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Introduzione alla Meccanica
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COSA E’ LA MECCANICA?
• Studio del MOTO DEI CORPI e delle CAUSE che lo DETERMINANO.
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COSA E’ LA MECCANICA?
Viene tradizionalmente suddivisa in: • Cinematica • Dinamica • Statica
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CINEMATICA
• STUDIO del MOTO INDIPENDENTEMENTE dalle CAUSE che lo hanno GENERATO
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DINAMICA
• STUDIO del MOTO e delle CAUSE che lo hanno GENERATO
• Vedremo che la CAUSA del moto è la FORZA
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STATICA
• STUDIO delle CONDIZIONI DI EQUILIBRIO
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STATICA
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Approssimazione di PUNTO MATERIALE
• CONSIDERIAMO GLI OGGETTI PUNTIFORMI: quindi possono solo TRASLARE e non RUOTARE.
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Cinematica Unidimensionale
• Sistemi di riferimento. • Moto unidimensionale. • Diagramma orario ed equazione oraria. • Velocità ed accelerazione scalare, media
ed istantanea. • Moto uniforme e moto uniformemente
accelerato.
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Cinematica Unidimensionale
• Sistemi di riferimento.
X [m]
Y [m]
Z[m]
O
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Cinematica Unidimensionale • Traiettoria: Successione delle
POSIZIONI occupate dal PUNTO MATERIALE.
X [m]
Y [m]
Z[m]
O F(x,y,z)=0
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Cinematica Unidimensionale
• Traiettoria: CASI PARTICOLARI: • MOTO PIANO: f(x,y)=0 • MOTO RETTILINEO: f(x)=0
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Cinematica Unidimensionale • MOTO UNIDIMENSIONALE
Origine O
A
B Verso Positivo
Verso Negativo
Il punto A sulla traiettoria viene individuato da +OA Il punto B sulla traiettoria viene individuato da -OB
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Tabella Oraria Si studia come varia la posizione del punto materiale nel sistema di riferimento in funzione della GRANDEZZA FONDAMENTALE TEMPO [SEC].
posizione TEMPO
X0 t0
X1 t1
X2 t2
X3 t3
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Tabella Oraria Si studia come varia la posizione del punto materiale nel sistema di riferimento in funzione della GRANDEZZA FONDAMENTALE TEMPO [SEC].
TEMPO [SEC]
POSIZIONE [METRI] X2
t2
Equazione Oraria: X=X(t)
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Tabella Oraria
TEMPO [sec]
SPOSTAMENTO CORPO 1 [METRI]
SPOSTAMENTO CORPO 2 [METRI]
SPOSTAMENTO CORPO 3 [METRI]
0 0 0 0
5 5 15 20
10 10 30 40
15 15 45 60
Consideriamo tre corpi che si muovono in linea retta, con la Seguente tabella oraria.
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Velocità scalare media (1)
TEMPO [sec]
CORPO 1 [METRI]
CORPO 2 [METRI]
CORPO 3 [METRI]
0 0 0 0 5 5 15 20
10 10 30 40 15 15 45 60
Fissiamo l’attenzione all’istante t = 10 sec. Il corpo 1 ha percorso 10 metri; Il corpo 2 ha percorso 30 metri; Il corpo 3 ha percorso 40 metri.
Il corpo 3 cambia posizione più rapidamente di corpo 2 e corpo 1.
Osserviamo che il valore Spostamento/Tempo per corpo 3 è maggiore che per corpo 2 1 per corpo 1.
Definiamo la velocità scalare media di un corpo il rapporto tra La lunghezza del percorso compiuto ed il tempo impiegato a percorrerlo.
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Velocità scalare media (2)
TEMPO [sec]
CORPO 1 [METRI]
CORPO 2 [METRI]
CORPO 3 [METRI]
0 0 0 0 5 5 15 20
10 10 30 40 15 15 45 60
Dopo 10 sec: V1=1 m/s, V2=3 m/s, V3=4 m/s
Esaminiamo ora il significato della velocità scalare media da un punto di vista grafico. Consideriamo, ad esempio, Il corpo 2.
Quindi: v=x/t La velocità media tra due istanti t2 e t1 si calcola come: v = (x2 - x1) / (t2 - t1)
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Velocità scalare media (3)
TEMPO [sec]
CORPO 2 [METRI]
0 0 5 15
10 30 15 45
10
30
TEMPO [sec]
SPOST. [METRI]
x=30 m; t=10 sec
In generale x=vt Con v = coefficiente angolare della retta Ma anche x/t = tgα con α angolo formato dalla retta con asse dei tempi (ASCISSA)
α
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Velocità scalare media (4)
TEMPO [sec]
CORPO 4 [METRI]
0 3 5 18
10 33 15 48
TEMPO [sec]
SPOST. [METRI]
Se all’istante t=0 il corpo non si trova nell’origine (x = 0) si ha: In generale x=vt+x0
α
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Velocità scalare media (5)
Tempo T [sec]
Spazio X [m]
α P
Q’
Δx’
Δt’ v = Δx’/ Δt’
Δx’
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Velocità scalare istantanea (1)
TEMPO [sec]
CORPO 5 [METRI]
0 0 5 32
10 48 15 56
Calcoliamo la velocità del corpo 5, in vari intervalli di tempo Nei primi 5 sec. V0,5=32/5=6.4 Nei primi 10 sec V0,10 48/10=4.8 Nei primi 15 sec V0,15= 56/15=3.7
In questo caso il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato NON è COSTANTE e la rappresentazione NON è una retta.
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Velocità scalare istantanea (2) La velocità media tra due istanti t2 e t1
si calcola come: v = (x2 - x1) / (t2 - t1) Per avere una stima più precisa della velocità del corpo nell’istante t1 è necessario considerare un piccolo intervallo di tempo vicino a t1, cioè t2 à t1
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Velocità scalare istantanea (3) Considerare intervalli di tempo molto
piccoli (t2 à t1) equivale a considerare la tangente alla curva nel punto di ascissa t1.
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Velocità scalare istantanea (4)
Tempo T [sec]
Spazio X [m]
α P
Q’
Δx’
Δt’ v = Δx’/ Δt’
Δx’
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Velocità scalare istantanea (5)
Tempo T [sec]
Spazio X [m]
α P
Q’
Q’’ Q’’’
Δx’ Δx’’
Δx’’’
La velocità istantanea nel punto P è il valore della tangente alla curva passante per P
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Accelerazione scalare media (1)
L’accelerazione scalare media è definita
come la variazione di velocità nell’intervallo di tempo considerato. Accelerazione scalare media:
a = (v2 - v1) / (t2 - t1)
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Accelerazione scalare istantanea (1)
Se si considerano intervalli di tempo molto piccoli (t2 à t1) l’accelerazione diventa istantanea. Se la velocità istantanea è costante l’accelerazione è nulla.
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Ricapitoliamo le definizioni:
Velocità scalare media:
v = (x2 - x1) / (t2 - t1) Accelerazione scalare media: a = (v2 - v1) / (t2 - t1) Velocità ed accelerazioni istantanee di ottengono per
t2 - t1à0
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Moto Uniforme (1)
Velocità scalare istantanea v = cost. Poiché è sempre: v2 = v1
a = (v2 - v1) / (t2 - t1) = 0 (MOTO UNIFORME)
Possiamo anche scrivere: v2 = v1 = v = cost Ricordiamo: v = (x2 - x1) / (t2 - t1) Consideriamo un generico istante di tempo t v = (x - x1) / (t - t1)à x = x1 +v(t - t1)
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MOTO UNIFORME
Tempo t [sec]
velocità v [m/s] a = 0, v = cost, x = x1 +v(t - t1)
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MOTO UNIFORME
Tempo t [sec]
spazio x [m] a = 0, v = cost, x = x1 +v(t - t1)
x1
t1
v = tgα α
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Moto Uniforme (2)
x = x1 +v(t - t1)
Origine O
x1 al tempo t1 x = x1 +v(t - t1)
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Moto Uniformemente Accelerato (1)
Accelerazione scalare istantanea a = cost. Al tempo t:
a = (v - v1) / (t - t1) à v = v1 +a(t - t1)
Per comodità poniamo: t1 = 0 e v1 = v0 v = v0 +at Calcoliamo lo spazio percorso dopo t secondi: x = x0 +vMEDIAt ; con vMEDIA = (v+v0)/2 x = x0+(v+v0)t/2= x0+(v0+at+v0)t/2= = x0+v0t+at2/2