jitka roubalová elektrotechnika - download.spstrplz.cz · současná teoretická elektrotechnika...
TRANSCRIPT
1
Jitka Roubalov
Elektrotechnika
Vytvoeno v rmci Operanho programu Vzdlvn pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.1.30/01,0038 Automatizace vrobnch proces ve strojrenstv
a emeslech
Jitka Roubalov
2
3
Stedn prmyslov kola strojnick a Stedn odborn kola prof. vejcara,
Plze
ELEKTROTECHNIKA
Jitka Roubalov
4
Anotace
Tato uebnice obsahuje zklady teoretick elektrotechniky v rozsahu poadavk na znalosti
student stednch prmyslovch kol se strojrenskm zamenm.
Jsou zde vysvtleny fyzikln zklady elektrotechniky, jejich souvislosti a jejich vyuit pi
een praktickch kol.
Uebnice obsahuje vysvtlen elektrostatickho pole, obvod stejnosmrnho proudu,
magnetismu, obvod stdavho proudu a trojfzov soustavy.
Jednotliv kapitoly jsou doplnny eenmi pklady typickmi pro dan okruh. Pklady jsou
eeny i s podrobnm vpotem, aby pouit vpoetn postupy ukzaly teni, e vhodnm
krcenm a prac s exponenty je mon vpoty zjednoduit a tak se vyvarovat chyb
zpsobench kalkulakovmi peklepy.
Uebnice je rozdlena do pti st, z nich kad obsahuje uzaven tmatick celek.
Jednotliv sti:
- Fyzikln zklad elektrickch jev a teorie elektrostatickho pole
- Stejnosmrn proud a een obvod stejnosmrnho proudu
- Magnetick pole a elektromagnetick indukce
- Stdav proud a een obvod stdavho proudu
- Trojfzov soustava
5
Obsah
Anotace ....................................................................................................................................... 3
vod ........................................................................................................................................... 9
1 Fyzikln veliiny a jejich jednotky .................................................................................. 10
1.1 Mezinrodn soustava jednotek SI ............................................................................. 10
1.2 Pedpony jednotek ..................................................................................................... 11
2 Fyzikln zklad elektrickch jev ................................................................................... 12
2.1 Elektronov teorie ...................................................................................................... 12 2.2 Vodie a izolanty ....................................................................................................... 12 2.3 Zdroje elektrick energie ........................................................................................... 12
3 Elektrostatick pole ........................................................................................................... 14
3.1 Zobrazovn elektrostatickho pole ........................................................................... 14 3.2 Homogenn elektrostatick pole ................................................................................ 16 3.3 Coulombv zkon ...................................................................................................... 17 3.4 Nehomogenn elektrostatick pole ............................................................................ 18
3.5 Elektrick indukce ..................................................................................................... 19 3.6 Elektrick vlastnosti izolant ..................................................................................... 21
3.6.1 Polarizace dielektrika ......................................................................................... 21 3.6.2 Elektrick pevnost dielektrika ............................................................................ 22
3.7 Kondenztor ............................................................................................................... 22
3.8 Spojovn kondenztor ............................................................................................ 23 3.8.1 Paraleln spojovn kondenztor ...................................................................... 24
3.8.2 Sriov spojovn kondenztor ........................................................................ 24
3.9 Pechodov jev na kondenztoru ............................................................................... 28
3.10 Energie elektrostatickho pole ............................................................................... 29 3.11 Sloen dielektrika ................................................................................................. 31
3.11.1 Dielektrika vedle sebe ........................................................................................ 31
3.11.2 Dielektrika za sebou ........................................................................................... 32 3.12 Kondenztory s nehomogennm elektrickm polem ............................................. 34
3.12.1 Dv soustedn kulov plochy ........................................................................... 34 3.12.2 Osamocen koule ............................................................................................... 35 3.12.3 Dv soustedn vlcov plochy .......................................................................... 36
3.13 Elektrostatick jevy v praxi.................................................................................... 37
4 Stejnosmrn proud .......................................................................................................... 38
4.1 Proudov hustota ....................................................................................................... 38
4.2 Intenzita proudovho pole ......................................................................................... 39
4.3 Elektrick odpor vodi a Ohmv zkon .................................................................. 39
4.3.1 Velikost elektrickho odporu ............................................................................. 40 4.3.2 Zvislost elektrickho odporu na teplot ........................................................... 41
4.4 Prce a vkon stejnosmrnho elektrickho proudu ................................................. 43 4.5 Kirchhoffovy zkony ................................................................................................. 45
4.5.1 Prvn Kirchhoffv zkon .................................................................................... 46 4.5.2 Druh Kirchhoffv zkon .................................................................................. 47
6
4.6 Spojovn rezistor .................................................................................................... 48
4.6.1 Sriov zapojen rezistor .................................................................................. 48 4.6.2 Paraleln zapojen rezistor ................................................................................ 49
4.7 een elektrickch obvod stejnosmrnho proudu s jednm zdrojem ................... 51
4.7.1 Obvody se srioparalelnm zapojenm rezistor ................................................ 51 4.7.2 Transfigurace ...................................................................................................... 56
4.8 Zdroje stejnosmrnho napt a proudu ..................................................................... 60 4.8.1 Reln zdroj napt ............................................................................................. 60 4.8.2 Spojovn zdroj napt ...................................................................................... 62
4.9 Specifick zpsoby vyuit rezistor v praxi ............................................................. 64 4.9.1 Dli napt ........................................................................................................ 64 4.9.2 Zmny rozsah mcch pstroj pomoc rezistor .......................................... 66 4.9.3 Uren velikosti odporu pomoc men napt a proudu ................................... 68 4.9.4 Uren teploty pomoc men odporu rezistoru ................................................ 69
4.10 Nelinern prvky v obvodech ................................................................................. 70
4.11 een elektrickch obvod stejnosmrnho proudu s vce zdroji .............................. 74
4.11.1 een elektrickch obvod s vce zdroji aplikac Kirchhoffovch zkon ......... 74 4.11.2 een elektrickch obvod metodou smykovch proud .................................. 77 4.11.3 een elektrickch obvod metodou uzlovch napt ......................................... 80 4.11.4 een elektrickch obvod metodou linern superpozice .................................. 83
5 Magnetick pole ................................................................................................................ 88
5.1 Zobrazovn magnetickho pole ................................................................................ 88
5.2 Magnetick pole vybuzen elektrickm proudem ..................................................... 89 5.2.1 Magnetick pole vodie ..................................................................................... 89
5.3 Veliiny magnetickho pole ...................................................................................... 91 5.3.1 Magnetick tok ................................................................................................... 91 5.3.2 Magnetick indukce ........................................................................................... 91
5.3.3 Magnetomotorick napt a magnetick napt .................................................. 92
5.3.4 Intenzita magnetickho pole ............................................................................... 93
5.3.5 Vztah mezi zdrojem magnetickho pole a jeho silovm psobenm ................. 94 5.4 Hopkinsonv zkon ................................................................................................... 97
5.5 Magnetick vlastnosti ltek ....................................................................................... 97 5.5.1 Magnetick vlastnosti feromagnetickch materil ........................................... 98
5.6 een magnetickch pol ........................................................................................ 104 5.6.1 Magnetick pole pmho vodie ..................................................................... 104
5.6.2 Magnetick pole kruhovho zvitu .................................................................. 106 5.6.3 Magnetick pole tenk cvky ............................................................................ 106 5.6.4 Magnetick pole vlcov cvky ........................................................................ 107 5.6.5 Magnetick pole prstencov cvky ................................................................... 109
5.7 een magnetickch obvod .................................................................................. 110
5.7.1 Vpoet magnetickch obvod buzench elektrickm proudem .................... 111
5.8 Elektromagnetick indukce ..................................................................................... 119
5.8.1 Indukn zkon ................................................................................................. 119 5.8.2 Pohybov napt ............................................................................................... 122 5.8.3 Vlastn induknost ............................................................................................ 124 5.8.4 Vzjemn induknost ....................................................................................... 126 5.8.5 Spojovn cvek ................................................................................................ 130 5.8.5 Pechodov jev na induknosti ........................................................................ 134
5.9 Energie magnetickho pole ..................................................................................... 135
7
5.10 Ztrty ve feromagnetickch materilech.............................................................. 136
5.11 Silov psoben magnetickho pole ..................................................................... 138 5.12.1 Elektromagnety ................................................................................................ 140
6 Stdav proudy ............................................................................................................... 143
6.1 asov prbh harmonickch stdavch proud ................................................... 144 6.2 Fzorov zobrazen stdavch harmonickch veliin ............................................ 146
6.3 Efektivn a stedn hodnota stdavch harmonickch veliin ................................ 146 6.3.1 Efektivn hodnota stdavho proudu ............................................................... 146 6.3.2 Stedn hodnota stdavho proudu .................................................................. 147
6.4 Vznik stdavho harmonickho napt ................................................................... 148 6.5 Typy zt v obvodech stdavho proudu ............................................................. 152
6.5.1 Odporov zt ................................................................................................. 152 6.5.2 Induktivn zt ................................................................................................ 153 6.5.3 Kapacitn zt ................................................................................................. 155
6.5.4 Vzjemn induknost v obvodech stdavho proudu ...................................... 159 6.6 een obvod stdavho harmonickho proudu ................................................... 160
6.6.1 Sriov RC obvod ............................................................................................ 160 6.6.2 Sriov RL obvod ............................................................................................ 162
6.6.3 Sriov LC obvod ............................................................................................ 164
6.6.4 Sriov RLC obvod .......................................................................................... 165 6.6.5 Paraleln RC obvod .......................................................................................... 167 6.6.6 Paraleln RL obvod ........................................................................................... 168
6.6.8 Paraleln LC obvod ........................................................................................... 169 6.6.9 Paraleln RLC obvod ........................................................................................ 170
6.6.10 Srioparaleln RLC obvody ................................................................................. 174 6.6 Vkon v obvodech stdavho harmonickho proudu ............................................. 178 6.7 Rezonance ................................................................................................................ 181
6.7.1 Sriov rezonann obvod ................................................................................ 181
6.7.2 Paraleln rezonann obvod .............................................................................. 183
6.8 Kompenzace inku ............................................................................................... 187
7 Trojfzov soustava ........................................................................................................ 190
7.1 Vznik trojfzovho stdavho harmonickho napt .............................................. 190 7.2 Vroba trojfzovho proudu .................................................................................... 192
7.3 Penos energie v trojfzov elektrizan sti ............................................................ 196 7.4 Pipojovn spotebi k trojfzov sti ................................................................... 198 7.4 Zapojen trojfzovch spotebi ve trojfzov sti ................................................ 200
7.4.1 Zapojen trojfzovho spotebie do hvzdy ................................................... 200 7.4.1 Zapojen trojfzovho spotebie do trojhelnka ............................................ 202
7.5 Vkon trojfzovho proudu ..................................................................................... 206 7.5.1 Svorkovnice trojfzovho spotebie, pepojovn hvzda - trojhelnk ......... 207
7.6 Toiv magnetick pole ........................................................................................... 207
7.7 Kompenzace inku ............................................................................................... 212
8 Pehled nejdleitjch veliin a vztah ........................................................................ 214
Pehled obsahuje nejdleitj veliiny uvdn v uebnici, jejich jednotky vetn jejich
znaek a zkladn vztahy mezi veliinami. ........................................................................ 214 8.1 Elektrostatick pole ................................................................................................. 214 8.2 Stejnosmrn proud ................................................................................................. 215
8
8.3 Magnetick pole ...................................................................................................... 217
8.4 Stdav proudy ........................................................................................................ 219 8.4 Trojfzov soustava ................................................................................................. 221
Pouit literatura .................................................................................................................... 222
9
vod
Souasn teoretick elektrotechnika je postavena na tyech zkladnch rovnicch
obsahujcch obecn matematick popis elektromagnetickho pole, nazvanch podle jejich
autora fyzika Jamese Clerka Maxwella Maxwellovy rovnice.
Maxwellovy rovnice jsou zkladn vztahy komplexn popisujc elektromagnetick pole.
Mohou bt zapsny bu v integrlnm, nebo v diferencilnm tvaru. V integrlnm tvaru
popisuj elektromagnetick pole v jist oblasti, kdeto v diferencilnm tvaru v konkrtnm
bodu tto oblasti. Maxwellovy rovnice vychzej ze vech do t doby znmch poznatk
elektrotechniky a vem tmto zkonm vyhovuj.
Matematick rove studenta stedn koly neumouje vyuvat Maxwellovy rovnice; proto
tato uebnice vyuv zkladnch vztah mezi elektrickmi veliinami, kter byly odvozeny a
oveny empiricky a matematicky rznmi fyziky a kter jsou t odvoditeln z
Maxwellovch rovnic.
Po prostudovn tto uebnice by ml mt ten pehled o zkladnch jevech, procesech a
jejich vzjemnch souvislostech v elektrotechnice a ml by bt schopn zskan vdomosti
aplikovat v praxi a vyuvat pi studiu navazujcch obor ze silnoproud i slaboproud
aplikovan elektrotechniky.
http://cs.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://cs.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetick%C3%A9_polehttp://cs.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetick%C3%A9_polehttp://cs.wikipedia.org/wiki/Bod
10
1 Fyzikln veliiny a jejich jednotky
Fyzikln veliina je vlastnost hmoty, dje nebo jevu, kterou je mon zmit. Jednotkou
fyzikln veliiny je pevn stanoven mnostv tto veliiny. Konkrtn hodnotu kad
veliiny stanovme potem jednotek, jimi ji mme.
Napklad: veliina = dlka (oznaen l), jednotka = metr; veliina = as (oznaen t),
jednotka = sekunda.
Mezi rznmi fyziklnmi veliinami plat vztahy, kter je mon vyjdit matematickm
zpisem.
Napklad: veliina = rychlost (oznaen v); rychlost je drha s za urit as t, matematick
zpis vyjadujc tento vztah je v = s/t. Jednotkou rychlosti je m/s.
1.1 Mezinrodn soustava jednotek SI
Pro jednoznan vyjden velikosti fyziklnch veliin bylo dohodou stanoveno nkolik
zkladnch veliin, jejich jednotky byly nezvisle na sob zvoleny. Tyto jednotky se
nazvaj zkladn jednotky a tvo mezinrodn soustavu jednotek SI (Systme International
d'Units). Mezinrodn soustava jednotek SI m ti kategorie jednotek:
a) Zkladn jednotky soustavy SI
Jednotka zkratka jednotky veliina
Metr m dlka
Kilogram k hmotnost
Sekunda s as
Ampr A elektrick proud
Kelvin K teplota
Mol mol ltkov mnostv
Kandela cd svtivost
b) Doplkov jednotky
dopluj zkladn jednotky soustavy SI.
radin rad jednotka rovinnho hlu
steradin sr jednotka prostorovho hlu
c) Odvozen jednotky soustavy SI
vznikaj kombinac zkladnch jednotek podle matematickch vztah, kter popisuj
vzjemnou zvislost mezi veliinami.
Nkter odvozen jednotky soustavy SI se vyjaduj pomoc zkladnch jednotek, jin maj
vlastn nzev.
11
Napklad: elektrick proud (oznaen I) je mnostv elektrickho nboje (oznaen Q)
proteklho vodiem za urit as, matematick zpis tohoto vztahu je I=Q/t. Elektrick
nboj je tedy definovn jako Q=It, jednotka je As (amprsekunda) a m vlastn nzev
Coulomb [C].
Mimo tyto jednotky SI existuj jet tzv. vedlej jednotky, kter maj odlinou definici ne
jednotka pro tut veliinu v SI. Mezi vedlej a odvozenou (zkladn) jednotkou existuje
vdy pevodn vztah. Vedlej jednotky se dl na dovolen (edn se sm pouvat) a
nedovolen (edn se nesm pouvat).
Dovolen:
as: hodina [h], minuta [min]: 1 h=3600 s a 1 min=60 s
Hmotnost: tuna [t]: 1t = 1000 kg
Objem: litr [l] : 1l=1dm3=0,001 m
3
hly: stupe je rozdlen na 60 minut a 1 minuta na 60 vtein (/180 rad = 1 stupe)
Nedovolen:
Dlka: palec [inch]: 1 inch=2,54 cm, stopa [ft]: 30,48 cm, yard [y]: 1y =914 mm
Vkon: k [k]: 1 k = 735,49875 W.
1.2 Pedpony jednotek
Pedpony a jejich dohodnut zkratky jsou:
Pedpony zvtuj jednotky: Pedpony zmenujc jednotky:
k kilo 103 m mili 10
-3
M mega 106 mikro 10
-6
G giga 109 n nano 10
-9
T terra 1012
p piko 10-12
Napklad: 20 km = 20 103 m = 20 000 m; 5 F = 5 10
-6 F = 0,000005 F.
Doplkov pedpony zvtuj Doplkov pedpony zmenujc
d deka 10 d deci 10-1
h hekto 102 c centi 10
-2
12
2 Fyzikln zklad elektrickch jev
2.1 Elektronov teorie
Kad ltka se skld z atom, co jsou stice, kter nen mon dle chemicky rozdlit.
Charakter ltky uruje struktura atomu. Atomy se skldaj z elementrnch stic proton,
neutron a elektron. stice nazvan elektron je nositelem elementrnho zpornho
elektrickho nboje (elementrn nboj ji nelze dlit, je to nejmen mon elektrick nboj),
oznauje se -e. stice nazvan proton je nositelem elementrnho kladnho elektrickho
nboje, oznauje se +e. stice nazvan neutron nem dn elektrick nboj. Struktura
atomu je tvoena jdrem atomu sloenm z proton a neutron (je tedy kladn) a
z elektronovho obalu (je zporn). Velikost elektrickho nboje se m v coulombech
(oznaen C), elementrn elektrick nboje e = 1,602 10-19
C.
Atomy konkrtnch ltek se li potem elementrnch stic proton, neutron a elektron,
kter dan atom obsahuje. Poet elektron a proton v jednom atomu je u dan ltky vdy
stejn, atom v klidovm stavu je tedy z vnjho pohledu elektricky neutrln.
Psobenm vnjch vliv je u nkterch materil mon z atomu oddlit elektron. Tm se
poru elektrick rovnovha atomu a vznikne tzv. iont s kladnm elementrnm nbojem
(kationt) a voln elektron se zpornm elementrnm nbojem.
Jakkoliv elektricky nabit tlso me tedy bt nositelem elektrickho nboje; ten je vak
vdy celoselnm nsobkem elementrnho nboje Q = ke, kde Q je celkov elektrick nboj a k je cel slo.
Nboje se stejnou polaritou se navzjem odpuzuj, nboje opan polarity se navzjem
pitahuj. Elektricky nabit tleso se ve svm okol projevuje silovm psobenm na jin
elektricky nabit tlesa v okol elektricky nabitho tlesa tedy existuje elektrick pole.
2.2 Vodie a izolanty
Jsou-li vzjemn vazby mezi nabitmi sticemi v dan ltce slab, mohou se tyto stice i pi
slabm vlivu okolnho prosted v ltce pohybovat a penet elektrick nboj. Tyto materily
nazvme vodie. Jedn se vtinou o kovy (vykazuj elektronovou vodivost, volnm
nositelem nboje jsou elektrony), ppadn elektrolyty nebo ionizovan plyny (nositelem
nboje jsou kladn nebo zporn ionty). Vodie (kovy) maj krystalickou mku, kter je
sloena z kladnch iont kovu. Valenn elektrony jsou ke kationtm vzny kovovou
vazbou, kter je ale velmi slab. Valenn elektrony lze proto velmi snadno odtrhnout silovm
psobenm elektrickho pole.
Jsou-li stice v dan ltce pevn chemicky vzny, penos nboje nenastv. Tyto ltky
oznaujeme jako nevodie (izolanty). Izolanty maj valenn elektrony v obalu vzny velkm
silovm psobenm (p. chemick vazba).
2.3 Zdroje elektrick energie
Elektrick zdroj je zazen, ve kterm vznik elektrick energie pemnou z jinho druhu
energie.
Elektrick zdroj rozdl elektrick nboj tak, aby se na jednom mst udroval pebytek
zpornho nboje (elektron) a na druhm mst jeho nedostatek. Tato msta nazvme ply
13
zdroje. Pl s pebytkem zpornho nboje se oznauje jako (minus), pl s nedostatkem
zpornho nboje jako + (plus).
Ply jsou vyvedeny na svorky, co jsou msta, kde se ke zdroji pipojuje spotebi.
Obr. 1 - Stejnosmrn elektrick zdroj a jeho schematick znaka
Nahromadn nboj vytv mezi ply zdroje elektrick napt. Pokud se ply zdroje propoj
vodiem, pebytek zpornch elektron ze zpornho plu je pitahovn ke kladnmu plu,
na nm je nedostatek elektron a je tedy nabit kladn. Elektrick nboj prochz vodiem;
tento jev se nazv elektrick proud I. Smr proudu je dohodou stanoven od + k -.
Obr. 2 - Elektrick proud ve vodii pipojenm ke zdroji
Elektrick proud je tedy pohyb elektrickho nboje ve vodii a je definovn jako mnostv
elektrickho nboje, kter projde prezem vodie za jednotku asu:
t
QI ),;( sCA
Jednotkou elektrickho proudu je ampr (A), co je jedna ze zkladnch jednotek v SI
soustav. Tedy jednotka elektrickho nboje coulomb m v SI rozmr: tIQ sAC .
Coulomb je t oznaovn jako amprsekunda.
14
3 Elektrostatick pole
Elektricky nabit tleso se ve svm okol projevuje silovm psobenm na jin elektricky
nabit tlesa v okol elektricky nabitho tlesa tedy existuje elektrick pole.
Silov psoben elektrickho nboje, kter je v klidu, se nazv elektrostatick pole.
Elektrick nboj me bt zporn, co je psobeno pebytkem elektron nad potem
kladnch proton, nebo kladn, tehdy je elektron v materilu nedostatek.
Elektrostatick pole me existovat v jen v nevodivm prosted, ve vodivm by vlivem
elektrickho pole nastal pohyb elektrickho nboje a do doby, kdy by se nboje rzn
polarity vyrovnaly, sla by pestala psobit a elektrick pole by pestalo existovat. Elektrick
nboj se vyskytuje vdy jen na povrchu vodi.
Vme, e nboje se stejnou polaritou se navzjem odpuzuj, nboje opan polarity se
navzjem pitahuj.
Obr. 3 - Vzjemn silov psoben elekrticky nabitch stic
3.1 Zobrazovn elektrostatickho pole
Psoben elektrostatickho pole popisujeme pomoc tzv. siloar.
Na volnou kladn nabitou stici umstnou do elektrostatickho pole psob sla
elektrostatickho pole a vyvolv jej pohyb v poli.
Silory jsou kivky, kter by byly drhou pohybu voln kladn nabit stice v danm poli.
Silory smuj od pevnho nositele kladnho nboje (kladn elektrody) do pevnho nositele
zpornho nboje (zporn elektrody) a jejich tvar je takov, e vektor sly psobc na
volnou kladnou stici je vdy ten k drze pohybu voln stice. Elektrostatick pole
osamocenho kladnho a zpornho nboje jsou radiln viz obr. 4.
Obr. 4 - Radiln elektrostatick pole osamocenho kladnho a zpornho nboje
Na obr. 5 je znzornno elektrostatick pole dvou opan nabitch elektrod. Kladn elektroda
volnou kladn nabitou stici odpuzuje, zporn ji pitahuje. Elektrostatick pole psob na
stici silou danou vektorovm soutem sil vyvolanch obma elektrodami.
15
Obr. 5 - Elektrostatick pole dvou opanch nboj
Sla, kter psob v elektrostatickm poli na pokusnou elektricky nabitou stici, je pmo
mrn velikosti nboje Q tto stice. Silov schopnosti elektrostatickho pole lze vyjdit
veliinou E intenzita elektrickho pole.
QEF ( 1,; CNCN )
Intenzita elektrickho pole E je sla, kter v danm mst psob na jednotkov kladn nboj;
je tedy urena jako podl elektrick sly, kter by v danm mst psobila na bodov nboj, a
tohoto nboje.
Z toho
Q
FE ( CNCN ,;1 )
Psob-li v rznch bodech elektrostatickho pole sla rzn velikosti nebo smru, nazvme
toto pole nehomogenn.
Psob-li ve vech bodech elektrostatickho pole sla stejn velikosti i smru, nazvme toto
polem homogennm.
Pklad 1:
Intenzita elektrickho pole v bod X je 50 kV/m. Urete, jakou silou psob elektrostatick
pole na stici nabitou nbojem 30 C.
een:
5,110150010301050 363 QEF (N)
16
3.2 Homogenn elektrostatick pole
Homogenn pole se vyskytuje mezi dvma rovnobnmi vodivmi deskami, kter nesou
stejn velk nboje opan polarity. Intenzita tohoto pole m v kadm bod stejn smr a
velikost.
Obr. 6 - Homogenn elektrostatick pole
Je-li v prostoru pole voln stice nabit elektrickm nbojem Q, psob na ni v elektrickm
poli sla QEF . Tato sla urychluje stici a vyvol jej pohyb po siloe. Pemst-li se
stice s nbojem Q po siloe z bodu 1 do bodu 2 ve vzdlenosti l, vykon se prce A:
lFA ( mNJ ,; )
Po dosazen F=E Q dostaneme
lQElFA
Pokud budeme z bodu 1 do bodu 2 pemisovat nabitou stici s jednotkovm nbojem, pak
prci potebnou k tomuto pemstn nazvme elektrick napt oznaen U.
Q
AU ( CJV ,; )
Jednotkou elektrickho napt je volt (V). 1 V je prce, kter je potebn k pemstn nboje
o velikosti 1 C. Rozmr (V) je (JC-1
).
Elektrick napt se vdy vztahuje ke dvma bodm elektrickho pole, na rozdl od intenzity
pole (co je vektor vzan ke konkrtnmu jednomu mstu v poli).
Protoe Q
FE , lze po dosazen ze vztah lQElFA a
Q
AU vypotat:
l
U
Q
l
QU
Q
l
A
Q
FE
( 1mV )
Intenzitu elektrickho pole je tedy mon vyjdit tak jako spd napt U:
l
UE ( mVmV ,;1 )
Napt je v poli rozloeno rovnomrn. Msta, kter maj proti nkter elektrod stejn napt
(tzv. potencil) se nazvaj ekvipotencily.
17
Obr. 7 - Vektory intenzity elektrickho pole a hladiny ekvipotencil
Pklad 2:
Jak je intenzita elektrickho pole mezi dvma kovovmi deskami, jejich vzjemn
vzdlenost je 3 mm, je-li mezi nimi napt 24 V?
een:
80001083
1024
103
24 33
3
l
UE ( 1mV )
3.3 Coulombv zkon
Dva elektrick nboje na sebe silov vzjemn psob. Menm bylo zjitno, e sla, kterou
se nboje pitahuj (kladn a zporn), ppadn odpuzuj (kladn a kladn nebo zporn a
zporn), je pmo mrn souinu jejich velikosti a nepmo mrn druh mocnin jejich
vzdlenosti.
Obr. 8 - Coulombv zkon
Plat tedy:
2
21
r
QQkonstF
kde konstanta m hodnotu
4
1konst
18
kde se nazv permitivita danho prosted. Pokud se nboje nachzej ve vakuu, tato
hodnota se oznauje 0 permitivita vakua. Jej hodnota je 0 = 8,85410-12
(CV-1m
-1).
V jakmkoliv jinm nevodivm prosted plat
0 r
kde r je pomrn permitivita danho prosted; r je vdy vt ne 1, pro vzduch je piblin
rovna 1.
Pomrn permitivita dielektrik se pro konkrtn materily zskv menm a uvd se
v tabulkch.
Tedy sla, j na sebe navzjem psob dva elektrick nboje v obecnm nevodivm prosted
je
2
21
04
1
r
QQF
r
Coulombv zkon
Pklad 3:
Jak velkou silou na sebe vzjemn psob dva elektrony ve vakuu, je-li jejich vzdlenost
1 mm?
een:
)(103,2)101(
10602,110602,1
10854,84
1
4
1 2223
1919
122
21
0
Nr
QQF
r
3.4 Nehomogenn elektrostatick pole
Nehomogenn elektrostatick pole se vyskytuje nap. v okol osamocenho elektrickho
nboje. Silov inky tohoto pole budou tm vt, m je vt dan elektrick nboj a tm
vt, m bude zkouman bod elektrostatickho pole bl k nboji, kter ho vyvolal.
Ekvipotencilami budou soustedn kulov plochy se stedem v mst elektrickho nboje.
Vliv silovho psoben nboje se tedy rovnomrn rozlo po kulov ploe dan
ekvipotencily.
Obr. 9 - Ekvipotencily v okol nabit kulov stice a intenzita el. pole. Velikost intenzity
v bod A a B je tat EA = EB, smr je vdy do stedu kulov plochy
19
Vme, e intenzita elektrickho pole Q
FE a plat Coulombv zkon
2
21
04
1
r
QQF
r
, 1QQ a CQ 12 .
Intenzita elektrostatickho pole E v bodu A ve vzdlenosti r od stedu koule tedy bude:
24 r
QE
kde 0 r
je konstanta zohledujc vliv okolnho nevodivho prosted.
Na jedn ekvipotencile bude stejn velikost intenzity elektrostatickho pole E, jej smr vak
bude v kadm bodu do stedu koule.
Vyskytuje-li se v prostoru vce nboj, vsledn intenzita pole bude dna vektorovm
soutem intenzit pol vyvolanch dlmi nboji.
Obr. 10 - Vsledn intenzita elektrickho pole
3.5 Elektrick indukce
Pi piblen tlesa 1, kter je nabito zpornm nbojem, k vodivmu tlesu 2 v neutrlnm
stavu se poru jeho elektrick rovnovha viz obr. Elektrony v tlese 2 se odpuzuj a st
tlesa pivrcen k tlesu 1 je tud nabit kladn. Po oddlen tlesa 1 od tlesa 2 se
elektrick rovnovha tlesa 2 obnov.
Obr. 11 - Elektrick indukce
20
Pokud bychom tleso 1 neoddlili od tlesa 2 a dotykem ruky odvedli elektrony z tlesa 2 do
zem, zstane tleso 2 nabito kladnm elektrickm nbojem.
Tento jev se nazv elektrick indukce.
Mezi dvma vodivmi deskami A a B o ploe S1 nabitmi nbojem +Q1 a -Q1 je homogenn
pole. Vlome-li do prostoru pole dv navzjem pilhajc vodiv destiky o ploe S2 podle
obr. 12 a) a uvnit pole je oddlme viz obr. 12 b) a pot je z prostoru pole vyjmeme, na
destikch bude indukovan elektrick nboj; jeho velikost bude Q2, kde
2
1
12 S
S
a) b)
Obr. 12 - Elektrick indukce indukovan nboj
Pro podl nboje a plochy zavdme veliinu D - elektrick indukce:
S
QD ),;( 22 mCmC
Pklad 4:
Jak je hodnota el. indukce ve vzdlenosti 2 mm od stedu mal vodiv kuliky nabit el.
nbojem 310-12
C?
een:
)(105,974104
103
4)102(
103
4
214
6
12
23
12
2mC
r
Q
S
QD
Vztah mezi intenzitou elektrickho pole E a elektrickou indukc D
Elektrick indukce je veliina zvisejc na velikosti elektrickho nboje a na ploe;
neovlivuje ji druh nevodivho prosted. Na rozdl od elektrick indukce je velikost intenzity
elektrickho pole zvisl na prosted dielektriku. Jejich vzjemn vztah je pmo mrn
m je vt intenzita elektrickho pole, tm je vt elektrick indukce.
Napklad pro kulov nboj plat:
24 r
Q
S
QD
a
24 r
QE
21
Tedy
ED
kde je permitivita dielektrika (dielektrikum = izolant v elektrickm poli), 0 r .
ED r 0
3.6 Elektrick vlastnosti izolant
3.6.1 Polarizace dielektrika
Mohou-li se voln elektricky nabit stice v materilu pohybovat, neme uvnit vodie
vzniknout samostatn elektrick pole. Psobenm vnjho elektrickho pole protk vodiem
elektrick proud.
U nevodi izolant jsou nabit stice ve struktue materilu pevn vzny a nemohou se
vlivem elektrickho pole pohybovat proud neprotk. Izolant umstn v elektrickm poli se
nazv dielektrikum (nap. slda, sklo, papr).
Pokud je atom dielektrika umstn mimo elektrick pole, jsou nboje jednotlivch elektricky
nabitch stic uspodny symetricky. Vlivem vnjho elektrickho pole dochz k posunu
stic v atomech vznikaj tzv. diply.
9 a) 9 b)
Obr. 13 - Atom vodku a) v neutrlnm stavu b) polarizovan (dipl)
Atomy nebo molekuly, ze kterch se izolant skld, se vlivem vnjho elektrickho pole
polarizuj. Tm se v materilu vytvo vnitn elektrick pole psobc proti pvodnmu
vnjmu elektrickmu poli, kter polarizaci dielektrika zpsobilo. Tm je celkov elektrick
pole (dan soutem vnjho pole a vnitnho pole polarizovanho dielektrika) men ne
pvodn pole. To je tak dvodem, pro r je vdy vt ne 1 (r =1 pouze pro vakuum).
9 a) 9 b)
Obr. 14 - Polarizace dielektrika a) a vnitn elektrick pole dielektrika b)
22
3.6.2 Elektrick pevnost dielektrika
Jak ji bylo uvedeno, nabit stice izolantu jsou ve struktue materilu pevn vzny a
nemohou se vlivem elektrickho pole pohybovat proud neprotk. Ale pekro-li intenzita
elektrickho pole uritou hodnotu, sla elektrick pole psobc na nabit stice v materilu
je vt ne sla vazby v atomu a pak dojde k poruen vazby a dochz k tzv. prrazu izolantu
- proud zane izolantem protkat.
Hodnota takov intenzity se nazv elektrick pevnost dielektrika. Elektrick pevnost izolant
se pro konkrtn materily zskv menm a uvd se v tabulkch.
Tabulka elektrickch vlastnost nkterch izolant
Materil r Ep (kV/mm)
vzduch 1,0006 2 a 3
minerln olej 2,2 a 2,4 20 a 30
parafn 1,9 a 2,2 20 a 30
kondenztorov papr 2 a 5 30 a 58
kabelov papr 2,5 a 4 7 a 10
polyelyln 2,2 a 2,3 45 a 60
slda 6 a 7 40 a 80
sklo 3,5 a 4 20 a 50
porceln 5,5 a 6,5 20 a 45
3.7 Kondenztor
Kondenztor je pasivn elektronick soustka slouc k nahromadn a uchovn
elektrickho nboje; je tvoen dvma vodivmi deskami (elektrodami), mezi nimi je
dielektrikum.
Pokud na desky pipojme elektrick napt, na deskch se nahromad elektrick nboje
opanch polarit.
Obr. 15 - Kondenztor
Mezi dvma vodivmi deskami vzjemn oddlenmi dielektrikem vznikne po pipojen
napt U homogenn elektrostatick pole. Na deskch kondenztoru se nahromad elektrick
nboj + Q a -Q. Tento nboj je tm vt, m je vt pipojen napt.
Plat tedy:
UkonstQ
23
Konstanta plat pro dan kondenztor, nazv se kapacita kondenztoru a oznauje se C.
UCQ
Jednotkou kapacity je farad (F). U
QC a tedy rozmr jednotky farad je (
V
C
U
QF ).
Jednotka farad (F) je velk, bn se kapacita kondenztor m v F, nF a pF.
Schematick znaka kondenztoru je
Obr. 16 Znaka kondenztoru
Velikost kapacity C je zvisl na ploe desek S, jejich vzdlenosti l a materilu dielektrika.
Vme, e plat
S
QD ED r 0
l
UE
Dosazenm zskme vztah
l
S
lE
SE
lE
SD
U
QC r
r
0
0
Kapacita kondenztoru C je pmo mrn velikosti desek na nepmo mrn jejich
vzdlenosti. Kapacita se zv i pouitm vhodnho dielektrika o velk relativn permitivit r.
Pklad 5:
Jak je velikost nboje na deskovm kondenztoru ve svitkovm uspodn, je-li rozmr
elektrod 2 cm x 20 cm a jako dielektrikum je pouit kondenztorov papr o tlouce 0,1 mm
a r = 4. Napt pipojen ke kondenztoru je 24 V.
een:
UCQ
l
SC r 0 kde
322 1041020102 S (m2)
)(417,1)(01417,1
)(101417160108,854101,0
1044108,854
9-
12-12-
3
312-
0
nFF
Fl
SC r
3.8 Spojovn kondenztor
Kondenztory je mono spojovat paraleln (vedle sebe) nebo sriov (za sebou).
24
3.8.1 Paraleln spojovn kondenztor
Schma paralelnho spojen t kondenztor je na obr. 17 a).
Chceme-li urit vslednou kapacitu danho zapojen, nahradme spojen vech 3
kondenztor jedinm kondenztorem viz obr 17 b), jeho psoben bude stejn jako
psoben vech t propojench kondenztor, to znamen, e pipojme-li k nhradnmu
kondenztoru stejn napt, mus se na nm objevit stejn nboj jako na pvodnm zapojen.
1a) 1b)
Obr. 17 - Paraleln spojen kondenztor
Z obr. 1a) je patrn, e napt na vech kondenztorech je toton a je rovno U.
Celkov nboj na paralelnm spojen kondenztor podle obr. 1a) je
321 QQQQ
Nboje na jednotlivch kondenztorech jsou
11 CUQ 22 CUQ 33 CUQ
Po dosazen
)( 321321 CCCUCUCUCUQ
Pro nhradn kondenztor - viz 1b) plat:
CUQ
Protoe se pi nhrad mus pi stejnm napt na nhradnm kondenztoru nahromadit stejn
nboj jako v pvodnm obvodu, mus bt
)( 321 CCCUCU
321 CCCC
Pi paralelnm zapojen kondenztor se vsledn kapacita zapojen rovn soutu kapacit
jednotlivch kondenztor.
Tato nhrada plat pro libovoln poet sriov spojench kondenztor.
3.8.2 Sriov spojovn kondenztor
Schma sriovho spojen t kondenztor je na obr. 18 a).
Chceme-li urit vslednou kapacitu danho zapojen, nahradme spojen vech 3
kondenztor jedinm kondenztorem viz obr. 18 b), jeho psoben bude stejn jako
psoben vech t propojench kondenztor, to znamen, e pipojme-li k nhradnmu
kondenztoru stejn napt, mus se na nm objevit stejn nboj jako na pvodnm zapojen.
25
1a) 1b)
Obr. 18 - Sriov spojen kondenztor
Z obr. 18 a) je patrn, e se nboje mezi vnitrnmi deskami jednotlivch kondenztor, kter
jsou spojeny vodiem, vyrovnvaj. Nboje na jednotlivch kondenztorech jsou tedy
vechny stejn a i vsledn nboj je stejn jako nboje na jednotlivch kondenztorech:
QQQQ 321
Celkov napt je dno soutem napt na jednotlivch kondenztorech:
321 UUUU
Napt na jednotlivch kondenztorech jsou:
1
1C
QU
2
2C
QU
3
3C
QU
Dosazenm zskme vraz
)111
(321321
321CCC
QC
Q
C
Q
C
QUUUU
Pro nhradn kondenztor viz 18 b) plat:
C
QU
Protoe se pi nhrad mus pi stejnm napt na nhradnm kondenztoru nahromadit stejn
nboj jako v pvodnm obvodu, mus bt
321
1111
CCCC
Pi sriovm zapojen kondenztor se pevrcen hodnota vsledn kapacity zapojen rovn
soutu pevrcench hodnot kapacit jednotlivch kondenztor.
Tato nhrada plat pro libovoln poet paraleln spojench kondenztor.
Pklad 6:
Mme 4 kondenztory o stejnch kapacitch C = 1 F. Tyto kondenztory jsou spojeny do
srie. Urete vslednou kapacitu tohoto zapojen.
26
een:
CCCCCCvsl
411111 25,0
4
1
4
CCvsl F
Obecn plat, e spojme-li n kondenztor o stejnch kapacitch C, vsledn
kapacita takovho spojen je C/n.
Pklad 7:
Jak je celkov kapacita a celkov el. nboj v obvodu podle obr. 19, je-li napt 24 V a
kapacity jednotlivch kondenztor jsou C1 = 1 F, C2 = 0,5 F, C3 = 1,2 F a C4 = C5=
200 nF?
Obr. 19 - Srioparaleln zapojen kondenztor
een:
Kondenztory C4 a C5 jsou zapojeny do srie; nahradme je kondenztorem
C4,5:
545,4
111
CCC z toho 100
200200
200200
54
545,4
CC
CCC (nF) = 0,1F
Tm jsme zskali nhradn zapojen dle obr. 20
Obr. 20 - Nhradn zapojen kondenztor
Nyn jsou vechny kondenztory zapojeny paraleln, je tedy mono spotat
vslednou kapacitu C:
8,21,02,15,015,4321 CCCCC F
Vsledn elektrick nboj
66 102,6724108,2 UCQ C
27
Pklad 8:
Pro sprvnou funkci elektrickho obvodu je potebn kapacita CV = 2,5 F. K dispozici mme
libovoln poet kondenztor o kapacit C = 1 F. Navrhnte zapojen kondenztor tak, aby
byl splnn dan poadavek.
een:
Vme, e kapacity paraleln spojench kondenztor se staj a dle vme, e
spojme-li n kondenztor o stejnch kapacitch C, vsledn kapacita
takovho spojen je C/n; 2,5 lze pst jako 1 + 1 + 0,5 a z toho plyne, e
potebn zapojen je srioparaleln podle obr. 21:
Obr. 21 - Srioparaleln zapojen kondenztor
Pklad 9:
Kondenztor s kapacitou C1 = 4 F je nabit na napt 24 V. K nmu paraleln pipojme
kondenztor o kapacit C = 2 F nabit na napt 12 V. Jak je vsledn napt na
propojench kondenztorech?
een:
Nboj na prvnm kondenztoru Q1 je
66
111 109610424 CUQ (C)
Nboj na druhm kondenztoru Q2 je
66
222 102410212 CUQ (C)
Pi paralelnm spojen se nboje staj, tedy celkov nboj
666
21 1012010241096 QQQ (C)
Vsledn kapacita tohoto zapojen je
62421 CCC (F)
Napt na spojench kondenztorech je
20106
101206
6
C
QU (V)
28
3.9 Pechodov jev na kondenztoru
V nsledujc kapitole plat, e veliiny, kter jsou oznaeny malmi psmeny, jsou okamit
hodnoty veliiny, tj. veliiny v konkrtnm okamiku danho fyziklnho dje. Na rozdl od
okamitch hodnot se ustlen hodnoty veliiny, kter jsou s asem konstantn, zna velkmi
psmeny.
V ustlenm stavu je kondenztor o kapacit C, kter je pipojen k elektrickmu napt U,
nabit nbojem Q = CU a napt na nm se rovn pipojenmu napt. Kondenztor potebuje
uritou dobu t prchodu proudu, aby se na jeho deskch nahromadil el. nboj: dtiQt
0
.
V okamiku pipojen kondenztoru ke zdroji stejnosmrnho napt nastv tzv. pechodov
dj na kondenztoru:
Obr. 22 - Pechodov jev na kondenztoru
V obvodu plat v kadm okamiku 2. Kirchhoffv zkon: U0 = uR + uC
Pi pipojen zdroje napt k obvodu s kondenztorem v ase t0 = 0 (tj. pi sepnut spnae S) nen na kondenztoru dn nboj, tedy ani dn napt.
t0 = 0: uC = 0 uR = U0 uc = U0 0 = U0 R
U
R
ui R 0
Proud v obvodu ase t0 je omezen jen odporem R. Proud je v okamiku pipojen napt maximln; jak s postupem asu roste napt na kondenztoru, proud kles a rychlost nabjen
se zpomaluje.
Proud nabj kondenztor a do okamiku, kdy Uc je rovno napt zdroje. Tehdy proud
pestv protkat a nastv ustlen stav.
V ustlenm stavu t (to je po dostaten dob po sepnut spnae S - pechodov dje v elektrotechnice jsou velmi rychl, as, v nm obvod doshne ustlenho stavu je
maximln v du sekund), se veliiny v obvodu ji nemn, jsou konstantn. Plat:
t0 : i = 0 uR = Ri = 0 a uC = U0
Prbh proudu a napt je na obr. 23.
29
Obr. 23 - Prbh proudu a napt pi pechodovm dji na kondenztoru
Nrst napt uC se postupn zpomaluje, proud kles, kles i napt na odporu uR. Prbh je dn st exponenciln kivky, tena v jejm potku vytne na ose asu hodnotu tzv. asov
konstanty .
t
c eUu 10
kde
CR
3.10 Energie elektrostatickho pole
Nabijeme-li na kondenztor nbojem Q, bude na nm napt U
C
QU
Pokud na tento kondenztor chceme pivst dal mal nboj dQ, musme vynaloit prci dA.
Plat Q
AU A = U Q, tedy dA bude
dQC
QdQUdA
Celkov energie, kter je potebn k nabit kondenztoru na nboj Q, je dna soutem vech
dlch prac dA
Q
C dQC
QdAW
0
tento vpoet se provd pomoc integrlnho potu a vsledek je
C
QWC
2
2
Protoe Q = C U, je energie elektrostatickho pole kondenztoru
2
2
1UCWC nebo tak UQWC
2
1
Nabit kondenztor je zdrojem elektrick energie. Spojme-li elektrody nabitho
kondenztoru pes rezistor s odporem R, zane rezistorem protkat elektrick proud, kter se
na rezistoru mn v tepelnou energii; tedy energie elektrostatickho pole se mn v tepelnou
energii a kondenztor se vybj viz obr. 24.
30
Obr. 24 - Vybjen kondenztoru
Z pedchozch kapitol vme, e Q = DS, D = E a U = El. Po dosazen tchto vztah plat
lSElESElESDUQWC 2
2
1
2
1
2
1
2
1
Z tohoto vrazu je patrn, e energie nabitho kondenztoru je mrn ploe desek S a jejich
vzdlenosti l, tedy objemu V = Sl prostoru mezi deskami kondenztoru. Energie nahromadn v jednotce objemu je
EDElS
lSE
V
Ww CC
2
1
2
12
1
2
2
Protoe D a E jsou veliiny, kter se vztahuj ke konkrtnmu mstu elektrostatickho pole,
plat tento vztah pro libovoln tvar pole.
Pklad 10:
Vzduchov kondenztor m plochu desek 20 cm2, jejich vzdlenost je 1 mm a napt na
kondenztoru je 12 V. Po odpojen kondenztoru od zdroje posuneme desky do vzjemn
vzdlenosti 1,5 mm. Urete, jak se zmn napt mezi deskami kondenztoru.
een:
Kapacita kondenztoru ve vchozm stavu
12-12-
3
412-
1
01 1017,7082108,854101
10201108,854
l
SC r F
Nboj na kondenztoru
-12-12
11 10212,4961017,70812 CUQ C
Kapacita kondenztoru po posunut desek
12-12-
3
412-
2
02 1011,805331,333108,854105,1
10201108,854
l
SC r F
Napt po posunut desek
181011,80533
10212,49612-
-12
C
QU V
31
Pklad 11:
Jak velkou energii zskme pi plnm vybit kondenztoru o kapacit 5 mF, je-li nabit na
napt 230 V?
een:
132250,01013225052900105,22301052
1
2
1 66262 UCWC J
3.11 Sloen dielektrika
Sloen dielektrika je mon uspodat bu vedle sebe, nebo za sebou.
3.11.1 Dielektrika vedle sebe
Mjme dv deskov elektrody oddlen dvma dielektriky s relativnmi permitivitami r1 a r2
podle obr. 25
Obr. 25 - Dielektrika vedle sebe
V obou dielektrikch je stejn intenzita elektrickho pole
l
UEEE 21
Elektrick indukce bude v kadm dielektriku jin, a to
ED r 011 a ED r 022
Nboje Q1 a Q2 budou
111 SDQ a 222 SDQ
Celkov nboj na deskch bude
21 QQQ
Dosadme za Q1 a Q2:
Ul
SU
l
SQ rr
2
202
1
101
32
Z vsledku je patrn, e toto uspodn dielektrik se chov jako dva kondenztory o
kapacitch 1
1011
l
SC r a
2
2022
l
SC r spojen paraleln.
Pozor: elektrick pevnost uspodn dielektrik vedle sebe m elektrickou pevnost danou
dielektrikem s men elektrickou pevnost.
3.11.2 Dielektrika za sebou
Mjme dv deskov elektrody oddlen dvma dielektriky s relativnmi permitivitami r1 a r2
podle obr. 26 tzv. vrstven dielektrikum.
Obr. 26 - Dielektrika za sebou
Nboj i plocha jsou pro ob dielektrika stejn, to znamen, e elektrick indukce v obou
materilech je stejn
S
QDDD 21
Intenzita elektrickho pole je pro prvn dielektrikum 10
1
r
DE
a pro druh
20
2
r
DE
.
Celkov napt mezi deskami
U = U1 + U2
kde
1
10
111 lD
lEUr
a 220
222 lD
lEUr
Pak po dosazen
)(20
2
10
12
20
1
10
2
20
1
10 rrrrrr S
l
S
lQl
S
Ql
S
Ql
Dl
DU
Protoe plat l
SC r 10 , je
110
1 1
CS
l
r
a 220
2 1
CS
l
r
33
Tedy )11
(21 CC
QU a protoe C
QU1 , pak
pevrcen hodnota kapacity vrstvenho dielektrika je rovna soutu pevrcench hodnot
kapacit dlch dielektrik:
21
111
CCC
Vrstven dielektrikum se chov jako dva paraleln spojen kondenztory.
Intenzita elektrickho pole v obou dielektrikch je
10
1
r
DE
a
20
2
r
DE
Pomr intenzit elektrickho pole je
1
2
20
10
2
1
r
r
r
r
D
D
E
E
Intenzity elektrickho pole jsou tedy v opanm pomru ne relativn permitivity jednotlivch
dlch dielektrik.
Lze tedy pst 21
21 EE
r
r
a dosazenm zskme
1
2112221
1
222212
1
2221121 )(
r
rr
r
r
r
r llEllElElElElEUUU
Z toho
2112
12
ll
UE
rr
r
Pozor: elektrick pevnost kadho jednotlivho dielektrika mus bt vt ne vypoten
intenzita tohoto dielektrika Ep > E.
Pklad 12:
Mezi dvma kovovmi deskami je napt 600 V. Desky jsou navzjem izolovny paprem
tlouky 0,2 mm a sldou tlouky 0,3 mm. Vypotejte elektrick namhn jednotlivch
dielektrik a zkontrolujte, zda jejich elektrick pevnost vyhovuje pro dan napt.
Materil r Ep (kV/mm)
1 kondenztorov papr 4 40
2 slda 7 60
34
een:
Intenzita elektrickho pole ve sld je
923,07692,14,1
2400
3,042,07
4600
2112
12
ll
UE
rr
r
V/mm
1615,385923,07694
72
1
21 EE
r
r
V/m
Ob hodnoty jsou men ne je Ep propslun materil, elektrick pevnost
vyhovuje.
3.12 Kondenztory s nehomogennm elektrickm polem
Pro vpoet nehomogennch pol je nutn znalost vy matematiky, kter nen obsahem uiva
stednch kol; berte tedy nkter dle uveden vztahy jako platn fakta.
3.12.1 Dv soustedn kulov plochy
Mezi dvma soustednmi kulovmi plochami je radiln elektrostatick pole.
Obr. 27 - Elektrostatick pole dvou soustednch kulovch ploch
Elektrick indukce ve vzdlenosti r od stedu kulovch ploch je
24 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickho pole na tomto polomru je
24 r
QDE
Na celm povrchu mylen koule o polomru r se stedem ve stedu kulovch ploch je stejn
velikost vektoru D i E; smr vektor je vdy radiln.
Napt mezi dvma body se vzjemnou vzdlenost dr podle obr. 27 je
35
drEdU kde E je intenzita pole v danm mst.
Celkov napt mezi kulovmi plochami je dno soutem vech dlch napt dU mezi
kulovmi plochami (vypot se pomoc integrlnho potu):
21
12
04 rr
rrQU
r
Obr. 28 - Prbh napt v dielektriku v prostoru mezi kulovmi plochami
Kapacita dvou soustednch kulovch ploch je
12
2104
rr
rr
U
QC r
3.12.2 Osamocen koule
Pro osamocenou kouli uvaujeme vnj polomr r2 .
Pak kapacita osamoceno koule je
10
12
210 44lim
2
rrr
rrC rr
r
Elektrick indukce na povrchu koule je
2
14 r
Q
S
QD
Intenzita elektrickho pole na povrchu koule je
2
100 4 r
QDE
rr
kde UrUCQ r 104
Po dosazen za Q dostaneme
1
2
10
10
2
100 4
4
4 r
U
r
Ur
r
QDE
r
r
rr
Elektrick namhn je tm vt, m je men polomr zaoblen elektrody; u elektrod o velmi
malm polomru nebo u zapiatlch elektrod je velk riziko pekroen dovolen elektrick
pevnosti izolantu.
36
3.12.3 Dv soustedn vlcov plochy
Mezi dvma soustednmi vlcovmi plochami je radiln elektrostatick pole.
Obr. 29 - Elektrostatick pole dvou soustednch vlcovch ploch
Elektrick indukce ve vzdlenosti r od osy vlcovch ploch je
lr
Q
S
QD
2
Intenzita elektrickho pole na tomto polomru je
lr
QDE
2
Na celm povrchu mylenho vlce o polomru r s osou v ose vlcovch ploch je stejn
velikost vektoru D i E; smr vektor je vdy radiln.
Napt mezi dvma body se vzjemnou vzdlenost dr podle obr. 29 je
drEdU kde E je intenzita pole v danm mst.
Celkov napt mezi vlcovmi plochami je dno soutem vech dlch napt dU mezi
vlcovmi plochami (vypot se pomoc integrlnho potu):
1
2
0
ln2 r
r
lr
QU
r
Kapacita dvou soustednch vlcovch ploch je
1
2
0
1
2
0
log3,2
2
ln
2
r
r
l
r
r
l
U
QC rr
Pklad 13:
Jak je kapacita jednoho metru koaxilnho kabelu? Vodi m prmr 1 mm, izolac je
kabelov papr a pl kabelu m prmr 5 mm. (r = 3)
37
een:
12-12--12
1
2
0 10103,8136105log3,2
166,894
5,0
5,2log3,2
13108,8542
log3,2
2
r
r
lC r F
C = 103,8 pF
3.13 Elektrostatick jevy v praxi
V praxi se vyskytuj objekty, kter maj znaky kondenztor, to znamen dv elektrody
oddlen dielektrikem. Jednou elektrodou me bt napklad kovov st technologickho
zazen, kter nen uzemnn, druhou elektrodou je zem.
Tyto provozn kondenztory se nabjej; nboj na nich vznik zpravidla tenm. Pokud nboj
doshne urit hodnoty, me dojt k proraen dielektrika a pesko elektrick vboj,
kterm se elektrick nboj vybije. Takov situace nastane napklad v okamiku, kdy se osoba
obleen v odvu z umlch vlken po del dob pohybu pibl rukou ke kovovmu
uzemnnmu pedmtu, napklad vodovodn baterii. Pi piblen se zkrt vzdlenost
natolik, e intenzita elektrickho pole pekro elektrickou pevnost vzduchu a dojde k prrazu
izolantu pesko jiskra. Tm se nahromadn nboj vybije.
Tato situace samozejm nen nebezpen. Ale jsou ppady, kdy nahromadn elektrick
nboj me zpsobovat vn problmy. Pokud pesko jiskra v prostorch s tkavmi nebo
vbunmi ltkami, me dojt k vbuchu a dsledky mohou bt fatln. Mimo to zpsobuje
elektrostatick pole pitahovn, ppadn odpuzovn lehkch objekt (napklad papr,
vlkna,) a tm komplikuje vrobn procesy. Dalmi nedoucmi dsledky psoben
nahromadnho elektrickho nboje jsou napklad ruen radiosignl, ruen elektronickch
men nebo chemick rozruovn nkterch materil.
Omezovn nedoucch ink statickch nboj
Nedouc elektrick nboj je nutno co nejrychleji odvst do zem. To se realizuje
uzemnnm vech vodivch st technologickho zazen. Vodiv sti se pospojuj a
uzemn sta i velmi tenk uzemovac vodi.
Pro omezen velikosti vzniklho nboje se tak vyuv polovodivch podlah, je-li to mon,
omezuj se rychlosti pohybu dopravnkovch ps, kter jsou zdrojem ten a vzniku nboje,
zvyuje se vodivost okolnho vzduchu zvtenm vlhkosti nebo ultrafialovm zenm.
Vyuit elektrostatickho nboje
ink elektrostatickho pole se vyuv napklad k itn plyn od drobnch
mechanickch neistot, kdy pevn nabit steky jsou pitahovny k opan nabit
elektrod, na n se hromad. Na tomto principu pracuj napklad odpoplkovac filtry.
Na podobnm principu se provd spornj nanen lak na pedmty v lakovnch: stkan
objekt je nabit opanm nbojem ne ndoba s nanenou barvou. Barva je pak pitahovna
k objektu a rozptyl pi stkn se omez.
38
4 Stejnosmrn proud
Pipojme-li vodi ke zdroji elektrick energie, na jeho svorkch je elektrick napt U, zane
vodiem protkat elektrick proud I.
Smr proudu je dohodou stanoven od + k -.
Elektrick zdroj zajiuje napt na svch svorkch tak, e udruje trval pebytek zpornho
nboje elektron na svm zpornm plu a na kladnm plu jeho nedostatek (napklad
akumultor, dynamo, solrn lnek).
Obr. 30 Vodi pipojen ke zdroji o napt U
Elektrick proud je pohyb elektrickho nboje ve vodii a je definovn jako mnostv
elektrickho nboje, kter projde prezem vodie za jednotku asu:
t
QI ),;( sCA
Jednotkou elektrickho proudu je ampr (A).
Jednotkou elektrickho napt je 1 volt (V). S jeho definic jsme se seznmili ji pi vkladu
elektrostatickho pole. Lze tak ct, e napt o velikosti 1 volt je takov napt, kter vykon
ve vodii prci 1joule, projde-li vodiem mnostv elektrickho nboje 1 coulomb.
Pokud vodiem protk elektrick proud, vodi se zahv a v jeho okol vznik
elektromagnetick pole, kter se projevuje magnetickmi inky v okol vodie.
4.1 Proudov hustota
Vlivem prchodu elektrickho proudu se vodi zahv. Teplo, kter se ve vodii vyvine, se
nazv Lenc-Jouleovo teplo. Jeho st se odvede povrchem vodie do okolnho prostoru.
Aby se vodi pli nezahval, je nutn zajistit dostaten odvod tepla do okolnho prosted.
Odvod tepla bude tm vt, m vt bude povrch vodie, tedy oteplen bude tm ni, m
bude prez vodie vt.
V praxi se udv pro rzn typy vodi a jejich izolac tzv. proudov hustota, co je povolen
proud na 1 mm2 prezu vodie pro dan typ vodie. Takov zaten nedovol vodii oht se
na vt teplotu ne jak je povolena pro dan typ izolace a pro bezpenost provozu.
Proudov hustota se zna J a je dna podlem proudu a plochy prezu vodie
S
IJ ),;( 22 mAmA
V technick praxi se pro bn typy vodi pouv jednotka A/mm2.
39
4.2 Intenzita proudovho pole
Intenzita proudovho pole E je pomr napt na vodii k dlce l, na kter je napt meno.
l
UE ),;( 1 mAmV
4.3 Elektrick odpor vodi a Ohmv zkon
Elektrick proud v pevnm vodii je usmrnn pohyb volnch elektron. Proud bude tm
vt, m bude vt urychlovn elektron, tedy sla psobc na elektrony, a tato sla je
pmo mrn pipojenmu napt.
Elektrony ve svm pohybu narej na iontovou mku materilu vodie a na rzn neistoty
obsaen v materilu. Tm se jejich pohyb brzd a tud mus bt znovu urychlovny. kme,
e vodi klade elektrickmu proudu odpor.
Odpor vodie je zvisl na materilu, ze kterho je vodi vyroben, a na rozmrech vodie.
Pipojme-li k vodii elektrick napt, jeho velikost mnme, a mme velikost proudu,
zjistme, e proud je pmo mrn velikosti pipojenho napt.
Obr. 31 - Pm mrnost proudu a napt
Pozn.: Proud se m amprmetrem. Amprmetr se zapojuje vdy do srie se spotebiem,
jeho proud mme pak proud spotebiem je stejn jako proud amprmetru. Napt
mme voltmetrem, kter se zapojuje paraleln se spotebiem, na kterm mme
napt pak napt na spotebii je stejn jako napt na voltmetru.
Vztah pro pmou mrnost lze zapsat jako
UkonstI
kde konstantu oznaujeme G vodivost, tedy
UGI jednotkou vodivosti G je siemens oznaen S - (S;A,V-1
)
astji ne vodivost G se pouv veliina elektrick odpor R. Je to pevrcen hodnota G
40
GR
1 jednotkou odporu R je ohm oznaen - (;V,A
-1)
Pak lze pst
R
UI
m je vt napt U, tm je vt proud I a m je vt odpor R, tm je men proud I.
Tento vztah se nazv Ohmv zkon.
Rezistory
Rezistory jsou pasivn elektrotechnick soustky, jejich zkladn vlastnost je elektrick
odpor R.
Obr. 32 Schematick znaka rezistoru
Pklad 14:
Urete odpor rovky, odebr-li ze st o napt 230 V proud 0,5 A.
een:
4605,0
230
I
UR ()
4.3.1 Velikost elektrickho odporu
Jak ji bylo uvedeno, odpor vodie je zvisl na rozmrech vodie a na materilu, ze kterho
je vodi vyroben.
Vzhledem k tomu, e elektrony ve svm pohybu narej na iontovou mku materilu
vodie a na rzn pmsi a neistoty, je patrn, e m bude dlka vodie vt, tm bude vt
i poet koliz elektron s pekkami a tm bude vt odpor vodie.
Naopak m bude prez vodie vt, tm vt bude poet volnch elektron na prezu
vodie a tm bude odpor men.
Poet volnch elektron a struktura mky jsou specifick pro rzn materily.
Odpor vodie tedy lze vyjdit vztahem
S
lR ),;( 2mm nebo ),10;( 26 mmm
kde l je dlka vodie
S je prez vodie
je konstanta platn pro konkrtn materil vodie a nazv se rezistivita materilu. Je to odpor vodie z tohoto materilu o dlce 1 m a prezu 1 mm
2 pi teplot 20
oC.
41
Rezistivita se pro konkrtn materily zskv menm a uvd se v tabulkch.
Rezistivita nkterch materil
Materil mm2m
-1
M 0,0178
Hlink 0,0285
Stbro 0,0163
Ocel 0,13
Konstantan 0,5
Chromnikl 1,1
Cekas 1,1
Soustky, jejich charakteristickou veliinou je elektrick odpor, nazvme rezistory.
Materily m, hlink a stbro jsou vborn vodie, Cu a Al jsou nejpouvanj materily
pro vrobu vodi.
Materily konstantan, chromnikl a cekas jsou odporov materily pouvan pro vrobu
rezistor.
Pklad 15:
Urete odpor mdnho vodie o kruhovm prezu s prmrem 1 mm a dlce 150 m.
een:
S
lR () kde 0,785)5,0(
22 rS mm2
4,30,785
1500,0178
S
lR ()
Pklad 16:
Urete dlku mdnho vodie o kruhovm prezu s prmrem 2 mm, je-li jeho odpor 3 .
een:
S
lR () z toho plyne
SRl
14,3)1( 22 rS mm2
5290178,0
14,33
SRl (m)
4.3.2 Zvislost elektrickho odporu na teplot
S rostouc teplotou se zvtuje kmitn pevn iontov mky kovovho materilu. Voln
elektrony realizujc elektrick proud jsou tm vystaveny vt pravdpodobnosti srky
s mkou, m se jejich tok zpomal odpor vodie vzroste.
42
Odpor vodie tedy se vzrstajc teplotou roste, a to linern v irokm psmu teplot. Pi
zaht vodie o 1o
C se odpor vodie o velikosti 1 zmn prv o hodnotu ; konstanta se
nazv teplotn souinitel odporu a je dna druhem materilu vodie a uvd se v tabulkch -
(1/oK).
Pokud se teplota vodie zv z teploty 1 na teplotu 2 o = 2 - 1 , bude prstek
odporu R = R2 - R1 mt velikost
1RR
Odpor vodie po zaht tedy bude
1112 RRRRR
Tedy
)1(12 RR
Teplotn souinitel odporu se pro konkrtn materily zskv menm a uvd se
v tabulkch.
Teplotn souinitel odporu pro nkter materily
Materil Teplotn souinitel odporu
(K-1
)
M 0,0042
Hlink 0,004
Stbro 0,004
Ocel 0,006
Konstantan 210-6
Chromnikl 2,510-4
Cekas 710-5
Pklad 17:
Mdn vodi o teplot 20o
C je pipojen na napt 24 V a protk jm proud 20 A.
Urete odpor tohoto vodie pi provozn teplot 60o C.
een:
Pi teplot 20o C m vodi odpor R1
2,120
241
I
UR ()
Prstek teploty je
)(40206012 Co
Odpor pi teplot 60o C
)(4016,1)400042.01(2,1)1(12 RR
43
Pklad 18:
Teplota venkovnho mdnho veden se v prbhu roku mn v rozsahu od -25o
C do +40o C.
Kolikrt bude odpor pi maximln teplot vt ne odpor pi minimln teplot?
een:
Teplotn rozdl: )(65)25(4012 Co
Odpor pi -25o
C: R1
Odpor pi -25o
C: 1112 273,1)650042.01()1( RRRR
Odpor bude prv 1,273 x vt.
4.4 Prce a vkon stejnosmrnho elektrickho proudu
Protoe napt je vlastn prce pi prchodu elektrickho nboje 1 coulomb prezem vodie,
je tedy prce vykonan prchodem elektrickho nboje Q
UQA (J; V, C)
Protoe proud je t
QI , lze dosadit
tIUUQA (J; V, A, s)
Elektrick prce, kterou vykon stejnosmrn proud pi svm prtoku mezi dvma msty
elektrickho obvodu, je tedy dna souinem napt mezi tmito msty s protkajcm proudem
a s asem, po kter tento proud protk.
Protoe plat Ohmv zkon R
UI a zrove tIUA , dostaneme dosazenm vztah
tR
Ut
R
UUtIUA
2
nebo tIRtIRItIUA 2
Tato prce se ve vodii mn v tepelnou energii teplo - W = A.
V praxi bylo zjitno, e prochz-li vodiem elektrick proud, vodi se ohv. Elektrick
prce potebn k prchodu stejnosmrnho elektrickho proudu vodiem se vechna mn
v teplo (tento fakt experimentln ovili fyzikov Lenc a Joule).
Teplo vznikl prtokem elektrickho proudu vodiem se nazv Joule-Lencovo teplo.
Prce vykonan za jednotku asu je tzv. vkon P:
IUt
tIU
t
AP
(W; V, A)
Jednotkou vkonu je watt oznaen W (W=Js-1
)
Dosazenm Ohmova zkona zskme vrazy pro vkon
44
2IRIIRIUP nebo R
U
R
UUIUP
2
Pklad 19:
Topn rezistor o odporu R = 50 je pipojen na napjec napt 230 V po dobu 20 minut.
Jak je vkon a jak je energie odebran ze st bhem zapnut topnho tlesa?
een:
Odebran proud )(6,450
230A
R
UI
Vkon )(10586,4230 WIUP
Doba provozu t = 20 minut, to je 20 60 = 1200 s
Odebran energie 1,269(MJ)1269600(J)12001058 tPAW
Jednotka energie (prce) joule (J =Ws) je z hlediska praxe velmi mal. Proto se bn
pouv pro men elektrick prce jednotka watt hodina (Wh = 3600 J) a jednotka kilowatt
hodina (kWh = 36001000 J =3,6 106 J).
Pokud je njak elektrick spotebi pipojen ke zdroji elektrickho napt, nen veker
energie W1 odebran ze st pemnna na prci odvedenou spotebiem W2, existuj vdy
ztrty, napklad zahvn pvodnch vodi st energie se mn v teplo. Rozdl mezi
vykonanou prac a pivedenou energi nazvme ztrty WZ.
Plat
ZWWW 12
Pomr mezi energi vyuitou a pivedenou oznaujeme jako innost
1
2
W
W a je to vdy slo 1
innost se vtinou vyjaduje v procentech:
1001
2 W
W ),(%; JJ
Protoe pkon je t
WP 11 a vkon je
t
WP 22 , je mon vyjdit innost
1001001001
2
1
2
1
2
P
P
tP
tP
W
W ),(%; WW
45
Pklad 20:
Rychlovarn konvice vykazuje odpor R = 120 a je pipojena na napjec napt 220 V po
dobu 5 minut. Jej innost je 80%. Vypotte velikost tepeln energie pedan vod
v konvici.
een:
Odebran proud )(83,1120
220A
R
UI
Pkon )(3,40383,12201 WIUP
Vkon )(323100
803,403 12 WPP
4.5 Kirchhoffovy zkony
Prvn Kirchhoffv zkon (proudov) a druh Kirchhoffv zkon (napov) jsou zkladem
nutnm pro een elektrickch obvod.
Nerozvtven elektrick obvod
Nerozvtven elektrick obvod je tvoen jedinou smykou - obr. 33 - a lze jej snadno vyeit
pomoc Ohmova zkona.
Je-li dno napt zdroje U a velikost
odporu zte R, pak proud I
I
UR
Obr. 33 - Nerozvtven elektrick obvod
Rozvtven elektrick obvod
Rozvtven elektrick obvod obsahuje nkolik vtv a uzl. Rozvtven elektrick obvod je
na obr. 34.
Obr. 34 - Rozvtven elektrick obvod
46
Msto, kde se vodi rozvtvuje (eventuln spojuje), se nazv uzel. A, B uzly.
Nerozvtven drha mezi dvma sousednmi uzly se nazv vtev obvodu.
Smyka je uzaven drha v obvodu.
Pro een rozvtvench obvod vyuvme krom Ohmova zkona dva Kirchhoffovy
zkony.
4.5.1 Prvn Kirchhoffv zkon
Prvn Kirchhoffv zkon (proudov) je zkon o zachovn elektrickho nboje.
Elektrick proud je dn mnostvm elektrickho nboje, kter prochz vodiem. Nboj se ve
vodii neme hromadit ani ztrcet. Z toho plyne, e pokud se vodi rozvtv, rozdl se i
elektrick proud, a pokud se vodi opt spoj, sete se i proud.
Z toho vyplv, e veker proud, kter do uzlu pitee, mus z nho zase odtct.
54321 IIIII
Obr. 35 - Prvn Kirchhoffv zkon
Pokud pokldm proudy do uzlu pitkajc za kladn a proudy z uzlu odtkajc za zporn,
lze pst
01
n
k
kI
Celkov souet vech proud v jednom uzlu je roven nule.
Pklad 21:
Obr. 36 - Proudy v uzlu
Urete velikost proudu I3 na obr. 36, jsou-li
proudy I1 = 3 A, I2= 5 A a I4 = 6 A.
een:
01
n
k
kI 4321 IIII 653 3 I 23 I A
47
4.5.2 Druh Kirchhoffv zkon
Druh Kirchhoffv zkon (napov) je zkon o zachovn energie. Napt na jednotlivch
prvcch obvodu je prce na penesen nboje z bodu A do bodu B. Pokud je obvod tvoen
uzavenou smykou, vracme se do tho bodu (A) a vsledn prce je nulov.
To znamen, e souet vech napt v uzaven smyce je roven nule.
01
n
k
kU
Znamnka jednotlivch napt:
+ orientace napt souhlas se smrem
orientace smyky
- orientace napt je proti smru
orientace smyky
Tedy U1 + U2 U = 0.
Obr. 37 - Druh Kirchhoffv zkon
Druh Kirchhoffv zkon je mon formulovat i takto: Souet vech napt na jednotlivch
odporech v uzaven smyce je roven soutu napt vech zdroj v tto smyce.
Pklad 22:
Urete proud v obvodu a napt na odporech R1 = 20 a R2 = 30 , jsou-li napt zdroj Ua =
6 V a Ub = 4 V. Obvod je zapojen podle obr. 38.
Obr. 38 - Napt ve smyce
een:
Podle druhho Kirchhoffova zkona 021 ab UUUU
021 ab UUIRIR
0643020 II
250 I
04,0I A
8,004,02011 IRU V 2,104,03022 IRU V
48
4.6 Spojovn rezistor
Rezistory je mono spojovat do srie nebo paraleln.
4.6.1 Sriov zapojen rezistor
Je znzornno na obr. 39
Obr. 39 - Sriov zapojen rezistor
Na zklad 2. Kirchhoffova zkona v tomto obvodu plat
021 UUU
Dosazenm podle Ohmova zkona zskme
I
URR
URRI
URIRI
21
21
21
)(
0
Vraz I
Uje velikost odporu, kterm je mono nahradit oba odpory R1 a R2 spojen do srie,
ani by se zmnily proudov a napov pomry v obvodu. Vsledn hodnota odporu je
rovna soutu hodnot jednotlivch odpor zapojench do srie.
21 RRRV
Obr. 40 - Adekvtn nhrada sriov zapojench rezistor
Obdobnm zpsobem lze odvodit vztah pro n sriov zapojench rezistor. Dostaneme vraz
niV RRRRR ......21
Vsledn hodnota odporu n sriov zapojench rezistor je rovna soutu hodnot odpor
jednotlivch rezistor zapojench do srie.
49
4.6.2 Paraleln zapojen rezistor
Je znzornno na obr. 41
Obr. 41 - Paraleln zapojen rezistor
Podle 1. Kirchhoffova zkona v tomto obvodu plat
21 III
Podle 2. Kirchhoffova zkona je na obou rezistorech stejn napt U. Dosazenm podle
Ohmova zkona zskme
)11
(2121
21RR
UR
U
R
UIII
21
11
RRU
I kde
VRU
I 1
Z toho plyne, e pro vsledn odpor paralelnho spojen dvou rezistor RV plat
21
111
RRRV
Pevrcen hodnota vslednho odporu dvou paraleln zapojench rezistor je rovna soutu
pevrcench hodnot odpor jednotlivch rezistor.
Obr. 42 - Adekvtn nhrada sriov zapojench rezistor
Obdobnm zpsobem lze odvodit vztah pro n paraleln zapojench rezistor. Dostaneme
vraz
niV RRRRR
1...
1...
111
21
Pevrcen hodnota vslednho odporu n paraleln zapojench rezistor je rovna soutu
pevrcench hodnot odpor jednotlivch rezistor.
50
Pklad 23:
Urete proud v obvodu a napt na odporech R1 = 100 a R2 = 400 , je-li napt zdroje U =
12 V. Obvod je zapojen podle obr. 43.
Obr. 43 - Elektrick obvod sriov
een:
Vsledn odpor v obvodu je 50040010021 RRRV
Proud odebran ze zdroje je AR
UI
V
024,0500
12
Napt na jednotlivch odporech je
4,2024,010011 IRU V 6,9024,040022 IRU V
Pklad 24:
Urete proudy v obvodu a napt na odporech R1 = 100 R2 = 400 a R3 = 200 je-li
napt zdroje U = 220 V. Obvod je zapojen podle obr. 44.
Obr. 44 - Elektrick obvod paraleln
een:
Vsledn odpor v obvodu urme ze soutu pevrcench hodnot jednotlivch
odpor
14,577
400
400
7
400
214
200
1
400
1
100
11111
321
V
V
R
RRRR
51
Proud odebran ze zdroje je AR
UI
V
85,314,57
220
Napt na vech jednotlivch odporech je stejn U = 220 V
Proudy v jednotlivch vtvch jsou AR
UI 2,2
100
220
1
1
AR
UI 55,0
400
220
2
2 AR
UI 1,1
200
220
3
3
Pro oven sprvnosti vpotu meme pout 1. Kirchhoffv zkon. Mus platit:
321 IIII
AI 85,3 AIII 85,31,155,02,2321
co potvrzuje sprvnost vpotu.
4.7 een elektrickch obvod stejnosmrnho proudu s jednm zdrojem
4.7.1 Obvody se srioparalelnm zapojenm rezistor
Obvody, ve kterch je vce rezistor, z nich nkter jsou zapojeny do srie a jin paraleln,
eme postupnm zjednoduovnm tak dlouho, a dospjeme k jedinmu vslednmu
odporu to je celkov odpor danho seskupen rezistor. Aplikac Ohmova zkona urme
celkov proud odebran ze zdroje.
Postupnm pevdnm zjednoduenho obvodu na pvodn topografii zapojen rezistor
urme pomoc Ohmova zkona a Kirchhoffovch zkon proudy v jednotlivch vtvch a
napt na jednotlivch prvcch obvodu.
Postup een nejlpe vysvtlme na typickch eench pkladech.
Pklad 25:
Urete proud odebran ze zdroje, napt na jednotlivch rezistorech R1 , R2 a R3 a proudy
ve vtvch pro obvod zapojen podle obrzku 45:
Obr. 45 - Schma zapojen rezistor pro pklad 25
52
een:
Rezistory R2 a R3 jsou zapojeny paraleln, take nahradme-li je jedinm
rezistorem R2,3, plat pro jeho odpor
213,2
111
RRR
tedy odpor 32
323,2
RR
RRR
Zskme zjednoduen zapojen
Obr. 46 - Zjednoduen schma
Zde jsou rezistory R1 a R2,3 zapojeny sriov, take jejich vsledn odpor
R1,2,3 = R1 + R2,3
Nhradn obvod pak je
Obr. 47 - Vsledn odpor kombinace rezistor
Proud I1 odebran ze zdroje je 3,2,1
1R
UI
Obvod opt pevedeme na pvodn zapojen a postupn potme napt na
jednotlivch rezistorech a proudy v jednotlivch vtvch obvodu:
Obr. 48 - Pvodn zapojen rezistor pro vpoet jednotlivch napt a proud
Aplikac Ohmova zkona dostaneme IRU 11
53
Aplikac 2. Kirchhoffova zkona dostaneme 1UUUAB
Aplikac Ohmova zkona dostaneme 2
2R
UI AB a
3
3R
UI AB
Pozn.: Podobn pklady maj vce sprvnch monost een pro jednotliv napt a proudy.
Tento pklad vyeme (se stejnmi sprvnmi vsledky) t tmto postupem:
Zjednoduen obvodu je stejn, i vpoet celkovho proudu I1 a napt U1.
Dal postup me bt nsledujc:
Aplikac Ohmova zkona dostaneme 3,21 RIU AB
2
2R
UI AB
Aplikac 1. Kirchhoffova zkona dostaneme 213 III
Vsledky budou pro oba postupy toton.
Pklad 26:
Vypotte proudy a napt na vech prvcch obvodu zapojenho podle obrzku 49.
Obr. 49 - Schema zapojen pro pklad 26
een:
Rezistory R4 a R5 jsou zapojeny paraleln, take nahradme-li je jedinm
rezistorem R45, plat pro jeho odpor
5445
111
RRR
tedy odpor 54
5445
RR
RRR
1
54
Zskme zjednoduen zapojen
Obr. 50 - Schema zapojen pro pklad 26 prvn zjednoduen
Zde rezistory R3 a R45 jsou zapojeny do srie lze tedy urit
R345= R3 + R45
Dostaneme dal zjednoduen schma
Obr. 51 - Schema zapojen pro pklad 26 druh zjednoduen
Rezistory R2 a R345 spojen paraleln nahradme rezistorem R2345, jeho velikost je
dna vztahem
3452
34522345
RR
RRR
Zskme nhradn obvod
Obr. 52 - Schema zapojen pro pklad 26 tet zjednoduen
55
Odpory R1 a R2345 jsou spojeny sriov, vsledn celkov nhradn odpor pro
tento obvod je
R12345= R1 + R2345
co je celkov odpor pvodnho zadanho obvodu - Rc.
Celkov proud odebran ze zdroje
12345
1R
U
R
UI
C
Napt U1 na rezistoru R1
111 IRU
Napt UAC mezi uzly A a C je
12345 IRU AC
Vypoteme proudy I2 a I3
2
2R
UI AC
345
3R
UI AC
Pomoc proudu I3 vypoteme napt na rezistoru R3
333 IRU
Nyn vypoteme napt mezi uzly B a C
54 UUUBC
345 IRUBC
Z napt UBC vypoteme proudy I4 a I5 v rezistorech R4 a R5
4
4R
UI BC
5
5R
UI BC
Obvod je kompletn vyeen.
Pozn.: Pro kontrolu sprvnosti je mon ovit proudy v uzlech a napt ve
smykch pomoc Kirchhofovch zkon.
56
Obr. 53 - Schema zapojen pro pklad 26 oven sprvnosti vpot
Pro uzel A mus platit podle I. Kirchhofova zkona
0321 III
Pro uzel B mus platit
0543 III
Pro uzel C
01542 IIII
Pro smyku x plat podle II. Kirchhofova zkona
021 UUU
Pro smyku y plat
0243 UUU
Splnn tchto podmnek potvrdilo sprvnost vsledk.
4.7.2 Transfigurace
V nkterch obvodech se me vyskytnout takov topografie zapojen, v n rezistory nejsou
zapojeny ani do srie, ani paraleln - viz obr. 54, a tak tyto obvody nelze zjednoduit
postupnm nahrazovnm paralelnch a sriovch sek, jak bylo uvedeno v pedchozch
pkladech.
Obr. 54 - Mstkov zapojen
57
Jedn se vtinou o zapojen rezistor do trojhelnka viz obr. 55 a):
a) b)
Obr. 55 - Zapojen rezistor do trojhelnka a do hvzdy
Zjednoduen obvodu se v takovm ppadu provd pemnou transfigurac trojhelnka
rezistor na hvzdu rezistor viz obr. 55 b) tak, aby vsledn psoben hvzdy bylo stejn
jako psoben trojhelnka.
Zjednoduen obvodu se pak provd podle obr. 56:
Obr. 56 - Transfigurace trojhelnka na hvzdu
Po tto prav se ji jedn o srioparaleln obvod a lze postupovat jako v pedchozch
pkladech.
Vztahy pro pepoet rezistor trojhelnka na rezistory hvzdy vychz z poadavku, e mezi
stejnmi svorkami zapojen mus bt v obou ppadech stejn odpor; pak je nhrada sprvn.
Pro celkov odpor mezi svorkami 1 a 2 v trojhelnku plat
233112
23311212
)(
RRR
RRRRCelk
Pro celkov odpor mezi svorkami 1 a 2 v zapojen do hvzdy plat
201012 RRRCelk
Pi splnn poadavku stejnho odporu mezi tmi svorkami po nhrad plat
2010
233112
233112 )( RRRRR
RRR
Stejn zskme vztahy i pro svorky 2 a 3 i pro svorky 3 a 1
58
3020
233112
311223 )( RRRRR
RRR
3010
233112
231231 )( RRRRR
RRR
Z tchto t rovnic lze vypotat odpory rezistor R10, R20 a R30 v zapojen do hvzdy pro
adekvtn nhradu trojhelnka hvzdou
233112
311210
RRR
RRR
233112
231220
RRR
RRR
233112
321330
RRR
RRR
Obdobn lze vypotat odpory rezistor R12, R23 a R31 v zapojen do trojhelnka pro
adekvtn nhradu hvzdy trojhelnkem
30
2010201012
R
RRRRR
10
3020302023
R
RRRRR
20
3010301031
R
RRRRR
Pklad 27:
Urete vsledn odpor, celkov proud odebran ze zdroje a napt na rezistoru R5, je-li
napjec napt U = 6 V. Velikosti odpor jednotlivch rezistor jsou: R1 =20 , R2 = 30 ,
R3 =50 , R4 =40 , R5 =60 zapojen rezistor je na obr. 57
Obr. 57 - Zapojen rezistor pro pklad 27
een:
Trojhelnk tvoen odpory R1 =20 , R2 = 30 , R3 =50 nahradme hvzdou a
dle zjednoduujeme podle obr. 58
59
1. 2.
3. 4. 5.
Obr. 58 - Postupn zjednoduovn obvodu
Ze vztah pro transfiguraci vypoteme odpory Ra, Rb, Rc
6100
600
503020
3020
321
21
RRR
RRRa
15100
1500
503020
5030
321
32
RRR
RRRb
10100
1000
503020
5020
321
31
RRR
RRRc
Rezistory Rc a R4 jsou spojeny do srie, jejich vsledn odpor je
50401044 RRR cc
Rezistory Rb a R5 jsou spojeny do srie, jejich vsledn odpor je
75601555 RRR bb
Rezistory Rc4 a Rb5 jsou spojeny paraleln, jejich vsledn odpor je
307550
7550
54
5454
bc
bcbc
RR
RRR
Rezistory Ra a Rc4b5 jsou spojeny do srie, jejich vsledn odpor je
3630654 bcacelk RRR
Celkov proud odebran ze zdroje je
167,06
1
36
6
celkR
UI A
60
Napt na nhradnm rezistoru Rc4b5 je
56
1305454 IRU bcbc V
Proud nhradnm rezistorem Rb5 je
0667,015
1
75
5
5
545
b
bcb
R
UI A
Napt rezistoru R5 je
415
160555 bIRU V
4.8 Zdroje stejnosmrnho napt a proudu
Zdroj stejnosmrnho napt a proudu je zazen, kter je schopn trvale dodvat do
elektrickho obvodu elektrickou energii.
Napt na vstupnch svorkch zdroje se nazv svorkov napt.
U obvod, kter jsme a doposud eili, jsme pedpokldali, e zdroj napt je ideln, tj. jeho
svorkov napt je konstantn, nezvisl na zaten zdroje a jeho hodnota je U0.
4.8.1 Reln zdroj napt
Skuten zdroje se vyznauj tm, e s rostoucm odebranm proudem svorkov napt
ponkud kles. Kad reln zdroj toti m urit takzvan vnitn odpor, na kterm se
vlivem odebranho proudu vytvo bytek napt; svorkov napt je tedy o tento bytek
ni. Reln zdroj se chov jako by byl sriov sloen z idelnho zdroje s konstantnm
naptm U0 a z rezistoru Ri (kter charakterizuje vnitn odpor zdroje). U0 napt naprzdno
= napt nezatenho zdroje (ke zdroji nen pipojen dn spotebi, odebran proud je tedy
nulov).
Zapojme-li zdroj do obvodu, je zatovn proudem a na jeho svorkch namme napt U<
U0, co je zpsobeno bytkem napt na vnitnm odporu zdroje. Se zvtujcm proudem se
zmenuje svorkov napt zdroje.
Obr. 50 - Obecn schematick znaka idelnho zdroje napt
61
Obr. 60 - Reln zdroj
Je-li ke zdroji pipojen zatovac rezistor o odporu R, protk obvodem proud I
RR
UI
i 0
Svorkov napt zdroje pi tomto zaten je
iRIUU 0
Zvislost svorkovho napt na odebranm proudu se nazv zatovac charakteristika
zdroje. Ze vztahu je patrn, e se jedn o linern zvislost.
Obr. 61 - Zatovac charakteristika zdroje
Podle zatovac charakteristiky dlme zdroje na tvrd a mkk. Vhodou tvrdho zdroje je
mal pokles svorkovho napt s rostoucm zatenm zdroje, co je dno malm vnitnm
odporem zdroje Ri; mkk zdroj vykazuje znan bytek napt, protoe m znan velk
vnitn odpor Ri.
Propojme-li pmo vstupn svorky zdroje, bude obvodem protkat tzv. proud nakrtko Ik.
Obr. 62 - Proud nakrtko
62
U tvrdch zdroj jsou proudy nakrtko velk a mohou zpsobit technick problmy, ppadn
znien zdroje; u mkkch zdroj je proud nakrtko vrazn ni ne u tvrdch zdroj,
mkk zdroje jsou lpe zkratuodoln.
Pklad 28:
Urete proud nakrtko zdroje napt, je-li napt naprzdno 6 V a svorkov napt pi odbru
proudu 0,2 A je 5,8 V.
een:
Proud nakrtko bude
i
kR
UI 0
Svorkov napt U je
iRIUU 0
iR 2,068,5
Odtud vypotme vnitn odpor zdroje Ri
12,0
8,56
iR
Proud nakrtko tedy je
61
60 i
kR
UI A
4.8.2 Spojovn zdroj napt
Spojovn zdroj do srie
Spojovn zdroj do srie se pouv pro zskn vtho celkovho napt. Zdroje se propojuj
podle obr. 63 a) pl dalho zdroje se propoj vdy na opan pl pedchozho zdroje.
Vsledn napt se rovn soutu napt vech jednotlivch sriov spojench zdroj. Celkov
vnitn odpor sriov spojench zdroj se rovn soutu vech vnitnch odpor jednotlivch
zdroj.
Napt naprzdno sriov spojench zdroj je 02010 UUU .
Vnitn odpor sriov spojench zdroj je 21 iii RRR .
Svorkov napt sriov spojench zdroj je 21 UUU .
Aby byly vechny zdroje stejn vyten, je vhodn zapojovat do srie zdroje o stejn velkm
napt naprzdno a o stejnch vnitnch odporech. Pro n zdroj v srii pak plat:
010 UnU 1UnU 1ii RnR
63
Protoe zatovac proud protk vemi sriov spojenmi zdroji, je nutn sledovat, zda jeho
hodnota nepekro jmenovitou hodnotu proudu jednotlivho zdroje; v takovm ppad by
hrozilo pokozen zdroje.
a) b)
Obr. 63 - Spojovn zdroj a) do srie a b) paraleln
Paraleln spojovn zdroj
Paraleln spojen zdroj se pouv pro monost odbru vtho jmenovitho proudu ne je
jmenovit proud jednotlivho zdroje. Zdroj