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Dr. En CienciasHoracio Zendejas MartnezEstimacin.Intervalos de Confianza para la Media

El objetivo principal de la estadstica inferencial es la estimacin, esto es que mediante el estudio de una muestra de una poblacin se quiere generalizar las conclusiones hacia el total de dicha poblacin. Los estadsticos pueden variar mucho dentro de sus distribuciones muestrales. Mientras menor sea el error estndar de un estadstico, ms cercanos sern sus valores. El Error estndard podramos expresarlo conceptualmente como el error que se puede cometer al intentar conocer a una poblacin por medio de una muestra tomada de dicha poblacin.Existen dos tipos de estimaciones para parmetros; puntuales y porintervalo. Una estimacin puntual es un nico valor estadstico y se usa para estimar un parmetro. El estadstico usado se denomina estimador.Una estimacin por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que contenga el parmetro.Estimacin

xcierta marca y suponga que= 9322.7.Estimacin por IntervalosUn estimado puntual, por ser un slo nmero, no proporciona por s mismo informacin alguna sobre la precisin y confiabilidad de la estimacin.Por ejemplo, imagine que se usa la media de una muestra x para estimar(estimador puntual) la resistencia real a la ruptura de toallas de papel deDebido a la variabilidad de la muestra, casi nunca se tendr el caso de quex = . El estimador puntual nada dice sobre lo cercano que esta de . Unaalternativa para reportar el valor del parmetro que se est estimando escalcular un intervalo de valores factibles, es decir un lmite de confianza ointervalo de confianza (IC).

Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de confianza, que es una medida del grado de confiabilidad en el intervalo. Entonces, en el ejemplo anterior, si queremos un nivel de confianza de 95% diramos que es posible tener cualquier valor de m entre 9162.5 y 9482.9.Todo est muy bien, perocmo sabemos estosvalores?Un nivel de confianza de 95% implica que 95% de las muestras dara lugar a un intervalo que incluye m o cualquier otro parmetro que se est estimando, y slo 5% de las muestras producir un intervalo errneo. Cuanto mayor sea el nivel de confianza podremos creer que el valor del parmetro que se estima est dentro del intervalo.

0

95% del rea.0-1.961.96Density

Distribution PlotNormal, Mean=0, StDev=10.4 0.950.30.20.195% del

.0

zSi, por ejemplo, queremos tener un nivel de confianza de 95% (lo cuales muy comn), entonces usamos la distribucin normal estndar y encontramos los valores que incluyen a 95% del rea.

Confidence IntervalsLos intervalos que no contienen al valor de estn marcados en rojo.

95% Confidence Intervals for the Mean200150100True mean5001 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Interval NumberEn el siguiente ejemplo, tomado de una simulacin efectuada con Minitab (Macro GMeanCI, de www.duxbury.com) se crean 100 muestras (n = 9) de una poblacin con = 80 y = 5. Para 95% de confianza, 95 de los 100 intervalos calculados contienen a .

mnPara nuestro ejemplo, la distribucin muestral de la media tendra una media de 90 y una desviacin estndar de 36/3 = 12. Recordemos que la desviacin estndar de una distribucin muestral es igual al error estndar. = Y el error estndar es: = xSupongamos que la estatura de los nios de 2 aos est distribuda normalmente con una media de 90 cm y una desviacin estndar de 36 cm. Cul sera la distribucin muestral de la media para una muestra de tamao 9? Recordemos que la media de una distribucin muestral de medias es igual a :Intervalos de confianza para la media

Lo que nos muestra la figura es que 95% de las medias se encontraran a no ms de 23.52 de la media de 90 (o sea a 1.96 desviaciones estndar). Ahora si consideramos la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria se encuentre a cierta distancia de la media de la poblacin, entonces podemos decir que como 95% de la distribucin est a 23.5 de90, la probabilidad de que la media de cualquier muestra est a 23.52 de90 es de 0.95.95% del rea.23.52La siguiente figura muestra esta distribucin en donde el rea sombreada representa el 95% del total, encontrndose entre los valores de 66.48 y 113.52. Estos lmites fueron calculados aadiendo y restando 1.96 desviaciones estndar del valor de la media de 90, lo que equivale al 95% del rea bajo una curva normal estndar, es decir:90 - (1.96 x 12) =90 - 23.52 = 66.4890 + (1.96 x 12) =90 + 23.52 = 113.52

xmuestra,,yconsideramosunintervaloque vaya dedespejar cosa quedeZde la distribucinde = x 1.96n

= x znNotar que no es otra la frmula para el valormedias

Donde z es el valor de la curva estandar normal para la confianza que se requiere. En el caso de 95% de confianza:Lo anterior significa que si calculamos repetidamente la media de unax - 23.52 a x + 23.52, este intervalo contendr a la media de la poblacin 95% de las veces. En general, podemos calcular el intervalo de confianza con la siguiente frmula:

De esta formula se puede observar que tanto el tamao de la muestra como el valor de se deben conocer. Z se puede obtener de la tabla de la distribucin normal a partir del nivel de confianza establecido.Como en muchas ocasiones se desconoce en esos casos lo correcto es utilizar otra distribucin para muestras (la llamada t de student) si la poblacin de donde provienen los datos es normal.En este caso se puede utilizar una estimacin puntual de la desviacin estndarde la poblacin por medio de la desviacin estndar de la muestra, es decir ( ~ s).

Valores reales2.52.62.7Valores zEjemplos:1. Se encuentra que la concentracin promedio de zinc de una muestra de 36 cereales es de 2.6 gramos por miligramo. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentracin media de zinc en el cereal. Suponga que la desviacin estndar de la poblacin es 0.3.Solucin:La estimacin puntual de es x = 2.6 (el valor de la media de lamuestra). El valor de z para un nivel de confianza del 95% es 1.96, por lotanto:

Valores reales 2.47 2.6 2.73Z

Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.575 por lo que el intervalo ser ms amplio:

Con un nivel de confianza del 96% se sabe que la duracin media de los vuelos est entre 765 y 795 horas.

2. Los vuelos de una empresa de aviacin tienen una duracin bimestral aproximadamentedistribuida de forma normal con una desviacin estndar de 40 horas. Si una muestra de 30 vuelos tiene una duracin promedio de 780 horas, encuentre los intervalos de confianza de 96% para la media de la poblacin de todos los vuelos de esta empresa.