Interaction newtonienne ; champ 1/r2

Exercice 1: Utilisation de la 3ème loi de Kepler

Un satellite terrestre a son périgé à 350km d'altitude, et une période de 5843s.

1. Calculer le demi-grand axe de sa trajectoire (on donne RT = 6.4 106 m, g0 = 9.8 ms-2).

2. Calculer l'excentricité e de cette trajectoire, ainsi que l'altitude de l'apogée.

Exercice 2: Demi-ellipse dite « de transfert »

Un satellite de masse m tourne autour de la terre sur une orbite circulaire (orbite "basse", rayon

r1 et vitesse V1), on veut le transférer sur une orbite circulaire (orbite "haute", rayon r2 et

vitesse V2). Pour cela, on lui fait décrire une demi-ellipse (dite orbite de transfert) dont un des

foyers est le centre de la terre, et qui se raccorde tangentiellement aux deux orbites circulaires

précédentes. On allume donc les propulseurs du satellite pendant une durée brève au début et à

la fin de cette demi-ellipse, ce qui correspond à communiquer à chaque fois au satellite un

supplément de vitesse (sans changement de sa direction) de façon quasi-instantanée.

Calculer ces suppléments de vitesse. On donne: r1=6700km, r2=42000km, rayon terrestre

RT=6400km, champ de gravitation au niveau du sol: g0=9.8ms-2.

Exercice 3: Trajectoire circulaire-Satellite géostationnaire

Dans le référentiel géocentrique (supposé galiléen), un satellite artificiel de masse m se déplace

suivant une orbite circulaire de rayon r=R+h autour de la terre (h étant son altitude par rapport

à la surface terrestre). Ce mouvement peut s’étudier simplement à l’aide du PFD.

1. Vitesse du satellite sur une trajectoire circulaire

a) Montrer que la vitesse V est constante, et donner son expression en fonction de G, M, R

et h. Soit g0 le champ de gravitation à la surface de la terre, g0=9,8ms-2 et R le rayon

terrestre R=6400km.

b) Retrouver la vitesse à partir de la formule générale

!

p =m C 2

k

2. Montrer que le rapport

!

T2

r3

est une constante pour tous les satellites terrestres. Quelle est

la loi équivalente pour le système solaire ?

3. Exprimer l’énergie cinétique et l’énergie mécanique du satellite ; quelle est la relation simple

entre les deux ?

4. Un satellite est dit géostationnaire lorsqu'il est immobile dans tout référentiel lié à la terre.

a) Démontrer qu'un satellite géostationnaire a obligatoirement sa trajectoire dans le plan

équatorial.

b) Calculer son altitude h en fonction de g0 et de RT.

5. Pour placer le satellite S sur une trajectoire circulaire, on utilise une fusée qui va lui fournir

un travail W pour l’amener sur son orbite circulaire avec la vitesse initiale calculée

précédemment. Le satellite est initialement sur une base de lancement située à la latitude ! ,

il est donc au départ immobile par rapport.

a) Quelle est l’énergie mécanique du satellite avant son lancement ? (on tiendra compte

de la rotation de la terre )

b) Calculer le travail W que la fusée doit fournir au satellite. Où doit-on placer de

préférence la base de lancement ?

c) Calculer , en pourcentage, l’économie réalisée entre un lancement depuis l’équateur

!

("1 = 0) et un lancement depuis le nord de l’Europe

!

("2 = 55°)

Exercice 4: Tir balistique

Un missile balistique quitte le sol terrestre avec la vitesse initiale v0 faisant un angle " avec la

verticale. La suite de sa trajectoire est entièrement parcourue sous la seule action de la

pesanteur terrestre, dont l’intensité au sol est notée g0. On note aussi RT le rayon terrestre.

1. On note vL la vitesse de libération, c’est à dire la vitesse minimale à donner au mobile pour qu’il

puisse s’éloigner à l’infini. Déterminer

!

v L .

Dans la suite, on suppose que

!

v0! v L.

2. Déterminer l’excentricité de la trajectoire, en fonction de

!

v0, v L et " .

Exercice 5: Autre présentation du mouvement Newtonien

On considère le mouvement d'une planète assimilée à un point matériel P de masse m dans le

champ gravitationnel du soleil de centre 0 et de masse M >>>m. On pose g=GM et u=1/r.

1. Exprimer l'énergie potentielle newtonienne Ep de cette planète.

2. Montrer que la trajectoire de P vérifie l'équation différentielle suivante:

où " et # sont des constantes qu'on exprimera en fonction de K,

de la masse m, de l'énergie mécanique E et du moment cinétique L de la planète.

3. Résoudre l'équation différentielle (1). Montrer que la trajectoire de P est une conique dont on

calculera l'excentricité en fonction d'abord de " et # puis en fonction de m, K, E et L.

4. Dans le cas d'une trajectoire elliptique, calculer le ! grand axe a et le ! petit axe b en

fonction de m, g, E et L.

Exercice 6: Ecart à la satellisation sur orbite circulaire

Exercice 7: Trajectoire elliptique ; changement de trajectoire

1. Un satellite artificiel de la terre, de masse m, est placé sur une orbite elliptique. Ecrire

l'expression de son énergie mécanique en fonction de sa vitesse v et de sa coordonnée radiale r.

Montrer que les coordonnées radiales rA et rB de l'apogée et du périgée sont racines d'une

équation du second degré dont les coefficients s'expriment en fonction de l'énergie

mécanique et de la constante des aires. En déduire l'expression de l'énergie mécanique en

fonction du demi-grand axe de l'ellipse et établir la relation: où g0 est le

champ de gravitation terrestre au sol et R le rayon terrestre.

Le lancement d'un satellite terrestre sur une orbite circulaire a

été manqué: au point de lancement A, le vecteur vitesse V0 a bien

le module correspondant à l'orbite circulaire de rayon r0, mais il

fait un angle " avec la direction prévue (fig.)

Déterminer les coordonnées radiales de l'apogée et du périgée

de la trajectoire en fonction de r0 et de ". On prendra 0A

comme origine des angles polaires

Exercice 8: Mouvement hyperbolique répulsif : expérience de Rutherford

Une particule " de masse m et de charge q=2e, venant de l’infini avec une vitesse , s’approche

avec un paramètre d’impact b=OH d’un noyau cible (noyau d’or) de masse M>>>m et de charge Ze.

1. Monter que et où l’indice 0 concerne

les grandeurs au départ et l’indice " les grandeurs quand la particule est de nouveau

infiniment éloignée du noyau.

2. En déduire la déviation D de la particule en fonction de k, m, b et V0 .

3. Déterminer la distance minimale rmin de plus courte approche du noyau en fonction de D

et b.

H

x

y

V0

O

D

er

e$

$ b

2. Le satellite est initialement situé sur une orbite circulaire

de rayon r0; déterminer sa vitesse v0. A son passage par un

point A de l'orbite, on exerce sur le satellite dans la

direction de son vecteur vitesse et de façon quasi

instantanée une force qui le ralentit. La trajectoire de A

devient alors une ellipse de foyer O. Déterminer la vitesse

v1 qu'il doit prendre pour atteindre la terre en un point P

tel que l'angle AOP = %/2 (fig.). Calculer la variation

d'énergie cinétique subie par le satellite.

Exercice 9 : L’étoile double

On considère un système S constitué de deux corps ponctuels M1 et M2 de masses m1 et m2 en

interaction gravitationnelle. On suppose que S est un système isolé, étudié dans le référentiel

galiléen R d’origine O. On appelle K le centre d’inertie du système.

1. Montrer que le référentiel barycentrique R* du système S est galiléen. Définir la particule

fictive (ou réduite) A ainsi que son équation différentielle vérifiée par son vecteur position.

2. Montrer que l’énergie mécanique barycentrique de la particule réduite A est celle du système S dans R*. Montrer que le moment cinétique barycentrique de la particule réduite A

est celui du système S dans R*.

3. On considère une étoile double composée de deux astres assimilés à deux points matériels

formant un système isolé en mouvement quasi-circulaire autour du centre d’inertie K de

l’étoile double.

Données :

• Le rayon de la trajectoire de M2 est 4 fois plus grand que celui de M1.

• La distance entre les deux astres est 10 109 km.

• La période de révolution de l’étoile double est 100 ans

En déduire les masses m1 et m2 de M1 et M2.

Réponses :

Ex.1 :

Ex.2 :

Ex.3

!

1, 2, 3 :V 2 =GM

RGM = g0R

2 Ep = "2Ec Eméca = "Ec

!

4 : r = R + h = (goR2

4" 2T 2) = 42.3 103km # hapogé = 35.8 103km

!

5 :W =GmM(R + 2h)

2R(R + h)"1

2

mR 2#2 cos2($) =GMm

2R(1"

R3#2 cos2($)

GM);

W1

W2

=

1"R#2

g0

1"R#2 cos2($2)

g0

= 0, 9977%W2 = 1, 0023W1

Soit une économie de 0,23% si on lance le satellite d’une base sur trouvant prés de l’équateur. Ce n’est pas la

raison pour laquelle les bases de lancements sont situées prés de l’équateur. L’intérêt réel : il est plus facile de

placer le satellite sur une orbite équatoriale.

Ex.4 :

!

GM = g0RT2 vT = 2g0RT

C = Cte des aires = RT V0 sin(") # P =V0

2 sin2(")

g0e = 1 + 4V

0

2 sin2(")V0

2$V

L2

VL4

Ex.5 : Ep=-mKu ; 4.2. :

Ex.6 :

Ex.7 :

Ex.8 : On écrira le principe fondamental dans le référentiel Galiléen et on remarquera que

On obtient donc cette équation . On exprime le moment

cinétique qui est une constante vectorielle et on intègre entre t=0 et t=".

On obtient l’expression demandée.

8.2. : On exprime l’énergie potentielle : Ep=k/r2 , Ep(0)=Ep( ")=0 car les particules sont infiniment éloignée.

Donc les énergies cinétiques sont les mêmes car l’énergie mécanique se conserve : V"=V0 . On projette la

relation précédente sur les axes x et y et on obtient :

8.3 : En écrivant l’énergie mécanique qui se conserve au point r=rmin (un extremum donc dr/dt=0) on obtient

l’équation du 2 degré que l’on résout :

Ex.9: 9.1. et 9.2. Cours. 9.3. :