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Introduction to pattern-formation
목표 : 맛보이기 , 개념설명
정성옥 (Seong-Ok Jeong)
* 이 version 은 약식 version 으로 정식 version에 있는 수식들과 그림들이 생략되고 , 개요만 나와 있습니다 . (2 장부터 5 장까지 )
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1. What is Pattern Formation?
2. Basic Concepts
2.1 dissipative structure
2.2 symmetry breaking
2.3 primary instability
2.4 mode interaction
2.5 triad interaction
2.6 quasi-crystal
2.7 slaving principle
2.8 parametric resonance
2.9 self-organization
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3. Classification of systems (bistable, oscillatory, excitable)
4. Amplitude Equation
5. Some Theoretical Aspects
5.1 amplitude eq. 의 application
5.2 secondary instabilities
5.3 defects
5.4 front dynamics
6. Simple models (CO,CML,CA)
7. Future Aspects (ex. Biology)
8. Summary ( 중요 개념 15 가지 정리 )
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레일리 버나드 대류
마랑고니 패턴
( 식당국 , 라면국물 )
패러데이 패턴
super-lattice
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Spatiotemporal patterns arise in numerous physical, chemical, and biological systems.
[F. Melo, P. B. Umbanhowar, H. L Swinney PRL 1995] Oscillon[Nature 1996]
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Decoration of kinks
P. Umbanhowar, Physica A (1998)
-peculiar to granular material
-phase front instability
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Fibrillation of Heart
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2. Basic concepts
2.1 dissipative structure - 외부에서 공급되는 에너지가 구조 유지에 쓰임
2.2 symmetry breaking
2.3 primary instability - 특정한 모드가 자람 . - bifurcation (supercritical, subcritical) : subcritical 의 경우는 hysterisis
2.4 Mode interaction
2.5 triad interaction - up-down symmetry 가 깨진 system 에서 k1+k2+k3=0 인 세 모드가 공명 .
2.5 quasi-crystal - 예를 들어 동시에 8 개의 모드가 생겨나면 ?
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Penrose tiling - Quasi-Crystal
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2.7 slaving principle - 빠르게 decay 하는 모드는 느리게 성장하는 mode 에 빠르게 적응한다 .
- ex) mode projection method
2.8 parametric resonance
- 외부 driving 과 internal mode 의 resonance.
2.9 self-organization
3. Classification of systems
3.1 bistable - trigger wave (front propagation)
3.2 oscillatory - plane waves
- center or target
- archimedian spirals
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3.3 excitable - ex) neuron, heart, BZ reaction
- trigger wave, spiral formation
- “drift”, “resonance”, “meandering”
- target wave (impurity 때문 ), vortex filament
- “activator-inhibitor model”
- cf) “turing instability” : long-range inhibitor diffusion
-> “quick long-range negative feedback”
-> 그러면 bistable, excitable, oscillatory 별 관계 없이
stable stationary dissipative patterns such as spikes or broad strata.
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4. Amplitude equation - slow, fast variable 분리 후 perturbation 전개하면 secular term 없애면서 나온
- universality 는 강력한 tool 이다 .
- ex) RGL, CGL (Benjamin-Feir instability)
- 그러나 threshold 근처에서만 성립함을 기억하자 .
5. Some theoretical aspects
5.1 amplitude eq. 의 application
5.2 secondary instability - “phase equation” (cf. Kuramoto-Sivashinsky eq.)
- ex) zigzag & Eckhaus instability
- “Busse baloon”
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5.3 Defects - codimension of defect = physical space dimension - defect dimension
- Codim(D) = nonattracting set 의 unstable manifold 의 dim.
- 즉 2 차원 상의 scalar filed 에서는 point defect 가 불가능하다 !
- defect 들도 dynamics 가 있다 !
5.4 Front dynamics - “Ising wall” (immobile), “Bloch wall” (chirality 에 비례한 속도 )
- “Neel point”
- “labyrinth formation”
- snow flake : “Mullins-Sekerka instability”, latent heat 관여
- flame
5.5 Simple models - Maps are proven to be powerful tools! (O.D. 의 경우 특히 )
state time-step space
CA: d d d
CML: c d d
CO: c c d (d:discrete, c:continuous)
SCTM: c d d
PDE: c c c
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Patterns in granular systems are formed by discrete events – collisions between sand and container.
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t=(n-1)T
t=(n+1)T
t=nT
),(),(: 11 iiii XXXXF
]),[ ],,[ (]),[ ],,[ (: TtrhTtrhtrhtrhF
Patterns in granular system can be described by models
discrete in time.
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t=(n-1)T
t=(n+1)T
t=nT
),(),(: 11 iiii XXXXF
]),[ ],,[ (]),[ ],,[ (: TtrhTtrhtrhtrhF
The variable ],[ trh
is not important in the formation of patterns in
vibrated granular system
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What kind of model systems can we use to capture the essential features of complex systems?
0 0
0
0 0
for
|| for
for
)(
hhh
hhh
hhh
hF
02
2tan)( hhhG
rdtrhtrhWS
trh rr
2),(),(1
),(
))(()()(1 rhGrhFrh nnn
S.-O.Jeong, H.-T.Moon, Phys. Rev. E vol.59 p.850 (1999)S.-O.Jeong,H.-T.Moon,T.-W.Ko, Phys. Rev. E vol.62 p.7778 (200
0)S.-O.Jeong,T.-W.Ko,H.-T.Moon, Physica D vol.164 p.71 (2002)
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Bifurcation diagram of the model
Nucleation of oscillons
A localized structure ‘oscillon’ of the model
(a) The peak phase
(b) The crater phase
2.13
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Skew-varicose Crossroll
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Kink Solutions
Dynamics of kinks : We can use simple models to study some specific features of complex systems. (Universality)
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7. Future Aspects
7.1 Various New Viewpoints
7.2 information processing
7.3 pattern control
7.4 biology-oriented studies
- noise
- time delay
- network
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F. Melo, PRL(1993)
Localized excitations form
patterns!
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Nucleation of oscillons
Oscillon ‘molecules’ and ‘crystal’[P.B.Umbanhowar, Nature 1996]
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(b) The nucleation of the oscillon(a) Oscillon
Nucleation of oscillons
2.13 123.14
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Stripes and oscillons
0.15 0.15
3.13
Global stripes Growing pattern
< In the hysteresis region > Oscillon chains Oscillon lattice
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Time-Delay
• Interaction is not instantaneous.• In some systems such as biological systems, time-delay is co
mparable to the characteristic time of systems.• Recently, noting that an inclusion of time-delay is more natu
ral in realistic systems, several authors have investigated the effects of time delay.
• In case of coupled oscillators, previous results: - Uniform delay induces multistability, desynchronization, and
amplitude death.
- A delay proportional to a distance between elements could produce a propagating structure in 1-dim. coupled oscillators.
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Time Delay Effects
M.K.S.Yeung and S.H.Strogatz, Phys. Rev. Lett. Vol.82, 648 (1999)
j
iji ttN
Kt )()( sin)(
S.-O.Jeong, T.-W.Ko, and H.-T.Moon, Phys. Rev. Lett. Vol. 89, 154104 (2002)
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22 1)(N and )()(|),(),(|
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lk rrljkilkjir
References
I. E. Niebur, PRL (1991)
II. S. Kim, PRL (1997)
III. D.V.R.Reddy, PRL (1998)
IV. S.R.Campbell, PhysicaD (1998)
V. M.K.S.Yeung, PRL (1999)
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Coupled Phase Oscillators with Time Delay
the phase of a oscillator located on in a 2-dim. discrete space
Time DelayIntrinsic frequency Coupling term
We start with the following coupled oscillator model equation:
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Synchronization Frequency vs Time Delay
Patterns
Planar Oscillations
Only planar solutions occur.
Planar solutions as well as
patterns are possible.The planar solution is not
available but patterns occur.
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Phase diagram of the model
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Typical Patterns
The space discreteness of the system admits topological defects, so other phase configurations are also possible.
Lattice plane
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H. G. Schuster and P. Wagner, Prog. Theo. Phys. Vol. 81, 939 (1989)
M.K.S. Yeung and S. H. Strogatz, Phys. Rev. Lett. Vol. 82, 648 (1999)
S.-O. Jeong, T.-W. Ko, and H.-T. Moon, Phys. Rev. Lett. Vol. 89, 154104 (2002)
vr /0
In the systems of two-coupled oscillators or globally coupled oscillators with uniform time-delays, the dynamics are determined by the value of .
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in-phase locking
anti-phase locking
b t
( )a t
( )a t
( )b t
( )b t
( )b t( )a t
a t
a t
a t b t
b t
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8. Summary (중요개념정리 )(1) pattern formation (2) dissipative structure
(3) primary instability (4) secondary instability
(5) mode interaction (6) triad interaction (ud sym)
(7) quasi-crystal (8) slaving principle
(9) parametric resonance
(10) bistable, oscillatory, excitable
(11) turing pattern (12) Am Eq. Ph. Eq. Op. Eq.
(13) SH, CGL, BF-instability
(14) CA, CML, CO, Time-map
(15) Time-delay induced pattern formation