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25/03/2015
1
Prof. Douglas G. Macharet [email protected]
Introdução à Robótica Descrição espacial e Transformações (1/2)
Introdução
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 2
25/03/2015
2
Introdução
Posições e Orientações
Partes, ferramenta e do próprio manipulador
É necessário adotar uma convenção geral
Sistema de coordenadas geral
E os sistemas de coordenadas locais?
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 3
Introdução
Descrever corpos rígidos no espaço 3D
Formulação matemática consistente
Sistema de coordenadas universal
Transformações entre os referenciais
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 4
Objetivos
25/03/2015
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Introdução
Entidade física
Forma e dimensões (tamanho) não se alteram
Distâncias relativas das partículas não se alteram
De maneira geral (na prática)
Movimentos e deformações intrínsecas são
desprezíveis comparado ao movimento total
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 5
Corpo rígido
Introdução
Vetores e Matrizes
Letra Maiúscula
Escalares
Letra Minúscula
Referenciais
Sobrescrito e Subscrito precedentes
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 6
Notação
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Representação
Descrição de posição
Descrição de orientação
Descrição de sistema de referência
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 7
Representação
Um vetor localiza um ponto no espaço 3D
O vetor deve conter informações sobre qual
sistema de coordenadas ele está definido
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 8
Descrição de posição
z
y
x
A
p
p
p
P
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Representação
Um sistema de coordenadas é representado
por uma letra maiúscula entre chaves, ex. {A}
Vetores unitários que indicam as principais
direções do sistema de coordenadas usam a
notação “chapeu” (^)
Eixos principais
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 9
Descrição de posição
Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 10
Descrição de posição
AAA
AAA
AAA
YXZ
XZY
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
0ˆˆ
0ˆˆ
1ˆˆˆ
AA
AA
AAA
ZX
YX
XXX
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Representação
Descrever um corpo rígido utilizando um
ponto pode não ser muito representativo
É importante representar a orientação
Descrita a partir de um sistema de
coordenadas afixado no próprio corpo em
relação a outro sistema de coordenadas
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 11
Descrição de orientação
Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 12
Descrição de orientação
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Representação
Matriz de rotação de {B} em relação a {A}
: Coordenada X do sistema {B} descrita
no sistema {A}
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Descrição de orientação
333231
232221
131211
ˆˆˆ
rrr
rrr
rrr
ZYXR B
A
B
A
B
AA
B
B
A X
Representação
Cossenos direcionais (diretores)
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 14
Descrição de orientação
ABABAB
ABABAB
ABABAB
A
B
ZZZYZX
YZYYYX
XZXYXX
R
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
coscosˆˆˆˆ ABAB XXXX
1ˆˆ AB XX
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Representação
Matriz de rotação de {A} em relação a {B}
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 15
Descrição de orientação
BABABA
BABABA
BABABA
A
B
A
B
A
BB
A
ZZZYZX
YZYYYX
XZXYXX
ZYXR
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆ
Representação
Isso sugere que o inverso de uma matriz de
rotação é igual à sua transposta
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 16
Descrição de orientação
TA
B
B
A RR
T
A
B
T
A
B
T
A
B
B
A
B
A
B
AA
B
Z
Y
X
ZYXR
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
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Representação
Matriz ortogonal
Colunas (ou linhas) são vetores ortonormais
A inversa é igual a sua transposta
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Descrição de orientação
3ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
IZYX
Z
Y
X
RR B
A
B
A
B
A
T
B
A
T
B
A
T
B
A
A
B
TA
B
TB
A
B
A
A
B RRR 1
Representação
Sistema de coordenadas que, além da
orientação, possui o vetor posição da sua
origem em relação a outro frame
Posição: frame em que a matriz de rotação é
a matriz identidade
Orientação: frame com vetor posição nulo
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 18
Descrição de um referencial (frame)
},{}{ BORG
AA
B PRB
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Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 19
Descrição de um referencial (frame)
},{}{ AORG
UU
A PRA
},{}{ BORG
UU
B PRB
},{}{ CORG
AA
C PRC
AORG
U P
BORG
U P
CORG
AP
Representação
Existem diversos sistemas de referências
Sistema de coordenadas do mundo
Sistema de coordenadas das juntas
Sistema de coordenadas de um objeto
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 20
Descrição de um referencial (frame)
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Representação
Base, Wrist, Tool, Station, Goal
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Descrição de um referencial (frame)
Representação
Como descrever a posição de um ponto no
referencial {A} dada a descrição em {B}?
Mapeamento entre referenciais
Utilizados para mudar descrições de um
referencial para outro referencial
Translação e Rotação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 22
Mapeamentos
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Representação
Referenciais com a mesma orientação (sem
rotação relativa), porém origens diferentes
O vetor define um mapeamento
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Mapeamentos – Translação
BORG
ABA PPP
BORG
AP
Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 24
Mapeamentos – Translação
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Representação
Dados 2 referenciais {A} e {B} com mesma orientação,
porém a origem de {B} está deslocada 7 unidades da
origem de {A} ao longo do eixo e 2 unidades ao longo
do eixo . Dado o ponto , defina e .
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 25
Mapeamentos – Translação (Exemplo)
AX
AY
TBP 534
PB PA
BORG
AP
TBORG
AP 027
5
5
11
0
2
7
5
3
4
BORG
ABA PPP
Representação
Referenciais com a mesma origem, porém
com orientações diferentes
Colunas da matriz de rotação são vetores
unitários e mutuamente ortogonais, logo
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 26
Mapeamentos – Rotação
T
A
B
T
A
B
T
A
B
B
A
B
A
B
AA
B
Z
Y
X
ZYXR
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆTB
A
B
A
A
B RRR 1
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Representação
Projeções do vetor sobre os eixos (vetores
unitários) do seu referencial
Substituindo
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Mapeamentos – Rotação
PZp
PYp
PXp
B
A
B
z
A
B
A
B
y
A
B
A
B
x
A
ˆ
ˆ
ˆ
PRP BA
B
A
Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 28
Mapeamentos – Rotação
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Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 29
Mapeamentos – Rotação
cos0
cos0
001
,
sen
senRx
wzvzuz
wyvyuy
wxvxux
x
ikikik
ijijij
iiiiii
R ,
Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 30
Mapeamentos – Rotação
cos0
cos0
001
,
sen
senRx
cos0
010
0cos
,
sen
sen
Ry
100
0cos
0cos
,
sen
sen
Rz
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Representação
Um referencial {B} está rotacionado de em relação
ao eixo do referencial {A}. Dado o ponto , defina
e .
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Mapeamentos – Rotação (Exemplo)
AZ
0
2
0
PB
PB
PA
RA
B
000,0
732,1
000,1
PRP BA
B
A
30
000,1000,0000,0
000,0866,0500,0
000,0500,0866,0
RA
B
Representação
Referenciais com origens e orientações
diferentes. Considera-se duas etapas:
Descrever o ponto em relação a um
referencial intermediário, com mesma
orientação que {A}, mas origem igual a {B}
Somar a diferença entre as origens
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 32
Mapeamentos – Translação+Rotação
PB
BORG
ABA
B
A PPRP
Translação
Rotação
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Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 33
Mapeamentos – Translação+Rotação
Representação
Composição de translação e rotação se
torna complexa ao agrupar várias operações
Matrizes de transformações homogêneas
Forma mais elegante de compor transformações
Rotações, Translações e Escala
Qualquer dimensão do espaço
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 34
Coordenadas homogêneas
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Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 35
Transformação homogênea
110001
PPRP B
BORG
AA
B
A
BORG
ABA
B
A PPRP PTP BA
B
A
Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 36
Transformação homogênea
1000
987
654
321
zrrr
yrrr
xrrr
Translação Rotação
Perspectiva Escala
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Representação
Seja {B} um referencial rotacionado em torno de ,
e transladado 10 unidades ao longo de e 5 unidades ao
longo de . Dado o ponto , defina e .
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Transformação homogênea (Exemplo)
AZ
0
7
3
PB
PB PATA
B
000,0
562,12
098,9
PTP BA
B
A
30
1000
0,0000,1000,0000,0
0,5000,0866,0500,0
0,10000,0500,0866,0
TA
B
AX
AY
Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 38
Transformações compostas
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Representação
O referencial {C} é conhecido em relação a
{B}, e o referencial {B} é conhecido em
relação a {A}. Como obter , a partir de ?
1)
2)
Pode-se então, definir:
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 39
Transformações compostas
PA PC
PTP CB
C
B
PTP BA
B
A
TTT B
C
A
B
A
C
PTTP CB
C
A
B
A
Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 40
Transformações compostas
1000
BORG
A
CORG
BA
B
B
C
A
BA
C
PPRRRT
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Representação
Dado um referencial {B} conhecido em
relação a {A}, ou seja, é conhecido
Como fazer se queremos o contrário?
Descrição de {A} em relação a {B}
Deseja-se obter
Pode-se calcular a inversa da matriz 4x4
Não é o mais eficiente computacionalmente
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 41
Invertendo uma transformação
TA
B
TB
A
Representação
Como ser mais eficiente?
Estrutura inerente à transformação
Para se obter ,deve-se calcular e
a partir de e
Como visto anteriormente
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 42
Invertendo uma transformação
TB
A AORG
BPRB
A
RA
B BORG
AP
TA
B
B
A RR
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Representação
A descrição de em {B} é dada por
O lado esquerdo da equação deve ser zero
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 43
Invertendo uma transformação
BORG
AP
AORG
B
BORG
AB
ABORG
AB PPRP )(
BORG
ATA
BBORG
AB
AAORG
B PRPRP
Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 44
Invertendo uma transformação
1000
BORG
ATA
B
TA
BB
A
PRRT
1 TT A
B
B
A
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Representação
Seja {B} um referencial rotacionado em torno de ,
e transladado 4 unidades ao longo de e 3 unidades ao
longo de . Dado defina .
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 45
Invertendo uma transformação (Exemplo)
AZ
TA
B
30
1000
0,0000,1000,0000,0
0,3000,0866,0500,0
0,4000,0500,0866,0
TA
B
AX
AY TB
A
1000
0,0000,1000,0000,0
598,0000,0866,0500,0
964,4000,0500,0866,0
TB
A
Representação
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 46
Invertendo uma transformação (Exemplo)
AX
AY
BXBY
{A}
{B}
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Representação
O mapeamento não altera a posição do
ponto, ele apenas muda a descrição de um
ponto de um sistema de coordenadas para
outro!
Introdução à Robótica - Descrição espacial e Transformações 47
Mapeamento