion no cambien, ya que cada vez que esto sucede, los expertos debenreelaborar las reglas, lo cual dificulta y retarda considerablemente la operatoriadel sistema.

Las condiciones basicas necesarias para la implementacion efectiva de un sistemaexperto pueden observarse en la figura 6.5.8.

Los Sistemas Expertos tuvieron su apogeo en la decada de los ochenta, apro-ximadamente de 1979 a 1985. En esa epoca se les llego a considerar verdaderaspanaceas que resolverıan muchos de los problemas cotidianos del hombre. Inclusose formaron en ese entonces varias companıas con el objeto especıfico de realizarlos

116

y comercializarlos. Algunos fueron exitosos y funcionaron bien, pero las dificultadesplanteadas anteriormente no tardaron en aparecer. En particular:

Existen temas en los cuales el conocimiento no es estatico sino que la apa-ricion de nueva informacion altera las pautas o reglas de inferencia de losresultados. La necesidad permanente de reevaluar las reglas por medio deexpertos humanos lleva al sistema a una operatoria lenta y burocratica. Ca-da conocimiento nuevo implica reentrenar manualmente el sistema. Los Sis-temas Expertos demostraron no ser utiles en este campo.

Existen temas en los cuales la interrelacion de ciertas variables no es co-nocida. Si la informacion disponible de cierto asunto es limitada, y no seconoce el comportamiento de algunas de sus variables, el Sistema Expertotendra grandes dificultades de programarse ya que sus reglas seran impreci-sas.

Los expertos no siempre estructuran su conocimiento. Existen numerosaspersonas que razonan por metodos empıricos. Esto hace que les resulte muydifıcil traducir sus pensamientos o su metodo deductivo a reglas que la com-putadora pueda interpretar. Un Sistema experto no podra llegar a resultadosvalederos cuando los especialistas en un tema no puedan tener estructuradossus pensamientos. Por ejemplo: supongase que se quiera programar un siste-ma experto para calificar obras de arte. Difıcilmente se encontrara un crıticode arte que pueda estructurar las razones por las cuales considera buena omala a una obra de arte. En general, las palabras que pueda decir resultarana los oıdos del programador del sistema como una serie de subjetividadesimposibles de sistematizar.

Luego de observar todo esto, se empezo a considerar a los sistemas expertoscomo aptos solamente para entornos reducidos y con condiciones de ejecucionacotadas. La idea del Sistema Experto como resolvedor universal de problemasquedo sepultada.

Si bien la investigacion basica de los algoritmos geneticos es contemporanea ala de los sistemas expertos, la renovada importancia que se les dio en el ambitocientıfico se produjo en paralelo a la desvalorizacion que sufrieron estos ultimos.

Los algoritmos geneticos se revalorizaron ya que poseen las siguientes ventajascompetitivas:

Solo necesitan asesoramiento del experto cuando se agregan o suprimen va-riables al modelo. Los Sistemas Expertos requieren la presencia del mismoante cada modificacion del entorno.

Los algoritmos geneticos solo requieren del asesoramiento del experto paraidentificar las variables pertinentes, aunque no es necesario que estos definansus valores ni sus relaciones (las reglas) iniciales o finales. Los Sistemas Ex-pertos solo trabajan con las reglas y valores que les dictan los seres humanos.


Figura 6.11: Condiciones basicas necesarias para la implementacion efec-tiva de un sistema experto.

Capıtulo 7

Participantes

119

120

Nombre InstitucionAguilar Anguiano AngelBachillerato No. 4 Ante Lezama Minerva Bachillerato No. 4Arciniega Cobian Edgar Bachillerato No. 11Cardenas Sanchez Enrique Cbta 148Chavarın Castillo Neptalı Uriel Bachillerato No. 4Elias Rosales J. Hoscar Bachillerato No. 11Flores Cardenas Enriqueta Bachillerato No.1Garcıa Vazquez Silvino Bachillerato No. 11Guerra Garcıa Luis Arturo Bachillerato No. 1Guerra Guzman Luis Miguel Bachillerato No. 11Gutierrez Vargas Yair Alejandro Bachillerato No. 11Gutierrez Zarate Gemma Gisell Bachillerato No. 4Haces Pacheco David Cbta 148Hernandez Cuevas Karla Bachillerato No. 4Isaıs Millan Sara ITESMLopez Ortega Lizeth Bachillerato No. 4Marın Cruz Estefani Gabriela Bachillerato No. 4Negrete Ramırez Jose Manuel Bachillerato No. 4Ramırez Guzman Juan Carlos Bachillerato No. 11Reyes Alfaro Gabriel ITESMRıos Flores Perla Bachillerato No. 4Rodrıguez Gonzalez Laura Viridiana Bachillerato No. 4Ruız Hernandez Lidia Bachillerato No. 11Valencia Ruız Manuel Bachillerato No. 4Vazquez Cernas Homero Ulises ITESMVelasco Garcıa Homero Bachillerato No. 15

122

Instituto HeisenbergAnuario 2004

Alfredo Aranda Fernandez

Se termino de imprimir en ???? de 2004 en la Direccion General dePublicaciones de la Universidad de Colima, Colima, Mexico.

Diseno: Alfredo Aranda Fernandez/ Correccion: Myriam Cruz Calvario

instituto heisenberg anuario 2004

Documents