inżynieria chemiczna i procesowa

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 3 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

Procesy Mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych

c.d.Płyny rzeczywiste



Omówimy przepływ płynu oraz siły jakie działają na płyn podczas przepływu.

Aby opisać przepływ płynu musimy scharakteryzować jego własności tj. prędkość,w czasie i przestrzeni.

Musimy wybrać układ odniesienia: Nieruchomy układ odniesienia

Układ odniesienia poruszający się wraz z płynem

Podejście EuleraPodejście Eulera

Podejście LagrangeaPodejście Lagrangea



Znajomość prędkości płynu w funkcji położenia i czasuPozwala na wyznaczenie gradientów prędkości naprężeń i sił pojawiających się w płynie podczasprzepływu.

W czasie t cząstka płynu jest w pozycji określonejwektorem r (x1,y1,z1)

W czasie t + dt cząstka przesuwa się w położenie r + dr (x2,y2,z2)

Prędkość elementu płynu jest wyrażona miarą zmiany położenia w czasie. PrędkośćJest wektorem ma wartość i kierunek:

dt

dze

dt

dye

dt

dxeeee

dt

drzyxzzyyxx vvvv

Wektory jednostkowe



tzyx ,,,vv

W ujęciu Eulera każdemu punktowi przestrzeni można przypisać wartość prędkości

Jeżeli dx, dy, dz 0 to otrzymamy prędkośćW punkcie:

Kiedy znana jest prędkość w każdym punkcie układu to można wyznaczyć wartość prędkości średniej:

A

ndAvA

v1

wektor normalnydo powierzchni

strumień

A

ndAvAvQ

i strumień masowy:

A

ndAvM



Znając wektor prędkości płynu możemy wyznaczyć wektor przyspieszenia a.Przyśpieszenie jest miarą zmiany prędkości:

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

z

v

dt

dz

y

v

dt

dy

x

v

dt

dx

t zyx

v

a

różniczka zupełna:różniczka zupełna:

vvv

vv

vv

v

zyx zyx

vvv

a

t



Gdy znana jest wartość prędkościto istnieje kilka metod jej prezentacji

linie prądu – fluid stream lines

linie do której w każdym punkcie wektor prędkości jestprostopadły . Dla przepływu ustalonegoelement płynu porusza się wzdłużlinii prądu.

zyx v

dz

v

dy

v

dx

v

dr



Przykład. Dla przepływu dwuwymiarowego opisanego równaniami. Wyznaczyćrównanie linii prądu.

Lx

x yv 1L

yvy 2

2

podstawiamy rówania do równania na linie prąduyx v

dy

v

dx

v

dr

22

1 y

Ldy

L

xy

dx

y

dy

L

xL

dx 2

1

całkujemy równanie



)ln(ln21ln CyL

x

L

x

Cy

1

linie prądu dla różnych wartości stałej C



1) Lepkość

Przepływowi płynu rzeczywistego towarzyszą straty energii. Występują one równieżpodczas przepływu przewodami o zupełnie gładkich ścianach. Straty te występują nie tylko z powodu tarcia o ścianki przewodu ale na skutek tarcia wewnętrznego płynuzwanego lepkością.

Zjawisko to polega na tym iż dlapodtrzymania gradientu prędkości

dydux

FxSUx

X

Y

Z

niezbędne jest przyłożeniesiły ścinającej Fx dopowierzchni S



Doświadczenie wykazuje że naprężenie styczne:

SFx

yx

Jest tym większe im większy jest gradient prędkości. Zależność tą przedstawiarównanie lepkości Newtona

dy

duxyx

Współczynnik proporcjonalności μ nazywamy dynamicznym współczynnikiem lepkości (lepkość dynamiczna). Dla większości płynów współczynnik lepkości μ nie zależy od wielkości naprężenia stycznego płyny Newtonowskie



Wszystkie płyny nie spełniające zależności Newtona to płyny nie newtonowskie. Do grupy tej należą różnego rodzaju układy dyspersyjne np.. Zawiesiny, pasty,roztwory koloidalne itp. Zajmuje się nimi reologia tj. nauka o odkształceniach iprzepływie materiałów.

Jednostkę lepkości dynamicznej w układzie SI jest [kg / m *s] [ Pa * s ]

Istnieje jednostka zwana puazem – operuje się jednostkami 100 mniejszymi czyli centipuazem (cP). Lepkość wody w 20 C jest niemal równa 1 cP . DzielącWartość lepkości wyrażoną w cP przez 1000 otrzymamy lepkość wyrażoną w [Pa s]

Stosunek lepkości dynamicznej do gęstości płynu ρ, jest określany mianem lepkościkinematycznej:

Miano w SI [m2/s] – stosuje się też 1 stoks = 1 cm2/s



2) Różniczkowy bilans pędu. Równanie ruchu. Równanie Naviera - Stokesa

Równanie ruchu płynu wynika z drugiej zasady dynamiki Newtona i wyraża różniczkowy bilans sił i pędu dla wybranej objętości kontrolnej w płynie. Na element różniczkowy o krawędziach dx, dy, dz działają 3 siły: ciężkości, parcia i tarcia wewnętrznego.



Rozpatrzmy siły działające na kierunku osi x:

Siła ciężkości: dzdydxg x Siła parcia:

X

Y

Z

dx

dz

dy p.p.+dp

Na ściankę działa parcie

pdydzNa przeciwległą ściankę działa parcie

dydzdxxp

p

dxxp

pdpp



Wypadkowa tych obu parć wynosi: dxdydzxp



X

Y

Z

dx

dz

dy

yx

yx+dyx

Siły tarcia wewnętrznego:dy

yd yx

yxyxyx

Siła działająca na ściankę:

dxdzyx

dxdzdyyyx

yx

i na ściankę przeciwległą:

( gdyby prędkość ux zależała tylko od wartości y płaski ruch cieczy)



Wypadkowa tych sił:

dxdydzyyx

Stosownie do równania lepkości

dy

duxyx

Uwzględniając to i różniczkując:

dxdydzyux2

2



Ruch cieczy nie jest „płaski”, prędkość ux może zmieniać się w każdym z kierunkówwspółrzędnych. Stąd sumując wszystkie siły pochodzące od tarcia wewnętrznego(dla kierunku x) otrzymamy:

dxdydzzu

yu

xu xxx

2

2

2

2

2

2

Stąd suma wszystkich sił dla kierunku x :

dxdydzzu

yu

xu

xp

g xxxx

2

2

2

2

2

2



Zgodnie z drugim prawem Newtona, suma tych sił jest równa iloczynowi masy elementu i jego przyspieszenia w kierunku osi x.

Przy określaniu przyśpieszania należy uwzględnić fakt iż ux jest funkcją położenia i czasu:

tzyxfux ,,,Stąd różniczka prędkości:

dzzu

dyyu

dxxu

dttu

du xxxxx



Stąd przyśpieszenie:

dtdz

zu

dtdy

yu

dtdx

xu

tu

dtdu xxxxx

zx

yx

xxxx u

zu

uyu

uxu

tu

dtdu

Uwzględniając masę elementu otrzymamy iloczyn masy i przyspieszenia:



dxdydzz

uu

y

uu

x

uu

t

u xz

xy

xx

x

masa elementu płynuprzyśpieszenie elementy płynu

Ostatecznie:

2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

xp

gzu

uyu

uxu

utu xxx

xx

zx

yx

xx

Gdzie ν to lepkość kinematyczna.

Analogiczne równania można zapisać dla osi y i z



2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

xp

gzu

uyu

uxu

utu xxx

xx

zx

yx

xx

2

2

2

2

2

21

z

u

y

u

x

u

yp

gz

uu

y

uu

x

uu

t

u yyyy

yz

yy

yx

y

2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

zp

gzu

uyu

uxu

utu zzz

zz

zz

yz

xz



Lub stosując pojęcie pochodnej wędrownej:

iii upg

DtDu 21

RÓWNANIE NAVIERA - STOKESA

Równanie to opisuje w pełni przepływ lepkiego płynu Newtonowskiego.



Dla płynów doskonałych, tj. nie lepkich, które cechuje brak naprężeń stycznychrównanie ruchu sprowadza się do :

pgDtDu

ii

Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów doskonałych otrzymane przez Eulera w 1755 r.

Całkowanie równania Eulera dla ruchu ustalonego prowadzi do równania:Bernoulliego.



Przepływ izotermiczny płynu nieściśliwego opisany jest czterema równaniami:Równaniem ciągłościWektorowym równaniem ruchu dla trzech składowych.

Celem rozwiązania jest wyznaczenie wartości ciśnienia i trzech składowych prędkościw dowolnym punkcie obszaru przepływu.

Ilość niewidomych jest równa ilości równań różniczkowych a więc istnieje możliwośćanalitycznego rozwiązania problemu. W praktyce możliwe jest tylko dla prostych układów geometrycznych. Dla układów bardziej skomplikowanych stosuje sięmetody numeryczne CFD (Computational Fluid Dynamics)

W celu znalezienia rozwiązania wykorzystujemy warunki brzegowe sformułowanena podstawie fizycznego opisu zjawiska.



Przykładowe wyniki obliczeń CFD:



Rozpatrzmy je dla przepływu cieczy w kanale:

(*) Płyn nie może penetrowaćw głąb ciała stałego:

0yu

0xu

Warstwa płynu bezpośrednio przylegająca do ścianki jest względem niej nieruchoma w wyniku działania sił adhezji.

(*) Zachowana symetria i ciągłość



Przykład 1. Zastosowanie równania ruchu do rozwiązania zagadnień przepływowych

Spływ warstwy cieczy po nachylonej płaskiej powierzchni:

Wykorzystamy równanieN-S.

iii upg

Dt

Du 21



Użyjemy współrzędnych prostokątnych

Jest to ruch płaski uwarstwiony i ustalonywięc:

0yu 0zu 0t

ux

2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

xp

gzu

uyu

uxu

utu xxx

xx

zx

yx

xx

Równanie dla składowej x:

2

2

2

2

yu

xu

gxu

u xxx

xx



Składowa x przyśpieszenia ziemskiego g : singg x

Teraz z równania ciągłości:0

zu

y

u

x

u zyx

Które dla rozpatrywanegoprzypadku upraszcza się do: 0

x

ux 02

2

x

ux



Równanie ruchu dla tego przypadku sprowadza się do:

2

2

2

2

yu

xu

gxu

u xxx

xx

2

2

sinyu

g x



2

2

sinyu

g x

Dostaliśmy równanie różniczkowe :

Warunki brzegowe:

0y 0dydux

y 0xu



Rozwiązujemy równanie przez scałkowanie, pierwszy raz:

1sin Cygyux

Wykorzystujemy pierwszy warunek brzegowy do wyznaczenia C1: 01 C

Następnie całkujemy równanie ponownie i korzystamy z drugiego warunku brzegowego:

22 1

2sin

yg

ux



Prędkość maksymalna dla y=0 :

2sin 2

max

gu

2

max 1 y

uux

Wprowadźmy definicję prędkości średniej jako średnia całkowa:

0

2

0

0

3sin1 g

dyu

dy

dyu

u x

x

śred max32uuśred



Natężenie objętościowe przepływu na jednostkę szerokości warstwy można obliczyć:

3sin 3g

uV śred



Przykład 2. Ustalony laminarny przepływ płynu nieściśliwego rura o przekroju kołowymo promieniu R pod wpływem gradientu ciśnienia DP/L

Najlepiej operować układem współrzędnych cylindrycznych



Równanie N-S w układzie cylindrycznym:



Wiemy że przepływ jest ustalony a więc wszystkie pochodne czasowe się zerują

0t

Płyn jest nieściśliwy a więc gęstość jest stała. Pomijamy efekty wlotowe( rura jest dużo dłuższa niż jej średnica) przepływ jest jedno kierunkowy:

0 vvr

Równanie ciągłości w układzie cylindrycznym:

z

vv

rr

rv

rtzr

11

z

vv

rr

rv

rtzr

11

0z

vz a więc prędkośćna kierunku z nie zależyod z a tylko od r



r

rrrrz

rrr

r gz

vv

r

v

rr

rv

rrr

p

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v

2

2

22

2

2

2 211

Składowa Vr

gz

vv

r

v

rr

rv

rr

p

rz

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

v rz

rr

2

2

22

2

22111

zzzzz

zzz

rz g

z

vv

rr

vr

rrr

p

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v

2

2

2

2

211

Składowa V

Składowa Vz

0r

p rfp

0p fp



dz

dP

dr

dvr

dr

d

rz

)(zfp L

p

dz

dP

Lpr

dr

dvr

dr

d z

całkujemy

2

2

1r

L

p

dr

dvr z

czyli :

Lpr

dr

dvz2

całkujemy

CL

prvz

4

2

dla r=R Vz = 0 L

pRC

4

2

2

221

4 R

r

L

pRvz



2

221

4 R

r

L

pRvz

przepływ o profilu parabolicznymz maksimum dla r=0

LpR

v4

2

max

A

ndAvA

v1

R

z drrdvR

v

0

2

021

max

0

2

02

22

2 2

11

4

1vdrrd

R

r

L

pR

Rv

R

L

RpRvQ

8

42 prawo Hagena - Poiseuille’a

inżynieria chemiczna i procesowa

Documents