Doç.Dr. Ersoy ARSLAN

2.3.1- Genel Bilgiler Dünyanın uzayda farklı iki peryodik hareketi

vardır, birincisi kendi ekseni etrafında dönmesi, ikincisi güneşin etrafında dolaşmasıdır. Ayrıca bir doğal uydu olan Ay’ın ve çok sayıda yapay uydunun dünya etrafındaki yörüngesel hareketleri de üçüncü tür peryodik hareketlerdir. Koordinat ve zaman sistemlerini tanımlamak için bu peryodik hareketler temel teşkil ederler.

Jeodezik problemlerin çözülebilmesi için, problemlerin yapılarına uygun olan çok çeşitli koordinat sistemleri kullanılır. Temel koordinat sistemlerini üç ana grupta toplayabiliriz.

Yersel Koordinat Sistemleri dünyaya göre sabittir ve dünya ile birlikte dönerler. Bunlar yeryüzü üzerindeki noktaların koordinatlarını belirlemek için kullanılırlar. Jeosentrik ve toposentrik sistem olarak adlandırılan iki çeşit yersel sistem vardır.

Göksel Koordinat Sistemleri Güneş ve yıldızlar gibi gök cisimlerinin koordinatlarını belirlemek için kullanılır. Ekliptik, Rektasansiyon, Saat Açısı ve Ufuk Sistemi olarak adlandırılan dört ayrı göksel koordinat sistemi vardır.

Yörüngesel Sistem, dünya etrafında yörüngelendirilmiş olan uyduların koordinatlarını belirlemek için kullanılır.

2.3.2- Kartezyen (Dik) Koordinat Sistemleri ve Koordinat DönüşümleriOrtagonal Transformasyonlar:

Y = A X (2.1)matris eşitliğine bir lineer Transformasyon olarak bakılabilir. Burada A bir matris, X ve Y sütun vektörlerdir. A matrisi “Transformasyon Matrisi” olarak adlandırılır. Eğer X ve Y vektörleri aynı boyuta sahipse transformasyonun ve matrisin ortagonal olduğu söylenebilir. Ortagonal matrisler, matrisin ve transpozesinin çarpımı (veya tersi) Birim Matris olma özelliğine sahiptir. Yani

(2.2)dir. Bu özellikten bir ortagonal matrisin determinantının +1 veya -1 olduğu bulunur. Refleksiyon (Yansıma) ve Rotasyon (Dönme) olarak adlandırılan iki tür ortagonal transformasyon vardır. Refleksiyon matrisinin determinantı -1 ve rotasyon matrisinin determinantı +1 dir.

Yukardaki transformasyon iki koordinat sistemi arasındaki bağıntıyı belirlemektedir. Burada X ve Y aynı vektörlerdir, ancak onların elemanları farklı sistemlere göre belirlenmiştir.

A A AA IT T

Birinci DüzlemDünyanın Ekvator Düzlemi

Birinci kutupDünyanın dönme

ekseniİkinciDüzlemGreenwich meridyen

düzlemi

İkinci kutup

Birinci EksenX, X1 veya 1.eksen

Üçüncü EksenZ, X3 veya 3.eksen

Birinci Eksen (Sol El sistemi için)Y, X2 veya 2. eksen

Birinci EksenY, X2 veya 2. eksen

Dik koordinat sistemi, birbirine dik üç eksenden oluşur. Başka bir deyişle, üç eksenden ikisinin oluşturduğu düzlem üçüncü eksene diktir.

Üç boyulu koordinat sisteminde bir nokta üç elemanla tanımlanır. Her nokta için tanımlanan konum vektörünün birinci, ikinci ve üçüncü elemanları sırası ile 1. eksen, 2. eksen , 3. eksene göre (eksenler sırasıyla X1, X2, X3 veya X, Y, Z ile gösterilebilir) tanımlanabilir.

Dik koordinat sistemi eksen değerlerinin büyüme yönlerine göre sağ el sistemi veya sol el sistemi olarak ikiye ayrılır. Değerlerin büyüme yönleri eksenlerin pozitif (+) yönleridir.

Bu eksenlere X,Y,Z eksenleri denirse, + Z ekseni doğrultusuna bakışta, + X eksenini + Y ekseni ile çakıştırmak için saat ibresi doğrultusunda 90 döndürmek gerekiyorsa, bu sistem sağ sistemdir (Şekil 4.1). Sağ sistem için “sağ el kuralı” geçerlidir. Eğer sağ elin parmakları herhangi bir eksen etrafında baş parmak pozitif doğrultuyu gösterecek biçimde bükülürse, parmaklar çevrim tarzında numaralanmış ikinci eksenden üçüncü eksene yönelecektir. Ayrıca parmakların yönü “pozitif dönme yönü”nü de gösterir.

Bunun karşıtı sol sistem olur Sol sistemler için ise “sol el kuralı” geçerlidir (Şekil 4.1).

Şekil : 4.1a- Sağ el koordinat sistemi Şekil : 4.1b- Sol el koordinat sistemi

Y

Z

O

X

Y

Z

O

X

Bir koordinat sistemini tanımlamak için Başlangıç noktasının yeri Koordinat eksenlerinin yönleri Koordinat sistemine ait bir noktanın yerini

belirleyen parametrelerkesinlikle belirtilmelidir.Uzayda bir noktanın yeri kartezyen (dik) koordinatlarla gösterilebileceği gibi kutupsal koordinatlarla da gösterilebilir.

Bir nokta uzayda herhangi bir koordinat sistemindeki koordinatları ile belirlenir. Koordinat sistemleri genel olarak

1- Dik koordinat sistemi 2- Kutupsal koordinat sistemi

olmak üzere iki özelliktedir. Ancak bir noktanın koordinat değerleri bu sistemlerden birinde verilmişse, aynı noktanın diğer sistemdeki değerleri hesaplanabilir.

Şekil 4.2 de A noktasının dik koordinatları X,Y,Z dir. Kutupsal koordinatları ise r, , dır.

Şekil : 4.2 – Kutupsal ve

Dik Koordinatlar

O

XY

Z

r

A

AX

Y

Z

Kutupsal koordinatlar ile dik (kartezyen) koordinatlar arasındaki bağıntılar Şekil 4.2 yardımı ile;

X = OA cos = OA cos cos Y = OA sin = OA cos sin Z = = OA sin

veyaX = r cos cos Y = r cos sin Z = r sin

olarak yazılır.Ters dönüşüm formülleri de

şeklindedir.

r X Y Z2 2 2 2

tan

Z

X Y2 2

tanY

X

Dünya sabit bir eksen etrafında dönmediği, dönme ekeseni sürekli değiştiği için kutup noktaları da katı yeryuvarına göre sürekli yer değiştirir. Bu olay kutup hareketi veya kutup gezinmesi olarak adlandırılır.

Değişmez bir yeryuvarı-sabit koordinat sisteminin yani Konvansiyonel Yersel Sistem’in (Convantional Terrestrial System - CTS) tanımlanabilmesi için değişmez bir kutup noktasına ihtiyaç vardır. Bu Ortalama Yersel Kutup (Convantional Terrestrial Pole, CTP) ve ekvator üzerinde bir sıfır boylamı (Greenwich Ortalama Gözlemevi - Greenwich Mean Observatory - GMO) yardımı ile Konvansiyonel Yersel Sistem = Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemi tanımlanır.

İstasyon Boylam Enlem

Carloforte, İtalya 8 18 44 39 08 08.941

Gaitehersburg, Maryland-ABD

-77 11 57 39 08 13.202

Kitab, Özbekistan, (eski USSR)

66 52 51 39 08 01.850

Mizusawa, Japonya 141 07 51 39 08 03.602

Ukiah, California- ABD -123 12 35 39 08 12.096

Tablo 2.1 Uluslarası Kutup Hareketi Servisi’nin (IPMS) Enlem Gözlemevleri

90o batı boylamı

Y

ZZAnlık

CIO

X

0o boylamı

Greenwich

X

0o boylamı

Greenwich

O

XP

P

T anındaki gerçek kutup

CIO Ortalama Kutup

YAnlık

Y

XAnlık

X

90o batı boylamı Y

YP

Tablo 2.3 Kasım-Aralık 1990 için kutup hareketi parametreleri

POLE COORDINATES, UT1-UTC, AND GPS-UTC FROM BIH, CIRCULAR B------------------------------------------------------------------------ MJD X-POLE Y-POLE UT1-UTC GPS-UTC DATE REMARKS

(") (") (S) (S)48199. 0.2260 0.1371 -0.25656 6. 90 11 4DEF48204. 0.2073 0.1253 -0.26741 6. 90 11 9 DEF48209. 0.1928 0.1138 -0.27872 6. 90 11 14 DEF48214. 0.1777 0.1044 -0.28971 6. 90 11 19 DEF48219. 0.1623 0.0963 -0.30094 6. 90 11 24 DEF48224. 0.1436 0.0900 -0.31241 6. 90 11 29DEF48229. 0.1251 0.0845 -0.32413 6. 90 12 4DEF48234. 0.1073 0.0799 -0.33518 6. 90 12 9 DEF48239. 0.0904 0.0747 -0.34529 6. 90 12 14 DEF48244. 0.0737 0.0698 -0.35502 6. 90 12 19 DEF48249. 0.0550 0.0678 -0.36508 6. 90 12 24 DEF48254. 0.0346 0.0681 -0.37551 6. 90 12 29 DEF

Yukarıda da ayrıntılı olarak açıklandığı gibi, kutup hareketini ve yer dönme paramtrelerini belirlemek için kurulan uluslararası kuruluşlar çeşitli isimler altında faaliyet göstermişlerdir. Günümüzde bu faaliyetler 1 Ocak 1988’den beri Uluslararası Yeryuvarı Dönme Servisi (International Earth Rotation Service- IERS) tarafından kısaca ITRF olarak adlandırılan (IERS Terrestrial Reference Frame) referans ağına dayalı olarak sürdürülmektedir.

Üç boyutlu jeodezide kullandığımız koordinat sistemleri yersel koordinat sistemleridir. Bunlar

Jeosentrik (yer merkezli) sistemler Toposentrik (nokta merkezli) sistemler

olarak iki ana grupta incelenebileceği gibi, Gözleme ve ölçmelerin dayandığı doğal sistemler, Hesapların dayandığı referans sistemler

olarak da ikiye ayrılabilirler.

Yersel Koordinat Sistemleri yeryüzü üzerindeki konumların ve hareketlerin belirlenmesi için kullanılan koordinat sistemleridir ve genelde coğrafik koordinat sistemleri olarak adlandırılırlar. Konumlar kutupsal veya kartezyen koordinatlarla belirlenebilir.

2.3.4.1- Jeosentrik SistemlerJeosentrik sistemler

Ortalama ve Anlık Yersel Sistemler, Jeodezik (Elipsoidal) sistemler

olarak ikiye ayrılır.

Yukarda açıklandığı gibi temel yersel koordinat sistemi Konvansiyonel Yersel Koordinat Sistemi veya diğer adıyla Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemi’dir. Ortalama Sistem bir ideal sistemdir.İdeal dünya dik koordinat sistemi olarak kabul edilen “Konvansiyonel Yersel Sistem”in

orijini yerin ağırlık merkezidir. Sistemin Z ekseni yeryuvarının ortalama dönme ekseni

ile çakışıktır ve pozitif yönü kısaca CIO (Conventional International Origin) olarak gösterilen Ortalama Kutup’a doğru yönelmiştir.

Sistemin X ekseni Greenwich ortalama astronomik meridyen düzlemi ile ortalama ekvator düzleminin arakesitinde uzanır ve Z eksenine diktir, pozitif yönü 0 astronomik boylamı gösterir.

Y ekseni, sistem bir sağ el sistemi olacak şekilde seçilmiştir ve pozitif yönü ekvator düzlemi içerisinde 90 doğu boylamına yönelir.

Bir yer noktasının konumu Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemi’nde

X,Y,Z dik koordinatları ileveya

,,W veya ,,H eğri koordinatları ile tanımlanabilir.

astronomik enlemi ve astronomik boylamı, g gerçek gravite vektörünün X,Y,Z eksenlerine göre doğrultusunu belirler, üçüncü koordinat olarak W jeopotansiyeli veya H ortotmetrik yüksekliği alınır,

Yerin katı yapısına göre yerin dönme ekseninin değiştiği (Kutup hareketi) bilinmektedir. Bu nedenle CIO kutbu bir tanımdır. Her bir T anı için yerin gerçek kutbu değişmektedir. Gerçek kutup ile tanımlanan kutup arasındaki bağıntının sağlanması gerekir.

Yer üzerinde yapılan gözlemeler (örneğin astronomik gözlemeler, uydu ölçmeleri) yeryuvarının gözlem anındaki gerçek dönme eksenine göredir. Dönme ekseninin konumu katı yeryuvarına göre zamanla değiştiğinden her gözlem anında bir dönme ekseni ve bu eksene ve yerin ağırlık merkezine göre bir koordinat sistemi oluşur. Bu sistemlerin her biri “Anlık Yersel Koordinat Sistemi” olarak adlandırılır (Şekil 2.6).

Anlık Yersel Koordinat Sistemi aşağıdaki gibi tanımlanır:

Başlangıcı dünyanın ağırlık merkezindedir (ortalama sistemle aynı).

Z ekseni dünyanın anlık dönme ekseni ile çakışıktır ve pozitif yönü anlık kutup noktasına yönelir

X ekseni dünyanın gerçek dönme eksenini ve ortalama Greenwich gözlemevini içerisine alan düzlemle anlık ekvator düzleminin arakesitinde yer alır.

Y ekseni sistem bir sağ el koordinat sistemi olacak şekilde anlık ekvator düzleminde yer alır

Bu sistemde bir noktanın konumu anlık X, Y, Z dik koordinatları ile veya anlık astronomik enlemi ve anlık astronomik boylamı ve W jeopotansiyeli veya H ortometrik yüksekliği ile belirlenir.

Bu iki sistemin temel özelliği başlangıç noktalarının aynı olması ve dünyanın ağırlık merkezinde bulunması ve Z eksenlerinin dünyanın anlık ve ortalama dönme eksenleri olmasıdır.

Bir noktanın anlık yersel sistemdeki koordinatları Gözlem anındaki kutup hareketi parametreleri XP, YP bilindiğine göre rotasyon matrisleri yardımıyla

(2.31)

eşitliği ile ortalama sisteme dönüştürülür (Şekil 2.5 – 2.6).

AnlınZ

Y

X

PYRPXR

OrtalamaZ

Y

X

)(1)(2

Kutup hareketi parametreleri XP, YP derece saniyesi biriminde verilmektedir. Rrotasyon matrisleri daha önce verilen genel eşitliklerle, X ekseni etrafına saat ibresi yönünde (negatif) YP kadar bir dönme için

(2.32)

ve Y ekseni etrafına saat ibresi yönünde (negatif) XP kadar bir dönme için

(2.33)

şeklinde elde edilir. Kutup noktasının koordinatları XP, YP derece saniyesi biriminde küçük değerlerdir. Bu nedenle dönüşüm diferansiyel dönüşüm olarak düşünülebilir.

)cos()sin(0

)sin()cos(0

001

)(1

PP

PPP

yy

yyyR

)cos(0)sin(

010

)sin(0)cos(

)(2

PP

PP

P

xx

xx

xR

Bu durumda dönüşüm matrislerinin çarpımı yukarıda (2.30) eşitliğinde verildiği gibidir, yani

(2.34)

dir.

1

10

01

10

10

001

10

010

01

)()( 12

PP

P

P

P

P

P

P

PP

yx

y

x

y

y

x

x

yRxR

Ortalama Yersel Sistemden Anlık Yersel Sisteme dönüşüm (invers dönüşüm)

(2.35)

eşitliği ile yapılır. Rotasyon matrislerinin ortagonal olmaları nedeniyle

R-1() = RT() = R(-)dir ve yukarıdaki eşitlik

(2-36)

şeklinde yazılabilir.

Ortalama

PP

Anlınz

y

x

yRxR

z

y

x

1

12 )()(

Ortalama

PP

Anlınz

y

x

xRyR

z

y

x

)()( 21

Astronomik gözlemlerle bulunan kutupsal anlık koordinatlar astronomik enlem, astronomik boylam ve astronomik azimut yine kutup hareketi parametrelerine göre düzeltilerek ortalama kutuba indiregenmiş koordinatlar elde edilir. Bu indirgemeler

eşitlikleri ile hesaplanır. Eşitliklerde T (T ölçme anındaki) anlık kutba göre yapılan astronomik gözlemelerle belirlenmiş anlık astronomik azimut, T anlık astronomik enlem, T anlık astronomik boylam, ortalama kutba (CIO) indirgenmiş astronomik azimut, indirgenmiş astronomik enlem ve indirgenmiş astronomik boylamdır.

sec)cossin( PPTP yx cossin PPTP xy

tan)cossin( PPTP yx

Yukarıdaki eşitliklerle hesaplanmış indirgeme değerleri ile bu indirgenmiş büyüklükler

eşitlikleri ile hesaplanır.

PT

PT

PT

2.3.4.1.2- Jeodezik (Elipsoidal) Sistemler

Jeodezik (Elipsoidal) Sistemin başlangıcı elipsoidin merkezindedir,

z ekseni elipsoidin küçük ekseni ile çakışıktır, x ekseni Greenwich jeodezik meridyen düzlemi ile

ekvator düzleminin arakesitindedir ve y ekseni bir sağ el sistemi oluşturacak şekilde

seçilmiştir. Bu sistemde bir P yer noktasının konumu x, y, z dik

koordinatları ile veya , , h elipsoidal eğri koordinatları ile belirlenir.

elipsoidal (jeodezik) enlem, elipsoidal boylam ve h elipsoidal yükseklik olarak adlandırılır (Şekil 2.9).

Şekil 2.9 - Elipsoidal Dik ve Eğri Koordinatlar.

Elipsoidal eğri koordinatlardan elipsoidal dik

koordinatlara geçiş, (2.37a)

(2.37b)

(2.37c)eşitlikleri ile gerçekleştirilir. Eşitliklerde N meridyene dik doğrultudaki normal kesit eğrilik yarıçapı, a ve b sırasıyla elipsoidin büyük ve küçük yarı eksen uzunluklarıdır.

(2.38)

olmak üzere meridyene dik doğrultudaki normal kesit eğrilik yarıçapı N

veya (2.39)

eşitliği ile hesaplanır.

x N h ( ) cos cos

y N h ( ) cos sin

zb

aN h e N h

2

221sin ( ) sin

b

ac

2

2

222

a

bae

2

222

b

bae

22 cos1 e

c

V

cN

22 sin1 e

a

W

aN

Elipsoidal dik koordinatlardan elipsoidal eğri koordinatlara dönüşüm için değişik yollar vardır. Bunlar1- İtersyon yöntemi2- Doğrudan çözüm yöntemlerişeklinde sınıflandırılabilir.

1- İtersyon yöntemiElipsoidal boylam , (2.37b) eşitliğinin (2.37a) eşitliğine bölünmesi ile doğrudan elde edilir.

(2.40)

Elipsoidal enlem ve elipsoidal yükseklik h’nın hesaplanması için aşağıdaki iterasyon eşitlikleri

(2.41)

(2.42)

(2.43) çıkarılır. Eşitliklerde de görüldüğü gibi nin

hesabında h, h nın hesabında geçmektedir.Hesaplarda bu eşitliklerin kullanılması durumunda arka arkaya iterasyon yapmak gerekir.

arctany

x

22 yxp

121arctan e

hN

N

p

z

Np

h cos

2- Doğrudan çözüm yöntemiElipsoidal boylam , (2.37b) eşitliğinin (2.37a) eşitliğine bölünmesi ile doğrudan elde edilir.

(2.40) indirgenmiş enlemi

(2.47)eşitliği ile hesaplanır.Elipsoidal enlem aşağıdaki eşitlikle doğrudan hesaplanabilir,

(2.46)Eşitliklerde geçen a ve b sırasıyla elipsoidin büyük ve küçük yarı eksen uzunlukları, e2 ve sırasıyla birinci ve ikinci eksentrisite değerleridir.

Hesaplanan elipsoidal enleme bağlı olarak N eğrilik yarıçapı hesaplanır ve Elipsoidal yükseklik yukarıda verilen

(2.43) eşitliği ile hesaplanır.

arctany

x

p

z

b

atan

32

32

cos

sintan

aep

bez

Np

h cos

ülke nirengi ağı noktalarının koordinatlarının hesaplanabilmesi için bir referans elipsoidinin belirlenmesi ve jeoide göre konumlandırılması gerekir. Referans elipsoidinin jeoide göre yerleştirilmesi ve yöneltilmesi işlemi Jeodezik Datum Belirleme, bu işlemin yapılabilmesi için gereken parametre grubuna Jeodezik Datum Parametreleri denir.

Diğer bir deyişle, Jeodezik Datum terimi, alışılageldiği şekliyle ,,h ile veya x,y,z dik koordinatlarıyla ifade edilen Elipsoidal Sistemin, Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemine ve böylece yeryuvarına (jeoide) göre konumlandırılması ve yönlendirilmesini ifade eder (Torge, 1991).

Herhangi iki elemanı (a,b eksenleri veya a ve f basıklığı ) ile belirlenen elipsoidin boyutları eğer dünyanın boyutlarına eşit ise bu elipsoide ortalama yer elipsoidi denir.

Eğer, referans elipsoidinin boyutları ortalama yer elipsoidinin boyutlarına eşit ve elipsoidin eksenleri mutlak koordinat sisteminin eksenleri ile çakışık ise bu referans elipsoidi mutlak yönlendirilmiş referans elipsoidi olarak adlandırılmıştır. Orijini yerin ağırlık merkezi dışında, bağıl bir koordinat sistemine göre yönlendirilen referans elipsoidi ise bağıl referans elipsoidi olarak adlandırılır. Mutlak referans elipsoidinin datum parametrelerine mutlak jeodezik datum parametreleri bağıl referans elipsoidinin parametrelerine bağıl jeodezik datum parametreleri denir.

Mutlak jeodezik datum

Mutlak ve Rölatif jeodezik datumlar

Rölatif jeodezik datumlar ülkenin bulunduğu bölgede elipsoid yüzeyi jeoid yüzeyine en iyi şekilde uyacak biçimde oluşturulur

Eksenlerin paralel olması durumu ise genellikle bir relatif jeodezik sistemi tanımlar. Ayrıca eksenlerin paralelliği de tam olarak sağlanamayabilir, bu durumda eksen dönüklükleri söz konusudur. Bu en genel durumda elipsoid dik koordinatları x, y, z ile Ortalama Yersel Sistem arasındaki bağıntı vektörel olarak (Şekil 2.10),

(2.48)

, , (2.49)

şeklindedir.

A C R f G ( )1 0

A

X

Y

Z

C

X

Y

Z

0

0

0

G

x

y

z

Eşitlikteki fo ölçek faktörüdür. R dönüşüm matrisi olup x, y, z eksenleri etrafındaki eksen dönüklükleri sırasıyla x, y, z olmak üzere, yukarıda (2.6) da verilen rotasyon (Dönme) matrislerinde , , yerine sırasıyla x, y, z alınarak

R = R1(x) R2(y) R3(z) (2.50)

(2.51)

şeklindedir. Eksen dönüklüklerinin küçük oldukları kabul edilir ve bazı küçük terimler ihmal edilir ve ölçek faktörü de dikkate alınırsa dönüşüm matrisi

(2.52)

olur.Ortalama yersel sistemden jeodezik sisteme dönüşüm (2-48)

eşitliğinden eşitliği ile gerçekleştirilir.

100

0cossin

0sincos

cos0sin

010

sin0cos

cossin0

sincos0

001

zz

zz

yy

yy

xx

xxR

0

0

0

0

1

1

1

)1(

f

f

f

fR

xy

xz

yz

))(1( 01 CAfRG

2.3.4.3 Toposentrik SistemlerYeryüzü üzerindeki her nokta için ayrı bir toposentrik sistem tanımlanır. Bunların en belirgin özelliği başlangıç noktasının durulan noktada olmasıdır. İki çeşit toposentrik sistem tanımlanabilir: Lokal astronomik sistem Lokal jeodezik sistem.

2.3.4.3.1 Lokal Astronomik SistemBir lokal astronomik sistemde başlangıç, fiziksel yeryüzü üzerinde durulan noktadır.Z ekseni durulan noktadan geçen eş potansiyelli yüzeyin normali (çekül eğrisinin teğeti, çekül doğrultusu) ile çakışır ve pozitif yönü astronomik başucuna yönelmiştir. X ekseni durulan noktadaki jeopotansiyel yüzeye teğet düzlem içerisindedir ve ortalama kutup noktası CIO’ya yönelmiştir. X ekseninin yönü astronomik kuzey olarak adlandırılır. Y ekseni bir sol el sistemi oluşuturacak şekilde teğet düzlem içerisinde doğuya yönelmiştir (Şekil 2.11).

Şekil 2.11- Lokal Astronomik ve Ortalama Yersel Koordinat Sistemleri.

Yeryüzünde yapılan bütün ölçmeler bu sisteme göre yapılır. Örneğin bir P noktasına kurulan teodolit bu noktadan geçen jeopotansiyel yüzeye göre tesviye edilir ve aletin asal ekseni çekül doğrultusu ile yani Z ekseni ile çakıştırılır. X ekseninin doğrultusu astronomik gözlemelerle belirlenir. P noktasından K noktasına astronomik azimutu, başucu açısı ve S uzaysal (eğik) kenarı ölçülebilir. Bunlar K noktasının kutupsal koordinatlarıdır (Şekil 2.11)., , S kutupsal koordinatları ile X, Y, Z lokal astronomik dik koordinatlar arasında

(2.53)

ilişkisi vardır.

cos

sinsin

cossin

S

Z

Y

X

K

Açık olarak yazılacak olursa

(2.54)

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerde geçen S noktalar arasındaki uzaysal kenar uzunluğu kutup hareketi nedeniyle düzeltilerek ortalama kutba indirgenmiş astronomik azimut düşey açısı (başucu açısı, zenit açısı) refraksiyon nedeniyle düzeltilmiş düşey açıdır.

PKPKPKK SX cossin

PKPKPKK SY sinsin

PKPKK SZ cos

Refraksiyon düzeltmesi PK,

;

eşitliklerde S kenarın uzunluğu, A kenarın azimutu olmak üzere (2.55)eşitliği ile hesaplanır. Eşitlikte geçen kP P noktasındaki refraksiyon (kırılma) katsayısıdır. Ölçülen * başucu açısına PK refraksiyon düzeltmesi eklenerek (2.56)düzeltilmiş başucu açısı elde edilir(Şekil 2.12).

hP

hK

R

S

K

P

2

*

3V

cM

V

cN

PKPK

PKAMAN

MNR

22 sincos

PK

PKPK R

S2

PPKPK k

PKPK

Lokal astronomik sistemle ortalama yersel sistem arasındaki ilişki, lokal astronomik sistemin başlangıç noktası olan istasyonda gözlenen ve kutup hareketi nedeni ile düzeltilerek ortalama kutba indirgenen astronomik enlem P ve astronomik boylam P yardımı ile kurulur. (2.53) eşitliği ile P noktasındaki lokal astronomik sistemdeki dik koordinatları bulunan K noktasının, ortalama yersel sistemdeki koordinatları

(2.57)

eşitliği ile elde edilir.

X

Y

Z

X

Y

Z

R R P

X

Y

ZK P

P P

K

3 2 2180 90( ) ( )

Bu eşitlikte, R2, R3 rotasyon matrisleri ve P2 yansıma matrisidir ve

ile toplam rotasyon matrisi

şeklinde bulunur. Bu matris ile (2.57) eşitliği açık olarak yazılırsa

(2.58) olur.

223 )90()180( PRRR PP

PP

PPPPP

PPPPP

R

sin0cos

sincoscossinsin

coscossincossin

X X X Y ZK P K P P K P K P P sin cos sin cos cos

Y Y X Y ZK P K P P K P K P P sin sin cos cos sin

PKKPKPK ZYXZZ sin0*cos

Tersine dönüşüm R matrisinin ortagonal olması nedeniyle

(2.59)

şeklindedir.X= XK-XP , Y= YK-YP , Z=ZK-ZP denilir ve açık olarak yazılırsa

(2.60a)

(2.60b) (2.60c)bulunur.

X

Y

Z

R

X X

Y Y

Z ZK

TK P

K P

K P

X X Y ZK P P P P P sin cos sin sin cos

Y X YK P P sin cos

Z X Y ZK P P P P P cos cos cos sin sin

Bu yerel astronomik dik koordinatlardan (2.53) eşitliklerinin de dikkate alınması ile

(2.61)

eşitlikleri elde edilir. yerine (2.60a,b,c) eşitliklerinden karşılıkları konulursa

(2.62a)

(2.62b)

(2.62c)

bağıntıları elde edilir.

K

KPK X

Yarctan S X Y ZPK 2 2 2

PK

KPK S

Zarccos

X Y ZK K K, ,

PKP P

P P P P P

X Y

X Y Z

arctansin cos

sin cos sin sin cos

S X Y ZPK 2 2 2

PKP P P P PX Y Z

S

arccos

cos cos cos sin sin

2.3.4.3.2 Lokal Jeodezik SistemBir lokal jeodezik sistemde başlangıç gözleme istasyonundan geçen elipsoid normali üstündedir. Prensip olarak başlangıç noktasının elipsoid normali boyunca herhangi bir yerde olabileceğine dikkat etmek gerekir. Uygulamada

başlangıç noktası gözleme istasyonunda, elipsoid yüzünde veya elipsoid normali ile jeoidin kesiştiği yerde seçilir.

z ekseni elipsoid normali ile çakışır ve pozitif yönü jeodezik başucuna yönelmiştir.

x ekseni başlangıç noktasında elipsoid normaline dik olan (teğet) düzlem içerisindedir ve elipsoidin dönme eksenine yani jeodezik kuzeye yönelmiştir.

y ekseni bir sol el sistemi oluşturacak şekilde doğuya yönelmiştir (Şekil 2.13).

Şekil 5- Jeodezik ve Lokal Jeodezik Koordinat Sistemleri.

Lokal jeodezik sistemde dik koordinatlarla kutupsal koordinatlar arasıdaki ilişkiler lokal astronomik sistemdekine benzer olarak

(2.63)şeklinde yazılabilir. Bu eşitliklerde A elipsoidal azimut, elipsoidal (refraksiyon düzeltmesi getirildikten sonra elipsoid normaline indidrgenmiş) düşey açı ve S uzaysal (eğik) kenardır. Bu eşitlikler açık olarak

(2.64)

şeklinde yazılabilir.

x

y

z

S

A

A

K

sin cos

sin sin

cos

PKPKPKK ASx cossin

PKPKPKK ASy sinsin

PKPKK Sz cos

çekül doğrultusuna göre ölçülen ve refraksiyon düzeltemesi getirilmiş zenit açısı, ve durulan noktadaki (P noktası) çekül sapması bileşenleri, A, P noktasından K noktasına elipsoidal azimut olmak üzere, elipsoid normaline indirgenmiş zenit açısı ,

(2.65)eşitliği ile hesaplanır.

)sincos( PKPPKPPKPK AA

Lokal jeodezik sistemle elipsoidal sistem arasındaki ilişki, lokal jeodezik sistemin başlangıç noktası olan istasyonun elipsoidal enlemi P ve elipsoidal boylamı P yardımı ile kurulur. (2.63) veya (2.64) eşitlikleri ile P noktasındaki lokal jeodezik sistemdeki dik koordinatları bulunan K noktasının, elipsoidal sistemdeki koordinatları (2.66) matris eşitliği ile

(2.66)veya açık olarak yazılacak olursa

(2.67a)

(2.67b)

(2.67c)

eşitlikleri ile bulunur.

x

y

z

x

y

z

R R P

x

y

zK P

P P

K

3 2 2180 90( ) ( )

PPKPKPPKPK zyxxx coscossincossin

PPKPKPPKPK zyxyy sincoscossinsin

PKKPKPK zyxzz sin0cos

Yine lokal astronomik sistemdekine benzer olarak, lokal jeodezik sistemdeki dik koordinatlar ile elipsoidal koordinatlar arasındax = xK-xP , y= yK-yP , z=zK-zP

olmak üzere

(2.68a)

(2.68b)

(2.68c)bulunur.

PPPPPK zyxx cossinsincossin

PPK yxy cossin

PPPPPK zyxz sinsincoscoscos

Lokal jeodezik sistemdeki kutupsal koordinatlar ile dik arasında

, , (2.69)bağıntıları geçerlidir. Bu eşitliklerde yerine (2.68a,b,c) eşitliklerinden karşılıkları konulursa

(2.70a)

(2.70b)

(2.70c)lokal jeodezik sistemdeki kutupsal koordinatlar A, ’ ve S ’nin, noktaların elipsoidal koordinatlarına göre ifade edildiği bağıntılar elde edilir.

K

KPK x

yA arctan 222 zyxSPK

PK

KPK S

zarccos

KKK zyx ,,

PPPPP

PPPK zyx

yxA

cossinsincossin

cossinarctan

222 zyxSPK

PK

PPPPPPK S

zyx

sinsincoscoscosarccos

Lokal jeodezik ve lokal astronomik sistemler arasındaki ana fark z eksenlerinin sırasıyla birincisinde gözleme istasyonundan geçen elipsoid normali ve diğerinde jeopotansiyel yüzeyin normali (çekül doğrultusu) ile çakışmasıdır. Bu iki sistem arasındaki ilişki noktadaki çekül sapması ve astronomik azimut ve jeodezik azimut A arasındaki fark yardımıyla kurulur. ve çekül sapması bileşenleri olmak üzere lokal astronomik sistemden lokal jeodezik sisteme geçiş

(2.71)

eşitliği ile sağlanır. Çekül sapması bileşenleri , ve (-A) çok küçük değerler olduğu için rotasyon matrislerinin komutatif özelliğe sahip oldukları varsayılabilir, bu nedenle rotasyonun gerçekleştirilmesi sırasında çarpım sıraları önemli değildir.

Z

Y

X

ARRR

z

y

x

)()()( 321

Çekül sapması bileşenleri

(2.72)

eşitlikleri ile verilmektedir. Şekil 2.16‘da lokal astronomik ve lokal jeodezik sistemlerin z eksenleri ile Ortalama Yersel Sistem ve Elipsoidal Sistemin eksenleri arasındaki ilişkiler ve birim küre üzerinde çekül sapması bileşenleri gösterilmektedir.Çekül sapması bileşenleri

Astronomik-jeodezik yöntemlerle Gravimetrik yöntemlerle Topoğrafik-izostatik yöntemlerle

belirlenir.

cot)(

cos)(

A

Şekil 2.14- Jeoid, elipsoid ve çekül sapması

Şekil 2.15- Helmert ve Pizetti İzdüşümleri ve çekül sapmaları

Astronomik-jeodezik yöntemlerle belirlenen çekül sapmaları Astro-jeodezik çekül sapması olarak adlandırılır. Bir P noktasının astronomik enlem, boylam ve azimutu astronomik gözlemelerle belirlenir. Bu noktanın elipsoidal enlem ve boylamı yeryüzünde yapılan açı ve kenar ölçmeleri ile nirengi ağları kurularak hesaplanır. Astronomik yöntemlerle bulunan enlem, boylam ve azimut ile jeodezik ölçülerle elipsoid üzerinde yapılan hesaplarla bulunan elipsoidal enlem, boylam ve azimutun farkları ile elde edilen çekül sapması bileşenleri “Astro-jeodezik çekül sapması bileşenleri” olarak adlandırılır. Hesapların yapıldığı referans elipsoidinin Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemine göre konumuna göre astro-jeodezik çekül sapması bileşenleri rölatif çekül sapmaları veya mutlak çekül sapmaları olarak elde edilir. Eğer referans elipsoidinin merkezi yeryuvarının ağırlık merkezinde ve elipsoidal dik koordinat sisteminin x. y, z eksenleri Ortalama Dünya Dik Koordinat Sisteminin X, Y, Z eksenleri ile çakışık ise bu elipsoide göre hesaplanan çekül sapmaları “Mutlak Çekül Sapmaları” adını alır. Eğer referans elipsoidinin merkezi yeryuvarının ağırlık merkezinin dışında ise bu elipsoide göre hesaplanan çekül sapmaları “Rölatif Çekül Sapmaları” adını alır.

Şekil 2.16- Ortalama Yersel Sistem, Elipsoidal Sistem, Lokal Astronomik Sistem ve Lokal Jeodezik Sistemin z eksenleri ve Çekül sapması bileşenleri.

Şekil 2.17- Çekül sapması ve bileşenleri

Çekül sapması bileşenlerinden astronomik boylam ve elipsoidal boylam arasındaki farktan veya astronomik azimut ile elipsoidal azimut A arasındaki farktan yukarıda verilen eşitliklerle iki ayrı şekilde hesaplanır. Bir nokta için hesaplanan bu değerlerin teorik olarak eşit olması gerekir. Ancak ölçü hataları nedeniyle bu pratikte sağlanamaz. Yukarıda (2.72) de için verilen iki eşitliğin farkının sıfıra eşitlenmesi ile

ve

(2.73)eşitliği elde edilir. Bu eşitlik Laplace Denklemi olarak adlandırılır.

0cos)(cot)( A

0sin)()( A

UYGULAMA

Elipsoidal dik ve eğri koordinatlar arasında dönüşüm

Elipsoidal dik koordinatlardan azimut, zenit uzaklığı ve uzaysal kenar hesabı

Soru : Ülke nirengi ağının iki noktasının WGS-84 sistemindeki üç boyutlu dik koordinatları ve ortometrik yükseklikleri aşağıda verilmektedir;

2 numaralı noktanın astronomik enlemi 41 42 44.1235, astronomik boylamı 27 59 47.5378 ve 2 numaralı noktadan 1 numaralı noktaya astronomik azimut 224 26 42.1979 verildiğine göre;

a) 2 numaralı noktanın elipsoidal enlemini, boylamını ve elipsoidal yüksekliğini hesaplayınız,

b) 2 numaralı noktadaki çekül sapması bileşenlerini ve jeoid yüksekliğini hesaplayınız,

c) 2 numaralı noktadan 1 numaralı noktaya olan azimutu, zenit uzaklığını ve uzaysal kenarı hesaplayınız.

Nokta No X (m) Y (m) Z (m) H (m)

1 4218844.8895 2233766.9953 4216285.6830 383.265

2 4210381.0556 2238170.1280 4222203.0762 276.385