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Seminario AleatorioUn enfoque de regresióna selección de Portafolio
Jorge de la Vega
Banco de México
Seminario Aleatorio– p. 1/23
Resumen• El objetivo de esta platica esintroducir, con un
ejemplo sencillo, cómo se puede plantear elproblema de portafolio de mínima varianza comoun problema de mínimos cuadrados y cómo sepuede extender el problema en un contextobayesiano que permite introducir dinámica en laestimación.
• La aplicación se basa en un trabajo mucho másextenso no publicado de Mark-Britten Jones(LSE).
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Definición del problema• Contexto:
• Se cuenta conp activos, y observaciones de sus
rendimientos enT periodos.
• Seart el vector de rendimientos ent.
• El portafolio global de varianza mínima (GVM) es un vector
ωg de pesos que satisface el siguiente problema de
optimización:
ωg = arg mın{ω|ω′1=1}
Var(r′tω)
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Un problema de mínimos cua-drados
• El problema de optimización se puede replantear como un problema de regresión del
siguiente modo: particionando los vectores de rendimientos y pesos:
rt =
0�rt,1
rt,2
1A , ω =
0�w1
w
1Aentoncesrtω = rt,1 + r
′et w, dondere
t = rt,2 − rt,11 es el vector de excesos de
rendimientos con respecto al instrumento base (en este caso, el primero).
• Si escribimos el modelo de regresión con respuestay = −rt,1 y predictoresx = ret :
−rt,1 = −α + r′et w + ut, ut ∼ N
�0, σ2
�, t = 1, 2, . . . , T
entoncesσ2 = Var(ut) = Var(α − rt,1 − r′et w) = Var(rt,1 + r
′et w) = Var(r′tω)
• Así el problema de portafolio es equivalente a un problema demínimos cuadrados
(minimizar
PTt=1
u2t ) sobrew.
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Simplificando el problema
• En términos matriciales, sir1 =
r1,1
...
rT,1
y Re =
r′
1,2
...
r′
T,2
, el modelo se
puede expresar como
−r1 = −α1 + Rew + ǫ, ǫ ∼ N(
0, σ2I)
• Comoα es irrelevante en el contexto del portafolio, podemos quitarla del
modelo centrando los datos con la matrizM = I − 1
T11
′. (notar que
M1 = 0).
• Finalmente, haciendox1 = Mr1, X = MRe y e = Mǫ, el modelo
queda como
−x1 = Xw + e, e ∼ N(
0, σ2M
)
,
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Ejemplo• Los rendimientos considerados son los de los tipos de cambiode las divisas del
BMK: cad, chf, eur, gbp y jpy, diarios. Todos los tipos de cambio está en
divisa-usd. La ventana muestral abarca de 3 de Enero de 1994 al 21 de mayo del
2004.
• En el ejemplo se toma como divisa base al euro.
• Los rendimientos se toman diarios, pero pueden recalcularse en ventanas
semanales, mensuales, etc. Esto acorta la muestra de rendimientos disponibles y
por lo tanto la calidad de las estimaciones.
• En el caso del euro se tuvo que eliminar el rendimiento del 30/12/98, ya que es un
valor bastante atípico (Entra en vigor el euro en enero 99).
• En el ejemplo,T = 2708, p = 5.
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Distribución cad
−0.
020
−0.
005
0.01
0
fechas
cad
08/94 05/97 02/00 11/02
rendimientos
cad
Den
sity
−0.020 −0.015 −0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015
040
8012
0
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Distribución eur
0.0
0.1
0.2
0.3
fechas
eur
08/94 05/97 02/00 11/02
rendimientos
eur
Den
sity
0.0 0.1 0.2 0.3
05
1020
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Distribución eur
−0.
030.
000.
02
fechas
eur
08/94 05/97 02/00 11/02
rendimientos
eur
Den
sity
−0.03 −0.02 −0.01 0.00 0.01 0.02 0.03
020
4060
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Correlación rendimientos
Scatter Plot Matrix
cad
−0.02−0.01
0.00 0.01
0.00
0.01
−0.02
−0.01
chf
−0.04−0.020.00
0.00 0.02 0.04
0.00
0.02
0.04
−0.04
−0.02
0.00
eur
−0.02 0.00
0.00 0.02
0.00
0.02
−0.02
0.00
gbp
−0.02−0.010.00
0.000.010.02
0.00
0.01
0.02
−0.02
−0.01
0.00
jpy
−0.06−0.04−0.02
0.000.020.04
0.00
0.02
0.04
−0.06
−0.04
−0.02
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Estimación del portafolioCoefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
Xcad 0.521914 0.011972 43.596 <2e-16
Xchf -0.013272 0.010600 -1.252 0.211
Xgbp 0.241432 0.013271 18.193 <2e-16
Xjpy 0.111760 0.008234 13.573 <2e-16
Residual standard error: 0.002856 on 2704 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.7949, Adjusted R-squared: 0.7946
F-statistic: 2620 on 4 and 2704 DF, p-value: < 2.2e-16
• El portafolio sugerido para el vector (eur,cad,chf,gbp,jpy) esentonces (en
porcentajes):ω0 = (13.82, 52.19,−1.33, 24.14, 11.18).
• El coeficiente negativo para chf no es significativo, por lo que podemos
calibrar el modelo para tener ponderaciones adecuadas:
ω = (13.74, 52.25, 0, 23.19, 10.82).
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Observaciones• El error estándar de los rendimientos se puede
estimarantesde centrar los datos:σ = 0.002856o 28.56 pb.
• No hay garantía en general de que las posicionescortas sean no significativas, por lo que esnecesario buscar un modelo que incorpore larestricción de que sólo las posiciones largas seanadmisibles.
• Una ventaja adicional del modelo de regresión esque permite no sólo valores puntuales, sino laposibilidad de considerar regiones de confianzapara los pesos, lo que permite considerar unaregión de portafolios en la que los inversionistaspueden considerar su elección de cartera óptima.
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Introduciendo un enfoque baye-siano
• El modelo anterior se puede escribir en un contexto más bayesiano,
condicionando en los parámetros:
−x1|(X,w, σ2) ∼ N
�Xw, σ
2M
�• Un modelo no es bayesiano sin distribuciones iniciales y posteriores de los
parámetros.
• Hay dos posibilidades a considerar con respecto a los parámetros:
i. Suponerσ2 conocida.
ii. Suponerσ2 desconocida e incorporar un componente para su distribución
apriori. Este supuesto complica considerablemente la estimación del modelo.
• Los predictores siempre se suponen conocidos.
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Caso 1:σ2 conocida• Podemos imponer una prior sobrew y crear un modelo jerárquico:
−x1|X,w ∼ N
�Xw, σ
2M
�w ∼ F (m0)
• Sin información específica sobre los factores que determinan los rendimientos de
los activos que forman el portafolio, se pueden imponer restricciones de carácter
estadístico para obtener una prior adecuada.
• Por simplificación computacional, se puede suponer una prior normal
multivariada:
w ∼ N (w0,C0)
• La prior debe ser intercambiable: la distribución conjuntade los pesos no
depende de la ordenación de los activos,pero hay suficiente información inicial
para distinguir entre activos. Esta restricción determinalos parámetros
iniciales:w0 = 1
n1 y C0 = a−1E.
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Caso 1:σ2 conocida• E es una matriz de correlaciones de dimensiónp − 1 la forma
E =
0BBBBBB� 1 − 1
p−1− 1
p−1· · · − 1
p−1
− 1
p−11 − 1
p−1· · · − 1
p−1
......
......
...
− 1
p−1− 1
p−1− 1
p−1· · · 1
1CCCCCCA• Con esta información, la distribución posterior es otra normal multivariadaN (m,V) con
m = V(σ2X′Xw + ap−1E−11)
dondew = −(X′X)−1X′x1, y
V = (σ2X′X + aE−1)−1
• Ahora el problema sólo depende de un parámetro desconocido,que esa.
• Resultado: La media de la distribución posterior es el conjunto óptimo de pesos que
minimizan la varianza del rendimiento del portafolio.
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Ejemplo• La siguiente gráfica muestra la composición para diferentesvalores deσ y con un valor fijo
dea = 0.001.
0.002 0.004 0.006 0.008 0.010
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
cambios en la composicion
s
pond
erac
ione
s
cad
chf
gbp
jpy
eur
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Ejemplo• La siguiente gráfica muestra la composición para diferentesvalores dea y con un valor fijo
deσ = 0.03.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
cambios en la composicion
a
pond
erac
ione
s
cadchf
gbp
jpy
eur
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Versión dinámica del enfoqueBayesiano
• Ahora consideramos un modelo en donde los coeficientes pueden variar en el
tiempo:
−rt,1 = −αt + ret′wt + ut ut ∼ N
�0, σ
2
�• Podemos reparametrizar el modelo definiendo un predictorgt y un vector de
parámetrosθt, ambos dep × 1 del siguiente modo:
gt =
0� −1
ret
1A , θt =0� αt
wt
1Apara obtener
−rt,1 = g′tθt + ut
• Este modelo es conocido en estadística bayesiana comoDynamic linear modely
puede se resuelto introduciendo una dinámica para actualizarθt.
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Proceso de aprendizaje• De nuevo necesitamos una prior paraθt. La prior se calcula con información disponible
hastat − 1:
θt|It−1 ∼ N
�mt|t−1,Vt|t−1
�• Aplicando el resultado sobre familias conjugadas, la posterior es
θt|It ∼ N (mt,Vt)
con
mt = Vt(−σ−2gtrt,1 + V−1
t|t−1mt|t−1)
y
Vt = (σ−2gtg′t + V−1
t|t−1)−1
• Un detalle: necesitamos un mecanismo de transición para pasar deθt|It aθt+1|It.
Usualmente se especifica unaecuación de estadoque típicamente es un proceso Markoviano
(θt+1 = Aθt + zt). En el caso de portafolios grandes, la estimación de este proceso puede
ser muy difícil.
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Alternativa para transiciones• En lugar de usar un filtro de Kalman, se puede introducir un factor de descuento para los
datos del pasado, como un suavizamiento exponencial.
• Partiendo de una distribución inicial ent = 0:
θ1|I0 ∼ N (m0,V0)
se puede aplicar un proceso iterativo para estimar los parámetros enT :
mT = VT (−σ−2
TXt=1
(1 − δ)T−tgtrt,1 + V−1
0m0)
y
VT = (σ−2
TXt=1
(1 − δ)T−tgtg′t + V−1
0)−1
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Ejemplo•• El siguiente ejemplo fue corrido usando los parámetrosa = 0.001, m0 y V0 como en el
modelo bayesiano estático, suponiendo que el coeficienteαt no está correlacionado con los
pesos, yσ = 0.002856.
0 500 1000 1500 2000 2500
0.00.2
0.40.6
0.81.0
composición portafolio dinámico
fecha
pond
eracio
n
cad
chf
gbp
jpy
eur
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Falta mucho...• Desarrollar un programa para el caso de varianza
desconocida.• Desarrollar criterios para proponer valores
iniciales dea y σ2, sin priores.• Desarrollar un modelo que no permita posiciones
cortas.• Incorporar otras formas de modelar tracisiones en
el modelo dinámico (sin el factor de descuento).• . . .
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Referencias• Britten-Jones, M. 1997. The Sampling Error in
Estimates of Mean-Variance Efficient PortfolioWeights. Working Paper, London BusinessSchool.
• Britten-Jones, M. 1998. Statistical PortfolioOptimization Part 1: The Global MinimumVariance Portfolio Working Paper, LondonBusiness School.
• Ingersoll, Jonhatan E. Jr. 1987Theory ofFinancial Decision MakingRowman andLittlefield.
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