introduccion sistemas mimo´ - ocw.unican.es · capacidad mimo a la hora de estudiar la capacidad...

Master y Doctorado en Tecnologıas de la Informacion yComunicaciones en Redes Moviles

Introduccion sistemas MIMO

I. Santamarıa

Introduccion Capacidad Multiplexing-diversity tradeoff Diseno Codigos ST Conclusiones

Indice

1 Introduccion

2 Capacidad en sistemas MIMO

3 Multiplexing-diversity tradeoff

4 Diseno de codigos espacio-temporales

5 Conclusiones

Introduccion sistemas MIMO I. Santamarıa


Sistema MIMO (multiple-input multiple-output)

Space-time

encoding

Space-time

precodingM

CodingInterleav.Symbolmapping M

bits Symbols

MIMOCHANNEL

Space-time

decoding

Space-time

processingM M

DecodingDeinterl.Symboldemap.

bits

Channelestimation

TRANSMITTER RECEIVER



Ventajas de un sistema MIMO1 Ganancia por diversidad espacial2 Ganancia por multiplexado espacial3 Ganancia de array/Ganacia de codificacion4 Reduccion de interferencias

Las tecnicas MIMO forman parte ya de todos losestandares actuales:

1 Redes locales WLAN: 802.11n2 Redes celulares: HSDPA+, 3GPP-LTE (Long-Term

Evolution)3 Redes de acceso banda ancha inalambrico: WiMAX

(802.16e)



Canal MIMOCaracterıstica esencial: fading

page 8Channels for future wireless systemsRVK 2005

Double-directional impulse response

For each multipath component predict:

Complex amplitude, delay, angle-of-arrival, angle-of-departure, polarization,

all as a function of time Path loss

Reflexion

Difraccion

LOS/NLOS

Scattering

Modelo estandar: i.i.d. Rayleigh, flat fading

Hw = [h1 · · ·hnT ] =

h1,1 · · · h1,nT

.... . .

...hnR,1 · · · hnR,nT

hi,j ∼ CN(0, 1) canal entre la i-th antena receptora y la j-thtransmisora =⇒ E[‖H‖2

F ] = nT × nR.



Tx/Rx correlacionModelo Kronecker

H = R1/2rx HwR1/2

tx

Rh = RTrx ⊗Rtx

Donde ⊗ denota el producto de Kronecker, es decir si A es unamatriz n× p

A =

a11 · · · a1p

......

...an1 · · · anp

y B es una matriz m× q, entonces A⊗B es una matriz nm× pqconstruida de la forma

A⊗B =

a11B · · · a1pB...

......

an1B · · · anpB

.



La matriz de correlacion del canal Rh, ademas de como elproducto de Kronecker entre las matrices de correlacion enrecepcion y en transmision, tambien se puede escribir como

Rh = E[vec(H)vec(H)H ],

donde la vectorizacion de una matriz significa construir unvector apilando sus columnas; es decir, si

H = [h1 h2 . . . hnT ]

es nR × nT , entonces

vec(H) = [hT1 hT

2 . . . ,hTnT

]T

es un vector nRnT × 1.



Ricean (LOS) channels

H = Hm + Hw

K =‖Hm‖2

F

Tr(Rh)

Modelo general

H = Hm + R1/2rx HwR1/2

tx

Generamos los coeficientes del canal de acuerdo avec(H) ∼ CN(vec(Hm),RT

rx ⊗Rtx)



Selectividad temporalTiempo de coherencia (Doppler spread):

|t1 − t2| > Tc =⇒ E[vec(H(t1))vecH(H(t2))] = 0

Selectividad frecuencialAncho de banda de coherencia (Delay spread):

|f1 − f2| > Bc =⇒ E[vec(H(f1))vecH(H(f2))] = 0

H(z) =L∑

l=0

Hlz−l



Indice

1 Introduccion




5 Conclusiones



Capacidad MIMOA la hora de estudiar la capacidad de un canal MIMO hayque distinguir varias situaciones en funcion de como varıeel canal durante la transmision:

1 Canal constante: no hay fading → Capacidad instantanea

C(H)

2 Canal ergodico: hay fading pero podemos codificar a lolargo de un numero suficiente de realizaciones del canal →Capacidad ergodica

Ce = E[C(H)]

3 Canal no ergodico o canal con block-fading: hay fading ysolo podemos codificar en una unica realizacion del canal→ Capacidad outage

Cout,p = r ⇒ Pr(r > C(H)) = p



Y del conocimiento que dispongamos del canal en el Txy/o en el Rx:

1 Conocimiento perfecto del canal Perfect Channel StateInformation en el Tx-Rx: CSIT-CSIR.

2 Conocimiento estadıstico del canal Channel DistributionInformation en el Tx-Rx: CDIT-CDIR.

Modelo ZMSW (zero-mean spatially white)

H = Hw

Modelo CMI (channel mean information)

H = Hm + Hw

Modelo CCI (channel covariance information)

H = R1/2rx HwR

1/2tx

Modelo CMCI (channel mean and covariance information)

H = Hm + R1/2rx HwR

1/2tx

Un modelo habitual es CDIT(ZMSW)+CSIR.Introduccion sistemas MIMO I. Santamarıa


Canal constante, CSIT + CSIR

En este caso la capacidad en bps/Hz de un canal MIMO H dedimensiones nR × nT viene dada por

C(H) = maxQ:Tr(Q)=P

log2 det(InR + HQHH

),

donde Q = E[xxH ] es la matriz de covarianza de las senaltransmitida, cuya potencia total de transmision es P .

Este problema de optimizacion se resuelve facilmenteconsiderando la descomposicion del canal MIMO enr = mın(nR, nT ) canales SISO ortogonales mediante la SVD

H = UΛVH =r∑

i=1

λiuivHi .



Podemos realizar una transmision independiente en cada unode los canales si:

1 Precodificamos en el Tx con la matriz de autovectores porla derecha V (al ser unitaria preserva la potenciatransmitida) x = Vx

2 Detectamos en el receptor con la matriz de autovectorespor la izquierda UH (al ser unitaria el ruido sigue siendoblanco y gausiano)

y = UH(Hx + n) = UHUΛVHVx + UHn = Λx + n

PrecoderV

x~ xVx ~ =HVUΛH =

Channel ⊕

2σ

HUDetector

nxHy += nxΛy ~~ ~ +=



El sistema es equivalente a r (el rango de la matriz MIMO)canales SISO ortogonales

M

21λ ⊕

2~σ

1~x

⊕rx~

22λ ⊕

2~σ

2~x

2rλ

1~y

2~y

ry~2~σ



Cada uno de los canales tiene una enegıa λ2i

yi = λixi + ni, i = 1, · · · , r

Son los denominados modos del canal MIMO oeigenmodes.Para maximizar la capacidad el transmisor debe transmitiruna potencia distinta por cada uno de ellos (waterfilling)

Pi =(

µ− 1λ2

i

)+

donde x+ = max(x, 0) y µ es el waterfill level para cumplirla restriccion

∑ri=1 Pi = P .

Resultado final: la capacidad del canal MIMO con CSIT yCSIR se alcanza transmitiendo codewords gausianas concovarianza Q = Vdiag(P1, · · · , Pr, 0, · · · , 0)VH

C(H) =r∑

i=1

(log(µλ2

i ))+



Canal constante, CSIR+CDIT(ZMSW)En este caso la capacidad se maximiza cuando se transmitencodewords gausianas con matriz de covarianza Q = P

nTI.

Es decir, la transmision ha de ser isotropa: por igual en todaslas direcciones del espacio.La capacidad instantanea viene dada por

C(H) = log2 det(InR +

P

nTHHH

).

Descomponiendo el canal MIMO en r = mın(nT , nR) canalesSISO ortogonales, la capacidad instantanea puede escribirsede manera alternativa como

C(H) =r∑

i=1

log(

1 +P

nTλ2

i

)que muestra el incremento lineal de capacidad con r (gananciade multiplexado).



Canal ergodico

Podemos codificar a lo largo de varias realizaciones del canal(independientes entre sı → canal sin memoria)

L L L

1H 2H L nH

Channel

Encoder

Tiene sentido entonces definir la capacidad ergodica como laesperanza matematica de la capacidad instantanea:

Ce = E[C(H)] = maxQ:Tr(Q)=P

E[log2 det

(InR + HQHH

)]Introduccion sistemas MIMO I. Santamarıa


Como en el caso del canal constante podemos distinguir variassituaciones en funcion del conocimiento que se tenga del canalen el Tx y/o Rx

CSIT+CSIR: para alcanzar la capacidad debemostransmitir codewords gausianas y hacer waterfilling enpotencia sobre los modos del canal (para cadarealizacion), como en el caso del canal constante

QH = VHdiag(P1, · · · , Pr, 0, · · · , 0)VHH.

Este resultado es valido independientemente de ladistribucion del canal. La capacidad ergodica es

Ce(H) = EH

[r∑

i=1

(log(µλ2

i ))+]

.

CDIT+CSIR: en funcion del modelo de canal tenemos lossiguientes casos:



Caso 1: modelo ZMSW H = Hw ⇒ para alcanzar lacapacidad debemos transmitir codewords gausianas demanera isotropa Q = P

nTI

Ce(H) = EH

[log2 det

(InR +

P

nTHHH

)].

Existen expresiones cerradas y/o aproximaciones muybuenas para distintas distribuciones del canal (Rayleigh,Nakagami,...).Caso 2: modelo CMI H = Hm + Hw ⇒ para alcanzar lacapacidad debemos transmitir codewords gausianas yhacer waterfilling sobre los modos del canal medio(autovectores de HH

mHm).



Caso 3: modelo CCI (con correlacion solo en el Tx)H = HwR1/2

tx ⇒ para alcanzar la capacidad debemostransmitir codewords gausianas y hacer waterfilling sobrelos modos de Rtx

Q = VRdiag(P1, · · · , Pr, 0, · · · , 0)VHR ,

con Rtx = VRΣVHR .

Caso 4: CMCI (con correlacion solo en el Tx)H = Hm + HwR1/2

tx ⇒ las direcciones optimas detransmision son funciones complicadas de Rtx y Hm; noexiste una solucion cerrada (conocida).



El valor de la CSIT

Canal Rayleigh i.i.d. (ZMSW).

0 5 10 15 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12C

apac

ity (

bps/

Hz)

SNR (dBs)

4× 4

2× 2

CSIT+CSIRCSIR



Efecto de la correlacion en transmision en un canal 4× 4.

0 5 10 15 20 25

2

4

6

8

10

12

SNR (dBs)

Cap

acity

(bp

s/H

z)

CSIT+CSIRCSIR ZMSW

Tx correlation ∼ 0.9



Canal block-fading

El canal permanece constante durante L usos, pero nopodemos codificar a lo largo de varios bloques (por ejemplo entransmisiones limitadas por retardo)

L L L

L nH1H 2H

Channel

Encoder

Channel

Encoder

Channel

Encoder

Para este modelo la capacidad de Shannon es estrictamentecero. Existe siempre una probabilidad no nula de que el canaleste en situacion de fuera servicio (outage)

Cout,p = r ⇒ Pr(r > C(H)) = p



Indice

1 Introduccion




5 Conclusiones



Multiplexing-diversity tradeoff

Para canales MIMO existe un compromiso fundamental entrerobustez y tasa que se conoce como multiplexing-diversitytradeoff [Zheng and Tse, IEEE Trans. IT, 2003].Consideramos un canal block-fading aunque la misma idea esaplicable a canales ergodicos.

La ganacia de multiplexado (multiplexing gain) se definecomo

rmax = lımρ→∞

Cout,p

log2(ρ)siendo ρ la SNR en unidades naturales.Nota: la FER (frame error rate) del sistema (esto es, surobustez) es fija e igual a p⇒ si usamos codigossuficientemente buenos, la Pe esta dominada por aquellasrealizaciones en que el canal esta en un fading profundo yno podemos transmitir.



0 5 10 15 20 25

5

10

15

20

SNR (dBs)

Cou

t,0.0

1 (bp

s/H

z)

pendiente =4

pendiente =2

MIMO (4×4)MIMO (2×2)

Para un canal MIMO i.i.d. con deteccion optimarmax = mın(nT , nR).

Por cada 3dB de incremento en SNR, para una Pe (robustez) fijapodemos aumentar la tasa en mın(nT , nR) bps/Hz.

¡Es un resultado asintotico!



La ganacia de diversidad diversity gain se define como

dmax = − lımρ→∞

log2(Pe(ρ, r))log2(ρ)

siendo nuevamente ρ la SNR en unidades naturales.En este caso hemos fijado la tasa: porcentaje de tramasen las que transmitimos por debajo de la capacidadinstantanea y, por lo tanto, pueden ser decodificadas conPe arbitrariamente baja.Estamos identificando Pe con FER.



Curvas de FER (Pe) para una tasa fija de r = 2 bps/Hz.

0 5 10 15 20 25 3010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

SNR (dB)

FE

R

pendiente = 4

pendiente = 1

2×21×1

La maxima diversidad es dmax = nT nR.

Por cada 3dB de incremento en SNR, para un tasa detransmision fija podemos reducir la Pe por un factor 2nT nR .

Al igual que antes, es un resultado asintotico.



La curva de compromiso entre ganacia de multiplexado yganacia de diversidad es lineal a tramos (r, d(r)) de la forma:

d(r) = (nR − r)(nT − r)

nn RT ×

d (d

iver

sity

gain

)

…0 1 2 )min( RT ,nnr (multiplexing gain)

Conclusion: Si “gastamos” la SNR en aumentar la robustez delsistema, reduciendo la FER todo los posible d = nT nR,entonces hemos de mantener la tasa constante r = 0; yviceversa.



Indice

1 Introduccion




5 Conclusiones



Diseno de codigos espacio-temporalesSupongamos: a) Un sistema MIMO con nT antenas en Txy nR en recepcion y b) El canal MIMO es Rayleigh i.i.d. yse mantiene constante durante la transmision de todo unbloque de duracion L slots (L ≥ nT ).Queremos disenar un conjunto de palabras codigoespacio-temporales para la transmision

Si ∈ CnT×L, i = 1, · · · , N.

A esta categorıa pertenecen los denominados codigoespacio-temporales por bloques (space-time block codes oSTBCs), que son unos de los codigos mas ampliamenteutilizados en transmisiones MIMO y el objeto de nuestroestudio posterior.Las expresiones obtenidas nos permitiran introducir losconceptos de ganacia de diversidad (nuevamente) y deganancia de codificacion.



La senal recibida es

X = HSi + N

siendo N ∼ CN(0, σ2InR×L).Las palabras codigo estan normalizadas para que laenergıa media por sımbolo complejo transmitido sea 1. LaSNR por antena Tx es ρ/nT = 1/σ2.El modelo anterior incluye la codificacion solo espacial,Si ∈ CnT×1 (a veces denominada vector coding); o solotemporal Si ∈ C1×L.¿Como disenamos las palabras codigo Si? ¿Que criteriosdeben cumplir para extraer las ventajas del sistemaMIMO?



Minimizacion de la Pe por parejas

Como criterio de diseno empleamos la Pe por parejas(pairwise), es decir, la probabilidad de transmitir la palabra Si ydecidir erroneamente la palabra Sj , condicionada a larealizacion del canal H

P (Si → Sj |H).

La probabilidad anterior es la probabilidad del evento

||X−HSi||2 ≥ ||X−HSj ||2,

que se puede reescribir como

||N||2 ≥ ||N−H(Sj − Si)||2 =

= ||N||2 + ||H(Sj − Si)||2 − 2<{Tr[NHH(Sj − Si)

]}.



Si ahora llamamos d2H(Si,Sj) = ||H(Sj − Si)||2 y

g = 2<{Tr[NHH(Sj − Si)

]}, podemos escribir de manera

mas compacta

P (Si → Sj |H) = P(g ≥ d2

H(Si,Sj)).

Pero g es una combinacion lineal de gausianas, y se puedecomprobar facilmente que g ∼ N(0, 2σ2d2

H(Si,Sj)), por lo tanto

P (Si → Sj |H) = Q

(√d2

H(Si,Sj)2σ2

).

Aplicando ahora la desigualdad Q(x) ≤ e−x2

2 , podemos acotarla Pe pairwise como

P (Si → Sj |H) ≤ e−d2H(Si,Sj)/4σ2

.



La distancia d2H(Si,Sj) puede reescribirse como una forma

cuadratica de la siguiente manera

d2H(Si,Sj) = Tr

(EH

i,jHHHEi,j

)= Tr

(HEi,jEH

i,jHH)

=

= vec(HH)H(InR×nR ⊗Ei,jEH

i,j

)vec(HH) =

= vec(HH)H (InR×nR ⊗Gi,j) vec(HH)

donde Ei,j = Sj − Si es una matriz nT × L formada como ladiferencia entre las dos matrices de codigo y Gi,j = Ei,jEH

i,j

(que es Hermıtica y, por lo tanto, con autovalores mayores oiguales a cero).



En resumen, hasta ahora hemos visto que la Pe pairwise parauna determinada realizacion del canal puede acotarse como

P (Si → Sj |H) ≤ e−vec(HH)H(InR×nR⊗Gi,j)vec(HH)/4σ2

,

y promediando en todas las realizaciones tenemos que

P (Si → Sj) ≤ E[e−vec(HH)H(InR×nR

⊗Gi,j)vec(HH)/4σ2],

Una expresion util

Si z ∼ CN(µ,Σ), entonces

Ez

[e−zHAz

]=

e−µHA(I+ΣA)−1µ

|I + ΣA|



De la expresion anterior se deduce que si el canal MIMO tienemedia, E[vec(HH)] = µ 6= 0, entonces la Pe decaeexponencialmente (parecido a un canal AWGN).Por otra parte, si el canal es i.i.d Rayleigh (H = Hw), entoncesµ = 0 y Σ = I, por lo que la expresion de la P e queda

P (Si → Sj) ≤ 1∣∣InRnT + 14σ2 (InR ⊗Gi,j)

∣∣ =1∣∣InT + 1

4σ2 Gi,j

∣∣nR

=r∏

m=1

(1 +

ρ

4nTλm

)−nR

,

siendo r = rank(Gi,j) y λm los autovalores de la matriz Gi,j .



Finalmente, para SNRs altas ρ >> 1 se obtiene la siguientecota

P (Si → Sj) ≤(

ρ

4nT

)−rnR(

r∏m=1

λm(Gi,j)

)−nR

.

Definiendo ahora:1 Ganacia de codificacion:

Gc = mınSi 6=Sj

(r∏

m=1

λm(Gi,j)

)1/r

= mınSi 6=Sj

|Gi,j |1/r.

2 Ganacia de diversidad:

Gd = nR mınSi 6=Sj

rank(Gi,j).



Criterios del rango y del determinante

Pe ≤ G−Gdc

(ρ

4nT

)−Gd

-10 -5 0 5 10 15 2010-8

10-6

10-4

10-2

100

SNR (dB)

BE

R dG

cG



Un buen codigo [Tarokh, Seshadri, Calderbank, IEEE IT, 1998]Debe cumplir el criterio del rango para aprovechar toda ladiversidad del canal MIMO: el rango de la matriz diferenciaentre dos codewords cualesquiera deber ser mın(nR, nT ).Por ejemplo, con vector coding solo podemos conseguirdiversidad 1→ es necesario hacer codificacionespacio-temporal para extraer toda la diversidad del canalMIMO.Debe maximizar el mınimo determinante de la matrizdiferencia entre dos codewords distintas (criterio deldeterminante). De esta manera conseguimos ganancia decodificacion.



Indice

1 Introduccion




5 Conclusiones



Conclusiones

Un canal MIMO ofrece numerosas ventajas que puedenser aprovechadas en los nuevos sistemas decomunicaciones:

1 Diversidad: esencial en canales con fading, pendiente de lacurva de BER con la SNR (para SNRs altas), la diversidadmaxima es nT × nR.

2 Capacidad (multiplexing gain): incremento lineal de lacapacidad con r = mın(nT , nR), mediante la SVD el canalMIMO se descompone en r canales SISO, importancia delCSIT y del modelo asumido de canal.

3 Ganacia de codificacion (si disenamos bien las matricescodigo)/ Ganancia de array (procesando coherentementeen Tx y/o Rx).

Pero existen compromisos entre ellas: ganancia demultiplexado-diversidad.



Conclusiones

Para extraer toda la diversidad del sistema MIMO esnecesario emplear codigos espacio-temporales.Para disenar codigos ST que minimicen una cota superiorde la Pe por parejas hemos obtenidos los criterios delrango (ganancia de diversidad) y del determinante(ganacia de codificacion).Entre ellos, los codigos espacio-temporales por bloque(space-time block codes o STBCs) son los masampliamente empleados y los estudiaremosdetenidamente en las siguientes sesiones.


introduccion sistemas mimo´ - ocw.unican.es · capacidad mimo a la hora de estudiar la capacidad...

Documents