XXIX CILAMCE

November 4 th to 7 th, 2008

Mace ió - Braz i l

FORMULAÇÃO BIDIMENSIONAL ALTERNATIVA PARA A INTERAÇÃO FLUIDO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO MEF

Rodolfo André Kuche Sanches Humberto Breves Coda raks@sc.usp.br hbcoda@sc.usp.br Departamento de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo Campus I de São Carlos, Av Trabalhador São carlense, 400, 13566-590, São Carlos – SP - Brasil Resumo. Este trabalho apresenta os passos para a obtenção de um código computacional baseado no Método dos Elementos Finitos (MEF) para a simulação de interação fluido-estrutura em que o fluido é considerado compressível enquanto a estrutura pode desenvolver grandes deslocamentos. Para a análise do escoamento, a discretização espacial é feita com o emprego de elementos finitos triangulares de aproximação linear e discretização no tempo explícita baseada em linhas características. Para possibilitar o acoplamento com a estrutura, de descrição Lagrangeana, o algoritmo para análise do fluido deve admitir contornos móveis, o que é feito aplicando-se o MEF sobre as equações governantes da mecânica dos fluidos (Navier-Stokes) descritas em uma forma Lagrangeana-Euleriana arbitrária. Para o problema de dinâmica estrutural, é empregada uma formulação não linear geométrica alternativa, denominada formulação posicional, onde as variáveis são obtidas diretamente das posições e não dos deslocamentos. A discretização temporal é feita através do integrador de Newmark e a discretização espacial consiste de elementos de pórtico com ordem de aproximação qualquer. A forma de acoplamento utilizada é particionada, ou seja, resolve-se a dinâmica do fluido independentemente da dinâmica da estrutura, transferindo-se as condições de contorno de um domínio para o outro. Palavras-chave:Interação Fluido-Estrutura, Método dos Elementos Finitos, Formulação Lagrangeana Euleriana Arbitrária, Método dos Elementos Finitos Posicional.

1. INTRODUÇÃO Os problemas de interação fluido-estrutura estão presentes nas mais diversas áreas de engenharia, desde obras de engenharia civil, mecânica, aeronáutica, naval, e até em problemas de biomecânica. Como exemplos, citam-se o efeito do vento sobre edificações, flutter em aeronaves ou de pontes suspensas, e até mesmo a dilatação das artérias devido à circulação sanguínea. A complexidade e o número elevado de operações de cálculo envolvidos na análise de problemas de interação fluido-estrutura, leva à busca de técnicas computacionais que auxiliem a resolução de tais problemas. O fato de que as estruturas vêm sendo projetadas cada vez mais leves e esbeltas, e assim muito mais susceptíveis aos problemas de interação fluido-estrutura tem feito crescer a necessidade de ferramentas computacionais cada vez mais precisas e eficazes dedicadas a essa área. Assim, este trabalho objetiva fornecer um modelo numérico eficiente e versátil para análise de interação fluido-estrutura. Aqui apresenta-se primeiro o algoritmo utilizado para análise de dinâmica dos fluidos com contornos móveis, em seguida é apresentado o algoritmo para análise de dinâmica das estruturas e finalmente é desenvolvida a técnica de acoplamento aplicada entre fluido e estrutura. Tanto para a análise de dinâmica dos fluidos como para a análise de dinâmica das estruturas é empregado o Método dos Elementos Finitos (MEF). Na análise de dinâmica dos fluidos o escoamento é considerado compressível e as equações são descritas na forma Lagrangeana-Euleriana Arbitrária (ALE) para permitir a movimentação do contorno, sendo que a forma geral do algoritmo baseia-se no trabalho apresentado por Nithiarasu et al. (2000). Para a análise estrutural são empregados elementos de pórtico com ordem de aproximação qualquer, sendo empregada a formulação posicional conforme apresentada por Greco e Coda (2004) e melhorada por Maciel e Coda (2005). O acoplamento é feito de forma particionada, ou seja, o fluido e a estrutura são integrados no tempo separadamente e as condições de contorno na interface são transmitidas de um meio para o outro, a exemplo de Felippa et al. (2001) e Teixeira e Awruch (2005), proporcionando vantagens que são apresentadas neste artigo. 2. ANÁLISE NUMÉRICA DA MECÂNICA DOS FLUIDOS 2.1 Equacionamento em descrição Lagrangeana-Euleriana Arbitrária Tradicionalmente a modelagem matemática dos problemas físicos é feita através de uma descrição Euleriana ou Lagrangeana. A descrição Lagrangeana, também conhecida como material, expressa o movimento de um meio contínuo em termos da configuração inicial e do tempo (referência fixa) sendo muito eficiente em problemas onde se deseja determinar os deslocamentos dos pontos de um corpo ou sistema contínuo de partículas a partir de sua forma inicial, como na mecânica dos sólidos. Já a descrição Euleriana, também conhecida como espacial, é definida em termos da configuração deformada e do tempo, sendo muito aplicada em problemas onde as variáveis geralmente são velocidades e não deslocamentos, como na mecânica dos fluidos. Ver por exemplo Valliapan (1981). A descrição Euleriana é a mais adequada para a análise de mecânica dos fluidos devido ao fato de que o fluido não resiste a tensões desviadoras. Assim, para que o fluido possa ser acoplado ao sólido em descrição Lagrangeana, é feito uso de uma formulação Lagrangeana-

Euleriana arbitrária (ALE), tal como vem sendo usada para problemas com contornos móveis por autores como: Donea et al. (1982), Teixeira e Awruch (2005) e Nithiarasu, (2005). O equacionamento Euleriano na forma diferencial é bastante conhecido, sendo as equações da conservação da massa, da quantidade de movimento e da energia respectivamente:

( )i

i

u

t x

, (1)

( )( ) j i ijii

j j i

u uu pg

t x x x

e (2)

( )( ) ( )j j ij j i i

j i i j j

E Tu E k u p u g u

t x x x x x

. (3)

onde é a massa específica, iu é a componente de velocidade na direção i, com i,j e k sendo

os eixos cartesianos 1, 2 ou 3, p é a pressão, ij são as componentes do tensor das tensões

desviadoras, ig é a constante das forças de campo na direção i, E é a energia específica, T é a

temperatura e k é a condutividade térmica. A descrição Lagrangeana-Euleriana Arbitrária (ALE) das Eq. (1), (2) e (3), é obtida introduzindo-se um domínio de referência com movimento arbitrário e independente dos pontos materiais, conforme a Fig. 1, onde R, C(to) e C(t) são respectivamente os domínios de referencia e o meio contínuo na configuração inicial e final (Donea et al. 1982).

Figura 1 – cinemática adotada na descrição ALE

A formulação ALE pode ser vista como um mapeamento da configuração inicial do contínuo para a configuração atual de referência, sendo J o Jacobiano que liga o domínio de referencia e o domínio material dado por:

det deti

j

J Aa

, (4)

onde é o vetor posição do ponto de referência, pertencente ao domínio de referência, a é o vetor posição do ponto P0 na configuração inicial e A é a matriz gradiente de

componentes: i

ja

, com i e j = 1,2 ou 3.

Trabalhando-se algebricamente, obtém-se:

JJ w

t

(5)

onde w

é o vetor velocidade do domínio de referência R.

Seja uma propriedade física ),( tf i , expressa na representação de referência igual a

( , )iF a t , visto que i , componente de com i =1, 2 ou 3, é dependente de ia , que é a

componente i de a, pode-se escrever:

( , ) ( , ) ( , )i i i i

i

F a t f t f t

t t t

. (6)

Com base na Eq. (5), escreve-se:

( )( )

JF fJ fw

t t

. (7)

Fazendo f na Eq. (7) e levando-se em conta a equação da conservação da massa (Eq. (1)) pode-se escrever:

( )( )i i

j

JJ w u

t x

, (8)

ou, com o auxílio da Eq. (5), pode-se reescrever a Eq. (8) da seguinte forma:

ii

i i

uw

t x x

, (9)

que é a descrição ALE da equação de conservação da conservação da massa. Seguindo-se o mesmo procedimento para as Eqs. (2) e (3), obtém-se a formulação ALE respectivamente das equações da conservação da quantidade de movimento e da energia:

( )( ) ( ) j i iji ij i

j j j i

u uu u pw g

t x x x x

, (10)

( ) ( ) ( )( ) ( )j j ij j

i i ij i i j j i

u E u p uE T Ek g u w

t x x x x x x

. (11)

Para se obter um sistema solúvel, faz-se uso da lei da viscosidade de Newton e da hipótese de Stokes para cálculo do tensor desvio, e da lei de Clapeyron para os gases perfeitos para relacionar pressão, massa específica e temperatura (Munson, 2002).

2.2 Integração no tempo As Equações de Navier-Stokes representam problemas não lineares e são da forma:

( )u

t x x x

, (12)

onde é o coeficiente de difusão e u é a velocidade de convecção (Fortuna, 2000). Sejam chamadas características as curvas que indicam as posições no espaço pelas quais ocorre o transporte de informações (Fortuna, 2000, Nithiarasu et al., 2000 e Zienkiewicz e Taylor, 2000). Considerando-se inicialmente o problema de transporte sem difusão, sendo x a posição no instante nt de uma partícula com informação , e y a posição da mesma partícula no instante

1n nt t t (ver Fig. 2), com base no conceito de linhas características pode-se afirmar que:

0( ) ( )t tx y . (13)

Figura 2 – Curva característica para problema não linear unidimensional

Expandindo-se por série de Taylor o produto ( )nu x , conforme sugerido por Nithiarasu

(2000), chega-se a:

2 2

2

3 3

3

( )( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) )

2

( )( ( )) ...

6

n n n n

n

y xu x u y y x u y u y

x x

y xu y

x

. (14)

Truncando-se a expansão Eq. (14) e assumindo-se que: y x u t , (15) a expressão Eq. (14) se torna:

2 2

2

3 32 3

3

( )( ) ( ) ( ( )) ( ( ) )

2

( )( ( )) ( )

6

n n n n

n

tx y t u y u u y

x x

tu u y O t

x

. (16)

Da substituição da Eq. (13) na Eq. (16), escreve-se:

2 2

1 2

3 32 3

3

( )( ) ( ) ( ( )) ( ( ) )

2

( )( ( )) ( )

6

n n n n

n

ty y t u y u u y

x x

tu u y O t

x

, (17)

que é a integração temporal explícita para o problema de convecção pura. Considerando-se os termos difusivos e truncando com erro de ordem 2( )O t , a forma final da integração explícita no tempo para a equação de convecção-difusão fica:

1

2 2 22

2 2

( )( ) ( ) ( ( ))

( )( )( ( ) ) ( )

2

nn n n

nn

yy y t u y

x x x

ytu y O t

x x x

. (18)

Para um caso linear de convecção pura com velocidade -w, a expansão que resultou na Eq. (14) pode ser realizada apenas para a grandeza escalar , e à partir do mesmo procedimento obtém-se:

2

212

( ) ( ) ( ) ( )( )

2n n n ny y y ytw

w O tt x x

. (19)

O algoritmo empregado neste trabalho é puramente explícito e ideal para a solução de fluidos compressíveis, contendo os 3 passos principais descritos a seguir: 1. calcular a variação da quantidade de movimento; 2. calcular a variação da densidade; 3. calcular a variação da energia. Seguindo-se estes 3 passos, todas as demais variáveis podem ser calculadas no instante atual através de equações auxiliares da termodinâmica. A expressão para o primeiro passo é obtida expandindo-se os termos Eulerianos da equação da quantidade de movimento (Eq. (10)) segundo o procedimento que resulta na Eq. (18), e os termos devido à descrição ALE segundo o procedimento que resulta na Eq. (19):

1

2

( ) ( ) ( )

( ) ( )2

iji n j i j i i

j j j i n

ijk j i k j i i

k j k j j in

pu t u u w u g

x x x x

t pw w u u u u g

x x x x x x

, (20)

onde os termos do lado direito da igualdade são conhecidos no instante t=n. Com base na equação da conservação da massa Euleriana (Eq. (1)), Zienkiewicz e Taylor (2000) sugerem a seguinte expressão:

1 1 1n i i in n ni i i

t u t u ux x x

, (21)

que para o caso ALE (Eq. (9)) fica:

1 1

nn i i in n

i i i

t u w ux x x

. (22)

Finalmente, aplicando-se o mesmo procedimento utilizado para a equação da quantidade de movimento, porém agora na equação da energia (Eq. (11)), obtém-se:

1

2

2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( )2

n i ji j n

i ij j i i k ji i i i k j n

k i i ij j i ik i i i i i n

E t u E w Ex x

T tt k u p u g u w w E

x x x x x x

t Tu u E k u p u g u

x x x x x x

(23)

2.3 Integração no espaço A discretização espacial através do Método dos Elementos Finitos é obtida com a aplicação do método de resíduos ponderados segundo o processo de Galerkin (com funções aproximadoras e de peso iguais e representadas por N) nas Eqs. (20), (22) e (23). Assim, escreve-se a forma fraca da equação da quantidade de movimento:

2

( ) ( )

( ) ( )2

iji j i j i i

j j j i

ijk j i k j i i

k j k j j i

pN u d t N u u w u g d

x x x x

t pN w w u u u u g d

x x x x x x

(24)

Para facilitar a solução, aplica-se o teorema da divergência no termo das tensões desviadoras da primeira integral após a igualdade e em toda a segunda integral após a igualdade. Além disso, na última integral da Eq. (24), despreza-se o termo das tensões desviadoras e a parcela de integral sobre o contorno após a aplicação do teorema da divergência. Esta ultima simplificação pode ser justificada pelo fato de que geralmente o fluxo é prescrito no contorno além de que nota-se como desprezível a influência de tal termo na solução, resultando em:

2

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

i j i j i ij j i

ij ij jj

k kj i j i i

k j k j i

pN u d t N u u w u g d

x x x

Nt d N n d

x

Nw Nut pw u u u g d

x x x x x

. (25)

Empregando-se o método de Galerkin na Eq. (22) obtém-se a solução numérica para a variação da massa específica:

( ) ni i i

j i j

N d t N u w u dx x x

. (26)

Finalmente, seguindo o mesmo processo que foi aplicado para a equação da quantidade de movimento, agora para a Eq. (23), chega-se à forma fraca da equação da energia:

2

( ) ( )

( )( ) ( ( ))

2

i ii i

kj i i i

k j i i

ij j ij j ii i i

N E d t N u E p d Nw E dx x

Nwtw u u N u E p d

x x x x

N T Tt u k d t N u k n d

x x x

. (27)

Contenção das variações espúrias

Quando aplicado o método clássico de Galerkin às equações da mecânica dos fluidos, surgem variações espúrias, devido principalmente às descontinuidades de derivadas entre elementos. Dentre os modelos para estabilização das variações espúrias aplicáveis ao processo clássico de Galerkin, a introdução de difusividade artificial baseada na segunda derivada, conforme sugerido por Nithiarasu (2000) e Zienkiewicz e Taylor (2000), e também usado por Teixeira (2001), aparenta simplicidade e eficácia, o que justifica seu emprego neste trabalho. O processo de contenção das variações espúrias consiste em introduzir, nas equações onde haja convecção, o termo dissipativo numérico af , calculado por:

a a

i i

f tx x

, (28)

onde a é a viscosidade artificial.

Zienkiewicz e Taylor (2000) e Nithiarasu et. al. (1998), sugerem que a viscosidade artificial seja calculada por:

3a dif

med i i e

V c pq h

p x x

, (29)

onde V é o módulo do vetor velocidade, medp é a média da pressão sobre o elemento, difq é

um coeficiente de difusibilidade informado pelo usuário do programa, c é a velocidade do som e h é a distância percorrida por uma partícula que se propaga à uma velocidade V+c no intervalo de tempo utilizado. Para casos em que o número de Mach é muito pequeno, a viscosidade artificial calculada em função da segunda derivada da pressão pode ser insuficiente para solucionar o problema. Assim, é adotado o amortecimento sugerido por Nithiarasu et. al. (2000):

11( 1) ( )

1 0.5 1 0.5s Dt n M M M t n

, (30)

onde s é a variável amortecida, DM é a matriz de massa consistente sem os termos não

diagonais, e é uma variável de amortecimento com valor entre 0 e 0,05, especificada pelo operador do programa. 3. FORMULAÇÃO POSICIONAL NÃO LINEAR GEOMÉTRICA 3.1 Mudança de Configuração Seja a função que define a mudança de configuração da configuração inicial, ou material de coordenadas X1 X2 e X3 para a configuração final de coordenadas x1 x2 e x3. Através de aproximação por série de Taylor para a função χ em torno de X0, pode-se expressar

o vetor x

indicado na Fig. 3 da seguinte forma:

20 0 0,x x x x Grad X t X O X x

. (31)

Figura 3 – Mudança de Configuração

Quando x

é infinitesimal, os termos de ordem tendem a zero, implicando que: , ,d x Grad X t d X Grad x X t d X

. (32)

Para simplificar a notação, chama-se de A o gradiente de , tal que:

, ,i i

ijj j

x X t X tA

X X

(para i,j = 1, 2, 3). (33)

Deve ser observado que a menos que d x

seja nulo, d X

jamais será nulo, ou seja, A não é singular, concluindo-se: 0, 0 det 0dx AdX dX A J

, (34)

onde J é o Jacobiano da mudança de configuração. Uma informação importante que pode ser obtida do gradiente A é a variação de volume devido à mudança de configuração, que é calculada por: 1 2 3det( )det([ , , ]) det( ) o odV A dX dX dX A dV JdV

. (35)

A variação da área A é dada pela expressão conhecida como fórmula de Nanson: od n JBNdA A

, (36)

onde 1TB A

.

Deformações A deformação num ponto deve ser entendida como a alteração da forma de uma vizinhança do ponto pela função mudança de configuração (Coda e Paccola (2007) e Pascon (2008)).

Fazendo a diferença dos quadrados dos módulos dos vetores dx

na configuração final e

de dX na configuração inicial, levando-se a Eq. (34) em conta e fazendo TC A A , obtém-se:

2 2

2dx dX dX CdX dX dX dX C I dX dX EdX

(37)

onde o tensor C é positivo definido e conhecido como tensor de alongamento à direita de Cauchy-Green, I é o tensor identidade de segunda ordem e E é conhecido como tensor de deformação de Green-Lagrange, definido por:

1

2ij ij ijE C , (para i = 1, 2, 3) (38)

onde ij é o delta de Kronecker.

Tensões Tomando-se um corpo no qual estejam atuando forças externas superficiais, seccionando-o por um plano em duas partes e fazendo-se o equilíbrio de forças, encontra-se uma força resultante que equilibra os esforços externos e que é distribuída sobre a superfície do plano,

de forma que o vetor df

, resultante de força que atua numa área superficial infinitesimal no plano da secção, é calculado por:

0df td Td A A

, (39)

onde ( , , )T T X t N

é chamado vetor de forças de superfície de Piola-Kirchoff de primeira

espécie, e ( , , )t t x t n

é chamado vetor de força de superfície real de Cauchy. Os tensores das tensões reais de Cauchy ( ) e das tensões de Piola-Kirchhoff de primeira espécie (P) podem ser obtidos do teorema das tensões de Cauchy resultando: , , , i ij jt x t n x t n t n

e (40)

, , ,T T

i jijT X t N P X t N T P N

. (41)

Com base na fórmula de Nanson (Eq. (36)), é estabelecida a seguinte relação entre o tensor das tensões reais de Cauchy e o tensor das tensões de Piola-Kirchoff de primeira espécie: T T T T

ikij kjP J A P J A . (42)

3.2 Dinâmica dos sólidos Aplicando-se a segunda lei de Newton para um sistema sólido em sua configuração final, obtém-se a forma integral da equação da quantidade de movimento Euleriana:

,i i ij jx dV g dV dV

(43)

onde é a massa específica na configuração final, ig é a componente de força de campo na

direção i na configuração final, ix é a aceleração na direção i na configuração final, é o

tensor das tensões reais de Cauchy e ,j indica derivada na direção j. Com o emprego da fórmula de Nanson, Eq. (36), escreve-se a versão Lagrangeana desta equação:

o o o

o i o i o ki k ox dV G dV P N d

A (44)

onde iG é a componente de força de campo na configuração inicial, na direção i. Ou

localmente:

,ki k i o iP G x . (45)

Aplicação do princípio dos trabalhos virtuais

Ponderando-se a Eq. (45) por um deslocamento virtual x

e integrando-se em relação à configuração inicial com aplicação do teorema da divergência no termo do tensor das tensões chega-se a:

,

o o o o

i i i i o i i o ki i k oT x d G x dV X x dV P x dV

oA . (46)

Da definição do gradiente A, pode-se dizer que ,i kx = ikA . Assim, sendo S o tensor de

Piolla-Kirchoff de segunda espécie, tal que TP AS , a Eq. (46) pode ser escrita como: :

o o o o

o o oT xd G xdV X xdV AS AdV

oA (47)

Da Eq. (38) e das propriedades tensoriais conclui-se que: T TE A Grad u A A

, e (48)

: :TP Grad u S E

. (49)

Então, sendo S conjugado de E, a forma final da Eq. (46) é: :

o o o o

o o oT xd G xdV X xdV S EdV

oA . (50)

Pelo princípio dos trabalhos virtuais escreve-se respectivamente a variação do funcional de energia e o funcional de energia como:

0,5 0o o o o

o o oT xd G xdV x xdV wdV

oA

, e (51)

0,5

o o o o

o o oT xd G xdV x xdV wdV

oA

. (52)

onde ( ) ( )Tw tr SE tr P A de forma que para a lei constitutiva linear Saint-Venant-Kirchhoff, usada neste trabalho, se escreve (ver Pascon, 2008): 0,5 ( )w tr SE (53) Para se obter um sistema solúvel basta minimizar o funcional da Eq. (52) em relação às posições. 3.2 A formulação posicional para elementos de pórtico Na formulação Lagrangeana posicional, as incógnitas são as posições na configuração atual (final) da estrutura. Após a determinação destas, as tensões e deformações são calculadas em relação à configuração inicial. As barras de pórticos consistem em sólidos com uma dimensão muito maior que as outras. Assim faz-se primeiro o mapeamento da linha média, sendo 0m

if e 1mif as funções que

podem sem entendidas como funções de mudança de configuração fictícias que relacionam respectivamente as posições dos pontos pertencentes à linha média no espaço adimensional

auxiliar com os mesmos pontos na configuração inicial e na configuração final (ver Fig. 4), com o auxílio das funções de forma pode-se escrever: 0

1 1( , ) ( )m mi i ji j jif X X N X , e (54)

1

1 1( , ) ( )m mi i ji j jif x x N x , (55)

onde 1( )jN são as funções de forma referentes ao nó j, Xji são os valores nodais das

coordenadas iniciais, na direção i, do nó j e xji são os valores nodais das coordenadas finais.

Figura 4 – Mapeamento posicional dos elementos de pórtico As posições dos pontos fora da linha média podem ser escritas em função do ponto correspondente na linha média:

011 2

( )( )

2m

i i i

hX X e

, e (56)

111 2

( )( )

2m

i i i

hx x e

. (57)

O vetor 0

ie é aproximado pelas funções de forma da seguinte maneira:

0 0

1 2 1 2, ,i j ije N e , (58)

onde 0

ije é o valor nodal do vetor unitário normal à superfície média no ponto j na

configuração inicial. Assim as funções mudança de configuração para um elemento de barra ficam:

0 01 2 12i i j ji j ij

hf X N ( )X N ( )e , e

(591)

1 11 2 12i i j ji j ij

hf x N ( )x N ( )e . (60)

sendo que o mapeamento real f da configuração inicial para a configuração final é dado por:

11 0f f X f f

. (61)

Os gradientes 0A e 1A podem ser expressos por:

0

0 0,

iij i j

j

fA f

, e (62)

1

1 1,

iij i j

j

fA f

. (63)

Logo, o gradiente A é obtido por meio da seguinte expressão:

11 0fA Grad f A A

X

. (64)

A partir deste ponto, todos os termos do funcional de energia potencial total podem ser calculados. Aplicando-se o princípio da mínima energia potencial através da minimização do funcional em relação aos parâmetros nodais que são as duas coordenadas de posição final (x e y), e as duas componentes do vetor e (ex e ey) para cada nó. A integração temporal usada para a estrutura neste trabalho é implícita e feita através do integrador de Newmark. 4. ACOPLAMENTO E PROCEDIMENTO PARA SOLUÇÃO Dentre as vantagens de se trabalhar com o acoplamento particionado estão destacam-se a de que é possível usar métodos de integração temporal diferentes e intervalos de tempo também diferentes para fluido e estrutura e o fato de que ao se construir um esquema particionado de acoplamento, pode-se alterar a parte do código referente à análise de dinâmica dos fluidos, mantendo-se a parte referente à dinâmica das estruturas e vice versa, permitindo que inovações em cada uma dessas áreas sejam implementadas separadamente, garantindo a possibilidade de evolução da pesquisa sobre um mesmo código computacional. O esquema de acoplamento segue o fluxograma da Fig. 5, sendo que junto com a atualização da malha do fluido são impostas as condições de contorno para o fluido na fronteira com a estrutura. Para o caso de escoamentos viscosos, devido à condição de aderência às superfícies sólidas, a aplicação destas condições de contorno consiste em impor a velocidade do fluido igual à velocidade da estrutura. Já para os escoamentos invíscidos, a componente de velocidade do fluido tangencial à estrutura é livre, porém a componente de velocidade normal é igual à componente de velocidade normal da estrutura. A atualização das cargas sobre a estrutura é feita fazendo a componente de carga normal igual à força de superfície normal do fluido no contorno que faz fronteira com a estrutura, e a componente de carga tangencial igual à força de superfície tangencial no mesmo ponto. Como a formulação é explícita para o fluido, a aplicação destas condições é trivial.

Figura 5 - Fluxograma do esquema explícito de acoplamento

Movimentação da malha do fluido A Formulação ALE permite a imposição de uma velocidade arbitrária para a malha do domínio do fluido. Deve-se então impor uma velocidade que seja compatível com os deslocamentos e velocidades do contorno móvel, de maneira que a distorção da malha seja a mínima possível. O método utilizado é semelhante ao utilizado por Teixeira e Awruch (2005), e consiste na distribuição das componentes de velocidade dos pontos k na direção i, k

iw calculadas de

acordo com a distância aos pontos j de componente de velocidade jiu do contorno móvel e

aos pontos l de componente do contorno fixo, da seguinte forma:

1

1 1

nej

kj ijk

i nfixne

kj klj l

a u

wa b

, (65)

onde ne é o número de nós da estrutura, nfix é o número de nós no contorno fictício, kja são

os coeficientes de influência dos nós da estrutura no ponto k conforme, e klb são os

coeficientes de influência dos nós do contorno fictício no ponto k calculados por:

1

1e

kj

kjd

a e (66)

2

1e

kl

kjd

a , (67)

onde kjd é a distância entre o nó k na malha do fluido e o nó j na malha da estrutura, kld é a

distância entre o nó k da malha do fluido e o nó l pertencente ao contorno fictício e e1 e e2 são

expoentes referentes à influencia dos contornos móvel e fixo, arbitrados pelo operador do programa. Na fronteira fluido vs. contorno móvel, a malha do fluido deve possuir velocidade igual à da estrutura móvel. O fluido, no caso de escoamento viscoso com condição de aderência também deve ter a velocidade imposta igual à do contorno, ou somente a componente normal igual e a componente tangencial livre para outros casos. Para o caso de superfície livre, a velocidade da malha deve ser igual à do fluido. 3.4 Exemplos de aplicações Flutter de painel Este exemplo consiste na análise de um escoamento supersônico invíscido sobre uma placa plana engastada nas suas extremidades, e foi escolhido por ser um exemplo onde atinge-se deslocamentos que embora não muito grandes, já tornam a análise não linear muito mais próxima dos resultados experimentais. A malha para o fluido possui 3386 nós e 6566 elementos triangulares de aproximação linear, enquanto a malha da estrutura possui 81 nós e 16 elementos de aproximação polinomial de 5º grau (6 nós por elemento) (Fig. 6).

Figura 6 - Malha para o problema de Flutter de painel

A placa possui altura de 1,35 mm, comprimento de 0.5 m, largura unitária, módulo de elasticidade E=77,28 GPa, coeficiente de Poisson =0,33 e massa específica e=2710 kg/m³. O escoamento inicialmente não perturbado ocorre a Mach 2,30, com velocidade superior à velocidade crítica para a ocorrência de flutter determinada numericamente por Rifai et al. (1999) através de análise linear como sendo Mach 1,98, e o escoamento não perturbado apresenta velocidade do som c=340 m/s, massa específica f=0,339100346 kg/m³ e pressão p=28 kPa. Na primeira análise procedeu-se exatamente como Rifai et al. (1999), aplicando-se uma pequena perturbação na placa através da diminuição da pressão na parte inferior da placa em 0,1 % durante o tempo de 4 ms. Para esta análise são apresentadas as distribuições de pressão sobre a placa deformada nos instantes t=0,035 s e t=0,04 s (Fig. 7). Na Fig. 8 (a) apresenta-se uma comparação entre os resultados obtidos pelo presente trabalho com os resultados obtidos através de análise linear e não linear obtidos por Rifai et al. (1999) e com os resultados obtidos por análise não linear por Teixeira e Awruch (2005). Observa-se que até o instante de 0,03 s existe pouca diferença entre as análises linear e não linear, porém a partir deste instante a amplitude dos deslocamentos obtidos através da análise linear continuam crescendo exponencialmente, enquanto a análise não linear apresenta uma amplitude máxima que permanece constante. Esta diferença deve-se ao efeito de membrana que surge na análise não linear limitando os deslocamentos de flexão, enquanto na análise

linear os deslocamentos devido à flexão podem atingir valores muito maiores, sendo independentes dos deslocamentos normais às seções da estrutura. A análise Linear representa valores compatíveis com os modelos teóricos da aeroelasticidade linear, que no entanto são bem diferentes dos resultados experimentais para este tipo de problema. Já a análise não linear é compatível com os resultados experimentais (Rifai et al., 1999). Na segunda análise, reduziu-se o tempo de perturbação de 4 ms para 4 s com a finalidade de se observar a sensibilidade do programa, o que foi satisfatório, sendo os resultados comparados com a resposta anterior na Fig. 8 (b).

t=0,035 t=0,04 Figura 7 - Distribuição de pressão sobre a estrutura deformada

(a)

(b)

Figura 8 - Deslocamentos verticais em x=0,35 m vs. tempo: (a) comparação com outros trabalhos (b) perturbação com menor duração

Escoamento sobre arco com estrutura interna Este exemplo consiste na análise do escoamento viscoso do ar sobre a estrutura da Fig. 9. Inicialmente as condições são de escoamento não perturbado, então, no instante inicial da análise são impostas as condições de parede com atrito na estrutura e em uma região próxima

à estrutura. A estrutura é considerada rígida durante o primeiro 1 s da análise, e em seguida ela passa a ser considerada flexível e o seu comportamento dinâmico é analisado por mais 1 s.

Figura 9 - Arco com estrutura interna

O escoamento não perturbado apresenta: Mach=0,5, velocidade do som c=340 m/s, densidade =1,2 kg/m³, calor específico a volume constante cv=717,857 J/(kg.K), calor específico a pressão constante cp=1005 J/kgK, viscosidade dinâmica =0.0000179 Pa.s e condutividade térmica k=0.026 W/(m.K). O arco possui altura de 0,8 mm, largura unitária, módulo de elasticidade E=77,28 GPa, coeficiente de Poisson nulo, massa específica e=2710 kg/m³, amortecimento nulo e condutividade térmica nula. A estrutura interna possui altura de 0,5 mm, largura unitária, módulo de elasticidade E=210 GPa, coeficiente de Poisson nulo, massa específica e=7800 kg/m³, amortecimento nulo, condutividade térmica nula e coeficiente de dilatação térmica de 0,0000263 K-1. Na parte interna da estrutura a pressão e a temperatura são mantida constantes iguais às calculadas para o escoamento não perturbado. A parte externa da estrutura foi discretizada com 30 elementos de 5 nós (aproximação de 4º grau) e a parte interna com 12 elementos com 2 nós cada (aproximação linear), rotulados nas extremidades. O fluido foi discretizado por uma malha semicircular com 3063 nós e 5859 elementos triangulares de aproximação linear. O deslocamento em função do tempo para os pontos A de coordenadas (-1,902113; 0,618034) e B localizado no topo do arco são apresentadas na Fig. 10, onde observa-se vibrações de pequena amplitude não amortecidas no intervalo da análise. As distribuições de pressão e componentes de velocidade sobre o arco deformado no instante 1,5 s são apresentada na Fig. 11.

Ponto A Ponto B

Figura 10 - Deslocamento vs. tempo para os pontos A e B

p (Pa) u (m/s)

v (m/s)

Figura 11 - distribuições de pressão, componente horizontal de velocidade e componente vertical de velocidade no instante t=1,5 s

4. CONCLUSÃO Um algoritmo particionado baseado no MEF para a solução de problemas transientes de interação fluido-estrutura usando uma integração explícita no tempo para o fluido compressível em formulação ALE e uma integração implícita no tempo através do esquema de Newmark para uma formulação posicional não linear geométrica de dinâmica das estruturas é apresentado neste trabalho. Tanto a formulação adotada para análise do escoamento quanto a formulação alternativa adotada para análise da estrutura se mostraram adequadas para serem empregadas à problemas de interação fluido-estrutura, o que foi demonstrado com os exemplos apresentados. No exemplo de flutter de painel fica evidente a necessidade de se utilizar uma formulação não linear geométrica para a estrutura a fim de obter-se resultados fiéis ao que realmente ocorre na natureza da interação fluido-estrutura. Assim, conclui-se que o trabalho apresentado proveu um código computacional eficiente para a análise numérica de interação fluido-estrutura. Agradecimentos Os Autores são gratos ao CNPq pelo suporte financeiro ao desenvolvimento do trabalho. REFERÊNCIAS Coda, H. B., Paccolla, R. R., 2007. An alternative positional FEM formulation for

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