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MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|InterésSimple 1

InterésSimpleElinteréssimple,espagadosobreelcapitalprimitivoquepermaneceinvariable.Enconsecuencia,el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es elmismo. Es decir, la retribucióneconómicacausadaypagadanoesreinvertida,porcuanto,elmontodelinterésescalculadosobrelamismabase.Interéssimple,estambiénlagananciasólodelCapital(principal,stockinicialdeefectivo)alatasadeinterésporunidaddetiempo,durantetodoelperíododetransaccióncomercial.La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en unmomento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodosmenoresde1año).Alcalcularseelinteréssimplesobreelimporteinicialesindiferentelafrecuenciaenlaqueéstossoncobradosopagados.Elinteréssimple,NOcapitaliza.

Fórmulageneraldelinteréssimple:[1]VF=VA(1+n∗i)Valoractual:La longituddeuna escalera es lamisma contadade arriba abajo comode abajoarriba.ElvalorfuturoVFpuedeconsiderarsecomolacimavistadesdeabajoyelvaloractualVAcomoelfondovistodesdearriba.Elvaloractualdeunacantidadconvencimientoenelfuturo,eselcapitalqueauntipodeinterésdado,enperíodostambiéndados,ascenderáalasumadebida.Siconocemoselmontoparatiempoy tasadados,elproblemaseráentonceshallarelcapital,enrealidadnoesotracosaqueelvaloractualdelmonto.DerivamoselVAdelafórmulageneral:

[2]=)*1( in

VFVA+

=

Siendoésta la fórmulaparaelvaloractual a interéssimple,sirvenosóloparaperíodosdeaño,sinoparacualquierfraccióndelaño.Eldescuentoeslainversadelacapitalización.Conéstafórmulacalculamoselcapitalequivalenteenunmomentoanteriordeimportefuturo.Otrasfórmulasderivadasdelafórmulageneral:SillamamosIalosinteresespercibidosenelperíodoconsiderado,convendremos:[3]I=VF-VALadiferenciaentreVFyVAeselinterés(I)generadoporVA.


Ytambién,dadalafórmulageneral,obtenemoslafórmuladelimportedelosintereses:I=VA(1+n*i)-VA=VA+VA*n*i-VA[4]I=VA∗n∗iI=(principal)*(tasadeinterés)*(númerodeperíodos)(Inversiones)I=montototalhoy-inversiónoriginal(Préstamos)I=saldodedeuda-préstamoinicialConlafórmula[4]igualcalculamoselinterés(I)deunainversiónopréstamo.SísumamoselinterésIalprincipalVA,elmontoVFovalorfuturoserá.[5]VF=VA+IoVF=VA(1+i*n)Despejandoéstasfórmulasobtenemoseltipodeinterésyelplazo:

[6]nVA

Ii*

=

[7]n

VAVF

i1-

=

[8]iVA

In*

=

[9]i

VAVF

n1-

=

El tipode interés (i) yelplazo (n)deben referirse a lamismaunidadde tiempo (siel tipodeinterésesanual,elplazodebeseranual,siel tipode interésesmensual,elplazo iráenmeses,etc.).Siendoindiferenteadecuarlatasaaltiempooviceversa.Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses. En estasfórmulaslatasadeinterés(i)estáindicadaenformadecimal.Nomenclatura: I=InterésexpresadoenvaloresmonetariosVA=Valoractual,expresadoenunidadesmonetariasVF=Valorfuturo,expresadoenunidadesmonetariasn=Periododecapitalización,unidaddetiempo,años,meses,diario,...i=Tasadeinterés,porcentajeanual,mensual,diario,llamadotambiéntasadeinterésreal.


Ejemplo:Calcularacuántoasciendeelinterésproducidoporuncapitalde U.M.25000invertidodurante4añosaunatasadel6%anual.

Resolución:Alexpresarel6%entantoporuno,seobtienequei=0.06.Yporconsiguiente,VA=U.M.25000,n=4,i=0.06

Luegoaplicandolafórmula[4]I=VA*n*i

ElinterésesdeU.M.6000.

Ejemplo: Calcular el interés simple producido por U.M. 30 000 durante 90 días a una tasa deinterésanualde5%.

Resolución:ComoVA=U.M.30000,n=36090 ,i=0.05

Aplicandolafórmula[4]I=VA*n*i,

Portanto

Ejemplo: Al cabo de unmes, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro U.M. 970 porconceptodeintereses.Latasadeinterésdeunacuentadeahorroesdel2%mensual.¿Cuáleselsaldomedio(capital)dedichacuentaeneseperiodo?

Resolución:I=U.M.970,i=0.02,n=1,VA=?

Aplicandolafórmula[4]I=VA*n*i

970=VA*1*0.02

Seobtieneque02.0*1

970=VA =48500

ElsaldomediohasidodeU.M.48500.

Ejemplo:UnpréstamodeU.M.20000seconviertealcabodeunañoenU.M.22400.¿Cuáleslatasadeinteréscobrada?

Resolución:Losintereseshanascendidoa

600006.0425000 =´´=I

3753609005.030000 =´´=I


inVA **24002000022400 ==-

ydespejandoiobtenemos

.

Latasadeinterésesdel12%.

Ejemplo:Un capitaldeU.M.300000 invertido auna tasade interésdel8%duranteun ciertotiempohageneradounosinteresesdeU.M.12000.¿Cuántotiempohaestadoinvertido?

Resolución:Aplicandolafórmula8,setieneque:

iVAIn*

= ,Luego

5.02400012000

08.0*30000012000

===n

porloqueeltiempoquehaestadoinvertidoesde0.5años,esdecir,6meses.

Ejemplo:(VFainteréssimple)Necesitamossaberelmontoqueretiraríamosdentrode4años,síhoyinvertimosUM2,000al8%paraelprimerañoconincrementosdel1%paralospróximostresaños.Enestoscasosnoaplicamosdirectamentelafórmulageneraldelinteréssimple,porcuantoeltipodeinterésencadaperíodoesdiferente.Debemossumaralprincipallosinteresesdecadaperíodo,calculadosiempresobreelcapitalinicialperoalatasavigenteencadamomento.Resolución:VA=2,000;n=4;i1...4=0.08,0.09,0.10y0.11;VF=?Alejemplocorrespondelarelaciónsiguiente:VF=VA+(VA×i1)+(VA×i2)+(VA×i3)+(VA×i4)VF=2,000+(2,000×0.08)+(2,000×0.09)+(2,000×0.10)+(2,000×0.11)=UM2,760Respuesta:ElmontoaretiraresUM2,760.00

12.0200002400

==i


Ejercicios:

1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de U.M. 25 000invertidodurante4añosy6mesesaunatasadel16%anual.

2. CalcularelinteréssimpleproducidoporU.M.30000durante180díasaunatasadeinterésanualdel15%.

3. Al cabo de 3 meses, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto deintereses,U.M.7500.La tasade interésdeunacuentadeahorroesdel12% trimestral.¿Cuáleselsaldoinicialdedichacuentaeneseperíodo?

4. UnpréstamodeU.M.200000seconviertealcabodeunmesenU.M.220400.¿Cuáleslatasadeinteréscobrada?

5. Un capitaldeU.M.300000 invertido auna tasade interésdel18%duranteun ciertotiempo,hasupuestounosinteresesdeU.M.12000.¿Cuántotiempohaestadoinvertido?

6. Encontrar el valor actual al 5%, que produjo un interés simple de UM 1800 convencimientoen9meses.

7. ¿Cuálfuenuestrainversióninicial,sihemosobtenidoutilidadesdeUM3200,despuésde8meses,ainteréssimpleyconel48%detasaanual?

8. Si tenemosUM10000 y lo invertimosporunaño conel28%de interésanual. ¿Cuántodinerotendremosalfinalizarelaño?

9. EldíadehoyobtenemosunpréstamoporUM5000ydespuésdeunañoymediopagamosUM5900.Determinarelinterésylatasadeinterés.

10. DeterminarlosinteresesyelcapitalfinalproducidoporUM10000conunatasadel18%enunañoy4meses.

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|Descuento 6

DescuentoLa tasadedescuento fijadapor losbancoscentralesporrealizarelredescuentoresultade sumaimportanciaparalaeconomía,puesellasincidensobreelconjuntodetasasdedescuentoydeinteréscobradasenunpaísduranteperíodosdeterminados.Latasadedescuentoeslarazóndelpagoporelusodeldinerodevueltoalliquidarlaoperación.Descuento,eselprocesodededucirlatasadeinterésauncapitaldeterminadoparaencontrarelvalorpresentedeesecapitalcuandoelmismoespagableafuturo.Delmismomodo,aplicamoslapalabradescuentoalacantidadsustraídadelvalornominaldelaletradecambiouotrapromesadepago,cuandocobramoslamismaantesdesuvencimiento.Laproporcióndeducida,otasadeinterésaplicada,eslatasadedescuento.Laoperacióndedescontarformapartedelasactividadesnormalesdelosbancos.Aestosacudenlosclientesacobraranticipadamenteelmontodelasobligacionesdesusacreedores;losbancosentregan dichas cantidades a cambio de retener tasas de descuento, esto forma parte de susingresos. Los bancos comerciales, a su vez, necesitan descontar documentos, en este caso, sontomadosporelbancocentral,taloperaciónesdenominada,redescuento.

DescuentoSimpleSiendo el descuento un interés, este puede ser simple o compuesto. La persona (prestatario)puedepagar aunprestamistael costo (precio)delpréstamoal iniciodelperíodo oal finaldelmismo. En el primer caso este precio recibe el nombre de descuento; en el segundo interésrespectivamente.Descuentosimple,eslaoperaciónfinancieraquetieneporobjetolarepresentacióndeuncapitalfuturoporotroequivalenteconvencimientopresente,atravésdelaaplicacióndelafórmuladeldescuentosimple.Esunprocedimientoinversoaldecapitalización.ParticularidadesdelaoperaciónLosinteresesnocapitalizan,esdecirque:- Los intereses producidos no son restados del capital inicial para generar (y restar) nuevosinteresesenelfuturoy,-Portantoalatasadeinterésvigenteencadaperíodo,losintereseslosgeneraelmismocapitalalatasavigenteencadaperíodo.-Losprocedimientosdedescuentotienenunpuntodepartidaqueeselvalorfuturoconocido(VF)cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de estaanticipación:duracióndelaoperación(tiempoyelcapitalfuturo)ylatasadeinterésaplicada.


-El capital resultantede la operacióndedescuento (valor actual opresenteVA) esde cuantíamenor,siendoladiferenciaentreamboscapitaleslosinteresesqueelcapitalfuturodejadetenerpor anticipar su vencimiento. Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al futuroimplicaincrementarleintereses,hacerlaoperacióninversa,anticiparsuvencimiento,supondráladisminucióndeesamismacantidadporcentual.Nomenclatura:D:Descuentoorebaja.DR:DescuentoracionalVN(VF):Valorfinalonominal,eselconocidovalorfuturoVA:Valoractual,inicialoefectivo.iod:TasadeinterésodescuentoApartirdeéstenumeral,losinteresesserán“d”siéstossoncobradosporadelantadoe“i”sison cobrados asuvencimientoConsiderarestaobservaciónalusar las fórmulaspara calcularTasasEquivalentes,tantoenoperacionesainteréssimplecomoainteréscompuesto.Elvaloractual(VA)esinferioralvalorfuturo(VF)yladiferenciaentreamboseseldescuento(D).Cumpliéndoselasiguienteexpresión:[10]DR=VF-VAComo vimos, eldescuento, esunadisminuciónde intereses que experimentaun capital futurocomoconsecuenciadeadelantarsuvencimiento,escalculadocomoelinteréstotaldeunintervalodetiempo.Cumpliéndose:[10A]DR=VF*n*iDependiendodelcapitalconsideradoparaelcálculodelosintereses,existendosmodalidadesdedescuento:-Descuentoracionalomatemático-Descuentocomercialobancario.Cualquierasealamodalidaddedescuentoutilizado,elpuntodepartidasiempreesunvalorfuturoVFconocido,quedebemosrepresentarporunvaloractualVAquetienequesercalculado,paralocualesimportanteelahorrodeintereses(descuento)quelaoperaciónsupone.

DescuentoracionalomatemáticoLadiferenciaentrelacantidadapagarysuvaloractualrecibeelnombrededescuentoracionalomatemático, no es lo mismo que el descuento bancario. Designamos el descuento bancariosimplementeconlapalabradescuento.


Calculamoseldescuento racional,determinandoelvaloractualde la suma a la tasa indicada yrestandoesteVAdedichacantidad.Elresultadoeseldescuentoracional.Eldescuentoracionaleselinteréssimple.Laincógnitabuscadaeselvaloractual(capitalinicial).Esdecir,eldescuentoracionalesigualalacantidadapagar(VN)menoselvaloractual[VA]delcapital.Luego:I=D,fórmulas[3]y[4]Deduccióndeotrasfórmulas:Tenemosque:[1]DR=VF–VA[2]DR=VF*n*iDe[1]sededuceque:[3]VF=VA+DR

Sustituyendoen[2]DR =(VA+DR)ni =VAni+DRniDR–DRni=VAniDR(1–ni)=VAni

[4]DR=ni

VAni-1

Ejemplosresueltos:

Ejemplo:Obsérveseelsiguientepagaré:

VF=185,000Fechas:15deAgostovencimiento15deJuniodescuentoi=50%anual.

Determinarelvaloractualdeesedocumento.

Resolución:

DR=VF*n*i=185,000(61/360)(.5)=15,416.67

Luegoaplicando[10]DR=VF-VAdeaquítenemosque:

DR=15416.67,VF=185000porlotanto

15416.67=185000–VA,luego

VA=185000–15416.67

VA=169583,33

Ejemplo:Unaempresadescontóenunbancounpagare.Elbancorecibió166,666.67.Silatasadedescuento esdel60% y el vencimientodelpagaré era cuatromesesdespuésde sudescuento.¿Cuáleraelvalornominaldeldocumentoenlafechadesuvencimiento?


Resolución:

VA=166666,67

i=0.60

n=4/12=1/3=0,333333333

DR=VAni/1-ni =166,666.67(.60)(.3333333)/(1-(.6)(.3333333))

=3333333/0,8=41666,67

porloqueelvalordelpagareenlafechadesuvencimientoesde:

VF=VA+DR=166,666.67+41,666.67=$208333,34

Ejemplo:Unaempresadescuentaundocumentoporelcualrecibe$879.12.Silatasadedescuentoes de 55% y el valor nominal del documento era de $1,000. ¿Cuánto tiempo faltaba para elvencimientodesuobligación?

Resolución:

VF=1000

VA=879.12

i=0.55

DR=VF–VA

DR=1000-879.12=120,88

Luego

DR=VFniporlocualdecimos

n=DR/VFi

n=120.88/(1000*.55)=0,2178

porlocualeltiempoquefaltabaerade2mesesy19días

Ejemplo:UnpagareconunvalornominaldeUM5785esdescontadoconunbancoa40díasdesuvencimiento a una tasa de descuento simple anual del 45%. ¿Calcular cuánto le pagaron alacreedor?


Resolución:

VF=5785

n=40/365

i=0.45

DR=VF*n*i

DR=5785(40/365)(.45)=285.28

VA=VF-DR

5785-285.28=5499.72porlocualesteimportefueloqueselepago.

Ejercicios:

1.-LaempresaXYZvendeUM30000aunclienteyleotorgacréditomedianteunpagodecontadodel20%yelrestoa30y60díasfirmandopagaresporunmismoimporte.Alos7díasdelaventa,laempresaXYZvaaunbancoadescontarlos2pagaresaunatasasimpleanualdedescuentode52%.¿CuántorecibelaempresaXYZenefectivo?.

2.-SiunpagaretieneunvalornominaldeUM308500ysepagadescontadofaltando20díasparasuvencimientoenUM280600¿Cuálfuelatasadedescuentosimpleanual?

3.-UnpagareporUM400000 sedescuenta a380088 auna tasadedescuentode56%anual¿Cuantosdíasfaltabanparasuvencimiento?

4.-El 3deAgostouna empresa vendemercancía cuyopreciode contado esdeUM32000.Elclientefirmaunpagareaunatasadeinterésanualsimplede42%yconvencimientoparael15deOctubre. El 2 de Septiembre la empresa va al banco y descuenta dicho pagaré. Si la tasa dedescuentoesde46%¿Cuántorecibelaempresa?.

5.-Laempresa"X"vende120400UM(preciodecontado)enmercancíaaunclienteyledacréditoa30,60y90díaspormediodelafirmadepagaréscadaunoporunmismoimporte.Alos15díaslaempresa "X"decidedescontarestos 3pagaresenunbancopara tenerefectivo inmediato.Elbancoaplicaunatasadedescuentode50%sobreelvalordecadapagaré¿CuántodinerorecibelaempresadelBanco?

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|InterésCompuesto 11

InterésCompuestoElconceptoy lafórmulageneraldelinteréscompuestoesunapotenteherramientaenelanálisisyevaluaciónfinancieradelosmovimientosdedinero.Elinteréscompuestoesfundamentalparaentenderlasmatemáticasfinancieras.Conlaaplicacióndelinteréscompuestoobtenemosinteresessobreintereses,estoeslacapitalizacióndeldineroen el tiempo. Calculamos elmonto del interés sobre la base inicial más todos los interesesacumuladosenperíodosanteriores;esdecir, los intereses recibidos son reinvertidos ypasan aconvertirseennuevocapital.Llamamosmontodecapitalainteréscompuestoomontocompuestoalasumadelcapitalinicialcon sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interéscompuesto.Elintervaloalfinaldelcualcapitalizamoselinterésrecibeelnombredeperíododecapitalización.Lafrecuenciadecapitalizacióneselnúmerodevecesporañoenqueelinteréspasaaconvertirseencapital,poracumulación.Tresconceptossonimportantescuandotratamosconinteréscompuesto:1º.Elcapitaloriginal(PoVA)2º.Latasadeinterésporperíodo(i)3º.Elnúmerodeperíodosdeconversiónduranteelplazoqueduralatransacción(n).Porejemplo:Síinvertimosunacantidaddurante5½añosal8%convertiblesemestralmente,obtenemos:Elperíododeconversiónes:6mesesLafrecuenciadeconversiónserá:2(unañotiene2semestres)

0.04 2

0.08 conversiónde frecuencia

interésde tasa ==

Entonceselnúmerodeperíodosdeconversiónes:(númerodeaños)*(frecuenciadeconversión)=5½x2=11FórmulasdelInterésCompuesto:Lafórmulageneraldelinteréscompuestoessencilladeobtener:


VA0,VA1=VA0+VA0i =VA0(1+i),VA2=VA0(1+i)(1+i) =VA0(1+i)2VA3=VA0(1+i)(1+i)(1+i) =VA0(1+i)3Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interéscompuesto:[19]VF=VA(1+i)nFórmulaparaelcálculodelmonto(capitalfinal)ainteréscompuesto.Paranaños,transformaelvaloractualenvalorfuturo.

Elfactor(1+i)nesconocidocomoFactordeAcumulaciónoFactorSimpledeCapitalización(FSC),al cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor esmultiplicadoporVA,obtendremoselvalorfuturoVFdelainversióninicialVAdespuésdenaños,alatasaideinterés.Tantolafórmuladelinteréssimplecomoladelcompuesto,proporcionanidénticoresultadoparaelvalorn=1.VF=VA(1+ni) =VF =VA(1+i)nVA(1+1i) =VA(1+i)1VA(1+i) =VA(1+i)SillamamosIalinteréstotalpercibido,obtenemos:I=VF-VAluegoI=VF-VA=VA(1+i)n-VASimplificandoobtenemoslafórmuladecapitalizacióncompuestaparacalcularlosintereses:[20]I=VA(1+i)n−1Conestafórmulaobtenemoselinterés(I)compuesto,cuandoconocemosVA,iyn.


Ejemplo:TengounexcedentedeutilidadesdeUM1000ylosguardoenunbancoaplazofijo,queanualmentemepaga8%;¿cuántotendrédentrode3años?Ejemplo:(CalculandoelinterésyelVFcompuestos)DeterminarlosinteresesyelcapitalfinalproducidoporUM50,000al(a)15%deinterésdurante1año.(b)15%deinterésconvertiblemensualmenteen2años.ValoractualainteréscompuestoLa fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital en unmomentoposterior.Dijimosantesque, la longitudde laescaleraes lamismacontadadeabajohaciaarribacomodearriba abajo. En el interés compuesto cuanto más arriba miramos, más alto es cada escalónsucesivo y si nos paramos arriba y miramos hacia abajo, esto es, hacia el valor actual, cadasucesivoescalónesalgomásbajoqueelanterior.Delaecuación[19]obtenemoslafórmuladelvaloractualainteréscompuesto:

[21] niVFVA

)1( +=

Tambiénlaexpresamoscomo:VA=VF(1+i)-nConocemos a la expresión entre paréntesis como el Factor Simple deActualización (FSA) o elfactorVA/VF.PermitedeterminarelVA(capitalinicial)delacantidadfuturaVFdada,despuésdenperíodosdecomposiciónalatasadeinterési.La expresión valor futuro significa el valordeunpago futuro en fechadeterminada antesdelvencimiento.Cuantomenostiempofaltaparaelvencimiento,mayoreselvaloractualdelmontoadeudado,y,enla fechadelvencimiento,elvaloractualesequivalentealmontoporpagar.Paracomprobarunocualquieradeesosvaloresactuales,bastahallarsialatasaindicada,eneltiempoexpuesto,elvaloractualeslacantidadadeudada.Delaecuación[19]obtenemostambién,lasfórmulas[22]y[23]paradeterminarlosvaloresdei(dadoVA,VFyn)yn(dadoVA,VFei).

[22] 1-= nVAVFi [23]

)1log(

log

iVAVF

n+

=

Con la fórmula [22] obtenemos la tasa del período de capitalización. Con la fórmula [23]calculamosladuracióndelaoperaciónfinanciera.


Eneste caso,noda lomismoadecuar la tasa al tiempo oadecuarel tiempo a la tasa.Tantoeltiempocomolatasadeinterésdebenadecuarsealperíododecapitalización.Sieltiempoestáenmeses,latasadebesermensual;sieltiempoestáenbimestres,latasadebeserbimestral.Ejemplo:AlguiennosofreceUM5000dentrode3años,siempreycuandoleentreguemoseldíadehoyunacantidadal10%capitalizablesemestralmente.¿Cuántoeselmontoaentregarhoy?Solución:VF=5,000;n=3;i=0.10;VA=?Aplicamoslafórmulay/olafunciónfinancieraVA:

Ejemplo:(VAainteréscompuesto)TenemosunaobligaciónporUM12000.¿Cuántoinvertiremoshoyal9%anual,conelobjetodepoderacumularelpagodeladeudadentrode(a)10años?(b)al18%convertiblemensualmenteen2años?

Resolución:

VF=12,000;i=0.9;n=10;VA=?

niVFVA

)1( += = 10)09,01(

12000+

=UM5068,93

Respuesta:ElmontoainvertirhoyesUM5,068.93.Paralaparteb)repetirelprocedimientoconlossiguientesdatos.VF=12,000;i=18/100/12;n=10;VA=?

ValoractualdedeudaquedevengainterésComoenelinteréssimple,enelcasodedeudasquedevenganinterés,antesdecalcularsuvaloractual,debemosaveriguarprimeroelmontonominal,estoes,lacantidaddedinero(capitalmásinterés)deladeudaasuvencimiento.Calculadoelmontonominalesmássencillodeterminarelvaloractualacualquiertasadeinterés.Paracalcularelvaloractualdedeudasquedevenganinteréscompuestocalculamosprimeroelmontode ladeudaalvencimiento,estoes,elmontonominal; luego,procedemosacalcularelvaloractualdelmontonominalaplicandoelmétodoexpuestolíneasarriba.


Ejemplo:(VAdedeudaquedevengainteréscompuesto)Unaempresaenprocesode liquidación, tieneenactivosobligaciones a 4añosporUM42,000,devengan el 12% capitalizando anualmente. Calcular el valor actual al15%, con capitalizaciónanual.

Resolución:

Segúnlareglaexpuesta:1ºCalculamoselmonto(VF)delactivoasuvencimiento:VA=42,000;i=0.12;n=4;VF=?[19]VF=42,000(1+0.12)4=UM66,087.812ºCalculamoselVAal15%deUM66,087.81apagardentrode4años:VF=66,087.81;i=0.15;n=4;VA=?

[21] 92.37785)15,01(

81.660874 UMVA =

+=

Respuesta:ElVAconcapitalizaciónanualesUM37,785.92

InteréssimpleversusinteréscompuestoElmonto(VF)queobtenemosconelinteréssimpleaumentalinealmente(progresiónaritmética);mientrasqueenlasoperacionesconinteréscompuesto,laevoluciónesexponencial(progresióngeométrica), como consecuencia de que los intereses generan nuevos intereses en períodossiguientes.Generalmenteutilizamoselinteréssimpleenoperacionesacortoplazomenorde1año,elinteréscompuestoenoperacionesacortoylargoplazo.Vamos a analizarenquémedida laaplicacióndeuno uotroenel cálculode los interesesdanresultadosmenores,igualesomayoresyparaellodistinguiremostresmomentos:a)PeríodosinferioresalaunidaddereferenciaEnestoscasos(paranosotrosunaño),losinteresescalculadosconelinteréssimplesonmayoresaloscalculadosconelinteréscompuesto.Ejemplo:(Interéssimpleycompuestoconperíodosmenoresalaunidad)Determinar los interesesdevengadosporuncapitaldeUM30,000,durante 5meses,al15%deinterésanual.


Comolatasadeinterésestáenbaseanual,eltiempoloexpresamostambiénenbaseanual:5/12=0.4167Igualmente, podríamos expresar la tasa de interés en basemensual, dividiendo simplemente:0.15/12=0.0125conn=5.

Resolución:

VA=30,000;n=0.4167;i=0.15;I=?a.1.)Interéssimple[8]I=30,000*0.15*0.4166=UM1,875.15a.2.)Interéscompuesto:[20]I=30,000[[(1+0.15)0.4166]−1]=UM1,799.04Luego,elinteréscalculadoaplicandolafórmuladelinteréssimpleessuperioralcalculadoconlafórmuladelinteréscompuesto.b)PeríodosigualesaunañoEnestoscasos,ambasfórmulasdanresultadosidénticos.Ejemplo:(Interéssimpleycompuestoconperíodosigualesaunaño)DeterminarlosinteresesdevengadosporuncapitaldeUM30,000,duranteunaño,conel12%deinterésanual.

Resolución:

VA=30,000;n=1;i=0.12;I=?a.1.)Interéssimple:[5]I=30,000*0.12*1=UM3,600a.2.)Interéscompuesto:[20]I=30,000[[(1+0.12)1]−1]=UM3,600Comovemosambasfórmulasproporcionanresultadosiguales.c)PeríodossuperioresaunañoEnestoscasos,losinteresescalculadosconlafórmuladelinteréscompuestosonsuperioresaloscalculadosconlafórmuladelinteréssimple.Ejemplo:(Interéssimpleycompuestoconperíodossuperioresaunaño)DeterminarlosinteresesdevengadosporuncapitaldeUM30,000,durantedosaños,conel12%deinterésanual.


Resolución:

VA=30,000;n=2;i=0.12;I=?a.1.)Interéssimple:[5]I=30,000*0.12*2=UM7,200a.2.)Interéscompuesto:[20]I=30,000[[(1+0.12)2]−1]=UM7,632Luegocumplimosconlacondición(c).Determinar latasade interésaplicadaauncapitaldeUM25000quehageneradoentresañosinteresestotalesporUM6500.Solución:(VF=25,000+6,500)i=?;VA=25,000;n=3;I=6,500;VF=31,500AplicandolafórmulaolafunciónTASA,tenemos:

Respuesta:Latasadeinterésaplicadaesde8%anual.(Calculandoeltiempooplazon)CalculareltiempoquehaestadoinvertidouncapitaldeUM35000,sielmontoproducidofueUM56455conuninterésde9%.SoluciónVA=35,000;VF=56,455;i=0.09;n=?;AplicandolafórmulaolafunciónNPER,tenemos:

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|CONVERSIONES 18

Respuesta:Eltiempoenquehaestadoinvertidoelcapitalfuede5años,6mesesy17días.

CONVERSIONESCuando lasunidadesde tasa y tiempono coincidendebemos realizar la o las conversionesnecesarias según se requiera. Pero debemos tener cuidado con ello ya que primero deboanalizar si el problema es simple o compuesto. Procuro ACLARARLO con los siguientesejemplos:1) SecolocanUM7800durante4bimestresenunaagenciafinancieraqueofreceel6%semestral.

¿Cuántoganarándeinteresesycuántoseacumularáalfinaldelperíodo?ANÁLISISDELPROBLEMA. ¿Cómosésisetratadeunproblemasimpleocompuesto?Losproblemasdeinterésodescuentocompuestodeben indicarsilatasaescapitalizableobiendeberánmostraro indicarqueésteescompuesto? Generalmente en las prácticas se indica por cuálmétodo debe resolverse, de locontrarionosatenemosaloanterior.He resaltado en el problema los datos y la pregunta, como vemos no nos habla de tasacapitalizableocompuesta,porloqueelproblemaessimple.IDENTIFICACIÓN DEDATOS. VA=7800 n=4bimestresi=6%semestralUna vez identificados los datos, debemos preguntarnos ¿Tenemos unidades de tiempo enconcordancia?Talcomoheindicadoconlaflechaanterior,vemosqueeltiempoestáenbimestres

ylatasaensemestres,motivoporelcualdeborealizarunaconversión.PEROyestePERObiengrande,sielproblemaesSIMPLESOLAMENTESECONVIERTEUNAUNIDAD,NOLASDOSCOMOLOHACEMOSENALGUNOSEJERCICIOSDEINTERESCOMPUESTO.


OJO:CUANDOELPROBLEMAESDEINTERÉSODESCUENTOSIMPLELATASANOCAPITALIZAENOTRAUNIDADDETIEMPOPORLOQUELATASANODEBECONVERTIRSE.Demaneraquelaconversiónsehaceenlaunidaddetiempo.Porloqueenesteejemplotendremos:VA=7800 n=4bimestres=4/3(3eselnºdebim.Enunsemestre)i=6%sem=6/100SELECCIÓN DELAFÓRMULA. Analizado el problema e identificados los datos, procedemos a seleccionar la fórmula (lomássimple,deaquíenadelantetodoesmecánico)

IPartedelapreguntaI=VA*n*iI=(7800)(4/3)(6/100)I=624

IIPartedelapreguntaVF=VA+IVF=7800+624VF=8424

RESPUESTA. SeganaeninteresesUM624yseacumulaalfinaldelperíodoUM8424.2) Cierto capital ganaUM157500de intereses al colocarlosdurante 4meses ymedio enuna

instituciónquepagael30%anual.Determinecuántoseinvirtióycuántoseacumula.ANÁLISISDELPROBLEMA. He resaltado en el problema los datos y la pregunta, como vemos no nos habla de tasacapitalizableocompuesta,porloqueelproblemaessimple.IDENTIFICACIÓN DEDATOS. I=157500n=4,5mesesi=30%anual¿Tenemosunidadesdetiempoenconcordancia?Talcomoheindicadoconlaflechaanterior,vemosqueeltiempoestáenmesesylatasaesanual,motivoporelcualdeborealizarunaconversión.De manera que la conversión se hace en la unidad de tiempo. Por lo que en este ejemplotendremos:I=157500 n=4,5meses/12 i=30%anualSELECCIÓN DELAFÓRMULA. Analizadoelproblemaeidentificadoslosdatos,procedemosaseleccionarlafórmula.


IPartedelapregunta

= ∗ ∗

= ( ∗ )

= 157500

(4,5 12⁄ ∗ 30 100)⁄

= 1400000

IIPartedelapregunta

= + = 1400000 + 157500= 1557500

RESPUESTA. SeganaeninteresesUM1400000yseacumulaalfinaldelperíodoUM1557500.3.ElbancoMdescuentaaunclienteal60%anual,unpagaréconvalornominaldeU.M.2.500.000quevenceen60días.EsemismodíaelbancoMdescuentaalbancoHesemismodocumentoal53%.¿CuálfuelautilidaddelbancoM?ANÁLISISDELPROBLEMA. He resaltado en el problema los datos y la pregunta, como vemos no nos habla de tasacapitalizableocompuesta,por loqueelproblemaesDESCUENTORACIONALsimple(Latasaesvencida,poromisiónestanoseindica).IDENTIFICACIÓN DEDATOS. VF=2500000n=60díasi=60%anual VF=2500000n=60díasi=53%anual¿Tenemosunidadesdetiempoenconcordancia?Talcomoheindicadoconlaflechaanterior,vemosqueeltiempoestáendíasylatasaesanual,motivoporelcualdeborealizarunaconversión.De manera que la conversión se hace en la unidad de tiempo. Por lo que en este ejemplotendremos:VF=2500000n=60/360i=60%anual=60/100VF=2500000n=60/360i=53%anual=53/100SELECCIÓN DELAFÓRMULA. Analizadoelproblemaeidentificadoslosdatos,procedemosaseleccionarlafórmula.IPartedelapregunta

= ∗ ∗ = 2500000 ∗ 60/360 ∗60/100= 250000

IIPartedelapregunta

= ∗ ∗ = 2500000 ∗ 60/360 ∗53/100= 220833.333


LautilidadseráladiferenciaentreelDescuentoIyeldescuentoII,osea:250000-220833.33RESPUESTA. Lautilidadobtenidaesde29166,67UM.4.Calcularelmontofinalde4añosdeuncapitaldeUM.5.000.000colocadoaunatasadeinterésde36%anualcapitalizablemensualmente.ANÁLISISDELPROBLEMA. He resaltado en el problema los datos y la pregunta, como vemos la tasa es capitalizable ocompuesta,porloqueelproblemaesdeInterésCompuesto.IDENTIFICACIÓN DEDATOS. VA=5000000n=4añosi=36%anualcap.Mens.¿Tenemosunidadesdetiempoenconcordancia?Talcomoheindicadoconlaflechaanterior,vemosqueeltiempoestáenañosylatasaesanual,perocapitalizablemensualmente.Demaneraque la conversión sehace en launidadde tiempo y en la tasa. Por loque enesteejemplotendremos:VA=5000000n=4*12mesesi=36%=36/100/12SELECCIÓN DELAFÓRMULA. Analizadoelproblemaeidentificadoslosdatos,procedemosaseleccionarlafórmula.

= (1 + )

= 5000000 1 +36

10012

(4∗12)

=20661259,39RESPUESTA. SeacumulaalfinaldelperíodoUM20661259.395) Secolocan$7800durante4bimestresenunaagencia financieraqueofreceel6%semestral.

¿Cuánto ganarán de intereses y cuánto se acumulará al final del período? Utilizar interéscompuesto.

ANÁLISISDELPROBLEMA. He resaltado en el problema los datos y la pregunta, como vemos no nos habla de tasacapitalizableocompuesta,perosenosindicaUtilizarinteréscompuesto.


IDENTIFICACIÓN DEDATOS. VA=7800 n=4bimestresi=6%semestralUna vez identificados los datos, debemos preguntarnos ¿Tenemos unidades de tiempo enconcordancia?Talcomoheindicadoconlaflechaanterior,vemosqueeltiempoestáenbimestresylatasaensemestres,motivoporelcualdeborealizarunaconversión.Talcomoloindiquéenlasoluciónde laPrácticaparaexamen I, cuandoenunproblemade Interés compuestono senosindicacómosecapitaliza,seasumequeeslamismaunidaddetiempoquetienelatasa.De manera que la conversión se hace en la unidad de tiempo. Por lo que en este ejemplotendremos:VA=7800 n=4bimestres=4/3(3eselnºdebim.Enunsemestre)i=6%sem=6/100SELECCIÓN DELAFÓRMULA. Analizado el problema e identificados los datos, procedemos a seleccionar la fórmula (lomássimple,deaquíenadelantetodoesmecánico)

IPartedelapregunta

= [(1 + ) − 1]

= 7800 1 +6

100

43− 1

= 630,158

IIPartedelapregunta

= + = 7800 + 630.158= 8430.158

RESPUESTA. Se ganaenintereses$630,158 yseacumulaalfinaldelperíodo$8430,158.Ejemplo:Realizarlassiguientesconversiones.Tasa n Conversión

Tasa n24%capitalizablemensualmente

1añoymedio

16%conliquidacióntrimestral

2meses

28%convertiblesemestralmente

5meses

30%convertiblebimestralmente

4semestres

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|EJERCICIOS 23

EJERCICIOS 1. Asumaqueseobtienenlossiguientesdatosdediferentesproblemasdeinteréscompuesto.

Realicelasconversionesnecesariasparapoderresolvercadaproblema.

Datosdelenunciado Datosconvertidosi n i n

12%convertibletrimestralmente 3años 14%capitalizablecuatrimestralmente 6semestres 6,25%convertiblemensualmente 12años 16%convertiblemensualmente 9cuatrimestres 18%anualcapitalizabletrimestralmente 1añoy9meses 22%capitalizablequincenalmente 2añosymedio 18%semestralcapitalizablebimestralmente 7años 11%bimensualcapitalizablesemestralmente 14semestres 10%capitalizablesemanalmente 11meses 12%compuesto 9meses 15%compuesto 10años 22%mensualcompuesto 10meses 18%capitalizablesemestralmente 20años 15%capitalizablecuatrimestralmente 15años 24%convertiblemensualmente 2años 11%quincenalconvertiblemensualmente 6meses 22%convertiblesemestralmente 5trimestres 10%convertibletrimestralmente 4bimestres 28%mensualconvertiblediariamente 1mesy22días

2) Pedí un préstamo por UM 8000000 el 5 de Agosto de 2005 al 40% capitalizablebimensualmente.¿Cuántomecorrespondepagarparaliquidarladeudael31deDiciembredelmismoaño?

3) SecolocanUM3500000enunalibretadeahorrosquedael8%semestralconcapitalizacionesmensuales. ¿Cuánto habrá en la libreta al pasar 2 años y 8 meses? ¿Cuánto se ganó porconceptodeintereses?

4) Lacajadeahorrosdeunaempresacoloca todosucapitaldeUM320millonesenbonosdelestadoquegarantizanun3,4%trimestralcapitalizablesquincenalmente.¿Cuántohabrápararepartirentresussociosporconceptodeinteresesalpasarunaño?

5) Se sabe quéhace15 añosunapropiedad costabaUM900.000. Si se considerauna tasadeinflaciónpromediodel10% anual capitalizable semestralmente, ¿Cuánto valehoy? ¿Cuántovaldrádentrode18años?

6) Una revista predice que una computadora costará dentro de 3 años UM 5 millones. Si seconsideraunatasa inflacionariadel14%semestralcapitalizableanualmente,cuántocostaríadichacomputadorahoy?¿Cuántocostarádentrode8años?

http://members.fortunecity.com/ceugev/Matfinprob3.htm



7) Unseñordeseatenerdentrode20añosuncapitaldeUM100millonesenelbanco,paralocualdebedepositarhoyciertacantidadydejarlaganando intereses.Sielbanco leofreceun12%semestralconvertiblecadatrimestree.¿Cuántodebedepositarhoy?¿Cuántoganadeinteresesenlosúltimos5años?

8) ¿Cuántosmesesdebenestar invertidosUM40millonesal32%capitalizabletrimestralmenteparaqueganenUM9millonesdeintereses?

9) UnapersonarecibeUM80millonesporprestacionessocialesydeseainvertireldineroenuninstrumento financieroque leda20%concapitalizaciónmensual.La inversiónduraráhastaqueacumuleUM81millones.¿Cuántodurarásuinversión?

10) Los intereses obtenidos en 8 meses por una inversión de UM 2530000 alcanzan los UM450000.Determineaquétasadeinterésconcapitalizaciónmensualfueroncolocados.




TasasequivalentesLadefinicióndetasasdeinterésequivalenteseslamismaqueladelinteréssimple.Noobstante,larelacióndeproporcionalidadquesedaenelinteréssimplenoesválidaenelinteréscompuesto,comoesobvio,elcálculodeinteresessehacesobreunabasecadavezmayor.Ejemplo:(Valoracumuladodeunainversión)Calcular el valor acumulado de una inversión de UM 5,000 durante un año, en las siguientescondiciones:

Resolución:

VA=5,000;n=1...4;i=0.15anual,0.075semestraly0.0375trimestralConinterésanualdel15%:[19]VFn=5,000(1+0.15)1 =UM5,750.00Coninteréssemestraldel7.5%:[19]VFn=5,000(1+0.075)2 =UM5,778.13Coninteréstrimestraldel3.75%:[19]VFn=5,000(1+0.0375)4=UM5,793.25Losresultadosnosonlosmismos,debidoaquelacapitalizacióndelosintereseslohacemoscondiferentesfrecuenciasmanteniendolaproporcionalidadenlasdiferentestasasdeinterés.Para lograrque,cualquieraquesea la frecuenciadecapitalización yelvalor finalsigasiendoelmismoesnecesariocambiarlafórmuladeequivalenciadelastasasdeinterés.Elpagode los intereses es al vencimiento opor anticipado.El interésnominal,por lo generalcondicionalaespecificacióndesuformadepagoenelaño.Paradeterminaraquétasadeinterésvencida(iv)equivalenunosinteresespagadosporanticipado(ia)debemostomarencuentaquelosmismosdebenreinvertirseyéstosasuvezgeneraráninteresespagaderosporanticipado.Interés anticipado (ia), como su nombre lo indica, es liquidado al comienzo del período(momentoenelquerecibimosoentregamosdinero).Interésvencido(iv),contrariamentealanterior,esliquidadoalfinaldelperíodo(momentoenelquerecibimosoentregamosdinero).Muchasnegociacionessonestablecidasentérminosde interésanticipadoyesdeseableconocercuál es el equivalente en tasas de interés vencido. Ejercicios corrientes, lo constituyen lospréstamosbancariosyloscertificadosdedepósitoatérmino.


Cuando especificamos el pago de interés anticipado (ia), estamos aceptando (en el casopréstamos)recibirunmontomenoralsolicitado.Fórmulasdelatasadeinterésvencidayanticipada:

[A]ia

iaiv-

=1

[B]iv

ivia+

=1

Con la fórmula [A] podemos convertir cualquier tasa de interés anticipada, en tasa de interésvencida. Esta fórmula es utilizada sólo para tasas periódicas; tasas utilizadas en determinadoperíodoparacalcularelinterés.Ejemplo:(Calculandolatasavencida)Latasadeinterésanticipadade9%trimestralequivalea:

Resolución:

ia=0.09;iv=?

[A] 09889.009.01

09.0=

-=iv

Para utilizar esta conversión debemos trabajar con la tasa correspondiente a un período. Porejemplo,latasadeinterésde9%anticipadaaplicableauntrimestre.Ejemplo:(Tasavencida)Si la tasade interésanuales28%,con liquidación trimestralporanticipado (lacuartaparteescobradacadatrimestre)¿acuántoequivaleeseinteréstrimestralvencido?

Resolución:

Tasadeinteréstrimestralanticipada=0.28/4=0.07Tasadeinteréstrimestralvencida:

[A] 0753.007.01

07.0=

-=iv

Ejemplo:(Tasaanticipada)Sielbancodicecobrarlatasadeinterésde30%anual,liquidadocadames,vencido,¿aquétasadeinterésmesanticipadocorrespondeeseinterés?

Resolución:

Elinterésmensualvencidoes:0.30/12=0.025Elinterésmensualanticipadoes:

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|TasaNominal 27

[B] 0244.0025.01

025.0=

+=ia

Luego,elinterésnominalmesanticipadoes:2.44%*12=29.27%

TasaNominal

Latasanominaleslatasadeinterésquenoconsideralosperíodosdecapitalizaciónqueexistendentrodelperíododetiempoaqueserefierelatasa.Generalmente,elperíododetiempoalcualestáreferidaestatasaeselaño.EstatasaconvencionalodereferencialofijaelBancoFederaloBancoCentraldeunpaíspara regular lasoperacionesactivas (préstamos y créditos) ypasivas(depósitosyahorros)delsistemafinanciero.Esunatasadeinteréssimple.

Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resultaequivalentedecirtasanominalotasanominalanual.

TasaEfectiva

Conelobjetodeconocerconprecisiónelvalordeldineroeneltiempoesnecesarioquelastasasdeinterésnominalesseanconvertidasatasasefectivas.

La tasaefectiva es aquella a laqueefectivamenteestá colocadoel capital.La capitalizacióndelinterés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectivamayor que lanominal.Estatasarepresentaglobalmenteelpagodeintereses,impuestos,comisionesycualquierotro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una funciónexponencialdelatasaperiódica.

Conelobjetodeconocerconprecisiónelvalordeldineroeneltiempoesnecesarioquelastasasde interés nominales sean convertidas a tasas efectivas. Por definición de la palabra nominal«pretendida,llamada,ostensibleoprofesada»diríamosquelatasadeinterésnominalnoesunatasacorrecta,real,genuinaoefectiva.

La tasade interésnominalpuedecalcularseparacualquierperíodomayorqueeloriginalmenteestablecido.Asíporejemplo:Unatasadeinterésde2.5%mensual,tambiénloexpresamoscomoun7.5%nominalpor trimestre (2.5%mensualpor 3meses);15%porperíodosemestral,30%anualo60%por2años.Latasade interésnominal ignoraelvalordeldineroeneltiempoy lafrecuenciacon lacualcapitalizael interés.La tasaefectivaes loopuesto.En formasimilar a lastasasnominales,lastasasefectivaspuedencalcularseparacualquierperíodomayorqueeltiempoestablecidooriginalmentecomoveremosenlasolucióndeproblemas.

Cuando no está especificado el período de capitalización (PC) suponemos que las tasas sonefectivasyelPCeselmismoquelatasadeinterésespecificada.

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|TasaEfectiva 28

Esimportantedistinguirentreelperíododecapitalizaciónyelperíododepagoporqueenmuchoscasoslosdosnocoinciden.

Porejemplo:

Si una persona coloca dineromensualmente en una libreta de ahorros con el 18% de interéscompuestosemestralmente,tendríamos:

Períododepago(PP):1mes

Períododecapitalización(PC):6meses

Análogamente, si alguiendeposita dinero cada año en una libreta de ahorros que capitaliza elinteréstrimestralmente,tendríamos:

Períododepago(PP):1año

Períododecapitalización(PC):3meses

Apartirdeahora,parasolucionarloscasosqueconsiderenseriesuniformesocantidadesdeflujosdeefectivodegradienteuniforme,primerodebemosdeterminar larelaciónentreelperíododecapitalizaciónyelperíododepago.

Derivacióndelafórmuladelatasaefectiva

Una formasencillade ilustrar lasdiferenciasentre las tasasnominales yefectivasde interésescalculandoelvalorfuturodeUM100dentrodeunañooperandoconambastasas.Así,sielbancopagael18%de interéscompuestoanualmente,elvalor futurodeUM100utilizando la tasadeinterésdel18%anualserá:

VF=100(1+0.18)1=UM118

Ahora,sielbancopaga interesescompuestossemestralmente,elvalor futuro incluiráel interéssobre el interés ganado durante el primer período. Así, a la tasa de interés del 18% anualcompuestosemestralmenteelbancopagará9%deinterésdespuésde6mesesyotro9%despuésde12meses(cada6meses).

El cuadro no toma en cuenta el interés obtenido durante el primer período. Considerando elperíodo1deinteréscompuesto,losvaloresfuturosdeUM100despuésde6y12mesesson:

VF6=100(1+0.09)1=UM109.00

[19]VF12=109(1+0.09)1=UM118.81

9%representalatasaefectivadeinteréssemestral.Comovemos,elinterésganadoen1añoesUM18.81enlugardeUM18.Luego,latasaefectivaanuales18.81%.

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|Calculandolastasasefectivas

29

Lafórmulaparaobtenerlatasaefectivaapartirdelatasanominales:

= 1 + − 1, sesuelellamarTEA(TasaEfectivaAnual)[43]

=tasaperiódicaefectiva

j=tasanominal

m=númerodeperíodosdecapitalización

Despejandolafórmulaanteriorobtenemoslafórmuladelatasanominaldeinterésenfuncióndelatasaefectivaequivalente:

= (1 + )1 − 1 ,[44]

Luego: = ∗ ,

=

Fórmulaquepermitecalcularlatasaperiódicaapartirdelatasaefectivadada.

= (1 + ) − 1[43A]

Fórmulaquepermitecalcularlatasaefectivaanual(TEA)apartirdelatasaperiódicadada.

= [1 + ] − 1[43B]

Calculandolastasasefectivas

Conlafórmula[43]podemoscalcularlastasasefectivasdeinterésparacualquierperíodomayorqueeldecapitalizaciónreal.Porejemplo,latasaefectivadel1%mensual,podemosconvertirlaentasasefectivastrimestrales,semestrales,porperíodosde1año,2años,oporcualquierotromásprolongado.Enlafórmula[43]lasunidadesdetiempoeniyjsiempredebenserlasmismas.Así,sideseamos la tasade interés efectiva, i, semestral,necesariamente jdebe ser la tasanominalsemestral. En la fórmula [43] la m siempre es igual al número de veces que el interés estarácompuestoduranteeltiemposobreelcualbuscamosi.

Ejemplo:(Tasaefectiva)

Tenemosunatarjetadecréditocuyatasadeinteréses2.5%mensual.Determinarlatasaanualquerealmentemecuesta.Solución:


30

Datos:2,5%mensualesunatasaperiódica.Nospidenlatasaefectivaanual.

=2,5%mensual=0,025mensual,n=12.

Utilizandolafórmula[43B]

= [1 + ] − 1

= [1 + 0,025] − 1

= 0,3449oseaquelatasaefectivaanualequivalentees34,49%

Ejemplo:(Tasaefectiva)

UnpréstamonopagadoalBancotienelatasadeinterésdel3%mensualsobreelsaldopendientedepago.

1) Determinarlatasaefectivasemestral.Solución:Latasadeinterésesperiódicamensual.i=0,03mensual.SepideTasaEfectivaSemestralComolosolicitadoeslatasaefectivasemestralaplicamoslafórmula:

TEASEMESTRAL=(1+0.03)6-1=0.1941

2) Si la tasa de interés es de 7% por trimestre, calcular las tasas efectivas semestrales yanuales.

Solución:

Para la tasade7%por trimestre,elperíododecapitalizaciónes trimestral.Luego,enunsemestre,n=2.Portanto:

TEASEMESTRAL=(1+0.07)2-1=0.1449

TEAANUAL=(1+0.07)4-1=0.3108

3)Conlascifrasdel(2)determinarlastasasnominalesj.

Solución(3):

(1)i=0.07;n=2;j=?

j=0.07*2=0.14semestral

j=0.07*4=0.28anual


31

Ejemplo:(Cálculodetasasapartirdelatasanominal)

Calcular las tasas efectivas para 0.25%, 7%, 21%, 28%, 45%, 50% tasas nominales (j) conperíodos de capitalización (m) semestral, trimestral, mensual, quincenal, semanal y diariarespectivamente.

j=0.0025;m=2;i=?

= 1 + 0.00252

2− 1 = 0.0025

j=0.07;m=4;i=?

= 1 + 0.074

4− 1 = 0.071859

j=0.21;m=12;i=?

= 1 + 0.02112

12− 1 = 0.2314

j=0.28;m=52;i=?

= 1 + 0.2852

52− 1 = 0.3221

j=0.50;m=365;i=?

= 1 + 0.536

3− 1 = 0.6482

Losresultadossontasasefectivasanualesequivalentesatasasnominales.

Ejemplo:(CalculandolaTEA)

Una institución financierapublicitaquesutasade interéssobrepréstamosqueotorgaes1.86%mensual.Determinarlatasaefectivaanual.

Solución:Paracalcularlatasaefectivaanual:

i=0.0186;n=12;TEA=?

[43B]TEA=(1+0.0186)12-1=0.2475

i=0,2475


Ejemplo:(CalculandolaTasanominalapartirdeotranominal)

Hallarlatasanominal,convertiblemensualmente,equivalenteal6%convertiblesemestralmente.

Solución:Tenemosj=6%,n=2,iPER=0,03semestral

Luego:iEF=[1+0,03]2–1=0,0609

ApartirdeiEFàj=12[(1+0,0609)1/12–1]=0,05926

j=5,93%convertiblemensualmente

EJERCICIOS

1. Parainvertiruncapital,setienenlassiguientesopciones.

a. Inversiónaplazofijoconinterésdel21.5%capitalizablecadasemestre.b. Certificadosqueabonanel20.6%capitalizableporsemana.c. Bonosqueledanaganarel20.68%capitalizablecadames.

Las tres inversiones, ofrecen lamisma certeza de recuperar su inversión, ¿cuál deberáelegirse?

2. ¿Qué convienemás a los propósitos de una institución bancaria: prestar su dinero con

interesesdel25.3%anualcompuestoporsemanasoprestarloconel26.8%,capitalizableporsemestres?

3. ¿Cuál es la tasa anual capitalizable por semestres equivalente al 39 % anual

capitalizablepormeses?

4. ¿Aqué tasanominalconvertible trimestralmente,uncapitaldeUM30000.00crecerá aUM100000.00encincoaños?

5. ¿Cuáleslatasaefectivadeinterésqueserecibedeundepósitobancario,pactadoa18%deinterésanual(a)convertiblemensualmente,(b)convertiblesemestralmente?

6. Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 15% convertiblesemestralmente.

7. Tenemosuna tarjetade crédito cuya tasade interés es42% convertiblemensualmente.Determinarlatasaquerealmentemecuesta,asumiendoquelospagosnosondecontado.

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|Anualidades 33

AnualidadesUnaanualidadesun flujode caja con montosdedinero uniformes,esdecir, todos los flujosson iguales y los movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares. La circulaciónmonetariaesatravésdepagosdelaanualidad.Con este grupo de factores calculamos con rapidez el factor de acumulación de losintereses de pagos periódicos iguales, así como elmonto acumulado a pagar al final de unperíodo determinado. Estos cálculos pueden hacerse considerando pagos periódicos alvencimiento pospagable o por adelantado prepagables. También calculamos el factor deactualizacióndelosinteresesdepagosperiódicosiguales,asícomoelvaloractualapagardeunperíodoespecíficodentrodeuntiempoestablecido.Las anualidades no siempre están referidas a períodos anuales de pago. Las fórmulas de lasanualidadespermitendesplazareneltiempoungrupodecapitalesalavez.Algunosejemplosdeanualidadesson:

· Lospagosmensualesporrenta.· Elcobroquincenalosemanaldesueldos.· Losabonosmensualesaunacuentadecrédito.· Lospagosanualesdeprimasdepólizasdesegurodevida.

El intervalo o periodo de pago (n), es el tiempo que transcurre entre un pago (C) u otro y elplazo de una anualidad es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo y elperiodofinaldepago.Rentaeselpago(C)periódico.Losprincipaleselementosqueconformanlaanualidadson:CPagoPeriódico,llamadotambiéntérmino.Eselimportecobradoopagado,segúnseaelcaso,encadaperíodoyquenocambiaeneltranscursodelaanualidad.VF,elvalor futuroviene a ser la sumade todos lospagosperiódicos (C),capitalizadosal finaldelenésimoperíodo.VA, el valor actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (C), descontados oactualizadosaunatasadeinterés.i,eslatasadeinterésporperíodo,tienelacaracterísticadesersimultáneamentenominalyefectiva.Tambiénrepresentalatasaanualdeefectivo(TEA).n, obtenemos el número de períodos multiplicando el tiempo por la frecuencia decapitalizacióndelosintereses(n=t*m).Lasanualidadescumplenconlassiguientescondiciones:1. Todoslospagossondeigualvalor.2. Todoslospagossonaigualesintervalos.3. Todoslospagossonllevadosalprincipiooalfinaldelaseriealamismatasa.4. Elnúmerodepagosdebeserigualalnúmerodeperíodos.


Gráficamente:

Valorfinancierodeunaanualidadenelmomentot(Vt)Es el resultado de llevar financieramente capitalizando o descontando las cuotas de laanualidadadichomomentodetiempot.CasosParticularesSi t = 0 (siendo 0 el origende la anualidad)nos encontramos con el valor actual, esdecir,cuantificarlostérminosdelaanualidadenelmomentocero.Sit=n(siendonelfinaldelaanualidad)definidocomoelvalorfinalovalorfuturo,resultadodedesplazartodoslostérminosdelaanualidadalmomenton.ClasesdeanualidadesAtendiendoalavariedaddecomponentesqueintervienen,lasanualidadesseclasificanen:

A)Deacuerdoconlasfechasdeiniciaciónytérminoéstasson:1) Anualidadesciertas.Susfechassonfijas,establecidasdeantemano.

Ejemplo:Enunacompraacrédito,tantolafechaquecorrespondealprimeryúltimopagosonconocidos.

2) Anualidad contingente. En este tipo de anualidades, tanto la fecha del primer yúltimopago,generalmentenoseestablecenanticipadamente.Ejemplo:Unarentavitaliciaoperpetuaquetienequeabonarun cónyuge alamuertedelotro.Almorirelcónyugeseinicialarentayéstafechaesdesconocida.

B)Deacuerdoalosintereses(asuperiododecapitalización),lasanualidadesson:3) Simples.Cuandoelperiododepagocoincideconeldecapitalizacióndelosintereses.Ejemplo:Elpagodeunarentamensualconinteresesal32%decapitalizaciónmensual.4) Generales.Aquellasenlasqueelperiododepagonocoincideconeldecapitalización.Ejemplo: El pago de una renta semestral con intereses al 36% anual capitalizabletrimestralmente.C)Deacuerdoconelvencimientodelospagos,éstasson:5) Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en que lospagossonasuvencimiento,esdecir,alfinaldecadaperiodo.Ejemplo,elpagodesalariosalosempleados,eltrabajoesprimero,luegoelpago.


6) Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables efectuadas al principio de cadaperiodo.Ejemplo,elpagomensualporarriendodeunacasa,primeroeselpago,luegoelusodelinmueble.

El VAy VF de las anualidades prepagables son elresultado de capitalizarun período laspospagablesmultiplicándolaspor(1+i).

D)Deacuerdoalmomentodeinicioomomentodevaloración:7) Inmediatas. Las más comunes. Los cobros o pagos tienen lugar en el periodo

inmediatamentesiguientealaformalizacióndeltrato.Valoramoslaanualidadensuorigenoensufinal.Ejemplo: Hoy adquirimos un producto a crédito, a pagar mensualmente. El primerpago puederealizarse hoy o el mes siguiente, las cuotas pueden ser anticipadas(prepagables)ovencidas(pospagables).

8) Diferidas.Loscobrosopagosson llevadosacabotiempodespuésde formalizadoeltrato(seposponeoaplaza),esdecir,elprimerpagoesdespuésdetranscurridociertonúmerodeperíodos.Lavaloracióndelaanualidadesenunmomentoposteriorasuorigen.Significaelvalor actual o futuro de una anualidad en n períodos a la tasa i, pospagables (vencidas) oprepagables(anticipadas).Valoractualofuturodeanualidadesadelantadasoprepagables,consisteencalcularlasumadelosvaloresactualesdelospagosaliniciodelaanualidadmultiplicandoelresultadopor(1+i).Valor actual o futuro de anualidades vencidas o pospagables, consiste en hallar la suma detodoslospagosperiódicosaunamismatasadeinterésalfinaldelplazodelaanualidad.Son cantidades periódicas y uniformes, equivalentes a un valor actual o valor futuro, a unadeterminadatasadeinterés.E)Segúnlaclasedeinterés9) Simpleoenprogresiónaritméticay,10) CompuestaoenprogresióngeométricaEn lapresenteobra,utilizaremos los términos:anualidadvencida cuando tratemos con rentaspospagablesyanticipadascuandotratemosconrentasprepagables.


Las anualidades que estudiaremos a continuación nos permiten determinar el valor actual ofuturoatravésdemodelosmatemáticosquevaríanenprogresióngeométricacrecienteodecreciente.Tratasedeanualidadesconstantesouniformespospagablesoprepagables.

Los valores actuales y futuros de las anualidades (gradientes, perpetuidades) anticipadas(adelantadas)oprepagablessoncalculadasapartirdelasvencidasopospagablesmultiplicándolaspor(1+i),reiteramos,elVAoVFdelasanualidadesprepagablessonelresultadodecapitalizarunperíodolaspospagables.

AnualidadesuniformesLas anualidadesde valoruniformepueden, a su vez, subdividirse en unitarias ono unitarias,pospagablesyprepagables, temporales o perpetuas, inmediatas (valoramos la renta en suorigen o final), diferidas o anticipadas, enteras (cuota y tasa están en lamismaunidaddetiempo)yfraccionadas.Enestapartevamosadesarrollaranualidadesconstantes,unitarias,temporales,inmediatasyenteras,operandoconelinteréscompuesto.Las fórmulasde la [24] a la [32] sonde aplicación para el cálculode anualidades vencidas opospagables.

(A)FactoresparaelcálculodelvaloractualoinicialdelcapitalAplicando los conceptos del valor actual obtenemos los factores 3º y 4º, con los cualesactualizamos el flujoconstante de la anualidad. Obtenemos el valor actual descontando ainterés compuesto cada uno de lospagos ocuotas a latasa i,desdedondeestácadacapitalhastaelorigen.Generalizamosloexpuestomediantelasiguienteecuación:

Ylorepresentamoscomo:

Permitesumarntérminosenprogresióngeométricadecreciente.

Factordeactualizacióndelaserie(FAS)Permite pasar de series uniformes a valor actual. Transforma series de pagos uniformes


equivalentesavaloractualovaloractualneto(VAN).EnestecasotratamosdeactualizarelvalordecadaCdesdeelfinaldecadaperíodo.UnavezquelosvaloresdeCestánconvaloresactualesprocedemosatotalizarlasuma.

Muyutilizadaenoperacionesfinancierasycomercialesparadeterminarlatasaderendimientoyenventasaplazos.

Factorderecuperacióndelcapital(FRC)Transforma un stock inicial VAen un flujoconstante o serie uniforme C. Conocido enelmundodelasfinanzas comoFRC,definido comoel factorque transformaunvalorpresente aseriedepagosuniformesequivalentes.

Utilizadoenoperacionesdecréditoyenlaevaluacióndeproyectos.Ejemplo(FRC-Cuotasvencidas)Una institución tieneprogramado llevar acabocampañasde venta entre susafiliados yasume, como monto contado el valor de UM1200, para su pago en 36 mensualidades constantes pospagablesa2.87%mensual.Calcularelvalordelascuotasmensuales. Solución:VA=1200;i=0.0287;n=36;C=?

Respuesta:Elvalorpospagabledecadaunadelas36cuotasesUM53.90.

(B)FactoresparaelcálculodelvalorfuturoofinaldelcapitalEn lasolucióndeproblemasdeeste tipoaplicamosen formasucesiva la fórmula[19]VF=VA


(1+ i)ndelvalorfuturo,paralocualesnecesariohallarlosmontosparcialesdecadaCdesdeelmomento de su abonohasta el finaldelperíodon. Laprimera C depositada a finalesdelprimerperíodonseconvierteC(1+i)n-1.Elexponenteesn-1porquelaprimeraCcapitalizadesde el inicio del 2º período. Como la última C esdepositadaal finaldelperíodo nnoganaintereses.Sinembargo,sumontoesrepresentadocomoC(1+i)0.Generalizando,tenemos:VF=C(1+i)0+C(1+i)1+C(1+i)2+...+C(1+i)nRepresentalasumadentérminosenprogresióngeométricacreciente,quelocalculamosconlasiguienteecuación:

Factordecapitalizacióndelaserie(FCS)Factorparapasardeseriesuniformesavalorfuturo(Capitalizacióndeunaserieuniforme).Transforma lospagos e ingresos uniformes a valor futuro único equivalente al final delperíodon.EstefactorconviertepagosperiódicosigualesdefindeperíodoC,envalorfuturoVF.

Factordedepósitodelfondodeamortización(FDFA)FactorutilizadoparatransformarstocksfinalesVFenflujososeries(depósitos)uniformesC.O también, transforma valores futuros del final del período n en valores uniformesequivalentesperiódicos.Operandolaecuación[27],tenemos:


Características:1. Losfondosdeamortizaciónsólosirvenparaelpagodelcapital.2. Ladeudapermaneceinvariablehastacompletarelfondo.Para elcálculodelvalorfuturodeunaseriedepagos iguales, unperíododespuésdelúltimopago,empleamoslafórmula:

Desarrollandolasumatoriatenemos:

Ejemplo(FCS-VFvencida)Si cadatresmesesdeposito UM 1800 en un banco que paga el 18% de interés anual capitalizando trimestralmente. ¿Qué monto habréacumuladodespuésdeefectuar48abonos?.

Solución:C=1,800;i=(0.18/4)=0.045;n=(48/3)=16;VF=?

ResultaindiferenteabonarUM600mensualesoUM1,800trimestrales,porcuantoelbancocapitalizalosahorrostrimestralmente.CalculamoselVFconlafórmula[27]oconlafunciónfinancieraVF:

Respuesta:

Elmontodelainversiónperiódicadespuésde48abonosesdeUM40,894.81conambosmétodos.


AnualidadesanticipadasoprepagablesAnticipar(Dellat.anticipare).Hacerquealgosucedaantesdeltiemposeñaladooesperableoantesqueotracosa.Aquellasanualidadesvaloradasanticipadamenteasufinal.Eltiempoquetranscurreentreelfinaldelaanualidadyelmomentodevaloracióneselperíododeanticipación.Reiteramos,que los valoresactualesyfuturosde las anualidadesanticipadas(adelantadas)oprepagablesson calculadas apartirde las vencidas opospagablesmultiplicadopor (1 + i),esdecir,elVA oVFde lasanualidadesprepagablessonelresultadodeactualizarocapitalizarconunperíodomáslaspospagables.Porestarazónlosresultados(VAoVF)delasprepagablesson siempre mayores que de las pospagables.Aplicable también a las funciones financierasde Excel, Tipo cero (0) o se omite, significa pago al final delperíodo; tipo uno (1) significapago al principio del período, que viene a ser lo mismo que multiplicar los resultados por(1+i).Ejemplo(VAyVFdeanualidadprepagable)

Determinar el valor actual y futuro de una renta de 4 cuotas anuales prepagablesde UM 2500 si latasaes del9%anual.

Solución:(Calculandoelvaloractual)C=2,500;n=4;i=0.09;VA=?1º Para el cálculo del VA aplicamos la fórmula [24] o la función VA, multiplicamos losresultadospor(1+0.09):

Solución:(Calculandoelvalorfinalofuturo)C=2,500;n=4;i=0.09;VF=?2ºParaelcálculodelVFaplicamoslafórmula[27]:

Ejemplo(FAS-FCS,VAyVFdeanualidadesvencidasyanticipadas)¿Cuánto debo invertir hoy y cuánto tendré al final al 7% compuesto anualmente para poder retirarUM 2800 al final o principio de cada uno de los cinco años que dura elnegocio?

Solución:VAdeanualidadespospagablesyprepagables

C=2,800; i=0.07; n=5; VA=?CalculamoselVApospagableaplicandolafórmula[24]olafunciónVA:

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|AnualidadesDiferidas 41

Multiplicandoelresultadoanteriorpor1.07obtenemoselVAprepagable:

Multiplicandoelresultadoanteriorpor1.07obtenemoselVFprepagable:

Respuesta:

Elmontoainvertirhoyencuotasvencidases UM 11,480.55ElmontoainvertirhoyencuotasanticipadasesUM 12,284.19Elmontoquetendréconcuotasvencidases UM 16,102.07Elmontoquetendréconcuotasanticipadases UM 17,229.21

AnualidadesDiferidas Diferir(Dellat.differre).Aplazarlaejecucióndeunacto.Sonaquéllasanualidadesvaloradasconposterioridadasuorigen.Eltiempoquetranscurreentreelorigendelaanualidadyelmomentodevaloracióneselperíododediferimiento,graciaocarencia.

Para valorar la anualidad diferida, primero calculamos la anualidad en su origen;considerándola como anualidad inmediata determinamos el valor actual; posteriormentedescontamos el valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, a interéscompuesto y a la tasa de interés vigente durante el período dediferimiento. El diferimientoúnicamente afecta al valor actual, el valor futuro es calculado como una anualidadinmediata. Las fórmulas para este tipo de anualidades son las mismas que para las rentasvencidasyanticipadasconladiferenciaqueéstastienenperíodosdegracia.

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|AnualidadesDiferidas 42

Ejemplo(Anualidaddiferida)Compramos hoy un producto a crédito por UM 60000, para pagar en 20 cuotastrimestrales, el primer abono lo hacemos al año de adquirido. Determinar la rentaasumiendounatasaanualde32%capitalizable trimestralmente. Solución:VA=60,000;n=20;i=(0.32/4)=0.08;CPAGOS=?

Paracalcularelvalordecadacuotaaplicamosenformacombinadalasfórmulas[19]y[25]:

Finalmente,elaboramoselcronogramadepagos:

Como vemos, el primerpago lohacemos en el trimestre 4 que es el final del primer año,haytresperíodoslibresodegraciaconacumulaciónde intereses.Luego, laanualidadse iniciaeneltrimestre3(conunsaldodeUM75,583)yterminaenel23,elvaloractualdeéstaoperaciónfinancieraeselpunto0dondeestáubicadalafechafocal(UM60000).

Respuesta:ElvalordecadapagoesUM7698.27

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|EJERCICIOS: 43

EJERCICIOS:

1. ¿Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran UM 100 000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente?

2. ¿Cuál es el monto acumulado de UM 2 000 semestrales depositados durante cuatro años y medio

en una cuenta bancaria que rinde 28% capitalizable semestralmente?

3. El doctor González deposita $ 100. Al mes de haber nacido su hijo. Continua haciendo depósitos mensuales por esa cantidad hasta que el hijo cumple 18 años de edad para, en ese día, entregarle lo acumulado como un apoyo para sus estudios. Si durante los primeros seis años de vida del hijo la cuenta pago 36% anual convertible mensualmente, y durante los doce años restantes pago 2% mensual. ¿Cuánto recibió el hijo a los 18 años?

4. ¿Qué es más conveniente para comprar un automóvil? :

a. Pagar UM 26 000 de contado o b. UM 13 000 de enganche y UM 1 300 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el

interés se calcula a razón del 42% convertible mensualmente.

5. Un empleado consigna UM 300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar UM 30 000?

6. Si deposito UM 40 000 cada semestre durante 8 años a una tasa del 8,4% semestral. ¿Cuánto capital lograré acumular?

7. Se adquiere una deuda agropecuaria por UM 20 000 a la tasa preferencial del 16% capitalizable

trimestralmente. La forma de pago es: Un año y medio de gracia y luego pagos sucesivos trimestrales durante 5 años. Determine el monto de dichos pagos.

8. Se desea pagar una deuda de UM 2 500 000 con pagos diarios de UM 8 000. ¿Cuántos días se

tardará en finiquitar la deuda? Asuma un 28% anual con liquidación diaria y el último pago por exceso y defecto.

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|Amortización 44

AmortizaciónAmortizacióneselmétodopormediodelcualsevaliquidandounadeudaenpagosparciales.Elimportede cadapago sirvepara solventar los interesesde ladeuda, yel sobrante se abonaalcapitalquesedebeeneseperíodo.Paraencontrarcadaunadelasvariablesoincógnitas,seutilizalafórmuladelValorActualdelosdiversos tipos de anualidades. Generalmente, se calcula con base en el valor actual de lasanualidadesordinarias;poresolafórmulautilizadaparadeterminarlacuotasueleser:

=(1 + )

(1 + ) − 1

Enlaamortizaciónsedemuestraque:Ø Elcapitalvadisminuyendoconformesevandandolospagos,hastasuliquidacióntotal.Ø Alirreduciéndoseelcapital,losinteresestambiénvandescendiendo.Ø La amortización del capital va aumentando conforme pasan los períodos, al ir

disminuyendo–enlamismaproporción-losintereses.Ø Lasumadelasamortizacionesseráigualalvaloractualocapitalinicialdelpréstamo.

TablasdeamortizaciónParasumayorcomprensión,lasamortizacionespuedenrepresentarseenunamatrizdonde:Lascolumnasrepresentanlosiguiente:Ø Laprimeramuestralosperíodos(n)Ø LasegundaelSaldoinicialdecadaperíodo.Ø Laterceraindicalosintereses(I),yresultademultiplicarelsaldofinalanteriorporlatasa

deinterésdelperíodo.Ø La cuarta señala la amortizacióndelperíodo, y resultade restaralpagodelperiodo los

interesesdelmismo.Ø Laquintamuestraelpagoperiódico.Ø Lasextaexpresaelsaldoinsolutodeladeudadelperíodoanterior,queseobtienealhacer

algunodeestosprocedimientos.· Restaralcapitaliniciallaamortizaciónacumuladahastaeseperíodo,o· RestaralSaldodelperíodoanteriorlaamortizacióndelperíodoactual.

Losrenglonesofilasdelatablarepresentanlasoperacionesdecadaperiodo.


Ejemplo:SeobtieneunpréstamoporUM120000, loscualessevan a liquidarpormediode 6pagos trimestrales iguales, con una tasa de interés del 20% convertible trimestralmente. ¿Decuántoserácadapago?Completelatabladeamortización.VA=120000 n=6 i=0,20/4=0,05trimestral C=?

=(1 + )

(1 + ) − 1

= 1200000,05(1 + 0,05)6

(1 + 0,05)6 − 1 = 23642,10

Tabladeamortización

Trimestres SaldoInicial

Interés Amortiza-ción

PagoPeriódico

SaldoFinal

1 120000,00 6000,00 17642,10 23642,10 102357,902 102357,90 5117,90 18524,21 23642,10 83833,703 83833,70 4191,68 19450,42 23642,10 64383,284 64383,28 3219,16 20422,94 23642,10 43960,345 43960,34 2198,02 21444,08 23642,10 22516,266 22516,26 1125,81 22516,29 23642,10 0,00

DebidoalredondeosepresentaunapequeñavariaciónenelSaldoFinaldelaoperación.

FondosdeamortizaciónEselmétodoporelcualseproveeelmonto,pormediodeunaseriedecuotasperiódicas,paraliquidarunadeuda.Asimismofuncionaparaahorrarorecuperarelvalorhistóricodeun activo. Esto se realiza invirtiendo una serie de pagos iguales, en períodos iguales,duranteellapsodevidaútildelbien,conlafinalidaddeacumularunmontodisponibleenefectivoparavolveracomprarelsustitutivodelactivoaltérminodesuuso.Estaprácticaesmuy común en la actividad financiera, aun cuando, al llegar al finde su vida útil, lacantidadacumuladanollegueacubrirelcostodelbien.Enesterubro,seutilizanlas fórmulasdecuotaperiódicaconsiderandoelvalor futurodelasdiferentesanualidades,generalmenteordinarias:

= (1 + ) − 1


TablasdefondosdeamortizaciónLascolumnasseconformanasí:Ø Laprimeraexpresalosperíodos(n).Ø Lasegundalospagosocuotasperiódicas(C)Ø La tercera los intereses (I)delperíodo, yresultademultiplicarelsaldo finaldelperíodo

anteriorporlatasadeinterés(i)Ø Lacuartaelmontoacumuladodel fondodeamortización, ysecalcula sumando lacuota

periódicamáslosinteresesdelperíodo.Ø La quinta el saldo final, resulta de la suma del saldo final del período anteriormás la

cantidadqueseacumulaalfondodelperíodo.Losrenglonesmuestranlasoperacionesdecadaunodelosperíodos.Ejemplo:¿Cuálserálacuotaanualparaacumular,alcabode6años,unmontodeUM240000,sidichas rentas obtienen un rendimiento del 8% anual? (Los UM 240 000 representan el valorfuturodeunactivoadquirido,que sepretende reemplazaral finalde suvidaútil,queesde 6años).

= (1 + ) − 1

= 2400000,08

(1 + 0,08)6 − 1 = 32715,69

Tablafondodeamortización

Períodos Cuotas

PeriódicasIntereses Monto

queseacumula

SaldoFinal

1 32715,69 0,00 32715,69 32715,692 32715,69 2617,26 35332,95 68048,643 32715,69 5443,89 38159,58 106208,224 32715,69 8496,66 41212,35 147420,575 32715,69 11793,65 44509,34 191929,916 32715,69 15354,39 48070,08 239999,99


EJERCICIOS

1. UnpréstamodeUM4000sevaaamortizarpormediode8pagosmensualesiguales.Hallarelvalordelpagomensualsi latasade interésesdel34%capitalizablemensualmente,yelaborarunatabladeamortización.

2. AntoniocompradeunacasavaluadaenUM230000ypagaUM15000deprima.Antonio

obtieneunpréstamohipotecario a20añosporel saldo.Si se cobraun interésdel29%capitalizable cada mes, ¿cuál sería el valor del pago mensual? Elabórese una tabla deamortizaciónparalosprimeros6meses.

3. UnlaboratoriodeanálisisquímicoscompraunacentrífugaenUM2890dólares,quesevaa

pagarde la siguientemanera:20%deprima, y4pagosmensuales iguales.Si la tasadeinterés es del 10% anual capitalizable cadames, calcúlese el valor del pagomensual yformúleselatabladeamortización.

4. SeliquidaunadeudamediantecincopagosmensualesdeUM1965.19cadauno,loscuales

incluyeninteresesdel36%anualcapitalizablecadames.Encuentreelvalororiginaldeladeudayelaborelatabladeamortización.

5. Lavidaútildeciertoequipoindustrialqueacabadeseradquiridoporunacompañíaesde

5años.Conelfindereemplazarloalfinaldeestetiempo,lacompañíaestableceunfondodeamortizaciónefectuandodepósitosanualesenuna cuentabancariaquepaga el9.6%anual. Si se estima que el equipo costará UM 42740, halle el valor de cada depósito yelaborelatabladecapitalización(FondodeAmortización).

6. Ramóndesea tenerUM12000paradarlosdeprimaparaunacasa.SipuedeahorrarUM

1300cadamesenunbancoquelepagaunatasade interésdel2.24%mensual,¿cuántotiempotardaráenacumularlosUM12000?Constrúyaselatabladecapitalización.

7. Una empresadebepagardentrode 6meses la cantidaddeUM40000.Paraasegurarel

pago, el contador propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondomediantedepósitosmensualesaunacuentaquepagael30%convertiblemensualmente.¿Decuántodebenser losdepósitos?Construyaunatablaquemuestre la formaenqueseacumulaelfondo.

MatemáticaFinanciera.Prof.JorgeCastroMonge,M.Sc.|Lasperpetuidades 48

Lasperpetuidades

Unaperpetuidadesunaanualidadcuyopagoseiniciaenunafechafijaycontinúaparasiempre.Con la suposición de que una compañía nunca quebrará, los dividendos sobre sus accionespreferentes pueden considerarse como una perpetuidad. Es claro que no puede hablarse delmontodeunaperpetuidad,sinembargo,tieneunvaloractualdefinido.Elvalordelaanualidaddemuchostérminos,llamadaperpetuidad,escalculadaconlasiguientefórmula:

=

Lasperpetuidadespermitencálculosrápidosparadeterminarelvalorde instrumentosderentafija (VAP)demuchosperiodos.En este caso, «C» es el rendimiento periódico e «i» la tasadeinterés relevante para cada período. Ejemplos de perpetuidades son también las inversionesinmobiliarias con canonde arrendamiento,dada la tasade interés aproximamos el valorde lainversión(C).Porlogeneral,latasadeinterésescasisiempreanualyelcanondearriendoesmensual,porlocual deberá establecerse la tasa de interés equivalente para este período de tiempo. Otrasaplicacionesimportantessonlaspensionesorentasvitalicias.Ejemplo:Para quemis 2 hijos estudienbecados enunauniversidaddeprestigio,dentrode10 años, esrequisitofundamental-entreotros-depositareldíadehoyunasumadedineroenunainstituciónfinancieraquepagaporahorrosdeestetipoel1.5%mensualmenteyquepermitealainstitucióndisponerdeUM2500mensualesaperpetuidad.¿Cuántodebodepositareldíadehoy?.Solución:C=2,500;i=0.015;VAP=?

=25000.015 = 166666,67

Respuesta:DebodepositareldíadehoyUM166666,67.MensualmenteeldineroganaUM2,500deinterés.Esteinterésconstituyelabeca.

PerpetuidadescompuestasHaydosvariacionesalasituaciónbásicaobtenidaantes,cuandoelintervalodepagoyelperiododeinterésnocoinciden.Tenemoselsiguientecaso.


Una compañía espera pagar $250 cada seis meses, indefinidamente, como dividendo sobre susacciones. Suponiendoun rendimiento del 6% anual convertible semestralmente, ¿cuánto se debepagarporcadaacción?Enestecasoelperiododeinterésyelperiododepagosoniguales,ambossedansemestralmente,porloquelaperpetuidadessimple:C=250i=0,06/2=0,03

=2500.03 = $8333

¿Cuánto debería pagar por cada acción si se espera una reditualidad del 5% convertibletrimestralmente?Enestecasoelintervalodepagoescada6mesesyelperiododeinterésescada3meses.Enloscasosenlosqueestosperiodosnocoincidendebemosutilizarlasiguientefórmula:

= (1 + ) − 1 , ú é .

Enelcasoanteriortenemosque:C=250,i=0,05/4=0,0125k=2(“periodosdeinterésporcadaperiododepago)

= (1 + ) − 1 = 250

(1 + 0,0125)2 − 1 = 250

0,02515625 = $9937,89

¿Cuántodeberíapagarporcadaacciónsiseesperaunareditualidaddel5%convertibleanualmente?C=250,i=0,05,k=1/2(½periododeinterésporcadaperiododepago)

= (1 + ) − 1 = 250

(1 + 0,05)12 − 1

= 250

0,02469508 = $10123,50


Ejercicios:

1. Hallar el valor actual de una perpetuidad de $780 pagaderos al final de cada año,suponiendo un interés de : (a) 6% anual, (b) 6% convertible semestralmente, (c) 6%convertibletrimestralmente.

2. Hallarelpagosemestraldeunaperpetuidadcuyovaloractuales36000UMsuponiendoun

interésde4%convertiblesemestralmente.

3. Suponiendoqueuna fincaproduzca5000UManuales indefinidamente, ¿cuál es elvalorrealsobrelabasedel5%?

4. ¿Quécantidadesnecesariaparapatrocinarunaseriedeconferenciasquecuestan$2500al

principio de cada año, indefinidamente, suponiendo intereses del 5% convertiblestrimestralmente?

5. Unapersonadeseadepositarenuna instituciónunacantidadtalque leproporcioneasuhijopagosde$1250cada6meses.Silaempresapagael3%convertiblesemestralmente,¿cuánto tendráquedepositarhoy? ¿Cuál seráelmonto adepositar si la tasaesdel5%anual?

interés simple · pdf filematemática financiera. prof. jorge castro monge, m.sc....

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