introducción a la representación en variable de...

ELC-33103Teoría de Control

Introducción a la Representación en Variable de

Estado Estado

Prof. Francisco M. [email protected]

Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] © 2008

TEORIA DE CONTROLIntroducción a Representación en Espacio de Estado

http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm

1. Teoría de Control Moderna

• La tendencia moderna en los sistemas de ingenieríaes hacia una mayor complejidad, debidoes hacia una mayor complejidad, debidoprincipalmente a los requerimientos de las tareascomplejas y la elevada precisión.

• Los sistemas complejos pueden tener entradas ysalidas múltiples y pueden variar en el tiempo.

• Desde 1960 se ha desarrollado la teoría de controlmoderna, que es un nuevo enfoque del análisis ydi ñ d i d l l jdiseño de sistemas de control complejos.



1. Teoría de Control Moderna

• Este enfoque nuevo se basa en el concepto deestadoestado.

• El concepto por sí mismo no es nuevo.• Ha existido durante largo tiempo en el campo

de la dinámica clásica y en otros medios.



2. Teoría Convencional vs. Moderna

• La teoría de control moderna se aplica a sistemascon entradas y salidas múltiples, que pueden sercon entradas y salidas múltiples, que pueden serlineales o no lineales.

• La teoría moderna es esencialmente un enfoque en elf qdominio del tiempo.



2. Teoría Convencional vs. Moderna

• La teoría convencional sólo se aplica a sistemaslineales con una entrada y una salida e invarianteslineales con una entrada y una salida e invariantescon el tiempo.

• La teoría de control convencional es un enfoqueqcomplejo en el dominio de la frecuencia.



3. Estado

• El estado de un sistema dinámico es el conjunto máspequeño de variables (denominadas variables depequeño de variables (denominadas variables deestado) de modo que el conocimiento de estasvariables en t ≥ t0, junto con el conocimiento de laentrada para t = t0, determina por completo elcomportamiento del sistema para cualquier tiempo t ≥tt0.

• El concepto de estado de ningún modo está limitado alos sistemas físicoslos sistemas físicos.



4. Variable de Estado

• Las variables de estado de un sistema dinámico sonlas que forman el conjunto más pequeño de variableslas que forman el conjunto más pequeño de variablesque determinan el estado del sistema dinámico.

• Si se necesitan al menos n variables x1,x2, . . . , xn,1, 2, , n,para describir por completo el comportamiento de unsistema dinámico (por lo cual una vez que seproporciona la entrada para t ≥ t0 y se especifica elestado inicial en t = t0, el estado futuro del sistema sedetermina por completo) tales n variables son undetermina por completo), tales n variables son unconjunto de variables de estado.




• Las variables de estado no necesitan ser cantidadesmedibles u observables físicamente.medibles u observables físicamente.

• Las variables que no representan cantidades físicas yaquellas que no son medibles ni observables puedenq q pseleccionarse como variables de estado.

• La libertad al elegir las variables de estado es unaventaja de los métodos de espacio de estados.




• En la práctica es conveniente elegir cantidades que semidan con facilidad para las variables de estado, si esmidan con facilidad para las variables de estado, si esposible, debido a que las leyes del control óptimorequerirán la realimentación de todas las variablesde estado con una ponderación conveniente.



5. Vector de Estado

• Si se necesitan n variables de estado para describirpor completo el comportamiento de un sistemapor completo el comportamiento de un sistemadeterminado, estas n variables de estado seconsideran los n componentes de un vector x.

• Este vector se denomina vector de estado.• El vector de estado determina de manera única el

estado del sistema x(t) para cualquier tiempo t ≥ t0,una vez que se obtiene el estado en t ≥= t0 y se

ifi l d ( )especifica la entrada u(t) para t ≥ t0.



6. Espacio de Estados

• El espacio de n dimensiones cuyos ejes decoordenadas están formados por el eje x1, el eje x2, ...coordenadas están formados por el eje x1, el eje x2, ..., el eje xn, se denomina espacio de estados.

• Cualquier estado puede representarse mediante unq p ppunto en el espacio de estados.



7. Ecuaciones de Estado

• En el análisis en el espacio de estados, hay tres tiposde variables involucrados en el modelado de sistemasde variables involucrados en el modelado de sistemasdinámicos:– Variables de entrada,– Variables de salida y– Variables de estado.

• No es única la representación de estado para unsistema determinado, excepto en que la cantidad de

i bl d t d i l l i d lvariables de estado es igual para cualquiera de lasdiferentes representaciones en el espacio de estadosdel mismo sistema



del mismo sistema.


• Suponga que un sistema de entradas y salidasmúltiples contiene n integradores.múltiples contiene n integradores.

• También suponga que existen r entradas u1, u2(t),ur(t)y m salidas y1(t), y2(t), . . . , ym(t).y y1( ), y2( ), , ym( )

• Definan salidas de los integradores como variables deestado: xl(t), x2(t), , . . ,xn(t).l 2 n




• A continuación el sistema se describe mediante:

( ) ( )( ) ( )

tuuuxxxftx rn ,,,,,, 212111 KK& =( ) ( )tuuuxxxftx rn ,,,,,, 212122 KK& =

( ) ( )tuuuxxxftx rnnn ,,,,,, 2121 KK& =




• Las salidas del sistema, y1, y2, …, ym(t) mediante:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )tuuuxxxgty

tuuuxxxgty

rn

rn

,,,,,,,,,,,,

212122

212111

KK

KK

==

( ) ( )

( ) ( )

tuuuxxxgty rn ,,,,,, 212122 KK

( ) ( )tuuuxxxgty rnmm ,,,,,, 2121 KK=




• Se definen:( )⎤⎡ tx1 ( )

⎥⎤

⎢⎡ tuuuxxxf rn ,,,,,, 21211 KK

( )

( )( )

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

=tx

t 2

1

x ( )

( )( )

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

tuuuxxxff

t rn

rn

,,,,,,,,,,,,

, 21212

21211

KKux,f

( )⎥⎦⎢⎣ txn

( )⎥⎦⎢⎣ tuuuxxxf rnn ,,,,,, 2121 KK

( )

( )( )⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

tyty1

( )

( )( )⎥

⎥⎤

⎢⎢⎡

tuuuxxxgtuuuxxxg

rn

rn

,,,,,,,,,,,,

21212

21211

KK

KK

( )

( )( )⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

tutu

2

1

( ) ( )

( )⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

ty

tyt 2y ( ) ( )

( )⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ tuuuxxxg

gt

rnn

rn

,,,,,,

,,,,,,,

2121

21212

KK

ux,g ( ) ( )

( )⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

tu

t

r

2u



( )⎦⎣ tym⎦⎣ ( )⎦⎣ r


• De tal modo que las ecuaciones anteriores pueden serexpresadas en una forma mas compacta por medio de:expresadas en una forma mas compacta por medio de:

( ) ( )( ) ( )

tt ,ux,fx =&

• La primera es la ecuación de estado y la seguda es la

( ) ( )tt ,ux,gy =• La primera es la ecuación de estado y la seguda es la

ecuación de la salida.• Si las funciones vectoriales f y/o g involucranSi las funciones vectoriales f y/o g involucran

explícitamente el tiempo t, el sistema se denominasistema variante con el tiempo.



p


• Si se linealizan las ecuaciones alrededor del estado deoperación, se tienen las siguientes ecuaciones deestado y de salida linealizadas:

)()()()()( ttttt uBxAx +=&

d d

)()()()()()()()()()(

tttttttttt

uDxCyuBxAx

+=+

• en donde:• A(t) se denomina matriz de estado

B(t) t i d t d• B(t) matriz de entrada• C(t) matriz de salida• D(t) matriz de transmisión directa



• D(t) matriz de transmisión directa.


)()()()()( ttttt uBxAx +=&

)()()()()()()()()()(

ttttt uDxCy +=

t

( )tu + + +( )tx( )tx&t dt t

t

( )tu( )ty

+

+

( )tx( )tx

t




• Si las funciones vectoriales f y g no involucran eltiempo t explícitamente, el sistema se denominatiempo t explícitamente, el sistema se denominasistema invariante con el tiempo.

)()()( ttt BuAxx +=&

)()()()()()(

tttttt

DuCxyBuAxx

+=+=



8. Ejemplo

• Considere el sistema mecánico de traslación.

k( )tu

m

( )

S l i li l

( )tyf

• Supone que el sistema es lineal.• La fuerza externa u(t) es la entrada para el sistema, y

l d l i t (t) d l l lidDr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected]

Copyright © 2008TEORIA DE CONTROLIntroducción a Representación en Espacio de Estado

el desplazamiento y(t) de la masa es la salida.

8. Ejemplo

• El desplazamiento y(t) se mide a partir de la posiciónde equilibrio en ausencia de una fuerza externa.de equilibrio en ausencia de una fuerza externa.

• Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida.'x

resorteFr

oramortiguadFr uFFym amortigresorte +−−=&&

'y

( )txF drr

=



( )txFentrada =

8. Ejemplo

ukyybym =++ &&&

• Este sistema es de segundo orden, lo cual significaque el sistema contiene dos integradores

yyy

que el sistema contiene dos integradores.• Se definen las variables de estado x1(t) y x2(t) como

( ) ( )( ) ( )tytx

tytx&=

=1

( ) ( )tytx =2



8. Ejemplo

• De tal modo, que se logra:

&

( ) uybkyx

xx11

21

+

=

&&

• O,

( ) um

ybkym

x2 +−−=

bkxx

121 =&

um

xmbx

mkx 1

212 +−−=&



8. Ejemplo

• La ecuación de salida resulta ser:

Y• En forma matricial:

⎤⎡⎤⎡ 010

1xY =

uxxbk

xx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ 1010

11

&

&

mxmmx ⎥⎦⎢⎣⎦⎣⎥⎦⎢⎣⎦⎣ 22

⎤⎡[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

101xx

Y



8. Ejemplo

• Observando la representación estándar de lasecuaciones de estado resulta:ecuaciones de estado resulta:

)()()()()()(

tttttt

DuCxyBuAxx

+=+=&

• Donde:

⎤⎡

)()()( ttt DuCxy +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

mb

mk

10A

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

m10

B [ ]01=C 0D =⎦⎣ mm ⎦⎣m



8. Ejemplo

• La representación en diagramas de bloque del sistemamecánico.mecánico.

+1 ∫ ∫yx =1u 2x& 2x

+m ∫b

∫

−−

mb

mk



m

9. Ejemplo• Considere el sistema RLC serie:

R+ ( )ti

L( )tvi

+

−( )ti

C+−( )tvc

• Se establecen las ecuaciones que definen elt i t d l i t

−


comportamiento del sistema.TEORIA DE CONTROLIntroducción a Representación en Espacio de Estado

9. Ejemplo• La ecuación de la malla resulta ser:

( ) ( ) ( ) ( )tdi

• La diferencia de potencial en el capacitor esta

( ) ( ) ( ) ( )tvtRidt

tdiLtv ci ++=

• La diferencia de potencial en el capacitor estarelacionado con la corriente por:

( )tdv( ) ( )dt

tdvCti c=



9. Ejemplo• Se reagrupan las ecuaciones pata despejar las

respectivas derivadas;respectivas derivadas;

( ) ( ) ( ) ( )tvtRidt

tdiLtv ci ++=

( ) RRtdi 1( ) ( )

dttdvCti c=

dt

( ) ( ) ( ) ( )tvL

tvLRti

LR

dttdi

cc1

+−−=

( ) ( )tiCdt

tdvc 1=



Cdt

9. Ejemplo• Expresando las relaciones combinadas en notación

matricial resulta:matricial resulta:( ) ( ) ( ) ( )tv

Ltv

LRti

LR

dttdi

ic1

+−−=

( ) ( )tiCdt

tdvc 1=

iLR

LR

i⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −−

⎥⎤

⎢⎡ 1&

icc

vLvC

LLv ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣

+⎥⎦

⎢⎣⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

=⎥⎦

⎢⎣ 001&



C ⎦⎣

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