fiz˙ iksel jeodez˙ i˙ lisans ders...

FIZIKSEL JEODEZI

Lisans Ders Notları

Yrd. Doc. Dr. Aydın USTUN

Selcuk Universitesi

Jeodezi ve Fotogrametri Muh. Bolumu

Konya, 2006

0-0

SELCUK UNIVERSITESI Jeodezi ve Fotogrametri Muh.

1 Giris

1.1 Jeodezinin Tanımı ve Amacı

Jeodezi, uc boyutlu ve zaman degiskenli uzayda, cekim alanı ile birlikte,

yeryuvarının ve oteki gok cisimlerinin olculmesi ve haritaya aktarılması

ile ugrasan bilim dalıdır.

Jeodezinin gorev alanı;

• Konum belirleme; yeryuvarının geometrik seklinin (kara, deniz ve

buzul yuzeyinin) belirlenmesi,

• Yeryuvarının gravite alanının ve dolayısıyla jeoidin belirlenmesi,

• Yeryuvarının sekli ve gravite alanındaki zamana baglı degisimlerin

izlenmesini kapsar.

Fiziksel Jeodezi Ders Notları 1 A. Ustun


1.2 Yeryuvarının Ideal Sekline Iliskin Arayıslar

• Insanoglu 3000 yıldır yerin ideal seklini belirlemeye calısmaktadır

Hecataeus’un (M.O. 550-500) dunya haritası



• Yeryuvarının seklinin ne olabilecegini dusunenler (kronolojik sıra)

– Thales (M.O. 624–546)

– Anaximender

– Anaximenes

– Pythagoras (M.O. 550–500)

– Aristo (M.O. 384–322)

– Archimedes (M.O. 287–212)

– Eratosthenes (M.O. 276–194)

– Posidonius (M.O. 135–51)

– Batlamyus (M.S. 87–151)

– ——————————

– El-Harizmi (M.S. ≈ 800)

– ——————————

– Kopernik (1473–1543)

– T. Brahe (1546–1601)

– J. Kepler (1571–1630)

– G. Galileo (1564–1642)

– W. Snellius (1591–1626)



• Kuresel yeryuvarı icin bilimsel anlamda ilk olcum

ψ

ψ

∆GR

R

R = ∆Gψ

Gunes ısınları

Syene

Iskenderiye

O

Eratosthenes’in (M.O. 276-194) yay olcmesi



1.3 Kure – Elipsoit? Yoksa Baska Bir Sey mi?

• 17. yuzyılda ilk kez triyangulasyon agı kullanılmaya baslandı ve 1◦ lik

yay uzunlugu olcumu gerceklestirildi.

• 1669 yılında Fransız J. Piccard meridyen yay uzunlugu olculerinden

yeryuvarının yarıcapını 6 275 km olarak belirledi.

• Aynı tarihlerde I. Newton ve C. Huygens kutuplarda basık yeryuvarı

modelini savunuyorlardı.

• Astronom J. Richer Fransız Guayanası’na (Cayanne) yaptıgı

yolculukta sarkaclı saatinin geri kaldıgının farkına vardı.

• Ancak meridyen yay olcmeleri kutuplarda basık elipsoit modeli yerine

ekvatorda basık elipsoit modelini ortaya cıkardı.



Kutuplarda (solda) ve ekvatorda (sagda) basık yeryuvarı modeli



1.4 Matematiksel Model: Donel Elipsoit

• Yeryuvarının kutuplarda mı yoksa ekvatorda mı basık sorusuna cevap

bulabilmek icin Peru (1.5◦ enlemi) ve Lapland’da (66.3◦ enlemi)

meridyen yay olculeri gerceklestirildi.

b

aO

M

M ′∆G

∆G′

∆ϕ∆ϕ′

Farklı enlemlerde meridyen yay uzunlugu olcumu



1.5 En Uygun Referans Elipsoidi (Geometrik)

• Delambre (1810)

• Airy (1830)

• Everest (1830)

• Bessel (1841)

• Clarke (1858,1866,1880)

• Hayford (1908)

• ———————-

• WGS84

• GRS66, GRS72, GRS80

• En uygun (guncel)

a = 6 378 136.7 m

1/f = 298.257 222



1.6 Clairaut Teoremi

A.C. Clairaut (1738), yay uzunlugu ve gravite olculerini, kendi adıyla

anılan teoreminde kullanarak elipsoidal yeryuvarı modelinin geometrik ve

fiziksel senteze dayalı ispatını yaptı.

Bu teorem bir donel elipsoidin geometrik parametreleri ile gravite degerleri

arasındaki iliskiyi acıklar, baska bir deyisle, elipsoidin basıklıgının sadece

geometrik parametrelerle degil, fiziksel parametrelerle de

hesaplanabilecegini gosterir:

a− b

a+γb − γa

γa=ω2b

γa

(

1 +e′q′02q0

)

Burada;

a, b sırasıyla elipsoidin buyuk ve kucuk yarıeksenine;

γa, γb ekvator ve kutuplardaki normal graviteye karsılık gelir.



1.7 Geometrik Modele Karsı Fiziksel Model

Elipsoidal yeryuvarı modeli birkac

yuz km lik alana yayılan nirengi

aglarının degerlendirilmesinde

yeterli dogrulugu karsılayabilir mi?

Yoksa, “yeryuvarının sekli” icin

baska bir tanıma mı gereksinim var?



1.8 Gauss ve Listing’in Fiziksel Model Icin

Dusunceleri

• Gauss-Listing jeoidi:

– Geometrik anlamda yeryuvarının sekli dedigimiz sey, kısmen okyanus

yuzeyi ile cakısan ve her noktasında cekul dogrultularını dik acılarla

kesen yuzeyden baska bir sey degildir (Gauss, 1828).

– Daha once yeryuvarının matematiksel yuzeyinin bir parcası olarak

tanımladıgımız okyanus yuzeyine bundan boyle yeryuvarının jeoidal

yuzeyi ya da kısaca jeoit diyecegiz (Listing, 1873).



1.9 Yeryuvarının Sekli: Elipsoit ve/veya Jeoit

Geometrik model Fiziksel model



1.10 Fiziksel Model ve Yatay Kontrol Agı

Dogrultu-kenar olculerinin cekul sapması bilesenleri (ξ = Φ − ϕ,

η = (Λ − λ) cosϕ) yardımıyla referans elipsoidine indirgenmesi



1.11 Fiziksel Model ve Dusey Kontrol Agı Iliskisi

• Gravite gozlemleri yardımıyla, nivelman olculerinin cekul egrisi

boyunca olculen yukseklik farklarına indirgenmesi

A

P

B

gA

gi

gP

gj

gB

Cekul

egrisi



• Jeoit ile cakıstıgı varsayılan ortalama deniz duzeyinin baslangıc

secilmesi



Turkiye Ulusal Dusey Kontrol Agı 1999 (TUDKA-99)



1.12 Uc-Boyutlu Jeodezi

• Klasik yontemle ulke olcmelerinde, yatay ve dusey kontrol agları

birbirinden bagımsızdır.

• Yatay ve dusey kontrol aglarının aynı matematiksel model altında

degerlendirilmesi (uc boyutlu jeodezi) Bruns (1878) tarafından onerildi.

• Ancak, pratige gecis yuzyıl sonra GPS ile saglanabildi.

• GPS, yermerkezli koordinat sisteminde uc boyutlu koordinat bilgisini

(x, y, z veya ϕ, λ, h) uretmektedir.

• Uretilen koordinat degerleri tumuyle geometrik, fiziksel bir anlamı yok.

Ornegin, h elipsoidal yuksekligi gravite alanından bagımsızdır; bu

yukseklik turuyle suyun akıs yonu belirlenemez.



x

y

z

h

z

y x

b

b

b

P (x, y, z)P (ϕ, λ, h)

λ ϕ

b



1.13 Ozetin Ozeti: Fiziksel Jeodezinin Problemi

Yeryuvarının gravite alanının ve onun es potansiyel yuzeylerinden biri olan

jeoidin belirlenmesi.



2 Potansiyel Teorisinin Temelleri

2.1 Temel Kuvvetler

Kuvvet: Fiziksel bir sistemin degisiminden sorumlu tutulan dıs etken.

Gunumuzde, dogada varlıgı bilinen dort temel kuvvet;

• Atom cekirdeklerini bir arada tutan guclu-nukleer kuvvet

• Elektrik yukleri arasındaki elektromanyetik kuvvet

• Atom cekirdegindeki radyoaktiviteden sorumlu zayıf-nukleer kuvvet

• Kitleler arasındaki cekim kuvveti



2.2 Yercekimi

• Cekim, kutleleriyle iliskili olarak

cisimlerin birbirlerini kendilerine

dogru cekme egilimi.

• Kutle cekimi gok cisimlerinin

hareket esaslarını acıklar.

• Cekim kuvveti korunumlu bir

kuvvettir ve potansiyel enerji

cinsinden ifade edilir.

Dusen elmaya da, Yer’in etrafında donen

Ay’a da etkiyen kuvvet aynı.

I. Newton (Principia, 1687)

Yercekimi, evrensel cekim

kuvvetinin ozel hali.



2.3 Cekim Kuvveti ve Ivmesi

Newton’un cekim yasasına gore; aralarında l uzaklıgı bulunan m1 ve m2

kutlelerine sahip iki cisim birbirlerine cekim kuvveti uygular:

F = −Gm1m2

l2l

l(1)

Burada G evrensel cekim sabiti olmak uzere degeri

G = 6.6742 (±0.0010) 10−11 m3kg−1s−2 (2)

ile bilinmektedir. F iki kitle acısından tamamen simetrik olsa da bu

kuvvetlerden biri ceken digeri cekilen kitleler olarak goz onunde

bulundurulur. F cekim kuvveti ve l bagıl yer vektoru karsıt yonleri

gosterir. Kutle cekim yasası yercekimine indirgenirse, (1)’deki kitlelerden

biri birim kitle olarak dusunulebilir.



Bu durumda, yercekim kuvveti yercekim ivmesine

b = −Gm

l2l

l(3)

donusur.

(1) ve (3)’den cekim etkisinin ceken ve cekilen kitleler arasındaki uzaklıga

baglı oldugu anlasılmaktadır. Bu nedenle kullanılacak koordinat sisteminin

baslangıcı keyfi secilebilir. Kutle cekimi merkezcil bir kuvvet olduguna

gore, baslangıcı ceken cismin agırlık merkezinde dusunmek yerinde

olacaktır.



r bir P (x, y, z) noktasının yer vektoru, rQ bir Q(ξ, η, ζ) noktasının (ceken

kitlenin) yer vektoru olmak uzere (3)

b(r) = −G mQr − rQ

l3= −G mQ

r − rQ

|r− rQ|3(4)

biciminde yazılabilir (l =p

(x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2).

b(r) = −G mQr − rQ

|r − rQ|3(5)

Yeryuvarının sonsuz sayıdaki diferansiyel kitle elemanından olustugu goz

onunde bulundurulursa P noktası uzerindeki toplam cekim etkisi,

b(r) =

∞∑

i

dbi(r) (6)

olur.



(6) icin karsılık gelen integral esitligi

b(r) = −GZZZ

yeryuvarı

r − rQ

|r − rQ|3 dmQ = −GZZZ

yeryuvarı

ρ(rQ)l

l3dv (7)

x

y

z

rQ r

P (x, y, z)

m = 1

Q(ξ, η, ζ)

dξdηdζ

db

b

Burada dmQ = ρ(rQ)dv kitle elemanı olup yogunlugun ve hacim elemanının bir

fonksiyonudur.



2.4 Cekim Potansiyeli

Gravite vektor alanı, bir nokta etrafında donme hareketinden bagımsız;

yani irrotasyonela

rot b = ∇× b = det

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

bx by bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 (8)

oldugundan bir skaler alan ile gosterilebilir:

b = grad V (9)

aRotasyonel: Vektor alanının bir nokta etrafındaki dolanıs egiliminin olcusudur;

vektorel bir fonksiyona baglı vektorel bir fonksiyondur.



V skaler buyuklugune cekim potansiyeli denir ve birim kitleyi sonsuzdan

P noktasına getirmek icin cekim kuvvetinin yapması gereken is olarak

tanımlanır.

Cekim potansiyeli, bir nokta kitle icin

V =G m

l, lim

r→∞

V = 0 (10)

ve yeryuvarı icin

V = V (r) = G

∫∫∫

yeryuvarı

dm

l= G

∫∫∫

yeryuvarı

ρ(rQ)

ldv , lim

r→∞

V = 0 (11)

ile gosterilir.

Yeryuvarının yogunluk dagılımı ρ(rQ) biliniyor ise, uzaydaki konumu r ile tanımlı bir

noktanın cekim potansiyeli (11) yardımıyla hesaplabilir. Ancak, yogunluk dagılımı,

yeryuvarının sadece ust katmanları icin yaklasık olarak tahmin edilebilmektedir.



b, V ’nin gradyenine esit

b = grad V =∂V

∂xi +

∂V

∂yj +

∂V

∂xk (12)

olduguna gore (11)’in kısmi turevleri cekim ivme vektorunun bilesenlerini

vermelidir:

V (x, y, z) = G

∫∫∫

yeryuvarı

ρ(ξ, η, ζ)√

(x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2dξ dη dζ (13)

bx =∂V (x, y, z)

∂x, by =

∂V (x, y, z)

∂y, bz =

∂V (x, y, z)

∂z(14)

(13)’de x, y, z’ye baglı tek fonksiyon 1/l’nin kısmi turevleri

∂

∂x

„

1

l

«

= −x− ξ

l3,

∂

∂x

„

1

l

«

= −y − η

l3,

∂

∂z

„

1

l

«

= −z − ζ

l3(15)



oldugundan bx, by, bz icin

bx = −G

∫∫∫

yeryuvarı

ρ(ξ, η, ζ)

l3(x− ξ)dξ dη dζ

by = −G

∫∫∫

yeryuvarı

ρ(ξ, η, ζ)

l3(y − η)dξ dη dζ

bz = −G

∫∫∫

yeryuvarı

ρ(ξ, η, ζ)

l3(z − ζ)dξ dη dζ

(16)

bulunur.

(16), (7)’nin bilesenlerinden yani eksenleri uzerine izdusumunden baska

birsey degildir.



2.5 Cekim Potansiyelinin Ozellikleri

Matematiksel bir fonksiyonun ozelliklerinin ortaya cıkarılabilmesi icin

oncelikle fonksiyonun kendisi ve turevleri incelenmelidir.

• V = G∫

vρl dv esitligine gore; sonsuzda (l → ∞) sıfır olmak uzere V

tum uzayda sureklidir.

• Cekilen noktanın yeryuvarının icinde veya dısında olmasına gore V

farklı karaktere sahiptir:

– Yeryuvarının icinde

V = G

ZZZ

yeryuvarı

ρ

ldv + 2πGρ

„

R2 − r2

3

«

(17)

– Yeryuvarının dısında

V = G

ZZZ

yeryuvarı

ρ

ldv (18)



• Yukarıdaki esitliklere gore; cekim potansiyeli tum uzayda, sonlu, tek

anlamlı ve sureklidir.

Fonksiyonun iki ayrı alandaki (yeryuvarının ic ve dıs uzayı) birinci ve

ikinci turevleri fonksiyonun davranısı hakkında daha fazla ayrıntı

ortaya cıkarır. Buna gore birinci turevler de tum uzayda surekli

fonksiyonlardır:

∂V

∂x= −G

Z

v

ρ

l3(x− ξ)dv − 4

3πGρ(x− ξ)

∂V

∂y= −G

Z

v

ρ

l3(y − η)dv − 4

3πGρ(y − η)

∂V

∂z= −G

Z

v

ρ

l3(z − ζ)dv − 4

3πGρ(z − ζ)

(19)

(19)’da ikinci terimler goz ardı edilirse fonksiyon sadece dıs uzay icin

gecerli olur.



• Fakat ikinci turevler ise surekli degildir.

– Cekim potansiyeli yeryuvarının icinde

∂2V

∂x2= −G

Z

v

ρ

l3dv + 3G

Z

v

ρ

l5(x− ξ)2dv − 4

3πGρ

∂2V

∂y2= −G

Z

v

ρ

l3dv + 3G

Z

v

ρ

l5(y − η)2dv − 4

3πGρ

∂2V

∂z2= −G

Z

v

ρ

l3dv + 3G

Z

v

ρ

l5(z − ζ)2dv − 4

3πGρ

(20)

Poisson diferansiyel denklemini

∆V =∂2V

∂x2+∂2V

∂y2+∂2V

∂z2= −4πGρ (21)

saglar.



• Ikinci turevler ρ’ya baglı

oldugundan yogunlukta

sureksizlik varsa ikinci

turevler (dolayısıyla Poisson

diferansiyel denklemi de)

sureksizlesir.

∆V = −4πGρ

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

2

4

6

8

10

12

14

Icce

kir

dek

Dıs

cekir

dek

Man

to

Dıs

manto

PREM yogunluk modeli

km

gr/cm3



• Ikinci turevler

– yeryuvarının dısında

∂2V

∂x2= −G

Z

v

ρ

l3dv + 3G

Z

v

ρ

l5(x− ξ)2dv

∂2V

∂y2= −G

Z

v

ρ

l3dv + 3G

Z

v

ρ

l5(y − η)2dv

∂2V

∂z2= −G

Z

v

ρ

l3dv + 3G

Z

v

ρ

l5(z − ζ)2dv

(22)

Laplace diferansiyel denklemini

∆V =∂2V

∂x2+∂2V

∂y2+∂2V

∂z2= 0 (23)

saglar. Burada ∆ isareti Laplace operatoru olarak bilinir ve bir

fonksiyonun ikinci derece kısmi turevlerinin toplamına karsılık gelir.



2.6 Harmonik Fonksiyonlar

∆V = div gradV = 0 (24)

• Laplace diferansiyel denkleminin cozumunu veren fonksiyonlara

harmonik fonksiyonlar denir. Harmoniklik (24)’un saglandıgı alan ile

sınırlıdır. Cekim potansiyeli icin bu alan yeryuvarının dısıdır;

dolayısıyla V sadece yeryuvarının dısında harmoniktir.

• Her harmonik fonksiyon aynı zamanda analitiktir. Analitik

fonksiyonlar istenen derecede turevi alınabildiginden Taylor serisine

acılabilirler. En basit anlamda P (x, y, z) ve Q(ξ, η, ζ) noktaları

arasındaki uzaklıgın tersi,

1

l=

1√

(x− ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2(25)

harmonik bir fonksiyondur.



2.7 Yercekim Potansiyelinin Kuresel Harmoniklere

Acınımı

• Amac: Laplace diferansiyel denkleminin cozumunu veren (harmonik)

fonksiyonları bulmak baska bir deyisle pratikte kullanımı olanaksız

olan cekim potansiyelini harmonik fonksiyonlar yardımıyla yakınsak

bir seriye acmak

• Yontem: Laplace diferansiyel denklemini problemin geometrisine

uygun hale getirmek

• Ipucu: Oyle bir koordinat sistemi kullanmalıyım ki, koordinat yuzeyleri

problemin (V yeryuvarının dısında harmonik!!!) geometrisine uysun



2.7.1 Koordinat Yuzeyleri

x y

z

x =sb. duzlemi

y =sb.duzl

emi

z =sb. duzlemi

Dik koordinat sistemi (x, y, z)

b

Z

XY

x y

z

λ =sb. duzlemi

r =sb. kuresi

ϑ =sb. konisi

Kuresel koordinat sistemi (ϑ, λ, r)



2.7.2 Dik ve Kuresel Koordinatlar Arasındaki Iliski

x

y

z

b

ϑ

λ

r

P (x, y, z)

ϑ, λ, r =⇒ x, y, z

x = r sinϑ cosλ

y = r sinϑ sinλ

z = r cosϑ

(26)

x, y, z =⇒ ϑ, λ, r

r =p

x2 + y2 + z2

ϑ = tan−1

p

x2 + y2

z

λ = tan−1 y

x

(27)



2.7.3 Laplace Diferansiyel Denkleminin Kuresel Koordinatlarla

Gosterimi

Diferansiyel uzunluk elemanı

Dik koordinatlar icin: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (28)

dx =∂x

∂rdr +

∂x

∂ϑdϑ+

∂x

∂λdλ

dy =∂y

∂rdr +

∂y

∂ϑdϑ+

∂y

∂λdλ

dz =∂z

∂rdr +

∂z

∂ϑdϑ+

∂z

∂λdλ

(29)

Kuresel koordinatlar icin: ds2 = dr2 + r2dϑ2 + r2 sin2 ϑdλ2 (30)



Ortogonal bir koordinat sistemi h11, h22, h33 metrik katsayılarıyla

olusturulabilir (ortogonallik kosulu: i 6= j icin hij = 0). Keyfi ortogonal

koordinatlar q1, q2, q3 icin diferansiyel yay elemanı

ds2 = h211dq

21 + h2

22dq22 + h2

33dq23 (31)

olduguna gore kuresel koordinat sisteminin (q1 = r, q2 = ϑ, q3 = λ) metrik

katsayıları

h11 = 1 , h22 = r , h33 = r sinϑ (32)

dir. Aynı koordinat sisteminde

Alan elemanı dA = h22h33 dϑ dλ (33)

Hacim elemanı dV = h11h22h33 dr dϑ dλ (34)

ile gosterilir.



Ortogonal koordinat sistemi icin Laplace operatoru

∆V =1

h11h22h33

»

∂

∂q1

„

h22h33

h11

∂V

∂q1

«

+∂

∂q2

„

h11h33

h22

∂V

∂q2

«

+∂

∂q3

„

h11h22

h33

∂V

∂q3

«–

(35)

olmak uzere (32) esitlikleri (35)’de yerlerine konursa, kuresel koordinatlar icin

Laplace diferansiyel denklemi

∆V ≡ ∂2V

∂r2+

2

r

∂V

∂r+

1

r2∂2V

∂ϑ2+

cotϑ

r2∂V

∂ϑ+

1

r2 sin2 ϑ

∂2V

∂λ2= 0 (36)

veya daha sade gosterimiyle

r2∂2V

∂r2+ 2r

∂V

∂r+∂2V

∂ϑ2+ cotϑ

∂V

∂ϑ+

1

sin2 ϑ

∂2V

∂λ2= 0 (37)

elde edilir.



2.7.4 Laplace Diferansiyel Denkleminin Cozumu ve Kuresel

Harmonikler

∆V ≡ r2∂2V

∂r2+ 2r

∂V

∂r+∂2V

∂ϑ2+ cotϑ

∂V

∂ϑ+

1

sin2 ϑ

∂2V

∂λ2= 0

Laplace diferansiyel denklemi icin degiskenlere ayrıstırma yontemi

kullanılarak bir cozum bulunabilir. Buna gore cekim potansiyeli r, ϑ, λ

bagımsız degiskenli fonksiyonların carpımı olsun:

V (r, ϑ, λ) = f(r)g(ϑ)h(λ) = f(r)Y (ϑ, λ) (38)

Burada Y (ϑ, λ) = g(ϑ)h(λ) fonksiyonuna kuresel yuzey harmonikleri denir.

Hatırlatma: Degiskenlere ayrıstırma yontemi cok degiskenli bir diferansiyel

denklemi (bagımsız) adi diferansiyel denklemlere ayrıstırır.



(38), (37)’de yerine konursa ikinci dereceden uc adet adi diferansiyel

denklem bulunur:

0 = r2f ′′(r) + 2rf ′(r) − n(n+ 1) (39)

0 = sinϑ g′′(ϑ) + cosϑ g′(ϑ) +

[

n(n+ 1) sinϑ−m2

sinϑ

]

g(ϑ) (40)

0 = h′′(λ) +m2h(λ) (41)

Bu denklemlerin cozumunden sırasıyla

f(r) = rn ve f(r) = r−(n+1) (42)

g(ϑ) = Pnm(cosϑ) (43)

h(λ) = cosmλ ve h(λ) = sinmλ (44)

elde edilir.



Bulanan cozumler (38)’de yerine konursa,

Vi(r, ϑ, λ) =

∞X

n=0

rnnX

m=0

(Cnm cosmλ+ Snm sinmλ)Pnm(cosϑ) (45)

Ve(r, ϑ, λ) =

∞X

n=0

1

rn+1

nX

m=0


kuresel harmonik serileri ortaya cıkar. Burada;

• Vi ve Ve, ∆V = 0 denkleminin cozumleri olup harmonik fonksiyonlardır.

• i belirli bir kurenin icindeki harmonik V fonksiyonunu, e ise bu kurenin

dısındakini gosterir. Buna gore (46) yeryuvarının dısında harmonik olan

cekim potansiyeline karsılık gelir.

• Cnm ve Snm kitle integralleridir ve yeryuvarının yogunluk dagılımının

izlerini tasır (kuresel harmonik katsayılar).

• n [0, 1, 2, . . . ,∞] acınımın derecesini, m [0, 1, 2, . . . , n] sırasını temsil eder.



2.7.5 Legendre Fonksiyonları

Legendre diferansiyel denkleminin (41) cozumunu veren fonksiyonlara

Pnm(cosϑ) Legendre fonksiyonları denir. Bunlar kure yuzeyini kusaklara

bolen (n cift ise simetrik, tek ise asimetrik) fonksiyonlardır. Bu anlamda

butunlesik Legendre fonksiyonları kuresel yuzey harmoniklerinin onemli bir

parcasıdır. t = cosϑ olmak uzere, Rodriques formuluyle

Pnm = (−1)m 1

2nn!(1 − t2)m/2 d

n+m

dtn+m(t2 − 1)n (47)

tanımlanırlar. Ancak (47) uygulamaya elverisli bir fonksiyon olmadıgından,

fonksiyonun sayısal degerlerinin hesabında yineleme bagıntıları kullanılır:

Pn(t) =2n− 1

ntPn−1(t) −

n− 1

nPn−2(t) ∀ n ≥ 2, m = 0 (48)

Pnm(t) = Pn−2,m(t) + (2n− 1)p

1 − t2Pn−1,m−1(t) ∀ n ≥ 2, m ≥ 1 (49)



0.5 1.0−0.5−1.0

0.5

1.0

−0.5

−1.0

P0

P2

P4 P6 P8

−→ t = cos θ

↑ Pn

0.5 1.0−0.5−1.0

0.5

1.0

−0.5

−1.0

P1

P3

P5 P7

−→ t = cos θ

↑ Pn

n m Pnm(cos ϑ) = Pnm(t)0 0 11 0 t

1 1

√

1 − t2

2 0 (3t2 − 1)/2

2 1 3t

√

1 − t2

2 2 3(1 − t2)

3 0 (5t3 − 3t)/2

3 1 3

√

1 − t2(5t2 − 1)/2

3 2 15(t − t3)

3 3 153√

1 − t2

4 0 (35t4 − 30t2 + 3)/8

4 1 5t

√

1 − t2(7t2 − 3)/2

4 2 15(1 − t2)(7t2 − 1)/2

4 3 105t3√

1 − t2

4 4 105(1 − t2)2

5 0 (63t5 − 70t3 + 15t)/8

5 1 15

√

1 − t2(21t4 − 14t2 + 1)/8

5 2 105t(1 − t2)(3t2 − 1)/2

5 3 1053√

1 − t2(9t2 − 1)/2

5 4 945t(1 − t2)2

5 5 9455√

1 − t2



Butunlesik Legendre fonksiyonları 0 ≤ ϑ ≤ π aralıgında n−m kadar isaret

degistirir. Ote yandan cosmλ ve sinmλ fonksiyonları ise 0 ≤ λ ≤ 2π aralıgında

2m kez isaret degistirir. Dolayısıyla kuresel yuzey harmoniklerini olusturan

Pnm(cosϑ) cosmλ ve Pnm(cosϑ) sinmλ carpımları kure yuzeyini n’nin ve m’nin

alacagı degerlere gore farklı sekillerde boler. Bir onceki sekilde m = 0 durumu

gosterilmisti. m 6= 0 olması durumunda ise bu carpım fonksiyonları kure yuzeyini

gozelere (m < n) veya dilimlere (m = n) boler.

m = 0 m < n m = n

P9,0(cosϑ) P18,9(cosϑ) cos 9λ P9,9(cosϑ) cos 9λ



P4,0(cos ϑ) P4,1(cos ϑ) cos 1λ P4,2(cos ϑ) cos 2λ

P4,3(cos ϑ) cos 3λ P4,4(cos ϑ) cos 4λ

Y4(ϑ, λ) =4P

m=0(Cnm cos mλ + Snm sin mλ)Pnm(cos ϑ)



2.7.6 Radyal Bilesenin Geometrik Anlamı

Cekim potansiyeli hesaplanacak

noktanın yerin merkezine olan uzaklıgına

baglı olarak (1/r)n+1 carpanının

etkisiyle gravite alanının espotansiyel

yuzeylerinde yumusama gozlenir.

Bu yuzeylerin yumusaklıgı r buyudukce

artar (sekil: Ilk (2004)’den) . Sonuc

olarak yeryuvarının cekim potansiyelinin

kuresel harmonik acınımı, cekim

alanının spektral olarak ayrıstırılmasıdır.

Alanın cozunurlugu 360/n

veya konumsal anlamda ≈ 20000/n (km

cinsinden yarı cozunurluk) ile ifade edilir.



2.8 Kuresel Harmonik Modellerin Kullanımı

Yeryuvarının cekim potansiyeli icin temel esitlik, (11),

V = V (r) = G

ZZZ

yeryuvarı

dm

l.

Yeryuvarının dısında harmonik bir fonksiyon olan V icin kuresel harmonik

acınım, (46)’dan

V =

∞X

n=0

1

rn+1

nX

m=0

(Cnm cosmλ+ Snm sinmλ)Pnm(cosϑ).

(46)’nın (11) yerine kullanılabilmesi icin kuresel harmonik serinin yeryuvarının

fiziksel buyuklukleriyle olceklendirilmesi gerekir:

V =GM

R

∞X

n=0

„

R

r

«n+1 nX

m=0


Burada GM evrensel cekim sabiti ve yeryuvarının kutlesi carpımını, R yeryuvarının ekvatoral yarıcapını

gosterir.



Kuresel harmonik (Stokes) katsayılar,

Cn =1

M

ZZZ

yeryuvarı

“ r

R

”n

Pn(cosϑ′)dm , ∀ m = 0

8

<

:

Cnm

Snm

9

=

;

=2

M

(n−m)!

(n+m)!

ZZZ

yeryuvarı

“ r

R

”n

Pn(cosϑ′)

8

<

:

cosmλ′

sinmλ′

9

=

;

dm

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

(51)

tam normallestirilmisleri,8

<

:

Cnm

Snm

9

=

;

=

s

(n+m)!

k(2n+ 1)(n−m)!

8

<

:

Cnm

Snm

9

=

;

, k =

8

<

:

1 ∀ m = 0

2 ∀ m 6= 0(52)

ve tam normallestirilmis Legendre fonksiyonları,

Pnm(t) =

s

k(2n+ 1)(n−m)!

(n+m)!Pnm(t) , k =

8

<

:

1 ∀ m = 0

2 ∀ m 6= 0(53)



2.9 Kuresel Karmonik Katsayıların Belirlenmesinde

Kullanılan Veri Turleri

Gravite alanının spektral ozellikleri kullanılacak veri kaynaklarının turunu

belirleyen en onemli etkendir. (50)’nin maksimum acınım derecesi var olan

verilerin cozunurlugu ve global anlamda dagılımı ile sınırlıdır. Bu anlamda

gunumuz modellerinin maksimum acınım derecesi genelde nmax 360’a

kadardır.

V =GM

R

nmax∑

n=0

(

R

r

)n+1 n∑

m=0


Gunumuz yuksek dereceli modellerin olusturulması icin kullanılabilir

gravite alanı bilgisi uc kaynaktan gelir:

• Uydu yorungelerinin (sapmalarının) analizi

• Yuzey gravite anomalileri (kara, deniz ve hava aracları dahil)

• Okyanus ve denizlerde uydu altimetre verileri



EGM96 jeopotansiyel modeliGM = 3986004.415E+8 m3/s2

R = 6378136.3 m

EGM96 jeopotansiyel modeline iliskin bazı katsayılar

n m Cnm Snm

0 0 1.00000000000E+00 0.00000000000E+00

1 0 0.00000000000E+00 0.00000000000E+00

1 1 0.00000000000E+00 0.00000000000E+00

2 0 -4.84165371736E-04 0.00000000000E+00

2 1 -1.86987635955E-10 1.19528012031E-09

2 2 2.43914352398E-06 -1.40016683654E-06

3 0 9.57254173792E-07 0.00000000000E+00

3 1 2.02998882184E-06 2.48513158716E-07

3 2 9.04627768605E-07 -6.19025944205E-07

3 3 7.21072657057E-07 1.41435626958E-06

4 0 5.39873863789E-07 0.00000000000E+00

4 1 -5.36321616971E-07 -4.73440265853E-07

4 2 3.50694105785E-07 6.62671572540E-07

4 3 9.90771803829E-07 -2.00928369177E-07

4 4 -1.88560802735E-07 3.08853169333E-07

5 0 6.85323475630E-08 0.00000000000E+00

5 1 -6.21012128528E-08 -9.44226127525E-08

5 2 6.52438297612E-07 -3.23349612668E-07

5 3 -4.51955406071E-07 -2.14847190624E-07

5 4 -2.95301647654E-07 4.96658876769E-08

5 5 1.74971983203E-07 -6.69384278219E-07

6 0 -1.49957994714E-07 0.00000000000E+00

6 6 9.67616121092E-09 -2.37192006935E-07

7 7 1.09185148045E-09 2.44415707993E-08

8 8 -1.24092493016E-07 1.20533165603E-07

9 9 -4.77475386132E-08 9.66412847714E-08

10 10 1.00538634409E-07 -2.40148449520E-08

20 20 4.01448327968E-09 -1.20450644785E-08

36 36 4.60146465720E-09 -5.94245336314E-09

60 60 4.23068069789E-09 3.92983780545E-10

120 120 -4.56798788660E-10 -1.59135018852E-09

180 180 -4.06572704272E-10 -5.87726119822E-10

240 240 -2.30780589856E-10 -4.60857985599E-11

300 300 -5.02336888312E-11 -1.01275530680E-10

360 360 -4.47516389678E-25 -8.30224945525E-11



3 Yeryuvarının Gravite Alanı

Gravite: Yeryuzundeki bir cisme etkiyen yercekimi ve merkezkac

kuvvetlerinin toplamı

g = b + f (55)

x y

z

bc

p f

P

ω

x y

z

bc

P

f

b

g

y

x

z

p

p

Cekuldogrultusu



ω = 7.292115 × 10−5 rad/s (56)

yeryuvarının sabit acısal hızı olmak uzere, yeryuzundeki P noktasına

uygulanan merkezkac kuvveti (ivme vektoru) ve buyuklugu

f = ω2p , f = ω2p (57)

ile gosterilir. Burada donen cisim birim kutledir. f kuvvet vektoru p

yonundedir, p ise noktanın yeryuvarının donme eksenine olan uzaklıgını

tanımlar:

p = [x, y, 0] , p =√

x2 + y2 (58)

Merkezkac kuvveti, merkezkac potansiyeli

Φ =1

2ω2(x2 + y2) (59)

yardımıyla da elde edilebilir:

f = gradΦ ≡

[

∂Φ

∂x,∂Φ

∂y,∂Φ

∂z

]

(60)



3.1 Gravite (Agırlık) Potansiyeli ve Ivmesi

Yeryuvarının gravite alanı olarak tanımladıgımız sey cekim ve merkezkac

kuvvetlerinin bileskesiyle olusan yercekimi vektor alanından baska bir sey

degildir. Buna gore yercekimi ya da baska bir deyisle gravite potansiyeli,

cekim (11) ve merkezkac (59) potansiyellerinin toplamına esittir:

W (x, y, z) = V + Φ = G

∫∫∫

yeryuvarı

dm

l+

1

2ω2(x2 + y2) (61)

Merkezkac potansiyelinin laplasiyeni,

∆Φ ≡∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2+∂2Φ

∂z2= 2ω2 (62)

olduguna gore; gravite potansiyelinin laplasiyeni, tum uzay icin,

∆W = −4πGρ+ 2ω2 (63)

genellestirilmis Poisson denklemini verir.



W yercekim potansiyelinin gradyent vektoru,

g = gradW = gradV + grad Φ ≡

[

∂W

∂x,∂W

∂y,∂W

∂z

]

(64)

gravite vektoru olarak adlandırılır. Bu vektorun bilsenleri

gx =∂W

∂x= −G

∫∫∫

yeryuvarı

x− ξ

l3ρdv + ω2x

gy =∂W

∂y= −G

∫∫∫

yeryuvarı

y − η

l3ρdv + ω2y

gz =∂W

∂z= −G

∫∫∫

yeryuvarı

z − ζ

l3ρdv

(65)

dir.



Gravite vektorunun buyuklugune kısaca gravite, dogrultusuna ise cekul

dogrultusu denir. Gravitenin birimi ivme birimidir ve adını Galileo

Galilei’den alan gal=1 cm s−2 ile ifade edilir. Gravitenin konuma baglı

olarak degismesinin en onemli nedeni yeryuvarının basıklıgıdır. Bu nedenle,

• ekvatorda, 978 gal

• kutuplarda, 983 gal

degerlerini alır. Yeryuzunde gravite degerleri gravimetre adı verilen

aletlerle gozlenir ve gozlemler mikrogal (µ gal = 10−6 gal) duzeyinde

yapılabilmektedir.

Gravite dogrultusu (cekul ya da dusey dogrultu) ise astrojeodezik

yontemlerle belirlenir.



Mutlak ve bagıl gravimetre



Astrojeodezik yontemle gravite dogrultusunun (Φ,Λ) belirlenmesi

x y

z

W=

WP

P

gNivo yuzeyi

Cekul egrisi

Φ

Λ

Yerel astronomikmeridyen duzlemi

Greenw

ich

meridye

n

duzlem

i

Ekvatorduzlemi



3.2 Gravite Alanının Geometrik Gosterimi

Yeryuvarının

gravite alanının geometrik

ozellikleri, nivo yuzeylerinin

ve cekul egrilerinin geometrisiyle

acıklanır. Bu yuzey ve

egriler ailesinin yerel ozellikler ise

Dogal Koordinatlar ile tanımlıdır.

Gravite potansiyeli

sabit noktaların olusturdugu

geometrik yuzeye espotansiyel

veya nivo yuzeyleri denir:

W = W (x, y, z) = sabit (66)



W = W (x, y, z)’nin diferansiyeli

dW =∂W

∂xdx+

∂W

∂ydy +

∂W

∂zdz (67)

olduguna gore vektor notasyonunda bu esitlik

dW = gradW · dx = g · dx (68)

biciminde gosterilebilir. Burada

dx = [dx, dy, dz] (69)

yer degistirme vektorudur. Bu vektor espotansiyel yuzey boyunca alınırsa

W = sabit oldugundan dW = 0 ve dolayısıyla (68)’den

g · dx = 0 (70)

olur.



(70)’den anlasılmaktadır

ki; espotansiyel yuzeyin

bir noktasındaki gravite

vektorunun dogrultusu

bu yuzeye diktir. Buna

gore espotansiyel yuzeyler

birbirini kesmeyen ve

birbirlerine paralel olmayan

yuzeyler oldugundan cekul

dogrultuları gercekte dogru

degil uzay egrileridir ve

her noktada es potansiyel

yuzeylerini dik keserler.

Bunlara kuvvet cizgileri ya da cekul egrileri denir.



Yeryuzundeki bir noktadaki gravite vektoru ya da cekul dogrultusu bu

noktadan gecen cekul egrisine tegettir. Aynı sekilde bir nivonun

duzeclenmesiyle elde edilen yatay duzlem bu noktadan gecen es potansiyel

yuzeye teget duzlem yuzeydir.



Yeryuzundeki noktaların yukseklikleri jeoitten baslayarak cekul egirileri

boyunca olculdugunden, dx bu egri boyunca alınırsa uzunlugu dH ye esit

olur:

||dx|| = dH (71)

Bu vektorun dogrultusu g’ nin aksine dısa dogrudur. Bu durumda iki

vektorun skaler carpımı,

g · dx = g dH cos 180◦ = −g dH (72)

cıkar. (68) esitligi

dW = −g dH (73)

bicimine donusur. Bu esitlik seviye yuzeyleri arasındaki farkı belirlemek

icin gerekli olculerin neler oldugunu acıklar. (73)’un baska bir gosterimi

g = −∂W

∂H(74)

dir. Bu esitlikle gravitenin, gravite potansiyelinin dusey gradyentine esit

oldugu sonucu cıkar.



3.3 Dogal Koordinatlar Φ,Λ,W

x y

z

W=

WP

P

gNivo yuzeyi

Cekul egrisi

Φ

Λ

Yerel astronomikmeridyen duzlemi

Greenw

ich

meridye

n

duzlem

i

Ekvatorduzlemi

Gravite vektorunun

g = gradW = [Wx,Wy,Wz ] (75)

yonu bir P

noktasından gecen normal vektore

(basucu vektorune) terstir ve

bu vektor noktanın astro-jeodezik

koordinatları ile tanımlıdır:

n =

2

6

6

4

cosΦ cosΛ

cosΦ sin Λ

sin Φ

3

7

7

5

(76)



Buna gore

n ve g vektorleri arasındaki iliski

g = −g n (77)

ile ifade edildiginden

P noktasının dogal koordinatları

Φ = tan−1 −Wzp

W 2x +W 2

y

Λ = tan−1 Wy

Wx

W = W (x, y, z)

(78)

dir. (78) esitlikleri, yeryuvarının gravite alanının bilinmesi durumunda, GPS vb.

yontemlerle konumu belirlenecek herhangi bir noktanın dogal koordinatlarının

dogrudan elde edilebilecegine isaret eder.



4 Yukseklik Sistemleri

Yukseklik denildiginde, bir yeryuzundeki bir noktanın bir baslangıc yuzeyi

ile olan iliskisi anlasılır. Bu iliski fiziksel ya da geometrik esaslara gore

kurulabilir.

Uygulamada genellikle yerin gravite alanına gore tanımlanmıs yukseklik

sistemleri kullanılır. Gravite alanı ile iliskili yukseklik turleri:

• Jeopotansiyel kot

• Dinamik yukseklik

• Ortometrik yukseklik

• Normal yukseklik

• Normal-ortometrik yukseklik



Gravite alanı ile iliskili olmayan tumuyle geometrik esaslara gore belirlenen

yukseklik turu denildiginde ise genellikle GPS ile elde edilen elipsoidal

yukseklikler (h) anlasılır.

x

y

z

h

z

y x

b

b

b

P (x, y, z)P (ϕ, λ, h)

λ ϕ

b



Uygulamada gravite

alanı ile iliskili yukseklik

turlerinin geometrik

(elipsoidal) yuksekliklere

tercih edilmesinin nedeni,

fiziksel yasalardır. Baska

bir deyisle, su her zaman

asagıya dogru akar; durgun

su yuzeyi espotansiyel

yuzeyin bir parcasıdır.

Bu nedenle suyun akıs

yonunun kontrol altına alınması, altyapı ve muhendislik hizmetlerinin

gerceklestirilmesinde en cok karsılısılan uygulama turlerindendir. Ozellikle

uzun geckiler boyunca projelendirilen kanal, boru hattı, tunel gibi

muhendislik yapılarının uygulamaya gecirilmesinde anılan bilgiye

gereksinim duyulur.



4.1 Geometrik Nivelman

Birbirine yakın iki nokta

arasındaki yukseklik farkını

olcme teknigi. Yukselik farkı,

nivonun duzeclenmesinden

(yataylanmasından) sonra

geri ve ileri mira okumaları

arasındaki farka esittir:

dH = r − v (79)

Teorik olarak bu fark, ancak, mira tutulan noktalardan gecen espotansiyel

yuzeylerin birbirine paralel kabul edilebilecek kadar noktalarının birbirine

yakın olması ve olası nivelman hatalarına karsı gerekli onlemlerin (ornegin

nivonun iki miraya esit uzaklıkta) alınması durumunda dogrudur.



A

P

BdH ′

1

dH ′

2

dH ′

i

dH ′

n

dH1

dH2

dHi

dHn

dH ′′

1

dH ′′

2

dH ′′

i

dH ′′

n

Cekul

egrisiYandaki sekle gore A ve B

noktalarından aynı espotansiyel

yuzey gecmektedir. P

noktasından gecen cekil egrisi

boyunca nokta ile baslangıc

nivo yuzeyi arasındaki

uzunluk (diferansiyel yukseklik

farklarının toplamı∑n

i=1 dH),

genellikle P ’nin yukseligi olarak algılanır. Sekile dikkat edilirse, farklı

yollardan gidildiginde baslangıc espotansiyel yuzey ile P ’den gecen

espotansiyel yuzey arasındaki fark aynı olmaz:

n∑

i=1

dH ′

i 6=n

∑

i=1

dHi 6=n

∑

i=1

dH ′′

i (80)

Bu esitsizliklerden anlasılmaktadır ki; nivelman yola bagımlıdır.



Geometrik

(diferansiyel) nivelmanı yoldan

bagımsız duruma getirmenin

yolu, espotansiyel yuzeyler

arasındaki farkı yani (73)’den

dW ’yi belirlemektir. Mira

tutulan iki nokta arasındaki

potansiyel farkın bulunması,

dW = −g dH

nivelman olculeriyle birlikte gravite gozlemlerinin de yapılmasını gerektirir.

Bu durumda (80) g olculeri icin yeniden duzenlenirse, nereden gidilirse

gidilsin P noktasının yuksekligi icin aynı sonuc (potansiyel) elde edilir:

WA −WP = WB −WP =n

∑

i=1

g′i dH′

i =n

∑

i=1

gi dHi =n

∑

i=1

g′′i dH′′

i (81)



A

P

B

gA

gi

gP

gj

gB

Cekul

egrisiPotansiyel farkları

belirlemede, gravite olcmelerini

nivo kurulan her noktada

yapmanın imkanı yoktur. Diger

yandan ozellikle ulke yukseklik

sisteminin olusturulması

gibi durumlarda en yuksek

dogruluk istenir. Bu nedenle

g olculeri icin belirli bir sıklık

ongorulmelidir. Buna gore gravite gozlemleri yuksekligi istenen nivelman

noktalarından baska bunlar arasında egimin ve nivelman geckisi yonunun

degistigi yerlerde veya arazi yapısına gore genel olarak

• duz arazide 2-3 km’de bir

• engebeli arazide 1-2 km’de bir

• cok engebeli arazilerde 0.3-1.2 km’de bir olculmelidir.



4.2 Jeopotansiyel Kotlar

Bir P noktasından gecen nivo yuzeyinin WP potansiyeli ile jeoidin W0

potansiyeli arasında kgal×metre biriminde verilen potansiyel farka o

noktanın jeopotansiyel kotu denir:

CP = W0 −WP =

P∫

0

dW =

P∫

0

g dH ≈P

∑

0

g∆H (82)

kgal×m fiziksel bir buyukluk oldugundan, yukseklik kavramı icin

kullanılması gereken uzuluk birimi ile celisir. Bu nedenle 1 kGal’e

bolunerek m birimine gecilir. Ancak bu gecis jeopotansiyel kotun fiziksel

niteliklerini ortadan kaldırmaz. Jeopotansiyel kotlar oteki yukseklik

sistemleri icin temel buyukluklerdir.



4.3 Dinamik Yukseklik

Jeopotansiyel kotlar keyfi olarak secilebilen sabit bir gravite degerine bolunurse m

cinsinden uzunluk birimi elde edilir. Bu yolla elde edilen yuksekliklere dinamik

yukseklikler denir. Burada sabit gravite degeri icin genellikle Helmert’in onerisine uygun

olarak 45◦ enlemindeki normal gravite degeri (GRS80 icin γ0 = 980.6199203 gal) alınır.

Hdin =C

γ0(83)

Dinamik yukseklikler jeopotansiyel kotlardan belirli bir olcek oranında ayrılır. Bu

nedenle jeopotansiyel kot ile dinamik yuksekliklerin fiziksel karakterleri aynıdır.

Uygulamada nivelman yuksekliklerinin dinamik yuksekliklere donusturulmesi genellikle

bir dinamik duzeltme terimiyle saglanır:

∆HdinAB = Hdin

B − HdinA =

1

γ0(CB − CA) =

1

γ0

BZ

A

g dH

=1

γ0

BZ

A

(g + γ0 − γ0) dH =

BZ

A

dH +

BZ

A

g − γ0

γ0dH ≈ ∆HAB +

BP

A

g−γ0γ0

∆H

(84)



4.4 Ortometrik Yukseklik

P noktasından gecen

cekul egrisi boyunca

olculur. Egrinin jeoidi

(W0) kestigi noktanın

yuksekligi sıfırdır.

Tanımdan anlasılacagı

uzere ideal kosullarda

yukseklik farklarının ve

gravite olculerinin bu

egri boyunca yapılması

gerekir. P noktasının

jeopotansiyel kotu baska yollardan belirlense bile cekul egrisi boyunca

ortalama g degeri bilinmelidir. Topografik kitlelerin yogunlugu yaklasık

olarak bilindiginden bu degerlere belirli varsayımlarla yaklasmak

mumkundur.



CP = W0 −WP ≈P

∑

P0

g∆H (85)

P noktasının nivelman yolundan bagımsız jeopotansiyel kotu olmak uzere

ortometrik yukseklik,

H =CP

g(86)

ile tanımlanır. Burada,

g =1

H

H∫

0

g dH (87)

topografik kitleler icerisinde cekul egrisi boyunca olculmesi gereken gercek

gravite degerlerinin ortalamasıdır. Helmert’in bu degerin hesabı icin

ongordugu varsayım, kendi adıyla anılan ortometrik yukseklik bagıntısını,

H =CP

gP + 0.0424H(88)

ortaya cıkarmıstır. Burada gP gal, H km birimindedir.



4.5 Normal Yukseklik

(86)’da g yerine, normal gravite alanındaki karsılıgı γ yazılırsa,

HN =CP

γ(89)

P yuzey noktası ile kuasijeoit arasında kalan normal cekul egrisinin boyu

elde edilir. Burada,

γ =1

HN

HN∫

0

γ dHN (90)

normal gravite alanının cekul egrisi uzerinde HN boyunca γ degerlerinin

ortalamasıdır. Uygulamada γ degerine,

γ ≈ γ

[

1 −(

1 + f +m− 2f sin2 ϕ) HN

a+HN 2

a2

]

(91)



ile herhangi bir varsayıma gerek duyulmaksızın yaklasılabilir. Bu nedenle

ortometrik yuksekligin aksine, HN varsayımdan bagımsızdır ve

uygulamada yaygın olarak kullanılan bir yukseklik turudur. Normal

yukseklik elipsoit yuzeyinden itibaren de gosterilebilir. Bu durumda, nivo

elipsoidi baslangıc yuzeyi olmak uzere HN yuksekliklerinin tanımladıgı

yuzeye telluroit adı verilir. Fiziksel jeodezide buyuk bir oneme sahip

Molodenski yaklasımı telluroide gore fiziksel yeryuzunun veya bir baska

deyisle nivo elipsoidine gore kuasijeoidin belirlenmesini ele alır.

Kuasijeoit bir espotansiyel yuzey degildir, sadece deniz seviyesinde jeoitle

cakısır. Ikisi arasındaki fark varsayılan kitle yogunlugundaki sapmalara

bagımlıdır. Genellikle topografya yukseldikce artar, ornegin Turkiye’de

yaklasık 0–30 cm arasında degisir.



5 Normal Gravite Alanı

Jeodezik yeryuvarı modeli yeryuvarının geometrik seklini ve dıs cekim

alanını belirlemek icin kullanılan referans elipsoididir. Matematiksel

ozellikleri cok iyi bilinen bir donel elipsoit geometrik anlamda jeoide,

fiziksel anlamda gercek gravite alanına cok yaklasan bir referans model

olarak tanımlanabilir. Hem geometrik hem fiziksel tanımı yapılmıs referans

elipsoidine nivo elipsoidi denir ve asagıdaki dort parametre ile gosterilir:

a Buyuk yarı eksen

f Basıklık (veya J2 dinamik sekil faktoru)

GM Yermerkezli cekim sabiti

ω Acısal donme hızı



U0 = W0

W0 ≡ jeoit ≡ MSL

C = H = 0

WP (x, y, z)=sb.C

P

=W

0−

WP

hH

N

P

(

x, y, zϕ, λ, h

)

Bir nivo elipsoidinin yeryuvarının

gercek sekline ve gravite

alanına ne kadar yaklastıgı, secilen

tanım parametrelerine baglıdır. Bu

nedenle en uygun jeodezik referans

sisteminden soz edilebilmesi

icin bilinen en iyi parametre

degerleri kullanılmalıdır. Boylelikle

yeryuzunde belirlenmesi istenen

jeodezik buyuklukler, bu referans

modele gore (ondan olan sapmalar biciminde) elde edilebilir. Ornegin;

• h yeryuzu ile referans elipsoidi arasındaki sapmayı (geometrik model)

• N gercek ve nivo elipsoidi (normal) gravite alanlarının referans

espotansiyel yuzeyleri arasındaki sapmayı (fiziksel model)

ifade eder.



5.1 Geometrik Parametreler

Nivo elipsoidinin geometrik model olarak kullanılabilmesi icin sadece iki

parametrenin (a ve f) bilinmesi yeterlidir. Bunun dısındaki diger tum

parametreler bu degerlerden turetilir.

b = a(1 − f) Kucuk yarıeksen

E =p

a2 − b2 Dogrusal dısmerkezlik

c = a2/b Kutup egrilik yarıcapı

e =p

a2 − b2/a 1. dıs merkezlik

e′ =p

a2 − b2/b 2. dıs merkezlik

Q = cπ2

`

1 − 34e′2 + 45

64e′4 − 175

256e′6 + 11025

16384e′8´

Ceyrek meridyen uzunlugu

R0 = (2a+ b)/3 Ortalama yarıcap

Rs = c`

1 − 23e′2 + 26

45e′4 − 100

189e′6 + 7034

14125e′8´

Esit yuzey alanlı kure yarıcapı

Rv =3√a2b Esit hacimli kure yarıcapı



5.2 Fiziksel Parametreler

Nivo elipsoidi yuzeyine karsılık gelen ve jeoidin potansiyeline esit oldugu

varsayılan U0 = W0 potansisyeli ve asagıdaki turetilmis degerler daha once

verilen dort temel parametre yardımıyla bulunur.

U0 = GME

tan−1 e′ + 13ω2a2 Nivo elipsoidinin normal potansiyeli

J2 = 23f − m

3− 1

3f2 + 2

21fm Dinamik sekil faktoru

J2n = (−1)n+1 3e2n

(2n+1)(2n+3)

`

1 − n+ 5nJ2e2

´

Kusak harmonik katsayıları (n > 1)

m = ω2a2bGM

Boyutsuz buyukluk

γe = GMab

“

1 −m− m6

e′q′

0q0

”

Ekvatorda normal gravite

γk = GMa2

“

1 + m3

e′q′

0q0

”

Kutuplarda normal gravite

f∗ = γk−γe

γeGravite basıklıgı

k = bγk

aγe− 1



Yeryuvarı Modeli

Tanım parametreleri(GRS80)

a = 6378 137 mJ2 = 108 263 × 10−8

GM = 3986 005 × 108 m3s−2

ω = 7292 115 × 10−11 rad s−1

Geometrik parametreler

b = 6 356 752.3141 m

E = 521 854.0097 m

c = 6 399 593.6259 m

e2 = 0.006 694 380 023

e′2 = 0.006 739 496 775

1/f = 298.257 222 101

Q = 10 001 965.7293 m

R0 = 6 371 008.7714 m

Rs = 6 371 007.1810 m

Rv = 6 371 000.7900 m

Fiziksel parametreler

U0 = 62 636 860.85 m2s−2

J4 = −2.370 912 219 65× 10−6

J6 = 6.083 470 628 39× 10−9

J8 = −1.426 814 059 72× 10−12

J10 = 1.214 411 052 16× 10−14

m = 0.003 449 786 003 08

γe = 9.780 326 7715 m s−2

γk = 9.832 186 3685 m s−2

f∗= 0.005 302 440 112

k = 0.001 931 851 353



Verilen bu degerler, ϕ, λ, h jeodezik koordinatları bilinen bir noktaya iliskin

normal gravite alanı buyukluklerinin hesabında kullanılır:

• Kuresel koordinatlar cinsinden bir noktanın normal potansiyeli,

U =GM

r

1 −∞X

n=1

“a

r

”2n

J2nP2n(cosϑ)

!

+ω2

2r2 sin2 ϑ (92)

• Elipsoit yuzeyinde normal gravite,

γ0 = γe1 + k sin2 ϕ

(1 − e2 sin2 ϕ)1/2(93)

• h yuksekliginde normal gravite,

γ = γ0

„

1 − 2

a(1 + f +m− 2f sin2 ϕ)h+

3

a2h2

«

(94)

• Normal yukseklik icin ortalama gravite,

γ = γ0

1 − 1

a(1 + f +m− 2f sin2 ϕ)HN +

HN 2

a2

!

(95)



6 Bozucu Gravite Alanı

Gercek ve normal gravite alanı arasındaki farka bozucu gravite alanı denir

ve bu fark genellikle bir noktaya iliskin potansiyel buyuklukler uzerinden

gosterilir:

T (x, y, z) = W (x, y, z) − U(x, y, z) (96)

W ’nin U ’dan olan sapma degerleri cok kucuk (neredeyse dogrusal)

oldugundan, bozucu potansiyelin uygulamadaki onemi buyuktur. Bozucu

alanın modellenmesi, (96)’ya gore gercek gravite alanının da belirlenmesi

anlamına gelir. Bu amacla uygulamada gozlenen bazı buyuklukler;

• yersel gravite anomalileri (∆g)

• cekul sapması bilesenleri (ξ, η)

• GPS ve nivelmandan elde edilen jeoit yukseklikleri (N)

biciminde sıralanabilir.



6.1 Jeoit Yuksekligi

ElipsoitU = W0

Jeoit

W = W0

N

b

b

Cekul sapması

gP Cekul dogrultusu

γQ Elipsoit normali

P

Q

P ’nin gercek gravite potansiyeli (96)’dan

WP = UP + TP (97)

ile gosterilir. Aynı noktadaki normal potansiyel

ise Q’ya gore Taylor serisine acılabilir:

UP = UQ +N∂UQ

∂n(98)

Burada n yuzey normali dogrultusu, N = PQ

jeoit yuksekligidir. (98), (97)’de yerine yazılır,

WP = UQ +N∂UQ

∂n+ TP (99)

WP = UQ ve γQ = − ∂UQ

∂nesitlikleri goz onune alınırsa,

T = NγQ ⇒ N =T

γQ(100)

sonucu cıkar (Bruns esitligi).



6.2 Yukseklik Anomalisi

P noktasından gecen WP ve normal

gravite alanında ona esit UQ yuzeyleri

arasındaki PQ uzunluguna ζ yukseklik

anomalisi denir.

Fiziksel yeryuzu boyunca bu

sekilde Q noktalarının olusturdugu

yuzeye telluroit adı verilir; ancak

telluroit bir espotansiyel yuzey

degildir. P ’den gecen elipsoit

normali boyunca, fiziksel yeryuzu-

telluroit ve kuasijeoit-elipsoit

arasındaki yukseklik farkları

birbirine esittir. Jeoit yuksekligi

ile aralarında,

N−ζ = HN −H =g − γ

γH (101)

iliskisi vardır.



W = WP

U = UQ = WP

Yeryu

zu

Telluroit

ElipsoitU = W0

JeoitW = W0

Kuasijeoit

HN

ζ

ζ

HN

N

H

h

b

P0

Q0

P

Q

Yukarıdaki esitlikte N yerine h − H

yazılırsa elipsoit yuksekliginden normal

yukseklige gecis bagıntısı,

HN = h− ζ (102)

elde edilir. γ − g farkına ortalama

gravite anomalisi, baska bir deyisle

Bouger anomalisi (∆gB) adı verilir.

H = 0 olması durumunda (101)

sıfıra esit olacagından deniz seviyesinde

kuasijeoit ve jeoit cakısır. Dolayısıyla

N ve ζ aynı buyuklukte olurlar.

Bunun dısında normal ve ortometrik

yukseklikler arasındaki fark, topografik

yukseklik ve ∆gB ile dogru orantılıdır.



U = UP

W = WP

U = UQ = WP

ElipsoitU = W0

Jeoit

W = W0

HN

H

γ0

g0

γQ

γPgP

b

b

b

b

b

P0

Q0

P

Q

6.3 Gravite Anomalisi

Yeryuzunde olculen gP gravite buyuklugu

ve aynı nokta icin normal gravite

alanındaki karsılıgı γP arasındaki fark,

δgP = gP − γP (103)

gravite bozuklugu olarak adlandırılır.

Diger yandan γQ’ya gore hesaplanan

gravite anomalisi,

∆gP = gP − γQ (104)

gravite alanı belirleme uygulamalarının en

temel verisidir. Jeoidin modellenmesi soz

konusu ise jeoide indirgenmis olanı,

∆g0 = g0 − γ0 (105)

esas alınır.



6.4 Cekul Sapması

Ekvator duzlemine paralel

Gre

enw

ich

mer

idye

nin

epar

alel

Cek

uldog

rultusu

Elipsoitno

rmali

P

|| x

|| z

|| y

b

ξη

ϕ Φ

λ

Λ

P noktasından gecen cekul

dogrultusu ve elipsoit normali

birim yarıcaplı bir kure uzerinde

gosterildiginde cekul sapmasının iki

bilesene sahip oldugu gorulur.

Elipsoit normalinin kureyi

deldigi noktaya gore meridyen

ve parallel daire dogrultusundaki

cekul sapması bilesenleri olarak

adlandırılırlar ve sırasıyla,

ξ = Φ − ϕ

η = (Λ − λ) cosϕ(106)

esitliklerinden hesaplanırlar.



Cekul sapması bilesenleri gunumuz uydu ve konum belirleme teknikleri

sayesinde daha kolay belirlenebilmektedir. Bunun icin P noktasının GPS

yardımıyla ϕ, λ jeodezik koordinatlarını ve astrojeodezik gozlemlerle Φ,Λ

dogal koordinatlarını belirlemek yeterli olacaktır.

ξ, η cinsinden toplam cekul sapması (cekul dogrultusu ile elipsoit normali

arasındaki acı),

θ =√

ξ2 + η2 (107)

ve jeodezik azimut α dogrultusundaki bileseni,

ε = ξ cosα+ η sinα (108)

bagıntılarından hesaplanır.



6.5 Jeodin Belirlenmesi ve GPS Nivelmanı

Yeryuvarının

gravite alanının belirlenmesi,

konum belirleme acısından GPS

tekniklerine dayalı ortometrik veya

normal yukseklik probleminin cozumu

demektir. Gunumuzde jeoit belirleme

probleminden sıkca soz ediliyor

olmasının nedeni, GPS nivelmanı

yonteminin klasik nivelman teknigine

secenek olusturmasıdır. Belirli

bir bolgeyi kapsayan alanda jeoit

modeli yeterli dogrulukta biliniyorsa,

GPS’den elde edilen elipsoidal yukseklikler ortometrik yuksekliklere kolayca

donusturulebilir:

H = h−N (109)



6.5.1 Global jeoit modeli

Bozucu potansiyel cekim potansiyelinde oldugu gibi yeryuvarının dısında

harmonik bir fonksiyondur:

∆T = 0 (110)

Dolayısıyla kuresel harmonik serilerle gosterilebilir. Uygulamada katsayılar,

gercek gravite alanının katsayıları eksi normal gravite alanı katsayıları biciminde

belirlenir. Katsayıları bu sekilde elde edilen seri (100)’de yerine yazılırsa bir

noktadaki yukseklik anomalisi,

ζ =GM

rγ

nmaxX

n=2

„

R

r

«n nX

m=0

(∆Cnm cosmλ+ ∆Snm sinmλ)Pnm(cosϑ) (111)

cıkar. (111) ile bulunacak yukseklik anomalisi, N ’ye oldukca yakındır. Ancak

topografyanın yukseldigi yerlerde N ’nin hesabı icin (101)’den yararlanılmalıdır.

Jeodin bu yontemle hesabı global jeoit belirleme olarak adlandırılır. Jeoidin

dogrulugu modelin derecesine ve modelin olusturulması asamasında hesap

noktası civarındaki yersel verilerin kullanılıp kullanılmadıgına baglıdır.



6.5.2 Bolgesel jeoit modeli

Bozucu potansiyel icin gelistirilen kuresel harmonik seri yuzey integrali,

T (ϑ, λ) =R

4π

ZZ

σ

S(ψ)∆g dσ (112)

biciminde de gosterilebilir. Stokes (1849)’un ortaya koydugu bu esitlik, ϑ, λ ile

konumu bilinen noktada, tum yeryuvarına dagılmıs ∆g gravite anomalilerinden

T ’nin hesaplanabilecegini soyler. Her ∆g’nin T ’ye ne kadarlık katkı yapacagını

S(ψ) Stokes agırlık fonksiyonu belirler. Katkı oranı, ∆g hesap noktasına

yaklastıkca artar. Bu bilgiler ısıgında, yeryuzunde belirli bir bolge, yeterli sıklık

ve dogrulukta yersel gravite verisi iceriyorsa, global modele gore daha yuksek

cozunurluk ve dogruluga sahip bolgesel bir cozum gelistirilebilir. Sonuc olarak

(112), Bruns esitligi sayesinde jeoit yuksekligine donusturulebilir:

N =R

4πγ0

ZZ

σ

S(ψ)∆g dσ (113)

Burada ∆g’ler jeoide indirgenmis olmalı, baska bir deyisle jeoidin dısında kitle

bulunmadıgı varsayılmalıdır.



(113) ile bolgesel cozumde aranan sonuca, uc degisik gruptan gelen verilerin ayrı

bilesenler olarak degerlendirilmesiyle ulasılır. Buna gore bolgesel jeoit modeli,

bozucu gravite alanının uzun, orta ve kısa dalga boylu katkısından,

N = NGP M +N∆g +NH (114)

olusur. Burada dalga boylarına gore bilesenler,

NGP M Uzun (global jeopotansiyel modelden)

N∆g Orta (yerel gravite anomalilerinden)

NH Kısa (yerel sayısal arazi modelinden)

olmak uzere bozucu gravite alanının farklı spektrumlarını temsil ederler. Veri ve

degerlendirme cok buyuk oranda gravite anomalilerine dayandıgı icin yontem

gravimetrik jeoit belirleme adıyla da anılır. Genellikle her ulke kendi jeoit

modelini bu yolla belirler ve GPS kullanıcılarının hizmetine sunar. Ulkemizde

bugune degin bu kapsamda TG91, TG99A, TG03, TG05, . . . modelleri Harita

Genel Komutanlıgı tarafından uretilmistir.



Gravimetrik jeoit modeli belirleme asamaları

Stokes (1849) integrali (global, dogrusal operator!!!);

N =R

4πγ0

∫∫

σ

∆g S(ψ) dσ

Stokes integralinin bolgesel olcege indirgenmesi;

Yok et ∆gR = ∆g − ∆gGPM − ∆gH

Yerine koy N = NGPM +N∆gR+NH

+ R4πγ0

∫∫

σ∆gR S(ψ)dσ +

Hesapla



Turkiye Ulusal Jeoidi 2003 - TG03 (Kılıcoglu vd., 2004)

– ≈ 65000 ∆g (karada) – Jeopotansiyel model (EGM96) – 197 GPS-nivelman noktası

– ≈ 20000 ∆g (denizde) – Sayısal Arazi Modeli (20′′ × 20′′) – ≈ 10 cm dogruluk



6.5.3 GPS-nivelman yontemiyle (geometrik) jeoit belirleme

Buyuk olcekli harita uretimi (halihazır, kadastro vb.) uygulamaları sınırlı bir

alanı kapsar. Cogu kez boyle bir uygulama alanı icerisinde, hem Helmert

ortometrik hem de GRS80 elipsodine gore hesaplanmıs elipsoidal yuksekligi

bilinen noktalar bulunabilir. Dogruluk degerleri yuksek (birkac cm) boylesi

noktalara dayanılarak, analitik bir yuzey fonksiyonuyla gosterilen yerel jeoit

modeli olusturulabilir. Dayanak noktalarının sayısı ve alanın buyuklugu goz

onune alınarak yuzey modeli,

N(x, y) =X

aijxiyj = a00 + a10x+ a01y + a20x

2 + a11xy + a02y2 + · · · (115)

polinom esitligi ile gosterilebilir. Genellikle 3. dereceyi gecmeyen yuzey polinomu

bu is icin yeterli gorulur. Jeoit modelini olusturmak icin yapılması gereken, n

sayıda nokta icin (115)’e gore denklem sistemini olusturmak ve En Kucuk

Karelerle (EKK) kollokasyon yaklasımını uygulayarak aij katsayılarınnı

belirlemektir. Yerel jeoit fazla degiskenlik gostermiyorsa veya alan yeterince

kucukse sadece EKK cozumu de yeterli olacaktır.



Ornek

Yanda bir uygulama alanı

icerisinde kalan 20 dusey

kontrol noktasının ulke

koordinat sistemindeki

koordinatları,

elipsoidal ve Helmert

ortometrik yukseklikleri

verilmektedir. Soz konusu

alan icin gecerli olmak

uzere, 2. derece yuzey

polinomu yardımıyla

yerel jeoit modelini EKK

yontemiyle olusturunuz.

S.N. Saga Yukarı h H N = h−H

1 531121.569 4171060.477 1223.48 1188.61 34.87

2 522139.007 4175249.228 986.84 952.23 34.61

3 521965.772 4177055.988 929.37 894.80 34.57

4 525985.901 4181645.566 888.53 853.82 34.71

5 527321.854 4177938.485 1008.75 973.97 34.78

6 532702.166 4184439.027 915.43 880.43 35.00

7 531409.083 4183177.180 918.17 883.25 34.92

8 528687.730 4181432.714 928.93 894.14 34.79

9 530800.931 4182399.516 927.87 893.00 34.87

10 524599.277 4181624.668 889.24 854.55 34.69

11 530080.624 4174023.790 1190.14 1155.25 34.89

12 527448.386 4180150.776 933.99 899.23 34.76

13 522187.785 4180966.223 883.94 849.25 34.68

14 523840.797 4181543.848 891.82 857.11 34.71

15 533721.734 4172811.346 1260.60 1225.55 35.05

16 530128.716 4182144.569 930.18 895.31 34.87

17 533041.683 4170351.896 1253.46 1218.52 34.95

18 518442.199 4174291.701 892.54 858.13 34.41

19 532328.018 4170762.774 1229.46 1194.54 34.92

20 530030.643 4172850.093 1256.65 1221.74 34.91

p1 525000.000 4179000.000 ?

p2 530000.000 4177000.000 ?



Dayanak noktalarının araziye dagılımı

ve jeoit yukseklikleri yandaki sekilde

gorulmektedir. Yerel jeoit yuzeyi

icin ongorulen 2. dereceden analitik

fonksiyon,

N(x, y) = a00 + a10x + a01y+

a20x2 + a11xy + a02y2

6 adet bilinmeyen katsayı icermektedir

(fazla olcu sayısı: n − u = 14).

EKK yontemi uygulanmadan once cozum

sonuclarının guvenilir degerler olması icin

koordinat degerlerini kucultmek gerek-

mektedir. Kucultulmus koordinatlar,

xi =X − Xi

1000, yi =

Y − Yi

1000

esitliklerinden hesaplanabilir. Burada X

ve Y ortalama koordinatlardır.

4170

4172

4174

4176

4178

4180

4182

4184

4186

518 520 522 524 526 528 530 532 534

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

???

???

34.87

34.61

34.57

34.71

34.78

35.00

34.92

34.79

34.87

34.69

34.89

34.76

34.68

34.71

35.05

34.87

34.95

34.41

34.92

34.91



Olculer bilinmeyenlerin bir fonksiyonu,

Ax = l (116)

biciminde duzenlenir,

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

1 x1 y1 x21 x1y1 y2

1

1 x2 y2 x22 x2y2 y2

2

1 x3 y3 x23 x3y3 y2

3

.

.

....

.

.

....

.

.

....

1 x20 y20 x220 x20y20 y2

20

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

a00

a10

a01

a20

a11

a02

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

N1

N2

N3

.

.

.

N20

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

ve EKK yaklasımı,

x = (ATA)−1(AT

l) (117)

uygulanırsa bilinmeyenler icin,

xT =“

34.800924 0.038508 0.004805 0.000853 −0.001218 −0.001061”T

elde edilir.



2. derece yuzey: m0 = ±3.67 cm 3. derece yuzey: m0 = ±1.91 cm



Normal dagılımlı oldugu varsayılan olculere gelecek duzeltmeler,

v = Ax − l (118)

ve bunlardan hesaplanan standart sapma,

m0 =

s

vT v

n − u= ±3.67 cm

ongorulen modelin (derecesi) uygunlugu hakkında onemli bir bilgi verir. Yuzey modelinegore; jeoit yukseklikleri enterpolasyonla bulunmak istenen noktalar icin,

Np1

Np2

!

=

1 xp1 yp1 x2p1

xp1yp1 y2p1

1 x22 yp2 x2p2

xp2yp2 y2p2

!

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

a00

a10

a01

a20

a11

a02

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

matris islemi duzenlenir ve degerler yerine konulursa,

Np1 = 34.70 m Np2 = 34.88 m

sonucu elde edilir.



Erbudak and Tugluoglu (1976); Heiskanen and Moritz (1984);

Hofmann-Wellenhof and Moritz (2005); Tugluoglu (1984)

Kaynaklar

Erbudak, M. and Tugluoglu, A. (1976). Fiziksel Geodezi. Number 129.

IDMMA Yayınları, Istanbul.

Heiskanen, W. and Moritz, H. (1984). Fiziksel Jeodezi. Karadeniz

Universitesi Basımevi, Trabzon. O. Gurkan (C).

Hofmann-Wellenhof, B. and Moritz, H. (2005). Physical Geodesy. Springer,

Wien.

Ilk, K. H. (2004). Diskussion der kugelfunktionen.

Tugluoglu, A. (1984). Potansiyel Kuramı. Number 171. Yıldız Universitesi

Yayınları, Istanbul.


fiz˙ iksel jeodez˙ i˙ lisans ders...

Documents