ALUMNO (A):ABURTO GARCIA ITZIA ESTEFANIA

PROFESOR: ROBERTO LAGUNA

GRUPO:313

V ECTORES

PLANTEL CCH VALLEJO

FISICA

El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican.

INTRODUCCION

CANTIDADES VECTORIALES Y

ESCALARES

Una cantidad escalar se especifica completamente por medio de su magnitud, esto es, un numero y una unidad. La rapidez (15mi/h), la distancia(12km) y el volumen(200cm) son algunos ejemplos.

Las cantidades escalares que se miden en las mismas unidades pueden sumarse o restarse de la manera usual. Por ejemplo:

14mm+13mm= 27mm

20ft-14ft=6ft

Una cantidad vectorial se especifica completamente mediante una magnitud y una dirección; consta de un numero, una unidad y una dirección. Son ejemplos, el desplazamiento (20m, norte) y la velocidad (41mi/h, 30° al noroeste).

La dirección de un vector puede establecer haciendo referencia a las direcciones convencionales norte, sur, este, oeste. La expresión NE, noreste, indica que el ángulo se forma girando una línea en la dirección norte a partir de la dirección este.

Un vector físico es una magnitud física caracterizarle mediante un punto de aplicación u origen, un módulo, una dirección y un sentido, o alternativamente por un número de componentes independientes tales que las componentes medidas por diferentes observadores son relacionables de manera sistemática.

Existe la necesidad de explicar fenómenos físicos que no pueden ser descritos con un solo valor, es necesario definir las cuatro características mencionadas anteriormente:

Punto de aplicación u origen.

Magnitud o módulo: determina el tamaño del vector.

Dirección: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector.

Sentido: determina hacia qué lado de la recta de acción apunta el vector.

Matemáticamente hablando, un vector no puede ponerse en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los números reales, como sí es posible hacerlo con las magnitudes escalares (como la temperatura o el tiempo).

Ejemplos La distancia final entre dos coches que parten de un mismo sitio no puede quedar determinada únicamente por sus velocidades. Si éstas son 30 y 40 Km./h, al transcurrir una hora la distancia entre los mismos podrá ser, entre otras posibilidades:

De 10 Km., si los dos coches llevan la misma dirección y mismo sentido. De 70 Km., si salen en la misma dirección y sentidos contrarios. De 50 Km., si toman direcciones perpendiculares.

Como se puede ver, la distancia entre los dos coches, depende también de otras cualidades, además de la velocidad de los coches. Es necesario utilizar un vector, que además de describir su magnitud (en este caso la velocidad) defina su dirección y sentido.

  Representación gráfica de dos vectores deslizantesSe representa como un segmento con dirección y sentido, dibujado como una "flecha". Su largo representa la magnitud, su pendiente la dirección y la "punta de flecha" indica su sentido.

Representación gráfica          

Componentes de un vector

Las coordenadas o componentes del vector en un sistema de referencia pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:                   .

                  .Si se desea expresar al vector como combinación de los vectores, se representará como:                      

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, se

llaman componentes o coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrario consideraremos siempre como números reales.En teoría de la relatividad los vectores suelen ser denotados en la notación abstracta de índice y los anteriores vectores se representarían mediante:                                

Vectores como combinación lineal

Cualquier vector que se considere es siempre una combinación lineal de un número n de vectores unitarios perpendiculares entre sí, que forman la base del espacio vectorial en cuestión.

Estos vectores unitarios se suelen llamar vectores, y en el espacio tridimensional se representan por    ,    ,    , si bien es también usual representarlos como  ,  ,  , siendo   el vector unitario según el eje de la x,   el vector unitario en el eje de las y, y   en el de las z. En el espacio de dos dimensiones se toman dos de estos vectores, que corresponden a los ejes de coordenadas adoptados.

Tipos de vectores [Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u origen- fijado en ningún punto en particular. Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algún punto en particular. Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales módulos, direcciones y sentidos. Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actúan sobre una misma recta. Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial -u origen-. Vectores unitarios: vectores de módulo igual a uno. (Véase vector unitario) Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y dirección (también vectores anti - paralelos)

                                                  Suma de vectores

Método del paralelogramo Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores.

Método del triángulo Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, es decir, el extremo

inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos

Método analítico El resultado de la suma es:

                                                        ordenando los componentes:

                                                       Pongamos un ejemplo numérico:

                                             

el resultado:                                                    

agrupando términos:                                                   

esto es:                             

Resta de vectores Para restar dos vectores libres U y V se suma U con el opuesto de V, esto es U - V =

U + (-V).Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los

vectores.

Producto por un escalar

                                                              

  Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, que de ser negativo cambia el sentido (ver gráfico).Partiendo de un escalar   y de un vector  , el producto de   por   es     , es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:

si lo multiplicamos por el escalar n:                           

esto es:                                   

Representando el vector como combinación lineal de los vectores:                         

y multiplicándolo por un escalar n:                                   

esto es:                                         

Hagamos un ejemplo con valores numéricos, partimos del vector:                             

y multiplicamos el vector por 2,5:                                           

esto es:                                                           

haciendo las operaciones:                                   

Derivada de un vector

Dado un vector que es función de una variable independiente

                                      Podemos calcular la derivada de a respecto de t, para cada una de sus componentes, como si de un escalar se tratara, siendo el vector de las derivadas:

                                                  

Para calcular esta derivación hay que tener en cuenta que los vectores son constantes en módulo, dirección, y sentido. Cuando se deriva sobre un sistema de referencia en movimiento este punto tiene que ser tenido en cuenta. Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:                                     

Esta función representa una espiral que su eje es el eje z, y de radio 1, en el plano xy, como el de la figura, partamos de la base que ésta es la trayectoria de una partícula y la función determina el vector de posición en función del tiempo. Si derivamos, tendremos:

                                                 Realizando la derivada:

                                      

La derivada de la posición respecto al tiempo, es la velocidad, esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos decir:

                                    

Este vector velocidad, tiene su origen en el centro de coordenadas, y determina las componentes de la velocidad en cada instante, la velocidad de la partícula es un vector paralelo a este, en el punto donde se encuentra la partícula en ese mismo momento. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración, como era fácil de suponer.

• Módulo resultante

• Dados dos vectores \vec{a} y \vec{b}, de módulos conocidos y que forman el ángulo θ entre sí, se puede obtener el módulo \left|\vec{a}+\vec{b}\right| con la siguiente fórmula:

• \left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left.| \vec{a} |^2 + | \vec{b} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right.| \cos \theta}

• La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

• Esta función representa una espiral que su eje es el eje z, y de radio 1, en el plano xy, como el de la figura, partamos de la base que ésta es la trayectoria de una partícula y la función determina el vector de posición en función del tiempo. Si derivamos, tendremos:

•                                                  • Realizando la derivada:

–                                       • La derivada de la posición respecto al tiempo, es la velocidad, esta

segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos decir:

–                                     • Este vector velocidad, tiene su origen en el centro de coordenadas, y

determina las componentes de la velocidad en cada instante, la velocidad de la partícula es un vector paralelo a este, en el punto donde se encuentra la partícula en ese mismo momento. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración, como era fácil de suponer.

Ángulo entre dos vectores Angulo entre 2 vectores en un plano

Para calcular el ángulo entre dos vectores se usa la siguiente fórmula:

\cos \theta = \frac {a_1b_1 + a_2b_2} {ab}

El cual se puede generalizar a cualquier dimensión con excepción de los casos superiores A y B:

\cos \theta = \frac {a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + ... + a_nb_n} {ab}

Cuando se trata algebraicamente en un espacio vectorial el ángulo entre dos vectores está dado por

\cos \theta = \frac {|\langle A.B\rangle|}{||A||||B||}

Siendo \langle\ .\ \rangle el producto interno definido dentro de dicho espacio vectorial

Hay que tener en cuenta que el ángulo que devuelve esta formula está comprendido entre 0º y 180º, no devuelve el signo del ángulo.

• Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

• No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.

• En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en su definición usan el producto vectorial son en realidad pseudovectores newtonianos.

• En teoría especial de la relatividad, por ejemplo, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen auténticas magnitudes vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores O\, y \bar{O} deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

• \bar{V}^\beta = \sum_{\alpha=0}^3 \Lambda_\alpha^\beta \ V^\alpha

• Donde \Lambda_\alpha^\beta son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.